material curso ingenieria economica

ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES, ECONMICAS Y DE NEGOCIOS

Ingeniera Econmica

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INGENIERA ECONMICA


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UNIDAD I: CONCEPTOS BASICOS DE LA MATEMTICA FINANCIERA

1. INTERS SIMPLE: Es el que se obtiene cuando los intereses producidos durante el tiempo que dura una inversin se deben nicamente al capital inicial. Cuando se utiliza el inters simple, los intereses son funcin nicamente del inters principal, el nmero de periodos y la tasa de inters. Los intereses no se capitalizan. El inters obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribucin econmica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del inters es calculado sobre la misma base. Los intereses no generan ms intereses sino que se liquidan sobre el capital inicialmente invertido. Su frmula est dada por:

Para hallar el valor futuro a inters simple necesitamos de la siguiente frmula:

Dnde:

El tipo de inters (ip) y el tiempo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si el tipo de inters es anual, el n debe ser anual, si el tipo de inters es mensual, el tiempo ir en meses, etc.). Siendo indiferente adecuar la tasa al tiempo o viceversa. Ejemplo:


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1. Calcular en cunto se convierten 2.500.000 colocados durante 8 meses a una

tasa de inters simple del 8% mensual?

Lo que interesa en este caso es calcular el VF y tenemos entonces: VP= 2.500.000 ip= 8% = 0.08 n= 8 meses

VF= 4.100.000

2. El da de hoy obtenemos un prstamo por $5.000.000 y despus de un ao

pagamos $5,900.000 Determinar la tasa de inters mensual.

En este caso debemos calcular la tasa de inters, es decir ip para lo cual

debemos despejamos de la frmula de VF

VF= 5.900.000

VP= 5.000.000

n= 12

ip = 0.015 = 1.5% mensual


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2. INTERS COMPUESTO Intereses sobre los intereses: La gran mayora de las operaciones financieras se realizan a inters compuesto con el objeto de tener en cuenta que los intereses liquidados no entregados, entran a formar parte del capital y para prximos periodos generarn a su vez intereses. Es el rendimiento de un capital tomado a prstamo, cuando al principal inicial van acumulndose los intereses generados sucesivamente, en un proceso de retroalimentacin que ensancha, momento a momento, la base del capital. Valor Futuro a inters compuesto:

Dnde:

Ejemplo

1. Supongamos que el seor lvaro Romero invierte en el Banco Bogot $2.000.000 en un CDT a 6 meses, con una tasa del 2% mensual de inters compuesto. Cunto dinero recibir el seor Romero al cabo de 6 meses? VP= 2.000.000 n= 6 meses ip= 2% = 0.02

2. La seora Mara Teresa Vargas necesita $3.000.000 dentro de 10

meses Cunto debe invertir hoy si le ofrecen una tasa del 1.5% bimestral compuesto para lograr su objetivo? En este caso no es el valor futuro el que debemos calcular, sino el Valor Presente, para lo cual se hace necesario despejar VP de la frmula


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El tipo de inters (ip) y el tiempo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si el tipo de inters es anual, el n debe ser anual, si el tipo de inters es mensual, el tiempo ir en meses, etc.). En este caso para no hacer an conversin de tasas, es necesario adecuar el tiempo a la tasa que nos estn dando. 3.EQUIVALENCIA DE TASAS Dos tasas de inters anuales con diferentes periodos de capitalizacin sern equivalentes si al cabo de un ao producen el mismo inters compuesto. Tasa de Inters Nominal Es una tasa cuyo uso est muy generalizado en nuestro medio y aunque tiene una cobertura de un ao no se liquida anualmente sino que se fracciona para periodos menores a un ao. Por ejemplo: 24% anual liquidable mes vencido. Esto significa que el 24% se debe fraccionar para periodos mensuales, sea que en realidad se liquidar el 2% sobre saldos vencidos. ip= 0.24/12 =0.02 =2% mensual. Tasa efectiva anual de inters (ia) Corresponde a la tasa que se obtiene al final de un periodo anual, siempre y cuando los rendimientos generados peridicamente se reinviertan a la tasa de inters peridica pactada inicialmente. Representa el rendimiento real obtenido sobre una inversin.


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Observaciones a tener muy presentes: La tasa efectiva anual nunca se puede dividir por ningn denominador, porque es una funcin exponencial. Tasas nominales equivalentes entre s, siempre tendrn la misma tasa de inters efectiva anual. La tasa efectiva anual, por lo tanto se constituye en un criterio para tomar decisiones, para invertir lgicamente escoger aquella entidad que ofrezca la ms alta (sin consideraciones por ahora del riesgo) y para endeudarse elegir aquella tasa que en trminos efectivos sea la menor.

Es decir una tasa del 36% anual liquidable trimestralmente sera:

Equivalencia de Tasas:

1. De una tasa nominal anual a una tasa efectiva anual

Ejemplo: La seora Mara Castro est realizando una inversin a una tasa nominal del 38% anual capitalizable semestralmente. La seora Mara Castro desea saber cul es la tasa efectiva anual.

(Nmero de liquidaciones en un ao)


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2. Dada una tasa efectiva anual, hallar una tasa peridica.

Ejemplo. Dada una tasa anual efectiva del 24%, hallar la tasa mensual equivalente.

m= Nmero de liquidaciones en un ao

3. Dada una tasa nominal anual, hallar otra tasa nominal anual equivalente pero con diferente periodicidad.

Siempre que se desee hallar la equivalencia entre tasas nominales, lo ms expedito ser hallar la tasa efectiva equivalente a la nominal dada y luego se determina la nominal equivalente a esa efectiva encontrada. Ejemplo: Dada una tasa del 24% nominal mes vencida, hallar la tasa nominal trimestre vencida equivalente. Como se mencion, se encuentra la tasa efectiva equivalente al 24% nominal mes vencida:

Luego se establece la tasa nominal equivalente a esta efectiva:

Nominal con capitalizacin trimestral vencida.


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4. Dada una tasa peridica, hallar otra tasa peridica equivalente

Ejemplo: Convertir el 3% mensual en una tasa semestral equivalente ip1= 0.03 m1=12 ip2= m2= 2

ip2= (1+0.03)12/2 -1

ip2= 0.1940 = 19.40% semestral

5. Dada una tasa peridica anticipada, hallar una tasa

peridica vencida

ipv= ipa/(1- ipa)

Con esta frmula se convierte una tasa peridica anticipada a una tasa peridica

vencida

Ejemplo: Convertir el 3.5% mensual anticipado en una tasa mensual vencida.

ipv= 0.035/(1- 0.035) = 0.03627 =3.63% mensual vencido


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UNIDADAD 2: ANLISIS DEL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

1. ECUACIONES DE VALOR O ECUACIONES DE EQUIVALENCIA1 Ocurre con alguna frecuencia que por razones de liquidez las deudas no siempre se pueden cancelar en las fechas estipuladas inicialmente, siendo por tanto necesario acordar una nueva forma de pago. Para resolver esta situacin se ha recurrido al uso de las llamadas ecuaciones de Valor o equivalencia, las cuales permiten cambiar el conjunto inicial de obligaciones por un nuevo conjunto equivalente. Para efectuar dicho cambio y establecer la equivalencia, se escoge una fecha que los autores llaman fecha focal (ff) y se plantea la ecuacin:

O sea que se traslada todo a la fecha focal y se igualan los resultados. Estas transacciones se pueden realizar a inters simple o a inters compuesto. Ejemplo: La seora Mariela Patio debe al Banco Caja Social los siguientes pagars:

200.000 con vencimiento a 6 meses 350.000 con vencimiento a 9 meses 420.000 con vencimiento a 18 meses

Acuerda con el Banco pagar 380.000 a los 3 meses, y dos pagos iguales con vencimiento de 15 y 21 meses respectivamente. La seora desea saber el valor de dichos pagos sabiendo que para el cambio se pact una tasa del 29% anual de inters simple. Tomamos como fecha focal el punto 0.

1 CARDONA, Francisco Jos. Matemtica Financiera asistida por computador. Universidad de

Manizales


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0 3 6 9 12 15 18 21

X X380.000

200.000

350.000

420.000

El valor de los pagos es de 286.657 Nota: (Como la tasa es anual y el n es mensual, se necesita convertir los meses a aos por lo tanto se divide en 12. Si en el ejercicio todo est en meses no es necesario dividir) Ahora vamos a cambiar la fecha focal y tomamos 12 meses como fecha focal


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0 3 6 9 12 15 18 21

X X380.000

200.000

350.000

420.000

Ejemplo: Una persona debe pagar $1.000.000 dentro de tres meses, $1.500.000 dentro de diez meses y $2.000.000 dentro de un ao. La persona desea efectuar un solo pago de $4.500.000 para cancelar las tres obligaciones. Si la tasa de inters es del 18% anual nominal liquidada mensualmente, hallar la fecha en que debe efectuarse el pago.


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La tasa de peridica es:

Miremos el diagrama del flujo de caja para este caso:

Tomemos como fecha focal el instante cero:

Dentro de 9,24 meses se dar la equivalencia financiera de los pagos. Si reducimos este tiempo a das considerando que un mes tiene 30 das, 0,24 x 30 = 7,2 das, es decir, el pago de los $4.500,000 debe hacerse dentro de nueve meses y siete das.

n

3

1.000.000

10

1.500.000

4.500.000

12

2.000.000

0


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2. SERIES UNIFORMES

Las series uniformes son conjuntos de pagos o cuotas iguales efectuados a Intervalos iguales de tiempo. Las series uniformes deben tener dos condiciones necesarias: pagos o cuotas iguales, efectuados con la misma periodicidad. Valor presente, VP: El valor presente de una serie uniforme equivale a un pago nico ahora, el cual es equivalente a N cuotas o pagos de valor C cada uno efectuado al principio o al final de cada intervalo de pago. Si los pagos ocurren al final de cada intervalo de pago se llama serie uniforme ordinaria o vencida y si ocurren al principio de cada intervalo, serie uniforme anticipada o debida. Tasa de inters peridica, ip: A cada intervalo de pago le corresponde una tasa de inters. Es la misma tasa peridica de inters a la cual nos hemos referido en los temas anteriores. Valor de los pagos o cuotas iguales, C: La caracterstica de las series uniformes es la ocurrencia de los pagos iguales en cada intervalo de pago. Numero de cuotas o pagos iguales durante el plazo o trmino de la serie uniforme, N: En el esquema de los pagos nicos de valor presente y valor futuro, N se refiere a los periodos de conversin. En las series uniformes, hace alusin al nmero de pagos o cuotas iguales. Valor futuro, VF: Constituye un pago nico futuro al final del plazo de la serie y el cual es equivalente a las N cuotas o pagos que ocurren en cada intervalo de pago.


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Valor Presente de una serie uniforme Amortizaciones. Es una anualidad cuyos pagos tienen como objeto cancelar un capital. Las amortizaciones pueden ser vencidas o anticipadas dependiendo de si se realizan al final o al comienzo del periodo. Valor Presente anualidad Vencida

Ejemplo. Supongamos un prstamo por valor de 10.000.000, contratado a una tasa nominal del 24% mes vencida, para ser amortizado en cuotas mensuales iguales vencidas y durante un plazo de 15 aos. Determinar el valor de las cuotas mensuales iguales: Despejamos el valor de la cuota de la ecuacin para hallar el valor presente:

En Excel:


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Ejemplo. VP=750.000. Crdito: plazo 8 meses, tasa inters 2.5%. Qu cuota mensual debe pagar el cliente si compra a crdito.

Un computador cuyo precio de contado es de 1500.000 se adquiri dando una cuota inicial de 600.000. El resto se financi mediante el pago de 12 cuotas mensuales vencidas con un inters vencido del 1.8% mensual. Determinar el valor de la cuota.


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Valor Presente anualidad Anticipada

Ejemplo. Un carro usado se ofrece en venta con el siguiente plan de crdito. 36 cuotas mensuales anticipadas de 500.000 y un inters mensual sobre saldos del 3%. Determinar el valor de contado.

En Excel:


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Valor futuro de una serie uniforme Imposiciones. Es una anualidad cuyos pagos tienen como objeto acumular un capital. Las imposiciones pueden ser vencidas o anticipadas dependiendo de si se realizan al final o al comienzo del periodo.

Valor Futuro Anualidad Vencida

Valor Cuota Imposicin vencida

Valor Futuro Anualidad Anticipada

Valor Cuota imposicin Anticipada

Ejemplo: Ramn Molina al principio de cada mes ha depositado $250.000 durante los ltimos tres aos. En una entidad que abona el 2,1% mensual sobre el saldo. Ramn desea saber Cul es el capital que ha acumulado a los tres aos?


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En Excel:


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Ejemplo: Cunto debe depositar Mara Lpez al principio de cada mes en el Banco Bogot, el cual abona el 2,25% mensual para acumular 3.000.000 en un perodo de 2 aos.

En Excel:

a. ANUALIDADES DIFERIDAS En muchas situaciones de la vida real se presentan casos en los cuales la primera cuota de la anualidad ocurre despus de transcurrido un determinado nmero de periodos. Este lapso de tiempo en el cual no se presentan cuotas recibe el nombre de PERIODO DIFERIDO. Cuando se trata de amortizacin de crditos se le llama PERIODO DE GRACIA.


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Las anualidades diferidas pueden ser tambin vencidas o anticipadas.

ANUALIDAD VENCIDA

ANUALIDAD ANTICIPADA

Cuando se habla de un periodo de gracia, esto no significa que durante este tiempo el crdito est exento de intereses; simplemente durante este periodo no se pagan cuotas. CLCULOS BSICOS En este tipo de anualidades nos interesa bsicamente calcular el valor del prstamo o el valor de la cuota que permite amortizar dicho prstamo.


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Valor Presente Anualidad diferida Vencida

Valor Presente Anualidad Diferida anticipada

Cuota vencida

Cuota anticipada

Ejercicio: Al nacer Julin Rodrguez su padre deposita cierta cantidad de dinero en una entidad financiera, con el propsito de asegurarle su educacin universitaria. Si ste ingresa a la Universidad a la edad de 18 aos y su carrera dura 6 aos, determinar la cantidad depositada por el padre, teniendo en cuenta que el costo del semestre para esa poca, se estima ser de $4'500.000 y que la entidad le pagar en promedio durante todo este tiempo, un 8% semestral vencido.


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Como no se especific, asumimos aqu que las cuotas son vencidas. Por lo tanto, se trata de calcular el valor presente de una anualidad vencida.

Series infinitas

Las series infinitas constituyen unos conjuntos de pagos o cuotas que tienden a infinito, tambin denominadas rentas perpetuas. La mayor aplicacin de estas series se encuentra en los fondos de pensiones, seguros de vida y modelos en valoracin de empresas, entre otras. Las series uniformes y series gradientes puede ser infinitas, nuestro propsito es lustrarlas a continuacin. El valor presente P de esta renta perpetua, lo compone un pago nico ahora equivalente a la serie infinita de cuotas iguales.


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Ejemplo.

Supongamos que queremos establecer un fondo de pensiones, de tal manera que atienda a perpetuidad los retiros por cada $1.000.000 mensuales para alguien que desea obtener su pensin de jubilacin. Este fondo reconoce una tasa de inters efectiva anual del 18%. De la ecuacin de valor presente de esta serie:

C es el valor del retiro mensual de $1.000.000. La tasa de

inters est referida para el periodo anual, por lo tanto se debe establecer la tasa de inters peridica mensual.

Este valor constituye el valor del fondo que permite a perpetuidad, retirar la suma de $1.000.000 para atender la pensin. Realmente es un pago nico ahora equivalente a la serie infinita de cuotas de valor C cada una. Naturalmente, al plan diseado debemos de involucrarle crecimiento, el cual permita contrarrestar la prdida del poder adquisitivo del dinero. 3. GRADIENTES

En matemticas financieras gradientes son anualidades o serie de pagos peridicos, en los cuales cada pago es igual al anterior ms una cantidad; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. El monto en que vara cada pago determina la clase de gradiente: Si la cantidad es constante el gradiente es aritmtico (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en $250 mensuales sin importar su monto). Si la cantidad en que vara el pago es proporcional al pago inmediatamente anterior el gradiente es geomtrico (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en 3.8% mensual)


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Gradiente geomtrico

Esta serie corresponde al flujo de caja que cambia en porcentajes constantes en

periodos consecutivos de pagos. En la progresin geomtrica cada trmino es el

anterior multiplicado por un mismo nmero denominado razn de la progresin.

Valor Futuro Gradiente Geomtrico

Valor Presente Gradiente Geomtrico

Ejemplo: Calcular el valor presente y el valor futuro de la siguiente serie de pagos de un crdito emitido por el banco Colombia con un tasas peridica del 25% y comparar con el de Davivienda que tiene una tasa peridica del 27%. Banco Colombia


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Davivienda


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Gradiente aritmtico o lineal Se presenta cuando los pagos en una serie aumentan o disminuyen de una

cantidad constante. Si la constante es positiva, la serie es creciente, si es negativa

la serie es decreciente.

Valor Presente Gradiente Aritmtico

Valor Futuro Gradiente Aritmtico

Ejemplo: Necesito acumular un capital durante 15 meses. Tengo el siguiente plan de ahorro pero necesito saber si es suficiente. El primer mes 60000 el segundo 65000 y as sucesivamente hasta el mes 15, a una tasa 20% anual liquidable mes vencido.


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4. SISTEMAS DE AMORTIZACIN

Sistema de amortizacin cuota fija Los pagos que se hacen para amortizar una deuda se aplican al cubrir los interesen y a reducir el importe de la deuda. Para visualizar mejor el proceso conviene elaborar mejor una tabla de amortizacin que muestre lo que sucede con los pagos, los intereses, la deuda, la amortizacin y el saldo. Ejemplo 1: Sergio campo contrae hoy una deuda de 95.000.000 a 18% convertible Semestralmente que amortizara mediante 6 pagos semestrales iguales.

TABLA DE AMORTIZACION

Periodo Cuota Inters % Amortizacin Saldo

1 21177379,41 8550000 12627379,41 82372620,59

2 21177379,42 7413535,853 13763843,57 68608777,02

3 21177379,42 6174789,932 15002589,49 53606187,54

4 21177379,42 4824556,878 16352822,54 37253364,99

5 21177379,42 3352802,849 17824576,57 19428788,42

6 21177379,42 1748590,958 19428788,46 0


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Ejemplo 2: Fernando Lemus solicita a la Caja Agraria un crdito por $3.500.000

para mejorar los equipos de trabajo de su microempresa. Esta entidad tiene una

lnea de crdito para microempresarios con las siguientes condiciones: inters del

2.3% Mes Vencido; amortizacin mensual, plazo 12 meses. Cunto debe pagar

Fernando mensualmente?

Copie y pegue hasta la cuota 12 y obtendr el siguiente cuadro de amortizacin:

VP IP N CUOTA

3500000 0.023 12 $ 337,086.38

PERIODO CUOTA FIJA INTERESES TOTAL AMORTIZADO SALDO

1 $ 337,086.38 $ 80,500.00 $ 256,586.38 $ 3,243,413.62

2 $ 337,086.38 $ 74,598.51 $ 262,487.87 $ 2,980,925.75

3 $ 337,086.38 $ 68,561.29 $ 268,525.09 $ 2,712,400.66

4 $ 337,086.38 $ 62,385.22 $ 274,701.17 $ 2,437,699.49

5 $ 337,086.38 $ 56,067.09 $ 281,019.29 $ 2,156,680.20

6 $ 337,086.38 $ 49,603.64 $ 287,482.74 $ 1,869,197.46

7 $ 337,086.38 $ 42,991.54 $ 294,094.84 $ 1,575,102.62

8 $ 337,086.38 $ 36,227.36 $ 300,859.02 $ 1,274,243.60

9 $ 337,086.38 $ 29,307.60 $ 307,778.78 $ 966,464.82


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10 $ 337,086.38 $ 22,228.69 $ 314,857.69 $ 651,607.12

11 $ 337,086.38 $ 14,986.96 $ 322,099.42 $ 329,507.71

12 $ 337,086.38 $ 7,578.68 $ 329,507.71 $ -0.00

Sistema de Cuota creciente linealmente. En este sistema los crditos se amortizan mediante cuotas peridicas, las cuales se van incrementando en una cantidad constante. Por lo general en este tipo de crdito las cuotas en los primeros aos no alcanzan a cubrir los intereses causados en cada uno de los periodos, razn por la cual la duda empieza a incrementarse hasta alcanzar un tope mximo; momento en el cual comenzara a decrecer debido a que el valor de la cuota ha superado el valor de los intereses. Teniendo todas las especificaciones del prstamo, se procede a calcular la primera cuota; la cual podemos despejar de la expresin:

Las dems cuotas se obtienen sumndole a la anterior el incremento correspondiente. Ejercicios:


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1. Un ahorrador solicito un prstamo por $500.000 a 15 aos de plazo, si la tasa efectiva anual es del 36.71% y el incremento mensual de $230, desea saber cul es el valor de las cuotas mensuales que debe pagar.

El resto de las cuotas se obtienen sumando $230 que representan el incremento mensual a la cuota anterior:

Pero si necesitamos calcular la cuota 180 por ejemplo, podemos utilizar la siguiente frmula:

2. El seor Pedro Quintero solicita un prstamo al banco Agrario por $5.000.000

los cuales pagar en cuotas mensuales con un gradiente de $20.0000 a un inters del 36% anual liquidable mes vencido, calcular el valor de la primera cuota que se pagara.


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Sistema de cuota creciente geomtricamente

En este sistema los crditos se amortizan mediante cuotas peridicas, las cuales se van incrementando en un porcentaje. El problema bsico consiste entonces en calcular la primera cuota. Las dems se obtendrn incrementando la anterior por el porcentaje dado.

Ejemplo

1. El Seor Jos Feliciano expide una solicitud al Banco de Bogot para un prstamo por valor de $3.000.000 a 10 aos de plazo, con un inters del 32.3% efectivo anual, se debe amortizar mediante cuotas mensuales vencidas las cuales se incrementaran en un 0.5% mensual. Determinar el valor de la primera cuota.


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Sistema de anualidades creciente geomtricamente

En este sistema los crditos se amortizan mediante cuotas peridicas vencidas, las cuales se incrementan cada ao en un porcentaje dado. En este caso tambin debemos calcular el valor de la primera cuota; slo que esta cuota es para todo el primer ao. El resto de las cuotas para los dems aos se obtendrn incrementando las del ao anterior en el porcentaje dado, teniendo en cuenta que la segunda cuota ser para todo el segundo ao, la tercera para todo el tercer ao y as sucesivamente. Para el clculo de la cuota para el primer ao, utilizaremos la frmula:

Para ipG VP= Valor del Prstamo C1= Cuota para el primer ao ip= Tasa peridica ia= Tasa anual efectiva n= nmero de aos que dura el prstamo m= Nmero de cuotas en un ao G= incremento porcentual Ejemplo:

Un prstamo por $5.000.000 se obtuvo con un inters del 40.49% efectivo anual y un plazo de 15 aos para amortizar el crdito mediante cuotas mensuales vencidas. Determinar el valor de las cuotas para los 3 primeros aos y para los tres ltimos aos, sabiendo que estas se incrementan cada ao en un 12%.


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UNIDAD 3: APLICACIONES DE LA INGENIERA ECONMICA A LA GESTIN

DE PROYECTOS

CRITERIOS DE EVALUACION DE ALTERNATIVAS DE INVERSIN

Cuando se evalan proyectos de inversin y alternativas operacionales, efectivamente se est realizando la aplicacin de los conceptos y ecuaciones de los temas anteriores de matemticas financieras. En los temas precedentes se enfatizaba en la relacin prestamista-prestatario, ahora se destaca la relacin entre el inversionista y el proyecto de inversin. Realmente cuando se evalan los proyectos de inversin, se calculan las bondades que obtiene el inversionista de prestar su dinero al proyecto y no en otra alternativa anloga, como sera prestarle o invertir en una entidad financiera, naturalmente considerando riesgos de inversin similares.

En un proyecto de inversin se tienen que identificar 3 indicadores fundamentalmente, los cuales permiten evaluarlo.

Los ingresos de los proyectos: Al evaluar el proyecto se realiza el anlisis de la velocidad de generar dinero ahora y en el futuro (Horizonte de evaluacin del proyecto).

La inversin en el proyecto: Se debe de estimar los desembolsos a realizar en el proyecto. La inversin son todos los recursos atascados o atorados en el proyecto y mientras no salgan del proyecto no se generaran ingresos.

Los gastos de operacin del proyecto: Son todos los desembolsos que se deben de efectuar, con la intencin de convertir la inversin en los ingresos del proyecto.

Intuitivamente, en la administracin del proyecto se deber aumentar la velocidad de generar dinero en el proyecto a travs del horizonte de evaluacin, disminuir los desembolsos en inversin y si esto ocurre por norma casi general, los gastos de operacin tambin disminuirn. El criterio de impacto y mejora global al evaluar proyectos debe focalizarse en estos indicadores.

1. Costo Anual Presente Equivalente Muchas alternativas prestan el mismo servicio, en esta categora ubicamos todas aquellas situaciones en las cuales los beneficios generados son iguales para todas


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las alternativas que se estn analizando. Por lo general. Estos beneficios no se cuantifican en trminos de dinero; el primer lugar, por no existir diferencia entre ellos y en segundo lugar, porque la mayora de los casos es casi imposible su estimacin. En razn de lo anterior, este tipo de alternativas se evalan en trminos de sus costos. Como estas alternativas se avalan en funcin de sus costos, en los diagramas de flujo de efectivo slo aparecern egresos, los cuales incluirn una inversin inicial y unos costos anuales. En aquellas alternativas donde haya valor de recuperacin (valor de mercado, valor de salvamento). Aparecer un nico ingreso al final de la vida til de la alternativa. Para evaluar este tipo de alternativa; utilizaremos los ndices: -Costo presente equivalente (CPE). -Costo anual equivalente (CAE). Ejemplo 1. Una compaa productora de artefactos nucleares planea adquirir un reactor con el fin de mejorar sus procesos de produccin. Actualmente estn analizando las siguientes dos posibilidades: Reactor A Reactor B Inversin Inicial $150000.000 $200000.000 Costos anuales de operacin y mantenimiento. $ 25000.000 $ 15000.000 Valor del Mercado $ 30000.000 $ 60000.000 Vida til 6 aos 6 Aos

Tasa de inters de oportunidad de la compaa: 18% anual efectivo.

Solucin. Reactor A


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Calculamos primero el CPE.

Este valor representa (en dinero de hoy) el costo total de la adquisicin del reactor A. Tambin podramos decir que es su costo actual. Calculemos ahora el CAE.

Esta cantidad representa lo que le cuesta anualmente a la entidad adquirir el reactor A.

Reactor B Calculemos CPE


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Esto le costara a la empresa (en dinero de hoy), la adquisicin del reactor B. Calculemos ahora el CAE

Esto es lo que le costara anualmente a la entidad adquirir el reactor B Los resultados anteriores nos muestran entonces que es ms econmico adquirir el reactor A. Pues tiene menor costo. Ejemplo 2. Una compaa est en plan de adquirir un torno nuevo para lo cual se le han presentado las siguientes alternativas: un torno de fabricacin americana cuyo precio de contado es 55 mil dlares instalado. Los costos anuales de operacin incluyendo mantenimiento y mano de obra ascienden a 30.000 dlares. La segunda alternativa es un torno de fabricacin alemana, cuyo precio de contado es de 70 mil dlares instalado, y los costos anuales de operacin serian solo de 25.000 dlares. Se espera que ambas maquinas tengan una vida til de 10 aos al cabo de los cuales podrn venderse por 8 mil dlares el primero y 10 el segundo. Si la tasa de inters de oportunidad de la empresa es del 30% anual efectivo, determinar cul de los tornos se debe comprar. Solucin. Torno alemn


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Calculemos el CPE

Calculamos ahora el CAE

Torno americano


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Se recomienda adquirir el torno alemn por tener un menor costo

2. Mtodo del valor presente neto (VPN)

Este mtodo es muy utilizado primero, porque es de muy fcil aplicacin y segundo, porque todos los ingresos y egresos futuros se transforman a pesos de hoy y as puede verse, fcilmente, si los ingresos son mayores que los egresos, el VPN es considerado como uno de los ndices ms adecuados y en cierta forma el ms seguro de los existentes. El valor presente neto es la utilidad (si es positivo) o perdida (si es negativo) a pesos de hoy, que proviene por invertir en el proyecto y no invertir al inters de oportunidad. Este es un concepto de marginalidad, es la riqueza adicional que se obtiene y corresponde exactamente al valor presente de los valores econmicos agregados durante el horizonte de evaluacin del proyecto. Cuando el VPN es menor que cero implica que hay una perdida a una cierta tasa de inters. Cuando el VPN es mayor que cero se presenta una ganancia. Cuando el VPN es igual a cero se dice que el proyecto es indiferente. En consecuencia para el mismo proyecto puede presentarse que a una cierta tasa de inters, el VPN puede variar significativamente, hasta el punto de llegar a rechazarlo o aceptarlo segn sea el caso. Al evaluar proyectos con el VPN se recomienda que se calcule con una tasa de inters superior a la Tasa de Inters de Oportunidad (TIO), con el fin de tener un margen de seguridad para cubrir ciertos riesgos, tales como liquidez, efectos inflacionarios o desviaciones que no se tengan previstas. Para su clculo utilizamos la siguiente relacin:


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Ejemplo 1. Antonio desea realizar un proyecto con una inversin inicial de $20000.000, el cual produce $8000.000 de utilidades durante los prximos 5 aos, al final del cual lo vende en 10000.000. Si la tasa de inters de oportunidad de esta persona es del 20% anual efectivo, determine qu tan pertinente es invertir en ese proyecto. Solucin.

Traemos al da de hoy todas las ganancias y prdidas futuras del proyecto, en este caso tenemos unos ingresos de 8.000.000 cada ao durante 5 aos lo que lo convierte en una anualidad (cuota) entonces lo traemos con al da de hoy con la siguiente frmula: VP = C 1- ( 1 + ip)-n ip Otro ingreso que es necesario traer hasta al ao 0 son los 10.000.000, pero estos

no son una anualidad porque solo se reciben una vez dentro de 5 aos y por eso

se emplea la frmula

VP= VF/(1 + ip)n

Los 20.000.000 de la inversin inicial no es necesario emplear ninguna frmula

porque ya estn en el ao 0.

VPN(ip) = Ingresos actualizados Egresos actualizados


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Ingresos Actualizados:

8000.000

2.0

2.0115

+ 52.01

000.000.10

Egresos Actualizados: 20.000.000

Como el Valor Presente Neto calculado es mayor que cero, podemos considerar que es rentable. CALCULO EN EXCEL:

Esto nos da un valor de 27943672.84 que es el valor presente de los Ingresos, entonces:


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VPN= 27943672.84 20000000 VPN= 7.943.672 Ejemplo 2. Calcular el VPN del proyecto anterior considerando que la tasa de inters de oportunidad de Antonio es del 40% anual efectivo. Solucin.

En consecuencia para el mismo proyecto puede presentarse que a una cierta tasa de inters, el VPN puede variar significativamente, hasta el punto de llegar a ser negativo como en este caso.

Ejemplo 3

Calcular el VPN del siguiente flujo de efectivo de un proyecto (ip=15%)

En este caso como los valores peridicos son diferentes, es decir, no es una

anualidad, es necesario traer al periodo 0 cada valor con la siguiente frmula:

VP= VF/(1 + ip)n

De esta forma tendramos:

VPN= Ingresos actualizados Egresos actualizados


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VPN= 200/(1+0.15)1+ 300/(1+0.15)2+300/(1+0.15)3+ 200/(1+0.15)4+500/(1+0.15)5-

1000

VPN= -39

El proyecto no es favorable para el inversionista pues el VPN es negativo, es decir

genera prdidas.

Ejemplo 4. Se presenta la oportunidad de montar una fbrica que requerir una inversin inicial de $4.000.000 y luego inversiones adicionales de $1.000.000 mensuales desde el final del tercer mes, hasta el final del noveno mes. Se esperan obtener utilidades mensuales a partir del doceavo mes en forma indefinida, de $2.000.000 Si se supone una tasa de inters de 6% efectivo mensual, Se debe realizar el proyecto?

Solucin.

La primera instancia se dibuja la lnea de tiempo para visualizar los egresos y los

ingresos.

A) Se calcula el VPN para ingresos de $2.000.000.


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3. Mtodo de la tasa interna de retorno (TIR)

Este mtodo consiste en encontrar una tasa de inters en la cual se cumplen las condiciones buscadas en el momento de iniciar o aceptar un proyecto de inversin. Tiene como ventaja frente a otras metodologas como la del Valor Presente Neto (VPN) o el Valor Presente Neto Incremental (VPNI) porque en este se elimina el clculo de la Tasa de Inters de Oportunidad (TIO), esto le da una caracterstica favorable en su utilizacin por parte de los administradores financieros. La TIR es una tasa que hace el Valor Presente Neto igual a cero. Esta tasa representa el rendimiento obtenido por los dineros que permanecen invertidos en un proyecto. La Tasa Interna de Retorno o Tasa Interna de Rentabilidad es aqulla tasa que est ganando un inters sobre el saldo no recuperado de la inversin en cualquier momento de la duracin del proyecto. En la medida de las condiciones y alcance del proyecto estos deben evaluarse de acuerdo a sus caractersticas, con unos sencillos ejemplos se expondrn sus fundamentos. La TIR es una herramienta de toma de decisiones de inversin utilizada para comparar la factibilidad de diferentes opciones de inversin. Generalmente, la opcin de inversin con la TIR ms alta es la preferida.

Es la tasa de inters por la cual se recupera la inversin.

Es la tasa de inters mxima que se puede endeudar para no perder.

Es la tasa de inters a la cual el inversionista le presta su dinero al proyecto y es caracterstica del proyecto, independientemente de quien evalu.

Ilustremos el concepto y el clculo de la TIR con un sencillo ejercicio: Flujo de caja del proyecto:


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La TIR es la tasa que hace al VPN igual a cero

Hacemos un primer clculo del VPN con una tasa estimada la cual calculamos con la siguiente relacin

En este primer ensayo hemos encontrado que el VPN es mayor que cero, lo que nos indica que la TIR es mayor del 34%.


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Segundo ensayo: Calculemos ahora el VPN con una tasa mayor: 40%, por ejemplo:

Como el VPN es menor que cero, significa que la TIR es menor que 40%. Por lo tanto la tasa que estamos buscando se encuentra entre 34% y 40%. Interpolemos entre estas dos tasas:

De esta forma hemos obtenido una TIR=34%+3.255% = 37.255%. Si se desea saber qu tan buen negocio es ste para la persona, se debe comparar esta tasa con su tasa de inters de oportunidad, o sea con la rentabilidad que normalmente obtiene en sus negocios.

Para tomar la decisin con la TIR la debemos comparar con la rentabilidad obtenida en otras alternativas anlogas, como por ejemplo, con los mismos niveles de riesgo. Esta rentabilidad de invertir en oportunidades similares es


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la tasa de inters de oportunidad o el costo de capital promedio ponderado (CCPP). En resumen, cuando:

TIR>CCPP Aceptar el proyecto. TIR


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TIR=37.1%

4. Razn Costo Beneficio y Periodo de recuperacin

Si bien este mtodo se utiliza en la evaluacin financiera, su uso es ms generalizado en la evaluacin de proyectos de inters social o proyectos pblicos cuando los fondos para la financiacin provienen de organismos internacionales. Para obtener la relacin beneficio/costo se realiza el cociente entre la sumatoria de los valores actualizados de los ingresos y la Sumatoria de los valores actualizados de los egresos.

De otro modo, de lo que se trata es de calcular el valor presente de los ingresos y de los egresos del proyecto con base en la tasa de oportunidad y hacer la correspondiente divisin. Los valores resultantes de la relacin B/C deben ser interpretados como sigue:

R B/C > 1 El proyecto es viable, dado que el VP de los ingresos es mayor que el VP de los egresos


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R B/C < 1 El proyecto no es atractivo, dado que el VP de los ingresos es inferior al VP de los egresos

R B/C = 1 Tericamente es indiferente realizar o no el proyecto. En este caso la TIR y la tasa de oportunidad son iguales. El VP de los ingresos es igual al VP de los egresos.

Ejemplo: Calculemos la RCB del siguiente flujo de efectivo

Ingresos Actualizados:

= 8000.000

2.0

2.0115

+ 52.01

000.000.10

= 23924.897 + 4018.775,7= 27.943.672.7

Egresos Actualizados: 20.000.000

RCB =27.943.672.7/20.000.000

RCB= 1.4


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El proyecto es viable, por cada peso invertido en el proyecto este nos recupera 1.4

pesos.

5. Periodo de recuperacin (PRI):

El periodo de recuperacin de la inversin - PRI - es uno de los mtodos que en el corto plazo puede tener el favoritismo de algunas personas a la hora de evaluar sus proyectos de inversin. Por su facilidad de clculo y aplicacin, el Periodo de Recuperacin de la Inversin es considerado un indicador que mide tanto la liquidez del proyecto como tambin el riesgo relativo pues permite anticipar los eventos en el corto plazo.

Es importante anotar que este indicador es un instrumento financiero que al igual que el Valor Presente Neto y la Tasa Interna de Retorno, permite optimizar el proceso de toma de decisiones.

En qu consiste el PRI? Es un instrumento que permite medir el plazo de tiempo que se requiere para que los flujos netos de efectivo de una inversin

CALCULO DEL PRI

Supngase que se tienen dos proyectos que requieren un mismo valor de inversin inicial equivalente a $1.000.00. El proyecto (A) presenta los siguientes Flujo Neto de Efectivo (FNE) datos en miles:

CALCULO PRI (A): Uno a uno se van acumulando los flujos netos de efectivo hasta llegar a cubrir el monto de la inversin. Para el proyecto A el periodo de recuperacin de la inversin se logra en el periodo 4: (200+300+300+200=1.000).

Ahora se tiene al proyecto (B) con los siguientes FNE:


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CALCULO PRI (B): Al ir acumulando los FNE se tiene que, hasta el periodo 3, su sumatoria es de 600+300+300=1.200, valor mayor al monto de la inversin inicial, $1.000. Quiere esto decir que el periodo de recuperacin se encuentra entre los periodos 2 y 3.

Para determinarlo con mayor exactitud siga el siguiente proceso:

Se toma el periodo anterior a la recuperacin total (2) Calcule el costo no recuperado al principio del ao dos: 1.000 - 900 = 100.

Recuerde que los FNE del periodo 1 y 2 suman $900 y que la inversin inicial asciende a $1.000

Divida el costo no recuperado (100) entre el FNE del ao siguiente (3), 300: 100300 = 0.33

Sume al periodo anterior al de la recuperacin total (2) el valor calculado en el paso anterior (0.33)

El periodo de recuperacin de la inversin, para este proyecto y de acuerdo a sus flujos netos de efectivo, es de 2.33 perodos.

ANLISIS: Como se puede apreciar, el proyecto (A) se recupera en el periodo 4 mientras que el proyecto (B) se recupera en el 2.33 periodo. Lo anterior deja ver que entre ms corto sea el periodo de recuperacin mejor ser para los inversionistas, por tal razn si los proyectos fueran mutuamente excluyentes la mejor decisin sera el proyecto (B).

Tambin es posible calcular el PRI descontado. Se sigue el mismo procedimiento tomando como base los flujos netos de efectivo descontados a sus tasa de oportunidad o costo de capital del proyecto. Es decir, se tiene en cuenta la tasa de financiacin del proyecto.

Las principales desventajas que presenta este indicador son las siguientes: Ignora los flujos netos de efectivo ms all del periodo de recuperacin; sesga los proyectos a largo plazo que pueden ser ms rentables que los proyectos a corto plazo; ignora el valor del dinero en el tiempo cuando no se aplica una tasa de descuento o costo de capital. Estas desventajas pueden inducir a los inversionistas a tomar decisiones equivocadas.


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Tasa interna de retorno versus Valor presente neto:2

Vamos a efectuar una afirmacin, la cual demostraremos en el sentido de que la TIR solamente es un criterio que evala impactos locales y por lo tanto no permite optimizar el uso del dinero. El criterio del VPN, es un indicador de impacto global y con este tendremos que seguir evaluando para explotar y elevar la restriccin, este criterio coincide con el valor econmico agregado EVA. En conclusin hemos establecido el objetivo de los proyectos, el cual es agregar ms valor a la empresa ahora y en el futuro (aumentar la velocidad de generar dinero) y tambin determinamos la brjula o el indicador, el VPN, que nos permita comprobar si nos acercamos o alejamos de nuestro objetivo.

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4010045/Lecciones/Cap%2

09/9-1-4.htm

Alternativas mutuamente excluyentes

Cuando se trate de escoger una alternativa entre varias opciones, es decir

que una excluye a las dems, lo ms sensato es evaluar la decisin para cada

caso.

Considere los dos proyectos de inversin, con los flujos que se muestran en el

cuadro, el cual incluye el clculo de los valores presentes netos y las tasas

internas de retorno para cada proyecto y para la alternativa incremental.

Ao Proyecto A Proyecto B B-A

0

1

2

3

4

5

6

-300000

160000

164800

169744

174836

180081

185484

-300000

140000

151200

163296

176360

190468

205706

0

-20000

-13600

-6448

1523

10387

20222

2 NAVARRO, Castao Diego. Matemticas Financiera. Universidad Nacional de Colombia.


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7

8

9

10

191048

196780

202683

208764

222162

239935

259130

279861

31114

43156

56447

71097

TIO 0.25

VPN 322326 332625 10299

TIR 55% 53% 31%

Cul sera su recomendacin sobre el proyecto a escoger, si fueran mutuamente

excluyentes y la tasa de inters de oportunidad fuera del 25%.

Se escogera el proyecto con el mayor valor presente neto, que es el proyecto

B, no obstante que la tasa interna de retorno del proyecto A es mayor. Se recalca

que en caso de alternativas mutuamente excluyentes, el valor presente neto

siempre conduce al ordenamiento correcto de alternativas; no as la tasa interna

de retorno aplicada directamente.

La alternativa incremental (B A) tiene un valor presente neto positivo, para una

tasa de oportunidad de inters de oportunidad del 25%. La tasa interna de retorno

de la alternativa incremental 31% es superior a la tasa de oportunidad mostrando

a su vez que el proyecto B se prefiere al proyecto A.


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Referencias

AYRES, Frank Jr./ Matemticas Financieras.- - Mc Graw Hill, 1976. CANAD, J.R. y WHITE, Jr JA/Capital Investment Decision Analysis for Managment and Engineering.- - Prentice Hall mc, Englewood Cliffs, NJ, 1980.

CARDONA, Alberto Matemticas financieras. -- Editorial Interamericana SA., 1986.

CARDONA, Francisco Jos. Matemtica Financiera asistida por computador. Universidad de Manizales

CORREDORES ASOCIADOS Manual para el clculo de rentabilidades.- - Semi-flash, 1998.

CRUZ, Juan Sergio Lgicas y dialcticas en las decisiones de inversin. 3R Editores, 2001.

EVANS, James R., OLSON, David! Introduction lo Simulation and Risk Analysis.- -Prentice Hall, 1998.

FAMA, Eugene F. Short terms, interest rates as predictors of Inflation.- - merican Economic Review. Junio, 1995.

NAVARRO, Castao Diego. Matemticas Financiera. Universidad Nacional de Colombia. Recuperado de:

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4010045/index.html

VLEZ P., Ignacio Decisiones de inversin enfocado a la valoracin de

empresas. CEJA, 2001.

material curso ingenieria economica

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