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MECANICA CUANTICA AVANZADA FIM 8440 (1)

MECANICA CUANTICA AVANZADAFIM 8440 (1)

Ricardo RamırezFacultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile

1er. Semestre 2012

Ricardo Ramırez Facultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile


Indice

Indice de materias del curso (tentativo)

Segunda cuantizacionFermionesBosonesScatteringBCSOperadores de rotacionEcuacion de Dirac



Bibliografıa

Bibliografıa

F. Schwabl. Advanced Quantum Mechanics.

P. L. Taylor. Quantum Approach to the Solid State.

D. Pines. The Many-Body Problem.

P.A. Martin, F. Rothen. Many-Body Problems andQuantum Field Theory.

G. Baym. Lectures on Quantum Mechanics



Controles

Fecha de los Controles

Control No. 1 Viernes 24 de Abril

Control No. 2 Viernes 25 de Mayo

Control No. 3 Viernes 21 de Junio



Segunda cuantizacion

SEGUNDA CUANTIZACIONEs un formalismo en que los operadores se expresan en terminos de losllamados operadores de campo, que introduciremos mas adelante. Muchasde estas expresiones tienen una similitud formal con la expresioncorrespondiente del valor de expectacion del operador, cuando este seescribe en termino de las funciones de onda. Ası, por ejemplo, usualmente elnumero de partıculas se puede escribir como:

N =

∫d3rφ∗(~r)φ(~r)

mientras que en segunda cuantizacion el operador numero de partıculas, enterminos de los operadores de campo, es:

N =

∫d3rψ†(~r)ψ(~r)

Este es el motivo del nombre segunda cuantizacion. Como veremos, losoperadores de campo crean o destruyen partıculas, ası en este formalismoel numero de partıculas no esta fijo.




ESTADOS SIMETRICOS Y ANTISIMETRICOS

Estados de una partıcula:

|i〉 : |1〉, |2〉, . . .

A partir de ellos construımos estados bases de N partıculas (CCO):

|i1, i2, . . . , iα, . . . , iN〉 = |i1〉1|i2〉2 . . . |iα〉α . . . |iN〉N

(el ındice fuera del ket corresponde a la partıcula y el de dentro al estado)

Hay dos tipos de partıculas, bosones y fermiones, cuyos estados soncompletamente simetricos o antisimetricos, respectivamente:

S±|i1, i2, . . . , iα, . . . , iN〉 =1√N!

∑P

(±1)PP|i1, i2, . . . , iα, . . . , iN〉

donde + corresponde a bosones y − a fermiones y P es el operadorpermutacion.




Ahora consideremos el operador S+ correspondiente a bosones:

Si en |i1, i2, . . . , iN〉 hay estados que ocurren mas de una vez, entoncesS+|i1, i2, . . . , iN〉 no esta normalizado.

Para ver esto, supongamos que el estado 1 ocurre n1 veces, el estado 2 n2

veces, etc. Los numeros ni se llaman numeros de ocupacion. Entonces delos N! terminos que tiene S+|i1, i2, . . . , iN〉,

N!

n1!n2! . . .son diferentes y cada uno de ellos ocurre n1!n2! . . . veces.

De esta manera podemos calcular la norma como:

〈|i1, i2, . . . , iN |S†+S+|i1, i2, . . . , iN〉 =1

N!(n1!n2! . . . )

2 N!

n1!n2! . . .= n1!n2! . . .

Y podemos definir las FUNCIONES BASES NORMALIZADAS DE BOSEcomo:

1√n1!n2! . . .

S+|i1, i2, . . . , iN〉 =1√

N!n1!n2! . . .

∑P

P|i1, i2, . . . , iN〉 (1)




Otras propiedades:S2± =

√N!S±

Si |z〉 =∑

i1,i2,...,iN

|i1, i2, . . . , iN〉Ci1,i2,...,iN , entonces:

S±|z〉 = 1√N!

∑i1,i2,...,iN |i1, i2, . . . , iN〉(S±Ci1,i2,...,iN )

i.e.

Todo estado simetrizado puede ser expandido en una baseformada de estados simetrizados.



Bosones

BOSONES

El estado (1) esta completamente caracterizado por los numeros deocupacion:

|n1, n2, . . . , nN〉 =1√

n1!n2! . . .S+|i1, i2, . . . , iN〉 (2)

y los numeros n1, n2, . . . , nN pueden ser interpretados como el numero departıculas en los estados respectivos. Entonces

N∑i=1

ni = N

Los estados (2) forman un COC, para un numero arbitrario de partıculas:

〈n1, n2, . . . , nN |n′1, n′2, . . . , nN〉 = δn1n′1δn2n′2

. . .∑n1,n2,...,nN

|n1, n2, . . . , nN〉〈n1, n2, . . . , nN | = 1



Bosones

Ası construımos un espacio que es la la suma directa del espaciocon 0 partıcula, el espacio con 1 partıcula, el espacio con 2partıculas, etc. Es llamado el espacio de Fock.

Ahora introduciremos unos operadores que nos permiten pasar deun espacio de N partıculas a uno de N ± 1 partıculas. Definimos:

a†i | . . . ,ni , . . .〉 =√

ni + 1| . . . ,ni + 1, . . .〉 (3)

Cambiamos el ındice ni → n′i , tomamos el adjunto y multiplicamos ala derecha por | . . . ,ni , . . .〉:

〈. . . ,n′i , . . . |ai | . . . ,ni , . . .〉 =√

niδn′i +1,ni



Bosones

Entonces:

ai | . . . ,ni , . . .〉 =∞∑

n′i =0

| . . . ,n′i , . . .〉〈. . . ,n′i , . . . |ai | . . . ,ni , . . .〉

=∞∑

n′i =0

| . . . ,n′i , . . .〉√

niδn′i +1,ni

=√

ni | . . . ,ni − 1, . . .〉 (4)

Los operadores definidos por (3) y (4) se llaman operadores decreacion y destruccion. Estos operadores cumplen con las relacionesde conmutacion:

[ai ,aj ] = 0 [a†i ,a†j ] = 0 [a†i ,aj ] = δij

cuya demostracion la dejamos como ejercicio.



Bosones

Ahora partimos del estado fundamental (vacıo):

|0〉 = |0,0, , . . .〉 es decir sin partıculas

a partir del cual podemos construir un estado ON de muchaspartıculas:

|n1,n2, . . .〉 =1√

n1!n2! . . .

(a†1)n1(

a†2)n2

. . . |0〉 (5)



Bosones

Operador numero de partıculas

Esta definido por:ni = a†i ai .

Los estados (5) son estados propios de ni

ni | . . . ,ni , . . .〉 = ni | . . . ,ni , . . .〉

El operador numero total de partıculas es:

N =∑

i

ni y N|n1,n2, . . .〉 =

[∑i

ni

]|n1,n2, . . .〉

Para un sistema de partıculas libres con energıas εi , el Hamiltonianoes:

Ho =∑

i

niεi y Ho|n1,n2, . . .〉 =

[∑i

niεi

]|n1,n2, . . .〉



Bosones

Operadores de una y muchas partıculas

Consideremos operadores de una sola partıcula tα, para α = 1, . . .N, todasde la misma naturaleza (e.g. tα = ~p2

α/2m) y construyamos un operador quees una suma de N de estos operadores:

T =N∑α=1

tα = t1 + t2 + . . .+ tN (6)

En la base |i〉, podemos escribir los elementos de matriz:

tij = 〈i |t |j〉 de tal modo que tα =∑

ij

tij |i〉α〈j |α

Entonces para el operador (6):

T =∑

ij

tijN∑α=1

|i〉α〈j |α

Ahora veamos como podemos representar este operador en terminos de losoperadores de creacion y aniquilacion.



Bosones

Tomemos un solo termino de la suma∑

ij y lo hacemos actuar sobre elestado | . . . , ni , . . . , nj , . . .〉, entonces, usando (2)

N∑α=1

|i〉α〈j |α| . . . , ni , . . . , nj , . . .〉 =

S+

N∑α=1

|i〉α〈j |α|i1, i2, . . . , iN〉1√

n1!n2!, . . .= S+

N∑α=1

|i〉α〈j |α|i1〉|i2〉, . . . , |iN〉1√

n1!n2!, . . .

El efecto de la operacion |i〉α〈j |α|i1〉|i2〉, . . . , |i`〉, . . . , |iN〉, donde i` = j , es:

|i〉α〈j |α|i1〉|i2〉, . . . , |iN〉 = |i〉α|i1〉|i2〉, . . . , 〈j |α|i`〉, . . . |iN〉= |i1〉|i2〉, . . . , |i〉α, . . . |iN〉

es decir de reemplazar j por i en la posicion i` en que i` = j .



Bosones

Como el estado j esta ocupado nj veces, el efecto de esta operacion es dereemplazar j por i , nj veces, es decir aumentar en 1 la ocupacion del estado iy a la vez disminuir en 1 la del estado j . De esta manera se obtienen nj

terminos proporcionales al estado | . . . , ni + 1, . . . , nj − 1, . . .〉. Sin embargo,para obtener el estado correcto hay que modificar la normalizacion:

N∑α=1

|i〉α〈j |α| . . . , ni , . . . , nj , . . .〉

= S+

N∑α=1

|i1〉|i2〉, . . . , |i〉α, . . . |iN〉1√

n1!n2!, . . . , ni !, . . . , nj !, . . .

=

√ni + 1√

njS+

N∑α=1

|i1〉|i2〉, . . . , |i〉α, . . . |iN〉1√

n1!n2!, . . . , (ni + 1)!, . . . , (nj − 1)!, . . .

= nj

√ni + 1

1√

nj| . . . , ni + 1, . . . , nj − 1, . . .〉

=√

ni + 1√

nj | . . . , ni + 1, . . . , nj − 1, . . .〉

= a†i aj | . . . , ni , . . . , nj , . . .〉



Bosones

Entonces ∑Nα=1 |i〉α〈j |α = a†

i aj (7)

yT =

∑ij

tija†i aj



Bosones

Para el caso de un operador de dos partıculas:

F =12

∑α 6=β

f (2)(~rα,~rβ)

expresamos F como:

F =12

∑α 6=β

∑i,j,k,m

〈i , j |f (2)|k ,m〉|i〉α|j〉β〈k |α〈m|β

Entonces, al igual que en el caso anterior, estudiamos la accion sobre elestado | . . . , ni , . . . , nj , . . . , nk , . . . , nm, . . .〉.∑

α 6=β

|i〉α|j〉β〈k |α〈m|β | . . . , ni , . . . , nj , . . . , nk , . . . , nm, . . .〉

= nk nm1√

nk√

nm

√ni + 1

√nj + 1| . . . , ni + 1, . . . , nj + 1,

, . . . , nk − 1, . . . , nm − 1, . . .〉= a†i a†j ak am| . . . , ni , . . . , nj , . . . , nk , . . . , nm, . . .〉



Bosones

Ahora definamos:

{A,B} = [A,B]+ = AB + BA para fermiones

[A,B] = [A,B]− = AB − BA para bosones

Entonces escribimos [a†i , aj ]ζ = δij , con ζ = ± para fermiones y bosonesrespectivamente.

Ahora busquemos una generalizacion del resultado anterior, valido tantopara el caso de bosones como el de fermiones:∑α 6=β

|i〉α|j〉β〈k |α〈m|β =∑α 6=β

|i〉α|〈k |α|j〉β〈m|β

=∑α

|i〉α|〈k |α∑β

|j〉β〈m|β −∑α

|i〉α〈k |α|j〉α〈m|α

=∑α

|i〉α|〈k |α∑β

|j〉β〈m|β − δkj

∑α

|i〉α〈m|α

= a†i ak a†j am − δkja†i am

= a†i ak a†j am − a†i [ak , a†j ]ζam



Bosones

∑α 6=β

|i〉α|j〉β〈k |α〈m|β = a†i ak a†j am − a†i [ak , a†j ]ζam

= a†i ak a†j am − a†i ak a†j am − ζa†i a†j ak am

= a†i am − ζa†i a†j ak am − a†i am + ζa†i a†j ak am − ζa†i a†j ak am

= −ζa†i a†j ak am

= a†i a†j amak



Fermiones

FERMIONES

Para estas partıculas consideramos estados que pueden serrepresentados como determinantes:

S−|i1, i2, . . . , in〉 =1√N!

∣∣∣∣∣∣∣|i1〉1 |i1〉2 . . . |i1〉N

......

. . ....

|iN〉1 |iN〉2 . . . |iN〉N

∣∣∣∣∣∣∣Estos determinantes se llaman determinantes de Slater. Si cualquierpar de estados de una partıcula, en el determinante anterior, soniguales, el resultado es cero. Tambien se cumple que:

S−|i2, i1, . . . , in〉 = −S−|i1, i2, . . . , in〉



Fermiones

Al igual que en el caso de los bosones, caracterizaremos los estadospor los numeros de ocupacion, que pueden ser 0 o 1:

|n1,n2, . . .〉

El estado para el cual no hay partıculas es el estado vacıo:

|0〉 = |0,0, . . .〉

Estos estados forman un COC similar al de los bosones y expandenun espacio que tambien es conocido como el espacio de Fock.

〈n1,n2, . . . ,nN |n′1,n′2, . . . ,n′N〉 = δn1n′1δn2n′

2. . .

∑n1,n2,...,nN

|n1,n2, . . . ,nN〉〈n1,n2, . . . ,nN | = 1



Fermiones

Si queremos introducir el operador de creacion es importante tomaren cuenta el orden en que se aplican estos operadores. Ası definimosel operador de creacion a†i a traves de relaciones como:

S−|i1, i2, . . . , iN〉 = a†i1a†i2 . . . a

†iN|0〉

S−|i2, i1, . . . , iN〉 = a†i2a†i1 . . . a

†iN|0〉

Ya que estos estados son iguales excepto por el signo, tenemos, engeneral, que:

{a†i ,a†j } = [a†i ,a

†j ]+ = 0

De aquı obtenemos:

(a†i )2 = 0



Fermiones

Entonces si uno quiere caracterizar los estados por sus numeros deocupacion, se debe elegir un orden particular de estos estados:

|n1,n2, . . .〉 = (a†1)n1 (a†2)n2 . . . |0〉 con ni = 0,1

Si queremos operar con a†i sobre este estado, debemos considerarque el resultado es nulo si el estado i ya esta ocupado (factor 1− ni )y tambien debemos tomar en cuenta el numero deanticonmutaciones para llevar a†i a la posicion i :

a†i (a†)n = −a†a†i (a†)n−1

= (−1)2(a†)2a†i (a†)n−2

...= (−1)n(a†)na†i



Fermiones

Por lo tanto:

a†i | . . . , ni , . . .〉 = a†i (a†1)

n1(a†2)n2 . . . (a†i )

ni . . . |0〉 (8)

= (1− ni)(−1)∑

j<i nj | . . . , ni + 1, . . .〉 (9)

Ahora averiguemos cual es el efecto de ai . Para eso tomamos el adjunto dela ultima relacion y el resultado lo multiplicamos a la derecha por | . . . , n′i , . . .〉:

〈. . . , ni , . . . |ai | . . . , n′i , . . .〉 = (1− ni)(−1)∑

j<i nj δni+1,n′i

Entonces:

ai | . . . , n′i , . . .〉 =∑

ni

| . . . , ni , . . .〉〈. . . , ni , . . . |ai | . . . , n′i , . . .〉

=∑

ni

| . . . , ni , . . .〉(1− ni)(−1)∑

j<i nj δni+1,n′i

= (2− n′i )n′i (−1)

∑j<i nj | . . . , n′i − 1, . . .〉 (10)

El factor n′i asegura que el estado del lado derecho nunca llegara a ser| . . . , n′i − 1, . . .〉 = | . . . ,−1, . . .〉.



Fermiones

De las ecuaciones (9) y (10) obtenemos:

aia†i | . . . ,ni , . . .〉 = (1− ni )(−1)2

∑j<i nj (ni + 1)| . . . ,ni , . . .〉

= (1− ni )| . . . ,ni , . . .〉

a†i ai | . . . ,ni , . . .〉 = ni (−1)2∑

j<i nj (1− ni + 1)| . . . ,ni , . . .〉= ni | . . . ,ni , . . .〉

De aquı obtenemos inmediatamente:

{a†i ,ai} = 1



Fermiones

Para i 6= j , se puede demostrar que:

{a†i ,aj} = 0, {a†i ,a†j } = 0, {ai ,aj} = 0

La demostracion se deja como ejercicio.



Fermiones

Operadores de una y de muchas partıculas para fermiones

Ya vimos que en terminos de operadores de creacion y aniquilacion,los operadores de una partıcula ya sea para bosones como parafermiones, tienen la forma: ∑

ij

tija†i aj

y los operadores de dos partıculas:

12

∑ijkm

〈ij |f (2)|km〉a†i a†j amak

Ası por ejemplo, un Hamiltoniano con terminos de energıa cinetica T ,potencial externo U e interacciones de dos cuerpos V tiene la forma:

H =∑

i

Tia†i ai +

∑ij

Uija†i aj +

12

∑ijkm

Vijkma†i a†j amak



Fermiones

donde

Ti = 〈i |T |i〉

Uij = 〈i |U|j〉

Vijkm = 〈ij |V |km〉

En el caso de los fermiones se debe tener precaucion en el ordenque operan dos operadores de aniquilacion en los operadores de dospartıculas.



Operadores de campo

Los estados propios de posicion |~x〉 representan un caso particularespecialmente importante:

〈~x |i〉 = ϕ(~x)

donde ϕ(~x) es la funcion de onda de una partıcula en larepresentacion de coordenadas.

Operadores de campo

Los operadores de campo estan definidos por:

ψ(~x) =∑

i

ϕi (~x)ai

ψ†(~x) =∑

i

ϕ∗i (~x)a†i



Operadores de campo

Estos operadores de campo aniquilan o crean partıculas en el estadopropio de posicion |~x〉, es decir en la posicion ~x . Estos operadorescumplen con la siguientes relaciones de conmutatividad:

[ψ(~x), ψ(~x ′)]± = 0[ψ†(~x), ψ†(~x ′)

]± = 0[

ψ(~x), ψ†(~x ′)]± =

∑ij

ϕi (~x)ϕ∗j (~x ′)[ai ,a†j ]±

=∑

ij

ϕi (~x)ϕ∗j (~x ′)δij

= δ(~x − ~x ′)



Operadores de campo

Ahora expresemos algunos operadores importantes en terminos delos operadores de campo:

Energıa cinetica

∑ij

Tija†i aj =∑

ij

∫d3xa†i ϕ

∗i (~x)

[− ~2

2m∇2]ϕj(~x)ai

=~2

2m

∫d3x∇ψ†(~x)∇ψ(~x)

Energıa potencial de un cuerpo∑ij

Uija†i aj =∑

ij

∫d3xa†i ϕ

∗i (~x)U(~x)ϕj(~x)ai

=

∫d3xψ†(~x)U(~x)ψ(~x)



Operadores de campo

Energıa de interaccion de dos cuerpos

12

∑ijkm

Vijkma†i a†j ak am =

=12

∑ijkm

∫d3xd3x ′ϕ∗i (~x)ϕ

∗j (~x′)V (~x , ~x ′)ϕk (~x)ϕm(~x ′)a†i a†j amak

=12

∫d3xd3x ′V (~x , ~x ′)ψ†(~x)ψ†(~x ′)ψ(~x ′)ψ(~x)

Hamiltoniano

H =

∫d3x

[~2

2m

∫d3x∇ψ†(~x)∇ψ(~x) +

∫d3xψ†(~x)U(~x)ψ(~x)

]+

12

∫d3xd3x ′V (~x , ~x ′)ψ†(~x)ψ†(~x ′)ψ(~x ′)ψ(~x)



Operadores de campo

En terminos de los operadores de campo:

n(~x) = ψ†(~x)ψ(~x)

y el numero total de partıculas:

N =

∫d3xn(~x) =

∫d3xψ†(~x)ψ(~x)

Densidad de corriente

~j(~x) =~

2mi[ψ†(~x)∇ψ(~x)−∇ψ†(~x)ψ(~x)

]



Operadores de campo

De las ultimas expresiones se nota que existe una similitud formalcon la expresiones usuales en las que ψ(~x) representa un estado deuna partıcula. Esta analogıa es solo formal, pero ha sido la razon deltermino segunda cuantizacion.



Operadores de campo

Ecuaciones de campo

Los operadores de campo en la representacion de Heisenberg tienen laforma:

ψ(~x , t) = eiHt/~ψ(~x , 0)e−iHt/~

La ecuacion de movimiento para este operador es:

i~ ∂∂tψ(~x , t) =

[− ~2

2m∇2 + U(~x)

]ψ(~x , t)

+

∫d3x ′ψ†(~x ′, t)V (~x , ~x ′)ψ(~x ′, t)ψ(~x , t) (11)

Para demostrar esta ecuacion partimos de :

i~∂ψ(~x , t)∂t

= −[H, ψ(~x , t)] = −eiHt/~[H, ψ(~x , 0)]e−iHt/~

y usamos la relacion [AB,C] = A[B,C]± ∓ [A,C]±B donde los signossuperiores son para fermiones y los inferiores para bosones



Operadores de campo

Calculemos el conmutador para los tres terminos del Hamiltoniano. Para ellousamos el conmutador:

[ψ(~x), ψ†(~x ′)]± = δ(~x − ~x ′)

Energıa cinetica∫d3x ′

~2

2m[∇′ψ†(~x ′)∇′ψ(~x ′), ψ(~x)] =

∫d3x ′

~2

2m[−∇′δ(~x − ~x ′) · ∇′ψ(~x ′)]

= −∫

d3x ′~2

2m

[∇′ · [δ(~x − ~x ′)∇′ψ(~x ′)]− δ(~x − ~x ′)∇′2ψ(~x ′)

]=

~2

2m∇2ψ(~x)



Operadores de campo

Potencial externo ∫d3x ′U(~x ′)[ψ†(~x ′)ψ(~x ′), ψ(~x)]

=

∫d3x ′U(~x ′)[−δ(~x − ~x ′)ψ(~x)]

= −U(~x)ψ(~x)

Interaccion electron-electron

12

[∫d3x ′d3x ′′ψ†(~x ′)ψ†(~x ′′)V (~x ′, ~x ′′)ψ(~x ′′)ψ(~x ′), ψ(~x)

]=

12

∫d3x ′d3x ′′

[ψ†(~x ′)ψ†(~x ′′), ψ(~x)

]V (~x ′, ~x ′′)ψ(~x ′′)ψ(~x ′)

=12

∫d3x ′d3x ′′

[±δ(~x − ~x ′)ψ†(~x ′)− ψ†(~x ′′)δ(~x − ~x ′)

]V (~x ′, ~x ′′)ψ(~x ′′)ψ(~x ′)

= −∫

d3x ′ψ†(~x ′)V (~x ′, ~x ′′)ψ(~x ′)ψ(~x)



Operadores de campo

La ecuacion de movimiento para el operador adjunto es:

i~ ∂∂tψ†(~x , t) =

[− ~2

2m∇2 + U(~x)

]ψ†(~x , t)

+

∫d3x ′ψ†(~x , t)ψ†(~x ′, t)V (~x , ~x ′)ψ(~x ′, t) (12)

donde se uso V (~x , ~x ′) = V (~x ′, ~x) Entonces si multiplicamos (11) por ψ†(~x , t)y (12) por ψ(~x , t) obtenemos:

n(~x , t) = ψ†ψ + ψ†ψ =1i~

(− ~2

2m

)[ψ†∇2ψ − (∇2ψ†)ψ

]Se puede demostrar que esto equivale a:

n(~x) = ∇ ·~j(~x)



Representacion de Momentum


Consideremos una caja rectangular de lados Lx , Ly y Lz con V = Lx Ly Lz .Las funciones propias normalizadas son:

ϕ(~x) =1√v

ei~k·~x (13)

Si hay simetrıa translacional con perıodos Lx , Ly y Lz entonces:

ei~kx (x+Lx ) = ei~kx x

entonces ~k esta restringido a:

~k = 2π(

nx

Lx,

ny

Ly,

nz

Lz

)donde los nx , etc. son numeros enteros o cero, i.e. (n = 0,±1,±2, . . .)




La funciones (13) son ortonormales:∫d3xϕ∗~k (~x)ϕ~k ′(~x) = δ~k,~k ′

Para representar el Hamiltoniano H en segunda cuantizacionnecesitamos los elementos de matriz de los operadores contenidosen el. Usando las funciones (13) tenemos:∫

d3xϕ∗~k ′(~x)(−∇2)ϕ~k (~x) = δ~k,~k ′

~k2

∫d3xϕ∗~k ′(~x)U(~x)ϕ~k (~x) =

1V

U−~k ′,~k

1V 2

∫d3x

∫d3x ′ϕ∗~p′(~x)ϕ∗~k ′(~x

′)V (~x − ~x ′)ϕ~p(~x ′)ϕ~k (~x)

=1V

∑~q

V~qδ−~p′+~q+~p,0δ−~k ′−~q+~k,0




donde

V~q =

∫d3xe−i~q·~xV (~x) (14)

Entonces la forma general de Hamiltoniano en la representacion demomentum es:

H =∑~k

(~~k)2

2ma†~k a~k +

1V

∑~k,~k′

U~k′−~k a†~k′a~k +1

2V

∑~q,~p,~k

V~qa†~p+~qa†~k−~qa~k a~p

Para el caso particular de V (~x) = e2/|~x | = e2/r , la transformada de Fourier(14) se calcula introduciendo un pequeno parametro α, que al final delcalculo se hace cero:

V~q =

∫d3xe−i~q·~x e−αr e2

r

= 2πe2∫ ∞

0r 2dr

∫ π

0e−iqr cos θe−αr 1

rsin θdθ




V~q = 2πe2∫ ∞

0r 2dr

∫ 1

−1e−iqrµe−αr 1

rdµ

= 2πe2∫ ∞

0r 2e−αr 1

rdr

eiqr − e−iqr

iqr

=4πe2

q

∫ ∞0

dre−αr sin qr

=4πe2

qq

α2 + q2 =4πe2

α2 + q2

por lo tanto con α = 0:

V~q =4πe2

q2 (15)




Transformada de Fourier de la densidad de partıculas

n~q =

∫d3xn(~x)e−i~q·~x =

∫d3xψ†(~x)ψ(~x)e−i~q·~x

pero,

ψ†(~x) =1√V

∑~p

e−i~p·~xa†~p ψ(~x) =1√V

∑~p

ei~p·~xa~p

Reemplazando obtenemos:

n~q =

∫d3x

1V

∑~p

∑~k

e−i~p·~xa†~pei~k·~xa~k e−i~q·~x

Pero1V

∫d3xei(−~p+~k−~q)·~x = δ(~k − ~p − ~q) → n~q =

∑~p

a†~pa~p+~q




Inclusion del spin

Para incluir el spin en la notacion en forma explıcita, simplemente debemoshacer reemplazos como:

ψ(~x)→ ψσ(~x) y a†~k →†~kσ

en las ecuaciones donde aparecen estos operadores.

Para fermiones de spin 1/2, en que las componentes del spin son ±~2

, eloperador densidad de spin,

~S(~x) =N∑α=1

δ(~x − ~xα)~Sα

se escribe en este caso como:

~S(~x) =~2

∑σ,σ′

ψ†σ(~x)σσ,σ′ψσ′(~x)

donde los σσ,σ′ son elementos de las matrices de Pauli.Ricardo Ramırez Facultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile

mecanica cuantica avanzada fim 8440 (1)pauli.fis.puc.cl/~rramirez/mqa/mqa_clase1.pdf · mecanica...

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