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MBA 2007-2008

MÓDULO PROCESOS DE FABRICACIÓN Y

SISTEMAS INTEGRADOS

Control Basado en Modelos

Profesor: Francisco Alonso Arconada

MBA-Edición 2007-2008

©: Quedan reservados todos los derechos. (Ley de Propiedad Intelectual del 17 de noviembre de 1987 y Reales Decretos). Documentación elaborada por Francisco Cifuentes y Rafael González Martín.

MBA 2007-2008

El Control Multivariable Predictivo constituye el “estado del arte” en el campo de Control de Procesos. Se desarrolló originalmente para resolver problemas específicos de control de las plantas nucleares y de las refinerías. La tecnología de Control Multivariable se utiliza hoy en día en plantas químicas, sector alimentario, automóvil, metalurgia, industria papelera y otros entornos industriales.

INDICE

INTRODUCCIÓN...................................................................................................................................... 3

Conocimientos previos 5 NIVELES DE AUTOMATIZACIÓN....................................................................................................... 6

TERMINOLOGÍA ..................................................................................................................................... 7

Variables Controladas 7

Variables manipuladas 8

Variables de perturbación o feedforward 9

Grados de libertad 9 PROCESOS MULTIVARIABLES......................................................................................................... 17

MODELO DINÁMICO DE UN PROCESO.......................................................................................... 21

Modelo de respuesta impulsional (FIR) 23

Modelo de respuesta a salto 24

Modelo Recursivo de Función de Transferencia 25

Definición del Modelo Matricial 26

Uso del Modelo Matricial 29

Principio de Linealidad y Superposición 30

Extensión del Modelo Matricial a un Proceso Multivariable 34

Formas de Utilización del Modelo Matricial 35 BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................................................... 38

MBA 2007-2008

INTRODUCCIÓN

En módulos anteriores se ha estudiado el control básico o control regulatorio que utiliza de forma intensiva los controladores PI o PID. Se han visto también las llamadas técnicas de control avanzado (feedforward, ratio, selectores, etc) que amplían el concepto del lazo regulatorio básico y que constituyen lo que tradicionalmente se llama control regulatorio avanzado o, directamente, control avanzado. Sin embargo, en la literatura técnica actual, el término APC (Advanced Process Control) hace referencia a aplicaciones que manipulan los puntos de consigna de controladores regulatorios y que son bastante más complejas que los familiares PI o PID y las aplicaciones de control avanzado convencional por las siguientes razones:

• Normalmente manipulan y controlan varias variables al mismo tiempo y de ahí la designación alternativa de “controladores multivariables”

• Estos controladores calculan sus movimientos (outputs) basándose en las predicciones futuras de las variables controladas, que a su vez se calculan a partir de un modelo dinámico embebido en el controlador. Por esta razón a estos controladores se les denomina también genéricamente “controladores predictivos basados en modelos”

• Estos controladores pueden controlar variables dentro de límites, en vez de controlarlas a puntos de consigna y pueden manipular las variables considerando objetivos económicos múltiples.

A finales de la década de los 70 y comienzos de los 80, desarrollos independientes llevados a cabo en Europa por Adersa (Richalet y col.,1978) y en los Estados Unidos por Shell Oil Co. (Cutler y Ramaker, 1980; Prett y Gilelette, 1979) permitieron la introducción de nuevas técnicas de control basadas en el concepto de predicción mediante modelos : IDCOM (Identification and Command) y DMC (Dynamic Matrix Control). Simultaneamente, algunos grupos de investigación en el campo del control adaptativo comenzaron a experimentar con predictores multipaso (adaptativos) para sustituir a los predictores de k-pasos hacia adelante que constituían el fundamento de los reguladores autosintonizados basados en el principio de mínima varianza generalizada.

Durante los últimos años se ha puesto de manifiesto que todos estos métodos y otros muchos que fueron propuestos desde entonces tenían muchos elementos en común y esencialmente eran variaciones de un mismo tema central. Hoy en día los elementos claves del Control Predictivo Basado en Modelos (CPBM) están suficientemente establecidos y dan lugar a una familia de métodos de control que presentan algunas ventajas importantes cuando se les compara con otros procedimientos alternativos. Entre estas mejoras pueden mencionarse las siguientes :

a) Permite resolver problemas de control con conductas dinámicas no usuales (Sistemas inestables en lazo abierto de fase no mínima).

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b) Resulta particularmente atractivo al personal técnico de planta que posee una formación limitada en problemas de control, ya que los conceptos pueden comprenderse en un período corto de tiempo.

c) Puede manejar de una forma bastante directa problemas de control interactivos de tipo multivariable.

d) Posee una compensación inherente de los retardos puros del sistema.

e) Introduce de una manera natural la acción de control feedforward para compensar perturbaciones medibles.

f) Es conceptualmente simple extender la estrategia de CPBM a problemas de control con restricciones (p.e. restricciones sobre las variables manipuladas, variables controladas e incluso sobre la velocidad de variación de estas variables).

g) Los parámetros de diseño son parámetros de especificación en lugar de parámetros de sintonía, es decir, están relacionados directamente con el comportamiento del sistema.

h) Es una metodología totalmente abierta que se basa en algunos principios básicos pero que permite añadir al campo posibles extensiones futuras.

i) Posee una característica interesante de “mirar hacia adelante” que resulta extraordinariamente útil cuando se puede planificar la evolución del punto de consigna (como el control de procesos tipo batch o de robots).

Como la mayoría de estas características son de gran importancia en problemas de control de naturaleza práctica, no resulta sorprendente que hayan aparecido numerosas aplicaciones del CPBM. Por supuesto que el CPBM también posee algunas desventajas. Fundamentalmente es computacionalmente complejo. Aunque con la potencia de cálculo disponible hoy en día no representa un problema en el caso de aplicaciones en el campo del control de procesos donde las plantas suelen ser generalmente lentas. Sin embargo pueden llegar a plantear complicaciones cuando se trata de sistemas de tipo mecánico, servo-control y aplicaciones en robótica (no obstante el CPBM resulta adecuado para efectuar cálculos en paralelo con sistemas multiprocesadores).

Una desventaja fundamental del CPBM es la necesidad de disponer de un modelo conveniente del proceso. Esto explica por qué un gran número de métodos han surgido del campo del control adaptativo. En cualquier caso, algún tipo de modelización o identificación del sistema será necesario y esto supone un precio a pagar. Una vez que se dispone de un modelo, el CPBM es en si mismo un procedimiento relativamente directo. Conviene no obstante señalar que esta desventaja se suaviza algo con el argumento de que también los métodos de control clásicos ( incluso el simple regulador PID) necesitan de un modelo del proceso cuando tienen que sintonizarse para operar satisfactoriamente cuando el proceso tiene una dinámica “difícil” de controlar.

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Este capítulo presenta de forma genérica este tipo de algoritmos, no obstante cuando se trata de aspectos concretos se hace referencia al Controlador DMCPlus™ desarrollado por la empresa Aspen Technology Inc.

Conocimientos previos A pesar de su complejidad matematica, en este capítulo se ha intentado introducir los conceptos de forma intuitiva y mediante el uso de ejemplos. Sin embargo, es del todo imposible poder prescindir del uso de ciertas herramientas matemáticas para poder explicar esta tecnología con un cierto detalle. El nivel de conocimientos exigido al lector es realmente mínimo, solo se necesitan nociones básicas sobre el manejo de matrices y producto vectorial, así como entender los conceptos fundamentales de la regresión lineal. Respecto al conocimiento de procesos, se han utilizado casos prácticos presentes en cualquier planta industrial. Por lo tanto, resulta conveniente que el lector conozca, al menos, los principios de funcionamiento de una columna de destilación binaria. Por supuesto, esta tecnología es también aplicable a otros tipos de procesos multivariables.

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NIVELES DE AUTOMATIZACIÓN

En los módulos anteriores hemos hablado de los esquemas de control básico y control avanzado. Hemos visto que la diferencia entre ambos es la dimensión del sistema que se quiere controlar. En el caso del control básico nos ceñimos a un lazo que únicamente tiene una variable que controlar y una variable que manipular. En el caso del control avanzado se amplia el sistema que se quiere controlar y hablamos del control de la cabeza de una columna o de la calidad del producto de fondo. En la estrategia de control avanzado se incluye más de un lazo de control simple.

Si podemos identificar el control básico con lazos regulatorios PID, el control avanzado estaría compuesto por varios lazos regulatorios PID relacionados de alguna manera (cascada, ratio, control con restricciones). La estructura del control es jerárquica, en el sentido de que para que funcionen adecuadamente las aplicaciones de control avanzado, previamente han de funcionar bien los lazos de control básico. Esto quiere decir que la importancia del buen funcionamiento del control básico no sólo no disminuye al implantar aplicaciones de control avanzado, sino que aumenta puesto que éstas son cascadas de lazos de control regulatorio.

Podemos distinguir cuatro niveles de automatización: control básico, control avanzado, control multivariable y optimización en línea. Según pasamos de un nivel de automatización al siguiente la planta trabaja más cerca de su verdadero óptimo económico.

El control básico es el conjunto de lazos regulatorios que proporcionan una operación estable y segura para los equipos de proceso. El nivel siguiente lo constituye el control avanzado. Si en el control básico todo gira en torno al lazo simple de control (PID) con una entrada y una salida, el control avanzado expande el concepto y construye esquemas de control donde los lazos simples se unen en estructuras jerárquicas que denominamos cascadas. En control avanzado un controlador primario, en vez de manipular una válvula, determina el punto de consigna del controlador secundario. Las cascadas pueden estar compuestas de más de dos controladores. Además mientras que el control básico sólo utiliza la retroalimentación (feedback) el control avanzado incluye el adelanto (feedforward) entre sus posibilidades. Esto permite adelantarse en las acciones de control cuando se producen perturbaciones medibles.

Otras técnicas de control avanzado son la utilización de variables calculadas (aporte de calor, reflujo interno), el control por restricciones mediante selectores (maximizaciones, minimizaciones, etc). Normalmente al ascender en los niveles de automatización las necesidades de instrumentación y analizadores son mayores.

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El paso siguiente, será considerar un sistema de control compacto para controlar toda una columna de destilación o toda una unidad de proceso tal como una Unidad de Crudo o una Unidad de FCC. A este tipo de control es al que vamos a llamar Control Multivariable. El control multivariable responde a la necesidad de controlar procesos en los que existen varias variables a controlar, varias válvulas que deben ser manipuladas simultáneamente y donde la manipulación de una válvula afecta a varias variables controladas. Este tipo de procesos es el más normal en la industria del refino. En este caso, el controlador “ve” todas las variables de la unidad como un conjunto, como un sistema único y considera los efectos de todas la variables manipuladas en todas las variables controladas.

TERMINOLOGÍA

Volvemos a hacer hincapié en los términos que estamos utilizando, aunque muchos de ellos ya se definieron en los capítulos anteriores.

Variables Controladas Las variables de proceso que deben mantenerse en un valor determinado (Punto de consigna o especificación), o dentro de un rango prefijado, se denominan variables controladas (CV’s). Estas variables también se llaman variables dependientes puesto que constituyen la respuesta del proceso a variaciones de las variables realizadas por un operador o el controlador.

Las especificaciones de calidad, ya estén medidas con un analizador en línea, obtenidas mediante algún cálculo inferencial, o controladas a través de medidas secundarias como temperaturas de plato, etc, son variables controladas y dependiendo de lo rigurosa que la especificación, tendrán un punto de consigna o un pequeño rango dentro del cual su valor se considera aceptable.

Las limitaciones físicas de la Unidad también son variables controladas, aunque en este caso no se trata de que las variables se encuentren en un punto determinado de operación, sino de que no sobrepasen determinados valores que afectan a la seguridad y controlabilidad del proceso. A este tipo de variables controladas se les denomina restricciones. La temperatura de skin de tubos de un horno, las aperturas de válvulas, el procentaje de inundación de una columna de destilación podrían encuadrarse en este tipo de variables controladas.

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Variables manipuladas

Para mantener a las CV’s en los valores deseados, el controlador ajusta los valores de las variables manipuladas (MV’s). Estas variables también se llaman variables independientes. Variables manipuladas son todas aquellas sobre las que actúa el operador, bien fijando un punto de consigna cuando el controlador está en modo AUTO o bien fijando el % de salida a válvula si el lazo está en MAN. En un controlador multivariable son manipuladas todas aquellas variables a las que el controlador les fija un punto de consigna o directamente la salida a válvula.

En un controlador básico PID hay sólo una CV y una MV. (En el controlador de temperatura de salida de un horno la CV sería la temperatura de salida medida y la MV sería el caudal de combustible al horno). En un controlador multivariable existen múltiples CV’s y múltiples MV’s. El controlador “ve” todas las variables conjuntamente como un solo sistema y considera el efecto simultáneo de todas las MV’s en las CV’s. Normalmente el número de variables controladas y el número de variables manipuladas no es igual; puede haber más o menos MV’s que CV’s.

TERMINOLOGÍA BÁSICA

DV1

MV1

MV2

PROCESO

CV1

CV2

CV3

VARIABLES INDEPENDIENTES MANIPULADAS (MV’s)PERTURBACION (DV’s)

VARIABLES DEPENDIENTES CONTROLADAS (CV’s)

(Calidades, Restricciones)

Terminología Básica

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Variables de perturbación o feedforward

Existen variables de perturbación (DV’s) que también son variables independientes y son aquellas que provocan variaciones en las variables controladas, pero no pueden ser manipuladas por el controlador. También se llaman variables de adelanto o feedforward. El caudal de carga a una columna si proviene de otra columna aguas arriba, la temperatura ambiente, etc., son variables de perturbación.

Grados de libertad

El estado de un proceso puede describirse mediante el valor que toman sus variables principales. El estado se define cuando se especifica cada uno de los grados de libertad del sistema. Los grados de libertad de un proceso representan el número máximo de controladores independientes, que pueden colocarse en el proceso.

En el contexto del control de procesos, los grados de libertad son el número de variables que pueden manipularse independientemente. Es muy importante tener claro cuál es este número para cualquier proceso, de modo que no se intente sobrecontrolar o subcontrolar el proceso.

El enfoque matemático para encontrar los grados de libertad de cualquier proceso es sumar el numero mínimo de variables que definen exactamente el punto de operación de un proceso y restarle el número de ecuaciones independientes

gl = v - r gl = grados de libertad del sistema

v = número de variables que describen el sistema

r = número de relaciones independientes que se pueden establecer entre las variables.

Para ilustrar el concepto consideremos la ecuación de los grados de libertad aplicada a tres ejemplos comunes: el movimiento de un avión, de un barco y de un tren. Para cada vehículo las variables que representan su posición son las mismas: latitud, longitud y altura , por tanto en los tres casos v = 3. El número de ecuaciones independientes que relacionan las tres coordenadas espaciales es distinto en cada caso.

Para el avión no existe una relación fija entre altitud (altura sobre el horizonte), longitud y latitud, por tanto los grados de libertad para el avión son:

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gl = v - r = 3 - 0 = 3 La respuesta es intuitivamente correcta, puesto que un avión puede volar libremente en cualquier dirección en el espacio tridimensional.

El barco tiene las mismas variables de navegación que el avión, pero suponiendo que el agua está en calma, la altura es fija. Por tanto existe una ecuación que establece:

altitud del barco = nivel del mar y por tanto, los grados de libertad del barco son:

gl = v - r = 3 - 1 = 2 El barco puede moverse en dos direcciones, pero siempre estará en contacto con la superficie del agua.

Por último, el tren tiene también tres variables de navegación, pero está confinado a unos raíles que tienen una posición fija que puede describirse mediante dos ecuaciones:

altitud de los raíles = contorno geológico

latitud de los raíles = función específica de la longitud

La primera ecuación fija la altitud igual a la elevación de la superficie del terreno por donde discurren los raíles. La segunda ecuación describe la trayectoria de los raíles en términos de latitud y longitud (el trazado de la vía). Por tanto, los grados de libertad del tren son:

gl = v - r = 3 - 2 = 1 El tren sólo tiene un grado de libertad puesto que sólo puede moverse a lo largo del trazado de la vía.

En el siguiente ejemplo se estudian los grados de libertad de un proceso mas cercano al control de procesos. Se trata de un sencillo sistema de mezclas en el que se mezclan dos corrientes de agua, una fría y otra caliente. Es posible modificar el caudal de agua fría y caliente mediante la apertura de dos válvulas de control situadas en cada línea. Las variables de interés son el caudal y temperatura de la mezcla.

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qf(t), Tf(t)

FT1

TT1

qc(t), Tc(t)

q(t), T(t)

Variables del sistema :

qf, qc, Tf, Tc, q, t

Ecuaciones

Tf = cte.

Tc = cte.

q = qf + qc

T = 1/q (qf * Tf + qc * Tc)

qf(t), Tf(t)

FT1

FT1

TT1

TT1

qc(t), Tc(t)

q(t), T(t)



Ecuaciones

Tf = cte.

Tc = cte.

q = qf + qc

T = 1/q (qf * Tf + qc * Tc)

Grados de libertad (2 grados )

Si consideramos que las válvulas son lineales, para cada porcentaje de apertura corresponderá un caudal determinado qf y qc para el agua fría y caliente respectivamente, siendo seis el número de variables que definen cualquier punto de operación del sistema.

Considerando que las temperaturas de agua fría y caliente son constantes, se pueden establecer cuatro ecuaciones independientes, dando lugar a 6-4= 2 grados de libertad. Físicamente esto quiere decir que de las seis variables del sistema, podemos elegir dos de ellas y el resto vendrán fijadas automáticamente . Por ejemplo, si elegimos un caudal y una temperatura de la mezcla (q, t), las válvulas automáticamente se tienen que posicionar en unas aperturas concretas y sólo en esas. Si por el contrario, elegimos posiciones para las aperturas de las válvulas, entoces q y t pasan a ser dependientes y adoptaran el valor que corresponda.

Veamos qué sucede si incluimos un controlador en el sistema. Pasamos a controlar el caudal total manipulando la válvula de agua fría. En este caso hay que añadir una ecuación adicional qc = F(q) ya que el caudal de agua fría pasa a ser función del punto de consigna del controlador FC-1. En esta nueva situación hemos reducido un grado de libertad, por lo que solo queda uno disponible, o bien escogemos el punto de consigna del FC-1, o la apertura de la válvula de agua caliente.

Finalmente, mostramos el caso completo en el que además hemos añadido un control de temperatura, TC-1, manipulando el caudal de agua caliente. Agregamos una ecuación más y por tanto hacemos que los grados de libertad sean cero, es decir, una vez fijados los puntos de consiga del TC-1 y del FC-1 el resto de variables quedan totalmente fijadas. Podemos extraer una conclusión interesante, por cada controlador que incluimos en el proceso se pierde un grado de libertad.

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Ecuaciones

Tf = cte.

Tc = cte.

q = qf + qc

T = 1/q (qf * Tf + qc * Tc)

qc = F(q)

qf(t), Tf(t)

FT1

FC1

TT1

SP

qc(t), Tc(t)

q(t), T(t)



Ecuaciones

Tf = cte.

Tc = cte.

q = qf + qc

T = 1/q (qf * Tf + qc * Tc)

qc = F(q)

qf(t), Tf(t)

FT1

FT1

FC1

FC1

TT1

TT1

SP

qc(t), Tc(t)

q(t), T(t)

Grados de libertad (1 grado )

qf(t), Tf(t) TC1

FT1

FC1

TT1

SP SP

qc(t), Tc(t)

q(t), T(t)



Ecuaciones

Tf = cte.

Tc = cte.

q = qf + qc

T = 1/q (qf * Tf + qc * Tc)

qc = F(q)

qf = F(T)

qf(t), Tf(t) TC1

TC1

FT1

FT1

FC1

FC1

TT1

TT1

SP SP

qc(t), Tc(t)

q(t), T(t)



Ecuaciones

Tf = cte.

Tc = cte.

q = qf + qc

T = 1/q (qf * Tf + qc * Tc)

qc = F(q)

qf = F(T)

Grados de libertad (0 grados )

Hemos visto el método ortodoxo de cálculo de grados de libertad, si bien es un ejercicio interesante, hay una solución más fácil que consiste en simplemente sumar el número total de válvulas de control situadas racionalmente. La calificación de “racionalmente situadas” es para destacar que, por ejemplo, debemos evitar poner dos válvulas de control en serie en la misma tubería porque no se podrían considerar controladores independientes.

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Volviendo al mundo del control de procesos, podemos reescribir la ecuación de los grados de libertad como:

gl = nº MV’s disponibles- nº CV’s a controlar en un valor fijo (SP)

Por número de MV’s disponibles entendemos aquellas variables manipuladas que pueden moverse libremente. Cuando un lazo de control se pone en MANUAL el controlador pierde un grado de libertad (y lo gana el operador de panel). Cuando una válvula abre o cierra completamente, el controlador pierde un grado de libertad.

B

BX

DEPÓSITO DE REFLUJO

F

CONDENSADOR

L

D XD

DESTILADO

REFLUJO

REB

OIL

ER FLUÍDO CALEFACTOR

1

2

3

FX

Grados de libertad en una Columna de Destilación

En el contexto del control de procesos, vamos a ver la definición de grados de libertad para una columna de destilación. En la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. vemos que hay cinco válvulas de control, una en cada una de las siguientes

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corrientes: destilado, reflujo, refrigerante, fondo y calentamiento del fondo. Estamos asumiendo en este momento que la corriente de alimentación está impuesta por la unidad aguas arriba.

Así, esta columna tiene cinco grados de libertad. Pero el balance de materia debe estar siempre controlado. Los lazos del inventario afectan a niveles de líquido y a presiones. En la columna de destilación del ejemplo, esto significa que el nivel del líquido en el acumulador de cabeza, el nivel del líquido en la base de la columna, y la presión en la columna deben controlarse. Cuando decimos que la presión está controlada, no queremos indicar necesariamente que se mantiene constante. Si la minimizamos estamos controlándola.

Si restamos las 3 variables que debemos controlar de las 5 que tenemos, nos quedamos con 2 grados de libertad. Así, hay dos y sólo dos variables adicionales que pueden ser controladas en la columna de destilación.

Hay que hacer notar que no hemos hecho ninguna suposición sobre el número o tipo de componentes químicos que se está separando. Así un sistema binario simple e ideal tiene dos grados de libertad; un sistema de destilación complejo, multi-componente y no ideal, tiene también dos grados de libertad.

Las dos variables que se han elegido para ser controladas dependen de muchos factores. Algunas situaciones comunes son:

1. Controlar la composición de las impurezas de ligeros en el producto de fondo y la composición de impurezas de pesados en el destilado.

2. Controlar una temperatura en la zona de rectificación de una columna y otra temperatura en la zona de stripping de la columna.

3. Controlar el caudal de reflujo y la temperatura en algún sitio de la columna.

4. Controlar el caudal de vapor del reboiler y la temperatura cerca de la cabeza de la columna.

5. Controlar la relación de reflujo (relación entre caudal de reflujo y caudal de destilado) y una temperatura de la columna.

Estos ejemplos ilustran que (a) sólo se pueden controlar dos cosas y (b) normalmente se controla al menos una composición (o temperatura) en algún lugar de la columna. Una vez especificadas las cinco variables a ser controladas (por ejemplo, dos temperaturas, dos niveles, y la presión), tenemos el problema de decidir qué variable manipulada vamos a usar para controlar qué variable controlada. Este problema de emparejamiento se llama determinar la estructura del sistema de control.

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Con la redefinición de grados de libertad que hemos dado, nos podemos encontrar en tres situaciones respecto a los grados de libertad del controlador a la hora de controlar un proceso:

• Un proceso “cuadrado”, es decir un proceso en el que no hay grados de libertad porque el nº de MV’s disponibles es igual al nº de CV’s que se quieren controlar en un valor determinado. En la mayoría de las columnas de destilación binarias que trabajan a presión fija, si se quiere controlar las calidades de cabeza y fondo a un punto de consigna, los caudales de reflujo y calor al reboiler quedan determinados unívocamente. El proceso sólo tiene un punto de operación. No tiene ningún grado de libertad.

• Un proceso “estrecho” en el que el nº de CV’s que se quiere controlar estrechamente es superior al nº de MV’s disponibles. El número de grados de libertad es negativo. Si fuera posible, es lo que nos gustaría a todos, ser capaces de controlar todo el proceso con una sola variable. Al controlador se le pide más de lo que puede dar y no será capaz de satisfacer todas las peticiones. Si llegamos a este caso tendremos que definir unas prioridades; puesto que no es posible satisfacer simultáneamente todas las especificaciones es preciso decirle al controlador cuáles consideramos de mayor importancia y qué especificaciones deben sacrificarse.

• Un proceso “amplio” en el que existen más MV’s disponibles que CV’s que quieran controlarse a punto de consigna. En este caso la ventana de operación es muy amplia, es decir, se puede operar de muchas maneras distintas y todas cumplen con las especificaciones requeridas. El proceso tiene grados de libertad positivos. El controlador tiene muchas posibilidades pero se le pide muy poco. En este caso hay que decirle al controlador cuál es el criterio para discriminar entre los distintos puntos de operación. Este criterio normalmente será económico: de todas las operaciones posibles que aseguran la calidad de los productos, operar en el punto en que se consiga un máximo beneficio o un coste mínimo.

El número de grados de libertad de un controlador no es algo inherente al proceso, depende de lo que se le pida y cómo se le pida. Si queremos controlar una variable en un valor fijo esto le cuesta al controlador un grado de libertad. Si en vez de un punto determinado especificamos un rango, el controlador tiene una cierta libertad. Si este rango es muy estrecho habremos ganado poco. Las limitaciones también pueden ponerse en las variables manipuladas. Si el rango en que se permite mover una variable manipulada es muy estrecho estaremos restringiendo al controlador. Más adelante volveremos sobre la importancia de los grados de libertad.

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CV’s

MV’s

MV’s

MV’s

CV’s CV’s

Proceso estrechoCV’s > MV’sgrados de libertad < 0

Proceso cuadradoCV’s = MV’sgrados de libertad = 0

Proceso amplioCV’s < MV’sGrados de libertad > 0

La estructura del proceso determina los grados de libertad disponiblespara el controlador.

Grados de Libertad de un Proceso.

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PROCESOS MULTIVARIABLES

En un proceso multivariable el problema con que nos encontramos no es el número de variables que contemplamos, sino la interacción que se da entre dichas variables. Los procesos de refino son altamente interactivos, lo cual significa que cada variable manipulada afecta a muchas variables controladas y cada variable controlada está afectada por muchas variables manipuladas. En general vamos a definir un proceso multivariable como aquel en el que existen variables dependientes e independientes que interactúan entre sí.

Una columna de destilación binaria es un buen ejemplo de proceso multivariable. ¿Qué variables podríamos considerar dependientes o controladas? La calidad del producto de cabeza, la calidad del producto de fondo (ya estén ambas medidas mediante analizador o se utilice alguna temperatura como indicación de calidad), el nivel del acumulador de cabeza, el nivel en el fondo de la columna, la pérdida de carga a través de columna (medida como diferencia de presión entre la cabeza y el fondo), etc. ¿Qué variables podríamos considerar manipuladas? El caudal de destilado, el caudal de reflujo, la presión a la que trabaja la columna, el caudal de producto de fondo y el aporte de calor al reboiler. El caudal de carga y la temperatura de carga podrían considerarse variables de perturbación.

Veamos por qué este proceso es multivariable. Elijamos una variable manipulada, por ejemplo el reflujo, y veamos qué efecto tiene un aumento de reflujo en las variables que hemos definido como controladas, cuando las restantes variables manipuladas se mantienen constantes.

- La calidad del producto de cabeza mejora (mayor pureza)

- La calidad del producto de fondo empeora (mayor impureza)

- La pérdida de carga a través de la columna aumenta

- El nivel del acumulador de cabeza disminuye

- El nivel en el fondo de la columna aumenta

Esto se muestra gráficamente en la siguiente figura.

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SI EL REFLUJO AUMENTA

D

V

CALIDAD PRODUCTO CABEZA

PÉRDIDA DE CARGA

CALIDAD PRODUCTO DE FONDO

NIVEL DEL FONDO

NIVEL DEL ACUMULADOR

L

Influencia de un aumento de reflujo en las variables controladas.

Del mismo modo, si elegimos una variable controlada, por ejemplo la calidad del producto de cabeza, vemos que mejora cuando:

- Aumenta el caudal de reflujo

- Disminuye el aporte de calor al reboiler

- Aumenta la presión de trabajo

Vemos que cada variable manipulada afecta a varias controladas y cada variable controlada está afectada por varias variables manipuladas. Si simplificamos el problema y controlamos el nivel del acumulador de cabeza con el caudal de destilado y el nivel del fondo con el caudal de producto de fondo, aún nos quedan dos calidades que controlar con el caudal de reflujo y el aporte de calor al reboiler.

La solución tradicional sería poner el control de calidad de cabeza sobre el reflujo y el control de calidad de fondo sobre el aporte de calor al reboiler. Si recordamos cómo funciona un lazo de control básico, ante un empeoramiento de la calidad de cabeza el reflujo aumentará, pero un aumento del reflujo hemos visto que lleva aparejado un

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empeoramiento de la calidad de fondo, por lo que el controlador del calidad de fondo responderá aumentando el aporte de calor. Este aporte de calor mejora la calidad del producto de fondo, pero lleva aparejado un empeoramiento de la calidad del producto de cabeza. La siguiente figura muestra este proceso.

ALIMENTACIÓN

PDI

TI

FI

AI

VAP 50#

FC

CONDENSADO

SP

FC

SP

AI

AI

Control de una Columna Binaria

Este ciclo es lo que denominamos acoplamiento y existen técnicas destinadas a atenuar su efecto, pero nunca pueden eliminarlo. El problema del acoplamiento es que existen dos lazos de control que tiene objetivos que entran en competencia, pero al no existir una estrategia de control única, los dos lazos de control están “luchando” de manera permanente sin que ninguno de ellos tenga “conocimiento” de lo que está haciendo el otro. Podemos decir que el control de un proceso multivariable mediante un conjunto de lazos básicos (PID) siempre será defectuoso puesto que ningún controlador “sabe” de los restantes controladores.

La característica fundamental del control multivariable es que es capaz de ver el proceso en su conjunto y establecer una estrategia única sin que existan objetivos que entren en competencia, puesto que el controlador “ve” todos los objetivos simultáneamente y es fácil especificar las prioridades en el caso de que no todos los objetivos se puedan satisfacer.

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ALIMENTACIÓN

PDI

FI

AI

FC

VAP 50#

FC

CONDENSADO

SP

CONTROLADORDMC

TI

AI

AI

SP

LISTA DE VARIABLES

INDEPENDIENTES

CONTROLADAS

DV1 Temperatura deAlimentaciónDV2 Caudal AlimentaciónDV3 Composición Alimentación

CV1 Composición CabezaCV2 Composición FondoCV3 Presión Diferencial Torre

MV1 Caudal Extracción CabezaMV2 Caudal Vapor Hervidor

Control de una Columna Binaria con DMC

Resumiendo, en cualquier unidad de proceso los lazos de control interaccionan unos con otros. Esta interacción se denomina acoplamiento. Pues bien, el control multivariable es el control simultáneo y coordinado de varias variables acopladas. Esto significa que un controlador multivariable moverá de manera simultánea todas las variables manipuladas para controlar todas las variables controladas.

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MODELO DINÁMICO DE UN PROCESO ¿Dónde está la magia del control multivariable? ¿Cómo es posible manipular simultáneamente todas las variables manipuladas para mantener en los puntos de consigna o en sus rangos a las variables controladas? ¿Cómo sabe el controlador el efecto de cada variable manipulada en cada variable controlada ?

La respuesta está en el modelo. Un controlador multivariable dispone de un modelo del proceso que va a controlar.

mv

tiempo

cv

tiempo

Modelo

cvm

tiempo

mv

tiempo

cv

tiempo

Modelo

cvm

tiempo

Concepto de Modelo

Vagamente podríamos decir que un modelo es una herramienta que nos permite responder cuestiones referentes a un sistema sin tener que experimentar con dicho sistema. Pretendemos hacer un cambio en alguna variable independiente (mv) del proceso y observar la evolución en el tiempo de alguna variable dependiente (cv). Sería interesante diponer de algún medio, modelo, al cual si le aplicamos la misma variación (mv) se obtenga una evolución (cvm) que sea lo más parecida posible a (cv).

En la vida normal utilizamos modelos de manera continua. Por ejemplo, al decir que una persona es “amable” estamos utilizando un modelo de comportamiento. Este modelo nos ayuda responder a la cuestión de cómo reaccionará dicha persona si le solicitamos un favor. También utilizamos modelos para sistemas mecánicos basados en la intuición y la experiencia. El aprendizaje de cómo conducir un coche consiste, en parte, en desarrollar un modelo mental de las propiedades de conducción del coche. La idea que tiene un operador sobre cómo reaccionará el proceso frente a diferentes actuaciones es también un modelo mental desarrollado mediante formación y adquisición de experiencia.

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Otro tipo de modelo serían los modelos verbales donde el comportamiento de un sistema bajo diferentes condiciones se describe mediante palabras: si los tipos de interés aumentan, también aumentará el paro. Los sistemas expertos son ejemplos de modelos verbales formalizados. No es lo mismo el modelo mental que el modelo verbal. Cuando montamos en bicicleta estamos utilizando un modelo mental de la dinámica de la bici, pero nos sería muy complicado convertir dicho modelo en un modelo verbal.

Existen modelos físicos que tratan de imitar al sistema a estudiar, como la maqueta que utiliza un arquitecto para analizar la estética del edificio que está proyectando.

Pero los modelos de los que vamos a hablar en esta sección, los modelos de los que hace uso el controlador multivariable son de otro tipo; son modelos matemáticos. Con esto queremos decir que las relaciones entre las distintas variables (caudales, temperaturas, presiones, composiciones, etc) que podemos observar en el sistema (el proceso) son descritas como relaciones matemáticas en el modelo.

A d hd t

q k hρ ρ= −hkqo ρ=

Modelo estático: Relaciona las variables en unestado de equilibrio

Modelo dinámico:Relaciona las variables alo largo del tiempo

q

h

qo

Modelos estáticos y dinámicos

Una primera clasificación de modelos matemáticos divide a los modelos en estáticos y dinámicos. Los primeros solo tienen en cuenta las variables de proceso en un punto estacionario e independiente del tiempo, los dinámicos complementan al modelo estático en que son capaces de relacionar las variables del proceso en régimen dinámico, es decir, su evolución a lo largo del tiempo. La figura muestra un proceso sencillo en el que se pretende modelar el caudal de salida de un tanque, se puede observar que el modelo

23

estático se compone de una ecuación algebraica mientras que el dinámico necesita de una ecuación diferencial.

En realidad cualquier modelo a partir del cual se puedan calcular predicciones puede utilizarse para CPBM ( continuo o discreto, función de transferencia, espacio de estados o convolución, lineal o no lineal incluso modelos basados en reglas, modelos basados en redes neuronales). La tecnología CPBM está abierta a futuras extensiones y a otros campos de investigación. Actualmente los modelos más utilizados son:

Modelo de respuesta impulsional (FIR) Es el utilizado en el algoritmo IDCOM de Setpoint, también denominado modelo de convolución. La respuesta del sistema en el instante actual es el resultado de la secuencia de entradas pasadas. El estado actual del sistema sólo se debe a las variaciones que haya habido en el pasado en las entradas (variables independientes).

y (t) = h u t j h u t j H q u tjj

jj

n

=

∞

=

−∑ ∑− ≈ − =1 1

1( ) ( ) ( ) ( )

donde los hj son los coeficientes de la respuesta impulsional y donde:

H(q-1) = h1 q-1 + h2 q-2 +... + hn q-n Claramente debe truncarse después de un punto n, a partir del cual el sistema se considera estable. Utilizando este modelo la predicción puede escribirse como:

y(t+k/t) = h u t k j t H q u t k tjj

n

=

−∑ + − = +1

1( / ) ( ) ( / )

Hay que hacer notar que : u(t+k/t) = u(t+k) para k<0 La ventaja del modelo FIR (Finite Impulse Response) es que no necesita ninguna información a priori y puede describir cualquier dinámica por inusual que sea. Puesto que no hay términos recursivos, la predicción es simple y menos sensible a errores del modelo. (Es sabido que la recursión introduce grandes errores incluso cuando los parámetros del modelo recursivo son ligeramente incorrectos). La principal desventaja es que este modelo no puede aplicarse directamente a sistemas inestables y que contiene un gran número de parámetros (n es generalmente del orden de 30 a 50).

24

PROCESO

u(t)

1

y(t)

h1

h2

h3

h4 h5

MODELO RESPUESTA IMPULSIONAL

Modelo Respuesta Impulsional

Modelo de respuesta a salto Es el modelo utilizado por el algoritmo DMC de Dynamic Matrix Control Corporation, siendo este algoritmo el más utilizado en nuestra compañía. Si tras un salto en escalón de la variable manipulada, el sistema alcanza un valor estacionario al cabo de n periodos de muestreo, tendremos:

y(t) = yo + g u t k j tjj

n

=∑ + −

1

∆ ( / ) = yo + G(q-1)(1-q-1)u(t)

donde gj son los coeficientes de la respuesta a salto y ∆u(t) = u(t) - u(t-1). Además yo representa el afecto acumulativo de los incrementos de control n periodos de muestreo antes suponiéndose que la salida está asentada en un valor constante. La predicción de la respuesta del proceso se calcula como:

y(t+k/t) = g u t k j tjj

n

=∑ + −

1

∆ ( / ) = G(q-1)(1-q-1)u(t+k/t)

Los coeficientes de la respuesta impulsional y la respuesta a salto están relacionados:

gj = hii

j

=∑

1

( j = 1... n ; go = 0 ) y hj = gj - gj-1 ( j = 1... n ; ho = 0 )

El modelo de respuesta a salto tiene las mismas ventajas y desventajas que el modelo de respuesta impulsional.

25

PROCESO

u(t)

1

y(t)

g1g2

g3

gn

MODELO RESPUESTA A SALTO

u(t) y(t)

Modelo Respuesta Impulsional

Modelo Recursivo de Función de Transferencia Es el modelo empleado por el algoritmo RMPCT de Honeywell. El proceso se describe mediante una ecuación en diferencias: y(t) + a1 y (t-1) + a2 y (t-2) + ... + ana y (t- na) = b1 u (t-1) + b2 u (t-2) + ... + bnb u (t-nb) o, de manera abreviada A(q-1) y (t) = B(q-1) u (t). En este tipo de modelo, la respuesta actual del proceso no sólo depende de los cambios pasados en las entradas, sino también de las respuestas anteriores. La predicción de la respuesta del proceso se calcula como:

y (t+k/t) = B qA q

u t k t( )( )

( / )−

−+

1

1

La ventaja de este modelo es que puede utilizarse para procesos que no sean estables. El número de parámetros que definen el modelo es mucho menor que en el caso de los modelos FIR o respuesta a salto. La desventaja es que hay que especificar el orden de na y nb. Además, como ya se ha señalado anteriormente, su naturaleza recursiva hace mucho más difícil la predicción y tiene una gran sensibilidad a los errores.

Los modelos de interés para el Control Multivariable relacionan varias variables independientes con varias variables dependientes, esto hace que el modelo sea más

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complejo que el caso monovariable de una variable independiente con una variable dependiente.

Definición del Modelo Matricial

El control multivariable relaciona matemáticamente el efecto en cada variable controlada causado por un cambio en cada variable manipulada. A cada pareja variable independiente/variable dependiente le vamos a denominar subproceso. El modelo del proceso completo que utiliza el controlador, está compuesto por una matriz de modelos de los subprocesos. Una matriz no es sino una manera de ordenar elementos en filas y columnas. Cada elemento de la matriz que utiliza el controlador es un modelo de un subproceso que describe como se manifiesta en el tiempo el efecto de una variable independiente (MV o DV) sobre una CV.

En realidad el modelo del que estamos hablando no es más que una secuencia de números, que indican los incrementos en el valor de la variable controlada, debidos a un incremento de una unidad (en las unidades de ingeniería correspondientes) en una variable manipulada, cuando todas las demás variables independientes permanecen constantes.

Mediante el uso de un ejemplo sencillo vamos a ilustrar este concepto. El sistema lo constituye un horno de proceso, la variable controlada es la temperatura de salida del horno y la variable que se manipula para conseguirlo es el caudal de combustible.

Si mantenemos el caudal de carga al horno y la temperatura de entrada al horno constantes y aumentamos el caudal de combustible en una unidad ( 1 m3/h de fuel-oil), podríamos obtener una respuesta como la que se muestra en la figura.

27

1

46 7 7

t0 1 2 3 4 5 6

1

CV

MV

300302304306308

Respuesta cuando aumenta el caudal de combustible.

El modelo del subproceso caudal de combustible/temperatura de salida de horno podría estar representado por la secuencia (1, 4 , 6 , 7 , 7 ). Esto es lo que se llama matemáticamente un vector. El primer elemento del vector ( el uno) representa el incremento en la temperatura al cabo de un periodo de muestreo, que vamos a suponer de un minuto. El segundo elemento del vector (el cuatro) representa el incremento de la temperatura al cabo de dos minutos.

Esto significa que cuando aumentamos el caudal de combustible en una unidad, la temperatura de salida del horno aumenta un grado al cabo de un minuto, al cabo de dos minutos aumenta cuatro grados, cuando han pasado tres minutos la temperatura ha aumentado seis grados, a los cuatro minutos siete grados y en este valor queda estabilizada. La información que nos da cada uno de estos modelos para cada subproceso es:

• La ganancia en estado estacionario (∆CV/∆MV) , es decir, en qué valor se va a estabilizar el incremento. En el caso que estamos analizando, la ganancia del subproceso es 7, que significa que al aumentar una unidad el caudal de combustible, la temperatura de salida va a aumentar 7 grados.

• El tiempo de estabilización o tiempo que tarda en llegar al estado estacionario. En el caso estudiado es de cinco minutos. En realidad no hemos especificado si el período de muestreo es de minutos, segundos u horas. De la gráfica que mostramos en la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. sólo podemos deducir que el tiempo de estabilización son cinco períodos de muestreo, pero vamos a suponer que dicho periodo de muestreo es de un minuto (cada minuto tenemos una nueva lectura del valor de las variables).

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• La dinámica del subproceso, es decir, cómo evoluciona la variable controlada hasta que llega al estado estacionario. Si el subproceso tiene tiempo muerto (tiempo muerto es el tiempo que transcurre desde que se ha movido la variable manipulada, hasta que empieza a moverse la controlada), este aparecerá como ceros iniciales en la secuencia. Por ejemplo un subproceso que se represente por la secuencia (0,0,0,0,1,3,5,6,7,8,8,8) tiene un tiempo muerto de cuatro minutos, una ganancia de ocho y un tiempo de estabilización de diez minutos.

12345678

t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11

1

Tiempo muerto

Tiempo de estabilización

GANANCIA

CV

MV

Información de los modelos.

En los controladores reales, estos vectores tienen del orden de 100 elementos, y cuando se representan gráficamente adquieren la apariencia de curvas continuas como la siguiente, donde el cambio en la MV es siempre de una unidad:

Respuesta escalónde CV1 vs MV1

00.10.2

-0.1

-0.2Ganancia: 0.17

90 min

Respuesta escalón.

Ahora ya sabemos que cada una de dichas curvas representa el modelo matemático del subproceso que liga una MV/DV con una CV. El proceso completo estará representado

29

por una matriz de subprocesos, en donde las filas corresponden a las variables independientes (MV’s y DV’s) y las columnas corresponden a las variables dependientes (CV’s).

Así, la matriz dinámica de un sistema con tres variables independientes (2 MV’s y una DV) y dos variables dependientes podría tener el siguiente aspecto:

CV1 CV2

MV1

MV2

DV1

ganancia = 1

ganancia =0.3

ganancia = -2

ganancia = -1.3

ganancia = 0.1

90 min

Matriz dinámica de un sistema con 3 INDS y 2 variables dependientes.

En este proceso imaginario, la variable MV1 sólo tiene efecto sobre la variable controlada CV1 y no afecta a la CV2. La variable MV2 tiene efectos en CV1 y CV2, y en caso de CV1 tiene lo que se denomina respuesta inversa, esto es, al aumentar MV2 en un primer momento CV1 disminuye, para luego aumentar, siendo el efecto total un aumento en CV1 de 0.3 unidades al aumentar MV2 en una unidad. La variable de perturbación DV1 afecta también a las dos variables controladas. En el caso de la variable CV2, vemos que el efecto de DV1 es sólo dinámico porque cuando se llega al estado estacionario el valor de CV2 sólo ha aumentado en 0.1 unidades.

Uso del Modelo Matricial

Una vez que sabemos de qué tipo es el modelo que utiliza el controlador vamos a ver cómo y para qué utiliza el controlador multivariable estos modelos.

A partir del modelo el controlador es capaz de predecir el comportamiento futuro de las variables controladas. Para poder realizar esta predicción suponemos que el proceso es lineal, y que los efectos de las distintas variables independientes se pueden superponer. Esta suposición se fundamenta en el principio de linealidad y superposición que se explica a continuación.

30

Principio de Linealidad y Superposición ¿Qué quiere decir que el proceso es lineal? Si volvemos al ejemplo del caudal de combustible y la temperatura de salida del horno tendríamos 1:

2

4

6

8

1

46 7 7

t0

La respuesta a un cambio de 1 unidad en la MV

CV1 - CV0 = 1 * (variación de MV en t0 = 1)







1 2 3 4 5 6

Respuesta del horno a un cambio de una unidad en la MV.

Si en vez de realizar un incremento de una unidad en el caudal de combustible, hacemos un incremento de tres unidades, si el proceso es lineal obtendremos:

1Se aplica la convención CVN = CV en el periodo de muestreo número “N”.

31

3

1218 21 21

t0

La respuesta a un cambio de 3 unidades en la MV

1 2 3 4 5 6

MV 3

CV

CV1 - CV0 = 1 * (variación de MV en t0 = 3) = 3






Respuesta a un cambio de tres unidades en la MV.

Si en vez de aumentar la variable manipulada, lo que hacemos es disminuir su valor en dos unidades, o lo que es lo mismo, practicar un incremento negativo de dos unidades, la respuesta del proceso lineal sería:

32

-2

-8 -12

-14 -14

t0

La respuesta a un cambio de -2 unidades en la MV

1 2 3 4 5 6

MV -2

CV

CV1 - CV0 = 1 * (variación de MV en t0 = -2) = -2






Respuesta a un cambio de una dos unidades negativas en la MV.

Si el proceso es lineal, también podemos aplicar el principio de superposición, que significa que para saber el efecto de los distintos incrementos aplicados en el tiempo a la variable manipulada sólo tenemos que sumar los efectos de cada incremento por separado.

33

14

6 7 7

0

5

10

-5

-10

-2

-8-12

-14 -14

4

-1-5 -7 -7

CV

10

-2MV

CV7 - CV0 = 7 *(1) + 7*(0) + 7*(-2) = -7

CV6 - CV0 = 7 *(1) + 7*(0) + 7*(-2) = -7

CV5- CV0 = 7 *(1) + 7*(0) + 6*(-2) = -5

CV4 - CV0 = 7 *(1) + 6*(0) + 4*(-2) = -1

CV3 - CV0 = 6 *(1) + 4*(0) + 1*(-2) = 4

CV2 - CV0 = 4 *(1) + 1*(0) = 4

CV1 - CV0 = 1 *(1) = 1

Linealidad y superposición.

El conjunto de ecuaciones anteriores se puede sustituir por una forma más genérica, en la que IN representa el valor de la entrada en el instante N. De esta forma se obtienen las ecuaciones siguientes:

CV1-CV0 = 1*(I1-I0) = 1

CV2-CV0 = 4*(I1-I0) + 1*(I2-I1) = 4

CV3-CV0 = 6*(I1-I0) + 4*(I2-I1) + 1*(I3-I2 ) = 4

CV4-CV0 = 7*(I1-I0) + 6*(I2-I1) + 4*(I3-I2 ) = -1

CV5-CV0 = 7*(I1-I0) + 7*(I2-I1) + 6*(I3-I2 ) = -5

CV6-CV0 = 7*(I1-I0) + 7*(I2-I1) + 7*(I3-I2 ) = -7

CV7-CV0 = 7*(I1-I0) + 7*(I2-I1) + 7*(I3-I2 ) = -7

34

Escribiendo estas ecuaciones en forma de producto matricial se obtiene :

δδδδδδδ

CVCVCVCVCVCVCV

III

1

2

3

4

5

6

7

0

1

2

1 0 04 1 06 4 17 6 47 7 67 7 77 7 7

1441577

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

×

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥= −

−−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

∆∆∆

Esta relación escrita en notación matricial se expresa de la siguiente forma :

A * ∆i = δcv (predicción)

siendo :

A Matriz dinámica

∆i Vector columna de los valores de entrada o variable manipulada (MV)

δcv Vector columna Predicción de los valores de salida o variable controlada (CV)

En el ejemplo anterior se ha hecho una predicción a lo largo de 7 intervalos de tiempo para un proceso de una entrada / una salida (SISO), que se estabiliza en cinco intervalos de tiempo mostrando el efecto de 3 movimientos en la variable manipulada. Los movimientos son : “+1” (t1), “0” (t2), “-2” (t3). Sustituyendo �IN por los valores usados anteriormente resulta :

δδδδδδδ

CVCVCVCVCVCVCV

1

2

3

4

5

6

7

1 0 04 1 06 4 17 6 47 7 67 7 77 7 7

102

1441577

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

×−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥= −

−−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

Extensión del Modelo Matricial a un Proceso Multivariable

La estructura del Modelo Matricial anterior se puede extender fácilmente a procesos con múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO). Supongamos que tenemos un proceso como el de la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia., en el que hay tres entradas (2 MV’s, 1DV) y dos salidas (2 CV’s). Supongamos también que el proceso se estabiliza en cinco intervalos de tiempo y consideremos el efecto de dos movimientos en

35

las variable manipuladas y variable de perturbación. El modelo que representa este proceso tiene la siguiente forma matricial :

A * ∆mv = δcv

a b ca a b b c ca a b b c ca a b b c ca a b b c ca a b b c cd e fd d e e f fd d e e f fd d e e f fd d e e f fd d e e f f

1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 2 3 2 3 2

4 3 4 3 4 3

5 4 5 4 5 4

5 5 5 5 5 5

1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 2 3 2 3 2

4 3 4 3 4 3

5 4 5 4 5 4

5 5 5 5 5 5

0 0 0

0 0 0

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

×

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

∆∆∆∆∆∆

MVMVMVMVDVDV

CVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCV

112211

111111222222

0

1

0

1

0

1

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

δδδδδδδδδδδδ ⎥

donde :

A Matriz dinámica de coeficientes

∆mv Variación de las variables de entrada

δcv Predicción de la variación de las variables de salida

aN coeficientes que relacionan MV1 con CV1

bN coeficientes que relacionan MV2 con CV1

cN coeficientes que relacionan DV1 con CV1

dN coeficientes que relacionan MV1 con CV2

eN coeficientes que relacionan MV2 con CV2

fN coeficientes que relacionan DV1 con CV2

Este tipo de modelo se denomina habitualmete Modelo de Convolución Discreta.

Formas de Utilización del Modelo Matricial

Así pues, si disponemos de un modelo del proceso, es posible conocer la evolución de las variables controladas, si sabemos cómo se han movido las variables manipuladas. Esto permite predecir el comportamiento de las variables controladas basándonos en la historia pasada de las variables manipuladas. Si en el momento actual (t0) conocemos las variaciones pasadas de las variables manipuladas, (el pasado de las MV’s), podemos predecir, según nuestro modelo, el comportamiento futuro de las variables controladas,

36

suponiendo que las variables manipuladas se mantenienen en el mismo valor actual (que los incrementos futuros son cero). Esto es lo que se denomina respuesta libre del sistema, es decir, hacia donde evolucionará el sistema (las variables controladas) a partir del instante actual, si no se toma ninguna acción de control.

MV

Pasado Futuro

CV

Momento actual

valor predicho de CV

Evolución de la variable controlada.

Por otra parte, la existencia de un modelo que relaciona las variaciones en las variables manipuladas con los efectos en las variables controladas, nos permite conocer cuál será el resultado de una estrategia de control determinada. Si en el momento actual (t0) postulamos unas acciones de control futuras (movimientos de las variables manipuladas en el futuro), podemos saber qué efecto van a tener dichas acciones de control. Esto es lo que se denomina respuesta forzada del sistema, puesto que es debida a las acciones de control que se tomen a partir del instante actual.

Futuro

CV

MV

t = 0

Respuesta Forzada del Sistema.

La predicción de la respuesta del sistema, es decir, de la evolución de la variable controlada a partir del instante actual (t0), tiene dos componentes: una que depende de los movimientos de las variables manipuladas en el pasado, y otra que depende de los movimientos de las variables manipuladas en el futuro. La predicción de respuesta del sistema es la suma de estas dos componentes.

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Muy esquemáticamente podemos decir que en cada ejecución, el controlador:

• Basándose en la historia de las variables manipuladas, (cómo se han movido en las ejecuciones anteriores) y en el modelo dinámico que posée, predice cuál va a ser la evolución de las variables controladas si no se toman acciones de control. Dicho de otro modo, qué va a pasar si no hacemos nada (si no se toca ninguna variable manipulada).

• Si existe un punto de consigna, o un valor deseado de las variables controladas, calcula las acciones de control (movimientos en las variables manipuladas) necesarias para acercarse lo más posible a dichos valores deseados. Dicho de otro modo, qué tenemos que mover para llegar a donde queremos ir.

Tenemos tres elementos con los que trabajar: las variables controladas, las variables manipuladas y el modelo que describe matemáticamente el efecto de las variables manipuladas sobre las variables controladas. Hemos visto dos “operaciones” posibles:

HISTORIAVARIABLESMANIPULADAS

MODELO

PREDICCIONVARIABLES CONTROLADAS

PREDICCION

Predicción.

OBJETIVOSVARIABLESCONTROLADAS

MODELO

MOVIMIENTOSVARIABLES MANIPULADAS

CONTROL

Control.

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No obstante, existen una serie de procesos donde la implantación del control multivariable está especialmente recomendada y donde la diferencia de resultados con el control convencional es notoria:

• Procesos interactivos con objetivos de control y restricciones que entran en conflicto, como pueden ser la mayoría de columnas binarias en que se quieren controlar estrechamente las calidades de los productos de cabeza y fondo.

• Procesos que tengan un comportamiento dinámico poco usual; retardos, respuesta inversa, etc.

• Procesos cuyas restricciones son distintas en las distintas épocas del año o donde los precios de carga y productos varían regularmente.

• Procesos en donde trabajar de manera consistente cerca de sus límites genere altos beneficios. (En general, unidades de alta capacidad o que generen alto valor añadido)

BIBLIOGRAFÍA

Los artículos “fundacionales” del control predictivo en el entorno industrial son:

Richalet, J.A., A. Rault, J.D. Testud and J. Papon, “Model predictive heuristic control”, Automatica, Vol. 14, p. 413, 1978

Cutler, C.R. and B.L. Ramaker, “Dynamic matrix control – a computer control algorithm”, AIChe National Meeting, Houston, 1979

Cutler, C., Morshedi, A. and Haydel, J. “An industrial perspective on advanced control”, AIChe Annual Meeting, Washington, D.C , 1983

Se han publicado distintas revisiones del estado del arte en control predictivo a lo largo del tiempo:

García, C.E., Prett, D. M. And Morari “Model predictive control: Theory and practice – a survey”, Automatica, Vol. 25, p. 335-348, 1989

Froisy, J.B. “Model predictive control: past, present and future” ISA trans 33: p. 235-243, 1994

Lee, J. “Recent Advances in Model Predictive Control and Other Related Areas” Chemical Process Control, CPC, 1995

Quizás la revisión más completa, en la que se comparan y analizan los distintos algoritmos existentes en el mercado (Id-com, RMPCT, Treiber, DMC) es:

Qin, S.J. and T.A. Badgwell “A survey of industrial model predictive control technology” Control Engineering Practice, April 2002

En el entorno académico, es muy apreciado el GPC (Generalized Predictive Control)

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Clarke, D.W., Mohtadi, C. And Tuffs, P.S. “Generalized Predictive Control – Part

I. The basic algorithm”, Automatica, Vol. 23, p.137-148, 1987 Es también recomendable el libro de los profesores Eduardo Camacho y Calor Bordons de la Escuela de Ingenieros de la Universidad de Sevilla:

E.F. Camacho and C. Bordons “Model Predictive Control in the Process Industry”, Springer, 1995

En cuanto a la identificación dinámica, es imprescindible el libro:

Ljung, L. “System Identification: Theory for the user” 2nd edition, Prentice Hall, 1999

mÓdulo procesos de fabricaciÓn y sistemas...

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