MATRICES Y DETERMINANTES

M.Sc. Joselo Soriano

Definición:Una matriz es un arreglo rectangular de

números en filas y columnasForma General de una Matriz:Una matriz [A] es del orden mxn, donde m son

las filas y n son las columnas, entonces la matriz [A] está dada de la siguiente forma:

De manera general: A(mxn)Ej.: Sea la matriz:

Clases de Matrices:1) Matriz Cuadrada: Es cuando el número de

filas es igual al número de columnas.Ej.:

2. Matriz Columna:Es cuando tiene una columna (n = 1)Ej.:

3. Matriz Fila:Es cuando tiene una fila o renglón (m = 1)Ej.:

4. Matriz Rectangular:Es cuando el número de filas es diferente al

número de columnas.Ej.:

Igualdad de MatricesDos matrices son iguales si y solo si cada

elemento de una de ellas es igual al elemento correspondiente de la otra

Simbólicamente:

Ej. de igualdad de matrices:

Otro tipo de matrices:

Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada que tiene la

característica de que los elementos que están sobre y bajo la diagonal principal son ceros.

Ej.:

Matriz Identidad:Es la matriz diagonal donde todos los

elementos de la diagonal principal son iguales a 1, se lo representa con la letra I

Ej.:

Matriz Transpuesta:

Es la matriz que se obtiene intercambiando las filas por las columnas o viceversa de una matriz dada. Se representa de la siguiente manera:

  Sea A una matriz cualquiera → At : se lee, transpuesta de la matriz A, o

A transpuesta

Ej.:Dada la siguiente matriz determinar su

transpuesta:

Matriz Nula:

Es la matriz en la cual todos sus elementos son ceros. Se lo simboliza con la letra griega

Ej.:

Operaciones con matrices:1. Suma y Diferencia de Matrices:

Para sumar o restar dos o más matrices, primeramente deben ser de igual tamaño y luego procedemos a realizar la suma (o resta) con los elementos correspondientes.

De manera general:

Propiedades de la suma de matrices:

a) Propiedad conmutativa: El orden de las matrices en la suma no altera el resultado, es decir:

Sean A y B dos matrices A + B = B + A

b) Propiedad asociativa: Las matrices pueden agruparse en parejas en cualquier orden y sustituirse por su suma, así:

Sean A, B y C tres matrices A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C)

c) Propiedad modulativa: Toda matriz sumada a la matriz nula da como resultado la misma matriz, así:

Sean A una matriz cualquiera y Φ la matriz nula

→ A + Φ = Φ + A = Ad) Propiedad invertiva: Toda matriz tiene su

opuesto que al sumarlos se obtiene la matriz nula, así:

Sean A una matriz cualquiera y - A la matriz opuesta

→ A + (-A) = Φ

e) La transpuesta de la suma o resta de matrices: Es igual a la suma o resta de las transpuestas de las matrices dadas, así:

Sean A y B dos matrices → (A ± B)t = At ± Bt

2. El producto de un escalar por una matriz:

Es igual al producto del escalar por todos los elementos de la matriz dada, es decir:

Sea k un escalar cualquiera y A una matriz cualquiera

→ k.(A) = (k.A)

3. El producto de dos matrices:

Supóngase que A es una matriz de orden mxp, y que B es una matriz de orden pxn. Entonces el producto de A y B, denotado por A.B es la matriz mxn, para la que el elemento del i-ésimo renglón (fila) y la j-ésima columna es la suma de los productos formados mediante la multiplicación de cada elemento del renglón i-ésimo de A por el correspondiente elemento de la columna j-ésima de B.

Por lo tanto : (mxp).(pxn) = (mxn). Esto significa que la condición necesaria y suficiente para multiplicar dos matrices es que el número de columnas de A

es igual al número de filas de B

Propiedades del producto de matrices:

Propiedad Asociativa:A x B x C = A x (B x C) = (A x B) x C

Propiedad Distributiva:A x (B + C) = A x B + A x C

Propiedad Modulativa:A x I = I x A = A (donde I es la matriz identidad)

La transpuesta de la transpuesta de una matriz es la misma matriz, así:(At)t = A

Nota:El producto matricial A x A se puede escribir: A2

Ejercicios de Aplicación:Ponga mucha atención a los ejercicios que se

resolverán en la pizarra y transcríbalos a su cuaderno.

DeterminantesDefinición: Si la matriz es cuadrada, se le

puede asignar un número al que se le llama determinante de una matriz.

A un determinante se lo representa: Det. A, o también: (no es valor absoluto), en ambos casos se lee: determinante de A

El orden está definido sólo en matrices, por lo tanto el orden del determinante, es el orden de la matriz.

Determinante de 2do Orden:Es de la forma:

Determinante de 3er orden:Es de la forma:

Formas de evaluar un determinante de 3er orden:1. Método de Sarrus: Consiste en aumentar 2

filas o 2 columnas, así:

2. Método de cofactores (o por menores):

Consiste en tomar los términos de cualquier fila o columna que serán los cofactores, y se va eliminando la fila y columna de cada término, formándose de esta manera determinantes de 2do orden, el cual se resuelve y se multiplica por su correspondiente cofactor.

Hay que considerar que el patrón de signos de números (aij) es:

+ - +- + -+ - +

Otra forma de expresar esto es diciendo que el signo que le corresponde a

De manera general el desarrollo es:

Este es el desarrollo en términos de la 1ra fila. El mismo valor se obtiene si se desarrolla con respecto a cualquier otra fila o columna.

3. Método de Triangulación o de Estrella:Sea el siguiente determinante:

Ejercicios de Aplicación:Ponga mucha atención a los ejercicios que se

desarrollarán en la pizarra, luego transcríbalos a su cuaderno.