módulo instruccional didáctica de la enseñanza del
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Instituto de Educación Superior Nueva Luz
Técnico Superior en Didáctica de la Matemática
Módulo Instruccional
Didáctica de la enseñanza del Análisis
Nombre del Participante
_______________________
Facilitador
Magister. Abraham González Morales
2021
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Instituto de Educación Superior Nueva Luz
VISIÓN
Ser un Instituto Laboral de excelente proyección social, elevada calidad y reconocimiento nacional en la formación de jóvenes y adultos con innovaciones tecnológicas adecuadas al entorno social y empresarial.
MISIÓN
El Instituto Laboral Nueva Luz es una entidad privada innovadora con proyección social, creada para formar y capacitar jóvenes y adultos con calidad humana, emprendedores con las competencias esenciales para continuar estudios universitarios en cualquier instituto superior pública o privada.
VALORES
Responsabilidad Cooperación Honestidad
Sensibilidad Social
Innovación Creativa Respeto
Diversidad Solidaridad Equidad
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LECTURA REFLEXIVA
En la búsqueda permanente de criterios que ayuden a definir un camino más claro en la
enseñanza de la matemática, nos encontramos con cierta frecuencia paradigmas que nos
obligan a replantear nuestros métodos. La matemática no es una ciencia estacionaria si no
que se renueva permanentemente y así mismo los juicios valorativos de todas aquellas
componentes que a lo largo del tiempo han construido los cimientos de esta disciplina. ¿En
qué consiste realmente la matemática? Los axiomas?, los teoremas?, las demostraciones?,
las definiciones?, las teorías, las fórmulas?, los métodos?. La matemática seguramente no
existiría sin estos ingredientes, todos ellos son esenciales. Es, sin embargo sustentable que
ninguno de ellos es el meollo de la disciplina, que la razón principal para la existencia del
matemático es la resolución de problemas, y que por consiguiente, la matemática realmente
consiste de sus problemas y soluciones. Es claro el papel que juegan las demostraciones en
el ámbito de los matemáticos, pero al parecer aún no lo es tanto su rol en la enseñanza de
las matemáticas, algunos investigadores en didáctica de la matemática apoyados en el
trabajo hecho por Lakatos abiertamente desestiman el valor de la demostración en la
construcción del conocimiento matemático, y afirman que su estudio en los salones de clase
puede generar problemas de aprendizaje en algunas personas, sobre todo para aquellos que
no estudian para ser matemáticos y que no están obligados a apreciar “la belleza y la
estética de los teoremas y demostraciones matemáticos” ni mucho menos compartir su
misma motivación.
No pocos docentes piensan que realmente no debería hacerse tanto énfasis en la
demostración en asignaturas para no matemáticos, consideran que es muy difícil cuando no
imposible enseñar a demostrar y que a lo más deben contentarse con repetir demostraciones
suyas o de otros autores que el estudiante debe aprender sin que al parecer contribuyan a un
mejor desempeño académico y profesional del mismo. En unión a lo anterior se tiene que el
advenimiento de nuevas tecnologías ha permitido la aparición de otras formas de
demostración, en opinión de expertos, semi-rigurosas que potencialmente podrían desplazar
la demostración formal por algoritmos de computación cada vez más elaborados y
autónomos en los cuales la mediación humana se haga innecesaria. Y dado lo anterior, ¿por
qué preocuparse de hacer demostraciones?
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Instituto de Educación Superior Nueva Luz
CONTRATO DE APRENDIZAJE
Me comprometo a asistir con puntualidad a las sesiones de la materia Didáctica de la
enseñanza del Análisis.
Participaré activamente en las actividades desarrolladas en el salón de clases, tales como
talleres, presentaciones, charlas.
Utilizaré un lenguaje adecuado en muestra de mi formación y educación integral.
Participaré de los trabajos grupales con esmero y creatividad.
Respetaré las opiniones de mis compañeros.
Desarrollaré mis asignaciones y las entregaré en las fechas establecidas a fin de obtener una
buena evaluación.
Pensamiento
No pretendas que las cosas cambien si siempre haces los
mismo
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Descripción del Curso
El curso Didáctica de la enseñanza del Análisis está fundamentado en el desarrollo de la
teoría sobre el significado e importancia del análisis matemático orientado a formular
hipótesis y conjeturas y de igual manera demostrar teoremas y hacer verificaciones.
El módulo contiene una amplia teoría sobre las demostraciones y sus aplicaciones en el
ámbito escolar, de tal manera que al leerla podrás actualizar tus conocimientos y así poner
en práctica lo aprendido
El curso está diseñado para que de manera autodidáctica también puedas profundizar
durante las sesiones no presenciales.
Las actividades propuestas te ayudarán a comprender y verificar lo que has aprendido en el
desarrollo de la asignatura.
Usaremos la evaluación formativa (puntualidad en la entrega de las asignaciones) y
sumativa mediante la evaluación del contenido de los talleres y las tareas asignadas.
La evaluación del curso será de la siguiente forma
Asistencia (visita puntual a la plataforma y reuniones …………………………….10%
Talleres ( 3 ) 10% cada uno………………………………………………………...30%
Trabajo en casa ( 2 tareas, # 1, 12%, # 2, 13% )…………………………………..25%
Prueba final…………………………………………………………………………35%
Total………………………………………………………………………………..100%
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Orientaciones generales para el estudio y desarrollo del
módulo
El módulo está estructurado de tal forma que los contenidos se puedan entender de forma
clara y precisa, con el propósito de que tu aprendizaje sea significativo con miras a lograr
los objetivos establecidos.
Entre las recomendaciones para que logres este aprendizaje te podemos señalar las
siguientes.
El desarrollo del módulo se hará en cuatro sesiones, según el cronograma establecido por el
Instituto de Educación Superior Nueva Luz, para alcanzar los objetivos señalados en el
módulo es importante que administres tu tiempo de forma correcta, lo cual debes hacer con
la responsabilidad debida.
Te recomendamos el uso de técnicas de estudio tales como: resúmenes, subrayados,
conversatorios heurísticos, lectura comprensiva, análisis crítico entre otras
Al final del módulo se presentan las actividades que debes realizar para cumplir con el
proceso de evaluación
Para tus consultas me puedes escribir al correo: [email protected] o llamar
al celular 6284 – 1415, también mediante la plataforma virtual y los teléfonos de la
institución
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Evaluación
Este curso cuya modalidad es a distancia/virtual, es decir que no existirá contacto personal
con el facilitador, es por ello que se proponen actividades para realizar con el apoyo del
módulo. Te recomendamos que puedes profundizar los conceptos que tu así lo decidas en
los diferentes medios para hacerlo.
Cada actividad tiene una fecha de entrega las cuales han sido establecidas de manera tal que
cubran las cuatro semanas que demora el curso, las actividades ( talleres, tareas ) las
encontrarás al final del módulo con los detalles y fecha de entrega al igual que los criterios
de evaluación de cada una de ellas
Realizaremos dos reuniones vía web, haciendo uso del meet, las cuales tendrán el siguiente
horario:
1. Domingo 6 de junio de 2021
1. Hora: de 8:00 a.m – 10:00 a.m
2. Temas a tratar
a. Significado de la demostración matemática.
b. Experiencias personales
c. Aplicabilidad en las clases de Matemática.
3. Aclarar dudas e información sobre las actividades asignadas
2. Domingo 20 de junio de 2021
1. Hora: de 8:00 a.m – 10:00 a.m
2. Temas a tratar
a. ¿Enseñar demostraciones matemáticas en el aula?.
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b. Experiencias personales
c. Aplicabilidad en las clases de Matemática.
3. Aclarar dudas e información sobre las actividades asignadas
4. Indicaciones para la prueba final
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Instituto de Educación Superior Nueva Luz
Técnico Superior en Didáctica de la Matemática
Curso: Didáctica de la Enseñanza del Análisis
Modalidad: Presencial y modalidad a distancia
Duración: 4 sesiones (domingos)
Objetivo General
Conocer los diferentes tipos de demostraciones usados en el análisis matemático.
Objetivos Específicos
✓ Identificar los tipos de demostraciones.
✓ Comprender la necesidad de realizar demostraciones de los teoremas usados en
Aritmética, Álgebra y Geometría.
✓ Desarrollar habilidades necesarias para realizar demostraciones de teoremas básicos
en la enseñanza de la Matemática.
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Índice
Misión, visión, valores del Instituto Superior Nueva Luz……………………………...…. 2
Lectura reflexiva……………………………………………………………….……….…. 3
Contrato de aprendizaje y pensamiento…………………………………………….……... 4
Descripción del curso..………………………………………………………….................. 5
Orientaciones generales para el estudio y desarrollo del módulo……………………..…... 6
Evaluación………………………………………………………………………………… 7
Objetivos…………………………………………………………………………..………. 9
Glosario……………………………………………………………………………….…… 11
Tema 1. La demostración matemática una aproximación epistemológica y didáctica……. 12
La demostración en las matemáticas escolares…………….……….……………………... 15
Los tipos de demostraciones en matemáticas……………………………………….…….. 16
Las funciones de las demostraciones matemáticas……...………..…………….…………. 17
¿Qué tipo de demostraciones matemáticas convencen a nuestros alumnos…….……....… 18
Formas de demostraciones en el aula….……………………………………….……..…… 20
Finalidad de la demostración matemática en el aula…………..…………….…………..… 22
Valor de la demostración matemática en el aula……….……………………………..…… 24
Tema 2 ¿Enseñar demostraciones matemáticas en el aula?,,,,,,,,,,,,…………………..…… 25
Taller 1……………………………………………………………………………….……. 29
Tarea 1………………...……………………………………………………………..…….. 30
Taller 2 ……………...…………...…………………………………………….………….. 31
Tarea 2 ……………...…………………………..……………………………………..…... 32
Taller 3…………………………………………………………………………….………. 33
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Glosario de términos
1. Demostración matemática: es el proceso validativo que siguen los matemáticos
para justificar sus teorías.
2. Postulado: es una proposición no evidente por sí misma, ni demostrada, pero que se
acepta ya que no existe otro principio al que pueda ser referida.
3. Axioma: es una proposición tan clara y evidente que se admite sin necesidad de
demostración y constituye uno de los principios fundamentales e indemostrables.
4. Teorema: es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de
un marco lógico, a partir de axiomas u otros teoremas.
5. Lema: es una afirmación que es necesario establecer durante la demostración de un
teorema.
6. Corolario: es una proposición que no necesita prueba particular, sino que se deduce
fácilmente de lo demostrado antes.
7. Conjetura: se refiere a una afirmación que se supone cierta, pero que no ha sido
probada ni refutada. Una vez que se demuestra la veracidad de una conjetura, esta
pasa a ser considerada un teorema de pleno derecho y puede utilizarse como tal para
construir otras demostraciones formales.
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Tema1
La Demostración en Matemática una aproximación
Epistemológica y Didáctica
La demostración matemática es un objeto complejo que admite distintas
interpretaciones y dimensiones. Dentro de la institución matemática, la interpretación
dominante es la consideración de la demostración como demostración deductiva, formal.
Pero esa interpretación, además de limitada desde un punto de vista epistemológico,
comporta importantes dificultades para los estudiantes de distintos niveles educativos,
incluido el universitario, que manifiestan una gama variada de esquemas personales de
demostración.
El concepto de demostración matemática ha evolucionado históricamente. La mayor parte
de las ciencias, incluyendo a las matemáticas, utiliza la inducción junto con la intuición
para enunciar proposiciones. En las matemáticas, el razonamiento inductivo permite
observar patrones en búsqueda de regularidades para la generalización y formulación de
conjeturas. Estas conjeturas deben ser validadas o rechazadas, por lo tanto, se deben hacer
demostraciones que requieren la deducción
La demostración matemática es una práctica social de la comunidad matemática que tiene
como principal objetivo validar el conocimiento matemático adquirido por la sociedad. En
la actualidad, dicha demostración se rige por argumentaciones deductivas, sin embargo,
históricamente esto no ha sido así.).
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En las matemáticas interesa someter a un control lógico riguroso las hipótesis iniciales.
Para ello, se escogen, mediante algún criterio de racionalidad, unos enunciados a los que se
les da el nombre de axiomas o postulados. Una vez hecho esto, los únicos enunciados
aceptables serán aquellos que se deduzcan de los axiomas, por medio de la inferencia
lógica; dichos enunciados se llaman teoremas. Este tipo de deducción constituye el método
axiomático. Un sistema axiomático tiene los siguientes elementos:
1. Un idioma subyacente: una tabla de símbolos primitivos o alfabeto.
2. Un repertorio de reglas de formación de fórmulas: unos serán términos indefinidos
y otros serán términos formalmente definidos llamados definiciones.
3. Las fórmulas primitivas del sistema: una lista de axiomas o postulados, que se
suponen verdaderos.
4. Un sistema de lógica deductiva: un repertorio de reglas de inferencia.
Los dos primeros elementos componen el lenguaje o la gramática y los otros dos, la lógica
del sistema. La regla de inferencia establece que una fórmula, llamada conclusión, puede
ser inferida de otras, llamadas premisas.
La demostración matemática es un proceso, un razonamiento, una serie de relaciones o una
secuencia finita de fórmulas tales que cada una es un axioma o una consecuencia inmediata
de algunas fórmulas precedentes, gracias a las reglas de inferencia. La fórmula final de la
demostración se llama teorema o fórmula derivada. Se caracteriza por ser un género del
discurso con una forma estrictamente codificada.
Se basa en las definiciones, oraciones que dan significado a las palabras utilizadas en la
demostración; los axiomas, proposiciones que obedecen a construcciones mentales, las
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cuales son necesarias para la organización del conocimiento, y los principios del
razonamiento, las llamadas leyes del pensamiento que están implícitas en todos los campos
del conocimiento de la humanidad, tales como la ley de identidad (plantea que la naturaleza
esencial de las cosas es constante), la ley de contradicción (significa que una cosa no puede
ser lo que es y, al mismo tiempo, lo que no es) y la ley de exclusión del término medio
(plantea que no hay nada intermedio entre las cosas contradictorias)
Realizar una demostración en matemáticas es un proceso cognitivo complejo que implica el
uso de la intuición, la prueba, el error y el refinamiento para producir una demostración
final de un teorema. La mayoría de matemáticos considera que una demostración es más
valiosa cuando favorece la comprensión; por esta razón, tales demostraciones se pueden ver
más como entidades conceptuales, entendidas como una secuencia lógica de ideas
matemáticas relacionadas, en las que el enfoque de derivación no es lo principal. De este
modo, la calidad de una demostración matemática puede ser evaluada con criterios
sintácticos, sin embargo, hacen falta otros. En ausencia de estos, generalmente se usan
juicios de valor con un significado impreciso, tales como comprensible, ingenioso,
explicativo, elegante, profundo, hermoso, entre otros. Dichos atributos van más allá de la
corrección lógica de la demostración de un teorema, pero, en las matemáticas como en la
educación matemática, esas propiedades cuasi estéticas, mal definidas, son muy
importantes para el reconocimiento de una demostración como algo más que un certificado
de la verdad.
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La demostración en las matemáticas escolares
Según Stylianides, la demostración en las matemáticas escolares es un argumento
matemático que tiene las siguientes características:
1. Un conjunto de menciones aceptadas: utiliza afirmaciones aceptadas como
verdaderas por la comunidad del aula y que están disponibles para su uso, tales
como las definiciones, los axiomas, los teoremas, entre otros.
2. Los modos de argumentación: usa formas de razonamiento que son válidas para la
comunidad del aula o que se ubican en el alcance conceptual de esta, como las
reglas lógicas de inferencia, el uso de definiciones para derivar afirmaciones
generales, la enumeración sistemática de todos los casos a los que se reduce una
proposición cuando estos sean un número finito, la construcción de contraejemplos,
el desarrollo de un razonamiento que muestra que se puede llegar a una
contradicción, entre otros.
3. Los modos de representación de argumentos: la comunicación se lleva a cabo
empleando formas de expresión apropiadas, conocidas y en el alcance conceptual de
la comunidad de la clase, formas que incluyen el lenguaje oral, el uso de diagramas,
las representaciones pictóricas, tabulares, entre otras.
La definición anterior excluye a los argumentos empíricos, es decir, aquellos basados en el
uso de ejemplos que confirman y ofrecen una evidencia incompleta sobre la veracidad de
una proposición matemática. La razón primordial de esta distinción es que no se considera
pertinente llamar demostraciones a los argumentos matemáticamente no calificados; de esta
manera, la demostración en la clase de matemáticas estaría en concordancia con las
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matemáticas como disciplina, donde los argumentos empíricos no se consideran
demostraciones matemáticas. Lo anterior no significa que se deban devaluar las
exploraciones empíricas para la identificación de patrones, la generación de conjeturas y
obtener evidencias acerca de lo que se quiere demostrar.
Según Crespo, Farfán y Lezama, en la clase de matemática existen formas de razonamiento
que no están en concordancia con la conceptualización de la demostración matemática en
un sistema axiomático, normalmente se generan por la transferencia a escenarios
académicos de formas de argumentación utilizadas en contextos cotidianos no académicos.
Se distinguen las argumentaciones abductivas, en las que se tienen como premisas una
implicación, su consecuente y se concluye el antecedente; las argumentaciones inductivas,
en las cuales se concluye la veracidad de una proposición a partir del examen de un número
limitado de casos; las argumentaciones no monotónicas, en las que se pueden modificar los
supuestos iniciales a partir de casos nuevos; las argumentaciones visuales que establecen
conclusiones con base en diagramas; las argumentaciones a conocimiento cero, cuando se
hace referencia a demostraciones que realmente no lo son, y las argumentaciones gestuales
en las cuales se argumenta con gestos y ademanes.
Los tipos de demostraciones en matemáticas
1. Las demostraciones directas
2. Las demostraciones indirectas
3. Las demostraciones por contraposición:
4. La demostración por reducción al absurdo
5. Demostraciones conjuntivas
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6. Demostraciones disyuntivas
7. Demostraciones exhaustivas o por caso
8. Demostraciones bicondicionales
9. Demostraciones con cuantificadores universales
10. Demostraciones con cuantificadores existenciales
Las funciones de las demostraciones matemáticas
1. La verificación: la demostración se considera como la máxima autoridad para
asegurar la validez de una afirmación matemática. Se cree que detrás de cada
teorema hay una secuencia de transformaciones lógicas para obtener la conclusión a
partir de las hipótesis asumidas. Se categoriza esta visión como incorrecta, pues la
demostración lógico-formal no es un garante de convicción.
2. La explicación: la demostración brinda las razones por las que una afirmación
matemática es verdadera. Esta función es importante para comprender los motivos
que hacen verdadero un resultado evidente, de manera intuitiva o por evidencia
cuasi-empírica.
3. La sistematización: la demostración permite organizar varios resultados en un
sistema deductivo de axiomas, definiciones y teoremas, lo que favorece la
identificación de inconsistencias, verifica y simplifica teorías matemáticas y brinda
una visión global sobre una temática que favorece sus aplicaciones en diferentes
campos.
4. El descubrimiento: la demostración es un método de exploración, análisis,
descubrimiento e inventiva, que permite descubrir nuevos resultados, los cuales
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serían difíciles de determinar de forma intuitiva o con procesos cuasi-empíricos. Un
ejemplo de esta función es el descubrimiento de las geometrías no euclidianas, al
modificar el postulado de las paralelas.
5. La comunicación: la demostración permite divulgar los resultados a los diferentes
miembros de la comunidad científica: matemáticos, profesores, alumnos, entre
otros. Debido a la complejidad del conocimiento matemático, se deben generar
procesos de negociación subjetiva de significados de los temas involucrados, de
manera que las argumentaciones sean aceptables. Esta función comunicativa expone
las demostraciones a la sanción pública que permite refinar, simplificar, modificar y
hasta refutar los resultados presentados.
¿Qué tipos de demostraciones matemáticas convencen a
nuestros alumnos?
Según Francie ( 2015 ) Los enunciados de los problemas aplicados en la prueba,
mediante los que estudiamos los esquemas personales de demostración de estudiantes de
nivel medio de nuestro entorno sociocultural, fueron los siguientes:
Problema Aritmético: Demuestra que la diferencia entre los cuadrados de dos
números naturales consecutivos cualesquiera es siempre un número impar, igual a la suma
de dichos números. (Recuerda que los números naturales son los infinitos números 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19, 11, 12, 13, 14, 15,...).
Problema Geométrico: Demuestra que las bisectrices de dos ángulos adyacentes
cualesquiera forman un ángulo recto. (Recuerda que dos ángulos son adyacentes si tienen
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el vértice y un lado en común y suman un ángulo llano, es decir 180º. Un ángulo recto
mide 90º. La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos partes iguales).
Puede observarse que el porcentaje de estudiantes que resolvieron correctamente
cada uno de los dos problemas no alcanzó el 50%. Ese porcentaje se redujo hasta el 32,9
cuando se cuantificaron las respuestas conjuntas de los dos problemas, de manera que sólo
141 de los 429 estudiantes a los que se pasó la prueba resolvieron correctamente ambos
problemas.
De acuerdo con esos resultados del apartado anterior y otros aportados por otros
investigadores, referidos anteriormente, puede decirse que un porcentaje importante de
estudiantes acude espontáneamente a argumentaciones empírico-inductivas para hacer
demostraciones matemáticas. Es decir, como sistema de demostración acude a una
comprobación del enunciado en varios casos particulares, con intención de confirmar su
cumplimiento de una forma generalizada.
De acuerdo con Francie, podemos pensar que una mayoría de estudiantes de nivel
medio puede llegar a aceptar, a partir de las explicaciones del profesor, las demostraciones
deductivas formales como formas más elaboradas de demostración, más completas, con
superior potencialidad validativa. Pero en situaciones problemáticas nuevas, donde tienen
que poner en funcionamiento sus modos argumentativos espontáneos, una proporción
importante de estudiantes, que ya han aceptado la superioridad teórica de la demostración
deductiva (formal o informal) sobre la empírico-inductiva, reproducen esquemas
validativos de este último tipo. De forma que tenemos que pensar que son estos esquemas,
los empírico-inductivos, los que realmente resultan más convincentes para un porcentaje
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importante de alumnos, incluso de nivel universitario. En todo caso, dejamos abierta esta
afirmación a posteriores análisis.
Formas de demostración en el aula
La demostración en clase de matemáticas presenta una gran diversidad de formas,
apareciendo en los distintos niveles educativos los variados tipos de argumentaciones
analizados en los apartados anteriores.
En Primaria predomina una matemática informal. Los conceptos matemáticos
aparecen imbricados con objetos y situaciones de la vida cotidiana, de la realidad física y
social. La argumentación prototípica es una argumentación informal de carácter muy
intuitivo.
Al respecto, los Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación
Matemática elaborados por el National Council of Teachers of Mathematics de los EEUU
de América (NCTM, 1989), ya considerados anteriormente, plantean para el ciclo P-4 (que
puede hacerse corresponder, aproximadamente, con Educación Infantil y los dos primeros
ciclos de Educación Primaria, en nuestro sistema educativo)
“Durante estos años, el razonamiento matemático debe incluir todo tipo de
pensamiento informal, conjeturas y validaciones que ayuden a los niños a darse cuenta de
que las matemáticas tienen sentido…
Debe intentarse que los niños justifiquen sus soluciones, sus procesos de
pensamiento y sus conjeturas, y que además lo hagan de diversas formas. Los modelos
manipulativos y otros modelos físicos les ayudan a relacionar los procedimientos y
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algoritmos con los hechos conceptuales que los apoyan y proporcionan objetos concretos a
los que hacer referencia a la hora de explicar y justificar sus ideas…”.
En Secundaria las formas prototípicas de argumentación son la prueba empírico-
inductiva y la demostración deductiva informal.
Para el ciclo 5-8 (que corresponde, aproximadamente, con el tercer ciclo de
Educación Primaria y primer ciclo de ESO, en nuestro sistema educativo), los Estándares
plantean como objetivo un tipo de razonamiento fundamentado en lo concreto, en métodos
inductivos y en formas deductivas elementales.
Así, afirma
“Mientras la mayor parte de los estudiantes de quinto grado continúan ejerciendo un
pensamiento concreto que depende de un contexto físico o específico para poder percibir
regularidades y relaciones, muchos alumnos de octavo grado son ya capaces de
razonamiento más formal y de abstracción. No obstante, incluso los estudiantes más
avanzados de los niveles 5-8 pueden hacer uso de materiales concretos para apoyar su
razonamiento…”
Y también
“En los niveles 5-8, los estudiantes habrán experimentado el razonamiento inductivo
y la evaluación y construcción de argumentos deductivos sencillos en diversos contextos de
resolución de problemas”.
Los Estándares plantean, para el ciclo 9-12 (que podría hacerse corresponder,
aproximadamente, con el segundo ciclo ESO y Bachillerato) que
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“En los niveles 9-12, a medida que los contenidos van siendo más profundos y
complejos, debe mantenerse este énfasis en la interacción que se da entre la formulación de
hipótesis y el razonamiento inductivo, y en la importancia de la verificación deductiva…”
En la Educación Universitaria, es más habitual el contacto con la demostración
deductiva formal, con el rigor deductivo. Los estudiantes universitarios han de
familiarizarse con el hecho de que la argumentación deductiva formal es el método por el
que se establece, en último término, la validación de los teoremas matemáticos.
Finalidad de la demostración matemática en el aula
La finalidad que pueda tener la demostración en clase de matemáticas puede
conceptualizarse analizando las propuestas de los Estándares que señalan como objetivos
los siguientes:
“En los niveles P-4, el estudio de las matemáticas debe hacer hincapié en el
razonamiento, para que los estudiantes sean capaces de:
- llegar a conclusiones lógicas en matemáticas;
- usar modelos, hechos conocidos, propiedades y relaciones para explicar sus ideas;
- justificar sus respuestas y sus modelos resolutivos;
- hacer uso de sus estructuras conceptuales y conexiones para analizar situaciones
matemáticas;
- creer en el significado de las matemáticas”.
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“En los niveles 5-8, el razonamiento debe impregnar todo el currículo de
matemáticas para que los estudiantes sean capaces de
- reconocer y aplicar razonamientos deductivos e inductivos;
- entender y aplicar procesos de razonamiento, con especial atención al
razonamiento espacial y al razonamiento con proporciones y gráficas;
- hacer y evaluar conjeturas y argumentos matemáticos;
- dar validez a sus propias ideas;
- apreciar la utilidad y la potencia que tiene en toda situación el razonamiento como
parte de las matemáticas”.
“En los niveles 9-12, el currículo de matemáticas debe incluir experiencias
numerosas y variadas que refuercen y amplíen las destrezas de razonamiento lógico para
que todos los estudiantes sean capaces de:
- elaborar y comprobar conjeturas;
- formular contraejemplos;
- seguir argumentos lógicos;
- juzgar la validez de un argumento;
- construir argumentos sencillos validos”.
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Valor de la demostración matemática en el aula
El valor de la enseñanza de la demostración matemática en el aula varía de unos
niveles educativos a otros, como se puede deducir de la lectura de los apartados anteriores,
pero su valor general es de ayudar a comprender la necesidad de validar las diferentes
proposiciones matemáticas que se aprenden en el aula, dentro de un objetivo más amplio
cual es el de ayudar a comprender la necesidad de validar modo objetivo el conocimiento
científico.
Es la prueba científica -la demostración matemática en nuestro ámbito- la que
diferencia el conocimiento científico de la mera creencia, de la simple intuición.
En nuestro marco sociocultural hay una cierta tendencia a rutinizar el aprendizaje
matemático, a enseñar a usar los teoremas matemáticos, a aplicarlos en la resolución de
problemas, pero sin ayudar a comprender adecuadamente cómo se obtienen dichos
teoremas, cómo se demuestran. Por ejemplo, se enseña a usar calcular las áreas de las
figuras, sin permitir comprender el por qué de dichos algoritmos, el por qué de esas
fórmulas. Con lo que se obtiene un aprendizaje mecánico, sin fundamento teórico, sin base,
que establece una distancia abismal entre el alumno y el “saber sabio”, el saber
institucional. La matemática aparece, así, para los alumnos algo que no se puede llegar a
entender, que es útil, pero que no es comprensible, que hay que aprender “de memoria”.
La utilidad formativa de la demostración matemática aparece, para nosotros, como
parte de una utilidad más general, cual es la de aprender a razonar en matemáticas. A
razonar de forma operativa, para resolver problemas, y para justificar el cumplimiento
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generalizado de las proposiciones matemáticas que usan en dichos procesos de resolución
de problemas, lo que ayuda a los estudiantes a construir un edificio matemático inteligente,
lógico y no sólo funcional.
Tema 2
¿ Enseñar demostraciones matemáticas en el aula ?
Uno de los procesos más importantes de las matemáticas es la demostración matemática y,
por ello, tiene una gran relevancia en la enseñanza y el aprendizaje de esta ciencia. Se han
realizado varias investigaciones en torno a la demostración matemática, tomando como
referencia tanto a los alumnos, como a los libros de texto y al profesorado. Se ha detectado
una gran diversidad de perfiles en el profesorado en relación al rol y las funciones que
asignan a la demostración en las aulas de Secundaria y a cómo conciben su enseñanza y
aprendizaje, lo que sin duda afectará al modo en que aparecerá ésta en su práctica de aula
habitual.
En la búsqueda permanente de criterios que ayuden a definir un camino más claro en la
enseñanza de la matemática, nos encontramos con cierta frecuencia paradigmas que nos
obligan a replantear nuestros métodos. La matemática no es una ciencia estacionaria si no
que se renueva permanentemente y así mismo los juicios valorativos de todas aquellas
componentes que a lo largo del tiempo han construido los cimientos de esta disciplina, al
respecto Paul Halmos (1980) se hace la pregunta: ¿En qué consiste realmente la
matemática? Los axiomas?, los teoremas?, las demostraciones?, las definiciones?, las
teorías, las fórmulas?, los métodos?. La matemática seguramente no existiría sin estos
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ingredientes, todos ellos son esenciales. Es, sin embargo, sustentable que ninguno de ellos
es el meollo de la disciplina, que la razón principal para la existencia del matemático es la
resolución de problemas, y por consiguiente, la matemática realmente consiste de sus
problemas y soluciones.
Es claro el papel que juegan las demostraciones en el ámbito de los matemáticos, pero al
parecer aún no lo es tanto su rol en la enseñanza de las matemáticas, algunos investigadores
en didáctica de la matemática apoyados en el trabajo hecho por Lakatos abiertamente
desestiman el valor de la demostración en la construcción del conocimiento matemático, y
afirman que su estudio en los salones de clase puede generar problemas de aprendizaje en
algunas personas, sobre todo para aquellos que no estudian para ser matemáticos y que no
están obligados a apreciar “la belleza y la estética de los teoremas y demostraciones
matemáticos” ni mucho menos compartir su misma motivación.
Para los profesores de asignaturas de matemáticas para no matemáticos es una experiencia
diaria la dificultad de abordar demostraciones en el aula de clase por la predisposición de
los estudiantes que ven en ellas una actividad innecesaria en la cual son sujetos pasivos,
para la cual no están preparados, no encuentran aplicaciones inmediatas y sobre todo exigen
un esfuerzo mental muchas veces frustrante que debería ser usado tal vez en abordar
problemas de aplicación relativos a sus carreras
No pocos docentes piensan que realmente no debería hacerse tanto énfasis en la
demostración en asignaturas para no matemáticos, consideran que es muy difícil cuando no
imposible enseñar a demostrar y que a lo más deben contentarse con repetir demostraciones
suyas o de otros autores que el estudiante debe aprender sin que al parecer contribuyan a un
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mejor desempeño académico y profesional del mismo. En unión a lo anterior se tiene que
el advenimiento de nuevas tecnologías ha permitido la aparición de otras formas de
demostración, en opinión de expertos, semi-rigurosas que potencialmente podrían desplazar
la demostración formal por algoritmos de computación cada vez más elaborados y
autónomos en los cuales la mediación humana se haga innecesaria. Y dado lo anterior, ¿por
qué preocuparse de hacer demostraciones?
La demostración en la enseñanza de las matemáticas cumple un papel que va más allá del
hacer evidente la veracidad de un teorema matemático o del descubrimiento de uno nuevo,
y como sigue siendo herramienta fundamental en el quehacer matemático, en la formación
del pensamiento lógico del individuo y en otros valores agregados que se discutirán más
adelante.
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Bibliografía
Carmen ... [et Al.] Azcárate Jiménez. Didáctica del Análisis Matemático: una revisión de
las investigaciones sobre su enseñanza y aprendizaje.
ORTIZ HUGO HERNAN. LA DEMOSTRACIÓN ELEMENTO VIVO EN LA
DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
MULLER, H. Inferencia lógica y demostraciones de la enseñanza de la matemática. Ed
Pueblo y Educación. La Habana.
MACIAS DORA A. et al. La enseñanza de la demostración matemática. Facultad de
Ciencias exactas y Naturales y Agrimensura – UNNE.
Página 29
Taller # 1 ( 40 puntos ) 10%
Fecha de entrega: 13 de junio de 2021
1. Conversatorio Heurístico sobre Significados de la Demostración Matemática.
Participación individual. ( 10 puntos )
2. Presentar un escrito en word sobre la importancia de la demostración en las
matemáticas escolares según Stylianides. ( página 15 ) ( 40 puntos )
𝑪𝒓𝒊𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒆𝒗𝒂𝒍𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏
Presentación
Una página
Doble espacio 5 puntos
Letra Times New Roman
Contenido
Redacción 5 puntos
Coherencia 10 puntos
Originalidad 10 puntos
Aportes personales 10 puntos
Página 30
Tarea # 1 ( 40 puntos ) 12%
Fecha de entrega: 19 de junio de 2021
En las páginas 16 – 17 del módulo aparecen diez tipos de demostraciones matemáticas,
investiga sobre dos de ellas, explica su uso, sus características, sus ventajas y desventajas,
luego desarrolla una demostración de acuerdo a la que elegiste. Las demostraciones usadas
deben ser sobre temas tratados en el nivel medio. ( 35 puntos )
Criterios de evaluación
Presentación 5 puntos
Contenido
Redacción 5 puntos
Coherencia 10 puntos
Originalidad 10 puntos
Aportes personales 10 puntos
Página 31
Taller # 2 ( 30 puntos ) ( 10% )
Fecha de entrega: 26 de junio de 2021
1. Después de leer el apartado ¿Qué tipos de demostraciones matemáticas convencen a
nuestros alumnos? (páginas 18 – 22 ) Hacer un análisis crítico en base a la realidad
de nuestras escuelas. ( Una página ) ( 30 puntos )
Análisis crítico de la lectura
I. Propósitos
A. El análisis crítico de una lectura tiene el propósito de ejercitar al participante en
destrezas de razonamiento crítico.
B. El participante extraerá, analizará e interpretará el contenido de una lectura
C. Estudiará y examinará sus elementos; identificará y discutirá sus propiedades
y expresará juicios y opiniones sobre las mismas.
II. Formato
A. Introducción
B. Resumen crítico breve sobre la lectura. Dando importancia a las
siguientes preguntas:
1. ¿Cuál es el argumento principal del autor? ¿Qué otros puntos propone el
artículo?
C. Crítica del estudiante. Debe presentar su posición, tomando en consideración lo
siguiente:
1. ¿Está usted de acuerdo con las consideraciones del autor? Explique su
contestación sea positiva o negativa.
2. Las recomendaciones del autor, si algunas, ¿son apropiadas?
3. ¿Qué implicaciones, si algunas, tienen los hallazgos o recomendaciones del autor
para usted en particular?
Página 32
Didáctica de la Enseñanza del Análisis
Tarea # 2 ( 40 puntos ) 13%
Fecha de entrega: 30 de junio de 2021
Investigación
A. Presentación del taller en power point.
1. Investiga la definición de los siguientes términos
a. Axioma
b. Proposición
c. Teorema
d. Corolario
e. Lema
2. Presenta un ejemplo de cada término.
3. Elabora una conclusión
Criterios de evaluación
Presentación 5 puntos
Contenido
Redacción 5 puntos
Coherencia 10 puntos
Originalidad y creatividad 10 puntos
Aportes personales 10 puntos
Página 33
Taller # 3 ( 30 puntos ) 10%
Fecha de entrega: 5 de julio de 2021
Redacta un ensayo argumentativo sobre el tema ¿Enseñar demostraciones
matemáticas en el aula? (páginas 25 – 27 )
Características del ensayo argumentativo
Las siguientes son las características principales del ensayo argumentativo:
• Presenta de un punto de vista siguiendo la estructura estándar de todo ensayo:
introducción, cuerpo o contenido, y conclusión.
• Desarrolla el argumento en forma detallada y coherente.
• Analiza los pro y los contras de las posiciones y/o opiniones relacionadas al tema.
• Presenta una conclusión que invita al lector a tomar la posición del autor.