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1

Metales

Conductores

Materiales

Eléctricos

+

-

ETOTAL

r

n = 5

n = 4

n = 3

n = 2

n = 1

Bandas de Energía

Materiales Eléctricos

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2

++++

E x

n = 5

n = 4

n = 3

n = 2

n = 1

Materiales Eléctricos

Banda de

Conducción

Materiales Eléctricos

Banda de

Conducción

En la Banda de Conducción los electrones pueden moverse libremente,

que seria análogo a moverse libremente dentro del metal, pero no

pueden escapar mas allá de su superficie por que inducirá una carga

positiva en dicha superficie por que el metal era inicialmente neutro

«L»

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3

22

nr

Materiales Eléctricos

Si aplicamos la Mecánica cuántica a la

Banda de Conducción las ondas de De

Broglie asociadas a los electrones deben

cumplir con la condición que debe

entrar un numero entero en la longitud

«L» del metal como sucede en los

orbitales atómicos

dimensión unaen 2

nL

dimensión unaen 222 L

nhp

p

nhnL

2

2222

822

1

mL

hn

m

pmvE

En las 3 dimensiones

Aplicando la ecuación de Schröedinger al

modelo energético, tenemos:

N(E) densidad de estados (número de

estados por electrón volt y por metro

cúbico)

Materiales Eléctricos

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4

2

1

2

1

2

3

192

3

3*)10*6,1()2(

4)( EEm

nEN

N(E)

E

E

N(E)

Materiales Eléctricos

¿Como se ocupan estos estados con electrones ?

Primeros los de menor energía

¿Hasta que nivel energético se ocupan?)

La respuesta nos da la Mecánica Estadística:

F(E) es la probabilidad de que un estado cuántico de

energía “E” esté ocupado por un electrón. Es la función

de Fermi Dirac

Materiales Eléctricos

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5

Materiales Eléctricos

Función de FERMI DIRAC

1

1)(

/)(

kTEE Fe

Ef

-1 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 1E-EF

E<<EF E>>EF

T=0°K

T=300°K

F(E)

Materiales Eléctricos

Función de FERMI DIRAC

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Materiales Eléctricos

Función de FERMI DIRAC

Conductor Semiconductor

Materiales Eléctricos

)()()( EfENE

N(E)

ρ(E)

Nivel de Fermi

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Materiales Eléctricos

)()()( EfENE )(2

1

EfE

Para calcular el numero de electrones libres por m3,

en el metal: es el área bajo0 la curva (ρ(E))

2

3

0

2

1

03

2)( f

EfE

EdEEdEEn

2

3

2

3

nEf

Conociendo la densidad y el

numero de electrones libres por

átomo, se puede calcular Ef

Materiales Eléctricos

METAL

Ew

0

Energía

Función Trabajo

Ew: Función Trabajo, es la energía

necesaria para extraer un electrón del

metal.

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8

Materiales Eléctricos

Ejemplo

Encontrar la energia del Nivel de FERMI en el Cobre. Suponer un electron

libre por atom, por que su configuracion electronica termina en 4s1

La densidad del Cu is 8.94x103 kg/m3 y su masa atomica es 63.5 u.

Solution

La densidad de electrones N/V en Cu es el N° de Atomos de Cu por unidad

de Volumen. Como en 1 u = 1.66x1027 kg N° de Avogadro

La Energia de Fermi sera:EF= 7.04 eV

328328

27-

333

3

/melectrones x108.48atom/m x108.48

kg/u) 10 (1.66 x u) (63.5

kg/m 10 x 8.94

/

/

V

N

atommasa

mmasa

m

atom

Materiales Eléctricos

Mecanismo de ConducciónRepaso

Ley de Ohm Macroscópica: IRV

Ley de Ohm Microscópica:

A

I

L

VE

A

LIIRV

..

A

vd

L

EJJE Ley de Ohm Microscópica: La densidad de Corriente es

proporcional al campo Eléctrico por medio de la

conductividad

Donde es la resistividad y es la conductividad del material

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Materiales Eléctricos

Mecanismo de ConducciónRepaso

Ley de Ohm Macroscópica: IRV

Ley de Ohm Microscópica:

A

vd

L

JE

Donde N es el numero total de electrones en el volumen AL

n es la concentración de electrones [1/cm3] y vd es la velocidad

de deriva o velocidad promedio a la que cruzan la sección

transversal A

dnqvt

Lnq

ALt

NqL

At

NqJ

A

I

t

NqI

Analizando mas en detalle la corriente I:

Materiales Eléctricos

Mecanismo de ConducciónLa Conductibilidad: depende del material con el que esta

construido el conductor (Cobre, plata, Aluminio etc)

Material ρΩm (/α)/°C

Plata 1,62*10-84,1*10-3 PTC

Cobre 1,69*10-8 4,3*10-3 PTC

Aluminio 2,75*10-8 4,4*10-3 PTC

Platino 10,6*10-8 3,9*10-3 PTC

Hierro 9,68*10-8 6,5*10-3 PTC

Silicio

Intrínseco2,5*103 -70*10-3 NTC

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Materiales Eléctricos

Coeficiente de Temperatura)(

)(1

1

TTdT

d

Como puede observarse en la tabla anterior todos los metales

conductores tienen coeficiente de temperatura, α [1/°C]

positivo son PTC (Positive Temperature Coefficient) o sea que

aumenta la resistencia con el aumento de la temperatura.

El porque de esto se justifica mas adelante.

Mecanismo de Conducción

Dependencia con la temperatura

Materiales Eléctricos

Mecanismo de Conducción

Dependencia con la temperatura

Como puede observarse en la grafica en todos los metales

conductores la resistividad aumenta con la temperatura.

A la Conductividad Térmica le pasa lo mismo

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Materiales Eléctricos

Mecanismo de Conducción

• Representación esquemática del modelo de un metal

compuesto por los iones fijos positivos (red cristalina) y la

nube de electrones libres. Todo en un plano bidimensional.

• Los iones fijos vibran alrededor de su posición de equilibrio

por la acción de la temperatura

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

Materiales Eléctricos

• Los electrones se mueven por la acción de las fuerzas

Coulombianas en forma aleatoria chocando contra la

estructura cristalina.

• En este movimiento aleatorio los electrones recorren un

camino promedio llamado λ comino libre medio entre

choques.

• También demoran un tiempo promedio entre choque llamado

τ tiempo medio entre choques.

• La velocidad promedio con la que se mueven los electrones es

v llamada velocidad media entre choque y choque.

• En este movimiento aleatorio de los electrones no hay un

desplazamiento neto en alguna dirección del espacio.

• Los choques entre electrones no tiene peso por que son muy

poco probables.

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Materiales Eléctricos

x

E

Representando este movimiento de los electrones chocando con la red

cristalina:

av τ es el tiempo entre choque

y choque, entonces :

v

Clm

v

Si aplicamos una tensión que se manifiesta por un campo eléctrico

Aparece una fuerza sobre los electrones

m

qEaqEF

Que genera una componente en la

dirección del campo en el

movimiento de los electrones

Ahora aparece un desplazamiento neto

en el movimiento aleatorio de los

electrones en la dirección del campo pero

en el sentido contrario x que origina vd

Materiales Eléctricos

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Materiales Eléctricos

EJ

x

E

m

qEaqEF

Em

qtt

m

qEatvd

Em

qtt

m

qEvd

MovilidadE

vEv

dd

Definimos la MOVILIDAD como:

E

vd

Materiales Eléctricos

EJ

x

E

m

qEaqEF

Em

qtt

m

qEatvd

Em

qtt

m

qEvd

MovilidadE

vEv

dd

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Materiales Eléctricos

dd nqvJvLA

Nq

A

I

t

NqI

Movilidad

E

vEv

Em

qtt

m

qEv

qnvJ

EJ

dd

d

d

EEm

ntqJ

2

EqnJ

A

vd

L

Materiales Eléctricos

dd nqvJvLA

Nq

A

I

t

NqI

Em

nqE

m

ntqEJ

22

EqnJ

A

vd

L

fsegpsegxxCxm

Kgx21021.0101.2

)1069.1()106.1)(10(

101.9 13

8219328

31

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Materiales Eléctricos

τ puede ser del orden de 10-14 seg

λ puede ser del orden de 10-8 m

vd puede ser del orden de 10-5 m/seg

/v puede ser del orden de 106 m/seg

Linealidad de la Ley de Ohm

I

V

1/R

vd

E

Evd Se basa en que:

: Movilidad

Materiales Eléctricos

Ecuación balanceada para la energía de los electrones:

En el estado estacionario:

En los modelos continuos, asumimos que la dispersión de electrones es

suficientemente rápido que toda la energía lanzada a los electrones

es al azar, toda la energía adicional se pierde como calor.

Cómo relacionamos y T?

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Materiales Eléctricos

El teorema de equipartición de estados de energía que las moléculas dice

que en equilibrio térmico tienen la misma energía media asociada con

cada grado de libertad independiente de su movimiento.

De esta manera con esta teoría simple, y T son proporcionales entre sí.

Materiales Eléctricos

Calor Específico y Capacidad Calorífica

Nuevamente suponemos que el calor y el cambio de energía interna son los

mismos:

Capacidad Calorífica

Tomar volumen constante.

Calor Específico

El calor específico es independiente de la

temperatura. Ley de Dulong y Petit