mateparalavida[1]

7/23/2019 MateparalaVida[1]

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SOPEMATJORNADAS INTERNACIONALES DE EDUCACIN

MATEMTICA 2006Lima, del 23 al 27 de Enero

RESOLUCIN DE PROBLEMAS YMATEMTICAS PARA LA VIDAUldarico Malaspina Jurado

[email protected]

Pontificia Universidad Catlica del PerIREM- PUCP
mailto:[email protected]:[email protected]


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Esquema de la conferencia

1. Matemticas para la vida2. Resolucin de problemas3. Algunos problemas en la historia de la matemtica4. Algunas experiencias con problemas5. PISA


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1. Matemticas para la vida___________________________________

Cuestin previa

Qu concepcin tenemos de la matemtica?

Una construccin social dinmica

Conjunto estructurado de conocimientos no acabado;ms bien en permanente extensin, no slo con nuevosresultados sino con nuevos mtodos


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1. Matemticas para la vida (Continuacin)_________________________________________________________

Matemtica pura y matemtica aplicada?.

Algunos aportes de la matemtica pura a losavances tecnolgicos presentes en nuestras vidas:

Estudio del ADN (Geometra diferencial y topologa)

Tomografas y RMN (Transformadas de Fourier y deHilbert, Ondculas)

Discos compactos (Estructuras algebraicas)

Electricidad y electrnica (Anlisis complejo, lgicadifusa)


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1. Matemticas para la vida (Continuacin)_________________________________________________________

Aprendizaje de la matemtica vinculndola con la realidad:

Con situaciones de la vida diaria; pensamiento lgico Con problemas que se dan en otros campos del

conocimiento: Ingenieras, Fsica, Economa, Ciencias

sociales, Arquitectura, Psicologa, Biologa, Arte, etc. Con el uso de recursos tecnolgicos

Con la historia de la matemtica y del pas

Con los problemas nacionales Con las necesidades que se presentan en una sociedad

globalizada, con cambios tecnolgicos rpidos,

decisiones rpidas


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1. Matemticas para la vida (Continuacin)___________________________________

Ofrecer situaciones de aprendizaje de la matemtica convisin de futuro:

Desarrollar capacidades de autoaprendizaje

Desarrollar capacidades de investigacin

Desarrollar capacidades para construir modelos ymanejar situaciones complejas

Desarrollar capacidades para predecir

Ofrecer situaciones de aprendizaje de la matemticaeducando en la verdad y la belleza.

Ofrecer situaciones de aprendizaje de la matemtica quepermitan la recreacin inteligente.

Ofrecer situaciones de aprendizaje de la matemtica con

mtodos activos y teniendo en cuenta las nuevas formas deaprendizaje de los nios y jvenes.


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Pensando en el curriculum de la educacin bsica

Estimular el clculo mental y la estimacin.

Aprender a manejar adecuadamente calculadoras y softwarepertinente.

Desarrollar actividades que hagan intuir y manejar la aritmticamodular y otros temas de la matemtica discreta.

Desarrollar actividades que hagan comprender laproporcionalidad directa y su vinculacin con las funcioneslineales.

Presentar diversas situaciones que no correspondan a unrazonamiento lineal y su vinculacin con las funcionescuadrticas, con las funciones exponenciales, con laslogartmicas y las trigonomtricas.


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Pensando en el curriculum (continuacin)

Desarrollar actividades que hagan comprender y manejar

adecuadamente criterios estadsticos y probabilsticos. Desarrollar actividades que permitan verificar o descartar

conjeturas de optimizacin.

Iniciar experiencias sobre criterios racionales, probabilsticos yestadsticos para tomar decisiones.

Prestar ms atencin a la geometra, bi y tri dimensional.

Presentar situaciones de la geometra en la esfera.

Presentar situaciones ldicas que permitan construir modelos apartir del descubrimiento de regularidades y de

generalizaciones.


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2. Resolucin de problemas___________________________________

Una colaboracin para una

investigacin en EducacinMatemtica


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2. Resolucin de problemas___________________________________

2.1 Qu entendemos por problema? Una tarea que es difcil para la persona que est

tratando de hacerla (Schoenfeld). Difcil en el sentido deser un impasse intelectual y no slo a nivel operacionalo de clculo.

Incluye no slo situaciones especficas, sino tambin eltener que aprender un concepto matemtico

Tres aspectos fundamentales en torno a un problema:

Ser consciente de la dificultad Tener deseos de resolverlo

No conocer un camino inmediato para resolverlo


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2. Resolucin de problemas (Continuacin)___________________________________

2.2 Qu deberamos hacer al resolver un problema?

Comprender el problema, identificar la dificultad.

Conjeturar una solucin o un camino para llegar a lasolucin.

Organizar la informacin.

Experimentar, buscar regularidades

Establecer relaciones lgicas.


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2.2 Qu deberamos hacer al resolver un problema? (Cont.)

Aplicar conocimientos matemticos. Justificar las conclusiones intermedias y finales.

Encontrar sentido a lo que se desarrolle, en el contexto del

problema. Verificar la solucin encontrada.

Examinar otros caminos de solucin.

Modificar el problema para examinar otros casos (qupasara si .?) Modificar datos, cambiar la dificultad,considerar casos particulares, pensar en generalizaciones, etc.


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2.3 Resolver problemas es hacer matemtica

En consecuencia, el asunto fundamental no esadquirir tcnicas o habilidades de solucin de

problemas.De lo que se trata es de usar los problemas para

aprender a pensar matemticamente y para

hacer matemtica.


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3. Algunos problemas en la historia de las matemticas_______________________________________________

Dieudonne

La historia de las matemticas muestra que losavances matemticos casi siempre se originanen un esfuerzo por resolver un problema

especfico.

_________________Citado en Kleiner, 1986, pg 31: Famous problems in mathematics:

An outline of a course. For the learning of mathematics, 6 (1)


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3. Algunos problemas en la historia de las matemticas(Continuacin)

______________________________________________

Papiro de Rhind: Este papirofue encontrado a mediados del

siglo XIX y lleva el nombre de sudescubridor A. H. Rhind. Constade 110 problemas matemticosque tienen que ver con la vida

diaria; y el copista, tal y comoaparece en el propio papiro,parece llamarse Ahmose. Estescrito en torno al 1900 a.C.(Foto de Oronoz. Revista MUYESPECIAL, n33 ene/feb 98)

_________

http://centros5.pntic.mec.es/ies.ortega.y.rubio/Mathis/Egipto/papiros.htm


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______________________________________________

3 famosos problemas griegos:

Duplicacin del cubo

Triseccin del ngulo

Cuadratura del crculo

(aprox s. V a.C.)

3 Al bl l hi t i d l t ti


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3. Algunos problemas en la historia de las matemticas(Continuacin)______________________________________________

Problema del Conejo

Un hombre pone un par de conejos en un lugar rodeado

por una muralla. Cuntos pares de conejos pueden serproducidos a partir de ese par en un ao si todos losmeses cada par produce un nuevo par el cual a partirdel segundo mes comienza a ser productivo?

(Leonardo de Pisa, 1202)

Sucesin de Fibonacci *1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...

(La secuencia no aparece en la obra de Fibonacci)_________________

* Hijo de Bonacci, apodo de L. de Pisa



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______________________________________________

Hallar la tangente a una curva.

Hallar el rea de una regin limitada poruna curva.

(Eudoxo, s.IV a. C.; Arqumides, s. III a.C.;Cavalieri, Kepler, Barrow, Newton,Leibinitz, s. XVII d. C)



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______________________________________________El problema de la braquistcrona

Dados dos puntos A y B en un planovertical, hallar el camino AMB por el que

una partcula mvil M, descendiendo porsu propio peso, ira de A a B en el menor

tiempo posible.

(Johann Bernoulli, 1696)

3 Algunos problemas en la historia de las matemticas


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No existen nmeros enteros x, y, z queverifican la ecuacin

xn + yn = zn

cuando n es mayor que 2.

(Fermat, 1637 / A. Wiles, 1996)

Todo nmero par es la suma de dosnmeros primos.

(Goldbach, 1742 / ????)


______________________________________________


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Hilbert

Un matemtico francs dijo Una teora matemtica no

debe ser considerada completa hasta que sea tan clara de

entender que pueda ser explicada al primer hombre quepase por la calle.

Esta claridad y facilidad de comprensin, que aqu se le

exige a una teora matemtica, yo la exigira, an con msrazn, para un problema matemtico perfecto; porque loque es claro y fcil de comprender nos atrae, lo complicadonos repele.

________________Conferencia de Hilbert: Los problemas futuros de la matemtica, enel 2 Congreso Internacional de Matemtica, Pars, Agosto 1900


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Hilbert (continuacin)

(un problema) debera ser una seal-gua para

conducirnos por el laberinto de las verdades ocultas,recompensando nuestros esfuerzos con el placer que nos

depara la solucin hallada.

___________________Conferencia de Hilbert: Los problemas futuros de la matemtica, enel 2 Congreso Internacional de Matemtica, Pars, Agosto 1900


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Hilbert (continuacin)

Quizs, en la mayora de los casos, la causa de no

haber podido resolver un problema reside en no haber

tratado primero de resolver los problemas ms sencillos yfciles. Todo depende entonces de hallar estos problemasms sencillos y tratar de resolverlos por medio de los

procedimientos ms rigurosos con que contemos y deaquellos conceptos susceptibles de generalizacin

________________

Conferencia de Hilbert: Los problemas futuros de la matemtica, enel 2 Congreso Internacional de Matemtica, Pars, Agosto 1900

4 Algunas experiencias con problemas


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4. Algunas experiencias con problemas______________________________________

4.1 Aprendiendo con el problema de los planesde telefona mvil

Un amigo te pide consejo respecto a cul de los siguientesplanes de telefona mvil le conviene adoptar:

Plan 1: Pago de $ 0,90 por cada minuto o fraccin, mscuotas mensuales fijas de $ 15.

Plan 2: Pago de $ 0,76 por cada minuto o fraccin, ms

cuotas mensuales fijas de $ 22,50.Qu le aconsejaras?

Aprendiendo con el problema de los planes de telefona


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Aprendiendo con el problema de los planes de telefonamvil

Examinar los datosPracticar algunas estimaciones y clculos

Examinar varios casos y comparar

Definir funciones y trabajar con ellas habiendo dos variables enel problema.

Buscar un criterio, no un resultado numrico

Determinar un criterio objetivo

Resolver inecuaciones con dos variables

Graficar funciones

Usar criterios estadsticos

Comparar y compatibilizar formas distintas de resolverlo

Usar software matemticoValorar la utilidad de las matemticas

Telefona mvil


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Telefona mvil

Un posible enfoque:

x = nmero de minutos de uso al mesy = nmero de meses

Plan 1: f1(x, y) = 0,90 xy + 15 y

Plan 2: f2(x, y) = 0,76 xy + 22,5 y

ConvieneP2P1yx

P2272,40276460

P16056001050

P1181,20168430

P268,1069160P145,3042130

Observacin: En algunos casos conviene P1 y en otros P2

Telefona mvil


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Telefona mvil

Otro posible enfoque

x = nmero total de minutos de uso

y = nmero de meses

Plan 1: g1(x, y) = 0,90 x + 15 y

Plan 2: g2(x, y) = 0,76 x + 22,5 y

x y P1 P2 Conviene

30 1 42 45,30 P160 1 69 68,10 P2

100 4 150 166 P1

500 10 600 605 P1

200 4 240 242 P1

Observacin: En algunos casos conviene P1 y en otros P2

Telefona mvil


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Telefona mvil

En qu casos conviene P1 y en qu casos P2?x = nmero total de minutos de uso

y = nmero de meses

Plan 1: g1(x, y) = 0,90 x + 15 yPlan 2: g2(x, y) = 0,76 x + 22,5 y

g1 (x, y) < g2 (x, y)

0,90 x + 15 y < 0,76 x + 22,5 y

0,14 x < 7,5 y

x/y < 7,5/0,14 ~ 53,6

Por consiguiente

P1 es ms conveniente el nmero de minutos de

uso por mes es menor o igual que 53

Telefona mvil


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Telefona mvil

Observaciones

1. La misma conclusin se obtiene usando las funciones f1y f

2, lo cual permite destacar el significado de las

variables

2. Determinar el nmero de minutos por mes es unaexcelente oportunidad para usar criterios estadsticos.

3. Se puede usar un software como Mathematica, parailustrar grficamente la situacin

Telefona mvil


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Telefona mvil

4 2 A di d l bl d l


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4.2 Aprendiendo con el problema de losrecortes cuadrados

Javier toma una cartulina cuadradacuyos lados miden 2 005 unidades, y

va recortando cuadrados de lado 1,lado 2, lado 3, etc., todos pegados al

borde superior, hasta que ya no

cabe un cuadrado ms, como seilustra en la figura.

Hallar el rea de la porcin decartulina que queda sin recortar.

4 2 A di d l bl d l


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4.2 Aprendiendo con el problema de losrecortes cuadrados (Continuacin)

Resolviendo el problema

Una manera de resolver el problema es examinarcuntos cuadrados puede recortar Javier, resolviendo lainecuacin

La suma es muy conocida y entonces se llega a lainecuacin cuadrtica

n2 + n 4010 0,

de donde se obtiene que n = 62.

2005

1i

=

n

i

4 2 A di d l bl d l


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Resolviendo el problema (Continuacin)

Sabiendo que el mayor nmero de cuadrados quepuede recortar Javier es 62, se calcula el rea total delos cuadrados recortados, que queda expresada en lafrmula

Conociendo la frmula, se obtiene fcilmente que estarea es 81 375 unidades cuadradas. La respuesta alproblema ya es cuestin de una simple resta:

2 0052 81 375.

=

62

1i

2i

4.2 Aprendiendo con el problema de los


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Consideraciones didcticas El problema es rico en conexiones matemticas

El problema ofrece interesantes posibilidades de crear

nuevos problemas haciendo algunas modificaciones

Para resolverlo es importante conocer la frmula de lasuma de los cuadrados de los n primeros nmeros

enteros positivos, pues se debe hallar la suma

Ser valioso disear actividades individuales y grupalespara que descubran la frmula y la apliquen al problema


=

62

1i

2i



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Ficha 1 AProblema

Hallar en trminos de n el valor de la suma ,

donde k toma los valores 2 y 3.Actividades individuales

1. Hallar el valor de la suma

2. Expresar en trminos de n el valor de la suma

3. Expresar la suma en trminos de las sumas

y

recortes cuadrados

=

n

ki

1i

=

4

1

33 ])1([i

ii

)(a

3

1i

i ib+=

=

3

1iia =

3

1iib

=

n

i

ii

1

33 ])1([



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recortes cuadrados

Ficha 1 BProblema


donde k toma los valores 2 y 3.

Actividades individuales

1. Expresar la suma en trminos de las sumas

y

2. Expresar en trminos de 5 y de la suma

3. Demostrar la identidad

=

n

ki

1i

)(a

3

1ii i

b+

==

3

1i

ia =

3

1i

ib

=

3

1i

ia=

3

1i

i5a

==== +=n

i

n

i

n

iii

11

n

1i

2

1

33

13i3])1([i



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recortes cuadrados

Ficha 2Problema


donde k toma los valores 2 y 3.

Actividades grupales

1. Hallar, en trminos de n, el valor de la suma

2. Esbozar un procedimiento que permita expresar, entrminos de n, el valor de la suma

=

n

ki

1i

=

n

i

1i

2

=

n

i1i

3



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recortes cuadrados

Ficha 3Situacin

Javier toma una cartulina cuadrada

cuyos lados miden 2005 unidades, yva recortando cuadrados de lado 1,lado 2, lado 3, etc., todos pegados al

borde superior, hasta que ya no cabeun cuadrado ms, como se ilustra enla figura.

Actividades grupales1. Hallar el rea de la porcin de cartulina que queda sin

recortar.

2. Proponer otras actividades individuales o grupales relativas ala situacin descrita.

5 PISA


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5. PISA(Programme for International Student Assessment)

_________________________________________5.1 Objetivos

El objetivo de las evaluaciones OECD/PISA(1)

esdesarrollar indicadores que revelen en qu medida lossistemas educativos en los pases participantes hanpreparado a sus jvenes de 15 aos a jugar papeles

constructivos como ciudadanos en la sociedad.

En lugar de limitarse a los contenidos del curriculum quelos estudiantes han aprendido, las pruebas tratan de

determinar si los estudiantes pueden usar aquello quehan aprendido, en las situaciones que probablementeellos van a encontrar en su vida diaria

_____________(1) OECD: Organisation for Economic Co-operation and Development


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Las evaluaciones PISA se refieren a problemassobre el mundo real, que van ms all de tiposde situaciones y problemas que frecuentemente

se encuentran en las aulas de clase.

En el mundo real, los ciudadanos regularmenteenfrentan situaciones cuando compran, viajan,cocinan, tratan sus finanzas personales, juzgan

hechos polticos, etc. y en ellas el uso delrazonamiento cuantitativo o espacial u otrascompetencias matemticas los ayudara a

clarificar, formular o resolver problemas


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5.2 Definicin de alfabetizacin matemtica

(Mathematical literacy) para OCDE/PISA:

Es una capacidad individual de: Identificar y comprender el papel que juega lamatemtica en el mundo.

Hacer juicios bien fundamentados.

Usar y comprometerse con las matemticas de

modo que responda a las necesidades de la vidade ese individuo como un ciudadano constructivo,concernido y reflexivo.

El trmino alfabetizacin se ha elegido para enfatizar que el


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El trmino alfabetizacin se ha elegido para enfatizar que elconocimiento matemtico y las destrezas, tal como estn

definidos en el currculum tradicional de matemticas, noconstituyen el foco principal de atencin.

Por el contrario, el nfasis se pone en el conocimientomatemtico puesto en funcionamiento en una gran cantidad decontextos diferentes, por medios reflexivos, variados y basados

en la intuicin personal.

Ciertamente, para que este uso sea posible y viable, sonnecesarios una buena cantidad de conocimientosmatemticos bsicos y de destrezas; tales conocimientos ydestrezas forman parte de esta definicin dealfabetizacin.

5.3 PISA y los problemas de la realidad


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5.3 PISA y los problemas de la realidad

El ciclo de matematizacin1. Empezar por un problema relacionado con la realidad.

2. Organizar la informacin que brinda el problema deacuerdo a los conceptos matemticos involucrados.

3. Desaparecer gradualmente los aspectos de la realidada travs de la asuncin de los datos importantes del

problema, traduciendo el enunciado inicial en unproblema matemtico.

4. Resolver el problema matemtico.

5. Interpretar la solucin matemtica en trminos de lasituacin real.

PISA3 1


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5.3.1 Cuidado con los problemas reales

(o contextualizados)

PISA5 3 2 C id d l bl l


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5.3.2 Cuidado con los problemas reales

(o contextualizados)Un ejemplo de problema de contexto real autntico

Jos quiere enviar, a unamigo, dos artculos cuyospesos son de 40 gramos y 80gramos. De acuerdo a los

costos de envos postales enZedlandia, decide si es msbarato enviar los dos artculosen un solo paquete o es msbarato enviarlos en paquetesseparados; para ello considerael siguiente cuadro. Muestra

tus clculos de costos en cadacaso.

Peso costo

Hasta 20g

21g-50g

51g-100g

101g-200g

201g-350g

351g-500g

501g-1000g

1001g-2000g

2001g-3000g

0,46zeds

0,69zeds

1,02zeds

1,75zeds

2,13zeds

2,44zeds

3,20zeds

4,27zeds

5,03zeds

PISA


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PISA

5.4 Clases de CompetenciasLos tems que se desarrollan, se proponen evaluar tresclases de competencias:

1a.: Reproduccin y procedimientos rutinarios.

2a.: Conexiones e integracin para resolver problemas nosimplemente rutinarios, pero que comprenden situacionesfamiliares o cuasi familiares.

3a.: Reflexin, razonamiento, argumentacin, yplanteamiento de estrategias para resolver problemas

originales.

5 4 1 Ej l d t d R d i


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5.4.1 Ejemplos de tems de Reproduccin

1. Resolver la ecuacin 7x - 3 = 13x + 15

2. Calcular la media de 7, 12, 8, 14, 15 y 9

3. Escribir 69% como fraccin.

4. Si se colocan 1000 soles en una cartilla de

ahorros con un inters del 4%, Cuntossoles habr en la cuenta despus de un ao?

5.4.2 Ejemplos de tems de Conexin


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j p

1. Mara vive a 2 kilmetros del colegio, Martn a 5.

A qu distancia vive Mara de Martn?

2. Una Pizzera sirve dos tipos de pizza redonda, del

mismo grosor y diferentes tamaos. La pequea tieneun dimetro de 30 cm. y cuesta 30 soles. La mayor

tiene un dimetro de 40 cm. y cuesta 40 soles. Cul

es la pizza que tiene mejor precio?Explica tu razonamiento.

5.4.3 Ejemplo de tem de Reflexin


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En un cierto pas el presupuesto de defensa es de 30 millones

de dlares para 1980. El presupuesto total para ese ao es de500 millones de dlares. Al ao siguiente el presupuesto de

defensa es de 35 millones de dlares, mientras que el

presupuesto total es de 605 millones de dlares. La inflacindurante el periodo que cubren los dos presupuestos es del

10%.

A. Se te invita a hacer una exposicin ante una sociedadpacifista. Intentas explicar que el presupuesto de

defensa ha disminuido en este periodo. Explica cmo

hacerlo.B. Se te invita a hacer una exposicin ante una academia

militar. Intentas explicar que el presupuesto de defensa

se ha incrementado en este periodo. Explica cmohacerlo.

6. Referencias bibliogrficas

1) C i t L Ri C (1996) A d l


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1) Campistrous, Ly Rizo, C. (1996): Aprende a resolverproblemas Aritmticos. Editorial Pueblo y Educacin. LaHabana, Cuba.

2) Lima, Elon. et al (2004) Temas y problemas. IMCA. Lima,Per

3) Malaspina, U. (2002) Optimizacin matemtica. En ActaLatinoamericana de matemtica Educativa (Volumen 15,Tomo 1, pp 43 48) Mxico: CLAME.

4) Malaspina, U. (2003) Elements for teaching Game Theory.En PRO MATHEMATICA (Volumen XVII, No. 33, pp 87 100) Lima, Fondo Editorial de la Pontificia UniversidadCatlica del Per.

5) Malaspina, U. (2004). Motivation and development ofmathematical thinking, using optimization problems. En

Gagatsis, A. et al (Ed.) Proceedings of the 4thMediterranean conference on mathematics education(Volume II, pp 491 500) Palermo Italia.

6) Malaspina, U. (2005). El rincn de los problemas. En

Revista Iberoamericana de Educacin Matemtica:http://www.fisem.org/paginas/union/revista.php

6. Referencias bibliogrficas
http://www.fisem.org/paginas/union/revista.phphttp://www.fisem.org/paginas/union/revista.php


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7) Marcelo, C. (2002) Aprender a ensear para la sociedad delconocimiento, Education Policy Analysis Archives, ArizonaState University.

8) Organization for Economic Co-operation and Development(OECD) (2004) Problem solving for tomorrows world.Obtenido el 30 de abril del 2005, dehttp://www.pisa.oecd.org/dataoecd/25/12/34009000.pdf

9) Schoenfeld, A. (1994) Ideas y tendencias en la resolucin deproblemas, Olimpiada Matemtica, Buenos Aires.
http://www.pisa.oecd.org/dataoecd/25/12/34009000.pdfhttp://www.pisa.oecd.org/dataoecd/25/12/34009000.pdf

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