mecánica celeste. el problema de n-cuerpos, misiones espaciales y
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Mecánica Celeste.El problema de n-cuerpos,
misiones espacialesy nuevos sistemas planetarios.
Una Universidad, Un Universo
Sebastián Ferrer
Dpto. Matemática Aplicada
http://www.nasa.gov/images/content/63114main_highway_med.jpg
animation (by Cici Koenig) 4 Junio 2009
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Si muchos de los más grandes matemáticos -Euler, Gauss,
Lagrange, Riemann, Poincaré, Hilbert, Birkhoff, Atiyah,
Arnold, Smale- han sido expertos en mecánica, y además
muchos de los avances en matemáticas usan ideas de la
mecánica de modo esencial ¿por qué ya no está en el plan
de estudios de Matemáticas?
Anónimo
Lectures on Mechanics, 1997 (prefacio)J.E. Marsden
Control and Dynamical Sstems
California Institute of Technology
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Mecánica Celeste: Tres etapas
1609 - ….. : Problema n-cuerpos -Matemáticas
1957 - ….. : Misiones espaciales-Tecnología y computación
1995 - ….. : Nuevos sistemas planetarios-Astronomía y astrobiología-y de nuevo los n-cuerpos
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del sistema geocéntrico
al problema de n cuerpos
Kepler
˙ ̇ r = GM
r2
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El sistema solar y la mecánica
celeste
¡modelos y soluciones aproximadas!
de la elipse de Kepler alproblema de n-cuerpos
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El sistema solar
y ‘el problema’ de n cuerpos*
• mk / mj arbitrario• n = 2, el sistema diferencial tiene solución
• Integrales, cónicas y ecuación de Kepler
• n mayor o igual que 3: el sistema no ha sido integrado
*masas mi “puntuales”
Sistemas planetarios:
mi / mo <<1 ( S. Solar: mi / mo < 0.001)
Trayectorias quasi elípticas : teoría de perturbaciones
mk
r ˙ ̇ r k = Gmjmk
rjk3
j=1
N
(r r j
r r k )
( j k),rjk =
r r j
r r k
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La órbita en el espacio y
variables angulares
Variables nodales-polares: r, ,
Elementos orbitales: a, e, I, , , f
a: semieje mayor
e: excentricidad
ángulos:
-inclinación
-perigeo
-nodo
-anomalía verdadera
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Mecánica Analítica
formulación Hamiltoniana : Ecs. primer orden
formulación Lagrangiana: Ecs. 2º orden
formulación Newtoniana: Ecs. 2º orden
mk
r ˙ ̇ r k = Gmjmk
rjk3
j=1
N
(r r j
r r k )
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Rotación
de la Tierra
La variable independientey su medida
relojes de sol
Relojes atómicos
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¿expresiones analíticas o soluciones numéricas?
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
t x y z0.00000 1.2554698 -2.456987 3.78965410.00002 1.2556792 -2.406352 3.78965420.00004 1.2558462 -2.359973 3.78965430.00006 1.2560356 -2.290038 3.78965440.00008 1.2562974 -2.248462 3.78965450.00010 1.2565007 -2.180033 3.7896546
Movimiento orbital de la Luna: teoría analítica
C. Delaunay
(1816 - 1872)
Variables de Delaunay: (l, g, h, L, G, H) Vuelta a la Luna
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de Delaunay a Marsden
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‘Les Méthodes nouvelles
de la Mécanique céleste’
http://burro.astr.cwru.edu/JavaLab/SOSweb/main.html
la superficie desección de Poincaré
Sistemas Hamiltonianos: sist. Keplerianos perturbados:
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Numérica:Superficies sección Poincaré
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1954-63…: Teoría KAM y geometrización de la
dinámica
Los toros invariantes y sus perturbaciones
Kolmogorov Arnold Moser
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El problema de tres cuerpos,
la reducción de Jacobi-Deprit
y la geometrización de la Mecánica
Topology and Mechanics, I, II; Inventiones Mathematicae 1970
Smale
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Soluciones particulares
http://www.ai.mit.edu/people/wessler/halo//rmont.html
Euler ~ 1765
Lagrange ~1772 Chenciner-Montgomery 2001
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Nuevas singularidades
en el problema de n-cuerpos
SaariMcGehee Xia
Conjuntos de Cantor y singularidades con (sin) colisiones
Variedad colisión euleriana, n=3 Singularidad sin colisión, n=5
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Soluciones particulares del problema
de tres cuerpos: equilibrios relativos
los puntos de Euler y de Lagrange
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Simulaciones 2D n-cuerpos
Gravitation v5.0Jeff Rommereide
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Diseño de misiones espaciales
• Trayectorias espaciales:• Soluciones exactas “problema de n cuerpos”
• Difíciles de conseguir, muchos cálculos
• Diseño de misiones espaciales• No es necesaria la solución exacta:
• Soluciones aproximadas + maniobras correctoras
• Fallo en una maniobra• Rediseñar la misión en poco tiempo
• Requiere gran potencia de cálculo
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Algunas websites con estudios del sistema solar:
¡El sistema solar ya no estáen manos de los astrónomos!
Demasiada información: vamos poco a poco!
http://www.esa.int/SPECIALS/Cassini-Huygens/SEMD6E2VQUD_0.html
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Misiones: tipos
• Técnicas/comerciales• Comunicaciones
• Radio, TV, GNSS, …
http://www.orbital.com/images/high/Intelsat18.jpg
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Misiones: tipos
• Técnicas/comerciales
• Científicas• Aumentar conocimiento
• Proteger la Tierra• Capa ozono (Envisat, Aura)
• Hielo polar (Icesat)
• “El niño” (Topex)
• Contaminación (Terra)
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Satélites LAGEOS y ETALON
Más de 30 años estudiando la tectónica de placas
Telemetría láser
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órbitas halo de L1:
El proyecto Génesis
Recogiendo partículas solares
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el Sol y Ulysses en órbita
polar al sistema solar
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Diseño de misiones espaciales
• Proceso que va de sencillo a complejo• Dos cuerpos, “intermediarios”• Dos cuerpos “perturbados”
• Diseño preliminar: modelos simples• Incluyen efectos dinámicos más importantes• Selección gama inicial de trayectorias
• Análisis detallado en una fase posterior
• Optimización: modelos reales
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Modelos sencillos
• Misiones a “puntos de libración” (~1970)• No pueden formularse mediante perturbaciones• Soluciones particulares
• Soluciones de equilibrio, periódicas• Regiones de movimiento acotado, estabilidad• Variedades invariantes
• Cálculo masivo con ordenador• Técnicas: analíticas, numéricas y gráficas
• Misiones a asteroides• Movimiento “caótico”
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Leyes de Kepler &
diseño de órbitas Molniya :
Ciencia y Tecnología: Astronomía y Astrodinámica
- llevando la educación a lugares remotos
- ¿satélites espías?
combinando excentricidad con inclinación
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Dos cuerpos: efemérides
• ¿Problema solucionado?• ¡No!
• Hay que resolver la“ecuación de Kepler”• n (t - t0) = E - e sen(E)
• Ecuación implícita• Series infinitas
• Soluciones gráficas
• Cálculo iterativo
http://www.willbell.com/math/IMAGES/SolvingKepler.jpg
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Dos cuerpos: insuficiente
• Modelo insuficiente
• Misiones rusas a la Luna• Impacto: 1958-1959
• un fallo, un acierto
• Fly-by: 1959-1960• fotografía lado oculto
• Alunizajes: 1963-1966• falla 2 veces, se estrella 3
• alunizaje en 1966
• Orbitadores de la Luna
• Rover (1970)
Keldysh Korolevhttp://www.svengrahn.pp.se/trackind/luna3/SimeizGroupSmall.jpg
http://en.wikipedia.org/ Vostok8K72
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Problemas “perturbados”
• Solución depende del tiempo• a = a(t), e = e(t), I = I(t), …
• Modelos sencillos válidos para t corto
• Modelos complejos válidas para t largo
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Analítica o numérica
• Numérica: soluciones particulares
• Analítica: solución general• Fórmula dependiente de parámetros y el
tiempo
• Limitada a modelos relativamente sencillos
• Solución aproximada• Promediada en el tiempo
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Ejemplo: satélite Europa
• NASA Galileo (1989-2003)• Júpiter y galileanos (flyby)
• Estructura:• Corteza, manto, núcleo
• Corteza de hielo• Delgada y resquebrajada
• Océano salino• 100 km de profundidad
• ¿Agua = vida extraterrestre?
http://solarsystem.nasa.gov/galileo/gallery/images/top10-01.jpg
http://www.nasa.gov/images/content/51488main_galileo_330x250.gif
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JIMO
CallistoGanymede
Europa
They may harbor vast oceans beneath their icy surfaces.
The mission would launch in 2015 or later.
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Europa:soluciones periódicas y analíticas
Lara, Russell & Villac, JGCD, Vol. 30, 2007,8
Gravitación de Europa y Júpiter,
achatamiento de Europa
Ferrer, Lara, Journal Guidance Control and Dynamics 2007-8
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de nuevo
a la Luna…
Se muestran en rojo-naranja los mascons en la
Luna, que hacen tan irregular su campo gravitacional.
Los cinco más grandes corresponden a los mayores
cráteres llenos de lava o "mares".GPS en la Luna
con 3 satélites
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Luna: teoría analítica
• N° de términos crece con el grado del potencial• Crecimiento cúbico
• Consideramos 50 zonales• Manipulación simbólica requiere decenas de Mbytes• Teoría se almacena en 2,5 Megas (Mathematica)
Lara & Ferrer, AAS 09, Savannah Georgia
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Ejemplo: misiones a asteroides
• Interés• Orígenes sistema solar
• Riqueza mineral
• Cinturón principal• Entre 2 y 4 UA
• Troyanos• ±60° órbita Júpiter
• NEOs:<1.3 UA del sol
http://www.creationscience.com/onlinebook/webpictures/Asteroid%20Belt.jpg
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Asteroides
desde La Murta
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NEOs
• Asteroides y cometas• 1000 > 1km
• Órbitas cerca la Tierra• Peligrosos:
• > 150 m y < 7,5 Mkm
• Localizarlos
• Calcular su trayectoria
• ¿Interceptarlos?
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Misión NEAR
a Eros
http://near.jhuapl.edu/NewMissionDesign/launch_to_eros_flyby.mov
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Movimiento
roto-traslatorio
Daniel Scheeres model
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![Page 45: Mecánica Celeste. El problema de n-cuerpos, misiones espaciales y](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022416/5867b72d1a28ab40408bdb38/html5/thumbnails/45.jpg)
Inertial Hovering
Sun
ThrustSRP
Gravity
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Asteroid Itokawa
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Muses Sea
TD1 Site
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buscando sistemas planetariosen las proximidades del sol
ya se han descubierto más de 347
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Evidencia de
sistemas planetarios
en torno a dos soles
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Microlente gravitacional
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Estudiando la atmósfera de "hot Jupiter" HD
209458b
![Page 53: Mecánica Celeste. El problema de n-cuerpos, misiones espaciales y](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022416/5867b72d1a28ab40408bdb38/html5/thumbnails/53.jpg)
La misión Kepler
Kepler spacecraft is already
searching for other Earth-like worlds.
The mission, launched on March 6,
will spend the next three-and-a-half
years staring at more than 100,000
stars for telltale signs of planets.
The Transit Method of Detecting Extrasolar Planets
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¿Muchos mundos?
diversas opiniones…
La postura de Carl Sagan de que
la vida inteligente está bastante extendida, debe serconfrontada
con la famosa cuestión puesta por
el gran físico Enrico Fermi:
“Por qué no están aquílos extraterrestres?”
¿Por qué no han mostrado su existenciasin ningún margen de duda?
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Algunas lecturas
![Page 56: Mecánica Celeste. El problema de n-cuerpos, misiones espaciales y](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022416/5867b72d1a28ab40408bdb38/html5/thumbnails/56.jpg)
"Universe and Life on Earth"
Dr. Toshio FukushimaNational Astronomical Observatory Japan
Mitaka Observatory
Subaru telescope, Hawai
lugar: Museo de la Ciencia y Agua
día y hora: 15 Junio, 8 tarde
Conferencia: