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PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE CAPTULO 1
IN172 INVESTIGACIN DE OPERACIONES 1
Material de Trabajo
Ciclo 2015 1Profesores:
Fernando [email protected]
Carlos [email protected]
Eloy Marcelo
Marzo 2015NDICEProblemas para resolver en clase captulo 13Problemas para resolver en clase captulo 214Problemas para resolver en clase captulo 318Problemas para resolver en clase captulo 428Problemas para resolver en clase captulo 531PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE CAPTULO 1Modelos de produccin de un solo periodo
1. Una empresa produce dos tipos de productos, uno para el mercado nacional y el otro para exportacin. Se quiere determinar la mezcla de produccin ptima para el siguiente mes. El producto que se elabora para el mercado nacional usa en su produccin 7 unidades de la materia prima 1, 18 unidades de la materia prima 2 y 11 horas de mano de obra. El producto que se exporta utiliza en su elaboracin 8 unidades de la materia prima 1, 11 unidades de la materia prima 2 y 23 horas de mano de obra.
Por poltica de la compaa la produccin de ambos productos deben utilizar por lo menos 56 unidades de la materia prima 1 y hasta 198 unidades de la materia prima 2.
Por motivos de la situacin actual el nmero de horas con las que se cuenta mensualmente ha ido variando en los ltimos meses y para este mes se prev que se podr contar con un mximo de 253 horas de mano de obra en la planta de produccin.
Adems se presenta la siguiente restriccin: cuatro veces la produccin del producto para exportacin no debe ser mayor que nueve veces la produccin del producto para el mercado nacional ms 36 unidades.
Tomando en cuenta el precio de venta y los costos de todo aquello utilizado en la produccin de ambos productos se ha llegado a establecer que la utilidad por unidad del producto en el mercado nacional es de $ 200 y que la utilidad de un producto que se exporta es de $ 500. Elabore un modelo de programacin lineal para este caso.2. Un fabricante elabora cuatro tipos de productos A, B, C y D. Cada producto debe ser procesado de manera secuencial por el taller 1, luego por el taller 2 y finalmente por el taller 3. El tiempo que requiere una unidad de producto en cada uno de esos talleres, el costo por hora, la cantidad de horas mensuales disponibles que tendr cada taller, la produccin mnima que asegura la rentabilidad de negocio y el precio de venta de cada tipo de producto se muestra en la siguiente tabla. Formule un modelo de programacin lineal que permita maximizar la utilidad total. La demanda no representa un factor limitante para la venta. No es obligatorio que la produccin sea un nmero entero.TallerTiempo requerido (minutos / unidad)Costo de produccin ($/hora)Horas mensuales disponibles
ABCD
1321517211889160
2391476112681160
3461555712184160
Produccin mnima mensual (unidades)40252020
Precio de venta ($/unidad)200190170180
3. Un fabricante elabora cuatro tipos de productos A, B, C y D. Cada producto puede ser llevado a cabo en cualquiera de los tres talleres que dispone. El tiempo necesario para completar cada producto en cada uno de esos talleres, el costo por hora y la cantidad de horas disponibles que tendr cada taller durante este mes aparecen en la siguiente tabla. Formule un modelo de programacin lineal que permita cumplir con la demanda mensual al mnimo costo posible. No es obligatorio que la produccin en cada taller sea un nmero entero.TallerTiempo requerido (minutos / unidad)Costo de produccin ($/hora)Horas mensuales disponibles
ABCD
1321517211889160
2391476112681160
3461555712184160
Demanda mensual (unidades)80504040
4. La empresa "Triturados y Derivados S.A." (TRIDESA), desea producir tres diferentes tipos de block de concreto I, II, III. En la tabla mostrada a continuacin, se proporcionan las estimaciones que TRIDESA ha elaborado del requerimiento necesario de cada elemento, para fabricar cada uno de los tipos de block, su disponibilidad, as como de la utilidad unitaria que obtiene en la venta de los mismos.Requerimiento unitario
Block
(tipo)Cemento
(kg)Arena
(kg)Grava
(kg)Agua
(litros)Horas
mquinaUtilidad
($/unidad)
I
II
III1.50
1.20
0.800.80
0.60
1.000.40
0.60
0.800.30
0.40
0.500.004
0.002
0.0106
8
9
Disponibilidad12000 kg8000 kg600 kg400 litros300 horas
Adems, se sabe que se debe producir como mnimo 100 bloques de cada tipo, con el fin de asegurar la rentabilidad del negocio. Formule un modelo de programacin lineal para determinar el nmero de blocks a fabricar diariamente que maximice la utilidad. Todo lo que se produzca se vender.5. El departamento de energa de Lilliput actualmente est en el proceso de desarrollar un plan nacional de energa para el ao siguiente. Lilliput puede generar energa de cualquiera de cinco fuentes: carbn, gas natural, materiales nucleares, proyectos hidroelctricos y petrleo. Los datos sobre los recursos de energa, las capacidades de generacin medidas en megawatt-horas (MW-hr), y los costos unitarios de generacin se dan en la siguiente tabla:Fuente de energaCapacidad total
(MW-hr)Costo de generacin
($/MW-hr)
Carbn450006.0
Gas natural150005.5
Nuclear450004.5
Hidroelctrica240005.0
Petrleo480007.0
Lilliput necesita 50,000 MW-hr de energa de uso domstico, y el pas tiene un compromiso para producir 10,000 MW-hr para exportacin. Ms an, a fin de conservar los recursos de energa y proteger el ambiente, el gobierno ha aprobado las siguientes regulaciones:
La generacin proveniente de materiales nucleares no debe exceder 20% de la energa total generada por Lilliput.
Debe utilizarse al menos 80% de la capacidad de las plantas de carbn.
La cantidad de energa generada a partir del gas natural debe ser al menos 30% de la generada a partir del petrleo.
Los efluentes que salen a la atmsfera no deben exceder los lmites especificados en la siguiente tabla:
Contaminante ( g / MW-hr)
Fuente de energaDixido de azufreMonxido de carbonoPartculas de polvoDesechos slidos
Carbn1.51.20.70.4
Gas Natural0.20.5--------
Nuclear-----0.10.20.7
Hidroelctrica------------------
Petrleo0.40.80.50.1
Kg. mximos permitidos75603025
Formule un programa lineal para determinar un plan de energa a costo mnimo. 6. Rylon Corporation fbrica los perfumes Brute y Chanelle. Se pude comprar la materia prima que se necesita para producir cada tipo de perfume a 3 dlares/libra. Para procesar 1 lb. de materia prima, se necesita 1 hora de trabajo en el laboratorio. Cada libra de materia prima procesada produce 7 onzas de perfume en total distribuidos de la siguiente forma: 3 oz. de Perfume Brute Regular, y 4 oz. de perfume Chanelle Regular.
Se puede vender Brute Regular a 7 dlares/oz., y Chanelle Regular a 6 dlares /oz. Rylon tiene tambin la opcin de seguir procesando Brute Regular y Chanelle Regular para producir Brute Luxury, vendido a 18 dlares/oz., y Chanelle Luxury, vendido a 14 dlares/oz.
Cada onza de Brute Regular necesita 3 horas adicionales de laboratorio y causa 4 dlares extra de costos de produccin, para producir 1 oz. de Brute Luxury. Cada onza de Chanelle Regular necesita 2 horas adicionales de laboratorio y causa 4 dlares extra de costos de produccin para producir 1 oz. de Chanelle Luxury. Cada ao, Rylon dispone de 6000 horas de laboratorio y puede comprar hasta 4000 lb. de materia prima. Formule un modelo de Programacin Lineal que se pueda utilizar para determinar cmo puede maximizar Rylon sus ganancias. Supngase que los costos de laboratorio son fijos y que todo lo que se produzca se vender.7. Birdeyes Real Estate Co. Posee 800 acres de tierra de primera clase, pero no urbanizada, en un lago escnico en la parte central de las montaas. En el pasado, se aplicaba poca o ninguna regulacin a nuevas urbanizaciones en torno al lago. Las orillas del lago ahora estn alineadas con residencias vacacionales agrupadas. Debido a la falta de servicio de drenaje, o desage por alcantarillado, se utilizan muchos tanques spticos, la mayora instalados en forma inadecuada. Con el paso de los aos, la filtracin de los tanques spticos ha provocado un severo problema de contaminacin del agua.
Para controlar la degradacin ms profunda en la calidad del agua, los funcionarios del municipio presentaron y aprobaron algunos reglamentos estrictos aplicados a todas las urbanizaciones a futuro:
Slo se pueden construir casas para una, dos y tres familias, donde las unifamiliares constituyen cuando menos el 50% del total.
Para limitar el nmero de tanques spticos, se requieren tamaos de lote mnimos de 2, 3 y 4 acres para casas de una, dos y tres familias.
Se deben establecer reas de recreo de 1 acre cada una a razn de un rea por cada 200 familias.
Para preservar la ecologa del lago, no se puede extraer agua del subsuelo para uso en la casa o el jardn.
El presidente de la compaa estudia la posibilidad de urbanizar los 800 acres de la compaa en el lago. La nueva urbanizacin incluir casas para una, dos y tres familias. El estima que el 15% del terreno se utilizar en la apertura de calles y vas de acceso para servicios. Tambin calcula que los siguientes sern sus ingresos derivados de la venta de las diversas unidades habitacionales:Unidades habitacionalesSencillaDobleTriple
Ingreso neto por unidad ($)100001500020000
El costo de conexin del servicio de agua al rea es proporcional al nmero de unidades que se construyan. Sin embargo, la comunidad estipula que se deber colectar un mnimo de $ 100000 para que el proyecto sea econmicamente factible. Adems, la expansin del sistema acufero ms all de su capacidad actual est limitada a 200000 galones por da durante periodos de consumo mximo, pico. Los datos que siguen resumen el costo de la conexin del servicio de agua y tambin del consumo de agua suponiendo una familia de tamao medio:Unidad habitacionalSencillaDobleTripleRecreo
Costo del servicio de agua por unidad ($)100012001400800
Consumo de agua por unidad (gal./da)400600840450
Formule el modelo de programacin lineal correspondiente.Modelos de Horarios de trabajo8. Cierto restaurante atiende al pblico los siete das de la semana. La administracin ha contratado camareros para que trabajen seis horas diarias. En el contrato firmado con el sindicato se estipula que cada uno de ellos debe trabajar cinco das consecutivos y descansar dos. Todos los camareros perciben el mismo salario. En la siguiente tabla aparecen los requerimientos de personal. Suponga que este ciclo de requerimientos se repite indefinidamente y pase por alto el hecho de que la cantidad de camareros contratados tiene que ser un nmero entero. La gerencia desea encontrar un programa de empleo que satisfaga estos requerimientos a un costo mnimo. Formule este problema como modelo de PL.DaLunesMartesMircolesJuevesViernesSbadoDomingo
Horas camarero requeridas150200400300700800300
Modelos de Transporte9. Una empresa desea programar el transporte de su producto principal que se elabora en 4 plantas con destino a 3 almacenes. Se conoce la demanda de los almacenes, la capacidad de produccin de las plantas y el costo de transporte por unidad de transporte de una planta a un almacn.
PlantasAlmacenes ($ / Unid)Capacidad
(unidades)
123
1324950
22431150
33531000
4432900
Demanda
(unidades)1200900500
Elabore un modelo de programacin lineal que permita hallar el plan ptimo de transporte.10. Una compaa tiene dos plantas y tres almacenes. La primera planta puede abastecer un mximo de 100 unidades y la segunda un mximo de 200 del mismo producto. El potencial de ventas del primer almacn es de 150, del segundo de 200 y del tercero de 350. Los precios de venta en cada uno de los tres almacenes son: $12 en el primero, $ 14 en el segundo y $15 en el tercero. En la siguiente tabla se muestra el costo de la manufactura en la planta i y del transporte al almacn j. La compaa desea determinar cuntas unidades debe transportar de cada planta a cada almacn para maximizar sus utilidades.Costos de manufactura y transporte ($ / unidad)
PlantaAlmacn 1Almacn 2Almacn 3
181012
27911
Modelos de Transbordo11. Una empresa extrae roca de 2 minas. Una vez que levanta el material del suelo y lo carga en un camin, lo enva a una de 2 plantas para ser procesado. Luego, la roca procesada se enva a una de 3 tiendas de materiales para construccin, donde se vende para propsito de arreglo de jardines. El costo de transportacin, las existencias disponibles en cada mina, los costos y la capacidad de procesamiento en cada planta se dan en la tabla siguiente:
A la planta de procesamiento ($ / t)Suministro diario (t)
De la mina12
A68320
B710450
Costo de procesamiento ($ / t)2218
Capacidad de
procesamiento (t / da)500500
El costo de envo de cada planta de procesamiento a cada tienda y la demanda diaria son como sigue:
Hacia la tienda ($ / t)
De la planta123
1131720
2192221
Demanda diaria (t)200240330
Formule el programa lineal que pueda utilizarse para determinar cmo satisfacer las demandas de las 3 tiendas al mnimo costo.Modelos de la dieta12. El Battery Park Stable alimenta y aloja los caballos utilizados para tirar carruajes llenos de turistas por las calles del histrico distrito ribereo de Charleston. El propietario del establo reconoce la necesidad de disear una dieta nutricional para los caballos a su cuidado. Al mismo tiempo quiere mantener al mnimo el costo diario de alimentacin.
Las mezclas disponibles para la dieta de los caballos son un producto de avena, un grano altamente enriquecido y un producto mineral. Cada una de estas mezclas contiene una cierta cantidad de 5 ingredientes requeridos diariamente para mantener saludable al caballo. Los requerimientos mnimos, las unidades de cada ingrediente por libra de mezcla de alimentos y los costos de las 3 mezclas se muestran a continuacin:
Mezcla de alimento (unidades / libra)Requerimiento diario mnimo (unidades)
IngredientesProducto de avenaGranos enriquecidosProductos minerales
A2316
B0.510.52
C3569
D11.528
E0.50.51.55
Costo ($ / libra)0.090.140.17
Adems, el propietario determina que 6 libras de alimento por da es lo mximo que un caballo necesita.
Modelos de Mezclas13. La administracin de un viedo desea combinar cuatro cosechas distintas para producir tres tipos de vinos en forma combinada. Las existencias de las cosechas y los precios de venta de los vinos combinados se muestran en la siguiente tabla, junto con ciertas restricciones sobre los porcentajes incluidos en la composicin de las tres mezclas. En particular, las cosechas 2 y 3 en conjunto debern constituir cuando menos 75 % de la mezcla A y cuando menos 35 % de la mezcla C. Adems, la mezcla A deber contener cuando menos 8 % de la cosecha 4, mientras que la mezcla B deber contener por lo menos 10% de la cosecha 2 y a lo sumo 35 % de la cosecha 4. Se podr vender cualquier cantidad que se elabore de las mezclas A, B y C. Formule un modelo de PL que aproveche en la mejor forma las cosechas disponibles.
MezclaCosechaPrecio de venta
($ / galn)
1234
A*cuanto menos 75% 2 y 3
en cualquier proporcincuanto menos
8%80
B*cuanto menos
10%*cuanto mucho
35%50
C*cuanto menos 35% 2 y 3
en cualquier proporcin*35
Existencias
(galones)130200150350
* Indica que no existe restriccin alguna.14. La SAVE-IT COMPANY opera un centro de reciclado que recoge cuatro tipos de material de desecho slido y los trata para amalgamarlos en un producto comercializable (el tratamiento y el amalgamado son dos procesos diferentes). Se pueden hacer tres grados diferentes de este producto (ver la primera columna de la tabla 1), segn la mezcla de materiales que se use. Aunque existe una flexibilidad para esta mezcla en cada grado, los estndares de calidad especifican una cantidad mnima y una mxima para la proporcin de los materiales permitidos en ese grado (esta proporcin es el peso del material expresado como un porcentaje del peso total del producto de ese grado). Para los dos grados ms altos se especifica un porcentaje fijo de uno de los materiales. Estas especificaciones se dan en la tabla 1 junto con el costo de amalgamado y el precio de venta de cada grado.
Tabla 1
GradoEspecificacinCosto de amalgamado
($ /libra)Precio de venta
($ / libra)
AMaterial 1: no ms del 30% del total
Material 2: no menos del 40% del total
Material 3: no ms del 50% del total
Material 4: exactamente el 20% del total3.008.50
BMaterial 1: no ms del 50% del total
Material 2: no menos del 10% del total
Material 4: exactamente el 10% del total2.507.00
CMaterial 1: no ms del 70% del total2.005.50
El centro de reciclado recoge los materiales de desecho slido de ciertas fuentes habituales por lo que casi siempre puede mantener una tasa de produccin estable para tratarlos. En la tabla 2 se dan las cantidades disponibles para la recoleccin y tratamiento semanal, al igual que el costo del proceso para cada tipo de material.
La Save-it Co. es propiedad de Green Earth, una organizacin dedicada a asuntos ecolgicos, por lo que las ganancias se usan para apoyar las actividades de Green Earth. Esta organizacin ha logrado contribuciones y apoyos por la cantidad de $ 30000 semanales, que deben usarse exclusivamente para cubrir el costo del tratamiento completo de los desechos slidos. El consejo directivo de Green Earth ha girado instrucciones a la administracin de la Save-it para que divida este dinero entre los materiales de manera tal que al menos la mitad de la cantidad disponible de cada tipo de material sea recolectada y tratada. Estas restricciones adicionales se numeran en la tabla 2.Tabla 2
MaterialLibras por semana
disponiblesCosto del Tratamiento
($ por libra)Restricciones Adicionales
130003.001.- Para cada material deben recolectarse y tratarse al menos la mitad de las libras disponibles por semana
2.- Deben usarse $ 30000 semanales para tratar estos materiales.
220006.00
340004.00
410005.00
Dentro de las restricciones especificadas en las tablas 1 y 2, la administracin desea determinar la cantidad que debe producir de cada grado y la mezcla exacta de materiales que debe usar para cada uno, de manera que maximice la ganancia semanal total.
15. Sunco Oil produce tres tipos de gasolina (1, 2 y 3). Cada tipo de gasolina se produce mezclando tres tipos de petrleo crudo (1, 2 y 3). En la tabla siguiente se muestran los precios de venta por barril de las gasolinas y los precios de compra, por barril, del petrleo crudo. Sunco puede comprar hasta 5000 barriles de cada tipo de petrleo crudo diariamente.
GasolinaPrecios de venta por barril ($)CrudoPrecio de compra por barril ($)
Gasolina 170Crudo 145
Gasolina 260Crudo 235
Gasolina 350Crudo 325
Los tres tipos de gasolina difieren en su ndice de octano y en su contenido de azufre. La mezcla de petrleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 1 tiene que tener un ndice de octano promedio de por lo menos 10 y a lo ms 1% de azufre. La mezcla de petrleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 2 tiene que tener un ndice de octano promedio de por lo menos 8 y a lo ms 2% de azufre.
La mezcla de petrleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 3 tiene que tener un ndice de octano promedio de por lo menos 6 y a lo ms 1% de azufre.
El ndice de octano y el contenido de azufre de los tres tipos de petrleo se dan en la tabla que sigue a continuacin. La transformacin de un barril de petrleo en un barril de gasolina cuesta 4 dlares, y la refinera se Sunco pude producir diariamente, hasta 14000 barriles de gasolina.Crudondice de octanoContenido de azufre
Crudo 1120.5%
Crudo 262.0%
Crudo 383.0%
Los clientes de Sunco necesitan diariamente las siguientes cantidades de cada tipo de gasolina: gasolina 1, 3000 barriles, gasolina 2, 2000 barriles, gasolina 3, 1000 barriles. La compaa se siente comprometida a cumplir con estas demandas. Sunco tiene la posibilidad de estimular la demanda de sus productos mediante la publicidad. Cada dlar invertido diariamente en el publicidad para cierto tipo de gasolina, aumenta la demanda diaria de este tipo de gasolina en 10 barriles. Por ejemplo, si Sunco decide gastar diariamente 20 dlares para promover la gasolina 2, la demanda diaria de la gasolina 2 se incrementara en 20(10)=200 barriles. Formule un modelo de Programacin Lineal que permita a Sunco a maximizar sus ganancias diarias (ganancias = ingreso costos).
Modelos de Inventarios16. Sailco Corporation tiene que determinar cuntos veleros hay que producir en cada uno de los cuatro trimestres. La demanda durante cada uno de los siguientes cuatro trimestres es: primer trimestre, 40 veleros; segundo trimestre, 60 veleros; tercer trimestre, 75 veleros; cuarto trimestre, 25 veleros. Sailco tiene que cumplir a tiempo con las demandas.
Al principio del primer trimestre, Sailco tiene un inventario de 10 veleros. Durante cada trimestre, Sailco pude producir hasta 40 veleros, en el tiempo regular de trabajo, a un costo total de 400 dlares por velero. Sailco puede producir ms veleros, al hacer que trabajen tiempo extra los empleados durante un trimestre, a un costo total de 450 dlares por velero. El costo de inventario por cada velero es de $ 20. Utilice la programacin lineal para determinar un programa de produccin e inventario para Sailco.17. Gandhi Co. fabrica camisas y pantalones. La demanda en los prximos 3 meses, la cual se debe cumplir a tiempo, es la siguiente:
Mes 1Mes 2Mes 3
Camisas101214
Pantalones151413
Durante cada mes, cuesta $4 elaborar una prenda cualquiera en turno normal y cuesta $8 en turno extra. La capacidad mensual de produccin en turno normal es 25 prendas y la capacidad mensual de produccin en turno extra es ilimitada. Es posible almacenar prendas, a un costo de inventario mensual de $3 por prenda. Al inicio del mes 1, en el almacn hay una camisa y 2 pantalones.
Cada camisa requiere 2 yardas2 de tela y cada pantaln requiere 3 yardas2 de tela. Lo mximo de tela que se puede comprar y el costo de compra se muestran a continuacin:
Mes 1Mes 2Mes 3
Mximo a comprar (yardas2)101214
Costo ($/yarda2)21.51.8
Es posible almacenar tela en cada mes, con un costo de almacenamiento despreciable. Elabore un modelo de programacin lineal que permita satisfacer la demanda al mnimo costo total.
18. La empresa Body Cycling se dedica a la fabricacin y ensamblaje de bicicletas para la exportacin; posee 3 lneas de bicicletas: MTB, ATB y BMX, las cuales poseen tiempos de produccin diferentes, como se muestra en la siguiente tabla.LneaTiempo de produccin (horas)
MTB6
ATB5
BMX4
La demanda de cada tipo de bicicletas para los prximos seis meses, en unidades, se proporciona en la siguiente tabla.
Demanda
MESENEFEBMARABRMAYJUN
MTB1000500250250200200
ATB500200150150120150
BMX25012050506060
La planta cuenta con 30 operarios, los cuales deben permanecer en forma constante trabajando 8 horas diarias, 4 semanas al mes y 5 das por semana. Sin embargo es posible trabajar horas extras, hasta un lmite de 40% respecto a las horas normales de trabajo.
El almacn tiene capacidad para 1000 bicicletas, indistintamente del modelo o tamao y se han establecido los siguientes costos:
Mano de obra regular:
$3200 al mes, para un total de 160 horas mensuales.
Mano de obra extra:
$25 por hora adicional.
Mantenimiento de Stock:
$5 por unidad almacenada.
El inventario inicial de cada tipo de bicicletas para el mes de Enero aparece en la siguiente tabla:LneaStock
MTB400
ATB150
BMX50
Formule un modelo de programacin lineal para el programa de produccin de la empresa que tome en cuenta satisfacer la demanda mensual (no se aceptan ventas pendientes).
19. CLS es una cadena de tiendas de servicio para computadoras. El nmero de horas de reparacin especializada que requiere CLS durante los prximos cinco meses, se da a continuacin:
Horas de reparacin requeridas mensualmente
Mes 1 (enero) 6000
Mes 2 (febrero) 7000
Mes 3 (marzo) 8000
Mes 4 (abril) 9500
Mes 5 (mayo) 11000
Al principio de enero, 50 tcnicos especializados trabajan para CLS. Cada tcnico especializado puede trabajar hasta 160 horas al mes. Para satisfacer futuras demandas, hay que capacitar a nuevos tcnicos. La capacitacin de un nuevo tcnico dura un mes. Un tcnico experimentado tiene que supervisar al aprendiz durante 50 horas del mes de entrenamiento. A cada tcnico experimentado se le pagan mensualmente $2000 (aunque no trabaje las 160 horas). Durante el mes de entrenamiento, se paga al aprendiz $1000 al mes. Al final de cada mes, 5% de los tcnicos experimentados de CLS, cambian de trabajo, para irse con Plum Computers. Formule un modelo de Programacin Lineal cuya solucin permita a CLS minimizar los costos de trabajo que se presentan al cumplir con los requerimientos de servicio durante los prximos meses.
Modelos de Planificacin financiera20. Una compaa debe establecer su estrategia de inversiones durante los siguientes 3 aos. En la actualidad (tiempo 0) hay $100000 disponibles para invertir en cinco opciones A, B, C, D y E. El flujo de efectivo relacionado con la inversin de $1 en cada opcin se muestra a continuacin:Ao
Opciones de inversin0123
A-10.510
B0-10.51
C-11.200
D-1001.9
E00-11.5
Por ejemplo, $1 invertido en la opcin B, requiere una salida de efectivo en el ao 1 y da un rendimiento de $0.5 en el ao 2 y $1 en el ao 3. La compaa requiere que se asigne no ms de $75000 para cada opcin de inversin. Adems de dichas opciones de inversin, la compaa puede ganar 8% de inters anual por mantener el efectivo sin invertir en el banco. El rendimiento de las inversiones se puede volver a invertir de forma inmediata (por ejemplo, el flujo de efectivo positivo recibido de la opcin C en el ao 1 podra ser reinvertido inmediatamente en la opcin B). Finalmente, la compaa no puede pedir fondos prestados, as que el efectivo disponible para inversin en cualquier ao est limitado al efectivo disponible que se posea en ese momento. Plantee un modelo de programacin lineal que permita maximizar el efectivo disponible al final del ao 3.Modelos de Programacin entera binaria21. El Departamento de Investigacin ha identificado seis proyectos en los que la compaa High Tech puede elegir invertir o no. Cada proyecto ha sido evaluado para determinar la cantidad de capital que debe invertirse, la rentabilidad esperada y tambin un factor de riesgo usando un algoritmo patentado. Estos datos se resumen en la siguiente tabla:
ProyectoCapital requerido
($)Rentabilidad(% respecto al capital requerido)Riesgo
1100 000100.50
2400 00050.40
3170 000200.70
4250 000150.65
5200 00070.45
6250 000300.80
Los socios generales han acordado que el riesgo total, obtenido aadiendo los factores de riesgo para cada proyecto respaldado, no debe exceder de 3, y que no deben emprenderse ms de dos proyectos con un factor de riesgo mayor a 0.6. Formule un modelo de programacin lineal que permita maximizar la rentabilidad total.22. Un inversionista dispone de $ 20000, los cuales desea destinarlos a la compra de paquetes de acciones y dispone de 10 alternativas. Los costos y la rentabilidad de cada paquete de acciones, as como el rubro al que pertenecen las compaas que ofrecen las acciones se presentan en la siguiente tabla:
RubroConstruccinMineraAgricultura
Paquete de accionesABCDEFGHIJ
Costo ($)3500290040003800420036003200300037003300
Rentabilidad (%)9.210.08.48.68.29.29.69.98.99.4
El inversionista slo puede adquirir un paquete por cada tipo de accin, y por recomendacin de un experto en finanzas:
A lo ms debe adquirir 2 paquetes de acciones en total por cada rubro.
Si invierte en el paquete A, entonces debe invertir en el paquete de acciones B.
Si invierte en el paquete D, entonces no debe invertir en el paquete E.
Formule el modelo de programacin lineal binaria que permita determinar qu paquetes de acciones se deben adquirir.
23. Sobre el caso anterior, ahora el inversionista ya no tiene restricciones respecto al nmero de paquetes totales adquiridos por cada rubro. En lugar de ello, considere que a lo ms puede invertir en 2 rubros distintos.
24. Una empresa desea programar el transporte de su producto principal que se elabora en 4 plantas con destino a 3 almacenes. Se conoce la demanda de los almacenes, la capacidad de produccin de las plantas y el costo de transporte por unidad de transporte de una planta a un almacn.
PlantasAlmacenes ($ / Unid)Capacidad
(unidades)
123
1324950
22431150
33531000
4432900
Demanda
(unidades)1200900500
Se estima un costo fijo de operacin para cada planta.
Planta1234
Costo fijo de operacin ($)600900200800
Asimismo, se debe tener en cuenta que si trabaja la planta 1, no debe trabajar la planta 2; y si trabaja la planta 3, entonces debe trabajar la planta 4.
Formule el modelo de programacin lineal entera binaria que permita determinar desde que plantas realizar los envos, as como el nmero de unidades a enviar desde cada una de las plantas seleccionadas hacia cada uno de los almacenes.
Otros modelos25. Una compaa de inversiones tiene actualmente $ 10 millones para la inversin. La meta que se ha trazado consiste en maximizar la retribucin esperada durante el siguiente Ao. Sus 4 posibles posibilidades de inversin se presentan resumidas en la siguiente tabla. Adems, la compaa a especificado que cuanto menos 30 % de los fondos tendrn que colocarse en acciones ordinarias y bonos de la tesorera y que no mas del 40 % del dinero deber invertirse en fondos de mercado y ttulos municipales. Se invertir la totalidad de los 10 millones actualmente a la mano. Formule el modelo de PL que indique a la empresa cunto dinero debe invertir en cada instrumento.Posibilidad de inversinRetribucin esperada (%)Inversin mxima
(millones de $)
Bonos de la Tesorera85
Acciones ordinarias67
Mercado de dinero122
Ttulos municipales94
26. Una empresa de servicios pblicos de electricidad est planeando la expansin de su capacidad generadora para los siguientes cinco aos. Su capacidad actual es de 800MW, pero con base en el pronstico de la demanda se requerir capacidad adicional tal como se muestra en la tabla # 1. La empresa puede aumentar su capacidad instalando generadores de 10, 50 y 100 MW. El costo de instalacin de un generador depende de su tamao y del ao en que se instala. Vase tabla # 2. Una vez que se pone en funcionamiento un generador, su capacidad est disponible para hacer frente a la demanda de aos posteriores. Formule un programa de programacin lineal entera que minimice el costo de poner en funcionamiento los generadores al mismo tiempo que se satisfagan los requisitos mnimos de capacidad.
Tabla # 1
Ao
Capacidad Mnima (MW)
1
880
2
960
3
1050
4
1160
5
1280
Tabla # 2
Tamao del
Generador
Ao
1
2
3
4
5
10MW
$300
$250
$208
$173
$145
50MW
$670
$558
$465
$387
$322
100MW
$950
$791
$659
$549
$458
27. Una empresa produce rollos de papel con un ancho estndar de 20 pies de ancho cada rollo. Esta empresa atiende pedidos de los clientes, los cuales le solicitan rollos de papel de distintos anchos: rollos de 5 pies, rollos de 7 pies y rollos de 9 pies. El da de hoy esta empresa tiene que atender lo siguientes pedidos: 150 rollos de 5 pies de ancho, 200 rollos de 7 pies de ancho y 300 rollos de 9 pies de ancho. Para atender los pedidos, esta empresa debe cortar los rollos de ancho estndar.
En la prctica, se surte un pedido ajustando las cuchillas a los anchos deseados. En general, hay varias maneras de cortar un rollo de ancho estndar para surtir un determinado pedido. Por ejemplo:
De un rollo de ancho estndar se pueden obtener un rollo de 5 pies y un rollo de 9 pies, generando un desperdicio de 4 pies de ancho.
De un rollo de ancho estndar se pueden obtener dos rollo de 5 pies y un rollo de 7 pies, generando un desperdicio de 3 pies de ancho.
Se pide determinar cmo debe llevarse a cabo el corte de los rollos de ancho estndar de tal manera que se puedan atender los pedidos de hoy da minimizando el desperdicio total.
PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE CAPTULO 21. La empresa Cosmtica S.A. fabrica dos tipos de productos. Para producir una unidad del producto dirigido al mercado tipo A se necesitan 15 unidades de materia prima, 20 horas de mquina y 9 horas de mano de obra. Para producir una unidad del producto dirigido al mercado tipo B se necesitan 23 unidades de materia prima, 14 horas de mquina y 4 horas de mano de obra. La demanda total del producto dirigido al mercado tipo B no es mayor de 14 unidades y la demanda para el producto dirigido al mercado tipo A no debe exceder de 10 unidades. Por polticas de la empresa son severas y establecen: La produccin del producto dirigido al mercado tipo A no debe exceder a 12 unidades ms 4 veces la produccin del producto dirigido al mercado tipo B. Tambin se deben utilizar por lo menos 36 horas hombre en la produccin total de la empresa. Adems se requiere que la produccin del producto dirigido al mercado tipo B no exceda a cuatro veces la produccin del producto dirigido al mercado tipo A ms doce unidades. La empresa cuenta con un mximo de 345 unidades de materia prima y con una disponibilidad mxima de 280 horas de mquina.
Se sabe que el precio de venta del producto dirigido al mercado tipo A es de 400 dlares y los costos involucrados en la produccin de este tipo de producto suman 100 dlares. El precio de venta del producto dirigido al mercado tipo B es de 500 dlares y los costos involucrados en la produccin de este tipo de producto suman 200 dlares.
Se pide lo siguiente:
a) Formule un modelo de programacin lineal para el caso de la empresa Cosmtica S.A.
b) Encuentre, empleando el mtodo grfico, la solucin ptima y el valor ptimo.
c) Cunto es lo mximo que puede aumentar el precio de venta del producto dirigido al mercado tipo A para que el programa de produccin no cambie?
d) Qu sucede con la solucin ptima si el costo de produccin del producto dirigido al mercado tipo B se disminuye en 25%?
e) El mercado para el producto tipo A ha disminuido por efectos de las condiciones econmicas del entorno. Esto hace ver que la demanda del producto dirigido al mercado tipo A se ver recortada. Cunto es lo mximo que se puede reducir la demanda del producto dirigido al mercado tipo A para que no cambie el punto solucin ptima?
2. La empresa Hoja Verde se dedica a la produccin de tomate y de duraznos enteros enlatados. El gerente general ha citado al gerente de produccin para precisar ciertos puntos para la prxima campaa.
En el departamento de operaciones de la empresa se ha determinado lo siguiente: para producir mil cajas de tomate en lata se requieren 7 horas mquina y para producir mil cajas de duraznos en lata se necesitan 14 horas mquina, por ser un producto ms delicado. Para el siguiente periodo de produccin, el departamento de mantenimiento ha informado que se tendrn 980 horas mquina disponibles.
Por especificaciones de cada producto, se conoce que para producir mil cajas de tomate en lata se necesitan 12 horas hombre y para mil cajas de durazno en lata se requieren de 8 horas hombre. Para el periodo siguiente se tendrn 960 horas hombre disponibles en la planta.
El departamento de marketing ha pronosticado la demanda del durazno en lata y ha determinado que para el siguiente periodo se podrn vender como mximo 68000 cajas del producto, por la reduccin del mercado de este producto. Por el contrario, para los tomates en lata se ha presentado una oportunidad en el mercado y el departamento de marketing ha determinado que hay que producir por lo menos 40000 cajas.
En cuanto a la materia prima para la produccin se ha determinado lo siguiente: Para el periodo siguiente se tendrn disponibles un mximo de 200000 kilos de tomate y 450000 kilos de duraznos. Por especificaciones de diseo para producir mil cajas de tomate en lata se necesitan 2000 kilos de materia prima y para producir mil cajas de durazno en lata se requieren 3000 kilos de materia prima.
El departamento de ventas le ha enviado la siguiente informacin al gerente de produccin: la utilidad que obtiene la empresa por mil cajas de tomates en lata es de $200 y por cada mil cajas de duraznos en lata es de $500.
El gerente general le pregunta al gerente de produccin lo siguiente:
a) Cul es la utilidad mxima que podramos ganar?
b) Cuntos miles de cajas de cada producto estaremos produciendo este periodo?
c) Cules son los recursos ms importantes para la produccin?
d) Qu sucede si contratamos 10% ms de horas hombre? e) Qu sucede si adquirimos 20% ms de horas mquina?
f) Qu sucede si se malogra el 15% de los tomates disponibles?
g) Qu sucede si podemos contar con 20% ms de disponibilidad de duraznos?
h) Cunto estamos usando de cada uno de nuestros recursos?
i) Nos sobra algn recurso?
j) Qu deberamos hacer para elevar nuestras utilidades?
k) Resultara importante elevar la demanda de los duraznos en lata?
Utilizando el modelo de programacin lineal y resolvindolo usando el mtodo grfico, responda las preguntas planteadas por el gerente general.
3. La empresa ROBOTICS Inc. se dedica a ensamblaje de micro componentes electrnicos para ser usados en telfonos celulares. Dentro de los muchos productos que ensambla, tiene dos que estn dirigidos a los nuevos telfonos celulares. Los productos RS109 y KL345 son los productos que la empresa debe posicionar bien en el mercado.
El gerente de operaciones desea optimizar el ensamblaje diario de los dos productos mencionados. Ambos comparten ciertos componentes en su ensamblaje y desea hacer mejor uso de estos recursos. Para lograr este objetivo se ha propuesto la creacin de un modelo matemtico que proporcione un mejor uso de las limitaciones de la empresa.
Para el ensamblaje de una unidad de RS109 se necesitan: 31 componentes tipo 1, 23 componentes tipo 2, 21 componentes del tipo 3 y 1 componente del tipo 5. Adems este producto requiere de 11 horas de trabajo. Para el ensamblaje de una unidad de KL345 se necesitan: 22 componentes tipo 1, 29 componentes tipo 2, 40 componentes del tipo 3 y 1 componente del tipo 4. Adems este producto requiere de 5 horas de trabajo.
Por disponibilidad de nuestro proveedor solo se pueden contar con 682 unidades del componente del tipo 1, 19 unidades del componente 4 y 14 unidades del componente 5. El componente tipo 2 es importado, el gobierno tiene por poltica no permitir el ingreso de no ms de 667 unidades por da.
Por capacidad del almacn, este no permite almacenar ms de 840 unidades del componente tipo 3 por da.. La empresa, con el objetivo de mantener a su personal ocupado plantea que las horas hombre que se usen en el ensamblaje de ambos productos deben ser por lo menos 55 por da. Adems, para mantener cierta relacin entre el ensamblaje de ambos productos se plantea que dos veces la produccin del RS109 no debe ser mayor que 7 veces la produccin del KL345 ms 14 unidades.
Despus de hacer un anlisis de costos y el precio de venta de cada uno de los productos, se ha llegado a determinar que la utilidad que se tiene por la venta de un RS109 es de $900 y mientras que la utilidad por la venta de un producto KL345 se calcula en $800.
a) Elabore un modelo matemtico de programacin lineal para este caso.
b) Utilizando el mtodo grfico, resuelva el modelo planteado en el inciso anterior.
c) El proveedor que nos suministra el componente 1 ha invertido en mejorar la tecnologa de sus procesos productivos. Esta mejora le proporciona una mayor capacidad de produccin lo que hace que nos pueda ofrecer 15% ms de lo que hasta ahora nos proporciona. Acepta Ud. El incremento del suministro de componente 1 que propone el proveedor? Cunto es lo mximo que podra incrementar la disponibilidad del componente 1?d) El gobierno est estudiando una norma que liberara la cantidad mxima diaria de importacin del componente 2. Ahora, como ya no habra restriccin a la cantidad disponible del componente 2 Cuntas unidades deberamos comprar del componente 2 para mejorar las utilidades?
e) La utilidad unitaria que representa la venta de un producto KL345 se ha elevado en 18%. Haciendo uso del anlisis de sensibilidad del mtodo grfico, determinar si el punto solucin ptima cambia con este incremento. 4. La empresa LIVES S.A. produce dos tipos de productos para el mercado nacional. La gerencia de operaciones se ha propuesto para el prximo mes elaborar un modelo matemtico de programacin lineal que ayude a tomar mejores decisiones y que permita manejar las operaciones de forma ptima. Cada producto debe pasar por tres mquinas en forma secuencial para ser elaborados.
Se ha logrado recopilar la siguiente informacin acerca de la produccin de los dos productos. El producto tipo 1 requiere de 19 unidades de materia prima, 21 horas de trabajo, 6 horas de trabajo en mquina 1, 10 horas en mquina 2, y 14 horas de mquina 3. El producto tipo 2 requiere de 15 unidades de materia prima, 13 horas de trabajo, 8 horas de trabajo en mquina 1, 6 horas en mquina 2, y 3 horas de mquina 3.
La empresa dispone de 285 unidades de materia prima, 273 horas de trabajo para la produccin de ambos productos. Por polticas de la compaa se ha establecido que la mquina 1 debe trabajar por lo menos 48 horas, la mquina 2 debe trabajar por lo menos 60 horas y la mquina 3 debe trabajar por lo menos 42 horas. Adems se ha establecido que la demanda del producto tipo 1 no debe exceder de 10 unidades y que la demanda del producto tipo 2 no deber exceder de 16 unidades.
El costo incurrido para la produccin del un producto tipo 1 es de $5 y de $4 para un producto tipo 2.
a) Elabore un modelo matemtico de programacin lineal para el caso.b) Usando el mtodo grfico, resuelva el modelo planteado en a).c) El encargado del almacn nos ha informado que algunas de las unidades de materia prima en almacn se han malogrado. Cunto es lo mximo que se puede reducir la disponibilidad de materia prima para que el punto solucin ptima no cambie?d) Se han incrementado en 25% los costos de produccin del producto 2. Utilizando el anlisis de sensibilidad del mtodo grfico determine si este cambio en los costos cambia tambin el punto solucin ptima.
5. Una empresa que fabrica alimentos balanceados, debe determinar la cantidad de insumo X e Y que debe contener una bolsa de alimento light para perros. La composicin de minerales, vitaminas, oligoelementos y grasa que contiene cada kilogramo de insumo se muestra a continuacin.
InsumoMinerales
(mg)Vitaminas
(mg)Oligoelementos
(mg)Grasa
(g)
X0.90.20.1300
Y0.20.30.3600
La bolsa de alimento debe contener por lo menos 3.6 mg de minerales, 3.6 mg de vitaminas y 2.4 mg de oligoelementos.
Sabiendo que se quiere un alimento con el menor contenido de grasa posible, se pide lo siguiente:
a) Defina las variables de decisin y en qu unidades se expresan.
b) Escriba el modelo de programacin lineal.
c) Determine grficamente la regin factible, la solucin ptima y el valor ptimo. Presente los valores de la solucin ptima y del valor ptimo.
d) Entre qu valores puede variar el contenido de grasa del insumo Y sin que vare la cantidad de insumos X e Y en el alimento? Muestre su procedimiento.
e) Se ha comprobado en el laboratorio que la cantidad de oligoelementos por kilogramo de insumo Y es en realidad 0.4 mg. La solucin ptima se modifica? Justifique su respuesta. Si la respuesta es afirmativa, determine grficamente la solucin ptima.
6. Una planta produce energa elctrica a partir de la combustin de carbn. Esta planta emplea dos tipos de carbn A y B, cuyas caractersticas se muestran a continuacin:
Emisin de contaminantes por tonelada de carbn que se utilizaHoras necesarias para quemar una tonelada de carbnCantidad de vapor que genera una tonelada de carbn
Tipo de carbnAzufreCeniza
C11800 PPM0.5 kg1.5 horas24 000 libras
C23800 PPM1 kg1 hora20 000 libras
La faja transportadora, que lleva el carbn hacia el caldero, puede transportar como mximo 20 toneladas. En el caldero, el carbn es quemado con el fin de generar vapor. Se sabe que el caldero puede trabajar no ms de 24 horas.
Finalmente, el Ministerio de ambiente ha impuesto las siguientes condiciones:
No se debe emitir ms de 12 kg de ceniza en total.
No se debe emitir ms de 3000 PPM de azufre en promedio. (El promedio, es un promedio ponderado en funcin de las cantidades de carbn C1 y C2 que se utilizan)
Sabiendo que se desea generar la mxima cantidad posible de vapor, se pide lo siguiente:
a) La definicin de las variables de decisin y el modelo de programacin lineal que permita resolver el problema.
b) Aplique el mtodo grfico para resolver el modelo. Presente su procedimiento y coloree la regin factible. Determine grficamente la solucin ptima y calcule el valor ptimo.
c) Informan que el motor que mueve la faja transportadora no est funcionando debidamente; por ello la faja slo podr transportar hasta 16 toneladas Se ver afectada la generacin de vapor? Justifique su respuesta.
d) A partir del modelo original: El jefe de operaciones afirma que si se compra un caldero que pueda trabajar ms de 24 horas, se podra aumentar la generacin de vapor. Est usted de acuerdo? Justifique su respuesta. Si su respuesta es afirmativa, determine cul es la cantidad mxima posible de vapor que se podra generar. Presente su procedimiento.
e) Cul es la mxima y la mnima cantidad de vapor que puede generar una tonelada de carbn C1 sin que cambie la solucin ptima.
PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE CAPTULO 3
1. Una empresa ensambladora de automviles presenta el siguiente modelo para optimizar su plan de produccin. El modelo tiene como objetivo la maximizacin de las utilidades de la compaa, y presenta las siguientes variables:
C: Nmero de autos compactos a ensamblar
S: Nmero de autos supercompactos a ensamblar.
Max 6740C + 5100S
st
200C + 150S