mecánica_cuántica_final_(1)

8/13/2019 Mecnica_Cuntica_FINAL_(1)

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4 MARA ESTHER BURGOS

Mara Esther BurgosProfesora de la Facultad de Ciencias

de la Universidad de Los Andes

Temas de mecnica cuntica

Volumen 1

UNIVERSIDAD DE LOS ANDESConsejo de P!"#$%$#ones

2&12


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Ttulo de la obra: Temas de mecnica cuntica

Volumen 1

Autor: Mara Esther Burgos

Editado por el Consejo de Publicaciones de la Universidad de Los Andes

Av. Andrs Bello, antiguo CALA. La Parroquia

Mrida, estado Mrida. Venezuela

Telefax (+58274) 2713210, 2712034, 2711955

e-mail [email protected]

http://www.ula.ve/cp

1aedicin en CD-Rom. 2012

Reservados todos los derechos

Mara Esther Burgos

Diseo de portada: INNOVA. Diseo y Tecnologa C.A.

Mrida, Venezuela, 2012


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( MARA ESTHER BURGOS

INDICE GENERALP)*"o+o ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 11

TEMA 1, LA MATEMTICA DE LA MECANICACUANTICA ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 1'1,1, E" es-%$#o de "os es.%dos, No.%$#*n de D#)%$ ,,,,,,,,,,,,, 1'1,2, O-e)%do)es /e %$.0%n en e" es-%$#o de "os es.%dos ,, 2&1,3, B%ses d#s$)e.%s en e" es-%$#o de "os es.%dos ,,,,,,,,,,,,,,, 2

1,4, B%ses $on.#n%s en e" es-%$#o de "os es.%dos ,,,,,,,,,,,,, 311,', Dos eje-"os de !%ses $on.#n%s )e-)esen.%$#ones

5)6 7 5-6 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 3'1,(, Re-)esen.%$#ones %.)#$#%"es ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 4&1,, C%!#o de !%se ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 4'1,8, A.o9%"o)es 7 %.o9e$.o)es de "os o-e)%do)es "#ne%"es 481,:, So"$#ones de "%s e$%$#ones de %.o9%"o)es ,,,,,,,,,,,,, '2

1,1&, O-e)%do)es ;e)


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MECNICA CUNTICA

2,2, L% e$%$#*n de S$;)>d#n+e) ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 1&32,3, S#s.e%s $onse)9%.#9os ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 1&2,4, Es.%dos es.%$#on%)#os? $ons.%n.es de o9##en.o?

=)e$en$#%s de Bo;) 7 )e+"%s de se"e$$#*n ,,,,,,,,,,,,,,,,,, 1112,', Pos."%dos )e=e)#dos % "% ed#$#*n ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 11'2,(, L%s -)ed#$$#ones e@-e)#en.%"es de "% e$n#$%

$n.#$% ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 1242,(,1, Med#$#*n de n% $%n.#d%d =


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3,2,1, E" H%#".on#%no de" os$#"%do) %)*n#$os#-"e %"+n%s -)o-#ed%des de ss %.o9%"o)es7 %.o=n$#ones ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 13

3,2,2, Los o-e)%do)es de $)e%$#*n 7 de des.)$$#*n , 183,2,3, A.o9%"o)es 7 %.o9e$.o)es de" H%#".on#%no

de" os$#"%do) %)*n#$o s#-"e, E" n0e)o deo$-%$#*n ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 181

3,2,4, Re-)esen.%$#*n 5@6 de "os %.o9e$.o)esde" H%#".on#%no ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 18(

3,2,', E9o"$#*n .e-o)%" ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 1:13,2,(, E" os$#"%do) %)*n#$o .)#d#ens#on%" ,,,,,,,,,,,,, 1:4

TEMA 4, EL MOMENTO ANGULAR ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 2&14,1, E" oen.o %n+"%) en e$n#$% $"s#$% 7 en

e$n#$% $n.#$% ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 2&1

4,1,1, E" oen.o %n+"%) en e$n#$% $"s#$% ,,,,,,, 2&14,1,2, E" oen.o %n+"%) en e$n#$% $n.#$% ,,,, 2&34,1,3, O-e)%do)es de $)e%$#*n 7 de des.)$$#*n

de" oen.o %n+"%) ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 2&(4,1,4, Res".%dos de "% %-"#$%$#*n de 7 % "os

%.o9e$.o)es de 7 2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 2&8

4,1,', De.e)#n%$#*n de "os %.o9%"o)es de "oso-e)%do)es 27

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 211

4,1,(, L% !%se s.%nd%)d ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 214,2, E" oen.o %n+"%) o)!#.%" ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 22&

4,2,1, Re-)esen.%$#*n 5)6 de" oen.o %n+"%)o)!#.%" ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 22&

4,2,2, A.o9%"o)es 7 %.o=n$#ones de L27 L,A)*n#$os es=)#$os ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 22'


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MECNICA CUNTICA :

4,3, E" es-


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MECNICA CUNTICA 1


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MECNICA CUNTICA 11

PRLOGO

Es.e "#!)o es. des.#n%do % "os es.d#%n.es de e$n#$%$n.#$% de "%s "#$en$#%.)%s de =


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En "% -)#e)% $"%se de "os ne)osos $)sos de e$n#$%$n.#$% /e ;e d#$.%do? .)o-e$ s#e-)e $on "% #s% d#=#$"J.%d "os es.d#%n.es %n#=es.%!%n no se) $%-%$es de "ee) "% !#J

!"#o+)%=


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MECNICA CUNTICA 13

$ons#de)%!"e, Es.o? en 9#).d de /e "%s ;e))%#en.%s %""< e@J-es.%s son #-)es$#nd#!"es -%)% en$%)%) .%n.o "% "e$.)% de "os)es.%n.es .e%s? $oo "% de [email protected] s %9%n%dos 7 de %).


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MECNICA CUNTICA 1'

TEMA 1,

LA MATEMTICA DE LA MECANICACUANTICA

1,1, E" es-%$#o de "os es.%dos, No.%$#*n de D#)%$, 1,2, O-e)%doJ)es /e %$.0%n en e" es-%$#o de "os es.%dos, 1,3, B%ses d#s$)e.%sen e" es-%$#o de "os es.%dos, 1,4, B%ses $on.#n%s en e" es-%$#ode "os es.%dos, 1,', Dos eje-"os de !%ses $on.#n%s )e-)esenJ

.%$#ones 5r6 7 5p6, 1,(, Re-)esen.%$#ones %.)#$#%"es, 1,,C%!#o de !%se, 1,8, A.o9%"o)es 7 %.o9e$.o)es de "os o-e)%Jdo)es "#ne%"es, 1,:, So"$#ones de "%s e$%$#ones de %.o9%"o)es,1,1&, O-e)%do)es ;e)


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1( MARA ESTHER BURGOS

en.es %.e.#$os? "os Qe.s 7 "os !)%s? /e .%!#n -eden )eJ-)esen.%) d#$;o es.%do,

Vamos a asociar un ket? #den.#=#$%do -o) e" s


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MECNICA CUNTICA 1

Es.o s#+n#=#$% /e d%dos "os es.%dos 1? 27 3? "os n0e)os$o-"ejos 7 ? 7 e" es.%do n"o ? se $-"en "%s s#+#en.es)e"%$#ones

1 2 2 1 1,2%K

1 2 3K 1 2K 3 1,2!K K 1 1 K 1 1 1,3%K1 2K 1 2 1,3!K

K 1 1K 1K 1,3$K1 1 1,4%K

7 & 1 & 1,4!K

Ve)eos /e se -ede e"e+#) n% !%se en e" es-%$#o 7 e@-)eJs%) "os es.%dos de" s#s.e% en .)#nos de "os 9e$.o)es /e$o-onen d#$;% !%se, En "% T%!"% 1,1 se e@-"#$#.%n %"+n%s

%n%"o+


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-e$.#9%en.e )e-)esen.%dos -o) "%s =n$#ones de ond% rK 7rK es? -o) de=#n#$#*n?

5 d3) rK rK 1,(K

donde? % enos /e se #nd#/e "o $on.)%)#o? es.% #n.e+)%" 7 "%s/e s#+en so!)e d3) se e@.#enden % .odo e" es-%$#o de "os 9e$.oJ)es -os#$#*n r, E" -)#e) #e!)o de 1,(K se "ee -)od$.o de"

!)% -o) e" Qe. , Es.e -)od$.o .%!#n se ""%% productointerno o producto bracket? -%"%!)% /e D#)%$ -%).#* en "os.)#nos Qe. 7 !)% -%)% #n.)od$#) s no.%$#*n, Cuando se ex-

presa en notacin de Dirac, el lgebra de la mecnica cuntica

incluye, bsicamente, cuatro entes matemticos: los kets y los

bras? /e )e-)esen.%n "os es.%dos de" s#s.e% los operadores?$7o e=e$.o es $oo 9e)eosK od#=#$%) "os Qe.s 7 "os !)%s ylos nmeros comple!os, L% ".#-"#$%$#*n de Qe.s? !)%s 7 o-e)%Jdo)es -o) n n0e)o $o-"ejo +o% de "% -)o-#ed%d $on.%.#J

9%? -e)o "% ".#-"#$%$#*n de dos $%"es/#e)% de "os )es.%n.esen.es en.)e s< no +o% de .%" -)o-#ed%d, "l lgebra utili#ada enmecnica cuntica es no conmutativa, H%7 /e s!)%7%)? en

-%).#$"%)? /e en "% e@-)es#*n 1,(K e" o)den de "os =%$.o)es%".e)% e" -)od$.o, Coo

5 5 1,K

en +ene)%" )es".% 55,S# 5 &? se d#$e /e "os 9e$.o)es 57 5son o).o+oJ

n%"es, Po) de=#n#$#*n? "% no)% de es 512? donde? de%$e)do $on 1,(K? )es".%

5 d3) 5rK52 1,8K


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MECNICA CUNTICA 1:

No.%) /e? $oo 5rK52s*"o -ede se) -os#.#9o o n"o? "%no)% de 5se %n"% s# 7 s*"o s# 5 & es.o es? $%ndo rK & s%"9o en n n0e)o =#n#.o de -n.osK, S# "% #n.e+)%" en "%e$%$#*n -)e9#% $on9e)+e 7 5es n n0e)o )e%" 7 -os#.#9o?se d#$e /e e" 9e$.o) 5 es no)%"#%!"e -%)% no)%"#%)"o?

!%s.% $on ".#-"#$%)"o -o) 512, Po) e" $on.)%)#o? s# 5d#9e)+e? e" 9e$.o) 5no es no)%"#%!"e, L%s =n$#ones rK de$%d)%do #n.e+)%!"e? es.o es? "%s =n$#ones -%)% "%s $%"es "%#n.e+)%" en 1,8K $on9e)+e? -e).ene$en % n espacio vectorialdenominado de $ilbert, Lo #so o$))e $on .odos "os 9e$.oJ)es de es.%do? %n/e no se% -os#!"e %so$#%)"es n% =n$#*n deond%, S!)%7eos /e nicamente los vectores %ue pertenecenal espacio de $ilbert pueden representar el estado de un siste-

ma,

To%ndo en $en.% /e "% $o))es-onden$#% Qe. !)% es%n.#"#ne%"? es$)#!#os

511 22K 151 252 1,:%K

7 11 22K5 1 15 2 25 1,:!K

N*.ese /e e" -)od$.o es$%"%) +o% de "% -)o-#ed%d d#sJ.)#!.#9%,

Preguntas y ejercicios

1,1, U.#"#%ndo "% de=#n#$#*n 1,(K -)o!%) "% #+%"d%d 1,K

1,2, Ve)#=#$%) /e e" $%d)%do de "% no)% de" 9e$.o) 5? d%do-o) 1,8K? es n n0e)o )e%" no ne+%.#9o /e se %n"% s# 7


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2& MARA ESTHER BURGOS

s*"o s# 5 &, Mos.)%) /e e" 9e$.o) 5W 512 5es. no)%"#%do,

1.2. Operadores que actan en el espacio de los estados

En e$n#$% $n.#$% "%s $%n.#d%des =


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MECNICA CUNTICA 21

no s#+n#=#$% /e no se% -os#!"e %-"#$%) AX% n Qe. A % n !)%K-es.o /e s# ;%$eos B AX BX AK se o!.#ene AX 5 B 55 A 5 BXK donde? en +ene)%"? )es".% AX5A 55 AX5 AK,

E" elemento de matri#de" o-e)%do) "#ne%" A en.)e "os 9e$J.o)es 57 5? .o%dos en ese o)den? es 5 A 5, U.#"#%ndo1,1&K 7 1,(K? /ed% en e9#den$#% /e

5 A 5 5W 1,13K

es? en +ene)%"? n n0e)o $o-"ejo, S# dos o-e)%do)es A 7 C-)od$en e" #so e=e$.o so!)e n Qe. +en)#$o 5? .odos sse"een.os de %.)# en.)e "os 9e$.o)es 57 5son #dn.#$os 7se $-"e /e A C, To%ndo en $en.% es.% o!se)9%$#*n sedees.)% /e

5 A 5 5 AX5 1,14K

AXKX A 1,1'K

AKX AX 1,1(K

7 /e

A BKX

AX

BX

1,1KE" -)od$.o A B de dos o-e)%do)es "#ne%"es A 7 B se de=#J

ne -o) s %$$#*n so!)e n Qe. +en)#$o 5, Se $-"e /e

A BK 5 A B 5K 1,18K


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"o $%" s#+n#=#$% /e %" %-"#$%) B % 5se o!.#ene 5B B 5 7"e+o? %" %-"#$%) A % 5B? se o!.#ene 5AB A 5B A B 5K9e) #+, 1,1, En es.e -n.o $%!e des.%$%) /e el espacio de losestadoses/e.#$%en.e #"s.)%do en s.% 7 o.)%s =#+)%s /es#+en no debe ser confundido con el espacio ordinario 7 /ee" 0".#o .#ene s#e-)e .)es d#ens#ones? #en.)%s /e e" -)#eJ)o -ede .ene) desde dos ;%s.% n $onjn.o #n=#n#.o no ne)%J

!"e de d#ens#ones,

Fig. 1.1. Representacin esquemtica de la transformacin del ket |poraplicacin de los operadores B y (A B). a aplicacin de B a |arro!a el resultado |B" B |# y la aplicacin del producto (A B)da |AB" A B |.


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MECNICA CUNTICA 23

E" -)od$.o de dos o s o-e)%do)es go#a de la propie-dad asociativa? -e)o en general no go#a de la propiedad con-mutativa s %de"%n.e 9e)eos 9%)#os eje-"os de o-e)%do)es/e no $on.%n, E" conmutador de "os o-e)%do)es A 7 B? .oJ%dos en ese o)den? se deno.% -o) YA? BZ 7 es? -o) de=#n#$#*n?

YA? BZ A B [ B A 1,1:K

Se $-"en "%s s#+#en.es )e"%$#ones en.)e $on.%do)es

YA? B CKZ YA? BZ YA? CZ 1,2&%K

7 YA? B CZ B YA? CZ YA? BZ C 1,2&!K

P%)% o!.ene) e" %djn.o de" -)od$.o A B? ;%$eos

5AB A B5K A 5B 1,21%K

de donde? .en#endo en $en.% 1,12K? -odeos es$)#!#)

5AB A 5BAB5 B5 AX 1,21!K

7 $oo e" %djn.o de 5B B 5es B5 5 BX? e" %djn.o de5AB A B 5es AB5 B5 AX 5 BXAX, Pes.o /e 5es n 9e$.o) +en)#$o? es.o #-"#$% /e

A BKX BXAX 1,22K

&a regla general para obtener el ad!unto de una expre-

sin %ue contiene kets, bras, operadores y nmeros, puede re-

sumirse as': #Kse reempla#an los kets por los bras, los bras porlos kets, los operadores por sus ad!untos y los nmeros por sus


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comple!os con!ugados( y##Kse invierte el orden de los factores%ue componen la expresin original)

H%s.% es.e -n.o? en .od%s "%s )e"%$#ones en "%s /e =#+J)%n Qe.s 7 !)%s? "os !)%s %-%)e$en % "% #/#e)d% 7 "os Qe.s % "%de)e$;%, S#n e!%)+o? "%s e@-)es#ones donde "os Qe.s %-%)e$en %"% #/#e)d% 7 "os !)%s % "% de)e$;% .%!#n .#enen n s#+n#=#$%Jdo /e e@-"#$#.%os % $on.#n%$#*n 55 es n o-e)%do) $7%%-"#$%$#*n .)%ns=o)% 5n Qe. %)!#.)%)#oK en 5".#-"#$%do

-o) n n0e)o $o-"ejo, En e=e$.o? -es.o /e 55K 555K 7 $oo 5es n n0e)o $o-"ejo? /ed% deosJ.)%d% nes.)% %=#)%$#*n -)e9#% o!se)9%) /e es.%os ;%$#endone9%en.e so de "% -)o-#ed%d %so$#%.#9%, Po) e" $on.)%)#o? 57 5 no $on.%n s# en "+%) de %-"#$%) 55 %" 9e$.o) 5se"e %-"#$% 5? se o!.#ene e" 9e$.o) 5no5K ".#-"#$%do -o)e" n0e)o $o-"ejo 5,

A $on.#n%$#*n? 9e%os n eje-"o de o-e)%do) "#ne%", S#5est normali#ado? "o $%" s#+n#=#$% /e 5 1? el opera-dor

P 55 1,23K

es, por definicin, el proyector a5, E" o-e)%do) P)e$#!e eseno!)e -o) $%n.o -)o7e$.% $%"/#e) 9e$.o) 5%" 9e$.o) 5

es.o es? "% %-"#$%$#*n de P.)%ns=o)% e" 9e$.o) 5enP5 55 5 1,24K

donde 5es n n0e)o $o-"ejo, Se -)e!% =$#"en.e/e Pes n o-e)%do) "#ne%", Los -)o7e$.o)es % n Qe.? .%!#n


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MECNICA CUNTICA 2'

""%%dos -)o7e$.o)es e"een.%"es? son #de-o.en.es es.o s#+n#J=#$% /e s%.#s=%$en "% )e"%$#*n

PK2 P 1,2'K

L% [email protected]#*n de" $on$e-.o de -)o7e$.o) % n Qe. %" $onJ$e-.o de -)o7e$.o) % n s!es-%$#o de dos o s d#ens#oneses sen$#""%, Se% 5j6 j 1? 2?,,, ? /K n $onjn.o de 9e$.o)eso).ono)%"#%dos? "o $%" #-"#$% /e se s%.#s=%$en "%s )e"%$#oJnes

j5Q jQ 1,2(K

donde jQes "% de".% de \)one$Qe), L"%%)eos /%" s!es-%J$#o /e s!.#enden d#$;os 9e$.o)es, Po) de=#n#$#*n? e" -)o7e$.o)P/%" s!es-%$#o / es "% s% de "os -)o7e$.o)es e"een.%"es5jj5? es.o es

P/ j1/5jj5 1,2K

Es =$#" -)o!%) /e e" -)o7e$.o) P/.%!#n es #de-o.en.e, L%#de-o.en$#% de "os o-e)%do)es d%dos -o) 1,23K 7 1,2K #-"#J$% /e "% %-"#$%$#*n )e-e.#d% de P.#ene e@%$.%en.e e" #soe=e$.o /e s %-"#$%$#*n -o) n% 0n#$% 9e 7 "o #so 9%"e

-%)% P/,

L% %n%"o+


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%-"#$%$#*n de P1%" 9e$.o) !"o .)%ns=o)% en P1! e1e1.!?es.o es? "o -)o7e$.% % e1, De" #so odo? "% %-"#$%$#*n de P12 e1e1. e2e2.K %" 9e$.o) !"o -)o7e$.% %" -"%no /e s!J.#enden e17 e2 9e) #+, 1,2, No o!s.%n.e? % -es%) de "% %n%"o+


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MECNICA CUNTICA 2


1,3, Deos.)%) /e "%s )e"%$#ones 1,14K J 1,1K son 9"#d%s,1,4, P)o!%) /e se $-"en "%s )e"%$#ones 1,2&K,

1,', Ve)#=#$%) /e -%)% $%"/#e) 5? $%"/#e) 5? $%"/#e)o-e)%do) "#ne%" A 7 $%"/#e) n0e)o $o-"ejo se $J

-"en "%s s#+#en.es )e"%$#ones #K 5 5 ##K 5 5 ###K A A 7 #9K 5 5 5,

1,(, D%dos 5? 5? 5 7 5? e" o-e)%do) "#ne%" A 7 e" n0e)o$o-"ejo ? en$on.)%) "os %djn.os de "%s e@-)es#ones #KA 55 7 ##K 5 A 5 55, ]Se -ede #den.#=#$%)n e"een.o de %.)# en d#$;%s e@-)es#ones^ ]Se -ede#den.#=#$%) n -)o7e$.o)^

1,, Se% PNe" o-e)%do) /e %-"#$%do %" Qe. 5d% $oo )es"J.%do s no)%, P)o!%) /e PNno es "#ne%",

1,8, Deos.)%) /e .%n.o e" -)o7e$.o) P? d%do -o) 1,23K?$oo e" -)o7e$.o) P/? d%do -o) 1,2K? son o-e)%do)es "#Jne%"es e #de-o.en.es,

1,:, L% des#+%"d%d de S$;_%) es.%!"e$e /e s# 57 5sondos 9e$.o)es $%"es/#e)%? se $-"e /e 5552 5 5, P)o!%) d#$;% des#+%"d%d 7 os.)%) /e "%#+%"d%d es 9"#d% s# 7 s*"o s# 57 5 son -)o-o)$#on%J

"es,

1.". Bases discretas en el espacio de los estados

Heos d#$;o /e e" es-%$#o de "os es.%dos es n es-%$#o9e$.o)#%", Po) "o .%n.o? .%" $oo o$))e en .odo es-%$#o 9e$.oJ)#%"? es -os#!"e es$o+e) n% !%se en e" es-%$#o , En es.% se$$#*n


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nos )e=e)#)eos % "%s !%ses d#s$)e.%s, En "% -)*@#% se$$#*n noso$-%)eos de "%s !%ses $on.#n%s,

Se% 5j6 n con!unto numerablede Qe.s e.#/e.%dos -o)e"sub'ndice discretoj 1? 2?,,,? n?,,, ? /e $-"en $on "% con-dicin de ortonormali#acin

j5Q jQ 1,28K

S# es -os#!"e e@-)es%) cual%uier9e$.o) de es.%do 5en "%=o)%

5 j$j5j 1,2:K

7 .odos "os $oe=#$#en.es $j/ed%n n


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MECNICA CUNTICA 2:

5 jj55j Yj5jj5Z 5 1,31K

"o $%" #-"#$% /e

j5jj5 I 1,32K

donde I es e" o-e)%do) #den.#d%d, Es.% 0".#% relacin? deno#Jn%d% de clausurao $#e))e? dese-e% n -%-e" =nd%en.%" ene$n#$% $n.#$%, Es %s##so =$#" os.)%) /e? s# se $J

-"en "%s $ond#$#ones de o).ono)%"#%$#*n 1,28K 7 de $"%s)%1,32K? cual%uier 9e$.o) de es.%do 5 -ede es$)#!#)se en "%=o)% 1,2:K, Lo $%" #-"#$% /e el con!unto numerable5j6es una base discreta en el espaciode los estados si y slo silos vectores 5jcumplen con las condiciones de ortonormali#a-cin y clausura,

A $on.#n%$#*n 9e%os "% e@-)es#*n de" -)od$.o es$%"%)

de dos 9e$.o)es 5 7 5 en .)#nos de ss $o-onen.es enn% !%se -%).#$"%) 5j6, S#

5 j!j5j 1,33%K

7 5 Q$Q5Q 1,33!K

e" -)od$.o es$%"%) de "os 9e$.o)es 57 5es

5 j!j j5K Q$Q5QK jQ!j$Qj5Q

jQ!j$QjQ j!j$j 1,34K

Es.% e@-)es#*n de" -)od$.o es$%"%) de 57 5es 9"#d% .%n.oen "os $%sos en /e es -os#!"e )e-)esen.%) d#$;os 9e$.o)es -o)


29/280


n% =n$#*n de ond% $oo en "os $%sos en /e .%" )e-)esen.%J$#*n no e@#s.e, En -%).#$"%)? e" $%d)%do de "% no)% de 5es

5 j 5$j52 1,3'K

P%)% $on$"#) es.% se$$#*n? 9o"9%os % des.%$%) "% %n%"oJ+


30/280

MECNICA CUNTICA 31

J En e" es-%$#o o)d#n%)#o? e" -)od$.o es$%"%) de "os 9e$.o)es ! V1e1$V2e2 V3e37 % `1e1$`2e2 `3e3es !.%V1`1 V2`2 V3`3 en e" es-%$#o ? e" -)od$.o es$%"%) de5 j!j5j7 5 Q$Q5Qes 5 j!j$j,


1,1&, Deos.)%) /e e" $oe=#$#en.e $j/e =#+)% en "% e@-)es#*n

1,2:K es. d%do -o) 1,3&K,1,11, Ve)#=#$%) /e s# se $-"en "%s $ond#$#ones de o).ono)%J

"#%$#*n 1,28K 7 de $"%s)% 1,32K? $%"/#e) 9e$.o) dees.%do 5-ede es$)#!#)se en "% =o)% 1,2:K,

1.&. Bases continuas en el espacio de los estados

Ades de "%s !%ses d#s$)e.%s? -)esen.%d%s en "% se$$#*n-)e9#%? es -os#!"e es$o+e) !%ses $on.#n%s en e" es-%$#o de "oses.%dos , Coo 9e)eos % $on.#n%$#*n? e" .)%.%#en.o de .%"es

!%ses es %n"o+o %" .)%.%#en.o de "%s !%ses d#s$)e.%s,

Se% 5_K6 n con!unto infinito no numerable de Qe.se.#/e.%dos -o) e" 'ndice continuo, Es -os#!"e deos.)%) /e"% no)% de 5_Ks#e-)e d#9e)+e? -e)o %/< nos "##.%)eos% d%) n -%) de eje-"os en "os $%"es se e9#den$#% .%" -)o-#eJd%d 7 %d#.#)eos? s#n -)e!%? /e s# e"


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_K5_WK aWK 1,3(K

donde aWK es "% de".% de D#)%$,

S# es -os#!"e e@-)es%) cual%uier5en "% =o)%

5 d$K 5_K 1,3K7 .odos "os $oe=#$#en.es $K /ed%n n


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MECNICA CUNTICA 33

/e es "% relacinde clausuraen e" $%so de "%s !%ses $on.#n%sI es e" o-e)%do) #den.#d%d? $oo en e" $%so de "%s !%ses d#s$)eJ.%sK, Se dees.)% =$#"en.e /e? s# se $-"en "%s $ond#$#oJnes de o).ono)%"#%$#*n 1,3(K 7 de $"%s)% 1,4&K? cual-%uier9e$.o) de es.%do 5-ede es$)#!#)se en "% =o)% 1,3K,Lo $%" #-"#$% /e el con!unto infinito no numerable5_K6es una base continua en el espaciode los estados si y slo silos vectores 5_Kcumplen con las condiciones de *ortonor-mali#acin+ 1,3(Ky de clausura 1,4&K,

P%)% o!.ene) "% e@-)es#*n de" -)od$.o es$%"%) de dos 9e$J.o)es de es.%do 57 5en .)#nos de ss $o-onen.es en n%

!%se -%).#$"%) 5_K6 e-e%os s-on#endo /e

5 d!K 5_K 1,41%K7 5 d$K 5_K 1,41!KPo) "o .%n.o? e" -)od$.o es$%"%) de 57 5es

5 d!K _K5K dW $WK 5_WKK ddW !K $WK _K5_WK ddW !K $WK WK

d!K $K 1,42K

7 e" $%d)%do de "% no)% de 5es

5 d5$K52 1,43KL% %n%"o+


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Tabla 1.1.Analoga entre la base del espacio ordinario SO(3), la base discreta

{|uj ! la base continua {|"()spacio *+(,) spacio

Base {e1# e$# e, discreta- |u!/ continua- |0()/+rtonorma

li2acin3 e!.ek" !k u!|uk" !k 0()|0(4)" (a4)

5lausura !e!e!." 6 !|u!u!| " 6 d|0()0()| " 67presindel &ector

V # !8!e!

$ # !9!e!

|" !c!|u!

|" !!|u!

|" dc() |0()|" d() |0()5omponentes 8!" e!.V c!" u!| c() " 0()|

%roductoescalar V.$ # !8!9! |" ! !3c!

|"d3() c()

3 n la l:nea de las relaciones de ortonormali2acin# ntese que en el caso de las asesdiscretas figura la delta de ;ronecker !k< y en el caso de las ases continuas figura la deltade =irac (a4).

P%)% =#n%"#%) es.% se$$#*n? s!)%7eos /e nes.)o %n"#Js#s -)es-one /e % $%d% 9%"o) de"


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MECNICA CUNTICA 3'

1,13, Ve)#=#$%) /e s# se $-"en "%s $ond#$#ones de o).ono)%J"#%$#*n 1,3(K 7 $"%s)% 1,4&K? $%"/#e) 9e$.o) de es.%Jdo 5-ede es$)#!#)se en "% =o)% 1,3K,

1.'. Dos eje(plos de )ases continuas* representaciones

+,r- y +,p-

En es.% se$$#*n 9%os % -)esen.%) dos !%ses $on.#n%s

/e dese-e%n n -%-e" =nd%en.%" en e$n#$% $n.#$%,Nes.)o -)#e) eje-"o de !%se $on.#n% se) e" $onjn.o

de "%s =n$#ones de".% de D#)%$ $en.)%d%s en "os d#s.#n.os -n.osr& de" es-%$#o o)d#n%)#o, V%os % %so$#%) 5r& % "% =n$#*n_rorK rr&K? de odo /e -odeos es$)#!#)

5r&_rorK r

r&K 1,44K

E" $onjn.o 5r&6 es n $onjn.o #n=#n#.o no ne)%!"e de Qe.se.#/e.%dos -o) e"


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En es.e $%so "% )e"%$#*n de $"%s)% se es$)#!e

d3)&5r&r&5 I 1,4K

7 e" $onjn.o #n=#n#.o no ne)%!"e 5r&6 es n% !%se $on.#n%en e" es-%$#o de "os es.%dos , L% e@-)es#*n de 5es

5 d3)&5r&r&5 d3)&r&55r& 1,48K

S-on#endo /e es -os#!"e %so$#%) "% =n$#*n de ond%rK % 5 7 .o%ndo ne9%en.e en $en.% "% de=#n#$#*n de

-)od$.o es$%"%) 1,(K? )es".%

r&5 d3) rr&K rK r&K 1,4:KEs #-o).%n.e s!)%7%) /e "% $o-onen.e de 5en 5r&n Qe.de "% !%se 5r&6K es e" n0e)o $o-"ejo d%do -o) e" 9%"o) /e

.o% "% =n$#*n de ond% rK en e" -n.o r&, En o.)%s -%"%!)%s?e" $onjn.o #n=#n#.oK de d#$;os 9%"o)es es e" $onjn.o de "%s#n=#n#.%sK $o-onen.es de" 9e$.o) de es.%do 5, Se d#$e /e la

funcin de ondarK es la representacin5r6 del estado5,

P%)% o!.ene) "% e@-)es#*n de" -)od$.o es$%"%) de "os 9e$J.o)es de es.%do 57 5en .)#nos de ss =n$#ones de ond%rK 7 rK ;%$eos

5 d3) rK 5r 1,'&%K

5 d3) rK 5r 1,'&!K

de donde


36/280

MECNICA CUNTICA 3

5 d3) rK r5K d3)W rWK 5rWK

d3

) d3

)W rK rWK r5rW d3) d3)W rK rWK rarWK

d3) rK rK 1,'1K

En -%).#$"%)? e" $%d)%do de "% no)% de 5es

5 d3) 5rK52 1,'2K

Nes.)o se+ndo eje-"o de !%se $on.#n% se) e" $onjnJ.o de =n$#ones /e )e-)esen.%n "%s ond%s -"%n%s de 9e$.o)es deond% p&.? donde .es "% $ons.%n.e de P"%n$Q d#9#d#d% en.)e 2,Coo en es.e $%so se %so$#% e" Qe. 5p& % "% =n$#*n _porK 2.K32 [email protected]&.rZ donde i es "% n#d%d #%+#n%)#%K? -oJdeos es$)#!#)

5p&_porK 2.K32

[email protected]&.rZ 1,'3KS#+#endo e" #so es/e% 7% .#"#%do -%)% es.d#%) "% !%se5r&6? $on$"#os /e? $oo

p&5p& d3) 5_porK52 1,'4K

d#9e)+e? 5p&no -ede se) no)%"#%do, En $%!#o? -es.o /e

p&5p&W p&ap&WK 1,''K

"os Qe.s de" $onjn.o 5p&6 $-"en $on "%s $ond#$#ones deo).ono)%"#%$#*n de "%s !%ses $on.#n%s d%d%s -o) 1,3(K,


37/280


L% )e"%$#*n de $"%s)% se es$)#!e

d3-&5p&p&5 I 1,'(Kdonde? % enos /e se #nd#/e "o $on.)%)#o? es.% #n.e+)%" 7 "%s/e s#+en so!)e d3-&se e@.#enden % .odo e" es-%$#o de "os 9e$J.o)es $%n.#d%d de o9##en.o p&K 7 e" $onjn.o #n=#n#.o no nJe)%!"e 5p&6 es n% !%se $on.#n% en e" es-%$#o de "os es.%dos, Po) "o .%n.o? "% e@-)es#*n de 5es

5 d

3

-&5p&p&5 d

3

-&p&55p& 1,'KS-on#endo /e es -os#!"e %so$#%) "% =n$#*n de ond%

rK % 5? )es".%

p&5 d3) _porK rK

2.K32d3) [email protected]&.rZ rK 1,'8KEn e" 0".#o #e!)o de 1,'8K =#+)% "% .)%ns=o)%d% de oJ)#e) de "% =n$#*n de ond% rK, Es.o es? "a transformada de

/ourier de la funcin de ondarK? /e se) deno.%d% -o) pK?es la representacin5p6 del vector5, L% .)%ns=o)%d% pK7 "% %n.#.)%ns=o)%d% rK $-"en $on "%s s#+#en.es )e"%$#oJnes

pK p5

2.K32d3) [email protected] rK 1,':%K7 rK r5

2.K32d3- [email protected] pK 1,':!KEn -%).#$"%)? s# en 1,'8K se )ee-"%% 5-o) 5r&se o!.#ene


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MECNICA CUNTICA 3:

p&5r& 2.K32d3) e@-Y

i.Kp&.rZ rar&K

2.K32

[email protected]&.r&Z 1,(&K"o $%" #-"#$%? $oo es s%!#do? /e "% .)%ns=o)%d% de o)#e)de n% de".% de D#)%$ es n% =n$#*n /e )e-)esen.% n% ond%

-"%n%,

En $%n.o %" -)od$.o es$%"%) de "os 9e$.o)es de es.%do5 7 5 en .)#nos de ss .)%ns=o)%d%s de o)#e) pK 7

pK de "%s =n$#ones de ond% rK 7 rK? es =$#" os.)%) /e5 d3- pK pK 1,(1K

7? en -%).#$"%)? /e e" $%d)%do de "% no)% de 5es

5 d3- 5pK52 1,(2K


1,14, ]Es "e+


39/280


1,1, S# no =e)% -os#!"e %so$#%) n% =n$#*n de ond% % 5?]$"es de "%s )e"%$#ones 1,44K J 1,'2K se+#)


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MECNICA CUNTICA 41

es.%dos , H%7 o.)%s !%ses en +ene)%"? n n0e)o #n=#n#.o dee""%sK 7 .%n.%s )e-)esen.%$#ones $oo !%ses,

Dada una base d#s$)e.% 5j6 $on.#n% 5_K6K la re-presentacin de5 j$j5j5 d$K 5_KK en dicabase es? -o) de=#n#$#*n? el con!unto de nmeros$j j5$K _K5K, Es s%" %+)-%) .%" $onjn.o de n0e)os en n%%.)# $o"n%? $oo se #"s.)% % $on.#n%$#*n

5

u1

|

u2|uj|

1,(4%K

N*.ese "% s##"#.d $on "% e@-)es#*n %.)#$#%" de" 9e$.o) %de"es-%$#o o)d#n%)#o /e =#+)% en "% T%!"% 1,1? 7 /e es. d%d% -o)

%W1W2W3 1,(4!KL% )e-)esen.%$#*n de 5 j !j j5 en "% !%se 5j6

5_K6K es e" $onjn.o de n0e)os !j 5j !K

5_KK, Es s%" es$)#!#) .%" $onjn.o de n0e)os $oo n%%.)# =#"%

5 |u1|u2. . . |uj 1,('%K/e es n% e@-)es#*n %n"o+% % "% de" 9e$.o) !de" es-%$#o o)d#Jn%)#o /e =#+)% en "% T%!"% 1,1 7 /e -ede es$)#!#)se


41/280


!

V1

V2

V3

1,('!K

As


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MECNICA CUNTICA 43

To%ndo en $en.% "% e$, 1,14K? se es.)% /e "% )e-)esen.%J$#*n %.)#$#%" de" %djn.o de A se es$)#!e

AX

A11 A21 Ak1 A12 A22 Ak2 A1j A2j Akj

1,(!K

En -%"%!)%s "% )e-)esen.%$#*n %.)#$#%" de AXes "% %.)# /e)es".% de .)%ns-one) "% %.)# /e )e-)esen.% A es.o es? de#n.e)$%!#%) =#"%s 7 $o"n%sK 7 .o%) e" $o-"ejo $onj+%dode $%d% no de ss e"een.os, L% )e-)esen.%$#*n %.)#$#%" de"%s e$%$#ones 5W A 57 W5 5 B no -)esen.% n#n+n%d#=#$".%d,

En +ene)%"? e" es-%$#o de "os es.%dos .#ene #n=#n#.%s d#Jens#ones, Po) "o .%n.o? e" $onjn.o de n0e)os /e )e-)esenJ.%n 5n Qe.K? 5 n !)%K? o A n o-e)%do)K? .%!#n es #nJ=#n#.o, A e=e$.os de e9#.%) )e-)esen.%$#ones /e #n9o"$)%n %J.)#$es de #n=#n#.%s d#ens#ones? 9%os % #n.)od$#) e" $on$e-.ode restriccinde Qe.s? !)%s 7 o-e)%do)esal subespacio /,

Se% 5j6 j 1? 2?,,, ? /K n $onjn.o de 9e$.o)es o).oJ

no)%"#%dos /e s%.#s=%$en "%s )e"%$#ones 1,2(K? 7 /e" s!esJ-%$#o /e s!.#enden d#$;os 9e$.o)es, E" -)o7e$.o) P/%" s!esJ-%$#o /es "% s% j 5jj5 d%d% -o) "% e$, 1,2K, En es.%s$ond#$#ones? "% )es.)#$$#*n de 5%" s!es-%$#o /es

5/ P/5 1,(8%K


43/280


"% )es.)#$$#*n de 5 %" s!es-%$#o /es

/5 5 P/ 1,(8!K

7 "% )es.)#$$#*n de" o-e)%do) A %" s!es-%$#o /es

A/ P/A P/ 1,(8$K

Es #-o).%n.e s!)%7%) /e "% %-"#$%$#*n de P/%n"% .od%s "%s$o-onen.es de n Qe.? n !)% o n o-e)%do)K /e $on.#enen%"+0n 9e$.o) o).o+on%" %" s!es-%$#o /, S# se o#.en "%s $oJ

-onen.es %s< %n"%d%s? .%n.o e" n0e)o de $o-onen.es de "%s)e-)esen.%$#ones de Qe.s 7 !)%s $oo e" n0e)o de d#ens#onesde "% )e-)esen.%$#*n de" o-e)%do) A se )ed$e % /, En -%).#$"%)?"% )es.)#$$#*n de P/%" s!es-%$#o /$o#n$#de $on "% %.)# #denJ.#d%d de / =#"%s -o) / $o"n%sK en /,


1,22, D%d% "% !%se 51? 52? 536? es$)#!#) "%s e@-)es#ones %J.)#$#%"es #K de 5 12K 51 12K 52 7 5 12K 52 12K 53 ##K de 5 7 5 ###K de" -)od$.o5 7 #9K de "os o-e)%do)es 55 7 55, ]Es %"+Jno de es.os o-e)%do)es n -)o7e$.o)^

1,23, A-"#$%) "os o-e)%do)es 5 5 7 5 5 de=#n#dos en e"eje)$#$#o %n.e)#o) 7 es$)#.os en =o)% %.)#$#%"? % 5 nQe. +en)#$o e@-)es%do .%!#n en =o)% %.)#$#%"K, ]b$oen.%)#os -ede ;%$e) so!)e e" )es".%do^

1,24, P%).#endo de "% e$, 1,14K? os.)%) /e "% )e-)esen.%$#*n%.)#$#%" de" %djn.o de A es. d%d% -o) 1,(!K,


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MECNICA CUNTICA 4'

1,2', Es$)#!#) "%s e$%$#ones 5W A 57 W5 5 B en =o)J% %.)#$#%",

1,2(, Mos.)%) /e "% )es.)#$$#*n de" -)o7e$.o) %" s!es-%$#o /d%do -o) "% e$, 1,2K $o#n$#de $on "% %.)# #den.#d%d de/ =#"%s -o) / $o"n%sK en /,

1.0. a()io de )ase

Los Qe.s 7 !)%s -eden )e-)esen.%) es.%dos de n s#s.e%7 "os o-e)%do)es -eden )e-)esen.%) $%n.#d%des =


45/280


L% )e-)esen.%$#*n de n o-e)%do) de-ende o!9#%en.e de"% !%se en "% $%" se e@-)es% -e)o no %s< ss -)o-#ed%des? $oo"% de se) o no n#.%)#o? se) o no ;e)


46/280

MECNICA CUNTICA 4

De" #so odo? se o!.#enen "%s $o-onen.es 59Qde 5 en"% !%se 59Q6 en .)#nos de "%s $o-onen.es 5jde 5 en "%

!%se 5j6

59Q j5jj59Q 1,1%K

7 )e$


47/280


1,3&, En$on.)%) "%s )e"%$#ones e/#9%"en.es % 1,1K en "os $%sosde $%!#o #K de n% !%se d#s$)e.% % o.)% $on.#n% 7 ##Kde n% !%se $on.#n% % o.)% .%!#n $on.#n%, ]C*o$%!#%)


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MECNICA CUNTICA 4:

En -)#e) "+%)? no.eos /e s# 5es n %.o9e$.o) de A$o))es-ond#en.e %" %.o9%"o) ? $%"/#e) 9e$.o) c 5? donde ces n n0e)o $o-"ejo? es .%!#n n %.o9e$.o) de A $o))esJ

-ond#en.e %" #so %.o9%"o) , En e=e$.o? -es.o /e

A c 5K c 5K 1,4K

/ed% deos.)%d% nes.)% %=#)%$#*n -)e9#%, Podeos? -o) "o.%n.o? %=#)%) /e .odo o-e)%do) A .#ene n $onjn.o #n=#n#.o de%.o9e$.o)es $o))es-ond#en.es %" #so %.o9%"o) , De e""os? 7s%"9o es-e$#=#$%$#*n en $on.)%)#o? s*"o )e.end)eos %/e""os/e $-"en $on "% $ond#$#*n de no)%"#%$#*n 5 1? -e)oes.% )es.)#$$#*n no )ee9e $o-"e.%en.e "% %!#+ed%d /e#n9o"$)% "% de.e)#n%$#*n de n %.o9e$.o) -o) $%n.o? s# 5es n %.o9e$.o) no)%"#%do de A $o))es-ond#en.e %" %.o9%"o)? e" 9e$.o) ei 5? donde es n n0e)o )e%"? .%!#n es n%.o9e$.o) no)%"#%do de A $o))es-ond#en.e %" %.o9%"o) ,

Todos "os Qe.s e

i

5/e )es".%n de od#=#$%) s#n $%!#%)5son $o"#ne%"es s*"o d#=#e)en en e" factor global de faseei,Coo 9e)eos? "% #nde.e)#n%$#*n de d#$;o =%$.o) no deseJ

-e% n#n+0n -%-e" )e"e9%n.e n# en "% )e-)esen.%$#*n de" es.%dode" s#s.e%? n# en "%s -)ed#$$#ones =


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'& MARA ESTHER BURGOS

%" #so %.o9%"o) ? se d#$e /e es degenerado de ordeno+)%doK +, Us%"en.e? e" o)den de de+ene)%$#*n + se #nd#$% enJ.)e -%)n.es#s % $on.#n%$#*n de" %.o9%"o) ? de odo /e sees$)#!e +K, No.%) /e e" o)den de de+ene)%$#*n de n %.o9%J"o) -ede se) =#n#.o o #n=#n#.o,

S# e" %.o9%"o) de" o-e)%do) A es de+ene)%do de o)den+? es s%" es$)#!#) "os + %.o9e$.o)es "#ne%"en.e #nde-end#enJ.es en "% =o)% 5jj 1? 2?? +K es #-o).%n.e des.%$%) /e e"s-)%


50/280

MECNICA CUNTICA '1

A e=e$.os de #"s.)%) "os $on$e-.os /e %$%!%os de -)eJsen.%)? $ons#de)eos e" -)o7e$.o) e"een.%" P 5 5, Se$%$#*n de %.o9%"o)es P 5 5 -ede es$)#!#)se en "%=o)%

55K 5 55 5 1,K

Es.% e$%$#*n .#ene dos so"$#ones s# 5 5? o!.eneJos 5 1? 7 s# 5 5? )es".% 5 &, Po) "o.%n.o? e" es-e$.)o de" o-e)%do) P$ons.% de dos %.o9%"o)es 1? /e es no de+ene)%do -es "e $o))es-onde s*"o e" %.o9e$.o)5 5 7 &, E" n0e)o de %.o9e$.o)es de P$o))es-onJd#en.es %" %.o9%"o) & $o#n$#de $on e" n0e)o de 9e$.o)es"#ne%"en.e #nde-end#en.es /e son o).o+on%"es % 5 7 -ede.o%) $%"/#e) 9%"o),


1,31, Deos.)%) /e .od% $o!#n%$#*n "#ne%" de "os %.o9e$.oJ)es de" o-e)%do) "#ne%" A $o))es-ond#en.es % n #so %J.o9%"o) es .%!#n n %.o9e$.o) de A $o))es-ond#en.e% ? 7 /e "% $o!#n%$#*n "#ne%" de dos %.o9e$.o)es de A$o))es-ond#en.es % dos %.o9%"o)es d#=e)en.es 7 W no esn %.o9e$.o) de A,

1,32, S-one) /e 5 $151 $252)e-)esen.% e" es.%do den s#s.e%, S# 5 e#$151 $252K 7 5 $1e#51 $2e#52donde 7 son dos n0e)os )e%"es 7 d#s.#nJ.os? #K ])e-)esen.%n 5 7 5 e" #so es.%do de" s#s.eJ%^ 7 ##K ])e-)esen.%n 57 5e" #so es.%do de" s#sJ.e%^


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'2 MARA ESTHER BURGOS

1,33, En "% Se$$#*n 1,8 -)o!%os /e e" -)o7e$.o) e"een.%" P 55 .#ene dos %.o9%"o)es 1 7 &, S# e" es-%$#ode "os es.%dos de $#e).o s#s.e% .9#e)% d#ens#*n 4? ]$"se)


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MECNICA CUNTICA '3

Es.e es n s#s.e% de N e$%$#ones "#ne%"es 7 ;oo+ne%s donJde =#+)%n "%s N #n$*+n#.%s $1? $2?,,, ? $N? 7 "% #n$*+n#.% en.o.%"? N1 #n$*+n#.%s, P%)% )eso"9e) d#$;o s#s.e% se ne$es#.%n% e$%$#*n %d#$#on%", Ades? -%)% /e .%" s#s.e% .en+% n%so"$#*n no .)#9#%" es ne$es%)#o /e e" de.e)#n%n.e de "os $oJe=#$#en.es de $Qse %n"e, Po) "o .%n.o? de!e $-"#)se /e

A11 A12 A1NA21

A22

A2N

AN1 AN2 ANN & 1,8&K

Es.% e$%$#*n? ""%%d% ecuacin caracter'stica o se$"%)K deA? .#ene N )%


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QAjQa 1jQK $Q & 1,82K

% "%s /e se %+)e+% "% $ond#$#*n de no)%"#%$#*n? d% n .o.%" deN e$%$#ones $on "%s N #n$*+n#.%s $j? "o $%" -e)#.e de.e)#n%)"%s N $o-onen.es de 5en "% !%se 5j6, S%"9o e" =%$.o) +"oJ

!%" de =%se? e" %.o9e$.o) 5/ed% n 1? N >

N a + 1? 7 e" n0e)o N de #n$*+n#.%s $js-e)% e" n0e)o dee$%$#ones #nde-end#en.es, Es.o #-"#$% /e no es -os#!"e o!J.ene) n% so"$#*n 0n#$%, P%)% o!.ene) n% so"$#*n -%).#$"%)?se =#j%n + a 1 $oe=#$#en.es en =o)% %)!#.)%)#% s%"9o -o) "% )esJ.)#$$#*n de /e ss *d"os no de!en s-e)%) e" 9%"o) 1K, Los

N a + 1 $oe=#$#en.es )es.%n.es se o!.#enen de "%s N a + 1

e$%$#ones #nde-end#en.es, Pes.o /e se ;%n =#j%do + a 1 $oJe=#$#en.es en =o)% %)!#.)%)#%? en es.e $%so e" %.o9e$.o) 5noes 0n#$o, De ;e$;o? s#e-)e ;%7 #n=#n#.os %.o9e$.o)es no $o"#Jne%"es $o))es-ond#en.es % n %.o9%"o) $7o o)den de de+eneJ)%$#*n es + >1, Todos e""os -e).ene$en %" %.os!es-%$#o $oJ))es-ond#en.e %" %.o9%"o) ,

V%os % #"s.)%) es.os $on$e-.os $on e" s#+#en.e eje-"o,

Se% A n o-e)%do) "#ne%" /e %$.0% en n es-%$#o de d#ens#*nN 3, S )e-)esen.%$#*n %.)#$#%" en "% !%se 51? 52? 536 es

A a0 1 01 0 00 0 1 1,83Kdonde aes n% $ons.%n.e )e%"? 7 s e$%$#*n $%)%$.e)


54/280

MECNICA CUNTICA ''

0 00 0 & 1,84KL%s )%


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'( MARA ESTHER BURGOS

a

0 1 01 0 00 0 1 123 a

123 1,8K

de donde )es".% $2 $1 es #-o).%n.e s!)%7%) /e? $oo "%de+ene)%$#*n de" %.o9%"o) 2es + 2? e" n0e)o de e$%$#ones#nde-end#en.es d%d%s -o) 1,8'K se )ed$e de N 3 % N a 2 1K, Pes.o /e + a 1 1? -%)% o!.ene) n% so"$#*n se =#j% un$oe=#$#en.e en =o)% %)!#.)%)#%, Un% e"e$$#*n -os#!"e es $1 &,Po) "o .%n.o? .o%ndo en $en.% "% $ond#$#*n de no)%"#%$#*n?

se o!.#ene e" %.o9e$.o) de A $o))es-ond#en.e %" %.o9%"o) 2a

521 53 1,88%K

O.)% e"e$$#*n -os#!"e es $3 &, De donde? .o%ndo en $en.% "%$ond#$#*n de no)%"#%$#*n? se o!.#ene e" %.o9e$.o) de A $oJ))es-ond#en.e %" %.o9%"o) 2 a

522 12K 51 12K 52 1,88!K

L% e@-)es#*n de "os #n=#n#.os %.o9e$.o)es no $o"#ne%"es $o))esJ-ond#en.es %" %.o9%"o) 2 aes

52 d1521 d2522 1,88$K

donde d17 d2-eden .o%) $%"/#e) 9%"o) en es.e 0".#o %nJ"#s#s ;eos .#"#%do "% no.%$#*n s%" -%)% dos %.o9e$.o)es$o))es-ond#en.es %" #so %.o9%"o) 9e) se$$#*n 1,8, Todos "os9e$.o)es 52 -e).ene$en %" %.os!es-%$#o $o))es-ond#en.e %"%.o9%"o) 2 a 9e) #+, 1,3,


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MECNICA CUNTICA '

Fig. 1.,. l >nico auto&ector de A correspondiente al auto&alor aes |1-la dimensin del autosuespacio 1es 1. os auto&ectores |$1#|$$y todas sus cominaciones lineales corresponden al auto&alor +a:el autosuespacio $tiene dimensin $.


1,34, D%do e" o-e)%do) "#ne%" A 7 "% !%se 5j6? #nd#$%) $"es

de "os e"een.os /e =#+)%n en "%s e$, 1,:K se s-onen$ono$#dos,

1,3', L% e$%$#*n $%)%$.e)


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1,3(, Ve)#=#$%) /e .%n.o YP5Z $oo YI a PK 5Z son %.oJ9e$.o)es de" -)o7e$.o) e"een.%" P 5 5 )es-e$.#9%Jen.e $o))es-ond#en.es % "os %.o9%"o)es 1 7 &,

1.17. Operadores her(ticos

Po) de=#n#$#*n? n operador erm'ticoo %.o%djn.oK es

%/e" /e s%.#s=%$e "% $ond#$#*n

AX A 1,8:K

C%!e des.%$%) /e es.os o-e)%do)es .#enen dos -)o-#ed%des )eJ%)$%!"es #K los autovalores de un operador erm'tico sonreales( 7 ##K dos autovectores de un operador erm'tico co-rrespondientes a dos autovalores diferentes son ortogonales

entre s')

P%)% deos.)%) /e "os o-e)%do)es ;e)


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MECNICA CUNTICA ':

5 A 5 5 1,:&$K

Co-%)%ndo 1,:&%K $on 1,:&$K $on$"#os /e

1,:1K

es.o es? /e "os %.o9%"o)es de n o-e)%do) ;e)


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(& MARA ESTHER BURGOS

7 5 A 5 5 1,:4!K

7? $oo ? $on$"#os /e

5 & 1,:'K

"o $%" #-"#$% /e 57 5son o).o+on%"es, Lo #so 9%"e?o!9#%en.e? -%)% "os %.os!es-%$#os ? $o))es-ond#en.e %"%.o9%"o) ? 7 ? $o))es-ond#en.e %" %.o9%"o) ,


1,3, P)o!%) /e e" -)o7e$.o) P/d%do -o) 1,2K es ;e)


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MECNICA CUNTICA (1

s#*n +nK $o))es-ond#en.e %" %.o9%"o) n, En es.e $%so "% e$%J$#*n de %.o9%"o)es es

A 5nj n5nj 1,:(K

Po) n% -%).e? ;eos os.)%do /e dos %.o9e$.o)es de A-e).ene$#en.es % dos s!es-%$#os $o))es-ond#en.es % %.o9%"o)esd#=e)en.es son o).o+on%"es en.)e s


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(2 MARA ESTHER BURGOS

"% en.end#endo? $"%)o es.? /e no se .)%.% s /e de" no!)ed%do % $#e).o .#-o de o-e)%do)es ;e)


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MECNICA CUNTICA (3

1

0 0 0 0 1

0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 ! 0 0 !

1,1&1K

donde los elementos de la diagonal, %ue son los autovaloresnde A, aparecen repetidos +nveces)Po) e" $on.)%)#o? en n% !%sed#s.#n.% de "% de ss %.o9e$.o)es 5nj? "% )e-)esen.%$#*n de Ano es d#%+on%",

Se% 5-6 - 1? 2?,,,K n% !%se en "% $%" "% )e-)esen.%J$#*n de A no es d#%+on%", Un% 9e ;%""%dos "os %.o9e$.o)es5njde A? se -ede o!.ene) "% %.)# d#%+on%" /e "% )e-)esen.%en "% !%se 5nj6, As##so? el procedimiento %ue permite 0i1determinar los autovalores y autovectores de A?y 0ii1 escribirla representacin de A en la base de sus autovectores, se de-nomina proceso de diagonali#acin de la matri# A,

V%os % #"s.)%) es.os $on$e-.os d#%+on%"#%ndo "% %.)#Ad%d% -o) 1,83K? /e es "% )e-)esen.%$#*n de" o-e)%do) A en"% !%se 51? 52? 536, En "% Se$$#*n 1,: os.)%os /e "os%.o9%"o)es de A son 1 a a1K 7 2 a2K /e 51? d%do

-o) 1,8(K? es e" %.o9e$.o) $o))es-ond#en.e % 1 7 /e 5217522? d%dos -o) 1,88K? son dos %.o9e$.o)es de A $o))es-onJd#en.es %" %.o9%"o) 2, To%ndo en $en.% es.os )es".%dos sees.)% /e A es n o!se)9%!"e $7% )e-)esen.%$#*n A en "%

!%se 51? 521? 5226 es


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A a

1 0 00 1 00 0 1 1,1&2K

L% [email protected]#*n de" $on$e-.o de o!se)9%!"e %" $%so en /e e"es-e$.)o de A no es


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MECNICA CUNTICA ('


1,3:, Deos.)%) /e $%"/#e) o!se)9%!"e A -ede e@-)es%)se$oo A nnPn? donde Pn j5njnj5 es e" -)o7e$J.o) %" %.os!es-%$#o $o))es-ond#en.e %" %.o9%"o) n, 2u-

gerencia Mos.)%) /e "% %-"#$%$#*n de" o-e)%do) nnPn7 "% %-"#$%$#*n de" o-e)%do) A % n Qe. de "% !%se 5nj6d%n e" #so )es".%do,

1,4&, P)o!%) /e "% )e-)esen.%$#*n de n o!se)9%!"e A en "%

!%se de ss %.oes.%dos .#ene "% =o)% d%d% -o) "% e$,1,1&1K,

1,41, O!.ene) "% e@-)es#*n 1,1&1K -%).#endo de "% e$, 1,1&&K,

1,42, Mos.)%) /e e" o-e)%do) A? $7% )e-)esen.%$#*n en "% !%se51? 52? 536 es "% %.)# Ad%d% -o) 1,83K? es n o!Jse)9%!"e 7 9e)#=#$%) /e "% )e-)esen.%$#*n Ade A en "%

!%se 51? 521? 5226 es. d%d% -o) 1,1&2K, ]b $oJ

en.%)#os -eden ;%$e)se so!)e es.e )es".%do^1,43, Se% Sne" o-e)%do) /e )e-)esen.% "% $o-onen.e de" es-


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(( MARA ESTHER BURGOS

#K d%) "% )e-)esen.%$#*n %.)#$#%" de Sn 6.nen "% !%sede "os %.o9e$.o)es de S ##K ;%""%) "os %.o9%"o)es 7 "os%.o9e$.o)es de Sn 7 ###K 9e)#=#$%) /e s# n 8? Sn$o#n$#Jde $on S@ .2K @,

1,44, P%).#endo de "% e@-)es#*n d3) @ 5r r5? 7 %n"o+%s-%)% 7 F? 9e)#=#$%) /e /es n o!se)9%!"e,

1.12. :os o)ser4a)les posicin y cantidad de (o4i(iento

V%os % d%) dos eje-"os de o!se)9%!"es /e .#enen nes-e$.)o


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MECNICA CUNTICA (

Es.o s#+n#=#$% /e s# e" o-e)%do) $%!#% e" Qe. 5-o)

5W 5 1,1&:%K

"%s )e-)esen.%$#ones 5r6 de 57 5Ws%.#s=%$en "% )e"%$#*n

WrK @ rK 1,1&:!K

L% %-"#$%$#*n de" o-e)%do) %" Qe. 5-)od$e e" #so e=e$.o/e "% ".#-"#$%$#*n -o) @ de rK, O!9#%en.e se $-"en)e"%$#ones %n"o+%s -%)% "%s $o-onen.es 7 7 de" o-e)%do)

-os#$#*n /,

De" #so odo? s# P@P7? PK es e" o-e)%do) /e )e-)eJsen.% "% $o-onen.e @ 7? K de" o-e)%do) $%n.#d%d de o9#J#en.o "#ne%" P#e" %.o9e$.o) de P$o))es-ond#en.e %" %.o9%"o)

-@&-7&? -&K? deno.%do -o) 5p&? s%.#s=%$e "%s e$%$#ones de %J

.o9%"o)esP@5p& -@&5p& 1,11&%K

P75p& -7&5p& 1,11&!K

7 P5p& -&5p& 1,11&$K

En $onse$en$#%p5 P@5 -@p5 1,111%K

p5 P75 -7p5 1,111!K

7 p5 P5 -p5 1,111$K


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Es -os#!"e os.)%) /e en "% )e-)esen.%$#*n 5r6 e" o-e)%do) P$o#n$#de $on e" o-e)%do) d#=e)en$#%" fiK ? n )es".%do /ese+)%en.e e" "e$.o) 7% $ono$e,

Ten#endo en $en.% "%s )e"%$#ones 1,1&K 7 1,11&K? se-ede -)o!%) /e

Y? Z Y? Z Y? FZ

Y? Z Y? FZ YF? FZ & 1,112%K

7 /e

YP@? P@Z YP@? P7Z YP@? PZ

YP7? P7Z YP7? PZ YP? PZ & 1,112!K

P%)% o!.ene) e" $on.%do) Y? P@Z? $ons#de)%os s %-"#$%$#*n% n Qe. +en)#$o 5? 7 nos s#.%os en "% )e-)esen.%$#*n 5r6,

Pes.o /e

r5 Y? P@Z 5 r5 P@5K a r5 P@ 5K 1,113%K

.o%ndo en $en.% /e "% )e-)esen.%$#*n 5r6 de P@ $o#n$#de$on fiK @K? se o!.#ene

r5 Y? P@Z 5 @ r5 P@5K a fiK @K r5 5K6

fiK @ @ r5a fiK @ @ r5K

a fiK r5K 1,113!K

7? %n"o+%en.e? r5 Y? P7Z 5 r5 YF? PZ 5 a fiK r5de donde


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MECNICA CUNTICA (:

Y? P@Z Y? P7Z YF? PZ if 1,113$K

En =o)% s##"%) se dees.)% /e

Y? P7Z Y? PZ Y? P@Z

Y? PZ YF? P@Z YF? P7Z & 1,114K

No.%) /e los observables posicin y cantidad de movi-miento no conmutan, A -%).#) de es.%s e$%$#ones es -os#!"e

ded$#) "%s )e"%$#ones de He#sen!e)+ /e =#+)%n en "% 9e)s#*n=o)%" de" -)#n$#-#o de #n$e).#d!)e,

#n%"en.e? s!)%7eos /e $oo "os o-e)%do)es / ?? FK 7 PP@? P7? PK son ;e)


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MECNICA CUNTICA 1

Pes.o /e YA? BZ & 7 A 5 5? -odeos es$)#!#)

A B 5 B A 5 B 5K 1,118K

"o $%" -)e!% e" Teo)e% I, Peden -)esen.%)se dos $%sos S# e"%.o9%"o) es no de+ene)%do? e" Qe. B 5es =o)os%en.e -)oJ

-o)$#on%" % 5? 7 5es .%!#n n %.o9e$.o) de B, Po) e" $onJ.)%)#o? s# e" %.o9%"o) es de+ene)%do s*"o -ede %=#)%)se /ee" Qe. B 5-e).ene$e %" %.os!es-%$#o $o))es-ond#en.e %"%.o9%"o) , En o.)%s -%"%!)%s? "% %$$#*n de B -ede od#=#$%)5 .)%ns=o)ndo"o en o.)o 9e$.o) no ne$es%)#%en.e $o"#ne%"$on 5? -e)o no -ede $on9e).#)"o en n 9e$.o) -e).ene$#en.e %n s!es-%$#o d#s.#n.o de 9e) #+, 1,4,

Corolario S# "os o!se)9%!"es A 7 B $on.%n? "os %.oJs!es-%$#os $o))es-ond#en.es % "os d#s.#n.os %.o9%"o)es de Ason +"o!%"en.e #n9%)#%n.es !%jo "% %$$#*n de B,

Teorema 33 S# "os o!se)9%!"es A 7 B $on.%n? 7 s# 517 52 son dos %.o9e$.o)es de A )es-e$.#9%en.e $o))es-onJd#en.es % "os %.o9%"o)es d#=e)en.es 1 7 2? "os e"een.os de%.)# 25 B 51son n"os,

De %$e)do $on e" Teo)e% I? s# 51es n %.o9e$.o) deA $o))es-ond#en.e %" %.o9%"o) 1? e" Qe. B 51 .%!#n es n%.o9e$.o) de A $o))es-ond#en.e %" %.o9%"o)

1, Pe)o $oo

52 es n %.o9e$.o) de A $o))es-ond#en.e %" %.o9%"o) 2? 7dos %.o9e$.o)es de n o-e)%do) ;e)


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Fig. 1.?. n el caso en que @A# B " - si |1es un auto&ector de A correspondiente a un auto&alor de A no degenerado# B |1y |1soncolineales< si |$1 es un auto&ector de A correspondiente a un

auto&alor de A dolemente degenerado# B |$1pertenece al autosuespacio $pero no necesariamente es colineal con |$1.

Teorema 333 S# "os o!se)9%!"es A 7 B $on.%n? es -os#J!"e ;%""%) n% !%se en e" es-%$#o de "os es.%dos $7os e"eenJ.os son %.o9e$.o)es $ones % A 7 B,

Se% A n o!se)9%!"e $7os %.o9%"o)es n n 1? 2?K.#enen o)den de de+ene)%$#*n +n -o) s#-"#$#d%d nos )e=e)#)eJos 0n#$%en.e %" $%so en /e s es-e$.)o es


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MECNICA CUNTICA 3

A 5nj n5nj 1,11:%K

donde j 1? 2?,,, ? +n? 7 "%s )e"%$#ones de o).ono)%"#%$#*n 7$"%s)% se es$)#!en

nj

5Q njQ 1,11:!K

7 n?j5njnj5 I 1,11:$K

Coo YA? BZ &? .o%ndo en $en.% e" Teo)e% II se-ede %=#)%) /e s# n "os e"een.os de %.)# nj5 B 5Qse %n"%n -%)% .odo -%) j? QK,

V%os % o)den%) "os %.o9e$.o)es de A de" s#+#en.e oJdo 511? 512?,,, ? 51+1/e -e).ene$en %" %.os!es-%$#o 1$o))es-ond#en.e %" %.o9%"o) 1K 521? 522?,,, ? 52+2/e -e)J.ene$en %" %.os!es-%$#o 2$o))es-ond#en.e %" %.o9%"o) 2K

e.$, Po) n% -%).e? "% %.)# /e )e-)esen.% e" o!se)9%!"e B en "%!%se de "os %.o9e$.o)es de 5nj6? o)den%dos $oo ;eosd#$;o? es

%11 0 0 0 %22 0 0 0 %!!

1,12&%K

donde Bnnes "% )es.)#$$#*n de B %" s!es-%$#o n7 "$e $oo se#"s.)% % $on.#n%$#*n


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!1| % |!1 !1| % |!2 !1| % |!&!

!2| % |!1 !2| % |!2 !2| % |!&!!3| % |!1 !3| % |!2 !3| % |!&! !&!| % |!1 !&!| % |!2 !&!| % |!&!

1,12&!K

? -o) o.)%? de %$e)do $on "%s e$, 1,1&&K 7 1,1&1K "% )eJ-)esen.%$#*n de A en "% !%se de ss %.o9e$.o)es 5nj6 es

A11 0 0 0 A22 0 0 0 A!!

1,121%K

donde Annes "% )es.)#$$#*n de A %" s!es-%$#o n7 .#ene e" s#J+#en.e %s-e$.o

!

0 00 ! 0 0 0 ! 1,121!K

o? "o /e es "o #so?

Ann nIn 1,121$K


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MECNICA CUNTICA '

donde Ines "% %.)# #den.#d%d en n9e) Se$$#*n 1,(K, H%7 /edes.%$%) "% d#=e)en$#% esen$#%" en.)e "%s )es.)#$$#ones Ann7 Bnns%"9o n n0e)o? "% -)#e)% es "% #den.#d%d #en.)%s /e "%se+nd% n# s#/#e)% es ne$es%)#%en.e d#%+on%",

A $on.#n%$#*n? 9%os % d#%+on%"#%) "% %.)# Bnn, CoJo #nd#$%os en "% Se$$#*n 1,11? en -)#e) "+%) se de.e)#n%n"os %.o9e$.o)es de Bnn, D#$;os %.o9e$.o)es? /e -e).ene$en %"s!es-%$#o n? se)n deno.%dos -o) 5nQQ 1? 2? ,,,? +nK 7 -eJden e@-)es%)se de" s#+#en.e odo

5nQ j$j5nj 1,122K

"o $%" #-"#$% /e "os 5nQson .%!#n %.o9e$.o)es de" o!Jse)9%!"e A $o))es-ond#en.es %" %.o9%"o) n 9e) Se$$#*n 1,8K,Un% 9e o!.en#dos "os 5nQ7 .o%ndo en $en.% "%s e$, 1,3K?se o!.#enen "%s )es.)#$$#ones de Ann7 Bnnen "% !%se 5nQ6,

Po) n% -%).e? "% )es.)#$$#*n Bnnes$)#.% en "% !%se de ss%.o9e$.o)es 5nQ6 es n% %.)# d#%+on%" 9e) Se$$#*n 1,11,? -o) o.)%? $oo de %$e)do $on "% e$, 1,121$K "% )es.)#$$#*nAnn es "% %.)# #den.#d%d ".#-"#$%d% -o) n n0e)o? d#$;%)es.)#$$#*n no se od#=#$% $%ndo se $%!#% de !%se, Podeos?en $onse$en$#%? $on$"#) /e "% !%se 5nQ6 es $o0n % Ann7Bnn, P)o$ed#endo de" #so odo en "os d#s.#n.os s!es-%$#os

nn 1? 2?,,,K? se o!.#ene n% !%se $o0n % "os o!se)9%!"es A7 B? /e es "% !%se en "% $%" "%s )e-)esen.%$#ones de %!oso!se)9%!"es son d#%+on%"es, Po) "o .%n.o? /ed% deos.)%do e"Teo)e% III,


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( MARA ESTHER BURGOS


1,'&, P)o!%) /e s# e@#s.e n% !%se de %.o9e$.o)es $ones %"os o!se)9%!"es A 7 B? d#$;os o!se)9%!"es $on.%n, 2u-gerencia Es$)#!#) "% )e-)esen.%$#*n %.)#$#%" de "os o!Jse)9%!"es A 7 B en "% !%se de ss %.o9e$.o)es $ones,

1,'1, En "% !%se de "os %.o9e$.o)es de L? "%s %.)#$es

L@ .42K 0 1 01 0 10 1 0 1,123%KL7 .42K 0 ' 0' 0 '0 ' 0 1,123!K

7 L .

1 0 00 0 00 0 1 1,123$K

)e-)esen.%n "%s )es.)#$$#ones de "%s $o-onen.es @? 7 7 de" oen.o %n+"%) % n s!es-%$#o de d#ens#*n 3,De$#) #K s# L@7 L7son o no ;e)


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MECNICA CUNTICA

%n+"%) o)!#.%" n 9%"o) !#en de=#n#do^ Re-e.#) e" eje)$#$#oen e" $%so en /e e" es.%do de" s#s.e% es n %.o9e$.o) deL@,

1.1&. antidades


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Cons#de)eos? -o) eje-"o? e" $%so de" .oo de ;#d)*J+eno? donde "%s $%n.#d%des =


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MECNICA CUNTICA :

es.%do -%)% e" $%" "% $o-onen.e @ de "% -os#$#*n 7 "% $o-oJnen.e -@de "% $%n.#d%d de o9##en.o .oen? %" #so .#e-o?9%"o)es !#en de=#n#dos, En e" Te% 2 os.)%)eos /e "%s $%nJ.#d%des =


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MECNICA CUNTICA 81

donde bes n% $ons.%n.e )e%", #K De$#) s# 51 52? 53Kes o no n %.o9e$.o) de A 7 s# es o no n %.o9e$.o) deB ##K os.)%) /e n# A6 n# B6 son CC ###K -)o!%) /eA? B6 es n CC #9K en$on.)%) "% !%se $o0n % A 7 B 79K es$)#!#) "%s )e-)esen.%$#ones de A 7 B en d#$;% !%se,

1.1'. El operador paridad

"l operador paridad? /e deno.%)eos -o) ? se de=#ne-o) s %$$#*n so!)e e" Qe. 5rde %$e)do $on "% s#+#en.e )e"%J$#*n

5r 5ar 1,12K

L% %-"#$%$#*n de % n Qe. %)!#.)%)#o 5%))oj% e" )es".%do

5 d3

) 5rr5d3

) rK 5r d3) rK 5ar d3)W arWK 5rW 1,128K

donde se ;% ""%%do rW % [r, C%!e des.%$%) /e? $oo rK esn% =n$#*n? e" o-e)%do) $on.% $on rK, Po) o.)% -%).e?;%$#endo

5 d3)W 5rWrW5 d3)W rWK 5rW 1,12:K

9eos /e "% %-"#$%$#*n de % 5 -)od$e e@%$.%en.e e"#so e=e$.o /e e" )ee-"%o de rW -o) arW en rWK rW5,

Coo

r55 d3)W arWK r5rW arK 1,13&%K


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7? .o%ndo en $en.% 1,12K? -odeos es$)#!#)

r5X5 ar5 arK 1,13&!K

$on$"#os /e

X 1,131K

es.o es? /e es ;e)


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MECNICA CUNTICA 83

5 5 1,134%K

7 se deno#n%n -%)es 7 "os %.o9e$.o)es de $o))es-ond#en.es%" %.o9%"o) a1 s%.#s=%$en "% e$%$#*n

5a a 5a 1,134!K

7 se deno#n%n #-%)es,

Los o-e)%do)es .%!#n se $"%s#=#$%n en -%)es e #-%)es,

Po) de=#n#$#*n? un operador parAsatisface la condicin

A A 1,13'%K

7 n o-e)%do) #-%) Aas%.#s=%$e "% $ond#$#*n

Aa aAa 1,13'!K

En o.)%s -%"%!)%s? "os o-e)%do)es -%)es $on.%n 7 "os #-%)es%n.#$on.%n $on ,

Coo es s%!#do? $%"/#e) =n$#*n =rK -ede e@-)es%)seen "% =o)%

=rK =rK =arK 1,13(K

donde =rK 12K Y=rK =arKZ es n% =n$#*n -%) 7 =arK 12K Y=rK a =arKZ es n% =n$#*n #-%), An"o+%en.e? .odoQe. 5es "% s% de n Qe. -%) 57 n Qe. #-%) 5a,

P%)% de.e)#n%) "% -%)#d%d de "os o-e)%do)es /e )e-)eJsen.%n "%s $o-onen.es de "% -os#$#*n? $%"$"%os "% %$$#*n de so!)e e" Qe. 5r


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5r @ 5r @5r @ 5=r 1,13%K

7? % $on.#n%$#*n? "% de so!)e e" #so Qe., Res".%

5r 5=r a @ 5=r 1,13!K

de donde? $oo &? $on$"#os /e es un ope-rador impar "% -)e!% de /e "%s )es.%n.es $o-onen.es de "%

-os#$#*n son .%!#n #-%)es es .)#9#%"K, De odo s##"%) se

dees.)% /e .%!#n "%s $o-onen.es de" o-e)%do) $%n.#d%dde o9##en.o "#ne%" Pson #-%)es, Po) e" $on.)%)#o? e" o-e)%Jdo) P2es -%) 7 "o #so o$))e $on e" o-e)%do) /e )e-)esen.%"% ene)+


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"o $%" s#+n#=#$% /e s# 51K es e" es.%do de "% -%).


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MECNICA CUNTICA 8

de n s#s.e% de dos o s -%).


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7 BW2K I1K B2K 1,144!K

donde I1K e I2K son )es-e$.#9%en.e "os o-e)%do)es #den.#d%den 1K 7 2K, No o!s.%n.e? $%ndo no se -)es.% % $on=s#*n? ess%" o#.#) "%s #den.#d%des I1K e I2K 7 deno.%) -o) e" #sos


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MECNICA CUNTICA 8:


1,(&, Se% n s#s.e% de dos -%).


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MECNICA CUNTICA 1


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MECNICA CUNTICA :1

TEMA 2,

LOS POSTULADOS DE LA MECANICACUANTICA NO RELATIVISTA

2,1, Pos."%dos )e=e)#dos % "% )e-)esen.%$#*n de es.%dos 7 $%n.#Jd%des =d#n+e), 2,3, S#s.e%s$onse)9%.#9os, 2,4, Es.%dos es.%$#on%)#os? $ons.%n.es de o9#J#en.o? =)e$en$#%s de Bo;) 7 )e+"%s de se"e$$#*n, 2,', Pos."%J

dos )e=e)#dos % "% ed#$#*n, 2,(, L%s -)ed#$$#ones e@-e)#en.%J"es de "% e$n#$% $n.#$%, 2,(,1, Med#$#*n de n% $%n.#d%d=


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:2 MARA ESTHER BURGOS

=#$%n o#.en %"+no de "os -os."%dos de "% 9e)s#*n o).odo@%,Son? -o) "o .%n.o? .eo)


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MECNICA CUNTICA :3

2.1. Postulados re


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MECNICA CUNTICA :'

Po) e" $on.)%)#o? en mecnica cuntica el concepto central es elde sistema, E" Pos."%do I nos d#$e /e e" es.%do de n s#s.e%es n 9e$.o) de" es-%$#o de "os es.%dos ? "o $%" des$%).%? desdee" #n#$#o? "% de.e)#n%$#*n de d#$;o es.%do .%n.o -o) s -os#$#*n7 9e"o$#d%d $oo -o) s 9e$.o) de ond% 7 =)e$en$#%,

?.c, En "% 9e)s#*n o)#+#n%" de" Pos."%do I? en "+%) de "%e@-)es#*n es-%$#o de "os es.%dos =#+)% "% e@-)es#*n es-%J$#o de H#"!e).? /e es e" es-%$#o de "os 9e$.o)es Qe.s? =n$#oJnes de ond%K no)%"#%!"es, En "% Se$$#*n 1,1 se%"%os /e e"es-%$#o de "os es.%dos es n es-%$#o de H#"!e). es.o #-"#$%/e todo ket %ue represente el estado del sistema debe satisfa-cer la condicin

5 N 2,1K

donde Nes un nmero real y positivo, Ms %0n? en +ene)%" es

$on9en#en.e )e-)esen.%) e" es.%do de" s#s.e% -o) n Qe. no)%J"#%do )e$o)deos /e -%)% no)%"#%) 5!%s.% $on ".#-"#J$%)"o -o) Na12K? de odo /e /ede de=#n#do s%"9o n =%$.o)+"o!%" de =%se,

E" %.o9e$.o) 5r&de" o-e)%do) -os#$#*n /? $7% )e-)esenJ.%$#*n 5r6 es "% de".% de D#)%$ rar&K? no es no)%"#%!"e, Lo#so o$))e $on $%"/#e) %.o9e$.o) de n o!se)9%!"e $oJ

))es-ond#en.e % n %.o9%"o) s#.%do en "% -%).e $on.#n% de ses-e$.)o 7 s.e es? en -%).#$"%)? e" $%so de" %.o9e$.o) 5p&de"o-e)%do) $%n.#d%d de o9##en.o P? $7% )e-)esen.%$#*n 5r6es "% =n$#*n _porK [email protected]&.rZ 9e) Se$$#*n 1,',E" %.o9e$.o) 5r& )e-)esen.% e" es.%do de n% -%).


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:( MARA ESTHER BURGOS

en.e -)e$#s% p& -e)o n# 5r&n# 5p&-e).ene$en %" es-%$#o de "oses.%dos de" s#s.e%, E" Pos."%do I no so"%en.e nos d#$e /e e"es.%do de" s#s.e% no /ed% de.e)#n%do -o) "%s 9%)#%!"es -os#J$#*n 7 $%n.#d%d de o9##en.o? s#no /e %des -)o;#!e /e e"s#s.e% es. en n es.%do $o))es-ond#en.e % n% -os#$#*n o n%$%n.#d%d de o9##en.o -e)=e$.%en.e !#en de=#n#d%s,

?.d, De %$e)do $on e" Pos."%do I? "os es.%dos de" s#s.e%-e).ene$en %" es-%$#o de "os es.%dos ? /e es n es-%$#o 9e$.oJ)#%","l primer postulado implica el principio de superposicin

-es .od% $o!#n%$#*n "#ne%"

5 j$j5j 2,2K

de "os es.%dos 5jde" s#s.e% donde $jes n n0e)o $o-"eJjoK -e).ene$e .%!#n %" es-%$#o 7 es? %s##so? n -os#!"ees.%do de" s#s.e%,

?.e, E" Pos."%do I es.%!"e$e /e "os 9e$.o)es de" es-%$#o des$)#!en completamente"os es.%dos de" s#s.e% en es.e -n.o"% 9e)s#*n de" -)#e) -os."%do /e %/< )e-o).%os $o#n$#de$on "% 9e)s#*n o)#+#n%", bed%n -o) "o .%n.o e@$"#d%s de "% .eoJ)


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MECNICA CUNTICA :

Comentarios:

??.a, L% 9e)s#*n o)#+#n%" de" se+ndo -os."%do d#$e A$%d% o!se)9%!"e8"e $o))es-onde 0n#$%en.e n o-e)%do) %.oJ%djn.o /e %$.0% en , No.eos "% d#=e)en$#% de noen$"%.J)% en "% 9e)s#*n ode)n% "% e@-)es#*n $%n.#d%d =


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:8 MARA ESTHER BURGOS

%nj5%Q njQ 2,3!K

n?j5%nj%nj5 I 2,3$K

de odo /e en "% !%se de ss %.o9e$.o)es e" o!se)9%!"e A sees$)#!e

A n%nj5%nj%nj5 2,3dK

9e) Se$$#*n 1,11K, En e" $%so de" es-e$.)o $on.#no se $-"en

)e"%$#ones s##"%)es % "%s 2,3K,

??.c, En =


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MECNICA CUNTICA ::

??.d, E" valor mediode A $%ndo e" es.%do de" s#s.e% ese" Qe. no)%"#%do 5se deno.% -o) A7 es? -o) de=#n#$#*n?

A 5 A 5 2,'K

s# 5no es. no)%"#%do se ;%$e A 5 A 5 5K, Es=$#" -)o!%) /e

A a AK & 2,(K

Po) e" $on.)%)#o? e" 9%"o) ed#o de A a AK2es? en +ene)%"?no n"o, L% des9#%$#*n $%d).#$% ed#% de A $%ndo e" es.%dode" s#s.e% es 5se deno.% -o) AK7 se de=#ne -o) "% )e"%J$#*n

AK2 A a AK2 2,%K

de donde

AK2 A2a AK2 2,!K

En -%).#$"%)? s# e" es-e$.)o de A es d#s$)e.o 7 5 n?j$nj5%nj?se o!.#ene

A n%n j5$nj52 2,8%K

7 A2 n%n2j5$nj52 2,8!K

Po) "o .%n.o? s# 5 es n %.o9e$.o) de A $o))es-ond#en.e %"%.o9%"o) %n? "% $%n.#d%d =


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1&& MARA ESTHER BURGOS

A %n 2,:%K

A2 %n2 2,:!K

7 AK2 & 2,:$K

??.e, Po) s#-"#$#d%d? en es.e $oen.%)#o 9%os % )e=e)#)Jnos %" $%so n#d#ens#on%", S# e" es.%do de" s#s.e% es 5? "%des9#%$#*n $%d).#$% ed#% de "% -os#$#*n es K

Y2

a K2

Z12

7 "% des9#%$#*n $%d).#$% ed#% de "% $%n.#Jd%d de o9##en.o es PK YP2 a PK2Z12, Es -os#!"e-)o!%) /e -%)% $%"/#e) es.%do 5 se $-"e "% des#+%"d%dde He#sen!e)+

KPK.2 2,1&K

N*.ese /e? % -es%) de /e nos )e$e)d% e"principio de incerti-

dumbre? es.% des#+%"d%d es n )es".%do de "os Pos."%dos I 7II, No es ne$es%)#o #n9o$%) n#n+0n -os."%do )e=e)#do % "% ed#J$#*n -%)% deos.)%)"%,

En es.e -n.o $%!e en$#on%) /e e" -)#n$#-#o de #n$e).#Jd!)e +%)d% )e"%$#*n $on e" principio de complementaridad?de!#do % Bo;), To%ndo en $en.% /e "os o!je.os .)%d#$#on%"Jen.e %so$#%dos $on ond%s -)esen.%n .%!#n n $o-o).%J

#en.o $o)-s$"%) $oo "% " en e" e=e$.o =o.oe"$.)#$oK 7/e "os o!je.os .)%d#$#on%"en.e %so$#%dos $on $o)-0s$"os-)esen.%n .%!#n n $o-o).%#en.o ond"%.o)#o $oo "ose"e$.)ones d#=)%$.%dos -o) n $)#s.%" en e" e@-e)#en.o de D%J9#sson 7 Ge)e)K? Bo;) es.%!"e$#* n -)#n$#-#o se+0n e" $%" "%des$)#-$#*n $o-"e.% de "% n%.)%"e% )e/#e)e de dos #+enes/e? %n/e $on.)%d#$.o)#%s? son $o-"een.%)#%s ond% 7


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MECNICA CUNTICA 1&1

$o)-0s$"o, En o-#n#*n de Bo;)? "os )es".%dos de .odo e@-e)#Jen.o de!en ne$es%)#%ene se) e@-)es%dos en .)#nos de d#J$;os $on$e-.os $"s#$os 7 "% ejo) %de$%$#*n de n% o o.)%#%+en % "% des$)#-$#*n de" =en*eno $ons#de)%do de-ende de"d#s-os#.#9o e@-e)#en.%" .#"#%do, Po) "o $%"? %=#)% Bo;)? es#-os#!"e es.%!"e$e) n% se-%)%$#*n $o-"e.% en.)e e" $o-o)J.%#en.o de "os o!je.os %.*#$os 7 "os #ns.)en.os de ed#J$#*n .#"#%dos /e son? js.%en.e? "os /e de=#nen "%s $ond#J$#ones en "%s $%"es se -)esen.% n =en*eno -%).#$"%),

As##so? en$#oneos /e Bo;) =e .%!#n e" %.o)de" principio de correspondencia, Po) n% -%).e? e" @#.o de "%.eo)


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1&2 MARA ESTHER BURGOS

2,2, D#s$.#) "% %=#)%$#*n de /e "% d#=#$".%d -%)% de.e$.%)e=e$.os de d#=)%$$#*n $)e$e $on "% %s% de" o!je.o d#=)%$J.%do,

2,3, Es$)#!#) "%s )e"%$#ones e/#9%"en.es % "%s e$, 2,3K en e"$%so de n es-e$.)o %" enos -%)$#%"en.e $on.#no,

2,4, Se% Sne" o-e)%do) /e )e-)esen.% "% $o-onen.e de" es-


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MECNICA CUNTICA 1&3

2,, Es$)#!#) "%s e$%$#ones e/#9%"en.es % "%s 2,8K en e" $%soen /e 5 d $K 5_K? donde "os 5_K son "ose"een.os de n% !%se $on.#n% 9e) Se$$#*n 1,4,

2,8, O!.ene) "%s )e"%$#ones 2,:K,

2,:, Mos.)%) /e AK2 & s# 7 s*"o s# 5 es n %.o9e$.o)de A, 2ugerencia No.%) /e e" $%d)%do de "% no)% de5 A a AK 5$o#n$#de $on AK2,

2,1&, Cons#de)%) n .oo de H en e" es.%do

5 12K 5n92? l9&? m9& 12K 5n92? l91? m91

12K 5n92? l91? m9a1 2,12K

donde n, l7 mson )es-e$.#9%en.e "os n0e)os $n.#$os-)#n$#-%"? %#.%" 7 %+n.#$o, En$on.)%) "os 9%"o)esed#os 7 "%s des9#%$#ones $%d).#$%s ed#%s de "os o!Jse)9%!"es$? :2$%d)%do de" oen.o %n+"%) o)!#.%"K 7

L$o-onen.e de" oen.o %n+"%) o)!#.%"K, 2ugeren-cia:To%) en $en.% /e "os %.o9%"o)es de $es.n d%Jdos -o) [EIn2donde EIes "% ene)+


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donde d5.Kd. es la derivada temporal del vector de estado,$0t1 es el observable %ue representa la energ'a total del sistema

al tiempo .? i es la unidad imaginaria y . es la constante de;lanck dividida entre d#n+e),No.%) /e e" )ee-"%o de "% de)#9%d% -%)$#%" de r?.K -o) sde)#9%d% .o.%" en "% e$%$#*n %n.e)#o)? -od)


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MECNICA CUNTICA 1&'

???.c, U.#"#%ndo "% e$%$#*n de S$;)>d#n+e) se dees.)%/e "% no)% de" 9e$.o) de es.%do -e)%ne$e $ons.%n.e d)%n.es e9o"$#*n .e-o)%", Es.o #-"#$% /e d.K5.KKd. & o?"o /e es "o #so? /e

.1K5.1K .2K5.2K 2,1'K

donde .17 .2son dos #ns.%n.es %)!#.)%)#os, Es.e #-o).%n.e )es"J.%do se $ono$e $oo conservacin de la probabilidad? n% e@J

-)es#*n /e %d/#e)e -"eno sen.#do s# %d#.#os /e .K5.Kes "% -)o!%!#"#d%d de en$on.)%) e" s#s.e% en %"+0n -n.o de"es-%$#o o)d#n%)#o %" .#e-o .,

???.d, L% e9o"$#*n de" 9%"o) ed#o A? d%do -o) 2,'K?/ed% de.e)#n%d% -o) "% e$%$#*n de S$;)>d#n+e), En e=e$.o? s#A de-ende de" .#e-o

A.K .K5 A.K 5.K 2,1(%K

7 dA.Kd. d.K5d. A.K 5.K6

.K5 A. 5.K .K5 A.K6 d5.K 2,1(!K

de donde? .o%ndo en $en.% "% e$%$#*n de S$;)>d#n+e)? )es"J.%

dA.Kd. A.K. 1i.K YA.K?$.KZ 2,1($K

???.e, E" $%so de "os o!se)9%!"es /e )e-)esen.%n "% -os#J$#*n /7 "% $%n.#d%d de o9##en.o Pde n s#s.e% es de -%).#J$"%) #n.e)s, Pes.o /e n# /n#Pde-enden e@-"


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1&( MARA ESTHER BURGOS

d/.Kd. 1i.K Y/?$.KZ 2,1%K

7 dP.Kd. 1i.K YP?$.KZ 2,1!K

S# e" s#s.e% es n% -%).


106/280

MECNICA CUNTICA 1&

s#e.)#%d% 12K /.P $ P./A de d#$;os -)od$.os es;e)d#n+e) se $-"e /e d.K5.KKd. &,

2,1', O!.ene) "% e$, 2,1($K % -%).#) de "% e$, 2,1(!K,

2,1(, P%).#endo de "%s e$, 2,18K os.)%) /e se $-"en "%s e$,2,1:K, 2ugerencias #K Deos.)%) /e Y? P@22Z i.4K P@ 7 ##K 9e)#=#$%) /e s# 5es n 9e$.o) +en)#$o?

"% )e-)esen.%$#*n 5r6 de YP@? V/KZ 56 se -ede es$)#J!#) en "% =o)% .iK VrK@6 rK,

2,1, D#s$.#) "%s s##"#.des 7 d#=e)en$#%s en.)e "%s e$, 2,1:K 7"%s e$%$#ones de H%#".on drd. 1K p 7 dpd. a VrK,

2.". 6iste(as conser4ati4os

Po) s#-"#$#d%d? en es.% se$$#*n 9%os % )e=e)#)nos %" $%Jso en /e e" es-e$.)o de" H%#".on#%no es


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donde "os n0e)os Enn 1? 2?,,,K son "os %.o9%"o)es de $? "osQe.s 5njson ss %.o9e$.o)es? 7 e" s-)%d#n+e) % se$%sK -%)% )e=e)#)se % "% e$%$#*n de e9o"$#*n2,13K? o % "% 2,14K 7 .#"#%) "% e@-)es#*n e$%$#*n de %.o9%J"o)es de" H%#".on#%no -%)% )e=e)#)se % "% e$, 2,2&K? /e no esn% e$%$#*n de e9o"$#*n,

Coo $no de-ende de" .#e-o? n# "os %.o9%"o)es Enn#"os %.o9e$.o)es 5nj -eden de-ende) de" .#e-o, ? -es.o/e$es n o!se)9%!"e? ss %.o9e$.o)es de!en $-"#) $on "%s)e"%$#ones de o).ono)%"#%$#*n 7 de $"%s)%

nj5Q njQ 2,21%K

7 n?j 5njn

Q5 I 2,21!K

Po) "o .%n.o? es -os#!"e e@-)es%) $%"/#e) 9e$.o) de es.%do5.Ken "% =o)%

5.K n?j$nj.K 5nj 2,22%K

donde

$nj.K nj5.K 2,22!K


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MECNICA CUNTICA 1&:

Es #-o).%n.e s!)%7%) /e e" es.%do 5.Kde-ende de" .#e-o0n#$%en.e % .)%9s de "os $oe=#$#en.es $nj.K,

A e=e$.os de )eso"9e) "% e$%$#*n de %.o9%"o)es 2,2&K?-)o7e$.%os "% e$%$#*n de S$;)>d#n+e) 2,13K % "os 9e$.o)esde "% !%se 5nj6, Se o!.#ene

i.dnj5.Kd. nj5$5.K 2,23%K

7? $oo$es ;e)


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En s%? "% ).#n% -%)% en$%)%) -)o!"e%s /e #n9o"J$)%n s#s.e%s $onse)9%.#9os -ede )es#)se de" s#+#en.e oJdo #K se #den.#=#$% n $onjn.o $o-"e.o de o!se)9%!"es /e$on.%n CCK /e #n$"7% e" H%#".on#%no $ de" s#s.e% 7##K se )ese"9en "%s e$%$#ones de %.o9%"o)es de .%"es o!se)9%J

!"es, Es.%s dos o-e)%$#ones -e)#.en de.e)#n%) en =o)% nd#n+e) e" 9%"o) ed#o de" H%#".on#%no -e)%ne$e$ons.%n.e -%)% .odo es.%do de" s#s.e%,

2,2&, ]Es -os#!"e o!.ene) "% e$, 2,23!K % -%).#) de "% e$, 2,23%Ks#n s-one) /e$es ;e)


110/280

MECNICA CUNTICA 111

2,21, Es$)#!#) "% +ene)%"#%$#*n de "% e$, 2,2'K -%)% e" $%so en/e e" es-e$.)o de$es %" enos -%)$#%"en.e $on.#no,

2.&. Estados estacionarios# constantes de (o4i(iento#


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5.Krepresentan el mismo estado del sistema, Po) e" $on.)%)#o?en e" $%so de n es.%do /e no es es.%$#on%)#o? "%s =%ses )e"%.#J9%s /e =#+)%n en "% e$, 2,2'K dese-e%n n -%-e" =nd%Jen.%",

Po) de=#n#$#*n? una constante de movimiento es un obser-vable A %ue cumple con las condiciones

A. & 2,28%K

7 YA?$Z & 2,28!K

Es.% de=#n#$#*n es 9"#d% .%n.o en e" $%so en /e e" es-e$.)o de$es


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MECNICA CUNTICA 113

7 A 5En? %-? j %-5En? %-? j 2,3&!K

donde "os n0e)os Enn 1? 2?K son "os %.o9%"o)es de$? "osn0e)os %- - 1? 2?K son "os %.o9%"o)es de A? 5En? %-? j6es n% !%se $o0n %$7 A? 7 e"


113/280


B.K .K5 B 5.K

n?jnW?jWY$nWjW

.&KZ $nj

.&K BnnWjjW

e@- YaiinnW. a .&K.Z2,32%K

Coo en es.e $%so "os e"een.os de %.)# nWjW5 B 5nj son$ons.%n.es? "% e9o"$#*n .e-o)%" de B.K es. d%d% -o) n%se)#e de .)#nos /e os$#"%n $on "%s =)e$en$#%s

n?nW 12K 5EnWa En5 . 2,32!K

deno#n%d%sfrecuencias de @or, C%!e des.%$%) /e en e" $%sode n s#s.e% $onse)9%.#9o? #K los valores medios de los obser-vables %ue representan cantidades f'sicas$oo "% -os#$#*n? "%$%n.#d%d de o9##en.o 7 "% $%n.#d%d de o9##en.o %n+"%)oscilan con tales frecuencias, sea cual fuere el estado inicial

del sistema 7 ##K la intensidad de los distintos t5rminos presen-tes en las ec) 0


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MECNICA CUNTICA 11'


2,22, ]b se en.#ende -o) es.%do es.%$#on%)#o en e" do#n#o de"% =


115/280


$%s -o) eje-"o de "%s )e%s de "% /


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117/280


Postulado ! caso generalA*2iel espectro deA es par-cialmente discreto y parcialmente continuo, yel estado norma-li#ado del sistema es

5 n?j$nj5%nj dj$jK 5j 2,38K

la probabilidad de %ue el resultado de una medicin de la can-

tidad f'sica 8 arro!e el resultado%nest dada por la ec) 0


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MECNICA CUNTICA 11:

!.), En "% 9e)s#*n o)#+#n%" de "% e$n#$% $n.#$% de!#Jd% % 9on Ne%nnK "os Pos."%dos IV 7 V $on=o)%n n 0n#$o

-os."%do /e $on.#ene .odo "o /e "% .eo)


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MECNICA CUNTICA 121

es.%do #n#$#%"? /e -%s% de 5% 5nd%do -o) "% e$, 2,41K en e"$%so d#s$)e.o? o de 5% 5&d%do -o) "% e$, 2,42K en e" $%so$on.#no,

!?.), Es.e es e" -os."%do s -o"#$o de "% 9e)s#*n o)J.odo@% de "% e$n#$% $n.#$%, De %$e)do $on es.e -os."%do?se ;% d#$;o? e" o!se)9%do) .end)


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)e+#do -o) "% e$%$#*n de S$;)>d#n+e)K o de" .#-o ed#$#*n)e+#do -o) e" -os."%do de -)o7e$$#*nK,

!?.d, L% -)o7e$$#*n #n.e))-e "% e9o"$#*n $on.#n% de"9e$.o) de es.%do d%d% -o) "% e$%$#*n de S$;)>d#n+e)? no )es-eJ.% e" de.e)#n#so de d#$;% e$%$#*n 7? de %$e)do $on n %)J+en.o de!#do % E#ns.e#n? #-"#$% n% =o)% de %$$#*n % d#sJ.%n$#%, En s%? se ;% d#$;o? e" -os."%do de -)o7e$$#*n esn% "e7 =e)% de "% "e7? s-es.%en.e en$%)n%d% -o) "% e$%J$#*n de S$;)>d#n+e), Po) .%" o.#9o? en 1:3( M%)+en% -)o-soe@$"#) .%" -os."%do de "% .eo)


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MECNICA CUNTICA 123

=)e$en$#%? 9%)#%sK? o %" enos de ;#-*.es#s? 7 e" #n+en#o de"e@-e)#en.%do) dese-e% n -%-e" =nd%en.%", Nes.)o .)%J.%#en.o -e)#.e? en -)#n$#-#o? de.e)#n%) en $"es $#)$ns.%nJ$#%s e" 9e$.o) de es.%do -ede -)o7e$.%)se? 7 en $"es s e9oJ"$#*n es. ne$es%)#%en.e )e+#d% -o) "% e$%$#*n de S$;)>d#nJ+e), Pe)o "os de.%""es de es.e .)%.%#en.o es.n =e)% de" %"$%n$ede es.e .e%,


2,28, Ve)#=#$%) /e s# "% de+ene)%$#*n de" %.o9%"o) %nes +n 1?"% )e"%$#*n 2,34%K se )ed$e %;%nK 5%n552,

2,2:, Deos.)%) /e "%s -)o!%!#"#d%des d%d%s -o) "%s e$, 2,34K7 2,3K no se od#=#$%n $%ndo se )ee-"%% e" Qe. 5d%do -o) 2,33K? -o) 2,3(K o -o) 2,38KK -o) 5W

e

i

5? donde es n n0e)o )e%" %)!#.)%)#o,2,3&, To%ndo en $en.% "%s )e"%$#ones 2,34K 7 2,3K -)o!%)/e e" 9%"o) ed#o de" o!se)9%!"e A es. d%do -o) "% e$,2,3:K 7 /e s des9#%$#*n $%d).#$% ed#% es. d%d% -o)2,4&K,

2,31, Se%n 5nj7 5_K"os %.oes.%dos de" H%#".on#%no$den s#s.e% $onse)9%.#9o )es-e$.#9%en.e $o))es-ond#en.es

% "%s -%).es d#s$)e.% 7 $on.#n% de s es-e$.)o, E" es.%dode" s#s.e% %" .#e-o . es

5.K n?j$nj.K 5nj d$? .K 5_K 2,43K

donde $nj.K $nj.&K e@- Yai En . a .&K.Z 7 $? .K $? .&K e@- YaiEn. a .&K.Z, Se% @"% $%n.#d%d =


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en.e d#s$)e.o 7 no de+ene)%do 7;!? .K "% -)o!%!#"#d%dde /e e" )es".%do de n% ed#$#*n de @? e=e$.%d% %".#e-o .? %))oje e" )es".%do !, En$on.)%) "% de-enden$#%.e-o)%" de;!? .K en e" $%so en /e YB?$Z &,

2,32, Re-e.#) e" eje)$#$#o %n.e)#o) en e" $%so en /e e" s#s.e%es. en n es.%do es.%$#on%)#o,

2,33, Mos.)%) /e e" es.%do 5nd%do -o) 2,41K es. no)%"#J%do,

2,34, To%ndo en $en.% /e e" -)o7e$.o) %" s!es-%$#o $oJ))es-ond#en.e % "os %.o9%"o)es de A $o-)end#dos en.)e&7 & es

P &? & K &&d5_K_K5 2,44K

os.)%) /e e" es.%do 5&d%do -o) 2,42K es "% -)o7e$J$#*n no)%"#%d% de 5% d#$;o s!es-%$#o,

2,3', D#s$.#) "% %=#)%$#*n de /e "os $on$e-.os #$)os$*-#J$o 7 %$)os$*-#$o des%=


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MECNICA CUNTICA 12'

de" es-e$.)o -%)$#%"en.e d#s$)e.o 7 -%)$#%"en.e $on.#no no-)esen.% %7o)es d#=#$".%des,

2..1. Medicin de una cantidad


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j 5$j52Ka12, H%7 /e s!)%7%) /e en es.e $%so e" 9e$.o) dees.%do s< se -)o7e$.%,

A $on.#n%$#*n s-on+%os /e se #de 8so!)e N s#sJ.e%s en e" es.%do d%do -o) "% e$, 2,4'K, Los )es".%dos de "%sNed#$#ones #nd#9#d%"es -eden se) d#=e)en.es %"+n%s 9e$esse o!.end) %1? o.)%s %2? e.$, Se% =%K "% =)e$en$#% de" )es".%do%7? -o) "o .%n.o? "% =)e$en$#% $on "% $%" e" 9e$.o) de es.%dose -)o7e$.% % 5 Nj$j5%j, E"promediode "%s NeJd#$#ones de8es.%) d%do -o)

8 n=%nK %n 2,4(%K

7 "% dispersinde d#$;os )es".%dos -o) 8K? donde

8K2 n=%nK %na 8K2 2,4(!K

H%7 /e s!)%7%) /e %0n $%ndo "os Ns#s.e%s es.n en

e" #so es.%do #n#$#%"? d%do -o) "% e$, 2,4'K? "e+o de e=e$.%)"% ed#$#*n -eden en$on.)%)se en d#s.#n.os es.%dos, S# N ese"e9%do? de %$e)do $on "% ley de los grandes nmeros? /es-oneos 9"#d%? de!e $-"#)se /e =%nK ;%nK? es.o es? /e"% =)e$en$#% =%nK es -)*@#% % "% -)o!%!#"#d%d ;%nK, Po) "o.%n.o? -%)% Ne"e9%do o!.eneos

8A 2,4%K

7 8KAK 2,4!K

C%!e des.%$%) /e "%s $%n.#d%des A7 AK? /e =#+J)%n en "os #e!)os de "% de)e$;% de 2,4K? son )es".%dos de$"$"os no es ne$es%)#o e=e$.%) n#n+n% ed#$#*n -%)% o!.eJne)"%s, Po) e" $on.)%)#o? "%s $%n.#d%des 87 8Kson )es".%Jdos de ed#$#ones, N*.ese? %s##so? /e s# e" n0e)o de eJ


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MECNICA CUNTICA 12

d#$#ones Nno es e"e9%do? "% =)e$en$#% =%nK no .#ene -o) /se) -)*@#% %;%nK "% $ond#$#*n de /e Nse% e"e9%do deseJ

-e% n -%-e" =nd%en.%" en "%s )e"%$#ones 2,4K,

2..2. Medicin de dos cantidades


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od#=#$%, Coo e" o)den de "%s ed#$#ones es #))e"e9%n.e? se-ede ;%!"%) de mediciones simultneas de 8 y @,

2..2.2.A $on.#n%$#*n s-on+%os /e #ned#%.%en.e %n.esde e=e$.%) "% ed#$#*n e" es.%do de" s#s.e% es

5 n?-?j$n?-?j5%n? !-? j 2,4:K

donde %" enos dos $oe=#$#en.es $n?-?j$on s!


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MECNICA CUNTICA 12:

$on N/ j 5$?/?j52Ka12 9e) #+, 2,1%K, Se -ede -)o!%) /es# "%s ed#$#ones de87 @se e=e$.0%n en o)den #n9e)so 7 s# "os)es".%dos s#+en s#endo %7 !/? "e+o de "%s dos ed#$#ones e"s#s.e% .%!#n /ed% en e" es.%do 5/ 9e) #+, 2,1!K, Coo"% -)o!%!#"#d%d de o!.ene) %7 !/

;%? !/K ;%K;%!/K ;!/K;!/%K 2,'2K

Fig. $.1. Cedicin de las cantidades f:sicas compatiles A y B sore unsistema en el estado inicial

5 $1?15%1? !1 $1?25%1? !2 $2?25%2? !2

(a) *i primero se mide A y el resul

tado es a1# el estado |se proyecta al autosuespacio correspondiende al auto&alor a1< si luego se mide B y el resultado es$# el estado se proyecta nue&amente# esta &e2 a |a1# $.

() *i se efect>an las medicionesen orden in&erso y los resultados son los mismos ($ y a1)#el estado final es tamiDn|a1# $.


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node-ende de" o)den en e" /e se e=e$.0%n "%s ed#$#ones? 7 "o#so o$))e $on e" es.%do =#n%" de" s#s.e%? .%!#n en es.e$%so se -ede ;%!"%) de mediciones simultneas,

Es de -%).#$"%) #n.e)s e" $%so en /e A? B6 es n CCen es.e $%so e"


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MECNIC

de B 9e) #+, 2,2%K, Po) e"

$on.#n%$#*n A? e" 9e$.o) 5%.o9e$.o) de B 7 "e+o % A;o)% !#en? $oo "os %.o9d#=e)en.es? e" es.%do de" s#s.ede-ende de" o)den en /e se

-)o!%!#"#d%des en +ene)%" )e

;%K;%!/K ;!/K;

Fig. $.$. Cedicin de las cantidasistema en el estado inic

5 $15%1 $2(a) *i se mide Ay el resultado es a1#

estado | se proyecta a |a1< sicontinuacin se mide By el resultaes $# el estado se proyecta nuemente# esta &e2 a |$.

CUNTICA 131

on.)%)#o? s# -)#e)o se #de B 7 %

se -)o7e$.% en -)#e) "+%) % n%.o9e$.o) de A 9e) #+, 2,2!K,$.o)es de A 7 B son? en +ene)%"?% %" $o-"e.%) "%s dos ed#$#ones

;#$#e)on, Lo #so o$))e $on "%s".%

!/%K 2,'4K

es f:sicas incompatiles Ay B sore unial

5%2 d15!1 d25!2,ela

doa

() *i se efect>an las mediciones enorden in&erso y los resultados sonlos mismos ($y a1)# el estado finales |a1.


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Po) "o .%n.o? en es.e $%so no se -ede ;%!"%) de ed#$#ones s#J".ne%s,


2,3(, Co-%)%) -)o!%!#"#d%des 7 =)e$en$#%s de )es".%dos de

"%n%#en.os de n% oned% en "os s#+#en.es $%sos #K "%oned% se "%n% n% so"% 9e 7 e" )es".%do es $%)% ##K"% oned% se "%n% 1& 9e$es 7 e" )es".%do es $%)%s###K "% oned% se "%n% 1&& 9e$es 7 e" )es".%do es 48$%)%s #9K "% oned% se "%n% 1&& 9e$es 7 e" )es".%do es' $%)%s, ]b $oen.%)#os -ede ;%$e) so!)e es.os )eJs".%dos^

2,3, Se%n n, l7 m)es-e$.#9%en.e "os n0e)os $n.#$os -)#nJ

$#-%"? %#.%" 7 %+n.#$o de" .oo de H, S# #n#$#%"Jen.e e" .oo es. en e" es.%do 5 5n91? l9&? m9&7se #de e" $%d)%do de" oen.o %n+"%) o)!#.%"? ]/ )eJs".%dos -eden o!.ene)se 7 $"es son "%s $o))es-ond#enJ.es -)o!%!#"#d%des^ ]C" es e" es.%do de" .oo #ned#%J.%en.e des-s de e=e$.%) "% ed#$#*n^

2,38, S# se #de -)#e)o "% ene)+


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MECNICA CUNTICA 133

5 12K 5n91? l9&? m9& 12K 5n92? l9&? m9&

12K e#4

5n92? l91? m9& 2,''K7 se #de e" $%d)%do de" oen.o %n+"%) o)!#.%"? ]/)es".%dos -eden o!.ene)se 7 $"es son "%s $o))es-onJd#en.es -)o!%!#"#d%des^ ]A / es.%do se -)o7e$.% 5 s#e" )es".%do de "% ed#$#*n es 2.2^

2,4&, S# e" es.%do #n#$#%" de" .oo de H es. d%do -o) "% e$,2,''K 7 se #de "% ene)+


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]$" es e" es.%do de" .oo %" $o-"e.%) %!%s ed#$#oJnes^ ]b o$))e s# "%s ed#$#ones se e=e$.0%n en o)den#n9e)so 7 se o!.#enen "os #sos )es".%dos^

2,43, ]Pede %"+n% de "%s ed#$#ones )e=e)#d%s desde e" eje)$#J$#o 2,3 ;%s.% e" eje)$#$#o 2,42 se) $%"#=#$%d% de -)o$esode -)e-%)%$#*n de es.%do^

2.0. El operador densidad

H%s.% es.e -n.o? en es.e .e% ;eos s-es.o /e e" esJ.%do de" s#s.e% -ede se) )e-)esen.%do -o) n Qe., Pe)o s# no se$ono$e ese Qe. 7 s# se $-"en $#e).%s $ond#$#ones /e de.%""%J)eos % $on.#n%$#*n? es ne$es%)#o )e-)esen.%) e" es.%do de"s#s.e% -o) o.)o en.e %.e.#$o? deno#n%do operador densi-

dad, D#$;o o-e)%do) es .%!#n de .#"#d%d $%ndo e" s#s.e%es. %$o-"%do % o.)o? 7% /e en.on$es n#n+0n Qe. -ede )e-)eJsen.%) e" es.%do de no de e""os 9e) Se$$#*n 1,1(K,

2.0.1. El caso de un estado puro

S# en e" #ns.%n.e . e" es.%do de" s#s.e% es e" Qe. 5.K? sed#$e /e e" s#s.e% es. en n estado puro7 e" o-e)%do) dens#Jd%d .K es e" -)o7e$.o) % 5.Kd%do -o)

.K 5.K.K5 2,'K


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MECNICA CUNTICA 13'

Se% 56 n% !%se de" es-%$#o de "os es.%dos de" s#sJ.e%, S# e" es.%do es 5.K n$n.K 5n? "% )e-)esen.%$#*n de.K en d#$;% !%se es "% matri# densidad$7os e"een.os son

n.K 5.K.K5n $.K $n.K 2,'8K

Es =$#" 9e)#=#$%) /e

.K62 .K 2,':%K

7 /e "% .)%% de .K $-"e $on "% $ond#$#*n

T) .K nnn.K 1 2,':!K

As##so? s# e" s#s.e% es. en e" es.%do 5.K? e" 9%"o) ed#ode" o!se)9%!"e A es A.K .K5 A 5.K, De donde

A.K n?$n.K An$.K ?nn.K An

T) .KA6 2,(&K

L% e9o"$#*n .e-o)%" de .K se o!.#ene .o%ndo en$en.% "% e$%$#*n de S$;)>d#n+e) $oo se de.%""% % $on.#n%J$#*n

d.Kd. d5.Kd.K .K5 5.Kd.K5d.K

1i .K $.K 5.K6 .K5 a1i .K 5.K.K5$.K6 1i .K Y$.K? .KZ 2,(1K

7 se -ede -)o!%) /e? s# en e" .#e-o . se #de "% $%n.#d%d =


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donde Pnes e" -)o7e$.o) %" s!es-%$#o $o))es-ond#en.e %" %.oJ9%"o) %n, Ten#endo en $en.% "%s )e"%$#ones /e -)e$eden? d#)eJos /e en el caso de un estado puro las representaciones delestado del sistema dadas por el ket 5.K 7 por el operadordensidad.Kson completamente e%uivalentes,

2.0.2. El caso de un estado (e9cla

A $on.#n%$#*n 9%os % $ons#de)%) e" $%so en /e e" s#sJ.e% es. en no de "os Qe.s de" $onjn.o 5j6 j 1? 2? MK?-e)o no se s%!e en $" de e""os, S-ond)eos? no o!s.%n.e? /ees -os#!"e %s#+n%) "% -)o!%!#"#d%dpj%" Qe. 5j, Po) "o .%n.o? &

pj1 -%)% .odo j? 7 jpj 1, =n estado me#cla es a%uel para elcual al menos dos de las probabilidades pj son no nulas, Po)eje-"o? s# n s#s.e% es. en e/#"#!)#o .e)od#n#$o % "%.e-e)%.)% T? "% -)o!%!#"#d%d de /e s es.%do se% %"+no de

"os $o))es-ond#en.es % "% ene)+


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MECNICA CUNTICA 13

Los e"een.os de "% d#%+on%" de es.% %.)# se deno#n%n -oJ!"%$#ones? 7 "os /e es.n =e)% de "% d#%+on%" $o;e)en$#%s,

E" $%d)%do de" o-e)%do) dens#d%d es

2 jpj5jj5K QpQ5QQ5K

jpjK25jj5 2,('K

otar %ue2 ?si y slo si el estado es puro es.o es? s# son

n"os .odos "ospjs%"9o no de e""os 1K, Es.% o!se)9%$#*n es#-o).%n.e -es -e)#.e de$#d#) s# n es.%do )e-)esen.%do -o) e"o-e)%do) dens#d%d es -)o o e$"%, Po) e" $on.)%)#o? 7 .%" $oJo o$))e en e" $%so -)o? .%!#n -%)% n es.%do e$"% seo!.#ene T) 1,

De %$e)do $on 2,'K? 2,(&K 7 2,(2K? s# e" s#s.e% es.en e" es.%do -)o 5j s o-e)%do) dens#d%d es j 5jj5? e"

9%"o) ed#o de" o!se)9%!"e A esAj j5 A 5j T) jA6 2,((%K

7 "% -)o!%!#"#d%d de /e n% ed#$#*n de "% $%n.#d%d =


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Po) "o .%n.o? .o%ndo en $en.% /e s# e" s#s.e% es. en e" esJ.%do -)o 5j.K? "% e$, 2,(1K se es$)#!e

dj.Kd. 1i .K Y$.K? j.KZ 2,(8%K

es =$#" -)o!%) /e? $%ndo "%s -)o!%!#"#d%despjson $ons.%n.es?"% e9o"$#*n .e-o)%" de" o-e)%do) dens#d%d es. )e+#d% -o) "%e$%$#*n

d.Kd. 1i .K Y$.K? .KZ 2,(8!K

2.0.". El estado indi4idual de una partcula incluida en un

siste(a

Coen%)eos $ons#de)%ndo n s#s.e% S /e #n$"7es*"o dos -%).


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MECNICA CUNTICA 13:

1K 2K %" es-%$#o de "os es.%dos de" s#s.e% S, L%s !%ses enes.os es-%$#os se)n )es-e$.#9%en.e deno.%d%s -o) 5j1K6 j 1? 2?,,,K? 59Q2K6 Q 1? 2?,,,K 7 5j1K59Q2K6 j 1? 2?,,, Q 1? 2?,,,K, Los e"een.os de %.)# de" o-e)%do) 1K? /e %$.0%en 1K? son

Y1KZjjW j1K5 1K 5jW1K 2,1%K

"os e"een.os de %.)# de" o-e)%do) 2K? /e %$.0% en 2K?son

Y2KZQQW 9Q2K5 2K 59QW2K 2,1!K

7 "os e"een.os de %.)# de" o-e)%do) SK? /e %$.0% en SK?son

YSKZjjQQW j1K5 9Q2K5 SK 5jW1K59QW2K 2,1$K

Po) de=#n#$#*n? "% .)%% -%)$#%" de SK en 2K es

T)2SK Q9Q2K5 SK 59Q2K 1K 2,2%K

7? %n"o+%en.e? "% .)%% -%)$#%" de SK en 1K es

T)1SK jj1K5 SK 5j1K 2K 2,2!K

Se de!e des.%$%) /e "% .)%% -%)$#%" de SK en 2K no es

n n0e)o s#no e" o-e)%do) 1K? /e )e-)esen.% e" es.%do de "%-%).


139/280


P%seos %;o)% %" $%so en /e "os es.%dos de "%s -%).


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MECNICA CUNTICA 141

Co-%)%ndo es.% 0".#% e$%$#*n $on 2,(K? -odeos $on$"#)/e e" 9%"o) ed#o AW1KSK $o#n$#de $on e" 9%"o) ed#oA1K1K, C%!e des.%$%) /e e" es.%do 1K de.e)#n% -o) sd#n+e) en #n+"s? S$;)>d#n+e)

-#$.)eK en e" -)#e)o? s*"o "os o!se)9%!"es son =n$#ones de".#e-o 7 e" es.%do de" s#s.e% -e)%ne$e =#jo en e" se+ndo?


145/280


-ede o$))#) /e "os o!se)9%!"es no de-end%n de" .#e-o?#en.)%s /e e" 9e$.o) de es.%do de!e ne$es%)#%en.e $%!#%)$on e" .#e-o -es? s# %s< no =e)%? e" H%#".on#%no se)d#n+e)? 7 )e$#n en es.% se$$#*n9%os % -)esen.%) e" de He#sen!e)+, Es.e .)%.%#en.o d%.% de1:2'? 7 e" de S$;)>d#n+e) de 1:2(, Po$os eses des-s de

-)esen.%) s .)%.%#en.o? S$;)>d#n+e) os.)* /e %!os sone/#9%"en.es, P%)% e9#.%) $on=s#ones? %" )e=e)#)nos %" -)#e)o$on e" /e 7% es.%os =%#"#%)#%dosK %+)e+%)eos e" s!d#n+e), Po) s#-"#$#d%d? en "o /e s#+es-ond)eos /e ASno de-ende e@-"


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147/280


YAS? U.? .&KZ & 2,:2K

7 $oo U.? .&K es n#.%)#o? se o!.#ene

AH.K UX.? .&K ASU.? .&K AS 2,:3K

Es.o s#+n#=#$% /e "os o-e)%do)es /e )e-)esen.%n "%s $ons.%n.esde o9##en.o de "os s#s.e%s $onse)9%.#9os en e" .)%.%#en.ode He#sen!e)+ $o#n$#den $on "os o-e)%do)es /e "%s )e-)esen.%n

en e" .)%.%#en.o de S$;)>d#n+e), En -%).#$"%)? e" o-e)%do) /e)e-)esen.% "% ene)+


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MECNICA CUNTICA 14:

Para sa)er (>s so)re este te(a# 4er*

J , Be""? A+%#ns. ke%s)een.?W ;ysics Forld A+s.1::&K? -, 33,

J D, R, Bes? 6uantum 7ecanics S-)#n+e)aVe)"%+? Be)"#nHe#de"!e)+? 2&&4K? C%-


149/280


150/280

MECNICA CUNTICA 1'1

TEMA 3,

ESTUDIO DE DOS SISTEMAS CONSERVATIVOS3,1, S#s.e%s en n -o.en$#%" n#=o)e 3,1,1, L% -%).


151/280

1'2 MARA ESTHER BURGOS

$7% )e-)esen.%$#*n 5r6 es

i.r?.K. a.22K 2r?.K 3,1!K

Es.% e$%$#*n .#ene so"$#ones de "% =o)% r?.K rK .K?donde rK 7 .K s%.#s=%$en "%s e$%$#ones

Ya .22K 2Z rK E rK 3,2%K

7 i.d.Kd. E .K 3,2!K

7 e" %.o9%"o) E de$es "% ene)+


152/280

MECNICA CUNTICA 1'3

/e .#ene "% =o)% de n% ond% -"%n% de "on+#.d 2Q 7=)e$en$#% /e se -)o-%+% en "% d#)e$$#*n Fde" es-%$#o o)d#Jn%)#o,

Pes.o /e "%s $o-onen.es Q@? Q77 Qde Fson


153/280

1'4 MARA ESTHER BURGOS

-odeos $on$"#) /e "% =n$#*n pK /ed% n


154/280

MECNICA CUNTICA 1''

$%d).#$%s ed#%s de "%s $o-onen.es de "% -os#$#*n ? 7F? s< 9%)


155/280

1'( MARA ESTHER BURGOS

o9##en.o 7 #9K "%s des9#%$#ones $%d).#$%s ed#%s de"%s $o-onen.es de /9%)


156/280

MECNICA CUNTICA 1'

Fig. ,.1. l potencial escaln

H%7 /e s!)%7%) /e en "% n%.)%"e% no e@#s.en -o.enJ$#%"es 9e)d%de)%en.e n#=o)es -o) se$$#ones "os $%sos %/mero de cuantos correspondientes a los estados |# |1y |$del oscilador armnico. aaplicacin del operador aL transforma |nen |n'1y agrega un

cuanto a la energ:a del oscilador< la aplicacin del operador atransforma |nen |nH1y sustrae un cuanto a la energ:a deloscilador.

Coo C& 1 se -ede es$o+e) C&)e%" 7 -os#.#9oK?

51 aX5& 3,'2!K

De #+%" odo?

252 5C15215N+ 1K51 2 5C152 1 3,'3%Kde donde C1 12 7

52 12K aX51 12K aXK25& 3,'3!K

En +ene)%"?

n5n 5Cna1K52na1K5N+ 1K5na1K n 5Cna1K52 1 3,'4%K


183/280


7 -es.o /e Cna1K 1n?

mecánica_cuántica_final_(1)

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