matriz de rigidez de un elemento prismático sometido en sus

8/17/2019 Matriz de Rigidez de Un Elemento Prismático Sometido en Sus

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MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO PRISMÁTICO SOMETIDO EN SUS

EXTREMOS A FUERZA AXIAL, FLEXIÓN Y CORTE

Si se incluye ahora una fuerza axial, se tendrá el caso de una viga prismática de unpórtico plano, cuya representación esquemática se puede ver en la figura

Elemento sometido en sus extremos a fuerza axial,flexión y corte (viga tipica de un pórtico plano).

Su planteamiento matricial está dado por la siguiente ecuación:

Para averiguar los términos de la matriz de rigidez correspondiente se puede utilizarla lle1ñni.cíém del significado fisico de cada columna o, si se desprecian los efectosdel orden, superponer los dos casos ya vistos, como se indica en la figura .

Equivalencia por superposición de una viga sometidaa fuerza axial, flexión y corte.


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Siguiendo este último procedimiento, se empieza por expandir los planteamientosfundamentales con base en las ecuaciones (11.20) y (11.44), para que seancompatibles.correspondiente a fuerza axial queda entonces así:

y el de corte y flexión:

Y si se compara esta ecuación con la (11.51) se ve que la matriz de rigidez buscadaes:


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Esta matriz se puede aplicar dire-ctamente a cualquier viga horizontal de un pórticoplano.Constituye, además, para cualquier viga con orientación diferente, la matriz derigidezbásica referida al sistema de ejes locales, que se emplea en el triple producto detransformación al sistema de ejes generales explicado más adelante.


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EVALUACIÓN DIRECTA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA COLUMNAPRISMÁTICA, VERTICAL, REFERIDA AL SISTEMA DE EJES GENERALESO DE LA ESTRUCTURA

Cuando el elemento prismático del artículo anterior está orientado verticalmente,

constituye la columna típica de ·un pórtico plano. Para poder resolver pórticosortogonales, sin utilizar matrices de transformación, conviene entonces deducir lamatriz de rigidez de las columnas, refiriéndola directamente al sistema decoordenadas generales. Esto se logra fácilmente utilizando el significado físico delos términos de cada columna,

como se ilustra en la figura 11.18. Tomando de ellalas fuerzas respectivas, resulta:


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o sea que la matriz de rigidez de una columna vertical de un pórtico plano es:

Usando las ecuaciones (11.52) y (11.54) se puede resolver cualquier pórtico plano

ortogonal. Tanto las cargas nodales originales como las correspondientes a fuerzasdeempotramiento equivalentes, si hay cargas sobre los miembros, deberán referirsetambiénal sistema de ejes generales. Todo esto se ilustra con los ejemplos siguientes.


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EjemploResuelva el pórtico siguiente:

Viga: 300 x 350 mmColumna: 300 x 400 mmE: 19 kN/mm2

Se numeran los nudos, comenzando :por el nudo libre para facilitar el ordenamiento,


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Para evaluar la matriz de rigidez de cada elemento conviene elaborar el siguientecuadro (kilonewtons y metros):

Conocidos estos valores, se aplican las ecuaciones (11.50), (11.53) y (11.55),obteniéndoseentonces para la viga:


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para la columna

Como las reacciones son iguales a las fuerzas internas en uno de los extremos de

las barras respectivas, basta con ensamblar la parte correspondiente a losdesplazamientos desconocidos. Al hacerlo, se llega a:

Y

de ahí se despeja el siguiente sistema que se puede resolver por inversión o poreliminación gaussiana.

Utilizando este último procedimiento, se obtiene:


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Las fuerzas internas y reacciones se calculan reemplazando estos valores en laecuaciones de los miembros individuales (páginas 494 y 495):


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matriz de rigidez de un elemento prismático sometido en sus

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