MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Máximo común divisor

El máximo común div isor , m.c.d. de dos o más números es e l

mayor número que div ide a todos exactamente.

Cálculo del máximo común divisor

1. Se descomponen los números en factores pr imos.

2. Se toman los factores comunes con menor exponente.

E jemplo

Hal la r e l m. c . d . de : 72 , 108 y 60 .

1.

72 = 2 3 · 3 2

108 = 2 2 · 3 3

60 = 2 2 · 3 · 5

2.

m. c . d . (72 , 108 , 60) = 2 2 · 3 = 12

12 es e l mayor número que d iv ide a 72 , 108 y 60 .

Si un número es d iv isor de otro, entonces éste es e l m. c . d .

E l número 12 es d iv i sor de 36 .

m. c . d . (12 , 36) = 12

Mínimo común múltiplo

Es e l menor de todos múlt ip los comunes a var ios números ,

exc lu ido e l cero .

Cálculo del mínimo común múltiplo

1. Se descomponen los números en factores pr imos

2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor

exponente.

E jemplo

72 = 2 3 · 3 2

108 = 2 2 · 3 3

60 = 2 2 · 3 · 5

m. c . m. (72 , 108 , 60) = 2 3 · 3 3 · 5 = 1 080

1 080 es e l menor número que d iv ide a : 72 , 108 y 60 .

S i un número es un múl t ip lo de o t ro , entonces es e l m. c . m. de

ambos .

E l número 36 es múl t ip lo de 12 .

m. c . m. (12 , 36) = 36

Relación entre el m. c. d. y m. c. m.

m. c . d . (a , b ) · m. c . m. (a , b ) = a · b

Ejercicios

Ca lcu la r e l m. c . d . y m.c .m. de :

1428 y 376

428 = 2 2 · 107

376 = 2 3 · 47

m. c . d . (428 , 376) = 2 2 = 4

m. c . m. (428 , 376) = 2 3 · 107 · 47 = 40 232

2148 y 156

148 = 2 2 · 37

156 = 2 2 · 3 · 13

m. c . d . (148 , 156) = 2 2 = 4

m. c . m. (148 , 156) = 2 2 · 3 · 37 · 13 = 5772

3600 y 1 000

600 = 2 3 · 3 · 5 2

1000 = 2 3 · 5 3

m. c . d . (600 , 1000) = 2 3 · 5 2 = 200

m. c . m. ( 600 , 1000) = 2 3 · 3 · 5 3 = 3000

Ca lcu la r e l m. c . d . y m.c .m. de :

11048, 786 y 3930

1048 = 2 3 · 131

786 = 2 · 3 · 131

3930 = 2 · 3 · 5 · 131

m. c . d . (1048, 786 , 3930) = 2 ·131 = 262

m. c . m. (1048, 786 , 3930) = 2 3 · 3 · 5 · 131 = 15 720

23120, 6200 y 1864

3210 = 2 4 · 3 · 5 · 13

6200 = 2 3 · 5 2 · 31

1864 = 2 3 · 233

m. c . d . (3210, 6200, 1864) = 2 3 = 8

m. c . m. (3210, 6200, 1864) = 2 4 ·3 · 5 2 · 13 · 31 · 233 =

= 1 746 521 400

E jerc ic ios resue l tos . -

1 . -Un fa ro se enc iende cada 12 segundos , o t ro cada 18 segundos y

un te rcero cada minuto . A las 6 .30 de la ta rde los t res co inc iden .

Aver igua las veces que vo lverán a co inc id i r en los c inco minutos

s igu ientes .

12 = 2 2 · 3

18 = 2 · 3 2

60 = 2 2 · 3 · 5

m. c . m. (12 , 18 , 60) = 2 2 · 3 2 · 5= 180

180 : 60 = 3

Sólo a las 6.33 h .

2 . -Un v ia je ro va a Barce lona cada 18 d ías y o t ro cada 24 d ías . Hoy

han es tado los dos en Barce lona .

¿Dent ro de cuantos d ías vo lverán a es tar los dos a la vez en

Barce lona?

18 = 2 · 3 2

24 = 2 3 · 3

m. c . m. (18 , 24) =2 3 · 3 2 = 72

Dentro de 72 días.

3. -¿Cuá l es e l menor número que a l d iv id i r lo separadamente por 15 ,

20 , 36 y 48 en cada caso dar de res to 9?

m. c . m. (15 , 20 , 36 , 48) = 2 4 · 3 2 · 5 = 720

720 + 9 = 729

4. -En una bodega hay 3 tone les de v ino , cuyas capac idades son : 250

l , 360 l , y 540 l . Su conten ido se qu ie re envasar en c ie r to número de

gar ra fas igua les . Ca lcu la r las capac idades máx imas de es tas gar ra fas

para que en e l las se pueden envasar e l v ino conten ido en cada uno de los

tone les , y e l número de gar ra fas que se neces i tan .

m. c . d . (250 , 360 , 540) = 10

Capac idad de las gar ra fas = 10 l .

Número de gar ra fas de T 1 = 250 / 10 = 25

Número de gar ra fas de T 2 = 360 / 10 = 36

Número de gar ra fas de T 3 = 540 / 10 = 54

Número de gar ra fas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas .

5 . -E l sue lo de una hab i tac ión , que se qu ie re emba ldosar , t iene 5 m

de la rgo y 3 m de ancho .

Ca lcu la e l l ado y e l número de la ba ldosas , ta l que e l número de

ba ldosas que se co loque sea mín imo y que no sea necesar io cor ta r

n inguna de e l las .

3 m = 30 dm 30 = 2 ·3 · 5

5 m = 50 dm 50 = 2 · 5 2

A = 30 · 50 = 1500 dm 2

m. c . d . (30 , 50) = 2 · 5= 10 dm  de lado

A b = 10 2 = 100 dm 2

1500 dm 2 : 100 dm 2 = 15 baldosas

6. -Un comerc iante desea poner en ca jas 12 028 manzanas y 12 772

naran jas , de modo que cada ca ja contenga e l mismo número de manzanas

o de naran jas y , además , e l mayor número pos ib le . Ha l la r e l número de

naran jas de cada ca ja y e l número de ca jas necesar ias .

m. c . d . (12 028 , 12 772) = 124

124 naran jas en cada ca ja .

Ca jas de naran jas = 12 772 / 124 = 104

Ca jas de manzanas = 12 028 / 124 = 97

Ca jas necesar ias = 104 + 97 = 201

7. -¿Cuánto mide la mayor ba ldosa cuadrada que cabe en un número

exacto de veces en una sa la de 8 m de long i tud y 6 .4 m de anchura? ¿Y

cuántas ba ldosas se neces i tan?

8 m = 80 dm 80 = 2 4 · 5

6 .4 m = 64 dm64 = 2 6

m. c . d . (80 , 64) = 2 4 = 16 dm de lado

A b = 16 2 = 256 dm 2

A = 80 · 64 = 5120 dm 2

5120 dm 2 : 256 dm 2 = 15 baldosas