mecánica de máquinas

Mecánica de Máquinas

Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido II

Grado en Ingeniería Eléctrica

Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido22

Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido

2.7 Movimiento de un sólido rígido con un punto fijo

2.7.1 Ángulos de Euler (Recordatorio)

2.8 Movimiento giroscópico

2.9 Movimiento de un sólido rígido libre de par

2.10 Lecturas recomendadas


ECUACIONES DE EULER

Caso general: el sólido rígido y el sistema de referencia móvil no tienen que ser

solidarios obligatoriamente


o

oO o

dLI I M

dt

• Velocidad angular del SR:

• derivada de vista desde el SRef móvil: • Velocidad angular del SRef móvil:



ECUACIONES DE EULER

En el caso en que los ejes del sistema de referencia móvil coincidan

con los ejes principales de inercia del Sólido Rígido la expresión se

transforma en la ecuaciones de Euler:

Si

ox x x z y z y

oy y y x z x z

oz z z y x y x

M I I I

M I I I

M I I I

ox x x z z y y y z

oy y y x x z z z x

oz z z y y x x x y

M I I I

M I I I

M I I I


Un Sólido Rígido libre en el espacio posee 6 grados de libertad.

Para posicionarlo es necesario conocer los valores de 6 parámetros

independientes :

▪ Coordenadas de un punto respecto del sistema de referencia fijo: (Xo, Yo,Zo)

▪ Tres ángulos de referencia.

Si el Sólido Rígido tiene un punto fijo, tomamos este punto como

origen del sistema de referencia.

Los grados de libertad se reducen a los 3 ángulos de Euler:

▪ PRECESIÓN Y

▪ NUTACIÓN q

▪ ROTACIÓN PROPIA r

2.7.1 Ángulos de Euler

ΨΨ

ΨΨ

z'

y´

Ѳ

Ѳ ΨΨ

z´´ z'

y´

Ѳ

Ѳ

x'

y´´

x´´

ρ

ρ


En el movimiento del sólido alrededor del punto fijo, el valor

de los ángulos de Euler irá variando con el tiempo.

Luego, los ángulos de Euler son funciones del tiempo y por lo

tanto derivables.

La derivada de cada uno de estos ángulos dará lugar a una

velocidad de rotación.

Así la rotación instantánea ω del cuerpo es, en cada

instante, la resultante de las tres rotaciones:


q r



Proyección de los vectores

velocidad sobre los ejes x,y, z, del S.R.M

x

y

z

cos sen sen

sen sen cos

cos

q r q r

q r q r

q r

q r

y1

x1

z1

y

x

z

Yr

q

u

q

r

vel. de precesión

vel. de nutación

vel. de rotaciónpropia


GIRÓSCOPO Un giróscopo consiste , básicamente, en

un rotor que puede girar libremente

alrededor de su eje geométrico.

Durante el movimiento es posible que

asuma cualquier orientación, pero su

cdm debe permanecer fijo.

Se trata de un sólido de revolución por

lo que si z es el eje de revolución :


x y zI I I I



Posición arbitrariaO1 y O situados en el cdm

S.R. Fijo: (O1, X1, Y1, Z1)

S.R. móvil: (O, X, Y, Z)

▪ XYZ son Ejes principales de

inercia del giróscopo

▪ Estos ejes siguen la precesión Ψy la nutación q del giróscopo,pero no su rotación propia (ρ=0).(Más convenientes que los ejes

montados sobre el giróscopo)

▪ La velocidad angular del sólidorígido (SR) es diferente de lavelocidad angular del SR móvil (SRM)

z

x

y

z1

y1

q

Ψρ

q

r

SRM SR



x

y

z

cos sen sen

sen sen cos

cos

q r q r

q r q r

q r

Velocidad angular del Sólido Rígido Velocidad angular del Sistema

de Referencia Móvil

x

y

z

sen

cos

q

q

q r

x

y

z

sen

cos

q

q

q

Ψ

0r

Si examinamos al Giróscopo en el instante de tiempo en el que el ángulo de rotación propia es cero:


2

ox z

oy z

oz z

M I sen cos I sen cos

M I sen 2 cos I cos

M I cos sen

q q q q q r

q q q q q r

r q q q

Las ecuaciones de Euler en función de los ángulos de Euler


ox x z z y y z

oy y x z z z x

oz z z y x x y

M I I I

M I I I

M I I I

Sustituyendo


Ángulo de nutación ( ), velocidad de precesión ( ) y

velocidad de rotación propia ( ) constantes.

Inclinación del eje de giro z

Velocidad a la que el SR Móvil gira respecto

al eje Z1

q r

MOVIMIENTO EN PRECESIÓN PERMANENTE (ejemplo: peonza)


Solución de las ecuaciones anteriores en casos particulares:

q

2

x z

y

z

M I sen cos I sen cos

M 0

M 0

q q q q r



Caso particular: Precesión de una peonza

2

x zM m g OG sen I sen cos I sen cos q q q q q r



OO

dLM 0

dt

90º:q Si además:

O G

Cuando el volante no gira el extremo libre deleje cae debido a la gravedad. Si el volantegira, se produce un movimiento circularuniforme del eje en un plano horizontal,combinado con la rotación del volantealrededor del eje. Éste movimiento del eje sedenomina precesión.

Movimiento de precesión y

rotación uniforme

x z

y

z

M I

M 0

M 0

r


z1, y

z, y1

O

x1

G

W m g

r

OO

dLM 0

dt

oL constante

o z z z zL L I I r

OL

x


90º:q En el caso: Contrapeso: sitúa G en O

El eje apunta siempre en la misma

dirección y no hay precesión

O G


De la misma forma que el

concepto “Fuerza de Inercia” en

dinámica de la partícula

representa la resistencia a variar

la velocidad de la misma, en el

caso del movimiento giroscópico,aparece el concepto de

“Momento Giroscópico” que

representa la resistencia a variar

la orientación del eje del

giróscopo.


Wheel momentum Walter Lewinhttps://www.youtube.com/watch?v=NeXIV-wMVUk

https://www.youtube.com/watch?v=NeXIV-wMVUk


Conviene destacar dos características importantes del efecto

giroscópico:

o La acción de una fuerza sobre el sólido produce un

desplazamiento del eje del cuerpo en dirección perpendicular a ,

en lugar de según la dirección de . En efecto, el movimiento del

eje lleva la dirección de:

o La acción de y por consiguiente produce una velocidad de precesión constante, en lugar de una aceleración constante. Si cesa la acción de , cesa inmediatamente la velocidad de precesión.

F

F

F

oM r F


FoM

oM


Este fenómeno es la base de numerosas aplicaciones

practicas:

o Deriva de Proyectiles. Para estabilizar el movimiento de un

proyectil, se le comunica una rotación entorno a su eje de

revolución mediante las estrías del cañón. Las fuerzas externas

que tratan de desviar al proyectil de su trayectoria se ven

compensadas por el efecto giroscópico.



o Estabilizadores de ruta. Se coloca un giróscopo de forma que

su eje coincida con el eje de la nave a estabilizar (Avión,

Torpedo, Satélite, etc.)



o Brújula Giroscópica. Consiste en un giróscopo móvil alrededor

del centro de gravedad del vehículo, de modo que el eje se

conserve en posición horizontal y pueda girar alrededor del eje

vertical.



o Sólido Rígido cuya única fuerza externa es causada por la

gravitación

.

2.9 Movimiento del sólido rígido libre de par

G

z

x

z1y

GM 0

GG

dLM 0

dt

GL constante

q

W m g


G

z

x

z1y

G x x y y z zL I i I j I k

En un instante determinado, se considera

que el SRF está orientado de tal manera

que el eje z1 se encuentra a lo largo de GL

GL

q

G G GL L sen j L cos k q q

G G x x y y z zL sen j L cos k I i I j I kq q W m g



G

z

x

z1y

GL

q

x

y

z

sen

cos

q

q

q r

z

G

I i I sen j I cos k

L sen j cos k

q q q r

q q

G

z G

Componente i 0

Componente j I L

Componente k I cos L cos

q

q r q

W m g



Componente i 0 q

z GComponente k I cos L cos q r q

GComponente j I L

El ángulo de nutación q permanece constante en el tiempo, por lo que

la velocidad de nutación es nula.

constanteq

GL

I

La velocidad de precesión es constante

zG

z

I IL cos

I I

r q

G

z x

z1y

r



Es el movimiento típico de las naves

espaciales y de los proyectiles que son

simétricos con respecto a OZ y durante su

vuelo están animados de rotación propia y

precesión uniforme.

El eje de precesión coincide con el vector

momento cinético.

MOVIMIENTO DE ROTACIÓN Y PRECESIÓN UNIFORME

Este movimiento se denomina:


G

z x

z1y

r


2.10 Lecturas recomendadas

Lecturas recomendadas

• Shames, I.H., Mecánica para Ingenieros. Dinámica, Prentice Hall,(1999)

Capítulo 18 (Dinámica del Movimiento de un Sólido Rígido)

• Artés, M., Mecánica, Universidad Nacional de Educación a Distancia,Madrid (2003)

Capítulo 11 (Dinámica de los Sistemas. Teoremas Fundamentales)

Capítulo 12 (dinámica del sólido con un eje fijo)

• Dinámica. Mecánica para ingenieros- A. Bedford y W. Fowler,Addison-Wesley

Capítulo 9

• Vázquez, M., López, E., Mecánica para Ingenieros, Editorial Noelas,Madrid (1998)

Capítulo 13 (Cinética de Sistemas)

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