mòdul i introduccióweib.caib.es/formacio/distancia/material/sol/modul_1.pdf– primera versió del...

Mòdul IIntroducció

Rubén Quejigo Gutiérrez

Setembre 2009

Materials de Formació

El moviment diürn i anual del sol

Nota inicial:

Aquest curs està dissenyat per a professors de secundària de Ciències Naturals, Socials, Tecnologia, Física i Química, Matemàtiques i professors de Formació Professional interessats en el moviment diürn i anual del sol. També es pot considerar com un curs introductori a l'Astronomia de Posició. Per tant, és segur que algun professor tingui una bona base matemàtica i li pot resultar fàcil el contingut merament matemàtic i és que no presentarem totes les demostracions de les diferents fórmules d'aplicació. (Si estàs interessat/da pots consultar qualsevol manual d'Astronomia). També hem de dir que a l'apartat de resolució de triangles esfèric presentarem el mètode més fàcil, ja que n'hi ha una mica més complicats. I per últim i per no complicar el contingut, treballarem únicament amb latituds positives.

2

El moviment diürn i anual del sol - Mòdul I. Introducció

El moviment diürn i anual del sol

Rubén Quejigo Gutiérrez

D'aquesta edició:Servei de Formació Permanent del ProfessoratDirecció General d'Innovació i Formació del ProfessoratConselleria d’Educació i Cultura

Setembre de 2009

Rubén Quejigo Gutiérrez 3


CONVENCIONS

Els símbols utilitzats en aquest text són:

Activitats d'introduccióActivitats completament guiades amb exposició gradual de continguts, que permetin assegurar els continguts mínims de la programació del mòdul de formació.

Activitats de consolidació i reforç: Aquestes activitats presenten una dificultat un poc superior ja que no són tan guiades i permetran un millor domini dels temes estudiats.

Activitats de lliurament obligatLes activitats que vénen marcades per aquesta icona s'hauran d'enviar obligatòriament a la tutoria per tal de poder superar el curs de formació.

Activitats opcionalsActivitats d'ampliació de coneixements que permeti aprofundir en la temàtica tractada. No són obligatòries i no s’han de fer si es veu que hi haurà dificultat per seguir el ritme aconsellat per al curs.

Recomanacions o comentarisRecomanacions o comentaris que permetran una millor realització de les activitats encomanades

AjudaPer algunes activitats, si la seva resolució presenta problemes, es podrà consultar l'ajuda que donarà pistes per facilitar la seva realització.

Recursos addicionalsPer poder ampliar els coneixements, es posa a la disposició dels alumnes una documentació complementària de consulta o d'ampliació.



Mòdul I. Introducció

1.UN POC D'HISTÒRIA.............................................................................................................................................6

1.1. ES MOU EL SOL?.....................................................................................................................................................61.2. REPÀS HISTÒRIC: DE L'ASTRONOMIA PRECOPERNICANA A KEPLER..................................................................................7

Astronomia precopernicana.................................................................................................................................7Astronomia copernicana......................................................................................................................................9Kepler.................................................................................................................................................................10Lleis de Kepler...................................................................................................................................................11I... després de Kepler?.......................................................................................................................................14

2.MESURA DELS ANGLES: GRAUS I RADIANS...............................................................................................14

2.1. GRAUS SEXAGESIMALS...........................................................................................................................................142.2. RADIANS.............................................................................................................................................................15

3.TRIGONOMETRIA PLANA: RAONS TRIGONOMÈTRIQUES, FUNCIONS TRIGONOMÈTRIQUES I FUNCIONS RECÍPROQUES...................................................................................................................................18

3.1. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES....................................................................................................................................183.2. FUNCIONS TRIGONOMÈTRIQUES................................................................................................................................19

Funció sinus.......................................................................................................................................................19Funció cosinus...................................................................................................................................................19Funció tangent...................................................................................................................................................20

3.3. EL CERCLE GONIOMÈTRIC.......................................................................................................................................21Relacions trigonomètriques entre angles...........................................................................................................21

3.4. FUNCIONS RECÍPROQUES.........................................................................................................................................23

4.COORDENADES GEOGRÀFIQUES..................................................................................................................26

4.1. LATITUD..............................................................................................................................................................264.2. LONGITUD...........................................................................................................................................................264.3. FUSOS HORARIS....................................................................................................................................................28

PROGRAMARI UTILITZAT EN EL CURS:

• OpenOffice.org Writer

• OpenOffice.org Calc



1. UN POC D'HISTÒRIA

1.1. Es mou el sol?

Sembla un poc contradictori parlar del moviment del sol quan sabem que és la Terra la que es mou al voltant del sol. Si ens fixem a la imatge superior, observem que es tracta d'un muntatge fotogràfic de diverses postes de sol, realitzat a Eivissa des del 7/12/2005 fins al 28/03/2006 i verifiquem que realment el sol es mou, no es pon pel mateix lloc de l'horitzó i per tant, no descriu el mateix camí tots el dies, ni tant sols es pon a la mateixa hora al llarg del temps. El nostre objectiu, amb aquest curs, és entendre aquest “viatge” del sol i predir quin serà el “camí” del sol per a un lloc i dia determinat, i també comparar el comportament del sol a dos o més llocs diferents.

Activitat d'introducció 1Visitar una pàgina web astronòmica

Abans de començar amb el curs, has de visitar alguna pàgina web astronòmica i fer un petit comentari al Fòrum justificant la teva elecció, els diferents apartats que té la pàgina i l'apartat que més t'ha agradat.

Nota: Seria convenient que aquesta pàgina disposàs d'un apartat amb dades sobre els planetes (període de revolució, distància mitjana al sol...)

Aquí tens alguns exemples:

www.alucine.com ; www.astroescolar.com ; www.astromia.com

www.astrored.org ; www.astronomia2009.es ; www.astroparatodos.es

www.oam.es ; www.roa.es


http://www.alucine.com/

http://www.roa.es/

http://www.oam.es/

http://www.astroparatodos.es/

http://www.astronomi2009.es/

http://www.astrored.org/

http://www.astromia.com/

http://www.astroescolar.com/


Al llarg de la història, i concretament de la història astronòmica, el sistema geocèntric, que considerava la Terra com el centre de l'Univers i amb tots els altres astres girant al seu entorn, ha tingut una gran, notòria i desafortunada importància. Però no sempre ha estat així. De totes formes, aquesta hipòtesi aparent i fictícia, és un bon recurs amb finalitats didàctiques i recolza l'estudi de l'astronomia de posició. Nosaltres adoptarem aquesta hipòtesi geocèntrica i suposarem que és el sol el que es mou al voltant de la Terra. Però abans de començar amb el curs, farem un petit repàs històric i també hem de fer un repàs de conceptes matemàtics que posteriorment hem d'utilitzar.

1.2. Repàs històric: De l'Astronomia precopernicana a Kepler

La problemàtica astronòmica ha estat, al llarg de la història, trobar un model que s'adaptàs a les observacions dels moviments del sol i els planetes observables a simple vista (Lluna, Mercuri, Venus, Mart, Júpiter i Saturn). Per això farem un repàs ràpid i quasi telegràfic de l'evolució de les idees sobre l'ordenació del sol i els planetes mitjançant principalment dues figures com són Copèrnic i Kepler. Però, quines eren les idees astronòmiques abans de Copèrnic?

Astronomia precopernicana

Dins l'astronomia precorpenicana tenim els següents pensadors que van influir molt i de manera prolongada al llarg del temps:

● Plató (427 aC – 347 aC)

Per a Plató tot era aparença i com que el cel estava a prop dels déus, significava estar a prop de la perfecció, i la perfecció és el moviment circular amb velocitat constant, el que suposava que les òrbites dels planetes eren circulars i la translació es realitzava amb velocitat constant.

● Aristòtil (Segle IV aC)

Separa l'univers en dues parts:

- El món supralunar: constituït per l'èter que forma els cossos celestes- El món sublunar: format per terra, aigua, aire i foc

Per tant, per a Aristòtil, la Terra ocupa el centre de l'univers sense rotació.

● Ptolomeu (85 -165 dC)

El sistema ptolemaic va sorgir per tal d'intentar explicar el canvi de lluentor dels planetes. Va exposar el seu model al llibre “Almagesto”. Al seu model, l'univers continua sent geocèntric però una mica més complicat, ja que va “inventar” el sistema epicicle-deferent. Les possibilitats de l'invent són enormes perquè jugant amb velocitats angulars, radis i sentits de gir es pot explicar qualsevol moviment aparent.

En aquest model se suposa que cada planeta recorre una òrbita circular, anomenada epicicle, el centre de la qual, C recorre una circumferència centrada a la Terra, anomenada deferent. Les peculiaritats del moviment de cada planeta són explicades per la combinació d'un diferent nombre d'epicicles i deferents, per les diferents dimensions relatives d'aquests i pels diferents períodes amb què són recorreguts.



Epicicle C

Deferent Terra

Una altra creació per explicar els moviments aparents dels planetes és l'excèntric: cercles imaginaris sobre els quals es mouen els planetes al voltant de la Terra, que no ocupa el centre de l'òrbita dels planetes. D'aquesta manera es pot evitar la complicació que significava l'ús dels epicicles.

L'excèntric

I una altra creació més, que posteriorment va influir en Kepler, és l'equant , on la Terra continua situada al centre del cercle deferent, però s'introdueix una novetat. Un punt E (l'equant) que està desplaçat respecte del centre del cercle deferent de tal manera que el centre de l'epicicle (D) es trasllada amb velocitat angular constant respecte l'equant (E). Això suposa, des del punt de vista terrestre, que la velocitat angular de D no és constant, el que implica una violació del principi platònic i aristotèlic.

L'equant

Aquesta idea geocentrista aristotèlica va ser cristianitzada per l'església catòlica i va durar quasi 2000 anys.


T

E x

TxE

α α

D


Astronomia copernicana

● Copèrnic

Amb Copèrnic, l'ordenació dels planetes va canviar, encara que va complicar l'estructura i la mecànica de l'Univers. Una idea arriscada que Copèrnic mai va fer pública.

De manera telegràfica exposarem el següent sobre la vida de Copèrnic:

– Va néixer el 19 de febrer de 1473 a Torú (actual Polònia)– Als 10 anys va quedar orfe de pare (comerciant) i va ser criat pel seu oncle, Lucas Watzelrode

(canonge i bisbe)– Estudià a la universitat de Cracòvia (però no astronomia). No va obtenir cap títol a Cracòvia.– A Itàlia va estudiar dret i va fer alguna observació astronòmica.– L'any 1501 va fer-se canonge a Frombork i tornà a Itàlia (Pàdua) per estudiar medicina i

misteriosament es doctorà en 1503 en dret.– Torna a Polònia i va fer labors administratives, polítiques i mèdiques.

– A l'any 1510 escriu El Commentariolus

– Primera versió del sistema heliocèntric (solament tres còpies)– Ordena els planetes correctament i a l'última esfera es troben les estrelles fixes.– Descriu el moviment de rotació i translació de la Terra circulant al voltant del sol amb velocitat

angular constant i el moviment de declinació (baldufa) explicant les estacions.– Proposa les estrelles fixes com a referent absolut dels moviments celestes.– Moviment de la Lluna com a sistema biepicíclic. – En total necessita 34 cercles (Sistema de Ptolomeu: més de 80 cercles) i abandona la idea de

l'equant per violar el principi de moviment circular uniforme.– Explica la gravetat com a efecte terrestre i no com a efecte natural d'ordre còsmic.

– Al final de l'any 1542, Copèrnic va sofrir una hemorràgia cerebral i va morir el 24 de maig de 1543.– Després de moltes indecisions i animat per un matemàtic (Rethico) i el seu amic Giese es va publicar

el 1543 De revolutionibus orbium coelestium.

– Consta de sis llibres o capítols.– El primer llibre consta dels fonaments cosmològics de l'obra i de les matemàtiques necessàries

per a les proves científiques.– Des del segon fins al sisè llibre, consta de la part tècnica per a especialistes en Astronomia de

posició.– Continguts més importants:

– La Terra és esfèrica– El moviment dels cossos celestes és uniforme, circular i perpetu o compost per moviments

circulars.– La Terra no és el centre de l'Univers i té un moviment circular al voltant del sol.– Els planetes es mouen al voltant del sol i classifica a Mercuri i Venus com a planetes interiors

i Mart, Júpiter i Saturn com a exteriors.– La Terra té un triple moviment: rotació, translació i declinació.– El més important: Per primera vegada en la història de la humanitat es presenta una teoria

heliocèntrica avalada per una base matemàtica.– Agafant les dades d'observacions acumulades al llarg de tretze sigles va descriure el

moviment de la Terra amb nou moviments circulars. Al final, la seva teoria va presentar més cercles que el sistema de Ptolomeu.

– A Anglaterra, les idees de Copèrnic van tenir una bona acollida i Espanya va ser un dels primers països on es van impartir a la Universitat.

– A partir del final del segle XVI, serà l'Església Catòlica, amb “La Inquisició”, la que va convertir l'heliocentrisme en l'enemic més immediat.



Kepler

La següent figura que va destacar al món astronòmic és Kepler. La seva perseverança i la seva vida (un cúmul de desgràcies que va superar) són dignes d'admiració. Les seves tres lleis van posar un punt i apart dins l'astronomia i la física.

– Va néixer a Weil der Stadt – Nuremberg (Alemanya) el 27 de desembre de 1571 (Va ser setmesó, el que va repercutir a la seva salut tota la seva vida) dins d'una família amb molta falta d'amor.

– Els seus pares el van abandonar als 4 anys i se'n va anar amb els seus avis que no el volien.– Va caure malalt de pigota, que el va deixar miop i amb visió doble en un dels ulls.– Respecte a la seva formació acadèmica: Va repetir dues vegades a l'escola. Ingressà al seminari als

tretze anys on els seu companys es burlaven d'ell per sobresortir de la resta per la seva intel·ligència.– Ingressà a la Universitat de Tubinga l'any 1589 i va adquirir una bona reputació entre els seus

companys.– Es va fer amic del professor d'Astronomia Michael Maestlin, qui li ensenyà la teoria copernicana.– Al darrer curs, abans d'acabar els estudis, li ofereixen una plaça de professor de matemàtiques i

astronomia a la Universitat de Graz (Àustria) i, a més a més, hauria de realitzar les efemèrides i els pronòstics astrològics. (Ell volia ser canonge i va pensar molt sobre el fet d'agafar la plaça).

– El primer any va tenir alguns alumnes. El segon any, cap.– La seva ment buscava un model matemàtic que estigués d'acord amb les dades d'observació de

Copèrnic.– Va plantejar un model de cinc sòlids regulars i sis esferes (Tants com planetes!!) però les dades no

encaixaven.– Va publicar el seu descobriment a “El secret de l'univers” (Mysterium cosmographicum)– El seu model i les observacions de Copèrnic encaixaven dins uns límits, però per a Júpiter, la

diferència era gran.– Segueix utilitzant el sistema epicicle-deferent de tal manera que l'epicicle ha de estar dins el grossor

de les esferes.– Es preguntà quin és el motor del planetes. Col·loca el sol al centre físic i geomètric i el fa el motor del

moviment dels cossos celestes de forma que actua amb més força als planetes més propers.– Es casà amb Bàrbara Müller (27 anys), vídua per partida doble i amb una filla de set anys, l'any 1597.

L'any 1598 té el primer fill però va morir als 2 mesos. L'any 1599 té una filla que va morir amb 1 mes. Kepler tornà molt malenconiós.

– Kepler visità Tycho Brahe per utilitzar les seves observacions. Es troben a Praga. Són dues personalitats molt diferents i Tycho li mostra les observacions molt a poc a poc (observacions de més de vint anys). Els dos arriben a un acord econòmic i Kepler es trasllada a Praga.

– La seva família es veu obligada a abandonar Graz per qüestions religioses (són luterans). Demana treball a la Universitat de Tubinga i li diuen que no. Agafa una depressió. Mentrestant, Tycho li fa la vida impossible. Estarà onze anys a Bohèmia.

– L'any 1602 va morir Tycho d'un sopar molt copiós i li va confiar a Kepler les seves observacions. Kepler és nomenat matemàtic imperial però no sempre va cobrar. Fa horòscops per a la noblesa, estudia una nova (1604), segueix elaborant taules astronòmiques i va publicar unes quantes obres astronòmiques i astrològiques.

– Adaptar un model a les observacions li va costar cinc anys. En aquest període va tenir tres fills i la seva fillastra es va casar.

– L'any 1611 va morir el segon dels fills de varicel·la i la seva dona de tifus.– Rodolf, rei de Bohèmia, abdicà a l'any 1612 i Kepler es traslladà a Linz (Austria) per treballar com a

matemàtic provincial.

MART va tenir una especial importància a la vida de Kepler.

– Pel seu estudi d'adaptació del model amb les observacions va utilitzar el planeta Mart.– Va determinar que el pla de l'òrbita marciana està inclinat 1º 58' respecte de l'eclíptica.– Per trobar la forma de l'òrbita va repetir els càlculs setanta vegades utilitzant mètodes geomètrics i

dinàmics.



– Es va adonar que l'òrbita de la Terra no era circular i la seva velocitat no era uniforme.– Va publicar les seves conclusions al llibre Astronomia Nova o Física Celeste (1609) on es veu que els

seus pensaments estan plens d'idees “newtonianes” quant a la idea de gravetat. Donà a conèixer la primera i segona lleis de Kepler. La tercera llei tardarà quinze anys a aparèixer.

– Va cultivar altres especialitats com l'Òptica i va mantenir contacte, a nivell científic, amb Galileu. Les seves investigacions d'òptica s'inicien en Graz i són aplicacions a instrumental òptic i correccions en observacions astronòmiques (Atmosfera i refracció) per a observacions properes a l'horitzó.

– Escriu un tractat sobre òptica “Dioptrica” com a resposta rigorosa a les cartes de Galileu.– 1610: Galileu fabrica el seu primer telescopi i va descobrir els satèl·lits de Júpiter. Observa la Lluna,

les taques solars, els anells de Saturn i les fases de Venus.– Kepler es va convertir en defensor de les idees de Galileu.

Continuant amb la vida de Kepler a LINZ:

– Contractat per la noblesa com a Matemàtic provincial.– Des de 1612, passarà dotze anys a Linz.– En arribar, el capellà principal li nega la comunió.– Els nobles li van presentar dones i va triar entre onze una jove orfe: Susanne Reuttinger. Es casà

l'any 1613 i va tenir set fills més, encara que cinc van morir. En total Kepler va tenir dotze fills, dels quals van morir vuit.

– Publicà l'any 1615 Estereometria dels tonell de vi, aproximant-se al càlcul integral tal com avui el coneixem.

– Acabà les Taules rudolfines i va establir l'òrbita de Mercuri i Venus i les anomalies de la Lluna.– 1615: La seva mare, recol·lectora d'herbes i venedora de receptes, és acusada de bruixeria. El procés

durà sis anys. Va morir l'any 1622.– Durant aquesta època fa un estudi sobre proporcions musicals i matemàtiques. Publicà (1618)

L'harmonia del món que conté cinc llibres amb meditacions sobre geometria, música, astrologia i astronomia i on apareix la tercera llei de Kepler del moviment planetari.

– L'única idea copernicana que queda és que el sol és el centre material de l'Univers. Ja no hi ha cercles, epicicles ni deferents i ha desaparegut el moviment uniforme.

– 1619: L'harmonia del món és inclosa a l'índex de llibres prohibits per l'Església Catòlica.– 1614: Napier inventa els logaritmes i simplifica els càlculs.– 1625: Kepler publicà treballs teòrics sobre logaritmes i les seves taules corresponents.– A finals de l'any 1626 abandona Àustria i es trasllada a Alemanya.– 1627: Publica les Taules rudolfines que consten de dues parts:

– Primera part: Instruccions per calcular posicions planetàries. – Segona part: Les taules de posicions dels planetes, el sol i la Lluna i un catàleg de 1000 estrelles.– Van servir com a instrument de predicció astronòmica i navegació durant més d'un segle.

– 1628: Es contractat per Albretch von Wallenstein, comandant en cap dels exèrcits imperials, a qui vint anys abans li va fer un horòscop i es traslladà al Ducat de Sagan (Silèsia). Allí va realitzar efemèrides fins a l'any 1639 i va predir el trànsit de Mercuri i Venus al llarg del disc solar a l'any 1631.

– 1630: Wallenstein perd la seva condició de comandant en cap i Kepler decideix tornar a Linz, fent una parada a Ratisbona on estava l'emperador. Allí es posa malalt i morí amb 58 anys. La seva dona va morir l'any 1636.

– 1765: Els seu manuscrits foren descoberts a Frankfurt i actualment es troben repartits entre Sant Petesburg (la part més important), Viena i Stuttgart. A Oxford, Munic, Graz i Tubinga es troben manuscrits de cartes.

Recursos addicionalsLectura recomanada.Autor: García Hourcade, Juan LuísTítol: Copérnico y Kepler: La rebelión de los astrónomosPublicació: Madrid – Nívola, 2000

Lleis de Kepler



Recordem les tres lleis de Kepler:

● Primera llei de Kepler Els planetes descriuen òrbites el·líptiques de tal manera que a un dels focus està situat el sol.

Planeta

sol

● Segona llei de Kepler El vector de posició de qualsevol planeta respecte al sol cobreix àrees iguals de l'el·lipse en temps iguals. (Llei de les àrees)

● Tercera llei de Kepler Els quadrats dels períodes de revolució són proporcionals als cubs de les distàncies mitjanes dels planetes al sol. T2 = k·R3,, on k és la constant de proporcionalitat. Així, per a dos planetes diferents P1 i P2 tenim:

T 12

R13 =

T 22

R23 = k

de tal manera, que si sabem el valor de T 1 , R1 i R2 podem calcular T 2

T 22=

T 12· R2

3

R13 ⇒ T 2= T 1

2 · R23

R13



Activitat d'introducció 2Càlcul del període de revolució d'un planeta

Primer de tot, hem de dir que agafarem com a unitat de temps, per als períodes de revolució, l'any terrestre, i com a unitat de distància, per a les distàncies mitjanes, la unitat astronòmica (UA), que és la distància mitjana Terra-sol.1 UA = 1,49597871·1011 m.

Així, per a la Terra T 1=1 any i R1=1 UA i si per a un altre planeta sabem que R2 = 5,203363 UA , has de calcular el període de revolució T 2 amb la següent

fórmula:

T 2=T 12· R2

3

R13 = T 1 · · R2

3

R13

Com que T 1=1 any i R1=1 UA , el que has de fer únicament és:

T 2=R23

Si ho fas correctament, recorda que les unitats del resultat són anys terrestres.

De quin planeta es tracta?

Activitat d’entrega obligada 1Càlcul de la distància mitjana d'un planeta

Si has trobat correctament el període de revolució del planeta de l'apartat anterior, ara amb aquesta dada calculada, hauràs de trobar la distància mitjana d'un tercer planeta.

Les dades són les següents:

T 2 que has calculat abans ; R2 = 5,203363 UA ; T 1 = 0,61644 anys

Has de calcular R1 d'aquest nou planeta.

Has d'enviar al tutor un fitxer anomenat distancia.odt explicant quin és el resultat de l'exercici anterior i de quin planeta es tracta. També has d'explicar com has calculat el radi mitjà d'aquesta activitat i de quin planeta es tracta aquesta vegada.

Per saber quins planetes són, hauràs de consultar qualsevol enciclopèdia o alguna pàgina web especialitzada en Astronomia. Indica al document, que has d'enviar al tutor, on has trobat aquesta informació.

Per altra banda, per calcular la distància mitjana R1 hauràs d'utilitzar aquesta fórmula:

R1 =3 T 1

2 · R23

T 22 = R2 · 3T 1

2

T 22



I... després de Kepler?

La següent etapa en la història de l'Astronomia fou una discussió de la dinàmica del moviment planetari i un esforç per determinar la interacció responsable d'aquest moviment. És aquí on Newton va fer la seva gran contribució amb la llei de la Gravitació Universal, però això ja és una altra història.

2. MESURA DELS ANGLES: GRAUS I RADIANS

En astronomia de posició, és a dir per determinar la posició d'un astre a l'esfera celeste, es treballa bàsicament amb angles. Per mesurar els angles podem utilitzar diverses unitats. Les més conegudes són els graus sexagesimals i els radians.

2.1. Graus sexagesimals

Si dividim un angle recte en noranta parts iguals. Cadascuna d'aquestes parts és un grau sexagesimal (º). El grau sexagesimal té submúltiples: el minut (') i el segon('') de tal manera que 1º = 60' i 1' = 60''.

D'aquesta manera si tenim un angle de 38º 36' 24'' (notació sexagesimal) el podem expressar únicament en graus (notació decimal) de la següent manera:

38º 36' 24''

(Directament) 36' : 60 = 0,6º 24'': 60 = 0,4' 24'' : 3600 = 0,0067º

0,4' : 60 = 0,0067º

Per tant: 38º 36' 24'' = 38º + 0,6º + 0,0067º = 38,6067º

Per realitzar el pas invers (de notació decimal a notació sexagesimal), actuarem de la manera següent:

Partim de l'angle 40,5268º = 40º + 0,5268º

0,5268º · 60 = 31,608' = 31' + 0,608'

0,608' · 60 = 36,48''

Així, tenim que: 40,5268º = 40º 31' 36,48''



Activitat d'introducció 3Angles: Canvi de notació

1) Passa a notació decimal els següents angles:

a) 39º 34' 36'' b) 40º 24' 35''

2) Passa a notació sexagesimal els següents angles:

a) 2,6531º b) 3,6864º

2.2. Radians

Si partim d'una circumferència de radi r, un radià es defineix com a l'angle que limita un arc de la circumferència, la longitud del qual és igual al radi de la circumferència.

r r

α

L'angle α és un radià (rad), ja que la longitud de l'arc que abasta és igual al radi de la circumferència de partida. Així que, com sabem que la longitud d'una circumferència és L=2 r , si dividim la longitud de la circumferència en arcs de longitud r obtenim:

Lr=2r

r=2 , és a dir que 360º és equivalent a 2 radians, és a dir que 180º és equivalent a

rad.

D'aquesta manera podem transformar els angles de graus a radians i viceversa.

De graus a radians: rad = · Aº180º

De radians a graus: Aº = 180º · rad

I a partir d'aquesta equivalència, obtenim la següent taula: Rubén Quejigo Gutiérrez 15


Radians Graus

2 360

32

270

180

2

90

3

60

4

45

6

30

0 0

De totes aquestes equivalències, la més fàcil de recordar és que 180º ~ rad. Equivalència que hem de recordar per a futurs exercicis.

Activitat d'introducció 4Full de càlcul: Canvi d'unitats (Graus sexagesimals - radians)

Nota: El nom de les funcions fan referència a la versió de l'OpenOffice en català i poden variar una mica respecte a la versió en castellà.

Has d'obrir un full nou de càlcul amb l'OpenOffice i l'anomenarem Graus_rad.ods

1. A la cel·la D1 i L1 has de posar els títols dels dos canvis d'unitats que faràs:

Graus -----> radians radians -----> Graus

I has de posar la resta de títols a les següents cel·les:

B3: Angle (notació sexagesimal) ; E3: Angle (notació decimal) G3: Angle (radians) ; I3: Angle (radians) K3: Angle (notació decimal) ; N3: Angle (notació sexagesimal)

2. A la fila 5, has de posar a les següents cel·les:

A5: Graus ; B5: Minuts ; C5: Segons ; E5: Graus ; G5: rad ; I5: rad ; K5: Graus M5: Graus ; N5: Minuts ; O5 : Segons

3. Pots donar format a les cel·les (color, alineament...etc) de tal manera que pots obtenir un full semblant a la següent imatge:



4. A la fila 7 , has de posar les dades i els càlculs que s'han de realitzar.

(El format numèric ha de tenir 4 dígits decimals)

Les cel·les A7 , B7 i C7 són per posar les dades de l'angle en notació sexagesimal.

A la cel·la E7 has de fer la transformació de l'angle en notació sexagesimal a notació decimal, per tant hauràs de definir la següent funció: =A7 + B7/60 + C7/3600 (Procés que està explicat a l'apartat 2.1.)

5. A la cel·la G7 has de fer la transformació de l'angle de graus a radians. L'OpenOffice disposa d'una funció que fa la transformació automàticament: = RADIANS( ), però nosaltres definirem la nostra pròpia funció: = PI()*E7/180

Ja que recordem que rad equival a 180º.

6. La cel·la I7 és per posar la dada de l'angle en radians

7. A la cel·la K7 has de fer la transformació de l'angle de radians a graus. L'OpenOffice disposa d'una funció que fa la transformació automàticament: = GRAUS( ), però nosaltres definirem la nostra pròpia funció: = 180*I7/PI()

8. A les cel·les M7, N7 i O7 has de fer la transformació de l'angle de graus (notació decimal) a graus (notació sexagesimal)

9. A la cel·la M7 has de definir la funció: = TRUNCA(K7)

10. A la cel·la N7 has de definir la funció: = TRUNCA((K7-M7)*60)

(La funció TRUNCA trunca els llocs decimals d'un nombre)

11. I a la cel·la O7 has de definir la funció: =(((K7-M7)*60)-N7)*60

Pots comprovar amb aquests exemples, que ho has fet tot correctament.

38º 24' 45'' = 0,6704 rad ; 1,3456 rad = 77º 5' 49,9233''



3. TRIGONOMETRIA PLANA: RAONS TRIGONOMÈTRIQUES, FUNCIONS TRIGONOMÈTRIQUES I FUNCIONS RECÍPROQUES

3.1. Raons trigonomètriques

Hem de fer un petit repàs a la trigonometria plana per ser la base de l'Astronomia de posició, encara que després traslladarem la trigonometria plana a una esfera per obtenir la trigonometria esfèrica.

Comencem per la definició de raó:

S'anomena raó entre dos nombres, o proporció entre ells, al seu quocient.

Així, en un triangle rectangle obtindrem les relacions o raons entre els diferents costats per obtenir les raons trigonomètriques.

En un triangle rectangle tenim els dos costats que formen l'angle recte (b i c), anomenats catets i el costat que està en front de l'angle recte (a), hipotenusa.

a b α

c

Per a l'angle agut α es defineix sinus, cosinus i tangent, respectivament (raons trigonomètriques de l'angle α)

sin= longitud del catet oposat a longitud de la hipotenusa

= ba

; cos= longitud del catet contigu alongitud de la hipotenusas

= ca

tg=longitud del catet oposat alongitud del catet contigu a

=bc

Els valors de sin, cos, i tg d'un mateix angle no són independents, sinó que estan relacionats, de tal manera que coneixent-ne un, podem calcular els altres dos. Les relacions que els lliguen són les següents i s'anomenem relacions fonamentals.

sin2cos2 = 1 ; sincos

= tg

De la primera igualtat es dedueix que:

−1 sin 1 i −1 cos 1 per a qualsevol valor de l'angle α.

Els valors del sinus, cosinus i tangent dels angles més freqüents són: Rubén Quejigo Gutiérrez 18


Angle (º - rad) Sinus Cosinus Tangent0º – 0 rad 0 1 0

30º - 6

rad12

32

33

45º - 4

rad 22

22

1

60º - 3

rad 32

12 3

90º - 2

rad 1 0 No existeix

3.2. Funcions trigonomètriques

Una funció és, en una primera aproximació, una relació entre dues magnituds, de manera que a cada valor de la primera li correspon un únic valor de la segona.

Nosaltres el que relacionarem serà el valor de l'angle (en radians) amb el valor de les funcions sinus, cosinus i tangent.

Si variem l'angle α (recordem que les unitats dels angles són radians i que en teoria pot agafar qualsevol valor real, ja sigui negatiu, zero o positiu) obtenim las funcions sinus, cosinus i tangent. Recordem que són funciones periòdiques.

Funció sinus

La funció que associa a cada angle x la raó sin(x), s'anomena funció sinus. És una funció periòdica de període 2 .

La seva gràfica és la següent per a l'interval [0º , 360º] = [0 rad , 2 rad] :

Funció cosinus

La funció que associa a cada angle la raó cos(x), s'anomena funció cosinus. És una funció periòdica de



període 2 .


Funció tangent

La funció tangent que associa a cada angle la raó tg(x), s'anomena funció tangent. És una funció periòdica de període . No és una funció contínua en tot ℝ , ja que el seu domini és:

ℝ−{2 k , k ∈ℤ} i és creixent al seu domini.




3.3. El cercle goniomètric

Després de definir les raons trigonomètriques, les visualitzarem al cercle goniomètric. El cercle goniomètric és un cercle de radi unitat.

Si agafem un angle α i construïm un triangle rectangle d'hipotenusa el radi r = 1 i catets a i b, obtenim:

sin= ar= a

1= a ; cos= b

r= b

1=b

Per tant, podem visualitzar el sinus d'un angle com la projecció de l'angle sobre l'eix Y (eix d'ordenades) en color vermell, i el cosinus de l'angle com la projecció de l'angle sobre l'eix X (eix d'abscisses) en color blau.

Relacions trigonomètriques entre angles

Visualitzarem al cercle goniomètric la relació entre diversos angles i que utilitzarem en futurs mòduls.

sin = sin180º− ; cos 180º−=−cos



sin− =−sin ⇔ sin 360º−=−sin

cos − = cos ⇔ cos 360º− = cos

sin 90º−= cos ; cos 90º−= sin



Activitat d'introducció 5Relacions trigonomètriques entre angles.

Has de relacionar les raons trigonomètriques de la primera columna amb les raons de la segona columna:

1) sin 10º a) cos 120º2) cos 30º b) – sin 15º3) - cos 60º c) cos 45º4) cos(-45º) d) sin 150º5) sin 30º e) sin 60º6) sin(-15º) f) cos 80º

Pots enviar un correu al teu tutor indicant quines són les solucions per corregir l'exercici.

3.4. Funcions recíproques

Dues funcions són recíproques quan l'aplicació successiva d'aquestes funcions ens retorna al valor original. Per exemple, si tenim la funció f x= x2 , la seva funció recíproca és f −1 x= x ja que si apliquem a un nombre la primera funció, obtindrem el seu quadrat i aplicant a aquest darrer la funció recíproca (l'arrel quadrada), obtindrem el nombre de partida.

Les gràfiques de dues funcions recíproques són simètriques respecte a la bisectriu del primer quadrant.

Funció arcsinus (Funció recíproca de la funció sinus)

Ara plantegem com buscar el valor de l'angle (en graus o en radians) quan coneixem el valor del sinus.

Hem vist que dues funcions són recíproques quan a cada valor de x hi correspon un valor de f(x), i recíprocament. Perquè aquest requisit es compleixi, la funció recíproca es pot triar a qualsevol interval en què f(x) = sin(x) agafi tots els valors del recorregut i no es repeteixin.

Les dues opcions possibles, tret que hi hagi periodicitat, són les següents:

La primera és una funció creixent, mentre que la segona és una funció decreixent.

Per buscar l'angle corresponent a qualsevol valor del sinus les calculadores utilitzen la funció creixent.

Per exemple:

Sabem que sin 6=

12

però si el que volem calcular és arcsin 12 , la calculadora es donarà



com a solució 6

rad, però la solució no és única ja que arcsin 12=

62 k , k∈ℤ

(donada la periodicitat) i també arcsin 12=5

62 k ,k ∈ℤ .

Per tant, tenim infinites solucions, encara que tenim dues solucions que pertanyen a l'interval [0 , 2]

: 6

i 56

rad

Funció arccosinus (Funció recíproca de la funció cosinus)

Tal com hem fet amb la funció sinus, ara el que volem és buscar el valor de l'angle (en graus o radians) quan coneixem el valor del cosinus, i tal com passava amb el arcsinus, tenim dues opcions:

La primera és una funció decreixent, mentre que la segona és una funció creixent.

Per buscar l'angle corresponent a qualsevol valor del cosinus, les calculadores utilitzen la funció decreixent. Així:

Sabem que cos 6=3

2 però si el que volem calcular és arccos 3

2 , la calculadora es

donarà com a solució 6

rad, però la solució no és única ja que

arccos 32=

62 k , k∈ℤ (donada la periodicitat) i també...



arccos 32

=116

2 k , k∈ℤ .Per tant tenim infinites solucions, encara que tenim dues

solucions que pertanyen a l'interval [0 , 2] : 6

i 116

rad

Funció arctangent (Funció recíproca de la funció tangent)

Tal com hem fet amb la funció sinus i cosinus, ara el que volem és buscar el valor de l'angle (en graus o radians) quan coneixem el valor de la tangent. Per

trobar aquest valor agafem l'interval −2

, 2 de la funció tangent,

encara que n'hi ha de més.

Sabem que tan 6=3

3 però si el que volem calcular és arctan3

3 ,

la calculadora es donarà com a solució 6

rad, però la solució no és única ja

que arctan 33=

6k , k∈ℤ (donada la periodicitat) i també

arctan 33=7

6k , k∈ℤ . Per tant tenim infinites solucions, encara

que tenim una solució que pertanyen a l'interval: −2

, 2 ,

6rad

Activitat opcional 1Càlcul amb funcions trigonomètriques

Busca el valor de les funcions següents per als valors donats en graus o en radians:

a) sin 30º ; sin 225º ; sin−3

b) cos 60º ; cos 135º ; cos−6

c) tan 4 ; tan 225º ; tan (-60º)

Activitat opcional 2Càlcul amb funcions recíproques

Expressa en graus o en radians:

a) arcsin 1 ; arcsin 0,5 ; arcsin(-1)b) arccos 0 ; arccos(-0,5) ; arccos 1c) arctg 1 ; arctg(-1) ; arctg(-0,5)

• Si et decideixes a fer les dues activitats opcionals anteriors, pots enviar els resultats al teu tutor per corregir-les.



4. COORDENADES GEOGRÀFIQUES

Suposarem la Terra com una esfera que gira. El gir de la Terra es produeix la voltant d'un eix, línia imaginària que passa pel centre i la talla en dos punts: els pols, nord i sud. (PN i PS)

Els plans que contenen l'eix tallen la superfície de la Terra en uns cercles màxims anomenats meridians. Tots passen pels pols. El meridià que passa pel punt de la Terra on es trobem, s'anomena meridià del lloc. L'eix de la Terra divideix al meridià del lloc en dues semicircumferències: el meridià superior i el meridià inferior o antimeridià.

Els plans perpendiculars a l'eix de la Terra la tallen en circumferències anomenades paral·lels. D'aquestes, la que té el centre al centre de l'esfera s'anomena equador. És una circumferència màxima que divideix la superfície de la Terra en dues meitats: els hemisferis nord i sud.

Hi ha altres paral·lels que són importants de recordar:

– Tròpic de Càncer: Paral·lel separat 23º 27' de l'equador cap al nord– Tròpic de Capricorni: Paral·lel separat 23º 27' de l'equador cap al sud– Cercle Polar Àrtic: Paral·lel separat 23º 27' del pol nord– Cercle Polar Antàrtic: Paral·lel separat 23º 27' del pol sud

Per a cada punt de la Terra passen un paral·lel i un meridià. Les coordenades geogràfiques de cada punt es designen per la posició que ocupen respecte a dos cercles màxims:

● L'equador● El meridià que passa per Greenwich

4.1. Latitud

La latitud d'un punt de la Terra és la mesura angular de l'arc de meridià que va d'aquest punt a l'equador. Cal afegir si està al nord (N) o al sud (S). Tots el punts d'un paral·lel tenen la mateixa latitud. Per tant, la latitud d'un punt de la Terra es mou entre 0º i 90 º nord o sud.

4.2. Longitud

La longitud d'un punt de la Terra és l'angle que forma el pla que determina el meridià del lloc amb el pla que determina el meridià de Greenwich. Cal afegir si el punt està a l'est o a l'oest del meridià de Greenwich. La longitud d'un punt de la Terra es mou entre 0º i 180º oest o est.



Les coordenades geogràfiques d'un lloc són la latitud i la longitud.

Exemple: Les coordenades geogràfiques del punt P de la imatge són:

Latitud: 30º N ; Longitud: 60º O

La següent taula presenta les coordenades geogràfiques de sis ciutats d'Espanya, ordenades en longitud des de l'est cap a l'oest.

Coordenades geogràfiques Ciutat Latitud Longitud

Maó 39º 53' 23'' N 4º 15' 51'' EPalma de Mallorca 39º 34' 36'' N 2º 39' 11'' EEivissa 38º 54' 30'' N 1º 26' 12'' ESant Francesc de Formentera 38º 42' 26'' N 1º 25' 51'' EMadrid 40º 24' 35'' N 3º 41' 11'' OFinisterre 42º 54' 18'' N 9º 15' 52'' OSanta Cruz de Tenerife 28º 27' 53'' N 16º 16' 48'' O

Activitat d'introducció 6Trobar coordenades geogràfiques

Has de trobar les coordenades geogràfiques del teu lloc de residència habitual o del teu centre de treball.

Pots aprofitar el Google Earth, un GPS, pàgines web amb coordenades geogràfiques, mapes...

Recursos addicionals● Coordenades geogràfiques de nombrosos indrets del Principat de

Catalunyahttp://www.infomet.fcr.es/misc/catalatlon.cgi


http://www.infomet.fcr.es/misc/catalatlon.cgi


4.3. Fusos horaris.

El temps que tarda el sol a fer una volta al seu moviment aparent al voltant de la Terra (és a dir, el temps que hi ha entre dos passos consecutius pel meridià d'un lloc) s'anomena dia. Quan el sol passa pel meridià d'un lloc, es diu que és migdia. Quan passa pel seu antimeridià, mitjanit.

Segons això, en cada longitud serà migdia en un moment diferent i, per tant, si els rellotges s'ajustassin a aquest fet, llocs pròxims tindrien hores semblants però no iguals, la qual cosa suposaria un caos horari. Per això s'estableixen salts que van d'hora en hora, de la manera següent:

Centrat al meridià 0º, es forma un fus esfèric de 15º (360º : 24 h = 15º cada hora). En aquest fus, seran les 12 hores quan el sol passi pel meridià 0º. Aquest és el fus horari que correspon a Espanya, excepte a la Comunitat Autònoma de Canàries. A partir d'aquest, es formen els altres 23 fusos.

Els diferents països s'acomoden més o menys a aquesta regla, amb alguns reajustaments per evitar, per exemple, que un país petit tengui dues hores diferents al seu territori.

Activitat d'introducció 7Fusos horaris. Canvi d'hora

1) A Rio de Janeiro (RJ - 43º O) són les 7 del matí. Quina hora és a Hong Kong (HK - 115º E) ?

Rio de Janeiro està situat al fus horari delimitat per les longituds 52,5º O i 37,5º O (3r fus O), i Hong Kong està situat al fus horari delimitat per les longituds 112,5º E i 127,5º E (8è fus E), el que significa que Hong Kong està situat 11 fusos horaris més a l'est respecte a Rio de Janeiro. Per tant, l'hora a Hon Kong serà: 7 h + 11 h = 18 h, és a dir que a Hong Kong són les 6 de l'horabaixa.

2) Quan en el fus 0 són les 8 am, quina hora és en el fus 3r a l'E? I en el fus 5è O?

3) Roma està en el fus 1r E i Nova York, en el 5è O. Si un avió surt de Roma a les 11 pm i el vol dura 8 h, quina serà l'hora local d'arribada a Nova York?

Oest Meridià de Est Greenwich

RJ HK

97,5º 82,5º 67,5º 52,5º 37,5º 22,5º 7,5º 0º 7,5º 22,5º 37,5 º 52,5º 67,5º 82,5º 97,5º 112,5º



Recursos addicionals

Per saber més, aquí tens uns enllaços:

● Presentació Power Point: Orientació i coordenades geogràfiques

www.lacenet.org/gps/Docs%20definitius/coord.pps

● Taller de ciències socials - Orientar-se a la Terra: cartografia ... (Una petita explicació de les coordenades geogràfiques a nivell de 1r d'ESO)

● www.xtec.es/recursos/socials/taller/unitat3/ coordenad es .htm

● Presentació sobre les coordenades geogràfiques.

http://phobos.xtec.net/rferna63/mod/resource/view.php ?id=760

● Links de cartografia. Projecte Xarxa

http://80.24.129.36/mates/projectexarxa/index.htm

Activitat d’entrega obligada 2Full de càlcul: Coordenades geogràfiques en graus i radians

A l'activitat d'introducció 6 has trobat les coordenades geogràfiques del teu lloc de residència o del teu centre de treball. Aquestes dades has d'aprofitar-les i al full de càlcul de l'activitat obligada 4 (Graus_rad.ods) has de calcular la latitud i longitud en radians.

Simplement has d'afegir una filera més a la primera taula (Canvi de graus a radians) arrossegant les cel·les.

Guarda aquest full de càlcul amb el nom Graus_rad_coord.ods

Envia un correu al teu tutor amb l'assumpte: Mòdul I Activitat obligada 2 on has d'explicar quin lloc has triat per fer l'activitat (el teu lloc de residència o el teu centre de treball) i com has trobat les coordenades geogràfiques. Adjunta el fitxer Graus_rad_coord.ods.


http://80.24.129.36/mates/projectexarxa/index.htm

http://phobos.xtec.net/rferna63/mod/resource/view.php?id=760

http://phobos.xtec.net/rferna63/mod/resource/view.php?id=760

http://www.xtec.es/recursos/socials/taller/unitat3/coordenades.htm











http://www.lacenet.org/gps/Docs%20definitius/coord.pps

mòdul i introduccióweib.caib.es/formacio/distancia/material/sol/modul_1.pdf– primera versió del...

Documents