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carpeta dematemática

IIIIII


Libro para el docenteLibro para el docente

Tapa carpeta de matematica III docente.indd 1 11/29/13 11:29 AM

Romero, Gustavo G. Carpeta de matemática III : recursos para el docente / Gustavo G. Romero y Martín Miguel Pérez. - 1a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2013. 24 p. ; 28x22 cm.

ISBN 978-950-46-3659-5

1. Matemática. 2. Guía Docente. I. Pérez, Martín Miguel II. Título CDD 510.712

Jefa de arte: Claudia Fano.Diagramación: Diego Ariel Estévezy Exemplarr.Corrección: Paula Smulevich.© 2013, EDICIONES SANTILLANA S.A.Av. L. N. Alem 720 (C1001AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina. ISBN: 978-950-46-3659-5Queda hecho el depósito que dispone la ley 11.723.

Impreso en Argentina. Printed in Argentina.Primera edición: diciembre de 2013.

Este libro se terminó de imprimir en el mes de febrero de 2014, en Gra� sur S.A., Cortejarena 2943, Ciudad Autónoma de Bue-nos Aires, República Argentina., República Argentina.

Libro para el docente

CARPETA DE MATEMÁTICA III Libro para el docente es una obra colectiva, creada,

diseñada y realizada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana,

bajo la dirección de Graciela Pérez de Lois, por el siguiente equipo:

Gustavo G. RomeroMartín M. Pérez

Jefa de edición: María Laura Latorre.Gerencia de gestión editorial: Mónica Pavicich.

ÍndiceRecursos para la plani� cación, pág. 2

Soluciones, pág. 6

CARPETA DEMATEMÁTICA

III

MATIII_REC.indd 1 2/21/14 12:03 PM

© S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

11.

723

2

Recu

rso

s p

ara

la

pla

nifi c

ació

n

1 2

Cap

ítu

loE

xpec

tati

vas

de

log

roC

on

ten

ido

sE

stra

teg

ias

did

ácti

cas

Dete

rmin

ar

múltip

los y

div

isore

s e

nte

ros d

e u

n n

úm

ero

.

Reconocer

núm

ero

s p

rim

os y

com

puesto

s.

Reconocer

situacio

nes q

ue r

eq

uie

ran la

búsq

ued

a d

el

m.c

.m. o e

l m.c

.d. e in

terp

reta

r sus r

esultad

os.

Div

isore

s y

múltip

los e

n

.

Núm

ero

s p

rim

os y

com

puesto

s.

Descom

posic

ión e

n facto

res p

rim

os.

Múltip

los y

div

isore

s c

om

unes.

Búsq

ued

a y

reconocim

iento

de m

últip

los y

div

isore

s e

nte

ros d

e

un n

úm

ero

. Id

entifi c

ació

n d

e n

úm

ero

s p

rim

os y

com

puesto

s.

Facto

riza

ció

n d

e u

n n

úm

ero

e id

entifi c

ació

n d

e u

n n

úm

ero

a p

art

ir

de s

u facto

riza

ció

n. U

so d

e la

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riza

ció

n p

ara

encontr

ar

div

isore

s.

Resolu

ció

n d

e s

ituacio

nes c

onte

xtu

aliz

ad

as y

desconte

xtu

aliz

ad

as

que r

eq

uie

ren la

búsq

ued

a d

el m

.c.m

. o e

l m.c

.d.

Identifi c

ar

núm

ero

s r

acio

nale

s y

exp

resarlos a

part

ir

de d

ifere

nte

s n

ota

cio

nes,

reconocie

nd

o e

xp

resio

nes

eq

uiv

ale

nte

s.

Rep

resenta

r ra

cio

nale

s e

n la

recta

num

érica, com

para

rlos

y ord

enarlos.

Resolv

er

cálc

ulo

s c

on n

úm

ero

s r

acio

nale

s c

om

bin

and

o

las s

eis

op

era

cio

nes. E

stim

ar, in

terp

reta

r y

verifi c

ar

la

razo

nab

ilid

ad

de lo

s r

esultad

os o

bte

nid

os.

Inte

rpre

tar

y re

solv

er

situacio

nes c

on la

s c

uatr

o

op

era

cio

nes b

ásic

as. O

pera

r con e

xp

onente

s

fraccio

narios e

mp

leand

o la

s p

rop

ied

ad

es d

e

la p

ote

ncia

ció

n.

Núm

ero

s r

acio

nale

s. D

ifere

nte

s

form

as d

e e

xp

resió

n d

e lo

s n

úm

ero

s

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nale

s. P

asaje

s d

e e

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resio

nes

decim

ale

s a

fra

cció

n y

vic

eve

rsa.

Ord

en d

e lo

s n

úm

ero

s r

acio

nale

s y

rep

resenta

ció

n e

n la

recta

num

érica.

Cálc

ulo

s c

om

bin

and

o s

um

as, re

sta

s,

multip

licacio

nes y

div

isio

nes c

on

núm

ero

s r

acio

nale

s.

Pote

ncia

s y

raíc

es c

on r

acio

nale

s.

Exp

onente

s n

egativo

s y

fra

ccio

narios.

Pro

pie

dad

es.

Identifi c

ació

n d

e e

xp

resio

nes q

ue c

orr

esp

ond

en a

núm

ero

s

racio

nale

s. R

econocim

iento

de e

scritu

ras e

quiv

ale

nte

s d

e n

úm

ero

s

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nale

s. D

ete

rmin

ació

n d

e n

úm

ero

s e

nte

ros e

ntr

e d

os r

acio

nale

s.

Escritu

ra d

e la

exp

resió

n d

ecim

al e

quiv

ale

nte

a u

na fra

cció

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irre

ducib

le. E

scritu

ra d

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resio

nes d

ecim

ale

s c

om

o fra

ccio

nes y

viceve

rsa. A

nális

is d

e lo

s n

úm

ero

s c

on p

eríod

o 9

.

Rep

resenta

ció

n d

e n

úm

ero

s r

acio

nale

s e

n la

recta

num

érica.

Reso

lució

n d

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álc

ulo

s com

bin

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um

as,

rest

as,

multi

plic

acio

nes

y

div

isio

nes

con n

úm

ero

s ra

cio

nale

s, c

on p

aré

nte

sis

y corc

hete

s.

Cálc

ulo

s d

e p

ote

ncia

s y

raíc

es d

e n

úm

ero

s r

acio

nale

s. C

álc

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de

pote

ncia

de e

xp

onente

fra

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nario. A

plic

ació

n y

verifi c

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n

de p

rop

ied

ad

es.

Reconocer, e

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resar

e in

terp

reta

r cantid

ad

es e

n

nota

ció

n c

ientífi c

a.

Inte

rpre

tar

y re

solv

er

situacio

nes a

part

ir d

el u

so d

e la

nota

ció

n c

ientífi c

a.

Exp

resió

n d

e n

úm

ero

s e

n

nota

ció

n c

ientífi c

a. P

asaje

s d

e la

exp

resió

n d

ecim

al d

e u

n n

úm

ero

a n

ota

ció

n c

ientífi c

a y

vic

eve

rsa.

Com

para

ció

n d

e n

úm

ero

s e

xp

resad

os

en n

ota

ció

n c

ientífi c

a. R

esolu

ció

n d

e

situacio

nes c

onte

xtu

aliz

ad

as.

Exp

resió

n, ord

enam

iento

e in

terp

reta

ció

n d

e n

úm

ero

s e

n n

ota

ció

n

cie

ntífi c

a. R

esolu

ció

n d

e c

álc

ulo

s c

on n

ota

ció

n c

ientífi c

a e

n

situacio

nes d

esconte

xtu

aliz

ad

as y

en c

onte

xto

s d

ivers

os.

Valo

rar

la u

tilid

ad

de la

s e

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resio

nes a

lgeb

raic

as.

Reconocer

polin

om

ios. O

pera

r con e

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resio

nes

alg

eb

raic

as. A

plic

ar

la p

rop

ied

ad

dis

trib

utiva

y r

esolv

er

pro

ducto

s e

sp

ecia

les.

Exp

resio

nes a

lgeb

raic

as. Variab

les.

Monom

ios. P

olin

om

ios. Valo

r num

érico

de u

na e

xp

resió

n a

lgeb

raic

a.

Op

era

cio

nes c

on e

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resio

nes

alg

eb

raic

as: sum

as y

resta

s d

e térm

inos

sem

eja

nte

s; p

rod

ucto

s y

cocie

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s.

Pro

pie

dad

dis

trib

utiv

a. Facto

r com

ún.

Dife

rencia

de c

uad

rad

os. C

uad

rad

o y

cub

o d

e u

n b

inom

io.

Reconocim

iento

de p

olin

om

ios, su g

rad

o y

su c

oefi c

iente

princip

al.

Resolu

ció

n d

e o

pera

cio

nes c

on e

xp

resio

nes a

lgeb

raic

as. A

plic

ació

n

de la

pro

pie

dad

dis

trib

utiva

inclu

yend

o e

xp

resio

nes d

e á

reas y

perím

etr

os d

e fi g

ura

s. O

bte

nció

n d

e facto

res c

om

unes y

dife

rencia

s

de c

uad

rad

os.

Desarr

ollo

s d

e c

uad

rad

os d

e b

inom

ios. E

xp

resio

nes d

e á

reas

usand

o p

olin

om

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ad

ucció

n d

e e

nuncia

dos. D

esarr

ollo

de

cub

os d

e b

inom

ios. E

xp

resio

nes d

e v

olú

menes d

e c

ub

os u

sand

o

polin

om

ios.

Resolv

er

ecuacio

nes e

inecuacio

nes, y

utiliz

arlas c

om

o

recurs

os e

n la

resolu

ció

n d

e p

rob

lem

as.

Ecuacio

nes li

neale

s. E

cuacio

nes

cuad

ráticas s

encillas. In

ecuacio

nes

lineale

s.

Resolu

ció

n d

e e

cuacio

nes li

neale

s. R

esolu

ció

n d

e e

cuacio

nes

cuad

ráticas a

part

ir d

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ifere

nte

s e

str

ate

gia

s, exp

resánd

ola

s c

om

o

pro

ducto

iguala

do a

cero

. R

esolu

ció

n d

e p

rob

lem

as m

ed

iante

ecuacio

nes. P

lante

o d

e e

cuacio

nes c

uya

s s

olu

cio

nes c

um

pla

n

cie

rtas c

ond

icio

nes.

Rep

resenta

ció

n d

e in

ecuacio

nes e

n la

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num

érica. R

esolu

ció

n

de in

ecuacio

nes li

neale

s y

rep

resenta

ció

n d

e la

s s

olu

cio

nes e

n la

recta

num

érica.

Div

isib

ilid

ad

de

en

te

ro

s.

Nú

me

ro

s

ra

cio

na

les

Ex

pre

sio

ne

s

alg

eb

ra

ica

s

MATIII_REC.indd 2MATIII_REC.indd 2 09/12/13 11:11 AM09/12/13 11:11 AM

© S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

11.

723

3

3 4

Cap

ítu

loE

xpec

tati

vas

de

log

roC

on

ten

ido

sE

stra

teg

ias

did

ácti

cas

Identifi c

ar

núm

ero

s ir

racio

nale

s.

Dete

rmin

ar

regla

s d

e form

ació

n d

e n

úm

ero

s ir

racio

nale

s.

Rep

resenta

r irra

cio

nale

s e

n la

recta

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érica a

plic

and

o e

l

teore

ma d

e P

itágora

s.

Núm

ero

s ir

racio

nale

s. R

ep

resenta

ció

n

en la

recta

num

érica d

e r

aíc

es

cuad

rad

as n

o e

nte

ras d

e n

úm

ero

s

natu

rale

s.

Reconocim

iento

de n

úm

ero

s ir

racio

nale

s. D

escub

rim

iento

de la

regla

de form

ació

n d

e la

part

e d

ecim

al d

e a

lgunos ir

racio

nale

s. A

plic

ació

n

del t

eore

ma d

e P

itágora

s c

on ir

racio

nale

s. R

ep

resenta

ció

n d

e a

lgunos

irra

cio

nale

s e

n la

recta

num

érica, ap

licand

o e

l teore

ma d

e P

itágora

s.

Op

era

r con r

ad

icale

s.

Opera

cio

nes

con radic

ale

s. S

um

a, re

sta,

pro

ducto

y c

ocie

nte

de radic

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s.

Reso

lució

n d

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pera

cio

nes

con radic

ale

s. Id

entifi

cació

n d

el v

alo

r que

falta

en u

n c

álc

ulo

con ir

racio

nale

s para

que tenga resu

ltado racio

nal.

Ap

roxim

ar

núm

ero

s r

eale

s p

or

red

ond

eo y

tru

ncam

iento

.A

pro

xim

ació

n p

or

red

ond

eo y

por

truncam

iento

.

Ap

roxim

ació

n d

e n

úm

ero

s r

acio

nale

s e

irra

cio

nale

s p

or

red

ond

eo

o t

runcam

iento

. R

esolu

ció

n d

e s

ituacio

nes c

onte

xtu

aliz

ad

as y

desconte

xtu

aliz

ad

as. C

om

para

ció

n d

e a

mb

as a

pro

xim

acio

nes.

Inte

rpre

tar

y re

pre

senta

r in

terv

alo

s e

n la

recta

num

érica, y

exp

resarlos c

om

o in

ecuacio

nes.

Inte

rvalo

s r

eale

s. R

ela

ció

n e

ntr

e

la r

ep

resenta

ció

n e

n la

recta

num

érica, el i

nte

rvalo

y la

inecuació

n

corr

esp

ond

iente

.

Rep

resenta

ció

n d

e in

terv

alo

s e

n la

recta

num

érica y

med

iante

inecuacio

nes. Id

entifi c

ació

n d

e n

úm

ero

s d

e u

n in

terv

alo

dad

o. R

esolu

ció

n d

e in

ecuacio

nes y

exp

resió

n d

e la

solu

ció

n

med

iante

inte

rvalo

s.

Reconocer

grá

fi cos q

ue r

ep

resente

n funcio

nes.

Defi n

ició

n d

e funció

n y

rep

resenta

ció

n

grá

fi ca.

Reconocim

iento

de g

ráfi c

os d

e funcio

nes.

Analiz

ar

funcio

nes a

part

ir d

e s

u g

ráfi c

o.

Anális

is d

e g

ráfi c

os; d

om

inio

; im

agen;

cre

cim

iento

y d

ecre

cim

iento

; m

áxim

os

y m

ínim

os r

ela

tivo

s y

ab

solu

tos; ra

íz;

ord

enad

a a

l origen.

Dete

rmin

ació

n d

e in

terv

alo

s d

e c

recim

iento

y d

ecre

cim

iento

,

máxim

os y

mín

imos, ord

enad

a a

l origen y

raíc

es d

e funcio

nes, a

part

ir d

e s

us g

ráfi c

os.

Rela

cio

nar

el g

ráfi c

o d

e u

na funció

n li

neal c

on s

u fórm

ula

y

analiz

ar

su c

om

port

am

iento

.

Recta

s. Funció

n li

neal.

Pend

iente

.

Ord

enad

a a

l origen. R

aíz

.

Rep

resenta

ció

n y

anális

is d

e u

na funció

n li

neal d

ad

a a

part

ir d

e

su fórm

ula

.

Ded

ucció

n d

e la

fórm

ula

de u

na funció

n li

neal a

part

ir d

e s

u g

ráfi c

o.

Dete

rmin

ació

n d

e la

ecuació

n d

e la

recta

que p

asa p

or

un p

unto

,

dad

a s

u p

end

iente

, y

de la

que p

asa p

or

dos p

unto

s.

Anticip

ar

el p

ara

lelis

mo o

la p

erp

end

icula

rid

ad

de d

os

recta

s o

bserv

and

o s

us e

cuacio

nes. H

alla

r re

cta

s p

ara

lela

s

y p

erp

end

icula

res a

otr

a r

ecta

dad

a.

Recta

s p

ara

lela

s y

perp

end

icula

res.

Rela

ció

n e

ntr

e s

us p

end

iente

s.

Dete

rmin

ació

n d

el p

ara

lelis

mo o

la p

erp

endic

ula

ridad d

e d

os

recta

s,

dadas

sus

ecuacio

nes.

Tra

zado d

e u

na recta

para

lela

o p

erp

endic

ula

r a

otr

a, dada s

u e

cuació

n. O

bte

nció

n d

e la

ecuació

n d

e u

na recta

para

lela

o p

erp

endic

ula

r a o

tra d

ada, con c

iert

as

condic

iones.

Rela

cio

nar

el g

ráfi c

o d

e u

na funció

n c

uad

rática c

on s

u

fórm

ula

y a

naliz

ar

su c

om

port

am

iento

.

Funció

n c

uad

rática a

part

ir d

e la

s

tres form

as d

e e

xp

resió

n. P

ará

bola

.

Concavi

dad

. O

rdenad

a a

l origen.

Vért

ice. E

je d

e s

imetr

ía. R

aíc

es.

Dis

crim

inante

.

Dete

rmin

ació

n d

el v

ért

ice, el e

je d

e s

imetr

ía, la

s ra

íces

y la

ord

enada

al o

rigen d

e u

na funció

n c

uadrá

tica, a p

art

ir de s

u e

cuació

n, y

const

rucció

n d

el g

ráfi c

o. Facto

rizació

n d

e la

ecuació

n d

e u

na funció

n

cuadrá

tica. Id

entifi

cació

n d

e la

cantid

ad d

e raíc

es

de u

na funció

n

cuadrá

tica a

part

ir del d

iscrim

inante

. D

educció

n d

e la

fórm

ula

de u

na

funció

n c

uadrá

tica q

ue c

um

pla

cie

rtas

condic

iones.

Resolv

er

situacio

nes u

tiliz

and

o s

iste

mas d

e d

os

ecuacio

nes li

neale

s c

on d

os in

cógnitas. In

terp

reta

r la

cla

sifi

cació

n d

e lo

s s

iste

mas d

e e

cuacio

nes e

n form

a

grá

fi ca y

rela

cio

nar

la c

antid

ad

de s

olu

cio

nes d

e u

n

sis

tem

a c

on la

s r

ecta

s q

ue lo

confo

rman.

Sis

tem

as d

e e

cuacio

nes. M

éto

dos

grá

fi co y

de ig

uala

ció

n. S

iste

mas

com

patib

les e

incom

patib

les.

Resolu

ció

n d

e s

iste

mas d

e e

cuacio

nes c

on d

os in

cógnitas e

n

form

a a

nalít

ica y

grá

fi ca. D

ed

ucció

n d

e lo

s v

alo

res q

ue faltan p

ara

com

ple

tar

un s

iste

ma d

e e

cuacio

nes c

uya

s s

olu

cio

nes c

um

pla

n

cie

rtas c

ond

icio

nes, o s

egún s

ea c

om

patib

le d

ete

rmin

ad

o,

com

patib

le in

dete

rmin

ad

o o

incom

patib

le. R

esolu

ció

n d

e s

ituacio

nes

conte

xtu

aliz

ad

as m

ed

iante

sis

tem

as d

e e

cuacio

nes.

Nú

me

ro

s

re

ale

s:

Fu

nc

ion

es.

Sis

te

ma

s d

e

ec

ua

cio

ne

s


© S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

11.

723

4

Recu

rso

s p

ara

la

pla

nifi c

ació

n

5 6

Cap

ítu

loE

xpec

tati

vas

de

log

roC

on

ten

ido

sE

stra

teg

ias

did

ácti

cas

Maneja

r la

s p

rop

ied

ad

es d

e lo

s c

uad

rilá

tero

s.

Cuad

rilá

tero

s: cla

sifi

cació

n y

cara

cte

rísticas.

Cla

sifi

cació

n d

e lo

s c

uad

rilá

tero

s e

identifi c

ació

n d

e s

us p

rop

ied

ad

es.

Traza

do e

inte

rpre

tació

n d

e e

jes d

e s

imetr

ía. Valid

ació

n d

e

afi r

macio

nes r

efe

rid

as a

alg

unas c

ara

cte

rísticas d

e c

uad

rilá

tero

s.

Maneja

r la

s p

rop

ied

ad

es d

e lo

s p

olíg

onos.

Políg

onos: sum

a d

e lo

s á

ngulo

s

inte

riore

s. P

olíg

onos r

egula

res.

Cálc

ulo

del v

alo

r d

e lo

s á

ngulo

s in

teriore

s d

e p

olíg

onos. A

nális

is d

e

la p

osib

ilid

ad

de la

constr

ucció

n d

e p

olíg

onos r

egula

res s

egún la

med

ida d

el á

ngulo

centr

al.

Calc

ula

r p

erím

etr

os y

áre

as d

e s

up

erfi c

ies p

lanas; ap

licar

el t

eore

ma d

e P

itágora

s c

uand

o la

situació

n lo

req

uie

ra.

Perím

etr

o y

áre

a d

e p

olíg

onos.

Resolu

ció

n d

e s

ituacio

nes q

ue in

volu

cra

n p

erím

etr

os y

áre

as d

e

políg

onos, in

clu

yend

o la

ap

licació

n d

el t

eore

ma d

e P

itágora

s.

Reconocer

los e

lem

ento

s d

e u

na c

ircunfe

rencia

. Id

entifi c

ar

las p

osic

iones r

ela

tiva

s e

ntr

e r

ecta

s y

circunfe

rencia

s.

Circ

unfe

rencia

: defi n

ició

n, ele

mento

s,

perím

etro y

áre

a. P

osi

cio

nes

rela

tivas

entre u

na recta

y u

na c

ircunfe

rencia

.

Cálc

ulo

de á

reas y

perím

etr

os d

e z

onas s

om

bre

ad

as q

ue in

volu

cra

n

part

es c

ircula

res. A

nális

is d

e la

s c

ond

icio

nes q

ue d

eb

en c

um

plir

cie

rtos c

uad

rilá

tero

s p

ara

inscrib

irse e

n u

na c

ircunfe

rencia

.

Resolu

ció

n d

e s

ituacio

nes q

ue in

volu

cra

n r

ecta

s t

angente

s o

secante

s a

circunfe

rencia

s.

Reconocer

ángulo

s c

entr

ale

s, in

scrip

tos y

sem

iinscrip

tos,

y utiliz

ar

la r

ela

ció

n q

ue lo

s v

incula

para

resolv

er

situacio

nes.

Ángulo

s e

n la

circunfe

rencia

: ángulo

s

centr

ale

s, in

scrip

tos y

sem

iinscrip

tos.

Traza

do, com

para

ció

n y

dete

rmin

ació

n d

e a

mplit

udes

de á

ngulo

s

insc

ripto

s y

sem

iinsc

ripto

s. A

nális

is d

e la

insc

ripció

n d

e u

n triá

ngulo

rectá

ngulo

en u

na s

em

icirc

unfe

rencia

. D

ete

rmin

ació

n d

e a

mplit

udes

angula

res

util

izando la

s nocio

nes

de á

ngulo

s in

scrip

tos

y se

miin

scrip

tos.

Identifi c

ar

y halla

r lo

s p

unto

s n

ota

ble

s d

e u

n t

riángulo

y

las c

ircunfe

rencia

s in

scrip

ta y

circunscrip

ta. U

tiliz

ar

las

pro

pie

dad

es e

stu

dia

das p

ara

reconstr

uir t

riángulo

s a

part

ir

de lo

s d

ato

s.

Punto

s n

ota

ble

s d

e u

n t

riángulo

:

incentr

o, b

aricentr

o, circuncentr

o y

ort

ocentr

o. P

rop

ied

ad

es.

Resolu

ció

n d

e s

ituacio

nes q

ue in

volu

cra

n la

búsq

ued

a y

el t

raza

do

de p

unto

s n

ota

ble

s, circunfe

rencia

s in

scrip

tas y

circunscrip

tas.

Co

nstr

ucció

n d

e t

riángulo

s d

ad

as c

iert

as c

ond

icio

nes r

ela

cio

nad

as

con lo

s p

unto

s n

ota

ble

s.

Ap

licar

sim

etr

ías y

recono

cer

el c

entr

o o

el e

je u

na v

ez

ap

licad

o e

l movi

mie

nto

.

Sim

etr

ía a

xia

l. S

imetr

ía c

entr

al.

Traza

do d

e im

ágenes m

ed

iante

sim

etr

ías a

xia

les y

centr

ale

s. A

nális

is

de s

imetr

ías e

n c

ircunfe

rencia

s y

políg

onos. Tr

aza

do d

el e

je o

del

centr

o d

e s

imetr

ía p

ara

tra

nsfo

rmar

fi gura

s d

e m

anera

que s

us

imágenes c

um

pla

n c

iert

as c

ond

icio

nes.

Ap

licar

rota

cio

nes in

terp

reta

nd

o la

info

rmació

n a

port

ad

a

por

el á

ngulo

orienta

do. H

alla

r el c

entr

o y

un á

ngulo

de

giro e

n u

na r

ota

ció

n y

a r

ealiz

ad

a.

Ángulo

s o

rienta

dos. R

ota

ció

n.

Realiz

ació

n d

e r

ota

cio

nes d

e fi g

ura

s. C

om

para

ció

n d

e r

ota

cio

nes

con d

istinto

sentid

o d

e g

iro. Id

entifi c

ació

n d

el á

ngulo

, el s

entid

o d

e

giro

y e

l centr

o d

e r

ota

ció

n, d

ad

a la

imagen d

e u

na fi g

ura

.

Inte

rpre

tar

y utiliz

ar

vecto

res p

ara

realiz

ar

trasla

cio

nes.

Vecto

res. Tr

asla

cio

nes.

Trasla

ció

n d

e fi g

ura

s s

egún u

n v

ecto

r in

dic

ad

o. D

ete

rmin

ació

n d

el

vecto

r q

ue p

erm

ite t

ransfo

rmar

una fi g

ura

en o

tra d

ad

a. A

rmad

o d

e

guard

as c

on fi g

ura

s t

rasla

dad

as.

Inte

rpre

tar

y re

aliz

ar

com

posic

iones d

e m

ovi

mie

nto

s,

y d

ete

rmin

ar, s

i es p

osib

le, un ú

nic

o m

ovi

mie

nto

que

eq

uiv

alg

a a

la c

om

posic

ión e

mp

lead

a.

Com

posic

ión d

e m

ovi

mie

nto

s.

Realiz

ació

n d

e c

om

posic

iones d

e m

ovi

mie

nto

s. A

nális

is d

e

la im

port

ancia

del o

rden e

n q

ue s

e r

ealiz

an lo

s m

ovi

mie

nto

s.

Co

mp

ara

ció

n d

e c

om

posic

iones. Id

entifi c

ació

n d

el m

ovi

mie

nto

que

perm

ite v

olv

er

de la

imagen a

la fi g

ura

origin

al.

Red

ucció

n d

e u

na

com

posic

ión d

e m

ovi

mie

nto

s a

uno s

olo

.

Fig

ura

s

ge

om

ét

ric

as

Mo

vim

ien

to

s


© S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

11.

723

5

7 8

Cap

ítu

loE

xpec

tati

vas

de

log

roC

on

ten

ido

sE

stra

teg

ias

did

ácti

cas

Reconocer

si d

os r

azo

nes form

an p

rop

orc

ión. A

plic

ar

las

pro

pie

dad

es d

e la

s p

rop

orc

iones p

ara

resolv

er

ecuacio

nes.

Razo

nes y

pro

porc

iones.

Reconocim

iento

de razo

nes

equiv

ale

nte

s. D

ete

rmin

ació

n d

e lo

s

núm

ero

s que falta

n p

ara

form

ar una p

roporc

ión. A

plic

ació

n d

e la

s

pro

pie

dades

de la

s pro

porc

iones

para

reso

lver ecuacio

nes.

Reconocer

rela

cio

nes d

e p

rop

orc

ionalid

ad

y c

alc

ula

r

sus c

onsta

nte

s. C

onfe

ccio

nar

tab

las y

grá

fi cos d

e

pro

porc

ionalid

ad

.

Pro

porc

ionalid

ad d

irecta

; const

ante

s

de p

roporc

ionalid

ad. P

roporc

ionalid

ad

inve

rsa; const

ante

de p

roporc

ionalid

ad.

Redacció

n d

e s

ituacio

nes

cotid

ianas

donde h

aya

rela

cio

nes

de

pro

porc

ionalid

ad. Id

entifi

cació

n d

e rela

cio

nes

de p

roporc

ionalid

ad, cálc

ulo

de u

na c

onst

ante

, com

ple

ció

n d

e tabla

s y

confe

cció

n d

e g

ráfi c

os.

Reconocer

las c

ond

icio

nes d

el t

eore

ma d

e T

hale

s y

ap

licarlo e

n s

ituacio

nes d

ivers

as.

Teore

ma d

e T

hale

s. A

plic

acio

nes.

Ap

licació

n d

el t

eore

ma d

e T

hale

s p

ara

halla

r segm

ento

s

desconocid

os a

part

ir d

e la

resolu

ció

n d

e e

cuacio

nes, cuand

o s

ea

necesario. Id

entifi c

ació

n d

e r

ecta

s p

ara

lela

s o

no p

ara

lela

s a

part

ir

del t

eore

ma d

e T

hale

s.

Maneja

r lo

s c

rite

rios d

e s

em

eja

nza

para

identifi c

ar

triá

ngulo

s s

em

eja

nte

s. Id

entifi c

ar

políg

onos s

em

eja

nte

s.

Inte

rpre

tació

n d

e p

lanos y

situacio

nes q

ue in

volu

cre

n

escala

s.

Sem

eja

nza

de t

riángulo

s. C

rite

rios d

e

sem

eja

nza

de t

riángulo

s. S

em

eja

nza

de p

olíg

onos. E

scala

s.

Identifi

cació

n d

e e

lem

ento

s hom

ólo

gos

en triá

ngulo

s se

meja

nte

s.

Just

ifi cació

n d

e la

sem

eja

nza

entre d

os

triá

ngulo

s a p

art

ir de lo

s

crit

erio

s. J

ust

ifi cació

n d

e la

sem

eja

nza

de d

os

políg

onos.

Obte

nció

n

de u

na razó

n d

e s

em

eja

nza

entre d

os

fi gura

s y

cálc

ulo

de la

s m

edid

as

falta

nte

s. C

onst

rucció

n d

e u

na fi g

ura

sem

eja

nte

a o

tra, dada u

na razó

n,

y anális

is d

e u

nic

idad. Valid

ació

n d

e a

fi rm

acio

nes.

Resolv

er

situacio

nes q

ue in

volu

cre

n t

riángulo

s r

ectá

ngulo

s

a p

art

ir d

el t

eore

ma d

e P

itágora

s y

de la

s r

azo

nes

trig

onom

étr

icas, em

ple

and

o la

calc

ula

dora

cie

ntífi c

a.

Trig

onom

etr

ía. Tr

iángulo

s r

ectá

ngulo

s.

Razo

nes t

rigonom

étr

icas.

Resolu

ció

n d

e t

riángulo

s r

ectá

ngulo

s.

Cálc

ulo

de razo

nes

trig

onom

étr

icas.

Uso

de la

calc

ula

dora

. C

álc

ulo

del

ángulo

agudo d

ada u

na d

e s

us

razo

nes

trig

onom

étr

icas.

Anális

is d

e lo

s

valo

res

que tom

an e

l seno y

el c

ose

no d

e u

n á

ngulo

agudo. R

ela

ció

n

entre e

l seno y

el c

ose

no d

e á

ngulo

s com

ple

menta

rios.

Resolu

ció

n d

e t

riángulo

s r

ectá

ngulo

s y

de s

ituacio

nes

conte

xtu

aliz

ad

as.

Recole

cta

r, o

rganiz

ar, in

terp

reta

r, c

om

unic

ar

y analiz

ar

info

rmació

n e

sta

dís

tica. C

onfe

ccio

nar

e in

terp

reta

r grá

fi cos

esta

dís

ticos.

Ob

tener

pará

metr

os c

entr

ale

s y

analiz

ar

su

rep

resenta

tivi

dad

para

el c

onju

nto

de d

ato

s.

Pob

lació

n y

muestr

a. T

ipos d

e

variab

les. Ta

bla

s d

e fre

cuencia

s.

Grá

fi cos e

sta

dís

ticos: d

e b

arr

as,

circula

res, his

togra

mas y

políg

onos d

e

frecuencia

.

Pará

metr

os c

entr

ale

s: m

ed

ia, m

ed

iana

y m

od

a. M

arc

a d

e c

lase. In

terv

alo

mod

al.

Identifi c

ació

n d

e v

ariab

les. A

gru

pació

n d

e d

ato

s e

n in

terv

alo

s.

Arm

ad

o y

com

ple

ció

n d

e t

ab

las d

e fre

cuencia

s. A

nális

is y

lectu

ra d

e

grá

fi cos e

sta

dís

ticos. C

onfe

cció

n d

e g

ráfi c

os e

sta

dís

ticos a

part

ir

de t

ab

las d

e fre

cuencia

s. R

econstr

ucció

n d

e g

ráfi c

os e

sta

dís

ticos a

part

ir d

e c

iert

os d

ato

s.

Ob

tenció

n y

anális

is d

e p

ará

metr

os c

entr

ale

s e

n s

ituacio

nes

div

ers

as, in

clu

yend

o m

arc

as d

e c

lase e

inte

rvalo

s m

od

ale

s.

Valid

ació

n d

e a

fi rm

acio

nes.

Sele

ccio

nar

y ap

licar

estr

ate

gia

s a

decuad

as p

ara

resolv

er

pro

ble

mas d

e c

onte

o d

e c

asos.

Com

bin

ato

ria.

Resolu

ció

n d

e p

rob

lem

as d

e c

om

bin

ato

ria e

n s

ituacio

nes

conte

xtu

aliz

ad

as, q

ue in

volu

cra

n p

erm

uta

cio

nes, va

riacio

nes y

com

bin

acio

nes.

Resolv

er

pro

ble

mas q

ue in

volu

cre

n c

álc

ulo

s d

e

pro

bab

ilid

ad

es e

inte

rpre

tar

sus r

esultad

os.

Inte

rpre

tar

la r

ela

ció

n e

ntr

e p

rob

ab

ilid

ad

y fre

cuencia

rela

tiva

.

Pro

bab

ilid

ad

es. R

ela

ció

n e

ntr

e

pro

bab

ilid

ad

y fre

cuencia

rela

tiva

.

Resolu

ció

n d

e p

rob

lem

as c

onte

xtu

aliz

ad

os q

ue c

om

pre

nd

an

cálc

ulo

s d

e p

rob

ab

ilid

ad

es, in

clu

yend

o c

oncep

tos d

e c

om

bin

ato

ria.

Anális

is d

e lo

s v

alo

res q

ue p

ued

e t

om

ar

la p

rob

ab

ilid

ad

y e

n q

ué

casos s

e p

rod

ucen lo

s v

alo

res e

xtr

em

os. In

terp

reta

ció

n d

e la

rela

ció

n e

ntr

e p

rob

ab

ilid

ad

y fre

cuencia

rela

tiva

.

Pro

po

rc

ion

ali

da

d,

se

me

jan

za

y

trig

on

om

et

ría

Est

ad

íst

ica

,

co

mb

ina

to

ria

y p

ro

ba

bil

ida

d


6

© S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

11.

723

Nota: las respuestas que no figuran se consideran a cargo de los alumnos.

1 Divisibilidad de enteros.

Números racionales

1. a) 1; –1; 3; –3; 5; –5; 15 y –15.

b) 1 y –1.

c) 1; –1; 2; –2; 4; –4; 7; –7; 14; –14; 28 y –28.

d) 1; –1; 2; –2; 3; –3; 4; –4; 6; –6; 9; –9; 12; –12; 18; –18; 36 y –36.

2. No, porque 2, –2 y 0 son pares y no son compuestos.

3. Hay 2 entre el 20 y el 30, y 3 entre el 40 y el 50.

4. Infinitos. Todos los números enteros distintos de cero.

5. a) 52

b) 19

c) 23 · 32

d) 7 · 13

6. a) Porque es múltiplo de 2.

b) Se puede escribir como 4 · 2 · 13 · 5.

c) Porque es múltiplo de 2 y de 5, o sea, de 10.

d) Porque 3 no aparece en el factoreo.

e) Se puede escribir como 8 · 13 · 5.

7. a) 4 c) 1

b) 10 d) 9

8. n = 21

9. Puede dividirse en 40 parcelas de 24 m de lado. Se usarán 54 postes.

10. a) 18 c) 420

b) 120 d) 180

11. El número p podría ser 5, 10, 15, 30, 45 o 90.

12. Cada un minuto (60 s).

13. 42 arreglos.

14. a) –0,2 = – 15 = 15− = – 2

10

b) – 16 = – 212 = 3

18− = �

0,16−

c) 4 = 82

= 82

−−

= 41

d) 0 = 030

= 05−

= 01

15. a) Decimal exacto.

b) Decimal periódico.

c) Decimal exacto.

d) Decimal periódico.

e) Entero.

f) Decimal periódico.

16. a) 72

c) 115

b) 54

d) 163

17. a) 52

b) – 201100

c) 150.000

d) 11.000

e) 1115

f) – 9825

18. 0,75 = 600800

= 34

= 7501.000

= 1216

−−

738600

123100

246200

= = = 1,23

152

= 7,5 = 7510 = 45

6

19. a) 4

10 = 0,4

b) No se puede.

c) 175100

= 1,75

d) 3751.000

= 0,375

e) No se puede.

f) 36100

= 0,36

20. a) – 21599

b) 109

c) 2900

= 1450

d) 1495

e) – 17755

f) 6.599999

Soluciones


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21. a) 52

b) 1

c) – 1310

Los números de período 9 también pueden expresarse como decimales exactos.

22. a) � �

1,02 y 0,002.

b) � �

0,3 y 1,6.

c) No es posible.

25. 19

; 16

; 29

; 13

; 23

.

26. Hay infinitas soluciones correctas.

27. Hay infinitas soluciones correctas.

28. a) 0

b) – 38

c) – 78

d) 76

29. a) –0,49

b) –97,8

c) –4,37

d) 2

30. a) – 12

b) – 815

c) – 18

d) –1

31. a) 225 g

b) 75 g

32. a) F: 32

· 52

= 154

.

b) V: 12

· 53

= 56

.

c) V: 0,3 · 0,2 = 0,06.

d) F: 0,3 35

0,2�

⋅ = .

e) F: 0,2 : 0,6 = �

0,3.

33. a) – 13

b) 2227

c) 9

16

d) 6619

e) –15,2

f) 59

g) – 173

h) 4,8

i) –0,015

j) 95

34. Sí, ya que la suma de las fracciones recorridas da más que el entero.

35. a) El error está al pasar �

0,16 a fracción, que es 16. El resultado

correcto es 922.

b) En el segundo paso no se respetan los términos. El

resultado correcto es 79.

36. a) – d) ×

b) × e) ×

c) – f) +

37. a) 3

20 del total son pequeños.

b) Hay 1.250 en total.

38. a) 3625 d) 2

b) 6427 e)

12527

c) 36 f) 25681

39. a) –3 b) 1

16

40. a) 43 e) 1

b) 1 f) 2764

c) 36 g) 449

d) 4964 h)

425

41. a) 81 b) 36

42. a) 7,8 · 1010

b) 1,28 · 105

c) –2,34 · 108

d) –1 · 104

e) 4 · 10–5

f) 1,23 · 10–2

g) 103

· 10–9

h) –2,8 · 10–5


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43. a) 33.000.000

b) 0,09

c) –51.000

d) 4.090.000.000

e) −1.333.333,3

f) –0,00031

44. 37

· 10–12; 10,2 · 1031; 14 · 106, y –0,3 · 10–23 no están expre-

sados en notación científica, ya que el factor que no es potencia de 10 no está entre –10 y –1 ni entre 1 y 10.

45. Algunos ejemplos pueden ser la medición de células o vi-rus, el pesaje en farmacéutica, mediciones astronómicas, etcétera.

46. El b), porque el exponente de 10 es –17; el c), ya que el resul-tado es negativo, y el d), porque el exponente de 10 es –11.

47. Aproximadamente 8 minutos y 20 segundos.

48. Aproximadamente 2,24 · 1030 granitos.

49. 113 y 127.

50. a) 9 (hay más ejemplos).

b) No es posible, porque los divisores primos vienen de a dos (uno y su opuesto); por ejemplo, 2 y –2.

c) –1 (o 1).

d) Cualquier número entero excepto el cero.

e) 6; 28 y otros.

51. Por ejemplo, 11 (son infinitos).

52. p = 3, q = 2 y r = 5.

53. a) 3 d) 1

b) 1 e) 14

c) 20

54. a) 168

b) 380

c) 1.260

d) 1.716

e) 140

55. a) 4 c) 5

b) 5 d) 26

56. Se trata de 45.

57. a) 30 chicos.

b) 8 lápices, 12 biromes y 5 cuadernos.

58. a) Podrían ser de, por ejemplo, 12 cm, aunque hay otras posibilidades.

b) De la varilla más larga se obtendrían 12 y de la otra, 9. (Cada recorte mediría 8 cm).

c) Mediría 24 cm.

59. a) 20 minutos.

b) Benjamín dio 4 vueltas y Mateo hizo 5.

60. a) 600 b) 1.800

61. Sí, 55 = 1.

62. a) 4710 f)

190

b) �

0,6 g) 1,8

c) 04

h) 319

d) 2,75 i) 332165

e) 0,428571� j) 10099

63. a) F: tiene infinitos.

b) F: 52 = 2,5 = �

2,49.

c) F: �

1,16 · 0,857142 = 76 · 67 = 1.

d) V.

e) F: 1,3 0 0�

=0 ; 0,3 3�

=3 1.

64. �

3,6;− – 185

; – 247

; �

0,016; 16

; 52

; 3; 163

.

65. Hay infinitas respuestas correctas.

66. En la segunda oferta.

68. a) x = 3655

b) x = – 2524

c) x = – 1145

69. a) 5

14 b) 84

70. a) 13 novelas, 1

3 del cole, 112

poesía, 112

cuentos, y 16 enci-

clopedias y diccionarios.

b) 12

71. La usa 2 h para jugar, que es 16

del total.


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72. a) –0,02

b) –11,052

c) 0,5

73. a) –1

b) 4

c) – 34

d) 2110

e) 965

f) 4399

g) 136

74. a) 0,25 · (( )(( ))) – 18

· 1,5 = 3748

b) ( )0,75 [(0,3 1) 1,5] : , , 3320

� �− [(0 3 =( )15] :

c) ( ), , ( 1 0,3) 29

� �⋅) −1 = −

75. a) 12 c) 4 e) 3

b) 3 d) 54

f) 9

76. a) 3,5 b) 0,7

77. 3–8

78. a) 6160 b)

54

c) – 14

79. a) 4,57 · 10–8

b) 2,5 · 108

c) 2 · 10–5

d) 3,6 · 1010

e) 1,58 · 10–8

80. Los ítems a), c) y e) están bien. La forma correcta de expre-sar los restantes es:

b) 1,2 · 10–3

d) 2 · 101

f) 1 · 1011

81. a) 9,8 · 106

b) 1,01 · 10–3

c) 2,21 · 102

En todos los casos es posible darse cuenta porque el expo-nente de 10 es el mayor.

82. a) 2,3 · 100

b) 5 · 105

c) 2 · 10–16

2 Expresiones algebraicas

Letras y números

a) a · b = b · a

b) a – b ≠ b – a (aunque la igualdad vale si a = b).

c) a · 1a = 1 (no vale para a = 0, porque 0 no tiene inverso).

d) 3n + 3 = 3(n + 1)

e) n < n + 1

1. Son polinomios: 3p3 – 1; –2 + 5y2 + y; 12

x – 3.

2. El grado de 3p3 – 1 es 3; el de –2 + 5y2 + y es 2; y el de 12x – 3 es 1.

3. La primera fila se completa con: 6; 0; –1; 1; 0 y 0. La segun-

da, con: 10; –6; 12

; –31; –34; –56. La tercera fila, con: 10;

–3; – 74

; –1; 2; –2.

4. a) Hay varios, por ejemplo, –x3 + 2x + 1.

b) 0,2x5.

5. a) –x5 + x4 + x3 + 4x2 + 3

b) –x5 + 5x4 + 5x3 – 4x2 – 3

c) 2x3 – 2x2 – x – 4

d) 0

e) –x3 + 0,1x2 – 1,5x + 0,8

f) 14

x3 + 2x2 + 15

x – 176

6. Se completan con:

a) – x3 + 3x2 + 1

b) –x3 + 6x2 + 7

c) 2 – x2 – 4x3

d) – 34 x3 + 2x2 – 23

x + 15

7. a) El primer polinomio se completa con x; el segundo, con –x3 – 6x2, y el tercero, con 0.

b) El primer polinomio se completa con 0x3 y 3x; el segun-do, con 0x2, y el tercero, con –5.

c) El primer polinomio se completa con –5x3 + 10x2 + 0x + 16; y el segundo, con 0x4.

d) Se puede completar de muchas formas.

8. a) –6x7 – 6x6 – 8x5

b) –25x5 + 5x4 – 15x3

c) 1,5x5 – 3x4 + 6x3 – 1,5x2

d) – 710

x5 + 32

x3 + x2


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9. a) Cociente: 13x2 – 2x – 1.

Resto: 0.

b) Cociente: –0,5x3 + 0,75x2 + 1,5x.

Resto: 0.

c) Cociente: –0,3 x2 – 0,25.

Resto: 1,2x2 + 1,5x.

d) Cociente: –0,25x2 + 0,5x + 2.

Resto: –0,5.

10. a) 2x3 + 9x2 – 6x

b) –8x4 – 8x3 + 10x2 – 4x

c) –8x5 + 12x3 + 20x2 + 7x

d) –14x4 + 21x2 + 42x

11. a) –1,2x5 – 3,6x4 – 6x3

b) 2x3 – 1,5x + 3,5

c) –25x4 + 10x3 – 10x2 – 2x + 3

d) x5 – 6x4 + 10x3 – 7x2 + 6x

e) x5 – 8x4 + 5,25x3 – 15,25x2 + 2x – 6

12. Se puede resolver de muchas formas; por ejemplo:

a) 3x2 · (–2x3 + 4x2 + 1)

b) 3x2 · (5 + 4x2 – x)

c) 7x · (2 – x2 + 7x3)

13. a) 2x b) –2x3 c) 0,5x2

14. Podría expresarse como 1,5x · (x + x) + 2 · x, o también como (1,5x + 2) · x + 1,5x · x, o como resta, (1,5x + 2) · (x + x) – 2 · x. En todos los casos, al desarrollarlo se obtiene 3x2 + 2x.

15. a) V(x) = x · (2x + 5) · (0,5x + 2) = x3 + 6,5x2 + 10x

b) El lado más chico de la base debe medir 6 cm, por lo que los otros lados miden 5 cm y 17 cm.

c) Ani tiene razón, porque si el lado más chico de la base se agranda 2 cm, o sea, es de 8 cm, el volumen es de 1.008 cm3.

16. Se tachan: a), b), f) y h).

c) 25x4 – 9

d) 25x4 – 9

e) –4x4 + 1

g) 9x2 – 4x4

17. a) 9x8 + 6x5 + x2

b) 0,25x4 – x2 + 1

c) x2 – 4x4 + 4x6

d) x6 + 2x4 + x2

e) 27 – 27x2 + 9x4 – x6

f) –8x6 + 12x4 – 6x2 + 1

g) 27x3 – 54x4 + 36x5 – 8x6

h) –125x6 – 225x4 – 135x2 – 27

18. a) x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1

b) x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1

c) x5 – 5x4 + 10x3 – 10x2 + 5x – 1

d) –2x3 + 2

19. a) Emi tiene razón.

b) Se tachan el segundo y el cuarto.

x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 x2 + 10x + 25 = (x + 5)2

20. a) 4x + 12

b) π · (3x2 + 22x + 40)

c) 4x2 + 12x + 8

d) 1 18

π)) )4 12 ((4 1

2π)x2π x +x)1

2π −

21. a) V(x) = 312 π x3 – 130 π x2 – 523

π x + 263

π.

b) Sería de alrededor de 20 cm3.

22. a) x = –6

b) x = –20

c) x = – 23

d) x = 2,5

e) x = 0,3

f) No tiene solución.

g) x = 3,75

h) x = –0,5

23. Male se equivocó; a Toti le faltó la solución x = 0.

24. a) x = 0; x = 53.

b) x = –9; x = 0,2.

c) x = –3; x = 0,5.

d) x = 3; x = 0.

e) x = –4; x = 0; x = 13.

f) x = 0; x = –1; x = 1,5.

25. Lucas: el segundo renglón se completa con (x – 3) y (x + 3); el tercero, con 3 y –3.

Raquel: el primer renglón se completa con “un trinomio cuadrado perfecto”; el segundo, con “el cuadrado de un binomio”; en el tercer renglón va 2 y –2, y en el último, 3 y –1.

26. a) x = 43

; x = – 43

.

b) x = 0,4; x = –0,4.


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c) x = 1,5; x = –1,5.

d) x = –2

e) x = 0,5

f) x = 3

27. a) Dos lados miden 6 cm y los otros dos, 10 cm.

b) Los lados del cuadrado medían 4 cm.

29. a) x ≥ –4

b) x < 1

c) x > –2

d) x ≤ –1

30. Pao dice lo correcto.

31. a) 0 ≤ x < 4

b) –2 ≤ x ≤ 3

c) –5 < x < –1

d) –3 < x ≤ 3

32. a) x > 0,1

b) x ≤ –2,8

c) x > 1,25

d) No tiene solución.

e) x ≥ –1

f) x > 1,4

g) x ≤ 0,25

h) x ≤ 5

33. Sí, porque se obtiene una desigualdad que siempre es ver-dadera: –1 > –3.

35. a) –x3 – x2 + x + 4

b) –2x4 + 2x3 + 4x2 + 5x + 3

c) –0,9x4 + 0,6x2 + 0,8

d) – 14x3 + 4x2 – 54x + 34

e) –x

36. a) –20x6 + 5x5 + 10x4 – 15x3

b) –x5 + x3 – 0,4x4 + 1,2x

c) – x4 – 43x5 + 103 x6 – 7

3x2 + 10

3 x3

d) –8x5 – 43x6 + 23x4 + 143 x3

37. a) C: –2,5x2 + 0,5x + 1. R: 8.

b) C: 13x2 – 13

x + 12. R: 4x – 5.

c) C: x3 + 4x + 1. R: 3x – 1.

d) C: 8x2 – 4x3 + 4x. R: –5.

38. –6x4 + 9x3 – 3x2 – x + 3

39. –2x4 + 23x2 – x + 23

40. Hay más de una respuesta correcta, por ejemplo, –5x4 + 10x3 – 5x2.

41. a) 6x7 – 12x5 + 8x3

b) 4x4 + 12x3 – 17x2 + 5x

c) x4 – x2 + 2x – 1

d) 2x4 – x3 – 256 x2 + 43x + 2

e) 25x6 – 4

25x5 + x4 + 35

x3 – 25

x2 + 52x – 1

42. a) –0,1x2 + 0,2x – 0,6

b) No se puede.

c) –7 + 2x2 – 5x


a) 2x5

b) 0,5x

c) (– 0,5x2 + 1,5x – 2)

d) –x3

e) (– 2x3 + 6x2 – 8)

44. a) 0,01x2 – 1

b) 4

25 – x6

c) 1,44x2 – 4,8x + 4

d) 9x4 + 2x2 + 19

e) x4 – x5 + 0,25x6

f) 1

27 x3 + x2 + 9x + 27

g) –27x6 + 27x5 – 9x4 + x3

h) –0,5x + 1

i) x3 + 3x2 + 5x + 3

j) –4x2 + 4x – 1

45. a) (6x – 5) · (6x + 5)

b) (9 – 2x) · (9 + 2x)

c) (5x – x3) · (5x + x3)

d) (0,1x2 – 1) · (0,1x2 + 1)

46. a) No.

b) (x – 5)2

c) No.

d) (0,1x2 + 1)2


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a) 60x

b) 12x

c) 16

d) 0,01x4

48. a) (2 + π)x2 – (12 + 6π)x +(18 + 9π)

b) (0,125π – 0,25)x2 + (1,25π – 2,5)x + (3,125π – 6,25)

c) 9,5πx2 + 28,5πx + 21,375π

49. Los valores se aproximaron a los centésimos.

a) 5,14 b) 6,99 c) 365,61

50. Las raíces son 0,5; –0,4 y 3.

51. a) x = 0

b) x = 0; x = – 53

c) x = 3; x = –3

d) x = 0; x = 3

e) x = –2

f) x = 0,5; x = –5; x = –3

g) No tiene solución.

h) x = –2,6

i) x = 5; x = –0,25

j) x = –4

53. a) x = –3

b) x = –0,5; x = –2,5

c) No tiene solución.

d) x = – 27 e) x = 5

54. Los lados más largos miden 15 cm cada uno y los más cortos, 10.

55. a) x < 458

b) x ≥ 8

c) x ≥ – 1320

d) x < 3

e) x > 1

3 Números reales:

Números que trajeron problemas

a) Son enteros y no negativos: 0; 7; 2.503.

b) Expresan cantidades enteras. Pueden ser negativos: –23; 0; 45.

c) Se pueden expresar como fracción: 0,5 = 12

; –7 = – 71

;

�

0,3 = 13

.

1. Son racionales: 0,555555… (suponiendo que continúe siempre con 5);

�0,24 y 9. En cambio, 3 y π + 2 son

irracionales.

2. a) Está formado por los impares escritos uno a continua-ción del otro.

b) Está formado por los múltiplos de 5 escritos uno a con-tinuación del otro.

c) Está formado por los números pares, cada uno seguido de la misma cantidad de ceros que el número que lo antecede.

3. Por ejemplo, 1253 y 144 son racionales, mientras que 5,

7, 26, 50 y 43 son irracionales.

4. a) Algunos de…

b) Algunas de…

c) Todos…

6. Ambos son correctos.

7. a) 2 2

b) 6 (no es irracional).

c) 3 2

d) 13 3−

e) 5 2

f) 4 2 3 3+ (queda así).

g) 31,8 2

h) 0 (no es irracional).

i) 25−

j) 4 33

8. a) 4 (racional).

b) 0,5 (racional).

c) 2 (racional).

d) 4 3 2

e) 3 (racional).

f) 15 3 3 5 5 15− +3 3 −

g) –22 (racional).

h) 11 (racional).

i) 8 2 7

j) 8 2 15

9. Se pueden completar de muchas formas, por ejemplo…

a) 2− d) 2

b) 7 2− e) 3

c) 1 5 f) 33


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10. Por redondeo Por truncamiento

0,333 0,333

0,667 0,666

1,414 1,414

3,142 3,141

1,732 1,732

1,618 1,618

11. a) Por truncamiento.

b) A veces se obtiene un número mayor al redondear.

12. a) [0; 3,4)

b) (–2,4; –1,2)

c) (–0,4; 2,2]

d) [–1,5; –0,5]

e) [1,1; 1,2)

13. a) 1 ≤ x < 2,5

b) –2,3 < x ≤ 0

c) –0,5 < x < 1,5

d) –1 < x ≤ 5,1

e) –3,6 ≤ x ≤ 2,5

14. a) Por ejemplo, los racionales pueden ser –0,92 y –0,95, y los irracionales, –0,91929394… (agregando cada vez el

siguiente) y – 83

.

b) Ninguno.

c) Hay uno, el –1.

d) [–1; –0,9)

15. a) x > –0,5

b) x ≤ 5,1

c) x < 2,2

d) x ≥ –3

16. Se equivocaron Carla y Julián.

17. Por ejemplo…

a) (–5,5; –3,5)

b) [3; 4]

c) No, porque entre dos números siempre hay otro racional.

d) [0; ∞)

e) (–∞; 0)

f) (–∞; ∞)

18. a) (–1; ∞)

b) (–∞; 3)

c) [1,2; ∞)

d) [–8; ∞)

e) (–∞; 3]

f) 177

;∞)(− g) (–2; ∞)

h) [–2,5; ∞)

19. Son racionales –1,5; π – π y �

0,5. Los otros son irracionales.

20. En el b).

21. Por ejemplo, 3 y 4. Pueden encontrarse otros.

22. a) –π

b) 0 y 2π.

c) π – 1 y π + 1.

23. a) 5 2 2

b) 6 4 2−6

c) 4 2 2−4

d) 7 5−

e) 3 5

f) 3 2 3

g) 5 23−

h) 7

i) 0

j) 9 5 23

24. Racionales enteros: h) e i); no hay resultados racionales no enteros. Los restantes son irracionales.

25. Se unen 8 con 2 2; 8 2 y 18 con 3 2; y 2 6 con 12 y 2 3.

26. a) 6

b) 6 2

c) 7 21 2

d) 5

e) − −5 25 2 6

f) 6

g) –3

h) 54 14 5−

i) 21 14 2−

j) −4 3− 5 3+ 253 35 3+

27. a) 11 d) 95

b) 2 e) 43

c) 3


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28. P = 10 7 3+ 7 A = 8 3

29.

Por redondeo Por truncamiento

3,87 3,87

0,29 0,28

2,52 2,51

0,36 0,36

9,87 9,86

30. Por ejemplo…

a) 0,31

b) 1,121

c) 2,3547

31. No, porque al redondear 23 queda 0,7.

32. a) 15,87 m

b) 16 tiras.

c) 53 tiras.

33. a) 22 ≤ x ≤ 26

b) 6 ≤ x ≤ 23

34. a) –7,5 < x < –7

b) –5 < x ≤ –1

c) 4 ≤ x < 4,5

d) –1 ≤ x ≤ 0

e) 25

< x ≤ 85

f) 0 ≤ x < 5 1,�

g) 0,5 ≤ x ≤ 0 5,�

h) − 2 < x < 2

35. a) (–5; –2)

b) (–2; 5)

c) (–2; 2)

36. a) (–2; 0]

b) [–5; ∞)

c) [–3,2; –3)

d) (–1,25; ∞)

e) ∞; 2,2�)(−

f) ∞; 0,6�(−

g) 0,3; 0� )(−

h) ; 2 2(−∞

37. Carla y Romi tienen razón.

38. a) x ≥ 9,5 [9,5; ∞)

b) x > 13

(0 3,�; ∞)

c) x ≥ 0 [0; ∞)

d) x > 7 (7; ∞)

e) x ≤ 0,75 (–∞; 0,75]

4 Funciones. Sistemas de ecuaciones

Funciones por aquí, funciones por allá

a) Entre las 3:00 y las 7:00. Son 10.000 usuarios.

b) Unos 65.000. A las 23:00.

c) Entre las 7:00 y las 12:00, y entre las 16:00 y las 23:00 aumentan. Entre las 0:00 y las 3:00, y entre las 23:00 y las 24:00 disminuyen.

1. a) No representa una función.

b) No representa una función.

c) Representa una función.

d) Representa una función.

2. a) Dom = ; Im = (–∞; 9]; raíces: x1 = –1 y x2 = 5; ord. ori-gen: y = 5; int. crec.: (–∞; 2); int. decrec.: (2; +∞); máx. abs.: y = 9 en x = 2.

b) Dom = ; Im = (–∞; 4]; raíces: x1 = –2 y x2 = 3; ord. ori-gen: y = 2; int. crec.: (–∞; 2); int. decrec.: (2; +∞); máx. abs.: y = 4 en x = 2.

c) Dom = [0; 20]; Im = [–3; 3]; raíces: x1 = 5 y x2 = 15; ord. origen: y = 3; int. crec.: (10; 20); int. decrec.: (0; 10); máx. abs.: y = 3 en x = 0 y en x = 20; mín. abs.: y = –3 en x = 10.

3. El error está en la última fila, porque f(3) = 13

.

4. a) f(x) = 2x – 1

b) f(x) = –x + 2

5. a) f(x) = x + 3; raíz: x = –3; ord. origen: y = 3. Creciente.

b) f(x) = – 13x + 1; raíz: x = 3; ord. origen: y = 1. Decreciente.

c) f(x) = –2; no tiene raíz; ord. origen: y = –2. Constante.

d) No es función.

8. f(x) = x + 1

9. f1(x) = 2x + 1; f2(x) = –0,5x + 3,5.

10. y = 14

x + 54

; y = 14

x + 134

.

11. a) f1(x) = 3x; f2(x) = – 13x + 2. Perpendiculares.

b) f1(x) = x + 2; f2(x) = x – 2. Paralelas.


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c) f1(x) = x + 2; f2(x) = –4x + 2. No son paralelas ni perpendiculares.

d) f1(x) = 3x + 1; f2(x) = 3x – 3. Paralelas.

12. a) y = 12x – 1

b) y = –2x + 1

13. Es rectángulo porque las rectas y = – 12x + 52

e y = 2x son perpendiculares.

14. a) Verdadera. Al cambiar solo la ordenada al origen, la pen-diente se mantiene constante, por lo tanto, la inclina-ción de la recta no cambia.

b) Falso. La recta es única.

c) Verdadero. Todas tienen la misma pendiente.

d) Falso. Hay infinitas rectas que no son paralelas ni per-pendiculares a la dada.

15. a) Las ramas van hacia abajo. Las raíces son x = 3; x = –1.

b) Las ramas van hacia arriba. El vértice es (1; –4).

c) Las ramas van hacia arriba. La ordenada al origen es y = 2.

d) Las ramas van hacia abajo. La ordenada al origen es y = –2 y el vértice es (0; –2).

16. a) Dom = ; raíces: x1 = –2 y x2 = 2; ord. origen: y = 4; eje de simetría: x = 0; vértice: (0; 4); Im = (–∞; 4]; int. crec. = (–∞; 0), int. decrec. = (0; ∞).

b) Dom = ; raíces: x1 = 1 y x2 = 3; ord. origen: y = 9; eje de simetría: x = 2; vértice: (2; –3); Im = [–3; ∞); int. crec. = (2; ∞), int. decrec. = (–∞; 2).

c) Dom = ; raíces: x1 = –4 y x2 = 0; ord. origen: y = 0; eje de simetría: x = –2; vértice: (–2; 8); Im = (–∞; 8]; int. crec. = (–∞; –2), int. decrec. = (–2; ∞).

d) Dom = ; raíces: x1 = –1 y x2 = 3; ord. origen: y = –3; eje de simetría: x = 1; vértice: (1; –4); Im = [–4; ∞); int. crec. = (1; ∞), int. decrec. = (–∞; 1).

17. a) f(x) = –(x – 2)(x + 2)

b) f(x) = 3(x – 1)(x – 3)

c) f(x) = –2x(x + 4)

d) f(x) = (x – 3)(x + 1)

18. a) x1 = 2; x2 = 12

b) x1 = 8; x2 = 0

c) x1 = x2 = –2

d) x1 = x2 = 0

19. a) I) Dos. II) Una.

b) Gráficos a cargo de los alumnos.

I) Dom = ; raíces: x1 = 1 7−1 y x2 = 1 7− +1 ; ord. ori-gen: y = –6; eje de simetría: x = –1; vértice: (–1; –7); Im = [–7; ∞); int. crec. = (–1; ∞), int. decrec. = (–∞; –1).

II) Dom = ; raíces: x1 = x2 = 3; ord. origen: y = 9; eje de simetría: x = 3; vértice: (3; 0); Im = [0; ∞); int. crec. = (3; ∞), int. decrec. = (–∞; 3).

20. a) f(x) = 2x2 – 12x + 10

b) f(x) = x2 – x – 6

21. Tiene infinitas soluciones, por ejemplo, x = –3 e y = 0, o bien, x = 0 e y = 1. En general, para cualquier valor de x, el

valor de y se calcula con la fórmula y = 13

x + 1.

22. Compatible determinado. x = 3; y = 1.

23. a) x = –1,4; y = 0,8.

b) x = 1; y = 2.

c) No tiene solución.

24. a) a = 3; b = 1,5.

b) a = –4; b = 2.

c) a = 6; b = 1.

d) a = 3; b = 295

.

25. y = 13

x + 4; x = –1,8; y = 3,4.

26. Se pueden completar de distintas formas, por ejemplo…

a) …y = 2x + 7. Las pendientes deben ser distintas.

b) …y = 7x + 3. Las pendientes deben ser iguales y las ordenadas al origen, distintas.

27. Sole se equivoca, porque pueden tener distinta ordenada al origen y formar un sistema incompatible.

Caro también está equivocada, porque pueden tener la mis-ma pendiente y en ese caso el sistema es incompatible.

Martu comete un error, porque si las pendientes son distintas, siempre forman un sistema compatible determinado.

Lore está en lo cierto.

28. Se puede armar un sistema y resolverlo igualando la fórmu-la de la posición de cada uno. Lo alcanza cuando están a 40 m de su casa, 20 segundos después de salir.

30. a) Dom: ; Im: [0; +∞); int. crec.: (0; +∞); int. decrec.: (–∞; 0); mínimo absoluto: y = 0 en x = 0; raíz: x = 0; ord. origen: y = 0.

b) Dom: ; Im: ; int. crec.: (–∞; +∞); raíz: x = 0; ord. ori-gen: y = 0.

c) Dom: ; Im: ; int. crec.: (–∞; –2) U (0; +∞); int. decrec.: (–2; 0); mínimo relativo: y = 0 en x = 0; máximo rela-tivo: y = 4 en x = –2; mínimo relativo: y = 0 en x = 0; raíces: x1 = 0 y x2 = –3; ord. origen: y = 0.

31. a) Raíz: x = 2, ord. origen: y = –10.

b) Raíz: x = 103

, ord. origen: y = –2.


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c) Raíz: x = 34

, ord. origen: y = 32

.

d) Raíz: x = 152

, ord. origen: y = 3.

e) Raíz: x = 10, ord. origen: y = –4.

La e) pasa por (60; 20).

32. f(x) = 0,5x – 0,5

33. a) y = –5x + 7

b) y = 15

x + 3

34. a) Pedro tiene razón y Luis no, porque las rectas son

y = 3x e y = – 13

x + 10, y se cortan en el punto (3; 9).

b) Lucas tiene razón y Belén no, porque las rectas

y = 12

x + 3 e y = 12

x + 7 son paralelas y tienen distinta orde-

nada al origen, entonces no presentan puntos comunes.

c) Ninguna de las dos tiene razón, porque las rectas

y = 2x + 5 e y = 23

x + 2 se cortan (porque no son para-

lelas) y no son perpendiculares.

d) Sofi tiene razón y Male no, porque las rectas y = 6x – 2 e y = x + 3 no son paralelas.

35. a) Dom = ; raíces: x1 = 0, x2 = 2; ord. origen: y = 0; eje de simetría x = 1; vértice: (1; –5); Im = [–5; ∞); int. crec. = (1; ∞), int. decrec. = (–∞; 1); mínimo absoluto: –5 en x = 1.

b) Dom = ; raíces x1 = 3, x2 = 5; ord. origen: y = 6; eje de simetría: x = 4; vértice: (4; –0,4); Im = [–0,4; ∞); int. crec. = (4; ∞), int. decrec. = (–∞; 4); mínimo abso-luto: –0,4 en x = 4.

c) Dom = ; raíces x1 = –3, x2 = 1; ord. origen: y = 6; eje de simetría: x = –1; vértice: (–1; 8); Im = (–∞; 8]; int. crec. = (–∞; –1), int. decrec. = (–1; ∞); máximo abso-luto: 8 en x = –1.

d) Dom = ; raíces x1 = 1, x2 = 3; ord. origen: y = 1,5; eje de simetría: x = 2; vértice: (2; –0,5); Im = [–0,5; ∞); int. crec. = (2; ∞), int. decrec. = (–∞; 2); mínimo absoluto: –0,5 en x = 2.

e) Dom = ; raíces x1 = –5, x2 = –1; ord. origen: y = 5; eje de simetría: x = –3; vértice: (–3; –4); Im = [–4; ∞); int. crec. = (–3; ∞), int. decrec. = (–∞; –3); mínimo absoluto: –4 en x = –3.

f) Dom = ; raíces x1 = x2 = –2; ord. origen: y = 2; eje de simetría: x = –2; vértice: (–2; 0); Im = [0; ∞); int. crec. = (–2; ∞), int. decrec. = (–∞; –2); mínimo abso-luto: 0 en x = –2.

g) Dom = ; no tiene raíces; ord. origen: y = –5; eje de simetría: x = –2; vértice: (–2; –1); Im = (–∞; –1]; int. crec. = (–∞; –2), int. decrec. = (–2; ∞); máximo absoluto: –1 en x = –2.

h) Dom = ; raíces x1 = –3, x2 = 1; ord. origen: y = –1,5; eje de simetría: x = –1; vértice: (–1; –2); Im = [–2; ∞); int. crec. = (–1; ∞), int. decrec. = (–∞; –1); mínimo absoluto: –2 en x = –1.

36. a) f(x) = 2(x + 2)(x – 1); eje de simetría: x = –0,5; vértice: (–0,5; –4,5).

b) f(x) = –0,5(x + 4)(x – 2); eje de simetría: x = –1; vértice: (–1; 4,5).

c) f(x) = (x + 1)(x – 2); eje de simetría: x = 0,5; vértice: (0,5; –2,25).

37. Se unen: f(x) = –(x + 2)2 con f(x) = –x2 – 4x – 4; f(x) = x(x – 5) con f(x) = x2 – 5x; f(x) = 5(x – 2)(x + 3) con f(x) = 5x2 + 5x – 30; f(x) = –3(x + 3)x con f(x) = –3x2 – 9x; y f(x) = (x + 5)(x – 3) con f(x) = x2 + 2x – 15.

38. a) t = 0,5 s.

b) 1,25 m.

c) t = 1 s.

39. a) La coordenada x del vértice es 3.

b) y = 2x2 – 12x + 16.

c) Dom = ; raíces x1 = 2; x2 = 4; ord. origen: y = 16; eje de simetría: x = 3; vértice: (3; –2); Im = [–2; ∞); int. crec. = (3; ∞), int. decrec. = (–∞; 3); mínimo absoluto: –2 en x = 3.

40. a) Tardan alrededor de 1,55 segundos en caer. El otro va-lor obtenido (t = –1,55) carece de significado físico.

b) Llegan con una velocidad de –15,5 m/s (el “–” es por-que las llaves se desplazan en contra del sentido de medición de la altura, o sea, hacia abajo).

41. a) x = 4,5; y = 0,8.

b) x = –2; y = 43

.

c) Compatible indeterminado.

d) x = –2,5; y = –1,5.

e) Incompatible.

f) x = 0,8; y = –0,5.

42. Se cortan en los puntos (0; 0) y (2; 4).

5 Figuras geométricas

Figuras en la naturaleza

a) 6, y una en el centro.

b) La misma cantidad.

c) Por ejemplo, puede ser las celdas de un panal de abejas, o la forma de un copo de nieve.

1. Todos los cuadrados son rombos.

2. El primero y el último son rectángulos.

3. a) Sí, es posible.

b) Sí, es posible.

c) No es posible.


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4. a) Tiene dos ejes que pasan por los vértices y ningún otro.

b) Solo tiene uno y no pasa por los vértices.

c) No tiene ejes de simetría.

d) Tiene dos ejes que pasan por los vértices y dos que no.

5. a) Falso. Por ejemplo, trapecio isósceles.

b) Verdadero.

c) Verdadero.

d) Verdadero.

e) Verdadero.

6. b) Equiláteros, porque tienen lados congruentes y ángulos congruentes.

c) No, porque los ángulos centrales del resto de los polígo-nos regulares no medirán 60°.

d) Cada ángulo interior mide 120° y cada central, 60°.

7. a) 900° b) 900°

8. Los ángulos del pentágono abcde son 110°, 120°, 90°, 60° y 160°.

9. a) El hexágono.

b) El triángulo.

c) El cuadrado.

10. a) 5 2

b) Cateto 38

3 e hipotenusa 58

3.

11. a) 12 m.

b) 481 9− � 12,93 m.

12. Perímetro: 5,5 0,5 5.

13. Se puede calcular a partir de los lados: L2; o a partir de las diagonales: D2 : 2; o con el perímetro y la apotema: per · ap : 2.

14. a) 120 m2, porque el área blanca es igual a la coloreada.

b) Perímetro del rombo: 40 m.

15. El perímetro es 128 cm.

16. Perímetro: 60 cm. Área: 240 cm2.

17. 96 3 cm2

18. a) Tienen en común las medidas de la base (24 cm) y de la altura (4 cm).

b) 40 cm2.

c) 8 cm2.

d) El segmento ge mide ( )884 24− cm (alrededor de 5,73 cm).

19. a) La cuerda ac mide 30 cm.

b) 5 3 cm2.

20. Tienen razón Facu y Pedro.

21. Aproximadamente 19,23.

22. c) Hay una única tangente a la circunferencia, que pasa por c (y es perpendicular al radio oc), e infinitas secantes.

23. a) Trapecio rectángulo, porque el radio od es perpendicu-lar a la recta ij, tangente a la circunferencia.

b) Isósceles, porque los lados oi y og son radios de la circunferencia exterior.

c) El triángulo ojh.

d) Trapecio isósceles, porque los lados ig y hj son congruentes.

24. b) Sí, son infinitos.

26. b) Los arcos son semicircunferencias. Además, en los dos casos el ángulo central es llano.

27. Mide 90°, ya que el ángulo central asociado mide 180°.

28. Se puede buscar el punto medio de la hipotenusa y trazar una semicircunferencia que tenga a la hipotenusa por diá-metro. Cualquier punto de la semicircunferencia podría ser el tercer vértice, porque el ángulo con ese vértice mide 90° (está inscripto en una semicircunferencia).

29. Se puede trazar una semicircunferencia de diámetro op, y el punto donde corta a la circunferencia de centro o, es el de tangencia. Entonces, se une ese punto con p y se obtiene la recta pedida.

30. b) Ambos miden 90° porque las rectas son tangentes a la circunferencia en b y d, y los lados ab y ad son radios.

c) El ángulo a mide 130° y el ángulo c, 50°.

d) Es un romboide.

31. a) x 4ˆ 5 ; y 2ˆ 545 °25 .

b) x 9ˆ 0 ; y 6ˆ 590 °65 .

34. b) En el triángulo rectángulo isósceles los cuatro puntos notables están alineados; además, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa y el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

En el triángulo equilátero los cuatro puntos notables coinciden.

35. Los lados con extremo en el punto a son tangentes a la circunferencia (se trazan como en la actividad 29); el tercer lado es perpendicular al radio op por el punto p.


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36. a) Trapecio rectángulo, porque los lados ce y ob son per-pendiculares al lado oc.

b) También es un trapecio rectángulo.

c) El ángulo b mide 15°, el c mide 45° y el f, 120°.

37. a) Falso (contraejemplo: romboide).

b) Falso (contraejemplo: rombo de lados no perpendiculares).

c) Falso (contraejemplo: rectángulo de lados no todos congruentes).

d) Verdadero, de esta manera cumple con las condiciones de rombo y de rectángulo, por lo tanto, es un cuadrado.

e) Falso (contraejemplo: rombo).

38. a) Solo puede construirse uno.

b) Se pueden construir infinitos rombos con esa medida de lado.

39. a) Es posible, sería un pentágono regular.

b) No es posible, porque según la fórmula para calcular ángulos interiores, tendríamos un polígono con una can-tidad no entera de lados.

c) No es posible, porque 80° no entra una cantidad entera de veces en 360°.

d) Es posible, sería un decágono regular.

40. a e 135 ; h f 112 30'; i 45= =e ° =; h = °112 °45

41. a) Sí; hipotenusa: 10.

b) No.

c) Sí; hipotenusa: 2.

d) Sí; hipotenusa: 2.

42. Área: 9; perímetro: 12.

43. Perímetro: 30 cm; área: 64,95 cm2 (en forma aproximada).

44. Perímetro: 40,57 cm; área: 21,86 cm2 (en forma aproximada).

45. Perímetro: 8 13 cm (unos 28,84 cm).

46. Perímetro: 34,67 m (aproximado).

47. a) Las diagonales deben ser diámetros.

b) Una diagonal debe ser un diámetro; la otra no, pero de-ben ser perpendiculares.

c) Las diagonales deben ser diámetros perpendiculares.

48. a) Dos. b) Una.

49. Tiene razón Sol.

50. a) α = ° β = °ˆ 60 ˆ 30 .

b) α = ° β = °ˆ 70 ˆ 40 .

51. El circuncentro coincide con el punto medio de la hipote-nusa, ya que si se la considera diámetro de una circunferen-cia, los catetos forman siempre un ángulo inscripto en una semicircunferencia.

52. No, porque las bisectrices son interiores al ángulo que bise-can, por lo que no podrían cortarse fuera de alguno de los tres ángulos del triángulo.

53. Sí, si es obtusángulo.

54. Ortocentro, baricentro y circuncentro.

55. Se puede hacer pensando al segmento dado como media-na de un triángulo, aprovechando que las medianas se cor-

tan en un punto que las divide en 13

y 23

de su medida.

6 Movimientos

1. b) En el III.

2. Sí, tiene que estar sobre el eje de simetría.

3. a) El eje debe ser horizontal.

b) El eje tiene que estar a 45° respecto de la horizontal y debe subir de izquierda a derecha.

4. Sí, cuando el punto es el centro de la simetría.

6. Se une cada vértice con su imagen; el punto donde se cor-tan los segmentos es el centro de la simetría.

7. El paralelogramo, el rectángulo y el cuadrado. En cada caso el centro es el punto de intersección de las diagonales.

9. Sí, es lo mismo, porque los ángulos suman, en valor abso-luto, 360°, o sea que los recorridos de los puntos (en un sentido y en el contrario) forman en total una circunferencia.

11. Se refiere a una simetría central de centro c.

12. Para las rotaciones en las que el ángulo de giro es un múlti-plo entero de 90°; por ejemplo, de 90°, de 180°, de 270° y de 360°, en ambos sentidos.

13. a) 110°

b) –250°

14. Sí, sucede cuando uno de los vértices es el centro de la rotación.

15. 360° o cualquier múltiplo entero de 360°.


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16. a) El centro es el punto de intersección de las diagonales.

b) Es el punto de intersección de las mediatrices del seg-mento aa’ y del segmento bb’. El ángulo de rotación es de 150°.

18. b) No es la única; todas las rectas son paralelas al vector.

20. El triángulo mln, porque conserva el tamaño y la orienta-ción, que no cambian a través de una traslación.

21. No es posible, ya que la orientación de la figura no cambia con las traslaciones.

22. a) Se pueden encontrar dos imágenes; ambas están so-bre una recta paralela a R que pasa por el punto p, una a cada lado y a 3 cm de este.

b) Todas las imágenes forman una circunferencia de cen-tro p y 2 cm de radio.

23. Puede ser, por ejemplo, el vector ee’ (o cualquier otro paralelo, con el mismo sentido e igual módulo).

24. Con la figura a). El vector es horizontal, de módulo 1 y cual-quier sentido.

26. No siempre se obtiene la misma imagen si se cambia el or-den de los movimientos (en la actividad anterior, en ningún caso ocurrió).

28. En a) se puede hacer una traslación de vector 2cd��

; mien-tras que en b) se puede hacer una rotación con el mismo centro, pero con los ángulos sumados, es decir, de cen-tro d y 100°.

29. a) Puede ser el vector aa’.

b) El vector de la nueva traslación debe tener iguales di-rección y módulo que el de la traslación original, pero sentido contrario; por ejemplo, el vector a’a.

30. a) 100°

b) Con una rotación con el mismo centro e igual ángulo, pero con sentido de giro opuesto.

31. a) El eje es la mediatriz del segmento aa’.

b) Si se compone haciendo de nuevo la simetría con el mismo eje, se vuelve a la figura original.

32. Sí, las propuestas de los hermanos son correctas.

33. b) So

c) R(o, 180°)

34. Se puede hacer tres rotaciones sucesivas de 60° (con el mismo centro).

35. Es el punto de intersección de los segmentos aa’ y cc’.

37. La simetría de Laura no conserva el tamaño de la figura, no están bien tomadas las distancias de las imágenes. La construcción de Sofía es correcta. En la construcción de Mateo no están bien unidos los puntos.

38. a) El rectángulo.

b) El triángulo equilátero.

c) El cuadrado.

39. Se puede encontrar trazando la mediatriz del segmento que une cualquier punto con su imagen.

40. R(p, 120°)

41. No, porque si fuera así, alguno de los vértices debería ser imagen de sí mismo.

42. R(o, 72°); R(o, 144°); R(o, 360°), y cualquiera en las que el ángulo de giro es múltiplo entero de 72°.

43. a) Queda en un punto de la circunferencia original.

b) Sí, el punto o pertenece a la imagen de la traslación.

44. Debe tener la misma dirección e iguales sentido y módulo que el vector dc.

45. No es correcto, porque cambió la orientación. Pudo haber efectuado una composición de movimientos; por ejemplo, una simetría axial y una traslación.

46. Sí, pero solo si la figura original es una recta paralela al vector porque, como se vio antes, la imagen de una recta paralela al vector es la misma recta.

47. Por ejemplo, una rotación o una simetría de centro (hay mu-chos movimientos que lo hacen).

48. R(o, 180°) o So

49. No es posible.

50. Deben sumar un múltiplo entero de 360°.

51. No, porque los movimientos estudiados conservan el ta-maño de las figuras.

52. Una traslación de vector 2ba��

.

53. Por ejemplo, una simetría central y una traslación.


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7 Proporcionalidad, semejanza

y trigonometría

Las proporciones y la arquitectura

a) Con la de Marcelo.

b) Las medidas que se obtienen con la escala que pro-pone Marcelo son 40 cm de largo por unos 24,75 cm de ancho, y con la de Darío, 28 cm de largo por casi 17,5 cm de ancho.

Ambas entran en la hoja A3.

1. Se unen: la razón entre 1,5 y 3 con 12

; la razón entre 125 y

25, con la razón entre 1,25 y 0,25 y con 5; y la razón entre

8,75 y 11,25 con 2127

.

2. Por ejemplo: la razón entre 9 y 7 equivale a 1814; la razón en-

tre 54 y 27 equivale a 2 = 168

; 43 equivale a 129 ; 15 equivale a

315

; y 0 equivale a 02.

3. Por ejemplo:

a) 165

f) 9110

b) 92

g) 2720

c) 8010

h) 418

d) 18

i) 69

e) 96

4. Por ejemplo:

a) c = 12; d = 15. c) a = 1; c = 4.

b) b = 16; d = 6. d) b =1; c = 27.

5. No es cierto. Lo correcto es b · e = a · f.

6. a) x = –24

b) x = 83

c) x = 18= 3 2 o bien, x = – 18 = –3 2.

d) x = –158

7. Por ejemplo, la cantidad de pan que se compra y el precio a pagar; la constante es el precio por kilo. También, los mensajes de texto excedentes y el precio a pagar por ellos; la constante es el precio de cada mensaje excedente. Además, se relacionan la cantidad de caramelos consu-midos (suponiendo que todos sean iguales) y las calorías ingeridas; en este caso, la constante de proporcionalidad representa las calorías por cada caramelo.

8. La constante es k = 10 g/cm.

La tabla se completa con 80, 5 y 100.

9. a) Proporcionalidad directa; k = 2. La tabla se completa con 4 y 12,5 en la primera columna, y con 10 y 30 en la segunda.

b) Proporcionalidad inversa; k = 100. La tabla se completa

con 20 en la primera columna, y con 209 , 20

3 y 53 en la

segunda.

c) No es una relación de proporcionalidad.

d) Proporcionalidad directa; k = 5. La tabla se completa con 0,4 y 4,2 en la primera columna, y con 160 y 75 en la segunda.

11. cd = 1,59 cm; ef = 2,29 cm.

12. ac = 5,64 cm.

13. El perímetro es 24 cm.

14. ad = 2,97 cm; fg = 4,12 cm.

15. x = 1; bc = 5 cm; de = 4 cm.

16. Mile tiene razón. No se cumple el teorema de Thales.

17. El triángulo mra es semejante al pcz.

18. a) ac cm� 3 89 4cm vw 635, ;89 cm , .

b) ab cm fd cm=fd= 1875 3 76, ;cm;cmcm875 , .

19. rst� = °60 ; tsu� = °30 ; rts uts� �= =uts °90 . Los lados que se co-

rresponden son: rs con su; st con ut, y tr con ts.

20. ad cm ac cm=ac= 6 705 4 6cm ae =, ;cm;cmcm705 ; .

21. Paula tiene razón, porque en los triángulos equiláteros todos los lados son iguales, entonces si se comparan dos triángulos de ese tipo, la relación entre sus lados siempre es la misma. No pasa lo mismo con los isósceles; por ejemplo, si dos trián-gulos isósceles tienen dos lados de 2 cm cada uno, y el tercer lado de uno mide 1 cm, mientras que el tercer lado del otro triángulo mide 3 cm, los triángulos no son semejantes.

22. El edificio mide 17,20 m.

23. a) Son semejantes. Se puede usar el criterio A-A porque ambos tienen un ángulo recto y otro que mide ß.

b) La imagen mide 0,5 cm.

24. a) Los datos que se dan no alcanzan para saber si son semejantes.

b) Los datos alcanzan, pero no son semejantes.


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25. a) k = 1,45 o bien, k = 2029

.

b) k = 43

o bien, k = 0,75.

26. a) Falso. Por ejemplo, un rectángulo común no es seme-jante a un cuadrado.

b) Verdadero. Si son regulares, tienen todos sus lados iguales, por lo tanto, es posible encontrar una relación de semejanza entre dos cualesquiera.

c) Falso. Se puede tener un triángulo rectángulo isósceles y otro escaleno.

d) Falso. Se puede tratar de un rombo cuadrado y otro que no lo sea.

e) Verdadero. El cuadrado es un polígono regular.

f) Verdadero. Porque al comparar dos cualesquiera, la ra-zón entre sus lados siempre es la misma.

27. a) Cocina: 1,6 m × 2 m; living-comedor: 2,4 m × 3 m; baño: 1,6 m × 1,8 m; dormitorio: 2,4 m × 2,4 m.

b) Cocina-comedor-living: 2,4 m × 3,9 m; baño: 2,55 m × 1,80 m; dormitorio: 2,4 m × 3,3 m.

28. a) 1:400.000

b) 1:1.400

29. Mide 4,20 m.

30. a) Lado pa, opuesto; lado an, adyacente.

Cos n = 0,779; sen n = 0,627; tg n = 0,806.

b) Lado so, opuesto; lado on, adyacente.

Cos n = 0,834; sen n = 0,554; tg n = 0,664.

31. a) 0° 30° 45° 60° 90°

sen 012

22

32

1

cos 1 32

22

12 0

tg 0 33

1 3

b) Entre 0 y 1.

c) Entre 0 y 1.

d) No.

32. Los ángulos de la primera fila son: 0°; 11° 32’ 13’’; 23° 34’ 41’’; 36° 52’ 12’’; 53° 7’ 48’’; 90°; el último casillero queda libre porque no hay ningún ángulo cuyo seno sea 1,5.

Los ángulos de la segunda fila son: 90°; 78° 27’ 47’’; 66° 25’ 19’’; 53° 7’ 48’’; 36° 52’ 12’’; 0°; el último casillero queda libre porque no hay ningún ángulo cuyo coseno sea 1,5.

Los ángulos de la última fila son: 0°; 11° 78’ 36’’; 21° 48’ 5’’; 30° 57’ 50’’; 38° 39’ 35’’; 45°; 56° 18’ 36’’.

33. a) Los lados miden 2 2.

b) Se puede usar el teorema de Pitágoras considerando que los catetos son iguales, o calcularlos a partir del seno o del coseno de 45°.

34. a) c = 23° 11’ 55’’; b = 66° 48’ 5’’; bc � 7,62 cm.

b) rq � 2,16 cm; pq � 0,81 cm; r = 22°.

c) bc � 3 cm; a = 36° 52’ 12’’; b = 53° 7’ 48’’.

d) uw � 6,93 cm; uv = 4 cm; w = 30°.

35. a) Alrededor de 2,486 cm.

b) Perímetro = 14,45 cm (aproximado).

36. El lado mide 2 cm. La apotema, 3 cm (1,73 cm aproxima-damente).

37. a) Recorre 8 m.

b) Recorre 4 m.

c) La base mide aproximadamente 6,93 m.

38. a) Un ángulo es de 63° 26’ 6’’ y el otro, 71° 33’ 54’’.

b) Mediría 10 m (3,16 aproximadamente).

39. a) Formará un ángulo de 26° 44’ 37’’.

b) Necesita 2,79 metros, aproximadamente.

41. La tabla de Mili se completa con 1.053 y 195 en la primera columna, y 75 en la segunda (k = 7,8 g/cm3). La tabla de Nico se completa con 216 y 405 en la primera columna, y con 75 en la segunda (k = 2,7 g/cm3).

42. a) Tardará 3,4 horas, o sea, 3 h 24 min.

b) Tardará el doble, o sea, 6h 48 min.

c) Son inversamente proporcionales.

d) k = 340 km (el total del espacio recorrido).

43. de � 1,80 cm; ef � 2,20 cm.

44. x = 3; ab = 3,6 cm; bd = 4,5 cm; be = 4 cm.

45. No pueden ser semejantes porque los ángulos obtusos son distintos.

46. rs = 1,016 cm; ts = 2,4 cm; tr = 1,84 cm.

47. a) La hipotenusa mide 8,5462 cm.

b) Lado fe = 3,04 cm.

c) 12,14 cm2

d) Lado bi = 1,14 cm.

e) 1,71 cm2.

f) No.


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48. Los dos tienen razón porque los tres triángulos tienen un ángulo recto y, además, los triángulos abc y abd comparten el a, mientras que los triángulos abc y bcd comparten el c.

49. b) Uno lo hizo más grande (duplicó la longitud de los lados) y el otro lo hizo más chico (cada lado mide la mitad).

50. Marce tiene razón porque los ángulos podrían medir a = b = 108° en uno de los pentágonos, y en el otro, k = 107° y j = 109°.

51. a) 0,956 e) 0,906

b) 0,906 f) 0,956

c) 0,616 g) 0,616

d) 0,424 h) 11,430

52. Son iguales.

53. a) 30°

b) 14° 28’ 39’’

c) 57° 8’ 24’’

d) 26° 33’ 54’’

e) 51° 41’ 2’’

f) 72° 32’ 33’’

g) 45° 31’’

h) 77° 28’ 16’’

54. Verdadero. En ese caso los ángulos agudos miden 45°, y el seno y el coseno toman el mismo valor.

55. Los lados miden 2,2 cm y los ángulos, 63° y 54°.

56. Los lados miden 3,01 cm y 5,01 cm, en forma aproximada.

57. Miden 3 cm, aproximadamente.

58. = =ab cd 3,5 cm; = =ad bc 5,78 cm.

59. =ac 13,23 cm y =bc 7,78 cm (aproximados); = °a 28 y = °b 127 .

60. La altura aproximada es de 1 m.

8 Estadística, combinatoria

y probabilidad

1. a) Cualitativa.

b) 125 alumnos encuestados.

c) Con una muestra, porque solo se encuestó a algunos.

d) La primera fila se completa con 55; 0,44 y 44; la segun-da, con 70; 0,56 y 56; la tercera con 125; 1 y 100.

e) 1 y 100.

2. a) Se completa con:

5 0,125 12,5 12,5

10 0,25 25 37,5

8 0,20 20 57,5

9 0,225 22,5 80

8 0,20 20 100

40 1 100

b) Cuantitativa continua. Se agrupó en intervalos.

c) 1 y 100, porque, como fr = fn

, al sumarlas se suman

todas las f, y se obtiene nn

= 1.

d) 8 cucuruchos.

3. a) f fr f%

Bariló 10 0,333 33,3

Carlos Paz 2 0,067 6,7

Mardel 3 0,1 10

Cataratas 15 0,5 50

Totales 30 1 100

b) En el gráfico los ángulos de cada sector son: Bariló 120°; Carlos Paz 24°; Mardel 36°; Cataratas 180°.

4. a) 550.

b) Es menor. Sí, porque hay más del 50%.

c) Cuadernos: 286; lápices de colores: 66; lápices negros: 99; otros: 55.

5. a) El primer intervalo es [11,5; 12,5), el segundo, [12,5; 13,5), y el tercero, [13,5; 14,5].

b) Midieron 30 manitos.

c) Entre 11,5 cm y 14,5 cm.

6. a) La preferencia de los juegos en la red.

b) ¿Cuál es tu juego preferido?

c) La moda.

d) No, porque la variable es cualitativa.


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5 0,1 10 10

18 0,36 36 46

14 0,28 28 74

12 0,24 24 98

1 0,02 2 100

50 1 100

b) Cuantitativa discreta.

c) Significa que 14 alumnos manifestaron que asistirán con 3 acompañantes.

d) Moda: 2 la respuesta más recibida fue “2 acompa-ñantes”.

Mediana: 3 la mitad irá acompañada de 3 o menos personas, y la otra mitad, de 3 o más.

Media: 2,72 en promedio, los alumnos serán acom-pañados por unas 3 personas.


12 0,08 8 8

15 0,1 10 18

33 0,22 22 40

39 0,26 26 66

36 0,24 24 90

15 0,1 10 100

150 1 100

b) Moda: 4. Mediana: 4. Media: 3,78.

9. a)

f fr f% % acum.

[33,5; 38,5) 3 0,075 7,5 7,5

[38,5; 43,5) 8 0,2 20 27,5

[43,5; 48,5) 15 0,375 37,5 65

[48,5; 53,5) 7 0,175 17,5 82,5

[53,5; 58,5) 4 0,1 10 92,5

[58,5; 63,5] 3 0,075 7,5 100

40 1 100

b) Intervalo modal: [43,5; 48,5). La mediana cae en el mis-mo intervalo. Media: 47,25.

10. a) La moda es 1,97.

b) La mediana es 1,97 y la media, 1,95.

c) Ahora la mediana es 1,97 y la media, también es 1,97. Sin considerar 1,68, la media es igual a la moda y a la mediana. Esto ocurre porque esa altura está lejos de las restantes y cambia el valor de la media, que deja de ser representativa si se la considera.

11. a) 720 claves distintas.

b) 64.800 claves distintas.

12. Martina tiene razón porque serían 72.000.

13. Puede haber 56 combinaciones.

14. a) 15 partidos.

b) 120 formas de armar el podio.

15. a) 17.576.000 patentes.

b) En Uruguay, porque se pueden patentar 128.440.000 autos.

16. a) 792 grupos.

b) 22.176 grupos.

17. a) {cara; ceca}

b) {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}

18. a) 12

b) 440

= 110

c) 1050

= 15

d) 411

19. a) 1

b) 0

c) 1

d) 0

20. a) La menor es 0, cuando el suceso es imposible.

b) La mayor es 1, cuando el suceso es seguro.

21. 1185

22. a) 14

b) 3

20


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23. Hay 50 cartas en el mazo.

24. Puede hacer 1 – 0,8, que es la probabilidad total menos la de que no se produzca.

25. a) 1

63

b) 161

c) ⋅163

161

26. a) Se completa con 0,15 y 1.

b) 0,38

c) 0,15

d) Rosales: 40; azaleas: 76; margaritas: 30; trepadoras: 54.

e) 54

199

27. Mateo y Lili, porque les dio un valor entre 0 y 1.

28. El gráfico c) corresponde a esa tabla porque, por un lado, al dato A le corresponde justo la mitad, y por el otro, el dato B tiene mayor frecuencia que el C.

29. a) Moda.

b) Mediana.

c) Media.

d) Moda.

30. La que tiene razón es Luli. Mati y Moni no, porque, como dice Luli, la barra más alta corresponde al intervalo modal.

31. a) De 5.040 maneras.

b) De 210 formas.

32. a) De 6 formas.

b) Cada una tiene 3 temas de 3,5 minutos, entonces, para escuchar las seis formas, se tardarán 63 minutos.

c) Se necesitarían 18.816 horas, o sea, 784 días ininte -r rumpidos.

33. a) 112!

b) 1

12!

c) 2

12!

34. a) 636

b) 1235

c) 1234

35. a) 4

36

b) 1036

c) 2636

d) Suman 1.

e) Es 7. P(7) = 636

f) 3336

g) 3236



IIIIII


Libro para el docenteLibro para el docente

Tapa carpeta de matematica III docente.indd 1 11/29/13 11:29 AM

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