Matriz de rigidezElmtodo matricial de la rigidezes un mtodo de clculo aplicable aestructuras hiperestticasde barras que se comportan de formaelsticaylineal. Relaciona los desplazamientos de un conjunto de puntos de la estructura, llamados nodos, con las fuerzas exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos (las componentes de esta matriz son fuerzas generalizadas asociadas a desplazamientos generalizados).Comparacin entre flexibilidad y rigidezACCIN EN FLEXIBILIDADACCIN EN RIGIDEZ

Se eliminan todas las incgnitas quedando una estructura isosttica. En la estructura liberada, aparecen unos desplazamientos incongruentes con las condiciones de apoyo reales. Los desplazamientos son debidos a la carga real. Para eliminar los desplazamientos incongruentes, se aplican fuerzas (incgnitas) en cada uno de los puntos y en las direcciones en donde se presentan. Utilizndose as, unos valores unitarios. La suma de todas las configuraciones, deben satisfacer las condiciones geomtricas de la estructura real, los desplazamientos en cada apoyo deben ser nulos. Se sujetan todos los nudos para impedir cualquier movimiento, resultando en una estructura empotrada en todos sus nudos. En la estructura empotrada, aparecen fuerzas de empotramiento incongruentes con las condiciones de apoyo reales. Los momentos son debidos a la carga real. Para eliminar estas fuerzas ficticias, se aplican desplazamientos (incgnitas) en cada uno de los puntos y en las direcciones en las que aparecen las fuerzas. Utilizndose as, unos valores unitarios. La suma de todas las configuraciones debe satisfacer las condiciones de equilibrio de la estructura real, es decir, la suma de los momentos en cada apoyo, debe ser nula (equilibrio).

Descripcin del mtodoEl mtodo matricial requiere asignar a cada barra elstica de la estructura una matriz de rigidez, llamada matriz de rigidez elemental que depender de sus condiciones de enlace extremo (articulacin, nudo rgido,...), la forma de la barra (recta, curvada, ...) y las constantes elsticas del material de la barra (mdulo de elasticidad longitudinal y mdulo de elasticidad transversal). A partir del conjunto de matrices elementales mediante un algoritmo conocido como acoplamiento que tiene en cuenta la conectividad de unas barras con otras se obtiene una matriz de rigidez global, que relaciona los desplazamientos de los nudos con las fuerzas equivalentes sobre los mismos.Igualmente a partir de las fuerzas aplicadas sobre cada barra se construye el llamado vector de fuerzas nodales equivalentes que dependen de las acciones exteriores sobre la estructura. Junto con estas fuerzas anteriores deben considerarse las posibles reacciones sobre la estructura en sus apoyos o enlaces exteriores (cuyos valores son incgnitas).Finalmente se construye un sistema lineal de ecuaciones, para los desplazamientos y las incgnitas. El nmero de reacciones incgnita y desplazamientos incgnita depende del nmero de nodos: es igual a 3N para problemas bidimensionales, e igual a 6N para un problema tridimensional. Este sistema siempre puede ser dividido en dos subsistemas de ecuaciones desacoplados que cumplen:Subsistema 1. Que agrupa todas las ecuaciones lineales del sistema original que slo contienen desplazamientos incgnita.Subsistema 2. Que agrupa al resto de ecuaciones, y que una vez resuelto el subsistema 1 y substituido sus valores en el subsistema 2 permite encontrar los valores de las reacciones incgnita.Una vez resuelto el subsistema 1 que da los desplazamientos, se substituye el valor de estos en el subsistema 2 que es trivial de resolver. Finalmente a partir de las reacciones, fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos se encuentran los esfuerzos en los nudos o uniones de las barras a partir de los cuales pueden conocerse los esfuerzos en cualquier punto de la estructura y por tanto sus tensiones mximas, que permiten dimensionar adecuadamente todas las secciones de la estructura.

Barra recta bidimensional de nudos rgidosUn nudo donde se unen dos barras se llama rgido o empotrado si el ngulo formado por las dos barras despus de la deformacin no cambia respecto al ngulo que formaban antes de la deformacin. An estando imposibilitado para cambiar el ngulo entre barras las dos barras en conjunto, pueden girar respecto al nodo, pero manteniendo el ngulo que forman en su extremo. En la realidad las uniones rgidas soldadas o atornilladas rgidamente se pueden tratar como nudos rgidos. Para barra unida rgidamente en sus dos extremos la matriz de rigidez elemental que representa adecuadamente su comportamiento viene dada por:

Donde:

son las magnitudes geomtricas (longitud, rea y momento de inercia).la constante de elasticidad longitudinal (mdulo de Young).Alternativamente la matriz de rigidez de una barra biempotrada recta puede escribirse ms abreviadamente, introduciendo la esbeltez mecnica caracterstica:

Donde:es laesbeltez mecnicacaracterstica.Barra recta bidimensional con un nudo articulado y otro rgidoEn este caso cuando se imponen giros en el nudo articulado no se transmiten esfuerzos hacia el nudo no articulado. En ese caso la matriz de rigidez, usando la misma notacin que en la seccin anterior, viene dada por:

Donde se ha supuesto que el nudo articulado es el segundo. Si fuera el primero, habra que permutar los elmentos de la matriz anterior para obtener:

Barra recta bidimensional con dos nudos articuladosPuesto que una barra recta de nudos articulados slo puede transmitir esfuerzos a lo largo de su eje, la correspondiente matriz de rigidez de esa barra slo tiene componentes diferentes para los grados de libertad longitudinales. En ese caso la matriz de rigidez, usando la misma notacin que en la seccin anterior, viene dada por: