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UNIVERSIDAD AUTNOMA DE QUERTARO MATERIAL DIDCTICO DE MATEMTICAS 1 PARA PRIMER SEMESTRE DE BACHILLERATO QUE PRESENTA LA MAESTRA MARA HERLINDA SANTOS TREJO

Material didctico matemticas I

UNIVERSIDAD AUTNOMA DE QUERTARO ESCUELA PREPARATORIA MATERIAL DIDCTICO MATEMTICAS I

PRESENTACIN: Nuestra escuela de bachilleres ofrece un bachillerato nico, por lo que la formacin que en matemticas debe brindar, tiene que ser una formacin que sirva tanto a los estudiantes que van despus a estudiar alguna licenciatura como para que aquellos que ya no continuarn estudiando, por lo cual lo que se ensee debe ser formativo tanto para resolver problemas adicionales a los que se presentan en la vida cotidiana as como para proseguir estudios profesionales Creemos que la pertinencia de las matemticas en este nivel es por que fundamentalmente proporciona una manera de razonar que es til en la vida diaria como en cualquier actividad profesional, adems de ensear teora y tcnica que sirven para dotar al estudiante de un mtodo para enfrentar ciertos problemas y proporcionndole las bases para poder seguir sus estudios matemticas jueguen un papel importante. Ante esta visin y la visin de qu es la matemtica, adoptamos la posicin de tratar de ensear los temas, siempre que se pueda, a travs de problemas. No nada ms de ejercicios tericos o tcnicos, sino de problemas que vinculen la realidad con la teora matemtica. Es importante hacer notar que ponemos nfasis especial en la teora matemtica y en la aplicacin de la en profesional, principalmente si elige una carrera donde las

matemtica a la solucin de problemas y vemos a la tcnica como fundamental para la consecucin de estos fines. Es deseable que en los distintos temas, el profesor incluya tpicos de la historia de la matemtica para que el alumno vea a sta para el producto del desarrollo humano y se percate de cmo ha evolucionado a lo largo del tiempo. Consideramos que los cursos obligatorios de matemticas que se ofrezcan deben ser: los dos primeros de lgebra, los dos siguientes de geometra y el quinto de matemticas discretas, probabilidad tecnolgica. y estadsticas, el sexto curso que es clculo, ser fundamental para estudiantes que van a las carreras de alguna rea cientfica o

Material diseado por la Mtra. Herlinda Santos Trejo

2

Material didctico matemticas I PRESENTACIN DEL LGEBRA En los primeros semestres de matemticas se estudiar lgebra. Esperamos que los estudiantes recuerden lo visto anteriormente y profundicen en algunos temas tanto en formalidad como en habilidad tcnica y en la solucin de problemas. En la primera parte se estudiarn los nmeros reales desde distintos enfoques. Conocimientos prcticos y habilidad para operar con ellos aunado a conocimientos tericos son deseables en el alumno. Posteriormente se va introduciendo al lgebra a travs de aspectos tcnicos como simplificacin de polinomios, productos notables, factorizacin, tema fundamental que el alumno entienda y maneje adecuadamente para poder comprender los dems temas de matemticas de los cursos siguientes. Parte central de estos cursos son las ecuaciones, las desigualdades y la solucin de problemas cuyo modelo matemtico sea una ecuacin, un sistema de ecuaciones, una desigualdad, etc. A continuacin damos un desglose de los temas de matemticas I con algunas sugerencias metodolgicas y sobre la profundidad como debieran ser desarrollados. TEMA I EL CAMPO ORDENADO DE LOS NMEROS REALES. Antes de mencionar los contenidos que hay que tratar, es muy importante hacer notar que a lo largo del curso se propone utilizar el lenguaje y los conceptos de la teora de conjuntos as como los conceptos de lgica que se vayan requiriendo. Al menos contemplamos dos maneras de abordar el tema: una a partir de la geometra, viendo a los reales positivos como longitudes de segmento una vez que se ha acordado cual es el segmento unitario; otra, a partir de la teora de conjuntos en forma constructiva desde los naturales. Lo ms pronto posible hay que hablar de la recta numrica y de la correspondencia biunvoca entre reales y puntos de la recta. El alumno deber reconocer algunos subconjuntos distinguidos de R como N, Z, Q, irracionales, R, R, 0. Se analizar el concepto de medida geomtrica, el concepto de aproximacin para que finalmente el alumno

distinga a los nmeros reales como nmeros decimales, conocer los decimales peridicos y los no peridicos. Se plantearan problemas que se resuelven utilizando algunas de las cuatro operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicacin y divisin) repasando los algoritmos para operar con enteros, con cocientes de enteros, con decimales finitos y la jerarquizacin de estas operaciones, as como los smbolos de agrupacin. Estos problemas sern, por ejemplo, problemas de razones y proporciones, de geometra, del mercado, etc. Se estudiaran las propiedades de la igualdad.

Material diseado por la Mtra. Herlinda Santos Trejo

3

Material didctico matemticas I Se vern los postulados de campo, haciendo una pequea discusin de qu es un postulado y qu es una posicin que se demuestra. Es conveniente hacer la observacin de que, por ejemplo, para la mayora de los alumnos la propiedad conmutativa de la suma es cierta porque lo es en los ejemplos en los que la ha verificado, siendo que para la teora la situacin es al contrario: como la propiedad es cierta entonces se verifica en los ejemplos Se discutirn algunos teoremas que son consecuencia de los postulados de campo y dependiendo de las caractersticas del grupo, se vern algunas demostraciones sin exigirlas en los exmenes que sirvan para decidir la acreditacin. Se hablara del orden en los reales,, utilizando la recta numrica y se enunciaran los postulados de orden , as como algunos de los teoremas que se deduzcan de estos postulados y de los de campo .Se resolvern problemas de redondeo y aproximacin por exceso y por defecto. Es conveniente discutir con los alumnos del uso de calculadoras de bolsillo as como computadoras: el redondeo y el error en las operaciones con estas herramientas. TEMA II INTRODUCCIN AL ALGEBRA. Uno de los conceptos importantes a entender en este tema es el de igualdad de dos nmeros, el alumno debe saber que dos nmeros reales son iguales si y slo si son el mismo nmero, as, lo nico que puede estar cambiando es la expresin del nmero. Iniciar el profesor explicando que

2 5 ,12 2,

etc. son expresiones

distintas del nmero 10. Despus ver

por ejemplo, que

a + 2ab + b es la expresin desarrollada de un2

2

nmero cuya expresin factorizada es

( a + b ) 2 Jugar con estas expresiones en necesario para poder resolver

problemas que despus se vern y a lo largo de este tema se estudiarn las formas ms comunes de cambiar la expresin de un nmero. Iniciamos el tema con un glosario de trminos que utilizaremos, como son: trmino, exponente, monomio, polinomio, etc. Se vern las leyes de los exponentes para despus estudiar adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin de polinomios. Estudiaremos productos notables, los necesarios para ver factorizacin que se estudiaran son: Factor Comn, Diferencia de Cuadrados, Diferencia de Cubos, Suma de Cubos, Trinomios, Agrupacin. Como ultimo punto de este tema estudiaran las fracciones simples y complejas que comprenden conceptos como fracciones y razones, multiplicacin y divisin de fracciones, adicin y sustraccin de fracciones, para terminar con la simplificacin de fracciones complejas. Material diseado por la Mtra. Herlinda Santos Trejo 4 los casos de factorizacin que a continuacin se

enunciarn y de acuerdo a las condiciones del grupo se podr ver o no el teorema del binomio. Los casos de

TEMA III ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Una herramienta muy til en la solucin de problemas son las ecuaciones. Empezaremos este tema dando una idea intuitiva de lo que es una ecuacin y de que es el conjunto solucin de una ecuacin, se entender por resolver una ecuacin encontrar su conjunto solucin. Se vern problemas cuyo modelo matemtico sea una ecuacin de primer grado con una incgnita. Se dar la teora necesaria para poder resolver una ecuacin de primer grado con una incgnita y se concluir este tema resolviendo problemas cuyo modelo matemtico es una ecuacin de 1er. grado con una incgnita.

LOS TIEMPOS ESTIMADOS PARA VER ESTOS TEMAS SON LOS SIGUIENTES: TEMA I ------- 20 horas TEMA II ------ 40 horas TEMA III ------ 20 horas

EVALUACIN Y ACREDITACIN Sobre la evaluacin y la acreditacin sealaremos lo siguiente 9 La evaluacin debe ser continua y se le debe de dar un peso para la acreditacin al trabajo diario

de los alumnos, como es la participacin en clases, tareas realizadas, respuestas a preguntas que se hagan etc. 9 Es deseable entregar a los alumnos un problemario y que de ste se elijan los problemas que se

preguntarn en un examen con fines de acreditacin, pues es muy difcil que en una situacin de examen a un alumno se le ocurra la manera de resolver un problema. 9 Es deseable entregar a cada alumno una lista de ejercicios que tenga que resolver para adquirir la

destreza que de l se requiere en la solucin de estos ejercicios. Los ejercicios que se propongan en un examen con fines de acreditacin deben ser parecidos a los de la lista. 9 Preguntas de teora que muestren idea de lo que el alumno entiende se pueden hacer en

exmenes con fines de acreditacin, pero no se pedirn demostraciones, pues no creemos que sea un objetivo alcanzable con este material y en esta etapa. METODOLOGA DE TRABAJO: 1. 2. 3. Presentacin del programa y discusin del mismo. Sntesis de las nociones bsicas para el acceso al nuevo curso. Comentario sobre el material de apoyo que se trabajar y la bibliografa

4. 5.

complementaria Forma de trabajo y de evaluacin.

Algo que ha sido tema de polmica es la respuesta a la pregunta sobre qu es lo ms importante para la enseanza de las matemticas, si el conocimiento de stas, como es la opinin de la mayor parte de los matemticos o el dominio de las tcnicas de enseanza, como opinaran los pedagogos. Personalmente considero que ambas cosas son igualmente importantes para quienes enseamos matemticas; si bien es cierto que el cmo sin el qu carece de sentido, el qu sin el cmo equivale a inaccin o improvisacin. En este sentido hay dos recomendaciones que podra hacer el profesor de matemticas. 1. No ser un repetidor. Dicho de otro modo, debe de convertirse en un investigador de las matemticas y

no limitarse a hablar de memoria, a ensearlas sin haberlas asimilado, sin haberlas meditado. El profesor debe contagiar entusiasmo, lo que conseguir solamente si l mismo lo tiene; ahora bien, la comprensin nace del conocimiento, un simple repetidor no puede entonces transmitir entusiasmo. 2. Mostrar la diferencia entre el proceso de hacer matemticas y la presentacin de stas como un

producto acabado. El profesor de matemticas deber ser especialmente sensible para escoger las experiencias de aprendizaje que, combinadas, conduzcan en ocasiones a apreciar la belleza, de la conclusin y la elegancia de una teora, de una propiedad o de una demostracin, o que lleven a recorrer los laberintos, las encrucijadas, los callejones sin salida que hubo que pasar para llegar a un resultado u obtener una demostracin. 1. En ocasiones ser oportuno presentar una clase magistral, en otras ser ms conveniente dar la

impresin de estar improvisando, pensar en voz alta y sealar los pros y los contras de las distintas alternativas para la bsqueda de la solucin al problema planteado. 2. Fomentar la participacin de los estudiantes, hacindolos sentirse tambin responsables del resultado

del curso; dejarles vacos a llenar, preguntas a contestar, problemas a resolver, presentar alternativas y pedir opiniones; hacer nfasis en que las matemticas no se pueden aprender memorizando, que es necesario rehacerlas, recrearlas, que nadie puede en fin aprender matemticas con el solo esfuerzo ajeno. BIBLIOGRAFA PARA MATEMTICAS I 1. Rees/Sparks. 1999. Algebra.Mc Graw Hill.Dcima edicin.Cap.1-4 2. Larson/Hostetler.2003. Algebra intermedia. Mc Graw Hill. Cap 1,4 y 6 3. Gobran Alfonso Algebra elemental.I iberoamericana cap 1-8 4. Jerome/Karem lgebra intermedia . Tomson cap 1-6 5. Oteysa/Hernandez.2000. lgebra Prentice may Cap.1-6 6. Gustafson/David..2002.lgebra intermedia Ed. Tomson cap. 1,5 y 6

EXAMEN DIAGNSTICO ( 1) Leer con cuidado y encerrar la respuesta correcta, (en preguntas en las que haya que hacer clculos, es necesario hacerlos en la parte posterior a la hoja). 1 Aritmtica es a)Parte de las matemticas que generaliza el clculo numrico 2 Algebra es )Parte de las Mat que b) Parte de las Mat c) Parte de las Mat. Que generaliza estudia las magnitudes, que estudia los el clculo numrico, es el lenguaje reglas y cantidades nmeros, letras y de las matemticas signos d) No se b) Las operaciones fundamentales c)Parte de las Matemticas que estudia el clculo numrico d) No se

3 Las 9 cifras significativas son del 1 al 9. En el Tringulo numrico : En los crculos de cada tringulo coloque las 9 cifras significativas en forma tal que la suma de cada lado sea 20 . Habr otro tringulo cuya colocacin sea distinta del anterior y se cumpla que la suma de cada lado sea el mismo nmero pero no 20?

4

Los clculos de cada uno de los siguientes ejercicios: d)(-4)(-3) +(-9) e)-10/5 + (-7)= f) 12/ -4= g)[(-3)+(-5)][(-4)(-2)]= h) -(-15)/-5= i)5(-3)/3= j)(-6)0= k)6/0= l)0/6=

a)(-3)(-5)= b)(-20)+(-4)= c)2[(-3) (8)(3)]= 5

Un traje est en oferta del 40 % Cunto pagar un comprador si su costo es de $3550.00 b) No se c) 2130.00 d) 1240.00

a) 1420.00

6 La velocidad del sonido en el aire es de 3.31 x10 centmetros por segundo . La velocidad en centmetros por hora es a) 5516.66 b) 551.66 c)1.986x10 d) No se

7 Resolver las siguientes operaciones a)

4

5 + 6 3 8 5

b)

45 1 3 + 35 3 5

c)

2 6

+

3 4 5 7 9

8 Los nmeros primos son: a)Los que tienen muchos divisores b) No se c) Los que tienen como d)Los que tienen tres divisores al uno y al divisores nicamente. mismo nmero

9 Al dividir dos nmeros con distinto signo el cociente es a) No se b) Negativo c) Positivo d) cero

10 Una cmara digital cuesta normalmente $ 9830.00. Esta en oferta a $ 7372.50. Cul es el porcentaje de descuento? a) 25% b) 75 % No se d) 45 %

El nmero que es divisible entre 7 es a) No se b) 700007 c) 2254 d) 14000700

11 Las calificaciones de un alumno son 78%,85%,88% y 96%, falta un examen y debe excentar con un promedio de 85%. Cunto debe sacar en la ltima calificacin? a) 66% b) No se c) 89 % d) 78 %

12 Escribe los nombres de los elementos de la suma, resta, multiplicacin y divisin suma resta multiplicacin Divisin

13.La cantidad que es divisible entre 6 a)es divisible entre 4 b) Es divisible entre 2 y 3 c) No se d) Es divisible entre 12

14Con 5 nmeros 9 expresar el nmero 10 ( hay mnimo dos formas)

Son los primeros

NUMEROS REALES Objetivo General .El estudiante conocer el sistema de los nmeros reales, clasificacin, representacin geomtrica , su postulados y propiedades , as como operaciones con ellos. Objetivo especfico 1 Identificar cuando un nmero real es irracional o racional, en caso de ser racional si es natural o entero. 2 El estudiante identificar las propiedades y postulados de los nmeros reales en ejemplos algebraicos o bien aritmticos. 3 Resolver operaciones con nmeros reales Mapa conceptual NMEROS REALES

NMEROS RACIONALES NMEROS IRRACIONALESNo se pueden transformar en fraccin

Se pueden escribir como cociente de dos enteros *FRACCIONES *DCIMALES FINITOS *DECIMALES PERIDICOS INFINITOS

ENTEROS

EJEMPLOS

7 2.5050050005....

NATURALES

{1,2,3,...}

{0}

INVERSOS ADITIVOS DE LOS NATURALES

{

1, 2, 3,...}

Estrategias de enseanza 1. El profesor inducir al alumno a ir construyendo juntos el campo de los nmeros reales y sus diferencias con cada subconjunto 2. Explicar ejemplos de cmo distinguir un nmero racional de un racional 3. Concluir el mtodo para transformar un decimal peridico infinito en fraccin 4. Explicar los Postulados y algunas demostraciones de las propiedades 5. -explicara algunos ejemplos de las aplicaciones de postulados y de las propiedades 6. resolver ejercicios que incluyan nmeros reales, inclusive divisibilidad entre ellos, porcentajes. 7. Aclarar dudas de los alumnos 8. El profesor dar ejercicios en clase despus de cada tema, y dependiendo del su grado de abstraccin le dar dcimas de punto por cada uno, en donde al final de la calificacin parcial se incluirn. Estrategias de aprendizaje 1. En ste tema el alumno consultar cualquier libro dado en los de bibliografa 2. El alumno previo al desarrollo del tema puede consultar las siguientes pginas: 3. 4. 5. 6. 7. http://ciencias.bc.inter.edu/ntoro/mate0010/bases/arit/index.htm http://www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/apuntes/01-reales.pdf http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec1/cap1.html#numeros_reales http://www.matematicasdebachiller.com/temario/calcudif/tema_01/pdf/1v0101.pdf http://ciencias.bc.inter.edu/smejias/algebra/CONTENIDO.htm

8. Realizar tareas a diario 9. Participaran realizando ejercicios en clase , pizarrn y , aquellos que entiendan ms ayudarn a los dems, haciendo grupos para apoyarse. 10. Asistirn a asesora todo alumno que no comprendi con cualquier profesor de la institucin ( existen horarios de asesora) Recursos 1. Uso de pizarrn 2. Uso del Iinternet 3. Uso de la bibliografa 4. Uso de autoevaluaciones y de algunas pginas interactivas dadas por el maestro.

5. Apoyo de los mejores alumnos como monitores Evaluacin 1. Para evaluar se tomaran en cuenta : 2. Tareas 10 % 3. Trabajos 10 % 4. Dcimas por trabajar en clase y de acuerdo a los ejercicios o problemas resueltos 5. Exmen individual 80%, 6. El profesor tendr en cuanta el trabajo personal de cada alumno con el fin de apoyarlo de cerca y que logre xito de aprendizaje de la materia

CONCEPTOS IMPORTANTES SOBRE NMEROS REALES

La nocin de nmero es uno de los conceptos mas antiguos , pues para llegar a la concepcin actual se necesitaron muchos siglos de anlisis y reflexin

Dicen los antroplogos que algunos pueblos antiguos se valan para contar con piedras, dichas piedras eran los nmeros naturales (N) por ejemplo nuestro sistema tiene 9, planetas, tenemos 7das de la semana. El conjunto N. Podemos hacernos algunas preguntas acerca de N Tiene primer elemento? Cada nmero tiene un siguiente? Entre un nmero y su siguiente hay otro? Tiene ltimo elemento?

NUMEROS NATURALES Son todos aquellos nmeros que nos sirven para contar. Tambin con los nmeros naturales se pueden mostrar ordenamientos por ejemplo si ordenamos los planetas a partir del Sol, la Tierra es el tercer planeta y Marte el cuarto. Adems dadas dos cantidades podemos compararlas, la Tierra tiene menos satlites que Jpiter. Esto nos muestra que el conjunto de los nmeros naturales es un conjunto ordenado, razn por la que podemos representar sobre una recta

N={1,2,3,4,5,}OPERACIONES CON NMEROS NATURALES: Los nmeros naturales se pueden sumar y multiplicar, el resultado de estas operaciones es un nmero natural, pero la resta o diferencia no siempre es posible Un nmero natural b se puede restar de a slo en el caso en que b sea menor o igual que a. NMEROS ENTEROS NEGATIVOS O INVERSOS ADITIVOS DE LOS NATURALES( TAMBIEN LLAMADOS OPUESTOS) Como no se pueden restar los naturales se crearon los inversos aditivos .A cada nmero natural b se le asign como correspondiente un nmero negativo b llamado tambin el opuesto . Ya que tiene la propiedad de que

b + ( b) = 0

NUMEROS ENTEROS

Los nmeros naturales en unin con los inversos aditivos de los naturales y el cero forman los enteros, los cuales se representan ya sea con la letra Z I

NUMEROS RACIONALES Al conjunto de todos los nmeros enteros, las fracciones, y todos aquellos nmeros que se pueden escribir como fraccin se llaman nmeros racionales Se les asigna la letra Q. Q ={

m n

,myn

Z, n 0}

Todo nmero racional puede sumarse dividirse, restarse, multiplicarse y el resultado es un nmero racional.

Simplificacin: simplificar una fraccin es sustituirla por otra equivalente cuyo denominador sea el menor posible. Expresin decimal de un nmero racional Los decimales exactos es decir que tiene una expresin decimal finita se localiza el ultimo decimal en orden de decimos, centsimos y entonces se escribe como fraccin de acuerdo a l 3.534 el 4 ocupa el lugar de los milsimos por tanto En el caso de un decimal peridico infinito Se le asigna una variable al nmero dado, luego se multiplica por 10,y 100 o por 10,y 1000 o por 100,y 1000 etc segn convenga ( segn convenga quiere decir que al multiplicar las dos veces distintas deben coincidir los decimales que quedan para que al restar esos decimales resulte cero a la derecha del punto. Ejemplo Transformar a fraccin el decimal peridico infinito: 8.0456456456

3.534 =

3534 1000

sea n = 8.0456456456...tenemos una igualdad (n = 8.0456456456...)10000,10 10000n = 80456.456456... 80.456456... 10n = 9990n = 80376.000000... quedando 9990n = 80376 80376 n= 9990

Note que el 4 es el primer dgito que se repite ( es decir es donde empieza el periodo) dicho periodo es de tres dgitos que son 456 , Nos conviene multiplicar por 10 ya que es donde inicia el periodo, y luego observe que si multiplicamos por 10000 se inicia otra ves el periodo con 4 ( para esto basta observar donde se inicia el periodo contando del punto a la derecha con dcima, centsima, milsima, diezmilsima, es recorrer el punto cuatro dgitos a la derecha )

NUMEROS IRRACIONALES Sea entonces el nmero 2.31331333133331 que no es decimal exacto ni decimal peridico Ser un nmero racional? La respuesta es NO de serlo tendra una expresin exacta o peridica. Estos nmeros son los no racionales o irracionales Dentro de ellos est , e,

2, K 7 etc

Q es el conjunto de todos aquellos nmeros que no se pueden escribir como cociente de dos enteros ( es decir como fraccin) LOS NUMEROS REALES R =Z UQ Jupiter 142600 778.3Si al conjunto de nmeros racionales aadimos el conjunto de los irracionales, obtenemos un conjunto ms amplio, que se llama conjunto de los nmeros reales. No obstante debemos a Euclides una de las demostraciones sobre la existencia de los llamados nmeros irracionales. Se cree que siglos antes, la Hermandad de los pitagricos descubri por primera vez los nmeros irracionales, pero el concepto fue tan aborrecido por Pitgoras que ste neg su existencia. Cuando Pitgoras declaraba que el universo est gobernado por nmeros haca alusin a los nmeros racionales, o sea, a los nmeros enteros y a las proporciones entre ellos (fracciones). Un nmero irracional no es ni un nmero entero ni una fraccin, y eso fue lo que horroriz a Pitgoras. De hecho, los nmeros irracionales son tan extraos que no pueden transcribirse como decimales; ni tan siquiera como decimales peridicos. Un decimal peridico como 0,1111... es en realidad un nmero bastante sencillo y equivale a

1 . El 9

hecho de que los unos se sucedan por siempre jams significa que el decimal posee un patrn muy simple y regular. Esta regularidad, aunque se repite hasta el infinito, implica que el decimal puede volver a escribirse como fraccin. Sin embargo, si intentamos expresar un nmero irracional en forma decimal acabamos teniendo

un nmero que contina por siempre sin ningn patrn regular o lgico.

Cuando Euclides os enfrentarse con el problema de la irracionalidad en el dcimo volumen de su libro, Los Elementos, su objetivo consisti en demostrar que existen nmeros que jams podrn transcribirse como una fraccin. En lugar de probar que es un nmero irracional, analiz la raz cuadrada de dos . Para demostrar que 2 no se puede escribir en forma de quebrado, Euclides utiliz el mtodo de la reduccin al absurdo y empez por asumir que s es posible. Despus demostr que esa fraccin hipottica poda simplificarse hasta el infinito. Simplificar una fraccin consiste en que, por ejemplo, la razn dividen sus trminos entre 2, y a su vez se pude simplificar como

8 4 se puede reducir a , si se 12 6

2 , la cual ya no puede reducirse ms y por 3

tanto se dice que est en su forma ms simplificada. En cambio, Euclides mostr que la fraccin hipottica que supuestamente representaba 2 poda simplificarse una y otra vez hasta el infinito sin llegar a reducirla nunca a su forma ms simplificada. Esto es absurdo porque todas las fracciones tiene que alcanzar tarde o temprano su forma ms simplificada y por tanto la fraccin hipottica de partida no puede existir. De esto se deduce que

2 no puede escribirse como fraccin y es un nmero irracional.

POSTULADOS DE LOS NMEROS REALES Si a, b y c son nmeros reales entonces: postulado Conmutativo Operacin Suma Definicin a+b = b+a Que dice El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado. Ejemplo 2+8 = 8+2

Multiplicacin Asociativo Suma

ab = ba a+(b+c)=(a+b)+c Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado. Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa. La suma de opuestos es cero. El producto recprocos es 1. de

5(-3) = ( -3)5 7+(6+1)=(7+6)+1

Multiplicacin

a(bc) = (ab)c

-2(4x7)= (-2x4)7

Identidad

Suma

a+0=a

-11 + 0 = -11

Multiplicacin

a x 1= a

17 x 1 = 17

Inversos

Suma

a + ( -a) = 0

15+ (-15) = 0

Multiplicacin

distributiva

Suma respecto a multiplicacin

a(b+c)=ab+ac

El factor se distribuye a cada uno de los sumandos

2(x+8)=2x+2(8)

Cerradura

Suma Multiplicacin

Un conjunto es cerrado respecto a la suma si al tomar dos de sus elementos y sumarlos el resultado, o suma es un elemento del mismo conjunto

Un conjunto es cerrado respecto a las multiplicacin si al tomas dos de sus elementos el producto es un elemento del mismo conjunto

N=1,2,3,4, 4+8 =12, 4 y 8 son elementos de N ,y 12 es elemento de N , entonces N es cerrado respecto a la suma.

Otras propiedades Propiedad de los opuestos -( -a ) = a Que dice El opuesto del opuesto es el mismo nmero. El producto de reales con signos diferentes es negativo. -(-9)=9 Ejemplo

(-a)( b)= a (-b)= -(ab)

( -15) (2) = 15( - 2) = - (15 x 2) = - 30

( - a)( -b) = ab

El producto de reales con signos iguales es positivo. El producto entre un real y -1 es el opuesto del nmero real. Que dice Todo real multiplicado por 0 es 0. Si un producto es 0 entonces al menos uno de sus factores es igual a 0. Que dice Todo es igual a si mismo Los miembros de una igualdad pueden intercambiarse

( -34) ( - 8) = 34 x 8

-1 ( a ) = - a

-1 ( 7.6 ) = - 7.6

Propiedad del cero ax0=0

Ejemplo

16 x 0 = 0

a x b = 0 entonces a=0b=0

(a+b)(a-b) = 0 entonces a+b=0ab=0

Propiedades de la igualdad Reflexiva a=a

ejemplo X+2=x+2

Simtrica a=bb=a

34+1/2 = x x=34+1/2

Transitiva a=b y b=ca=c

Si en dos igualdades el segundo miembro es igual a otro valor entonces el primero es igual al tercero

2=x y x=w2=w

Sustitucin a=b a se puede cambiar por b

Podemos cambiar un valor por su equivalente

X=5 y a+x=7a+5=7

Aditiva a=b a+c=b+c

Se vale sumar la misma cantidad a ambos miembros

X 2 = 6 (x- 2)+2=8+2 x=4 y w=z x+w=4+z

Multiplicativa a=ba.c=b.cRecuerda Operacin Definicin

Se vale multiplicar ambos miembros por la misma cantidad

3x=6 1/3(3x)=1/3(6)

Que dice

Ejemplo

Resta

a b = a + ( - b)

La resta es la suma del opuesto del sustraendo.

2 8 = 2 + (-8) = - 6

Divisin

La divisin es la multiplicacin por el recproco del divisor.

LEYES DE LOS EXPONENETES

EJEMPLOS

QUE

DICE

a .a = a

m

n

m+ n

Reglas de divisibilidad

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Divisibilidad por 2 Divisibilidad por 3 Divisibilidad por 4 Divisibilidad por 5 Divisibilidad por 6 Divisibilidad por 7

Un nmero es divisible entre dos si su ltima cifra es 0, par Un nmero es divisible por 3, si la suma de los dgitos que lo componen es mltiplo de 3. Un nmero es divisible por cuatro, si termina en 4 o en 8 Un nmero es divisible por 5, si termina en 0 5 Un nmero es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3 a la vez un nmero es divisible por 7, si el nmero que se obtiene al separar el ltimo dgito, multiplicarlo por 2 y restarle el nmero que queda, es mltiplo de 7. Ejemplo: ser el nmero 7245 divisible por 7? Separamos el 5 que es la ltima cifra, la multiplicamos por 2 entonces 5x2=10, 10 lo restamos del nmero que qued al separa el 5 , es decir qued 724. Entonces 724-10= 714 repetimos el proceso separo 4 4x2=8, 71-8= 63, y 63 = 9x7 esto quiere decir que 7245 es mltiplo de 7.

Divisibilidad por 8

Divisibilidad por 9

Divisibilidad por 10

Divisibilidad por 11 Divisibilidad por 12

EXAMEN DIAGNSTICO 2 ( SOBRE NMEROS REALES) analizar, despus escribir el nombre de la propiedad o del postulado que se cumple en cada paso: 1. 3[x+(5+2x)] =3[x+(5+2x)] =3*x+3(5+2x) =3*x+(3*5+3*2x) =3x+(15+6x) =3x+(6x+15) =(3x+6x)+15 =(3+6)x+15 =9x+15 2.5(x-10)+4=x+18 3. (5*x-5*10)+4=x+18 4. (5x-50)+4=x+18 5. 5x+(-50+4)=x+18 6. 5x+(-46)=x+18 7. (l+4)x+(-46)=x+18 8. (1x+4x)+(-46)=x+18 9. (x+4x)+(-46)=x+18 10. x+[4x+(-46)]=x+18 11. [4x+(-46)]=18 12. [4x+(-46)]+46=18+46 13. 4x+[(-46)+46]=64 14. 4x+0=64 15. 4x=64 16. 4x=4*16 17. x=16 Q Q Z N

18: coloca en los crculos los nmeros reales de acuerdo al subconjunto que le corresponda A=

5 4 0.4444..., ,10, ,0.555,2,2000,0.000003, , 2.2222,0.343434..., 7 ,555555,0 7 9

}

19 Una empresa constructora edifica una torre de departamentos de base rectangular en un terreno de 20 m por 60 m. Si debe quedar libre una franja uniforme de 3 m alrededor de la torre qu superficie ocupa la porcin de terreno a edificar

20 Indica que parte del total de la figura representa a) la parte verde b) la parte amarilla c) la parte rosa d) la parte blanca

AUTOEVALUACIN 3 (INTEGRADORA) 1 La encuesta en una Universidad indica que se entrevistaron a 70 estudiantes. Indique el porcentaje de cada uno de los casos si:29 estudiantes les gusta el Jazz,23 el rock,40 les agrada la msica, 10 les gusta la msica clsica y el Jazz ( hacer un diagrama, adems) 2 El mnimo comn mltiplo de: 15, 21 y 28, es: a)3 b)28 c)420 d)no se

3Cul de los nmeros es primo? a)no se b)133 d)937 d)241

4 El nmero que es divisible entre siete es (aplique la regla): a)96719 5 Son nmeros racionales. a) -4,0, 2.3434 b)4,0,0.340340034000 b)-4,e,2.3434 d) no se b)95718 c) No se d)94555

6 La fraccin equivalente al decimal peridico infinito es (23.2323...): a)23/99 b) no se c)130/99 d)2300/99

7Qu desayun hoy en la maana? Una tortilla de huevo? Apostamos que no podra ser la tortilla de huevo ms grande que se ha hecho, pues su peso era de 1234 libras. Aproximadamente cuntos gramos son? (lb=0.454gr) ((Escriba su respuesta) 8El ejemplo que cumple con el postulado distributivo es: a)2+(x+a) b)x[(b+a)+y]=x(b+a)+xy c)No se d) 4+a=a+4

9El ejemplo que cumple con el postulado de inverso aditivo es: a)

(

2+7 +

(

)

7 + 2 =0

)

b)No se

d)0.1=0

d) 2(1/2)=1

10complete los ejemplos: a) (3+2)5=3_ c) (85)a=_ _( +_ ) b) (3+2)5=3_ +_ ]+ /

d)(4+ 2)+(3+1/3)= [(4+ 2)+

11El valor absoluto en matemticas se interpreta como: a) No se b)Un nmero positivo c)Una distancia c)Un nmero sin signo

12El conjunto A={1,0,-1} cumple con el postulado de cerradura para la resta? a) Si b)No se c) no d) a veces

13El conjunto Z (enteros) cumple con el postulado de cerradura para la suma? a) no se b) no c) si d) a veces

14El conjunto de racionales ente 2 y 3 es un conjunto: a) Finito b) infinito c) Indefinido d) No se

15Podemos dividir entre cero? a) Nose 16 Es un nmero racional a) 3.010010001 b)2.222 c)2.22 d)3/5 b) No c) Si d) A veces

17De acuerdo a la propiedad simtrica de la igualdad, 5x+3=4(9+x) es lo mismo que: a3+5x=4(x+9) b) 4(x+9)=5x+3 c) 4(x+9)=5x+3 d)5x+3=4(9+x)

18La propiedad transitiva se cumple en: a) si s=w y a=3 ent. 3=w b) a=w y w=b+c ent. a=b+c c) si x=4 ent. 4=x c d) Si x=5 ent.x+a=5+a

19Si 6=2+v y 6=x entonces 6+6= (2+v)+x est aplicada: a)Post.Asociativo b)Prop.Aditiva de la I c)Prop. Reflexiva d) Prop. De sustitucin

20El postulado que dice que para todo x existe un x tal que el producto de ellos dos es uno. Es a)Post. De Multiplicativo Inverso b)Post. De Inv. Aditivo c)Post. De Cerradura d) Post de Neutro Aditivo

21El teorema fundamental de la aritmtica dice Todo nmero natural puede representarse como el producto de factores primos. Entonces de 105 son:tiene como factores primos a: a)3,5,7 b)1,5,7 c)21,5 d)10,5

FACTORIZACION (REGLAS PARA FACTORIZAR) COMO SE DISTINGUE DIFERENCIA CUADRADOS DE COMO SE FACTORIZA Sus factores son dos binomios conjugados. El primer binomio:Sale de sacarle raz cuadrada a ambos trminos dados y separados por el signo menos, el otro binomio es el mismo pero con signo contrario. Ejemplo

Son dos trminos cada uno elevados al cuadrado ( pueden ser un trmino solamente que est elevado al cuadrado), los separa un signo menos. Ejemplo

a 4b 2b )2

2

2

= ( a 2b )( a + 3 + 6h

a 4b , 3 c 22

2

3 36h = 3

.

(

6h

)(

)

Note que el 3 es un nmero que no tiene raz cuadrada exacta

Note que en el caso del trmino 3 al no poder sacarle raz, entonces se deja indicada la raz. Cabe mencionar que sacar raz cuadrada a un exponente es dividir el 14 exponente entre dos. Ejemplo si deseo sacar la raz cuadrada a b su raz ser

b

7

ya que

14 2

= 7 . Este razonamiento se hace de igual forma para sacar

cualquier otra raz.

7c 25w

16

30

(

8 15 8 15 = 7c 5w 7c + 5w

)(

)

( recuerde que binomios conjugados son dos binomios iguales que slo se diferencian en el signo. Un binomio es con signo ms y el otro es con signo menos). SUMA Y DIFERENCIA DE Sus factores son un binomio por un trinomio. CUBOS Binomio Trinomio Son dos trminos elevados al cubo cada trmino. El binomio: es la raz cbica de cada menos uno de los trminos dados, y los separa un signo si es diferencia de cubos, o un signo ms si es3 3 2

a 64b3

3

a 3 64b 3 = ( a 4b ) ( a 2 + 4ab + 16b 2 125c + 8d = ( 5c + 2d ) ( 25c 10cd + 2d2

)

suma de cubos El trinomio: es el primer trmino del binomio( anterior), elevado al cuadrado, signo contrario al del binomio, el producto de los dos trminos del binomio, mas el segundo trmino del binomio al cuadrado.

(Puede ser que est un solo trmino elevado al

cubo), los separa ya sea un Los dos trminos dados signo menos, en el caso de una diferencia, o un signo de ms en el caso de una suma de cubos.

TRINOMIOS Son trmino tres est

Sus factores son dos binomios, que pueden ser iguales o diferentes. Se buscan trminos. dos factores del primer trmino del trinomio y se colocan en los parntesis que el primer contendrn los binomios ( estos factores son los primeros trminos de los elevado

Generalmente

al binomios. De igual forma se buscan dos factores del ltimo trmino del trinomio cuadrado, el trmino de en y se colocan como segundos trminos de los binomios. medio contiene la o las Los signos de los binomios son aquellos que multiplicados den el signo del variables del primer trmino tercer trmino del trinomio y que sumados den el signo del segundo trmino del como del ltimo, y el tercer trinomio. trmino est elevado al 40b-47b+12=(5b-4)(5b+4) 16h--20hk-6k=(2h-3k)(8h+2k) cuadrado ( no siempre)

La comprobacin de la factorizacin de un trinomio es: Multiplicar el primer trmino del primer binomio por el segundo trmino del segundo binomio este producto se sumar con el, producto de multiplicar el segundo trmino del primer binomio por el primer trmino del segundo binomio. La suma deber ser lo mismo que esl segundo trmino del trinomio. FACTOR COMUN Se aplica el postulado distributivo. Ejemplo Todos los trminos de la expresin tiene la ax-bx=x(a-b) misma variable. O el mismo nmero como (h+k)x+2y(h+k)=(h+k)(x+2) mltiplo AGRUPACIN Se distingue por que son desde cuatro trminos en adelante 3. 1. Se agrupa o asocia segn convenga( es decir se asocian aquellos trminos que cumplan alguna de las factorizaciones anteriores). Se observa toda la expresin y se factoriza ya que debe cumplirse alguna de las factorizaciones anteriores.

2. Se factoriza cada asociacin anterior

Primer caso 6c-5d+12ac-10ad (6c+12ac)-(5d+10ad) 6c(1+2a)-5d(1+2a) . (1+2a)(6c-5d)

Segundo caso 4a+b-8a-b (4a-b)- (8a-b) note que se asociaron as porque se cumple diferencia de cuadrados y diferencia de cubos. (2a-b)(2a+b)-(2a-b)(4a+2ab+b) factorizando ambas asociaciones

Se asoci 6c+12ac ya que se cumple factor comn y de igual forma se cumple factor (2a-b)[(2a+b)-(4a+2ab+b)] comn en 5d+10ad

Se suma o resta parte o una cantidad del trmino FACTORIZACION ESPECIAL central del trinomio con el fin de completar el doble Se distingue por ser un trinomio que no se factoriza del primer trmino por el segundo trmino mediante la regla anterior de trinomios

a + a + 1 sera un trinomio cuadrado perfecto si el tr min o de enmedio 2a en vez de a .2 2 2 2

4

2

fuese

Ejemplo

As pues sumemos otra a pero restemos a al mismo tiempo para que la exp resin no se altere Esto nos da la diferencia de dos cuadrados que se factorizan sobre los enteros aunque puede ser sobre los reales. a +a +1= a +a +1+a 2 a = a + 2a + 1 a2 4 2 4 2 4 2 2

sumamos a pero tambin la restamos se sumaron las a positivas se tiene un TCP2

2

= ( a + 1) a2 2

2

=

[( a

2

+ 1) a

][( a

se tiene una diferencia de cuadrados2

+ 1) + a

]

CRUCIGRAMA SOBRE FACTORIZACIN

HORIZONTALES 1 Generalmente comprende de tres pasos la factorizacin por . 2 Sus factores son dos binomios conjugados cuadrados. 3 En la diferencia de cubos sus factores son un binomio y un . 4 El trinomio de la diferencia o suma de cubos, es el primer trmino del binomio al cuadrado ms o menos segn sea ( el signo debe ser el contrario al del binomio)el producto de los dos trminos del binomio ms el segundo trmino del binomio al .. 5 El de la suma de cubos se obtiene sacando raz cbica a ambos trminos de la suma de cubos. 6 Un binomios conjugados. es el que diferencia a los

VERTICALES 7 La expresin a(x+b)+2(x+b) cumple la factorizacin por . 8 Para factorizar un trinomio se buscan dos tanto del primer trmino como del ltimo trmino del trinomio. 9 La expresin que es separada por dos signos ya sea mas o menos se llama . 10 En la factorizacin de un trinomio, los signos de los binomios deben ser aquellos que_ _ den el ltimo signo. 11 Para factorizar la expresin ax+by+2x+2, lo primero que se hace es:_ 12 La expresin)

( x 2) 3 + 64( a + b) 3de cubos.

es una

DIAGNSTICO 3 ( para entrar a simplificacin de fracciones) Leer cuidadosamente la pregunta y contestar, para algunas preguntas es necesario efectuar operaciones 1. Las operaciones que necesitan mcm son: a) Las multiplicaciones b) divisiones c) sumas y restas de fracciones No se

2. El mnimo comn mltiplo es aquel en el que: a) Caben todos los denominadores( es decir aquel que es divisible entre cada denominador) 3. El m.c.m. de b) divide a los denominadores c) multiplica a todos los denominadores No se

+ 6)2

( x 4)( x 5x2

2

2

es:

a)( x + 4)( x 5x + 6)4. El mcm siempre es: a) Menor que los denominadores

b)( x 2)(x + 2)( x 3)

c) x( x + 2)(x 3)

No se

b) mayor que los denominadores

c) mayor o igual que los denominadores.

No se

5. Dos nmeros son primos entre s si: a) Ninguno es divisible entre el otro b) si tienen de divisores al 1 y al mismo c) si son mltiplos. No se

6. Podemos cancelar un numerador con un denominador iguales siempre que: a) Estn sumando b) estn multiplicando a todo c) sean nicos. No se

7. La operacin que siempre se transforma en multiplicacin es: a) La suma b) la divisin de fracciones c) la resta de fracciones No se

8. Si un polinomio es factor de cada termino, se le llama: a) Trmino comn 9. El m.c.m. de 2a, 3a, 4 es: a) 24 a 10. El resultado de la suma b) 12 a c) 12 a No se b) factor comn c) multiplicador No se

8x 4x 5 5 2x 14 x 3 21

es:

a)

10 7

b)

x 5 4x

c)14x 2

No se

11. El resultado de

x 9 2 3x + 11x 4 b)

2

5x + 20 es: 2 x 4x + 3 (x c) 1) ( x 5)No se

a) (x 3) / (x 1)

5( x + 3) (3x 1)( x 1)

12. La factorizacin de 2ax 5 a 2bx 5b es: a) (x 6) (x 1) b) (2x 5) (a + b) c) (2x -5) (a b) No se

13. Podemos cancelar dos trminos siempre y cuando sean: a) Mltiplos b) inversos aditivos c) iguales No se

14. Suponga que el costo de inventario total anual es 3 a + (48000 / a) hallar el valor del costo si a = 400. a) 1800 b) 1080 c) 1320 No se

15. Una operacin que tiene como numerador una suma o resta de fracciones en el numerador tambin se le llama: a) Fraccin compleja b) fraccin c) operacin de fracciones No se

16. En un modelo de negociacin, ocurre la ecuacin:

1 m R= 1 Q m P17. Calcular R si

Expresar la R sin fraccin compleja

No se

p=

,Q 9=

2

11 m=5 20No se

18. Para sumar dos fracciones algebraicas primero. a) saco el mcm b) veo si se pueden factorizar sus denominadores c) multiplico sus denominadores. No se

19. El mcm se obtiene: 20. El mcm de (a b) (2 c), (a) b, (a b) (2 c), a)a*b b)a*b(a-b)(2-c) a b es: No se

c)a*b(a-b)(2-c)

OPERACIONES ALGEBRAICAS, CONCEPTOS IMPORTANTES

SUMA Y RESTA DE MONOMIOS Observar las siguientes operaciones: Ejemplo .- 1) 5ax y - 2ax y = 3ax y 2) 4ax y + x y Observe la figura 1. Cul ser el volumen en expresin algebraica?. figura1 En el primer caso la resta de monomios se puede realizar mientras que en el segundo caso la suma no. En el primer caso se trata de monomios semejantes y en el segundo no. Por tanto: Para sumar o restar dos monomios tienen que ser semejantes. La suma o resta es otro monomio semejante a ellos que tiene por coeficiente la suma o diferencia, segn el caso, de los coeficientes. Cuando los monomios no son semejantes la suma queda indicada y el resultado es un polinomio como veremos en este tema. :PRODUCTO DE MONOMIOS Para multiplicar monomios se debe recordar el producto de potencias que, como sabemos se puede realizar si tienen la misma base. Por ejemplo: (5x 3x =15x ya que: "Para multiplicar potencias de la misma base se deja la misma base y se suman los exponentes"Con ello, para multiplicar monomios, se multiplican los coeficientes de cada uno entre si y las potencias que tengan la mima base de cada uno, dejando las de distinta base como estn. DIVISIN DE MONOMIOS Dos monomios no siempre se pueden dividir. Observar los siguientes ejemplos:2)( 4) 6 4 3 2 4 3 4 3 4 3

a) 4ax

4

x y

2

y 2

3

b)

6x y

4

a x

3

En el primer caso a) se pueden dividir los coeficientes entre si y las letras del dividendo entre las del divisor, 2 2 aunque en el divisor no est la "a". Se obtendra como resultado a) 2ax y En el segundo caso b), al no existir la "a" en el dividendo, no es posible la divisin. Quizs se entienda mejor si expresamos la divisin como una fraccin y la "simplificamos", restando los exponentes de las potencias de la misma base:

En el segundo caso b) obviamente no podemos hacer lo mismo al no poder simplificar la "a" del denominador.

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS La suma de polinomios se basa en la de monomios ya vista en este tema. Se podrn sumar los trminos (monomios) que sean semejantes de los polinomios objeto de la suma. Ejemplo.- Para calcular la suma de los polinomios: (4x - 2x + 3x - 2x + 5 ) + ( 5x - x + 2x ) Basta sumar los trminos de grados 3, 2 y 1 de ambos polinomios y dejar el resto de los trminos del primero como est. Podemos indicar la suma de la siguiente forma para verla mejor: 4x - 2x + 3x - 2x + 5 3 2 +- 5x --- x +2x 4x + 3x + 2x + -----5 Por tanto: Para sumar dos o ms polinomios se suman los trminos semejantes de cada uno de ellos. Si en lugar de sumar dos polinomios se tratara de restarlos, bastara cambiar el signo a todos los trminos del segundo y sumar los resultados.4 3 2 4 3 2 4 3 2 3 2

PRODUCTO DE POLINOMIOS Para multiplicar dos polinomios se deben multiplicar todos los monomios de unos por todos los del otro y sumar los resultados. ("Atencin especial al producto de potencias de la misma base") . DIVISIN DE POLINOMIOS La divisin de polinomios, en general se realiza de forma semejante a la de nmeros de varias cifras, aunque las operaciones que realizamos rpidamente con los nmeros, con los polinomios las vamos indicando. El proceso es el siguiente: Con los polinomios dividendo y divisor ordenados de mayor a menor grado: - Se divide el primer trmino del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al primer trmino del cocienteSe multiplica dicho trmino por el divisor y se coloca debajo del dividendo con los signos contrarios, cuidando que debajo de cada trmino se coloque otro semejante- Se suman los polinomios colocados al efecto, obtenindose un polinomio de grado menor al inicial- Se continua el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por ser de menor grado. Normalmente se dividen polinomios con una sola variable (x) tanto en el dividendo como en el divisor. Ejemplo

3x 2 x 5x 9 entre x 2 3x 2 + 4 x + 3 3 x 2 3x 2 x 2 5x 9 3x + 6 2 x + 4x 5x 4x + 8x2 2 3

3

2

+ 3x 9 3x + 6 3Como se ve se ha obtenido de cociente

3

3x + 4 x +

2

y de residuo 3

DIVISIN SINTETICA O REGLA DE RUFFINI Pablo Ruffini matemtico italiano (1765-1829) ide un procedimiento esquemtico para hallar el cociente y el residuo de un polinomio cualquiera dividido entre otro de la forma x-a hoy se le llama divisin sinttica o regla de Ruffini Ejemplo dividir

3x 2x 5x 9 entre x 2 3x + 4x + 3 3 2 x 2 3x 2x 5x 9 3x + 6 x2 3 2 2

3

2

+ 4x 5x 4x + 8x2

+ 3x 9

3x + 6 3

VALOR NUMRICO DE UN POLINOMIO Es el valor que se obtiene al sustituir un valor a por la varible x en el polinomio

Si P(x)= 3x

3

2 2x 5x y calculamos P(2)

9P(2)= 3(2)3

2(2) 5(2) 9 = 3

2

Observe que es el residuo de la divisin TEOREMA DEL RESIDUO Sean P(x) R x y a R el valor numrico de P(x) en x=a es igual al residuo de la divisin de P(x) entre x-a

[]

DEMOSTRACIN Al dividir P(x) entre (x-a) obtenemos un polinomio cociente c(x) y un polinomio residuo de grado cero o bien r(x)=O p (x), tenemos entonces la relacin P(x)=(x-a) c(x) r con r 0 Determinemos ahora el valor del polinomio para x=a P(a)=(a-a)c(a)+r=r P(a)=r resulta que P(a)=r., que es lo que queriamos demostrar.

DIAGNSTICO 4 I Contestar F o V segn sea el enunciado Falso o Verdadero. f) Si la base de un tringulo es 3x y su altura 3 a) La cuarta parte de , se puede escribir 2 3x + 15x 4 ( ) es x+5 , entonces su rea es

( (

) )

3

2

4 4 b) 25

g) el m.cm. de :

3a 2 , 5(a 5) , 15(a 5)2

( a 5) 2 =

a

2

( (

) )

es 15(a 5)2 h) Simplificar

la primero

expresin realizar ( )

c) El mnimo comn mltiplo se emplea en las operaciones de Resta d) En

( x + 2) x + 1significax 12

sumando sus exponentes

( a 3) 7 ( a 3) 2

se simplifica la expresin

(

)

operaciones en el numerador y despus factorizar tanto numerador como denominador para poder cancelar el factor igual que se encuentra tanto en el numerador como en el denominador

( ) e)El producto de dos monomios es un monomio II Administracin. El costo total de rdenes es igual al costo de ordenar ms el costo de transporte es decir: 75x +

4680 , el valor mnimo de esta expresin ocurre cuando x es aproximadamente de 8 .Cul ser el x

costo total cuando x es igual a 5? III Realice las operaciones

3a 8a 2 12ab 3ab 3 7 c) a 3 3a)

2 3a 8a b) + 12ab 3ab a 6a d) 2 2 a b +

2a b(a + b)

3 a b

sen a +e)

cos a sen a cos a 1 sen a

h+f)

k h

1 k h

200 2 b 2 + 2 b 2

200 a + a

IV Simplifique La diferencia de dos reas superficiales de dos recipientes es

V Encuentre el rea de la porcin sombreada 3x+10

3x

xx+4

ECUACIUONES DE PRIMERO GRADO(Conceptos importantes Mapa conceptual de Ecuaciones de Primer grado

)

Ecuaciones lineales o Ec. De primer grado con una variable

De la forma ax+b=cx-d

Que contienen signos de agrupacin

Que contienen fracciones Que contienen

Despejes

Plantear un Problema y resolverlo

Objetivos Identificar una ecuacin de primer grado con una variable Traducir un enunciado verbal a una expresin algebraica Resolver una ecuacin de primer grado Despejar cualquier variable en una ecuacin lineal Aplicar estos conocimientos en cursos posteriores Razones u proporciones Utilizar las razones en un problema verbal para plantarlo Resolver problemas utilizando proporciones ECUACIUONES DE PRIMERO GRADO(Conceptos importantes) 1 Una ecuacin de primer grado se distingue por su exponente mximo el cual debe ser uno para la variable que se hable Una ecuacin es un enunciado que afirma que dos expresiones algebraicas son iguales Al Nmero que hace de una ecuacin o enunciado verdadero se le llama solucin o raz o cero de la ecuacin Al resolver una ecuacin se esta trabajando con dos expresiones Trabajar una expresin y sumarle un 6 cambiara su valor Al resolver una ecuacin y sumarle un 6 a ambos miembros no cambia su valor Dos ecuaciones son equivalentes si toda solucin de una de ellas tambin es solucin de la otra Al conjunto de todas las soluciones de una ecuacin se le llama conjunto solucin Se dice que una raz o solucin o un cero satisface la ecuacin Resolver una ecuacin quiere decir que hallar todas sus soluciones Una identidad es una ecuacin que tiene el conjunto de todos los nmeros reales como su conjunto solucin. Una ecuacin cuyo conjunto solucin no es el conjunto de nmeros reales se llama ecuacin condicional. Cuando se comprueba una solucin se escribe un signo de interrogacin sobre el signo igual para indicar que no se tiene la certeza de que la ecuacin es verdadera Es til pensar que una ecuacin tiene dos lados que estn en equilibrio, en consecuencia cuando intente resolverla debe tener cuidado de mantener ese balance haciendo las misma operaciones en ambos lados. Al resolver una ecuacin el objetivo es despejar la variable en un lado del signo igual y todo lo dems en el otro lado.

Ejercicios de la pagina 85,-87 Larson lgebra intermedia Ejercicios de la pagina 127-129 Rees lgebra

DIAGNSTICO FINAL O EXTEMPORNEO 1 Coloqueen el parntesis F o V si el enunciados es falso o verdadero 1. El cudruple de la tercera parte de la diferencia de dos nmeros reales se representa

a b 4 3 x 9 b= 2A +B, h2

(

)

2.

( x + 3)( x 3) =A= 2

(

)

3. Si

( b + B ) h , entonces,

4.

1 5 3 = 25

(

)

(

)

2 Factorizar completamente 1.

=

a 9a + 14

2

2. 6(a+b)-5c(a+b)

3.

=

4a 49b

2

2

4.

2a + 6a 5ab 15b =

2

3 Resolver las ecuaciones. 1.

3a 2a + 1 16 = 3 23.

2.

12

12 3( 2a 6) =

5a +

3a = 55 6

4 Resolver las operaciones y simplificar

3a 3{3b 5[( 2 a ) + 4]}

1 = 5

1 2

+

1 4

14 + 10 21

[( 2a + 2b ) + ( 3a

3b ) ]

[( 2a

2b ) + ( 3a + 3b ) ] =

4

2

2

25 + 2 2 3 4

a + 12 a 15 + 17 a 2a + 6 a + 8a + 12 2

1 3 1 + 6 4 2

=

Multiplicar

a + 3 a 3 + 27

x 16 x + 64 x 8

2

5: Resolver y simplificar las siguientes fracciones

a 4a = + 2 a+2 a 4

2 b 2b 3b 2 12 2 = 2 b + 4b + 4 b + 2b

3

4

1

c2 1 = 2+ c

6. Resolver los problema. Cinco veces un nmero es 10 unidades ms que el triple del mismo nmero. Cul es el nmero? Datos Ecuacin Solucin

La suma de los nmeros primos entre dos y 14 es:

Transformar a fraccin el decimal peridico infinito 0.132132( nota: tambin conocido como calcular la generatriz)

Calcule la generatriz de 0.45

PGINAS DE CONSULTA PARA MATEMTICAS 1

http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/ing02/MATERIAL/18_EA_Fracciones_algebraicas_a.pdf Tiene sobre suma , resta multiplicacin de fracciones y ms sobre fracciones http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Polinomios/monomios.htm Trata monomios semejantes, divisin de monomios, leyes de los exponentes, tiene una parte interactiva de divisin de polinomios donde se cambia los exponentes y los coeficientes tanto del numerador como del denominador http://www.uda.cl/dmcc/hsalinas/material/algebra_basica.html#numeros_reales Sobre los nmeros reales, reglas importantes para resolver operaciones..etc. http://ciencias.bc.inter.edu/ntoro/gemaecuaprimer.htm sobre partes de una ecuacin http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0508-02/grado1.html como resolver una ecuacin de la forma ax+b. http://www.automind.cl/ECUA.HTM trae el juego de balanza para comprender una ecuacin de segundo grado http://personal.redestb.es/javfuetub/Algebra/Ecuaciones.htm Trata operaciones aritmticas y sus propiedades y postulados http://www.profesorenlinea.cl/matematica/EcuacionPropiedades.htm Propiedades de la ecuacin ( propiedades de la igualdad) , tipo de ecuaciones, coeficientes de una ecuacin, conjunto numrico de una ecuacin, resolucin de ecuaciones, ejercicios ,trae 7 simples y 7 con fracciones . http://soko.com.ar/matem/matematica/Ecuaciones.htm Tiene como resolver todo tipo de ecuaciones http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/historia.html Historia de las ecuaciones, buena pgina . http://www.uv.es/~didmat/luis/ppe.pdf Como plantear un problema http://www.uoc.edu/in3/e-math/Ecuaciones.htm Trae teora sobre como resolver ecuaciones de primer grado y ms.