1. EDICIONS UPCAULA POLITCNICA/ INGENIERA MECNICAJosep M. Bergad GraoMecnica de fl uidosProblemas resueltos 2. AULA POLITCNICA 111Mecnica de fluidosProblemas resueltos 3. EDICIONS UPCAULA POLITCNICA/ INGENIERA MECNICAJosep M. Bergad GraoMecnica de fluidosProblemas resueltos 4. Primera edicin: febrero de 2006Diseo de la cubierta: Jordi Calvet Josep M. Bergad Grao, 2006 Edicions UPC, 2006Edicions de la Universitat Politcnica de Catalunya, SLJordi Girona Salgado 31, 08034 BarcelonaTel.: 93 401 68 83 Fax: 93 401 58 85Edicions Virtuals: www.edicionsupc.esA/e: edicions-upc@upc.eduProduccin: TECFOTO, SLCiutat de Granada 55, 08005 BarcelonaDepsito legal: B-9274-2006ISBN: 84-8301-833-0Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares del copyright, bajo las san-cionesestablecidas en las leyes, la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier medio o proce-dimiento,comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin de ejemplares de ellamediante alquiler o prstamo pblicos. 5. Prlogo IPrlogoLa mecnica de fluidos tiene sus orgenes en la hidrulica, tanto en Mesopotamia como en Egipto alrededor delao 4000 antes de nuestra era proliferaron las obras hidrulicas que aseguraban el regado de vastas zonas.Posteriormente, los imperios griego, chino y especialmente, el romano se caracterizan por una gran profusin delas construcciones hidrulicas.A lo largo de la historia, aparecen inventos e investigadores que aportan mejoras sustanciales en el campo quehoy se denomina mecnica de fluidos, algunas de las cuales son las realizadas por:Arqumedes (287-212 a.c.), crea el tornillo helicoidal y enuncia el principio de flotacin. Leonardo da Vinci(1452-1519), muestra la aparicin de vrtices en la zona de separacin de flujo; describe los principios defuncionamiento de mquinas voladoras.Pascal (1623-1662), en el estudio de la esttica de fluidos define el principio que lleva su nombre. Newton(1642-1727), realiza el anlisis espectral de la luz; define la teora de gravitacin universal; establece losprincipios de clculo integral y diferencial, y promulga la ley de viscosidad que lleva su nombre. Henry de Pitot(1695-1771), crea, con el fin de medir la velocidad de un fluido, el tubo que lleva su nombre. Bernoulli (1700-1782), populariza la ley que define la energa asociada al fluido a lo largo de una lnea de corriente, estudiaproblemas sobre esttica y dinmica de fluidos. Euler (1707-1783), establece la base matemtica para el estudiodel flujo ideal, sin viscosidad. Venturi (1746-1822), clarifica los principios bsicos del flujo a lo largo de unconducto convergente divergente (el tubo de Venturi), define los principios del resalto hidrulico.Henri Navier (1785-1836), basndose en los estudios de Euler, deriva las ecuaciones de Navier, queposteriormente Stokes modifica hasta obtener las ecuaciones que se conocen actualmente. Ludwig Hagen (1797-1884), estudiando el flujo en conductos cerrados, encuentra la zona de traspaso entre flujo laminar y turbulento,y observa que depende de la velocidad y la temperatura del fluido, as como del dimetro y la rugosidad delconducto. Poiseulle (1799-1869), estudia el movimiento de la sangre en venas y capilares, y determinaexperimentalmente la relacin entre presin y caudal en capilares.William Froude (1810-1879), se dedic durante parte de su vida a construir barcos; sus investigaciones fueroncontinuadas por su hijo R.E. Froude (1846-1924), el cual defini el nmero adimensional que lleva su nombre yque relaciona las fuerzas de inercia con las fuerzas gravitacionales. G. Stokes (1819-1903), logr derivar laecuacin de Navier-Stokes. Kirchhoff (1824-1887), define el coeficiente de contraccin, hallndolo para el casode orificios bidimensionales. Ernst Mach (1838-1916), que en uno de sus ms conocidos estudios sobre los flujosa alta velocidad, deduce el nmero de Mach. Reynolds (1842-1912), clarifica el fenmeno de cavitacin; definelos regmenes laminar y turbulento, y el nmero adimensional que los identifica. Su teora sobre la lubricacinhidrodinmica es asimismo muy relevante. Ludwig Prandtl (1875-1953), que observa la aparicin y define lateora de la capa lmite, se considera como uno de los creadores de la mecnica de fluidos moderna. TheodorVon Karman (1881-1963) estudia los vrtices detrs de un cilindro, define las fuerzas de arrastre y sustentacinde cuerpos en el seno de un fluido en rgimen turbulento.Durante el siglo XX, los avances en la mecnica de fluidos son continuos, siendo la dinmica de gases, laaerodinmica y la aeronutica los campos que han experimentado y seguirn experimentado una especialproliferacin.Quisiera dedicar este libro a las personas cuyo apoyo he tenido constantemente, sin olvidar a las generaciones deestudiantes de los cuales se aprende a diario, y gracias a los cuales este libro es una realidad. Quisiera agradeceral profesor Eugenio Valencia el apoyo que durante los ltimos aos me ha prestado.Es mi deseo que este libro sea de utilidad, tanto para los futuros estudiantes como para los profesionales quenecesiten repasar conceptos de mecnica de fluidos.Josep M. Bergad El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 6. ndice IIIndicePg.Captulo 1. Propiedades de los fluidosProblema 1 ...............................................................................................................................................................1Problema 2 ...............................................................................................................................................................3Problema 3 ...............................................................................................................................................................5Problema 4 ...............................................................................................................................................................7Captulo 2. Tensin y deformacin en medios continuosProblema 5 .............................................................................................................................................................11Problema 6 .............................................................................................................................................................13Problema 7 .............................................................................................................................................................17Problema 8 .............................................................................................................................................................21Captulo 3. EstticaProblema 9 .............................................................................................................................................................27Problema 10 ...........................................................................................................................................................31Problema 11 ...........................................................................................................................................................37Captulo 4. Ecuacin de continuidadProblema 12 ...........................................................................................................................................................43Problema 13 ...........................................................................................................................................................45Problema 14 ...........................................................................................................................................................49Problema 15 ...........................................................................................................................................................51Problema 16 ...........................................................................................................................................................53Problema 17 ...........................................................................................................................................................55Captulo 5. Ecuacin de cantidad de movimientoProblema 18 ...........................................................................................................................................................59Problema 19 ...........................................................................................................................................................61Problema 20 ...........................................................................................................................................................65Problema 21 ...........................................................................................................................................................67Problema 22 ...........................................................................................................................................................71Problema 23 ...........................................................................................................................................................73Problema 24 ...........................................................................................................................................................75Problema 25 ...........................................................................................................................................................81Problema 26 ...........................................................................................................................................................85Captulo 6. Ecuacin de Momento cinticoProblema 27 ...........................................................................................................................................................93Problema 28 ...........................................................................................................................................................97Problema 29 .........................................................................................................................................................103Problema 30 .........................................................................................................................................................109 El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 7. IV Mecnica de fluidosCaptulo 7. Ecuacin de la energaProblema 31 .........................................................................................................................................................111Problema 32 .........................................................................................................................................................113Problema 33 .........................................................................................................................................................117Problema 34 .........................................................................................................................................................123Captulo 8. Flujo con viscosidad dominanteProblema 35 .........................................................................................................................................................127Problema 36 .........................................................................................................................................................131Problema 37 .........................................................................................................................................................135Problema 38 .........................................................................................................................................................141Problema 39 .........................................................................................................................................................145Problema 40 .........................................................................................................................................................149Problema 41 .........................................................................................................................................................151Problema 42 .........................................................................................................................................................159Captulo 9. Anlisis adimensionalProblema 43 .........................................................................................................................................................169Problema 44 .........................................................................................................................................................173Problema 45 .........................................................................................................................................................175Problema 46 .........................................................................................................................................................179Captulo 10. Sistemas de tuberasProblema 47 .........................................................................................................................................................181Problema 48 .........................................................................................................................................................185Problema 49 .........................................................................................................................................................191Captulo 11. Capa lmiteProblema 50 .........................................................................................................................................................205Problema 51 .........................................................................................................................................................207Problema 52 .........................................................................................................................................................211Problema 53 .........................................................................................................................................................215Captulo 12. Flujo no estacionarioProblema 54 .........................................................................................................................................................221Problema 55 .........................................................................................................................................................227Captulo 13. Gas dinmicaProblema 56 .........................................................................................................................................................233Problema 57 .........................................................................................................................................................249Problema 58 .........................................................................................................................................................255Bibliografa ..........................................................................................................................................................259 El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 8. Nomenclatura VNomenclaturaa = Aceleracin. [m/s2]Cd = Coeficiente de descarga.CP = Calor especfico a presin constante. [J/Kg K]CV = Calor especfico a volumen constante. [J/Kg K]CD = Coeficiente de arrastre. Coeficiente de resistencia para la capa lmite.CL = Coeficiente de sustentacin.D = Fuerza de sustentacin. [N]D = Dimetro. [m]Dh = Dimetro hidrulico. [m]F = Fuerza. [N].f = Coeficiente de friccin.g = Aceleracin gravitatoria. [m/s2]H = Energa por unidad de peso. [J/Kg g]H=h=Z = Nivel de referencia, (cota). [m]h = Entalpa. [ J/Kg]L = Longitud. [m]L = Fuerza de arrastre. [N]M = Par. [N m]m = Caudal msico. [Kg/s]N =WPotencia. [W] [Kw]NPSH = Altura neta positiva de aspiracin. [m]P = Presin. [Pa]P*= Presin reducida. [Pa]R, r = Radio. [m]R = Constante caracterstica de cada gas. [J / Kg K]Re = Nmero de Reynolds.S = Seccin de paso. [m2]Q = Caudal volumtrico. [m3/s]Q= Flujo de calor. [J/s]T = Temperatura [C; K]t = Tiempo. [s]U = V= Velocidad del fluido. [m/s]u = Energa interna. [J/Kg]V = Velocidad. [m/s]W= Potencia. [W] [Kw] = Volumen. [m3]Y = Energa por unidad de masa. [J/Kg]YT = Energa terica por unidad de masa. [J/Kg]Z = Nivel de referencia, (cota). [m]T = Coeficiente de expansin trmica. [K-1] = Mdulo de compresibilidad volumtrica. [N/m2]h = Prdidas de carga por rozamiento. [m2/s2]P = Variacin de presin. [N/m2].x = Variacin de posicin [m]. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 9. VI Mecnica de fluidos = operador diferencial nabla.2 = operador diferencial laplaciano. = circulacin. [m2/s] = Rugosidad. [m] = Rendimiento. = Viscosidad dinmica. [Kg /s m] = Viscosidad cinemtica. [m2/s] = Densidad. [Kg /m3] = espesor de la capa lmite. [m] = Tensin superficial. [N/m]. = Esfuerzo cortante. [N/m2]. = Velocidad de deformacin angular. [s-1] = = Vorticidad. = =Velocidad angular [rad / s] El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 10. Problema 1 1Problema 11.1 EnunciadoEntre los extremos de un tubo de 0,006 m de dimetro y 1 m de longitud, se aplica una diferencia depresin relativa de 50.000 Pa. Si el caudal que fluye es de Q = 3,510-6 m2 s , halle la viscosidad del fluidocirculante (considerando rgimen laminar). Compruebe la veracidad de esta hiptesis.1.2 ResolucinLa velocidad media de paso del fluido por el conducto ser:-62U = Q = 3,510 = 0,1237 mS 0,006 s4GDado que no se puede determinar el nmero de Reynolds, se considerar que el rgimen de flujo es laminar; alfinal de proceso se comprobar esta hiptesis. Considerando que el fluido fluye segn la ley de Poiseulle, y sabiendo que la distribucin develocidades en direccin radial segn Poiseulle es:( ) * 2U = P 1 1 r 2 -R 2= Umx 1- rx 4 R*2donde Umx = - P 1 Rx 4 GLa relacin velocidad mxima-velocidad media U = Umax2GdondeP* R2 U = -x 8GLa diferencia de presin entre extremos del conducto ha de ser contrarrestada por los esfuerzoscortantes en la pared del mismo, as:2 2 Fp = D P = 0,006 50.000 = 1,4137 N*total4 4 El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 11. 2 Mecnica de fluidosEl esfuerzo cortante se define como: = U = U 1- r 2 r r mx R = - U 2 rmx 2REl esfuerzo cortante de la pared valdr:r = R= - U 2mxRUmxcomo U =2= - 4 URGGEl esfuerzo debido a los esfuerzos cortantes a lo largo de todo el tubo ser:GF = S = 2 R L = - 4 U 2 R L Rcomo - F = FpG1,4137 = 8 U L = 8 0,1237 = 0,4547 NS2mPara que el flujo sea laminar se debe cumplir:Re = UD = 0,12370,0062.400 0,4547GPara cumplir la igualdad, se tiene que debera valer = 1.470.331Kg m3 ; como esto es imposible, seconcluye que la hiptesis es acertada. En concreto, para una densidad de 800Kg m3 , se obtiene Re = 1,3. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 12. Problema 2 3Problema 22.1 EnunciadoHalle la potencia necesaria para mantener una velocidad angular constante de 10 rad/s en el viscosmetrocilndrico de la figura. (Considrense los esfuerzos cortantes, en la superficie lateral y en la base.)Datos:H = 10 cmR1 = 3 cmh = 0,1 cm = 710-3 Ns/m22.2 ResolucinEn la cara lateral se tiene:= dudy 1 1 du v 0 R = =dy h hLos valores de la fuerza y el par laterales, FL y ML, se obtienen:HhhR1Fig. 2.1 El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 13. 4 Mecnica de fluidosR 1 2F = dS = 2 R H = 2 HRL 1 1h hR M =FR = 2 R H R = 2 H R1 3L 1 1 1 1h hEl valor de la potencia necesaria para vencer los esfuerzos cortantes laterales ser:23N = M = 2 H RL 1hEn la base del cilindro, se tiene:i i du V r = =dy h hLos valores de la fuerza y el par en la base, FB y MB, sern:3 R r 2 r F = dS = 2 r dr = R i i B 0 i ih h 3 S 03F = 2 RBh 34 R 3 i B B i i i0 2 2 R M = dF R = r dr = h h 4 4M = 2 RBh 4La potencia debida a los esfuerzos cortantes en la base, NB, ser:NB = M = 2 2 R4h 4con lo que la potencia total necesaria para hacer girar el cilindro ser:NT = NL + NB = 2 4 2 R H R +h 43 11= 710-3 2 410 2 0,10,033 + 0,030,001 4NT = 0,0127 [W] El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 14. Problema 3 5Problema 33.1 EnunciadoHalle la expresin del par necesario para mover la esfera de la figura adjunta.edadRFig. 3.13.2 ResolucinLas tensiones cortantes existentes se pueden definir como: = V = R = r cosn e e; El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 15. 6 Mecnica de fluidosEstudiando la esfera, se observa que la fuerza que se opone al movimiento se da como:dF = dS = r cos 2 r da = r cos 2 r cos r d =32e e= r 2 cos de As mismo, el momento resistente resultante valdr:i dM= dF R = dF r cos3dM = r 2 cos2 d r cose90 4oM = r 2 cos do3-90econ lo cual, la potencia necesaria para hacer girar la esfera sera:N = M = r o2 cos do4 902 3 -90ey quedara: + oN = M = r 2 1 cos s e n 2 cos do4 90 902 2e 3 3 90 -904 90 90 + N = 2 r 2 1 cos 2s e n 2 sene 3 3 90 904N = 2 r 8 e 3 El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 16. Problema 4 7Problema 44.1 EnunciadoSe hace rotar un cuerpo cnico con una velocidad constante de 10 rad/s; la base del cono tiene undimetro de 5 cm, y el espesor de la partcula de aceite es de 0,1 mm. Si la viscosidad del aceite es de 710-3[NS/m2], halle el par necesario para mantener el movimiento.Ri5 cmFigura 4.1. Esquema del cuerpo cnico.4.2 ResolucinSe divide la superficie del cono en dos partes: por un lado, la superficie lateral y, por otro lado, la base.En la superficie lateral, el esfuerzo cortante en un punto genrico vale:i = i ddnR = i eh tg= i e; El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 17. 8 Mecnica de fluidoseXEn la base:i = i ddnR = i e;dzdridhiLa fuerza que se opone al movimiento en la superficie lateral:i dF = dS = 2 R dZ cos = dhdz;dF = 2 R dh = 2 h tg dhi i cos cosdF = h tg 2 dh2 2ie cosh 2 2 3 tg tg h F = 2h dh= 22 ii0e cos e cos 3La fuerza en la base ser:i dF = dS = 2R dRdF = R 2dR2ie El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 18. Problema 4 9R 3F = 2 R dR = 2 R2i0e e 3El par necesario en la superficie lateral:iiM = FRdM = dFR2dM = tg 2h dhR2i icos ei i R =h tgh 3 3 4M = tg 2 h 3dh = tg 2 hL i0cose cose 4El par en la base:dM = dF R = 2 R 2dR Ri i ieh 4M = 2 R 3dR = 2 Rb i0e e 4El par total necesario para mantener el movimiento ser:T M = L b M +M3 4 4 3 tg h R 2 tg M = 2 + 2 = h +R4 4Tcose 4 e 4 e 4 cosSustituyendo el radio por su equivalente:M = h 4 tg 3 1 + tgT e 2 cosLa potencia necesaria para mantener el sistema en movimiento ser:2 N = M = h 4 tg 3 1 + tgT e 2 cos El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 19. Problema 5 11Problema 55.1 EnunciadoSea un volumen de agua de 1 m3, sometido inicialmente a una presin de 105 Pa y a una temperatura de280 K. Si el proceso evoluciona de forma que al cabo de un tiempo T la temperatura y la presin del fluidoson de 300 K y 3 105 Pa, determine el volumen que ocupar el lquido en estas condiciones.Datos: =1,5310 4 K 1(coeficiente de expansin trmica)T 1,96 10 N= 9(mdulo de compresibilidad volumtrica)2m5.2 ResolucinLa definicin del mdulo de compresibilidad y del coeficiente de expansin trmica es:dpd = = T1 ddTLa variacin de volumen con la presin y la temperatura se define: = + d dp dT p Tde donde:d = dp + dTIntegrando:= + final d P final dp TfinaldT P Tinicial inicial inicial El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 20. 12 Mecnica de fluidos = + ln 1 p p T Tfinal ( ) ( )final inicial final inicialinicialln = ln 1 p p + T T( ) ( ) final inicial final inicial final inicial1p p T T( ) ( )e final inicial e final inicial = final inicialSustituyendo valores, se obtiene:final inicial = 1,002961El volumen del fluido al final ser ligeramente mayor que el inicial. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 21. Problema 6 13Problema 66.1 EnunciadoDados un fluido de densidad constante que fluye en un canal convergente con una altura media de0 YY =1+ x L y una velocidad en direccin x de 2 u = u 1+ x 1- y0L Y, siendo u0 =1 m/sL = 5mxYo = 1mYs = 0,5mCalcule:La velocidad transversal, v(x, y).La aceleracin lineal, la velocidad angular, la vorticidad, la velocidad de deformacin volumtrica y lavelocidad de deformacin angular para dicho fluido.6.2 ResolucinPara un fluido incompresible y flujo bidimensional, la ecuacin de continuidad puede expresarse: v = - uy x;En funcin de los datos del enunciado, la velocidad en direccin x se puede dar: El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 22. 14 Mecnica de fluidos 2 2 2 3 u = u 1+ x 1- y 1+ x = u 1+ x - y 1+ x0 2 0 2L Y L L Y L0 0derivando respecto a x se obtiene: 2 2u - u =- 3y x 01- 1+x L Y L 20 ;con lo cual la velocidad en direccin y ser: 2 2 2 2u u u 3y v = - 0 1- 3y 1+ x dy = - dy+ 1+ x 0 0dy 2 20 0L Y L L LY L 3 2u y u y v = - 0 + x 01+ +C(x)20 L LY L;Condiciones de contorno: v = 0; cuando y = Y y para cualquier x;23 u Y u Y 0 = - 0 0 + 0 0L +C(x)1+ xL 1+ x LY x L 1+ L2 30 Sustituyendo para x = 0C(x) = 0; por lo tanto: 2 2 u y v = - 1- y 1+x 0L Y L0Eligiendo el sistema cartesiano de coordenadas, la aceleracin en direccin x e y ser: a = Du = u + u u + v uxDt t x y a = Dv = v + u v + v vyDt t x y Puesto que se est en rgimen permanente: u = v = 0t tDerivando las velocidades u y v respecto las direcciones x e y se tiene: 2 2u = u 1 - 3y 1+ x 1x L Y L L 0 20 ; 3u = u - 2y 1+ xy Y L 0 20 ; El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 23. Problema 6 15 v y 3= u 2 x 1 x 0 1+ LY 2 L L 0 ; 2 2v = u 3y 1+ x - 1y LY L L 0 20 ;Sustituyendo en las ecuaciones para la aceleracin, se obtiene: 2 2 3 4 50u x y x y x a = 1+ -2 1+ + 1+xL L Y L Y L0 0 2 3 2 5 40u y x y x a = y-2 1+ + 1+y 2 2 4L Y L Y L0 0La velocidad angular se define como: z = 1 v - u ;2 x y Obsrvese que: x= 1 w - v = 02 y z y = 1 u - w = 02 z xSustituyendo, queda: 2 2 yu = x y x 01+ +1+Y L L Lz 2 20 ;Puesto que la vorticidad se define como el doble de la velocidad angular, z = 2z ;2 2yu = 2 1+ x y + 1+x 0z 2 2Y L L L0 ;la velocidad de deformacin volumtrica est dada en este caso por:1 d( ) = u + v dt x y Al sustituir u y vx y, se llega a:1 d( ) = 0 dt;la velocidad de deformacin angular viene dada por: El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 24. 16 Mecnica de fluidos1 = u + v xy2 y x ;puesto que: = xz = 1 u + w 02 z x = ; yz= 1 v + w 02 z y;Sustituyendo, se llega a: 2 2 yu = x x y 01+ -1+ +Y L L Lxy 2 20 ;Cabe recordar que, aunque matemticamente se puedan separar, la rotacin, la dilatacin y la deformacinangular, ocurren en el fluido de forma simultnea, y no se pueden separar desde el punto de vista fsico. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 25. Problema 7 17Problema 77.1 EnunciadoSea un flujo definido por una distribucin de velocidades tal como:u = x1+ t; v = y1+ 2t; w = 0Halle la lnea de corriente, senda o trayectoria y la lnea de traza que en el instante t = 0 pasa por el punto(x0, y0, z0) .7.2 ResolucinPuesto que w = 0, el flujo es bidimensional y, todas la lneas de corriente sern paralelas al plano XYLa determinacin de las lneas de corriente se basa en la ecuacin:dx = u = xdy = v = yds 1+ tds 1+ 2tIntegrando para t = cte, queda:dx = dsx 1+t; lnx = s + cte1+ tvariables(x,y)sx = c1e1+t2sy = c e1+2tPara calcular las constantes, se impondr la condicin: s=0; x=X0; y=Y0, y se obtendrC1= x0; C2= y0; Eliminando s, queda:ln x ( ) . 1+ t = ln y x y. ( 1+ 2t) 0 0Reagrupando en x e y, se obtendr: ln x . 1+ t = ln yx 1+2t y0 0 ;ln x . 1+t ln ye x 1+2t = e y; 0 01+t1+2tx = yx y 0 0; El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 26. 18 Mecnica de fluidosSe obtiene as la ecuacin de las lneas de corriente que pasan por (x0, y0) en cualquier instante t:1+t1+2ty = y x0 x0Para t = 0 y = xy x0 0La lnea de corriente ser una lnea inclinada 45 que pasa por el punto (X0, Y0), ver figura 7.1:yxt = -1/3t = -1/6t = 0t = 1/3t = 1aumentando tt = infinitoyoxoFig. 7.1. Lneas de corriente que pasan por el punto X0 Y0 para diferentes estados temporalesLas lneas de corriente se pueden determinar tambin utilizando la ecuacin:dx =dyu vSustituyendo los valores de u y v se obtiene:dx =dyx y1 t 1 2t+ +de donde:dx = dy 1 +2tx y 1 +tIntegrando entre lmites, se obtiene:+ =+ 1 t X dx Ydy1 2t X0 x Y0yde donde:+ = + 1 t ln x ln y1 2t x y0 0 El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 27. Problema 7 19o bien:+1 t1 2t x + = y x 0 y0Vase que se obtiene la misma ecuacin que en el apartado anterior.Las sendas o trayectorias se determinan integrando las ecuaciones A y B(A) dx = xdt 1+ t(B) dy = ydt 1+ 2tIntegrando,dx = dtx 1+t ; lnx = ln (1+ t) + k1 ; elnx = eln(1+t)+k1 x = (1+ t).k'1 (C)dy = dt1 ( ) e12ln(1+2t)+k2 ( )1 ; lny = ln 1+ 2t + k2; elny = y 1+2t2y = 1+ 2t 2 .k'2 (D)Aparecen dos nuevas constantes, k1 y k2, que corresponden a ek1 y ek2Aplicando las condiciones de contorno t=0, x=X0, y=Y0, queda:X0 = k'1 ; x = (1+ t).X0Y0 = k'2 ; ( )1y = 1+ 2t 2 .Y0Eliminando el tiempo se obtiene la ecuacin de la senda o trayectoria.12y = 1+ 2 x -1 .Y0 X 0sta se muestra en la figura 2.Vase que no coincide con la ecuacin de la lnea de corriente en t=0.Para hallar la lnea de traza, se parte de las ecuaciones integradas de las sendas, ecuaciones C y D, y se calcula lafamilia de partculas que pasaron por (X0, Y0) en instantes t.As pues, para t = , x =X0, y =Y0, se obtiene:1k' = X(C) x = (1+ t).k'1 ; 01+ ( )01+ tx = X1+ (D) ( )1y = 1+ 2t 2 .k'2 ;02 1( )2k' = Y1+ 2 ( )121 021+ 2ty = Y( 1+ 2)Estas expresiones corresponden a las lneas de traza que pasan por (X0, Y0) en cualquier instante t.Para t =cte, se igualan los valores de de las dos ecuaciones.( ) ( ) 2 1+ t = .X-Y 01 01= 1+2t. -1x y 2( ( 1+ 2t ) 2 1+ t ) X0 - 1 = Y0 x 2 2 y El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 28. 20 Mecnica de fluidosDespejandoyY 0, se obtiene:yY 0 = ( )( )1201+ 2t2 1+ t X -1x Para t =0 yY 0=12 12 X 0-1x=-12 X0 -1 2x Lnea tambin representada en la figura 2.Fsicamente, la lnea de traza refleja el comportamiento de las lneas de corriente antes del instante t =0, mientrasque la senda refleja lo que ocurre despus.Una lnea de traza se genera experimentalmente por medio de la inyeccin continua de partculas marcadas(tinta, humo o burbujas) desde un punto fijo.Como ltima observacin, cabe decir que en caso de flujo estacionario, las lneas de traza, senda y corrientecoinciden.Lnea de trazaLnea de corrienteSendayxYOXOFig. 7.2 Lnea de corriente, senda y lnea de traza que pasan por X0 e Y0 en T = 0Lnea de corrienteLnea de trazaSendaFlujo placa oscilanteuniformePuntoemisorFig. 7.3 Flujo no estacionario alrededor de una placa oscilante, visualizado con burbujas desprendidas de un punto fijo.Adaptado del problema 1-14 del libro Mecnica de Fluidos del autor Frank M White edicin 1988, publicado por McGraw-Hill.. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 29. Problema 8 21Problema 88.1 Enunciado Sea el Gmovimiento en rgimen permanente definido en coordenadas eulerianas y dado por el campo develocidades: vG = (2x - 3y)i + (3x - 2y)jSe pide:1. Demuestre que el fluido es incompresible.G 2. Determine el campo de aceleracin ay el campo de vorticidad (). G3. Determine las lneas de corriente e identifique aquella que pasa por el punto x =1; y =1; z =0.4. Determine la ecuacin de las lneas de torbellino (vector remolino )5. Calcule la circulacin del vector velocidad a lo largo de la lnea de corriente que pasa por el punto x =1;y =1; z =0. Calcule tambin el flujo de vorticidad a travs de la superficie que tiene por lnea fronteraaquella lnea de corriente.6.- Calcule la velocidad de deformacin lineal especfica en la direccin del vector unitario r = 2 i - 2 j2 2G8.2 Resolucin1. La ecuacin de conservacin de la masa en forma diferencial se enuncia: + (.v) G =0 ;tGSi el fluido es incompresible,se ha de cumplir: V = 0Sustituyendo: v = vx + vy + vz = 2 - 2 + 0 = 0G fluido incomprensible x y zG G G G 2. a = v + (v )vtG= 0Por ser el movimiento estacionario, vt El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 30. 22 Mecnica de fluidos = v v 2x 3y 3x 2y . v v vG G = (2x - 3y)(3x - 2y) .( ) ( )( )v v vx x xx y zx y z y y yv v vz z zx y z2 3 3 2== (2x - 3y) 2 + (3x - 2y) - 3 i + (2x -3y) 3+ (3x - 2y) (-2) j == [4x - 6y -9x + 6y]i +[6x -9y - 6x + 4y]j =-5xi - 5yjG G GEl campo de vorticidad est definido por = V = rotV ( ) ( )( ) ( )i j k = = 3x - 2y k - 2x -3y k = 6kx y z x y2x -3y 3x - 2y 0GEl fluido est girando respecto al eje z.3. Las lneas de corriente se definen por la ecuacin diferencial:dx = dyV Vx y; dx = dy2x -3y 3x - 2y; dx (3x - 2y) - dy(2x -3y) = 0Se llega a una ecuacin diferencial del tipo: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0Se debe comprobar si se trata de una diferencial exacta: Para ello, se ha de cumplir M(x, y) = N(x, y)y xRecordando queN(x,y) = -(2x -3y)Se observa que la ecuacin diferencial es exacta, dado que las dos derivadas tienen el mismo valor.M(x, y)y= N(x, y)x=-2Puesto que se trata de una diferencial exacta, la solucin de la ecuacin ser del tipo:x2 F(x, y) = M(x, y)dx = 3x - 2y dx = 3 - 2xy +C(y)( )2 y debe cumplirse que N(x, y) = F(x, y)y, El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 31. Problema 8 23con lo cual: -(2x - 3y) = -2x +C'(y) C'(y) = 3y 20C(y) = 3y +C2Por tanto la funcin queda:2 2F(x, y) = 3x - 2xy + 3y +C 0= 02 2(Si en lugar de igualarla a 0 se iguala a cualquier otro nmero, se obtendrn elipses concntricas.)Sustituyendo para el punto x =1; y =1; z =0, queda:F(x, y) = 3 - 2 + 3 +C 0= 02 2 C0 = -1En este punto, la funcin ser:3x2 3y2 + - 2xy -1 = 02 2Ecuacin de la lnea de corriente que pasa por el punto (1,1,0) y representa la ecuacin de una elipse centrada enel origen pero inclinada un ngulo .Con el fin de hallar la ecuacin de la elipse referida a sus ejes centrales, se debe determinar el ngulo de rotacinde la misma.La expresin de una elipse plana en cualquier punto del eje de coordenadas y girada un ngulo viene dada por:Ax2 + Bxy +Cy2 +Dx + Ey + F = 0El trmino x y es el que da la rotacin.Los trminos en x e y dan el desplazamiento (en este caso, no existe desplazamiento)El ngulo de giro viene dado por: cotg (2) = A-CBLa ecuacin hallada es:3x2 3y2 + -2xy -1= 02 2. Y se puede expresar como:3x2 + 3y2 - 4xy - 2 = 0 (1)Se deduce que A =3; B =-4; C =3.cotg(2) = 3-3 = 0-4 2 = 90 = 45 El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 32. 24 Mecnica de fluidos45xx'y'yFig. 8.1 Inclinacin de la elipse respecto a los ejes coordenadosPara transformar la ecuacin de la elipse referida a los ejes x y respecto a los ejes xy se debe realizar el cambio:x = x'cos - y'seny = x'sen+ y'cosx = x'cos45 - y'sen45y = x'sen45 + y'cos45Sustituyendo en la ecuacin (1):2 2 Desarrollando se llega a x'2 +5y'2 - 2 = 0La ecuacin de la elipse respecto a los ejes x e y ser:1 x'2 + 5 y'2 -1 = 02 2La ecuacin genrica de una elipse centrada es:3 x' 2 - y' 2 + 3 x' 2 + y' 2 - 4 x' 2 - y' 2 . x' 2 + y' 2 - 2 = 02 2 2 2 2 2 2 22 22 2x + y = 1a b;siendo a y b los semiejes principales, que en este caso valdrn:a = 2b = 254. El vector remolino se define como G.G G ( = 6k = 1 2G) apartado 2 G = 3k5. La circulacin del vector velocidad se define como: El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 33. Problema 8 25G Gv v = v.dl = {i (2x -3y) + j(3x - 2y)}{i.dx + j.dy}Esta integral hay que realizarla a lo largo de la lnea de corriente (que es la elipse); para integrar se debentransformar todos estos parmetros en uno solo e integrar respecto a dicho parmetro.Consecuentemente, se han de dar los valores de x, y, dx, dy en funcin de los semiejes principales de la elipse yel ngulo de giro.Las relaciones de transformacin son:sen = ybcos = xax = acos= 2cosy = bsen = 2sen5dx = -asend = - 2senddy = bcosd = 2cosd5xybaFig. 8.2. Relaciones de transformacin para una elipseSustituyendo estos valores en la integral se obtiene como nica variable el ngulo , que se integrar entre 0 y2; = 2x - 3y dx + 3x - 2y dy = 2 2cos - 3 2sen . - 2sen d + 3 2cos - 2 2sen . 2cos d( ) ( ) ( ) 2 2 5 5 5 0 0vDe realizar la integracin se obtiene que = 12 5Se observa que este camino elegido es largo. Un mtodo alternativo sera la aplicacin del teorema de Stokes: El autor, 2006; Edicions UPC, 2006