EJERCICIO N° 1 HIDROCINEMATICA GRUPO 1Encontrar las componentes del vector rotacional

para los flujos permanentes cuyos campos de velocidad son:

SOLUCION:Hallaremos las componentes con la siguiente ecuación:

Entonces reemplazamos con los datos dados :

Por lo tanto:

EJERCICIO N° 2: Demostrar al campo de considerado como un gradiente de velocidad

debe ser rotacional luego si Determine que flujo irrotacional se encuentra

asociado con la función

• Solución:

Condición de flujo irrotacional:

Es irrotacional

EJERCICIO N°3Siendo la velocidad una función de los parámetros “x” e “y” del plano y siendo V la componente de la velocidad

en la dirección “y”:

Encontrar la componente de la velocidad en el otro eje, para que cumpla con el movimiento solenoidal y la

ecuación de continuidad.

Solución:

Datos

Condiciones:a) Movimiento solenoidal b) Ecuación de continuidad

Desarrollo II:

EJERCICIO N°4Sea el campo de velocidad para un fluido está dado

por:

Encuentre la aceleración en la dirección x en el punto (1, 2,2) cuando t=1s

• Solución:

• Las componentes de la velocidad son:

EJERCICIO 01 GRUPO DOS MOVIMIENTO PLANO DE LSO FLUIDOS  

La componente VX de la velocidad de un flujo

incomprensible bidimensional, está dada por

a). encontrar la ecuación para la componente vy de la

velocidad suponiendo que en y=0 , Vy=0 para cualquier

valor de X

SOLUCIÓN:

Integrando:

De la ecuación:

 

Para y=0, Vy=0 esto es:

 

Y asimismo =constante entonces:

EJERCICIO 02

Dada la función escalar , Hallar las componentes del vector grad

() en el punto (1,3,2)

 

EJERCICIO 03

Dado un campo de flujo, cuyo potencial (f) está dado por

f = axy, para un flujo plano

a). Hallar la función corriente para esta función f

Ψ = función corriente en el plano (xy)

Ψ1 = Función corriente en el plano “Y”

Ψ2 = Función corriente en el plano “X”

Ψ= +

De las ecuaciones de Cauchy – Riemann en coordenada rectangulares

Luego:

𝑉 𝑥=−𝑎𝑦=𝜕𝜓𝜕 𝑦

∫𝜕𝜓=−𝑎∫ 𝑦𝑑𝑦1=

Entonces afirmamos que:

Función corriente para el eje “y” (la constante es con respecto al eje “x”) y

1=

Se concluye que:

Función corriente para el eje “x” (la constante es con respecto al eje “y”) y

ENTONCES:

Ψ=Ψ 1+Ψ 2

Ψ=−𝑎 𝑦2

2+𝐶1+𝑎

𝑥2

2+𝐶2

EJERCICO N°04: Considere un campo de velocidad bidimensional de flujo estacionario de fluido incomprensible con y , donde son constantes , y .genere una expresión para la función de corriente .

SOLUCION:Para un campo de velocidades dado se tiene que generar una expresión para la función corriente (ψ) y graficar varias líneas de corriente para los valores dados de las constantes .

Suposiciones:El flujo es estacionario.El flujo es incomprensible.El flujo es bidimensional en el plano , lo que implica que y ni ni dependen de .Análisis:Se comienza por elegir una de las dos ecuaciones que definen la función corriente.

… (I) …… (II)

Desarrollo:Se escoge la ecuación (I):

Se integra respecto a , y se nota que esta es una integración parcial con respecto a una variable , de modo que se agrega una función arbitraria de la otra variable , en vez de una constante de integración.

……. (1)

  Ahora tomamos la ecuación (II), se deriva (1) y se reordena.

…. (2)

Donde denota pues es una función de solo una variable . ahora se tiene dos expresiones para la componente de velocidad , la ecuación dada en el enunciado del problema y la ecuación (2) se igualan e integran.

Se reemplaza en ecuación (1):

EJERCICIO 05

Si la velocidad uniforme en la sección 2 es igual a 9,0 m/seg y los valores de son iguales a 3cm. Determinar el caudal q y la velocidad uniforme en la sección 1 donde son iguales a 9cm.

Solución:

Para 1 unidad de anchura,

Por lo tanto, para

Una tubería de 200mm de diámetro transporta agua a razón de 0.1. La tubería se ramifica en dos de menor diámetro, tal y como se indica en la figura siguiente. Si la velocidad en el tubo de 80mm de diámetro es de 18 m/s ¿Cuál será la velocidad en la tubería de 140mmm de diámetro?

EJERCICIO N° 1 GRUPO 3 CONTINUIDAD

• DATOS:

(Ecuación de la continuidad)

• EN PRIMER LUGAR CALCULAMOS

• Calculamos la velocidad

• Tenemos una tubería que empieza con sección de 15 m2 y termina con una sección de 3 m2.

• Calcular el caudal y la velocidad con que sale el fluido.

EJERCICIO N° 2

• Datos: A1 = 15 m2 V1 = 4 m/s Q = ?

A2 = 3 m2 V2 = ?

• Solución:

Q = A1 x V1

Q = (15 m2) (4 m/s)Q = 60 m3/s

Ahora despejamos V2 de la ecuación de la continuidad: V2 = A1 x ( V1 / A2 )V2 = Q / A2

 Reemplazamos V2 = (60 m3/s) / 3m2

V2 = 20 m/s

Fórmula:

Q = A . V Ecuación de la Continuidad

A1 V1 = A2 V2

Tres tuberías conducen agua a 20 hacia la salida de una tubería larga tal como se muestra en la figura.La velocidad y el flujo de salida ENCONTRAR:V1 V3 V4Si se sabe que incrementándose Q3 por 20% debe incrementarse Q4 por 10%

D1 = 4 cm

D3 = 6 cm

D2 = 5 cm D4 = 9 cm

EJERCICIO N° 3

SOLUCION:Se Sabe que: 

Pero:Entonces: Obteniendo Q3:

Por lo Tanto:  

Sustituyendo en I

Respuesta:

PROBLEMA 4• Una tubería madre de acueducto de 14

cm de diámetro interno (DI), surte agua por tubos de menor diámetro (1cm de DI) a las casas.

• Si en una de dichas casas se demora para llenarse un balde de 10 litros 20 segundos.

• ¿Cuáles son las velocidades medias del agua en el tubo que entra a una casa y en la tubería madre?

• Solución:• Caudal en casa:

• Velocidad en casa:

• velocidad en tubería madre:

1. Un deflector desvía un manto de agua en un ángulo de 30° . ¿Qué fuerzas se requiere para mantener el deflector en su lugar si =32kg/s?

PROBLEMA N° 1 GRUPO 4

𝑣1=�̇�𝜌 𝐴1

Solución:La velocidad :

Dirección «X»:

-

𝑹𝑿=𝟏𝟕𝟐𝑵

Dirección «Y»:

-

𝑹𝒀=𝟔𝟒𝟎𝑵

PROBLEMA N° 2

El deflector mostrado en la figura E4 se desplaza a la derecha A 30m/s mientras que la boquilla permanece estacionaria, determine:a) Las componentes de fuerza necesarias para soportar para soportar el deflector b) La V2 observado desde un punto fijo c) Potencia generada por el aspa. La velocidad del chorro es de 80m/s

EN DIRECCIÓN “X” -Rx=mr[(vr2)x-(vr1)x] =1000kgm3x0.002mx0.4mx50ms(50cos30°-50) RX=268NDIRECCIÓN “Y” Ry=mr[(Vr2)y_(vr1)y] =1000kgm3x0.002m x0.4m x50ms(50sen30°) RY=1000N

La potencia generada por el aspa móvil es igual a su velocidad multiplicada por la fuerza que ejerce en la dirección del movimiento. Por consiguiente

Un avión que viaja a 400 km/h en aire quieto, , descarga 1000 por sus dos hélices de 2.25 m de diámetro. Determine:a) la eficiencia teórica.b) el empuje.c) la diferencia de presión a través de las hélices.d) la potencia teórica requerida.

a)

PROBLEMA N° 3

De la ecuación:Eficiencia mecánica teórica

b)

El empuje de la hélice es:

c) Diferencia de Presión:

d) La Potencia Teórica es:

Calcular la fuerza de un fluido incompresible sobre un tubo curvo

PROBLEMA N° 4

SOLUCIÓN

- COS - = Q(COS - )

= Q(COS ) + - COS

- S - W =QVSEN – W = QSEN donde w = 0

= QSEN + S

5. El tubo horizontal que se muestra en la figura originalmente está lleno con agua a lo largo de la distancia X. un chorro de velocidad constante choca contra la parte llena. La fuerza de fricción del fluido en la pared del tubo está dada por 𝜏𝜋𝐷𝑥 , 𝜏0 = 𝜌𝑓𝑉22/8. Establézcanse las ecuaciones que describen este escurrimiento para las siguientes condiciones iniciales; para t = 0; 𝑥= 𝑥0 ; 𝑉2 = 𝑉20 . Determínese la rapidez con que cambia la 𝑉2 y 𝑥 respecto al tiempo, para 𝑉1 =20𝑚𝑠𝑒𝑔 ,𝐷1 = 6 𝑐𝑚,𝑉20 = 50𝑐𝑚𝑠𝑒𝑔 ,𝐷2 = 25𝑐𝑚,𝑥0 = 100 𝑐𝑚; 𝜌= 997.3𝑘𝑔𝑚3 𝑦 𝑓= 0.02

PROBLEMA N° 5

Solución:

- Para analizar este problema de flujo no permanente, se emplearan las ecuaciones de continuidad y de la cantidad de movimiento. Considérense el volumen de control formado por las paredes del tubo y las dos secciones transversales en los extremos separadas una distancia L, como se indica en la figura.

1. Ecuación de cantidad de movimiento para la dirección horizontal en x se escribe como:

𝐹𝑥ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ= න𝜕(𝜌𝑉𝑥ሬሬሬԦ)𝜕𝑡 𝑑∀+∀ න (𝜌𝑉ሬԦ𝑥)(𝑉ሬԦ.𝑑𝐴Ԧ)∀

Donde:

𝐹𝑥ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ= 𝜏𝜋𝐷𝑥− − − − − − − −𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛

Reemplazamos el valor de Tau: 𝜏0 = 𝜌𝑓𝑉22/8 - Entonces la ecuación queda:

𝐹𝑥ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ= 𝜌𝑓𝑉22𝜋𝐷𝑥/8

- Ahora la ecuación de cantidad de movimiento queda: 𝜌𝑓𝑉22𝜋𝐷𝑥8 = 𝜕𝜕𝑡ሺ𝜌𝐴2𝑥𝑉2 + 𝜌𝐴1ሺ𝐿− 𝑥ሻ𝑉1ሻ+ 𝜌𝐴2𝑉22 − 𝜌𝐴1𝑉12

La cual se simplifica:

𝑓𝑉22𝜋𝐷𝑥8 + 𝐴2 𝜕𝜕𝑡ሺ𝑥𝑉2ሻ− 𝐴1𝑉1 𝜕𝑥𝜕𝑡 + 𝐴2𝑉22 − 𝐴1𝑉12 = 0…………………….(𝑏)

Entonces en conclusión dado que t es la única variable independiente, las derivadas parciales se pueden reemplazar por los diferenciales para las ecuaciones a y b.

Ecuación de la cantidad de movimiento: 𝑓𝑉22𝜋𝐷𝑥8 + 𝐴2 𝜕𝜕𝑡ሺ𝑥𝑉2ሻ− 𝐴1𝑉1 𝜕𝑥𝜕𝑡 + 𝐴2𝑉22 − 𝐴1𝑉12 = 0…………………….(𝑏)

Despejamos el diferencial de la V2 respecto al tiempo:

𝑑𝑉2𝑑𝑡 = 1𝑥𝐴2ቈ𝐴1𝑉12 − 𝐴2𝑉22 − 𝑓𝑉22𝜋𝐷2𝑥8 + (𝐴2𝑉2 − 𝐴1𝑉1)2𝐴2 − 𝐴1

Ahora pasamos a resolver las incógnitas del problema, lo que nos pide es determinar la rapidez con que cambia la V2 y X respecto al tiempo con los siguientes valores:

𝑉1 = 20𝑚𝑠𝑒𝑔 ,𝐷1 = 6 𝑐𝑚 = 0.06𝑚 ,𝑉20 = 50𝑐𝑚𝑠𝑒𝑔 = 0.5𝑚𝑠𝑒𝑔 ,𝐷2 = 25𝑐𝑚= 0.25𝑚 ,𝑥0 = 100 𝑐𝑚

𝜌= 997.3𝑘𝑔𝑚3 𝑓= 0.02 La variación que la V2 cambia respecto a la tiempo es:

𝑑𝑉2𝑑𝑡 = 1𝑥𝐴2ቈ𝐴1𝑉12 − 𝐴2𝑉22 − 𝑓𝑉22𝜋𝐷2𝑥8 + (𝐴2𝑉2 − 𝐴1𝑉1)2𝐴2 − 𝐴1

𝑑𝑉2𝑑𝑡 = 1100𝑚(𝜋40.252𝑚2)ۏێێ𝜋4(0.062𝑚2)(20𝑚𝑠𝑒𝑔)2ۍ − 𝜋4(0.252𝑚2)൬0.5𝑚𝑠𝑒𝑔൰

2

− 0.02൬0.5𝑚𝑠𝑒𝑔൰2 𝜋ሺ0.25𝑚ሻሺ100𝑚ሻ8

+ (ቀ𝜋4ቁ(0.25𝑚)2 0.5𝑚𝑠𝑒𝑔 −ቀ𝜋4ቁ(0.06𝑚)2 20𝑚𝑠𝑒𝑔)2

ቀ𝜋4ቁ(0.25𝑚)2 −ቀ

𝜋4ቁ(0.06𝑚)2ے

ۑۑې

𝒅𝑽𝟐𝒅𝒕 = 𝟎.𝟎𝟒𝟗𝟔 𝒎/𝒔𝒆𝒈

EJERCICIOS DE

APLICACION

PROBLEMA1: G-5 FLUIDOS PERFECTTOS Y REALES Se desea abastecer de agua a un edificio por el método cisterna – bomba – tanque elevado; con la ayuda del plano de arquitectura se ha bosquejado el sistema que se muestra en la figura. Los diámetros de las tuberías de succión e impulsión son 16” y 12” respectivamente, obteniéndose una descarga en el tanque elevado de 0.10 m3/s ¿Qué bomba seleccionaría Ud. y cuál sería la presión en los puntos B y C?

Nota: Considere e = 0,8 y hallar la potencia en HPLa pérdida de carga entre a A y B es equivalente a 4 cargas de velocidad. La pérdida de

carga entre C y D es igual a 5 m. de agua

solución

PROBLEMA2: Se desea diseñar el muro de anclaje en un corto tramo de la tubería de presión de una central hidroeléctrica. En dicho tramo se produce una reducción de la sección (1): ( ) a la sección (2): ( ); fluyendo un caudal de 0,250 m3 /s. La presión en la sección aguas abajo es 1,48 kg/cm2. Hallar el módulo y ángulo que hace con la horizontal la fuerza que soporta el muro.

PROBLEMA3: Fluye agua continuamente de un tanque abierto como se muestra en la figura. La altura del punto 1 es de 10.0m, y la de los puntos 2 y 3 es de 2.00m. El área transversal en el punto 2 es de 0.0480 m2; en el punto 3 es de 0.0160 m2. El área del tanque es muy grande en comparación con el área transversal del tubo. Suponiendo que puede aplicarse la ecuación de Bernoulli, calcule la rapidez de descarga en m3/s; b) la presión manométrica en el punto 2

Hallaremos  𝑉 3 ,  utilizando   la   ecuaci ón  de  Bernoulli   aplicada   a   los   puntos  1  y  3SOLUCION:

Hallaremos , utilizando la ecuación de Bernoulli aplicada a los puntos 1 y 3

𝑄3=𝑉 3 𝐴3

𝑄3=𝑉 3(0.016)

𝑃1+12𝜌𝑣1

2+𝜌𝑔𝑦 1=𝑃3+12𝜌𝑣3

2+𝜌𝑔 𝑦3

𝑃1=𝑃3=1𝑎𝑡𝑚

Con los datos del problema:

𝜌𝑔 (𝑦1−𝑦 3)=12𝜌𝑣3

2

𝑉 3=√2𝑔(𝑦1− 𝑦3)

𝑉 32=2∗9.8(10−2)

𝑉 32=156.8

Hallamos con el dato encontrado

𝑄3=12.52(0.016)

𝑄3=0.2𝑚3 /𝑠𝑃2−𝑃0=?b)

Aplicamos la ecuación de Bernoulli a los puntos 2 y 3

𝑃2+12𝜌𝑣2

2+𝜌𝑔 𝑦2=𝑃3+12𝜌𝑣3

2+𝜌 𝑔𝑦3

𝑦 2=𝑦3

𝑃3=𝑃0(𝑃 .𝐴𝑇𝑀𝑂𝑆𝐹𝐸𝑅𝐼𝐶𝐴 )

𝑃2−𝑃0=12𝜌 (𝑣3

2−𝑣22)

𝑃2−𝑃0=12𝜌 (𝑣3

2−(𝐴3

𝐴2

𝑉 3)2

)

𝑃2−𝑃0=12𝜌 𝑣3

2(1−(𝐴3

𝐴2

)2

)

𝑃2−𝑃0=12(1000)(156.8)(1−( 0.016

0.048)2

)

𝑃2−𝑃0=69688.9

𝑃2−𝑃0=69.7𝐾𝑃𝑎

Como el caudal es constante

Problema4.- De un depósito sale una tubería de 10" de diámetro, la que por medio de una reducción pasa a 5" descargando luego libremente en la atmosfera. El gasto a la salida es de 105 lts/seg. Se pide calcular:a) La presión en la sección inicial de la tubería.b) Altura del agua en el depósito, medida sobre el eje de la tubería.

Ejemplos de Aplicación

01Determine una fórmula que dé la distancia recorrida por un cuerpo que cae libremente, suponiendo que la distancia “d” dependa del cuerpo w, de la gravedad g y del tiempo t.

Solución:

)1______(

,,zyx TgKWd

TgWfd

Donde “k” es un coeficiente adimensional que se determina por lo general experimentalmente. La ecuación (1) debe ser dimensionalmente homogénea. Luego:

zyyx

yYX

TLFTLF

TTLFTLF

21

221

01

Igualando los exponentes de F, L y T se obtiene:X = 0 ; Y = 1 ; -2y + z = 0

  De donde: X = 0 ; Y = 1 ; Z = 2 …… (2) 2 en 1:

2KgTd

Experimentalmente

2

2

12/1 gTdK

02Solución

Como se trata de un cuerpo sumergido, predomina la fuerza viscosa, por lo tanto se debe usar, el, mismo

5

1

p

m

L

L

Se ha construido un modelo de torpedo a escala 1:5 se espera que el prototipo se mueva a una velocidad de 8 m/s en agua a 15 º C ¿Cuál debe ser la velocidad en el modelo, sin el ensayo se realiza en un canal de corriente a 15 ºC?

02

En (1): epem RR

Luego:p

pp

m

mmLVLV

m

m

p

ppm L

LVV

.

ppmp

mm V

LLV .

/1

. (2)

Como el modulo y el prototipo están en agua a 15 ºC

pm en (2):

40)8)(5/1

1)(1( mV

smVm /40

03

•

03

•

03

•

03

04

Un barco cuyo casco tiene una longitud de 200m ha de moverse a 10m/s. ¿A que velocidad debe remolcarse en agua un modelo construido a una escala 1:8.

Solución. Como se trata de un cuerpo en superficie libre, predomina la fuerza gravitatoria, por lo tanto se debe usar el mismo Nº de Fraude (F) en el modelo y prototipo.

pm FF

04

Donde:

;8

1

p

m

L

L ;10 sm

pV ?;mV pm gg (en el mismo lugar)

)10()8

1)(1(mV

sm

mV 54.3

Reemplazando: