mecánica de fluidos fÍsica b
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Mecánica de Fluidos
Mg. Marcos Guerrero.
Marcos Guerrero
2
En la actualidad existen 6 estados de la materia y son:
• Sólido. • Líquido. • Gaseoso. • Plasma. • Condensado de Bose-Einstein. • Condensado Fermiónico.
Las 3 primeras son muy conocidas y observables en nuestra vida cotidiana, pero las 3 últimas sólo se las encuentra en situaciones extremas de temperatura y presión.
ESTADOS DE LA MATERIA.
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3 El la figura hemos considerado una visión intuitiva de la estructura de un átomo representando el núcleo (formado por protones y neutrones) por una bolita maciza roja, y la corteza de electrones que lo rodean por una bola hueca roja también. La bola con un punto en el centro constituye un átomo completo eléctricamente neutro.
Video.
Densidad Definición
Se define como la relación entre la masa y el volumen.
Vm
=ρ
Sus unidades en el S.I. son kg/m3
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Marcos Guerrero
Marcos Guerrero
5 Esta definición se aplica siempre y cuando la densidad del cuerpo o sustancia sea uniforme en caso contario se aplica la siguiente definición:
Vm
V Δ
Δ=
→Δ 0limρ
Microscópicamente la densidad viene definido por la masa del cuerpo o sustancia y la distancia interatómica.
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6 Entre los sólidos, líquidos y gases, explique ¿cuál de ellos tiene por lo general la mayor densidad?
Indique y explique ¿Qué factores físicos influyen en la variación de la densidad?
Explique, ¿qué posee mayor densidad una pesada barra de oro puro o un anillo hecho de oro puro?
Explique, ¿qué le sucede al volumen de un pedazo de pan cuando se comprime?, ¿qué le sucede a su masa?, ¿qué le sucede a su densidad?
Explique lo que ocurre con la densidad en el mar muerto.
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7 COMPORTAMIENTO ANÓMALO DEL AGUA.
La mayoría de los cuerpos o sustancias al aumentar su temperatura, aumentan su volumen y su densidad disminuyen; al disminuir la temperatura ocurre lo opuesto.
En el caso del agua tiene un comportamiento diferente al resto de cuerpos o sustancia, por eso a este comportamiento se lo llama comportamiento anómalo del agua.
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8
En la gráfica podemos notar que a la densidad tiene el mayor valor y que al disminuir el valor de temperatura a partir de ese valor la densidad disminuye.
C04
Explique ¿porqué el pescadito en el fondo del lago está vivo en una región donde las temperaturas están por debajo de los ? C00
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9 DENSIDAD RELATIVA( ). rρDefinición macroscópica:
OHr
2ρρ
ρ =
Las unidades de la densidad relativa en el S.I. es adimensional.
Es una cantidad escalar que se define como el cociente entre la densidad absoluta del cuerpo o sustancia y la densidad absoluta del agua a una temperatura de . C04
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10 PESO ESPECÍFICO ( ). γ
Definición:
Es una cantidad escalar que se define como el cociente entre el peso y el volumen de un cuerpo o sustancia.
VW
=γ
Las unidades de la densidad en el S.I. es el ( ) N /m3
También llamado densidad gravimétrica.
En el Sistema C.G.S. la densidad viene dada en
dina / cm3
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11
Ahora:
VW
=γ
Vmg
=γPor lo tanto:
gργ =
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12
Pregunta conceptual
Marcos Guerrero
13
Solución
Problema
14
Marcos Guerrero
Solución
15
Marcos Guerrero
Problema
16
Marcos Guerrero
Suponga que la densidad relativa de una sustancia es 0.7, ¿cuál es la densidad de ésta en g/cm3 ?, ¿en kg/m3 ?
Solucion
17
Marcos Guerrero
aguarelsust ρρρ ×=
33 7.000.17.0cmg
cmg
sust =×=ρ
3700mkg
sust =ρ
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18 PRESIÓN ( ). P
P =ΔA→0lim ΔF
ΔA=∂F∂A
Es una definición puntual que se aplica a cada punto en el interior del fluido.
Se define como:
FA
Δ
Δ
Los fluidos no soportan esfuerzos de tensión ni de corte sino esfuerzos de compresión.
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19
Las unidades de la presión en el S.I. es el ( ) 2.1 −= mNPa
UNIDADES DE PRESIÓN EN OTROS SISTEMAS Y FACTORES
DE CONVERSIONES
PaxpulbfISP
PaTorrPabar
cmdeHgPaxatm
32
5
5
1089,6)lg
.(..1
1331101
7610013,11
=
=
=
==
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20 PROPIEDADES DE LA PRESIÓN.
1. La presión de un punto en el interior de un fluido en reposo es igual en todas las direcciones.
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21 2. La fuerza asociada a la presión en un fluido en reposo se dirige siempre
hacia el interior del fluido, es decir, es una fuerza de comprensión, jamás de tracción.
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22 3. La fuerza asociada a la presión en el interior de un fluido en reposo siempre
tienen la dirección normal a la superficie en contacto.
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23 4. Todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el interior de un fluido homogéneo, continuo y en reposo tienen el mismo valor de presión.
mgW =
Vamos a determinar la presión que soporta el punto 2, entonces tenemos:
Vm ρ=
VgW ρ=
321 PPP ==
1 2 3
h
A
AhgW ρ=
AFP =
AAhgP ρ
=
ghP ρ=
La ecuación obtenida, se conoce como la presión hidrostática y podemos concluir que el interior de un punto en un fluido en reposo depende de la profundidad a la que se encuentra el punto.
AhV =
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24
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25 5. La superficie libre de un fluido en reposo es siempre horizontal.
VASOS COMUNICANTES
El aumento o la disminución de la presión en un punto de un fluido en reposo se transmite por igual a todos los puntos del fluido y del recipiente que lo contiene.
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27 PRESIÓN ATMOSFÉRICA. Sobre la superficie de la Tierra existe una masa gaseosa llamada atmósfera. Esta masa ejerce una presión por efecto de su propio peso sobre los cuerpos que se encuentran en el interior, esta presión se llama presión atmosférica.
En esta columna de aire existe un peso de 101300 N que actúa sobre un área de , por lo tanto, se ejerce una presión de 101300 Pa sobre el área sombreada.
21m
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28 PaP /
mh /0
khePP −= 0
0P
0P Pax 510013,1h
k
:es la presión atmosférica a nivel del mar y tiene un valor de . :es la altura medida con respecto al nivel del mar. :es la presión atmosférica a una cierta altura medida con respecto al nivel del mar. :es una constante
P
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Explique, ¿en dónde existe mayor presión atmosférica en Guayaquil o Quito?
Explique, ¿porqué la presión atmosférica no rompe los vidrios de una ventana?
Explique, ¿en dónde es más fácil beber una gaseosa con un popote?
Se ha programado una excursión a Sierra Nevada. En casa has cogido una bolsa de patatas y la has metido en tu mochila. Cuando llegas a la sierra compruebas que la bolsa de patatas se ha inflado. Explica lo que ha ocurrido.
Marcos Guerrero
30 ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA.
mgW =
Tomemos una porción de fluido en forma de cilindro.
Ahora aplicando la Primera Ley de Newton debido a que la porción del cilindro está en reposo, entonces tenemos que:
APF 11 =APF 22 =
0=Σ YF)(+
012 =−− WFFEn donde:
Vm Fρ=Por lo tanto: hgAW F Δ= ρ
hAV Δ=
hgAW F Δ= ρ
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31 Ahora reemplazando las 3 fuerzas en la Primera Ley de Newton tenemos:
012 =Δ−− hAgAPAP Fρ
Desarrollando la ecuación tenemos:
)( 1212 hhgPP F −+= ρ
La ecuación anterior se la conoce como ecuación fundamental de la hidrostática.
Si tenemos un gas encerrado en un recipiente, tal como se muestra en la figura, ¿cómo se compara la presión del punto 1 y el punto2?
Marcos Guerrero
32 PRESIÓN ABSOLUTA Y PRESIÓN MANOMÉTRICA (PRESIÓN RELATIVA)
Ahora el punto 1 lo colocamos en la superficie libre del líquido, por lo tanto la ecuación fundamental del la hidrostática nos da:
En donde:
ghPP Fa ρ+= 0
0PghFρ
:es la presión absoluta. . :es la presión atmosférica. :es la presión manométrica.
aP
Bosqueje una gráfica Pa vs. h y en ella indique ¿cuál es el significado de la pendiente y la intersección con el eje vertical ?
Marcos Guerrero
33 DIAGRAMA ESQUEMÁTICO DE
PRESIONES.
Es importante señalar que los valores de presión siempre deben darse con respecto a un nivel de referencia. Cuando el nivel de referencia es el vacío la presión es llamada presión absoluta. Cuando el nivel de referencia es la presión atmosférica la presión es llamada presión manométrica.
aPmP
0P
)0( =Pavacío
esiónniveldePr
ma PPP += 0
féricaesiónatmosPr
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34
En conclusión la presión manométrica puede tomar valores positivos, negativos y cero, en cambio la presión absoluta puede tomar valores positivos y cero.
En el vacío(ausencia de aire):
0=aP
0PPm −=
0=mP
0PPa =
En el ambiente(la densidad del aire es muy baja):
Si en el interior del recipiente hubiera un 80% vacío, indique, ¿cuáles sería el valor de la presión absoluta y la presión manométrica?
Marcos Guerrero
35
Barómetro aneroide
Manómetro
MEDIDORES DE PRESIÓN MÁS COMÚNES.
Marcos Guerrero
36 EXPERIMENTO DE TORRICELLI.
0P
0=vacíoabsolutaenP
cm76Mercurio
Evangelista Torricelli fue el primero en medir la presión atmosférica. Para ello empleó un tubo de 1 m de longitud, abierto por un extremo, y lo llenó de mercurio. Dispuso una cubeta y volcó cuidadosamente el tubo introduciendo el extremo abierto en el l íquido, hasta colocarlo verticalmente. Comprobó que el mercurio bajó hasta una altura de 76 cm sobre el líquido de l a c u b e t a . P u e s t o q u e e l experimento se hizo al nivel del mar, decimos que la presión atmosférica normal es de 76 cm de Hg. Esta unidad se llama atmósfera y es ta es la razón de las equivalencias anteriores.
Marcos Guerrero
37
21 PP =
vacío
0P
ghP Hgρ=0
PaxP 50 10013,1=
PaxcmdeHgatm 510013,1761 ==
Marcos Guerrero
38
En el experimento de Torricelli, explique, ¿qué ocurre en la altura de la columna del líquido si el experimento hubiera sido con agua?
En el experimento de Torricelli, explique, ¿qué ocurre en la altura de la columna del líquido si el experimento se lo hubiera hecho en la ciudad de Quito?
Marcos Guerrero
39
Problema
40
Marcos Guerrero
Solucion
41
Marcos Guerrero
Problema
42
Marcos Guerrero
Solución
43
Marcos Guerrero
Problema
44
Marcos Guerrero
Solucion
45
Marcos Guerrero
Marcos Guerrero
46
Manómetro de mercurio
21 pgyppgyp atm +=+
pghyypgpp atm =−=− )( 12
Marcos Guerrero
47
Pregunta conceptual
Marcos Guerrero
48
Solución
En un tubo que contiene mercurio se añaden 43 cm de agua en el ramal izquierdo y en el derecho se agrega aceite (ρ = 0.7 g/cm3) hasta igualar a la columna de agua. Calcule el desnivel que se produce en el Hg.
Problema
Solucion
50
Marcos Guerrero
La presión en A es igual a la de B
BA PP =
( )xhggxgh oilHgagua −+= 11 ρρρ
( )( ) 1hx
oilHg
oilagua
ρρ
ρρ
−
−=
( )( )
cmx 437.06.137.00.1
×−
−=
cmx 0.1=
A B
Marcos Guerrero
51
FUERZA HIDROSTATICA SOBRE SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS
dA
dF FR
θ
Centro de presión: Punto donde actúa FR
yCP
x
y
y
zO
y
dy
dF = PdA dA h
FR = γ ysenθ∫ dA
θsenyh =
dF = ρgh dA
dF = γh dA
FR = γsenθ y∫ dACentro de gravedad
yCG =1A
y dA∫
hCP
dF = γ ysenθ dA
Marcos Guerrero
52
FR = γsenθyCGA
FR = γhCGA
yCPFR = y dF∫
dF = γ ysenθ dA
yCPFR = yγ ysenθ dA∫
yCPFR = γsenθ y 2 dA∫
yCPγ yCG senθA = γsenθ I 0
yCP =I oyCG A
yCP =ICGyCG A
+ yCG
Aplicando el teorema de los ejes paralelos
Calculando el momento debido a FR
Momento de inercia
Marcos Guerrero
54
PROBLEMA Una compuerta rectangular de dimensiones 50cm x 20cm se encuentra apoyada auna bisagra y parcialmente por una capa de agua. Determine la altura H de dichacapa para que el resorte cuya constante k=900N/m se logre comprimir 2cm, si lacompuerta adoptó una posicion vertical. El ancho de la compuerta es ω.
( )wdyghyPdAyydF )()( ρτ ∫∫∫ ===
( ) ( )∫∫ −=−=H
dyyHygydyyHg0
2ωρωρτ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=3232
33
0
32 HHgyyHgH
ωρωρτ
( )50.061 3 xkHg Δ== ωρτ
( )31
23
31
20.08.91000
50.002.0900650.06
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
××
×××=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ Δ=
msm
mkg
mmmN
gxkHωρ
mH 302.0=
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55 PRINCIPIO DE PASCAL.
“Todo aumento de presión en la superficie de un fluido se transmite por igual a todos los puntos del interior del fluido.”
11 ghPm ρ= 22 ghPm ρ=33 ghPm ρ=
Trabajando con presiones manométricas tenemos:
Trabajando con presiones absolutas tenemos:
011 PghPa += ρ 022 PghPa += ρ
033 PghPa += ρ
Marcos Guerrero
56
El principio de Pascal es usada en el funcionamiento de máquinas hidráulicas, tales como: la prensa, el gato, el freno, el ascensor y la grúa, entre otras.
Determinando la presión total que soportan los puntos 1,2 y 3 tenemos:
AFghP += 11 ρ
AFghP += 22 ρ
AFghP += 33 ρ
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57
Marcos Guerrero
58
Los fluidos transmiten presión, los sólidos transmiten fuerzas.
Marcos Guerrero
59 PRENSA HIDRÁULICA.
EnSalEn
Sal
EnEn
SalSal
Sal
Sal
En
En
SalEn
FFAA
FAAF
AF
AF
PP
〉→〉
=
=
=
1
La magnitud de Fsal es mayor que la magnitud de FEn por un factor de
Se aplica una fuerza descendente a un pequeño émbolo de área AEn. La presión se transmite a través del fluido a un émbolo más grande de área ASal.
SalEn AA 〈
Marcos Guerrero
60
EJEMPLO
Una fuerza f = 100 N se aplica sobre el émbolo pequeño cuyo diámetro es de 5 cm. ¿Cuánto vale la fuerza F que se aplica sobre el émbolo mayor si su diámetro es de 50 cm?
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=aAfF
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
4
4100 2
2
d
DNF
π
π 2
100 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=dDNF
2
550100 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=F NF 10000= Como el área depende d e l c u a d r a d o d e l diámetro, la fuerza se ve multiplicada por 100
EJEMPLO
Un hombre de masa igual a 75 kg. está parado sobre una plataforma que tiene 900 cm2 de área, colocada sobre un tubo con agua como en la figura. ¿A qué altura subirá el agua en el tubo vertical? ¿A qué altura subirá si el área de la plataforma se reduce a la mitad?
h
AmgP = ghP ρ= gh
Amg
ρ= Amhρ
=
243 109001000
75
mmkg
kgh−×
= mh 833.0=
La relación de la fuerza de salida a la fuerza de entrada de una prensa hidráulica será igual a la relación de A) los diámetros de entrada y salida del pistón. B) las áreas de entrada y salida del pistón. C) los radios de entrada y salida del pistón. D) todas las anteriores. E) ninguna de éstas.
Pregunta de opciones múltiples
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64 Imaginemos que en el interior de un fluido en reposo colocamos un cierto objeto, tal como se muestra en la figura.
E
W
Podemos observar que cuando sumamos todas las fuerzas que ejerce el fluido sobre el objeto nos da una fuerza resultante hacia arriba, este fuerza resultante se la conoce con el nombre de fuerza de empuje o fuerza de flotación.
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65 PRINCIPIO DE ARQUÍMIDES.
“Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en el interior de un fluido en reposo, experimentará una fuerza de empuje(fuerza de flotación)igual al peso del fluido desplazado por dicho cuerpo. ”
Marcos Guerrero
66
FW
:FW:FV
:peso del fluido desalojado por el objeto en el interior del fluido. . :volumen del fluido desalojado por el objeto en el interior del fluido
gVEgmE
WE
FF
F
F
ρ=
=
=
Marcos Guerrero
67 Indique, ¿qué factores influyen en la fuerza de flotación que experimenta un cuerpo en el interior de un fluido en reposo?
Explique porque un bloque de hierro macizo en el interior de un fluido en reposo no flota y la misma cantidad de hierro formando una carcasa tal como se muestra en la figura flota.
Marcos Guerrero
68 Explique, ¿porqué la lectura de la balanza disminuye cuando el cuerpo de la figura es sumergido en el interior del fluido?
Marcos Guerrero
69
En el caso de que el cuerpo este totalmente sumergido en el fluido, existen 3 condiciones para que el cuerpo flote o se hunda, esto dependerá de la comparación de la fuerza de empuje que ejerce el fluido sobre el cuerpo y del peso que ejerce la Tierra sobre el cuerpo, y son:
CONDICIONES PARA QUE UN CUERPO FLOTE O SE HUNDA EN EL INTERIOR
DE UN FLUIDO.
1. Si la fuerza de empuje es igual a la peso, entonces el cuerpo ni asciende ni desciende (el cuerpo está en equilibrio).
2. Si la fuerza de empuje es mayor al peso, entonces el cuerpo asciende con aceleración constante.
3. Si la fuerza de empuje es menor al peso, entonces el cuerpo desciende con aceleración constante.
PROBLEMA
Una pieza de aluminio con 1.0 kg de masa y 2700 kg/m3 de densidad está suspendida de un resorte y entonces se sumerge por completo en un recipiente de agua. Calcule la tensión en el resorte:
a) antes y b) después de sumergir el metal.
SOLUCION MgT =1 21 8.90.1smkgT ×= NT 8.91 =
02 =−+ MgET
gVNT aguaρ−= 8.92
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=3
2322700
0.18.910008.9
mkgkg
sm
mkgNT
NT 17.62 =
PROBLEMA
Un bloque cúbico de madera de 10.0 cm de lado flota en la interfaz entre aceite y agua con su superficie inferior 2.00 cm por debajo de la interfaz. La densidad del aceite es de 750 kg/m3.
a) ¿Qué presión manométrica hay en la superficie de arriba del bloque?
b) ¿y en la cara inferior?
c) ¿Qué masa tiene el bloque?
Un globo lleno de helio se amarra a una cuerda uniforme de 2m de largo y 0.05 Kg (mc) de masa. El globo es esférico con un radio de 0.4 m. Cuando se suelta levanta una longitud h de cuerda, y luego permanece en equilibrio, como en la figura. Determine el valor de h. La envolvente del globo tiene una masa de me = 0.25 Kg. ( ρhelio=0.179kg/m3; ρ= 1.29 kg/m3).
gVhelioρ
gme
gmc,
gVaireρ
00 , =−−−⇒=∑ gmgmgVgVF cehelioairey ρρ
( ) 0 34 3, =−−= ehelioairec mrm πρρ ( ) ( ) kgkgm
mkgmc 0478.025.04.0
34179.029.1 3
3, =−×−= π
mmmmlh
hm
lm
c
cc
c
c
c 9.105.00478.02
,,
===⇒=
Un bloque de madera de 2 kg flota con el 60% de su volumen sumergido en agua. ¿Qué cantidad de plomo hay que agregar para que quede sumergido al 100%?
0.6V
mg
( )Vgagua 6.0ρ
( )∑ =⇒=⇒=agua
aguaymVmgVgFρ
ρ6.0
6.00
mg
gmPb gVaguaρ ( )∑ =−−⇒= 00 mggmVgF Pbaguay ρ
mVm aguaPb −= ρ mmmagua
aguaPb −×=ρ
ρ6.0
kgkgmPb 26.0
2−= kgmPb 33.1=
¿Cuál es la fuerza boyante que actúa sobre un barco de 10 toneladas que flota en el océano? A) menos de 10 toneladas. B) 10 toneladas. C) más de 10 toneladas. D) depende de la densidad del agua de mar.
Pregunta de opciones múltiples
La razón de que un chaleco salvavidas le ayude a flotar es que A) el chaleco hace que usted pese menos. B) el chaleco tiene la misma densidad que la de un humano promedio. C) el chaleco repele el agua. D) si usted se hunde, el chaleco también se hundirá. E) su densidad y la del chaleco en conjunto es menor que sólo su densidad.
Pregunta de opciones múltiples
Pregunta conceptual
Solución.
Problema
Una pieza de aluminio con 1.0 kg de masa y 2700 kg/m3 de densidad está suspendida de un resorte y entonces se s u m e r g e p o r c o m p l e t o e n u n recipiente de agua. Calcule la tensión en el resorte:
a) antes y b) después de sumergir el metal.
MgT =1 21 8.90.1smkgT ×= NT 8.91 =
02 =−+ MgET
gVNT aguaρ−= 8.92
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=3
2322700
0.18.910008.9
mkgkg
sm
mkgNT
NT 17.62 =
Solución
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80
HIDRODINÁMICA(FLUIDOS EN MOVIMIENTO).
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81 CARACTERISTICAS DE UN FLUIDO
EN MOVIMIENTO. Existen dos tipos de flujos:
Flujo estable o laminar: si cada partícula del fluido sigue una trayectoria uniforme, por lo que las trayectorias de diferentes partículas del fluido nunca se cruzan entre sí.
Marcos Guerrero
82
Marcos Guerrero
83
Flujo no estable o turbulento: este es un flujo irregular caracterizado por pequeñas regiones similares a torbellinos.
Marcos Guerrero
84
Marcos Guerrero
85 PROPIEDADES DE UN FLUIDO
IDEAL.
Fluido no viscoso: No se toma en cuenta la fricción interna, por lo tanto no hay pérdidas de energía.
Flujo estable: Suponemos que la velocidad del fluido en cada punto permanece constante en el tiempo.
FLUJO DE REGIMEN ESTABLE O ESTACIONARIO Y VARIABLE
Se dice que un flujo es de régimen estable cuando la presión y la velocidad no cambian con el tiempo. Si una de esas cantidades cambia el flujo ya no es de régimen estable sino de flujo variable.
Un ejemplo de un flujo de régimen variable es el de un tanque con un orificio por donde sale un fluido.
P0
P0’
v
Conforme el nivel del fluido en el tanque va bajando, la velocidad a la salida va disminuyendo aunque la presión sigue siendo la misma. Este es un ejemplo de un flujo de régimen variable.
Marcos Guerrero
87
Flujo irrotacional: Es cuando las partícula del fluido no presentan movimientos de rotación, sólo de traslación.
Fluido incomprensible: Se considera que permanecerá constante en el tiempo.
Marcos Guerrero
88 LÍNEAS Y TUBOS DE CORRIENTE.
Tubo de flujo: Es un conjunto de líneas de corriente .
Línea de corriente: Es la trayectoria tomada por una partícula de fluidos bajo flujo estable. Dos líneas de corriente nunca se cruzan entre sí, pues si esto ocurriera, el flujo no sería estable.
Marcos Guerrero
89 Indique y explique, ¿en cuál de los puntos 1 o 2 se tiene la mayor velocidad?
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90 CAUDAL(Q).
Explique en la práctica , ¿cómo se mide un caudal ?
Definición:
Es una cantidad escalar que se define como la rapidez con la que fluye el volumen.
tVQΔ
Δ=
Las unidades del caudal en el S.I. es el ( ) 13. −sm
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91
AvQtlAQ
lAV
=Δ
Δ=
Δ=Δ
OTRA ECUACIÓN DE CAUDAL.
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92 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
La ecuación de continuidad o conservación de masa es una herramienta muy útil para el análisis de fluidos que fluyen a través de tubos o ductos con diámetro variable.
El caudal a lo largo de una tubería es constante, en otras palabras el producto del área transversal de cualquier sección de la tubería por su rapidez en dicha sección es constante.
2211
tanvAvA
teconsAv=
=
Podemos observar de la ecuación de continuidad que el área transversal de una sección de la tubería y su rapidez en dicha sección están relacionados de manera inversa.
ECUACION DE LA CONTINUIDAD
Δx1 = v1Δt⇒Δm1 = ρ A1v1ΔtdV!"#
Δx2 = v2Δt⇒Δm2 = ρ A2v2ΔtdV!"#
21 :masa la deón conservaciPor mm Δ=Δ
dcontinuida la deecuación 2211 vAvA =
sm /3
Fluidos incompresibles
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94
ECUACION DE LA CONTINUIDAD
Fluidos compresibles
ρ1A1v1 = ρ2A2v2
Donde las densidades en los puntos 1 y 2, son y respectivamente.
ρ1 ρ2
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95
Problema
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96
Solución
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97
Problema
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98
Solución
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99 PRINCIPIO Y ECUACIÓN DE BERNOULLI.
La suma de la presión absoluta, la presión manométrica y la presión dinámica en cualquier punto del interior de una tubería que contiene un fluido en movimiento, es constante.
2222
2111
2
21
21
tan21
vgyPvgyP
teconsvgyP
ρρρρ
ρρ
++=++
=++
Marcos Guerrero
100
De la ecuación de continuidad y de la de Bernoulli se puede deducir lo siguiente:
• A mayor área de la sección transversal del tubo menor es la rapidez. • A mayor rapidez de un punto en el interior de un fluido en movimiento que se encuentra en un tubo, menor será la presión. • A mayor área de la sección transversal del tubo, mayor es la presión.
:21,
21
:,:,
22
21
21
21
vv
gygyPP
ρρ
ρρPresiones absolutas.
Presiones manométricas.
Presiones dinámicas.
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101
ECUACION DE BERNOULLI
( ) ( ) ( ) 21
2212222111 2
121
energia lay trabajodel teoremaal acuerdo De
mvmvyymgxAPxAP Δ−Δ=−Δ−Δ−Δ
Δm = ρΔVΔV = A1Δx1 = A2Δx2
P1A Δx1( )−P2A Δx2( )−Δmg y2 − y1( ) = 12Δmv2
2 −12Δmv1
2
P1ΔV −P2ΔV − ρΔVg y2 − y1( ) = 12ρΔVv2
2 −12ρΔVv1
2
( ) 21
221221 21
21 vvyygPP ρρρ −=−−−
Reordenando:
22221
211 2
121 gyvPgyvP ρρρρ ++=++ “ECUACION DE
BERNOULLI”
Para el caso de un flujo horizontal, y = 0
constante21 2 =+ vP ρ
Esto implica que en los lugares donde la velocidad del flujo es grande, entonces la presión es pequeña y viceversa.
La figura representa las líneas de flujo alrededor del ala de un avión. La presión arriba del ala es menor que la presión debajo de la misma, por lo que una fuerza de sustentación aparece hacia arriba.
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105 TUBO DE VENTURI. Es un aparato que permite determinar la velocidad de un fluido. Básicamente consiste en un tubo en U, con mercurio de densidad , que se adapta al tubo en dos puntos cuyas secciones son y , por donde fluye el fluido de densidad .
Hgρ1A 2Aρ
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106
Del gráfico mostrado, utilice la ecuación de continuidad y Bernoulli para demostrar que:
)()(222
21
21 AAgh
Av Hg
−
−=
ρ
ρρ
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107 LEY DE TORRICELLI (VELOCIDAD DE
EMISIÓN). Permite determinar la rapidez con la que sale un líquido por un orificio lateral de un recipiente, a una profundidad h con respecto a la superficie libre del líquido.
Del gráfico mostrado, utilice la ecuación de continuidad y Bernoulli para demostrar que:
ghv 21 =
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108 Explique, ¿por qué la velocidad de salida en el orificio de la parte inferior del vaso es mayor que en los otros dos orificios?
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109 APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
BERNOULLI.
Explique, ¿por qué al soplar sobre la parte superior de la hoja, este se levanta hacia arriba?
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110 Explique, ¿por qué al soplar en medio de las dos hojas, estas se juntan?
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111
Explique, ¿por qué al abrir la llave para que circule agua, la esfera se ve atraída?
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112 Explique, ¿cómo es la fuerza de sustentación en las alas de un avión?
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113 Explique, ¿por qué una pelota que gira en el interior de un fluido en movimiento tiene una trayectoria curva en el aire?
El vuelo de un avión ilustra mejor A) el principio de Arquímedes. B) el principio de Pascal. C) el principio de Bernoulli. D) la ley de Boyle.
Pregunta de opciones múltiples
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115
Solución
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116
Problema
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117
Solución
Marcos Guerrero
118
Problema
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119
Solución
ECUACION DE TORRICELLI APLICANDO LA ECUACION DE BERNOULLI
201210 2
1:y(2) (1) entre Bernoulli Aplicando
gyPgyvP ρρρ +=++
12212
1 gygyv ρρρ −+=+
( )12212
1 yygv −+=+ ρρ
ghv ρρ +=+ 212
1
ghv 21 =
P0
Es igual a la velocidad con que un cuerpo, en caída libre, desciende una distancia vertical h.
22
21
21
bbaa vPvP ρρ +=+
TUBO DE PITOT
2
21
aab vPP ρ+=
ghPP ab ρʹ′+=
ghva ρρ ʹ′=221
ρρ ghvaʹ′
=2
0=
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122
Problema
d = 3cm
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123
Solución
PascalatmP 51 1004.33 ×==
222
211 2
121 vPgHvP ρρρ +=++
ρρρ
ρgHghPgHPPv 222222 121
2+−
=+−
=
( ) ( ) ( )( )( ) smhHgPv /1000
5.058.9100021004.3222 51
2−+×
=−+
=ρρ
smv 5.252 =
( )sm
smmvdAvQ
32
2
2
2 018.05.25403.0
4====
ππ
021
21 2
22211 ++=++ vPgHvP ρρρ
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124
Problema
Un sifón es usado para drenar agua de un tanque. El sifón tiene un diámetro uniforme y el flujo es de régimen estable. a) Si h = 1m calcule la velocidad de salida al final del
sifón. b) ¿Cuál es la limitación en la altitud de la parte más
alta del sifón arriba de la superficie del agua?
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125
Solución
( ) smvms
mvmh 43.400.1 8.92 ,1 Si 323 =⇒==
230
222 2
1021 vPgyvP ρρρ ++=++
0 202 ≥−= PgyPP ρ
mgPy 34.100 =≤ρ
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126
Viscosidad: Se emplea en el flujo de fluidos para caracterizar el grado de fricción interna en el fluido. Esta fricción interna o fuerza viscosa se asocia a la resistencia que presentan dos capas adyacentes del fluido a moverse una respecto de la otra. Por causa de la viscosidad, parte de la energía cinética de un fluido se convierte en energía térmica.
127
§ Fluido (líquido o gas) sometido a un gradiente de presión (caída de presión P1 a P2 entre y1 e y2 ) § fluye en capas con distintas velocidades:
• máxima en el centro • nula junto a las paredes (condición de no deslizamiento)
§ se origina una fuerza de fricción Fy entre capas: el fluido de la capa 1 ejerce una fuerza sobre el fluido de la capa 2 porque sus velocidades son diferentes (la capa 1, lenta, ralentiza a la 2, rápida; la 2 acelera a la 1; de ahí el signo ‒)
P1 P2 y1 y2
x y
x y
capa 1
capa 2
área de la superficie de contacto entre capas: A
A
Ley de Newton de la viscosidad
§ se pone de manifiesto la resistencia de un fluido a fluir: su viscosidad: η
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128
Definición de la velocidad de un fluido
Ø Velocidad media (V): Definida en función del caudal volumétrico (Qv).
Medida experimental: A: área de la sección transversal que atraviesa el fluido
A = πr2 = π4×D2V =
QvA
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129
Numero de Reynolds El número de Reynolds relaciona la densidad, viscosidad, velocidad y dimensión típica de un flujo en una expresión adimensional, que interviene en numerosos problemas de dinámica de fluidos.
upVsD
=Re
Donde:
P: densidad del fluido Vs: Velocidad característica del fluido. D: diámetro de la tubería. U: viscosidad dinámica del fluido. V: viscosidad cinemática del fluido.
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130
El flujo se mantiene estacionario y se comporta como si estuviera formado por láminas delgadas. Por eso a este flujo se le llama FLUJO LAMINAR.
La línea del colorante pierde estabilidad formando pequeñas ondulaciones variables en el tiempo, manteniéndose sin embargo delgada. Este régimen se denomina de TRANSICION.
E s t e r é g i m e n e s l l a m a d o T U R B U L E N T O , e s d e c i r caracterizado por un movimiento desordenado, no estacionario y tridimensional.
Re 2000
2000 Re 4000
Re 4000
≤
≤≤
≥
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LEY DE POISEUILLI "El caudal es inversamente proporcional a la viscosidad y varía en proporción directa a la cuarta potencia del radio
del tubo".
)(8
4
pnLRQ Δ−=π
DEMOSTRACION A CONTINUACION
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Sobre todo cuerpo que se mueve en un fluido viscoso actúa una fuerza resistente que se opone al movimiento. La Ley de Stokes expresa que para cuerpos esféricos el valor de esta fuerza es:
6rF rvπη=
donde η es el coeficiente de viscosidad del fluido, o viscosidad absoluta, r el radio de la esfera y v la velocidad de la misma con respecto al fluido.
LEY DE STOKES
Un cuerpo que cumple la ley de Stokes se ve sometido a dos fuerzas, la gravitatoria y la de arrastre. En el momento que ambas se igualan su aceleración se vuelve nula y su velocidad constante.