mates simetries transform_geometriques
TRANSCRIPT
1 - DISSENY I PROPORCIÓ
PROPORCIÓ
La teoria de la proporció s’ha aplicat a les piràmides egípcies, edificis de la Grècia clàssica, pintures
de Leonardo da Vinci i escultures de Miguel Àngel. La intenció d’aquests autors era aconseguir un
efecte visual agradable.
TEOREMA DE TALES
Una de les primeres aplicacions de la proporció. La va fer Tales de Milet (s. IV a.C.)
Dos triangles són semblants si tenen els angles corresponents iguals i els seus costats són
proporcionals entre sí. Si a un triangle es traça una línea paral·lela a
qualsevol dels seus costats, s’obtenen dos triangles semblants.
DEFINICIÓ DE LA PROPORCIÓ
La proporció de dos nombres positius a i b es defineix com el quocient del més gran entre el més
petit.
La proporció d’un rectangle seria el costat més gran dividit entre el costat més petit.
PROPIETATS DE LA PROPORCIÓ
- La proporció és sempre igual o més gran que 1. Els quadrats tenen proporció 1. Si la
proporció és més gran ens indica que és un rectangle.
- La proporció no depèn de la posició d’un rectangle, sinó del costat més gran entre el
costat més petit.
- La proporció és invariable a reduccions o ampliacions. Si multipliquem els costats a i b
d’un rectangle per una constant positiva k s’obté un rectangle de la mateixa proporció.
- Dos rectangles amb la mateixa proporció, les seves diagonals se sobreposen
AMPLIACIONS I REDUCCIONS DE LA PROPORCIÓ
Dividirem la quantitat per 100.
Si volem fer una ampliació del 200% haurem de multiplicar les longituds per 2
Si volem fer una ampliació del 150% haurem de multiplicar les longituds per 1,5
Si volem fer una reducció del 50% haurem de multiplicar les longituds per 0,5
RECTANGLES RECÍPROCS
Els rectangles són recíprocs perquè: Tenen la mateixa proporció. La cara més gran d’un és la més petita de l’altre.
PROPORCIONS RACIONALS
S’anomena proporció racional, si en calcular una proporció s’obté un nombre que es pot
expressar com a quocient de nombres enters.
Les més usuals són 2/3 i 3/4
Un rectangle és racional si podem construir una quadrícula que s’hi adapti ben bé. Si construïm
directament un rectangle sobre una quadrícula, segur que la proporció és racional.
Pitàgores va descobrir proporcions racionals en l’escala musical, els arquitectes han usat aquestes
proporcions en les mides d’unes rajoles, separació entre columnes d’una catedral o la divisió d’una
finestra per a distribuir-hi els vidres, també en un tríptic publicitari.
MESURES COMMENSURABLES – Són les mesures que es poden mesurar, com per exemple els
segments de longituds racionals
MESURES INCOMMESURABLES – Són les mesures que no es poden mesurar, com √2 o com el
nombre π = 3,1415926535897932384626433832795...
PROPORCIONS DEL TIPUS √N
Els rectangles de proporció √n són els únics que, en retallar-los en rectangles iguals s’obtenen
rectangles amb la mateixa proporció √n.
Les més usuals són √2, √3 i √5.
Si tenim un rectangle de proporció √2 , en dividir-lo per la meitat pel costat més gran, obtenim
dos rectangles que també tenen proporció √2.
- Els rectangles de proporció √2 s’han fet molt comuns gràcies a la família de fulls DIN A.
Tots els fulls d’aquesta sèrie han de tenir proporció √2.
Les mides són : A0 (841x1189mm), A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9. A10 (26x37mm)
- El nombre √2 apareix com la diagonal d’un quadrat de costat 1
Un rectangle de proporció √3, en dividir-lo en tres iguals per talls paral·lels al costat més petit,
proporciona tres rectangles de proporció √3.
- El nombre √3 apareix com la longitud del costat d’un triangle inscrit en una circumferència
de radi 1.
- També com la distància entre els dos punts d’intersecció de dues circumferències de radi 1
quan cadascuna passa pel mig de l’altra.
Exemples: Tenim un rectangle amb un costat petit 5. Volem saber quina mida ha de tenir el costat
que falta perquè el rectangle tingui proporcions √2, √3 i √5. Apliquem la regla de les proporcions
en la que el costat gran partit pel costat petit és igual a la proporció:
√2
X = √2 · 5
X = 1,4142 · 5 = 7
El costats del rectangle proporció √2 són 5 i 7
Comprovem:
= √2
Si dividim el rectangle en dos parts
tenim que
= √2
√3
X = √3 · 5
X = 1,7320 · 5 = 8,66
El costats del rectangle proporció √3 són 5 i 8,66
Comprovem:
= √3
Si dividim el rectangle en tres parts tenim que
= √3
√5
X = √5 · 5
X = 2,2360 · 5 = 11,18
El costats del rectangle proporció √5
són 5 i 11,18
Comprovem:
= √5
Si dividim el rectangle en dos parts tenim que
= √5
NOMBRE D’OR I APLICACIONS
PROPORCIÓ ÀURIA
La proporció àuria ( o proporció divina ) és la que el segment més llarg dividit pel segment més
curt és el nombre d’or:
NOMBRE D’OR
√
Φ ≈ 1,61803398874989484820458683436564..
És a dir:
= √
= 1,61803398874989484820458683436564
Exemple amb una segona forma de calcular un rectangle auri:
- Crear un segment de llargada 300px i
un altra d’igual mida col·locat de manera que formin un angle de 90º.
- Del punt intermedi del segment horitzontal, traçar una línia fins a l’extrem més llunyà del segment vertical.
- Aquesta línia formarà la hipotenusa del triangle que acabo de crear. Calcularé la hipotenusa.
h2 = c2 + c2 h2 = 1502 + 3002 h2 = 22.500 + 90.000 = 112.500 h = 112.500 = 335,4101966
- La meitat del primer segment + la hipotenusa formen la cara més llarga del rectangle auri. Per tant, les mides de l’escenari són 485,41 x 300px.
SUCCESSIÓ DE FIBONACCI
Respon a la regla de la recurrència, on cada nombre d’aquesta successió s’obté de la suma dels
dos predecessors. A partir dels dos primers termes es ponen crear tots els termes de la successió.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...
Els nombres de Fibonacci apareixen de manera natural en el fenomen biològic de la fil·lotaxi, que
estudia la distribució de les fulles en una branca d’una planta o d’un arbre.
PROPORCIÓ EN L’ART
Geomètricament, el nombre d’or està lligat al pentàgon regular. Si 1 és la
longitud de cada costat del pentàgon i d és la longitud de les diagonals del
pentàgon, la proporció entre aquests dos segments és el nombre d’or.
Tenim una relació del dodecaedre amb la proporció ària, ja que a les cares hi
ha el nombre d’or. El dodecaedre era el símbol de l’univers, el lloc on vivien els déus. En l’arquitectura religiosa només
s’utilitzava en el disseny de les parts més sagrades. Predominava sobre les
altres proporcions. Durant l’edat mitjana va ser la proporció més secreta.
2 – SIMETRIA I DISSENY
DEFINICIÓ DE SIMETRIA
En matemàtiques només s’accepta la simetria quan és perfecta.
TIPUS DE SIMETRIA
- Un patró repetit diverses vegades (una fila d’ànecs que neden)
- Un patró repetit com si es reflectís en un mirall
- Un patró repetit com si fossin les aspes d’un molí que se centren en un punt.
APLICACIONS BIJECTIVES
Tot element del conjunt B és imatge d’un element de A, i de només un.
Dins de les aplicacions bijectives tenim l’aplicació identitat que simbolitzarem amb id. La identitat
d’un element és ell mateix.
Id(x) = x
L’efecte de compondre amb l’aplicació identitat és nul i es denomina element neutre de la
composició.
Per a una aplicació bijectiva tenim definida l’aplicació inversa. Si y és la imatge de x, llavors x és la
imatge de y.
f ° f -1 = f -1 ° f = Id,
ISOMETRIES DEL PLA
Denominarem isometria tota aplicació bijectiva del pla que conservi les distàncies. És a dir, la
distància entre dos punts i la distància entre les seves imatges respectives sempre sigui la
mateixa. Amb l’aplicació d’una isometria, es canvia la posició del l’objecte sense deformar-lo.
ISOMETRIES AMB TRES O MÉS PUNTS FIXOS NO ALINEATS
Tota isometria amb un mínim de tres punts fixos no alineats és la identitat. És a dir, és igual a sí
mateix.
ISOMETRIES AMB DOS PUNTS FIXOS – SIMETRIA AXIAL
La recta de simetria és la determinada pels dos punts i s’anomena eix de simetria. Aquesta
simetria inverteix l’orientació dels objectes.
ISOMETRIES AMB UN SOL PUNT FIX – ISOMETRIA DE GIR O ROTACIÓ
El punt fix és el centre de gir. Els girs conserven l’orientació.
ISOMETRIES SENSE PUNTS FIXOS – TRANSLACIONS O LLISCAMENTS
Les translacions conserven l’orientació dels objectes. El vector de translació són rectes fixes però
no tenen punts fixos.
Els lliscaments s’obtenen a partir d’una simetria amb la translació de vector paral·lel a l’eix de
simetria. inverteixen l’orientació dels objectes. Són una composició d’una simetria amb una
translació paral·lela a l’eix de simetria. L’únic element fix és la recta de simetria. No tenen punts
fixos.
ISOMETRIES EN L’ESPAI
Es defineixen de la mateixa manera que en el pla: Són aplicacions bijectives que conserven les
distàncies..
TRANSLACIÓ EN L’ESPAI
Es defineixen de la mateixa manera que en el pla: Tots els punts es modifiquen desplaçant-se una
distància fixada en una mateixa direcció i sentit. És una de les isometries més simples.
GIR EN L’ESPAI RESPECTE A UNA RECTA
Un gir en l’espai entorn d’una recta és el resultat de girar tots els punts un cert angle fixat entorn
de la recta o eix de gir.
SIMETRIA ESPECULAR O SIMETRIA RESPECTE D’UN PLA
Transforma cada punt de l’espai com si el pla fos un mirall.
GRUPS DE SIMETRIA
Anomenarem grup de simetria d’una figura el conjunt de les isometries del pla que deixen fixa la
figura.
Exemple:
Id Sr Ss St Su G90º G180º G270º
Id Id Sr Ss St Su G90º G180º G270º
Sr Sr Id G270º G180º G90º Su St Ss
Ss Ss G90º Id G270º G180º Sr Su St
St St G180º G90º Id G270º Ss Sr Su
Su Su G270º G180º G90º Id St Ss Sr
G90º G90º Ss St Su Sr G180º G270º Id
G180º G180º St Su Sr Ss G270º Id G90º
G270º G270º Su Sr Ss St Id G90º G180º
Es pot donar el cas extrem en el qual el grup de simetria sigui format només per la isometria identitat. És a dir, que a la figura no s’hi observa cap simetria.
A
Figura amb infinites isometries que la deixen invariant. Qualsevol simetria axial o qualsevol gir de centre dels cercles deixarà aquesta figura fixa.
GRUPS DE SIMETRIA FINITS O GRUPS DE SIMETRIA DE LEONARDO
Totes les figures tenen un punt fix i són grups finits.
- Grups cíclics – Formats únicament per un gir i les seves composicions
- Grups diedrals – Formats per girs i simetries. En un grup diedral sempre coincideix el
nombre de girs i el nombre de simetries
Un clar exemple el tenim amb les ROSASSES. Aquestes estan formades per un patró que es repeteix per mitjà d’un gir de centre fixat.
El FRIS o SANEFA es un disseny d’una banda rectangular produïda per repetició d’un motiu amb
determinades isometries.
- Els eixos de les simetries només podran ser la recta que segueix la direcció de la sanefa i les
rectes perpendiculars a aquesta.
- Els girs hauran de ser de 180º
Es poden crear set frisos diferents a partir d’un patró qualsevol:
- Translacions
- Translacions i simetria respecte a l’eix central de la banda
- Translacions i simetria respecte de rectes perpendiculars a l’eix de la banda
- Translacions i lliscaments
- Translacions i girs
- Translacions i simetria respecte a l’eix central de la banda i respecte a rectes paral·leles a
aquest eix
- Translacions, simetries respecte a rectes perpendiculars a la banda i lliscaments
ELS MOSAICS
Les rosasses pretenen omplir un cercle per mitjà d’un patró i els frisos una banda infinita per un
conjunt d’isometries. Quan volem omplir tot el pla a partir d’un patró i un conjunt d’isometries
obtenim un MOSAIC.
Podem usar translacions amb dues direccions. Els únics gir possibles són els de 60º, 90º 120º,
180º, 240º. Aquesta afirmació rep el nom de restricció cristal·logràfica.
Només hi ha disset grups d’isometries per a construir mosaics.
La malla fonamental és el mosaic més simple de tots ja que només utilitza les translacions.
Aquesta és la forma que usa el llenguatge HTML per a crear fons en pàgines web.
Un mosaic és regular quan és format per polígons regulars.
Mosacis de M. C. Escher – Va crear els seus propis mosaics en els quals el patró generador era sotmès a una sèrie de transformacions, fins a aconseguir crear peces que encaixen perfectament entre sí.
Els mosaics de Penrose són mosaics no periòdics. El seu grup de simetria no inclou translacions. Es poden construir seguint unes regles de formació determinades aplicades a dos patrons. Van ser inventats pel matemàtic Roger Penrose.
3 – GEOMETRIA FRACTAL
DEFINICIÓ DE FRACTAL
La característica bàsica dels fractals és l’existència d’una certa autosemblança entre les parts de
l’objecte. Descriurem un objecte fractal amb un procediment que especifiqui una operació per a
generar les parts de l’objecte per repetició.
Per a crear un fractal necessitarem un objecte inicial o llavor i una transformació que aplicarem
repetidament sobre aquesta llavor que anomenarem iteració.
Un objecte fractal pot ser una corba, una superfície o un sòlid.
ELS PRIMERS FRACTALS
CORBA DE KOCH
1904, Niels Helge von Koch (1870-1924) Comença amb un segment com a llavor. Cada segment que tinguem a la figura es divideix en tres parts iguals. La part central del segment se substitueix per dos segments de la mateixa longitud, de manera que formin un triangle equilàter amb el tros de segment que hem suprimit. Es repeteix l’operació.
La primera iteració suprimeix un terç del segment i hi afegeix dos d’aquesta mateixa longitud.
. Repetint el procés, el perímetre de la corba després de k iteracions serà
Per tant:
Podem afirmar que la longitud de la corba és infinita
ANTICOPO DE KOCH
La llavor és un triangle equilàter. Dividir cada costat del triangle en tres parts i eliminar la secció central. Substituir la secció eliminada per dos línies de la mateixa longitud, però col·locades cap a dintre del triangle. Repetir l’operació amb els triangles que van quedant.
EL TRIANGLE DE SIEPINSKI
1915, Waclaw Sierpinski (1882-1969) Comença amb un triangle equilàter com a llavor. La primera iteració consisteix a suprimir el triangle equilàter que es forma amb els tres punts mitjans dels tres costats. Obtenim una figura formada per tres triangles equilàters iguals. Les iteracions següents consisteixen a realitzar la mateixa transformació en cada un dels triangles.
En aquest cas, la superfície total és zero, i la suma dels perímetres de tots els triangles generats és infinita
El principi de la retroalimentació (feedback)
La càmera s’enfoca a la mateixa pantalla en la qual s’està visualitzant la imatge recollida per la
càmera. La imatge queda repetida dins de la mateixa imatge fins que la definició de la pantalla no
és suficient per a poder representar amb nitidesa l’objecte.
Si ampliem una part d’un objecte fractal, sigui autosemblant o no, el veiem exactament amb el
mateix grau de detall que l’objecte original.
DIMENSIÓ FRACTAL
La dimensió d’una recta és 1, la dimensió d’un pla és 2 i la dimensió d’un cub és 3. Les dimensions
dels fractals no tenen perquè ser nombres enters, sinó que solen ser nombres fraccionaris i
presenten moltes és possibilitats. La dimensió fractal mesura la rugositat i la fragmentació de
l’objecte fractal.
La fórmula per a calcular la dimensió fractal és:
D =
Per a calcular la dimensió de la corba de Koch, cada iteració que realitzem ens proporciona
quatre vegades aquesta mateixa corba, però cada corba té una longitud tres vegades menor.
D =
= 1,2618595...
Una corba fractal que es trobi en un pla i que no es talli a sí mateixa tindrà com a dimensió un
nombre comprès entre 1 i 2. Quan més s’aproximi a 1, més suau serà aquesta corba.
Si la corba es talla a sí mateixa diverses vegades, la dimensió serà un nombre comprès entre 2 i 3.
FRACTALS ALEATORIS
Els fractals són de tipus determinista i autosemblants, ja que la seva construcció queda
determinada a partir de la llavor i de la iteració. En considerar una part del total obtenim un fractal
similar al tot.
Però en els fractals autosemblants aleatoris, la iteració té un component aleatori.
Fractal determinista En aquest exemple obtenim un arbre amb només tres branques. A cada un dels tres segments que formen les branques apliquem novament la mateixa iteració.
Fractal aleatori Per a crear un fractal autosemblant aleatori, n’hi haurà prou amb afegir variacions aleatòries sobre aquesta construcció. Els fractals aleatoris resulten fonamentals per a representar objectes de la naturalesa.
Camí aleatori Pot consistir en les coordenades d’un punt. Es parteix d’un punt qualsevol en el pla i es tria la direcció i la longitud de forma aleatòria. Això crea un camí pel pla format per segments rectilinis. Aquest tipus de fractal s’utilitza per a crear imatges com el contorn d’una costa o el perfil d’una muntanya.
ALTRES TIPUS DE FRACTALS
Conjunt de Cantor S’elimina el terç central d’un fragment i així indefinidament. Usat per George Cantor i aplicat per Mandelbrot en la transmissió de dades informàtiques per cable elèctric.
Conjunt de Julia Del matemàtic francès Gaston Julia (1893-1978). Partim d’un punt z del pla, s’aplica de forma repetida la transformació z2+c. “c” és un paràmetre de control que podem ajustar arbitràriament. Els resultats poden ser de dos tipus: Un conjunt connex, d’una sola peça o inconnex com un núvol de pols format per infinits punts. Són fractals no lineals.
Conjunt de Mandelbrot Del matemàtic Benoît Mandelbrot, creador de la geometria fractal. Reuneix tots els punts “c” del conjunt de Julia connex. Cadascuna de les parts del conjunt de Mandelbrot caracteritza una família de conjunts de Julia. No és autosemblant en tota l’escala, però una ampliació basta per a poder descobrir còpies minúscules del propi conjunt. És fractal no lineal.
4 – ASPECTES BÀSICS I SISTEMES DE COORDENADES
NOMBRES REALS (R)
NOMBRES NATURALS (N) 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,150,184...
NOMBRES ENTERS (Z) -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5... (positius i negatius)
RACIONALS Finits– Representació decimal amb nombre finit de xifres
Infinits – Representació decimal periòdica
IRRACIONALS Representació decimal no periòdica
MAGNITUDS ANGULARS
RADIANT
Un radiant és l’angle l’arc del qual té una longitud igual que el radi de la circumferència. Tots els angles en Flash s’expressen en radiants.
Si tenim un angle t en una circumferència de radi R, la longitud de l’arc corresponent és
s = Rt Perímetre d’una circumferència:
P = 2 · radi · π O també:
P = diàmetre · π
GRAU SEXAGESIMAL
S’anomena grau sexagesimal a cadascuna de les parts del resultat de dividir la circumferència en 360 parts iguals. Un angle recte són 90 graus, un angle pla són 180 graus i la circumferència completa correspon a 360 graus. Quan parlem de graus ens referirem sempre als graus sexagesimals. Així tenim que:
- 1 angle recte = 90º graus sexagesimanls - 1 grau sexagesimal = 60’ minuts sexagesimals - 1 minut sexagesimal = 60’’ segons sexagesimals
INTERCONVERSIÓ
EQUIVALÈNCIA DE GRAUS A RADIANS
0º = 0 30º =
45º =
60º =
90º =
180º = π 360º = 2 π
Convertir radiants en graus
Radians
Convertir graus en radiants
Graus
TRIGONOMETRIA BÀSICA
TRIANGLES EQUILÀTERS Els costats són iguals Tots els angles són de 60º
TRIANGLES RECTANGLES Tenen un angle de 90º La suma de tots els angles és de 180º HIPOTENUSA D’UN TRIANGLE
hipotenusa2 = catet2 + catet2 HIPOTENUSA D’UN TRIANGLE AMB CATETS IGUALS
hipotenusa = √2 · catet
SINUS COSINUS
Sin β =
Cos β =
TANGENT
tg β =
= Cos =
VECTORS I CÀLCUL VECTORIAL BÀSIC
Un vector w = (a, b), “a” representa la coordenada “x” i “b” representa la coordenada “y”
Un vector w = (a, b, c), “a” representa la coordenada “x”, “b” representa la coordenada “y” i “c”
representa la coordenada “z”.
SUMA ESCALARS
DIMENSIÓ 2 DIMENSIÓ 3
(a, b) + (a’, b’) = (a + a’, b + b’) (a, b, c) + (a’, b’, c’) = (a + a’, b + b’, c + c’)
PRODUCTE ESCALARS
DIMENSIÓ 2 DIMENSIÓ 3
t (a, b) = (ta, tb) t (a, b, c) = (ta, tb, tc)
MATRIUS
Un vector w = (a, b), es pot representar amb la matriu següent:
Si tenim, u = (a, b, c), v = (a’, b’, c’) i w = (a’’, b’’, c’’) la matriu associada als vectors (u, v, w) seria:
SUMA DE MATRIUS
DIMENSIÓ 2
Han de tenir el mateix nombre de columnes i de files.
DIMENSIÓ 3
Han de tenir el mateix nombre de columnes i de files.
PRODUCTE D’UN ESCALAR PER UNA MATRIU
Es multiplica cada element per l’escalar
PRODUCTE DE MATRIUS
El nombre de columnes de A ha de coincidir amb el nombre de files de B
AX =
zayaxa
zayaxa
zayaxa
z
y
x
aaa
aaa
aaa
333231
232221
131211
333231
232221
131211
SISTEMES DE COORDENADES
COORDENADES CARTESIANES
Es fa servir per a determinar cada punt del pla a través de dos nombres reals anomenats x
(abscissa) i y (ordenada). Per a definir les coordenades s’especifiquen dues rectes perpendiculars
Dimensió 2 – La verticalitat la dóna l’eix “y” Dimensió 3 – La verticalitat la dóna l’eix “z”
PARAMETRITZACIÓ
Un dels objectes més simples són el segment o la recta. Una de les trajectòries més simples per a
una animació és la trajectòria rectilínia. Quan s’obtenen els punts de l’objecte (corbes, superfícies)
segons un paràmetre que varia, són una parametrització de l’objecte.
COORDENADES POLARS
És un sistema de coordenades de dues dimensions en el que cada punt en un pla està determinat per un angle i una distància.
Conversió de coordenades polars a coordenades cartesianes – Si tenim un angle “t”:
x = radi · cos t y = radi · sin t
PARAMETRITZACIÓ DE LA CIRCUMFERÈNCIA Si el centre de la circumferència és (0, 0) P (t) = ( Radi · cos t, Radi · sin t), 0 ≤ t ≤ 2π x = radi · cos t y = radi · sin t
Si el centre no és (0, 0) sinó (a, b) P (t) = ( a + Radi · cos t, b + Radi · sin t), 0 ≤ t ≤ 2π x = a + radi · cos t y = b + radi · sin t
Si el centre és (0, 0, 0), Triem l’angle polar t del pla xy P (t) = (Radi · cos t, Radi · sin t, 0), 0 ≤ t ≤ 2π x = radi · cos t y = radi · sin t z = 0
Si el centre és (a, b, 0) P (t) = ( a + Radi · cos t, b + Radi · sin t, 0), 0 ≤ t ≤ 2π x = a + radi · cos t y = b + radi · sin t z = 0
PARAMETRITZACIÓ DE L’ESFERA
Considerem una esfera de centre (0, 0, 0), radi R, a i b són els angles i que P = (x, y, z) és un punt genèric de l’esfera
5 – TRANSFORMACIONS GEOMÈTRIQUES
PRODUCTE ESCALAR
DIMENSIÓ 2 DIMENSIÓ 3
u = (a, b) v = (a’, b’) u · v = a·a’ + b·b’
u = (a, b, c) v = (a’, b’, c’) u · v = a·a’ + b·b’ + c·c’
Exemple: (1, 2, 3) · (–2, 0, 4) = 1 · (–2) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
DIMENSIÓ 2 DIMENSIÓ 3