Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G.

UCLA. DECANATO DE INGENIERA CIVIL Y URBANISMO PROF. FRANK ARANGUREN G.

TEOREMA DE ROLLE Y TEOREMA DEL VALOR MEDIO

DIFERENCIABILIDAD Se dice que una funcin f es diferenciable en x1, si existe la derivada en x1, en otras palabras, la funcin f es diferenciable en x1 si f(x1) existe.

En relacin a este concepto se cumple que: Una funcin f es diferenciable en un intervalo abierto (a, b) si es diferenciable en todo nmero perteneciente al

intervalo (a, b). Si una funcin f es diferenciable en x1, entonces f es continua en x1. Si una funcin f es diferenciable en un intervalo I, entonces f es continua en el intervalo I. Una funcin polinmica es continua y diferenciable en todo R.

EL TEOREMA DE ROLLE Sea una funcin tal que: i) Sea continua en el intervalo cerrado [a, b]. ii) Sea diferenciable en el intervalo abierto (a, b). iii) f(a) = f(b).

Entonces, existe un nmero c en el intervalo abierto (a, b) tal que f(c) = 0. En la siguiente figura se observa lo que alude este teorema.

Es posible que exista ms de un nmero c en el intervalo abierto (a, b) para el cual f(c)=0.

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EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO Sea f una funcin tal que: i) Sea continua en el intervalo cerrado [a, b]. ii) Sea diferenciable en el intervalo abierto (a, b).

Entonces existe un nmero c en el intervalo abierto (a, b) tal que f c ====( ) f(b) - f(a)b - a

En la siguiente figura se observa lo que alude este teorema.

Es posible que exista ms de un nmero c en el intervalo abierto (a, b) para el cual f c ====( ) f(b) - f(a)b - a .

EJERCICIOS RESUELTOS:

a) Verifique que la funcin dada satisface las condiciones del Teorema de Rolle en el intervalo indicado. Halle todos los puntos c que satisfagan la conclusin del teorema. f(x) = x2 4x + 3; [ ]3 ,1

Solucin: Derivando la expresin se obtiene f(x) = 2x 4.

f(x) es una funcin polinmica, por lo que f(x) existe para todos los valores de x. Luego f es diferenciable en (-, +) y, por tanto, continua en (-, +). Las condiciones i) y ii) del Teorema de Rolle se cumplen en cualquier intervalo.

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Por otro lado, f(1) = 12 4.1 + 3 = 0 y f(3) = 32 4.3 + 3 = 0. Se cumple la condicin iii) del Teorema de Rolle.

Para hallar el valor de c al cual alude la conclusin del teorema hacemos f(c) = 0 y se obtiene f(c) = 2c 4 = 0, y de aqu c = 2.

b) Verifique que la funcin dada satisface las condiciones del Teorema del Valor Medio en el intervalo indicado. Halle todos los puntos c que satisfagan la conclusin del teorema. f(x) = x2 + 2x - 1; [ ]1 , 0

Solucin: Derivando la expresin se obtiene f(x) = 2x + 2.

f(x) es una funcin polinmica, por lo que f(x) existe para todos los valores de x. Luego f es diferenciable en (-, +) y, por tanto, continua en (-, +). Las condiciones i) y ii) del Teorema del Valor Medio se cumplen en cualquier intervalo.

Por otro lado, f(0) = 02 + 2.0 1 = -1 y f(1) = 12 + 2.1 1 = 2.

Entonces, 31

)1(201

)0(f)1(f=

=

Para hallar el valor de c al cual alude la conclusin del teorema hacemos f(c) = 3 y se obtiene f(c) = 2c + 2 = 3, y de aqu c = 1/2.

EJERCICIOS PROPUESTOS:

a) Verifique que la funcin dada satisface las condiciones del Teorema de Rolle en el intervalo indicado. Halle todos los puntos c que satisfagan la conclusin del teorema. f(x) = x3 2x2 x + 2; [ ]2 , 1

b) Verifique que la funcin dada satisface las condiciones del Teorema del Valor Medio en el intervalo indicado. Halle todos los puntos c que satisfagan la conclusin del teorema. f(x) = x3 + x2 - x; [ ]1 , 2