MECANICA Y ONDAS

Tema 3

II

Indice general

3. Momento angular. Leyes de conservacion. 13.1. Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Ley de la conservacion de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.3. Clasificacion de trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3.1. Orbitas circulares y su estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3.2. El potencial de Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.4. Ecuacion diferencial de la orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4.1. Factor integrante de la ecuacion de orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.5. El teorema de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6. Las leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.6.1. Ley de la Gravitacion Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.6.2. Precesion del perihelio en una orbita kepleriana . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.7. Fuerzas centrales y fuerzas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.8. El problema de dos fuerzas centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.9. Transformaciones de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.10. Movimiento sobre un disco giratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.11. Referencias aceleradas arbitrarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.12. El efecto Larmor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.13. Movimientos en la superficie terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.13.1. Propiedades de las fuerzas de inercia. Principio de equivalencia . . . . . . 453.13.2. El pendulo de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

III

IV INDICE GENERAL

Capıtulo 3

Momento angular. Leyes deconservacion.

En este capıtulo se introducen las nociones de energıa y momento angular de forma general, conel fin de determinar su relacion con los principios de conservacion, es decir, magnitudes fısicasque no varıan con respecto al tiempo. La importancia de estas reside no solo en las consecuenciaspuramente fısicas de las mismas, sino tambien en su interpretacion geometrica en terminos desimetrıas de un sistema.

La segunda ley de Newton, tal y como se ha expresado anteriormente, puede considerarse comouna ecuacion de balance para el momento lineal p :

d

dtp = F (3.0.1)

Es evidente que ddtp = 0 si y solo si p = cte., lo que significa que F = 0. De ello dedujimos que la

partıcula se mueve con velocidad constante sobre una recta. Este hecho, aunque aparentementetrivial en dimension uno, no supone sino un caso particular de una fenomenologıa mas rica quenos permitira, entre otras cosas, una descripcion adecuada del movimiento para fuerzas de tipoconcreto. Como caso especialmente relevante, veremos que las leyes de Kepler para el movimientode un planeta alrededor del Sol se deducen con facilidad de la teorıa.

3.1. Momento angular

Recordemos que las leyes de Newton constituyen ecuaciones vectoriales definidas en un espacioafın euclıdeo A3, por lo que la nocion de producto vectorial esta bien definida.1 Partiendo de laecuacion del movimiento (??), podemos considerar el producto vectorial

r× d

dtp = r× d

dt(m r) =r× F. (3.1.1)

Empleando propiedades elementales, es facil ver que2

r× d

dt(m r) =

d

dt(r× (m r)) , (3.1.2)

1Existen mecanismos analogos para generalizar esta nocion a dimensiones cualesquiera.2Para el caso de masa constante la ecuacion simplifica a mr×r = r× F.

1

2 3.1. MOMENTO ANGULAR

lo que permite reformular la ecuacion (3.1.1) como

d

dt(r× (m r)) = r× F. (3.1.3)

Claramente los vectores r y r no son paralelos, lo que nos permite interpretar la situacion comouna rotacion del vector de posicion de la partıcula.

Figura 3.1: Momento angular (vertical a la imagen).

Por este motivo, definimos el momento angular L y el momento dinamico M de la partıculamediante

L = r× p, M = r× F. (3.1.4)

Con estas notaciones, (3.1.3) implica que la variacion temporal del momento angular es igual almomento dinamico.Si el momento dinamico es nulo M = 0, claramente se tiene que la variacion temporal delmomento angular es nula,

dL

dt= 0. (3.1.5)

Esta es la llamada conservacion del momento angular, que constituye una de las leyes de con-servacion fundamentales.3 Observemos que la anulacion del momento dinamico M puede tenerdos orıgenes:

1. F = 0.

2. Los vectores de posicion r y fuerza F son paralelos. En este caso F se llama fuerza central,4

ya que puede representarse como

F = ϕ (t, r, r) r (3.1.6)

para una cierta funcion escalar ϕ (t, r, r). En presencia de una fuerza central, se verifica laconservacion del momento angular para todas las soluciones de la ecuacion del movimiento.

3Esta constante del movimiento pertenece a las llamadas diez constantes canonicas, como se detallara mas adelante.4Observamos que esta definicion es mas general que la usualmente empleada en la literatura, que reserva la nocion

de central para fuerzas un tipo mas restringido, generalmente independientes del tiempo, y por tanto conservativas.

3

Ası como de la conservacion del momento lineal obtuvimos informacion relativa a la trayectoriade la partıcula, la conservacion del momento angular nos permite asimismo deducir propiedadesde r. En efecto, si dL

dt = 0, entonces el vector L es constante, y considerando el producto escalarde r y L obtenemos

r · L = r· (r× p) = 0. (3.1.7)

La ecuacion anterior es la ecuacion normal de un plano afın con vector normal L.5

Consecuencia: Si se conserva el momento angular, la partıcula se mueve en un plano afın or-togonal al vector momento angular L.

Esta importante propiedad nos permite, para el caso de masa constante, deducir el llamadoteorema del area, cuya significacion fısica veremos mas adelante al considerar las llamadas leyesde Kepler. Supuesto que m es constante, y en las condiciones anteriores de conservacion delmomento angular, es conveniente introducir coordenadas cilındricas como referencia para la tra-yectoria de la partıcula. Respecto de la base eρ, eθ, ez, tenemos que la trayectoria y velocidadde la partıcula son r = ρeρ, r = ρeρ + ρθeθ, respectivamente. En consecuencia

mr× r = mρ2θ eρ × eθ ∼ ez. (3.1.8)

Consideramos ahora el triangulo infinitesimal ∆(OPQ) que forma el radio-vector r en un tiempodt (ver Figura 3.2). Puesto que la variacion dθ del angulo es infinitesimal, tenemos que sin(dθ) ≈dθ y cos(dθ) ≈ 1, por lo que el area dS del triangulo viene dada por dS = ρ2dθ/2. Utilizando laecuacion (3.1.8) se sigue que

2dS

dt= ρ2θ = const. (3.1.9)

El radio-vector r recorre por tanto areas iguales en tiempos iguales.

Figura 3.2: Area barrida por el radio vector en tiempo ∆t.

Ejemplo 1. Como se ha visto anteriormente, para el caso de movimientos unidimensionales,siempre existe un potencial U (x). En este caso, la conservacion del momento angular es trivial,dado que L = M = 0.

5Observese que si el momento angular no se conserva, la trayectoria no tiene porque estar contenida completamenteen un plano afın dado, aunque la relacion (3.1.7) sea cierta para cada t fijo.

4 3.2. LEY DE LA CONSERVACION DE LA ENERGIA

3.2. Ley de la conservacion de la energıa

Analizamos en este paragrafo el concepto de trabajo y potencia asociadas a una fuerza, de la queobtendremos otra importante ley, correspondiente a la conservacion de la energıa. En particular,estas leyes se expresan empleando los teoremas clasicos del analisis vectorial, lo que les confiereuna interpretacion mecanica relevante.Definimos el trabajo W que realiza una fuerza F como la magnitud escalar dada en formaintegral por

W =

∫ P2

P1

F dr =

∫ P2

P1

(Fxdx+ Fydy + Fzdz) . (3.2.1)

De la expresion integral se deduce que el trabajo depende tanto de los puntos inicial P1 y finalP2, ası como del camino recorrido para unir ambos puntos. W corresponde a la energıa que serequiere para desplazar un cuerpo del punto P1 al punto P2 a lo largo de dicho camino. Comomagnitud energetica, debe expresarse en unidades de energıa, el julio (J) en el S.I. De (3.2.1)obtenemos que dW = F dr corresponde al producto escalar de la fuerza y el elemento de lıneadr definido por

dr = dxe1 + dye2 + dze3. (3.2.2)

en la referencia euclıdea canonica. La potencia P , medida en vatios (1W=1 Js ), se define a su

vez como

P = lım∆t→0

W

∆t=dW

dt= F

dr

dt= F · r. (3.2.3)

Es notable que la potencia puede obtenerse asimismo a partir de la segunda ley de Newton atraves de un producto escalar (siempre que m sea constante)

m r · r = F · r (3.2.4)

En el caso de masa constante, la relacion anterior puede deducirse a partir de la derivadatemporal de la energıa cinetica T = m

2 r2 :

d T

dt=

d

dt

(m2

r2)

= m r · r (3.2.5)

Comparando esta ecuacion con el caso unidimensional analizado en (??), se plantea de forma na-tural si el termino a la derecha de (3.2.5) puede expresarse tambien como una derivada temporalde una funcion que solo dependa de la posicion. En general, la respuesta a esta cuestion es nega-tiva. No obstante, veremos que para determinados tipos importantes de fuerzas esta posibilidadsı se da. Llamaremos potencial o energıa potencial a toda funcion U (r) 6= 0 tal que

dU (r)

dt= −F · r (3.2.6)

Una fuerza F para la cual exista un potencial U (r) que satisfaga la ecuacion anterior se diceque es conservativa.Si desarrollamos el termino de la izquierda, obtenemos6

dU (r)

dt=∂U

∂x

dx

dt+∂U

∂y

dy

dt+∂U

∂z

dz

dt= ∇U · r,

6Las formulas que siguen estan expresadas en una referencia cartesiana. Para otros sistemas de coordenadas, lasexpresiones para los operadores clasicos ∇, rot y div varıan. Veanse los apendices para las definiciones y propiedadesbasicas.

5

donde ∇U designa el operador gradiente de U .7 La ecuacion (3.2.6) se reescribe por tanto como

(∇U + F) · r = 0 (3.2.7)

En esencia, existen dos posibilidades distintas de satisfacer esta ecuacion. Si F es ortogonal a rpara todo tiempo t, entonces F no realiza trabajo, y por tanto no varıa la energıa de la partıcula.Tales fuerzas, como la fuerza de Lorentz, son de extrema importancia en la electrodinamicaclasica, pero no son frecuentes en el marco de la mecanica clasica [13]. La segunda posibilidad seda para una fuerza F no genericamente ortogonal a la velocidad, pero que verifique la condicion

F = −∇U (r) = −∂U∂xe1 −

∂U

∂ye2 −

∂U

∂ze3. (3.2.8)

De ello deducimos facilmente la ansiada caracterizacion: Una fuerza F es conservativa si ysolamente si verifica

rot F = 0. (3.2.9)

En efecto, si F = F1e1 + F2e2 + F3e3 es conservativa, deducimos de (3.2.8) que

∂F1

∂y=∂F2

∂x,∂F1

∂z=∂F3

∂x,∂F2

∂z=∂F3

∂y,

lo que demuestra que el rotacional

rot F =

(∂F3

∂y− ∂F2

∂z

)e1 +

(∂F1

∂z− ∂F3

∂x

)e2 +

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)e3 (3.2.10)

es nulo. Recıprocamente, dada una fuerza F que satisfaga la condicion (3.2.10) de rotacionalnulo, considerando el sistema de ecuaciones en derivadas parciales

∂F3

∂y− ∂F2

∂z= 0,

∂F1

∂z− ∂F3

∂x= 0,

∂F2

∂x− ∂F1

∂y= 0,

y resolviendolo respecto de F1 y F2 permite expresar las componentes de F como

F1 (x, y, z) =

∫∂F3

∂xdz +

∫∂F11 (x, y)

∂xdz + F12 (x) , F2 (x, y, z) =

∫∂F3

∂ydz + F11 (x, y) .

(3.2.11)Sin perdida de generalidad, puede suponerse que F3 (x, y, z) = −∂U

∂z para una cierta funcionU (x, y, z). Insertando esta condicion en (3.2.11) lleva a la expresion

F1 (x, y, z) = −∫

∂2U

∂x∂zdz +

∫∂F11 (x, y)

∂xdz +F12 (x) , F2 (x, y, z) = −

∫∂2U

∂y∂zdz +F11 (x, y) .

(3.2.12)Eligiendo F11 = F12 = 0 y simplificando la expresion teniendo en cuenta las propiedades de lasintegrales, resulta que F =−∇U , demostrando que F es conservativa.8

7La notacion grad(U) tambien es frecuente en la literatura.8Este resultado es un caso especial de la teorıa de formas diferenciales, que justifica que, localmente, toda forma

cerrada es exacta. El lector interesado puede consultar el texto de Flanders [7] para mas detalles.

6 3.2. LEY DE LA CONSERVACION DE LA ENERGIA

En la practica, F es la suma de fuerzas de distinto origen, de las cuales unas admiten un potencialy otras no. Conviene por tanto separar ambos casos, en componentes conservativas y disipativas(es decir, que no admiten potencial):

F = Fcons + Fdis (3.2.13)

Con este convenio, (3.2.5) puede reescribirse como

d

dt(T + U (r)) =

d

dt

(m2

r2 + U (r))

= Fdis · r. (3.2.14)

Llamamos energıa del sistema a la suma T + U (r). De acuerdo con la relacion (3.2.5), estaexpresion establece que la variacion temporal de la energıa es igual a la potencia de la fuerzadisipativa Fdis.

9

Ley de conservacion de la energıa: Para fuerzas conservativas, la suma de las energıascinetica y potencial es constante

d

dt(T + U (r)) = 0. (3.2.15)

En este contexto, el termino energıa se refiere exclusivamente a energıa mecanica. Es vitalobservar que la fuerza disipativa transforma energıa mecanica en energıa electrica, termica,quımica, etc, pero que la energıa total del sistema siempre se conserva.10

Conviene recapitular brevemente las nociones relativas a la energıa introducidas hasta este mo-mento. De acuerdo con la discusion anterior, la energıa es una medida de un sistema paraproducir trabajo. En consecuencia, la variacion de la energıa depende de que se realice trabajoen un sistema (aumentando su energıa), o que el propio sistema realice trabajo (disminuyendo suenergıa). Este hecho es el que sugiere una primera clasificacion de la energıa en sus componentescinetica y potencial. La energıa cinetica debe entenderse como la energıa del movimiento, por loque tiene sentido definirla como el trabajo que ha de realizarse para llevar un cuerpo con dichaenergıa al estado de reposo. Por otra parte, la energıa potencial es aquella almacenada en uncuerpo como consecuencia de su posicion, forma o estado.

Ejemplo 2. En el caso de un oscilador unidimensional con rozamiento F = −kx − 2mρx, severifica la conservacion del momento angular, pese a que la fuerza F no proviene de un potencial.En este caso, la ecuacion (3.2.14) adopta la forma

d

dt

(m

2x2 +

k

2x2

)= −2mρx2.

Por tanto, la suma de los terminos cinetico y potencial decrece de forma continua (mρ > 0).

Los operadores diferenciales clasicos de gradiente ∇, rotacional rot y divergencia div estanestrechamente relacionados con las integrales de lınea y multiples [2], resultados que nos permitendeducir otras propiedades de las fuerzas conservativas. Si γ es un camino cerrado en A3, entonces∮

γF · dr = −

∮γ∇U · dr = −

∮γdU = UP − UQ=P = 0. (3.2.16)

9Observamos que no esta excluida que esta componente sea nula, aun en el caso disipativo.10Este es el llamado principio de energıa, segun el cual, en un sistema cerrado, la energıa ni se crea ni se destruye,

sino que se transforma. En la termodinamica, este hecho se conoce como primer principio termodinamico [9].

7

Por tanto, una fuerza conservativa F no realiza trabajo sobre una curva cerrada. Utilizandoel teorema de Stokes sobre una superficie orientable S ⊂ A3, y siendo ∂S la curva borde, lapropiedad (3.2.16) implica que ∫ ∫

Srot F·dS =

∮∂S

F · dr = 0. (3.2.17)

Esto demuestra que F es conservativa si y solo si el trabajo W es independiente de la trayectoria.

Observamos que esta formulacion integral nos permite calcular el potencial U de una fuerzaconservativa F de modo sencillo. Fijado un punto de referencia arbitrario P0, el valor de U encualquier punto P viene especificado por

U (P ) =

∫ P

P0

dU = −∫ P

P0

F·dr. (3.2.18)

Ejemplo 3. Perturbando un atomo de una red cristalina mediante una fuerza independientede la direccion (isotropa) y proporcional a la elongacion, obtenemos un modelo del llamadooscilador armonico isotropo espacial

m r + k r = 0 (3.2.19)

Claramente la fuerza es central, por lo que se verifica la conservacion del momento angular, yla trayectoria es por tanto plana. Puede comprobarse facilmente que para F = −k r se tienerotF = 0, por lo que F admite un potencial. Tomando como condiciones iniciales P0 = (0, 0, 0)y U (P0) = 0 se calcula

U (x, y, z) = k

∫ x

0x dx+ k

∫ y

0y dy + k

∫ z

0z dz =

k

2r2.

En determinadas circunstancias, las leyes de conservacion analizadas permiten la integracion delas ecuaciones del movimiento. La condicion dL

dt = 0 implica las tres ecuaciones

r× (m r) = L, (3.2.20)

mientras que la conservacion de la energıa implica la ecuacion

m

2r2 + U (r) = E, (3.2.21)

donde L es un vector constante. En este caso hablamos de las integrales primeras de las ecuacio-nes del movimiento. En efecto, es inmediato ver que (3.2.20) y (3.2.21) representan ecuacionesdiferenciales de primer orden para r (t) = (x (t) , y (t) , z (t)). Suponiendo que las condiciones(3.2.20) y (3.2.21) se verifican simultaneamente, entonces la fuerza F es central, y de la existen-cia de un potencial se colige que adopta la forma

F = ϕ (r) r.

Por otra parte se verifica la identidad

rot (ϕ (r) r) = ϕ (r) rot (r) +∇ϕ (r) × r = ∇ϕ (r) × r = 0, (3.2.22)

8 3.2. LEY DE LA CONSERVACION DE LA ENERGIA

lo que demuestra que ∇ϕ tiene la misma direccion que r, por lo que solamente puede dependerde la distancia r = ‖r‖. En consecuencia, el potencial U (r) viene especificado por

U (r) = −∫ϕ (r) r dr (3.2.23)

y una fuerza central (conservativa) esta caracterizada por

F = ϕ (r)r

‖r‖. (3.2.24)

Supongamos que m = cte. Dado que la trayectoria es plana, se elige una referencia tal que latrayectoria r de la partıcula esta contenida en el plano de coordenadas x, y y que el momentoangular L tiene la direccion de la componente z.11 Es conveniente considerar coordenadas polaresen el plano, de modo que las leyes de conservacion del momento angular y la energıa adoptanrespectivamente la forma

mr2θ = L;m

2

(r2 + r2θ2

)+ U (r) = E, (3.2.25)

donde L = ‖L‖. De ello se deduce sin dificultad una formula independiente del argumento θ :

m

2

(r2 +

L2

m2r2

)+ U (r) = E, (3.2.26)

ecuacion formalmente muy parecida a la expresion (??) obtenida para sistemas unidimensionales.Integrando (3.2.26) mediante separacion de variables y utilizando nuevamente la relacionmr2θ =L, llegamos a la expresion

θ − θ0 =

∫ r

r0

Ldr

r2√

2m (E − U (r))− L2r−2. (3.2.27)

Esta ultima ecuacion proporciona una solucion a las ecuaciones del movimiento en la format = t (r) , θ = θ (r). Al menos localmente, siempre se puede transformar esta solucion a laforma habitual r (t) y θ (t). Observamos que en el razonamiento anterior, las constantes deintegracion E y L son esenciales. El resto de las constantes se deducen de las condiciones inicialesdel problema, y pueden simplificarse mediante una eleccion optima de estas.Otra opcion equivalente de resolver las ecuaciones del movimiento a partir de (3.2.25) es lasiguiente: de (3.2.26) tenemos que

r =

√2

m

(E − U (r)− L2

m2r2

), (3.2.28)

de modo que

t =

∫ r

r0

dr√2m

(E − U (r)− L2

m2r2

) . (3.2.29)

Supuesto que hemos resuelto esta ecuacion, el angulo θ se obtiene nuevamente de (3.2.27).

11Observese que esto implica elegir una orientacion del plano que contiene la trayectoria.

9

3.3. Clasificacion de trayectorias

Aunque el procedimiento anterior permite formalmente deducir las ecuaciones del movimiento apartir de las integrales primeras, en la practica las integrales que aparecen pueden ser sumamentecomplicadas, lo que no supone una simplificacion del problema original. No obstante, en la forma(3.2.25), las ecuaciones nos proporcionan informacion valiosa acerca del movimiento, aun en elcaso de no tener las expresiones explıcitas. Dado un sistema del que se conozcan la energıa E yel momento angular L, sabemos que en coordenadas polares la magnitud v del vector velocidadv viene dada por

v2 = r2 + r2θ2 (3.3.1)

Empleando la expresion (3.2.25) tenemos que

v =

√2

m(E − U (r)),

dado que la velocidad radial12 esta descrita por (3.2.28). De ello deducimos que los datos de E,L y v nos permiten reconstruir el vector v. Tomando la derivada temporal de los terminos en(3.2.25) se deducen las expresiones

2 r r θ + r2θ = 0,(r r + r r θ2 + r2θ θ

)+ r

∂U

∂r= 0 (3.3.2)

Teniendo en cuenta que

θ = −2r θ

r, θ =

L

mr2

e insertando estas identidades en el segundo termino de (3.3.2) obtenemos, dado que r 6= 0,

m r − L2

mr3+∂U

∂r= 0.13 (3.3.3)

Por tanto, la ecuacion del movimiento para la distancia radial corresponde a un problema unidi-mensional sujeto a una fuerza (ficticia) F = ∂U

∂r + L2

mr3. Claramente esta fuerza es conservativa,

procedente del potencial

Uef (r) = U (r) +L2

2mr2. (3.3.4)

La ley de conservacion de la energıa se reduce simplemente a la formula

E =m

2r2 + Uef (r) . (3.3.5)

Esta ecuacion permite un analisis cualitativo del movimiento, fijado un nivel energetico E y elvalor del momento angular L, teniendo ademas en cuenta que el movimiento solo es posible si

12Componente de v en la direccion del radio vector.13Observese que de

F = −∂U∂r

er,

se deduce la ecuacion siguiente

m r − L2

mr3− F (r) = 0.

10 3.3. CLASIFICACION DE TRAYECTORIAS

Uef (r) < E, dada la positividad del termino cinetico y la masa m. Para ilustrar el metodo declasificacion de orbitas, elegimos un potencial efectivo de la forma

Uef (r) =L2

2mr2− k

r, k > 0. (3.3.6)

Pese a su aparente simplicidad, el potencial U (r) = −k r−1 juega un papel relevante en muchosmodelos de la mecanica celeste [12, 14]. En la siguiente figura representamos tanto el potencialUef (r) como sus dos componentes, ası como algunos valores de la energıa Ei (i = 1, 2, 3) :

Figura 3.3: Potencial central efectivo Uef .

Supongamos que la energıa de la partıcula es E1. Claramente la partıcula no puede acercarse alorigen mas que r0, que corresponde a la asıntota vertical del potencial Uef (r). No existe, porotra parte, una cota superior para el valor de r, indicativo de que la trayectoria u orbita de lapartıcula no es una curva cerrada. El movimiento por tanto es un acercamiento de la partıculaa la barrera establecida por E1,14 colision con la misma y escape al infinito. Obviamente ladiferencia E−Uef (r) corresponde al termino cinetico m

2 r2, que se anula en el punto de inflexion

o retorno r0. Por otra parte, la diferencia

E − U (r) =m

2

(r2 +

L2

m2r2

)=m

2v2 (3.3.7)

corresponde a la energıa cinetica para el valor concreto de r. En consecuencia, conocidas laenergıa E y el momento angular L, conocemos la magnitud de la velocidad de la partıcula,ası como las componentes del vector velocidad para r arbitrario. Esta informacion nos permiteestablecer el comportamiento de la trayectoria de forma aproximada.

14Llamamos a esta ”barrera centrıfuga”.

11

Figura 3.4: Orbita no acotada con punto de retroceso.

Para energıas E1 > E > 0, la situacion es parecida a la anterior, y el tipo de movimiento delmismo tipo. Para energıas mas bajas la situacion cambia radicalmente. Tomando la energıa E2,observamos que r esta acotado tanto inferior. como superiormente. El movimiento tiene portanto dos puntos de inflexion o retorno r1 y r2, llamados generalmente puntos apsidales. Enconsecuencia, el movimiento esta acotado, pero sin que esto implique forzosamente que la orbitadeba ser cerrada. En esta situacion, todo lo que puede decirse es que la trayectoria de la partıculaesta comprendida entre dos circunferencias (llamadas pericentro y apocentro, respectivamente)de radios r1 y r2 respectivamente.

Figura 3.5: Orbita acotada por circunferencias.

Supongamos ahora que la energıa E3 coincide con el valor del mınimo Uef (r3) = −mk2

2L2 del

potencial efectivo Uef (r), donde r3 = L2

km . Dado que r = 0 y los dos puntos apsidales coinciden,la trayectoria de la partıcula es una circunferencia de radio r3.15

15Observese la similitud de este caso con el potencial de Morse estudiado anteriormente.

12 3.3. CLASIFICACION DE TRAYECTORIAS

Figura 3.6: Nivel mınimo de energıa.

Para valores E < E3 no puede darse ningun movimiento, dado que la velocidad radial r nopuede ser imaginaria.Se plantea ahora la cuestion de como varıa la situacion si el valor de L no es fijo. Si bien la tra-yectoria cambia cuantitativamente, la clasificacion de orbitas anterior no se altera, perteneciendoal tipo abierto, acotado o circular. Veremos que, para el potencial U (r) = −k r−1, las orbitasque resultan pueden, en funcion del valor de la energıa E, pertenecer a tres tipos distintos:hiperbolico, parabolico o elıptico (en particular, de tipo circular).

3.3.1. Orbitas circulares y su estabilidad

Si el potencial efectivo de una fuerza central admite maximos y mınimos, las orbitas circularesson posibles siempre que la energıa E del sistema coincida con estos valores extremos, al sernula la velocidad radial. La condicion se expresa mediante

∂Uef∂r

(r0) =

(∂U

∂r− L2

mr3

)|r=r0 = 0. (3.3.8)

La fuerza viene por tanto dada por

F (r0) = −∂U∂r

= − L2

mr30

, (3.3.9)

indicando el signo que la fuerza es atractiva. Interpretando estas ecuaciones en sentido inverso,se concluye que una orbita circular es posible si el momento angular y la energıa admiten lasexpresiones siguientes:

L2 = −mr20F (r0) , E = U (r0) +

L2

2mr20

. (3.3.10)

Si el extremo del potencial efectivo es un maximo, la orbita circular sera inestable, mientrasque en el caso de un mınimo, la fuerza efectiva causara un movimiento de la partıcula en unaregion anular (vease la figura 3.5). En terminos de las derivadas del potencial efectivo, se daraestabilidad siempre que

∂2Uef∂r2

(r0) =

(−∂F

∂r+

3L2

mr4

)|r=r0 > 0, (3.3.11)

13

por lo que ha de verificarse la desigualdad

∂F

∂r|r=r0 <

3L2

mr40

= −3F (r0)

r0. (3.3.12)

Como ejemplo, para los potenciales centrales del tipo

U (r) =k

rn, F = − nk

rn+1,

la condicion de estabilidad (3.3.12) establece que

n (n+ 1) k

rn+20

<3k

rn+20

,

luego ha de ser n < 2.

3.3.2. El potencial de Yukawa

El potencial de Yukawa

U (r) = −k e−αr

r(3.3.13)

aparece en el contexto de las interacciones nucleares, donde se introduce como potencial departıculas portadoras con masa. Para α → 0, el potencial de Yukawa da lugar al potencial deCoulomb.16 Pese a tratarse de un potencial proprio de la fısica de partıculas elementales, suanalisis puede realizarse mediante los metodos de las fuerzas centrales.

El correspondiente potencial efectivo es

Uef (r) =L2

2mr2− k e−αr

r(3.3.14)

Comportamiento asintotico: Para r → 0, el termino dominante del potencial efectivo es L2

2mr2, y

resulta lımr→0 Uef (r) = +∞. Por otra parte, para r →∞, el termino dominante es el mismo, ysiendo m y L2 positivos, resulta que lımr→∞ Uef (r) = 0 con Uef (r) > 0. Como consecuencia deeste resultado y la continuidad del potencial, el numero de ceros de Uef (r) es un numero par, ono existen. Si r0 es un radio para el cual Uef (r0) = 0, se satisface la igualdad

L2

2mr20

=k e−αr0

r0. (3.3.15)

Tomando una nueva variable v = αr, de la expresion anterior se deduce la igualdad

αL2

2mk= v e−v. (3.3.16)

La funcion f (v) = v e−v tiene un maximo local en v = 1, con valor maximo f (1) = e−1 ≈ 0,368.Por tanto, dependiendo de los valores de las constantes, las posibilidades son las siguientes:

Si αL2

2mk > e−1, entonces Uef (r) no tiene ceros.

14 3.3. CLASIFICACION DE TRAYECTORIAS

Si αL2

2mk < e−1, entonces Uef (r) admite exactamente dos ceros.

Posiciones de equilibrio:

d

drUef (r) =

d

dr

(L2

2mr2− k e−αr

r

)= − L2

mr3+ k

αr + 1

r2e−αr. (3.3.17)

Considerando la misma variable auxiliar v = αr, la condicion de existencia de posiciones deequilibrio es equivalente a la igualdad

k v (v + 1)

2e−v − L2

2mr3= 0. (3.3.18)

La funcion g (v) = k v (v + 1) e−v/2 tiene un maximo local en v0 =(1 +√

5)/2 ≈ 1,618, con

valor maximog (v0) = k v0 (v0 + 1) e−v0/2 ≈ 0,42.

Del analisis de la funcion auxiliar g(v) se deduce la grafica

En consecuencia, existen nuevamente dos posibilidades:

Si αL2

2mk > g (v0), entonces Uef (r) no tiene puntos de equilibrio.

Si αL2

2mk < g (v0), entonces Uef (r) admite exactamente dos puntos de equilibrio. Del com-portamiento asintotico se deduce que si r1 y r2 son los radios correspondientes a los puntosde equilibrio, entonces r1 corresponde a un punto de equilibrio estable, y r2 a uno inestable.

Dependiendo de los valores de α, m, k y L2, la evolucion del potencial efectivo corresponde auna de las tres siguientes posibilidades:

16H. Yukawa 1935 Proc. Phys. Math. Soc. Japan 17 48.

15

3.4. Ecuacion diferencial de la orbita

Las simplificaciones anteriores pueden extenderse para obtener, de forma alternativa, una ecua-cion diferencial de segundo orden para la orbita de la partıcula. Para ello solo necesitamos larelacion mr2θ = L de (3.2.25) y la expresion obtenida en (3.3.3). De la primera de estas re-laciones es evidente que mr2 dθ = Ldt, de la cual obtenemos inmediatamente los operadoresdiferenciales17

d

d t=

L

mr2

d

d θ. (3.4.1)

Tomando la derivada segunda respecto de t obtenemos facilmente

d2

d t2=

L

mr2

d

d θ

(L

mr2

d

d θ

). (3.4.2)

Puesto que r = d2rdt2

, reescribimos (3.3.3) de la forma

L

r2

d

d θ

(L

mr2

d r

d θ

)− L2

mr3+∂U

∂r= 0.

Introduciendo la nueva variable u = r−1 y utilizando que se verifica la identidad

r−2 dr

dθ+du

dθ= 0,

la ecuacion anterior simplifica a

L2u2

m

(d2u

dθ2+ u

)− ψ (u) = 0, (3.4.3)

17Este argumento es estandar en la teorıa de formas diferenciales. De mr2 dθ = Ldt se sigue que ddt

= F (r) ddθ

paracierta funcion. De la relacion

dt

(d

dt

)=mr2

LF (r)dθ

(d

dθ

)= 1

es inmediato comprobar que F (r) =(

Lmr2

).

16 3.4. ECUACION DIFERENCIAL DE LA ORBITA

donde ψ (u) es la funcion de u que resulta de ∂U∂r mediante el cambio de variable. Pese a la

aparente sencillez de esta ecuacion,18 en la practica puede ser sumamente difıcil o imposiblede integrar explıcitamente, dado que, en la mayorıa de los casos, la solucion a esta ecuaciondiferencial solo podra expresarse de forma integral. No obstante, algunos casos particulares sıpermiten una solucion explıcita, lo que resultara de interes para ciertos tipos de sistemas ypotenciales. La ecuacion (3.4.3) se conoce asimismo bajo el nombre de formula de Binet.

1. Supongamos que U (r) = −kr−1 y por tanto F = −kr−2er. En este caso, la EDO (3.4.3)tiene la forma

L2u2

m

(d2u

dθ2+ u

)= k u2 (3.4.4)

Simplificando el termino de u2 obtenemos la ecuacion lineal no homogenea de coeficientesconstantes

d2u

dθ2+ u =

km

L2(3.4.5)

La solucion a esta ecuacion puede escribirse de la forma

u (θ) = A cos (θ − θ0) +km

L2,

de donde finalmente obtenemos que

1

r (θ)= A cos (θ − θ0) +

km

L2=km

L2(ε cos (θ − θ0) + 1) . (3.4.6)

No es difıcil comprobar que esta ecuacion describe una seccion conica,19 uno de cuyos focoses el origen de coordenadas. El parametro ε es la excentricidad de la conica. Empleandola ecuacion (3.2.26), resulta de un calculo sencillo que

ε =

√1 +

2L2E

mk2. (3.4.7)

El tipo de conica se deduce de inmediato del valor de la excentricidad:20

ε > 1 E > 0 hiperbolaε = 1 E = 0 parabola1 ≥ ε ≥ 0 E < 0 elipse

(3.4.8)

Figura 3.7: Orbitas del potencial −k r−1.

18Observese que para cualquier fuerza central (potencial), la variable θ no aparece en la citada ecuacion.19Ver apendices.20Ver por ejemplo [1].

17

2. Tomemos el potencial U (r) = −kr−2. En este caso, la ecuacion (3.4.3) nuevamente dalugar a una ecuacion lineal

d2u

dθ2+ u

(1− km

L2

)= 0, (3.4.9)

cuya solucion puede expresarse de la forma

u (θ) =1

r (θ)= A cos

(√L2 − kmL

θ − θ0

),

donde A es una constante de integracion que se determina a partir de las condicionesiniciales. En contraste con el caso anterior, las orbitas para este potencial pueden ser muchomas complicadas, como se pone de manifiesto en las trayectorias de la figura siguiente,correspondientes a distintas elecciones de L.

Figura 3.8: Orbitas del potencial −k r−2.

Una propiedad fundamental que distingue este potencial del anterior es que las orbitasacotadas no son necesariamente cerradas.

La ecuacion diferencial (3.4.3) puede utilizarse tambien en sentido inverso, es decir, para de-terminar que tipos de fuerzas centrales estan asociadas a ciertos tipos de curvas planas. Comoilustracion de este hecho, supongamos que la trayectoria observada para el movimiento de unamasa m es una lemniscata, descrita en coordenadas polares mediante la formula

r2 = a2 cos (2θ) , a ∈ R. (3.4.10)

Se trata de una trayectoria cerrada y periodica, con un punto de autointerseccion, que coincidecon el origen.

Figura 3.9: Curva lemniscata.

18 3.4. ECUACION DIFERENCIAL DE LA ORBITA

En este caso, tenemos que u = r−1 = a−1 cos (2θ)−12 , de lo que obtenemos facilmente

d u

dθ=

sin (2θ)

a cos (2θ)32

,d2 u

dθ2=

cos (4θ)− 5

2a cos (2θ)52

.

Insertando estos valores en (3.4.3), hallamos la relacion

ψ (u) =3L2

a3m cos (2θ)72

=3a4L2

mu7, (3.4.11)

de lo que resulta que la fuerza central es proporcional a r−7.

3.4.1. Factor integrante de la ecuacion de orbitas

La ecuacion (3.4.3) es un caso particular de la ecuacion no lineal

u2

(d2u

dθ2+ u

)− F (u) = 0, (3.4.12)

donde F (u) es una funcion arbitraria. Como se ha ilustrado con los ejemplos presentados, lassoluciones tienen propiedades muy distintas, dependiendo de la forma de F (u).21 No obstante,con caracter general, la ecuacion admite siempre una integral primera que se deduce a partir deun factor integrante. Tomando por ejemplo la funcion

µ =1

u2

du

dθ, (3.4.13)

y multiplicando ( 3.4.12) por µ, llegamos a la nueva ecuacion

du

dθ

(d2u

dθ2+ u

)− 1

u2

du

dθF (u) = 0. (3.4.14)

Mediante una manipulacion algebraica la reducimos a la expresion

d

dθ

(1

2

(du

dθ

)2)

+du

dθ

(u3 − F (u)

u2

)= 0, (3.4.15)

donde se observa que ambos terminos pueden escribirse como una derivada respecto de θ. Enefecto, se comprueba facilmente que

du

dθ

(u3 − F (u)

u2

)=

d

dθ

∫ u(θ)(z3 − F (z)

z2

)dz, (3.4.16)

de lo que resulta de (3.4.15) que existe una constante C1 tal que

1

2

(du

dθ

)2

+

∫ u(θ)

0

(z3 − F (z)

z2

)dz = C1. (3.4.17)

21Observamos en particular que para F (u) = u−1, obtenemos la ecuacion de Pinney, analizada anteriormente en elcontexto de osciladores perturbados.

19

Despejando el cuadrado, esta integral primera puede reducirse a la ecuacion (formalmente)separable

du√2C1 − 2

∫ u(θ)0

(z3−F (z)

z2

)dz

= dθ. (3.4.18)

Integrando esta expresion, se obtiene el angulo θ en funcion de la orbita

θ + C2 =

∫ u dv√2C1 − 2

∫ v0

(z3−F (z)

z2

)dz

. (3.4.19)

Aunque desde el punto de vista practico, esta identidad no supone una simplificacion, puede serutil para analizar determinadas propiedades de la ecuacion de orbitas, tales como sus simetrıas.

3.5. El teorema de Bertrand

El llamado teorema de Bertrand, enunciado y demostrado por primera vez en 1873,22 constituyeun resultado de caracter geometrico que, no obstante, tiene profundas implicaciones fısicas,en particular en problemas de mecanica celeste. El teorema afirma que los unicos potencialescentrales U(r) para los cuales las orbitas acotadas son cerradas son U(r) = −k/r y U(r) = kr2,correspondientes a las fuerzas inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (fuerzanewtoniana) y de Hooke, respectivamente.23

La practica totalidad de las demostraciones del teorema se dividen en varios pasos, siendo elultimo el mas difıcil tecnicamente, y donde un mayor numero de variantes se ha propuesto, desdeun enfoque basado en expansiones perturbativas al estudio de las constantes del movimiento.La demostracion que presentamos aquı, propuesta muy recientemente,24 respeta el enfoque origi-nal de Bertrand, pero introduce simplificaciones muy notables, al utilizar en esencia la trayectoriaorbital.

Dado el potencial central U(r), la conservacion de la energıa (3.3.5), expresada en terminos delpotencial efectivo Uef (r) definido en (3.3.4) permite deducir el sistema de primer orden siguiente:

dr

dt= ±

√2

m(E − Uef );

dθ

dt=

L

m r2. (3.5.1)

En la segunda ecuacion, consideramos la variacion de t con respecto al angulo, es decir, dtdθ = m r2

L ,sustituyendo adecuadamente en la primera identidad, de lo que resulta

dr

dθ= ±m r2

L

√2

m(E − Uef ). (3.5.2)

22J. Bertrand 1873 C. R. Acad. Sci. 77 849.23Tambien se emplea la nomenclatura de potencial de Coulomb para U(r) = −k/r, dada la estrecha relacion con la

ley del mismo nombre usada en la electroestatica.24Para consultar los trabajos originales que proponen esta demostracion, veanse J. L. Castro-Quilantan, J. L. Del

Rıo, M. A. R. Medina 1996 Rev. Mex. Fis. 42 867, ası como S. A. Chin 2015 Am. J. Phys. 83 320.

20 3.5. EL TEOREMA DE BERTRAND

Si ahora consideramos la variable auxiliar u = r−1 introducida anteriormente, la ecuacion (3.5.2)adquiere la forma

du

dθ= ∓m

L

√2

m(E − Uef ), (3.5.3)

lo que posibilita expresar la conservacion de la energıa en funcion de u:

m

2

(du

dθ

)2

+ Uef (u) = E, (3.5.4)

donde m = L2/m y Uef (u) = m2 u

2 + U(

1u

).

Una de la claves de la demostracion esta en comparar la ecuacion (3.5.4) con la conservacion dela energıa para un oscilador armonico

m

2z2 +

k

2z2 = E (3.5.5)

El primer paso consiste an analizar el diagrama de fases de una orbita que difiera ligeramentede una trayectoria circular. Una orbita circular se obtiene para r(θ) = cte, por tanto ha deverificarse que u = u0 es constante. De (3.5.4) resulta Uef (u0) = E y, en consecuencia, severifican las relaciones

dUefdu

= mu0 − u−20 U(u−1

0 ) = 0. (3.5.6)

d2Ueffd2u

= m+ 2u−30 U ′(u−1

0 ) + u−40 U ′′(u−1

0 ), (3.5.7)

donde U ′, U ′′ designan la primera y segunda derivadas de U respecto del argumento u−1.Una perturbacion en torno a u0 puede expresarse formalmente mediante la ecuacion

u(θ) = u0 + ζ(θ). (3.5.8)

Desarrollando el potencial efectivo Uef (u) como serie de potencias en torno a u0, obtenemos unaexpresion que permite calibrar el termino de la perturbacion:

Uef (u) = Uef (u0) + ζdUeffdu

(u0) +1

2ζ2d

2Ueffd2u

(u0) +R3(ζ), (3.5.9)

donde R3(ζ) designa los terminos de orden mayor o igual que tres. Por (3.5.7), el segundo terminoa la derecha de (3.5.9) se anula, lo que nos permite reformular la conservacion de la energıa enla forma

m

2

(dζ

dθ

)2

+ζ2

2

d2Ueffd2u

(u0) = E − Uef (u0) = E0. (3.5.10)

Desde el punto de vista analıtico, esta ultima ecuacion y la ecuacion (3.5.5) asociada al osciladorarmonico son del mismo tipo, por lo que se deduce inmediatamente que la solucion de (3.5.10)esta dada por

u(θ) = u0 +A cos(Ω0θ). (3.5.11)

21

La frecuencia angular es Ω0 =

√(d2Ueffd2u

(u0))/m. Podemos suponer que u(θ) parte del maximou(0) y alcanza un mınimo u0 −A para un cierto angulo apsidal θA. El argumento del coseno en(3.5.11) varıa por tanto en π. En consecuencia, se obtiene para el angulo apsidal la relacion

θA = Ω−10 π. (3.5.12)

Se deduce de esta expresion que el angulo apsidal es constante e independiente del valor de L yE solo si Ω0 es una constante. En particular, debe verificarse Ω0 > 0 si la oscilacion en torno ala orbita circular es estable.Utilizando las ecuaciones (3.5.6) y (3.5.7), puede expresarse la frecuencia Ω0 en funcion delpotencial original:

Ω0 =

√3 + r0

U ′′(r0)

U ′(r0). (3.5.13)

Supuesto que la expresion (3.5.13) es constante, existe un escalar n + 2 > 0 que verifica laecuacion siguiente para todo r:

3 +r

U ′(r)U ′′(r) = n+ 2. (3.5.14)

Tenemos una ecuacion reducible a primer orden y separable. Integrando, obtenemos el potencial(descartando potenciales constantes)

U(r) =C1

nrn. (3.5.15)

Por tanto, un angulo apsidal constante esta en correspondencia con potenciales del tipo (3.5.15).Observamos que, para n→ 0, el potencial es de tipo logarıtmico lımn→0 U(r) = C1 ln r.Volviendo al angulo apsidal (3.5.12), obtenemos

θA =π√n+ 2

. (3.5.16)

Para n = −1, 2, es evidente que el angulo apsidal es un multiplo racional de π. Si n = −1, elpotencial correspondiente es U(r) = −C1r

−1, y la fuerza es por tanto inversamente proporcionalal cuadrado de r. Por otro lado, si n = 2, el potencial es U(r) = C1r

2 y la fuerza correspondea la ley de Hooke. El paso final y decisivo de la demostracion del teorema de Bertrand consisteen descartar todos los demas valores de n.

El resultado anterior nos permite, entre otras cuestiones, determinar el angulo apsidal θA paraorbitas y lımites de la energıa E cualesquiera. Para n > 0 es habitual considerar el lımite E →∞.Si umax designa el valor maximo de la variable u, de la forma del potencial efectivo y la ecuacion(3.5.4) se deduce que

m

2u2max = E. (3.5.17)

Definimos un nuevo potencial efectivo obtenido a traves de un cambio de escala en la variableu: sea z = u u−1

max y

Uef (z) = z2 +k

n

(m

2

)(n/2)

E−(1+n/2)z−n. (3.5.18)

22 3.5. EL TEOREMA DE BERTRAND

Para energıas crecientes y z > 1, el termino en E es despreciable. En un entorno de z = 0,observamos que cuanto mayor es el valor de E, el potencial efectivo Uef (z) se aproxima alpotencial del oscilador armonico con una barrera de potencial en z = 0.25 En el valor del lımitese verifica

m

2

(du

dt

)2

+m

2u2 = E, (3.5.19)

expresion que comparamos con la ecuacion (3.5.5) para el oscilador. Identificando las constantestenemos que m = m = k, y por tanto se tiene que Ω0 = 1. No obstante, la oscilacion de u entrelos valores umax y umin = 0 corresponde tan solo a la cuarta parte de un ciclo del osciladorarmonico, por lo que ha de satisfacerse la identidad θA = π/2. De (3.5.16) se concluye que soloel valor n = 2 satisface la condicion de tener angulo apsidal constante en orbitas cuasi-circularesy energıas E →∞.

Figura 3.10: Comportamiento del potencial efectivo Uef (z) para valores crecientes de E (lease dederecha a izquierda).

El caso particular n→ 0 queda descartado al tener angulo apsidal irracional, lo que implica quelas orbitas no son cerradas. En consecuencia, para valores n > 0, solo n = 2 (correspondiente ala ley de Hooke) satisface las condiciones del teorema.

Sea ahora n < 0. Efectuando el cambio de variable n = −s, donde 0 < s < 2, el potencial(3.5.15) adopta la forma U(r) = −k

s r−s. Las orbitas acotadas son posibles solo si E < 0, por lo

que el lımite a considerar es E → 0 con rmax →∞. La ecuacion (3.5.4) para este lımite da lugara

m

2

(du

dt

)2

+m

2u2 =

k

sus. (3.5.20)

Multiplicando por u−s obtenemos la expresion equivalente

m

2u−s

(du

dt

)2

+m

2u(2−s) =

k

s. (3.5.21)

25Esto corresponde al lımite umin → 0.

23

Para reducir esta expresion a una ecuacion del tipo (3.5.5), realizamos otro cambio de variableu2−s = z2. De la diferencial (2− s)u(1−s) du = 2z dz se sigue facilmente la relacion

du

dθ=

2u

(2− s)zdz

dθ, (3.5.22)

y sustituyendo esta expresion en (3.5.21) resulta

2m

(2− s)2

(du

dθ

)2

+m

2z2 =

k

s. (3.5.23)

Comparando los coeficientes de (3.5.5) y (3.5.23) se obtienen k = m y m = 4m/(2− s)2, y portanto Ω0 = 1

2(2 − s). Nuevamente, la oscilacion de zmax a zmin = 0 constituye la cuarta partede aquella para el oscilador, con lo cual el angulo apsidal tiene el valor

θA =π

2− s. (3.5.24)

Comparando con (3.5.16) se concluye que√

2− s = 1 y la unica solucion s = 1, luego el unicovalor de n que satisface las condiciones es n = −1, correspondiente a una fuerza inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia.

Como se ha observado anteriormente, el teorema de Bertrand tiene implicaciones fısicas relevan-tes. Dado que la ley de Hooke no puede extenderse de forma realista a distancias astronomicas,una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia es la unica posibilidad de ob-tener, a escala astronomica, orbitas cerradas, y por tanto, una descripcion adecuada de orbitasplanetarias.26 Al margen de este hecho, los dos potenciales que satisfacen el teorema de Ber-trand son ejemplos paradigmaticos de los llamados sistemas superintegrables, para los cuales laecuacion de Hamilton-Jacobi es separable en mas de un sistema de coordenadas.

3.6. Las leyes de Kepler

Las leyes de Kepler para el movimiento de un planeta alrededor del Sol,27 deducidas empırica-mente en el siglo XVII a partir de las observaciones astronomicas de Tycho Brahe, constituyenun ejemplo importante de sistemas que pueden ser descritos satisfactoriamente con fuerzas ypotenciales centrales. Los postulados de Kepler son una descripcion empırica del movimiento delos planetas del sistema solar, y constituyen la base en la que Newton se apoyo para enunciar laLey de Gravitacion Universal.

En su forma original, las tres leyes de Kepler se enuncian de la siguiente forma:

1. La orbita de los planetas son elipses, en uno de cuyos focos esta situado el Sol.

2. El radio-vector del planeta28 recorre en tiempos iguales areas iguales.

26Claramente las orbitas reales difieren de las predichas por el potencial de Coulomb, puesto que hay que considerarlas perturbaciones provocadas por otros cuerpos, pero la propiedad fundamental del cierre orbital se conserva.

27Valido igualmente para la orbita alrededor de cualquier otra estrella.28Vector que une el Sol con el planeta.

24 3.6. LAS LEYES DE KEPLER

3. Los cuadrados de los perıodos de revolucion son proporcionales a los cubos de los semiejesmayores de sus orbitas

T 21

T 22

=a3

1

a32

.

Figura 3.11: Segunda y tercera leyes de Kepler.

La primera ley de Kepler es una indicacion de que la fuerza ha de ser inversamente proporcionalal cuadrado de la distancia, como se deduce de los calculos realizados en las secciones anteriores.Observamos que la segunda ley es una consecuencia inmediata de la identidad (3.1.9). Admi-tiendo que la orbita del planeta es elıptica, deducimos que la velocidad de este en el punto demaxima aproximacion al Sol (perihelio) debe ser mayor que en el punto de maxima distancia(afelio) .Con el fin de analizar la tercera ley, sea T el tiempo de revolucion del planeta en una orbitaelıptica alrededor del Sol. De la ecuacion (3.1.9) se concluye, puesto que L = r×p, la identidad29

dS =L

2mdt. (3.6.1)

En consecuencia

S =

∫ s

0dS =

∫ T

0

L

2mdt =

1

2mLT. (3.6.2)

Dado que la orbita es una elipse, el area es S = πab, donde a, b designan los semiejes (mayor ymenor, respectivamente), la sustitucion en la ecuacion (3.6.2) y elevando al cuadrado da lugara la expresion

T 2 =4π2a2b2m2

L2(3.6.3)

La longitud de los semiejes mayor y menor vienen expresadas en funcion de la constante k y elvalor de la energıa E como

a = − k

2E, b = a

√1− ε2 = −k

√1− ε2

2E. (3.6.4)

Empleando la formula (3.4.7) para la excentricidad, y sustituyendo los valores anteriores, seobtiene

T 2 =4π2m

ka3. (3.6.5)

Conforme a la tercera ley, la proporcion que resulta de la identidad anterior es una constante(para todas las orbitas).

29Recordemos que ‖L‖ = L.

25

3.6.1. Ley de la Gravitacion Universal

Como se ha observado en el analisis general de las fuerzas centrales, las leyes de Kepler son uncaso especial de una ley mas general, llamada de gravitacion universal. Dicha ley, enunciadaen 1666 por Newton, es formalmente muy similar a la ley de Coulomb de la electroestatica, ycorresponde a la unica posibilidad astronomicamente valida para el teorema de Bertrand.

Ley de la Gravitacion Universal: Dos masas puntuales m1 y m2 se atraen con una fuerza Fproporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia:

|F| ∼ m1m2

r2. (3.6.6)

Es factible escribir la relacion anterior como una identidad introduciendo una constante deproporcionalidad γ :

F = γm1m2

r2r, (3.6.7)

donde r es el vector unitario que une ambas partıculas. El escalar γ,30 conocido como constantegravitacional, se determina experimentalmente. Su valor aproximado es

γ = 6, 670× 10−11 N m2 kg−2. (3.6.8)

Partiendo de la ley de gravitacion, es inmediato obtener las leyes de Kepler utilizando la ecuacionde las orbitas (3.4.4).

Ejemplo 4. Calculo de la masa terrestre.Consideremos una partıcula de masa m sobre la superficie terrestre. Su distancia al centro de laTierra es R = 6, 37 × 106m. Teniendo en cuenta que mg corresponde a la fuerza gravitatoria,tenemos de (3.6.7) la identidad

F = γm M

R2r = mgr.

Despejando m se deduce que la aceleracion gravitatoria g se expresa en funcion de la masa yradio terrestres, ası como de la constante γ. Dado que la masa m no aparece, cabe esperar quetodos los cuerpos experimenten la misma aceleracion (en ausencia de resistencia del aire). Lamasa terrestre se calcula facilmente a partir de los valores de g y R como

M = 5, 98× 1024 kg.

Ejemplo 5. Masa de un planeta provisto de un satelite.Consideremos un satelite de masa m que orbita circularmente en torno a un planeta de masa M .El radio de la orbita es r, y su perıodo T. La fuerza de atraccion viene expresada por (3.6.7). Porotra parte, esta fuerza debe ser igual a la aceleracion centrıpeta v2r−1 = 4π2rT−2 del satelite.Igualando se obtiene

γm M

r2=

4π2mr

T 2=⇒M =

4π2r3

γT 2.

Para el caso de la Luna, tenemos r = 3, 84×108m y T = 2, 36×106s, de lo cual puede calcularsela masa terrestre de forma alternativa.

30Otra notacion muy empleada para esta constante es G.

26 3.6. LAS LEYES DE KEPLER

Velocidades de escape de un campo gravitatorio

La aplicacion de la ley descrita por (3.6.7) permite asimismo calcular la velocidad que ha de tenerun cuerpo para escapar de un campo gravitatorio, en particular del campo terrestre, ası comola velocidad necesaria para escapar del Sistema Solar. Sin perdida de generalidad, suponemosque la masa del cuerpo es m = 1. Conviene introducir las constantes

γT = γ mT = 3,98× 1014 m3

s2, γS = γ mS = 1,32× 1020 m3

s2, (3.6.9)

donde mT y mS designan la masa de la Tierra y el Sol, respectivamente. Considerando que lamasa m esta sujeta a los campos gravitatorios del Sol y la Tierra, el potencial esta determinadopor

U = − γT‖r‖− γs‖r + R0‖

, (3.6.10)

donde el vector de posicion r se elige desde el centro terrestre y la norma del vector Sol-Tierraes R0 = ‖R0‖ = 149,6× 107m.

Figura 3.12: Referencia del campo gravitaorio Sol-Tierra-cuerpo.

De la conservacion de la energıa obtenemos

E =r2

2− γT‖r‖− γs‖r + R0‖

. (3.6.11)

La condicion de escape viene dada por E = 0, dado que en este caso, para v = ‖r‖ → 0, ha deverificarse ‖r‖ → ∞. Por tanto se verifica

r2 = v2 = 2

(γT‖r‖

+γs

‖r + R0‖

)=

2

r

(γT +

γS√1 + 2R0r−1 cos θ + (R0r−1)2

), (3.6.12)

donde r = ‖r‖ y θ es el angulo que forma la recta generada por R0 y r. Para un punto sobrela superficie terrestre, es facil deducir de la formula que la velocidad adopta su valor mınimo si

27

cos θ = 1. Si r = r0 designa el radio terrestre, resulta que

v2mın =

2

r0

(γT +

γS(1 +R0r

−10

)) = 2

(γTr0

+γSR0

). (3.6.13)

Si solo nos interesa la velocidad de escape del campo gravitatorio terrestre, basta evaluar (3.6.13)para γS = 0, de lo que resulta vmın ≈ 11,2km

s . Para escapar del Sistema Solar (segunda velocidad

de escape) obtenemos la velocidad mınima vmın ≈ 43,3kms . Dado que este mınimo tambien

involucra la velocidad terrestre,31 la segunda velocidad de escape (con respecto a la Tierra) seobtiene por diferencia, de lo que resulta vmın ≈ 13,3km

s .

3.6.2. Precesion del perihelio en una orbita kepleriana

En situaciones reales, las orbitas resultantes de las leyes de Kepler son tan solo aproximadas,debido a las perturbaciones ocasionadas por otros planetas o cuerpos celestes. Esto ocasionaque la orbita rote levemente en el plano orbital, por lo que se observa una ligera precesion delperihelio de un planeta. Con caracter general, la mecanica clasica no explica satisfactoriamentelas precesiones observadas, en particular la del planeta Mercurio, siendo la relatividad generalla teorıa que es preciso considerar para justificar la diferencia de las precesiones calculadas yobservadas.

El calculo de las precesiones usualmente se realiza mediante la teorıa de perturbaciones. Noobstante, con las nociones ya vistas, puede abordarse el calculo de la componente de la precesionno relativista de un planeta, donde elegimos Mercurio como ejemplo ilustrativo.

Tomando el Sol como centro de fuerzas, el momento lineal de un planeta en orbita alrededor delSol viene dado, en la referencia polar, mediante la ecuacion

mr = −γm M

r2er, (3.6.14)

siendo m la masa planetaria y M la solar. Puesto que momento angular es L = mr2θ, utilizandola formula (??) se obtiene que

r = −γm M

Lθer = γ

m M

Leθ. (3.6.15)

Esta identidad es facilmente integrable, e introduciendo un vector fijo e0 resulta

r = γm M

L(eθ + e0) . (3.6.16)

El vector e0 puede interpretarse geometricamente: su direccion define el eje menor de la orbi-ta, siendo su magnitud la excentricidad de la elipse.32 En consecuencia, la orbita elıptica estacompletamente especificada por la energıa E, el momento angular L y e0.

Tanto la energıa como el momento angular se conservan para fuerzas centrales, por lo que solohabra dependencia temporal en el vector e0. Para ello consideramos que la fuerza (perturbada)adopta la forma

F = −γm M

r2(1 + ϕ(r)) er, (3.6.17)

31El valor aproximado es vT ≈ 30 kms

.32De hecho este vector puede deducirse asimismo del llamado vector de Runge-Lenz. Para esta derivacion, veanse

M. P. Price, W. F. Rush 1979 Amer. J. Phys. 47 531, ası como B. Davies 1983 Amer J. Phys. 51 909.

28 3.6. LAS LEYES DE KEPLER

de modo que la funcion ϕ(r) es una medida de la perturbacion de la fuerza gravitacional. De laecuacion (3.6.15) se sigue, sustituyendo el valor de L, la identidad

e0 = −θϕ(r)er. (3.6.18)

Teniendo en cuenta las expresiones anteriores, y el hecho de que la base er, eθ es ortonormal,obtenemos el siguiente producto escalar:

e0 · e0 = − θ2ϕ(r)rr2

γ M= − L2ϕ(r)

γ m2Mr2r. (3.6.19)

De esta expresion obtenemos, mediante integraci’on, una tercera constante del movimiento:

e20

2+

∫ r L2ϕ(τ)

γ m2Mτ2dτ = C. (3.6.20)

Dada una orbita acotada de perıodo T , la solucion real r(t) es periodica con el mismo perıodo.En consecuencia, la excentricidad es una funcion periodica del tiempo para una perturbacioncentral.

Analicemos ahora la precesion de la orbita. En la referencia dada, las coordenadas de e0 son(e, ψ), de lo que se deduce que

e0 × e0 = e2ψez. (3.6.21)

Comparando con el resultado que se deriva usando las formulas (3.6.16) y (3.6.18), la variacionde la precesion esta determinada por

ψ =

(L2

γ m2Mr− 1

)θϕ(r)

e. (3.6.22)

Integrando esta ecuacion sobre un perıodo completo T proporciona el cambio acumulado. Me-diante un cambio de variable resulta

∆ψ =2

e

∫ π

0

(L2

γ m2Mr− 1

)ϕ(r)dθ. (3.6.23)

Esta integral puede simplificarse teniendo en cuenta que la deduccion del vector momento angularL como producto vectorial. Usando la formula (3.6.16), se sigue la identidad

Lez = γm2Mr

L(1 + e sinα) ez, (3.6.24)

siendo α el angulo que forman los vectores er y e0. Con los datos de la orbita (comparese conla ecuacion (3.4.6)), la trayectoria viene descrita por

r =a(1− e2

)1 + e cos θ

, (3.6.25)

lo que implica la relacion α = θ+ π2 . Insertando el coeficiente de la ecuacion (3.6.24) en (3.6.23),

y teniendo en cuenta la relacion entre los angulos, ası como la aproximacion en primer ordenpara la perturbacion, se obtiene la integral

∆ψ ∼=2

e

∫ π

0cos θϕ(r) dθ. (3.6.26)

29

La magnitud cosθ es positiva para la region orbital donde la distancia planetaria es menor que a,y negativa en caso contrario. De este modo, el signo y magnitud de la precesion orbital dependede la velocidad de cambio (creciente y decreciente) de la fuerza de perturbacion, comparada conla atraccion gravitatoria del cuerpo primario.

Como ejemplo ilustrativo de la relacion (3.6.26), consideremos la funcion

ϕ(r) =3L2

m2c2r2, (3.6.27)

que puede interpretarse como el termino de correccion relativista de las orbitas keplerianas,siendo c la velocidad de la luz en el vacıo.33 Sustituyendo en (3.6.26) la relacion

L2 = γm2M(1− e2

)a, (3.6.28)

se obtiene

∆ψ ∼=6γM

a e c2(1− e2)

∫ π

0cos θ (1 + e cos θ)2 dθ =

6πγM

a c2(1− e2). (3.6.29)

Si consideramos que la orbita es aproximadamente circular, existe una forma alternativa deobtener una estimacion de ∆ψ. Dado que r − a ∼= −ae cos θ, la funcion ϕ(r) puede aproximarsepor

ϕ(r) ∼= ϕ(a)− aeg′(a) cos θ. (3.6.30)

Por tanto, la expresion para la precesion por orbita se reduce a

∆ψ ∼=2

e

∫ π

0

(ϕ(a)− aeg′(a) cos θ

)cos θdθ = −aπg′(a). (3.6.31)

En aplicaciones practicas, la integral de (3.6.26) debe resolverse mediante metodos numericos,que pueden variar dependiendo de la funcion ϕ(r) tomada.34 Para el caso particular de laperturbacion de planetas exteriores en la orbita de Mercurio, una buena aproximacion vienedada por

∆ψ ∼=π

N e

2N∑k=1

ϕ(rk) cos

((k − 1

2)π

2N

)., (3.6.32)

Tomando N = 1 se obtiene una aproximacion aceptable, mientras que el valor N = 2 proporcionaun resultado de tres cifras significativas. Para el caso que nos ocupa, asumiendo que las orbitasson semicirculares, la perturbacion radial de un planeta sobre Mercurio es aproximadamente

γ;mMP r

2RP(R2P − r2

) , (3.6.33)

siendo MP la masa planetaria y RP el radio medio. Por tanto, cada planeta exterior contribuyeun termino del tipo

ϕP (r) = − MP r3

2M(R3P −RP r2

) . (3.6.34)

33Para mas detalles, vease por ejemplo los capıtulos dedicados a la teorıa de perturbaciones en [8] o [12].34Vease por ejemplo [4] para un compendio de estos metodos.

30 3.7. FUERZAS CENTRALES Y FUERZAS PARALELAS

Si tenemos en cuenta que, en la media, la perturbacion gravitatoria es en direccion opuesta alSol, la fuerza que resulta es repulsiva y creciente con respecto a r, por lo que la precesion espositiva. Utilizando como medida de la precesion el segundo de arco por siglo,35 el resultadodel calculo de las contribuciones a la precesion de Mercurio por los planetas exteriores es elsiguiente:

Venus Tierra Marte Jupiter Saturno Urano Neptuno Pluton

N = 1 253 87 2 152 7 0 0 0N = 2 272 92 2 157 8 0 0 0

Cuadro 3.1: Contribucion a la precesion para N = 1, 2.

En consecuencia, para N = 1 se obtiene una precesion total de 501 segundos de arco por siglo,mientras que para N = 2, esta de de 531 segundos de arco por siglo. Utilizando metodos de lateorıa general de la relatividad,36 se demuestra que la precesion total es de 575 segundos de arcopor siglo, de los cuales 532 se deben a efectos no relativistas, y 43 segundos de arco por siglo ala contribucion relativista.

3.7. Fuerzas centrales y fuerzas paralelas

Una vez analizado con detalle el problema de las fuerzas centrales, es posible modificar alguna delas hipotesis y obtener problemas de naturaleza similar. Una de tales opciones es la posibilidad detransformar campos de fuerza centrales de cierto tipo a los llamados campos de fuerza paralelos.Supuesto que en un campo de fuerza central F el centro de fuerzas esta a una gran distanciade la partıcula, dado un cierto punto P en una trayectoria, observaremos que la trayectoria quepasa por el punto P + ∆P es practicamente paralela. En este sentido, si pasamos al lımite ysuponemos que el centro de fuerzas esta situado a una distancia infinita de la partıcula, el campocentral puede verse como un campo paralelo.37 En este caso es razonable adoptar una referenciaortonormal e1, e2 en la cual F ‖ e1, por lo que las ecuaciones del movimiento se reducen a laforma siguiente:

x1 = F (x1) , x2 = 0. (3.7.1)

De la segunda ecuacion resulta x2 (t) = a0t + b0 para ciertas constantes a0, b0. En la primeraecuacion realizamos la sustitucion p = x1, de lo que resulta la reduccion de orden

pdp

dx1= F1 (x1) . (3.7.2)

Integrando esta ecuacion y resolviendo respecto de la variable p llegamos a la expresion p =√2∫F (x1) dx1 − C para una constante C, de lo que se deduce la identidad

dt =dx1√

2∫F (x1) dx1 − C

. (3.7.3)

35El segundo de arco corresponde a π648000

radianes.36Una exposicion puede hallarse en las referencias [3] y [12].37Advertimos que esta nocion no tiene relacion con el llamado paralelismo de la geometrıa diferencial, en la que un

campo paralelo esta definido en terminos de la derivada covariante.

31

El problema se resuelve por tanto de forma indirecta

t =

∫dx1√

2∫F (x1) dx1 − C

dx1 +B, (3.7.4)

donde B es la cuarta constante de integracion. Observese que si a0 6= 0, podemos a su vez igualarcon (x2 − b0) a−1

0 .En este sentido, el problema de fuerzas centrales es un paso al lımıte del problema de fuerzascentrales.

Demostramos a continuacion el recıproco, es decir, que el problema general de fuerzas centralespuede reducirse a un problema de fuerzas paralelas.38 Supongamos a estos efectos que las ecua-ciones del movimiento de una partıcula en un campo central dado por un potencial U (r) estandadas, en una referencia ortogonal, mediante el sistema

x1 =ϕ (r)

rx1, x2 =

ϕ (r)

rx2. (3.7.5)

El momento angular x1x2 − x1x2 es constante, que designamos por L.

Realizamos ahora el siguiente cambio de referencia y de variable temporal39

X =x1

x2, Y =

1

x2, T =

∫dt

x22

. (3.7.6)

Respecto de estas nuevas coordenadas, se verifican las condiciones40

dX

dT=dX

dt

dt

dT=x1x2 − x1x2

x22

x22 = L,

d2X

dT 2= 0, (3.7.7)

dY

dT=dY

dt

dt

dT= − x2

x22

x22 = −x2,

d2Y

dT 2= −x2x

22. (3.7.8)

Resulta de ello que las ecuaciones del movimiento transformadas son

d2X

dT 2= 0,

d2Y

dT 2= −ϕ (r)

rx3

2, (3.7.9)

correspondientes a un problema de fuerzas paralelas.

3.8. El problema de dos fuerzas centrales

Como extrapolacion natural del problema de fuerzas centrales cabe preguntarse cual sera latrayectoria de una partıcula sobre la actuan simultaneamente dos o mas fuerzas centrales. Con

38Recordamos que estamos sobreentendiendo que una fuerza central es conservativa.39Hemos de observar que en este cambio de t a T no tenemos en general lo que llamaremos una transformacion de

Galileo, con lo cual no se estarıa conservando el caracter inercial de la referencia de partida.40Observese que

dT

dt=

d

dt

(∫dt

x22

)=

1

x22.

32 3.8. EL PROBLEMA DE DOS FUERZAS CENTRALES

el fin de ilustrar la situacion, consideramos con detalle solamente el problema de dos fuerzascentrales, aunque formalmente pueda resolverse el caso general empleando una argumentacionmuy similar.

Sin perdida de generalidad podemos suponer que los centros de fuerza estan situados sobre eleje x en una referencia ortonormal x, y y simetricamente dispuestos respecto del origen. Sean(−c, 0) y (c, 0) sus coordenadas, respectivamente. Sean

r1 =

√(x1 + c)2 + x2

2, r2 =

√(x1 − c)2 + x2

2 (3.8.1)

las distancias de la partıcula de ambos centros de fuerza. Es facil convencerse de que el potencialdel problema esta dado por41

U (r1, r2) = −(C1

r1+C2

r2

), (3.8.2)

del cual obtenemos las ecuaciones del movimiento siguientes

mx1 =C1 (x1 + c)

r31

+C2 (x1 − c)

r32

, m x2 =C1x2

r31

+C2x2

r32

. (3.8.3)

Nos encontramos con este sistema con el primer ejemplo donde el uso de las coordenadas elıpticas(planas) definidas en (??) es el mas conveniente para analizar las ecuaciones del movimiento.Sean por tanto

x = λ coshu cos v, y = λ sinhu sin v.

En esta referencia elıptica, el potencial U y el termino cinetico T = m2

(x2

1 + x22

)tienen la

expresion

U = −(

C1

λ (coshu− cos v)+

C2

λ (coshu+ cos v)

), (3.8.4)

T =mλ2

2

(cosh2 u− cos2 v

) (u2 + v2

). (3.8.5)

Una constante del movimiento esta dada por T +U = E, la cual manipulamos para reescribirlade la forma(

cosh2 u− cos2 v)E =

mλ2

2

(cosh2 u− cos2 v

)2 (u2 + v2

)−(C1(coshu+cos v)

λ + C2(coshu−cos v)λ

) (3.8.6)

Empleando la ecuacion del movimiento correspondiente a u, simplificandola mediante el uso dela energıa E e integrando, un calculo largo pero rutinario nos permite, por otra parte, llegar ala identidad siguiente:

mλ2

2

(cosh2 u− cos2 v

)2u2 = E cosh2 u+

C1 + C2

λcoshu− ψ, (3.8.7)

donde ψ es una constante de integracion. Por otra parte, la diferencia de esta ultima expresiony (3.8.6) da lugar a la relacion

mλ2

2

(cosh2 u− cos2 v

)2v2 = −E cos2 v − C2 − C1

λcos v + ψ. (3.8.8)

41El signo de las constantes determina si los centros actuan sobre la partıcula de forma atractiva o repulsiva.

33

Observamos que en ambas expresiones, el termino mλ2

2

(cosh2 u− cos2 v

)2es comun, lo que

permite deducir la siguiente relacion

(du)2

E cosh2 u+ C1+C2λ coshu− ψ

=(dv)2

−E cos2 v − C2−C1λ cos v + ψ

. (3.8.9)

Por tanto, las coordenadas elıpticas nos permiten llegar a una separacion de variables en elproblema. Definimos una nueva variable a traves de las integrales elıpticas asociadas a (3.8.9)como

ξ =

∫du√

E cosh2 u+ C1+C2λ coshu− ψ

=

∫dv√

−E cos2 v − C2−C1λ cos v + ψ

. (3.8.10)

Mediante esta nueva variable, la trayectoria de la partıcula puede describirse parametricamentecomo una funcion de ξ

u = F1 (ξ) , v = F2 (ξ) . (3.8.11)

El estudio cualitativo de las trayectorias del problema de dos centros tiene importantes aplica-ciones en mecanica celeste, debiendose a Charlier uno de los tratamientos mas exhaustivos. En lapractica, el problema de dos centros aparece de forma natural en el contexto del movimiento decuerpos celestes en sistemas binarios, supuesto que las fuerzas no inerciales son despreciables.42

Comentamos finalmente que el problema puede generalizarse a un numero arbitrario de fuer-zas centrales que se superponen. Este resultado se conoce como el teorema de Bonnet, cuyademostracion omitimos y que puede hallarse resumida en la monografıa [15].

Teorema de Bonnet: Dada una curva f (x1, x2, C) = 0 admisible como trayectoria de unapartıcula en cada uno de los campos de fuerzas centrales F1, · · · ,FN , esta misma curva esadmisible como orbita de una partıcula que se mueva en la superposicion de campos F =∑N

j=1 Fj .

3.9. Transformaciones de Galileo

Al introducir las leyes de Newton definimos, de forma algo opaca, la nocion de sistema inercial,estableciendo que era todo aquel sistema en el cual se verifica la primera ley. Las otras dos leyes,implıcitamente, se han estudiado sobre tales sistemas. En esta seccion analizamos esta cuestionmas detalladamente. Es evidente que en un fenomeno analizado por dos observadores, uno enreposo y otro en un movimiento acelerado respecto al primero, las conclusiones no pueden ser lasmismas. Es por tanto una cuestion de importancia determinar que cambios de referencia llevanun sistema inercial a otro del mismo tipo, de modo que la observacion de un movimiento (o suausencia) no dependa de la posicion y movimiento de los observadores.

Supongamos que transformamos un sistema inercial R = O, x, y, z en una nueva referenciaR′ = O′, x′, y′, z′. Si esta nueva referencia es inercial, entonces la identidad mr = 0 debeimplicar mr′ = 0, de acuerdo con la primera ley de Newton. Sin perdida de generalidad, podemos

42Vease J. Kallrath 1992 Celestial Mech. Dyn. Astron. 53 37 como ejemplo de una aplicacion concreta de esteproblema.

34 3.9. TRANSFORMACIONES DE GALILEO

suponer que las dos referencias son coincidentes para t = t′ = 0.43 Dado un punto cualquieraP , sea r (t) el vector de posicion del punto en la referencia R, y r′ (t) el vector de posicionen la referencia R′. Definimos χ (t) = r (t) − r′ (t). Claramente se obtienen las identidadesχ (t) = r (t) − r′ (t) y χ (t) = r (t) − r′ (t). Si ambas referencias R y R′ son inerciales, entoncespor la primera ley tenemos mr = mr′ = 0. Por tanto

mχ (t) = m(r (t)− r′ (t)

)= 0 (3.9.1)

De ello resulta de forma inmediata que

χ (t) = v t+ w, (3.9.2)

donde v, w son vectores constantes fijos. Dado que r (0) = r′ (0), podemos tomar w = 0, de loque resulta

v t = r (t)− r′ (t) =⇒ r′ (t) = r (t)− v t (3.9.3)

Una transformacion del tipo (3.9.3) se llama transformacion de Galileo. Estas codifican los cam-bios de referencia mas generales que conservan el caracter de un sistema inercial. En particular,las componentes de una fuerza F son invariantes por transformaciones de Galileo. En efecto, si

m r (t) = F, m r′ (t) = F′, (3.9.4)

deducimos de las identidades anteriores que

0 = m(r (t)− r′ (t)

)= F− F′, (3.9.5)

lo que demuestra que F = F′. Las ecuaciones del movimiento permanecen por tanto invariantespara este tipo de transformaciones.

El grupo ortocrono de Galileo G↑+

El analisis anterior muestra que existe una relacion entre el grupo de movimientos rıgidos ylas transformaciones de Galileo, lo que sugiere que las transformaciones de Galileo admitenuna estructura de grupo. De las consideraciones anteriores se deduce que la transformacionψ : R× R3 → R× R3 mas general que lleva un sistema inercial a otro es del tipo

r 7→ r′ = R r + v t+ w; t 7→ t′ = λt + s, (3.9.6)

donde R ∈ O (3) es una rotacion de R3, v,w son vectores fijos y λ = ±1. Conviene estudiar lasdiferentes posibilidades por separado.44

1. Traslaciones del origen de la referencia:Estas vienen determinadas por el vector constante w

r′ = r + w. (3.9.7)

Existen tres traslaciones independientes de este tipo, que ademas conmutan entre ellas.

43Esta hipotesis se basa en t′ = t, es decir, que la escala temporal no varıa. Para velocidades cercanas a la de la luz,esta suposicion debe modificarse, dando lugar a transformaciones mas generales (de Lorentz).

44Dejamos fuera de este analisis la transformacion de inversion temporal t→ −t.

35

2. Traslacion temporal:t′ = t+ s. (3.9.8)

En este caso, la referencia espacial no varıa.

3. Rotacion de R3 que fija el origen de la referencia:

r′ = R r (3.9.9)

Desarrollando esta expresion en componentes se obtiene

r′i =3∑j=1

Rijrj , 1 ≤ i ≤ 3. (3.9.10)

De la igualdad ‖r′‖ = ‖r‖ se sigue de forma inmediata que

3∑i=1

(r′i)2

=

3∑i=1

3∑j=1

Rijrj

( 3∑k=1

Rikrk

)=

3∑k=1

(3∑i=1

RijRik

)r2k, (3.9.11)

por lo que ha de satisfacerse la identidad

3∑i=1

RijRik = δkj . (3.9.12)

Esto demuestra que R es en efecto una rotacion de R3, y su matriz de coeficientes (Rij) unamatriz ortogonal. De la condicion (3.9.12) deducimos ademas que existen tres rotacionesindependientes.45

4. Movimiento uniforme de la referencia R′ con respecto a R :

r′ = r + v t. (3.9.13)

Nuevamente, una transformacion de este tipo depende de tres parametros, correspondientesal movimiento uniforme a lo largo de cada uno de los ejes coordenados.

Entre todas las transformaciones de este tipo, consideramos la siguiente familia:

G↑+ = ψ = ψ (s,v,w,R) | λ = 1, det R = 1 (3.9.14)

Si ahora ψ1, ψ2 son dos transformaciones de G↑+, es rutinario comprobar que se verifica lassiguiente identidad:

ψ2 (s2,v2,w2,R2) · ψ1 (s1,v1,w1,R1) = ψ(s, v, w, R

)(3.9.15)

donde

R = R2 ·R1; w = R2w1 + s1v2 + w2; v = R2v1 + v2, s = s1 + s2. (3.9.16)

Por la asociatividad de la multiplicacion de matrices y las operaciones vectoriales, la composicionde transformaciones en G↑+ es asociativa: (ψ3 · ψ2) · ψ1 = ψ3 · (ψ2 · ψ1). Se verifican ademas

45Tomando las rotaciones alrededor de los ejes de la referencia, cualquier rotacion de R3 es una composicion deestas.

36 3.10. MOVIMIENTO SOBRE UN DISCO GIRATORIO

La transformacion

ψ (0,0,0, Id) (3.9.17)

es una identidad.

Cada transformacion ψ (s,v,w,R) admite una inversa

ψ (s,v,w,R)−1 = ψ(−s, sRTv −RT ,RT

1 w,−RTv). (3.9.18)

Se concluye que G↑+ forma un grupo dependiente de diez parametros con respecto a la compo-sicion de transformaciones, llamado grupo ortocrono propio de Galileo.

Si consideramos tambien las transformaciones de Galileo correspondientes a rotaciones impropias(detR = −1) y el caso λ = −1, obtenemos, entre otras, el cambio de orientacion de la referenciay la llamada inversion temporal t 7→ −t. La cuestion de la invariancia por inversion temporalconstituye una cuestion fundamental, sobre todo en el marco cuantico. Es importante observarque la familia de transformaciones G↓− = ψ = ψ (s,v,w,R) | λ = −1, det R = −1 no formanun grupo respecto de la composicion.

Observacion: Las transformaciones de Galileo son un caso especial (por paso al lımite) de unastransformaciones mas generales y fısicamente mas consistentes. Es bien sabido que la veloci-dad de propagacion de la luz en el vacıo es una consecuencia de las ecuaciones de Maxwell dela electrodinamica clasica. No obstante, las ecuaciones de Maxwell no son invariantes por lastransformaciones de Galileo, lo que delimita claramente su rango de aplicacion. Es un punto devista mas general, el postulado de equivalencia, el que establece que el grupo de transforma-ciones que deja invariante las ecuaciones de la electrodinamica clasica es el grupo de Lorentz,que en particular contiene las transformaciones del mismo nombre que dan lugar al principiode relatividad en la teorıa de la Relatividad Especial. No obstante, puede demostrarse que elgrupo completo de simetrıas de las ecuaciones de Maxwell (no relativistas) es el llamado grupoconforme.46

3.10. Movimiento sobre un disco giratorio

Como ejemplo importante de un sistema no inercial, consideramos un disco en el plano z = 0que rota con velocidad angular constante ω y cuyo eje de rotacion coincide con el eje z. Enel plano consideramos las coordenadas polares ρ, ϕ para el sistema inercial de partida, y lascoordenadas polares ρ′, ϕ′ para el sistema de referencia que se mueve con el disco.

46El estudio riguroso de estas cuestiones requiere utiles avanzados de la teorıa de grupos y analisis tensorial, por loque no tratamos la cuestion con mas detalle. El lector interesado puede consultar [5].

37

Figura 3.13: Referencia rotatoria.

Para el sistema inercial, sabemos que las ecuaciones del movimiento son

m(ρ− ρ ϕ2

)= Fρ, m (ρ ϕ+ 2ρϕ) = Fϕ. (3.10.1)

La relacion entre ambos sistemas de referencia viene dada por

ρ = ρ′, ϕ = ϕ′ + ω t. (3.10.2)

Realizando las sustituciones pertinentes en la ecuacion (3.10.1), obtenemos

m(ρ′ − ρ′ ϕ′ 2

)= Fρ + 2mω ρ′ϕ′ +mω2ρ′,

m(ρ′ ϕ′ + 2ρ′ϕ′

)= Fϕ − 2mωρ′. (3.10.3)

Por tanto, expresando las ecuaciones del movimiento en una referencia acelerada, las fuerzasadquieren terminos suplementarios, en ocasiones denominadas fuerzas “virtuales” o de inercia.Debemos advertir, no obstante, que esta terminologıa puede ser enganosa, dado que los efectosde dichas fuerzas son bien reales y medibles.47 La nomenclatura pone de manifiesto que lasfuerzas de inercia solo aparecen en sistemas no inerciales, y su efecto sobre una partıcula es el deconservar una trayectoria recta cuando se observa desde un sistema de referencia inercial. En laecuacion (3.10.3) se distinguen dos fuerzas, la fuerza de Coriolis (proporcional a ω), y la fuerzacentrıfuga (proporcional a ω2). La fuerza de Coriolis, que encontraremos repetidas veces, juegaun papel relevante en multitud de fenomenos fısicos, ası como en aplicaciones tecnicas, dondesus efectos deben ser analizados cuidadosamente.48

Observamos que, para el caso particular Fϕ = Fρ = 0, el sistema (3.10.3) puede simplificarse yreducirse a una ecuacion de segundo orden no lineal y una ecuacion de primer orden que puederesolverse mediante una cuadratura:

ρ′ −K2ρ′ 3 = 0, ϕ′ = Kρ′ −2 − ω, (3.10.4)

47Las dos fuerzas que aparecen en la ecuacion (3.10.3) son de hecho el principal atractivo de determinadas atraccionesde feria sumamente populares.

48En este contexto, recomendamos al lector la excelente pelıcula educativa “Frames of Reference”(1960), de D. G.Ivy y J. W. Patterson. PSCC-MLA 0307.

38 3.10. MOVIMIENTO SOBRE UN DISCO GIRATORIO

siendo K una constante no nula. La ecuacion de segundo orden, a su vez, admite el factorintegrante µ = ρ′, por lo que puede a su vez reducirse a una ecuacion de primer orden, si bienesta ultima no es del todo trivial.49

Como otro caso especial, supongamos ahora que la partıcula se mueve, en la referencia inercial,en una trayectoria circular, es decir, ρ = cte. La componente radial de la fuerza es por tantoFρ = −mρϕ2, siendo la angular Fϕ = mρϕ. Si el disco rota con velocidad angular ω = ϕ, sededuce de (3.10.2) que ϕ′ = 0, y por tanto la partıcula esta en reposo. Para el observador situadoen el sistema no inercial, la fuerza de atraccion queda compensada por la fuerza centrıfuga.

Figura 3.14: Trayectorias observadas, para un movimiento uniforme en una referencia inercial, desdeuna referencia giratoria con velocidad angular constante ω y distintas velocidades iniciales. El vectorω coincide con e3.

Observacion: Dado que las fuerzas de inercia y la gravitatoria vienen precedidas por el factorde masa m, puede plantearse la siguiente cuestion: ¿Puede compensarse la fuerza gravitatoriamediante la eleccion de una referencia adecuada? A muy pequena escala, es decir, cerca delorigen, la fuerza gravitatoria puede compensarse tomando como sistema de referencia el delcuerpo en caıda libre. En tal sistema, cerca del origen (acelerado) de la referencia, una partıculaes libre. Un ejemplo viene de este fenomeno viene dado por el movimiento de cosmonautas enun satelite.A escala mayor, la respuesta a esta pregunta esta fuera del marco de la Mecanica Clasica, y esla Relatividad General quien nos permite contestarla en sentido afirmativo [3]. En el contextode los espacios planos (es decir, con tensor de curvatura nulo) dicha compensacion no es posible,pero sı lo es en ciertos espacios de curvatura no nula.50

49Observese, por otra parte, la relacion entre la ecuacion de segundo orden en (3.10.4) y la ecuacion de Pinneyconsiderada en el primer capıtulo.

50El texto [6] supone una excelente introduccion a la teorıa de la relatividad, tanto especial como general.

39

3.11. Referencias aceleradas arbitrarias

El ejemplo anterior no es sino una de las multiples posibilidades de una referencia acelerada. Eneste apartado analizamos brevemente las propiedades de referencias arbitrarias de este tipo, delas que se deducira que, esencialmente, aparecen dos tipos de fuerzas de inercia.

Partiendo de un sistema inercial con coordenadas (x, y, z) respecto de una base ortonormalfija e1, e2, e3, sea S una referencia arbitraria de coordenadas (x′, y′, z′) y base ortonormalasociada e′1, e′2, e′3. Es facil convencerse de que el movimiento de S respecto al sistema inercialde partida esta totalmente determinado por el movimiento del origen de S y la rotacion de labase ortonormal respecto del mismo.51 Se verifica la relacion

r = x e1 + y e2 + z e3 = r0 + x′ e′1 + y′ e′2 + z′ e′3, (3.11.1)

donde r0 designa el vector que une el origen de la referencia inercial con el origen de la referenciaS. Sea r′ = x′ e′1 + y′ e′2 + z′ e′3 el vector de posicion en la referencia S. Claramente, para unobservador que se mueve con dicha referencia, el vector velocidad vendra descrito por

r′ = x′ e′1 + y′ e′2 + z′ e′3. (3.11.2)

No obstante, para un observador en el sistema inercial, los vectores e′1, e′2, e′3 son dependientes

del tiempo, dado que la base ortonormal va rotando. Por tanto, la diferencial respecto del tiempode la ecuacion (3.11.1) es

r = r0 + x′ e′1 + y′ e′2 + z′ e′3 + r′. (3.11.3)

El ultimo termino corresponde, desde el punto de vista inercial, a la velocidad de un punto quese mueve con la referencia acelerada S.52 Para la simplificacion de calculos, conviene considerarel vector velocidad angular ω = dΩ

dt . Este esta definido, para cada t, como un vector paralelo aleje de la rotacion y cuya norma es la velocidad angular ω (vease Figura)

Figura 3.15: Rotacion infinitesimal.

51Puesto que la ortonormalidad de los vectores e′1, e′2, e′3 debe conservarse, se trata de un movimiento rıgido enel espacio, dependiente del tiempo. Del algebra lineal se sabe que tales movimientos consisten en la composicion detraslaciones y rotaciones.

52Para este punto, las coordenadas x′, y′, z′ son constantes.

40 3.11. REFERENCIAS ACELERADAS ARBITRARIAS

Es inmediato comprobar que para una rotacion infinitesimal53 se verifica la relacion

d r = r sinαdΩ, (3.11.4)

de lo que deducimos que la velocidad de una partıcula que rote con la referencia es ortogonal aω y a r′. Para los vectores de la base de la referencia S, en particular, se verifica la identidad

d e′j = dΩ× e′j , (3.11.5)

de la que se obtiene facilmente que

d e′jdt

=dΩ

dt× e′j = ω × e′j , 1 ≤ j ≤ 3. (3.11.6)

En consecuencia, para el vector r′ = x′e′1 + ye′2 + ze′3 se sigue la identidad

x′ e′1 + y′ e′2 + z′ e′3 = ω × r′, (3.11.7)

lo que permite simplificar (3.11.3) a

r = r0 + r′ + ω × r′.54 (3.11.8)

Es inmediato verificar que la variacion temporal en el sistema inercial es la suma de la derivadatemporal de las componentes y el termino del producto vectorial resultante de la rotacion.Teniendo en cuenta este hecho, la derivada temporal de la ecuacion (3.11.8) viene dada por

r = r0 + r′ + ω × r′ + ω × r′ + ω ×(r′ + ω × r′

). (3.11.9)

Dado que en la referencia inercial se verifica m r = F, de la expresion anterior obtenemos lasecuaciones del movimiento en la referencia acelerada S

m r′ = F−m r0 −m ω × r′ −mω ×(ω × r′

)− 2mω × r′. (3.11.10)

El termino −m ω × r′ −mω × (ω × r′) se designa usualmente como fuerza motriz o efectiva,55

mientras el termino −2mω × r′ es la llamada fuerza de Coriolis.Para el caso particular r0 = 0 y ω = 0, la fuerza motriz es simplemente la fuerza centrıfugade norma mω2r sinα. Si la partıcula se encuentra en estado estacionario en la referencia S, lafuerza centrıfuga es la unica contribucion a la fuerza efectiva, mientras que si la partıcula semueve, el termino de Coriolis debe ser considerado.

Observacion: Puesto que la relacion (3.11.9) es valida para vectores arbitrarios, debe aplicarse,en particular, al propio vector de velocidad angular ω. Obtenemos por tanto

dω

dt=d′ω

dt+ ω × ω = ω. (3.11.11)

De ello concluimos una importante propiedad de ω: la aceleracion angular ω es la misma enambas referencias.

53Es decir, para una rotacion de angulo dΩ→ 0. En estas circunstancias tenemos que sin dΩ ≈ dΩ.54Esta expresion es un caso especial de la derivada temporal de un vector en una referencia que rote. En terminos

de operadores diferenciales puede resumirse como

d

dt=d′

dt+dΩ

dt×,

donde d′

dtdesigna la diferencial usual en la referencia en movimiento.

55En ocasiones, el termino −m ω × r′ se designa como fuerza de Euler.

41

El algebra de Lie so(3)

La ecuacion (3.11.6) puede expresarse de forma muy conveniente en terminos matriciales. Si(ω1, ω2, ω3) son las componentes del vector ω, es inmediato comprobar que56

d e′jdt

=

0 −ω3 ω2

ω3 0 −ω1

−ω2 ω1 0

δj1

δj2δj3

, 1 ≤ j ≤ 3. (3.11.12)

Esta ecuacion pone de manifiesto la estrecha relacion existente entre vectores de R3 y matricesantisimetricas de orden tres, definida por

ω 7−→

0 −ω3 ω2

ω3 0 −ω1

−ω2 ω1 0

. (3.11.13)

Esta asignacion satisface la siguiente importante propiedad con respecto al producto vectorial:para cualesquiera vectores ω y θ se verifica

ω× θ 7−→

0 −ω3 ω2

ω3 0 −ω1

−ω2 ω1 0

,

0 −θ3 θ2

θ3 0 −θ1

−θ2 θ1 0

, (3.11.14)

donde el conmutador [A,B] de dos matrices esta definido por

[A,B] = AB −BA. (3.11.15)

Observamos que, con caracter general, las matrices cuadradas de orden n satisfacen la llamadaidentidad de Jacobi con respecto al conmutador

[A, [B,C]] + [C, [A,B]] + [B, [C,A]] = 0. (3.11.16)

En este sentido, las matrices antisimetricas de orden tres, con el conmutador (3.11.15) comooperacion interna, poseen una estructura de algebra de Lie, denotada en este caso por so (3).57

Observamos que este hecho juega un papel muy importante en la teorıa del momento angular,tanto a nivel clasico como cuantico. Por este motivo, so (3) recibe en ocasiones el nombre dealgebra de Lie del momento angular.

3.12. El efecto Larmor

Como ejemplo ilustrativo de la importancia de las referencias no inerciales, analizamos breve-mente el llamado efecto Larmor. Consideramos el efecto de un campo magnetico B sobre una

56Recordamos que δji esta definido mediante

δji =

1, i = j0, i 6= j

.

57Para las propiedades basicas de las algebras de Lie y sus aplicaciones en mecanica, veanse por ejemplo [7, 11].

42 3.12. EL EFECTO LARMOR

partıcula de carga q que se mueva en una orbita alrededor de una carga fija −q′. La ecuaciondel movimiento para este sistema, teniendo en cuenta la fuerza magnetica,58 adopta la forma

m r +k

r2

r

‖r‖+ q r×B (3.12.1)

donde la constante k depende de las cargas q y q′. En una referencia rotatoria, la ecuacion seexpresa mediante

r + 2ω × r + ω × (ω × r) = − k

mr2

r

‖r‖+

q

m(r + ω × r)×B. (3.12.2)

Comparando los terminos con el producto vectorial doble, se observa que, eligiendo ω = − q2mB,

la expresion anterior se simplifica considerablemente, dando lugar a la identidad

r = − k

mr2

r

‖r‖−( q

2m

)2B× (r×B) . (3.12.3)

En las condiciones donde el campo magnetico es lo bastante debil como para que el terminocuadratico en (3.12.3) sea despreciable con respecto al primer termino,59 la ecuacion del movi-miento se aproxima por la ecuacion lineal

r = − k

mr2

r

‖r‖, (3.12.4)

correspondiente a una fuerza central. Resulta del teorema de Bertrand que, para un potencial deeste tipo, una orbita acotada en la referencia rotatoria es una elipse. Vista desde una referenciano rotatoria, la orbita es una elipse que precesa lentamente con velocidad angular ω.60 El angulode precesion de los ejes es pequeno, como consecuencia de la aproximacion lineal en (3.12.3), yla velocidad angular de la precesion se conoce como frecuencia de Larmor.

58Vease por ejemplo [13] para una deduccion formal de esta ecuacion.59Es inmediato comprobar que una condicion necesaria para que esto ocurra es que

‖ω‖ ω2,

siendo ω la velocidad angular de la partıcula en la orbita. El caso general, donde esta aproximacion no es valida, dalugar a un movimiento mucho mas complicado.

60Con caracter general, el plano orbital esta inclinado con respecto a B.

43

Figura 3.16: Precesion de la elipse en el efecto Larmor.

3.13. Movimientos en la superficie terrestre

De las consideraciones anteriores se deduce que una referencia terrestre no puede constituir unsistema inercial a causa de su rotacion. No obstante, para multitud de fenomenos es convenienteconsiderar una referencia que rote con la Tierra, y en la cual la superficie terrestre esta enreposo.61 En una tal referencia, dado un punto P con latitud ψ sobre la superficie terrestre,elegimos los vectores unitarios e1, e2 y e3 de tal forma que e3 sea proporcional al vector radialr0 del punto P desde el centro de la Tierra, el vector e2 senale al norte geografico y e1 al este(ver Figura)

Figura 3.17: Referencia en la superficie terrestre.

El origen de esta referencia se situa en una circunferencia de radio R cosψ. En consecuencia, elvector r0 apunta hacia el eje de rotacion terrestre y las componentes son

r0 = ω2R sinψ cosψ e2 − ω2R cos2 ψ e3, (3.13.1)

61Obviamente, para el estudio de fenomenos atmosfericos o metereologicos, una referencia acelerada es necesaria siesperamos obtener del modelo informacion cualitativa.

44 3.13. MOVIMIENTOS EN LA SUPERFICIE TERRESTRE

donde ω = 7,29 × 10−5s−1 es la velocidad angular terrestre. Por su parte, el vector velocidadangular viene explıcitamente dado por ω = ω (cosψe2 + sinψe3). Dado que ω y la distancia rde la superficie terrestre son pequenas, podemos ignorar el termino centrıfugo −mω × (ω × r).Separando la fuerza de la atraccion gravitatoria, obtenemos la ecuacion

m r = F′ +mg −mr0 − 2mω × r, (3.13.2)

expresada en componentes por

mx = F′x −2mω (z cosψ − y sinψ) ,m y = F′y −mω2R cosψ sinψ −2mω x sinψ,

m z = F′z +mω2R cos2 ψ +2mω x cosψ −mg.(3.13.3)

La fuerza procedente de r0 y proporcional a ω2 actua sobre la superficie terrestre, y es responsabledel aplanamiento de la superficie (vease [10]).Es posible simplificar las ecuaciones del movimiento tomando una referencia en la cual el eje z seaperpendicular a la superficie terrestre. En este caso, la fuerza mg − r0 solo tiene la componentemg en la direccion de z.62 Para movimientos proximos a la superficie terrestre, las ecuacionesdel movimiento son, por tanto,

mx = F′x −2mω (z cosψ − y sinψ) ,m y = F′y −2mω x sinψ,

m z = F′z +2mω x cosψ −mg.(3.13.4)

El vector F comprime todas las fuerzas presentes salvo la atraccion gravitatoria.63 La unicafuerza motriz que se observa es la de Coriolis.

Ejemplo 6. Supongamos que un cuerpo en reposo de masa constante m se deja caer libremente(F = 0) desde una altura h. Para t pequeno, las componentes x e y son nulas. Las ecuaciones(3.13.4) se reducen a

mx = −2mωz cosψ, my = 0, m z = −mg.

Para las condiciones iniciales x = y = 0, z = h, x = y = z = 0, la solucion a estas ecuaciones es

r (t) =(ω g

3cosψ t3, 0, h− g

2t2).

Dado que cosψ > 0, la rotacion terrestre ocasiona un desplazamiento al este proporcional a t3.64

Ejemplo 7. Para movimientos horizontales, es decir, meramente terrestres, tenemos z = 0. Eneste caso las ecuaciones del movimiento son

mx = F′x + 2mω y sinψ,m y = F′y − 2mω x sinψ.

62Se observa que el valor numerico de g depende de la latitud, como consecuencia de la aportacion de r0. Este valorse ajusta a la formula internacional

gϕ = 9,780327 + 0,05163 sin2 ψ + 0,000227 sin4 ψ.

63Por la eleccion de la referencia, la fuerza gravitatoria solo tiene una componente no nula, en la direccion de z.64Recordemos que en la referencia tomada, el eje x apunta al este, el eje y al norte y el eje z hacia arriba.

45

Una expresion equivalente de las ecuaciones es

m r = F− 2m (ω sinψ e3)× r. (3.13.5)

En esta forma, es facil reconocer el efecto de la rotacion terrestre sobre el movimiento. En estecaso, la Tierra se mueve como un carrusel con velocidad angular ω sinψ respecto del eje de lasz. En el hemisferio norte del planeta, correspondiente a los angulos ψ > 0, esto supone unadesviacion a la derecha, mientras que en el hemisferio sur (ψ < 0) la desviacion se observa a laizquierda. Dichas desviaciones son independientes del movimiento horizontal concreto.

3.13.1. Propiedades de las fuerzas de inercia. Principio de equivalencia

Resumimos brevemente las caracterısticas mas relevantes de las fuerzas inerciales, con el finde distinguirlas de aquellas debidas a una interaccion, correspondientes a aquellas que debenconsiderarse al plantearse las ecuaciones del movimiento en un sistema inercial:

1. Las fuerzas inerciales no se deben a una interaccion entre partıculas, sino a las caracterısti-cas de los mismos sistemas de referencia donde se observa el fenomeno.

2. Como consecuencia de lo anterior, la tercera ley de Newton no es aplicable a las fuerzasinerciales.

3. En todo sistema inercial, la nocion de fuerza debe entenderse como una medida de inter-accion entre cuerpos, independientes de las propiedades especıficas de la referencia.

4. Las fuerzas inerciales son proporcionales a la masa m del cuerpo o partıcula.

La ultima de las propiedades implica, en particular, que en un campo homogeneo de fuerzasinerciales y en un campo de fuerzas gravitatorias, la aceleracion de una partıcula es la misma,con independencia de su masa m. De este hecho se deduce el llamado principio de equivalencia,que supone una de las motivaciones para el desarrollo de la relatividad general. Segun esteprincipio, en un laboratorio cerrado y aislado, no es posible deducir si la aceleracion de unobjeto en caıda libre se debe a la atraccion gravitatoria, un movimiento de traslacion aceleradodel laboratorio o una combinacion de ambos. El principio de equivalencia, en la formulacion deEinstein, puede enunciarse por tanto de la forma siguiente:

Principio de equivalencia: Un fenomeno fısico transcurre de modo identico en un campogravitatorio homogeneo y en un campo homogeneo debido a fuerzas inerciales.

3.13.2. El pendulo de Foucault

Puede justificarse con facilidad que el argumento anterior sigue siendo valido para movimientosverticales reducidos (z pequeno). Es en este principio en el que se basa el famoso pendulo deFoucault, con el que puede justificarse experimentalmente la rotacion terrestre.65

65Un interesante estudio que analiza las propiedades del pendulo de Foucault con detalle, ası como presenta unageneralizacion del mismo, puede encontrase en el trabajo de M de Icaza, V. M. Castaino 2011, Acta Mech. 281, 45-64.

46 3.13. MOVIMIENTOS EN LA SUPERFICIE TERRESTRE

Como modelo simplificado del pendulo de Foucault, podemos tomar un pendulo en gravedadsuspendido de un cable largo de longitud l y tension t. Utilizando (3.13.2), la ecuacion delmovimiento del pendulo es

m r = t +mg − 2mω × r, (3.13.6)

donde nuevamente ignoramos el termino centrıfugo, dado que este solo supone una pequenavariacion en la magnitud y direccion de g, donde ω = ω (cosα e2 + sinα e3) y

‖ω × (ω × r)‖ = ω2 ‖r‖ cosα, (3.13.7)

siendo α la latitud terrestre donde se situa el pendulo. Si el angulo de oscilacion θ es muypequeno y l suficientemente grande, el arco del pendulo es muy proximo al plano horizontal, porlo que la fuerza externa total es la combinacion de la tension t y la gravedad g. Ignorando lacomponente en e3, tenemos la aproximacion

t +mg ≈ −mgl

√x2 + y2 (cos θ e1 + sin θ e2) . (3.13.8)

Introduciendo estas cantidades en la ecuacion (3.13.6) y simplificando, obtenemos las compo-nentes:

x = −gl x+ 2ω sinα y,

y = −gl y − 2ω sinα x,

z = 2ω cosα x.(3.13.9)

Podemos ignorar la tercera componente, al suponer solo una pequena perturbacion de la acele-racion gravitatoria. Se obtiene por tanto el sistema en dos dimensiones

x = −gl x+ 2ω sinα y,

y = −gl y − 2ω sinα x.

(3.13.10)

Figura 3.18: Trayectoria del pendulo de Foucault.

47

Con el fin de resolver estas ecuaciones, consideramos una nueva referencia x′, y′ que se obtienepor una rotacion: (

x′

y′

)=

(cos % − sin %sin % cos %

)(xy

). (3.13.11)

Evaluando las ecuaciones del movimiento (3.13.10) para esta referencia, un calculo tedioso peroelemental nos permite establecer que la solucion ha de satisfacer las condiciones

x+(gl − 2ω% sinα− %2

)x− 2 (ω sinα+ %) y = 0,

y +(gl − 2ω% sinα− %2

)y + 2 (ω sinα+ %) x = 0.

(3.13.12)

Eligiendo % = −ω sinα, el sistema anterior queda desacoplado y reducido a dos osciladoresindependientes. La solucion tiene por tanto la forma

x (t) = A cos

(√g

l+ ω2 sin2 αt

), y (t) = A sin

(√g

l+ ω2 sin2 αt

). (3.13.13)

Observamos que ω =√

gl + ω2 sin2 α =

√gl + %2 ≈

√gl . Por otra parte, x ≈ Aω l ω, por lo

que ωx lω√

gl + %2, de lo que resulta que ωx g, lo que justifica el descarte de la tercera

componente en (3.13.9).

Observacion: Una descripcion detallada y facilmente legible del experimento puede hallarseen W. B. Sommerville, Q. J. R. Astr. Soc. 13 (1972), 40-62. Es asimismo interesante enfocar elproblema del pendulo de Foucault desde la perspectiva del transporte paralelo de vectores en laesfera.66 Para una simulacion por ordenador del experimento, vease el enlace siguiente:http://demonstrations.wolfram.com/FoucaultsPendulum/

Referencias complemenarias

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[3] S. Carroll. Spacetime and Geometry. An Introduction to General Relativity, Addison-Wesley,San Francisco., 2004.

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[7] H. Flanders. Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, Dover Publica-tions, New York, 1989.

66Vease J. Oprea 1995 Amer. Math. Monthly 102 515

48 Referencias complementarias

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[11] D. H. Sattinger, O. L. Weaver. Lie Groups and Algebras with Applications to Physics,Geometry and Mechanics, Springer, New York, 1985.

[12] M. Schneider. Himmelsmechanik Band 1: Grundlagen, Determinierung, Spektrum Akade-mischer Verlag, Heidelberg, 1992.

[13] M. Schwartz. Principles of Electrodynamics, Dover Publ., New York, 1986.

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