Primer curso BGU

Comentemos: ¿qué entendemos por álgebra?

Módulo pedagógico 1 de Matemática

El origen de los números

Los números que utilizamos a diario son 0 (cero), 1, 2, 3, 4, 5, etc. Se los conoce como números arábigos porque los árabes fueron quienes los hicieron popu-lares, aunque su uso se remonta a la época de los co-merciantes fenicios. Ellos los utilizaban para contar y realizar sus transacciones financieras.

Antes de la aparición de estos números, se usaban los números romanos tales como I, II, III, IV, V, etc. Estos fueron utilizados por los países europeos has-ta el año 500 d. C.

Los números arábigos llevan sus nombres: uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve y cero por el número de ángulos que formaban los primeros números escritos, como se muestra en la imagen.

1

Bloque curricular: Álgebra y funciones

Números reales y expresiones algebraicas

8Producción de un párrafo argumentativo

6 Geometría

7 Educación para la ciudadanía

10 9

Propiedades y operaciones con números reales

1

Productos notables y factorización 2

Potenciación y radicación 4

Descomposición en Factores 3

Simplificación de expresiones algebraicas

5

Interculturalidad Rigurosidad académica

Números reales

abstractos

Ma

tem

áti

ca

Ma

temá

tica

Estud

ios Socia

les Leng

ua y Litera

tura

Valores

1 ángulo 2 ángulos 3 ángulos 4 ángulos 5 ángulos

0 ángulo

Cero ángulos

9 ángulos8 ángulos7 ángulos6 ángulos

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Propiedades y operaciones con números reales

¿Podemos contar todos los números reales?

Números reales (R)

Irracionales (I)

Racionales (Q)

Enteros (Z)

Naturales (Z)

El conjunto de los números reales (R) está compuesto por la unión del conjun-to de números racionales (Q) con el conjunto de los números irracionales (I). Es un conjunto infinito.

Representar los números por letras se llama álgebra. Estas letras pueden tomar cualquier valor, y sus propiedades son las mismas de los números racionales.

Propiedades de la suma

Propiedades de la multiplicación

Escribo el nombre de la propiedad a la que hacen referencia las siguientes expresiones:

1. 5b + (–5b) = 0 ____________________

2. 12a 5c( )= 5c

12a⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ____________________

3. ( ) ( )⋅ = ⋅ ⋅d b f d b f6 3 6 6 3 62 2 ____________________

4. –43m + 0 = –43m ____________________

5. n(–3b + 8c) = –3nb + 8nc ____________________

6. m b m c m b c2 5 2 3 2 5 32 2 2 2( )+ = + ____________________

7. –4d(7b + 2c2) = –28db – 8dc2 ____________________

8. (4a2b2 –7c2) + 10mn = (4a2b2 + 10mn) – 7c2 ____________________

9. z x x z4 43 25 25 3( )= ____________________

a = a idéntico

Si a = b entonces b = a recíproco

Si a = b y b = c entonces a = c transitiva

Si a = b y c = d entonces a + c = b + d Ley uniforme

a + b = b + a Ley conmutativa

(a + b) + c = a + (b + c) Ley asociativa

a + 0 = 0 + a = a Ley de la identidad

a + (–a) = (–a) + a = 0 Inverso aditivo

Si a = b y c = d entonces a.c = b.d Ley uniforme

a.b = b.a Ley conmutativa

(ab)c = a(bc) Ley asociativa

a.1 = 1.a = a Ley de la identidad

a = a = 1 Inverso

a(b + c) = ab + ac Ley distributiva

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Mario hereda un terreno esquinero de 441 m2. Él desea construir un tecnicentro de vehículos. Para esto, destina 225 m2 para el área de taller y 36 m2 para oficinas y recepción, y lo que queda, para estacionamientos de entrega y recepción. Para ello, traza las divisiones respectivas en un bosquejo, como se indica en la Figura 1.

a. ¿Cuáles son las medidas de cada lado en cada división?b. ¿Cuánto es el área de cada estacionamiento?c. ¿Qué operación matemática se aplica?

Solución

225m2 + 2(90)m2 + 36m2 = 441m2

(15m)2 + 2(15m x 6m) + (6m)2 = 441m2

Para calcular las medidas de cada lado, en cada división, se colocan las me-didas predestinadas en cada sector y el restante se divide en partes iguales, destinadas para los parqueaderos, tal como se indica en la Figura 2.

1. Cuadrado de la suma de dos cantidades

Calcular el área del cuadrado.

A = (x + y)(x + y)

A = x2 + xy + xy + y2 = x2 + 2xy + y2

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

Ejemplo

(z + u)2 = (z)2 + 2(z)(u) + (u)2 = z2 + 2zu + u2

2. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

Calcular el área del cuadrado.

A = (z – 2)(z – 2) = z2 – 2z – 2z + 4

A = z2 – 4z + 4

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del primer término menos el do-ble producto del primer término por el segundo, más el segundo término elevado al cuadrado.

Ejemplo

(y – 1)2 = y2 – 2(y)(1) + (1)2 = y2 – 2y + 1

¿En qué se pueden utlizar los productos notables?

Tras conocer las operaciones de adición y multiplicación en álgebra, al igual que sus propiedades, se verá el caso de los productos notables. Estos son casos especiales de multiplicar en álgebra, y se hace como en el siguiente ejemplo.

Parqueaderos de entrega

Taller

90 m2

15 m

15 m

36 m2

6 m

6 m

6 m

6 m

15 m

15 m

90 m2225 m2

Parq

uead

eros

de

rece

pció

n

Oficinas y recepción

x + y

z – 2

Geometría

Figura 1

Figura 2

Productos notables

Para multiplicar monomios o polinomios se debe aplicar la propiedad distributiva, multiplicando los coeficientes entre sí, y las partes literales, aplicando las propiedades de la potenciación de bases iguales.

Recordemos

3

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

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3. Producto de la suma por la diferencia de dos expresiones algebraicas

Calculo el área de la región sombreada.

A = (A3 + A4) + (A1)

A = a(a – b) + b(a – b) A = (a – b)(a + b)

A = a2 – ab + ab – b2 A = a2 – ab + ab – b2

A = a2 – b2

El producto de la suma de dos expresiones algebraicas por su diferencia es igual al cuadrado del primer térmi-no, menos el cuadrado del segundo término.

Ejemplo

(x + y)(x – y) = x2 – y2

(2b + 2c)(2b – 2c) = 4b2 – 4c2

4. Cuadrado de un trinomio

Calculo el área total del siguiente cuadrado.

A = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

El cuadrado de un trinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos, más la suma del doble producto de cada término por cada uno de los términos consecutivos.

Ejemplo

(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz

(3p – 2q + r)2 = 9p2 + 4q2 + r2 – 12pq + 6pr – 4qr

5. Cubo de un binomio

Calculo el volumen de un cubo.

V = L × L × L = L3

V = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)3

V = {(a + b)(a + b)} (a + b)

V = (a2 + 2ab + b2) (a + b)

V = a2(a + b) + 2ab(a + b) + b2(a + b)

V = a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3

V = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo de la primera cantidad, más el triple producto del cua-drado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del se-gundo término, más el cubo del segundo término.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Cuando el segundo término se encuentra precedido de un signo negativo, lo único que cambiará en el resulta-do son los signos, que irán de forma alternada.

Ejemplo

(m + n)3 = m3 + 3m2n + 3mn2 + n3

A1

A3

A2 b

bb

a-b

a+b

a–ba–b

a

aa

A4

A4

A4

a2

b2

c2

ab

ab

ac

ac

bc

bc

a

a

b

c

b c

a +

b

a + b

a + b

a

b

b

bb

a

a

a

a

a b

b

(a + b)(a – b) = a2 – b2

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

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6. Propiedad distributiva en el producto de dos binomios

Calculo el área del siguiente cuadrilátero.

A = (x + a)(x + b)

A = x2 + ax + bx + ab

A = x2 + x(a + b) + ab

El producto de dos binomios se obtiene multiplicando cada término del primer binomio por cada término del segundo binomio y luego simplificando los términos congruentes.

(x + a)(x + b) = x2 + x(a + b) + ab

Ejemplo

(x + 3)(x + 2) = x2 + 2x + 3x + 6

(x + 3)(x + 2) = x2 + x(3 + 2) + (3.2) = x2 + 5x + 6

1 Resuelvo los siguientes ejercicios aplicando las re-glas de productos notables.

a. (d + e)2

b. (6p – 2r)2

c. 2x − 2y( )2

d. 32f + 2d⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

2

e. 32f − 2d⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

2

f. 13u − 1

2t⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

2

g. (3a + 2b + c)2

h. (x – 2y2 + 3z3)2

i. 5t + 125u + 5v( )2j. (m + n)(m – n)

k. (5x + y)(5x – y)

l. (y – 2z)(y + 3z)

m. (2y + 4)(2y + 3)

n. (2f + 5)(2f – 7)

o. (4 – 4p + p2) (4 + 4p + p2)

p. (xy + z2)3

q. (um – vn)3

r. (2a2 + 2b2)3

2 Completo los términos que faltan en el desarrollo de los siguientes binomios.

a. 3y + 5z( )2 = _______ + 2 15yz + _______

b. (4pq + 3rs)2 = 16p2q2 + _______ 9r2s2

c. 23bn + 9

4cm⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

2

= 49b2n + _______ + _______

d. (x3 – y2)2 = _______ – 2x3y2 + _______

e. 3 a – 2 2( )2 = _______ – 12 2a + _______

f. (3z2 – 2v)2 = _______ – _______ + 4v2

3 En una escuela de la provincia de Cotopaxi se tie-ne un área de 324 m2, la cual será distribuida de la siguiente forma: 100 m2 para construir un aula para niños y niñas de educación inicial, 64 m2 para áreas infantiles y el resto para áreas verdes, como se indica en la figura.

a. ¿Cuáles son las medidas de cada lado del terreno?

b. ¿Cuánto es el área de cada espacio verde?

c. Demuestro aplicando productos notables.

Practiquemos

¿Cuál es la diferencia entre un producto de números reales y un producto notable?

x2x

x a

b bx ab

ax

Áreas verdes

Aula

Área

s ver

des

Áreas infantiles

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¿Qué entendemos por factor?

Ejemplo 3 × 2 × 4 = 24

En este caso, los números 3, 2 y 4 son factores de 24.

Esto quiere decir que factorizar una expresión algebraica consiste en trans-formarla en una multiplicación de varios términos. Entre los principales casos de factorización están los siguientes.

Descomposición en factores

Casos de factoreo Polinomio Descomposición en factores

Factor común nx + ny + nz n(x + y + z)

Factor común por agrupación de términos

ap + aq + bp + bq (ap + aq) + (bp + bq)

a(p + q) + b(p + q)

(p + q)(a + b)

Diferencia de cuadrados a2 – b2 (a + b)(a – b)

Suma y diferencia de cubos a3 + b3

a3 – b3

(a + b)(a2 – ab + b2)

(a – b)(a2 + ab + b2)

Expresiones de la forma xn ± yn xn ± yn (x + y)(xn–1y0 – xn–2y1 + … x0yn–1)

(x - y)(xn–1y0 + xn–2y1 + … x0yn–1)

Trinomio cuadrado a2 + 2ab + b2

a2 – 2ab + b2

(a + b)2

(a – b)2

Trinomio cuadrado por adición y sustracción

a4 + a2b2 + b4 a4 + a2b2 + b4 + a2b2 – a2b2

(a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2

(a2 + b2)2 – a2b2

[(a2 + b2) + ab][(a2 + b2) – ab]

(a2 + b2 + ab)(a2 + b2 – ab)

Trinomios de la forma x2n + bxn + c

x2n + bxn + c (xn + p)(xn + q)

Donde: p + q = b y pq = c

Trinomios de la forma

ax2n + bxn + c

ax2n + bxn + c (axn + p)(xn + q)

Donde: p + aq = b y pq = c

Método de evaluación axn + bxn–1 + … cx + d

2x3 – x2 – 4x + 3

2 – 1 – 4 + 3 +1

+2 + 1 – 3

2 + 1 – 3 0

Los coeficientes 2; 1 y –3

forman el polinomio cociente: 2x2 + x – 3

Quedando: (x – 1) (2x2 + x – 3)

Factorando: (2x2 + x – 3) = (2x + 3)(x – 1)

Así, la factorización máxima de: 2x3 – x2 – 4x + 3

es: (x – 1)(2x + 3)(x – 1) = (x – 1)2(2x + 3)

Cuando se realiza una multiplicación, los términos que forman el pro-ducto se llaman factores.

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7

125

1960

136

Problemas propuestos

1 Descomponemos en factores.

a. x3 + x2y

b. b2 – 2b

c. 12x4y3z2 – 18x3y4z3 + 60x2yz3

d. rst + rs2t

e. 5u2v – 10uv2 + u2v2

f. 4x2 – 2xy + 2bx – by

g. ay – by + az – bz

h. 3uv – 3uw + 3u – v + w – 1

i. 8b – 2c – 2cd4 + 8bd4

2 Factorizar. Trinomios cuadrados.

a. 16y2 + 8yz + z2

b. a2 – 10ab + 25b2

c. x2 – 2x + 1

d. (c + d)2 + 8(c + d) + 4

e. 9x2y4 + z6 + xy2z3

3 Factorizar. Diferencia de cuadrados.

a. 900 – 16z2

b. 144x4 – 81y2

c. 1 – cos2x

d. n4 – 49

e. (2x)2 – 4

4 Suma y diferencia de cubos.

a. s3 – t3

b. 27y6 – 8z3

c. 1 + 125b6c3

d. 8(x + y)3 – 27(x + 2y)3

e. z3n – y3n

5 Suma o diferencia de potencias impares iguales.

a. a5 + b5

b. x7 – y7

c. 32m5 + 243n5

d. t5m – r5m

e. 1 + 32w5n

6 Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.

a. b4 + b2 +1

b. y4 + 4

c. 36m4 + 59m2n2 + 81n4

d. z8 – z4p2 + p4

e. r2 – s2 – 2r – t2 + 1 – 2st

7 Trinomios de la forma ax2 + bx + c y x2 + bx + c.

a. a2 + 9a + 20

b. x2 +15x + 54

c. f 2 – 9f – 972

d. y2n – 13yn + 42

e. 12x2 – 7x – 12

f. 9m2 + 6m – 8

8 Factorización por el método de evaluación.

a. y3 + y2 – y + 2

b. m3 – 8m2 + 16m – 5

c. y3 – 3y2 + 4

d. 4x4 + 9x3 + 3x2 – 5x – 3

e. 3z4 + z3 + 9z2 – 3z

9 Adriana e Isabella son dos hermanas, que tienen un terreno cuadrado de área 121 m2 y otro de 81 m2, respectivamente. Ellas desean saber si al restar el área de los dos terrenos pueden comprobar grá-fica y analíticamente la diferencia de cuadrados. Les ayudamos con su comprobación.

10 Cristina mide el largo y el ancho de su habitación rectangular y calcula su área. El valor que obtiene es 6x2 + xy – 2y 2, donde x representa los pasos que da mientras y representa las cuartas. Determi-na cuántos pasos y cuántas cuartas mide el largo de su habitación.

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121 m281 m2

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8

¿Qué es una expresión algebraica?

Potenciación y radicación de expresiones algebraicas

Potenciación

Para resolver ejercicios de potenciación con expresiones algebraicas, se debe tomar en cuenta algunas reglas y propiedades que simplifican el cálculo.

Leyes de los exponentes

Si x, y son números reales y m, n son números naturales, entonces:

Radicación

Para solucionar ejercicios y problemas de radicación con expresiones alge-braicas se debe tomar en cuenta algunas reglas y propiedades que simpli-fican los procesos.

Propiedades de las raíces

Potencia de exponente cero x0 = 1

Potencia de exponente entero negativo xx1n

n=−

Multiplicación de potencias de igual base xm∙xn = xm+n

División de potencias de igual basexx

xm

nm n= −

con x ≠ 0 y m>n

Potencia de una potencia (xm)n = amn

Multiplicación de potencias de igual exponente xn ∙ yn = (xy)n

División de potencias de igual exponente con y ≠ 0

Cancelación: igual índice, igual potencia x xnn( ) =

Multiplicación de raíces con igual índice xy x yn n n=

División de raíces con igual índicexy

xy

n

n

n=

Potencia de una raíz x xnm mn( ) =

Factor raíz como factor subradical x y x yn nn=

Raíz de raíz x xm nmn   =

Raíz a potencia x xmnmn=

Raíz de índice entero negativo xx1n n=−

Cambio de índice x xmn mpnp=

xn

yn= x

y⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

nResuelvo utilizando las leyes de los exponentes.

1. ( )( ) =x y x y x y z3 z 6 182 3 3 2 5 3 3

2.( )( )

= = =−x

x

xx

xx

4

2

162

168

28 2

4 3

16

3 12

16 124

a. Hallo la raíz cuadrada de 9x2y4.

= = ±x y x y xy9 9 32 422

42 2

b. Hallo el valor de ab a b2 353 .

=

=

ab a b a b a b

a b

 .  2 353 5 5 2 353

7 815

Para obtener la raíz cuadrada de una expresión algebraica multiplicativa se extrae la raíz del coeficiente y se divide el exponente de cada letra entre el índice de la raíz. Ver Ejemplos Radicación literal a).

Para las potencias de bases negativas

El resultado de toda cantidad negativa elevada a una potencia par es positivo.

Ejemplo: (–2)4 = 16

El resultado de toda potencia impar de una cantidad negativa es negativo.

Ejemplo: (–2)5 = –32

Las raíces impares de una cantidad tienen el mismo signo de la cantidad subradical.

Las raíces pares de una cantidad positiva tienen doble signo.

Recordemos

Recordemos

Ejemplos

Ejemplos

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9

Al simplificar expresiones algebraicas, ¿puede quedar cero en el denominador?

Simplificación de expresiones algebraicas

1. Expreso en forma de una sola potencia.

a. y3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13⋅ y

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

34

b. 43

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

23⋅ 4

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

34⋅ 4

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

c. 2+ 3⎡⎣ ⎤⎦2( )

23 ÷ 2+ 3⎡⎣ ⎤⎦

−13

2. Verifico las siguientes igualdades.

a. bb

( )( )

− − =− −

−51

5

23

23

b. −2+ 2 5( )3⎡⎣⎢

⎤⎦⎥−1

= −2+ 2 5( )53

c. x x x=− ⋅

 34

14

 34

14

3. Calculo aplicando las pro-piedades de la potencia-ción.

a. π5

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−1

2⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

54

b. 1+ 2( )−12

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

54

÷ 1+ 2( )−32

Máximo Común Divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM) de expresiones algebraicas

MCD de monomios y polinomios

Regla general

Se descompone cada uno de los polinomios dados en sus factores primos. El MCD es el producto de los factores comunes con su menor exponente.

Ejemplo 1

Hallo el MCD de 36a2b4, 48a3b3c, 60a4b3m

36a2b4 = 22 . 32 . a2b4

48a3b3c = 24 . 3 . a3b3c

60a4b3m = 22 . 3 . 5 . a4b3m

MCD = 22 . 3 . a2b3 = 12a2b3

El MCD de polinomios se obtiene factorando los polinomios dados.

Ejemplo 2

Hallo el MCD de 4a2 + 4ab y 2a4 – 2a2b2

Paso 1: Se factorizan las expresiones dadas:

4a2 + 4ab = 4a(a + b) Factor común

2a4 – 2a2b2 = 2a2(a2 – b2) Factor común

= 2a2(a + b)(a – b) Diferencia de cuadrados

Paso 2: Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas.

Factor común de 4a y 2a2 es 2a

Factor común de (a + b) y (a + b)(a – b) es (a + b)

Por lo tanto, el MCD de 4a2 + 4ab y 2a4 – 2a2b2 es igual a 2a(a + b)

Mcm de monomios y polinomios

Reglas

Se descomponen las expresiones dadas en sus factores primos. El mcm (mínimo común múltiplo) es el producto de los factores primos, comunes y no comunes, con su mayor exponente.

El MCD (máximo común denominador) de dos o más expresiones algebraicas es la expresión algebraica de mayor coeficiente numérico y de mayor grado que esté contenida exactamente en cada una de ellas.

Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la descomposición de factores o factorización, según el caso que corresponda.

Recordemos

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10

Los factores que se repiten en dos o más expresiones se toman solo una vez. Pero sí se toman en cuenta las veces que se repiten en la misma expresión.

Ejemplo 1

Hallo el MCM de 6; (3x – 3)

Descomponiendo las expresiones:

6 = 2(3)

(3x – 3) = 3(x – 1)

El MCM es igual a 2(3)(x – 1) = 6(x – 1)

Ejemplo 2

Hallo el MCM de 14a2; 7x – 21

Descomponiendo las expresiones:

14a2 = 2(7a2)

7x – 21 = 7(x – 3)

El MCM es 2 . 7a2(x – 3) = 14a2(x – 3)

Simplificación de expresiones algebraicas

Al igual que las fracciones aritméticas, se dice que una fracción algebraica está simplificada cuando el numerador y el denominador no tienen más fac-tor común que la unidad.

Por lo anterior, se debe factorizar tanto el numerador como el denominador y luego se cancelan los factores comunes.

Ejemplo

Simplifico la expresión algebraica:

+x8 168

.

( )+ =+

= +x xx

8 168

8 28

2

Transformar raíces en potencias

Simplificación de radicales

Cuando los factores de la cantidad subradical y el índice tienen un divisor común.

Procedimiento:

1. Se factoriza la cantidad subradical para dejar los factores con exponente.

2. Se dividen los factores subradicales entre el índice de la raíz, convirtién-dolos en potencias con exponente fraccionario.

3. Se simplifican las potencias resultantes, convirtiéndolas en raíces con un índice común.

Observo el siguiente video para recordar algunas frases comunes de lenguaje algebraico.

https://www.youtube.com/watch?v=9MG3bGmlyVA

Valor: Rigurosidad académica

Para simplificar expresiones algebraicas, en primer lugar se deben factorizar las expresiones algebraicas, luego se encuentra el mcm y el MCD y, finalmente, se eliminan los factores iguales.

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Practiquemos

Ejemplo

Simplifico: a4 24

Factoreo la cantidad subradical: a a4   224 2 24=

Divido los exponentes de los factores subradicales entre el índice:

a a a2  2  22 2424

 24

 12

 12

 = =

Simplifico las potencias resultantes:

a a a2 2 212

 12

 = =

1 Hallo el valor de x

x

( )( )5

3

6 3

2 2

= =−x

xx x125

9125

9125

9

18

4

18 4 14

2 Hallo el valor de (2a3b2)4

24a12b8 = 16a12b8

3 Hallo el valor de xy x y4 23 2 23 

=x y xy8 23 33

4 Hallo el valor de a b c16 5 4 3

a b c ac4 2 2

5 Hallo el MCD de (x2 – x) y (x3 – x2)

x2 – x = x(x – 1)

x3 – x2 = x2(x – 1)

x(x – 1)

6 Hallo el MCD de 12a22b3 y 4a3b2 – 8a22b3

12a22b3 = 23a2b2(3b)

4a3b2 – 8a22b3 = 22a2b2(a – 2b)

MCD = 4a2b2

7 Hallo el mcm de x2; x3 + x2 – 2x; x2 + 4x + 4

x2 = x2

x3 + x2 – 2x = x(x2 + x – 2) = x(x + 2)(x – 1)

x2 + 4x + 4 = (x + 2)2

mcm = x2(x + 2)2(x – 1)

8 Hallo el mcm de 9a2; 18b3; 27a4b + 81a3b2

9a2 = 32a2

18b3 = 2(32b3)

27a4b + 81a3b2 = 27a3b(a + 3b) = 33a3b(a + 3b)

mcm = 2 . 33a3b3(a + 3b) = 54a3b3(a + 3b)

9 Simplifico −

+ ++

− −x

x xx

x x25

7 10.

4 82 15

2

2 2   

( )( )( )( )

( )( )( )

+ −+ +

+− +

x xx x

xx x

5 55 2

 . 4 2

5 3

( )+x4

3

10 Simplifico xx

xx x

xx−

++ +

÷−−9

 . 2 6

1   

13

3

2 2

( )

( )( )( )( )

( )− + ++ −

++ +

÷−−

=x x x

x xx

x xxx

1 1

3 3 . 

2 3

1   

31

22

2

11 Simplifico a b9 2 26

= = = =a b a b a b a b ab3  3  3 3   32 2 26

26

26

26

13

13

13 3 3 3 3

12 Simplifico x y27 3 615

  x y  x y x y x y xy= = = =3 3 3 3 33 3 6153

153

156

1515

15

25 5 5 25 25

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educ

1 Una tienda recibe 43 de cajas de dulces. En cada caja hay 23 paquetes con 4 dulces cada uno. ¿Cuántos dulces se recibió en total?

Si cada dulce se vende en 20 centavos, ¿cuánto di-nero se obtendrá por la venta de todos los dulces?

2 José compra 23 paquetes de flores por el día de San Valentín. Cada paquete tiene 52 flores.

Si cada flor cuesta 25 centavos. ¿Cuánto dinero pagó José en total?

Razonemos

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1 Hallamos el MCD.

a. 3m3 + 15m2, am2 + 5am

b. a2 – b2, a2 – 2ab + b2

c. 3m2 + 3m – 60, 6m2 – 18m – 24

2 Hallamos el mcm.

a. 5x2, 10xy, 15xy2

b. 2x2, 6xy, 3x2 – 6xy

c. x2 + 2x, x3 – 2x2, x2 – 4

3 Reducimos a su más simple expresión.

a. x yx y z

46

2 5

3 4

b. mm mn−

24 4

2

2

c. x xx x

+ ++ +

3 19 206 17 12

2

2

4 Simplificamos.

a. x yx y z

x y zy z

⋅46

32

2 5

3 4

4 2

4

b. − −+ +

÷−+

x xx x

xx x

8 10 36 13 6

4 93 2

2

2

2

2

c. +−

⋅−+

⋅− −+

aa

aa

a aa a

11

3 32 2

22

2

5 Hallamos el MCD.

a. 3x3 + 15x2, bx2 + 5bx

b. p2 – q2, p2 – 2pq + q2

c. 3x2 + 3x – 60, 6x2 – 18x – 24

d. 4a2 + 4ab + b2, 2a2 – 2ab + ab – b2

e. 9x2 – 1, 9x2 – 6x + 1

f. x2 – 4, x3 – 8

g. m3 + n3, 3am + 3an

h. 30ax2 – 15x3, 20axy2 – 10x2y2

6 Hallamos el mcm.

a. 5m2, 10mn, 15mn2

b. 2p2, 6pq, 3p2 – 6pq

c. 7x4, 14xy, 49xy4

d. m2 + 3m, m3 – 3m2, m2 – 9

e. 8n2 – 10n – 3, 20n2 + 13n + 2, 10n2 – 11n – 6

f. a2b – ab2, a4b2 – a2b4, a(ab – b2)2, b(a2 + ab)2

g. m3 – 27n3, m2 – 9n2, m2 – 6mn + 9n2, m2 + 6mn + 9n2

h. x3 + y3, (x + y)3

7 Reducimos a su más simple expresión.

a. x yx y z

86

3 6

3 4

b. −m

m mn4

4 42

c. − +m mn nm n

6 9– 9

2 2

2 2

d. aa a a

+− + −

11

3

4 3

e. a ab ba b− +

−4 4

8

2 2

3 3

f. x y

x y( )++

3 3

3

g. m nm n( )−

−

2

2 2

h. a xa x( )−

−

3

3 3

8 Simplificamos.

a. ab

ba

⋅23

64

2 2

b. ⋅ ⋅x y

aa

mm

x5103

92 3

2 3

c. + −+ +

⋅−x x

x xxx x

2 3 52 11 15

92 – 2

2

2

2

2

d. +−

⋅−+

⋅+ −+

aa

aa

a aa a

2 12 1

6 34 2

22

2

e. aa a

aa

aa

a aa

−+

⋅+−

⋅−+

⋅++

812 10

1136

2 122 18

52 22

2

2 2

3 2

¿Aplico las leyes de productos notables en la vida diaria? ¿En qué situación?

¿Para qué sirve la simplificación de expresiones algebraicas?

Problemas propuestos

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Lengua y literatura

Etnomatemática en Ecuador

La etnomatemática sirve para rescatar los aspectos de la cultura de un pue-blo y usarlos en la matemática.

Desde mucho antes de la llegada de los españoles al continente, existie-ron muchos recursos de cálculo como parte de la cultura de los pueblos americanos. Entre ellos están la taptana, la yupana, el ábaco andino y el nepohualtzintzin.

Muchos de estos instrumentos de cálculo han desaparecido con el paso del tiempo, pero con su redescubrimiento se ha logrado descifrar su utilidad y ahora se sabe que servían para realizar todo tipo de operaciones matemáticas.

En el Ecuador se han rescatado estos instrumentos de los Cañaris y otras culturas indígenas del país, que han aportado al fortalecimiento de la edu-cación intercultural bilingüe. Por ejemplo, se encontró una piedra que ser-vía para el cálculo (taptana), la cual tiene nueve filas para indicar los núme-ros del 1 al 9 y el número de columnas que sean necesarias para representar el valor de los números siguiendo las potencias de 10.

Con el reconocimiento de la etnomatemática se ha comprobado que nues-tros ancestros ya contaban con instrumentos y sistemas de cálculo diferen-tes a los impuestos por la cultura oriental, y que cumplían con las caracte-rísticas y necesidades de aquella época.

Producción de un párrafo argumentativo

Escribo un párrafo sobre la importancia del álgebra en la vida diaria y cito dos fuentes.

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Estudios Sociales

Educación para la ciudadanía

En este video se puede conocer más sobre las aplicaciones del factoreo:

https://youtu.be/57ls4jhdX-c

Valor: Interculturalidad

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Actividades evaluativas

Nivel de logro 1 - Comprensión

Actividad individual

Elijo el factor que hace válida la igualdad.

(3p – 2q) _______ = (9p2 – 12pq + 4q2)

a. (3p + 2q)

b. (3p – 2q)

c. (p – pq + q)

d. (p + pq + q)

Completo los términos que faltan en el desa-rrollo de los siguientes productos.

a. 23r +  3s⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

2

= 49

 r2  + +9s2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

b. (w + 5)(w – 3) = w2+ _______

c. (2m2+3y3)3 = 8m6 + _______ + 54 m2y6+ ___

Factorizo las siguientes expresiones y selec-ciono la respuesta correcta.

1. 8t3 + 36t2 + 54t + 27

a. (2t – 3) (4t2 + 6t + 9)

b. (4t2 + 12t + 9)

c. (2t – 3)3

d. (2t – 3)(2t + 3)(2t – 3)

2. y3 – 2y2 – 4y + 8

a. 4(y + 2)(y + 1)

b. (y + 2)(y – 2)2

c. (y + 2)2(y – 2)

d. (y + 2)(y – 2)

3. x2 – 3x – 18

a. (x + 6)(x – 6)

b. (x + 6)(x – 3)

c. (x + 3)(x – 6)

d. (x - 3)(x - 6)

4. 64 – 4y4

a. (8 + 2y2)(8 – 2y2)

b. (8 – 2y2)2

c. (8 – 2y2)(8 – 2y2)

d. (8 + 2y2)(8 + 2y2)

El área de un terreno está dado por la expre-sión y2 – z – yz – 1. Determino sus dimensio-nes para cercarlo.

a. (y + 1)(y – 1 – z)

b. (y – 1)(y + 1 – y)

c. (y + 1)(y + 1 + y)

d. (y + 1)(–y – 1 – y)

Resuelvo aplicando las propiedades de la po-tenciación y la radicación.

π5

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−1

2⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

54

a+   2( )−12

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

54

!  a+   2( )−32

Simplifico.

⋅x yx y z

x y zy z

46

32

2 5

3 4

4 2

4

1

2

3

4

5

6

A = y2 – z – yz – 1_____

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Módulo pedagógico

15

Números reales y expresiones algebraicas

Nivel de logro 2 - Resolución de problemas

Actividad individual

Al construir una tarjeta electrónica para ela-borar un circuito, se diseñan distintos mode-los, con la finalidad de elegir el más adecuado de acuerdo al tamaño del prototipo. Calculo el área en función de las variables a, b, x, y.

Hay que recordar que el cálculo del área se realiza multiplicando la medida del largo por el ancho.

En el gráfico se observa un refrigerador y se proporciona el área de su base y su altura. Calculo el volumen que se obtendrá en fun-ción de las variables.

Hay que recordar que el volumen es el pro-ducto entre el área de la base y la altura.

7 8

9

Calculo el área limitada en rojo del aparta-mento (de forma cuadrada):

a. Realizando el producto de las medidas de sus lados.

b. Calculando el área total y restando el área de las regiones limitadas en azul.

c. Con los resultados obtenidos en los litera-les a y b, enuncio una conclusión.

Nivel de logro 3 - Innovación

Actividad colectiva

En parejas, escribimos una expresión algebraica que permita calcular el área y el perímetro de nuestra aula. La expresión deberá contener tres términos expresados como fracción y exponentes enteros.

10

Marco con el aprendizaje alcanzado

ReflexionesSí, lo hago muy

bienSí, pero puedo

mejorarLo hago

con dificultadNecesito ayuda

para hacerlo

¿Aplico las leyes de productos notables en la vida diaria?

¿Puedo argumentar para qué me sirve la simplificación de expresiones algebraicas?

Autoevaluación

Realizo mi autoevaluación a partir de lo estudiado en el módulo.

x yab

103

2 3

a bxy

65

2 3

Alturah

h h 

4 93 2

2

2= −+

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Fuentes

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• Boyer, C.B. (2003). Historia de la matemática. Madrid. Alianza editorial.

• Alsina, C. Trillas, E. (1996). Lecciones de álgebra y geometría. Barcelona. Ed. Gustavo Gili.

• Educatina. (02 de septiembre de 2015) YouTube. Obtenido método de mínimos cuadrados: https://www.youtube.com/watch?v=gUdU6BgnJ2c

• Rojo, J. (2001). Algebra lineal. McGraw-Hill.

Cómo conseguir un contrato como consultor usando un poco de matemática

Por: Adrián Paenza

Uno puede hacerse pasar por adivino o por una persona muy entrenada en predecir el futuro o aventurar lo que va a pasar en la Bolsa de Valores: basta con aprovechar la rapidez con la que crecen las potencias de un número.

Este es un ejemplo muy interesante. Supongamos que tene-mos una base de datos de 128 000 personas. (Por las dudas, no crean que sean tantas, ya que la mayoría de las grandes empresas las tienen, las compran o las averiguan). De todas formas, para lo que quiero invitarles a pensar, podríamos empezar con un número más chico, e igualmente el efecto sería el mismo.

Supongamos que uno elige alguna acción o algún commodity cuyo precio cotice en la Bolsa. Digamos, para fijar las ideas, que uno elige el precio del oro. Supongamos también que ustedes se sientan frente a su computadora un domingo por la tarde. Buscan la base de datos que tienen y seleccionan las direcciones electrónicas de todas las personas que allí figu-ran. Entonces, a la mitad de ellas (64 000) les envían un mail diciéndoles que el precio del oro va a subir al día siguiente (lunes). Y a la otra mitad les envían un mail diciéndoles lo contrario: que el precio del oro va a bajar. (Por razones que quedarán más claras a medida que avance con el ejemplo, ex-cluiremos los casos en los que el oro permanece con el precio constante en la apertura y el cierre.)

Cuando llega el lunes, al finalizar el día, el precio del oro o bien subió o bien bajó. Si subió, hay 64 000 personas que habrán recbido un mail de ustedes diciéndoles que subiría. Claro, qué impotancia tendría. Haber acertado un día lo que pasaría con el oro tiene poca relevancia. Pero sigamos con la idea.

El lunes a la noche, de las 64 000 personas que habían reci-bido su primer mail diciéndoles que el precio del oro subiría, ustedes seleccionan la mitad (32 000) y les dicen que el mar-tes volverá a subir. Y a la otra mitad, los otros 32 000, les envían un mail diciéndoles que va a bajar.

Llegado el martes por la noche, ustedes están seguros que hay 32 000 para los cuales ustedes no solo acertaron lo del martes, sino que ya habían acertado el lunes. Ahora repi-tan el proceso. Al dividir por la mitad, a 16 000 les dicen que va a subir y al resto, los otros 16 000, que va a bajar. Resultado: el miércoles ustedes tienen 16 000 personas a las que les avisaron el lunes, el martes y el miércoles lo que pasaría con el precio del oro. Y acertaron las tres veces (para este grupo).

Repítanlo una vez más. Al finalizar el jueves, ustedes tienen 8 000 para los que acertaron cuatro veces. Y el viernes por la noche, tienen 4 000. Piensen bien: el viernes por la no-che, ustedes tienen 4 000 personas que los vieron acertar todos los días con lo que pasaría con el precio del oro, sin fallar nunca. Claro que el proceso podría seguir a la semana siguiente, y podrían tener 2 000 al siguiente lunes, 1 000 al martes y, si queremos estirarlo aún más, el miércoles de la segunda semana, tendrán 500 personas a las que les fueron diciendo, día por día, durante diez días, lo que pasaría con el precio del oro.

Si alguno de ustedes pidiera a estas personas que lo contrata-ran como consultor pagándole, digamos, mil dólares por año (no lo quiero poner por mes, porque tengo cierto pudor… aún), ¿no creen que contratarían sus servicios? Recuerden que ustedes acertaron siempre por diez días consecutivos.

Con esta idea y empezando con una base de datos bien más grande o más chica, o parando antes en el envío de correos electrónicos, ustedes se pueden fabricar su propio grupo de personas que crean en ustedes o que crean sus predicciones. Y ganar dinero en el intento.

Fuente: https://goo.gl/xyX7eq (19/02/2018) Adrián Paenza (1949). Periodista, matemático y profesor argentino

especializado en la divulgación matemática.

Para enriq

uecer nuestra

cultura, ¡LEAMOS!

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