MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS HUMANAS Y

SOCIALES

MATERIALES PARA 2º BACHILLERATO

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INTRODUCCIÓN En el diseño curricular de las Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Humanas y Sociales podemos leer en referencia a la Resolución de Problemas: “Al mismo tiempo que se resuelven los problemas que permiten plantear los conceptos y técnicas matemáticas que se proponen en los otros núcleos de contenidos, resulta útil reflexionar sobre los procedimientos y métodos empleados. La explicitación de las distintas fases que ha supuesto la resolución de un problema y la sistematización de las estrategias heurísticas empleadas con éxito, constituye una ayuda y una guía para actuar ante nuevas situaciones problemáticas y para revisar críticamente los problemas ya resueltos. En consecuencia, este núcleo tiene un carácter transversal y sus contenidos serán tenidos en cuenta exclusivamente en conexión con el desarrollo del resto de los contenidos. Los contenidos de este núcleo son:

• Fases en la resolución de problemas: formulación, elaboración de conjeturas, diseño y ejecuciónde la estrategia de actuación, interpretación de los posibles resultados.

• Algunas estrategias de actuación: simplificación, analogía, articularización, generalización,inducción, razonamiento por reducción al absurdo, análisis de las posibilidades, etc.”

Al igual que hacíamos en “MATERIALES PARA 1º BACHILLERATO”, no vamos a desarrollar un núcleo específico sobre la resolución de problemas. Este material es una continuación de aquel, y con él seguimos pretendiendo que veas las matemáticas a través, fundamentalmente, de la resolución de problemas.

Evidentemente, en este curso aumentaremos el grado de dificultad (pero no demasiado), pero, sobre todo lo que haremos será aumentar el nivel de formalización, pero siempre sin perder de visto nuestro objetivo fundamental. De hecho, el proceso, normalmente, será partir de situaciones concretas para llegar a generalizaciones.

En ese mismo documento mencionado se hace referencia a los Objetivos Generales que se espera que consigas a lo largo de todo el Bachillerato: 1. Comprender la forma de organización de los conocimientos propia de las matemáticas:

establecimiento de definiciones precisas, demostración de las propiedades relacionadas con losconceptos definidos y justificación de los procedimientos, técnicas y fórmulas que simplifican laresolución de problemas.

2. Aplicar adaptando los conocimientos matemáticos adquiridos a situaciones diversas que puedanpresentarse en fenómenos y procesos propios de las ciencias humanas y sociales.

3. Utilizar y contrastar estrategias diversas para la resolución de problemas, de forma que lespermita enfrentarse a situaciones nuevas con autonomía, eficacia y creatividad.

4. Utilizar los conocimientos matemáticos adquiridos para interpretar críticamente los mensajes,datos e informaciones que aparecen en los medios de comunicación y otros ámbitos sobrecuestiones económicas y sociales de la actualidad.

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5. Elaborar juicios y formar criterios propios sobre fenómenos sociales y económicos mediante actitudes propias de la actividad matemática como son la visión crítica, la necesidad de verificación, la justificación de las afirmaciones, la valoración de la precisión, el gusto por el rigor, la necesidad de cuestionar las apreciaciones intuitivas. Y la apertura a nuevas ideas.

6. Establecer relaciones entre las matemáticas y el entorno social, cultural y económico, apreciando su lugar como parte de nuestra cultura.

7. Servirse de los medios tecnológicos que se encuentran a su disposición, haciendo un uso racional de ellos y descubriendo las enormes posibilidades que nos ofrecen.

8. Aprovechar los cauces de información facilitadas por las nuevas tecnologías, seleccionando aquello que pueda ser más útil para resolver los problemas planteados.

9. Expresarse oral, escrita y gráficamente en situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente, mediante la adquisición y el manejo de un vocabulario específico de notaciones y términos matemáticos.

10. Apreciar la utilidad y las limitaciones de los recursos mecánicos de cálculo, así como la necesidad de someter a revisión crítica los resultados obtenidos por tales procedimientos.

11. Utilizar el discurso racional para plantear acertadamente los problemas, justificar procedimientos, adquirir cierto rigor en el pensamiento científico, encadenar coherentemente los argumentos y detectar incorrecciones lógicas.

Todos los objetivos anteriores forman parte de la declaración de intenciones que supone este material–libro que tienes en tus manos. Es un libro autosuficiente; es decir, pretende que si, por cualquier motivo, no puedes asistir a clase puedas seguir el curso con relativa facilidad. Para ello, el libro está constituido por tres núcleos: 1. ÁLGEBRA

2. ANÁLISIS 3. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Cada uno de ellos se corresponde con la correspondiente evaluación. A su vez, cada uno de los temas coincide con las diferentes quincenas. Notarás que los bloques son los mismos que en 1º; este hecho no significa obligatoriamente que se continúe a partir de los contenidos vistos el curso anterior, pero está claro que no podemos partir de cero, salvo en temas muy puntuales.

El esquema de cada tema es semejante; se comienza, normalmente, con actividades de iniciación (siempre resueltas) que pretenden acercarte a los contenidos del tema. Se van desarrollando los diferentes apartados acompañados con actividades resueltas y se proponen actividades para que tú practiques lo que hayas aprendido. Al final de cada núcleo hay un bloque de actividades que bien a ser como un resumen del núcleo. Si estas actividades sabes resolverlas por tu cuenta, tendrás gran parte del camino recorrido.

Pero, ¿qué pasa si no sabes resolverlas? No te preocupes, ya que este material contiene un anexo en el que están resueltas todas las actividades propuestas, tanto las de cada tema como las del núcleo. Y ya nada más, sólo pretendo que con este material–libro, tu aprendizaje de las matemáticas aplicadas a las Ciencias sociales sea más sencillo y a la vez más ameno. Un saludo.

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PRÓLOGO: LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN MATEMÁTICAS Recordamos de forma breve el desarrollo de este punto en el curso anterior; asimismo, veremos algunos problemas resueltos que nos pueden servir de referencia sobre el desarrollo del curso.

1 ¿QUÉ ES UN PROBLEMA MATEMÁTICO?

“Un problema es una situación, cuantitativa o de otra clase, a la que se enfrenta un individuo o grupo que requiere solución y para la cual no se vislumbra un medio o camino aparente y obvio que conduzca a la misma”.

1.1 Características más importantes de un problema • En general, la resolución requiere un cierto tiempo. • A simple vista resulta difícil entenderlo y no se suele saber el plan de ataque, requiere un tiempo

de familiarización. • Su objetivo central no es aplicar una regla o receta, sino elaborar un camino.

• En general, son cuestiones más abiertas y menos definidas que los ejercicios. • Su resolución exige una inversión importante de paciencia, perseverancia, creatividad, talento,

etc. Suelen ser situaciones en un determinado contexto.

1.2 El proceso de resolución (¿cómo resolver un problema?) La resolución de un problema es un proceso que lleva tiempo y que sigue una cierta cadencia. Las etapas esenciales de esta cadencia son: La fase introductoria: Familiarízate con el problema. Si un enunciado te resulta confuso, enmarañado, oscuro...emplea un rato en entenderlo. No será tiempo desperdiciado. Debes estar seguro/a de que entiendes bien todos los términos del problema: cada frase, cada dato, las condiciones del enunciado, lo que te piden. Luego trata de explicarte a ti mismo o a otra persona de qué va el problema. La fase exploratoria: Busca varias estrategias posibles. La fase exploratoria suele sugerir un plan (que puede o no llevar a la resolución), cuyo desarrollo es la fase de resolución propiamente dicha.

Las estrategias que puedes llevar a cabo en las fase exploratoria y en la fase de resolución propiamente dicha son prácticamente las mismas.

La fase de resolución. No es posible adquirir un razonable dominio de todas las estrategias en un corto período. Tampoco debes trabajar siguiendo la primera idea que te surja. Piensa en otras posibilidades y anótalas. Es conveniente que tengas presentes unos cuantos modos posibles de proceder. Algunas de las estrategias que podrías asumir son las siguientes:

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Comparación ¿Tiene el mismo aire que otros que hayas resuelto?

Hacer una figura o un diagrama Aun cuando finalmente se resuelva el problema por medios algebraicos o de cualquier otro tipo, una figura o un diagrama pueden ayudar a comprender mejor de qué se trata.

Hacer una tabla Si puedes, lleva los datos a una tabla de forma ordenada y busca algún tipo de regla (algebraica, verbal, etc. ) a ver si puedes sacar conclusiones de ella.

Particularizar Para comprender mejor un problema que no resulte familiar, puede ser útil ejemplificar el problema considerando varios casos especiales. Estos casos especiales pueden sugerir el camino a seguir o pueden favorecer alguna conjetura.

Resolver antes un problema similar más sencillo Cuando no se sepa resolver el problema original, puede dar buen resultado intentar resolver antes uno más fácil y análogo (con menos variables, con números más pequeños, con figuras del mismo carácter, pero más simples).

Analizar las posibilidades En los problemas en los que haya que tener en cuenta el número de casos posibles, o en los que se necesite clasificar una colección de objetos o de posibilidades, es conveniente buscar métodos fiables para no contar ni de más ni de menos.

Dividir un problema en partes Si no se sabe resolver el problema dado, puede ocurrir que haya partes del problema que sí se sepan resolver. Una vez resueltas puede que se encuentre un procedimiento para ensamblarlas y construir con ellas la solución del problema original.

Buscar regularidades Cuando se comienza a resolver un problema matemático, sus elementos y sus resultados son como moléculas dispersas. Sin embargo, bajo ese desorden aparente suelen ocultarse una regularidad, unas leyes, unos patrones que constituyen la estructura profunda de su organización. La búsqueda de regularidades, patrones o leyes generales, es una luz para la comprensión de muchos problemas y un camino hacia su solución.

Definir incógnitas Puedes , en multitud de problemas -no solo en los de Álgebra-, definir las incógnitas (utiliza la letra por la que comience lo que no sabes, no utilices sistemáticamente la “x”, la “y”,...) relacionadas con los datos que te da el problema y así tratar de calcularlas. Y ahora, ¡Escoge una estrategia y llévala adelante! Enfráscate en el problema y dale las vueltas que creas necesarias. Si las cosas se ponen demasiado complicadas, piensa en otros posibles caminos. En algunas ocasiones tendrás que aplicar varias estrategias. Comprueba la solución

Analiza tus resultados ¿te parecen razonables?. Comprueba la solución.

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2 ALGUNOS PROBLEMAS RESUELTOS

2.1 Álgebra En un laboratorio fotográfico nos cobran por cada fotografía al revelar un carrete 0’25 €, todo incluido. En una tienda de electrodomésticos nos cobran cada foto a 0’2 € más 1 € de revelado. • ¿Dónde nos interesa llevar a revelar un carrete? Conocimientos previos Función polinómica de grado 1.

Gráfica de la Función polinómica de grado 1. Resolución de sistemas de ecuaciones de grado 1.

Estrategia 1: Mediante una tabla de valores comparativa.

Nº de fotos 0 5 10 15 20 25

Laboratorio 0 1’25 2’5 3’75 5 6’25

Tienda 1 2 3 4 5 6

Conclusión:

• Si encargamos menos de 20 fotos, es mejor el laboratorio. • Si encargamos 20 fotos, da exactamente igual.

• Si encargamos más de 20 fotos, es mejor la tienda. Estrategia 2: Mediante un estudio gráfico.

1. Construimos las dos funciones que nos dan el coste total en función del nº de fotos. Si llamamos x: número de fotos, y: coste total

yL = 0’25·x yT = 1 + 0’2·x

2. Dibujamos las gráficas de ambas funciones (que ya debes saber que son rectas)

Estrategia 2: Mediante la resolución de un sistema de ecuaciones.

Pagaremos los mismo cuando yL = yT ⇒

0’25·x = 1 + 0’2·x ⇒ 0’05·x = 1 ⇒ x = 20

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2.2 Análisis ¿Cuánto has de pagar por unos pantalones que marcaban 79 €, pero que tienen un descuento del 15%, si sólo puedes efectuar una operación? Conocimientos previos Hemos de tener muy claro que aplicar un descuento del 15 %, significa pagar el 85 %; es decir, hemos de multiplicar la cantidad por 0’85. Estrategia Precio final = Precio inicial · 0’85 ⇒ Precio final = 79 · 0’85 = 67’15

2.3 Probabilidad En un centro escolar se puede cursar como lengua extranjera Inglés o Francés. En un curso el 90% estudia Inglés y el resto Francés; además se sabe que en ese curso el 30% de los que estudian Inglés son chicos y de los que estudian Francés son chicas el 40%. Si se elige al azar un alumno del centro, ¿cuál es la probabilidad de que sea una chica y estudie inglés? Conocimientos previos Codificación de sucesos: I: “estudia inglés”, F: “estudia francés”, H: “es chico”, M: “es chica”

Concepto de probabilidad Diagrama en árbol

Tabla de doble entrada (de contingencia) Estrategia 1 Construimos este diagrama de probabilidad:

Idioma Sexo Suceso 0’30 H I ∩ H

I

0’90 0’70 M I ∩M

0’10 0’60 H F ∩ H

F

0’40 M F ∩ M

Nos piden: P(M ∩ I) = P(I ∩ M) = 0’90 · 0’70 = 0’63 = 63 %

Estrategia 1 Suponemos que en total hay 100 alumnos y construimos esta tabla:

I F Total

H 27 6 33

M 63 4 67

Total 90 10 100

Nos piden: P(M ∩ I) = 63 / 100 = 0’63 = 63 %

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NÚCLEO I: ÁLGEBRA LINEAL

Históricamente, el primer problema de Álgebra Lineal fue la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. Para conseguir trabajar los sistemas de una forma distinta y más cómoda se introdujo en Matemáticas la noción de Matriz.

En la actualidad, nos encontramos en muchas ocasiones con la necesidad de representar gran número de datos que hemos de manipular con diferentes operaciones, así como situaciones en las que surgen las matrices: matrices económicas de entrada-salida, el horario de aviones en los aeropuertos, tablas diarias de cotizaciones de Bolsa, redes de comunicaciones...

La utilización de grafos nos va a permitir una mejor visualización de determinadas situaciones y, por consiguiente, podremos utilizarlos como un complemento para el estudio matricial.

Como se mencionaba más arriba, las matrices surgieron a partir de los Sistemas de Ecuaciones Lineales; ya sabes que un sistema de ecuaciones no es otra cosa que la traducción a un lenguaje simbólico de una situación real:

• Codificación de la información en un problema “cotidiano”

• Utilización de los sistemas en redes de tráfico, eléctricas,...

• Una función polinómica de la que conocemos diferentes puntos. Hay muchas situaciones reales que pueden plantearse y resolverse por medio de un sistema de ecuaciones y ese va a ser nuestro objetivo a lo largo de este núcleo.

En otras ocasiones nos encontramos con dos tipos de situaciones que recogen las características de los problemas de Programación Lineal:

− Maximizar Beneficios. − Minimizar Costes.

En ambos casos, hablamos de optimización. La Programación Lineal es una pequeña parte del campo de la optimización, pero cuyo desarrollo ha sido tardío (ya que se requieren para grandes estudios ordenadores potentes) y que empezó a estudiarse a mediados del siglo XX. Nació con el objetivo de crear métodos matemáticos para la organización y la producción; es decir, como un apoyo para la Economía. En esencia, consiste en construir un modelo matemático para intentan analizar sistemas económicos, sociales, tecnológicos,....

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TEMA 1: MATRICES Uno de los instrumentos más útiles y prolíficos del Álgebra lineal son, sin duda, las matrices, cuyo nombre fue sugerido por el matemático inglés James J. Sylvester (1814-1897), queriendo dar a entender que eran las «madres» de los determinantes, elementos del álgebra que se estudiarán más adelante. Con las matrices, se logra la representación clara y manejable de los conjuntos de datos que pueden ser descritos mediante dos variables. Así, cualquier tabla de valores puede ser considerada como una matriz, siendo su uso muy frecuente. Buenos ejemplos de ello son los paneles de información de Renfe con los horarios de trenes de entradas-salidas y de procedencia-destino, o las calificaciones de los equipos de fútbol con las puntuaciones totales, goles a favor y en contra, partidos jugados, etc. Siendo una idea tan sencilla de entender, presenta más de alguna dificultad cuando se trata de operar, tanto desde el punto de vista de la operación en sí, como de la interpretación de sus resultados. Por eso, y por ser una forma de representación nueva, habrás de poner cuidado en su manejo. No obstante, desde el punto de vista formal, su operatoria está perfectamente desarrollada en la teoría matemática; y, en la práctica, el uso generalizado de los ordenadores personales ha permitido el tratamiento cotidiano de extensas matrices en forma de hojas de cálculo y bases de datos.

1 UNA ACTIVIDAD PARA EMPEZAR

Para una urbanización se han presentado diferentes propuestas para construir alrededor de la zona en la que se encuentra el parque y el gerente presenta a los accionistas el siguiente informe: Se presentaron tres ofertas distintas. La constructora “Alcoyana S.A.”, proyectaría 60 apartamentos y 20 locales; la constructora “El Maestrazgo S.L.”, construiría 40 apartamentos y 20 locales; y por último, la constructora “Alboraya”, se inclinaría por diseñar 15 locales y 45 apartamentos. Para cada apartamento, las tres constructoras consideran necesarios 3 albañiles, 2 pintores y 2 electricistas, mientras que para cada local harían falta 2 albañiles, 2 pintores y 1 electricista. ¿Cuántos albañiles habría que contratar si nos inclinamos por la oferta de “Alcoyana S.A.” ¿Y pintores? Resolución Estrategia 1: Cálculo lógico.

Número de albañiles = Nº de apartamentos x Nº de albañiles/apartamento + Nº de locales x Nº de albañiles/local = 145 x 3 + 55 x 2 = 435 + 110 = 545 albañiles

Número de pintores = Nº de apartamentos x Nº de pintores/apartamento + Nº de locales x Nº de pintores/local = 145 x 2 + 55 x 2 = 290 + 110 = 400 pintores

Estrategia 2: Utilizamos matrices. En esta segunda estrategia vamos a utilizar una nueva herramienta: las matrices. Básicamente nos dan una nueva forma de presentar la información.

Matriz de las empresas: Matriz de los trabajadores:

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Observa este proceso:

Nº albañiles (A) = 220 + 160 + 165 = 545 Nº pintores (P) = 160 + 120 + 120 = 400

Comentarios Los dos procedimientos que se han visto en esta actividad son un reflejo del proceso que se puede seguir al resolver problemas de este tipo; pero, vamos a hacer hincapié en el trabajo con matrices.

2 LAS MATRICES COMO RECOGIDA DE INFORMACIÓN

Planteamos en este apartado una serie de situaciones que tienen en común la posibilidad de presentar la información de una forma diferente.

2.1 Comunicaciones por ferrocarril Tenemos el siguiente mapa referido a las comunicaciones existentes entre varias capitales de provincia por medio del ferrocarril:

a) ¿Cómo recogerías la información para poder trasmitirla con mayor claridad? b) ¿Hay línea directa de ferrocarril entre Sevilla y A Coruña? ¿Y haciendo transbordo? Respuesta • Podríamos escribir la información mediante una tabla de doble entrada.

En ella se refleja si existe o no comunicación entre las ciudades. En estas tablas se suele escribir: ⊗ si hay comunicación; 1 o 0 (para indicar si hay o no comunicación); incluso puede aparecer un número que nos indique el número posible de conexiones.

• Otra forma de escribir la información es utilizando una matriz:

A =

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2.2 Líneas de autobuses La red de conexiones de cuatro barrios A, B, C, y D de una misma ciudad mediante líneas de autobuses, los días laborables de 22 a 23 horas, puede expresarse:

A B C D

A 0 1 1 0 B 0 0 1 1 C 1 1 0 1 D 2 1 0 0

• ¿Sabrías explicar esta notación? Respuesta

Tendríamos esta representación matricial:

La ventaja de la matriz es poder contestar con más facilidad a preguntas como: • ¿Es posible ir de la ciudad C a la ciudad A en autobús? • ¿Están conectadas entre sí todas las ciudades mediante autobuses? • ¿Se puede ir de … a … con dos autobuses? ¿De cuántas formas? ¿Y con tres?

2.3 La Universidad En una Universidad hay alumnos de 8 nacionalidades distribuidos en 4 clases. 10 alemanes asisten a la clase A, otros 10 a la B, 15 a la C y 30 a la D; 15 belgas asisten a la clase A, 10 a la clase B, 20 a la C y otros 20 a la D; 3 daneses asisten a la clase A, 2 a la clase B, 3 a la C y 1 a la D; 10 franceses asisten a la clase A, 10 a la B, otros 10 a la C y 25 a la clase D; 10 holandeses a la clase A, 15 a la clase B, 10 a la clase C y 20 a la clase D; 15 italianos asisten a la clase A, 20 a la clase B, 10 a la clase C y 20 a la clase D; 10 ingleses asisten a la clase A, 15 a la clase B, 10 a la clase C y 2 a la clase D. a) ¿Cuántos franceses hay en la clase C? b) ¿Cuántos italianos hay en la clase C? c) ¿Cuántos franceses hay en la Universidad? d) ¿Se te ocurre alguna forma más “cómoda” de visualizar la información? Respuesta • Este párrafo es difícil de retener, pero la información puede ponerse en forma de tabla así:

A B D F H I In A 10 15 3 10 10 15 10 B 10 10 2 10 15 20 15 C 15 20 3 10 10 10 10 D 30 20 1 25 20 20 2

• De la tabla a la matriz el paso es inmediato; con cualquiera de las dos opciones es fácil contestar a las preguntas.

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2.4 Grafo Escribe una matriz que represente el grafo:

a) ¿Qué significarán los números que aparecen sobre cada flecha? b) Inventa una situación que pueda quedar reflejada por este grafo. Respuesta Los números de cada flecha indican el número de caminos que llevan de un punto a otro del grafo; es importante hacer notar que no es lo mismo ir desde 1 hasta 2 (2 caminos) que ir desde 2 hasta 1 (1 camino).

La matriz más sencilla que refleja esta situación es:

3 DEFINICIONES

Se llama matriz a todo conjunto de números ordenados rectangularmente en filas (líneas horizontales) y columnas (verticales). En general, se escribe:

Cada subíndice consta de dos números; el primero indica la fila y el segundo la columna en que se encuentra el elemento. Decimos que esta matriz es de dimensión u orden p×n (p filas, n columnas). Para simplificar, se suele escribir

o simplemente A =

aij es el elemento que ocupa la fila i y la columna j.

Igualdad de matrices:

Si y , se dice que A = B ⇔ aij = bij ∀i,j

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Actividad resuelta Los 715 alumnos de ESO de un instituto se clasifican, según el nivel cursado y sexo, de acuerdo con la matriz A, 2 x 4:

a) Da el significado de a21, a14, a22. b) ¿Cuántos alumnos hay en 3º de ESO? ¿Y alumnas en 4º de ESO? Resolución a) a21: 100 (el elemento de la segunda fila y primera columna)

a14: 80 (el elemento de la primera fila y cuarta columna) a22: 90 (el elemento de la segunda fila y segunda columna)

b) Nos están pidiendo a13 = 75, a24 = 85 Actividad propuesta 1. Una gran empresa autonómica de seguros ha encargado una auditoría para conocer el estado de

la empresa durante el año pasado. La empresa trabaja en las ramas siguientes: automóviles, vida, pensiones y hogar. • Los datos que da al auditor sobre el número de pólizas son los siguientes:

Castellón 15000 A 20000 V 10000 P 75000 H Alicante: 25000 A 35000 V 20000 P 85000 H Valencia: 70000 A 90000 V 150000 H

• Por otra parte, los resultados económicos (en euros) fueron:

Automóviles: Cada seguro proporcionó unas pérdidas de 50 €. Vida: Cada seguro proporcionó unas ganancias de 150 €. Pensiones: Cada seguro proporcionó unas ganancias de 250 €. Hogar: No proporcionó ni ganancias ni pérdidas.

La sorpresa desagradable es que para este año, el gobierno ha implantado unas tasas obligatorias que habrán de abonarse por cada seguro. Estas tasas son:

Automóvil: 0’75 € Ministerio Hacienda, 1 euro Ministerio Economía. Vida: 0’25 € Ministerio Hacienda, 0’5 € Ministerio Economía. Pensiones: 0’25 € Ministerio de Economía. Hogar: 1 € Ministerio de Hacienda.

a) Escribe en forma de matriz las diferentes informaciones que se dan al auditor.

b) ¿Qué resultados económicos tuvo Alicante el ejercicio pasado? c) Si la empresa tuviera los mismos seguros durante este año, ¿cuánto debería pagar por tasas?

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4 TIPOS DE MATRICES

Según la forma que tenga una matriz, se le puede dar distinto nombre.

MATRIZ FILA: es aquella que tiene sólo una fila; es decir, es una matriz 1×n:

MATRIZ COLUMNA: es aquella que tiene sólo una columna; es decir, es una matriz p×1:

MATRIZ CUADRADA: es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas:

Es una matriz en la que p = n: A =

MATRIZ RECTANGULAR: es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas:

MATRIZ NULA: es aquella que tiene todos sus elementos nulos:

MATRIZ DIAGONAL: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos distintos de la diagonal principal son nulos. MATRIZ UNIDAD: es una matriz diagonal tal que todos los elementos de la diagonal valen 1

Ej.: La matriz unidad de dimensiones 3×3 es

MATRIZ TRIANGULAR: es una matriz cuadrada con todos los elementos por debajo, o por encima de la diagonal principal, nulos:

A = , B =

MATRIZ TRASPUESTA DE UNA DADA: Se obtiene cambiando las filas por las columnas. Es decir, la matriz

Ejemplo: Si A = es una matriz 3 x 2, la traspuesta de A, At = es una matriz 2 x 3.

Cuando una matriz coincide con su traspuesta, decimos que tenemos una MATRIZ SIMÉTRICA. Para que este hecho se produzca, una condición indispensable es que sea una matriz cuadrada.

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5 OPERACIONES CON MATRICES

Al igual que hicimos en la presentación de las matrices como recogida de información, vamos a ver las posibles operaciones con matrices y, más tarde, formalizaremos la forma de operar.

5.1 Suma de matrices En los dos videoclubs de Juanjo Cinéfilo anotan los préstamos diarios de películas, así:

Local 1 AMOR DRAMAS TERROR C.FICCIÓN AVENTURAS

MOSTRADOR 100 80 200 250 180

CAJERO 75 80 150 200 300

Local 2 AMOR DRAMAS TERROR C.FICCIÓN AVENTURAS

MOSTRADOR 60 80 100 225 10

CAJERO 25 75 100 200 25

a) Confecciona un cuadro similar a los anteriores para el conjunto de los dos locales. b) ¿Cuántos vídeos de cada tipo se prestan, en total, cada día en la cadena? c) Juanjo quiere hacer balance y por ello, supone que todos los días (lunes a sábado) el número

de películas prestadas en las distintas modalidades permanece constante. Expresa el número de películas prestadas en las distintas modalidades en una semana y en un mes.

Respuesta Tendríamos las siguientes matrices de dimensión 2 x 5:

A = , B =

Para contestar a las preguntas de los apartados a) y b) tendremos que hallar la matriz suma A + B.

C = A + B =

Par contestar a la pregunta c) lo más lógico es realizar las siguientes operaciones:

Semana: 7 · C = 7 · =

Mes: 30 · C = 30 · =

Comentario No olvides que multiplicar la matriz C por 7 es equivalente a sumar dicha matriz 7 veces, con lo que parece lógico y natural el proceso seguido; veremos otro ejemplo en el punto 5.2.

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5.2 Producto de una matriz por un número Una empresa de fabricación de coches cuenta con cuatro fábricas en el mundo y produce sólo dos modelos. El número de unidades que se fabrican diariamente viene dado por esta matriz:

El presidente de la empresa ha exigido en un informe que la producción aumente en un 20%. • Escribe la matriz que nos da los nuevos niveles de producción. Respuesta Si tenemos en cuenta que al aumentar una cantidad un 20%, el resultado final se obtiene multiplicando dicha cantidad por 1’20, tendremos que la nueva matriz sería:

1’2 · A = 1’2 · =

5.3 Producto de matrices 5.3.1. Producto de una matriz fila por una matriz columna Las cantidades compradas por una bodega, en litros, de tres clases de vino (blanco, tinto y rosado) se reflejan en la matriz fila:

L =

Y los precios pagados respectivamente por cada hectolitro en la matriz columna:

P =

¿Cuánto se paga en total? Resolución Cantidad total = 180 · 280 + 250 · 150 + 200 · 100 = 107.900 litros

Comentarios Al realizar la operación anterior, lo que hemos hecho ha sido realizar el siguiente producto de matrices:

L · P = · = 180 · 280 + 250 · 150 + 200 · 100 = 107.900

Observa que la matriz L ∈ M (1 x 3), P∈M (3 x 1) y que L · P ∈ M (1 x 1).

Igualmente nos debe hacer pensar este resultado en que los productos L · P y P · L van a ser distintos. Conclusión Para multiplicar una matriz fila por una matriz columna debemos multiplicar los elementos de la fila por los elementos de la columna y sumar los resultados.

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5.3.2. Producto de una matriz fila por una matriz La bodega del punto anterior ha decidido comprar vino de dos calidades distintas, normal (N) y extra (E). Los precios pagados respectivamente por cada hectolitro se dan en la matriz:

P =

¿Cuánto se paga en total? Resolución Cantidad pagada por el vino de calidad normal = 180 · 280 + 250 · 150 + 200 · 100 =

Cantidad pagada por el vino de calidad extra = 180 · 320 + 250 · 175 + 200 · 120 = Comentarios Con el proceso anterior, lo que hemos hecho ha sido realizar el siguiente producto de matrices:

L · P = · =

Observa que la matriz L ∈ M (1 x 3), P∈M (3 x 2) y que L · P ∈ M (1 x 2).

Conclusión Para multiplicar una matriz fila por una matriz debemos multiplicar los elementos de la fila por los elementos de cada matriz columna y sumar los resultados.

5.3.3. Producto de matrices En el colegio A estudian 40 alumnos de infantil, 60 de primaria, 70 de ESO y 50 de bachillerato. En el colegio B estudian 30 alumnos de infantil, 80 de primaria, 65 de ESO y 55 de bachillerato. Los alumnos de infantil pagan 200 € de matrícula, 1000 € de cuota anual y 200 € de gastos; los alumnos de primaria pagan 300 € de matrícula, 1200 € de cuota anual y 150 € de gastos; los alumnos de ESO pagan 400 € de matrícula, 1500 € de cuota anual y 100 € de gastos; por último, los alumnos de bachillerato pagan 500 € de matrícula, 2000 € de cuota anual y 50 € de material a) ¿A cuánto ascienden las matrículas en el colegio A? b) ¿Qué ingresos se obtienen de cuota anual en el colegio B? ¿Y por el concepto de gastos? Respuesta Para contestar a las dos preguntas podemos perfectamente prescindir del trabajo con matrices, pero has de tener en cuenta dos detalles:

• Si utilizas una calculadora gráfica, el trabajo se simplifica. • Si multiplicamos dos matrices, vemos mayor información.

Tendremos estas dos matrices:

Observa que P ∈ M (2 x 4), Q ∈ M (4 x 3)

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Para saber a cuanto ascienden las matrículas, las cuotas y los gastos tendríamos:

a) 40 · 200 + 60 · 300 + 70 · 400 + 50 · 500 = 79.000 €b) 30 · 1000 + 80 · 1200 + 65 · 1500 + 55 · 2000 = 333.500 €

c) 30 · 200 + 80 · 150 + 65 · 100 + 55 · 50 =Comentarios

Las operaciones anteriores nos indican como multiplicar dos matrices:

Puedes comprobar los elementos de las columnas 2ª y 3ª.

Conclusión Para multiplicar dos matrices debemos multiplicar los elementos de cada fila por los elementos de cada matriz columna y sumar los resultados.

5.4 Potencias de matrices ¿Recuerdas la actividad Comunicaciones por ferrocarril? ¿Qué significado tendrían las matrices A2, A3,...? ¿Cómo calcularlas?

Respuesta Como en casi todo el proceso que estamos llevando a cabo en este tema, hay que diferenciar el significado y el cálculo. Significado: A2 nos daría la matriz que nos indica como llegar desde un punto a otro empleando un

transbordo. A3 nos daría la matriz que nos indica como llegar desde un punto a otro empleando dos transbordos

Cálculo: A2 = A · A; A3 = A2 · A, .... (Basta con multiplicar matrices)

5.5 ¿Pueden dividirse matrices? La matriz inversa Es posible que en un momento determinado nos encontremos con esta ecuación matricial en la que nos piden que hallemos la matriz X:

A · X = B (1) Por analogía con el trabajo con números es posible que escribas:

X = (2)

Esta operación es imposible en el campo matricial; no tiene sentido dentro de la mayoría de los contextos. Si utilizas una calculadora gráfica, te daría el mensaje ERROR. Pero, ¿qué hacemos cuando trabajamos con números?

Si en tu calculadora científica o gráfica se ha estropeado la tecla de dividir, ¿qué teclas tienes que pulsar para resolver la ecuación 7 · x = 3?

x = = 7–1 · 3 (Ten en cuenta que = 7–1 y es el inverso de 7)

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Como mucho, en el campo de las matrices, podremos seguir el siguiente proceso despejando en (2):

X = A–1 · B (3) Si tenemos una calculadora gráfica, podemos utilizar la misma “astucia”, que con números; pero, ¿y si no disponemos de ella? La clave de este proceso será conocer la matriz inversa. Cómo hallar dicha matriz será un trabajo que desarrollaremos más adelante para casos generales, aunque vamos a verlo para el caso de una matriz 2 x 2.

Dada una matriz cuadrada A, su matriz inversa A–1, será otra matriz cuadrada tal que: A · A–1 = A–1· A = I (Con I matriz identidad del mismo orden que A)

Actividad resuelta

Halla la matriz inversa de la matriz A = .

Resolución

A–1 =

A · A–1 = ⇒ · = ⇒ ⇒ ⇒

A–1 =

Actividad propuesta

2. Halla la matriz inversa de la matriz B =

5.6 Resumen: Operaciones y propiedades • Suma de matrices

A = (aij)p×n, B = (bij)p×n ⇒ A + B = (aij + bij)p×n

Esta operación es asociativa y conmutativa, tiene elemento neutro (l matriz nula) y toda matriz A tiene una opuesta (–A).

• Producto por un número: k · A = (k · aij)p×n

Se puede comprobar que si A y B son matrices de igual dimensión y p y q números,

p · (q · A) = (p · q) · A p · (A + B) = p · A + p · B (p + q) · A = p · A + q · A 1 · A = A

• Producto de matrices Dadas las matrices A = (aij)p×n y B = (bkj)n×q, se define C = A · B = (cij)p×q , siendo

cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + …+ ain · bnj =

El producto de matrices no es conmutativo, pero es sí que es asociativo.

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Actividades propuestas 3. Construye una matriz que muestre las distancias kilométricas entre Alicante, Castellón,

Valencia y Albacete.

a) ¿Es cuadrada? ¿Coincide con su traspuesta? b) Un vehículo consume 5 litros de gasóleo por cada 100 Km. Un representante recorre los

trayectos citados a menudo y desea hacerse una tabla que represente el gasto que ello supone. Busca el precio del gasóleo y construye la tabla que solicita en forma de matriz. ¿Qué relación tiene la nueva matriz con la matriz inicial?

4. Tenemos estas dos matrices:

La primera matriz es una tabla del número de alumnos de 1º, 2º, 3º y 4º de una escuela europea que son respectivamente alemanes, belgas y españoles. La segunda nos da el número de bocadillos, naranjadas, cafés y limonadas consumidos en el bar de la escuela por cada uno de los alumnos de los citados cursos en un determinado trimestre.

• Multiplica ambas matrices y di qué representan los elementos de la 2ª fila y la 3ª columna de la matriz producto.

5. Los envíos humanitarios, en toneladas, de cierto país. a tres naciones del Tercer Mundo A, B y C, cada uno de los años 2007 y 2008, se describen en la siguiente matriz:

M =

Se estima que el valor de cada tonelada (en dólares) de esos artículos ha sido:

N =

• Calcula el valor de la ayuda recibida, por cada país, en esos años.

6. Encuentra una matriz C que cumpla 2A + 3B − C = 0, siendo

7. Dadas las matrices: , calcula:

a) A – B + 2·C b) –2·A + 3·B – C c) A2 – 2·B2 d) C2 – B·A

e) A3 – C f) (A+B)2 g) (A–B)2 – (C– 2·B) h) A·B·C

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6 MATRICES Y GRAFOS. MATRICES DE PROBABILIDAD

6.1 Grafos Un grafo es una representación en la que dibujamos una serie de puntos correspondientes a los vértices conectados por líneas que se llaman “flechas”.

La representación mediante grafos:

− Ayuda a comprender mejor una situación. − Sirve para un tratamiento más adecuado de grandes cantidades de texto.

− Simplifica y esquematiza situaciones reales. − ...

Ya viste anteriormente que puede representarse un grafo por medio de una matriz en la que se escribe el número de flechas que conectan un punto con otro.

6.2 Matrices estocásticas o de probabilidad Al estudiar las características de una población, en muchas ocasiones, se dan un número finito de estados {E1, E2, ..., En) que pueden cambiar según las circunstancias, por lo que se llaman estados de transición. Por ejemplo, los habitantes de un país pueden inclinarse por vivir en medio rural o urbano. Los electores pueden votar por el Partido Popular, por el Partido Socialista, o por otros partidos. Los consumidores de agua mineral pueden preferir Lanjarón, Fontvella, Llanorel.... Al comprar un coche, se puede elegir entre gasóleo o gasolina.

La probabilidad de que una persona de una población cambie del estado Ei (i-ésimo) al estado Ej (j-ésimo) se representa por un número pij, donde

0 ≤ pij ≤ 1 Una probabilidad pij = 0 significa que el miembro de la población no cambiará del estado i-ésimo al estado j-esimo. Una probabilidad p¡j = 1 significa que el miembro cambiará del estado i-ésimo al estado j-ésimo.

Para cuatro posibles estados, E1, E2, E3, E4, el conjunto de todas las probabilidades se representa por una matriz P de orden 4 × 4 que, normalmente, habrás de completar:

P =

Parece lógico denominar a P matriz de probabilidades de transición, porque da las probabilidades de cada posible tipo de transición (o cambio) en esta población.

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En cada transición, cada miembro de un estado dado debe permanecer en él o cambiar a otro. En términos de probabilidades, lo anterior significa que la suma de los elementos de cualquier fila de P es igual a 1. En general, tal matriz se denomina estocástica.

Una matriz P, nxn se denomina estocástica (el término "estocástico" significa "conjetura con respecto a") si cada uno de sus elementos es un número entre 0 y 1 y la suma de cada fila de la matriz P es igual a 1 (para otros autores la suma de los elementos de cada columna son 1). Actividad resuelta En una ciudad costera los estudios realizados acerca de los movimientos de la población indican que el 15% de los habitantes de la ciudad se desplaza cada año a vivir a la playa y que el 10% de los habitantes de las playas se va a vivir cada año a la ciudad. Si la población de la ciudad estaba repartida en 1997 de forma que el 60% vivía en la ciudad y el resto en las playas se pide: a) ¿Cuál será el porcentaje de los habitantes en la ciudad en el año 1998? b) Calcula la probabilidad de vivir en la playa en el año 1998. c) Calcula la probabilidad de vivir en la ciudad en el año 1999 y la probabilidad de vivir en la

playa en el 1999. d) Calcula la probabilidad de habitar en la ciudad en el año 2008. e) ¿Se alcanzará alguna proporción estacionaria o estable en el transcurrir de los años? Si este

hecho sucede, estaremos hablando de la matriz de estado estacionario. f) ¿Y si en 1997, las proporciones hubieran sido el 70% y 30% respectivamente? Resolución mediante matrices de probabilidad Para resolver este problema mediante matrices de probabilidad necesitamos dos matrices.

• Una matriz de estado inicial que nos dé las proporciones iniciales; en este caso basta con considerar una matriz o vector fila:

C P A = (0’6 0’4)

• Una matriz de transición que nos relacione las proporciones de paso de una zona a la otra:

= B

a) Así al efectuar el producto de matrices A · B obtendremos un vector con las probabilidades de vivir en la ciudad en l998 y de vivir en las playas en 1998. Esto es, el estado de proporciones de 1998. Nos encontraríamos con esta solución (utilizando una calculadora gráfica):

 

b) Para la segunda pregunta, bastará con efectuar el producto de la matriz estado de proporciones de 1998 por la matriz de transición B, o, por ser el producto de matrices asociativo

A ⋅ B ⋅ B = A ⋅ B2

donde A es el estado inicial que corresponde a 1997 y B es la matriz de transición. La respuesta la verás en el punto c).

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Hasta este punto, la utilización de la calculadora gráfica, parece un poco superfluo, ya que los productos que surgen son sencillos, pero y ¿si vamos generalizando? c) Para contestar a esta pregunta basta con ir generalizando el proceso (ANS nos indica el último

resultado obtenido).

d) Así para el año 2008, las probabilidades correspondientes a vivir en la ciudad y la de vivir en los suburbios se podrá calcular efectuando el producto de matrices A ⋅ B2008 − 1997.

e) Podemos seguir los años que queramos y así, tendríamos (empleamos tres decimales):

Al transcurrir 20 años: A · B20 = (0’401 0’501) Al transcurrir 21 años: A · B21 = (0’400 0’500)

Al transcurrir 50 años: A · B50 = (0’400 0’500) ¡Curioso resultado! ¿O no?

f) Si cambia la matriz de estado inicial: A = (0’70 0’30)

A · B = (0’625 0’375) A · B2 = (0’569 0’431)

A · B11 = (0’413 0’587) A · B23 = (0’400 0’600)

¡El resultado a largo plazo no depende de la matriz de estado inicial!

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Actividades propuestas 8. Tres líderes políticos A, B y C compiten en unas elecciones por los votos de una ciudad. Según

las encuestas, inicialmente, cada uno cuenta con el 20%, 30 % y 50 %, respectivamente. de la intención de voto. Después de un mes de campaña electoral ha habido un trasvase en la opinión de los electores. resultando que:

El 75% de los votantes de A permanecen fieles a él habiendo perdido un 10% que optan por B y un 15% por C.

B mantiene el 70 %. perdiendo un 10 % que van a A y un 20 % que lo hacen a C. C pierde un 30 % y un 10 %, que se deciden por A y B, respectivamente, manteniendo el

60 % restante. • ¿Cuál es la previsible distribución del voto, entre los líderes políticos al final de la campaña

electoral? 9. En un artículo de la revista OCU (nº 215-216, Julio-Agosto 1998) se escribía lo siguiente:

Preguntamos a nuestros encuestados si habían cambiado alguna vez de operador: el 17,5% de los usuarios había pasado de MoviStar a Airtel y el 8,5%, de Airtel a MoviStar. Es más la gente que cambia MoviStar por Airtel, y la razón que alegan mayoritariamente es que en MoviStar los costes son más elevados. Quienes dejan de operar con Airtel afirman que lo hacen porque no están satisfechos con la cobertura.

En el mismo artículo en que aparecía dicha información podemos leer que MoviStar tenía el 50% y Airtel el 30% del mercado de la telefonía móvil. (El resto correspondía a telefonía móvil analógica)

No es, por tanto, nada absurdo considerar la siguiente situación: Al hacer un estudio en 100.000 familias sobre los cambios que se han producido en los hábitos de los abonados a tres compañías de telefonía: MoviStar, Airtel y Amena, encontramos el siguiente diagrama:

Suponiendo que los porcentajes mencionados en el artículo se mantengan y suponiendo además que el resto correspondiese a abonados de Amena, ¿Cómo estará la situación dentro de un año?

Airtel Amena

MoviStar

75 % 60 %

85 %

10 % 5 % 10 % 15 %

15 %

25 %

25

TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES En este tema pretendemos que aprendas a transcribir problemas al lenguaje algebraico, utilizar las técnicas matemáticas apropiadas en cada caso para resolverlos, presentar adecuadamente las soluciones obtenidas e interpretarlas en sus contextos.

La resolución de sistemas es un recurso permanente en matemáticas; desde hace varios años lo vienes utilizando. Este año le darás un último impulso, casi definitivo, pues a partir de aquí pocas cosas faltan por decir. Efectivamente, el método de Gauss, que desarrollaremos en esta unidad, a pesar de su gran simplicidad tiene una enorme potencia y eficacia en la resolución de los sistemas lineales. Con él aprenderás a clasificar, discutir y resolver cualquier sistema con cualquier número de ecuaciones.

Queremos que alcances un cierto grado de destreza en la resolución de problemas en general, preferiblemente planteados en contextos o situaciones propias de las ciencias sociales, y específicamente de aquellos problemas que puedan requerir un planteamiento y una resolución algebraica. Es importante también justificar la estrategia diseñada para resolver el problema, la corrección de los razonamientos, la elección de los tipos de números adecuados para expresar la solución y la interpretación de los resultados obtenidos en coherencia la situación planteada.

1 UN PROBLEMA INICIAL

1.1 El enunciado En las carreteras españolas es cada vez más habitual encontrarnos rotondas para regular el tráfico en vez de los tradicionales semáforos. Se va a estudiar el tráfico en una de ellas para generalizarla a otros puntos de nuestra ciudad. El modelo que se emplea para presentar el estudio es una red que muestra el flujo de tráfico (en vehículos por hora) que circula por la rotonda y las avenidas adyacentes.

• ¿Se te ocurre algún procedimiento para averiguar cuántos vehículos circulan por cada uno de

los tramos de la rotonda?

1.2 La resolución mediante un sistema de ecuaciones Cada vez es más frecuente que en situaciones como la anterior, así como para otras áreas diferentes: ámbito económico, flujo eléctrico, flujo de agua, flujo telefónico...se utilicen redes. Las redes son esquemas que representan un conjunto de líneas de conducción de tráfico, tuberías, .....que se comunican entre ellas, con diferentes ramificaciones y enlaces. En las redes existe un principio básico:

El flujo total que llega a un enlace es igual al flujo que sale de él. Por ejemplo, en el nudo de la figura, hay 30 unidades que llegan a él; por tanto, debe haber 30 unidades que salen.

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¿Cómo podemos representar de forma algebraica este hecho? Mediante una ecuación lineal:

x1 + x2 +x3 = 30 Si volvemos a nuestro problema, notamos que aparecen 4 enlaces. Como cada enlace da lugar a una ecuación, se puede analizar y estudiar la organización del flujo de tráfico resolviendo un sistema de 4 ecuaciones lineales. Es normal que tengas problemas de resolución. Más adelante podrás volver a analizar las redes con unos medios matemáticos más poderosos. En cualquier caso, ¡inténtalo!.

El sistema que tendremos será el siguiente: S: x1 = x4 + 500 E: x2 = x1 + 200 N: x2 = x3 + 800 O: x4 = x3 + 100

1.3 Comentarios Ya sabes que un mismo problema puede admitir diferentes formas de resolución; a lo largo de este tema y de los siguientes, vamos a centrarnos fundamentalmente en la resolución algebraica. Es muy posible que ya conozcas la resolución de diferentes modelos de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones; si es así, no deberías tener problemas para comprender los contenidos de estos temas. Si no los has visto, no te preocupes ya que veremos dichos contenidos prácticamente desde el principio. A lo largo de estos temas veremos de forma indistinta:

• Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. • Resolución de problemas por medio del Álgebra.

En cualquier caso, los consejos para la resolución de problemas se verán en este tema.

2 DE LA CODIFICACIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES

En esta actividad vamos a recordar algunos conceptos y procedimientos que ya deberías conocer y que te vendrán bien para todo el tema.

2.1 Codificamos • Elige la/las incógnita/s. Escribe con palabras la cantidad que designas como incógnita. • Traduce al lenguaje algebraico las informaciones que aparecen en el enunciado.

CON PALABRAS ALGEBRAICAMENTE

Es (es igual) Aumentado (disminuido) Duplo, triplo, etc La mitad de, la tercera parte de

= + (-)

2·, 3·. , etc.. /2, /3, ..

• Escribe la ecuación o ecuaciones que te relacionan las informaciones anteriores. • Resuelve la ecuación o sistema de ecuaciones que te aparezcan. • Analiza el significado de las soluciones.

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Actividad propuesta 0. Escribe una igualdad que represente cada una de las siguientes frases:

a) La edad de Víctor es tres años menor que la de Antonio.b) Eva mide 6 cm. más que Beatriz.c) La maleta de Juan pesa tres kilos más que la de Robertod) En la clase de Inglés hay tres veces más alumnos que en la de informática.e) La edad de Pedro dentro de tres años será el doble que la actual.

¿Qué representan cada una de las letras que has utilizado?

2.2 Recordamos conceptos No sabemos qué estrategias y procedimientos habrás empleado para resolver las situaciones que se han planteado hasta ahora, pero lo lógico es que hayan surgido ecuaciones o sistemas de ecuaciones. ¿Has seguido algún método concreto para resolverlo? Quizás merezca la pena recordar algunos conceptos relacionados con las ecuaciones:

• Ecuación es una igualdad que se cumple sólo para algunos valores de la (o las) incógnitas.a) x – 5 = 7

b) 2x + 3y = 20• Sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben verificarse a la vez.

• Solución de una ecuación (o sistema) es el número (o conjunto de números) que, sustituidosen la ecuación (o sistema), hacen que la igualdad se cumpla.En el primer ejemplo: x = 12

En el segundo ejemplo: x = 4, y = 4; x = 0, y = 0;...... En el tercer ejemplo: x = 2, y = –3, z = 6.

• Resolver una ecuación o sistema es encontrar las posibles soluciones

2.3 Ecuaciones y sistemas equivalentes • Dos ecuaciones (o sistemas de ecuaciones) se dice que son equivalentes si tienen las mismas

soluciones.

• En una ecuación, si se suma, resta o multiplica los dos miembros por el mismo número, seobtiene una ecuación equivalente; lo mismo ocurre si se divide los dos miembros por un mismonúmero distinto de cero.

• Dado un sistema de ecuaciones, se obtiene otro equivalente si:

Se sustituye una ecuación por otra equivalente Se suprime una ecuación que es combinación lineal de las demás Se sustituye una ecuación por otra que sea combinación lineal de ella misma (coeficiente no

nulo) y las demás.

• Intenta aplicar estas propiedades para resolver alguno de los sistemas de ecuaciones que tehayan surgido al resolver los problemas planteados.

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2.4 Sistemas de ecuaciones lineales • Una ecuación es lineal si cada una de las incógnitas tiene grado uno (no hay dos

multiplicándose, ni ninguna dividiendo, radicales, etc.). Es decir, es del tipo:

a1x1 + a2x2 + … + anxn = b a1,b∈R 

• Un sistema de ecuaciones lineales será, por tanto, un conjunto de ecuaciones lineales:

Con aij, bk∈R

Actividades propuestas En estas actividades, el objetivo prioritario no es resolver el problema, sino plantear un sistema de ecuaciones que nos pueda permitir resolverlo.

1. Lorenzo invitó a unos amigos por su cumpleaños y tomaron 4 bocadillos de jamón y 6 sándwichs de queso. Pagó 32 €. En la misma cafetería, Laura compró para llevarse a su fiesta de cumpleaños 12 sándwichs y 1 bocadillo de jamón. Le costó todo 29 €. • ¿Les han cobrado lo mismo a los dos?

2. Queremos sacar al mercado una nueva marca de chocolate: “El mejor sabor”. Los buenos chocolates debe de tener leche, cacao y almendras en una determinada proporción: la cantidad de leche ha de ser el doble que la de cacao y almendras juntas. El precio del litro de leche es de 1 euro; el Kg. de cacao cuesta 5 €; y el kilogramo de almendra cuesta 15 €.

Nos han hecho un pedido de 9000 kilogramos de chocolate. Al comprar los ingredientes nos hemos gastado 26.000 €. ¿Qué cantidad hemos comprado de cada uno?

3. En una compañía de viajes, para un viaje de la 3ª Edad, se han repartido 23 plazas para los siguientes destinos: Benidorm, Baleares, Marbella y Canarias. Para Canarias sólo se ofrecen 10 plazas. Para Benidorm hay tres plazas más que para la suma de los otros dos destinos (Baleares y Marbella), mientras que si sumamos el doble de las plazas destinadas a Baleares más las de Marbella nos da como resultado una menos que el número de plazas de Benidorm. • ¿Cuántas plazas hay para cada destino?

3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (I). MÉTODO DE GAUSS.

Cuando tenemos que resolver sistemas lineales de 2 ecuaciones y 2 incógnitas, conocemos los siguientes métodos de resolución:

Reducción. Sustitución. Igualación. Método gráfico.

Pero, ¿qué sucede si el sistema es de 3 ecuaciones (o más) con 3 incógnitas (o más)? En concreto, vamos a trabajar con este sistema:

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3.1 Los métodos que ya conoces El método gráfico excede de los conocimientos que tenemos; por tanto, deberíamos limitarnos a los tres métodos algebraicos. En cualquier caso, emplear estos métodos es bastante problemático.

Reducción

(2) – (4): y + 5z = –4 (6)

(5) – (3): 7y – 5z = 12 (7)

(6) + (7): 8y = 8 ⇒ y = 1 (En (6)): 5z = –5 ⇒ z = –1 (En (1)): x = 0

Solución: x = 0, y = 1, z = –1

Sustitución Despejamos una incógnita (por ejemplo, x) en una ecuación (por ejemplo en (1)):

x = 2 – y + z (3) Sustituimos este “valor” de x en las otras ecuaciones para obtener un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas que resolveremos por cualquier método:

6 · (4) + (5): 34z = –34 ⇒ z = –1 (En (4)): y = 1 (En (3)): x = 0

Solución: x = 0, y = 1, z = –1 Igualación Despejamos la misma incógnita (por ejemplo, x) en las tres ecuaciones: x = 2 – y + z (3)

x = (4)

x = (5)

Igualamos los “valores” de x y obtenemos un sistema con 2 ecuaciones y 2 incógnitas:

2 – y + z = ⇔ 4 – 2y + 2z = –3y – 3z ⇔ y + 5z = –4 (6)

2 – y + z = ⇔ 6 – 3y + 3z = 6 – 4y + 2z ⇔ y + z = 0 (7)

(6) – (7): 4z = –4 ⇒ z = –1 (En (6)): y = 1 (En (3)): x = 0

Solución: x = 0, y = 1, z = –1

Comentarios Habrás observado que la resolución de un sistema como el propuesto por los métodos que ya conoces puede resultar muy latoso; por eso, te proponemos en el punto 3.3. un método alternativo y, al menos eso esperamos, más sencillo.

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3.2 Transformación Antes de desarrollar el método de resolución Gauss, observa el siguiente proceso para resolver el sistema de ecuaciones lineales con el que hemos comenzado este punto:

En forma habitual En forma matricial

· =

Con el siguiente proceso, lo resolvemos mediante el “Método matricial de Gauss”:

La solución del sistema es: z = –1, y = 1, x = 0

a) La solución es correcta. b) Intenta explicar los pasos que se han dado en las transformaciones matriciales.

3.3 Método de Gauss Observa cómo se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Sistema en forma matricial (A · X = B) Matriz ampliada (*)

· =

Transformación Sistema resultante Matriz resultante

(A/B)’=

Transformación Sistema resultante Matriz resultante

(A/B)’=

y ahora se resuelve de abajo hacia arriba, calculando z en (9), se sustituye en (8) para calcular y, etc.

z = ⇒ –7y + (–1) = 48 ⇒ –7y = 49 ⇒ y = –7 ⇒ 2x + (–7) – (–1) = –4 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1

Solución: x = 1, y = –7, z = –1 (*) Llamamos matriz ampliada del sistema al matriz que resulta de ampliar la matriz de los

coeficientes con la columna de los términos independientes.

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Resumen Resumiendo lo anterior, basándonos en: • El cambio de orden de las incógnitas. • El cambio de orden de las ecuaciones. • La sustitución de ecuaciones por una combinación de ellas mismas y las demás.

buscamos triangular el sistema de forma que la 1ª ecuación tenga tres incógnitas, la 2ª dos y la tercera, una.

Así llegamos a un sistema equivalente al inicial, pero del tipo

cuya resolución es más sencilla.

Evidentemente, todo el proceso intermedio se simplifica trabajando con la matriz ampliada.

4 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES: COMPATIBILIDAD

Al resolver un sistema de ecuaciones, nos podemos encontrar estas posibilidades:

Determinado: Solución única Compatible

(con solución)

Sistema de Ecuaciones Lineales Indeterminado: Infinitas soluciones

Incompatible

(sin solución)

Al resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas por el método de Gauss, nos encontarremos con estas situaciones:

Compatible determinado Compatible indeterminado Incompatible

4.1 Sistemas compatibles determinados

⇔

≈ ≈ ⇒

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4.2 Sistemas incompatibles

⇔

≈ ≈ ⇒ No hay solución ( 0 ≠ –1)

4.3 Sistemas compatibles indeterminados

⇔

≈ ≈ ⇒ El sistema es compatible, pero indeterminado.

El sistema tiene infinitas soluciones. • Una de ellas puede ser: z = 1, y = 2, x = 3

• Si queremos darlas todas, habrá que hacerlo en función de un parámetros; es decir, por ejemplo, z = t, y = 3 – z = 3 – t, x = 2 + y – z = 2 + (3 – t) – t = 5 – 2t

(Según tome valores t, tendremos distintas soluciones) Por ejemplo, si t = 1: x = 3, y = 2, z = 1

Actividad resuelta Juan, Andrés y Felipe han comprado x kilos de producto A, y kilos del producto B y z kilos del producto C. Juan hizo sus compras en la tienda 1, Andrés en la tienda 2 y Felipe en la tienda 3. Los precios (en euros) por kilo de producto en cada tienda vienen dados por:

A B C Tienda 1 20 10 5 Tienda 2 10 20 10 Tienda 3 15 15 15

• ¿Es posible que Juan haya gastado 500 €, Andrés haya gastado 400 €, en tanto que Felipe haya gastado 450 €?

Resolución Tenemos el sistema:

≈ ≈ ⇒

Como hay solución y es única, sí que es posible (aunque es extraño que no hayan comprado nada del producto C).

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Actividades propuestas 4. En la inauguración de una pizzería se consumen sólo tres tipos de pizzas: familiar, mediana e

individual, cada una con un precio diferente. Alfredo pidió dos pizzas individuales, dos familiares y una mediana; se gastó 13 €. Ángela pidió tres familiares y una mediana, y se gastó 18 €. Por último Javier pidió una de cada y pagó sólo 8 €.

• ¿Cuánto costaba cada pizza el día de la inauguración? ¿Es lógico? 5. Una tienda al por mayor vende a los pequeños comerciantes tres tipos de latas de atún A, B y C.

La lata A cuesta como B y C juntas. Un cliente compra 40 unidades de A, 10 de B y 20 de C, debiendo abonar 140 €. Otro compra 75 unidades de A y 25 de C y abona 225 €. Un tercero, para probar, compra una unidad de A, otra de B y otra de C. ¿Cuánto pagará por cada lata?

6. Para el viaje de fin de curso hemos contactado con un hotel de Canarias que nos han recomendado porque hay habitaciones sencillas, dobles y triples. Al pedirle que nos envíe por fax el número de habitaciones que nos puede ofrecer, nos han contestado con los siguientes datos: Total de habitaciones: 65.

Total de camas: 100 • ¿Cuántas habitaciones hay de cada clase?

7. En el obrador de pastelería “La mejor coca” venden cocas de atún, de almendra y de pisto, cada una con un precio distinto. El obrador de pastelería les lleva el lunes 3 de atún, 2 de almendra y 4 de pisto; por todas les cobra 22 €. El martes les lleva el martes 2 de atún, una de pisto y retira una de almendra que sobró y les devuelve lo que habían pagado por ella; pagan en total ese día 5’5 €. El miércoles les entregan una de atún, tres de almendra y devuelven tres de pisto (les devuelven lo que habían costado). Ese día pagan 4’5 €.

• ¿Qué precio cobra el obrador por cada tipo de coca? 8. En la empresa “Electronic Systems” hay muchos empleados, tantos que hasta su presidente

ignora los que son. Pregunta a sus departamentos y curiosamente en ninguno de ellos saben responderle. El departamento de Relaciones Laborales sólo sabe decirle que por una ley federal, el número de aprendices contratados ha de ser el 10% del número de empleados fijos. El departamento de nóminas le informa de que cada directivo cobra al mes 20.000 €, cada empleado fijo 2.000 mensuales y cada aprendiz 500 € al mes; en la empresa se abonan cada mes en sueldos 7.150.000 €.

El departamento de Seguridad Social le dice que por cada directivo hay que pagar 2.000 € mensuales, por cada empleado fijo 100 € y que la S.S. abona a la empresa por cada aprendiz 50 € al mes. En total cada mes, hay que pagar a la S.S. 385.000 €. ¿Cuántos empleados hay en E.S.?

9. Resuelve los siguientes sistemas:

a) b)

c) d)

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5 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (II). DETERMINANTES. REGLA DE CRAMER

En estos momentos, lo lógico es que conozcas los siguientes métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales: • Método de sustitución.

• Método de igualación. • Método de reducción.

• Método de reducción de Gauss (con ecuaciones o con matrices) • Método gráfico (para los sistemas con dos incógnitas)

Al introducir el concepto de determinante lo que se pretende es darte una alternativa para resolver un sistema de ecuaciones por un método distinto a los anteriores. ¿Mejor? ¿Peor? La decisión es tuya.

5.1 ¿Qué es un determinante? La idea de determinante surgió al resolver, de forma general, sistemas de ecuaciones lineales. Curiosamente, es un concepto matemático que aparece antes que el de matriz, pero en un contexto que en este curso no nos interesa.

El ejemplo más sencillo es el de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Utilizamos el método de reducción:

(3) + (4): (b’a – a’b) · y = c’a – ca’

Si despejo y: y =

De forma análoga: x =

El denominador es el mismo en las dos fracciones: a · b' – b · a'

A este número se le denomina DETERMINANTE de la Matriz A de los coeficientes de las incógnitas del sistema:

; el determinante de A es: |A| = a · b' – b · a'

De manera que vamos a trabajar los determinantes con el objetivo prioritario de utilizarlos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con un método alternativo a los que conocemos hasta ahora. Eso sí, has de tener en cuenta que cuando hablemos de un determinante siempre estaremos hablando del determinante de una matriz cuadrada.

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5.2 Determinantes de 3er orden Al resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, también se observa un mismo denominador para las tres incógnitas. Si la matriz de los coeficientes es:

dicho denominador es: |A|= (a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32) − (a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a33.a21.a12)

Como no es fácil recordarlo así, es más fácil con el esquema de Sarrús:

Sumandos positivos Sumandos negativos

a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 a23

a31 a32 a33 a31 a32 a33 Ejemplo:

= (3·3·3 + 2·2·2 + 4·1·1) – (2·3·1 + 2·1·3 + 2·4·3) = 3

a) Si resolvemos, aplicando el método de Gauss, el sistema:

obtendremos esta solución:

x = , y = , z =

b) La matriz de los coeficientes de las incógnitas del sistema anterior, es :

Su determinante es:

|A| = [1 · (–2) · (–1) + 1 · 2 · 2 + 3 · 1 · 1] – [1 · (–2) · 1 + 3 · 2 · (–1) + 1 · 2 · 1] = 9 – (6) = 15 Observa que |A| coincide con el denominador común de las tres fracciones, solución del sistema.

No debe olvidarse, cuando se habla de la historia de los determinantes, al matemático inglés Charles Dogson (1832-1898), cuya aportación a su conocimiento mismos fue notable. Lo curioso de esta referencia es que el mencionado autor es mucho más conocido por su seudónimo, Lewis Carroll, y más popular por su contribución a la Literatura mundial con la novela Alicia en el país de las maravillas. (A propósito de esta novela, cuando la reina Victoria de Inglaterra la leyó, le gustó tanto que manifestó grandes deseos de leer las demás obras de Carroll; a tal efecto pidió que se las consiguieran. El estupor de su majestad fue mayúsculo cuando comprobó que las demás publicaciones de este autor eran sobre matemáticas.)

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5.3 Propiedades de los determinantes 1. Un determinante no varía si se cambian sus filas por sus columnas. Desarrolla por la regla de

Sarrus y comprueba la igualdad:

2. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas, el determinante cambia de signo.

3. Si todos los elementos de una fila o columna se multiplican o se dividen por un mismo número, el determinante queda multiplicado o dividido por dicho número. Esta propiedad permite sacar factor común a los elementos de una línea y así simplificar las operaciones. Por ejemplo:

Comprueba que es cierta la igualdad anterior. 4. Si todos los elementos de una línea son nulos, el determinante también lo es. Por ejemplo:

Comprueba que es cierta la igualdad anterior.

5. Si dos líneas paralelas son iguales, el determinante es nulo. Por ejemplo:

Comprueba que es cierta la igualdad anterior. 6. Si dos líneas paralelas son proporcionales, el determinante es nulo. Por ejemplo:

Comprueba que es cierta la igualdad anterior. 7. Si a una línea se le suma un múltiplo cualquiera de otra paralela, el determinante no varía. Por

ejemplo:

Comprueba que es cierta la igualdad anterior.

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Actividades resueltas El determinante de una matriz de orden 3 tiene un término general que verifica la relación:

ai,j = ai-1,j + ai,j-1, que permite calcular todos los términos cuando se conoce la fila primera y la columna primera. Completa este determinante y calcula su valor:

Resolución

= = 3 · 3 · 3 · = 27 · = 27 · = 27 · (1 – 0) = 27

Actividades propuestas

10. Calcula los siguientes determinantes: , , , ,

5.4 ¿Cómo resuelvo el sistema? Tenemos un sistema de ecuaciones lineales:

⇔ ⇔ A·X = B

Recuerda que X = A–1 · B (aún no tenemos muy claro cómo encontrar la matriz A–1 en el caso de matrices de orden mayor que 2)

Ejemplo Vamos a resolver el sistema siguiente:

•

• La solución anterior viene dada por:

Este hecho no es casualidad, sino que puede aplicarse a cualquier caso en el que la matriz de los coeficientes tenga determinante no nulo.

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5.5 Sistemas de Cramer Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es un sistema de Cramer si está formado por n ecuaciones linealmente independientes con n incógnitas.

• Por haber n ecuaciones linealmente independientes, el sistema es compatible determinado. • El determinante de la matriz de los coeficientes, det (A) ≠ 0.

5.6 Teorema (Regla de Cramer) Dado el sistema de ecuaciones A·X = B donde |A| ≠ 0, la solución única del sistema viene dada por:

donde Ai es la matriz obtenida al sustituir en A la i–ésima columna por la columna de los términos independientes.

Actividad resuelta Resuelve, aplicando la regla de Cramer, los sistemas:

a) b)

Resolución

a) Hallamos .

= = (6 + 5 + 2) – (2 + 10 + 3) = 13 – 15 = – 2 ≠ 0 ⇒

Podemos aplicar la regla de Cramer.

Hallamos las soluciones aplicando la regla de Cramer:

Puedes comprobar que la solución es válida resolviendo el sistema por otro método.

b) Hallamos

= (15 – 4 +24) – (40 + 4 – 9) = 35 – 35 = 0 ⇒

No se puede aplicar la regla de Cramer.

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5.7 Resumiendo: ¿Qué método escojo? Cuando encuentro un sistema de ecuaciones A · X = B, ¿cómo lo resuelvo?. • Si A es cuadrada, calculo el determinante de A (det(A)).

Si det(A) ≠ 0, el sistema es compatible determinado. La solución viene dada por:

X = A–1 · B (si lo permite la calculadora; si no, aplico la regla de Cramer) Si det(A) = 0, aplico el método de Gauss. El sistema puede ser compatible indeterminado o incompatible.

• Si A es cuadrada, también puedo aplicar el método de Gauss independientemente del valor de .

• Si A no es cuadrada, aplico el método de Gauss para estudiar su compatibilidad y eliminar, en su caso, la(s) ecuación(es) sobrante(s). Si el sistema resultante tiene la matriz de coeficientes cuadrada, empleo el procedimiento del punto anterior. Si no es cuadrada, aplico el método de Gauss.

• Podemos emplear algún otro procedimiento de los que ya conocemos. Actividad resuelta

Una empresa tiene tres tiendas cuya situación económica está interrelacionada mediante la siguiente red (las cantidades indican millones de euros):

a) ¿Qué flujo económico se produce entre las tiendas A y B? b) ¿Qué sucedería si no hay trasvase de fondos desde la tienda B a la C? Resolución

Enlace A: x3 + 150 = x2 ⇔ x2 – x3 = 150

Enlace B: x1 + x3 = 200 ⇔ x1 + x3 = 200

Enlace C: x1 + x2 + 50 = 400 ⇔ x1 + x2 = 350

Si trabajas con la matriz ampliada del sistema:

≈ ≈

Tenemos un sistema compatible, pero indeterminado (lo que por otra parte era lógico, ya que el flujo no puede ser fijo, sino variable).

Tendremos. x1 = 200 – x3, x2 = x3 + 150

Por tanto, según los valores que tome la cantidad x3 tomarán diferentes valores x1 y x2.

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Actividades propuestas 11. Las ventas de tres comerciantes ascienden a 3’6 millones de euros. Un comerciante vende 3/4 de

lo que hace un segundo y éste el doble que el tercero. Encuentra el volumen de ventas de cada uno de los comerciantes.

12. Tres amigos han comprado cintas de vídeo, CD’s y DVD’s. Uno ha adquirido, por 51 euros, una cinta de vídeo, un CD y dos DVD’s; otro, por 48 euros, ha comprado dos de vídeo, un CD y un DVD. El tercero sólo compra una cinta de vídeo y dos CD’s, por los que ha pagado 42 euros. ¿Cuánto vale cada uno de los productos que han comprado?

13. Una empresa compra 21 vehículos de las marcas X, Y, Z, al precio de 12000, 15000 y 20000

euros. Si el total de la compra asciende a 310.000 euros, y de la marca X se importa el 40 % de la suma de las otras dos marcas, ¿cuántos vehículos de cada marca compran en esa empresa?

14. En una ebanistería producen sillas, mesas y armarios a razón de 350 piezas/mes. Las horas de

mano de obra y las planchas de madera que exige cada mueble se muestran en la siguiente tabla:

Silla Mesa Armario

Horas unidad 2 3 5

Planchas unidad 1 2 3

Si se dispone en total de 1050 horas y de 625 planchas de madera al mes, ¿cuántas unidades de cada mueble se pueden fabricar en ese tiempo?

15. Una persona dispone de 200.000 € para invertir en acciones, fondos de inversión y bonos. La

rentabilidad media de esos activos es de un 6%, 10% y 12% respectivamente. El inversor quiere que lo que se invierta en acciones sea tanto como lo que se invierta en fondos y bonos juntos y que se alcance una rentabilidad final de 16.800 €. ¿Cuánto ha de invertir en cada uno de esos bienes?

16. Se compran las cantidades x, y, z de tres productos. Para estos productos. un fabricante ofrece

los siguientes precios: 2, 3 y 5 euros/kg; otro fabricante, por los mismos productos, cobra 1, 2 y 6 euros/kg, y un tercero, 3, 4 y 4 euros/kg.

¿Qué cantidades hay que comprar de cada producto para que el importe total de lo pagado sea 6200 euros. cualquiera le sea el fabricante que lo sirva?

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TEMA 3: ÁLGEBRA LINEAL: COMPLEMENTOS Si bien el objetivo fundamental de nuestro trabajo con sistemas de ecuaciones lineales es resolver problemas con enunciado, es posible que, en determinadas ocasiones necesitemos emplear matrices inversas o calcular determinantes de orden mayor que 3. Ese va a ser nuestro objetivo en la primera parte del tema. Asimismo, en el tema siguiente trabajaremos con uno de los campos más importantes del Álgebra Lineal, la Programación Lineal. Para poder desarrollar con más facilidad las situaciones que se nos planteen, nos convendrá alcanzar un cierto dominio de herramientas de cálculo: puntos de corte de rectas, resolución de inecuaciones, ...

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

1 OTRA VEZ DETERMINANTES

1.1 Menor complementario y adjunto de un elemento Dada una matriz cuadrada de orden 3,

se llama MENOR COMPLEMENTARIO de un elemento cualquiera de la matriz, al determinante de la matriz obtenida al suprimir la fila y la columna en que se encuentra el elemento considerado.

Por ejemplo, el menor complementario de a21 al que llamaremos α21, se obtendrá:

El ADJUNTO del elemento a21, que representaremos como A21, se define como: A21 = (−1)2+1 · α21

En general, Aij = (−1)i+j · αij

Actividad resuelta

Calcula A12, A23 y A33 de la siguiente matriz:

Respuesta

A12 = (−1)1+2 · α12 = (–1)3 · = (–1) · (16 – 0) = –16

A23 = (−1)2+3 · α23 = (–1)5 · = (–1) · (3 – 0) = –3

A33 = (−1)3+3 · α33 = (–1)6 · = 1 · (6 – 8) = –2

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1.2 Comparación de determinantes

a) Si A = , vamos a calcular: |A|, A11, A12, A13.

|A| = = [3 · 2 · (–1) + 1 · 5 · 2 + 2 · 1 · 4] – [2 · 2 · 2 + 3 · 5 · 4 + 1 · 1 · (–1)] =

(–6 + 10 + 8) – (8 + 60 – 1) = 12 – 67 = – 55

A11 = = –2 – 20 = –22

A12 = – = –(–1 – 10) = 11

A13 = = 4 – 4 = 0

b) Comprueba con la matriz anterior, que: |A| = 3 · A11 + 1 · A12 + 2 · A13 = –66 + 11 + 0 = –55

Es decir, el valor de un determinante de orden 3 es igual a la suma de cada uno de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos correspondientes.

En este caso hemos elegido la primera fila, pero se podría haber cogido otra fila o columna cualquiera.

1.3 El determinante y los adjuntos de los elementos de la matriz Dada una matriz cuadrada de orden 3,

Su determinante puede hallarse así:

|A| = a11 · A11 + a12 · A12 + a13 · A13 = a21 · A21 + a22 · A22 + a23 · A23 =

a31 · A31 + a32 · A32 + a33 · A33 Podríamos haber escogido columnas en vez de filas

Este resultado puede generalizarse a cualquier matriz. La gran diferencia es que para matrices cuadradas de orden mayor que 3 la regla de Sarrus ya no sirve y, por tanto, no tendrás más remedio que utilizar este nuevo procedimiento. Podríamos ahora escribir una nueva propiedad de los determinantes:

“Un determinante es igual a la suma de los productos de una línea cualquiera por sus respectivos adjuntos”.

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Actividades propuestas 1. Calcula el valor del determinante

desarrollándolo por los elementos de la segunda columna.

Comprueba que coincide con el valor obtenido aplicando la regla de Sarrús. 2. Intenta calcular el valor de estos determinantes utilizando tres métodos distintos:

a) b) c)

2 SISTEMAS HOMOGÉNEOS: A · X = 0

Un caso particular de sistemas lineales es aquél en el que todos los términos independientes son nulos:

a11 · x + a12 · y + a13 · z = 0 a21 · x + a22 · y + a23 · z = 0 a31 · x + a32 · y + a33 · z = 0

A estos sistemas, se les llama HOMOGÉNEOS. Estos sistemas siempre tienen solución., pues, al menos, admiten la solución X = 0 (solución trivial)

¿Habrá soluciones distintas de la trivial si el sistema es compatible indeterminado? Actividad resuelta Calcular todas las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales:

a) · = b) · =

Respuesta

a) ≈ ⇒ Es un sistema compatible determinado.

b) ≈ ⇒ Es un sistema compatible indeterminado.

Actividad propuesta 3. Resuelve los siguientes sistemas homogéneos:

a) b) c)

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3 LA MATRIZ INVERSA. DIFERENTES MÉTODOS.

3.1 La matriz inversa y los sistema de ecuaciones lineales ¿Recuerdas lo que vimos en el primer tema sobre la matriz inversa? Tenemos un sistema de ecuaciones lineales:

A · X = B La solución, si es única, viene dada por:

X = A–1 · B Recuerda que, dada una matriz cuadrada A, su matriz inversa A-1, será otra matriz tal que:

A · A–1 = A–1· A = I (Con I matriz identidad del mismo orden que A) El problema es ¿cómo obtener la matriz inversa?

3.2 Si disponemos de una calculadora gráfica Si tenemos una calculadora gráfica, podemos, en las ecuaciones matriciales siguientes, determinar si hay solución y calcularla cuando sea posible:

a) · X = ⇒ X = A–1 · B Pero, ∃ A–1 (Matriz singular)

b) ⇒ X = · =

3.3 La matriz inversa mediante el método de Gauss Calcular la solución de un sistema empleando la estrategia de la actividad anterior está limitada por el hecho de disponer de una calculadora gráfica o de saber calcular la matriz inversa de A.

Para hallar A–1, podemos emplear una estrategia basada en el método de Gauss de resolución de sistemas de ecuaciones. Hemos de aplicar los mismos cambios, y al mismo tiempo, a las matrices I y A. Estos cambios tienen como objetivo transformar la matriz A en la matriz identidad I . Observa el procedimiento que se sigue en el siguiente ejemplo:

A I A' I' A" I"

A"' I"' I A–1

Comprueba que la matriz obtenida es la inversa de A.

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3.4 La matriz inversa y los determinantes Vamos a ver otro procedimiento para obtener la matriz inversa de una matriz A.

; |A| = −7 ≠ 0

1. Construimos la matriz adjunta de A (la llamaremos B), formada por los adjuntos de los elementos de A.

A21 = 1 A22 = −4 A23 = −2

A31 = 3 A32 = −5 A33 = 1

Por tanto, B =

2. Construimos la traspuesta de la matriz B, Bt:

3. A–1 =

Comprueba que: A · A–1 =

Actividad resuelta Encuentra una matriz D que verifique:

Resolución Tendríamos la ecuación: A · D = B + 2 · C ⇒ D = A–1 · (B + 2 · C)

Puedes comprobar que: A–1 = ⇒ D =

Actividad propuesta

4. Busca las inversas de estas matrices: a) b) c)

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INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

4 UN PROBLEMA NÚCLEO: ¿QUÉ ESTRATEGIA SIGO?

El instituto prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 48 € y el de uno pequeño, 36 €. Calcula cuántos autocares de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica al instituto. Resolución 1 (Ensayo y error) La veremos desarrollada en el tema siguiente. Con esta estrategia no necesitamos utilizar procesos algebraicos, pero no siempre va a ser así. Además,

• ¿Cómo sabemos que la solución que hemos encontrado es la mejor? • ¿Y si la solución no es entera?

• ¿Y si las tablas que construimos tienen un número excesivo de celdas? Resolución 2 (mediante estrategias propias de la programación lineal) Paso 1: Codificamos las incógnitas x: nº de autobuses pequeños, y: nº de autobuses grandes

Paso 1: Codificamos la información • El número de conductores no puede pasar de 9: x + y ≤ 9 (1)

• El número de plazas no puede ser menor de 400 : 40x + 50y ≥ 400 (2)

• El nº de autobuses no puede ser negativo: x ≥ 0, y ≥ 0 (3), (4)

Nos encontramos con un sistema de inecuaciones. Paso 3: Codificamos la función que queremos optimizar El coste ha de ser lo más económico: C(x,y) = 48x + 36y En resumen, hemos analizado todas las variables y restricciones que intervienen en el problema. Pero, ¿qué hacemos ahora?

Nos encontramos con varias desigualdades con dos incógnitas (inecuaciones); es decir, con un sistema de inecuaciones lineales y, además con una función que depende de dos variables. Hemos de aprender alguna estrategia de tipo algebraico que nos permita resolver el problema. Para ello habremos de trabajar con:

• Intersección de rectas • Desigualdades • Inecuaciones y sistemas de inecuaciones

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5 ¿RECUERDAS? RECTAS QUE… ¿SE CORTAN?

En este apartado vamos a recordar de forma elemental cuestiones relativas a rectas en el plano. Hay que tener en cuenta que en las inecuaciones que se puedan plantear en los problemas de programación lineal van a surgir rectas asociadas a dichas inecuaciones.

5.1 Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones a) Representamos gráficamente las rectas :

r ≡ 2x − y + 2 = 0 s ≡ 4x − 2y − 4 = 0 t ≡ x − y + 2 = 0

b) Resolvemos los sistemas :

i) ⇔

(1) – (2): 2x – 8 = 0 ⇒ x = 4, y = 6

ii) ⇔

(3) – (2): y – 2 = 0 ⇒ y = 2, x = 0

iii) ⇔

(3) – (1): 8 = 0 ⇒ El sistema no tiene solución

Si observas las gráficas del apartado a), verás que la solución se corresponde con la hemos hallado en cada caso. En el caso iii) estaríamos hablando de rectas paralelas.

c) Justificamos, sin resolverlo, cuál ha de ser la solución de:

No hay solución, ya que al resolver los sistemas del apartado anterior, no hay una solución común. Por si tienes alguna duda, observa las gráficas del apartado a). No hay un punto de corte común.

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5.2 Paralelismo Del trabajo con las actividades anteriores, tal vez ya hayas llegado a las siguientes conclusiones: • Dos rectas r y s son paralelas (r//s) si los coeficientes de x e y son directamente proporcionales.

• Sus pendientes son iguales y pasan por distintos puntos.

Ejemplos

y = 3x+1 y = 3x–2

y = 3x+4

NOTA: Parece bastante claro que si las pendientes son distintas, mr ≠ ms , las rectas se cortan en un punto; pero, ¿en cuál?

5.3 Incidencia de punto y recta Diremos que un punto P es incidente con la recta r si P está en la recta.

Por ejemplo, el punto P(1,–2) está en la recta r: y = 2x – 4

o diremos que la recta r pasa por el punto P.

5.4 Incidencia de rectas Diremos que dos rectas son incidentes si se cortan en un punto. Para hallar el punto de corte de las dos rectas deberemos resolver el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas.

⇒ (1) – (2): x = 4 ⇒ En (2): y = 6 . El punto de corte es P(4,6)

Gráficamente:

Actividades propuestas

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5. En un laboratorio fotográfico nos cobran por cada fotografía al revelar un carrete 0’25 €, todo incluido. En una tienda de electrodomésticos nos cobran cada foto a 0’2 € más 1 € de revelado.

• ¿Dónde nos interesa llevar a revelar un carrete? 6. Debido a los problemas meteorológicos hay grandes riesgos de choque entre coches, entre

coches y animales,...Para intentar evitarlos, dos de los participantes trazan en sus caravanas un plano del recorrido que van a realizar el día siguiente.

Un participante francés va a salir desde el punto de coordenadas A(2,1), seguirá una trayectoria recta pasando por el punto B(–15,18) hasta que el coche aguante. La participante española saldrá desde el punto C(5,–1) y con trayectoria recta pasará por un pueblo de coordenadas (–20,24).

Si salen a la misma hora y van a la misma velocidad, ¿crees que hay posibilidades de que lleguen a chocar?

7. Si observas detenidamente el dibujo, puedes observar con bastante claridad el punto P donde se cortan r y s, pero, ¿cómo confirmarlo? Solo podemos asegurar que r pasa por A y B y que s pasa por los puntos O y C.

8. Las rectas y = 2x–5, y =–3x no son paralelas. ¿En qué punto se cortan?

6 ¿RECUERDAS? DESIGUALDADES.

En la actividad núcleo de este apartado surgía esta desigualdad: x + y ≤ 9.

Ya deberías saber que al ser una desigualdad en la que tenemos dos incógnitas, estamos hablando de una inecuación con dos incógnitas. ¿Cómo resolver las inecuaciones? Pues bien, al igual que las ecuaciones, existen propiedades que cumplen todas las desigualdades. Todas las propiedades que cumplan las desigualdades las cumplirán las inecuaciones.

6.1 Desigualdades. Propiedades. Si tenemos dos números distintos, x, y, siempre uno será mayor que otro: O lo que es lo mismo:

Con símbolos Con palabras Con símbolos Con palabras

x < y x es menor que y x ≤ y x es menor o igual que y x > y x es mayor que y x ≥ y x es mayor o igual que y Propiedades

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• Si sumamos a los dos miembros de una desigualdad un mismo número, la desigualdad se mantiene. Ponte algunos ejemplos numéricos para comprobarlo. Aquí tienes dos ejemplos:

3<4 ⇔ 3+2<4+2 ⇔ 5<6 5>4 ⇔ 5+(–2)>4+(–2) ⇔ 3>2

• Si multiplicamos los dos miembros de una inecuación por un mismo número y éste es positivo, la desigualdad se mantiene:

3<4 ⇔ 3·2<4·2 ⇔ 6<8

• Si multiplicamos los dos miembros de una inecuación por un mismo número y éste es negativo, la desigualdad cambia de sentido:

5>4 ⇔ 5·(–2)<4·(–2) ⇔ –10<–8

Actividades propuestas 9. ¿Qué números verifican x ≤ 3? Represéntalos en una recta.

10. Representa en una recta todos los puntos que cumplan a la vez: x ≤ 3, x ≥ –10

11. ¿Y cuáles verifican −10 < x ≤ 3 ?

12. Se te ocurre la diferencia que hay entre las dos expresiones siguientes: 5 > 7, x < 7

6.2 Desigualdades e inecuaciones La diferencia que hay entre desigualdad e inecuación es sencilla: en el primer caso puedes comprobar directamente si se cumple o no, mientras que en el segundo caso, la desigualdad se cumplirá o no según los valores que tome la o las incógnitas. Ejemplos 2 – 5 < 1 Es una desigualdad x – 5 < 1 Es una inecuación. Sólo se cumple para x < 6.

En el curso anterior ya has debido trabajar con desigualdades con una sola incógnita. El objetivo de este curso va a ser trabajar con inecuaciones con dos incógnitas. No obstante vamos a recordar el proceso que se suele seguir para resolver inecuaciones con una incógnita Actividades resueltas 1. Un desayuno muy típico es el café con leche con una tostada. Una familia suele tomarlo todos

los sábados en una cafetería cercana a su domicilio. El hijo pequeño pregunta a su padre: − ¿Cuánto vale el desayuno en la cafetería de la esquina? − No lo sé, no me he fijado nunca. − Pero, hombre, si acabamos de tomarlo mamá, el tío Carlos, Celia, Lourdes, tú y yo.

¿Cuánto has pagado? − Un poco más de 9 €. − La semana pasada, además de nosotros seis, invitaste a Javi y Jordi. ¿Cuánto pagaste? − Un poco menos de 14 €, pues di un billete y dejé la vuelta de propina. ¿Podrías ayudarles a calcular el precio?

Resolución Llamamos x: precio del desayuno Hoy: 6 · x > 9 ⇒ x > 9/6 ⇒ x > 1’5... La semana pasada: 8 · x < 14 ⇒ x < 14/8 ⇒ x < 1’75

Solución: El desayuno cuesta entre 1’5 y 1’75 €.

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2. Resuelve la inecuación siguiente:

Resolución

⇒ x – 1 + 3x ≥ 2x + 4 ⇒ 4x – 1 ≥ 2x + 4 ⇒ 2x ≥ 5 ⇒ x ≥ 2’5

Solución: x ≥ 2’5

Actividades propuestas 13. Resuelve las inecuaciones siguientes:

a) x + 5 > 9 b) 2 · (3 – x) < 2x

14. Para llegar puntualmente al cine desde mi casa en las afueras de la ciudad, el otro día me decidí a coger un taxi. Pero cuando ya estaba en la parada, me di cuenta de que sólo llevaba 20 €.

Como no sabía si tendría bastante dinero, tuve que enterarme de las tarifas en vigor para hacer mis cuentas. Resulta que la bajada de bandera son 1’5 € y se cobra 0’75 € por cada km. recorrido. La entrada al cine cuesta 4’25 €. ¡Conseguí llegar y entré al cine! ¿Qué puedes decirme sobre la distancia que recorrí?

7 INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES DE 1ER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

Supongamos que tenemos las siguientes inecuaciones:

• x ≥ y (1)

• x + y ≤ 50 (2)

Nos podemos plantear estas preguntas:

a) (1,2), (2,1), (–3,0), (0,–3), (1’25, 1’75), ¿son soluciones de las inecuaciones? b) ¿Cuántas soluciones tiene la inecuación (1)? ¿Y la inecuación (2)? c) ¿Sabrías dar la relación de soluciones de las dos inecuaciones? Para poder contestar con precisión a preguntas como las anteriores, necesitamos conocer más sobre ese modelo de inecuación. Una inecuación de 1er grado con dos incógnitas responde a uno de los siguientes modelos:

ax + by < c, ax +by ≤ c

ax + by > c, ax + by ≥ c

A partir de este momento, no diferenciaremos los signos <, ≤ (>, ≥) y consideraremos siempre estos modelos:

ax +by ≤ c (1)

ax + by ≥ c (2)

En este punto vamos a aprender a resolver inecuaciones del modelo anterior así como sistemas de inecuaciones en los que aparezcan más de una inecuación. Seguiremos el siguiente proceso: • Diferentes situaciones.

• Resumen teórico que nos sirva para otros casos.

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7.1 Inecuaciones y el plano 1. Dibujamos la recta y = x

2. Damos las coordenadas de:

• Tres puntos que cumplan x = y: (–2,–2), (0,0), (3,3). Estos puntos, están situados en la recta

• Tres puntos que cumplan x ≥ y: (3,1), (2,0), (4,2).

Estos puntos, están situados “debajo de la recta”

• Tres puntos que cumplan x ≤ y: (1,3), (0,2), (2,4).

Estos puntos, están situados “encima de la recta” 3. Este semiplano, ¿a cuál de los casos anteriores se referirá?

Estamos hablando del 2º caso de los anteriores:

x ≥ y

4. Y al revés. En el dibujo tenemos pintado un semiplano cuyos puntos cumplen una determinada condición. ¿Cuál es esa condición?

Puntos del semiplano:

(–2,3), (–1,2), (0,3), (1,2), (2,5), ...

La condición que cumplen los puntos del semiplano es: x ≤ y ó bien y ≥ x

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5. Vamos a resolver la inecuación: 2·x + y ≥ 6 (1)

Paso 1. Dibujamos la recta “frontera” 2x + y = 6

Paso 2.

La recta divide el plano en dos semiplanos: 2·x + y ≤ 6 (2)

2·x + y ≥ 6 (1)

Buscamos un punto cualquiera de uno de los semiplanos y comprobamos qué condición cumple. Esa será la condición que cumplen todos los puntos que estén en el mismo semiplano. Escogemos, por ejemplo, O(0,0):

2 · 0 + 0 = 0 ≤ 6 ⇒ El punto O(0,0) no cumple la inecuación 2·x + y ≥ 6.

Por tanto, todos los puntos que estén en el mismo semiplano que (0,0) tampoco cumplirán la inecuación 2·x + y ≥ 6.

Paso 3.

Dibujamos el conjunto S, solución de la inecuación (1) que será aquel en el que no se encuentre el punto O(0,0). Ya hemos resuelto la inecuación.

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7.2 Resumen: Inecuaciones • La solución de una inecuación de primer grado con dos incógnitas (si es que hay solución) es un

conjunto de puntos del plano (semiplano).

• La recta de ecuación ax + by = c (llamada recta frontera) divide el plano en dos semiplanos, cada uno de ellos solución para cada una de las inecuaciones:

ax +by < c ax + by > c

Ecuación ax + by = c

Inecuación ax +by > c

Inecuación ax +by < c

Solución: puntos de la recta Solución: semiplano Solución: semiplano

• Para comprobar cuál es el conjunto solución de cada inecuación escogeremos un punto cualquiera del semiplano y comprobaremos si cumple o no la inecuación. En estos ejemplos tienes las soluciones de varias inecuaciones

x – y ≤ 2 x – y ≥ 2 x + y ≤ 2 x + y ≥ 2

y ≤ 2 y ≥ 2 x ≤ 2 x ≥ 2

55

7.3 Un sistema de inecuaciones y el plano ¿Qué condición cumplen los puntos que se encuentran en cada uno de los dos semiplanos? ¿Hay puntos que estén en ambos semiplanos?

Todos los puntos del semiplano A cumplen la condición:

y ≥ x + 4

Todos los puntos del semiplano B cumplen la condición:

y ≤ x

Si observamos el dibujo, no hay puntos comunes a ambos semiplanos; por tanto, el sistema de inecuaciones:

y ≥ x + 4

y ≤ x

no tine solución.

7.4 ¡Resolvamos un sistema de inecuaciones! 1. Vamos a resolver el sistema de inecuaciones:

x + y ≤ 60 (1)

3·x + 2·y ≤ 120 (2)

Solución de la inecuación x + y ≤ 60 (1)

Solución de la inecuación 3·x + 2·y ≤ 120 (2)

Solución del sistema x + y ≤ 60 3·x + 2·y ≤ 120

El conjunto, S, solución del sistema de inecuaciones es el conjunto intersección de los conjuntos A y B soluciones respectivamente de las inecuaciones (1) y (2).

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2. ¿Qué inecuaciones cumple la región S?

La región S es la intersección de las regiones S1 y S2:

Siguiendo los mismos criterios que hemos visto hasta ahora, tendríamos: • El punto (0,0) que no está en S, cumple las inecuaciones y ≤ x +4, y ≤ –0’5x +4

• El punto (0,5), que no está en S, cumple las inecuaciones y ≥ x +4, y ≥ –0’5x +4

• El punto (3,4) que está en S, cumple las inecuaciones y ≤ x +4, y ≥ –0’5x +4,

Por tanto el sistema de inecuaciones cuya solución es S sería:

y ≤ x +4

y ≥ –0’5x +4

3. Dibuja la región del plano que es solución del siguiente sistema de inecuaciones. A esa región se la denomina “Región factible”.

{x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 15, x + 2y ≤ 20

Si seguimos los pasos para resolver por separado cada una de las inecuaciones tendremos:

La solución del sistema de inecuaciones es S.

4. Halla los vértices de la región factible, S, del punto anterior. La región S es un cuadrilátero. Sus vértices son:

O (0,0), A(0,10), C(15,0) y B(10,5). Para hallar el vértice B deberemos resolver el sistema de ecuaciones:

(2) – (1): y = 5 En (1): x = 10. El punto B es (10,5)

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7.5 Resumen: Sistemas de inecuaciones La solución de un sistema de inecuaciones de 1er grado con dos incógnitas es el conjunto de puntos que verifican a la vez todas las inecuaciones del sistema; es decir, es la intersección de los conjuntos solución de las diferentes inecuaciones del sistema. A esa región se la denomina “Región factible”. Caso 1

ax + by ≤ c dx + ey ≤ f

Solución de la 1ª inecuación Solución de la 1ª inecuación Solución del sistema

Caso 2 ax + by ≤ c dx + ey ≥ f

Solución de la 1ª inecuación Solución de la 1ª inecuación Solución del sistema

Caso 3 ax + by ≥ c dx + ey ≥ f

Solución de la 1ª inecuación Solución de la 1ª inecuación Solución del sistema

NOTA IMPORTANTE: En muchos de los sistemas de inecuaciones que veremos a partir de este momento, siempre aparecerán estas dos inecuaciones:

x ≥ 0, y ≥ 0

Este hecho nos hará limitar la solución del sistema de inecuaciones en el que aparezcan dichas inecuaciones al 1er cuadrante.

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Actividades resueltas Un proverbio indio afirma que para que un matrimonio llegue a buen término, el doble de la edad de ella no ha de superar en siete años a la edad de él. Un chico tiene diez años más que su prometida. ¿Cuál es, para ellos, el período más favorable según este proverbio? Respuesta En el problema, encontramos una ecuación y una inecuación con dos incógnitas, por tanto nos quedará una inecuación con una incógnita:

• Si x: edad de ella, y: edad de él, 2x ≤ y + 7 (1)

y = x + 10 (2) tendremos:

2x ≤ x + 10 +7 ⇔ 2x ≤ x +17 ⇔ x ≤ 17, y ≤ 27

Actividades propuestas 15. En un puesto de frutos secos quieren comprar almendras de 5 euros/kg y almendras de 8

euros/kg para obtener en total 100 kg de almendras cuyo precio para el público no supere los 6’8 euros/kg. ¿Cuántos kilos de almendras de cada tipo deberán comprar?

16. En una fábrica de piel se fabrican bolsos y carteras. Se tardan dos horas en hacer un bolso y una

hora en cada cartera. Si en la fábrica se trabaja cuarenta horas a la semana, ¿cuántos bolsos y cuántas carteras se pueden fabricar semanalmente? ¿Y si se trabaja un mínimo de cuarenta horas? ¿Y si se trabaja cuarenta horas como máximo?

17. Ángela y Manuel compran langostinos y percebes en la misma pescadería. Ángela ha comprado 2 Kg de langostinos y ½ Kg de percebes, y Manuel 1½ Kg de langostinos y 2½ Kg de percebes. Al tomar café juntos y comentar lo caros que están los productos en Navidad, ninguno de los dos recuerda los precios por Kg, sólo recuerdan que como máximo han gastado 12 euros y 15 euros, respectivamente. ¿A qué precio está el kilo de percebes y de langostinos?

18. Dibuja la región del plano que es solución del siguiente sistema de inecuaciones. {x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 15, x + 2y ≤ 20}

Halla los vértices de la región factible del punto anterior.

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TEMA 4: PROGRAMACIÓN LINEAL En 1946 comienza el largo período de la guerra fría entre la antigua Unión Soviética (URSS) y las potencias aliadas (principalmente, Inglaterra y Estados Unidos) Uno de los episodios más llamativos de esa guerra fría se produjo a mediados de 1948, cuando la URSS bloqueó las comunicaciones terrestres desde las zonas alemanas en poder de los aliados con la ciudad de Berlín, iniciando el bloqueo de Berlín. A los aliados se les plantearon dos posibilidades: o romper el bloqueo terrestre por la fuerza, o llegar a Berlín por el aire. Se adoptó la decisión de programar una demostración técnica del poder aéreo norteamericano; a tal efecto, se organizó un gigantesco puente aéreo para abastecer la ciudad: en diciembre de 1948 se estaban transportando 4.500 toneladas diarias; en marzo de 1949, se llegó a las 8.000 toneladas, tanto como se transportaba por carretera y ferrocarril antes del corte de las comunicaciones. En la planificación de los suministros se utilizó la programación lineal. (El 12 de mayo de 1949, los soviéticos levantaron el bloqueo.)

Otras aplicaciones clásicas de la programación lineal son: • El problema de la dieta, que trata de determinar en qué cantidades hay que mezclar diferentes

piensos para que un animal reciba la alimentación necesaria a un coste mínimo. • El problema del transporte, que trata de organizar el reparto de cualquier tipo de mercancías con

un coste mínimo de tiempo, de dinero o de riesgo (piénsese en el transporte de materiales peligrosos).

• El problema de la ruta más corta (o del viajante), que ayuda a ordenar las etapas de un viaje con el propósito de minimizar el recorrido.

Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto que la programación lineal tiene una finalidad esencialmente práctica. Ése es el enfoque que queremos dar a esta unidad. resolviendo alguno de esos problemas en sus planteamientos más simples.

1 UNA ACTIVIDAD PARA EMPEZAR

El instituto prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 48 euros y el de uno pequeño, 36 euros. Calcula cuántos autocares de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica al instituto. Resolución 1 (Ensayo y error) Construimos una tabla con todas las posibilidades (teniendo en cuenta que el número de conductores no puede ser mayor de 9):

Nº de autobuses grandes

Nº de autobuses pequeños

Nº de alumnos Precio a pagar

8 0 400 8 · 48 = 384

7 2 430 7 · 48 + 2 · 36 = 408

6 3 420 6 · 48 + 3 · 36 = 396

5 4 410 5 · 48 + 4 · 36 = 384

4 5 400 4 · 48 + 5 · 36 = 372

3 6 390 No puede ser

La solución óptima sería: 5 pequeños y 4 grandes.

60

Resolución 2 (mediante estrategias propias de la programación lineal) Paso 1: Codificamos las incógnitas x: nº de autobuses pequeños, y: nº de autobuses grandes

Paso 2: Codificamos la información • El número de conductores no puede pasar de 9: x + y ≤ 9 (1)

• El número de plazas no puede ser menor de 400 : 40x + 50y ≥ 400 (2)

• El número de autobuses no puede ser negativo: x ≥ 0, y ≥ 0 (3), (4)

Nos encontramos con un sistema de inecuaciones.

Paso 3: Codificamos la función que queremos optimizar El coste ha de ser lo más económico: C(x,y) = 36x + 48y

Paso 4: Buscamos la solución del conjunto de inecuaciones

Conjunto de soluciones de la inecuación:

x + y ≤ 9 (1)

Conjunto de soluciones de la inecuación:

40x + 50y ≥ 400 (2)

Conjunto de soluciones del sistema de inecuaciones

formado por (1), (2), (3) y (4).

Paso 5: Buscamos la solución óptima Para ello, construimos esta tabla:

Vértice Función objetivo C(x,y) = 36x + 48y

A(0,8) 384

B(0,10) 480

C(5,4) 372

La solución óptima sería: 5 pequeños y 4 grandes. Comentarios Si observas con detenimiento, verás que las mayores dificultades pueden surgir en los pasos 2 y 5. En el punto siguiente te explicamos con detenimiento el proceso que llevaremos a cabo y esperamos que entiendas con más claridad los pasos a dar.

61

2 LA PROGRAMACIÓN LINEAL BIDIMENSIONAL

2.1 ¿Qué es? La programación lineal es un conjunto de técnicas matemáticas que facilitan la solución de problemas de planificación económica o social. Su objetivo básico es encontrar la solución óptima, que puede consistir en maximizar beneficios o minimizar costes empleando unos recursos limitados. Que los recursos sean limitados está en la misma naturaleza de las cosas. Tales limitaciones son las que establecen las restricciones del problema. Estas restricciones pueden darse como condiciones, posibilidades o necesidades máximas o mínimas. Ha de quedar claro que cuando hablamos de beneficios y costes no estamos hablando exclusivamente en clave económica. Puede tratarse de maximizar o minimizar un beneficio de tipo social cómo pueden ser el número de pacientes a atender o el tiempo de espera de trenes.

2.2 Los pasos a dar mediante un ejemplo En los problemas de programación con dos variables, nuestra intención es siempre optimizar (bien sea maximizar o minimizar) una función sujeta a un conjunto de restricciones. Los pasos más habituales para resolver este tipo de problemas son: Vamos a ir viendo todas las etapas mencionadas a través de un ejemplo:

Un vendedor de libros usados tiene 180 libros de la editorial A y 160 de la editorial B con los que decide hacer dos tipos de lotes, el lote económico con tres libros de la editorial A y uno de la editorial B que venderá a 10 euros, y el lote selecto con un libro de la editorial A y dos de la editorial B, que venderá a 18 euros. Deducir razonadamente cuántos lotes debe hacer de cada tipo para maximizar sus ingresos al vender todos los lotes. 1. Identificamos las variables (incógnitas) del problema.

x: Número de lotes del tipo económico y: Números de lotes del tipo selecto

2. Creamos una tabla que resuma toda la información facilitada. (Éste suele el paso más difícil)

Nº de lotes del tipo:

Nº de libros de la editorial A

Nº de libros de la editorial B

Económico x 3x x

Selecto y y 2y

Total x + y 3x + y x + 2y

3. Establecemos la función objetivo lineal que deberemos maximizar o minimizar. En este caso son los ingresos:

B(x, y) = 10x + 18y

4. Expresamos las restricciones o limitaciones que da el problema, mediante un sistema de desigualdades (inecuaciones) relativo a las variables que aparecen en la tabla anterior

Número de libros de la editorial A: 3x + y ≤ 180

Número de libros de la editorial B: x + 2y ≤ 160

Número de lotes: x ≥ 0

y ≥ 0

62

5. Resolvemos el sistema de inecuaciones, determinando el denominado conjunto o región factible y los vértices de este conjunto (Este paso lo hemos desarrollado suficientemente en el tema anterior).

6. Buscamos la solución óptima e interpretamos los resultados.

Pero, ¿cuál es la solución óptima?

2.3 La solución óptima de un problema de programación lineal Para encontrar la/s solución/es óptima/s, se pueden empelar diferentes procedimientos: método simplex, rectas de nivel (lo puedes leer más adelante), ... Nosotros te proponemos como método más práctico aplicar el siguiente teorema (su demostración excede de los contenidos de este curso):

“Si un problema de programación lineal tiene solución, ésta debe estar en uno de los vértices de la región factible”. Si retomamos nuestro problema de los lotes de libros. Buscamos la solución óptima e interpretamos los resultados.

Construimos esta tabla: Vértice Función objetivo

B(x, y) = 10x + 18y

A(0,0) 0

B(0,80) 1440

C(40,60) 1480

D(60,0) 600

La solución óptima es: 40 lotes económicos, 60 lotes selectos.

63

2.4 Formulación standard de un problema de programación lineal Un problema de programación lineal, para dos variables, se presenta de alguna de las dos formas siguientes:

I. Maximizar la función: f(x, y) = ax + by + c Restringida por: alx + bly ≤ c1

a2x + b2y ≤ c2

………….. an + bny ≤ cn

II. Minimizar la función: f(x, y) = ax + by + c Restringida por: alx + bly ≥ c1

a2x + b2y ≥ c2

………….. an + bny ≥ cn

2.5 Conceptos utilizados en este tema Función objetivo A la función f(x, y) = ax + by + c que hay que optimizar se la llama función objetivo. También puede denotarse por z = ax + by + c, o simplemente por ax + by + c. En esa expresión, x e y son las variables que intervienen en el problema, mientras que a, b y c son constantes que indican qué relación hay que establecer entre ellas para conseguir el objetivo deseado: tanto c como a y b pueden ser cero.

Conjunto de restricciones En el enunciado de cada problema aparecen unas restricciones que se transforman en un sistema de desigualdades, siendo éste el conjunto de restricciones. Las restricciones deben ser inecuaciones lineales. Su número depende del problema en cuestión. El carácter de desigualdad viene impuesto por las limitaciones, disponibilidades o necesidades, que son: inferiores a ... (menores: < o ≤); como mínimo de ... (mayores: > o ≥). Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dos sentidos (≤ y ≥); los coeficientes ai, bi y ci pueden ser cero.

Región o conjunto factible Al representar gráficamente el conjunto de restricciones en R2, nos da una región del plano en forma de línea poligonal (si es que hay solución) que denominamos conjunto factible. Todo punto de ese conjunto puede ser solución del problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no puede ser solución.

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Tipos de conjunto factible

Conjunto vacío

Conjunto no vacío, acotado y convexo (*)

Conjunto no vacío, no acotado y convexo

(*) Un conjunto se dice convexo si para cualquier par de puntos a, b del conjunto, el segmento de

extremos a, b tiene todos los puntos dentro del conjunto.

Solución óptima La solución óptima del problema será un par de valores (x1, y1) del conjunto factible que haga que f(x, y) tome el valor máximo o mínimo.

3 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON DOS VARIABLES

Esperamos que hayas entendido con bastante claridad el proceso que se sigue para resolver un problema de programación lineal con dos variables; pero, cuando te enfrentes a diferentes situaciones es posible que encuentres diferentes dificultades, sobre todo en lo referente a la traducción a inecuaciones de las restricciones del problema. Has de tener en cuenta que no siempre aparecerán frases tan claras como “ha de ser menor”, “ha de ser mayor que” ...

Conviene que intentes resolver los problemas que se desarrollan en este punto antes de leerlos. Has de tener en cuenta que al haberse desarrollado con detenimiento alguno de los pasos en puntos anteriores la resolución está bastante resumida.

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3.1 Máximo beneficio Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 200 euros y 150 euros para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. de acero y 3 de aluminio y para la de montaña 2 kg. de los dos metales. • ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá? Resolución

x: nº de bicicletas de paseo y: nº de bicicletas de montaña

Función objetivo: B(x,y) = 200x + 150y

Restricciones: Acero: x + 2y ≤ 80

Aluminio: 3x + 2y ≤ 120

x ≥ 0, y ≥ 0

Vértices: A(0,0), B(0,40), C(20,30), D(40,0) Solución óptima: C(20,30); en este punto la función objetivo vale 8500.

3.2 Mínimo coste En una empresa informática se ha de contratar un máximo de 60 horas de cálculo. La hora de cálculo en alta precisión cuesta 50 euros y la hora de cálculo en baja precisión cuesta 30 euros. La empresa exige contratar un mínimo de 36 horas, y sólo permite contratar 24 horas de alta precisión como máximo. • ¿De qué forma debemos hacer el contrato para que el coste sea mínimo, sabiendo que debemos

contratar como mínimo 12 horas de alta precisión. Resolución

x: nº de horas de alta precisión y: nº de horas de baja precisión

Función objetivo: C(x,y) = 50x + 30y

Restricciones: x + y ≤ 60

x + y ≥ 36

12 ≤ x ≤ 24

x ≥ 0, y ≥ 0

Solución óptima: A(12,24) para el que la función objetivo vale 1320.

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3.3 Máximo beneficio, mínimo coste Una residencia para la 3ª edad ha programado un viaje al que se han apuntado 300 personas. La empresa de transporte con la que lo han contratado dispone de 6 microbuses de 30 plazas y 18 autobuses de 50 plazas, pero no dispone más que de 8 conductores para dar el servicio. El precio de un microbús es de 240 euros y el de un autobús de 400 euros. a) ¿Cuántos vehículos de cada tipo se deberán alquilar para que el viaje resulte más económico? b) ¿Y cuántos harían falta para que la empresa de transporte obtuviese el máximo beneficio? Resolución

x: nº de microbuses, y: nº de autobuses

Función objetivo: B(x,y) = 240x + 400y

Restricciones: Plazas: 30x +50y ≥ 300 Conductores: x + y ≤ 8 Vehículos: x ≤ 6 , y ≤ 18 x ≥ 0, y ≥ 0

Vértices: A(0,6), B(0,8), C(5,3) Soluciones: Los beneficios son: 240, 400, 240. Para la residencia, todos los puntos del segmento AC, pero sólo tienen coordenadas enteras A y C. Para la empresa es mejor la solución B.

3.4 La solución no es entera Han encargado a una empresa constructora que asfalte toda la carretera posible desde Aire hasta Agua. Esta empresa trabaja con dos tipos de asfalto: NORMAL: Llevan una capa de hormigón y una capa de polvo asfáltico. SUPERIOR: Llevan una capa de hormigón y tres capas de polvo asfáltico. La empresa dispone de hormigón para 20 000 m2, polvo asfáltico para 40 000 m2. Se obtienen unas ganancias de 10 euros/m2 por el asfalto normal y 40 euros/m2 por el asfalto superior. • ¿Qué cantidad de asfalto de cada tipo les conviene poner para que sus ganancias sean

máximas? Resolución

x nº de m2 de asfalto normal, y: nº de m2 de asfalto superior Función objetivo:

B(x,y) = 10x + 40y Restricciones:

Hormigón: x + y ≤ 20000 Polvo asfáltico: x + 3y ≤ 40000 x ≥ 0, y ≥ 0

Vértices: A(10,10), B(20,0), C(0,0), D((0,13333’33)

Solución: En este caso tiene sentido la solución óptima decimal: (0, 40000/3), para la que la función objetivo es 533’333.

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4 TIPOS DE SOLUCIONES QUE PUEDEN PRESENTARSE EN UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL

En el punto anterior hemos visto diferentes situaciones en las que ha habido que optimizar (siempre dentro de un contexto). En este punto vamos a trabajar también en diferentes situaciones, pero siempre teóricas; aprovecharemos este punto para ver con estos casos los tipos de soluciones que pueden presentarse al resolver problemas de programación lineal. Pueden surgir situaciones: - Sin solución (porque la región factible es no acotada o porque no hay región factible). - Con solución única (la región factible puede ser acotada o no acotada, también se puede

presentar el caso de ser una solución degenerada). - Con infinitas soluciones (la región factible puede ser acotada o no acotada).

Nota: Puede haber problemas en los que la solución matemática no sea un valor entero, pero la solución real deba serlo.

4.1 Con solución única (en una región factible acotada) Representa gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las siguientes inecuaciones lineales:

{4x + 5y ≤ 20, 2x + y ≥ 2, x ≤ 3, x ≥ 0, y ≥ 0}

Halla el máximo y el mínimo de F(x,y) = x – 5y, sujeto a las restricciones del apartado anterior. Resolución

Vértices Función objetivo F(x,y) = x – 5y

A(0,2) B(0.4)

C(3,8/5) D(3,0)

E(1,0)

–10 –20 (mínimo)

–5 3 (máximo)

1

4.2 Con solución única (en una región factible no acotada) Representa gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las siguientes inecuaciones lineales:

{x + y ≥ 3, x + 2y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}

Halla el mínimo de z = 5x + 3y, sujeto a las restricciones del apartado anterior. Resolución

Vértices Función objetivo F(x,y) = 5x + 3y

A(0,3) B(2,1)

C(4,0)

9 (mínimo) 13

20

68

4.3 Con infinitas soluciones

Tenemos la función z = en el conjunto

{x ≥ 0, y ≥ 0 , 3x + 2y – 2 ≥ 0, 3x + 4y – 12 ≤ 0}

Comprobar que esta función alcanza su valor mínimo en más de un punto. Resolución

Vértices Función objetivo

z =

A(0,1) B(0,3)

C(4,0) D(2/3,0)

1 3

6 1

La función alcanza su mínimo en dos vértices de la región factible, A y D; por tanto, alcanza su mínimo en todos los puntos del segmento que une dichos puntos.

4.4 Sin solución Representa la región del plano delimitada por:

{x + 2y ≥ 4; 4x + 3y ≥ 12; x ≥ 0; y ≥ 0}

¿Es posible maximizar y minimizar la función z = 5x + 15y en ella? Resolución

Vértices Función objetivo F(x,y) = 4x + 3y

A(0,4)

B(12/5,4/5) C(4,0)

60

24 20

La función toma el valor mínimo en C(4,0) y es 20; pero no toma ningún valor máximo, ya que la región factible es abierta y siempre podemos encontrar un mayor valor.

Por ejemplo, si D(3,4), F(3,4) = 75

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Actividades propuestas 1. Laura dispone de 120 euros para comprarse libros y CD. En la tienda donde acude, el precio de

los libros es de 4 euros y el de los CD es de 12 euros. Suponiendo que desea comprar como mucho doble número de libros que de CD, se pide: a) Contestar razonadamente si puede comprar 12 libros y 6 CD. En caso afirmativo, indicar si

gasta todo su presupuesto. b) ¿Puede adquirir l5 libros y 5 CD?

c) Formular el problema y representarlo gráficamente. 2. En los “Juegos para la igualdad” se han apuntado 120 chicos y 108 chicas. El Ayuntamiento

subvenciona con 180 euros cada equipo de baloncesto formado por 5 chicos y 6 animadoras, y con 200 euros cada equipo de voleibol, formado por 6 chicas y 8 animadores.

¿Cuántos equipos de cada deporte conviene formar para conseguir la máxima subvención? 3. Un fabricante de aviones produce en dos fábricas dos tipos de aparatos: el A y el B. Se ha

comprometido a entregar semanalmente a un emirato árabe 12 aviones del tipo A y 8 del tipo B. Al fabricante le cuesta 20.000 euros diarios el funcionamiento de la primera fábrica y 16.000 el de la segunda. La primera fábrica produce, en un día, 6 aviones del tipo A y 2 del tipo B mientras que la segunda produce, respectivamente, 2 y 2.

¿Cuántos días por semana debe trabajar cada fábrica para, cumpliendo el contrato con el emir, conseguir reducir al máximo los costos de funcionamiento de las fábricas?

4. Una fábrica construye soldados y trenes de madera. El precio de venta al público de un soldado es de 27 euros, mientras que el de un tren es de 21 euros. La empresa estima que fabricar cada soldado le supone un gasto de 10 euros en materias primas y de 14 euros en costes laborales. Fabricar un tren exige 9 euros en materias primas y 10 euros en costes laborales.

La construcción de ambos tipos de juguetes requiere un trabajo previo de carpintería y un proceso final de acabado (pintura, revisión de las piezas fabricadas, empaquetado, etc.). Para fabricar un soldado se necesita 1 hora de carpintería y 2 horas para los trabajos finales de acabado. Un tren necesita 1 hora de carpintería y 1 hora para el proceso final de acabado. La fábrica no tiene problemas de abastecimiento de materias primas, pero sólo puede contar semanalmente con un máximo de 80 horas de carpintería y un máximo de 100 horas para los trabajos de acabado. Por exigencias del mercado, sólo se fabrican como máximo 40 soldados a la semana. No ocurre así con los trenes, para los que no hay ningún tipo de restricción en cuanto al número de unidades fabricadas. Obtén el número de soldados y de trenes que semanalmente deberá fabricar la empresa para maximizar sus beneficios.

5. Una persona está preocupada porque en un análisis se le ha detectado que tiene un problema con las calorías que consume y con la falta de calcio. Se ha confeccionado un menú diario. Como ejemplo el lunes comerá espinacas y sardinas, ya que ha leído que 100 gramos de espinacas proporcionan sólo 25 calorías y contienen 80 mg de calcio, mientras que 100 gramos de sardinas proporcionan 160 calorías y contienen 100 mg de calcio. Eso sí, ha de cumplir los siguientes requisitos: − Ha de comer más espinacas que sardinas. − Ha de comer menos de 200 gramos de espinacas. − No ha de comer más de 300 gramos ni menos de 100 gramos en total.

¿Qué cantidad ha de comer de cada alimento para consumir el menor número de calorías? ¿Y para conseguir la mayor cantidad de calcio?

70

6. En una campaña de rebajas, los responsables municipales de comercio han dictado una serie de normas: − El número de artículos que se rebajan ha de ser más del doble que el número de artículos no

rebajados. − El número total de artículos puestos a la venta no ha de superar los 3.000.

− El número de artículos rebajados ha de ser, al menos de 500. Si una tienda del centro gana por término medio 200 euros en cada artículo no rebajado y, sin embargo, pierde por término medio 50 euros por cada artículo rebajado, ¿cuántos artículos de cada tipo de interesa sacar a la venta para obtener las mayores ganancias?. ¿O perderá dinero?

7. Un aeropuerto contrata a una compañía de microbuses para trasladar a los viajeros de forma gratuita desde la ciudad a la terminal de pasajeros. La compañía dispone de dos tipos de microbuses pequeños y grandes, y ha de transportar 100 pasajeros al aeropuerto. Está claro que quiere realizar el transporte con el menor coste posible. Tenemos los siguientes datos:

Tipo de microbuses G P

Microbuses disponibles 6 10

Capacidad (personas) 15 5

Precio por viaje (en euros) que cobra al aeropuerto 24 18

a) Calcula el número posible de microbuses de cada tipo que puede utilizar.

b) Calcula el número de cada tipo para obtener el coste mínimo. Halla dicho coste mínimo. 8. A una persona le tocan 10 millones en la lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de

acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo, pero producen un beneficio del 10% anual. Las del tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual.

Después de pensarlo mucho, decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y, por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B: Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir los 10 millones para que el beneficio anual sea máximo?

9. Representa la región del plano delimitada por:

{x + 2y ≥ 6, 3x + 2y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0}

¿Es posible optimizar la función z = 4x + 3y en dicha región?

10. Dibuja la región factible solución de:

{x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 40, x – y ≤ 20}

Encuentra las soluciones que maximizan la función: G(x,y) = 100x + 250y en la región anterior.

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5 RESOLUCIÓN GRÁFICA DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL: RECTAS DE NIVEL (LECTURA)

Localización de las soluciones en un problema de programación lineal con dos variables: • Si hay región factible y es acotada, la solución se encuentra en uno de los vértices de la región

factible (puede ser máximo o mínimo) o a lo largo de todo un lado del polígono.

Basta con calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible. Si se obtiene el valor máximo (o mínimo) en un solo vértice, éste nos da la solución; si se obtienen valores iguales en dos vértices consecutivos, la solución viene dada por todos los puntos del segmento comprendido entre ambos.

• Si la región factible no es acotada, no siempre se encontrará solución, pero en caso de existir, estará en uno de los vértices del polígono o a lo largo de todo un lado.

Fíjate bien en que no basta con saber cuál es el valor de la función objetivo en cada vértice, pues puede no haber solución.

Para decidir si existe o no solución, debemos estudiar la pendiente de la llamada “recta de nivel” en relación con la región factible. Veamos dos ejemplos:

Ejemplo 1: Restricciones: Función objetivo:

(1) x ≥ 0 z = 2x + y (2) y ≥ 0 (3) x + y ≥ 10 (4) x + 2y ≥ 15

La recta de nivel se obtiene considerando “z” constante en la función objetivo y despejando la variable “y”. Su ecuación es:

y = −2x + z

El mayor (menor) valor de z se obtendrá cuando la ordenada en el origen sea lo mayor (menor) posible; o sea, cuando la recta esté lo más “arriba” (“abajo”) posible, pero tocando la región factible. Al ser la pendiente negativa, si miras el dibujo verás que el problema de maximizar no tiene solución, pues la recta puede estar tan arriba como se desee. Sí tiene solución la minimización, y dicha solución se encontrará en el borde de la región factible; en el dibujo puedes ver que la solución es (0,10), pero basta con calcular los valores de la función objetivo en los vértices:

z (0,10) = 10 z (5,5) = 15 z (15,0) = 30

Es importante tener claro que en (15,0) no tenemos la solución que maximiza la función objetivo.

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Ejemplo 2: Restricciones: Función objetivo: (1) x ≥ 0 z = 2x − y (2) y ≥ 0 (3) x + y ≥ 10 (4) x + 2y ≥ 15

Al ser ahora positiva la pendiente de la recta de nivel, no tiene solución ni el problema de maximización ni el de minimización, pues la recta puede situarse tan arriba o tan abajo como queramos sin dejar de tener puntos en la región factible:

6 LA PROGRAMACIÓN LINEAL Y LOS PROBLEMAS DE TRANSPORTE (LECTURA)

Una empresa láctea posee dos embotelladoras A y B. En ellas se envasan 300.000 y 200.000 litros diarios, respectivamente. La leche se distribuye a tres centros en las poblaciones de Madrid, Barcelona y Sevilla que necesitan 250.000, 150.000 y 100.000 litros respectivamente. Los costos de transporte de cada litro de leche desde cada embotelladora a cada ciudad son (en céntimos de euro)

A Madrid A Barcelona A Sevilla

Desde A Coruña 5 10 15

Desde Burgos 3 7 15

¿Cuántos litros deben llevarse desde cada embotelladora a cada ciudad para que el gasto de transporte sea mínimo?

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Resolución • La primera decisión que debemos tomar es codificar las incógnitas que intervienen. Siempre

conviene construir una tabla como ésta:

Nº de litros A Madrid A Barcelona A Sevilla

Desde A Coruña x y 300000 – x – y

Desde Burgos 250000 – x 150000 – y x + y – 200000

• Las restricciones siempre surgen de imponer la condición de que las cantidades de cada celda sean ≥ 0. En nuestro caso:

x + y ≤ 300000, x + y ≥ 200000, x ≤ 250000, y ≤ 150000, x ≥ 0, y ≥ 0

• La función objetivo suele ser un poco pesada de construir; en esta actividad es:

C(x,y) = 5x + 3(250000–x) + 10y + 7(150000 – y) + 15(300000–x–y) + 15(x+y–200000) C(x,y) = 2x +3y + 3300000

• La región factible siempre nos dará un polígono con dos lados paralelos. Aquí, tendremos:

• Los vértices de la región factible y los valores respectivos de la función objetivo son:

Vértices Función objetivo A(50000,150000) 3850000

B(150000,150000) 4050000 C(250000,50000) 4950000

D(250000,0) 3800000 E(200000,0) 3700000 • La solución óptima es el punto E(200000,0) que dará lugar a esta distribución:

Nº de litros A Madrid A Barcelona A Sevilla

Desde A Coruña 200.000 0 100.000

Desde Burgos 50.000 150.000 0

Y el coste mínimo es: 37000 euros.

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ANEXO I: ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN (ÁLGEBRA LINEAL) 1. Supón una cadena alimenticia formada por:

• Cuatro vegetales: muérdago (M), tomillo (T), romero (R) e hinojo (H). • Tres animales herbívoros: conejo (C), ratón (R) y pollo (P). • Cuatro “animales” carnívoros: zorro (Z), águila (A), gato montés (G) y hombre (H).

Para poder hacer un estudio riguroso, durante un mes se ha estudiado la cantidad, por término medio, de vegetales (en Kgs) que consumen diariamente los herbívoros así como la cantidad de herbívoros (en unidades) que consumen los carnívoros. Los resultados del seguimiento son:

M T R H C R P

C 1’5 0'5 2 2’5 Z 1 1’5 2 R 2 0 1’5 1 A 1 3 3 P 2’5 3’5 1 2 G 3 2’5 1’5 H 2 0 3’5

Teniendo en cuenta que el peligro está en los vegetales ya que estaban en contacto con el lodo, ¿qué cantidad de cada vegetal consume indirectamente cada uno de los carnívoros?

2. Una fábrica saca al mercado diariamente 50 turismos para la exportación y 20 para el mercado interior; fabrica también diariamente 30 furgonetas para la exportación y 40 para el mercado interior. Los vehículos dedicados a la exportación llevan 2 “airbag” y 10 fusibles, mientras que los que se destinan al mercado interior tienen un “airbag” y 6 fusibles.

a) Expresar esta información en forma matricial. b) ¿Cuál es el número de fusibles que se precisan al día para las furgonetas?

c) ¿Cuántos fusibles se necesitan diariamente? d) ¿Cuántos airbags se necesitan al día para equipar los turismos fabricados por la fábrica?

3. En la tabla siguiente se indica la audiencia televisiva prevista (en miles de personas) por tres cadenas de televisión (A, B y C) en determinada semana y tres segmentos horarios:

A B C

Mañana 40 60 150

Tarde 60 50 20

Noche 150 90 70

Sin embargo, como consecuencia de la calidad de los programas emitidos, se ha producido en la audiencia prevista (en todos los segmentos horarios) una reducción de un 10% en la cadena A, una reducción de un 5% en la cadena B y un aumento de un 20% en la cadena C.

a) Obtén la matriz que expresa la audiencia real obtenida por dichas cadenas de televisión. b) Sabiendo que el beneficio publicitario estimado por espectador es de 5 € por la mañana, 7

por la tarde y 10 por la noche, obtén los beneficios para cada una de las tres cadenas.

4. Un tren transporta 500 viajeros y la recaudación del importe de sus billetes asciende a 3.525 €. Calcular cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que vale 15 €, cuántos han pagado el 20% del billete y cuántos el 50%, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 20% es el doble del número de viajeros que paga el billete entero.

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5. La Consejería de Sanidad de una Comunidad Autónoma, nos pide que hagamos un estudiosobre los hábitos de los fumadores para poner en marcha una campaña de prevención. Hacemosel estudio tomando como muestra una población de 10.000 personas que se agrupa como sigue:5.000 no fumadores, 3000 fumadores de una cajetilla o menos al día y 2.000 fumadores de másde una cajetilla diaria.

En un mes cualquiera existe el 5 % de probabilidad de que un no fumador comience a fumar unacajetilla o menos al día y un 2 % de probabilidad de que un no fumador comience a fumar másde una cajetilla diaria. Para los que fuman una cajetilla o menos al día, existe un 10 % deprobabilidad de dejar de fumar y un 10 % de probabilidad de aumentar a más de una cajetilladiaria. Para los que fuman más de una cajetilla diaria, existe un 5 % de probabilidad de dejar defumar y un 10 % de probabilidad de disminuir a una cajetilla o menos al día.

a) Dibuja un grafo que represente esta situación.b) ¿Cuántas personas estarán en cada grupo dentro de un mes? ¿Y en dos meses?

6. Un país importa petróleo de tres clases (normal. extra y súper), procedente de los países A, B yC. En la siguiente tabla se indica la cantidad de barriles (en miles) importados de cada país y elimporte de la respectiva factura pagada (en miles de euros). Halla el precio por barril de cadaclase de petróleo.

Normal Extra Súper Importe total

A 25 5 5 675

B 10 30 2 830

C 10 8 16 740

7. En una excavación arqueológica se han encontrado punzones, monedas y pendientes. Unpunzón, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Se pesan luego 4punzones, 3 monedas y 2 pendientes, arrojando un resultado de 90 gramos. El peso de una piezadeforme irreconocible es de 18 gramos. ¿Qué es, un punzón, una moneda o un pendiente?

8. En la tienda “El As de Oros” se pueden comprar los artículos A, B y C por un total de 10 €.También por 10 € se pueden comprar los artículos A, B y C en la tienda “El As de Copas”, sibien en esta tienda los artículos A y B son un 10% más caros que en la tienda “El As de Oros”,en tanto que el artículo C es un 10% más barato en “El As de Copas” que en “El As de Oros”.a) ¿Cuál es el precio del artículo C en “El As de Oros”?

b) ¿Cuánto cuesta comprar los artículos A y B en “El As de Copas”?9. En una granja se quieren plantar dos tipos de cultivo, algodón y soja. Cada Ha de algodón A

supone unos gastos de 360 € y cada Ha de soja, 180 €. El algodón supone 3 días de trabajo porcada Ha, mientras que para la soja hacen falta cuatro días por Ha. En la granja se dispone de10.800 € para invertir en el terreno y cuenta con obtener unos beneficios de 1.800 € por Hacultivada de algodón y 900 € por Ha de soja.Si en la granja sólo se puede trabajar en estos cultivos durante 120 días como máximo al año,¿qué superficie se ha de dedicar a cada tipo de cultivo para poder obtener un beneficio máximo?

10. Un fisioterapeuta recomienda a una persona a la que acaban de operar del menisco derecho quehaga como mínimo 90 flexiones con la pierna operada y 80 con la pierna “sana” para evitarproblemas futuros. Para ello le indica dos ejercicios distintos que irá haciendo según su criterio:el A que consiste en 10 flexiones con la pierna derecha y 8 con la pierna izquierda, y el B, con15 de pierna derecha y 16 de pierna izquierda.

Si el tiempo necesario para cada ejercicio es de 12 y 8 minutos, ¿cuántas veces debe repetir cadaejercicio para dedicar a rehabilitación el menor tiempo posible?

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11. Una compañía aérea tiene dos modelos de avión (Airbús y Boeing) para cubrir un determinadotrayecto. El avión Airbús debe hacer más veces el trayecto que el Boeing pero no puedesobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos pero no más de 200.

En cada vuelo un Airbús consume 900 litros de combustible y el Boeing 700 litros En cada viajedel avión Airbús la empresa gana 3.000 € y 2.000 por cada viaje del Boeing.a) ¿Cuántos viajes debe hacer cada avión para obtener el máximo de ganancias?b) ¿Cuantos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo de combustible sea mínimo?

12. La tabla muestra las unidades de nitrógeno (N) y de fósforo (P) que contiene cada kilo de losabonos A y B.

N P

A 1 3

B 3 1

Se desea obtener un abono que, como mínimo contenga 12 unidades de N y 12 de P. El precio de A es de 10 euros/kg y el de B es de 20 euros /kg.

• Calcula las cantidades que deben comprarse de A y B para satisfacer las necesidadesminimizando el costo.

13. Ejercicios para practicar

a) Halla la inversa de la matriz de los coeficientes del sistema

Resuelve el anterior sistema de ecuaciones utilizando la matriz inversa hallada.

b) Completa :

c) Dadas las matrices: , calcula A·B, A2 , B2 , (A + B)2.

d) Encontrar una matriz X que verifique X – B2 = A·B, siendo:

e) Dada la matriz , calcula A2 , A3 .

f) Resuelve, si es posible, los sistemas:

i) ii)

iii) iv)

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