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PONTIFICIA
UNIVERSIDAD
CATÓLICA
DEL
PERÚ
ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS
Matemáticas
Básicas
- Semestre 2004-2
Material complementario No 2
Sistemas de ecuaciones y lineales y no lineales
Descripción
del
método de Gauss
La
resolución
de un sistema
de
ecuaciones lineales puede abreviarse trabajando
con
los
coeficientes
de las variables
y
de los
términos
independientes que
aparecen
en las ecuaciones. A continuación se mostrará
un
ejemplo en el que se aplica este
método denominado
Método de
eliminación
gaussiana y en el
que
el objetivo
es
trabajar con ecuaciones equivalentes a las dadas
inicialmente
pero con las que el
cálculo
resultará más sencillo.
Por
ejemplo,
resolver
el sistema
Solución
propuesta:
{
2x 4y 6z = 8
4x + 5 + 6z = 24
3x
y 2 z =
4
1)
Se deben encontrar todos los posibles valores que pueden tomar
x,
y
z
tales
que
las tres ecuaciones se satisfagan simultáneamente
al
evaluarlas en dichos números.
El sistema 1)
puede
ser escrito en
forma
matricial como se
observa
en la columna
de
la derecha, omitiendo
las
variables:
{
2x+4y+6z=18
4x 5y 6z = 24 ...
3x y 2 z = 4
1)
(
; :
3 1
2
La
matriz
2) se denomina matriz ampliada del
sistema
1 ). Ahora, las operaciones
que
realizaríamos sobre las ecuaciones del sistema 1) se
realizarán
con las filas
de la
matriz 2). Cada
fila ecuación) de la matriz se
denotará
por ¡
donde
i=l, 2
ó 3.
El
objetivo es obtener, a través
de
la suma
de
filas o la multiplicación
de
una fila
por
un
número
distinto de cero,
nuevas filas pero
que
correspondan
a un sistema
equivalente al dado inicialmente.
La matriz 2) deberá convertirse,
si
fuera posible, en una matriz
de
la forma:
Para conseguirlo, sigamos el siguiente procedimiento:
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1
o. Para
conseguir
un
1
en
la primera posición,
se multiplica
la primera
20.
. 1
ecuac10n por 2
1
J;
2
1
Luego,
para obtener
O
en
la primera columna
de las
filas· 2 y 3:
2
3
-H
2 /2-4/I
3
-6
2
i
2
3
~ 2 ]
3 /J-3/¡
3
6
-5
11
-23
Los pasos realizados equivalen a eliminar la variable x en la segunda y
tercera
ecuación.
Ahora multiplicaremos la segunda ecuación por
z --/2 :
3
1
3
4°
Para obtener
O
en
la segunda columna
de
la
tercera
fila
ecuación),
se
debe multiplicar por 5 la
segunda fila
y sumar la tercera fila con la
nueva segunda
fila.
: J
o o -1
3
5° Finalmente,
para
obtener 1 en la tercera
columna
de
la
tercera fila:
6°
De
la tercera
fila se obtiene:
z=3 y sustituyendo este valor en la
segunda
ecuación
se obtiene:
y= 2; luego x=4. Por lo
tanto
,
este
sistema de
ecuaciones tiene solo una solución: 4; -2;
3).
2
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Problemas
I
Resolver
los
siguientes problemas,
empleando
el método de eliminación
gaussiana.
l.
En
una carpintería
se
fabrican
rnesas,
sillas
y
estantes; para ello
se
emplean los
procesos
de corte, ensamble y acabado. En la siguiente tabla
se
muestra
el número de horas que
se emplea en
la
producción
de cada
uno
de dichos artículos.
Estante
Mesa
Silla
p
Corte
7 2
Ensamble
4
Acabado
10
5
1
Hallar
el número de unidades de cada uno de los
productos
que
se deben
producir
en
una semana de
cinco días,
sabiendo
que
se emplean 8 horas
diarias en
cada proceso.
2. La Texas Electronics Inc. (TEI) produce tres nuevos modelos de
computadoras: 1 2
y
3. Como parte
del
proceso
de
elaboración,
estos
productos pasan
por
la
planta técnica y por
la
planta
de ensamblaje. Los
tiempos empleados por unidad en
cada
una de estas plantas
se
muestran
en
la
siguiente
tabla:
Modelo
Planta
técnica
Planta
de
ensamblaje
1 30 minutos
0,5
hora
2 12
minutos
2 horas
3 36 minutos
2 horas
Tiempo total empleado
en un mes
en
cada
116
horas
3
70 horas
planta
¿Cuántas unidades de cada modelo produjo la empresa si obtuvo
una
utilidad mensual
de
37 500
dólares, sabiendo que las ganancias obtenidas
por
la
venta de los modelos 1 2 y 3
fueron
de 200,
50
y
100
dólares por
unidad,
respectivamente?
Asumir que se vendió
toda
la producción.
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3. Una empresa panificadora
tiene tres
panaderías y en
cada
una
de ellas
produce tres tipos de pan: francés,
de
maíz e
integral.
El número de
canastas
de pan
producidas diariamente
en
cada
una de las
panaderías
se
muestra
en
la siguiente tabla:
Panadería
A
B
e
Francés
1
3 5
De
maíz
4
5
3
Integral
3 2
2
Si
cierto día,
las
ganancias totales
de las
panaderías
A,
B y e fueron
respectivamente 34, 39
y 41, ¿cuál
fue
la ganancia
obtenida
por
cada
canasta de
pan
francés, de
pan de maíz y
de pan
integral?
Nota: Una canasta
de
un mismo tipo
de
pan produce la misma
ganancia
en las tres panaderías.
4. Una fábrica
de
muebles posee tres aserraderos:
A,
B y e en
los
cuales se
corta
madera a
razón de 60m
3
45m
3
y
30 m
3
por día,
respectivamente.
La
madera se distribuye a 2 fábricas
de
muebles M y N que necesitan 65m
3
y 70m
3
por día, respectivamente. Los
costos
de transporte en dólares
por
metro
cúbico
desde los aserraderos hasta
las fábricas
se
muestran en la
siguiente tabla:
Desde el aserrradero
Hasta
la
fábrica M
Hasta la fábrica N
A 1 5
3 0
B
3 5
2 0
e 2 9
1 9
II.
Resolver los siguientes sistemas
de
ecuaciones, verificando que las soluciones
encontradas sean solución de ambas ecuaciones en aquellos casos en los que
se
puedan haber incrementado las
soluciones.
l
3.
5.
7.
{
x
- 2x y - 7 =O
3x
y+1 =O
{
y=
4 x
3x y=
O
{
y= 4x x
+8
y=
x
-2x
{
x
2
y
-
2xy = 1
3x-
y=
5
2.
4.
6.
{
y= -Jx
2
x
=4
{
y
x
=
28
x y = 14
{
x
= ~ +14
y= X
-16
Coordinadora
de
teoría:
Profesora Cecilia Gaita
4