Matemàtiques 6 PRIMÀRIA

VoramarSantillana

132255 _ 0001-0039.indd 35132255 _ 0001-0039.indd 35 11/9/09 07:12:0611/9/09 07:12:06

El llibre Matemàtiques 6, per a sisé curs d’educació primària, és una obra

col·lectiva concebuda, creada i realitzada al Departament de Primària

d’Edicions Voramar, S. A./Santillana Educación, S. L. sota la direcció

d’Enric Juan Redal, José Tomás Henao i Immaculada Gregori Soldevila.

Text: José A. Almodóvar i Magdalena Rodríguez.

Il·lustració: Esther Gómez i José María Valera.

Edició: José A. Almodóvar i Magdalena Rodríguez.

L’alumnat ha de realitzar les activitats d’aquest llibre en un quadern.En cap cas les ha de fer al llibre.

132255 _ 0001-0039.indd 36132255 _ 0001-0039.indd 36 11/9/09 07:12:0611/9/09 07:12:06

PresentacióAquest llibre forma part del projecte LA CASA DEL SABER,

que és un espai educatiu en què els alumnes poden adquirir

les capacitats necessàries per al seu desenvolupament personal

i social. Per aconseguir-ho, els llibres de Matemàtiques pretenen

que els alumnes assolisquen els objectius següents:

Preparar-se per al pas a l’educació secundària. Amb aquesta finalitat,

desenvolupem un Programa d’Estudi Eficaç que ajuda a consolidar els

coneixements fonamentals i que promou l’autonomia dels alumnes

respecte al seu treball escolar.

Aplicar el que s’aprén a la vida quotidiana. L’aplicació de les

Matemàtiques en situacions reals és el fil conductor d’aquest llibre.

Les nombroses activitats plantejades, el programa de Solució

de problemes i el programa Ets capaç de... permeten que els alumnes

utilitzen els coneixements adquirits en situacions reals.

Treballar les Matemàtiques eficaçment i de forma global. Els llibres

ofereixen nombrosos exemples de resposta perquè els alumnes tinguen

clar què han de fer i com respondre, i així faciliten una pràctica eficaç.

Els programes Raonament, Gràfics, Càlcul mental i Taller de Geometria

contribueixen a una pràctica global de tots els aspectes de les

Matemàtiques.

Consolidar els aprenentatges fonamentals.

Per garantir l’aprenentatge, en cada unitat es

recullen els continguts dels cursos o unitats

anteriors que estan relacionats amb el que

s’hi aprendrà. A més a més, en cada unitat, i

en cada trimestre, es plantegen activitats de

repàs acumulatiu.

LA CASA DEL SABER és un projecte en què

cabem tots. Pretén que els alumnes reconeguen

i valoren la diversitat cultural de la societat

en què viuen i contribueix de forma eficaç

a l’educació en valors.

132255 _ 0001-0039.indd 37132255 _ 0001-0039.indd 37 11/9/09 07:12:0611/9/09 07:12:06

4

UNITAT INFORMACIÓ I ACTIVITATS

1 Nombres naturals. Operacions 6

● Nombres de fins a nou xifres● Operacions combinades● Problemes de diverses operacions

2 Potències i arrel quadrada 18

● Potències. ● Potències de base 10 ● Expressió polinòmica d’un nombre● Arrel quadrada

3Nombres enters 30

● Els nombres enters ● Problemes amb nombres enters● La recta entera. Comparació de

nombres enters

● Coordenades cartesianes

4Múltiples i divisors 46

● Múltiples d’un nombre ● Mínim comú múltiple ● Divisors d’un nombre ● Criteris de divisibilitat per 2, 3 i 5

● Càlcul de tots els divisors d’un nombre

● Nombres primers i compostos ● Màxim comú divisor

5Angles 60

● Unitats de mesura d’angles ● Suma d’angles ● Resta d’angles

● Angles complementaris i suplementaris ● Angles de més de 180º

REPÀS TRIMESTRAL

6Fraccions 78

● Fraccions i nombres mixtos● Fraccions equivalents ● Obtenció de fraccions equivalents● Reducció a denominador comú

● Comparació de fraccions

7 Operacions amb fraccions 92

● Suma de fraccions ● Resta de fraccions ● Multiplicació de fraccions ● Divisió de fraccions

8 Nombres decimals. Operacions 106

● Suma i resta de nombres decimals● Multiplicació de nombres decimals● Aproximació de nombres decimals● Estimacions

9 Divisió de nombres decimals 120

● Divisió d’un decimal entre un natural ● Divisió d’un natural entre un decimal ● Divisió d’un decimal entre un decimal

● Obtenció de xifres decimals en el quocient

● Problemes amb decimals

10Figures planes 134

● Base i altura de triangles i paral·lelograms ● Suma dels angles de triangles

i quadrilàters ● La circumferència. Elements

● El nombre π i la longitud de la circumferència

● El cercle i les figures circulars ● Posicions de rectes i circumferències

REPÀS TRIMESTRAL

11 Proporcionalitat i percentatges 152

● Proporcionalitat. Problemes. ● Problemes de percentatges ● Escales: plànols i mapes

12 Longitud, capacitat, massa i superfície 164

● Unitats de longitud. Relacions ● Unitats de capacitat. Relacions ● Unitats de massa. Relacions● Unitats de superfície

● Relacions entre unitats de superfície ● Unitats agràries

13 Àrea de figures planes 180

● Àrea del rectangle i del quadrat ● Àrea del rombe ● Àrea del romboide ● Àrea del triangle

● Àrea de polígons regulars ● Àrea del cercle ● Àrea d’una figura plana

14Cossos geomètrics. Volum 196

● Poliedres. Poliedres regulars ● Volum amb un cub unitat ● Volum i capacitat● Unitats de volum

15Estadística 208

● Variables estadístiques ● Freqüència absoluta

i freqüència relativa ● Mitjana i moda

● Mediana ● Rang

REPÀS TRIMESTRAL

132255 _ 0001-0039.indd 38132255 _ 0001-0039.indd 38 11/9/09 07:12:0611/9/09 07:12:06

5

CÀLCUL MENTALSOLUCIÓ DE

PROBLEMESGRÀFICS REPASSA

● Calcular sumes i restes sense parèntesis● Calcular sumes i restes amb parèntesis

Passos per a resoldre un problema

● Nombres naturals ● Operacions

● Calcular operacions combinades sense parèntesis

● Calcular operacions combinades amb parèntesis

Buscar dades en diversos gràfics

● Nombres naturals ● Operacions● Operacions combinades

● Sumar 1.001, 2.001, 3.001… a nombres de 4 xifres

● Sumar 999, 1.999, 2.999.. a nombres de 4 xifres

Buscar dades en diversos textos o gràfics

Gràfics lineals de tres característiques

● Operacions ● Operacions combinades ● Potències i arrel quadrada

● Restar 1.001, 2.001, 3.001… de nombres de 4 xifres

● Restar 999, 1.999, 2.999.. de nombres de 4 xifres

Fer una taula ● Operacions combinades ● Potències i arrel quadrada ● Nombres enters

● Dividir un nombre natural entre desenes i centenes

● Calcular la fracció d’un nombre Fer un dibuix

● Nombres naturals ● Potències i arrel quadrada ● Nombres enters● Divisibilitat

● Sumar per compensació: sumar i restar el mateix nombre

● Sumar per compensació: restar i sumar el mateix nombre

Assaig i error ● Nombres enters● Divisibilitat● Angles

● Restar per compensació: sumar el mateix nombre

● Restar per compensació: restar el mateix nombre

Representar la situació

● Operacions ● Operacions combinades ● Fraccions

● Multiplicar un nombre natural per 2 ● Multiplicar un nombre natural per 5

Avançar una solució aproximada Histogrames

● Divisibilitat● Fraccions● Suma i resta de fraccions

● Multiplicar un nombre natural per 11● Multiplicar un nombre natural per 9

Representar dades amb dibuixos

● Nombres naturals ● Operacions amb fraccions

i decimals

● Multiplicar un nombre natural per 101● Multiplicar un nombre natural per 99

Imaginar el problema resolt

● Fraccions i decimals● Operacions amb fraccions

i decimals

● Estimar sumes i restes aproximant els nombres decimals a les unitats

Resoldre un problema començant pel final

● Nombres decimals● Operacions amb decimals● Figures planes

● Sumar un nombre decimal i un nombre natural

● Restar un nombre natural d’un nombre decimal

Representar gràficament la situació

● Nombres enters● Operacions amb fraccions

i decimals● Proporcionalitat

● Estimar productes aproximant el nombre decimal a les unitats

● Multiplicar un nombre decimal per desenes i centenes

Reduir el problema a un altre problema conegut

Gràfics de sectors

● Nombres naturals ● Proporcionalitat● Longitud, capacitat i massa

● Calcular el 10% d’un nombre ● Calcular el 50% d’un nombre

Començar amb problemes més senzills

● Operacions● Àrea de figures planes● Superfície

● Calcular el 20 % d’un nombre ● Calcular el 25 % d’un nombre

Fer un diagrama d’arbre

● Nombres naturals● Fraccions i decimals● Volum

132255 _ 0001-0039.indd 39132255 _ 0001-0039.indd 39 11/9/09 07:12:0711/9/09 07:12:07

6

Nombres naturals. Operacions

● Escriu amb xifres els quilòmetres que recorre la Terra en fer una volta entorn del Sol. Quantes xifres té aquest nombre? Quantes d’aquestes xifres són zeros?

● Què és 1 UA? Quants quilòmetres són? La distància mitjana entre el Sol i Mart és quasi dos-cents vint-i-huit milions de quilòmetres. Quin planeta està més lluny del Sol, la Terra o Mart?

● Quants quilòmetres recorre la Terra en una hora? I en un dia?

La Terra gira al voltant del Sol.

En cada volta recorre uns 930 milions de quilòmetres. Tarda 365 dies i 6 hores a fer-hi una volta i viatja a gran velocitat. Cada hora recorre 106.000 km.

La Terra no sempre es troba a la mateixa distància del Sol. La distància mitjana entre ambdós és 1 UA (unitat astronòmica), que equival a 149.675.000 km.

1 RE

O

1.

2.

3.

E

●

Altres formes de començar• Inicieu una conversa amb els alumnes a l’entorn de les operacions

que coneixen i dels signes que utilitzen per a expressar cada una d’aquestes. Escriviu a la pissarra les operacions que esmenten i demaneu-los que diguen tot el que s’hi relaciona (noms dels termes, característiques dels signes utilitzats per a expressar-les, propietats, proves...). Animeu-los perquè entre tots determinen en quins moments les operacions amb nombres naturals són útils per a poder resoldre situacions quotidianes.

Objectius• Recordar els conceptes bàsics

necessaris per al desenvolupa-ment de la unitat.

• Reconéixer situacions reals on apareixen nombres de fi ns a nou xifres.

Suggeriments didàctics• Dialogueu amb els alumnes so-

bre el gran nombre de vegades de la vida real en què apareixen els nombres i com són de ne-cessaris per a resoldre les situ-acions que se’ns presenten quo-tidianament. Demaneu-los que comenten la fotografi a i el que hi veuen i resoleu les preguntes en comú.

• Aprofi teu l’apartat Recorda el que en saps per comprovar si fan correctament operacions amb nombres naturals i repasseu amb ells la prova de la resta i de la divisió. Treballeu també les aproximacions i estimacions, i recordeu-los que primer cal apro-ximar per a poder estimar.

Competències bàsiques

Competència lingüística

Quan recordeu el vocabulari as-sociat a les operacions (sumand, minuend, factor, dividend...) in-sistiu que és necessari utilitzar-lo de manera adequada.

Aprendre a aprendre

Dialogueu amb els alumnes sobre la importància dels coneixements ja apresos per a poder avançar. Expliqueu-los que és necessari fonamentar correctament el que aprenem.

Interacció

amb el món físic

Assenyaleu la importància dels nombres com a instrument per a poder comprendre la realitat i així poder desenvolupar-s’hi millor.

6

132255 _ 0040-0053.indd 42132255 _ 0040-0053.indd 42 11/9/09 07:10:5111/9/09 07:10:51

7

RECORDA EL QUE EN SAPS

● A llegir, escriure, descompondre i comparar nombres de fins a 9 xifres.

● A calcular operacions combinades amb parèntesis i sense, i expressar-les amb una frase.

● A resoldre problemes de diverses operacions.

APRENDRÀS

Operacions amb nombres naturals

1. Calcula. Després, fes la prova de les restes i les divisions.

759 ● 1 3.824 ● 8.329 1 4.516 1 738

4.261 ● 2 569 ● 20.347 2 865

316 ● 3 273 ● 782 3 450 ● 695 3 908

5.928 : 38 ● ● 22.863 : 56 ● 64.456 : 179

2. Calcula el terme que falta en cada operació.

62.734 ● 1 5 68.251 ● 2 5.397 5 8.406

● 1 49.018 5 73.542 ● 29.035 2 5 4.187

584 ● 3 5 179.288 ● : 143 5 572

● 3 260 5 103.220 ● 132.496 : 5 637

3. Estima les operacions següents.

5.129 ● 1 6.308 ● 9.175 2 2.830 ● 637 3 5

8.392 ● 1 764 ● 7.238 2 91 ● 3.729 3 8

dividend 4 6 9 5 7 4 3 divisor 3 9 5 1 0 9 2 quocient 0 8 7 residu 0 1

Suma Resta

Multiplicació Divisió

5 8 0 6 1 2 4 7 9

8 2 8 5

sumand sumand suma o total

9 4 2 3 2 7 5 6 1

1 8 6 2

minuend subtrahend diferència

2 4 5 7 3 6 0 3 7 3 7 1

.1 4 7 4 2 0 1 4 8 1 5 7 1

factor factor

producte

Estimació d’operacions

● Estimació de sumes

4.297 1 1.835 ▼ ▼ 4.000 1 2.000 5 6.000

● Estimació de restes

7.492 2 318 ▼ ▼ 7.500 2 300 5 7.200

● Estimació de productes

5.761 3 2 ▼ ▼ 6.000 3 2 5 12.000

Vocabulari de la unitat• Unitat, desena, centena, unitat de miler, desena de miler, centena

de miler, unitat de milió, desena de milió, centena de milió

• Parèntesis

• Operacions combinades

• Expressió numèrica

SolucionsPàgina inicial

• 930.000.000 km. Té nou xifres. Set en són zeros.

• Una unitat astronòmica. Són 149.675.000 km. Mart es troba més lluny del Sol que la Terra.

• La Terra recorre en una hora 106.000 km. En un dia recorre 2.544.000 km.

Recorda el que en saps

1. • 4.583• 3.692; 3.692 1 569 5 4.261• 86.268• q 5 156; 156 3 38 5 5.928• 13.583• 19.482; 19.482 1 865 5

5 20.347• 351.900• q 5 408; r 5 15

408 3 56 1 15 5 22.863• 631.060• q 5 360; r 5 16

360 3 179 1 16 5 64.456

2. • 5 5.517• 5 24.524• 5 13.803• 5 24.848• 5 307• 5 397• 5 81.796• 5 208

3. • 5.000 1 6.000 5 11.000• 8.400 1 800 5 9.200• 9.000 – 3.000 5 6.000• 7.240 – 90 5 7.150• 600 3 5 5 3.000• 4.000 3 8 5 32.000

UNITAT 1

7

132255 _ 0040-0053.indd 43132255 _ 0040-0053.indd 43 11/9/09 07:10:5211/9/09 07:10:52

8

1 U1 D 5 10 U1 C 5 10 D 5 100 U

1 UM 5 10 C 5 1.000 U 1 DM 5 10 UM 5 10.000 U1 CM 5 10 DM 5 100.000 U

1 U. de milió 5 10 CM 5 1.000.000 U 1 D. de milió 5 10 U. de milió 5 10.000.000 U 1 C. de milió 5 10 D. de milió 5 100.000.000 U

Fixa’t com es descompon i es llig el nombre 502.816.030. ●

502.816.030 5 5 C. de milió 1 2 U. de milió 1 8 CM 1 1 DM 1 6 UM 1 3 D 5 500.000.000 1 2.000.000 1 800.000 1 10.000 1 6.000 1 30

502.816.030 es llig cinc-cents dos milions huit-cents setze mil trenta.

Nombres de fins a nou xifres

En el sistema decimal, 10 unitats d’un ordre formen una unitat de l’ordre immediat superior. Per exemple, 10 unitats formen 1 desena i 10 centenes de miler, 1 milió.

1. Descompon els nombres següents.

3.970.205 24.508.960 302.750.681 540.309.027

8.016.043 70.435.009 897.060.100 900.286.415

2. Escriu com es llig cada nombre de l’activitat 1.

3. Escriu aquests nombres.

Sis-cents quaranta mil noranta-cinc. ●

Quatre milions vint-i-tres mil set-cents u. ●

Setanta-tres milions cinc-cents deu mil. ●

Huit-cents nou milions cent mil sis. ●

Observa els nou primers ordres d’unitats. ●

Recorda que el nostre sistema de numeració és decimal, és a dir, 10 unitats d’un ordre formen una unitat de l’ordre immediat superior.

Centena

de milió

Desena

de milió

Unitat de

milió

Centena

de miler

Desena

de miler

Unitat

de milerCentena Desena Unitat

En un nombre, el primer punt per la dreta indica els milers, i el segon punt els milions.

POSA ATENCIÓ

De 10 en 10

4.

5.

6.

7.

8.

Cal

CÀ

Altres activitats• Proposeu als alumnes diferents activitats perquè practiquen la lec-

tura i l’escriptura de nombres de fi ns a nou xifres. Per exemple:

– Escriviu nombres pareguts variant la quantitat de zeros interme-dis, i feu que els alumnes els lligen i descomponguen perquè aprecien les seues diferències.

344.000.123 344.120.300 123.044.000

– Feu un dictat de nombres.

– Proposeu-los que escriguen (i després lligen) nombres que complisquen unes condicions determinades. Per exemple: un nombre de 9 xifres amb 5 zeros; un nombre de 8 xifres en què la xifra de les desenes de milió siga major que la de les uni-tats de miler; un nombre de 6 xifres amb 3 zeros intermedis…

Objectius• Conéixer els diferents ordres

d’unitats fi ns a la centena de milió i les equivalències corres-ponents.

• Llegir, escriure, descompondre i comparar nombres de fins a nou xifres.

Suggeriments didàcticsPer a reforçar

• Demaneu als alumnes que plan-tegen als companys activitats com les que s’han treballat en aquesta pàgina. Després, corre-giu-ne alguna en comú.

Competències bàsiques

Competència cultural

i artística

Sol·liciteu als alumnes que facen una representació gràfi ca pròpia dels nou ordres d’unitats i les seues equivalències.

Solucions1. • 3 U. de milió 1 9 CM 1

1 7 DM 1 2 C 1 5 U• 8 U. de milió 1 1 DM 1

1 6 UM 1 4 D 1 3 U• 2 D. de milió 1 4 U. de mi-

lió 1 5 CM 1 8 UM 1 9 C 1

1 6 D• 7 D. de milió 1 4 CM 1

1 3 DM 1 5 UM 1 9 U• 3 C. de milió 1 2 U. de mi -

lió 1 7 CM 1 5 DM 1 6 C 1

1 8 D 1 1 U• 8 C. de milió 1 9 D. de

milió 1 7 U. de milió 1

1 6 DM 1 1 C• 5 C. de milió 1 4 D. de milió 1

1 3 CM 1 9 UM 1 2 D 1 7 U• 9 C. de milió 1 2 CM 1

1 8 DM 1 6 UM 1 4 C 11 1 D 1 5 U

2. • Tres milions nou-cents setan-ta mil dos-cents cinc.

• Huit milions setze mil qua-ranta-tres.

8

132255 _ 0040-0053.indd 44132255 _ 0040-0053.indd 44 11/9/09 07:10:5211/9/09 07:10:52

27

15

9

1

4. Escriu el nombre anterior i el posterior.

... ● ◀ 1.000.000 ▶ ... ● ... ◀ 30.000.000 ▶ ... ● ... ◀ 599.999.999 ▶ ...

... ● ◀ 9.386.999 ▶ ... ● ... ◀ 99.999.999 ▶ ... ● ... ◀ 900.000.000 ▶ ...

5. En cada nombre, escriu el valor en unitats de les xifres 2.

109.245.720 ● ● 728.301.299 ● 502.382.142 ● 250.226.000

6. Compara els nombres i escriu el signe corresponent.

2.496.551 2.473.890 56.076.328 58.029.460

9.720.346 10.302.615 347.000.500 346.993.600

18.396.522 18.397.282 621.950.384 73.692.184

7. Escriu els nombres amb xifres i ordena’ls de major a menor.

Després, contesta.

8. Escriu dos nombres que complisquen cada condició.

Majors que 259.700.000 i menors que dos-cents seixanta milions. ●

Les xifres 5 valen 50.000.000, 500.000, 5.000 i 50 unitats. ●

Quin dinosaure va viure fa més temps, l’estegosaure o l’iguanodont? ●

Quins dinosaures van viure fa menys de 100.000.000 d’anys? ●

Quants anys va viure el pteranòdon abans que el triceratop? ●

Calcula sumes i restes sense parèntesis

5 1 6 2 3 10 1 70 2 20 300 1 600 2 200

4 1 7 1 9 90 2 30 2 40 700 2 500 2 100

8 2 1 2 6 40 1 50 1 60 900 2 200 2 600

CÀLCUL MENTAL

6 2 2 1 1 5 4 1 1 5 5

Quan van viure?

Triceratop ▶ Fa 70 milions d’anys.

Iguanodont ▶ Fa 130 milions d’anys.

Pteranòdon ▶ Fa 85 milions d’anys.

Estegosaure ▶ Fa 155 milions d’anys.

Altres activitats• Porteu a classe o demaneu als alumnes que porten diaris o re-

vistes on hagen trobat articles o notícies en els quals apareguen nombres de fi ns a nou xifres. Demaneu a cada un que llija en veu alta el nombre que haja trobat i explique per a què l’ha utilitzat en l’article. Després, proposeu-los que escriguen al quadern com es llig eixe nombre i com es descompon (tant en ordres d’unitats com en forma de suma). Finalment, escriviu alguns d’aquests a la pissarra i demaneu-los que els ordenen de major a menor, que escriguen el nombre anterior i posterior, etc.

• Vint-i-quatre milions cinc-cents huit mil nou-cents seixanta.

• Setanta milions quatre-cents trenta-cinc mil nou.

• Tres-cents dos milions set-cents cinquanta mil sis-cents huitanta-u.

• Huit-cents noranta-set milions seixanta mil cent.

• Cinc-cents quaranta milions tres-cents nou mil vint-i-set.

• Nou-cents milions dos-cents huitanta-sis mil quatre-cents quinze.

3. • 640.095• 4.023.701• 73.510.000• 809.100.006

4. • 999.999 i 1.000.001• 9.386.998 i 9.387.000• 29.999.999 i 30.000.001• 99.999.998 i 100.000.000• 599.999.998 i 600.000.000• 899.999.999 i 900.000.001

5. • 200.000 U• 20.000.000 U i 200 U• 2.000.000 U, 2.000 U i 2 U• 200.000.000 U, 200.000 U

i 20.000 U

6. 2.496.551 . 2.473.8909.720.346 , 10.302.61518.396.522 , 18.397.28256.076.328 , 58.029.460347.000.500 . 346.993.600621.950.384 . 73.692.184

7. 155.000.000 . 130.000.000 .. 85.000.000 . 70.000.000• L’estegosaure.• Triceratops i pteranòdon.• Quinze milions d’anys.

8. • R. M. 259.756.098, 259.879.032

• R. M. 58.575.350, 51.585.053

Càlcul mental

• 8 60 70020 20 1001 150 100

UNITAT 1

9

132255 _ 0040-0053.indd 45132255 _ 0040-0053.indd 45 11/9/09 07:10:5211/9/09 07:10:52

10

Amb parèntesis.

Operacions combinades

5 1 6 : (7 2 4) 5 5 1 6 : 3 5 5 1 2 5 7

36 : 4 2 3 3 2 1 8 5 9 2 3 3 2 1 8 5 9 2 6 1 8 5 3 1 8 5 11

Per a resoldre operacions combinades, cal seguir aquest ordre en les operacions:

1r Calcula les operacions que hi ha dins els parèntesis.

2n Calcula les multiplicacions i divisions en l’ordre en què apareixen.

3r Calcula les sumes i les restes en l’ordre en què apareixen.

Per exemple:

En fer operacions combinades, de primer calculem els parèntesis, després les multiplicacions i divisions, finalment, les sumes i les restes.

5 1 6 : (7 2 4)

5 1 6 : 3

5 1 2

7

36 : 4 2 3 3 2 1 8

9 2 3 3 2 1 8

9 2 6 1 8

3 1 8

11

Sense parèntesis.

2. Calcula.

1r Parèntesis. 2n Multiplicacions i divisions. 3r Sumes i restes.

RECORDA

1. Subratlla l’operació que has de fer en primer lloc. Després, calcula.

9 ● 2 6 1 3 5 … … 5 … ● 15 2 (7 1 2) 5 … … 5 …

7 ● 1 8 3 5 5 … … 5 … ● (9 2 4) 3 6 5 … … 5 …

20 ● 2 12 : 4 5 … … 5 … ● 10 : (2 1 3) 5 … … 5 …

2 ● 3 9 : 3 5 … … 5 … ● (18 2 4) : 2 5 … … 5 …

1

10 2 4 3 2 5 1 (8 2 2) : 2

(10 2 4) 3 2 5 1 8 2 2 : 2

35 : (5 1 2) 9 2 2 3 4 1 6

35 : 5 1 2 (9 2 2) 3 4 1 6

8 1 12 : 4

10 : 5 3 3

2 3 (6 1 9)

24 2 2 3 (7 1 3)

(10 2 4) 1 18 : 6

12 : 3 1 5 3 8

6 2 5 1 4 3 2 2 7

9 1 8 : 4 2 (1 1 3)

(4 1 2) 3 5 1 (8 2 6)

5.

6.

3.

4.

Altres activitats• Escriviu a la pissarra diferents operacions combinades en què apa-

reguen els mateixos nombres. Demaneu als alumnes que les cal-culen i en comparen els resultats. Per exemple:

25 – 9 – 5 8 – 3 3 2 6 3 (4 – 1) 12 : 2 1 125 – (9 – 5) 8 3 3 – 2 6 3 4 – 1 12 : (2 1 1)(25 – 9) – 5 8 3 (3 – 2) 6 – (4 3 1) (12 : 2) 1 1

Insistiu de nou que és imprescindible aplicar correctament l’ordre establit en la realització de les operacions per tal d’obtindre el re-sultat correcte. Demaneu-los que plantegen exemples semblants per si mateixos.

Objectius• Calcular operacions combina-

des, respectant-ne la jerarquia.

• Reconéixer l’expressió numèri-ca corresponent a una frase i trobar-ne el valor.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Recordeu als alumnes la jerar-quia de les operacions: parèn-tesis, multiplicacions i divisions i, per últim, sumes i restes. Co-menteu-los la importància de seguir un procés ordenat.

Per a explicar

• Resoleu pas a pas a la pissar-ra els exemples proposats. Co-menteu als alumnes que han de resoldre una operació en cada pas i operar ordenadament, sen-se pressa, analitzant totes les operacions de les expressions successives per tal de veure qui-na cal fer primer. Expliqueu-los la relació entre les operacions combinades i les seues expres-sions escrites i com la prioritat de les operacions es refl ecteix també en aquestes frases.

Per a reforçar

• Escriviu a la pissarra operaci-ons combinades resoltes ma-lament i demaneu-los que en detecten els errors i les cor-regisquen, seguint les pautes que ofereix el manual d’ESTUDI EFICAÇ en la pàg. 58.

Competències bàsiques

Tractament

de la informació

Expliqueu que una mateixa infor-mació es pot expressar en forma numèrica (operació combinada) o amb paraules (expressió escrita). Assenyaleu la importància d’en-tendre les dues i de saber passar d’una a l’altra.

10

132255 _ 0040-0053.indd 46132255 _ 0040-0053.indd 46 11/9/09 07:10:5311/9/09 07:10:53

6

11

1

5. Resol aquests problemes. Després, escriu en una sola expressió

totes les operacions que hages fet.

Un camió portava 168 kg de fruita. En un ●

mercat va descarregar 24 caixes de 3 kg de fruita cada una. Quants quilos de fruita porta ara el camió?

Andreu va comprar uns pantalons per 18 ● i una camiseta per 14 . Va pagar amb un bitllet de 50 . Quants diners li van tornar?

Roser té una safata amb 35 pastissos ●

de crema i 61 de xocolate. Els vol repartir en parts iguals en 8 plats. Quants pastissos ha de posar en cada plat?

6. RAONAMENT. Pensa i indica si obtens o no el mateix resultat.

Posa un exemple que explique la resposta. ●

Calcules el doble d’un nombre i després li sumes un altre nombre.

Calcules el doble de la suma d’aquests dos nombres.

3. Col·loca els parèntesis necessaris perquè les igualtats siguen certes.

9 ● 2 2 1 4 5 3 ● 8 1 6 : 2 5 7 ● 10 2 2 2 4 1 3 5 1

3 ● 1 5 3 6 5 48 ● 9 2 7 2 4 5 6 ● 5 3 7 2 3 1 8 5 28

4. Calcula cada operació combinada i relaciona-la amb la frase corresponent.

8 ● 2 5 1 2 ● De 8 reste la suma de 5 i 2.

8 ● 2 (5 1 2) ● De 8 reste 5 i sume 2 al resultat.

8 ● 1 5 3 2 ● A 8 li sume 5 i el resultat el multiplique per 2.

(8 ● 1 5) 3 2 ● A 8 li sume el producte de 5 i 2.

8 ● 3 5 2 2 ● Multiplique 8 per 5 i del resultat reste 2.

8 ● 3 (5 2 2) ● Multiplique 8 per la diferència de 5 i 2.

FES-HO AIXÍ

Pensa:

Quina operació faig en primer lloc? ●

Què reste de 8: un nombre o el resultat d’una operació? ●

8 2 5 2 2 5 1 ▶ De 8 reste 5 i del resultat reste 2.

8 2 (5 2 2) 5 5 ▶ De 8 reste la diferència de 5 i 2.

8 2 5 2 2

8 2 (5 2 2)

Altres activitats• Podeu treballar, si convé, el pas directe de frase escrita a operació

combinada. Dicteu als alumnes aquestes frases perquè les ex-pressen de manera numèrica al quadern:

– Multiplique 7 per 3 i del resultat reste 5.

– Multiplique 2 per la diferència de 15 i 9.

– Al producte de 8 i 5 li sume 10.

– Dividisc entre 5 la suma de 25 i 20.

– Al doble de 6 li reste 7 i li sume 4.

Verifi queu les respostes a la pissarra. Si les respostes són erròni-es, assenyaleu com s’expressarien per escrit aquestes expressi-ons numèriques per tal d’aclarir els possibles dubtes.

Solucions1. • 9 – 6 1 3 5 3 1 3 5 6

• 7 1 8 3 5 5 7 1 40 5 47• 20 – 12 : 4 5 20 – 3 5 17• 2 3 9 : 3 5 18 : 3 5 6• 15 – (7 1 2) 5 15 – 9 5 6• (9 – 4) 3 6 5 5 3 6 5 30• 10 : (2 1 3) 5 10 : 5 5 2• (18 – 4) : 2 5 14 : 2 5 7

2. 10 – 8 5 2; 6 3 2 5 1235 : 7 5 5; 7 1 2 5 95 1 6 : 2 5 5 1 3 5 85 1 8 – 1 5 13 – 1 5 129 – 8 1 6 5 1 1 6 5 77 3 4 1 6 5 28 1 6 5 348 1 3 5 112 3 3 5 62 3 15 5 3024 – 2 3 10 5 24 – 20 5 46 1 18 : 6 5 6 1 3 5 94 1 5 3 8 5 4 1 40 5 441 1 8 – 7 5 9 – 7 5 29 1 2 – 4 5 11 – 4 5 76 3 5 1 2 5 30 1 2 5 32

3. • 9 – (2 1 4) 5 3• (3 1 5) 3 6 5 48• (8 1 6) : 2 5 7• 9 – (7 – 4) 5 6• (10 – 2) – (4 1 3) 5 1• 5 3 (7 – 3) 1 8 5 28

4. • 8 – 5 1 2. De 8 reste 5 i sume 2 al resultat.

• 8 – (5 1 2). De 8 reste la suma de 5 i 2.

• 8 1 5 3 2. A 8 li sume el producte de 5 i 2.

• (8 1 5) 3 2. A 8 li sume 5 i el resultat el multiplique per 2.

• 8 3 5 – 2. Multiplique 8 per 5 i del resultat reste 2.

• 8 3 (5 – 2). Multiplique 8 per la diferència de 5 i 2.

5. • 168 – 24 3 3 5 96Porta 96 kg de fruita.

• 50 – (18 1 14) 5 18Li van tornar 18 €.

• (35 1 61) : 8 5 12Posarà 12 pastissos.

6. No s’obté el mateix resultat en els dos casos.• R. M. 2 3 3 1 5 5 11

2 3 (3 1 5) 5 16

UNITAT 1

11

132255 _ 0040-0053.indd 47132255 _ 0040-0053.indd 47 11/9/09 07:10:5311/9/09 07:10:53

12

Problemes de diverses operacions

Patrícia va amb la família a un espectacle de llum i so. Ha tret 3 entrades infantils a 12 cada una i 4 entrades d’adult. Ha donat per a pagar 150 i li han tornat 22 . Quant li ha costat cada entrada d’adult?

Patrícia calcula quants diners li han costat les entrades següents:

1r Totes les entrades. ▶ 150 2 22 5 128

2n Les 3 entrades infantils. ▶ 3 3 12 5 36

3r Les 4 entrades d’adult. ▶ 128 2 36 5 92

4t Cada entrada d’adult. ▶ 92 : 4 5 23

Cada entrada d’adult li ha costat 23 .

1. Llig i explica quins passos has de seguir per a resoldre el problema.

Maria té 12 anys. El seu germà Pere té 3 anys més que ella; el pare té el triple d’anys que Pere, i la mare té 5 anys menys que el pare. Quants anys té la mare de Maria?

Escriu les operacions calculades en una sola expressió. ●

(… 1 …) 3 … 2 … 5 …

2. Observa el gràfic i resol.

En aquest pictograma s’ha representat el nombre de gelats que ha venut una parada de dilluns a divendres aquesta setmana.

Quants gelats ha venut la parada aquesta ●

setmana?

La meitat dels gelats que van vendre ●

dimarts i un terç dels gelats que van vendre dimecres eren de xocolate. Quants gelats de xocolate van vendre en total dimarts i dimecres?

Cada gelat costa 2 ● . Quants diners van recaptar divendres més que dijous?

Dissabte en van vendre el doble que dilluns ●

i dimecres junts. Quants gelats van vendre dissabte?

▶ 30 gelats ▶ 15 gelats

Dilluns ▶

Dimarts ▶

Dimecres ▶

Dijous ▶

Divendres ▶

3.

4.

Ca

CÀ

Altres activitats• Escriviu a la pissarra diverses expressions numèriques i demaneu-

los que en trien una i inventen l’enunciat d’un problema que es resolga amb aquestes operacions. Per exemple:

100 – (25 1 18) 95 1 (6 3 3) (30 1 19) : 7

Finalment, feu una posada en comú amb els diferents problemes que aporten els alumnes i comproveu si són correctes. També els podeu demanar que s’intercanvien els problemes i els resolguen.

Objectius• Resoldre problemes de dues o

més operacions.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Converseu amb els alumnes a l’entorn de com els problemes matemàtics són un exemple més de la utilitat i necessitat de les operacions amb nombres naturals. Recordeu-los els pas-sos que cal seguir per a resol-dre problemes i la importància de no passar-ne cap per alt.

Per a explicar

• Feu que els alumnes lligen de-tingudament el problema de l’exemple i, després, resoleu-lo col·lectivament. Destaqueu la importància de seguir un procés ordenat. Comenteu-los que és necessari indicar per escrit la solució dels problemes, i el fet que no es limiten a donar un nombre com a resposta. Indi-queu que en els problemes de diverses operacions cal determi-nar les «qüestions intermèdies» que hem de respondre abans de poder contestar la pregunta del problema.

Per a reforçar

• Recomaneu als alumnes que refl exionen sobre les difi cultats que tinguen a l’hora de resoldre problemes. Utilitzeu l’estratègia de detectar les pròpies difi cul-tats que hi ha en la pàgina 60 del manual d’ESTUDI EFICAÇ.

Competències bàsiques

Competència social

i ciutadana

En resoldre el primer problema de l’activitat 3 comenteu-los la im-portància d’adoptar comporta-ments adequats en la societat. Pregunteu-los quines són les se-ues preferències quan fan una ei-xida en grup a l’escola (teatre, música…).

12

132255 _ 0040-0053.indd 48132255 _ 0040-0053.indd 48 11/9/09 07:10:5311/9/09 07:10:53

13

1

3. Resol.

Una exposició d’art obri al públic 290 dies l’any. ●

Cada dia la visiten 15 grups de 27 persones cada un. Quantes persones visiten cada any l’exposició?

En una cursa es reparteix un total de 2.130 ● en premis. El guanyador del primer premi rep la meitat d’aquesta quantitat, el del segon guanya un terç del total i el del tercer s’emporta la resta. Quants diners rep el guanyador del tercer premi?

En una granja han d’envasar 5.934 ous. Utilitzen ●

280 capses de 12 ous cada una i els restants els envasen en capses de 24 ous. Quantes capses de 24 ous omplin i quants ous els sobren?

Nicolau treballa en una obra col·locant taulells. ●

Per a les parets d’una cuina tenia 21 caixes amb 24 taulells blancs cada una i 9 caixes amb 6 taulells de flors i 8 de fulles. Al final, li n’han sobrat 34. Quants taulells ha utilitzat?

4. Busca les dades necessàries en la taula i resol.

A la botiga de Joaquim han rebut hui un lot amb material.

N’hi havia

a la botiga

N’han

rebut

N’han

venut

Preu de

venda

Camisetes 87 432 53 12

Pantalons 53 207 29 30

Vestits 26 180 13 45

Calcula sumes i restes amb parèntesis

7 2 (8 2 3) 80 2 (50 1 10) (700 2 300) 1 200

4 1 (7 1 2) (90 2 40) 2 20 600 2 (200 2 100)

(9 2 1) 2 5 40 1 (50 1 60) (800 1 400) 1 600

CÀLCUL MENTAL

6 2 (2 1 1) 5 6 2 3 5 3

Quantes camisetes i pantalons ●

queden en total a la botiga quan tanca a la vesprada?

Quants diners ha obtingut hui ●

Joaquim per la venda dels vestits? Quants en podria haver obtingut si haguera venut tots els vestits que tenia?

El lot rebut consistia en caixes de ●

36 camisetes, caixes de 23 pantalons i caixes de 18 vestits. Quantes caixes contenia en total el lot?

Un client compra 5 pantalons i algunes ●

camisetes. Ha pagat 390 . Quantes camisetes ha comprat?

Altres activitats• Segons el nivell de la classe, podeu proposar als alumnes proble-

mes més difícils, tant pel nombre d’operacions que s’hagen de fer per resoldre’l com pel nombre de fonts en què s’hagen de buscar les dades (en unitats posteriors es treballa aquesta recerca d’in-formació). Per exemple:

Lara va anar de compres i es va gastar 37 € en uns pantalons va-quers, 15 € en una camiseta i 22 € en una bossa de mà. Quan va pagar li van fer un descompte de 12 €. Si va pagar amb dos bitllets de 50 €, quants diners li van tornar?

Solucions

1. (12 1 3) 3 3 – 5 5 40La mare de Maria té 40 anys.

2. • 30 3 17 1 15 3 3 5 555Ha venut 555 gelats.

• 120 : 2 1 75 : 3 5 85En total van vendre 85 ge-lats de xocolate.

• 165 3 2 – 90 3 2 5 150Divendres van recaptar 150 € més que dijous.

• 105 1 75 3 2 5 360Van vendre 360 gelats.

3. • 15 3 27 3 290 5 117.450A l’any visiten l’exposició 117.450 persones.

• 2.130 : 2 5 1.0652.130 : 3 5 7102.130 – 1.065 – 710 5 355El guanyador del tercer pre-mi rep 355 €.

• 5.934 – 280 3 12 5 2.5742.574 : 24 ▶ q 5107; r 5 6Omplin 107 caixes de 24 ous i els en sobren 6.

• 21 3 24 1 9 3 (6 1 8) 5 630630 – 34 5 596Ha utilitzat 596 taulells.

4. • 87 1 432 2 53 5 46653 1 207 2 29 5 231466 1 231 5 697En tancar hi havia 697 ca-misetes i pantalons.

• 13 3 45 5 585Joaquim ha obtingut hui585 € per la venda dels vestits.26 3 45 5 1.170Hauria obtingut 1.170 €.

• 432 : 36 1 207 : 23 1 1 180 : 18 5 31El lot contenia 31 caixes.

• 390 – 30 3 5 5 240240 : 12 5 20El client ha comprat 20 ca-misetes.

Càlcul mental

• 2 20 60013 30 5003 150 1.800

UNITAT 1

13

132255 _ 0040-0053.indd 49132255 _ 0040-0053.indd 49 11/9/09 07:10:5411/9/09 07:10:54

14

Activitats

1. Descompon cada nombre i escriu

com es llig.

70.421 ● ● 39.210.008

682.093 ● ● 265.074.300

2.407.516 ● ● 823.609.050

2. Escriu amb xifres aquests nombres.

Quaranta-cinc milions trenta mil ●

dos-cents set.

Tres milions cinc-cents catorze mil ●

huitanta.

Sis-cents vint-i-set milions cent ●

seixanta-tres mil.

Tres-cents milions dos mil cent. ●

Setanta-nou milions tres-cents mil ●

quatre-cents noranta-u.

3. Escriu el valor en unitats de la xifra 3 en cada

nombre de l’activitat 2.

4. Observa el nombre d’habitants d’aquestes

ciutats i contesta.

Quina d’aquestes ciutats és la més ●

poblada? I la menys poblada?

Quants habitants té Bombai més que ●

Buenos Aires?

5. ESTUDI EFICAÇ. Copia i completa l’esquema.

6. Calcula.

20 ● 2 (8 1 5) ● 16 2 7 1 (9 2 3)

6 ● 1 3 3 10 ● 3 3 7 2 8 3 2

(15 ● 2 3) : 4 ● (5 1 4) 3 (6 2 1)

10 ● 3 6 : 5 ● 14 2 4 3 3 1 7

18 : (7 ● 1 2) ● 9 2 (5 1 13) : 6

5 ● 3 8 2 6 ● 20 : 4 3 3 1 8

7. Tria una de les opcions següents, expressa

numèricament cada frase i calcula.

a. 2 1 d. 2 ( 1 )

b. 3 1 e. 3 ( 1 )

c. : 2 f . : ( 2 )

De 15 reste la suma de 6 i 4. ●

▶ d. 15 2 (6 1 4) 5 …

De 7 reste 2 i després li sume 5. ●

Multiplique 10 per la suma de 5 i 2. ●

Dividisc 12 entre la diferència de 7 i 4. ●

Al doble de 8 li sume 3. ●

De la meitat de 14 reste 5. ●

8. Escriu els nombres al seu lloc perquè les dues

expressions siguen certes.

● 2 ( 1 ) 5 2

● 2 1 5 5

● 3 ( 2 ) 5 15

● 1 3 5 12

Bombai (Índia)

12.600.000 hab.

Buenos Aires (Argentina)

11.920.000 hab.

Moscou (Rússia)

11.300.000 hab.

Xangai (Xina)

13.300.000 hab.

1 2 3

4 5 6

ORDRE EN LES OPERACIONS COMBINADES

1r Calcular els…

2n …

3r …

2 3 4

5 6 7

9

E

Altres activitats• Prepareu targetes idèntiques numerades del 0 al 9. Extraieu

successivament algunes o totes les targetes. Demaneu als alum-nes que anoten les xifres obtingudes, troben la descomposició del nombre que es forma i escriguen com es llig. També poden escriu-re el nombre anterior o posterior, comparar els nombres succes-sius que se n’obtinguen…

• Proposeu activitats de comparació de dos nombres en les quals aquests s’expressen de manera diferent l’un de l’altre (amb lle-tres, amb xifres, descompostos...).

Objectius• Repassar els continguts bàsics

de la unitat.

• Aplicar les Matemàtiques en di-ferents contextos.

Competències bàsiques

Autonomia i iniciativa

personal

Quan treballeu l’apartat Ets capaç de... comenteu als alumnes la importància de confi ar en si ma-teixos a l’hora de resoldre proble-mes. Animeu-los perquè progres-sen i valoreu els seus avanços.

Solucions1. • 7 DM 1 4 C 1 2 D 1 1 U.

Setanta mil quatre-cents vint-i-u.

• 6 CM 1 8 DM 1 2 UM 1 9 D 1 3 U. Sis-cents huitanta-dos mil noranta-tres.

• 2 U. de milió 1 4 CM 1

1 7 UM 1 5 C 1 1 D 1 6 U. Dos milions quatre-cents set mil cinc-cents setze.

• 3 D. de milió1 9 U. de mi-lió1 2 CM 1 1 DM 1 8 U. Trenta nou milions dos-cents deu mil huit.

• 2 C. de milió 1 6 D. demilió 1 5 U. de milió 1

1 7 DM 1 4 UM 1 3 C. Dos-cents seixanta-cinc mili-ons setanta-quatre mil tres-cents.

• 8 C. de milió 1 2 D. demilió 1 3 U. de milió 1

1 6 CM 1 9 UM 1 5 D. Huit-cents vint-i-tres milions sis-cents nou mil cinquanta.

2. 45.030.207, 3.514.080,627.163.000, 300.002.100,79.300.491

3. 30.000 U; 3.000.000 U;3.000 U; 300.000.000 U;300.000 U

14

132255 _ 0040-0053.indd 50132255 _ 0040-0053.indd 50 11/9/09 07:10:5411/9/09 07:10:54

a.

)

)

es

5

15

1

9. Resol cada problema de dues maneres

diferents. Escriu totes les operacions en una

sola expressió.

En un forn han cuit al matí 268 barres ●

i n’han venut 195. A la vesprada, n’han cuit 120 i n’han venudes 87. Quantes barres cuites han quedat sense vendre?

Sense parèntesis ▶ …

Amb parèntesis ▶ …

Un tren ix de l’estació amb 186 viatgers. ●

Durant el trajecte fa dues parades: en la primera, en baixen 64 persones i n’hi pugen 59, i en la segona parada en baixen 39 i n’hi pugen 78. Quants viatgers hi ha al tren al final del trajecte?

Sense parèntesis ▶ …

Amb parèntesis ▶ …

10. Resol.

Un camió pot carregar un màxim ●

de 19.000 kg. Hi han carregat 98 caixes de 70 kg i 25 caixes de 105 kg. Quants quilos més poden carregar encara al camió?

Lorena tenia guardades a l’ordinador ●

13.062 fotografies. Hui n’ha esborrat 297 i n’hi ha posat 451 de noves. Després ha copiat les fotos en diversos CD, i n’ha gravat 275 en cada un. Quants CD ha necessitat? Quantes fotos ha copiat en el CD incomplet?

Raül i Pilar han fet aquest estiu un ●

viatge. L’avió d’anada i tornada els ha costat 145 a cada un i l’estada a l’hotel en habitació doble, 87 cada dia. En total han hagut de pagar 1.073 . Quants dies han estat de viatge?

ETS CAPAÇ DE… Saber quan és rendible un abonament

Al poliesportiu municipal han obert una piscina. S’hi pot anar a nadar pagant cada dia una entrada diària, però les persones que hi van sovint tenen altres opcions més barates, com traure abonaments de 10 dies, traure abonaments mensuals o traure un abonament anual.

Observa els preus de cada opció i calcula. ●

– Quants dies cal anar-hi com a mínim perquè resulte més barat traure un abonament de 10 dies que traure entrades diàries?

– I perquè resulte més barat traure un abonament mensual que entrades diàries? I perquè resulte més barat traure un abonament anual?

Explica quina opció aconsellaries a cada persona. ●

– Raquel anirà a la piscina 8 dies.

– Francesc hi vol anar 15 dies aquest mes.

– Joan pensa anar-hi 2 vegades per setmana durant tot l’any.

Preus: – Entrada diària ▶ 3 .– Abon. de 10 dies ▶ 25 .– Abon. mensual ▶ 37 .– Abon. anual ▶ 185 .

Programa d’ESTUDI EFICAÇEn acabar la unitat, feu que els alumnes refl exionen sobre el que han aprés. Completeu amb ells o demaneu-los que completen una taula com aquesta:

Unitat 1 Nombres naturals. Operacions

El que he aprésEl que he aprés

a fer

Nombres de fins a nou xifres

Operacions combinades

Problemes de diverses operacions

UNITAT 1

4. • La ciutat més poblada és Xangai (Xina). La menys po-blada és Moscou (Rússia).

• Bombai té 680.000 ha-bitants més que Buenos Aires.

5. 1r Parèntesis.2n Multiplicacions i divisions.3r Sumes i restes.

6. • 7, 36, 3, 12, 2, 34• 15, 5, 45, 9, 6, 23

7. d. 15 – (6 1 4) 5 5a. 7 – 2 1 5 5 10e. 10 3 (5 1 2) 5 70f. 12 : (7 – 4) 5 4b. 2 3 8 1 3 5 19c. 14 : 2 – 5 5 2

8. • 7 – (3 1 2) 5 26 – 5 1 4 5 5

• 5 3 (4 – 1) 5 156 1 2 3 3 5 12

9. • 268 – 195 1 120 – 87 5 106(268 1 120) – (195 1

1 87) 5 106Queden sense vendre 106 barres.

• 186 – 64 1 59 2 39 11 78 5 220186 1 (59 1 78) – (64 11 39) 5 220Al fi nal del trajecte hi ha 220 passatgers.

10. • 19.000 2 98 3 70 11 25 3 105 5 9.515Encara es poden carregar 9.515 kg més al camió.

• 13.062 – 297 1 451 55 13.21613.216 : 275 ▶ q 5 48;r 5 16Ha necessitat 49 CD i ha copiat 16 fotos en el CD incomplet.

• 1.073 – 145 3 2 5783783 : 875 9Han estat de viatge 9 dies.

Ets capaç de...• 9 dies. 13 dies. 62 dies.• A Raquel: entrades diàries.

A Francesc: l’abonament mensual.A Joan: l’abonament anual.

15

132255 _ 0040-0053.indd 51132255 _ 0040-0053.indd 51 11/9/09 07:10:5411/9/09 07:10:54

16

Solució de problemesPassos per a resoldre un problemaResol sempre els problemes seguint aquests passos.

Pere va comprar una rentadora que costava 579 . Va pagar amb dos bitllets de 200 , un de 100 i cinc bitllets de 20 . Quant li van tornar?

COMPRÉN. ●

Pregunta ▶ Quant li van tornar?

Dades ▶ La rentadora costava 579 . Va pagar amb 2 bitllets de 200 , 1 de 100 i 5 de 20 .

PENSA. ●

1r Hem de calcular quants diners va donar Pere. Multipliquem el valor de cada bitllet pel nombre de bitllets que va donar i sumem.

2n Hem de calcular els diners que li van tornar. Restem dels diners donats el preu de la rentadora.

CALCULA. ●

1r 2 3 200 1 1 3 100 1 5 3 20 5 400 1 100 1 100 5 600

2n 600 2 579 5 21

Solució: Li van tornar 21 .

COMPROVA. ●

579 1 21 = 600 ▶ El preu de la rentadora més el canvi són els diners donats.

1. En un concessionari de cotxes, els cotxes tot terreny valien 26.500 i les furgonetes, 19.750 . Després de rebaixar el preu de cada vehicle 2.150 , van vendre en una setmana dos cotxes tot terreny i una furgoneta. Quant van obtindre per la venda?

2. Una empresa va portar els seus 12 treballadors en un microbús. En el lloguer del microbús es va gastar 300 i en el menjar, 420 més que en el transport. Quant va pagar l’empresa per cada treballador en total?

3. Joan té 5 anys, el pare té 24 anys més que ell i l’avi té el doble d’anys que el pare. Quants anys té l’avi de Joan?

4. INVENTA. Escriu un problema i demana al company que el resolga seguint els quatre passos indicats.

EX

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Altres activitats• Plantegeu als alumnes problemes com els que es proposen a con-

tinuació a fi de refermar la resolució de problemes pas a pas:

– En una biblioteca hi ha registrats 679 llibres infantils; de literatu-ra juvenil n’hi ha 315 més que d’infantils, i d’història 123 menys que juvenils. Quants llibres hi ha en total?

– En un concert es gastaren 6.200 € en il·luminació i so. Amb la venda d’entrades es van recaptar 6.500 € i es van vendre 80 camisetes a 13 € cada una. Quin benefi ci es va obtindre?

Objectius• Resoldre problemes matemà-

tics seguint uns passos.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Inicieu una conversa amb els alumnes perquè s’adonen que és necessari seguir un mètode organitzat a l’hora de resoldre problemes.

Per a explicar

• Comenteu l’exemple resolt i ex-pliqueu-lo pas a pas a la pissar-ra assegurant-vos que compre-nen cada pas. Assenyaleu com és d’important pensar acurada-ment abans de fer les operaci-ons.

Competències bàsiques

Aprendre a aprendre

Motiveu els alumnes perquè posen en pràctica tots els coneixements apresos a l’hora de resoldre els problemes matemàtics. Indiqueu-los que la seua capacitat ha anat desenvolupant-se a base de practi-car i que ja tenen capacitat sufi ci-ent per a resoldre problemes molt complexos.

Solucions1. (26.500 – 2.150) 3 2 5 48.700

19.750 2 2.150 5 17.60048.700 1 17.600 5 66.300Van obtindre 66.300 €.

2. (300 1 300 1 420) : 12 5 85Va pagar 85 € per cada treba-llador.

3. (24 1 5) 3 2 5 58El seu avi té 58 anys.

4. R. M. Laura recorre per anar al treball 38 km els dilluns i dime-cres. La resta de dies recorre 5 km més. Quants quilòmetres recorre a la setmana?

16

132255 _ 0040-0053.indd 52132255 _ 0040-0053.indd 52 11/9/09 07:10:5411/9/09 07:10:54

17

1

EXERCICIS

1. Descompon aquests nombres.

540.123 ● ● 39.126.545

1.700.902 ● ● 160.302.090

8.057.021 ● ● 802.004.600

2. Escriu com es llig cada nombre de l’activitat

anterior.

3. Escriu amb xifres.

Quatre-cents mil nou-cents ●

setanta-huit.

Dos milions cent sis mil quatre. ●

Cinc milions setanta-sis. ●

Vint-i-nou milions quatre-cents ●

trenta-dos mil.

Huitanta milions deu mil tretze. ●

Cinc-cents sis milions dos-cents sis ●

mil noranta-huit.

Sis-cents milions cent mil dos. ●

4. Calcula.

25.089 ● 1 23.658

176.765 ● 1 29.106 1 8.394

47.912 – 6.965 ●

276.091 – 9.876 ●

5. Multiplica.

375 ● 3 189 ● 1.689 3 470

286 ● 3 305 ● 2.741 3 900

6. Divideix.

9.760 : 36 ● ● 4.711 : 314

3.420 : 38 ● ● 38.304 : 126

7. ESTUDI EFICAÇ. Revisa les divisions que

has fet en l’activitat 6. Coincideixen els teus

resultats amb els del company?

PROBLEMES

8. En un tren caben 305 passatgers. Hi ha 225 places de classe turista i 4 vagons iguals de primera classe. Quantes places té cada vagó de primera classe?

9. Marc va comprar 150 kg de pomes a 2 el quilo. Abans de vendre-les, en va tirar 17 kg que estaven fetes malbé i va vendre les restants a 10 el quilo. Quants diners va guanyar per la venda?

10. Lluïsa ha aconseguit en un videojoc 3 varetes màgiques i Josep ha aconseguit 4 cofres i 5 corones.

Qui ha aconseguit més punts? Quants més?

11. Helena va comprar 4 bitllets d’avió en una agència de viatges. Va pagar 603 en total pels bitllets i per la gestió. Cada bitllet costava 150 . Quant va pagar Helena per la gestió?

12. Un grup de 28 amics vol creuar un llac. La meitat ho farà amb barques de 2 places i la resta amb barques de 5 places. Quantes barques necessitaran?

13. Fèlix va anar al banc a canviar diners. Va donar 4 bitllets de 50 i 2 de 20 i li van donar 40 monedes d’1 i la resta en monedes de 2 . Quantes monedes de 2 li van donar?

14. En una fàbrica envasen cada hora 520 ¬ de refresc de taronja i 780 ¬ de llima en botelles de 2 litres. Quantes botelles de refresc omplin en 8 hores de faena?

150 punts 415 punts 180 punts

Repassa

Repàs en comú• Dividiu la classe en diversos grups i animeu-los perquè pensen

un joc de taula que hauran de dibuixar en una cartolina gran. De-maneu-los que n’escriguen les regles i tracen un recorregut amb caselles on hauran de superar proves com ara calcular operacions amb nombres naturals, trobar el valor d’una operació combinada, resoldre un problema correctament... Després, podran jugar amb el seu propi joc o intercanviar-lo amb els altres grups. També po-deu fi xar un límit temporal per a fer cada una de les proves de les caselles.

UNITAT 1

Solucions 1. • 5 CM 1 4 DM 1 1 C 1

1 2 D 1 3 U• 1 U. de milió 1 7 CM 1

1 9 C 1 2 U• 8 U. de milió 1 5 DM 1

1 7 UM 1 2 D 1 1 U• 3 D. de milió 1 9 U. de mi-

lió 1 1 CM 1 2 DM 1

1 6 UM 1 5 C 1 4 D 1 5 U• 1 C. de milió 1 6 D. de mi-

lió 1 3 CM 1 2 UM 1 9 D• 8 C. de milió 1 2 U. de mi-

lió 1 4 UM 1 6 C

2. Cinc-cents quaranta mil cent vint-i-tres. Un milió set-cents mil nou-cents dos. Huit mili-ons cinquanta-set mil vint-i-u. Trenta-nou milions cent vint-i-sis mil cinc-cents quaranta-cinc. Cent seixanta milions tres-cents dos mil noranta. Huit-cents dos milions quatre mil sis-cents.

3. 400.978, 2.106.004, 5.000.076,29.432.000, 80.010.013,506.206.098, 600.100.002

4. • 48.747 • 40.947• 214.265 • 266.215

5. • 70.875 • 793.830• 87.230 • 2.466.900

6. • q 5 271; r 5 4 • q 5 15; r 5 1

• q 5 90 • q 5 304

7. R. L.

8. (305 – 225) : 4 5 20 Cada vagó té 20 places.

9. (150 2 17) 3 10 – 300 55 1.030. Va guanyar per la venda 1.030 €.

10. Josep; 225 punts més.

11. 603 – 150 3 4 5 3. Va pa- gar 3 €.

12. 14 : 5 ▶ q 5 2; r 5 4 7 1 3 5 10 barques.

13. 50 3 4 1 2 3 20 – 40 5 200;200 : 2 5 100. Van donar-li 100 monedes.

14. (520 1 780) : 2 5 650650 3 8 5 5.200Omplin 5.200 botelles.

17

132255 _ 0040-0053.indd 53132255 _ 0040-0053.indd 53 11/9/09 07:10:5511/9/09 07:10:55

18

Sílvia envia aquest missatge a 3 persones en 1 minut:

Reunió al parcdel barri per demanar un centre cultural.

Passa-ho a 3 amics!

Cada persona que rep el missatge el reenvia a altres 3 persones diferents en 1 minut. Fixa’t a quantes persones arriba el missatge!

Potències i arrel quadrada

● Calcula quantes persones reben el missatge cada minut.

1r minut 2n minut 3r minut 4t minut 5é minut ▼ ▼ ▼ ▼ ▼

3 3 3 3 5 … 3 3 3 3 3 5 … … …

● Calcula quantes persones coneixen el missatge al cap de 5 minuts.

● Pensa i opina. Trobes que Sílvia ha aconseguit transmetre el missatge a moltes persones en poc de temps? Se t’acut alguna altra manera de fer-ho?

2 RE

P

1.

2.

Q

Q

Altres formes de començar• Animeu els alumnes perquè pensen situacions similars a la de la

pàgina inicial i en les quals siga necessària la multiplicació d’un factor per si mateix diverses vegades.

• Demaneu-los que aporten idees per expressar de manera abrevia-da productes de factors iguals. Hauran d’afegir també els avantat-ges i inconvenients del sistema d’expressió que cada u propose.

Objectius• Recordar els conceptes bàsics

necessaris per al desenvolupa-ment de la unitat.

• Mostrar situacions on apareguen productes de factors iguals.

Suggeriments didàctics• Dialogueu amb els alumnes so-

bre la situació real proposada. Comenteu-los com van sorgint productes amb tots els factors iguals. Pregunteu-los quin pro-ducte expressaria el nombre de persones després de 10 minuts.

• Aprofiteu l’apartat Recorda el que en saps per a comprovar que els alumnes coneixen els termes d’una multiplicació. Indi-queu que seria molt interessant tindre una forma d’expressar els productes de factors iguals de manera abreviada.

Competències bàsiques

Aprendre a aprendre

Recordeu-los que, una vegada més, les destreses i els coneixe-ments adquirits prèviament (pro-ductes, factors…) ens permetran aprendre en aquesta unitat ope-racions que fi ns aleshores desco-neixíem, però que es basen en les que ja hem estudiat.

Competència lingüística

Assenyaleu la importància d’una correcta expressió lingüística quan construïm i comuniquem coneixe-ments, i que és necessari usar els termes del llenguatge matemàtic amb correcció.

Autonomia i iniciativa

personal

Animeu els alumnes perquè tinguen iniciativa i utilitzen la cre-ativitat a l’hora de resoldre situa-cions de la vida quotidiana com la de la pàgina.

18

132255 _ 0054-0067.indd 56132255 _ 0054-0067.indd 56 11/9/09 07:14:1711/9/09 07:14:17

ge

es e!

19

RECORDA EL QUE EN SAPS

Producte de factors iguals

● A escriure productes de factors iguals en forma de potència.

● A llegir, escriure i calcular el valor d’una potència.

● A escriure i interpretar l’expressió polinòmica d’un nombre.

● A calcular l’arrel quadrada del quadrat d’un nombre fins al 10.

● A resoldre problemes calculant una potència o una arrel quadrada exacta.

APRENDRÀS

1. Completa la taula.

Producte ResultatFactor que

es repeteix

Vegades que

es repeteix

2 3 2

2 3 2 3 2

2 3 2 3 2 3 2

6 3 6

6 3 6 3 6

10 3 10 3 10

10 3 10 3 10 3 10

2. Calcula quants quadrats o cubs hi ha.

factors producte

8 3 8 5 64

factors producte

8 3 8 3 8 5 512

64

… 3 … 5 …

… quadrats

… 3 … 3 … 5 …

… cubs

Quadrats i cubs

Quants quadrats hi ha? Quants cubs hi ha?

3 3 3 5 9

Hi ha 9 quadrats.

3 3 3 3 3 5 27

Hi ha 27 cubs.

3

3

3

3 3

Vocabulari de la unitat• Potència

• Base i exponent

• Quadrat i cub

• Potències de base 10

• Expressió polinòmica

• Arrel quadrada

SolucionsPàgina inicial

• 2n minut 5 9 persones.3r minut 5 27 persones.4t minut 5 3 3 3 3 3 3 3 5 5 81 persones.5é minut 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 243 persones.

• 1 1 3 1 9 1 27 1 81 1 243 55 364El coneixen 364 persones.

• R. L.

Recorda el que en saps

1.

Resultat

Factor

que es

repeteix

Vegades

que es

repeteix

4 2 2

8 2 3

16 2 4

36 6 2

216 6 3

1.000 10 3

10.000 10 4

2. 5 3 5 5 25 quadrats.7 3 7 5 49 quadrats.4 3 4 3 4 5 64 cubs.5 3 5 3 5 5 125 cubs.

UNITAT 2

19

132255 _ 0054-0067.indd 57132255 _ 0054-0067.indd 57 11/9/09 07:14:1711/9/09 07:14:17

20

Potències

Una potència és un producte de factors iguals.

El factor que es repeteix s’anomena base i el nombre de vegades que es repeteix s’anomena exponent.

Andreu envasa els dolços.En cada safata posa 3 files de 3 dolços cada una. En cada caixa posa 3 safates i després fa paquets de 3 caixes. Quants dolços hi ha en cada paquet?

Nombre de dolços en cada safata ▶ 3 3 3 5 9Nombre de dolços en cada caixa ▶ 3 3 3 3 3 5 27Nombre de dolços en cada paquet ▶ 3 3 3 3 3 3 3 5 81

En cada paquet hi ha 81 dolços.

Fixa-t’hi: els productes anteriors tenen tots els factors iguals. Aquests productes es poden escriure en forma de potència.Les potències estan formades per una base i un exponent.

Les potències anteriors es lligen així:

32 ▶ 3 al quadrat o 33 ▶ 3 al cub o 34 ▶ 3 a la quarta o 3 elevat a 2. 3 elevat a 3. 3 elevat a 4.

3 3 3 3 3 5 33 3 3 3 3 3 3 3 5 34

1. Escriu cada producte en forma de potència i contesta.

6 3 6 4 3 4 3 4 7 3 7 3 7 3 7 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2

9 3 9 8 3 8 3 8 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5

Quina és la base de la potència? I l’exponent? ●

Com es llig la potència? ●

2. Escriu en forma de producte i calcula’n el valor.

▶ Exemple: ● 42 ● 53 ● 64 ● 36

84 5 8 3 8 3 8 3 8 5 4.096 ● 72 ● 93 ● 25 ● 17

Potència

3 3 3 5 32 Exponent: nombre de vegades que es repeteix el factor. Base: factor que es repeteix.

3.

4.

5.

6.

7.

Cal

CÀ

Altres activitats• Prepareu targetes numerades de l’1 al 10, dues targetes amb cada

nombre. Extraieu-ne dues i alceu-les, una en cada mà. Els alumnes hauran d’escriure la potència corresponent (prenent com a base el nombre de la mà que indiqueu), la seua expressió en forma de producte, la seua lectura i el seu valor numèric.

• Escriviu en la pissarra els quadrats dels nombres 1, 11, 111 i 1.111 ▶ 12 5 1; 112 5 121; 1112 5 12.321; 1.1112 5 1.234.321.Posteriorment, demaneu-los que intenten descobrir la regla que segueixen els quadrats d’aquesta sèrie de nombres i que, a conti-nuació, sense fer cap tipus d’operació, escriguen en els quaderns els quadrats dels nombres 11.111, 111.111 i 1.111.111.

Objectius

• Escriure productes de factors iguals en forma de potència.

• Reconéixer la base i l’exponent d’una potència.

• Llegir, escriure i calcular potèn-cies.

Suggeriments didàctics

Per a explicar

• Expliqueu que per a la situació plantejada hem de trobar suc-cessius productes d’un mateix factor.

• Caracteritzeu les potències com una forma d’expressar produc-tes de factors iguals. Expli-queu-los la importància de no confondre la base i l’exponent (a l’hora d’expressar els produc-tes com a potències) i de calcu-lar correctament el valor de la potència (no s’ha de multiplicar base per exponent).

• Treballeu la lectura i escriptura de potències insistint en el cas especial de quadrats i cubs. Mostreu la relació que tenen amb els termes geomètrics que s’anomenen igual.

Per a reforçar

• Demaneu als alumnes que di-guen dos nombres de l’1 al 10. Un altre alumne eixirà i escriurà la potència formada amb eixos dos nombres (el primer serà la base) i la seua expressió com a productes de factors iguals. Després, dirà com es llig.

Competències bàsiques

Tractament

de la informació

Expliqueu que una mateixa informa-ció es pot expressar de dues ma-neres diferents (com a producte de factors iguals i en forma de potèn-cia). Assenyaleu la importància de saber utilitzar les dues formes i de saber passar d’una a l’altra.

20

132255 _ 0054-0067.indd 58132255 _ 0054-0067.indd 58 11/9/09 07:14:1811/9/09 07:14:18

3 5

36

17

21

2

3. Escriu la potència amb xifres i calcula’n el valor.

Huit al quadrat ● ▶ 82 5 … ● Cinc a la quarta ▶ …

Set al cub ● ▶ … ● Deu elevat a 5 ▶ …

4. Escriu en forma de potència i calcula.

Quants quadrats té cada figura?

5. Calcula el valor del quadrat i el cub dels nombres fins al 10.

Quadrats 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102

Cubs 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103

6. Escriu l’operació en forma de potència i resol.

En una jogueteria hi ha 6 caixes. En cada caixa hi ha 6 bosses, ●

amb 6 titelles en cada bossa. Quants titelles hi ha en total a la jogueteria?

En una pastisseria hi ha 2 taulells amb 2 safates en cada taulell. ●

En cada safata hi ha 2 bescuits, partits en 2 trossos cada un. Cada tros de bescuit té 2 maduixes. Quantes maduixes hi ha en total?

D’un magatzem han eixit 4 furgonetes, amb 4 penjadors cada una. ●

Cada penjador té 4 penja-robes i en cada penja-robes hi ha 4 pantalons. Quants pantalons han eixit en total del magatzem?

Quants cubs té cada figura?

7. Pensa i contesta.

És igual 2 ● 5 que 52?

Quin és el valor d’una potència de base 1? ●

I d’una potència de base 0?

Quin és el valor d’una potència ●

que té per exponent l’1?

2 1 3 3 5 5 2 1 15 5 17

Calcula operacions combinades sense parèntesis

9 2 2 3 4

8 2 1 2 5

3 3 4 : 6

80 1 9 : 3

4 3 20 2 30

70 2 30 2 5

40 : 20 3 7

70 2 3 3 20

80 1 10 2 50

CÀLCUL MENTAL

51 ▶ el 5 una vegada 51 5 5

Altres activitats• Escriviu a la pissarra expressions numèriques similars a les pro-

posades i demaneu als alumnes que relacionen al quadern els termes corresponents de les diferents columnes:

3 1 3 32 12

4 3 4 3 4 4 3 3 64

5 1 5 1 5 1 5 5 3 4 625

4 1 4 1 4 43 6

5 3 5 3 5 3 5 3 3 2 9

3 3 3 54 20

Després, comproveu que ha quedat clar el concepte de potència i com es calcula.

Solucions1. 62, 92, 43, 83, 74, 35, 26, 57.

• Bases: 6, 9, 4, 8, 7, 3, 2 i 5.

• Exponents: 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6 i 7.

• Lectures: 6 al quadrat, 9 al quadrat, 4 al cub, 8 al cub, 7 a la quarta, 3 a la cin-quena, 2 a la sisena i 5 a la setena.

2. • 42 5 4 3 4 5 16• 72 5 7 3 7 5 49• 53 5 5 3 5 3 5 5 125• 93 5 9 3 9 3 9 5 729• 64 5 6 3 6 3 6 3 6 5

5 1.296• 25 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5

5 32• 36 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3 3 5 729• 17 5 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

3 1 3 1 5 1

3. • 82 5 64• 73 5 343• 54 5 625• 105 5 100.000

4. • 32 5 9; 62 5 36• 23 5 8; 33 5 27

5. Quadrats: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 i 100.Cubs: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 i 1.000.

6. • 63 5 216. Hi ha 216 titelles en total.

• 25 5 32. Hi ha 32 maduixes en total.

• 44 5 256. Han eixit 256 pan-talons en total.

7. • No és el mateix, perquè 25 és igual a 32 i 52 és igual a 25.

• Qualsevol potència de base 1 és igual a 1. Qualsevol potència de base 0 és igual a 0.

• El valor és el nombre de la base.

Càlcul mental

• 1 83 142 50 102 35 40

UNITAT 2

21

132255 _ 0054-0067.indd 59132255 _ 0054-0067.indd 59 11/9/09 07:14:1811/9/09 07:14:18

22

Blanca ha calculat diverses potències de base 10.

101 5 10

102 5 10 3 10 = 100

103 5 10 3 10 3 10 5 1.000

104 5 10 3 10 3 10 3 10 5 10.000

Potències de base 10

1. Observa cada potència i respon. Després, escriu-ne el valor.

102 104 105 101 103 106

Quin és l’exponent de la potència? ●

Quants zeros has d’escriure darrere l’1? ●

2. Escriu cada nombre com una potència de base 10.

1.000 100.000 10 10.000.000

1.000.000 100 10.000 100.000.000

3. Escriu cada nombre utilitzant una potència de base 10.

▶ Exemple: 7.000 5 7 3 1.000 5 7 3 103 ▶ Exemple: 5.300 5 53 3 100 5 53 3 102

80 90.000 640 392.000

600 400.000 2.700 4.580.000

2.000 3.000.000 91.000 56.300.000

4. Observa l’exemple i completa la taula escrivint la distància mitjana de cada planeta

al Sol utilitzant potències de base 10.

PlanetaDistància mitjana al Sol

en quilòmetres

Distància utilitzant potències

de base 10

Mercuri 57.870.000 5.787 3 10.000 5 5.787 3 104

Venus 108.140.000

Terra 149.500.000

Mart 227.900.000

Júpiter 778.300.000

Una potència de base 10 és igual a la unitat seguida de tants zeros com indica l’exponent.

L’exponent coincideix amb el nombre de zeros!

1.

2.

3.

E

Altres activitats• Expliqueu als alumnes que de vegades és molt útil expressar

quantitats mitjançant potències de base 10. Proporcioneu-los exemples com ara la massa de la lluna (7 3 1022 kg), el nombre d’estreles de la Via Làctia (2 3 1011), l’edat del Sol (5 3 109 anys), la superfície aproximada dels oceans (4 3 1014 m2), els glòbuls rojos en un litre de sang (5 3 1012)... Pot ser interessant demanar-los que n’expressen alguns amb totes les xifres perquè aprecien millor la utilitat de les potències en aquests casos.

Objectius• Reconéixer i calcular potències

de base 10.

• Trobar l’expressió polinòmica d’un nombre.

• Escriure nombres a partir de la seua expressió polinòmica.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Deixeu clara, en les potències de base 10, la relació entre ex-ponent i nombre de zeros que segueixen la unitat. Assenyaleu les seues aplicacions per a ex-pressar grans quantitats i obtin-dre l’expressió polinòmica d’un nombre. Mostreu-los la relació entre la descomposició com a suma, que ja coneixien, i l’ex-pressió polinòmica.

• Demaneu als alumnes que fa-cen un esquema amb allò que han aprés sobre les potències, seguint les pautes de la pàgina 21 del manual d’ESTUDI EFI-CAÇ.

Solucions1. • Exponents: 2, 4, 5, 1, 3 i 6.

• Tants zeros com indica l’ex-ponent.100, 10.000, 100.000, 10, 1.000 i 1.000.000.

2. 103 105 101 107

106 102 104 108

3. • 8 3 101; 6 3 102; 2 3 103; 9 3 104; 4 3 105; 3 3 106

• 64 3 101; 27 3 102;91 3 103; 392 3 103;458 3 104; 563 3 105

4. 10.814 3 10.000 55 10.814 3 104

1.495 3 100.000 55 1.495 3 105

2.279 3 100.000 55 2.279 3 105

7.783 3 100.000 55 7.783 3 105

22

132255 _ 0054-0067.indd 60132255 _ 0054-0067.indd 60 11/9/09 07:14:1811/9/09 07:14:18

02

23

2

1. Descompon cada nombre i escriu-ne l’expressió polinòmica.

▶ Exemple: 7.406 5 7.000 1 400 1 6 5 7 3 103 1 4 3 102 1 6

564 ● ● 60.342 ● 3.090.800

3.798 ● ● 89.071 ● 70.250.230

8.250 ● ● 209.506 ● 901.600.000

2. Escriu cada nombre.

6 ● 3 105 1 2 3 104 1 9 3 102 1 3 3 10 1 7 ▼ ▼ ▼ ▼ ▼

600.000 1 … 1 … 1 … 1 … 5 …

5 ● 3 103 1 7 3 102 1 8 ● 7 3 106 1 8 3 105 1 3 3 102 1 9

3 ● 3 104 1 2 3 103 1 6 3 102 ● 3 3 107 1 7 3 106 1 105 1 9 3 103

4 ● 3 105 1 9 3 104 1 102 ● 4 3 108 1 8 3 107 1 7 3 106 1 3 3 104

2 ● 3 106 1 5 3 104 1 8 3 103 1 4 ● 2 3 108 1 107 1 5 3 105 1 9 3 103

3. RAONAMENT. Respon sense calcular: quin dels dos nombres de cada parell

és major? Per què?

Ara escriu els nombres, compara’ls i comprova les respostes. ●

Miquel ha escrit el nombre 34.285 utilitzant potències de base 10.

Aquesta forma d’escriure’l s’anomena expressió polinòmica del nombre 34.285.

34.285 5 30.000 1 4.000 1 200 1 80 1 5 ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ 34.285 5 3 3 10.000 1 4 3 1.000 1 2 3 100 1 8 3 10 1 5 ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ 34.285 5 3 3 104 1 4 3 103 1 2 3 102 1 8 3 10 1 5

6 3 104 4 3 106

9 3 103 15 3 103

3 3 105 103 1 2 3 102 1 7 3 10 1 8

3 4 2 8 5.

Expressió polinòmica d’un nombre

Altres activitats• Prepareu targetes numerades del 0 al 9, i altres de diferent color

en les quals apareguen les potències 101, 102, 103... fi ns a 109. Extraieu diverses targetes numerades i anoteu a la pissarra els nombres en l’ordre en què han eixit. Després, traieu la mateixa quantitat de targetes amb les potències de base 10 i demaneu als alumnes que escriguen l’expressió polinòmica corresponent. A continuació, indiqueu-los que escriguen el nombre associat.

• També podeu fer l’activitat inversa, és a dir, traure targetes nume-rades i que els alumnes escriguen la descomposició polinòmica del nombre format per les targetes.

Solucions1. • 564 5 500 1 60 1 4 5

5 5 3 102 1 6 3 101 1 4

• 3.798 5 3.000 1 700 11 90 1 8 5 3 3 103 1

1 7 3 102 1 9 3 101 1 8

• 8.250 5 8.000 1 200 11 50 5 8 3 103 1 1 2 3 102 1 5 3 101

• 60.342 5 60.000 1 300 11 40 1 2 5 6 3 104 1 1 3 3 102 1 4 3 101 1 2

• 89.071 5 80.000 1 9.000 11 70 1 1 5 8 3 104 1 1 9 3 103 1 7 3 101 1 1

• 209.506 5 200.000 11 9.000 1 500 1 6 5 5 2 3 105 1 9 3 103 1 1 5 3 102 1 6

• 3.090.800 5 3.000.000 11 90.000 1 800 5 5 3 3 106 1 9 3 104 1 1 8 3 102

• 70.250.230 5 70.000.000 11 200.000 1 50.000 11 200 1 30 5 7 3 107 1 1 2 3 105 1 5 3 104 1 1 2 3 102 1 3 3 101

• 901.600.000 55 900.000.000 11 1.000.000 1 600.000 55 9 3 108 1 1 3 106 1 1 6 3 105

2. • 5.708• 32.600• 490.100• 2.058.004• 7.800.309• 37.109.000• 487.030.000• 210.509.000

3. És major el nombre que té l’exponent més gran en la potència de base 10 i si te-nen el mateix exponent, ho és el que té més gran el nombre que multiplica la potència.

• 60.000 , 4.000.000• 9.000 , 15.000• 300.000 . 1.278

UNITAT 2

23

132255 _ 0054-0067.indd 61132255 _ 0054-0067.indd 61 11/9/09 07:14:1911/9/09 07:14:19

24

1. Observa i completa per a cada quadrat.

Cada costat té … caselles. ●

En total hi ha … caselles. ▼ El quadrat de … és … ●

L’arrel quadrada de … és …

…2 5 … ▶ Ï… 5 …

2. Calcula els quadrats i completa les arrels.

52 5 … ▶ Ï25 5 … 72 5 … ▶ Ï… 5 … 82 5 … ▶ Ï… 5 …

92 5 … ▶ Ï… 5 … 102 5 … ▶ Ï… 5 … 112 5 … ▶ Ï… 5 …

3. Calcula i explica per què.

Ï16 5 … perquè 42 és 16. Ï36 5 … perquè … és …

Ï1 5 … perquè … és … Ï49 5 … perquè … és …

Ï64 5 … perquè … és … Ï100 5 … perquè … és …

Arrel quadrada

Com que el quadrat té el mateix nombre de caselles en cada costat, han buscat el nombre que multiplicat per si mateix dóna 9, és a dir, el nombre que té per quadrat 9.

Aquest nombre s’anomena arrel quadrada de 9 i s’escriu Ï9.

1 3 1 5 12 5 1

2 3 2 5 22 5 4

3 3 3 5 32 5 9 ▶ Ï9 = 3

L’arrel quadrada de 9 és 3.

El quadrat té 9 caselles. Cada costat té 3 caselles.

Albert i Raquel han fet un tauler per jugar a tres en ratlla. Han dividit un quadrat en 9 caselles iguals. Quantes caselles té cada costat?

L’arrel quadrada d’un nombre és un altre nombre que, elevat al quadrat, és igual al primer.

4

5

6

Ca

C

Altres activitats• Agrupeu els alumnes per parelles. Demaneu-los que preparen 20

targetes iguals i que retolen aquests nombres (un en cada targe-ta): 32, 25, 4, 3, √25, 7, 9, 64, 72, 16, 8, √16, 42,√9, 5, √64, 49, 82, 52 i √49. Després de barrejar les targetes i col·locar-les en un muntó, un dels alumnes de la parella traurà dues targetes a l’atzar; si representen el mateix nombre es quedarà amb aquestes, i si no, les barrejarà una altra vegada en el muntó, passant el torn a l’altre jugador. La partida acabarà quan ja no queden targetes.

Objectius• Relacionar quadrat i arrel qua-

drada d’un nombre.

• Calcular arrels quadrades sen-zilles.

• Resoldre problemes aplicant el càlcul de quadrats o arrels quadrades.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Recordeu als alumnes com es calcula el quadrat d’un nombre i com s’expressa en forma de potència. Comenteu que apren-dran una operació inversa al càl-cul del quadrat d’un nombre.

Per a explicar

• Comenteu amb els alumnes l’exemple proposat. Caracterit-zeu l’arrel quadrada com l’ope-ració inversa de la de trobar el quadrat i expliqueu que l’arrel és sempre menor que el nom-bre, mentre que el quadrat no ho és. Assenyaleu que no tots els nombres tenen arrel quadra-da exacta, només els que s’ob-tenen en calcular el quadrat dels nombres naturals.

Per a reforçar

• Demaneu a diversos alumnes que isquen a la pissarra i calculen el quadrat de diversos nombres. Després, obtingueu en comú l’ar-rel dels quadrats obtinguts dei-xant clara la relació entre l’arrel i el quadrat. Demaneu-los que la verbalitzen: «L’arrel de… és … perquè el quadrat de… és …».

Competències bàsiques

Interacció

amb el món físic

Expliqueu als alumnes que, una vegada més, els càlculs matemà-tics ens permeten comprendre la realitat. Assenyaleu la importància de comptar amb instruments que ens permeten resoldre problemes del món real.

24

132255 _ 0054-0067.indd 62132255 _ 0054-0067.indd 62 11/9/09 07:14:1911/9/09 07:14:19

25

2

4. Resol.

Anna fa un mosaic quadrat amb 25 taulells quadrats iguals. ●

Quants taulells posarà en cada costat del mosaic?

Robert té una capsa amb 16 bombons, col·locats formant un quadrat. ●

Quantes files de bombons hi ha? I quants bombons té cada fila?

Cristina i Sergi juguen a vaixells dibuixant en un full quadriculat ●

un quadrat de 49 caselles. Quantes caselles té cada costat del quadrat?

Els taulers d’escacs són quadrats i tenen 64 caselles iguals. ●

Quantes caselles hi ha en cada fila? I en cada columna?

5. L’arrel quadrada dels nombres següents no és exacta.

Calcula entre quins dos nombres consecutius es troba.

… , Ï10 , … … , Ï24 , … … , Ï45 , …

… , Ï50 , … … , Ï75 , … … , Ï90 , …

6. Pensa si has de calcular el quadrat o l’arrel quadrada i contesta.

Paula i Antoni han d’entaulellar dos patis amb taulells quadrats. Els dos patis són quadrats.

Paula posa 9 taulells en cada costat del pati. ●

Quants taulells necessita per a cobrir tot el terra?

Antoni posa en total 36 taulells. ●

Quants taulells ha posat en cada fila? Quantes files ha fet?

Calcula operacions combinades amb parèntesis

9 3 (2 1 5) (30 1 50) : 10

7 2 (6 2 4) 2 3 (40 2 20)

(8 2 2) 3 9 70 : (60 2 50)

CÀLCUL MENTAL

9 2 2 3 (3 1 1) 5 9 2 2 3 4 5 9 2 8 5 1

FES-HO AIXÍ

Ï30 ▶ No hi ha cap nombre que elevat al quadrat siga 30.

52 5 25 ; 25 , 30

62 5 36 ; 36 . 30

L’arrel quadrada de 30 és major que 5 i menor que 6.

5 , Ï30 , 6

52 , 30 , 62

Altres activitats• Escriviu a la pissarra els nombres de l’1 al 10 i davall els seus

quadrats (12, 22, 32, …, 92, 102). Demaneu a un alumne que diga un nombre de l’1 al 100. Un dels companys haurà de dir si té ar-rel quadrada exacta o no. Després, un altre dirà el valor de l’arrel quadrada d’eixe nombre (si és exacta, quin nombre és i si és en-tera entre quins dos nombres es troba). Escriviu a la pissarra les diferents arrels i indiqueu que cada dos quadrats podem trobar les arrels de diversos nombres.

Solucions1. • Cada costat té 2 caselles.

En total hi ha 4 caselles.• El quadrat de 2 és 4.

L’arrel quadrada de 4 és 2.22 5 4; √4 5 2

• Cada costat té 4 caselles.En total hi ha 16 caselles.

• El quadrat de 4 és 16.L’arrel quadrada de 16 és 4.42 5 16; √16 5 4

• Cada costat té 6 caselles.En total hi ha 36 caselles.

• El quadrat de 6 és 36.L’arrel quadrada de 36 és 6.62 5 36; √36 5 6

2. 52 5 25 ▶ √25 5 592 5 81 ▶ √81 5 972 5 49 ▶ √49 5 7102 5 100 ▶ √100 5 1082 5 64 ▶ √64 5 8112 5 121 ▶ √121 5 11

3. √16 5 4 perquè 42 5 16

√1 5 1 perquè 12 5 1

√64 5 8 perquè 82 5 64

√36 5 6 perquè 62 5 36

√49 5 7 perquè 72 5 49

√100 5 10 perquè 102 5 100

4. • √25 5 5. Posarà 5 taulellets en cada costat.

• √16 5 4. Hi ha 4 files de bombons i 4 bombons en cada fi la.

• √49 5 7. Té 7 caselles cada costat del quadrat.

• √64 5 8. Hi ha 8 caselles en cada fi la i en cada columna.

5. 3 , √10 , 4 8 , √75 , 917 , √50 , 8 6 , √45 , 714 , √24 , 5 9 , √90 , 10

6. • 92 5 81. Necessita 81 tau-lells.

• √36 5 6. Ha posat 6 taulells en cada una de les 6 fi les.

Càlcul mental

• 63 8 5 40 54 7

UNITAT 2

25

132255 _ 0054-0067.indd 63132255 _ 0054-0067.indd 63 11/9/09 07:14:1911/9/09 07:14:19

26

Activitats

1. Copia i relaciona.

2 1 2 1 2 32

6

2 3 2 3 2 2 3 3

8

3 3 3 23

9

3 1 3

2. ESTUDI EFICAÇ. Contesta i posa’n

un exemple.

Què és una potència? ●

Què indica la base d’una potència? ●

I l’exponent?

Com s’anomenen les potències l’exponent ●

de les quals és 2? I les potències que tenen per exponent 3?

3. Expressa cada producte en forma de

potència i escriu com es llig.

9 ● 3 9 3 9 3 9

3 ● 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

10 ● 3 10

6 ● 3 6 3 6 3 6 3 6

8 ● 3 8 3 8

4 ● 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4

5 ● 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5

4. Calcula.

11 ● 2 ● 63 ● 27 ● 45

3 ● 6 ● 19 ● 104 ● 108

5. Escriu la potència i calcula.

Nou al quadrat ●

Huit al cub ●

Dos a la sisena ●

Tres a la cinquena ●

Cinc elevat a 4 ●

U elevat a 8 ●

Deu elevat a 7 ●

6. Expressa cada nombre utilitzant

una potència de base 10.

1.000 10.000.000 ●

10.000 100.000.000

Cent Cent mil ●

Mil Un milió

700 68.000 ●

500.000 340.500 4.000.000 9.120.000

7. Escriu l’expressió polinòmica de

cada nombre.

4.385 ● ● 3.051.400

72.930 ● ● 60.209.000

290.601 ● ● 854.007.003

8. Escriu el nombre.

5 ● 3 104 1 2 3 103 1 7 3 102 1 10 1 6

3 ● 3 105 1 9 3 104 1 8 3 102 1 5 3 10

4 ● 3 106 1 105 1 6 3 103 1 9 3 102

10 ● 8 1 2 3 107 1 5 3 106 1 2 3 105

9. Observa cada dibuix i completa.

El quadrat de … és … ●

L’arrel quadrada de … és … ●

10. Calcula i explica per què.

● Ï9 ● Ï64 ● Ï1 ● Ï25

● Ï49 ● Ï81 ● Ï4 ● Ï100

11. Calcula entre quins dos nombres es troba

l’arrel quadrada de cada nombre.

● … , Ï12 , … ● … , Ï56 , …

● … , Ï30 , … ● … , Ï70 , …

1

1

E

Objectius• Repassar els continguts bàsics

de la unitat.

• Aplicar les Matemàtiques en di-ferents contextos.

Competències bàsiques

Competència

cultural i artística

A l’hora de fer representacions gràfi ques de quadrats i cubs ex-pliqueu que és important dur-les a terme correctament.

Solucions1. 2 1 2 1 2 5 2 3 3 5 6

2 3 2 3 2 5 23 5 83 3 3 5 32 5 93 1 3 5 2 3 3 5 6

2. • Una potència és un producte de factors iguals.

• La base d’una potència indi-ca el factor que es repeteix, i l’exponent el nombre de ve-gades que es repeteix.

• Si l’exponent és 2, s’anome-nen quadrats, i si és 3, cubs.

3. • 94; 9 elevat a 4.• 36; 3 elevat a 6.• 102; 10 al quadrat.• 65; 6 elevat a 5.• 83; 8 al cub.• 47; 4 elevat a 7.• 58; 5 elevat a 8.

4. 121, 729, 216, 1, 128,10.000, 1.024, 100.000.000

5. • 92 5 81• 83 5 512• 26 5 64• 35 5 243• 54 5 625• 18 5 1• 107 5 10.000.000

6. • 103, 104, 107, 108

• 102, 103, 105, 106

• 7 3 102, 5 3 105, 4 3 106

68 3 103, 3.405 3 102, 912 3 104

26

Altres activitats• Proposeu activitats en què es treballen simultàniament les potèn-

cies, les arrels i la comparació de nombres. Poden ser similars a les següents:

93 ◯ 84 105 ◯ 103

23 ◯ √36 103 1 3 3 1021 8 3 10 ◯ 104

• Demaneu als alumnes que completen els buits en les desigualtats següents:

3□ , 23 42 . 4□ √□ , 2

132255 _ 0054-0067.indd 64132255 _ 0054-0067.indd 64 11/9/09 07:14:1911/9/09 07:14:19

6

0

0

…

…

27

2

14. Resol.

Ester s’ha inventat una sopa de ●

lletres amb 9 files de 9 lletres cada una. Quantes lletres ha escrit en total Ester?

Al despatx d’un manyà hi ha ●

un armari que té 7 files amb 7 clauers en cada fila. Cada clauer té 7 claus. Quantes claus hi ha a l’armari?

Un edifici té 4 pisos. En cada pis ●

hi ha 4 cases, amb 4 finestres al carrer en cada una. Cada finestra té 4 cossiols amb 4 flors cada una. Quantes flors hi ha en total a les finestres de l’edifici?

Elsa ha fet un trencaclosques de ●

36 peces en forma de quadrat. Quantes peces ha col·locat Elsa en cada costat del quadrat?

12. Escriu 4 termes més de cada sèrie.

Després, escriu cada terme en forma

de potència.

● Multiplica per 2 cada vegada:

2, 4, 8, …, …, …▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼

21, 22, …, …, …, …

● Multiplica per 5 cada vegada:

5, 25, …, …, …, …▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼

51, 52, …, …, …, …

13. Pensa i contesta.

Pau té 8 daus iguals. Hi vol formar un quadrat o un cub, de manera que no li sobren ni li falten daus.

Pot formar-hi un quadrat? I un cub?

Capses quadrades per a minerals

N’hi ha de 3 mides:

– Xicoteta: 4 buits en cada costat.

– Mitjana: 5 buits en cada costat.

– Gran: 6 buits en cada costat.

Àlex, Agnés i Toni col·leccionen minerals. Volen comprar una capsa per a guardar-los-hi. Quina mida de capsa triarà cada un?

Qui pot comprar una capsa i omplir-la ●

sense que li sobre cap mineral? Quina capsa comprarà cada un?

Quina capsa comprarà Agnés? ●

Quants llocs buits li quedaran?

Si tingueres 32 minerals, quina capsa compraries? ●

Quants minerals més podries guardar-hi?

ETS CAPAÇ DE… Triar una capsa

Tinc 16 minerals. Jo en tinc 20.

Agnés ToniÀlex

I jo, 25.

Programa d’ESTUDI EFICAÇEn acabar la unitat, cal que els alumnes refl exionen sobre el que han aprés. Completeu amb ells o demaneu-los que completen una taula com aquesta:

Unitat 2 Potències i arrel quadrada

El que he aprésEl que he

aprés a fer

Potències

Potències de base 10

Expressió polinòmica

Arrel quadrada

UNITAT 2

7. • 4 3 103 1 3 3 102 1 1 8 3 101 1 5

• 7 3 104 1 2 3 103 1 1 9 3 102 1 3 3 101

• 2 3 105 1 9 3 104 11 6 3 102 1 1

• 3 3 106 1 5 3 104 1 1 1 3 103 1 4 3 102

• 6 3 107 1 2 3 105 1 1 9 3 103

• 8 3 108 1 5 3 107 11 4 3 106 1 7 3 103 1 3

8. • 52.716 • 4.106.900• 390.850 • 125.200.000

9. • El quadrat de 6 és 36.• L’arrel quadrada de 16 és

4.

10. • √9 5 3 perquè 32 5 9• √49 5 7 perquè 72 5 49• √64 5 8 perquè 82 5 64• √81 5 9 perquè 92 5 81• √1 5 1 perquè 12 5 1• √4 5 2 perquè 22 5 4• √25 5 5 perquè 52 5 25• √100 5 10 perquè 102 5

5 100

11. • √12 ▶ 3 i 4 √56 ▶ 7 i 8• √30 ▶ 5 i 6 √70 ▶ 8 i 9

12. • 2, 4, 8, 16, 32, 6421, 22, 23, 24, 25, 26

• 5, 25, 125, 625, 3.125, 15.62551, 52, 53, 54, 55, 56

13. No pot formar un quadrat. Pot formar un cub.

14. • 92 5 81. Ha escrit 81 lletres.• 73 5 343. H i ha 343

claus.• 45 5 1.024. Hi ha 1.024

fl ors.• √36 5 6. Ha col·locat 6 pe-

ces.

Ets capaç de...• Àlex i Toni poden comprar una

capsa i omplir-la. Àlex comprarà la xicoteta i Toni la mitjana.

• Agnés comprarà la mitjana. Li quedaran 5 llocs buits.

• R. M. Compraria la gran. Po-dria guardar 4 minerals més.

27

132255 _ 0054-0067.indd 65132255 _ 0054-0067.indd 65 11/9/09 07:14:2011/9/09 07:14:20

28

Solució de problemesBuscar dades en diversos gràfics Busca les dades necessàries en els gràfics i resol.

L’aigua és un recurs molt escàs que hem d’aprofitar. En el gràfic lineal es presenta la quantitat d’aigua en litres que ha consumit Miquel en un any. En el gràfic de barres figuren els litres d’aigua consumits en algunes activitats quotidianes.

2. Quanta aigua va gastar Miquel cada mes suposant que tots els mesos en va gastar els mateixos litres?

3. Durant una setmana Miquel es va dutxar 5 vegades i es va banyar 2 vegades. La setmana següent es va dutxar 4 vegades i es va banyar 3 vegades. Quina setmana va gastar més aigua? Quants litres més?

4. El segon trimestre de l’any Miquel va utilitzar el rentaplats 60 vegades i la rentadora 65 vegades. Quants litres d’aigua va gastar en la resta d’activitats?

5. INVENTA. Escriu i resol un problema en què faces servir algunes de les dades dels gràfics.

1. Quants litres d’aigua va gastar Miquel el segon semestre de l’any més que el primer semestre?

▶ Litres el segon semestre: ...

Litres el primer semestre: ...

Diferència de litres: ...

Solució: En va gastar ...

CONSUM PER TRIMESTRE

Litre

s d

’aig

ua

1r trim. 2n trim. 3r trim. 4t trim.

60.000

50.000

40.000

30.000

20.000

10.000

0

Ren

taplat

s

CONSUM PER ACTIVITAT

Litre

s d

’aig

ua

240

210

180

150

120

90

60

30

0

Ren

tado

ra

Bany

Dut

xa

EX

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Altres activitats• Demaneu als alumnes que busquen notícies en diaris o revistes en

què apareguen diferents tipus de gràfics i les porten a classe per plantejar en comú diferents problemes amb informacions extretes d’aquests.

• Podeu demanar-los també que inventen una situació en què apa-reguen dos gràfi cs i plantegen preguntes paregudes a les de la unitat. Per exemple: un gràfi c lineal que es referisca a les despe-ses d’alimentació d’una casa en un any, i un gràfi c de barres amb quatre o cinc grups d’aliments i els diners que s’han gastat en cada un.

Objectius• Buscar dades en diversos grà-

fi cs per resoldre problemes.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Recordeu als alumnes els dife-rents tipus de gràfi cs que po-dem trobar i que tots ens ofe-reixen informació útil a l’hora de resoldre problemes.

Per a explicar

• Resoleu conjuntament a la pissarra el primer exercici i in-diqueu en quin gràfi c hem de buscar la informació. Insistiu en el fet que cada un d’aquests facilita informacions diferents.

Competències bàsiques

Competència

social i ciutadana

Plantegeu als alumnes la necessi-tat d’estalviar aigua. Indiqueu que entre tots hem de fer un esforç perquè no s’esgoten els recursos de què disposem.

Solucions

1. 50.000 1 30.000 5 80.000 30.000 1 40.000 5 70.00080.000 – 70.000 5 10.000Va gastar 10.000 ℓ més.

2. (30.000 1 40.000 1 50.000 11 30.000) : 12 5 12.500Va gastar 12.500 ℓ.

3. 5 3 60 1 2 3 210 5 7204 3 60 1 3 3 210 5 870870 2 720 5 150La segona setmana.Va gastar 150 ℓ més.

4. 60 3 30 1 65 3 90 5 7.65040.000 2 7.650 5 32.350Va gastar 32.350 ℓ.

5. R. L.

28

132255 _ 0054-0067.indd 66132255 _ 0054-0067.indd 66 11/9/09 07:14:2011/9/09 07:14:20

29

2

EXERCICIS

1. Escriu el valor posicional de

les xifres 5 de cada nombre.

5.005.306 ● ● 3.500.508

32.154.675 ● ● 50.090.352

527.885.030 ● ● 556.368.297

2. Escriu.

El major nombre de set xifres la xifra 7 ●

del qual valga 7.000.000 U.

El menor nombre de huit xifres la xifra 9 ●

del qual valga 90.000.000 U.

El major nombre de nou xifres la xifra 4 ●

del qual valga 40.000.000 U.

3. Ordena de menor a major cada grup.

2.019.704, 2.108.800, 2.020.101, ●

1.999.989, 2.200.006

35.300.000, 35.125.348, 35.125.900, ●

34.989.586, 36.086.187

4. Escriu.

El major nombre parell de set xifres. ●

El menor nombre senar de huit xifres. ●

Un nombre de nou xifres major que ●

nou-cents noranta milions dos-cents trenta mil.

5. Calcula.

607.839 ● 1 198.704 ● 675 3 340

385.126 ● 1 43.089 ● 521 3 609

675.203 ● 2 176.889 ● 2.368 : 27

502.093 ● 2 50.209 ● 26.752 : 128

6. ESTUDI EFICAÇ. Explica en quin ordre

cal fer les operacions d’aquestes

expressions.

4 ● 1 2 3 3 2 1 ● 5 3 2 2 (4 2 1)

7. Calcula.

6 ● 3 2 2 7 1 4 ● 7 2 (6 2 2) 2 1

9 ● 2 (2 1 1) 3 3 ● 3 1 4 3 5 2 9

7 ● 3 3 2 8 3 2 ● 15 2 7 2 (2 3 3)

5 ● 2 9 : 3 1 4 ● 8 : (7 2 3) 2 1

PROBLEMES

8. Una furgoneta transporta 30 caixes de taronges. En 8 de les caixes en porta 20 kg en cada una i en les restants en porta 25 kg en cada una. Quants quilos de taronges transporta la furgoneta?

9. Marta compleix hui els anys.

El seu germà Lluc té 2 anys més que ella i el pare, el triple que el germà. Quants anys més que Marta té el pare?

10. En una escola han comprat per a l’equip de futbol 15 pantalons per 180 . Cada camiseta ha costat 3 més que un pantaló. Quant ha costat l’equipament de cada jugador?

11. Per a pagar una factura, Maria ha donat 7 bitllets de 50 i 4 de 20 . Li han tornat 3 monedes de 2 . Quin era el preu de la factura?

12. Dels 130 assistents a una xarrada, 82 eren dones i la resta homes. Dels homes, un terç eren majors de 65 anys. Quants homes menors de 65 anys van assistir a la xarrada?

Repassa

Repàs en comú• Dividiu els alumnes de classe en grups. Cada un farà un mural

sobre els diferents aspectes treballats en la unitat: potències de base 10, expressió polinòmica d’un nombre i arrel quadrada.

En cada un dels quatre murals hauran d’aparéixer clarament els conceptes i procediments estudiats amb exemples que els il-lustren, i alguna activitat proposada i resolta per a exposar a la resta de companys.

Cada grup explicarà a la classe un dels quatre murals, aquell que creieu més pertinent. Aprofi teu aquest moment per a resoldre dub-tes o difi cultats que es presenten.

UNITAT 2

Solucions 1. 5.000.000 U i 5.000 U;

50.000 U i 5 U; 500.000.000 U i 5.000 U; 500.000 U i 500 U;50.000.000 U i 50 U; 500.000.000 U i 50.000.000 U.

2. • 7.999.999• 90.000.000• 499.999.999

3. • 1.999.989 , 2.019.704 , , 2.020.101 , 2.108.800 , , 2.200.006

• 34.989.586 , 35.125.348 , , 35.125.900 , 35.300.000 , 36.086.187

4. • 1.000.000• 99.999.999• R. M. 990.240.000

5. • 806.543 • 229.500• 428.215 • 317.289• 498.314 • q 5 87; r 5 19• 451.884 • q 5 209

6. • Multiplicació i després su-ma i resta.

• Parèntesis i després multi-plicació i resta.

7. • 9, 0, 5, 6• 2, 14, 2, 1

8. 30 – 8 5 228 3 20 1 22 3 25 5 710Transporta 710 kg de taronges.

9. Lluc: 14 anys.Pare: 14 3 3 5 42 anys.42 – 12 5 30El pare li porta 30 anys.

10. 180 : 15 5 1212 1 3 5 1512 1 15 5 27L’equipament ha costat 27 €.

11. 7 3 50 1 4 3 20 5 430430 – 6 5 424El preu era 424 €.

12. 130 – 82 5 4848 : 3 = 1648 – 16 = 32Van assistir a la xarrada 32 ho-mes menors de 65 anys.

29

132255 _ 0054-0067.indd 67132255 _ 0054-0067.indd 67 11/9/09 07:14:2011/9/09 07:14:20

30

Nombres enters

● Observa l’esquema. Un animal que viu a 2.000 m d’altitud, viu per damunt o per davall del nivell del mar? I un animal que viu a 200 m de profunditat?

● Localitza en l’esquema on viu cada animal i contesta.

– Quin animal viu més prop del nivell del mar, el iac o el calamar gegant?

– La vicunya viu als altiplans de l’Amèrica del Sud, entre els 3.000 m i 4.500 m d’altitud. Viu la vicunya més prop o més lluny del nivell del mar que el iac?

– El peix espasa viu en mars tropicals entre els 200 m i 800 m de profunditat. Viu el peix espasa més prop o més lluny del nivell del mar que el calamar gegant?

3

Leire fa un treball sobre dos animals: el iac i el calamar gegant.

Una de les dades que ha trobat sobre aquests animals és el lloc on viuen:

– El iac habita a les muntanyes del Tibet, a uns 5.000 metres d’altitud.

– El calamar gegant viu al mar, a més de 1.000 metres de profunditat.

nivell del mar

6.000 m

5.000 m

4.000 m

3.000 m

2.000 m

1.000 m

0 m

1.000 m

2.000 m

1. E

2. Ce

A

3. Ed

A

C

4. Da

REC

R

C

S’i ecola

●

●

Altres formes de començar• Plantegeu als alumnes preguntes sobre situacions en les quals

normalment utilitzem nombres negatius (sense explicar-los encara que són nombres enters negatius). Per exemple:

– Quan ens trobem en un centre comercial: Com expressem les plantes d’aparcament? Com s’indiquen aquestes plantes en els botons de l’ascensor?

– Quan a l’hivern fa molt de fred o la temperatura baixa dels zero graus: Com expressem la temperatura? Com s’indica en el ter-mòmetre?

Objectius

• Recordar els conceptes bàsics necessaris per al desenvolupa-ment de la unitat.

• Reconéixer situacions reals en què apareguen els nombres en-ters.

Suggeriments didàctics

• Comenteu la situació proposada i el dibuix que hi apareix. Expli-queu que hi ha altituds (per da-munt del zero o nivell del mar) i profunditats (per davall d’eixe nivell). Assenyaleu que en la unitat aprendran els nombres negatius i comenteu-los que podríem expressar les profundi-tats com «altituds negatives».

• Aprofiteu l’apar tat Recorda el que saps per a comprovar si els alumnes representen correctament els nombres na-turals i decimals en la recta numèrica. Treballeu també el reconeixement de les coorde-nades d’un punt i la seua re-presentació. Assenyaleu com és d’important l’ordre, primer la coordenada horitzontal i des-prés la coordenada vertical.

Competències bàsiques

Aprendre a aprendre

Indiqueu als alumnes que apren-dran un nou tipus de nombres, i que algunes coses que ja sabien (representació en la recta, repre-sentació de punts per les seues coordenades) els seran útils ara.

Competència

cultural i artística

Assenyaleu la importància de dur a terme, de manera curosa i correc-ta, les representacions gràfi ques en Matemàtiques. Indiqueu-los que cal respectar els espais entre marques i col·locar correctament els punts.

30

132255 _ 0068-0085.indd 70132255 _ 0068-0085.indd 70 11/9/09 07:13:2911/9/09 07:13:29

sts

31

1. Escriu els nombres representats en aquesta recta.

▶ … ▶ … ▶ … ▶ … ▶ …

2. Copia la recta de l’activitat 1 i representa-hi

els nombres següents.

A ▶ 2 E ▶ 5 I ▶ 0,5 O ▶ 4,2 U ▶ 6,8

3. Escriu les coordenades

de cada punt.

A ▶ (…, …) B ▶ (…, …)

C ▶ (…, …) D ▶ (…, …)

4. Dibuixa uns eixos de coordenades i representa-hi

aquests punts.

▶ (1, 3) ▶ (3, 1) ▶ (5, 4) ▶ (7, 2)

0 2 3 4 5 6

RECORDA EL QUE EN SAPS

● A reconéixer els nombres enters positius i negatius i a utilitzar-los en situacions quotidianes.

● A resoldre problemes senzills amb nombres enters.

● A representar i comparar nombres enters.

● A identificar coordenades i representar punts en eixos cartesians.

APRENDRÀS

Representació de nombres en la recta

Coordenades d’un punt

S’escriuen, separades per una coma i entre parèntesis, de primer la coordenada corresponent a l’eix horitzontal i després la que correspon a l’eix vertical.

Representació de nombres naturals. ●

2 10 15 28 41

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Representació de nombres decimals. ●

0,6 1,3 2,4 3,9 4,7

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

A ▶ (2, 4)

B ▶ (4, 2)

C ▶ (6, 3)

D ▶ (8, 1)

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 90

AC

DB

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A

CD

B

0

Vocabulari de la unitat• Nombres enters

• Nombres negatius

• Coordenades cartesianes

• Eixos cartesians

• Quadrant

SolucionsPàgina inicial

• Per damunt del nivell del mar. Per davall del nivell del mar.

• El calamar gegant.La vicunya viu més prop del nivell del mar que el iac.El peix espasa viu més prop del nivell del mar que el calamar gegant.

Recorda el que en saps

1. Verd: 1.Blau: 2,5.Roig: 3,7.Morat: 5,3.Groc: 7.

2.

3. A (3, 4)B (8, 3)C (1, 2)D (5, 1)

4.

UNITAT 3

31

54321

1 2 3 4 5 6 7 8 90

0 1 2 3 4 5 6 7

I A O E U

132255 _ 0068-0085.indd 71132255 _ 0068-0085.indd 71 11/9/09 07:13:3011/9/09 07:13:30

32

Fixa’t en el nombre amb què està indicat cada pis al panell de l’ascensor.

– La planta baixa on hi ha el portal està indicada amb el nombre 0.

– Damunt la planta baixa hi ha 4 plantes d’habitatges, indicades amb els nombres 11, 12, 13 i 14.

– Davall la planta baixa hi ha 2 plantes soterrani, indicades amb els nombres 21 i 22.

Tots aquests nombres s’anomenen nombres enters.

Els nombres ● 11, 12, 13 i 14 són nombres enters positius. A vegades s’escriuen sense el signe 1 (1, 2, 3…).

Els nombres ● 21 i 22 són nombres enters negatius.

El ● nombre 0 és un nombre enter, però no és positiu ni negatiu.

Els nombres enters

Llúcia viu al segon pis. Puja a casa en ascensor.

Els nombres enters poden ser positius (11, 12, 13, 14, 1 5…), negatius (21, 22, 23, 24, 25…) o zero.

14

13

12

11

0

21

22

1. Observa l’esquema dels botons d’un ascensor i explica.

Per a anar a una oficina del tercer pis. ●

Per a anar a la segona planta de garatge. ●

Per a anar a la planta baixa. ●

Si prems el botó 0. ●

Si prems el botó ● 21.

Si prems el botó ● 14.

2. Observa l’esquema de l’activitat 1 i contesta.

Quin nombre indica la planta baixa? ●

Si et trobes a la planta baixa i puges: ●

– A quina zona de l’edifici aniràs? A quins pisos pots anar?

– Quin tipus de nombres indiquen les plantes superiors a la planta 0?

Si et trobes a la planta baixa i baixes: ●

– A quina zona de l’edifici aniràs? A quins pisos pots anar?

– Quin tipus de nombres indiquen les plantes inferiors a la planta 0?

Quin botó has de prémer

On vas

Oficin

es

Gara

tges

15

14

13

12

11

0

21

22

23

5

6

3

4

C

S

Altres activitats• Formeu diversos grups d’alumnes i demaneu-los que facen un

d’aquests esquemes en cartolina. Després, es poden utilitzar com a suport gràfi c en les activitats col·lectives.

– Panell de botons de l’ascensor d’un edifi ci amb la planta baixa marcada (ha de tindre 6 plantes per damunt de la planta baixa i 3 per davall). Demaneu-los que retolen els botons adequadament.

– Dibuix d’un termòmetre amb la marca del zero més gruixuda. De-maneu-los que retolen l’escala de les temperatures.

– Dibuix d’una mina on es vegen galeries per damunt i davall de l’entrada. Demaneu-los que retolen les altures de cada galeria.

Objectius• Conéixer els nombres enters

positius i negatius.

• Utilitzar els nombres enters en situacions quotidianes.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Demaneu als alumnes que di-guen com estan expressats els pisos en els ascensors que ells coneixen i que comenten per què creuen que s’expressen així.

Per a explicar

• Indiqueu els nombres que re-presenten els pisos: el 0, els nombres amb el signe + i els nombres amb el signe –. Expli-queu que en aquest cas els sig-nes representen «per damunt» i «per davall» de zero (en aquest cas de la planta baixa).

• Deixeu clara la classifi cació dels enters en nombres enters posi-tius (que es corresponen amb els nombres naturals), nombres enters negatius, i el zero.

Per a reforçar

• Demaneu als alumnes que plan-tegen altres preguntes pròpies similars a les activitats treballa-des en aquesta pàgina doble i corregiu-les en comú.

• Aprofi teu l’estratègia per a de-tectar les pròpies difi cultats de la pàgina 60 del manual d’ES-TUDI EFICAÇ i demaneu-los que expressen en quins aspectes tenen més difi cultats.

Competències bàsiques

Autonomia i iniciativa

personal

Potencieu en els alumnes una ac-titud positiva davant els nous con-tinguts per poder aconseguir que s’involucren de manera activa, que el seu aprenentatge siga signifi ca-tiu i que augmente el rendiment.

32

132255 _ 0068-0085.indd 72132255 _ 0068-0085.indd 72 11/9/09 07:13:3011/9/09 07:13:30

33

3

5. Observa el dibuix i contesta.

Amb quin nombre s’indica el nivell ●

del mar?

A quants metres sobre el nivell del ●

mar vola l’avioneta? Amb quin tipus de nombres s’indica una altitud?

A quants metres davall el nivell del ●

mar es troba el vaixell afonat? Amb quin tipus de nombres s’indica una profunditat?

6. Pensa i contesta.

Un ascensor es trobava al pis ● 21 i va anar al pis 13. Va pujar o va baixar?

Fa tres hores, la temperatura era de ● 12 ºC i ara és de 22 ºC. Ha pujat o ha baixat, la temperatura?

Un submarí navegava a ● 2200 m i una hora després estava a 2100 m. Què va fer el submarí, ascendir o descendir?

3. Observa el dibuix dels termòmetres i completa.

Els termòmetres marquen la temperatura que va fer en una ciutat en dos moments del dia.

A les 11 del matí, el termòmetre marcava …º C. ●

La temperatura era de … graus.

A les 11 de la nit, el termòmetre marcava …º C. ●

La temperatura era de … graus davall zero.

4. Observa els termòmetres i respon.

Amb quin tipus de nombres s’indiquen les temperatures ●

per damunt de 0 graus?

I les temperatures per davall de 0 graus? ●

CÀLCUL MENTAL

Suma 1.001, 2.001, 3.001...

1 2.001

1.475 3.475 3.476 1 2.000 1 1

1.264 1 1.001 4.382 1 4.001 8.463 1 2.001

2.845 1 3.001 3.913 1 5.001 7.529 1 6.001

Com sumaries 1.002? I 1.003? Com sumaries 4.005? I 5.006? ●

1400 m

1300 m

1200 m

1100 m

0 m

2100 m

2200 m

120

115

110

15

0

25

210

120

115

110

15

0

25

210

ºC ºC

Altres activitats• Proposeu el joc de l’oca d’enters. Formeu grups de quatre alumnes

i lliureu a cada un el tauler del joc (els nombres d’una part de la recta entera col·locats de menor a major) i dos daus. Col·loqueu en les cares d’un dels daus tres adhesius amb el signe + i altres tres amb el signe –. El joc consisteix a arribar a la casella +5 par-tint de la –8 (poden ser més nombres). Cada jugador tira quan li correspon els dos daus i avança o retrocedeix tantes caselles com indiquen els daus (– i 5, retrocedeix 5 caselles). Si ha de retrocedir més enllà de la casella –8, deixa la seua fi txa en aquesta casella i espera el torn següent.

28 27 26 25 24 23 22 21 0 11 12 13 14 15

Solucions1. • 13

• 22• 0• Planta baixa.• 1a planta del garatge.• Ofi cina del 4t pis.

2. • El 0.• A les ofi cines.

Al 1r, 2n, 3r, 4t o 5é.Nombres enters positius.

• Als garatges.Al 21, 22 o 23. Nombres enters negatius.

3. • 7º C. La temperatura era de 7 graus.

• 25º C. La temperatura era de 5 graus davall zero.

4. • Nombres enters positius.• Nombres enters negatius.

5. • El 0.• A 300 m sobre el nivell del

mar. Amb nombres enters positius.

• A 100 m davall del nivell del mar. Amb nombres enters negatius.

6. • Va pujar quatre pisos.• Ha baixat quatre graus.• Va ascendir 100 m.

Càlcul mental

• 2.265 8.383 10.4645.846 8.914 13.530

• Sumant 1.000 i després 2.• Sumant 1.000 i després 3.• Sumant 4.000 i després 5.• Sumant 5.000 i després 6.

UNITAT 3

33

132255 _ 0068-0085.indd 73132255 _ 0068-0085.indd 73 11/9/09 07:13:3011/9/09 07:13:30

34

Problemes amb nombres enters

Sara, Rafel, Pere i Eva han agafat l’ascensor. A quin pis arriba cada un?

1. Observa el termòmetre i completa en el quadern.

2. Pensa i contesta.

Un vaixell va tirar l’àncora per la borda. L’àncora estava a 1 m sobre el nivell del mar i en tirar-la va baixar 6 m. A quina profunditat es va parar?

El termòmetre marcava ● 110 ºC i la temperatura va pujar 2 graus.

Inici Variació Final

110 1 … …

Ara marca … ºC.

El termòmetre marcava ● 13 ºC i la temperatura va baixar 10 graus.

Inici Variació Final

… 2 … …

Ara marca … ºC.

El termòmetre marcava ● 24 ºC i la temperatura va pujar 8 graus.

Inici Variació Final

24 … …

Ara marca … ºC.

El termòmetre marcava ● 21 ºC i la temperatura va baixar 5 graus.

Inici Variació Final

… … …

Ara marca … ºC.

Inici Variació Final

… … …

Es trobava al primer pis i puja 2 pisos.

Inici Variació Final

11 1 2 13

Arriba al tercer pis.

Es trobava al segon pis i baixa 3 pisos.

Inici Variació Final

12 2 3 21

Arriba al primer soterrani.

Es trobava al tercer soterrani i puja 4 pisos.

Inici Variació Final

23 1 4 11

Arriba al primer pis.

Es trobava al primer soterrani i baixa 1 pis.

Inici Variació Final

21 2 1 22

Arriba al segon soterrani.

Sara

Pere

Rafel

Eva

120

115

110

15

0

25

210

14

13

12

11

0

21

22

23

ºC

3. R

●

●

●

4. E

●

●

5. R

Uadse

v

Altres activitats• Demaneu a cada alumne que invente un problema similar als treba-

llats en aquesta pàgina: pujar o baixar en un ascensor, augmentar o disminuir la temperatura d’un lloc, pujar o baixar nivells en una mina... Cada un ha de plantejar el seu problema a la resta de la classe, perquè el resolguen mentalment i diguen, després, la solu-ció. Si ho creieu convenient, dibuixeu a la pissarra l’esquema d’un ascensor, un termòmetre o una mina per corregir cada problema proposat.

Objectius• Resoldre problemes senzills uti-

litzant nombres enters.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Dibuixeu en la pissarra l’esque-ma del panell de l’ascensor. As-senyaleu primer un botó i des-prés un altre (per exemple, el 22 i el 3). Demaneu-los si han de pujar o baixar per anar del primer al segon i quants «salts» han de fer per tal d’aconseguir-ho.

Per a explicar

• Treballeu cada un dels casos de l’ascensor mostrant la manera d’expressar la variació o el pas del pis inicial al fi nal. Expliqueu en cada cas si es puja (1) o es baixa (2) i quants pisos cal pujar o baixar per anar d’un a l’altre. Hem decidit treballar els problemes de manera intuïtiva sense recórrer a operacions matemàtiques (suma i resta) amb enters que pensem que pertanyen a cursos superiors.

• Feu l’activitat 1 del termòmetre en comú i mostreu les similituds amb l’exemple de l’ascensor.

Per a reforçar

• Escriviu a la pissarra dos nom-bres enters (per exemple, 12 i 24). Els alumnes, fi xant-se en el panell de l’ascensor, hauran de traduir eixos nombres a una situació real, calculant el pis fi -nal al qual arriben: «Em trobe al pis 12, baixe 4 pisos, arribe a la planta 22».

Competències bàsiques

Competència lingüística

Comenteu que les Matemàtiques tenen un llenguatge propi. Asse-nyaleu com és d’important saber «traduir» les situacions reals al llenguatge matemàtic.

34

132255 _ 0068-0085.indd 74132255 _ 0068-0085.indd 74 11/9/09 07:13:3111/9/09 07:13:31

aus.

aus.

35

3

3. Resol. Després, escriu amb quin nombre enter expressaries la solució.

Andrea viu al cinqué pis i baixa 3 pisos per anar a casa de Llúcia. ●

A quin pis viu Llúcia?

A mitjanit el termòmetre marcava 4 graus davall zero i al migdia següent, ●

la temperatura havia pujat 15 graus. Quina temperatura marcava el termòmetre al migdia?

Un peix nadava a 4 metres davall el nivell del mar i va pujar 1 metre. ●

A quants metres per davall del nivell del mar es troba ara el peix?

4. Expressa amb un nombre enter. Després, pensa i contesta.

A les 10 del matí, el termòmetre ●

marcava 5 graus i a les 10 de la nit, 2 graus davall zero.

Temperatura a les 10 : 00 ▶ …

Temperatura a les 22 : 00 ▶ …

Quants graus va baixar la temperatura?

A les 3 de la matinada, el termòmetre ●

marcava 4 graus davall zero i a les 9 del matí, 1 grau davall zero.

Temperatura a les 03 : 00 ▶ …

Temperatura a les 09 : 00 ▶ …

Quants graus va pujar la temperatura?

Jordi deixa el cotxe a la segona planta ●

d’aparcament de l’edifici on treballa i puja a l’oficina que es troba a la cinquena planta.

Planta on deixa el cotxe ▶ …

Planta on es troba l’oficina ▶ …

Quants pisos puja Jordi?

Maria treballa a la tercera planta d’un edifici. ●

Hui ha hagut d’agafar una caixa del magatzem que hi ha al primer soterrani.

Planta on treballa ▶ …

Planta on es troba el magatzem ▶ …

Quants pisos ha baixat Maria?

5. RAONAMENT. Pensa i contesta.

Un ocell vola a 3 m sobre el mar i, més avall, un peix nada a 2 m davall el nivell del mar. Quin animal està més prop de la superfície de l’aigua? Quants metres hi ha entre ambdós animals?

Ivan, Sara i Vicent han anat a uns grans magatzems. Ivan està al segon pis de l’edifici, Sara està al primer soterrani i Vicent es troba al segon soterrani. Qui està més prop de la planta baixa?

Altres activitats• Retalleu d’un diari la graella amb les temperatures màximes i mí-

nimes del dia anterior a diferents ciutats del món, i lliureu una còpia a cada alumne. Expliqueu-los el signifi cat de temperatura màxima i mínima i plantegeu-los problemes per a calcular la va-riació de temperatura en una ciutat, trobar la ciutat que va tindre més variacions de temperatura, esbrinar la diferència entre les temperatures màximes (o mínimes) de dues ciutats donades, etc.

Solucions1. • 110, 12, 112

Ara marca 12º C.

• 13, 210, 27Ara marca –7º C.

• 24, 18, 14Ara marca 4º C.

• 21, 25, 26Ara marca 26º C.

2. • 11, 26, 25A 5 m de profunditat.

3. • Llúcia viu al 2n pis.

• Al migdia el termòmetre marcava 11º C.

• El peix es troba a 3 metres per davall del nivell del mar.

4. • Planta –2. Planta 5.Jordi puja 7 pisos.

• Planta 3. Planta –1.Maria ha baixat 4 pisos.

• T a les 10:00 ▶ 5º CT a les 22:00 ▶ 22º CLa temperatura va baixar 7º C.

• T a les 03:00 ▶ 24º CT a les 09:00 ▶ 21º CLa temperatura va pujar 3º C.

5. • El peix es troba més prop.Hi ha 5 m entre els dos ani-mals.

• Sara es troba més prop de la planta baixa.

UNITAT 3

35

132255 _ 0068-0085.indd 75132255 _ 0068-0085.indd 75 11/9/09 07:13:3111/9/09 07:13:31

36

2. Copia la recta entera i completa els nombres que hi falten.

La recta entera. Comparació de nombres enters

3. Escriu el nombre anterior i el posterior.

... ● ◀ 11 ▶ ... ● ... ◀ 14 ▶ ... ● ... ◀ 23 ▶ ... ● ... ◀ 25 ▶ ...

... ● ◀ 0 ▶ ... ● ... ◀ 22 ▶ ... ● ... ◀ 13 ▶ ... ● ... ◀ 21 ▶ ...

Gonçal ha anotat la temperatura mínima d’ahir en dues localitats i ha representat els dos nombres en la recta entera.

Fixa’t en el nombre 0 de la recta:

A l’esquerra de 0 es representen els nombres enters negatius. ●

A la dreta de 0 es representen els nombres enters positius. ●

Quina localitat va tindre la temperatura mínima menor? I la major?

Per comparar les dues temperatures, mira la posició dels punts en la recta entera.

El nombre menor és el que està més a l’esquerra: ● 22

El nombre major és el que està més a la dreta: ● 14

Valls va tindre la temperatura més baixa i Teix la més alta.

28 … 26 25 … … 22 … 0 11 … 13 … … 16 17 … 19

1. Observa la recta entera anterior i contesta.

On està cada nombre, a la dreta o a l’esquerra de 0? Per què? ●

13 21 17 24 23 12 15 25

Quin nombre està més a l’esquerra ●

en la recta? Quin és menor?

1 1 o 23 24 o 0 22 o 25

Quin nombre està més a la dreta en ●

la recta? Quin és major?

12 o 25 2 3 o 0 21 o 24

Nombres enters negatius Nombres enters positius

26 25 24 23 22 21 0 11 12 13 14 15 16 17 18

22 , 14

Valls ▶ 22 ºC

Teix ▶ 14 ºC

4

5

6

7

8

9

Altres activitats• Prepareu tantes targetes com alumnes hi haja, i escriviu en cada

targeta un nombre enter (per exemple, si hi ha 25 xiquets, escriviu des del 212 fi ns al 112). Lliureu una targeta a cada alumne, a l’atzar, i feu les activitats següents:

– Demaneu-los que formen una fi la i que cada un es col·loque en el lloc corresponent per formar una recta entera.

– Demaneu a un alumne que mostre el seu nombre, i indiqueu que s’alcen els xiquets que tinguen el nombre anterior i posterior.

– Digueu un nombre i demaneu que s’alcen els alumnes que tinguen un nombre major o menor que aquest (o els que es tro-ben entre dos nombres donats).

Objectius• Identificar i representar nom-

bres enters en la recta entera.

• Comparar i ordenar nombres enters.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Dibuixeu una recta a la pissarra i representeu els nombres natu-rals fi ns al 10. Cal que s’adonen que, entre diversos nombres és més gran el que es troba més a la dreta en la recta.

Per a explicar

• Demaneu als alumnes que ob-serven la recta i comenteu-los com es troben situats els nom-bres enters: des de zero, cap a la dreta, els positius, i cap a l’esquerra, els negatius. Asse-nyaleu que com passava amb els naturals, un nombre és més gran que un altre si es troba més a la dreta que aquest en la recta numèrica. Comenteu que amb els nombres nega-tius cal tindre cura, ja que com més gran és el nombre que se-gueix el signe 2, més xicotet és aquest nombre enter (els alum-nes solen cometre errades en aquest punt).

Per a reforçar

• Demaneu a un alumne que diga un nombre enter en veu alta. Digueu-ne un altre (o demaneu a un company que ho faça). El primer alumne haurà de dir si el nombre que ha dit és més gran o més xicotet que el que ha dit l’altra persona.

Competències bàsiques

Competència

social i ciutadana

Indiqueu que l’error és una font d’aprenentatge i potencieu entre els alumnes la col·laboració i el respecte mutus.

36

132255 _ 0068-0085.indd 76132255 _ 0068-0085.indd 76 11/9/09 07:13:3111/9/09 07:13:31

...

...

4

37

3

4. Busca els dos nombres en la recta i escriu el major.

1 ● 1 i 14 ● 21 i 24

1 ● 3 i 0 ● 23 i 0

1 ● 2 i 25 ● 22 i 15

5. Pensa on està cada nombre en la recta i escriu el signe > o <.

1 ● 2 15 ● 11 23 ● 14 0 ● 22 12

2 ● 3 22 ● 0 24 ● 25 11 ● 21 26

6. Ordena aquests nombres enters.

2 ● 2, 14, 21 ● 13, 22, 12

1 ● 3, 0, 22, 11 ● 11, 23, 24, 0

2 ● 5, 21, 0, 12 ● 12, 0, 21, 13

7. Pensa i escriu en cada cas tres nombres enters.

Majors que ● 22.

Menors que ● 21.

Majors que ● 23, que no siguen negatius.

Majors que ● 25 i menors que 0.

Majors que ● 24 i menors que 14.

Menors que ● 21 i majors que 26.

8. Pensa i escriu el signe de cada nombre perquè la desigualtat siga certa.

Si hi ha diverses possibilitats, escriu-les totes.

● 1 , 1 ● 3 . 3 ● 2 , 4

● 5 , 2 ● 1 . 4 ● 6 . 3

● 3 , 0 ● 6 . 0 ● 1 , 5

9. RAONAMENT. Pensa i completa cada oració amb major o menor perquè siga certa.

Qualsevol nombre enter positiu és … que 0. ●

Qualsevol nombre enter negatiu és … que 0. ●

Qualsevol nombre enter negatiu és … que qualsevol nombre enter positiu. ●

Qualsevol nombre enter positiu és … que qualsevol nombre enter negatiu. ●

FES-HO AIXÍ

Ordena de major a menor: ● 21, 12 i 23.

Imagina els nombres en la recta entera i escriu-los tal com estan col·locats de dreta a esquerra: de primer escriu 12, després 21 i al final 23.

12 . 21 . 23

De major a menor

De menor a major

26 25 24 23 22 21 0 11 12 13 14 15 16

Altres activitats• Lliureu als alumnes targetes amb la mida d’un full de mà i proposeu-

los que escriguen en una cara de la targeta un nombre enter positiu o negatiu i en l’altra una lletra perquè quan ordenen correctament els nombres que hagen escrit de major a menor es forme una paraula amb sentit. Per exemple: «Ordena de major a menor per formar el nom d’una ciutat europea».

A

24

O

0

M

22

R

13

Una vegada fetes les targetes s’hi pot jugar col·lectivament o per equips.

Solucions1. • Dreta, esquerra, dreta, es-

querra, esquerra, dreta, dre-ta, esquerra.Perquè els nombres negatius es troben a l’esquerra del 0 i els positius a la dreta.

• 23, 24, 25. És menor 25.• 12, 0, 21. És major 12.

2. –7, 24, 23, 21, 12, 14, 15, 18

3. • 0, 11, 12 • 24, 23, 22• 21, 0, 11 • 12, 13, 14• 13, 14, 15 • 26, 25, 24• 23, 22, 21 • 22, 21, 0

4. • 14 • 21• 13 • 0• 12 • 15

5. • 12 , 15 • 14 . 0• 23 , 22 • 25 , 11• 11 . 23 • 22 , 12• 0 . 24 • 21 . 26

6. • 14 . 21 . 22• 13 . 11 . 0 . 22• 12 . 0 . 21 . 25• 22 , 12 , 13• 24 , 23 , 0 , 11• 21 , 0 , 12 , 13

7. • R. M. – 1, 0, 11• R. M. – 2, 23, 24• R. M. 0, 11, 12• R. M. 24, 23, 22• R. M. 22, 0, 12• R. M. 22, 23, 24

8. • 21 , 11• 25 , 12• 23 , 0• 1 3 . 23• 1 1 . 24; 21 . 24• 1 6 . 0• 22 , 1 4; 1 2 , 1 4• 1 6 . 1 3; 1 6 . 23• 21 , 1 5; 1 1 , 1 5

9. • Major.• Menor.• Menor.• Major.

UNITAT 3

37

132255 _ 0068-0085.indd 77132255 _ 0068-0085.indd 77 11/9/09 07:13:3211/9/09 07:13:32

38

1. Observa les coordenades dels punts anteriors i explica.

Com es busca la primera coordenada de cada punt? ●

Quins punts tenen la primera coordenada positiva? En quins quadrants es troben? ●

I quins la tenen negativa? En quins quadrants es troben?

Com es busca la segona coordenada de cada punt? ●

Quins punts tenen la segona coordenada positiva? En quins quadrants es troben? ●

I quins la tenen negativa? En quins quadrants es troben?

2. Escriu les coordenades de cada punt en el quadern.

A ▶ (1…, 1…) E ▶ (…, …)

B ▶ (2…, 1…) F ▶ (…, …)

C ▶ (2…, 2…) G ▶ (…, …)

D ▶ (1…, 2…) H ▶ (…, …)

Coordenades cartesianes

Hèctor ha representat diversos punts en els eixos de coordenades cartesianes.

Observa els dos eixos:

● Es numeren com la recta entera.

● Són perpendiculars i es tallen en el 0.

● Divideixen la quadrícula en quatre parts anomenades quadrants.

Les coordenades cartesianes dels punts són:

▶ (13, 12)

▶ (22, 13)

▶ (21, 23)

▶ (13, 22)

Fixa’t que les coordenades de cada punt són positives o negatives segons el quadrant en què es trobe.

Escriu de primer el nombre enter de l’eix horitzontal i després, el de l’eix vertical.

RECORDA

Segon quadrant

Tercer quadrant

Primer quadrant

24 23 22 21 11 12 13 14

14

13

12

11 0

21

22

23

24

Quart quadrant

26 25 24 23 22 21 11 12 13 14 15 16

16

15

14

13

12

11 0

21

22

23

24

25

26

B

F

C

G

D

H

E

A

6. T

●

●

3. ED

●

●

4. D

5. OD

●

●

CÀL

Sum

●

Objectius• Identificar coordenades de

punts representats en eixos cartesians.

• Representar punts en eixos cartesians.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Dibuixeu a la pissarra dos eixos de coordenades i escriviu-hi el 0 i els nombres positius. Co-menteu amb els alumnes que podem allargar els eixos cap a l’esquerra i cap avall, i afegir els nombres negatius als que ja te-níem. Es tracta d’«estendre» la representació de punts que ja coneixien col·locant dues rectes enteres perpendiculars.

Per a explicar

• Indiqueu els quatre quadrants o parts que es formen. Recordeu com s’han de determinar les coordenades d’un punt (traçant una línia imaginària des del punt cap a l’eix horitzontal i després cap al vertical) i assenyaleu que ara poden ser enteres negatives una d’aquestes o les dues.

• Pregunteu als alumnes quin deu ser el signe de les coordenades d’un punt del primer, segon, ter-cer o quart quadrant. Deixeu-los que raonen i comenteu després en comú les conclusions.

Per a reforçar

• Dibuixeu altres punts perquè els alumnes diguen les coorde-nades de cada un. Després ho podeu fer al revés.

Competències bàsiques

Tractament

de la informació

Assenyaleu la relació entre la in-formació numèrica de les coorde-nades i la informació gràfi ca de la seua representació.

38

Altres activitats• Dibuixeu en una cartolina una quadrícula gran i traceu els eixos car-

tesians. Col·loqueu la cartolina en el suro per fer, col·lectivament, les activitats següents:

– Poseu diverses xinxetes en punts de la quadrícula perquè els alumnes en diguen les coordenades i en quin quadrant es tro-ben.

– Digueu coordenades de punts i demaneu-los que claven una xin-xeta en el seu lloc.

– Demaneu-los que col·loquen xinxetes en punts que acomplisquen una determinada condició. Per exemple: que siga igual la primera coordenada, que la segona siga 0, que les dues coordenades siguen negatives…

132255 _ 0068-0085.indd 78132255 _ 0068-0085.indd 78 11/9/09 07:13:3211/9/09 07:13:32

16

39

3

6. Traça en una quadrícula uns eixos de coordenades i dibuixa.

Un triangle que té per vèrtexs els punts ( ● 12, 14); (23, 13) i (22, 0).

Un quadrilàter que té per vèrtexs els punts ( ● 13, 11); (23, 21); (0, 23) i (13, 23).

3. Escriu les coordenades de cada punt.

Després, contesta.

▶ (0, …)

▶ (…, 0)

▶ (…, …)

▶ (…, …)

Quins punts estan sobre l’eix vertical? Quina és la primera coordenada d’aquests punts? ●

Quins punts estan sobre l’eix horitzontal? Quina és la segona coordenada d’aquests punts? ●

4. Dibuixa en una quadrícula uns eixos de coordenades cartesianes i representa-hi aquests punts.

▶ (14, 12) ▶ (22, 23) ▶ (13, 0)

▶ (23, 15) ▶ (11, 24) ▶ (0, 22)

5. Observa els punts representats en l’activitat 4 i escriu.

Després, contesta.

Les coordenades de dos punts que es troben ●

en la mateixa línia vertical que el punt blau.

▶ (14, 12) A ▶ (…, …) B ▶ (…, …)

Quina coordenada coincideix en els tres punts?

Les coordenades de dos punts que es troben ●

en la mateixa línia horitzontal que el punt verd.

▶ (11, 24) C ▶ (…, …) D ▶ (…, …)

Quina coordenada coincideix en els tres punts?

Els quatre punts estan en un dels eixos: una de les seues coordenades és 0.

POSA ATENCIÓ

CÀLCUL MENTAL

Suma 999, 1.999, 2.999...

1 1.999

5.986 7.986 7.985 1 2.000 2 1

1.264 1 999 6.142 1 3.999 5.821 1 5.999

3.756 1 2.999 4.475 1 4.999 8.720 1 6.999

Com sumaries 998? I 996? Com sumaries 2.997? I 4.995? ●

13

12

11 0

21

22

23

24 23 22 21 11 12 13 14

Altres activitats• Dibuixeu en un full de paper aquesta figura i lliureu una còpia a cada

alumne. Cal que esbrinen com es pot dibuixar la figura sense alçar el llapis del paper i sense passar dues vegades per la mateixa línia. Els alumnes hauran d’escriure per ordre les coordenades dels punts pels quals han anat passant.

UNITAT 3

Solucions1. • Fixant-te si és positiva o ne-

gativa en l’eix horitzontal.• Blau i groc. Primer i quart

quadrant.Roig i verd. Segon i tercer quadrant.

• Fixant-te si és positiva o ne-gativa en l’eix vertical.

• Blau i roig. Primer i segon quadrant.Verd i groc. Tercer i quart quadrant.

2. A (15, 11) E (13, 13)B (24, 15) F (23, 12)C (25, 22) G (21, 24)D (12, 25) H (14, 23)

3. Blau (0, 12) Verd (23, 0) Roig (12, 0) Groc ( 0, 21)

• El blau i el groc. La primera coordenada és 0.

• El roig i el verd. La segona coordenada és 0.

4.

5. • A (14, 21), B (14, 15).Coincideix en els tres la pri-mera coordenada, 14.

• C (13, 24), D (26, 24).Coincideix en els tres la se-gona coordenada, 24.

6.

Càlcul mental

• 2.263 10.141 11.8205.755 9.474 15.719

• Sumant 1.000 i restant 2.• Sumant 1.000 i restant 4.• Sumant 3.000 i restant 3.• Sumant 5.000 i restant 5.

39

132255 _ 0068-0085.indd 79132255 _ 0068-0085.indd 79 11/9/09 07:13:3211/9/09 07:13:32

40

Activitats

1. Escriu amb quin tipus de nombre enter

expressaries cada posició.

La tercera planta d’un edifici. ●

Una temperatura de 3 ºC davall zero. ●

El nivell del mar. ●

El segon soterrani. ●

L’altitud a què vola un avió. ●

La planta baixa. ●

2. Expressa què indica cada nombre enter.

La planta ● 21 d’un edifici.

Un port de muntanya que es troba ●

a 12.000 m.

Una temperatura de ● 28 ºC.

Un submarinista que busseja a ● 260 m.

Una temperatura de ● 110 ºC.

La planta 0 d’un hotel. ●

3. Representa en la recta entera els nombres

següents i contesta.

0 14 21 12 23 24 11

Com són els nombres situats a l’esquerra de 0? I a la dreta?

4. ESTUDI EFICAÇ. Explica com compares

dos nombres enters.

5. Escriu en cada cas el nombre

major i el menor.

1 ● 5, 13 ● 23, 0, 14, 25

0, ● 22 ● 12, 22, 21, 11

1 ● 4, 21, 11 ● 24, 13, 23, 12, 0

2 ● 3, 12, 24 ● 15, 25, 22, 14, 26

6. Ordena de menor a major els nombres

de cada full.

7. Pensa i escriu.

Els nombres anterior i posterior a 0. ●

Els nombres negatius majors que ● 24.

Els nombres majors que ● 21 i menors que 13.

Els nombres menors que ● 23 i majors que 27.

8. Pensa i contesta.

Qui es troba més prop de la planta baixa?

Aurora està al primer aparcament ●

subterrani i David està al tercer.

Antoni està a la quarta planta i Pepa ●

està al segon soterrani.

On fa més calor?

A la ciutat ● A hi ha 0 ºC i a la ciutat B hi ha 6 graus davall zero.

A la ciutat ● C hi ha 3 graus davall zero i a la ciutat D hi ha 3 graus.

Qui està més prop de la superfície del mar?

Sara està dalt d’un penya-segat ●

a 5 m d’altitud i Lluís fa fotos submarines a 8 m de profunditat.

9. Escriu les coordenades dels tres punts

de cada recta i contesta.

Recta roja Recta verda ▼ ▼

(…, …) (…, …)

(…, …) (…, …)

(…, …) (…, …)

Com són les coordenades de cada punt de la recta roja? I les de cada punt de la recta verda?

15 26 22

13 21

24 12

14 2322

0 25

1

1

E

Altres activitats• Proposeu als alumnes que sobre un full quadriculat, inventen un

dibuix senzill (fi gura geomètrica) sense alçar el llapis del paper i que tinga tots els vèrtexs en punts de la quadrícula. Després, han de traçar dos eixos de coordenades. Lliuraran la fi gura a un com-pany que haurà d’esbrinar com ha de pintar-la i escriure per ordre les coordenades dels punts pels quals passa quan la traça. També podeu demanar-los que ordenen de menor a major les primeres (o segones) coordenades de tots els punts pels quals hagen passat.

Objectius• Repassar els continguts bàsics

de la unitat.

• Aplicar les Matemàtiques en di-ferents contextos.

Competències bàsiques

Interacció

amb el món físic

Aprofi teu l’apartat Ets capaç de... perquè els alumnes s’adonen que a partir dels coneixements matemà-tics podem comprendre millor la realitat i resoldre problemes que se’ns presenten.

Solucions1. • Nombre positiu. 13.

• Nombre negatiu. –3.• El nombre 0.• Nombre negatiu. –2.• Nombre positiu.• El nombre 0.

2. • Una planta menys que la planta baixa.

• Que es troba a 2.000 m per damunt del nivell del mar.

• Que hi ha una temperatura de 8º davall zero.

• Que el submarinista busseja a 60 m de profunditat.

• Que hi ha una temperatura de 10º C.

• Que és la planta baixa.

3.

Els nombres situats a l’esquer-ra del 0 són nombres negatius i els situats a la dreta, positius.

4. R. L.

5. • Major: 15, menor: 13• Major: 0, menor: 2 2• Major: 14, menor: 21• Major: 12, menor: 24• Major: 14, menor: 25• Major: 12, menor: 22• Major: 13, menor: 24• Major: 15, menor: 26

40

24 23 21 0 11 12 14

132255 _ 0068-0085.indd 80132255 _ 0068-0085.indd 80 11/9/09 07:13:3211/9/09 07:13:32

nes

erda

…)

…)

…)

41

3

10. Representa en uns eixos de coordenades

cartesianes aquests punts.

A ▶ (13, 24) D ▶ (12, 14)

B ▶ (21, 23) E ▶ (23, 0)

C ▶ (0, 12) F ▶ (22, 14)

11. ESTUDI EFICAÇ. Completa les

oracions.

Els nombres enters poden ser ●

positius, … o …

En la recta entera, els nombres ●

enters negatius estan tots situats …

De dos nombres enters, el menor ●

és el que està situat més a l’ … en la recta entera.

La segona coordenada cartesiana ●

d’un punt de l’eix horitzontal és sempre …

12. Resol.

Un submarí està a 250 m davall el nivell ●

del mar i baixa 100 m més. A quina profunditat es troba ara?

Miquel arriba al portal de casa i baixa ●

un pis per deixar la bici al traster. Després puja 5 pisos per anar a casa. A quin pis viu Miquel?

Albert i Jaume juguen a cartes. ●

Albert tenia 15 punts i en l’última basa ha tret 27 punts. Quants punts té ara?

Jaume tenia 22 punts i ha tret 110 punts. Quants en té ara?

Emili va traure del congelador un ●

brou que estava a 2 graus davall zero i el va posar a calfar. Vol que el brou arribe a 140 ºC. Quants graus ha de pujar la temperatura del brou?

En un gran magatzem, les persones pugen i baixen diversos pisos per visitar les distintes plantes.

En els directoris s’indica la planta en què es troba cada secció.

Fixa’t que s’ha suprimit el signe 1 dels nombres positius.

Esbrina quants pisos ha de pujar o baixar ●

cada una de les persones següents.

– Anna es troba a la planta de dones i vol comprar una raqueta de tenis.

– Pau es troba a la planta d’homes i vol mirar els equips de música.

– Elsa es troba a la planta baixa i vol prendre un refresc.

– David ha deixat el cotxe a l’aparcament i vol fer la compra.

– Lluïsa es troba a la planta de xiquets i vol mirar els MP3.

ETS CAPAÇ DE… Comprendre un directori

Directori 5 Cafeteria 4 Esports 3 Xiquets i joves 2 Homes 1 Dones 0 Complements–1 Supermercat–2 Imatge i so–3 Aparcament

Programa d’ESTUDI EFICAÇEn acabar la unitat, cal que els alumnes refl exionen sobre el que han aprés. Completeu amb ells o demaneu-los que completen una taula com aquesta:

Unitat 3 Nombres enters

El que he aprésEl que he aprés

a fer

Nombres enters

Problemes amb nombres enters

La recta entera.Comparació de nombres enters

Coordenades cartesianes

UNITAT 3

6. • 26 , 22 , 15• 24 , 21 , 12 , 13• 25 , 23 , 22 , 0 , 14

7. • 21, 11• 23, 22, 21• 0, 11, 12• 24, 25, 26

8. • Aurora es troba més prop.• Pepa es troba més prop.• A la ciutat A.• A la ciutat D.• Sara es troba més prop.

9. Roja: (12, 12), (21, 21), (22,22).Verda: (21, 11), (11, 21), (12, 22).• Les dues coordenades són

iguals.• El nombre de les coordena-

des és el mateix però els signes són contraris.

10.

11. • Positius, negatius o zero.• A l’esquerra de zero.• Esquerra.• Zero.

12. • Es troba a 350 m de pro-funditat.

• Miquel viu en el 4t pis.• Albert té 22 punts. Jaume

té 8 punts.• Ha de pujar 42 graus.

Ets capaç de...• Anna ha de pujar 3 plantes.• Pau ha de baixar 4 plantes.• Elsa ha de pujar 5 plantes.• David ha de pujar 2 plantes.• Lluïsa ha de baixar 5 plantes.

41

AB

C

D

E

F

132255 _ 0068-0085.indd 81132255 _ 0068-0085.indd 81 11/9/09 07:13:3311/9/09 07:13:33

42

1. Quants projectes va dur a terme en total l’ONG entre 2007 i 2008?

▶ Projectes realitzats en 2008: …

Projectes realitzats en total en 2007 i 2008: ... F Solució: Va fer …

Solució de problemesBuscar dades en diversos textos o gràfics Busca les dades necessàries en els textos o el gràfic i resol.

2. Quants projectes va realitzar l’ONG en 2009?

3. Quants cooperants va tindre en total els tres primers anys? En va tindre més o menys que els dos últims anys?

4. Quants socis va tindre l’ONG l’any 2007? Quant va recaptar en total?

5. INVENTA. Escriu i resol:

Un problema en què uses algunes de les dades dels textos. ●

Un problema en què uses algunes de les dades del gràfic. ●

AVANÇANT ANY RERE ANY

El nombre de projectes duts a terme per la nostra ONG Món comú ha crescut molt. En 2005 es van realitzar 75 projectes, en 2006 72 projectes, i en 2007, 2008 i 2009 es van fer 15 projectes més que l’any anterior.

QUEDEN MOLTES COSES A FER

La contribució dels nostres socis és essencial. L’any 2005 comptàvem amb 800 socis que pagaven una quota de 30 anuals. En cada un dels anys successius, el nombre de socis va augmentar en 25 persones i cada any la quota va ser 8 més que l’any anterior.

Nre

. de c

oopera

nts

220

200

180

160

140

120

100

80

60

40

20

0

Any

05 06 07 08 09

COOPERANTS PER ANY

EXE

1. C

●

●

●

●

2. C

●

●

●

●

3. Ete

c

4. Ec

●

●

●

●

●

5. E

●

●

6. Ed

1

3

7. En

●

●

Altres activitats• Demaneu als alumnes que, a partir de l’exemple proposat, inven-

ten un text i un gràfi c i, basant-se en les dades que aporten, re-dacten preguntes paregudes a les de les activitats de la pàgina i que, després, les resolguen. Per exemple, en compte de parlar d’una ONG els podeu suggerir que siga una empresa, un estadi de futbol, una escola... Insistiu en la importància de redactar el text i dibuixar el gràfi c de manera clara i ben representada perquè es puga comprendre fàcilment per altres persones.

• També els podeu demanar que busquen textos i gràfi cs en dife-rents mitjans de comunicació i que plantegen preguntes a partir d’aquests.

Objectius

• Resoldre problemes buscant les dades en textos o gràfi cs.

Suggeriments didàctics

Per a començar

• Mostreu als alumnes per què és útil obtindre informació de tex-tos i gràfi cs a l’hora de resoldre problemes.

Per a explicar

• Treballeu en comú la recerca de dades en els textos i el gràfi c de l’exemple proposat. Insistiu en la necessitat de fer-ne una lectura i observació atenta.

Per a reforçar

• Resoleu els problemes pro-posats en comú. Demaneu a alguns alumnes que indiquen com busquen les dades i qui-nes operacions van a fer.

Competències bàsiques

Aprendre a aprendre

Assenyaleu als alumnes que el treball que han fet amb gràfi cs al llarg de cursos anteriors els capa-cita per a resoldre problemes com els proposats.

Solucions1. 72 1 15 1 72 1 15 1 15 5 189.

Va realitzar 189 projectes en total.

2. 72 1 3 3 15 5 117. Va realit-zar 117 projectes en 2009.

3. 140 1 160 1 140 5 440Va tindre 440 cooperants.180 1 200 5 380Va tindre més cooperants en els tres primers anys.

4. 800 1 25 1 25 5 850850 3 (30 1 8 1 8) 5 39.100Va tindre 850 socis i va recap-tar 39.100 €.

5. R. L.

42

132255 _ 0068-0085.indd 82132255 _ 0068-0085.indd 82 11/9/09 07:13:3311/9/09 07:13:33

43

3

EXERCICIS

1. Calcula.

302.568 ● 1 664.259 ● 345 3 726

742.053 ● 1 85.067 ● 713 3 580

899.087 ● 2 123.999 ● 8.100 : 36

630.120 ● 2 24.986 ● 41.109 : 576

2. Calcula.

9 : (6 ● 2 3) 2 2 ● 3 3 5 2 9 1 8

8 ● 2 (9 2 7) 3 4 ● 20 2 (4 1 2) 3 3

1 ● 1 7 3 6 2 8 ● 5 3 3 2 4 3 3

7 ● 2 8 : 4 1 1 ● 9 2 (8 2 6) 2 5

3. ESTUDI EFICAÇ. Explica quins són els

termes d’una potència i què significa

cada terme.

4. Expressa com una potència i escriu

com es llig.

8 ● 3 8

7 ● 3 7 3 7

2 ● 3 2 3 2 3 2 3 2

3 ● 3 3 3 3 3 3

5 ● 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5

5. Escriu i calcula.

Cinc al quadrat. ● ● Dos a la sisena.

Quatre al cub. ● ● Tres a la cinquena.

6. Expressa cada nombre usant una potència

de base 10.

100.000 10.000 1.000 1.000.000

300 5.000 700.000 20.000.000

7. Escriu l’expressió polinòmica de cada

nombre.

3.576 ● ● 206.120

12.093 ● ● 4.150.032

PROBLEMES

8. En un poble hi ha set cases; cada casa té set gats; cada gat persegueix set ratolins i cada ratolí menja set grans de blat. Quants gats, ratolins i grans de blat hi ha?

9. Marta va comprar per al seu restaurant 35 kg de filets a 18 el quilo. Més tard va vore que en un altre magatzem el quilo era 2 més car. Quant li hauria costat la compra en aquest magatzem? Quants diners es va estalviar?

10. Hui, un quart dels 300 visitants d’un museu han sigut adults i la resta xiquets. Els adults han pagat 3 cada un i els xiquets hi han entrat debades. Quant s’ha recaptat hui al museu?

11. Joan té 18 boles, Jordi 7 boles i Magdalena 11. Les han ajuntat totes i les han col·locat formant un quadrat. Quantes boles hi ha en cada costat del quadrat?

12. L’any passat en un campament va haver-hi 8 torns de 125 campistes cada un. Enguany faran 2 torns més i tots els torns tindran 5 campistes més cada un. Quants campistes hi haurà enguany?

13. Maria va comprar 3 bruses iguals per 51 . Va comprar també 2 pantalons iguals que costaven cada un 3 menys que una brusa. Quant va pagar en total?

Repassa

Repàs en comú• Demaneu als alumnes que inventen tres activitats que correspon-

guen a continguts treballats en les tres primeres unitats. Si ho cre-ieu pertinent, els podeu donar una guia i assignar continguts a cada alumne o grup. Una vegada acabades, us les hauran de lliurar per-què pugueu dissenyar un quadern de treball que es lliurarà a tots per tal de reforçar els continguts que han aprés. Incloeu en cada una de les pàgines del quadern un xicotet registre d’autoavaluació que hauran de completar una vegada corregides les activitats. Així seran més conscients dels seus aprenentatges i del nivell del seu progrés.

UNITAT 3

Solucions 1. • 966.827

• 827.120• 775.088• 605.134• 250.470• 413.540• q 5 225• q 5 71; r 5 213

2. • 1 • 14• 0 • 2• 35 • 3• 6 • 2

3. Base: nombre que es repeteix.Exponent: nombre de vega-des que es repeteix la base.

4. • 82. Es llig huit al quadrat.• 73. Es llig set al cub.• 25. Es llig dos a la cinque-

na.• 34. Es llig tres a la quarta.• 56. Es llig cinc a la sisena.

5. • 52 5 25 • 26 5 64• 43 5 64 • 35 5 125

6. 105, 104, 103, 107

3 3 102, 5 3 103, 7 3 105, 2 3 107

7. • 3 3 103 1 5 3 102 11 7 3 10 1 6

• 1 3 104 1 2 3 103 11 9 3 10 1 3

• 2 3 105 1 6 3 103 11 1 3 102 1 2 3 10

• 4 3 106 1 1 3 105 11 5 3 104 1 3 3 10 1 2

8. Gats: 725 49.Ratolins: 73 5 343.Grans de blat: 74 5 2.401.

9. 35 3 20 – 35 3 18 5 70Marta es va estalviar 70 €.

10. 300 : 4 3 3 5 225S’han recaptat 225 €.

11. 18 1 7 1 11 5 36; √36 5 6En cada costat hi ha 6 boles.

12. (8 1 2) 3 (125 1 5) 5 1.300Enguany hi haurà 1.300 cam-pistes.

13. 51 : 3 5 17; 17 – 3 5 1451 1 2 3 14 5 79Maria va pagar 79 € en total.

43

132255 _ 0068-0085.indd 83132255 _ 0068-0085.indd 83 11/9/09 07:13:3311/9/09 07:13:33

84

2. En el gràfic s'han representat els punts obtinguts per tres amics

en quatre tirades amb arc consecutives. Observa'l i contesta.

● Quants punts va obtindre cada un en la tercera tirada?

● En quines tirades va disminuir el nombre de punts de Lluís respecte a la tirada anterior? En quina tirada va augmentar?

● Quin tirador va millorar els resultats amb les tirades successives?

44

Tractament de la informacióGràfics lineals de tres característiques

En una pescateria han anotat les vendes setmanals de sardina, aladroc i lluç.

Estan representades en aquest gràfic lineal.

● Quin dia es van vendre els mateixos quilos d'aladroc que de lluç? Quants quilos van ser?

Va ser dimarts. Es van vendre 10 kg de cada tipus de peix.

● Va augmentar o disminuir la venda de sardina de dilluns a dijous?

La venda va augmentar.

En un gràfic lineal s'utilitzen punts i una línia que els uneix.

1. Observa el gràfic de dalt i contesta.

● Quants quilos d'aladroc van vendre dimecres menys que dilluns?

● Quin peix es va vendre més dijous? Quin es va vendre menys dimecres?

● Quins dies va disminuir la venda de lluç respecte al dia anterior?

Sardina Aladroc Lluç

DL DM DC DJ

25

20

15

10

5

0

Nom

bre

de q

uilos

DV Dia

80

70

60

50

40

30

20

10

01a 2a 3a 4a

Lluís

Anna

Sergi

Nom

bre

de p

unts

Tirada

3. L

4. C

Objectius• Interpretar i representar gràfics

lineals de tres característiques.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Recalqueu la presència de la informació gràfica en la nostra societat. Assenyaleu algunes de les formes que pot adoptar i que l’alumnat ja coneix (gràfics de barres, lineals, pictogrames…). Recordeu-los que ja van treba-llar els gràfics lineals en el curs anterior.

Per a explicar

• Comenteu que aquest tipus de gràfics té una utilitat especial per a representar dades que varien amb el temps i poder es-tudiar-ne la tendència (en quin període baixen, entre quins dies pugen, quan es mantenen constants els valors…). Indi-queu que cada punt és un valor d’una característica i que en unir-los formem el gràfic. Cor-regiu en comú les respostes a les activitats 1 i 2. Plantegeu (o demaneu a l’alumnat que ho faça) altres preguntes per tre-ballar la interpretació.

• Treballeu amb tota la classe (o demaneu a l’alumnat que ho faça de manera individual) la representació del gràfic de l’ac-tivitat 3.

• Feu de nou activitats d’inter-pretació una vegada obtinguts i corregits els gràfics de les ac-tivitats 3 i 4.

Competències bàsiques

Tractament

de la informació

Fomenteu en l’alumnat la valora-ció dels gràfics com una manera de sintetitzar i d’expressar molt més clarament la informació que amb les simples dades numèri-ques.

44

132255 _ 0068-0085.indd 84132255 _ 0068-0085.indd 84 11/9/09 07:13:3311/9/09 07:13:33

85

te

s

a

gi

45

3. Llig la informació. Després, copia i completa la taula i el gràfic.

4. Copia i completa la taula i el gràfic amb les dades del text.

Maria està revisant les postres de cada tipus que ha servit els últims mesos.

GENER ▶ 70 flams, 80 iogurts i 90 peces de fruita.

FEBRER ▶ 80 flams, 40 iogurts i 90 peces de fruita.

MARÇ ▶ 60 flams, 50 iogurts i 90 peces de fruita.

ABRIL ▶ 50 flams, 60 iogurts i 70 peces de fruita.

MAIG ▶ 70 flams, 60 iogurts i 90 peces de fruita.

JUNY ▶ 80 flams, 70 iogurts i 80 peces de fruita.

Mònica ha anotat els bolígrafs de cada color que va vendre cada dia de la setmana passada.

DILLUNS ▶ 12 blaus, 10 rojos i 8 verds.

DIMARTS ▶ 10 blaus, 6 rojos i 4 verds.

DIMECRES ▶ 8 blaus, 6 rojos i 10 verds.

DIJOUS ▶ 12 blaus, 8 rojos i 6 verds.

DIVENDRES ▶ 10 blaus, 8 rojos i 8 verds.

DISSABTE ▶ 12 blaus, 10 rojos i 10 verds.

Blaus Rojos Verds

Dilluns

Dimarts

Dimecres

Dijous

Divendres

Dissabte

Flam Iogurt Fruita

Gener 70 80 90

Febrer 80

Març

Abril

Maig

Juny

Flam Iogurt Fruita

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

G F M A M J

Nom

bre

de p

ostr

es

Mes

Verds Blaus Rojos

14

12

10

8

6

4

2

0DL DM DC DJ DV DS

Nom

bre

de b

olígra

fs

Dia

Solucions1. • En van vendre 10 kg menys.

• Sardina. Aladroc.

• Dimarts, dijous i divendres.

2. • Lluís: 70. Sergi: 50. Anna: 30.

• Va disminuir en les tirades segona i quarta.

Va augmentar en la tercera.

• Sergi.

3.

4.

45

Flam Iogurt Fruita

G 70 80 90

F 80 40 90

M 60 50 90

A 50 60 70

M 70 60 90

J 80 70 80

100

80

60

40

20

G F M A M J

Blaus Rojos Verds

dl 12 10 8

dm 10 6 4

dc 8 6 10

dj 12 8 6

dv 10 8 8

ds 12 10 10

12

8

4

dl dc dvdm dj ds

132255 _ 0068-0085.indd 85132255 _ 0068-0085.indd 85 11/9/09 07:13:3411/9/09 07:13:34

46

Múltiples i divisors

Als supermercats pots trobar dos tipus de productes: els que es venen per unitats i els que només es venen en caixes, bosses o paquets de diverses unitats juntes. Aquests productes tan sols els pots comprar de 2 en 2, de 3 en 3, de 10 en 10…

● Digues 5 productes que se solen comprar per unitats soltes i 5 productes més que es venen en caixes, bosses, paquets… de diverses unitats.

● Observa la fotografia i contesta.

– Si compres 5 paquets de sucs, quants sucs tindràs? I si compres 8 paquets de burritos, quants burritos tindràs?

– Pots comprar 20 burritos? Quants paquets de burritos són? Pots comprar 17 burritos? Per què?

– Si necessites 50 bombons per a una festa, quantes capses de bombons hauràs de comprar? Quants te’n sobraran?

4 RE

1.

2.

3.

4.

Altres formes de començar• Mostreu una bossa o una caixa i expliqueu que conté una o diver-

ses monedes (o bitllets) tots iguals. Plantegeu amb aquesta situa-ció les qüestions següents, per resoldre-les en comú:

– A la bossa hi ha monedes de 2 €. Quants diners hi pot haver?– A la bossa hi ha bitllets de 5 €. En total hi ha més de 20 € i

menys de 80 €. Quants diners hi pot haver? – A la bossa hi ha 46 €. Pot ser en monedes de 2 €? I en bitllets

de 10 €?– A la bossa hi ha 30 €. En quines monedes pot ser? I en quins

bitllets?

Canvieu després les quantitats de diners, o el valor de les mone-des i bitllets, per dur a terme altres exercicis similars.

Objectius

• Reconéixer situacions reals on apareixen múltiples i divisors d’un nombre.

• Recordar conceptes necessaris per al desenvolupament de la unitat.

Suggeriments didàctics

• Dialogueu amb l’alumnat so-bre la fotografia presentada, anomenant exemples de situa-cions quotidianes on calculem multiplicacions i divisions per obtindre el nombre d’objectes que volem.

• Llegiu i feu en comú les activi-tats proposades. Després, es-criviu a la pissarra altres exem-ples de productes que s’adqui-risquen en grups de diverses unitats i demaneu a l’alumnat que invente preguntes per res-pondre en comú.

• En Recorda el que en saps, re-passeu amb l’alumnat els dos tipus de divisions (exacta i en-tera) i les relacions que es com-pleixen entre els seus termes. Crideu en especial l’atenció sobre la prova de la resta i la relació entre la multiplicació i la divisió exacta.

Competències bàsiques

Interacció

amb el món físic

Aprofiteu el diàleg sobre la situ-ació presentada en la fotografia perquè l’alumnat prenga consci-ència de la necessitat d’efectuar càlculs matemàtics en moltes ac-tivitats quotidianes.

Competència

social i ciutadana

Comenteu amb l’alumnat la im-portància de decidir què necessi-tem i volem abans de comprar-ho, per fomentar el consum respon-sable.

46

132255 _ 0086-0101.indd 88132255 _ 0086-0101.indd 88 11/9/09 07:17:2211/9/09 07:17:22

47

RECORDA EL QUE EN SAPS

Divisió exacta i divisió entera

● Una divisió és exacta si el residu és 0.

En una divisió exacta es compleix que:

D = d 3 q

● Una divisió és entera si el residu és diferent de 0.

En una divisió entera es compleix que:

r , d D = d 3 q 1 r

1. Calcula les divisions següents i fes-ne la prova.

Escriu davall de cada divisió si és exacta o entera.

91 ● : 7 ● 569 : 8 ● 2.951 : 26

82 ● : 4 ● 3.654 : 9 ● 3.570 : 35

2. Escriu amb els tres nombres de cada requadre una multiplicació

i dues divisions.

35 7

5 8

9

72

20 80 4

15 6

90

3. Calcula en cada cas el nombre que falta.

6 ● 3 5 42 ● 3 5 5 90 ● 30 3 60 5

63 ● : 5 9 ● : 4 5 32 ● 400 : 25 5

4. Copia i completa.

258 6 18 43 0

258 = 6 3 43

341 8 21 42 5

5 , 8341 = 8 3 42 1 5

● A reconéixer si un nombre és múltiple d’un altre i a obtindre múltiples d’un nombre.

● A reconéixer si un nombre és divisor d’un altre i a obtindre tots els divisors d’un nombre.

● A calcular el mínim comú múltiple i el màxim comú divisor de dos o més nombres.

● A reconéixer si un nombre és primer o compost.

APRENDRÀS

3031

32

3334

35

36

37

10

: 30: 1

: 2

: 3: 5

: 6

: 10

: 15

30

Vocabulari de la unitat• Múltiple

• Divisor

• Ser divisible per

• Mínim comú múltiple (MCM)

• Màxim comú divisor (MCD)

• Nombre primer i nombre compost

Solucions

Pàgina inicial

• R. M.Barra de pa, quadern, diari, test i raqueta.Galetes, iogur ts, l lapis de colors, pilotes de ping-pong i cromos.

• 5 3 3 5 15. Tindré 15 sucs.8 3 2 5 16. Tindré 16 burri-tos.20 : 2 5 10. Sí que puc. Són 10 paquets.17 : 2 és entera. No puc.50 : 14 ▶ q 5 3, r 5 814 3 4 5 56; 56 2 50 5 6He de comprar-ne 4 capses i em sobraran 6 bombons.

Recorda el que en saps

1. q 5 13; r 5 0. Exacta.q 5 20; r 5 2. Entera.q 5 71; r 5 1. Entera.q 5 406; r 5 0. Exacta.q 5 113; r 5 13. Entera.q 5 102; r 5 0. Exacta.

2. • 5 3 7 5 35 • 8 3 9 5 7235 : 5 5 7 72 : 8 5 935 : 7 5 5 72 : 9 5 8

• 20 3 4 5 80 • 15 3 6 5 90 80 : 4 5 20 • 90 : 6 5 15 80 : 20 5 4 • 90 : 15 5 6

3. 5 42 : 6 5 7 5 63 : 9 5 7 5 90 : 5 5 18 5 32 3 4 5 128 5 30 3 60 5 1.800 5 400 : 25 5 16

4. 10 3 0 5 0 30 : 30 5 110 3 1 5 10 30 : 1 5 3010 3 2 5 20 30 : 2 5 1510 3 3 5 30 30 : 3 5 1010 3 4 5 40 30 : 5 5 610 3 5 5 50 30 : 6 5 510 3 6 5 60 30 : 10 5 310 3 7 5 70 30 : 15 5 2

UNITAT 4

47

132255 _ 0086-0101.indd 89132255 _ 0086-0101.indd 89 11/9/09 07:17:2311/9/09 07:17:23

48

Múltiples d’un nombre

● Els múltiples d’un nombre s’obtenen multiplicant aquest nombre pels nombres naturals: 0, 1, 2, 3, 4…

● Un nombre a és múltiple d’un altre b si la divisió a : b és exacta.

1. Calcula i explica com ho has fet.

● Els sis primers múltiples de 2. ▶ 0, 2… ● Els huit primers múltiples de 6.

● Els set primers múltiples de 5. ● Els deu primers múltiples de 9.

2. Fes la divisió i contesta. Raona la resposta.

● És 42 múltiple de 7? ● És 54 múltiple de 4? ● És 156 múltiple de 12?

● És 60 múltiple de 8? ● És 135 múltiple de 5? ● És 378 múltiple de 16?

3. Resol.

Natàlia compra les llandes de refresc en paquets de 6. Pot comprar 72 llandes? I 82 llandes?

Enric fa una col·lecció de naus extraterrestres que venen al quiosc. En cada bosseta hi ha 3 naus.Pot comprar 12 naus? I 14 naus?

Segons el nombre de bossetes que compre, Enric pot tindre aquestes naus.

Enric pot comprar 12 naus, però no 14.

Fixa-t’hi:

● Enric pot no comprar cap nau o comprar-ne 3, 6, 9, 12, 15… Els nombres 0, 3, 6, 9, 12, 15… són múltiples de 3.

● Enric no pot comprar 14 naus. El nombre 14 no és múltiple de 3.

Per comprovar si un nombre és o no múltiple d’un altre, fem una divisió.

És 12 múltiple de 3?

12 3 La divisió és exacta. 0 4 12 5 3 3 4

12 sí que és múltiple de 3.

És 14 múltiple de 3?

14 3 La divisió és entera. 2 4 14 5 3 3 4 1 2

14 no és múltiple de 3.

Nre. de bossetes 0 1 2 3 4 5

Nre. de naus3 3 0

03 3 1

33 3 2

63 3 3

93 3 4

123 3 5

15

M

Res

CÀ

1.

Altres activitats• Escriviu a la pissarra sèries en què el criteri de formació siga sempre

la suma del mateix nombre al terme anterior, perquè les calculen mentalment i un d’ells escriga els termes a la pissarra. Repetiu cada criteri en dues sèries, una començant per un múltiple del nom-bre que trieu per a l’exercici i una altra en què no ho siga. Com ara:

– Suma-hi 2 cada volta: 46, 48… – Suma-hi 5 cada volta: 60, 65…

– Suma-hi 2 cada volta: 35, 37… – Suma-hi 5 cada volta: 72, 77…

En cada parell de sèries, pregunteu a l’alumnat si el primer terme és múltiple o no del nombre triat per a l’addició de l’exercici i si creuen que la resta dels termes en són o no múltiples, i demaneu-los que ho comproven.

Objectius• Trobar múltiples d’un nombre.

• Esbrinar si un nombre és o no múltiple d’un nombre.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Comenteu amb l’alumnat com es troba quantes naus pot com-prar Enric. Expliqueu, a partir dels productes obtinguts, el concepte de múltiple i recor-deu-los que el primer múltiple sempre és 0.Després, expliqueu com podem saber si un nombre és múltiple o no d’un altre, segons si és la di-visió d’ambdós exacta o entera.

Per a reforçar

• Relacioneu la situació planteja-da amb la fotografia de la pàgi-na inicial i poseu exemples de múltiples amb alguns productes anomenats.

Competències bàsiques

Aprendre a aprendre

Feu observar a l’alumnat que els múltiples de 3 trobats coincidei-xen amb els primers nombres de la taula del 3. Animeu-los així a relacionar els continguts nous que van aprenent amb conceptes ja coneguts.

Solucions1. • 0, 2, 4, 6, 8 i 10

• 0, 5, 10, 15, 20, 25 i 30 • 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36 i 42• 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63,

72 i 81

2. Sí. 42 : 7 és exacta.No. 60 : 8 és entera.No. 54 : 4 és entera.Sí. 135 : 5 és exacta.Sí. 156 : 12 és exacta.No. 378 : 16 és entera.

3. 72 : 6 és exacta. Sí que pot. 82 : 6 és entera. No pot.

48

132255 _ 0086-0101.indd 90132255 _ 0086-0101.indd 90 11/9/09 07:17:2411/9/09 07:17:24

49

4

Mínim comú múltiple

El mínim comú múltiple (MCM) de dos o més nombres és el menor múltiple comú, diferent de zero, d’aquests nombres.

Àngela compra sempre els sucs en paquets de 2 i els batuts en paquets de 3. Hui ha comprat el mateix nombre de sucs que de batuts, i el menor nombre possible d’aquests. Quants sucs i quants batuts ha comprat hui?

● Compra paquets de 2 sucs i de 3 batuts. ▶ Múltiples de 2 ▶ 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12…

1r Calcula els primers múltiples de cada nombre. Múltiples de 3 ▶ 0, 3, 6, 9, 12, 15…

● Compra tants sucs com batuts. ▶ Múltiples comuns ▶ 0, 6, 12…

2n Busca els múltiples comuns d’ambdós nombres.

● Compra el menor nombre possible de sucs ▶ El menor diferent de zero ▶ 6

i de batuts.

3r Busca el menor múltiple comú, diferent de zero.

Àngela ha comprat hui 6 sucs i 6 batuts.

Aquest nombre s’anomena mínim comú múltiple de 2 i 3, i s’escriu MCM (2 i 3).

El mínim comú múltiple de 2 i 3 és 6. ▶ MCM (2 i 3) 5 6

Resta 1.001, 2.001, 3.001...

3.256 2 1.001 4.513 2 4.001 7.998 2 6.001

5.748 2 3.001 7.912 2 5.001 9.031 2 8.001

● Com restaries 1.002? I 1.003? I 1.004?

● Com restaries 4.002? I 5.003?

CÀLCUL MENTAL

2 2.001

3.875 1.875 1.874 2 2.000 21

1. Calcula i explica com ho has fet.

● Els huit primers múltiples de 4 i de 6. Els múltiples comuns de 4 i 6. El mínim comú múltiple de 4 i 6.

● MCM (2 i 5) ● MCM (8 i 10)

● MCM (3 i 9) ● MCM (9 i 12)

2. Resol.

Francesc i Raquel van a patinar a la mateixa pista. Francesc hi va cada 4 dies i Raquel, cada 5 dies. Hui hi han anat els dos. D’ací a quants dies tornaran a coincidir una altra vegada a la pista de patinatge?

Altres activitats• Proposeu a l’alumnat activitats de càlcul del MCM de tres o més

nombres. Assenyaleu que el procés que cal seguir és el mateix que ja coneixen per a dos nombres:

1r Escriure els primers múltiples de cada nombre.

2n Triar els múltiples comuns a tots aquests nombres.

3r Elegir el menor múltiple comú diferent de zero.

Per exemple:

MCM (2, 3 i 5) MCM (6, 10 i 12) MCM (4, 6 i 9) MCM (10, 20 i 50)

Objectius• Calcular el mínim comú múltiple

de dos o més nombres.• Resoldre problemes de MCM.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Treballeu amb l’alumnat el pro-blema frase a frase, raonant-ne el significat i el càlcul matemà-tic que ha d’efectuar. Escriviu a la pissarra els múltiples d’amb-dós nombres, encercleu els múltiples comuns i demaneu-los que busquen entre aquests el menor múltiple diferent de zero. Expliqueu que aquest és el mí-nim comú múltiple de 2 i 3 i escriviu-lo de forma abreujada.

Per a reforçar

• Aprofiteu l’estratègia sobre re-llegir i explicar un procediment de la pàg. 54 del manual d’ES-TUDI EFICAÇ, i escriviu a la pis-sarra el títol de l’epígraf de la pàgina perquè assenyalen les paraules de dreta a esquerra i expliquen els tres passos tre-ballats.

Solucions1. • 4 ▶ 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24

i 286 ▶ 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36

i 42Comuns: 0, 12 i 24MCM (4 i 6) 5 12

• MCM (2 i 5) 5 10 • MCM (3 i 9) 5 9• MCM (8 i 10) 5 40• MCM (9 i 12) 5 36

2. MCM (4 i 5) 5 20. Tornaran a coincidir d’ací a 20 dies.

Càlcul mental

• 2.255 512 1.9972.747 2.911 1.030

• Restaria 1.000 i després 2, 3 o 4, respectivament.

• Restaria 4.000 i després 2. Restaria 5.000 i després 3.

UNITAT 4

49

132255 _ 0086-0101.indd 91132255 _ 0086-0101.indd 91 11/9/09 07:17:2411/9/09 07:17:24

50

Divisors d’un nombre

● Un nombre b és divisor d’un altre a si la divisió a : b és exacta.

● Si b és divisor de a, a és múltiple de b, i si a és múltiple de b, b és divisor de a.

1. Fes cada divisió i contesta. Raona la resposta.

● És 6 divisor de 46? ● És 5 divisor de 80? ● És 17 divisor de 544?

● És 9 divisor de 72? ● És 8 divisor de 186? ● És 24 divisor de 456?

2. Observa els termes de cada divisió exacta i completa.

30 : 5 5 6

56 : 8 5 7

28 : 7 5 4

45 : 9 5 5

30 és … de 5. 56 és … de 8. … és múltiple de … … és múltiple de … 5 és … de 30. 8 és … de 56. … és divisor de … … és divisor de …

54 : 6 5 9 i 54 : 9 5 6 ▶ … és múltiple de … i de …

… i … són divisors de …

3. Resol.

Rafel ha fet 40 croquetes. Les pot repartir en parts iguals en 8 plats sense que li’n sobre cap? I en 9 plats?

Marta ha d’apegar 21 fotografies en el seu àlbum. Vol posar en cada full el mateix nombre de fotos i que no li’n sobre cap. Pot posar 3 fotos en cada full? I 4 fotos?

● Si posa 3 fotos en cada full:

21 3 No li sobra cap foto. 0 7 La divisió és exacta. Sí que pot posar 3 fotos en cada full.

El nombre 3 és divisor de 21.

● Si posa 4 fotos en cada full:

21 4 Li sobra 1 foto. 1 5 La divisió és entera. No pot posar 4 fotos en cada full.

El nombre 4 no és divisor de 21.

Fixa-t’hi:

La divisió 21 : 3 és exacta. 21 és múltiple de 3. 3 és divisor de 21.

▶

▶

C

1.

2.

3.

4.

Altres activitats• Demaneu a l’alumnat que complete les frases següents, per treba-

llar la relació múltiple-divisor:

– El nombre 20 (24, 30, 42…) és múltiple de …

– El nombre 3 (4, 5, 10…) és divisor de …

Raoneu amb ells que per completar les frases del primer tipus, han trobat un divisor del nombre donat, i que per completar les frases del segon tipus han calculat un múltiple del nombre.

Objectius• Reconéixer si un nombre és o no

divisor d’un altre.

• Reconéixer i aplicar la relació múltiple-divisor.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Resoleu en comú el problema i, a partir de la solució, expliqueu el concepte de divisor.

• Mostreu que, en una divisió exacta, tant el divisor com el quocient són divisors del di-vidend i aquest és múltiple d’ambdós. Verbalitzeu sempre les dues relacions: … és múlti-ple de … i … és divisor de …

Competències bàsiques

Tractament

de la informació

Insistiu en la relació múltiple-divi-sor, comentant que l’expressió d’una relació entre dos nombres ens informa també de la relació inversa.

Solucions1. No. 46 : 6 és entera.

Sí. 72 : 9 és exacta.Sí. 80 : 5 és exacta.No. 186 : 8 és entera.Sí. 544 : 17 és exacta.Sí. 456 : 24 és exacta.

2. • 30 és múltiple de 5.5 és divisor de 30.

• 56 és múltiple de 8.8 és divisor de 56.

• 28 és múltiple de 7.7 és divisor de 28.

• 45 és múltiple de 9.9 és divisor de 45.

• 54 és múltiple de 6 i de 9.6 i 9 són divisors de 54.

3. • 40 : 8 5 5. Sí que pot repar-tir-les en 8 plats.

• 40 : 9 és entera. No pot re-partir-les en 9 plats.

50

132255 _ 0086-0101.indd 92132255 _ 0086-0101.indd 92 11/9/09 07:17:2411/9/09 07:17:24

4?

6?

… …

51

Jordi vol saber si els nombres 42 i 65 són divisibles per 2, 3 o 5, és a dir, si 42 i 65 són múltiples de 2, de 3 o de 5.

Pot fer la divisió però, en aquests casos, és més fàcil aplicar aquestes regles.

● Un nombre és divisible per 2 si és un nombre parell.

● Un nombre és divisible per 3 si la suma de les xifres és un múltiple de 3.

● Un nombre és divisible per 5 si l’última xifra és 0 o 5.

42 ▶ 42 sí que és divisible per 2.

sí que és parell

65 ▶ 65 no és divisible per 2.

no és parell

42 ▶ 42 sí que és divisible per 3.

4 1 2 5 6; 6 sí que és múltiple de 3

65 ▶ 65 no és divisible per 3.

6 1 5 5 11; 11 no és múltiple de 3

42 ▶ 42 no és divisible per 5.

no és 0 ni 5

65 ▶ 65 sí que és divisible per 5.

sí que és 5

4

Criteris de divisibilitat per 2, 3 i 5

1. Escriu i comprova.

● Escriu deu múltiples de 2. Són parells tots els nombres que obtens?

● Escriu deu múltiples de 3. Suma les xifres de cada nombre. És sempre la suma un múltiple de 3?

● Escriu deu múltiples de 5. Acaben tots els nombres en 0 o en 5?

2. Observa els nombres del requadre i contesta. Explica per què.

45 52 70 81 94

125 231

● Quins nombres són múltiples de 2?

● Quins nombres són divisibles per 3?

● De quins nombres és 5 un divisor?

3. Calcula i contesta.

Escriu els dotze primers múltiples de 10 i subratlla l’última xifra de cada un. Com pots saber si un nombre és múltiple de 10?

4. RAONAMENT. Pensa i contesta. Posa un exemple que explique cada resposta.

És 0 múltiple de tots els nombres? ●

És qualsevol nombre múltiple ●

de si mateix?

És 1 divisor de tots els nombres? ●

És qualsevol nombre divisor ●

de si mateix?

6 és múltiple de 2. 6 és divisible per 2. 2 és divisor de 6.

Altres activitats• Plantegeu a l’alumnat la pregunta següent perquè raonen i expli-

quen la resposta:

El nombre 2 és un nombre primer. Hi ha cap altre nombre parell que siga primer? Per què?

• Plantegeu-los les preguntes següents perquè descobrisquen el cri-teri de divisibilitat per 6. Després, demaneu-los que escriguen els nombres 42, 54, 60, 87, 96, 108… i ho comproven.

– El nombre 6 és divisible per 2 i també és divisible per 3.

– Creus que tots els múltiples de 6 són divisibles per 2 i per 3?

– Podem afirmar que si un nombre és divisible per 2 i per 3, també és divisible per 6?

Objectius• Reconéixer si un nombre és divi-

sible per 2, per 3 o per 5.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Comenteu que els criteris de di-visibilitat només són regles que faciliten el càlcul. Expliqueu els tres i poseu-ne exemples per resoldre col·lectivament.

• Llegiu la bafarada de la il·lustració i expliqueu que les tres expressi-ons indiquen el mateix. Treballeu-les amb diferents nombres.

Per a reforçar

• Aprofiteu els exemples d’inferèn-cies que ixen en la pàgina 12 del manual d’ESTUDI EFICAÇ i plan-tegeu l’activitat 3 perquè l’alum-nat descobrisca i verbalitze el criteri de divisibilitat per 10.

Solucions1. • 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,

18, 20. Sí, tots els nombres són parells.

• 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30. Sí, la suma de les xifres és un múltiple de 3.

• 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50. Sí, tots els nombres acaben en 0 o en 5.

2. • Són múltiples de 2: 52, 70 i 94, perquè són parells.

• Són divisibles per 3: 45, 81 i 231, perquè la suma de les seues xifres és un múltiple de 3.

• 5 és un divisor de: 45, 70 i 125, perquè acaben en 0 o en 5.

3. • 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110.Un nombre és múltiple de 10 si la seua última xifra és 0.

4. • Sí. 0 5 a 3 0 • Sí. a 5 a 3 1 • Sí. a : 1 5 a • Sí. a : a 5 1

UNITAT 4

51

132255 _ 0086-0101.indd 93132255 _ 0086-0101.indd 93 11/9/09 07:17:2511/9/09 07:17:25

52

Càlcul de tots els divisors d’un nombre

1. Calcula tots els divisors de cada nombre. Explica com ho fas.

● De 6 ● De 9 ● De 12 ● De 17 ● De 35

● De 7 ● De 10 ● De 15 ● De 24 ● De 42

2. Resol.

Eva té 30 caramels. Els vol repartir en bossetes, ●

totes amb el mateix nombre de caramels, de manera que no li’n sobre cap. Quants caramels pot posar en cada bosseta?

El professor de Xavier vol fer equips amb els 20 alumnes ●

que hi ha a la classe, tots amb el mateix nombre de xiquets i sense que en quede cap sol. De quants alumnes pot formar cada grup?

En una biblioteca volen fer paquets amb 27 llibres, ●

de manera que hi haja el mateix nombre de llibres en cada paquet i no sobre cap llibre. Quants llibres poden posar en cada paquet?

3. Pensa i contesta.

Pots escriure tots els múltiples d’un nombre? ●

I tots els divisors d’un nombre?

Quants divisors té com a mínim un nombre? Quins són? ●

Robert té 8 f lors per a col·locar en gerros. Vol posar en cada gerro el mateix nombre de f lors i que no li’n sobre cap.Quantes f lors pot posar en cada gerro?

Calcula tots els divisors de 8 de la manera següent:

1r Divideix 8 entre els nombres naturals: 1, 2, 3… De cada divisió exacta, obtens dos divisors: el divisor i el quocient.

2n Para de dividir quan el quocient siga igual o menor que el divisor.

8 1 8 2 8 3 0 8 0 4 2 2 → 2 , 3, para de dividir.

▼ ▼ ▼Divisors: 1 i 8 2 i 4 no

Els divisors de 8 són: 1, 2, 4 i 8.

Pot posar 1, 2, 4 o 8 f lors en cada gerro.

N

1.

2.

Res

CÀ

Altres activitats• Comenteu a l’alumnat que en l’antiguitat els grecs van ser grans

aficionats als nombres i que en van descobrir moltes curiositats. Per exemple, sumaven tots els divisors d’un nombre menys ell ma-teix. Si sumaven més que el nombre deien que aquest nombre era «abundant»; si sumaven menys, deien que era «deficient», i si sumaven igual, era «perfecte».

Escriviu a la pissarra els nombres 12, 10 i 6 i comproveu en comú que són un nombre abundant, un de deficient i un de perfecte, respectivament. Després, animeu-los que busquen altres exem-ples de cada tipus de nombre.

Objectius• Calcular tots els divisors d’un

nombre.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Llegiu el problema proposat i resoleu-lo a la pissarra com a aplicació del concepte de divi-sor treballat en la pàgina 50. Feu insistència especial en l’or-dre per no oblidar-ne cap i en l’obtenció de dos divisors de cada divisió exacta.

Competències bàsiques

Competència

cultural i artística

Poseu exemples d’ocasions en què l’obtenció dels divisors d’un nom-bre és útil per a presentar de forma ordenada i estètica el resultat del nostre treball.

Solucions1. • De 6: 1, 2, 3 i 6. • De 7: 1 i 7. • De 9: 1, 3 i 9. • De 10: 1, 2, 5 i 10. • De 12: 1, 2, 3, 4, 6 i 12. • De 15: 1, 3, 5 i 15. • De 17: 1 i 17. • De 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 i

24. • De 35: 1, 5, 7 i 35. • De 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 i

42.

2. • Divisors de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 i 30. En cada bosse-ta pot posar 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 o 30 caramels.

• Divisors de 20: 1, 2, 4, 5, 10 i 20. Cada grup pot ser d’1, 2, 4, 5, 10 o 20 alumnes.

• Divisors de 27: 1, 3, 9 i 27. En cada paquet poden posar 1, 3, 9 o 27 llibres.

3. • No. Sí. • Dos divisors: 1 i ell mateix.

52

132255 _ 0086-0101.indd 94132255 _ 0086-0101.indd 94 11/9/09 07:17:2511/9/09 07:17:25

53

4

Nombres primers i compostos

Un nombre és primer si només té dos divisors: 1 i ell mateix.Un nombre és compost si té més de dos divisors.

1. Calcula tots els divisors de cada nombre i indica si és primer o compost.

8 10 12 17 21 23 24 25 29

2. Escriu els nombres del 2 al 30 i segueix aquests passos per

saber els que són primers.

1r El 2 és primer, encercla’l. Des de 2, compta de 2 en 2 i ratlla els múltiples de 2.

2n El 3 és primer, encercla’l. Des de 3, compta de 3 en 3 i ratlla els múltiples de 3 que no estiguen ja ratllats.

3r El 5 és primer, encercla’l. Des de 5, compta de 5 en 5 i ratlla els múltiples de 5 que no estiguen ja ratllats.

4t Els nombres no ratllats són primers. Encercla’ls.

Marc té 13 cartes i Roser, 14. Cada un vol repartir les seues cartes en munts, de manera que cada munt tinga el mateix nombre de cartes i no en sobre cap.Quantes cartes pot posar Marc en cada munt? I Roser?

Calcula els divisors de 13.

Divisors de 13 ▶ 1 i 13

Marc només pot fer els munts de dues formes: posant 1 o 13 cartes en cada munt.

El nombre 13 només té dos divisors. Per això s’anomena nombre primer.

Calcula els divisors de 14.

Divisors de 14 ▶ 1, 2, 7 i 14

Roser pot fer els munts de quatre formes distintes: posant 1, 2, 7 o 14 cartes en cada munt.

El nombre 14 té més de dos divisors. Per això s’anomena nombre compost.

2.417 2 999 6.268 2 3.999 8.145 2 6.999

5.832 2 2.999 8.613 2 4.999 9.279 2 7.999

● Com restaries 998? I 997? I 996?

● Com restaries 1.998? I 2.997?

Resta 999, 1.999, 2.999...

CÀLCUL MENTAL

2 1.999

3.875 1.875 1.876 2 2.000 11

2 3 4 5 6

7 8 9 10 11

12 13 14 15 16

17 18 19 20 21

22 23 24 25 26

27 28 29 30

Altres activitats• Expliqueu els passos per a escriure un nombre en forma de produc-

te de nombres primers; per exemple, el nombre 30:

1r Divideix el nombre entre un nombre primer, començant per 2 fins que la divisió siga exacta.

2n Pren el quocient obtingut com a dividend i repeteix el 1r pas, començant amb el mateix divisor que el de l’última divisió.

3r Repeteix el 2n pas fins que el quocient siga 1.4t Escriu el nombre com un producte en què els factors són els

divisors de les divisions exactes.

30 : 2 5 15 ▶ 15 : 215 : 3 5 5 ▶ 5 : 3

5 : 5 5 1 ▶ 30 5 2 3 3 3 5

Objectius• Reconéixer si un nombre és pri-

mer o compost.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Llegiu el problema proposat i calculeu en comú els divisors de cada nombre. Indiqueu, amb els nombres 13 i 14, quan un nombre és primer o compost i poseu-ne altres exemples per classificar-los col·lectivament.

• Comenteu que tot nombre és primer o compost perquè tot nombre té com a mínim els di-visors 1 i ell mateix.

• En l’activitat 2 es fa el garbell d’Eratòstenes per obtindre els primers nombres primers. Ani-meu l’alumnat a fixar-s’hi ja que els resultarà molt pràctic a l’hora de treballar continguts posteriors.

Solucions

1. • 8 ▶ 1, 2, 4 i 8. Compost. • 10 ▶ 1, 2, 5 i 10.

Compost. • 12 ▶ 1, 2, 3, 4, 6 i 12.

Compost. • 17 ▶ 1 i 17. Primer. • 21 ▶ 1, 3, 7 i 21.

Compost. • 23 ▶ 1 i 23. Primer. • 24 ▶ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 i 24.

Compost. • 25 ▶ 1, 5 i 25. Compost. • 29 ▶ 1 i 29. Primer.

2. • Els nombres primers del 2 al 30 són: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 i 29.

Càlcul mental

• 1.418 2.269 1.1462.833 3.614 1.280

• Reste 1.000 i després sume 2, 3 o 4, respectivament.

• Reste 2.000 i sume 2. Reste 3.000 i sume 3.

UNITAT 4

53

132255 _ 0086-0101.indd 95132255 _ 0086-0101.indd 95 11/9/09 07:17:2511/9/09 07:17:25

54

Màxim comú divisor

Per a fer un joc amb targetes, Àlex vol tallar una cartolina de 16 cm de llarg i 12 cm d’ample en quadrats iguals, de manera que siguen tan grans com es puga i que no li sobre cap tros de cartolina. Quant farà el costat de cada quadrat?

El costat de cada quadrat farà 4 cm.

Aquest nombre s’anomena màxim comú divisor de 16 i 12, i s’escriu MCD (16 i 12).

El màxim comú divisor de 16 i 12 és 4. ▶ MCD (16 i 12) 5 4

● No vol que li sobre cap tros de cartolina, ni de llarg ni d’ample.

1r Calcula els divisors de cada nombre.

● Vol fer quadrats, per tant el llarg ha de ser igual que l’ample.

2n Busca els divisors comuns d’ambdós nombres.

● Vol fer quadrats tan grans com es puga.

3r Busca el major dels divisors comuns.

El màxim comú divisor (MCD) de dos o més nombres és el major divisor comú d’aquests nombres.

2. Resol.

Laura té una corda roja de 6 m i una altra de color blau de 8 m. Les vol tallar en trossos, tots de la mateixa longitud i tan llargs com siga possible, de manera que no li sobre cap tros de corda. Quant farà cada tros de corda?

1. Calcula i explica com ho has fet.

● Els divisors de 20 i de 30. Els divisors comuns de 20 i 30. El màxim comú divisor de 20 i 30.

● MCD (4 i 12) ● MCD (18 i 27)

● MCD (9 i 14) ● MCD (24 i 32)

MCM (10 i 15) 5 …

MCD (10 i 15) 5 …

MCM (12 i 20) 5 …

MCD (12 i 20) 5 …

3. Calcula el MCM i el MCD de cada parell de nombres.

MCM ▶ menor múltiple comú diferent de 0.

MCD ▶ major divisor comú.

RECORDA 10 i 15

12 i 20

Divisors de 16 ▶ 1, 2, 4, 8 i 16 Divisors de 12 ▶ 1, 2, 3, 4, 6 i 12

Divisors comuns ▶ 1, 2 i 4

El major divisor comú ▶ 4▶

▶

▶

4.

5.

6.

Objectius• Calcular el màxim comú divisor

de dos o més nombres.

• Resoldre problemes de MCD.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Escriviu a la pissarra «mínim comú múltiple de dos nombres» i recordeu que és el menor dels múltiples comuns d’ambdós nombres, sense comptar el zero.A continuació, escriviu-hi davall «màxim comú divisor de dos nombres» i animeu-los a defi-nir-ho de manera semblant: és el major dels divisors comuns d’ambdós nombres.

Per a explicar

• Expliqueu i treballeu el màxim comú divisor de forma semblant a com s’ha fet amb el mínim comú múltiple.Comenteu col· lect ivament l’enunciat, frase a frase, i es-criviu a la pissarra els divisors d’ambdós nombres, encercleu aquells divisors que són co-muns i demaneu a l’alumnat que hi busque el divisor major.

Competències bàsiques

Autonomia

i iniciativa personal

En treballar els problemes propo-sats fomenteu en l’alumnat la lec-tura comprensiva i la iniciativa per a triar el càlcul del MCM o el MCD, així com l’autonomia en el proce-diment que s’ha de seguir.

Competència lingüística

Fomenteu en els xiquets i xique-tes l’expressió oral, demanant-los que expliquen amb les seues pa-raules l’enunciat de cada proble-ma, justifiquen l’elecció del càlcul realitzat i expliquen el procediment de resolució de forma ordenada i utilitzant amb rigor el vocabulari matemàtic corresponent.

54

Altres activitats• Proposeu a l’alumnat activitats de càlcul del MCD de tres o més

nombres. Assenyaleu que el procés que han de seguir és el mateix que ja coneixen per a dos nombres:

1r Determinar tots els divisors de cada nombre.

2n Triar els divisors comuns a tots aquests nombres.

3r Elegir el major divisor comú.

Per exemple:

MCD (4, 6 i 10) MCD (18, 30 i 50) MCD (12, 30 i 45) MCD (24, 30 i 42)

132255 _ 0086-0101.indd 96132255 _ 0086-0101.indd 96 11/9/09 07:17:2511/9/09 07:17:25

55

4

4. Pensa si has de calcular el MCM o el MCD i resol.

Lluís està malalt. El metge li ha dit que prenga un xarop cada 8 hores i una pastilla ●

cada 12 hores. Acaba de prendre les dues medecines juntes. D’ací a quantes hores tornarà a prendre per primera vegada les dues medecines juntes?

En una fruiteria tenen 20 kg de peres i 16 kg de pomes. Preparen unes quantes ●

caixes amb pomes i altres amb peres, totes del mateix pes, tan grans com siga possible i sense que sobre fruita. Quant pesa cada caixa?

– Caixes iguals sense que sobre fruita. ▶ Calcule múltiples o divisors?

– Les caixes són tan grans com siga possible. ▶ Calcule el màxim o el mínim?

5. Calcula el MCM o el MCD i contesta.

Maite ha regat hui els geranis i els cactus del balcó. Rega els geranis ●

cada 3 dies i els cactus cada 9 dies. Quants dies han de passar com a mínim fins que Maite torne a regar les dues plantes el mateix dia?

6. RAONAMENT. Calcula i completa. Després, contesta.

Posa tres exemples d’un nombre múltiple d’un altre i comprova la resposta. ●

20 és … de 4

MCD (20 i 4) 5 …

MCM (20 i 4) 5 …

6 és … de 18

MCD (6 i 18) 5 …

MCM (6 i 18) 5 …▶ Si un nombre és múltiple o divisor

d’un altre, quin és el MCD d’ambdós nombres? I el MCM?

Òscar té un bidó amb 10 litres d’aigua ●

i un altre amb 8 litres de taronjada. Aboca el líquid de cada bidó en diverses botelles, totes iguals, i no li sobra gens d’aigua ni de taronjada als bidons. Quina capacitat tenen, com a màxim, les botelles?

En un joc d’ordinador, Tomàs dispara ●

als globus rojos, que valen 6 punts, i Neus als globus blaus, que valen 4 punts. Els dos xiquets han obtingut al final la mateixa puntuació. Quin és el menor nombre de punts que han pogut traure?

Pregunten per la primera vegada que coincideixen de nou.

Calcule el màxim o el mínim?

Pren les medecines cada 8 o 12 hores.

Calcule múltiples o divisors?

Altres activitats• Escriviu a la pissarra els nombres 10 i 21 i indiqueu-los que calcu-

len els divisors de cada nombre i encerclen els comuns.

Divisors de 10: 1 , 2, 5 i 10 Divisors de 21: 1 , 3, 7 i 21

Comenteu que el nombre 10 no és primer i el nombre 21 tampoc, però només tenen en comú el divisor 1. Expliqueu que aquests nombres s’anomenen primers entre si (siguen o no primers).

A continuació, escriviu a la pissarra uns quants parells de nom-bres, per exemple: 6 i 7, 9 i 15, 5 i 11, 8 i 25… Demaneu-los que esbrinen en cada cas si són o no primers entre si i, després, calcu-len el MCD i el MCM de cada parell. Feu-los observar que el MCD és sempre 1 i el MCM és el producte d’ambdós.

UNITAT 4

Solucions

1. • De 20: 1, 2, 4, 5, 10 i 20De 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 i 30Comuns: 1, 2, 5 i 10MCD (20 i 30) 5 10

• MCD (4 i 12) 5 4

• MCD (9 i 14) 5 1

• MCD (18 i 27) 5 9

• MCD (24 i 32) 5 8

2. • MCD (6 i 8) 5 2Cada tros farà 2 m.

3. • MCM (10 i 15) 5 30

MCD (10 i 15) 5 5

• MCM (12 i 20) 5 60

MCD (12 i 20) 5 4

4. • MCM (8 i 12) 5 24D’ací a 24 hores.

• MCD (20 i 16) 5 4Cada caixa pesa 4 kg.

5. • MCD (8 i 10) 5 2Les botelles tenen, com a màxim, 2 litres de capaci-tat.

• MCM (6 i 4) 5 12El menor nombre de punts que han pogut traure és 12.

• MCM (3 i 9) 5 9Com a mínim han de passar 9 dies.

6. • 20 és múltiple de 4.MCD (20 i 4) 5 4MCM (20 i 4) 5 20

• 6 és divisor de 18.MCD (6 i 18) 5 6MCM (6 i 18) 5 18Si un nombre és múltiple o divisor d’un altre, el MCD d’ambdós n’és el divisor i el MCM n’és el múltiple.

• R.L. Comproveu en comú al-guns dels exemples apor-tats.

55

132255 _ 0086-0101.indd 97132255 _ 0086-0101.indd 97 21/9/09 11:36:2021/9/09 11:36:20

56

Activitats

1. ESTUDI EFICAÇ. Explica què són el MCM

i el MCD, i com es calculen.

2. Escriu els deu primers múltiples de cada

nombre. Després, calcula.

● MCM (6 i 8) ● MCM (8 i 12)

● MCM (6 i 10) ● MCM (12 i 15)

3. Calcula i contesta.

És 138 múltiple de 6? I de 8? ●

És 8 divisor de 132? I de 216? ●

És 96 divisible per 2? ●

És 174 divisible per 3? ●

És 381 divisible per 5? ●

4. Troba tots els divisors de cada nombre.

Després, contesta.

Quins d’aquests nombres són nombres ●

primers? Per què?

Quins d’aquests nombres són nombres ●

compostos? Per què?

5. Troba tots els divisors i calcula.

● MCD (12 i 15) ● MCD (16 i 40)

● MCD (30 i 50) ● MCD (48 i 72)

6. Completa.

… és múltiple de … … és divisor de …

MCD (3 i 18) 5 … MCD (4 i 32) 5 …

MCM (3 i 18) 5 … MCM (4 i 32) 5 …

7. Completa i calcula.

● El mínim comú múltiple de tres nombres és …

MCM (3, 6 i 8) 5 …

MCM (2, 4 i 5) 5 …

● El màxim comú divisor de tres nombres és …

MCD (8, 12 i 16) 5 …

MCD (15, 18 i 24) 5 …

8. Calcula el MCD i el MCM de cada parell de

nombres primers. Després, contesta.

2 i 3 5 i 7 3 i 11

Quin és el MCD de dos nombres primers? I el MCM?

9. Pensa i contesta.

Són tots els múltiples de 8 també ●

múltiples de 2?

Són tots els múltiples de 2 també ●

múltiples de 8?

Són tots els divisors de 6 també ●

divisors de 12?

Són tots els divisors de 12 també ●

divisors de 6?

10. Esbrina i escriu.

Els nombres menors que 70 ●

que són múltiples de 3 i de 5.

Els divisors de 24 ●

que no són divisors de 8.

Un nombre major que 20 i menor que 30. ●

Dos dels seus divisors són 2 i 3.

Un nombre major que 10 i menor que 40. ●

És múltiple de 6. No és múltiple de 4 ni de 9.

8 és múltiple de 2.

6 és divisor de 12.

68

1012

15

1819

2328

36

3 i 18 4 i 32

11

12

ET

A

Altres activitats• Indiqueu a l’alumnat que escriga en un full els deu primers múlti-

ples dels nombres 3, 4, 6 i 8, i en un altre full tots els divisors dels nombres 10, 12, 15 i 20. Després, demaneu-los que, mirant el full corresponent, diguen quin és el MCM i el MCD de cada parell i de cada trio de nombres.

El MCM de: El MCD de:

3 i 4 4 i 6 3, 4 i 6 10 i 12 12 i 15 10, 12 i 153 i 6 4 i 8 3, 4 i 8 10 i 15 12 i 20 10, 12 i 203 i 8 6 i 8 3, 6 i 8 10 i 20 15 i 20 10, 15 i 20 4, 6 i 8 12, 15 i 20

Objectius• Repassar els continguts bàsics

de la unitat.

• Aplicar les matemàtiques en di-ferents contextos.

Competències bàsiques

Aprendre a aprendre

La resolució d’aquestes activitats afavoreix en l’alumnat la capacitat d’autoavaluar els seus progressos en l’aprenentatge, potenciant la responsabilitat i l’afany de supera-ció.

Solucions1. • El MCM de dos o més nom-

bres és el menor múltiple comú, diferent de zero, dels dits nombres.

• El MCD de dos o més nom-bres és el major divisor comú dels dits nombres.

2. • MCM (6 i 8) 5 24 • MCM (6 i 10) 5 30• MCM (8 i 12) 5 24• MCM (12 i 15) 5 60

3. • Sí. No.• No. Sí.• Sí.• Sí.• No.

4. • 18 ▶ 1, 2, 3, 6, 9 i 18

19 ▶ 1 i 19

23 ▶ 1 i 23

28 ▶ 1, 2, 4, 7, 14 i 28

36 ▶ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 i 36

• Són primers els nombres 19 i 23, perquè sols tenen dos divisors: l’1 i ells mateixos.

• Són compostos els nom-bres 18, 28 i 36, perquè tenen més de dos divisors.

5. • MCD (12 i 15) 5 3• MCD (30 i 50) 5 10• MCD (16 i 40) 5 8• MCD (48 i 72) 5 24

56

132255 _ 0086-0101.indd 98132255 _ 0086-0101.indd 98 21/9/09 11:36:2021/9/09 11:36:20

es

s

e

?

0.

0.

57

4

11. Observa quantes unitats té cada paquet

i contesta.

Es poden comprar 10 cromos? ●

I 40 piles? I 96 clarions?

Quants cromos, piles i clarions es poden ●

comprar? Escriu dues possibles quantitats de cada producte.

12. Observa i resol.

Toni ha d’envasar 45 rosques en capses iguals. Quina capsa pot utilitzar perquè no sobre cap rosca?

Pot posar un altre nombre de rosques en cada capsa? Quantes?

13. Resol.

Lluís vol repartir 28 bolígrafs blaus ●

i 20 de rojos en pots, de manera que en cada pot hi haja el mateix nombre de bolígrafs, tots del mateix color, i que no en sobre cap. Quants bolígrafs com a màxim pot ficar en cada pot?

D’una estació ixen dues línies ●

d’autocars. Els autocars de la línia A ixen cada 4 hores i els de la línia B cada 6 hores. A les 7 del matí ix un autocar de cada línia. Quant de temps passa fins que tornen a eixir els dos autocars a la mateixa hora? A quina hora és?

Carme té una finca rectangular de ●

12 m de llarg i 8 m d’ample. La vol dividir en parcel·les quadrades iguals tan grans com siga possible. Quants metres farà el costat de cada parcel·la?

ETS CAPAÇ DE… Fer grups iguals

Alba està organitzant un cap de setmana de jocs al camp.

Pensa fer grups de 3 persones per a jugar ●

al carretó, de 4 per a les curses de relleus i de 5 per a un joc de pistes.

Vol endur-se el menor nombre de persones de manera que en fer els grups ningú es quede sense jugar.

Quantes persones s’endurà Alba?

Per a dormir s’emportarà tendes de ●

campanya, totes iguals. Ha de triar entre diverses mides de tenda: n’hi ha de 4, 5, 6… fins a 10 persones.

– Quantes persones poden dormir en cada tenda de manera que en totes les tendes hi haja el mateix nombre de persones?

– Si Alba decideix emportar-se el menor nombre possible de tendes, quantes tendes agafarà i quantes persones dormiran en cada tenda?

3 cromos 8 piles 24 clarions

8 10 15

Programa d’ESTUDI EFICAÇEn acabar la unitat, demaneu a l’alumnat que complete aquesta taula:

Unitat 4. Múltiples i divisors

El que he aprésEl que he

aprés a fer

Múltiples d’un nombre

Mínim comú múltiple

Divisors d’un nombre

Criteris de divisibilitat

Nombres primers i compostos

Màxim comú divisor

UNITAT 4

6. • 18 és múltiple de 3.MCD (3 i 18) 5 3MCM (3 i 18) 5 18

• 4 és divisor de 32.MCD (4 i 32) 5 4MCM (4 i 32) 5 32

7. • És el menor múltiple comú, diferent de zero dels dits nombres.MCM (3, 6 i 8) 5 24MCM (2, 4 i 5) 5 20

• És el major divisor comú dels dits nombres.MCD (8, 12 i 16) 5 4MCD (15, 18 i 24) 5 3

8. • MCD (2 i 3) 5 1MCM (2 i 3) 5 6

• MCD (5 i 7) 5 1MCM (5 i 7) 5 35

• MCD (3 i 11) 5 1MCM (3 i 11) 5 33El MCD de dos nombres primers és 1 i el MCM és el producte d’ambdós.

9. • Sí. • No.• Sí. • No.

10. • 0, 15, 30, 45 i 60 • 24• 3, 6, 12 i 24 • 30

11. • 10 cromos: no. 40 piles: sí. 96 clarions: sí.

• R. M. 6 i 9 cromos, 16 i 32 piles, i 48 i 72 clarions.

12. • Les capses de 15 ros-ques.També pot utilitzar capses d’1, 3, 5, 9 i 45 rosques.

13. • MCD (28 i 20) 5 4Hi pot ficar 4 bolígrafs.

• MCM (4 i 6) 5 12Passen 12 hores. A les 7 de la vesprada.

• MCD (12 i 8) 5 4El costat farà 4 m.

Ets capaç de…• MCM (3, 4 i 5) 5 60

Alba s’endurà 60 persones.• Divisors de 60 entre 4 i 10: 4,

5, 6 i 10. Poden dormir 4, 5, 6 o 10 en cada tenda.60 : 10 5 6. Agafarà 6 tendes i dormiran 10 persones en cada tenda.

57

132255 _ 0086-0101.indd 99132255 _ 0086-0101.indd 99 21/9/09 11:36:2021/9/09 11:36:20

58

Solució de problemesFer una taulaEn alguns problemes és útil fer una taula que continga els nombres que compleixen

certes condicions. Resol els problemes següents d’aquesta manera.

Lurdes col·lecciona nines. En té menys de 40. En agrupar-les de 6 en 6 sobra 1 nina i en agrupar-les de 7 en 7 sobren 2 nines. Quantes nines té Lurdes?

▶ Fem una taula en la qual anirem posant els nombres que compleixen cada condició de l’enunciat del problema.

Els nombres que compleixen la primera condició es formen multiplicant 6 per 1, 2, 3… i sumant 1 al resultat. Els anotem en la primera fila de la taula.

De la mateixa manera, els nombres que compleixen la segona condició es formen multiplicant 7 per 1, 2, 3… i sumant 2 al producte. Els anotem en la segona fila de la taula.

El nombre de nines que té Lurdes és el nombre que es troba en ambdues files, ja que compleix les dues condicions de l’enunciat. És el nombre 37.

Solució: Lurdes té 37 nines.

1. Pere té menys de 60 cançons en l’MP3. Si les agrupa de 7 en 7, li’n sobren 3, i si les agrupa de 8 en 8, li’n queden 4. Quantes cançons té Pere en l’MP3?

2. En una cistella hi ha ous. N’hi ha menys de 60. En agrupar-los en dotzenes en sobren 7, mentre que si els agrupem de 5 en 5 no en sobra cap. Quants ous hi ha a la cistella?

3. Un conte té menys de 35 pàgines. En agrupar-les de 2 en 2 no en sobra cap, en agrupar-les de 3 en 3 no en sobra cap tampoc i en agrupar-les de 4 en 4 en sobren 2. Quantes pàgines té el conte? Hi ha més d’una solució?

4. INVENTA. Escriu un problema que es puga resoldre amb una taula. El pots fer semblant als problemes d’aquesta pàgina.

De 6 en 6

en sobra 1

6 3 1 1 1

7

6 3 2 1 1

13

6 3 3 1 1

19

6 3 4 1 1

25

6 3 5 1 1

31

6 3 6 1 1

37

De 7 en 7

en sobren 2

7 3 1 1 2

9

7 3 2 1 2

16

7 3 3 1 2

23

7 3 4 1 2

30

7 3 5 1 2

37

7 3 6 1 2

44

EX

1.

2.

3.

4.

5.

Altres activitats• Proposeu a l’alumnat altres problemes similars. Per exemple:

En el grup d’Àlvar hi ha menys de 35 alumnes. Si col·loquen les taules a l’aula de 3 en 3 o de 4 en 4, no en sobra cap, però si les hi col·loquen de 5 en 5, l’últim grup només en té 4. Quants alum-nes hi ha en el grup d’Àlvar?

• Al final, relacioneu les condicions del problema anterior amb els conceptes de múltiple i divisor treballats en la unitat. Comenteu que la solució serà un múltiple de 3 i de 4, però no de 5. Demaneu-los que ho comproven.

Objectius

• Fer una taula que reculla els nombres que compleixen les condicions de l’enunciat d’un problema per resoldre’l.

Suggeriments didàctics

Per a explicar

• Llegiu el problema resolt i plantegeu possibles solucions perquè l’alumnat raone si són vàlides o no. Aprofiteu per a comentar les condicions del problema, plante-jar-les matemàticament i cons-truir la taula a la pissarra. Rao-neu col·lectivament la solució, a partir dels nombres de la taula. Corregiu en comú les activitats proposades.

Competències bàsiques

Tractament

de la informació

L’organització de dades o expres-sió numèrica de condicions en tau-les fomenta en l’alumnat l’ordre i la sistematització en l’obtenció i maneig d’informació.

Solucions1. De 7 en 7: 10, 17, 24, 31, 38,

45, 52, 59. De 8 en 8: 12, 20, 28, 36, 44, 52.Pere té 52 cançons.

2. En dotzenes: 19, 31, 43, 55.De 5 en 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55.Hi ha 55 ous.

3. De 2 en 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28,30, 32, 34. De 3 en 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33. De 4 en 4: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34.Pot tindre 6, 18 o 30 pàgines. Hi ha més d’una solució.

4. R. L.

58

132255 _ 0086-0101.indd 100132255 _ 0086-0101.indd 100 11/9/09 07:17:2611/9/09 07:17:26

59

4

EXERCICIS

1. Completa les oracions.

● La potència 35 es llig ... La base és ... i l’... és 5.

● El quadrat de 6 és … i l’arrel quadrada de … és 6.

● L’arrel quadrada de 49 és … i el quadrat de … és 49.

2. Calcula.

● √25 ● √16 ● √100 ● √64

3. ESTUDI EFICAÇ. Copia i completa

l’esquema.

NOMBRES ENTERS

Enters positius: 11, 12… Situats en la recta entera a la …

Enters negatius: … Situats en la recta …

…

4. Ordena de menor a major.

● 16, 24, 0, 25

● 211, 11, 28, 13, 21

● 14, 27, 18, 22, 0, 16

5. Escriu les coordenades cartesianes

de cada punt.

6. Col·loca els nombres perquè les dues

igualtats siguen certes.

1 2 3

4 5 6

● 3 ( 2 ) 5 12

● 1 3 5 22

PROBLEMES

7. Marta baixa de casa al segon pis del garatge. Agafa la caixa de ferramenta que hi ha al maleter del cotxe i puja 7 pisos per anar al traster. A quin pis es troba el traster de Marta?

8. Elsa ha fet una estora quadrada cosint 64 peces de tela quadrades. Quantes peces hi ha en cada costat de l’estora?

9. Petra va anotar 12 punts en el partit de bàsquet, Laura el doble que ella i Manuel un quart dels punts de Laura. Quants punts van anotar entre els tres?

10. En una botiga van comprar 16 portàtils a 725 cada un i, un mes després, 12 més a 630 cada un. Més tard van vendre tots els ordinadors a 700 cada un. Van perdre o van guanyar diners en l’operació? Quants euros van ser?

11. Lluís va comprar 125 litres d’oli per 500 . Va pujar 1 el preu de cada litre i en va vendre 90 litres. Quants diners va obtindre per la venda?

Repassa

+4

+3

+2

+1

–1

–2

–3

–4

–4 –3 –2 –1 +1 +2 +3 +40

A

H

B

E

C

F

D

G

Repàs en comú• Dividiu els xiquets i xiquetes en grups i demaneu a cada grup que

prepare un quadern on recullen els conceptes i procediments estu-diats, cada un en una pàgina. Determineu en comú els títols i con-tinguts de cada una. Per exemple:

1. Múltiples i divisors: quan un nombre és múltiple o divisor d’un altre i un exemple de cada cas.

2. Mínim comú múltiple de dos nombres: què és i exemple.

3. Màxim comú divisor de dos nombres: què és i exemple.

4. Nombres primers i compostos: què són i exemples.

Al final, demaneu a cada grup que expose a la resta de companys de la classe una de les pàgines del seu quadern.

UNITAT 4

Solucions 1. • La potència 35 es llig 3 a la

cinquena o 3 a 5. La base és 3 i l’exponent és 5.

• El quadrat de 6 és 36 i l’ar-rel quadrada de 36 és 6.

• L’arrel quadrada de 49 és 7 i el quadrat de 7 és 49.

2. • √25 5 5 • √16 5 4

• √100 5 10 • √64 5 8

3. • Enters positius: 11, 12, 13, 14, 15, …Situats en la recta entera a la dreta de 0.

• Enters negatius: 21, 22, 23, 24, 25, …Situats en la recta entera a l’esquerra de 0.

• Zero: 0.

4. • 25 , 24 , 0 , 16

• 211 , 28 , 21 , 11 , , 13

• 27 , 22 , 0 , 1 4 , , 1 6 , 1 8

5. A ▶ (12, 12) B ▶ (0, 13)C ▶ (23, 12) D ▶ (22, 0)E ▶ (23, 22) F ▶ (0, 22)G ▶ (12, 23) H ▶ (11, 0)

6. 6 3 (3 2 1) 5 122 1 4 3 5 5 22

7. 22 1 7 5 1 5. El traster està al cinqué pis.

8. √64 5 8. En cada costat de l’estora hi ha 8 peces.

9. 12 1 12 3 2 1 12 3 2 : 4 5 5 42Van anotar 42 punts.

10. 16 3 725 1 12 3 630 5 5 19.160(16 1 12) 3 700 5 19.60019.600 2 19.160 5 440Van ser 440 €.

11. 500 : 125 5 44 1 1 5 590 3 5 5 450Va obtindre 450 €.

59

132255 _ 0086-0101.indd 101132255 _ 0086-0101.indd 101 11/9/09 07:17:2711/9/09 07:17:27

60

Angles 5

● Quant mesura l’angle que ha seguit la bola blanca en cada jugada? Quin tipus d’angle és: recte, agut o obtús?

● Si Miquel haguera colpejat amb la bola blanca la groga i després la roja, quin tipus d’angle hauria seguit la bola blanca?

● I si Pere haguera colpejat amb la bola blanca la bola groga abans que la roja?

Miquel, Sara i Pere juguen una partida de billar. El joc consisteix a aconseguir el major nombre possible de caramboles, és a dir, que la bola que es colpeja amb el tac pegue a les altres dues.

Abans de fer una tirada, per col·locar el tac correctament, cada jugador pensa en l’angle que ha de seguir la bola que colpejarà.

Fixa’t en les tres jugades de la il·lustració. La bola blanca ha seguit diferents angles i en els tres casos s’ha fet carambola.

Miquel

Sara

Pere

RE

T

T

1.

2.

3.

P

1

2

3

Altres formes de començar• Animeu i orienteu l’alumnat perquè busque a l’aula angles i els

assenyale. Per exemple: en un cantó de la paret o d’una taula, en unes lletres d’un rètol, en unes agulles de rellotge, en una porta o una caixa que s’obri… Comenteu en cada cas quins són els cos-tats i el vèrtex de l’angle i el tipus d’angle de què es tracta (agut, recte, obtús, pla o complet).

Objectius• Reconéixer situacions reals on

apareguen angles.

• Recordar els conceptes neces-saris per al desenvolupament de la unitat.

Suggeriments didàctics• Demaneu a l’alumnat que ob-

serve la fotografia. Llegiu el text i expliqueu en què consis-teix el billar i com influeix en aquest joc la capacitat d’ima-ginar un camí format per línies rectes i angles determinats. Interpreteu en comú les tres ti-rades representades i aprofiteu les preguntes per a comprovar el nivell de domini dels xiquets i xiquetes respecte al tema i re-passar continguts bàsics sobre angles.

• En Recorda el que en saps, re-passeu els tipus d’angles i el maneig del transportador per a mesurar i traçar angles de fins a 180º.

Competències bàsiques

Interacció

amb el món físic

És important que l’alumnat desco-brisca en la realitat els elements geomètrics que veu representats i que en trace quan treballa la uni-tat. Per exemple, els angles que descriuen objectes en moviment, com les boles de billar; l’angle que formen dues tiges o plans fixos, com un clau de ganxo o dues pa-rets; i en moviment, com un ventall o una porta en obrir-se, etc.

Competència

social i ciutadana

Aprofiteu la situació de partida per a mostrar la utilitat de les ma-temàtiques també en els jocs, al mateix temps que fomenteu en l’alumnat la sociabilitat, animant-lo a participar en activitats lúdi-ques en grup.

60

132255 _ 0102-0121.indd 104132255 _ 0102-0121.indd 104 11/9/09 07:16:4211/9/09 07:16:42

la

61

RECORDA EL QUE EN SAPS

● A reconéixer les unitats de mesura d’angles i les seues equivalències.

● A dibuixar i calcular la mesura de l’angle suma o diferència de dos angles donats.

● A reconéixer angles complementaris i suplementaris.

● A mesurar i traçar angles de més de 180º.

APRENDRÀS

Tipus d’angles

Traçat d’un angle

1. Mesura aquests angles i classifica’ls.

2. Dibuixa un angle de cada tipus: agut, recte, obtús, pla

i complet.

3. Traça aquests angles.

● A 5 20º ● C 5 45º ● E 5 168º

● B 5 100º ● D 5 135º ● F 5 180º

Per traçar un angle de 70º, segueix aquests passos:

1r Dibuixa una semirecta amb origen el punt A.

2n Col·loca el transportador de manera que el centre coincidisca amb el punt A i la semirecta passe per 0º, i dibuixa una ratlleta en la mesura 70º del transportador.

3r Dibuixa una altra semirecta amb origen el punt A que passe per la ratlleta marcada.

1r 2n 3r

▶ ▶ A 5 70ºAA A

Agut

Mesura menys de 90º.

Recte

Mesura 90º.

Obtús

Mesura més de 90º i menys de 180º.

Pla

Mesura 180º.

Complet

Mesura 360º.

Vocabulari de la unitat• Grau, minut, segon

• Sistema sexagesimal

• Angle suma i angle diferència

• Angles complementari i suplementari

• Angles consecutius i adjacents

• Transportador, escaire i cartabó

• Bisectriu d’un angle

Solucions

Pàgina inicial

• Miquel: 90º. Angle recte. Sara: 130º. Angle obtús. Pere: 45º. Angle agut.

• Un angle agut.

• Un angle recte.

Recorda el que en saps

1. Angle groc 5 145º.Obtús. Angle verd 5 90º. Recte.Angle blau 5 180º. Pla. Angle roig 5 35º. Agut.

2. R. L.

3.

UNITAT 5

61

A

EB

C

D

F

132255 _ 0102-0121.indd 105132255 _ 0102-0121.indd 105 11/9/09 07:16:4211/9/09 07:16:42

62

Unitats de mesura d’angles

Per a mesurar o dibuixar angles, utilitzem el transportador i expressem la mesura en graus.

A vegades necessitem expressar una mesura amb més precisió; aleshores utilitzem dues unitats menors que el grau: el minut i el segon.

1 grau 5 60 minuts 1 minut 5 60 segons 1º 5 60’ 1’ 5 60”

L’angle P mesura 65 graus, 42 minuts i 18 segons. ▶ P 5 65º 42’ 18” L’angle P mesura entre 65º i 66º.

El grau, el minut i el segon formen un sistema sexagesimal: cada unitat és 60 vegades més gran que la unitat immediata inferior.

Les unitats de mesura d’angles són el grau (º), el minut (’) i el segon (”). Aquestes unitats formen un sistema sexagesimal.

1’ 5 60” 1º 5 60’ 5 3.600”

1. Llig la mesura de cada angle i indica entre quines dues mesures en graus està.

A 5 42º 37’ 9” ▶ L’angle A mesura … graus, … minuts i … segons.

L’angle A mesura entre … i … graus.

B 5 80º 23’ 50” C 5 94º 7’ 36” D 5 128º 41’ E 5 159º 27”

2. Calcula i expressa en la unitat indicada.

En minuts

▶ Exemple: 18º 35’ 5 1.080’ 1 35’ 5 1.115’

3 60

● 17º ● 42º ● 9º 26’ ● 38º 54’ ● 41º 7’

3 3.600

En segons

▶ Exemple: 4º 31’ 52” 5 14.400” 1 1.860” 1 52” 5 16.312”

3 60

● 24’ ● 39º ● 64’ 45” ● 5º 34’ ● 7º 21’ 50”

● 70’ ● 81º ● 18º 27” ● 80º 9’ ● 42º 15’ 29”

P

3 60 3 60

grau minut segon

: 60 : 60

3.

4.

5.

Div

CÀ

Altres activitats• Dibuixeu a la pissarra parells d’angles de la mateixa amplitud, però

els costats dels quals tinguen diferent longitud. Per exemple:

Demaneu a uns quants alumnes que assenyalen els angles que mesuren el mateix i ho comproven amb un transportador. Raoneu en comú que la mesura d’un angle no depén de la longitud dels costats i, per això, podem prolongar els costats d’un angle per a mesurar-lo més fàcilment.

Objectius• Reconéixer el grau, el minut i el

segon com a unitats de mesura d’angles.

• Conéixer i utilitzar les equiva-lències entre les unitats d’un sistema sexagesimal.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Presenteu el grau com la unitat principal de mesura d’angles i comenteu alguna situació (p.e., en astronomia) en què cal fer servir unitats més xicotetes: el minut i el segon. Escriviu a la pissarra com es representen les tres unitats. Comenteu que amb el transportador només po-dem mesurar graus.

• Expliqueu que aquestes unitats formen un sistema sexagesi-mal, raoneu en comú a partir del quadre com es passa d’una unitat a una altra i resoleu-ne alguns exemples a la pissarra.

Per a reforçar

• Aprofiteu l’estratègia sobre re-llegir i explicar el procediment de la pàgina 54 del manual d’ESTUDI EFICAÇ, i demaneu a l’alumnat que explique com passem d’unes unitats de me-sura d’angles a altres.

Competències bàsiques

Tractament

de la informació

Mostreu a l’alumnat que en mate-màtiques, la informació està repre-sentada moltes vegades en forma de signes, com ara la representació de les unitats de mesura d’angles (º, ’, ’’).

Competència lingüística

Comenteu el doble significat de les paraules minut i segon, se-gons que es referisquen a la me-sura d’angles (’ i ’’) o de temps (min i s).

62

132255 _ 0102-0121.indd 106132255 _ 0102-0121.indd 106 11/9/09 07:16:4311/9/09 07:16:43

63

3. Calcula i completa.

240” 5 240 : 60 5 …’ 720’ 5 720 : 60 5 …º 18.000” 5 18.000 : 3.600 5 …º

1.380” 5 …’ 2.220’ 5 …º 68.400” 5 …º

2.700” 5 …’ 3.060’ 5 …º 122.400” 5 …º

4. Calcula i expressa en les unitats que s’indiquen.

5. Resol.

● Un concert va durar 135 minuts. Quantes hores i minuts va durar el concert?

● Lluc va parlar per telèfon durant 3 minuts i 7 segons. Quants segons va durar la telefonada?

● Un corredor de marató va tardar 12.603 segons a arribar a la meta. Quantes hores, minuts i segons va estar corrent?

5

529” 5 …’ …”

1.532” 5 …’ …”

866’ 5 …º …’

2.228’ 5 …º …’

32.590” 5 …º …’ …”

54.527” 5 …º …’ …”

74.096” 5 …º …’ …”

112.345” 5 …º …’ …”

Les unitats de temps (hores, minuts i segons) també formen un sistema sexagesimal.

POSA ATENCIÓ

FES-HO AIXÍ

● Quants minuts i segons són 456”?

segons ▶ 456 60 segons ▶ 36 7 ◀ minuts

456” 5 7’ 36”

● Quants graus i minuts són 582’?

minuts ▶ 582 60 minuts ▶ 42 9 ◀ graus

582’ 5 9º 42’

● Quants graus, minuts i segons són 19.791”?

segons ▶ 19791 60 179 329 ◀ minuts minuts ▶ 329 60 591 minuts ▶ 29 5 ◀ graus

segons ▶ 51

19.791” 5 329’ 51” 5 5º 29’ 51”

Divideix un nombre natural entre desenes i centenes

40 : 20 150 : 30 800 : 400 2.400 : 200

90 : 30 240 : 40 600 : 200 2.800 : 700

700 : 70 5.000 : 50 3.000 : 300 80.000 : 800

900 : 90 3.600 : 60 7.000 : 700 25.000 : 500

CÀLCUL MENTAL

: 40

800 80 20 : 10 : 4

Altres activitats• Entregueu a cada alumne quatre targetes de paper iguals i de-

maneu-los que escriguen en dues la mesura d’un angle en graus, minuts i segons, i en les altres dues, les mateixes mesures en segons (indiqueu-los que facen el càlcul en els dos sentits per assegurar-se que és correcte).

Formeu grups de quatre o cinc alumnes i demaneu-los que mesclen i col·loquen les seues targetes en dos muntons, segons el tipus d’expressió. Després, han de repartir les targetes d’un muntó i col·locar al centre les de l’altre. Cada un ha de fer el canvi d’unitat de les seues dues targetes i buscar al centre les corresponents.

Repetiu l’exercici repartint les targetes de l’altre muntó, perquè facen el canvi d’unitat invers.

Solucions1. • L’angle A mesura 42 graus,

37 minuts i 9 segons. Mesu-ra entre 42 i 43 graus.

• L’angle B mesura 80 graus, 23 minuts i 50 segons. Me-sura entre 80 i 81 graus.

• L’angle C mesura 94 graus, 7 minuts i 36 segons. Mesu-ra entre 94 i 95 graus.

• L’angle D mesura 128 graus i 41 minuts. Mesura entre 128 i 129 graus.

• L’angle E mesura 159 graus i 27 segons. Mesura entre 159 i 160 graus.

2. • 17º 5 1.020’ 42º 5 2.520’9º 26’ 5 566’38º 54’ 5 2.334’41º 7’ 5 2.467’

• 24’ 5 1.440”70’ 5 4.200”39º 5 140.400”81º 5 291.600”64’ 45” 5 3.885”18º 27” 5 64.827”5º 34’ 5 20.040”80º 9’ 5 288.540”7º 21’ 50” 5 26.510”42º 15’ 29” 5 152.129”

3. • 4’ • 12º • 5º23’ 37º 19º45’ 51º 34º

4. 8’ 49” 14º 26’25’ 32” 37º 8’

9º 3’ 10” 20º 34’ 56”15º 8’ 47” 31º 12’ 25”

5. • 135 : 60 ▶ q 5 2; r 5 15Va durar 2 hores i 15 minuts.

• 3 3 60 1 7 5 187Va durar 187 segons.

• 12.603 : 60 ▶ q 5 210; r 5 3210 : 60 ▶ q 5 3; r 5 30Va estar corrent 3 hores, 30 minuts i 3 segons.

Càlcul mental

• 2 5 2 123 6 3 410 100 10 10010 60 10 50

UNITAT 5

63

132255 _ 0102-0121.indd 107132255 _ 0102-0121.indd 107 11/9/09 07:16:4311/9/09 07:16:43

64

Suma d’angles

1. Calcula quant mesura cada angle suma.

Després, dibuixa els angles amb el transportador i comprova.

D 1 E D 1 F E 1 F

E 1 D F 1 D F 1 E

● Si canvies l’ordre dels angles que sumes, canvia la mesura de l’angle suma?

2. Observa la figura i calcula quant mesuren els angles roig, verd i blau.

● Angle roig 5 A 1 B ▶ …º 1 …º 5 …º

● Angle verd 5 … 1 … ▶ …º

● Angle blau 5 … 1 … 1 … ▶ …º

Alba i Daniel sumen els angles A i B.

A 5 32º 41’ 56”

B 5 112º 35’ 27”

● Alba dibuixa l’angle suma A 1 B.

1r Dibuixa l’angle A.

2n Dibuixa l’angle B com en el dibuix de la dreta. Fixa’t que A i B tenen el vèrtex i un costat comuns.

L’angle suma A 1 B és l’angle C.

● Daniel calcula la mesura de l’angle suma C.

1r Escriu la mesura dels angles A i B de manera que coincidisquen en columna les unitats del mateix ordre, i suma cada columna separadament.

2n Com que 83” . 60”, passa 83” a minuts i segons (83” 5 1’ 23”). Després, suma els minuts (76’ 1 1’ 5 77’).

3r Com que 77’ . 60’, passa 77’ a graus i minuts (77’ 5 1º 17’). Després, suma els graus (144º 1 1º 5 145º).

L’angle C mesura 145º 17’ 23”.

32º 41’ 56”1 112º 35’ 27”

144º 76’ 83”

1 1’ 23”

77’

1 1º 17’

145º

145º 17’ 23”

A 5 53º B 5 81º C 5 28º

A B

D 5 38º

E 5 62º

F 5 75º

A C B

A

C

B

3

4

5

6

Altres activitats• Plantegeu a l’alumnat una suma de tres angles expressats en

graus per calcular-la de forma gràfica i una suma de tres angles expressats en graus, minuts i segons (pot faltar alguna unitat en un o dos angles) per calcular-la numèricament.

Treballeu les dues sumes col·lectivament a la pissarra, comentant que el procediment és semblant a la suma de dos angles, i ani-meu l’alumnat a indicar i explicar cada pas del procés.

En el cas de la resolució gràfica, convé que l’angle suma siga me-nor que el pla, perquè l’alumnat no tinga dificultat a mesurar-lo i comprovar numèricament la suma efectuada. Per exemple: 63º 1 1 40º 1 35º 5 138º.

Objectius• Reconéixer i traçar l’angle suma

de dos angles donats.

• Calcular la mesura de l’angle suma de dos angles donats.

• Resoldre problemes de suma en el sistema sexagesimal.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Abans d’explicar la suma dels angles A i B del llibre, plante-geu altres casos més senzills per resoldre’ls:

– Dos angles expressats en graus. Com ara 60º 1 45º.

– Dos angles expressats en graus, minuts i segons, «sen-se portar-ne». Per exemple, 53º 24’ 36” 1 48º 31’ 9”.

• A l’hora de treballar la suma gràficament, feu insistència en la col·locació dels angles, mar-queu amb color l’angle suma i mostreu que la seua amplitud és la suma de les amplituds.

• Sumeu numèricament els an-gles a la pissarra, explicant per què són necessaris els passos 2 i 3 i com es duen a terme.

Per a reforçar

• Aprofiteu l’estratègia sobre in-ventar altres pràctiques sem-blants de la pàgina 56 del manual d’ESTUDI EFICAÇ, i de-maneu a l’alumnat que escriga la mesura de quatre angles en què falte una o dues de les uni-tats i que els sume de dos en dos.

Competències bàsiques

Autonomia

i iniciativa personal

Animeu l’alumnat a posar en pràctica el procediment de suma aprés en el sistema sexagesimal per resoldre problemes de suma de temps.

64

132255 _ 0102-0121.indd 108132255 _ 0102-0121.indd 108 21/9/09 11:40:1421/9/09 11:40:14

65

3. Calcula les sumes d’angles següents.

48º 15’ 27” 36º 20’ 54” 73º 48’ 12” 1 95º 41’ 26” 1 102º 19’ 47” 1 124º 37’ 26”

80º 36’ 24” 95º 42’ 17” 120º 27’ 54” 1 137º 52’ 43” 1 158º 35’ 43” 1 117º 32’ 46”

4. Calcula la mesura de l’angle suma.

K 5 107º 32’ 29” 1 58º 45”

L 5 98º 25’ 1 65º 37’ 18”

M 5 133º 47” 1 48º 52’ 36”

5. Resol.

● Durant el descans d’un programa de televisió han fet dos anuncis que han durat 58 segons i 2 minuts i 26 segons, respectivament. Quant de temps ha durat el descans?

● Maria va tardar 1 minut i 45 segons a fer un llarg en una piscina. Lídia hi va tardar 35 segons més que ella. Quant hi va tardar Lídia?

● Pau ha jugat aquesta setmana dos partits de tenis. El primer partit va durar 2 hores i 13 minuts i el segon, 1 hora i 57 minuts. Quant de temps van durar en total els dos partits?

● En una cursa ciclista, el guanyador va aconseguir passar la meta en 3 hores, 49 minuts i 25 segons. El seu company d’equip hi va tardar 14 minuts i 51 segons més que ell. Quant de temps va tardar el company a arribar a la meta?

6. RAONAMENT. Pensa i contesta.

Després, escriu un exemple que demostre cada resposta.

● Si se sumen dos angles aguts, l’angle suma pot ser agut? I recte? I obtús? I pla?

● Si se suma un angle recte i un angle agut, de quin tipus és l’angle suma?

● Si se sumen dos angles rectes, de quin tipus és l’angle suma?

5

Si falta alguna unitat, escriu 00 al seu lloc i fes l’operació.

POSA ATENCIÓ

Les unitats de temps (hora, minut i segon) també formen un sistema sexagesimal.

RECORDA

agut recte obtús pla

Altres activitats• Assenyaleu que, en molts esports, s’expressen els temps de les

proves en hores, minuts i segons, i es requereix la suma de temps per a establir les classificacions.

Escriviu a la pissarra una taula amb els temps fets per cinc ciclis-tes en dues etapes consecutives, per exemple, i indiqueu a l’alum-nat que calcule el temps total obtingut per cada ciclista.

A continuació, demaneu-los que ordenen els dits temps de menor a major, comparant de primer les hores; en cas d’igualtat, els mi-nuts i, finalment, els segons. Després, poden expressar tots els temps en segons com a comprovació de la comparació.

Solucions1. D 1 E 5 E 1 D 5 100º

D 1 F 5 F 1 D 5 113ºE 1 F 5 F 1 E 5 137º

• No canvia la mesura de l’an-gle suma.

2. • Roig 5 A 1 B ▶ 134º • Verd 5 B 1 C ▶ 109º • Blau 5 A 1 B 1 C ▶ 162º

3. 143º 56’ 53” 138º 40’ 41” 198º 25’ 38”218º 29’ 7”254º 18’238º 40”

4. K 5 165º 33’ 14” L 5 164º 2’ 18”M 5 181º 53’ 23”

5. • El descans ha durat 3 mi-nuts i 24 segons.

• Lídia hi va tardar 2 minuts i 20 segons.

• Els dos partits van durar en total 4 hores i 10 minuts.

• El company hi va tardar 4 ho-res, 4 minuts i 16 segons.

6. • Sí que pot ser agut. 45º 1 10º 5 55º Sí que pot ser recte.70º 1 20º 5 90ºSí que pot ser obtús.80º 1 60º 5 140ºNo pot ser pla.89º 1 89º 5 178º

• L’angle suma és obtús.90º 1 35º 5 125º

• L’angle suma és pla.90º 1 90º 5 180º

UNITAT 5

65

D 1 E

D 1 F

E 1 F

F 1 D

F 1 E

E 1 D

132255 _ 0102-0121.indd 109132255 _ 0102-0121.indd 109 11/9/09 07:16:4311/9/09 07:16:43

66

Resta d’angles

1. Calcula quant mesura cada angle diferència.

83º 2 27º 90º 2 48º 124º 2 65º 152º 2 113º

● Dibuixa els angles amb el transportador i comprova els càlculs.

2. Observa la figura i calcula quant mesuren els angles roig, verd i blau.

● Angle roig 5 F 2 E ▶ …º 2 …º 5 …º

● Angle verd 5 … 2 … ▶ …º

● Angle blau 5 … 2 … ▶ …º

Sergi i Natàlia resten l’angle A de l’angle B.

A 5 32º 41’ 56”

B 5 112º 35’ 27”

● Sergi dibuixa l’angle diferència B 2 A.

1r Dibuixa l’angle B.

2n Dibuixa l’angle A com es veu en el dibuix de la dreta. Fixa’t que A i B tenen el vèrtex i un costat comuns.

L’angle diferència B 2 A és l’angle D.

● Natàlia calcula la mesura de l’angle diferència D.

1r Escriu la mesura dels angles B i A de manera que coincidisquen en columna les unitats del mateix ordre.

2n Resta els segons. Com que no pot, passa 1 minut del minuend a segons (35’ 27” 5 34’ 87”). Després, resta els segons (87” 2 56” 5 31”).

3r Resta els minuts. Com que no pot, passa 1 grau del minuend a minuts (112º 34’ 5 111º 94’). Després, resta els minuts (94’ 2 41’ 5 53’).

4t Resta els graus (111º 2 32º 5 79º).

L’angle D mesura 79º 53’ 31”.

E 5 68º F 5 107º G 5 160º

A B

B

D

A

F

E

112º 35’ 27”– 32º 41’ 56”

34’ 87”112º 35’ 27”

2 32º 41’ 56”

31”

94’ 111º 34’ 87”112º 35’ 27”

2 32º 41’ 56”

53’ 31”

94’ 111º 34’ 87”112º 35’ 27”

2 32º 41’ 56”

79º 53’ 31”▶ ▶ ▶

1r 2n 3r 4t

G

3. C

●

●

4. C

5. O

●

6. R

Rs

●

●

●

Calc

CÀL

Altres activitats• Com en la suma, proposeu exercicis per a restar temps expressats

en hores, minuts i segons. Per exemple, escriviu a la pissarra el temps que han tardat cinc persones a cobrir el recorregut d’una volta a peu popular.

Feu-los preguntes semblants a aquestes: Quant de temps va tar-dar Arnau a arribar a la meta més que Àngela? Quant de temps va traure el primer corredor al segon? I a l’últim?

Després, plantegeu altres preguntes en què hagen de resoldre una suma, perquè trien l’operació que han d’efectuar i la calculen. Per exemple: qui va arribar a la meta 26 minuts i 4 segons després que Mariola?

Objectius• Reconéixer i traçar l’angle dife-

rència de dos angles donats.

• Calcular la mesura de l’angle di-ferència de dos angles donats.

• Resoldre problemes de resta en el sistema sexagesimal.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Abans d’explicar com es resten els angles A i B presentats en el llibre, plantegeu altres casos més senzills per resoldre gràfi-cament i numèricament:

– Dos angles expressats en graus. Per exemple, 75º 2 2 34º.

– Dos angles expressats en graus, minuts i segons, «sen-se portar-ne». Per exemple, 68º 34’ 50” 2 47º 19’ 24”.

• A l’hora de treballar la resta gràficament, feu insistència en la col·locació dels angles, mar-queu amb color l’angle diferèn-cia i comenteu-ne les semblan-ces i diferències amb la suma.

• Plantegeu la resta dels angles A i B del llibre. Feu el càlcul nu-mèric a la pissarra, i expliqueu per què són necessaris els canvis d’unitat en els passos 2 i 3, i com es fan.

• Expliqueu el Fes-ho així de l’ac-tivitat 5 com un cas particular de les restes de l’activitat 4 (hi falta alguna unitat), perquè és necessari fer dos canvis d’uni-tat abans de restar.

Per a reforçar

• Aprofiteu l’estratègia de detec-tar errors en el procediment de la pàgina 58 del manual d’ES-TUDI EFICAÇ i, una vegada cor-regides les activitats 3, 4 i 5, demaneu a l’alumnat que haja fallat en algun exercici que el repasse i explique on ha comés l’error i per què.

66

132255 _ 0102-0121.indd 110132255 _ 0102-0121.indd 110 11/9/09 07:16:4411/9/09 07:16:44

3º

67

3. Calcula aquestes restes d’angles.

● 94º 40’ 38” 2 75º 16’ 21” ● 137º 23’ 7” 2 15º 21’ 38”

● 126º 18’ 30” 2 87º 25’ 17” ● 172º 38’ 43” 2 125º 46’ 50”

4. Calcula aquestes restes d’angles.

P 5 78º 45’ 20” 2 35º 17’ R 5 118º 29’ 2 83º 5’ 42”

Q 5 65º 28’ 34” 2 47º 53” S 5 124º 52” 2 93º 13’ 26”

5. Observa l’exemple i calcula.

● L 5 142º 18” 2 65º 53’ 24” ● M 5 173º 37” 2 108º 21’ 56”

6. Resol.

Recorda que les unitats de temps (hores, minuts i segons) se sumen i es resten igual que les unitats de mesura d’angles.

● Olga ha gravat una pel·lícula que dura 1 hora i 43 minuts en una cinta de 3 hores. Quant de temps queda a la cinta sense gravar?

● En una cursa popular, Alba va arribar a la meta en 2 hores, 43 minuts i 18 segons, i Lluc, en 3 hores, 9 minuts i 58 segons. Quant de temps va tardar Lluc més que Alba a arribar a la meta?

● L’ordinador de Mireia fa cada 5 minuts una còpia del que ella escriu perquè no es perda. Fa 2 minuts i 19 segons, l’ordinador ha gravat una còpia. Quant de temps falta perquè en grave una altra?

5

Calcula la fracció d’un nombre

15

de 20 17

de 42 25

de 30 23

de 18

16

de 36 19

de 63 34

de 12 35

de 15

CÀLCUL MENTAL

2

3 de 30

30 60 203 2 : 3

Si falta alguna unitat, escriu 00 al seu lloc.

RECORDA

FES-HO AIXÍ

K 5 129º 37” 2 58º 12’ 40”

59’ 128º 60’ 128º 60’ 97” 129º 00’ 37” 129º 00’ 37” 129º 00’ 37” – 58º 12’ 40” 2 58º 12’ 40” 2 58º 12’ 40”

70º 47’ 57”▶ ▶

Altres activitats• Per a practicar la resta, i com a introducció al concepte d’angles

complementari i suplementari, plantegeu a l’alumnat les preguntes següents, amb diversos exemples:

– Quant falta a l’angle A (expressat en graus o graus i minuts o graus, minuts i segons) per a ser un angle recte?

– I per a ser un angle pla?

Després d’efectuar cada càlcul numèric, resoleu també la resta gràficament a la pissarra.

Competències bàsiques

Aprendre a aprendre

La verbalització del procés se-guit quan es calculen restes en el sistema sexagesimal afavoreix l’aprenentatge significatiu. En els casos més complicats, plantegeu a l’alumnat preguntes que l’aju-den a reflexionar sobre els pas-sos que ha de seguir.

Solucions1.

• 56º • 42º • 59º • 39º

2. • Roig 5 F 2 E ▶ 39º

• Verd 5 G 2 F ▶ 53º

• Blau 5 G 2 E ▶ 92º

3. • 19º 24’ 17” • 122º 1’ 29”

• 38º 53’ 13” • 46º 51’ 53”

4. P 5 43º 28’ 20”Q 5 18º 27’ 41”R 5 35º 23’ 18”S 5 30º 47’ 26”

5. • L 5 76º 6’ 54” • M 5 64º 38’ 41”

6. • Queda sense gravar 1 hora i 17 minuts.

• Lluc hi va tardar 26 minuts i 40 segons més que Alba.

• Falten 2 minuts i 41 segons perquè grave la còpia se-güent.

Càlcul mental

• 4 6 12 126 7 9 9

UNITAT 5

67

56º 42º

39º59º

132255 _ 0102-0121.indd 111132255 _ 0102-0121.indd 111 11/9/09 07:16:4411/9/09 07:16:44

68

Angles complementaris i suplementaris

1. Observa els angles i contesta.

● Com són els angles G i H, complementaris o suplementaris? Per què?

● Quant mesura l’angle H? Com ho has calculat?

● Com són els angles J i K, complementaris o suplementaris? Per què?

● Quant mesura l’angle K? Com ho has calculat?

2. Calcula l’angle que s’indica.

● 27º ● 81º 34’ ● 27º ● 40º 15’ 50”

● 63º ● 40º 15’ 50” ● 148º ● 126º 39”

3. Pensa i contesta.

● Dos angles consecutius:

– Poden ser complementaris?

– Són sempre complementaris?

– Poden ser suplementaris?

● Dos angles adjacents:

– Poden ser complementaris?

– Són sempre suplementaris?

Observa en cada cas quant mesura l’angle suma.

A 5 32º

B 5 58º

C 5 A 1 B 5 32º 1 58º 5 90º

L’angle suma C és un angle recte.

A i B són angles complementaris.

D 5 75º

E 5 105º

F 5 D 1 E 5 75º 1 105º 5 180º

L’angle suma F és un angle pla.

D i E són angles suplementaris.

● Dos angles són complementaris si la seua suma és igual a 90º.

● Dos angles són suplementaris si la seua suma és igual a 180º.

HG 5 50º

E

F

D B

C

A

J 5 130ºK

L’angle complementari

L’angle suplementari

RECORDA

● Els angles consecutius tenen el vèrtex i un costat comuns.

● Els angles adjacents són angles consecutius amb els costats no comuns en la mateixa recta.

1. C

An

L

P

1

2

Pe

1r

2n

2

3

TAL

Altres activitats• Dibuixeu a la pissarra la figura següent i demaneu a l’alumnat que,

sense mesurar els angles pintats, calcule quant mesura cada un.

Feu al final una posada en comú perquè l’alumnat diga la mesura de cada angle i justifique, en cada cas, si ha calculat l’angle com-plementari o suplementari i de quin angle.

Objectius• Reconéixer gràficament angles

complementaris i suplementa-ris.

• Calcular la mesura de l’angle complementari o suplementari d’un angle donat.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Demaneu a l’alumnat que ob-serve els exemples del llibre i caracteritze cada tipus d’angle en funció del valor de la seua suma.

• Treballeu a la pissarra l’activitat 1, raonant en comú la forma de trobar l’angle complementari o suplementari d’un angle donat, restant el dit angle de 90º o 180º, respectivament.

Competències bàsiques

Competència lingüística

Fomenteu en l’alumnat l’ús correc-te i rigorós del vocabulari matemà-tic específic per a definir i descriu-re els tipus d’angles

Solucions1.

• G i H són complementaris

perquè la seua suma és un angle recte.

• H 5 90º 2 50º 5 40º • J i K són suplementaris per-

què la seua suma és un an-gle pla.

• K 5 180º 2 130º 5 50º

2. • Complementaris:

63º 8º 26’27º 49º 44’ 10”

• Suplementaris:153º 139º 44’ 10”32º 53º 59’ 21”

3. • – Sí que poden ser-ho.

– No sempre ho són.– Sí que poden ser-ho.

• – No poden ser-ho.– Sí, sempre ho són.

68

30º

120º26º

64º

132255 _ 0102-0121.indd 112132255 _ 0102-0121.indd 112 11/9/09 07:16:4411/9/09 07:16:44

50”

69

5

1. Calcula la mesura d’aquests angles de més de 180º i explica com ho fas.

Angles de més de 180º

L’angle A mesura més de 180º.

Pots mesurar l’angle A de dues maneres diferents.

L’angle A mesura 225º.

1r Prolonga un dels costats de l’angle A i mesura amb el transportador l’angle B .

B 5 45º

2n Calcula la mesura de l’angle A.

A 5 180º 1B 5 180º 1 45º 5 225º

1r Mesura amb el transportador l’angle C.

C 5 135º

2n Calcula la mesura de l’angle A.

A 5 360º 2 C 5 360º 2 135º 5 225º

A A

A

B C

Per dibuixar un angle de 210º:

1r Dibuixa un angle de 180º.

2n Traça un angle de 30º (210º 2 180º) amb el mateix vèrtex.

L’angle roig mesura 210º.

2. Traça un angle de 220º i un altre de 235º.

3. Traça un angle de 60º i contesta.

● Se t’acut alguna manera ràpida d’obtindre un angle de 300º?

1r

210º

180º

30º

2n

TALLER Traçat d’angles de més de 180º

▶

UNITAT 5

Objectius• Mesurar i traçar angles de més

de 180º.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Dibuixeu a la pissarra un angle de més de 180º i expliqueu com es pot mesurar a partir de l’angle pla i de l’angle complet. Mostreu que són dues formes diferents d’aconseguir el ma-teix resultat.

• Si disposeu d’un transportador d’angles complet, expliqueu que s’utilitza de manera semblant al transportador habitual, mesurant directament l’angle sense haver de fer càlculs.

Competències bàsiques Competència

cultural i artística

Demaneu a l’alumnat que faça di-buixos lliures formats per rectes i angles. Potencieu i valoreu el gust estètic dels treballs.

Solucions1. • Verd ▶ 180º 1 90º 5 270º 360º 2 90º 5 270º

• Blau ▶ 180º 1 130º 5 310º 360º 2 50º 5 310º

• Roig ▶ 180º 1 45º 5 225º 360º 2 135º 5 225º

2.

3.

69

Altres activitats• Dibuixeu a la pissarra l’esfera d’un rellotge i marqueu-hi una hora,

per exemple les 2 i mitja. Feu-los observar que les dues agulles són els costats de dos angles distints, un de menor i un altre de major que 180º (o ambdós de 180º), i que la seua suma és 360º.

Demaneu a un alumne que mesure amb el transportador del ma-terial d’aula l’angle menor per esbrinar la mesura del major, i que explique com ho ha fet.

• Perquè practiquen el traçat de l’angle, podeu dibuixar al rellotge una de les agulles i indicar a un alumne que hi dibuixe l’altra, de manera que ambdós formen un angle determinat, per exemple de 200º, i que diga quina hora marca. Raoneu amb ells que poden dibuixar dues possibles agulles al rellotge.

220º

235º

360º 2 60º 5 300º

132255 _ 0102-0121.indd 113132255 _ 0102-0121.indd 113 11/9/09 07:16:4411/9/09 07:16:44

70

6. Observa els angles donats i calcula quant

mesuren els angles M i N .

J 5 90º K 5 54º 26’ 14” L 5 90º

7. Observa el dibuix de l’activitat 6

i escriu dos angles complementaris

i dos de suplementaris.

8. ESTUDI EFICAÇ. Completa les oracions

i traça un exemple en cada cas.

● Dos angles són complementaris …

● Dos angles són suplementaris …

9. Calcula.

● P 5 50º ● T 5 99º

● Q 5 67º 12’ ● U 5 132º 36’

● R 5 37º 25’ 48” ● V 5 78º 5’ 23”

● S 5 64º 39” ● W 5 45º 50”

10. Pensa i contesta.

● Quins parells d’angles poden ser angles complementaris?

● Quins parells d’angles poden ser angles suplementaris?

Activitats

1. Expressa en les unitats indicades.

● 36º 5 …’ 5 …”

● 27º 45’ 5 …’ 5 …”

● 14º 51” 5 …”

● 8º 32’ 29” 5 …”

● 97.200” 5 …’ 5 …º

● 2.618’ 5 …º …’

● 3.365” 5 …’ …”

● 116.061” 5 …º …’ …”

2. Calca i dibuixa els angles que s’indiquen.

Marca els angles suma o diferència de color roig.

● B 1 A ● C 1 B ● C 1 A

● B 2 A ● C 2 B ● C 2 A

3. Calcula i comprova.

Mesura els angles A, B i C de l’activitat 2, calcula la mesura de cada angle suma i angle diferència, i comprova els dibuixos.

4. Calcula aquestes sumes d’angles.

● 48º 35’ 52” 1 36º 10’ 27”

● 95º 28’ 16” 1 42º 53’ 34”

● 126º 43’ 25” 1 54º 21’ 49”

● 142º 37” 1 86º 45’ 38”

5. Calcula aquestes restes d’angles.

● 90º 18’ 56” 2 65º 57’ 32”

● 105º 23’ 34” 2 72º 40’ 58”

● 123º 47’ 2 108º 35’ 26”

● 141º 19” 2 94º 42’ 37”

L’angle suplementari

L’angle complementari

Dos angles aguts. Dos angles rectes. Dos angles obtusos. Un angle agut i un angle obtús.

B C

A

M

J K

L

N

11

12

13

ET

Altres activitats• Indiqueu a cada alumne que dibuixe en un full tres rectes que es

tallen i que almenys dues d’aquestes partisquen d’un cantó del full. A continuació, demaneu-los que assenyalen de diferent color cada un dels angles següents:

– Un angle agut, recte, obtús, pla, de més de 180º i complet.

– Dos angles complementaris i dos angles suplementaris.

Demaneu a l’alumnat que busque en el seu full angles formats per la suma o resta d’altres angles i que n’explique alguns als companys. Per exemple: L’angle pla és la suma d’un angle agut i un angle obtús que són suplementaris…

Objectius• Repassar els continguts bàsics

de la unitat.

• Aplicar les matemàtiques en distints contextos.

Competències bàsiques

Aprendre a aprendre

A l’hora de corregir les activitats, demaneu a l’alumnat que verbalit-ze els passos seguits per a resol-dre-les. Açò ajudarà a consolidar l’aprenentatge dels processos.

Solucions1.

• 36º 5 2.160’ 5 129.600”

• 27º 45’ 5 1.665’ 5 5 99.900”

• 14º 51” 5 50.451” • 8º 32’ 29” 5 30.749” • 97.200” 5 1.620’ 5 27º • 2.618’ 5 43º 38’ • 3.365” 5 56’ 5” • 116.061” 5 32º 14’ 21”

2.

3. • B

1 A 5 90º 1 45º 5 135º

• B 2 A 5 90º 2 45º 5 45º • C 1 B 5 125º 1 90º 5

5 215º • C 2 B 5 125º – 90º 5 35º • C 1 A 5 125º 1 45º 5

5 170º • C – A 5 125º 2 45º 5 80º

4. • 84º 46’ 19” • 138º 21’ 50” • 181º 5’ 14” • 228º 46’ 15”

5. • 24º 21’ 24” • 15º 11’ 34” • 32º 42’ 36” • 46º 17’ 42”

6. • M 5 J 1 K 5 144º 26’ 14” • N 5 L 2 K 5 35º 33’ 46”

70

B 1 A

C 1 B

C 1 A C 2 A

B 2 A

C 2 B

132255 _ 0102-0121.indd 114132255 _ 0102-0121.indd 114 11/9/09 07:16:4511/9/09 07:16:45

3”

s

s

71

Recorda quant mesuren els angles d’un escaire i d’un cartabó.

– Dibuixa els angles següents, repassant dos costats d’un escaire o un cartabó.

● 30º ● 60º

● 45º ● 90º

– Dibuixa aquests angles utilitzant un escaire i un cartabó. Pensa quins dos angles has de sumar.

75º 5 45º 1 30º ● 75º 5 45º 1 …º

● 105º 5 60º 1 …º

● 120º 5 90º 1 …º

● 135º 5 …º 1 …º

● 150º 5 …º 1 …º

5

11. Mesura aquests angles.

12. Dibuixa aquests angles.

● D 5 210º ● F 5 270º ● H 5 340º

13. Dibuixa un triangle que tinga un angle

recte i un altre de 50º.

● Quant mesura el tercer angle?

14. Resol.

● Una màquina té un comptador que indica el temps de funcionament. Ara marca 24.673 segons. Quantes hores, minuts i segons fa que funciona la màquina?

● Antoni va fer un viatge amb tren que havia de durar 4 hores i 48 minuts. Per una avaria, va arribar amb 1 hora i 23 minuts de retard. Quant de temps va durar el viatge?

● En una prova d’esquí, Paula tenia com a marca més bona 7 minuts i 3 segons. Hui l’ha rebaixada en 5 segons. En quant de temps ha fet la prova?

ETS CAPAÇ DE… Traçar angles amb escaire i cartabó

90º90º

45º 45º 30º

60º

30º ▶

UNITAT 5

71

Programa d’ESTUDI EFICAÇ• En acabar la unitat, feu que l’alumnat complete aquesta taula:

Unitat 5 Angles

El que he aprésEl que he aprés

a fer

Unitats de mesura d’angles

Suma d’angles

Resta d’angles

Angles complementaris i suplementaris

Angles de més de 180º

210º 270º 340º

7. • Complementaris: N i K.

• Suplementaris: M i N

o J i L.

8. • Són complementaris si la seua suma és igual a 90º. Exemple: 60º i 30º.

• Són suplementaris si la

seua suma és igual a 180º. Exemple: 80º i 100º.

9. Comp. • 40º • 81º • 22º 48’ • 47º 24’ Supl. • 52º 34’ 12” • 101º 54’ 37” • 25º 59’ 21” • 134º 59’ 10”

10. • Dos angles aguts.

• Poden ser suplementaris un

angle agut i un d’obtús, i su-plementaris dos de rectes.

11. • Angle roig 5 270º

• Angle verd 5 320º

• Angle taronja 5 240º

12.

13. El tercer angle mesura 40º.

14. • Funciona des de fa 6 hores, 51 minuts i 13 segons.

• El viatge va durar 6 hores i

11 minuts.

• Ha fet la prova en 6 minuts

i 58 segons.

Ets capaç de…

• 75º 5 45º 1 30º• 105º 5 60º 1 45º• 120º 5 90º 1 30º• 135º 5 90º 1 45º• 150º 5 90º 1 60º

50º

45º60º 90º

105º

135º

120º

150º

132255 _ 0102-0121.indd 115132255 _ 0102-0121.indd 115 11/9/09 07:16:4511/9/09 07:16:45

72

Solució de problemesFer un dibuixEn alguns problemes, sobretot geomètrics, és útil fer un dibuix

que represente l’enunciat. Resol aquests problemes d’aquesta manera.

Montse ha dibuixat un angle de 40º i l’angle suplementari. Després ha traçat les bisectrius dels dos angles. Quin angle formen les bisectrius?

▶ Fem el dibuix seguint les condicions de l’enunciat. Tracem els dos angles i les seues bisectrius i mesurem l’angle que formen.

Solució: L’angle format per les dues bisectrius mesura 90º.

1. Lluïsa ha dibuixat un angle de 80º i el suplementari, i n’ha traçat les bisectrius. Quin angle formen les bisectrius dels dos angles?

2. Dibuixa dos angles suplementaris, els que vulgues, i traça’n les bisectrius. Quin angle formen? Passa el mateix amb qualsevol parell d’angles suplementaris?

3. Marta dibuixa un angle de 60º i el complementari. Després traça les bisectrius dels dos angles. Quin angle formen les bisectrius? Passa el mateix amb qualsevol parell d’angles complementaris?

1r Dibuixem l’angle de 40º.

3r Tracem les bisectrius dels dos angles.

2n Dibuixem l’angle suplementari allargant un costat.

4t Mesurem l’angle que formen les dues bisectrius: és 90º.

▶

▶

140º 40º40º

70º

70º20º

20º

90º

EX

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Altres activitats• Abans de resoldre els problemes presentats en aquesta pàgina,

proposeu a l’alumnat altres problemes similars més senzills, amb un únic angle. Per exemple, indiqueu-los que dibuixen un angle de-terminat: agut, recte, obtús, pla o de més de 180º, i que hi tracen la bisectriu. Pregunteu-los en cada cas quin tipus d’angle forma la bisectriu amb un dels costats de l’angle.

Animeu-los a contestar per raonament i demaneu-los que després en dibuixen un exemple i el comproven.

Objectius• Resoldre problemes geomè-

trics fent un dibuix que repre-sente l’enunciat.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Recordeu què és la bisectriu d’un angle i com es traça.

Per a explicar

• Llegiu l’enunciat i pregunteu a l’alumnat si comprén tots els termes que hi ha.

A continuació, torneu a llegir l’enunciat, frase a frase, i di-buixeu en cada cas l’element anomenat, mentre l’alumnat ho repeteix en un full. Al final, mesureu l’angle i digueu la so-lució del problema.

Competències bàsiques

Autonomia

i iniciativa personal

La resolució d’aquests problemes potencia l’exercici de l’alumnat i el capacita per a enfrontar-se amb altres situacions menys dirigides.

Solucions1.

Formen un angle de 90º.

2. Dibuix: R. L.Formen un angle de 90º. Sí, les bisectrius de dos an-gles suplementaris sempre formen un angle de 90º.

3.

Formen un angle de 45º. Sí, les bisectrius de dos angles com-plementaris sempre formen un angle de 45º.

72

9 0º

45º

132255 _ 0102-0121.indd 116132255 _ 0102-0121.indd 116 11/9/09 07:16:4511/9/09 07:16:45

73

5

EXERCICIS

1. Escriu com es llig cada nombre. Després,

fes-ne la descomposició.

● 102.468 ● 34.520.127

● 7.400.056 ● 705.032.091

2. Ordena de major a menor cada grup

de nombres.

● 235.120, 234.999, 240.000, 30.000, 235.200

● 6.045.098, 6.050.000, 700.000, 7.000.024, 6.045.100

3. Expressa cada producte com una potència

i escriu com es llig.

● 4 3 4 3 4 ● 3 3 3 3 3 3 3

● 9 3 9 ● 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8

4. Completa.

72 5 … i √49 5 … √36 5 … i … 5 36

52 5 … i √25 5 … √81 5 … i … 5 81

5. Ordena cada grup de menor a major.

● 27, 211, 14, 26

● 22, 23, 26, 28, 24

● 13, 19, 0, 22

● 0, 16, 27, 15, 29

6. ESTUDI EFICAÇ. Contesta.

● És 18 múltiple de 6? Per què?

● És 6 divisor de 18? Per què?

● Què és el MCD de dos nombres?

● Què és el MCM de dos nombres?

7. Calcula.

● Quatre múltiples de 7. ● MCD (12 i 20)

● Tres divisors de 24. ● MCM (9 i 12)

PROBLEMES

8. Maite va a la consulta del dentista cada 4 mesos i Lluís, cada 9 mesos. Hui hi han coincidit. Quant de temps passarà fins que tornen a coincidir-hi?

9. Manuela es trobava a la primera planta del garatge. Va pujar quatre pisos en ascensor fins a casa i després va baixar dos pisos fins a la casa de Petra. A quins pisos viuen Manuela i Petra?

10. Una urbanització té 4 blocs, cada bloc té 4 plantes, en cada planta hi ha 4 habitatges i cada habitatge té 4 habitacions. Quantes habitacions hi ha als blocs de la urbanització?

11. El mes passat van entrar en unes coves 5 grups de 78 persones i 2 grups de 57 persones. Aquest mes hi podrà entrar el mateix nombre total de persones, però formant 6 grups iguals. Quants visitants tindrà cada grup?

12. Leonor va vendre 36 polseres en la fira d’artesania. La meitat les va vendre a 25 cada una, un terç a 19 cada una i les restants les va vendre a 18 cada una. Quant va obtindre Leonor per la venda de les polseres?

13. Carme va vore una enciclopèdia de 15 toms iguals que costava 390 . Per comprar-la al comptat, el propietari de la llibreria li va rebaixar 45 . Quant li va costar cada tom de l’enciclopèdia?

RepassaUNITAT 5

Solucions 1. R. M. 102.468 ▶ Cent dos

mil quatre-cents seixanta-huit. 1 CM 1 2 UM 1 4 C 1 1 6 D 1 8 U.

2. • 240.000 . 235.200 . . 235.120 . 234.999 . . 30.000

• 7.000.024 . 6.050.000 .

. 6.045.100 .

. 6.045.098 . 700.000

3. • 43 ▶ quatre al cub • 92 ▶ nou al quadrat • 34 ▶ tres a la quarta • 86 ▶ huit a la sisena

4. • 72 5 49 i √49 5 7 • 52 5 25 i √25 5 5 • √36 5 6 i 62 5 36 • √81 5 9 i 92 5 81

5. • 211 , 27 , 26 , 14 • 28 , 26 , 24 , 23 , 22 • 22 , 0 , 13 , 19 • 29 , 27 , 0 , 15 , 16

6. • Sí, perquè 18 : 6 és exacta. • Sí, perquè 18 : 6 és exacta. • És el major divisor comú

d’ambdós nombres. • És el menor múltiple comú,

diferent de zero, dels dits nombres.

7. • 0, 7, 14 i 21 • Divisors de 24: 1, 2, 3, 4,

6, 8, 12 i 24 • MCD (12 i 20) 5 4 • MCM (9 i 12) 5 36

8. MCM (4 i 9) 5 36 Passaran 36 mesos.

9. Manuela viu al tercer pis i Pe-tra al primer.

10. Hi ha 256 (44) habitacions.

11. 5 3 78 1 2 3 57 5 504504 : 6 5 84Tindrà 84 visitants.

12. 36 : 2 5 18; 18 3 25 5 45036 : 3 5 12; 12 3 19 5 22836 – (18 1 12) 5 66 3 18 5 108450 1 228 1 108 5 786 Va obtindre 786 €.

13. 390 2 45 5 345345 : 15 5 23Cada tom li va costar 23 €.

73

Repàs en comú• Formeu a classe grups de quatre alumnes i entregueu a cada grup

dos fulls, perquè presenten en cada un un contingut:

– Full 1: Tipus d’angles. Dibuixar-hi cada angle i escriure davall de cada un com es diu i quant mesura.

– Full 2: Angles complementaris i suplementaris. Dibuixar-hi cada parell d’angles i escriure davall de cada cas quant mesura en forma de suma.

– Full 3: Suma d’angles. Escriure-hi quatre sumes d’angles, sense portar-ne i portant-ne, amb totes les unitats o faltant-ne alguna.

– Full 4: Resta d’angles. Escriure-hi quatre restes d’angles, sense portar-ne i portant-ne, amb totes les unitats o faltant-ne alguna.

132255 _ 0102-0121.indd 117132255 _ 0102-0121.indd 117 11/9/09 07:16:4611/9/09 07:16:46

118

74

Repàs trimestral

1. Descompon cada nombre.

● 9.805.071 ● 304.080.150 ● 786.000.903

● 40.062.500 ● 460.128.007 ● 936.410.020

5. Escriu l’expressió polinòmica de cada nombre.

● 85.473 ● 4.007.952 ● 280.560.370

● 320.609 ● 76.803.041 ● 906.047.158

7. Expressa amb nombres enters.

● La quarta planta d’un edifici i el segon soterrani.

● El nivell del mar i una profunditat de 200 metres.

● Una temperatura de 30 ºC i una altra de 5 ºC davall zero.

8. Compara i escriu el signe > o <.

● 14 17

● 23 26

● 0 22

● 0 11

● 21 11

● 18 28

● 13 25

● 24 12

3. Ordena cada grup de nombres com s’indica.

● De major a menor: 29.650.792 28.109.200 179.536.048 179.507.960

● De menor a major: 341.287.000 348.095.068 341.576.048 39.100.289 279.250.800

4. Expressa cada producte en forma de potència i escriu com es llig.

● 5 3 5 3 5 ● 7 3 7 ● 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6

● 3 3 3 3 3 3 3 ● 9 3 9 3 9 3 9 3 9 ● 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8

● Dos-cents nou milions cinquanta mil sis-cents trenta-u.

● Quatre-cents huitanta-set milions cent noranta-sis.

● Sis-cents milions cinc-cents quinze mil tres-cents setanta.

● Nou-cents vint-i-quatre milions seixanta-huit mil dos.

NOMBRES

2. Escriu.

Amb lletres

Amb xifres

● 27.560.000

● 168.051.200

● 594.307.085

● 903.062.040

6. Dibuixa una recta entera i representa-hi aquests nombres. Després, completa.

● A l’esquerra de 0 se situen els nombres...

● A la dreta de 0 se situen els nombres...13 24 0 12 21 15

9.

10

OP

1.

2.

3.

4.

5.

Repàs trimestralNOMBRES

1. • 9 U. de milió 1 8 CM 1 1 5 UM 1 7 D 1 1 U 55 9.000.000 1 800.000 11 5.000 1 70 1 1

• 4 D. de milió 1 6 DM 1 1 2 UM 1 5 C 55 40.000.000 1 60.000 11 2.000 1 500

• 3 C. de milió 1 4 U. de milió 1 8 DM 1 1 C 1 1 5 D 5 300.000.000 11 4.000.000 11 80.0001 100 1 50

• 4 C. de milió 1 6 D. demilió 1 1 CM 1 2 DM 1 1 8 UM 1 7 U 5 5 400.000.000 11 60.000.000 1 100.000 11 20.000 1 8.000 1 7

• 7 C. de milió 1 8 D. de milió 1 6 U. de milió 1 1 9 C 1 3 U 5 5 700.000.000 11 80.000.000 1 1 6.000.000 1 900 1 3

• 9 C. de milió 1 3 D. de milió 1 6 U. de milió 1 1 4 CM 1 1 DM 1 2 D 55 900.000.000 11 30.000.000 1 1 6.000.000 11 400.000 1 10.000 1 20

2. Vint-i-set milions cinc-cents seixanta mil. Cent seixanta- huit milions cinquanta-un mil dos-cents. Cinc-cents noranta-quatre milions tres-cents set mil huitanta-cinc. Nou-cents tres milions seixanta-dos mil quaranta. 209.050.631; 487.000.196;600.515.370; 924.068.002

3. • 179.536.048 . . 179.507.960 .. 29.650.792 . . 28.109.200

• 39.100.289 , , 279.250.800 ,, 341.287.000 , , 341.576.048 ,, 348.095.068

74

132255 _ 0102-0121.indd 118132255 _ 0102-0121.indd 118 21/9/09 11:40:1721/9/09 11:40:17

119

0

3 6

75

9. Dibuixa uns eixos de coordenades cartesianes i representa-hi aquests punts.

A ▶ (21, 13) C ▶ (14, 11) E ▶ (23, 24) G ▶ (13, 21)

B ▶ (22, 22) D ▶ (11, 22) F ▶ (12, 11) H ▶ (24, 12)

● Representa un punt J sobre l’eix vertical i un altre punt K sobre l’eix horitzontal. Escriu les coordenades d’ambdós punts.

10. Contesta i explica per què.

És 40 múltiple de 6? És 2 divisor de 72? És 13 un nombre primer?

És 153 múltiple de 9? És 5 divisor de 84? És 18 un nombre primer?

OPERACIONS

1. Calcula el terme que falta.

● 1 57.693 5 130.263 ● 2.418 3 305 5 ● 154.253 : 379 5

● 280.714 2 5 7.958 ● 96 3 5 61.728 ● 121.626 : 5 58

● 2 9.825 5 94.367 ● 3 524 5 109.516 ● : 860 5 492

2. Calcula.

● 2 3 (6 1 9) ● (3 1 4) 3 2 2 5 ● 8 : 2 1 3 3 7 ● (4 1 5) 3 (8 2 2)

● 30 2 10 : 5 ● 45 : 9 2 (7 2 6) ● 20 2 5 3 (12 : 4) ● 9 1 16 : 2 2 3 3 5

3. Calcula.

35 73 92 105 83 Ï9 Ï1 Ï64 Ï25 Ï49

16 27 43 54 62 Ï4 Ï16 Ï81 Ï100 Ï36

4. Escriu.

● Els sis primers múltiples de 8.

● Cinc múltiples de 9 majors que 70 i menors que 130.

● Quatre divisors de 20 i cinc de 30.

● Tots els divisors de 15 i de 24.

5. Calcula.

● El mínim comú múltiple:

MCM (4 i 10) MCM (5 i 15) MCM (3, 4 i 8)

MCM (3 i 7) MCM (12 i 20) MCM (6, 9 i 12)

● El màxim comú divisor:

MCD (5 i 9) MCD (8 i 20) MCD (4, 6 i 8)

MCD (4 i 16) MCD (15 i 25) MCD (9, 12 i 15)

4. 53; 5 al cub. 34; tres a la quar-ta. 72: set al quadrat. 95; nou a la cinquena. 67; sis a la sete-na. 86; huit a la sisena.

5. • 8 3 104 1 5 3 103 1 4 3

3 102 1 7 3 10 1 3• 3 3 105 1 2 3 104 1 6 3

3 102 1 9• 4 3 106 1 7 3 103 1 9 3

3 102 1 5 3 10 1 2• 7 3 107 1 6 3 106 1 8 3

3 105 1 3 3 103 1 4 3

3 10 1 1• 2 3 108 1 8 3 107 1 5 3

3 105 1 6 3 104 1 3 3

3 102 1 7 3 10• 9 3 108 1 6 3 106 1 4 3

3 104 1 7 3 103 1 1 3

3 102 1 5 3 10 1 8

6.

A l’esquerra: enters nega-tius, a la dreta: positius.

7. 14 i 22; 0 i 2200; 130 i 25

8. , . . , , . . ,

9.

10. No. Sí. | Sí. No. | Sí. No.

OPERACIONS

1. 5 72.750 5 272.756 5 104.192 5 737.490 5 643 5 209 5 407 5 2.097 5 423.120

2. • 30 • 9 • 25 • 54• 28 • 4 • 5 • 2

3. 243 343 81 100.000 5121 128 64 625 363 1 8 5 72 4 9 10 6

4. 0, 8, 16, 24, 32, 40.R. M. 72, 81, 90, 99, 108.R. M. 1, 2, 4, 5, i 10. 1, 3, 5, 6, 10 i 15.1, 3, 5 i 15. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 i 24.

24 2223 21 11 12 13 14 150

AH

K

E

BD

JF

C

G

J (0, 12)

K (23, 0)

75

132255 _ 0102-0121.indd 119132255 _ 0102-0121.indd 119 11/9/09 07:16:4711/9/09 07:16:47

120

76

Repàs trimestral

6. Calcula aquestes sumes i restes d’angles.

● 34º 35’ 57” 1 48º 12’ 36” ● 87º 42’ 19” 2 35º 26’ 51”

● 120º 28’ 43” 1 71º 54” ● 143º 5’ 38” 2 76º 41’

● 135º 39’ 1 142º 47’ 16” ● 170º 34” 2 128º 16’ 45”

GEOMETRIA

1. Observa la figura i completa.

● Angle rosa 1 angle blau 5 angle …

● Angle taronja 2 angle morat 5 angle …

● Angle blau 1 angle rosa 1 angle morat 5 …

● Angle roig 5 angle blau 1 angle …

● Angle verd 5 angle roig 2 angle …

2. Observa les figures i contesta.

● Com són els angles A i B? ● Quant mesura l’angle E?

● I els angles C i D? ● I l’angle F ?

4. Traça els angles següents.

● A ▶ recte ● C 5 35º ● E 5 162º ● G i H ▶ complementaris

● B ▶ pla ● D 5 100º ● F 5 200º ● J i K ▶ suplementaris

CÀLCUL MENTAL

70 2 8 3 5 3.457 1 2.001 6.382 2 4.001 60 : 20

14 : 2 1 9 8.394 1 4.003 7.409 2 5.002 1.500 : 3005 1 (9 2 2) 2.345 1 2.999 5.136 2 3.999 4.200 : 7030 : (10 2 4) 6.708 1 997 3.871 2 995

(4 1 5) 3 20 7.193 1 3.998 8.524 2 2.996 2 7

de 28

7. Calcula i escriu per a cada angle.

● 56º ● 37º 43’ ● 20º 19’ 36”

● 72º ● 97º 25’ ● 146º 7’ 58”L’angle suplementari

L’angle complementari

A B

C

D E

F 3. Mesura i contesta.

1.

PR

OPERACIONS

5. • 20 15 2421 60 36

• 1 4 24 5 3

6. • 82º 48’ 33’’• 191º 29’ 37’’• 278º 26’ 16’’• 52º 15’ 28’’• 66º 24’ 38’’• 41º 43’ 49’’

7. • 34º 52º 17’ 69º 40’ 24’’• 108º 82º 35’ 33º 52’2’’

GEOMETRIA

1. • Verd.• Rosa.• Roig.• Taronja.• Morat.

2. • Suplementaris. • Complementaris.

3. • E^ 5 310º.

• F^ 5 215º.

4. R. L. Comproveu els traçats fets per l’alumnat.

Càlcul mental

• 30 5.458 2.381 316 12.397 2.407 512 5.344 1.137 605 7.705 2.876 8180 11.191 5.528

76

132255 _ 0102-0121.indd 120132255 _ 0102-0121.indd 120 11/9/09 07:16:4711/9/09 07:16:47

121

s

00

0

77

1. Resol.

● En una exposició d’artesania es mostren 1.254 treballs. D’aquests, un terç són de fang, de fusta n’hi ha la meitat que de fang i la resta són de metall. Quants treballs de metall hi ha en l’exposició?

● En un armari hi ha 6 calaixos. En cada calaix hi ha 6 camises, amb 6 botons cada una. Quants botons tenen en total les camises que hi ha a l’armari?

● Un mosaic quadrat està format per 49 taulells iguals. Quants taulells hi ha en cada costat del mosaic?

● Clàudia es troba a la segona planta d’uns grans magatzems. Puja una planta per fer una compra i després en baixa 5 per agafar el cotxe. A quina planta tenia Clàudia el cotxe?

● Patrícia compra una revista cada 15 dies i una novel·la cada 20 dies. Hui ha comprat les dues coses. Quants dies passaran fins que torne a comprar-les juntes per primera vegada?

● El tauler d’un joc té forma quadrada amb 12 caselles iguals en cada costat. Quantes caselles té el tauler?

● Dins una casa la temperatura és 118 ºC i al carrer és 23 ºC. Quants graus és major la temperatura interior que l’exterior?

● Un tren té 5 vagons. En cada vagó transporta 5 contenidors, amb 5 caixes en cada un. Cada caixa té 5 estojos amb 5 figures de porcellana cada un. Quantes figures de porcellana transporta el tren?

● Anna vol repartir en plats 48 pastissets de tonyina i 36 de carn, de manera que en cada plat hi haja el mateix nombre de pastissets, tots del mateix sabor, i que no en sobre cap. Quants pastissets pot posar com a màxim en cada plat?

● Una furgoneta de repartiment porta caixes de torró. En 43 de les caixes hi ha 36 pastilles en cada una i a les restants hi ha 24 pastilles en cada una. Deixa en una botiga 228 pastilles i encara li’n queden per entregar 1.776. Quantes caixes de 24 pastilles hi havia al principi a la furgoneta?

PROBLEMES

PROBLEMES

1. • 1.254 : 3 5 418418 : 2 5 2091.254 2 418 2 209 5 627N’hi ha 627 de metall.

• 63 5 216Tenen 216 botons.

• √49 5 7Hi ha 7 taulells.

• Al segon soterrani.

• MCM (15 i 20) 5 60Passaran 60 dies.

• 122 5 144Té 144 caselles.

• És 21 graus major.

• 55 5 3.125Transporta 3.125 figures.

• MCD (48 i 36) 5 12Pot posar 12 pastissets en cada plat com a màxim.

• 1.776 1 228 5 2.004 43 3 36 5 1.548(2.004 2 1.548) : 24 5 19Hi havia 19 caixes de pas-tilles.

77

132255 _ 0102-0121.indd 121132255 _ 0102-0121.indd 121 11/9/09 07:16:4711/9/09 07:16:47

78

Fraccions 6

Esteve s’acaba de canviar de casa i ha convidat alguns amics per celebrar-ho. Ha fet dos pastissos de la mateixa grandària i els ha tallat en trossos iguals: el de poma en 12 racions i el de crema en 20.

● Maria ha agafat un tros de pastís de poma i Juli, un tros del pastís de crema.

– Quina fracció de pastís ha agafat cada un? Escriu cada fracció i com es llig.

– Qui ha agafat un tros més gran de pastís?

● Al final han sobrat 2

12 del pastís de poma i

320

del pastís de crema.

Quina fracció de cada pastís s’han menjat? Quants trossos eren?

RE

F

M

Pi

1.

2.

3.

End

1

2

3

F

Sdé

Altres formes de començar• Repasseu amb activitats col·lectives a la pissarra continguts bà-

sics sobre fraccions:

2 Escriviu diverses fraccions perquè l’alumnat diga com s’anomena cada terme de la fracció i què indica, com es lligen, explique si són majors o menors que la unitat i les represente.

2 Dibuixeu unes quantes representacions de fraccions perquè l’alumnat escriga i llija les fraccions corresponents.

• Plantegeu en comú situacions quotidianes en les quals usem fraccions, com ara: parts d’una unitat (porcions de pizza, de truita…), capacitats o pesos (botelles de mig litre…), fracció d’un nombre com a part d’un grup (un cinqué dels peixos…).

Objectius

• Reconéixer situacions reals en què intervenen fraccions.

• Recordar conceptes necessaris per a desenvolupar la unitat.

Suggeriments didàctics

• Llegiu la situació inicial, dibui-xeu dos rectangles iguals per representar els dos pastissos i demaneu a dos alumnes que els dividisquen en 12 i 20 parts iguals. A continuació, llegiu les preguntes i contesteu-les en comú amb el suport del dibuix de la pissarra. Plantegeu altres preguntes similars per practicar la lectura, l’escriptura i la com-paració de fraccions.

• En Recorda el que en saps, re-passeu el càlcul de la fracció d’un nombre i el nombre natural equivalent a una fracció.

Després, recordeu com es calcu-la el MCM i el MCD de dos nom-bres, atés que són procediments que faran servir quan treballaran la reducció de fraccions a comú denominador i l’obtenció de la fracció irreductible d’una fracció donada, respectivament.

Competències bàsiques

Competència

social i ciutadana

Quan presenteu la situació inici-al, dialogueu sobre la importància dels amics, i de celebrar i portar a cap activitats en família i en grup. Comenteu la necessitat de fer càl-culs per a la seua organització.

Interacció

amb el món físic

L’expressió i el càlcul dels trossos de pastís que s’han menjat, que han sobrat… amb fraccions aju-den l’alumnat a relacionar el món que l’envolta amb les representa-cions abstractes que maneja quan porta a terme les activitats.

78

132255 _ 0122-0137.indd 124132255 _ 0122-0137.indd 124 11/9/09 07:20:2711/9/09 07:20:27

79

RECORDA EL QUE EN SAPS

Fracció d’un nombre

Mínim comú múltiple i màxim comú divisor de diversos nombres

Per calcular la fracció d’un nombre, multiplica el nombre pel numerador de la fracció i després divideix aquest producte entre el denominador.

34

de 20 5 3 3 20

4 5

604

5 15

1. Calcula.

● 57

de 63 ● 49

de 54 ● 7

10 de 80

● 25

de 135 ● 56

de 270 ● 38

de 392

2. Escriu el nombre natural equivalent a cada fracció.

205

426

217

488

459

8010

3. Calcula.

● MCM (3 i 9) ● MCD (8 i 12)

● MCM (8 i 10) ● MCD (18 i 24)

● MCM (5, 6 i 15) ● MCD (30 i 42)

El mínim comú múltiple (MCM) de dos o més nombres és el menor múltiple comú, diferent de zero, d’aquests nombres.

1r Múltiples de 4 ▶ 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24… Múltiples de 6 ▶ 0, 6, 12, 18, 24, 30…

2n Múltiples comuns ▶ 0, 12, 24…

3r MCM (4 i 6) 5 12

El màxim comú divisor (MCD) de dos o més nombres és el major divisor comú d’aquests nombres.

1r Divisors de 16 ▶ 1, 2, 4, 8 i 16 Divisors de 20 ▶ 1, 2, 4, 5, 10 i 20

2n Divisors comuns ▶ 1, 2 i 4

3r MCD (16 i 20) 5 4

Fraccions equivalents a un nombre natural

105

5 10 : 5 5 2

Si en dividir el numerador entre el denominador d’una fracció la divisió és exacta, aquesta fracció és equivalent al quocient de la divisió.

● A expressar fraccions com a nombres mixtos, i a l’inrevés.

● A identificar i obtindre fraccions equivalents a una altra.

● Com reduir fraccions a denominador comú pel mètode dels productes encreuats i del MCM.

● A comparar fraccions.

APRENDRÀS

MCM (4 i 6) MCD (16 i 20)

Vocabulari de la unitat• Fracció i nombre mixt

• Fraccions equivalents

• Amplificació i simplificació de fraccions

• Fracció irreductible

• Reducció de fraccions a comú denominador

Solucions

Pàgina inicial

• Maria: 1 12

▶ Un dotzé.

Juli: 1 20

▶ Un vint-i-uné.

Maria n’ha agafat un tros més gran.

• S’han menjat 10 12

de pastís

de poma i 17 20

de pastís de crema. Eren 10 trossos de pastís de poma i 17 trossos de pastís de crema.

Recorda el que en saps

1. 5 7

de 63 5 45

4 9

de 54 5 24

7 10

de 80 5 56

2 5

de 135 5 54

5 6

de 270 5 225

3 8

de 392 5 147

2. 20 5

5 4 42 6

5 7

21 7

5 3 48 8

5 6

45 9

5 5 80 10

5 8

3. • MCM (3 i 9) 5 9• MCM (8 i 10) 5 40 • MCM (5, 6 i 15) 5 30• MCD (8 i 12) 5 4• MCD (18 i 24) 5 6• MCD (30 i 42) 5 6

UNITAT 6

79

132255 _ 0122-0137.indd 125132255 _ 0122-0137.indd 125 11/9/09 07:20:2811/9/09 07:20:28

80

Fraccions i nombres mixtos

1. En cada cas, escriu la fracció i el nombre mixt que representa la part pintada.

5 … 5 … 5 …

2. Copia en un full quadriculat i representa. Després, escriu cada fracció en forma

de nombre mixt i cada nombre mixt com una fracció.

92

▶

▶ … 3

13

▶

▶

104

▶

▶ … 1

56

▶

▶

Al forn d’Isabel venen bescuits en porcions. Isabel parteix cada bescuit en 4 porcions iguals, és a dir, en quarts, i després els ven separadament. Quina quantitat de bescuit li queda per vendre?

Li queden per vendre 11 quarts de bescuit.

Fixa’t-hi: 11 quarts són 2 bescuits sencers i 3 quarts d’un altre.

114

5 2 1 34

5 2 34

L’expressió 2 34

es diu nombre mixt.

Com s’escriu una fracció en forma de nombre mixt?

residu

114

▶ 114

5 2 34

divisor

quocient

Com s’escriu un nombre mixt en forma de fracció?

nre. natural numerador

2 34

2 3 4 1 3 5 11 ▶ 2 34

5 114

denominador

Un nombre mixt està format per un nombre natural i una fracció.

Totes les fraccions majors que la unitat que no són equivalents a un nombre natural es poden expressar en forma de nombre mixt.

11 4 3 2

3.

4.

5.

6.

Su

pe

CÀ

Altres activitats• Escriviu a la pissarra unes quantes fraccions majors que la uni-

tat no equivalents a un nombre natural i pregunteu entre quins dos nombres naturals es troba cada una. Expliqueu que, en dividir el numerador entre el denominador, el quocient indica les unitats completes i la fracció és aquest quocient i «un poc més» (perquè hi ha un residu).

Després, demaneu a l’alumnat que expresse cada fracció com un nombre mixt, esbrinant la fracció menor que 1 (l’«un poc més» an-terior) a partir del residu de la divisió. Per exemple:

7 3

▶ 7 1

3 2

  ▶ 2 , 7 3

, 3 ▶   7 3

5 2 1 3

Objectius• Expressar fraccions majors que

la unitat en forma de nombre mixt, i viceversa.

Suggeriments didàctics

Per a començar

• Escriviu les fraccions següents

a la pissarra: 3 4

, 4 4

, 6 4

i 8 4

. Repasseu amb aquests

exemples les fraccions me-nors, iguals i majors que la unitat. Dins aquestes últimes, repasseu també les que són iguals a un nombre natural.Representeu-les per compro-var-ho i digueu en cada cas la relació que hi ha entre el numerador i el denominador.Per últim, demaneu a l’alumnat que en diga altres exemples.

Per a explicar

• Plantegeu la situació i expliqueu cada expressió (fracció, suma i nombre mixt) a partir del dibuix. Comenteu que els nombres mix-tos estan formats per un nom-bre natural (unitats completes) i una fracció menor que la unitat (part d’una altra).

• Expliqueu com es passa d’una expressió a una altra i poseu-ne diversos exemples a la pissarra per resoldre’ls en comú.

• En portar a terme l’activitat 6, assenyaleu que tota fracció està compresa entre dos nom-bres naturals.

Competències bàsiques

Tractament

de la informació

Comprendre i treballar diferents expressions d’un mateix nombre (fraccions i nombres mixtos) i la seua representació, afavoreix en l’alumnat l’autonomia per a ma-nejar i relacionar informacions presentades de formes variades.

80

▶

132255 _ 0122-0137.indd 126132255 _ 0122-0137.indd 126 11/9/09 07:20:2811/9/09 07:20:28

81

3. Escriu cada fracció en forma de nombre mixt. Després, explica com ho fas.

20 3 ▶ 203

5 …

315

267

598

346

439

4. Escriu cada nombre mixt en forma de fracció. Després, explica com ho fas.

4 3 5 1 … 5 … ▶ 4 35

5

2 37

9 25

6 78

4 59

10 16

5. Llig cada repartiment i explica quina quantitat correspon a cada persona.

▶ Exemple: Reparteix 23 rosques entre 7 persones.

237

5 3 27

▶ A cada persona li corresponen 3 rosques senceres i 27

d’una altra.

● Reparteix 7 taronges entre 4 persones.

● Reparteix 12 xocolatines entre 5 persones.

● Reparteix 35 pastissos entre 6 persones.

6. Pensa com s’expressa cada fracció en forma de nombre mixt

i escriu la fracció al lloc adequat.

1 , , 2 , , 3 , , 4 , 143

, 5 , , 6

6

Dividisc el numerador entre …

Després escric el nombre mixt:

– El nombre natural és el … de la divisió.

– El numerador és … de la divisió.

– El denominador és … de la divisió.

Multiplique el nombre natural per … i sume …

Després escric la fracció:

– El numerador és …

– El denominador és …

203

4 35

143

135

214

117

236

143

5 4 23

4 , 4 23

, 5

Suma per compensació: suma i resta el mateix nombre als dos sumands

perquè el primer siga una desena

39 1 23 28 1 15 37 1 35 26 1 47

49 1 36 58 1 37 57 1 26 36 1 28

59 1 64 68 1 54 67 1 58 76 1 35

89 1 76 78 1 41 87 1 62 86 1 53

CÀLCUL MENTAL

1 3

47 1 28 5 50 1 25 5 75

2 3

Altres activitats• Entregueu a cada xiquet quatre targetes de paper iguals, perquè

escriguen en dues un parell de fraccions diferents majors que la unitat, i en les altres dues targetes, el nombre mixt corresponent.

Formeu grups de diversos alumnes. En cada grup, han de barrejar les targetes de fraccions i col·locar-les en un muntó de cara avall; així mateix, han de mesclar i repartir les dels nombres mixtos.

Cada alumne, per ordre, ha d’agafar una targeta del muntó; si casa amb alguna targeta de les que té a la mà, se l’ha de quedar i, si no, l’ha de deixar a la part inferior del muntó. Guanya l’alumne que forma més prompte els seus dos parells.

• Repetiu l’activitat anterior deixant al centre de la taula les targetes de nombres mixtos i repartint les targetes de fraccions.

Solucions

1. 4 3

5 1 1 3

; 17 5

5 3 2 5

;

44 8

5 5 4 8

2. • ▶ 4 1 2

• ▶ 2 2 4

• ▶  10 3

• ▶  11 6

3. 20 3

5 6 2 3

31 5

5 6 1 5

26 7

5 3 5 7

59 8

5 7 3 8

34 6

5 5 4 6

43 9

5 4 7 9

Entre el denominador. 2 És el quocient de la divisió.2 És el residu de la divisió. 2 És el divisor de la divisió.

4. 4 3 5

5 23 5

2 3 7

5 17 7

9 2 5

5 47 5

6 7 8

5 55 8

4 5 9

5 41 9

10 1 6

5 61 6

Pel denominador i sume el nu-merador. 2 És el resultat de les operaci-

ons anteriors.2 És el denominador de la

fracció del nombre mixt.

5. • 7 4

5 1 3 4

  ▶  1 taronja i3/4.

• 12 5

5 2 2 5

 ▶  2 xocolatines i 2/5.

• 35 6

5 5 5 6

 ▶  5 pastissos i 5/6.

6. 1 , 11/7 , 2 , 13/5 , 3 , , 23/6 , 4 , 14/3 , 5 , , 21/4 , 6

Càlcul mental

• 62 43 72 73 85 95 83 64 123 122 125 111 165 119 149 139

UNITAT 6

81

132255 _ 0122-0137.indd 127132255 _ 0122-0137.indd 127 11/9/09 07:20:2911/9/09 07:20:29

82

Fraccions equivalents

1. Escriu la fracció que representa la part pintada en cada figura.

Després, busca les fraccions equivalents i completa les igualtats.

● 14

5 5

● 23

5 5

2. Esbrina si les fraccions següents

són equivalents.

18

i 5

40

34

i 9

16

27

i 1656

2024

i 56

4090

i 49

4266

i 6

11

3. Completa aquestes fraccions

perquè siguen equivalents.

25

5 15

37

5 6

9

5 1045

648

5 8

8

5 26

80

5 7

10

Manel té quatre gelats iguals de maduixa i vainilla. Talla cada gelat en diverses porcions iguals. Quina fracció de cada gelat és de maduixa?

És de maduixa ▶ 12

24

36

48

Fixa’t que la quantitat de maduixa és igual en els quatre gelats.

Per això, les fraccions 12

, 24

, 36

i 48

són fraccions equivalents ▶ 12

5 24

5 36

5 48

Per comprovar si dues fraccions són equivalents, multiplica els termes en creu. Si els productes obtinguts són iguals, les fraccions són equivalents.

12

i 36

▶ 1 3 6 5 2 3 3 5 6 12

5 36

Les fraccions equivalents representen la mateixa part de la unitat.

Si dues fraccions són equivalents, els productes dels seus termes en creu són iguals.

Com que els productes són iguals, les fraccions són equivalents.

La meitat del gelat és de maduixa.

▶1.

2.

3.

O

Altres activitats• Utilitzeu el tauler de les fraccions del material de l’aula perquè l’alum-

nat comprove manipulativament algunes fraccions equivalents. Mos-treu la barreta d’1/2 i feu-los vore que té la mateixa longitud que dues d’1/4, és a dir, és igual que 2/4.

Comenteu que també té la mateixa longitud que tres d’1/6, quatre d’1/8, cinc d’1/10 i sis d’1/12. Escriviu:

1 2

5 2 4

5 3 6

5 4 8

5 5 10

5 6 12

Treballeu de forma similar les fraccions equivalents a 1/3, 1/4, 1/5, etc.

Objectius• Identificar gràficament fraccions

equivalents.

• Reconéixer si dues fraccions són o no equivalents.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Plantegeu la situació i comenteu que els quatre gelats tenen la mateixa part de maduixa, encara que estiguen partits en diferent nombre de porcions. Raoneu a partir del dibuix el concepte de fraccions equivalents. Després, expliqueu com podem saber si dues fraccions són equivalents i comproveu-ho en comú amb al-tres fraccions de l’exemple.

• En dur a terme l’activitat 1, ani-meu l’alumnat a reconéixer les fraccions equivalents per la seua representació i que després ho comproven numèricament.

Competències bàsiques

Competència cultural

i artística

Demaneu a l’alumnat que re-presente gràficament fraccions equivalents a una fracció que els doneu. Valoreu-ne la correcció i la creativitat.

Solucions

1. 1 4

2 3

2 8

3 12

4 6

8 12

• 1 4

5 2 8

5 3 12

• 2 3

5 4 6

5 8 12

2. Sí. No. Sí. Sí. Sí. No.

3. 2 5

5 6 15

3 7

5 6 14

2 9

5 10 45

6 48

5 1 8

8 24

5 2 6

56 80

5 7 10

82

132255 _ 0122-0137.indd 128132255 _ 0122-0137.indd 128 11/9/09 07:20:2911/9/09 07:20:29

83

6

1. Escriu dues fraccions equivalents a cada fracció.

13

25

34

78

56

49

1218

1428

1824

2050

3036

1545

2. Simplifica aquestes fraccions per trobar la fracció irreductible.

●

915

● 2520

● 8

12 ●

1230

● 2432

● 3540

3. RAONAMENT. Pensa i contesta. Després, escriu en cada cas dos exemples

i comprova la resposta.

● Si trobes dues fraccions equivalents a una altra fracció, aquestes dues fraccions són també equivalents entre si?

● Si dues fraccions són equivalents, totes les fraccions equivalents a una d’aquestes són també equivalents a l’altra?

Obtenció de fraccions equivalents

Àlvar busca fraccions equivalents a 69

de dues maneres diferents.

Les fraccions

69

, 1218

i 23

són equivalents.

Multiplica el numerador i el denominador de la fracció per un mateix nombre. La nova fracció és equivalent a la primera.

69

5 6 3 29 3 2

5 1218

▶ 69

5 1218

Divideix el numerador i el denominador de la fracció per un mateix nombre. La nova fracció és equivalent a la primera.

69

5 6 : 39 : 3

5 23

▶ 69

5 23

Per obtindre fraccions equivalents a una altra fracció, es multipliquen o es divideixen els dos termes de la fracció per un mateix nombre diferent de zero.

Per amplificació

Per simplificació

APRÉN

Una fracció és irreductible quan no es pot simplificar més. Per trobar la fracció irreductible equivalent a una altra, divideix el numerador i el denominador de la fracció entre el màxim comú divisor d’ambdós nombres.

2028

MCD (20 i 28) 5 4 ▶ 2028

5 20 : 428 : 4

5 57

Per amplificació Per simplificació

Altres activitats• Una vegada feta i corregida l’activitat 3 de la pàgina anterior, escri-

viu a la pissarra els parells de fraccions equivalents. Demaneu a l’alumnat que explique, en cada cas, si la segona fracció s’ha pogut obtindre per amplificació o per simplificació de la primera i per quin nombre s’han multiplicat o dividit els dos termes de la fracció.

Objectius• Obtindre fraccions equivalents a

una fracció donada per amplifi-cació i per simplificació.

• Obtindre la fracció irreductible a una fracció donada.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Expliqueu a la pissarra les dues formes d’obtindre fraccions equivalents i feu-ne dos exem-ples més en comú.

• Mostreu que per simplificar una fracció en dividim els dos termes pel mateix nombre (per un divisor comú). Raoneu llavors i expliqueu a la pis-sarra l’Aprén de l’activitat 2.

Solucions 1. • R. M.

1/3 5 2/6 5 6/18

2/5 5 6/15 5 10/25

3/4 5 9/12 5 21/28

7/8 5 28/32 5 63/72

5/6 5 15/18 5 40/48

4/9 5 24/54 5 40/90

• Respostes possibles:12/18 5 6/9 5 4/6 5 2/314/28 5 7/14 5 2/4 5

5 1/218/24 5 9/12 5 6/8 5 5 3/420/50 5 10/25 5 4/10 5 5 2/530/36 5 15/18 5 10/12 5 5 5/615/45 5 5/15 5 3/9 5 5 1/3

2. • 9/15 5 3/5 • 8/12 5 2/3 • 24/32 5 3/4 • 25/20 5 5/4 • 12/30 5 2/5 • 35/40 5 7/8

3. • Sí, les fraccions són equiva-lents entre si.

• Sí, també són equivalents a l’altra fracció.

UNITAT 6

83

132255 _ 0122-0137.indd 129132255 _ 0122-0137.indd 129 11/9/09 07:20:2911/9/09 07:20:29

84

Reducció a denominador comúMètode dels productes encreuats

1. Redueix a denominador comú pel mètode dels productes encreuats.

58

i 27

39

i 4

10

76

i 25

9

20 i

83

4

11 i

59

25

i 7

30

2. Observa com resolen el repartiment i contesta.

Jaume vol menjar-se la meitat d’un pastís i Alba vol un terç del mateix pastís. Per poder repartir-lo bé, redueixen les fraccions a denominador comú:

12

i 13

▶ 36

i 26

● En quantes parts iguals divideixen el pastís?

● Quantes parts n’agafa cada un?

3. Explica com resoldries tu aquests repartiments.

● Francesc vol dos cinquens d’un pastís i Sara vol un quart del mateix pastís.

● Aurora vol dos terços d’una pizza i Joan en vol un cinqué.

Pau vol reduir les fraccions 35

i 47

a denominador comú,

és a dir, busca una fracció equivalent a 35

i una altra equivalent a 47

de manera que totes dues tinguen el mateix denominador.

Per reduir dues fraccions a denominador comú pel mètode dels productes encreuats, multiplica els dos termes de cada fracció pel denominador de l’altra fracció.

35

5 2135

47

5 2035

Fraccions inicialsFraccions reduïdes

a denominador comú

1r Calcula la fracció equivalent a 35

.

Multiplica els dos termes pel

denominador de 4

7, o siga, per 7.

35

5 3 3 75 3 7

5 2135

2n Calcula la fracció equivalent a 47

.

Multiplica els dos termes pel

denominador de 3

5, o siga, per 5.

47

5 4 3 57 3 5

5 2035

▶

RMè

1.

2.

Altres activitats• Després de portar a cap les activitats 2 i 3, plantegeu a l’alumnat

altres situacions similars per calcular a la pissarra, en què hagen de reduir dues fraccions a comú denominador i fer un dibuix que ho represente.

En cada cas, raoneu en comú si necessiten o no més d’una unitat per a fer el repartiment, segons que el total de porcions a entregar siga major o menor que el nombre de porcions d’una unitat. Per exemple:

2 Helena vol 2/3 d’un bescuit i Eva en vol 1/4.

2 Ignasi vol 2/3 d’un pastís i Ramon en vol 3/4.

Objectius• Reduir dues fraccions a comú

denominador pel mètode dels productes encreuats.

• Resoldre repartiments reduint fraccions a comú denomina-dor.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Expliqueu a la pissarra com es redueixen dues fraccions a comú denominador pel mèto-de dels productes encreuats. Després, raoneu en comú qui-na n’és la utilitat en situacions com la plantejada en l’activitat 2.

Competències bàsiques

Aprendre a aprendre

En corregir les activitats, dema-neu que expliquen com les han fetes, perquè siguen conscients del procés seguit i, a partir de la sistematització, adquirisquen cada volta major automatisme.

Solucions

1. • 35 56

i 16 56

• 30 90

i 36 90

• 35 30

i 12 30

• 27 60

i 160 60

• 36 99

i 55 99

• 60 150

i 35 150

2. • El divideixen en 6 par ts iguals.

• Jaume n’agafa 3 parts i Alba n’agafa 2 parts.

3. • 2 5

i 1 4

▶ 8 20

i 5 20

Divideixen el pastís en 20 parts iguals, Francesc n’aga-fa 8 parts i Sara, 5 parts.

• 2 3

i 1 5

▶ 10 15

i 3 15

En 15 parts iguals, Aurora n’agafa 10 parts i Joan, 3 parts.

84

132255 _ 0122-0137.indd 130132255 _ 0122-0137.indd 130 11/9/09 07:20:2911/9/09 07:20:29

85

Paula redueix les fraccions 56

i 29

a denominador comú

pel mètode del mínim comú múltiple.

6

1r Calcula el denominador comú.

Calcula el mínim comú múltiple dels denominadors de les dues fraccions. Aquest MCM és el denominador comú.

56

i 29

▶ MCM (6 i 9) 5 18

56

5 18

i 29

5 18

2n Calcula el numerador de cada fracció.

Per a cada fracció, divideix el denominador comú entre el denominador de la fracció inicial i multiplica pel numerador.

56

▶ 18 : 6 3 5 5 15 ▶ 56

5 1518

29

▶ 18 : 9 3 2 5 4 ▶ 29

5 4

18

Reducció a denominador comúMètode del mínim comú múltiple

1. Redueix a denominador comú pel mètode del mínim comú múltiple.

● 3

10 i

58

● 56

i 7

12 ●

49

i 8

15 ●

512

i 1118

● 9

14 i

221

● 5

16 i

724

● 45

, 7

12 i

815

▶ MCM (5, 12 i 15) 5 60

45

5 60

, 7

12 5

60 i

815

5 60

● 25

, 34

i 9

10 ●

56

, 37

i 8

21 ●

16

, 58

i 7

12

2. RAONAMENT. Redueix a denominador comú aquestes fraccions aplicant en cada cas

els dos mètodes i contesta.

Per reduir dues o més fraccions a denominador comú pel mètode del mínim comú múltiple, escriu com a denominador comú el MCM dels denominadors i com a numerador de cada fracció el resultat de dividir el denominador comú entre cada denominador i multiplicar-lo pel numerador corresponent.

56

5 1518

29

5 4

18

Fraccions inicialsFraccions reduïdes

a denominador comú

Per reduir a denominador comú tres o més fraccions pel mètode del mínim comú múltiple, segueix els mateixos passos que per a reduir-ne dues a denominador comú.

POSA ATENCIÓ

● Has obtingut pels dos mètodes el mateix resultat? Per què?5

7 i

34

56

i 25

Altres activitats• Demaneu a l’alumnat que reduïsca a comú denominador diversos

parells de fraccions usant els dos mètodes, el dels productes en-creuats i el del MCM. Per exemple:

3 5

i 2 7

2 3

i 7 8

4 15

i 3 25

7 12

i 5 18

7 24

i 5 8

Plantegeu un debat sobre la major o menor facilitat d’un mètode o de l’altre en funció dels denominadors de les fraccions que calga reduir (si són nombres baixos o no…).

Comenteu i demaneu a l’alumnat que comprove que, tot i que els resultats a vegades varien amb el mètode usat, els dos són vàlids, ja que les fraccions trobades són equivalents.

Objectius• Reduir dues o més fraccions a

comú denominador pel mètode del mínim comú múltiple.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Expliqueu-los a la pissarra els dos passos indicats en el lli-bre. Després, raoneu amb els xiquets i xiquetes per què s’ele-geix el MCM com a denomina-dor comú: és el múltiple comú a ambdós denominadors més menut.

Per a reforçar

• Aprofiteu l’estratègia sobre re-llegir i explicar el procediment que hi ha en la pàgina 54 del manual d’ESTUDI EFICAÇ, i de-maneu a l’alumnat que explique amb un exemple com es redu-eixen dues i tres fraccions a comú denominador.

Solucions

1. • 12 40

i 25 40

• 10 12

i 7 12

• 20 45

i 24 45

• 15 36

i 22 36

• 27 42

i 4 42

• 15 48

i 14 48

• 48 60

, 35 60

i 32 60

• 8 20

, 15 20

i 18 20

• 35 42

, 18 42

i 16 42

• 4 24

, 15 24

i 14 24

2. • 5 7

i 3 4

▶ 20 28

i 21 28

• 5 6

i 2 5

▶ 25 30

i 12 30

Pels dos mètodes s’obté el mateix resultat, perquè el MCM dels dos nombres és el pro-ducte d’ambdós.

UNITAT 6

85

132255 _ 0122-0137.indd 131132255 _ 0122-0137.indd 131 11/9/09 07:20:3011/9/09 07:20:30

86

Comparació de fraccions

1. Ordena les fraccions.

● 29

, 79

i 59

● 38

, 35

, 3

10 i

37

● 34

, 54

, 94

i 74

● 7

10,

78

, 75

, 79

i 7

12

2. Completa les fraccions perquè les comparacions siguen certes.

● 47

. 7

● 5

, 95

● 68

, 6

● 3

10 .

3

● 9 , 49 , 9 ● 4 .

74 . 4

● 2

. 2

11 .

2 ●

8 ,

85 ,

8

3. Compara cada parell de fraccions i escriu el signe corresponent.

14

25

27

38

56

79

310

5

12

815

9

20

58

1424

Cristina vol comparar diversos parells de fraccions. De primer mira si tenen igual denominador o numerador. Quina fracció de cada parell és major?

Per comparar fraccions amb numerador i denominador diferents, primerament redueix les fraccions a denominador comú i després compara-les.

34

i 6

10 ▶

34

5 1520

i 6

10 5

1220

1520

. 1220

▶ 34

. 6

10

De major a menor

De menor a major

Aquestes fraccions tenen diferent numerador i denominador. Pensa què has de fer abans de comparar-les.

POSA ATENCIÓ

La fracció major és la fracció que té el numerador major.

78

i 48

▶ 78

. 48

La fracció major és la fracció que té el denominador menor.

59

i 56

▶ 56

. 59

78

48

59

56

34

610

Fraccions amb igual denominador

Fraccions amb numerador i denominador diferents

Fraccions amb igual numerador

4.

5.

6.

Sum

per

CÀ

Objectius• Comparar fraccions d’igual de-

nominador o numerador.

• Comparar fraccions de diferent denominador i numerador.

• Ordenar fraccions.

• Resoldre problemes comparant fraccions.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Repasseu a la pissarra la com-paració de fraccions d’igual denominador o numerador. De-maneu a l’alumnat que, amb el suport d’un dibuix, raone quina és la fracció major o menor.

• Expliqueu com es comparen dues fraccions de diferent deno-minador, i comenteu que, com que no sabem comparar-les, en busquem altres d’equivalents que sí que sabem comparar.

• Treballeu en comú el Fes-ho així de l’activitat 5, i demaneu a l’alumnat que diga altres frac-cions entre 3/7 i 5/9.

Per a reforçar

• Aprofiteu l’estratègia sobre in-ventar altres pràctiques simi-lars que hi ha en la pàgina 56 del manual d’ESTUDI EFICAÇ, i demaneu a l’alumnat que escri-ga dues fraccions, les compare i després busque una fracció compresa entre ambdues.

Competències bàsiques

Autonomia

i iniciativa personal

Per a comparar fraccions de dife-rent denominador l’alumnat ha de posar en pràctica dos procedi-ments ja apresos: la reducció a comú denominador i la compara-ció de fraccions d’igual denomina-dor. Fomenteu l’autonomia a l’ho-ra de dur a terme les activitats i l’interés per aplicar amb iniciativa aquests procediments per a resol-dre problemes.

86

Altres activitats• Col·loqueu els xiquets i xiquetes en rogle o establiu un ordre d’in-

tervenció i escriviu una fracció a la pissarra, per exemple: 4/7. Indi-queu al primer alumne que diga una fracció major que 4/7 que tinga el mateix numerador o denominador que aquesta. A continuació, el següent alumne ha de dir una altra fracció major que la del seu com-pany, també d’igual numerador o denominador, i així successivament.

Escriviu cada fracció dita a la pissarra, per facilitar l’elecció de la següent i la comprovació per part dels companys.

• Repetiu l’activitat demanant a l’alumnat que diga, en cada cas, una fracció menor que l’anterior, també d’igual numerador o denomina-dor que aquesta.

132255 _ 0122-0137.indd 132132255 _ 0122-0137.indd 132 11/9/09 07:20:3011/9/09 07:20:30

79

1424

0

87

6

4. Ordena les fraccions de major a menor.

● 27

i 39

● 46

i 6

10 ●

38

, 48

i 5

12 ●

25

, 4

15 i

59

5. Escriu una fracció compresa entre les dues fraccions donades.

6. Resol.

● Robert té un joc d’imants. Un sisé de les barretes són blaves, dos sisens són verdes i tres sisens són roges. De quin color té menys barretes? I més?

● Lola s’ha menjat 14

de panada i Miquel, 27

de la mateixa panada. Qui ha menjat

més panada?

● Mercé compra 34

de quilo de pomes i 15

de quilo

de raïm. De quina fruita en compra menys?

● Lluís ha fet tres refrescos de la mateixa grandària. El de taronja conté 23

de suc

de fruita, el de llima conté 35

de suc i la meitat del refresc de maduixa és suc.

Quin refresc porta més quantitat de suc? I menys?

FES-HO AIXÍ

3

7 , ,

5

9

1r Redueix les dues fraccions a denominador comú.

3

7 5

27

63 i 5

9 5

35

63 ▶

27

63 , ,

35

63

2n El denominador de la fracció buscada és el denominador comú, 63, i el numerador és qualsevol nombre entre 27 i 35, per exemple, 32.

27

63 ,

32

63 ,

35

63 ▶

3

7 ,

32

63 ,

5

9

Suma per compensació: resta i suma el mateix nombre als dos sumands

perquè el primer siga una desena

61 1 37 42 1 33 23 1 16 34 1 15

71 1 18 52 1 17 43 1 35 54 1 22

81 1 46 72 1 45 53 1 52 64 1 44

91 1 59 92 1 39 83 1 28 74 1 38

CÀLCUL MENTAL

2 4

34 1 77 5 30 1 81 5 111

1 4

● 17

, ,

13

● 25

, ,

34

● 58

, ,

710

● 7

12 ,

,

1115

Altres activitats• Comenteu una altra manera de comparar dues fraccions amb de-

nominador i numerador diferents: multiplicar-ne els termes en creu i comparar els productes resultants. Per exemple:

3 5

i 4 7

▶ 3 3 7 5 214 3 5 5 20

21 . 20 ▶ 3 5

. 4 7

Si ho creieu convenient, raoneu amb l’alumnat que fem el mateix que en reduir les dues fraccions a comú denominador pel mètode dels productes encreuats, encara que, com que sabem que el de-nominador comú serà el mateix, podem comparar-ne els numera-dors sense necessitat de trobar el dit denominador.

UNITAT 6

Solucions

1. • 7 9

. 5 9

. 2 9

• 3 5

. 3 7

. 3 8

. 3 10

• 3 4

, 5 4

, 7 4

, 9 4

• 7 12

, 7 10

, 7 9

, 7 8

, 7 5

2. R. M. • 4 7

. 3 7

• 1 5

, 9 5

• 6 8

, 6 4

• 3 10

. 3 15

• 3 9

, 4 9

, 5 9

• 9 4

. 7 4

. 5 4

• 2 10

. 2 11

. 2 12

• 8 7

, 8 5

, 8 2

3. 1 4

, 2 5

2 7

, 3 8

5 6

. 7 9

3 10

, 5 12

8 15

. 9 20

5 8

. 14 24

4. • 3 9

. 2 7

• 4 6

. 6 10

• 4 8

. 5 12

. 3 8

• 5 9

. 2 5

. 4 15

5. R. M. 5 21

, 11 20

, 27 40

i 39 60

6. • 1 6

, 2 6

, 3 6

. Menor quan-

titat: blaves; major: roges.

• 2 7

. 1 4

. Miquel.

• 3 4

. 1 5

. De raïm.

• 2 3

. 3 5

. 1 2

. Més suc:

el de taronja; menys suc: el de maduixa.

Càlcul mental

• 98 75 39 4989 69 78 76127 117 105 108150 131 111 112

87

132255 _ 0122-0137.indd 133132255 _ 0122-0137.indd 133 11/9/09 07:20:3111/9/09 07:20:31

88

Activitats

1. Quines fraccions pots escriure en forma de

nombre mixt? Escriu-les i explica per què

amb les altres no és possible.

92

78

154

105

49

237

2. Escriu.

214

396

289

378

587

6 35

3 27

2 78

7 46

5 69

3. Esbrina si les fraccions de cada parell són

equivalents o no.

● 14

i 5

20 ●

58

i 1532

● 249

i 83

4. Completa les fraccions perquè siguen

equivalents i contesta.

27

5 10

38

5 32

49

5 24

410

5 5

1527

5 5

1535

5 7

● Per quin nombre has multiplicat o dividit cada terme de la primera fracció per obtindre la segona?

5. Escriu dues fraccions equivalents a cada

fracció: una per amplificació i l’altra per

simplificació.

96

8

12

530

1040

2114

6. Calcula la fracció irreductible de cada

una d’aquestes fraccions.

86

2510

3212

3018

3627

7. Redueix a denominador comú.

● Pel mètode dels productes encreuats.

45

i 58

3

10 i

79

157

i 94

● Pel mètode del MCM.

74

i 98

86

i 109

4

15 i

730

38

, 7

12 i

56

45

, 9

10 i

815

8. ESTUDI EFICAÇ. Completa l’esquema

en el quadern.

9. Ordena de menor a major.

● 94

, 96

i 79

● 53

, 115

i 1415

10. Escriu les fraccions de la pissarra

que compleixen cada condició.

● Majors que 25

.

● Menors que 37

.

● Iguals que 46

.

11. Compara cada parell de nombres.

▶ Exemple: 2 i 94

2 5 84

; 84

, 94

▶ 2 , 94

● 5 i 103

● 6 i 254

● 176

i 3 ● 145

i 2

COMPARACIÓ DE FRACCIONS

Amb igual denominador ▶ És major…

Amb igual …

Amb diferent …

En forma de nombre mixt

En forma de fracció

27

23

13

310

812

35

12

13

ET

Altres activitats• Escriviu a la pissarra diversos parells de fraccions majors que la

unitat perquè l’alumnat les compare, reduint ambdues fraccions a comú denominador i comparant-ne els numeradors.

A continuació, plantegeu-los una altra manera de fer-ho: expressar ambdues fraccions com a nombres mixtos i comparar els nombres naturals de totes dues. Si són iguals, haurien de comparar les dues fraccions, però comenteu que en aquest cas les fraccions són més senzilles i el càlcul també. Per exemple:

13 2

i 16 3

, 23 8

i 22 7

, 17 4

i 21 5

Objectius• Repassar els continguts bàsics

de la unitat.

• Aplicar les matemàtiques en di-ferents contextos.

Competències bàsiques

Interacció

amb el món físic

La presentació en Ets capaç de… de la utilització de fraccions i nom-bres mixtos en situacions reals pròximes a l’alumne, el motiva i l’ajuda a integrar els conceptes i procediments apresos en la vida diària.

Solucions1.

9 2

5 4 1 2

15 4

5 3 3 4

23 7

5 3 2 7

7 8

, 1 10 5

5 2 4 9

, 1

2. • 5 1 4

6 3 6

3 1 9

4 5 8

8 2 7

• 33 5

23 7

23 8

46 6

51 9

3. • Sí. • No. • Sí.

4. 2 7

5 10 35

3 8

5 12 32

4 9

5 24 54

4 10

5 2 5

15 27

5 5 9

15 35

5 3 7

He multiplicat per 5, per 4 i per 6, i he dividit entre 2, entre 3 i entre 5, respectivament.

5. R. M. 9 6

5 18 12

5 3 2

8 12

5 24 36

5 2 3

5 30

5 20 120

5 1 6

10 40

5 20 80

5 1 4

21 14

5 63 42

5 3 2

88

132255 _ 0122-0137.indd 134132255 _ 0122-0137.indd 134 11/9/09 07:20:3111/9/09 07:20:31

2

…

89

6

12. Calcula i expressa el resultat en forma

de nombre mixt.

● Òscar reparteix en parts iguals 16 massapans entre 5 xiquets. Quants massapans dóna a cada un?

● Sol reparteix en parts iguals 11 kg de castanyes en 4 bosses. Quant pesen les castanyes de cada bossa?

13. Resol.

● Eduard i Laura tenen una panada. Ell vol menjar-se un sisé de la panada i ella, tres quarts. En quants trossos iguals han de tallar la panada per a poder repartir-la? Quants trossos n’agafarà cada un? Qui agafarà més panada?

● Alba ha decorat dos cinquens d’un bescuit amb melmelada i els tres cinquens restants amb xocolate. Amb què ha decorat Alba més quantitat de bescuit?

● Ramon ha pres per desdejunar-se un quart de litre de llet i per berenar ha pres un terç de litre de llet amb cereals. Quan ha pres Ramon més quantitat de llet?

● Aurora s’ha menjat cinc huitens de truita i Xavier, tres novens de la mateixa truita. Qui ha menjat més truita?

● Enric fa el camí de Sant Jaume en bicicleta. La primera setmana ha recorregut tres setens del total i la segona setmana, la meitat del trajecte. Quina setmana ha recorregut més quilòmetres?

ETS CAPAÇ DE… Preparar encàrrecs

Daniel prepara entrepans i barquetes a la seua cafeteria. Talla cada barra de pa en 3 trossos iguals per fer els entrepans i en 5 trossos iguals per fer les barquetes.

● Dilluns passat va preparar dos encàrrecs amb les barres i trossos de barra següents:

– Entrepans de pernil: 5 13

barres

– Barquetes de xoriç: 4 15

barres

Quants entrepans va fer?

Quantes barquetes va fer?

● Hui ha de preparar quatre encàrrecs:

– 17 entrepans – 34 barquetes

– 25 entrepans – 46 barquetes

Quantes barres i trossos de barra necessita per a cada un? Expressa-ho amb un nombre mixt.

● Amb les barres que tenia, ahir va preparar 27 entrepans. Quantes barquetes podia haver preparat amb aquestes barres?

Programa d’ESTUDI EFICAÇEn acabar la unitat, demaneu a l’alumnat que complete una taula com aquesta:

Unitat 6. Fraccions

El que he aprésEl que he aprés

a fer

Fraccions i nombres mixtos

Fraccions equivalents

Reducció a comú denominador

Comparació de fraccions

UNITAT 6

6. 4/3 5/2 8/3 5/3 4/3

7. • 32 40

i 25 40

; 27 90

i 70 90

;

60 28

i 63 28

• 14 8

i 9 8

; 24 18

i 20 18

;

8 30

i 7 30

;

9 24

, 14 24

i 20 24

;

24 30

, 27 30

i 16 30

8. • La de major numerador. • Igual numerador; és major

la de menor denominador. • Diferents termes; es reduei-

xen i després es comparen.

9. • 7 9

, 9 6

, 9 4

• 14 15

, 5 3

, 11 5

10. • 2/3, 8/12 i 3/5• 2/7, 1/3 i 3/10• 2/3 i 8/12

11. • 5 . 10 3

• 6 , 25 4

• 17 6

, 3 • 14 5

. 2

12. • 16 5

5 3 1 5

• 11 4

5 2 3 4

13. • 1 6

i 3 4

▶  2 12

i 9 12

L’han de tallar en 12 tros-sos. Eduard n’agafarà 2 i Laura, 9. Laura n’agafarà més.

• 3/5 . 2/5. Amb xocolate.• 1/3 . 1/4. En el berenar.• 5/8 . 3/9. Aurora.• 1/2 . 3/7. La segona.

Ets capaç de…• Va fer 16 entrepans.

Va fer 21 barquetes.

• 17 3

5 5 2 3

34 5

5 6 4 5

• 25 3

5 8 1 3

46 5

5 9 1 5

• 27 : 3 5 9; 9 3 5 5 45. Podia haver preparat 45 barquetes.

89

132255 _ 0122-0137.indd 135132255 _ 0122-0137.indd 135 11/9/09 07:20:3111/9/09 07:20:31

90

Solució de problemesAssaig i errorResol els problemes fent proves successives. Fixa’t en el resultat

de les proves anteriors abans de fer les proves següents.

Laura juga amb els amics. Ha escrit en un paper tres fraccions menors que la unitat i amb denominador 7. Els numeradors són nombres consecutius i la seua suma és 12. Quines fraccions ha escrit Laura?

▶ Provem amb les fraccions 17

, 27

i 37

i calculem la suma dels numeradors.

1 1 2 1 3 5 6 6 , 12 ▶ Fem curt.

Provem amb fraccions majors. Per exemple, 47

, 57

i 67

.

4 1 5 1 6 5 15 15 . 12 ▶ Ens hem passat.

Provem amb 37

, 47

i 57

.

3 1 4 1 5 5 12 ▶ La suma és la correcta.

Solució: Les fraccions són 37

, 47

i 57

.

1. Mirta va comprar un llibre i 3 exemplars d’un còmic. Va pagar 32 en total. El preu del llibre i el de cada còmic era un nombre exacte d’euros menor que 12. El llibre era més car que els còmics. Quant costava cada còmic? I el llibre?

2. A la classe de 6é A hi ha tres alumnes que fan els anys tres dies consecutius del mes de juny, abans del dia 15. Quin dia fa anys cada un si el producte dels tres dies és 990?

3. Pere ha escrit una fracció equivalent a 35

. La suma dels dos termes és 48.

Quina és aquesta fracció?

4. Leire, Ignasi i Ferran són germans. Leire és la més menuda dels tres, Ignasi té 4 anys més que Leire i Ferran té 3 anys més que Ignasi. La suma de les edats dels tres és 32 anys. Quants anys té cada un?

5. INVENTA. Escriu un problema que puga ser resolt usant assaig i error. Pots fer-lo semblant als problemes d’aquesta pàgina.

EX

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Altres activitats• Abans de resoldre els problemes proposats en aquesta pàgina,

plantegeu el joc següent: penseu un nombre de dues xifres perquè l’alumnat l’esbrine. Cada alumne, per ordre, ha de dir un nombre i els heu d’indicar si la solució és major o menor que el nombre que han dit, fins que l’encerten.

Comenteu que han de tindre en compte els nombres dits pels com-panys i dir un nombre que, si no és el bo, almenys reduïsca el nombre de solucions possibles. Poseu al principi diversos exem-ples d’assajos perquè l’alumnat explique, en cada cas, si són bons o no i per què.

Objectius

• Resoldre problemes per assaig i error, efectuant proves successi-ves fins a trobar-ne la solució.

Suggeriments didàctics

Per a explicar

• Plantegeu el problema resolt i raoneu amb l’alumnat el per-què de cada prova efectuada: quines condicions de l’enunciat sabem que compleixen, quina condició hem de comprovar i què hem tingut en compte dels resultats anteriors.

• Resoleu col·lectivament el pri-mer problema proposat. Dema-neu a cada alumne que diga una possible solució del problema i que explique als companys per què l’ha triada.

Competències bàsiques

Autonomia

i iniciativa personal

Fomenteu en l’alumnat la iniciati-va per escollir les proves succes-sives, aplicant amb autonomia el raonament lògic en els assajos duts a terme fins a trobar la solu-ció del problema.

Competència lingüística

Fomenteu en l’alumnat l’expressió verbal demanant-los que exposen oralment el procés que han seguit en la resolució dels problemes proposats.

Solucions1. Cada còmic costava 7 € i el

llibre, 11 €.

2. Fan els anys els dies 9, 10 i 11.

3. La fracció és 18/30.

4. Leire té 7 anys, Ignasi en té 11 i Ferran, 14.

5. R. L.

90

132255 _ 0122-0137.indd 136132255 _ 0122-0137.indd 136 11/9/09 07:20:3211/9/09 07:20:32

91

6

EXERCICIS

1. Completa els buits.

● 25 , , 23

● 23 , 22 , , 0 , , 12

● 26 , 22 , , 11 , , 14

2. Escriu les coordenades cartesianes

de cada punt i contesta.

● Quins punts tenen igual la primera coordenada? Quins tenen igual la segona?

3. Calcula els divisors de cada nombre i indica

si és primer o compost.

● 18 ● 26 ● 13 ● 17 ● 24

4. ESTUDI EFICAÇ. Completa l’esquema sobre

unitats de mesura d’angles.

5. Donats els angles A 5 50º, B 5 120º

i C 5 90º, calcula gràficament:

● A 1 B ● B 1 C ● C 2 A ● B 2 C

6. Calcula.

● 134º 17’ 48” 1 27º 51’ 39”

● 175º 19” 1 36º 59’ 48”

● 126º 44’ 18” 2 63º 50’ 49”

● 90º 2 35º 40’ 45”

PROBLEMES

7. Lluís té una caixa amb 12 kg de nous i una altra amb 8 kg d’avellanes. Prepara bosses del mateix pes, unes amb nous i altres amb avellanes, tan grans com siga possible i sense que sobre res. Quant pesarà cada bossa? Quantes bosses obtindrà?

8. Un sistema antiincendis revisa l’aire d’un garatge cada 135 segons. Quants minuts i segons passen entre revisió i revisió?

9. Aurora tenia a la càmera 27 fotos. Va fer 15 fotos a cada un dels seus 6 cosins. A casa, en revisar-les totes, en va esborrar un terç. Quantes fotos li van quedar?

10. Una escola va pagar 413 per una funció de titelles a la qual van assistir 59 alumnes. Els van descomptar 2 per persona. Quant costarien les entrades de 30 persones sense descompte?

11. La setmana passada, Maria es va connectar a Internet 8 hores i 13 minuts. Pilar s’hi va connectar 45 minuts i 17 segons menys que Maria. Quant de temps s’hi va connectar Pilar?

12. En una botiga tenen dues ofertes: una de 18 plats per 144 i una altra de 12 plats per 108 . En quina de les dues ofertes és més barat el preu d’un plat? Quant més?

Repassa

+3

+2

+1

–1

–2

–3

–4 –3 –2 –1 0 11121314

C

D

B

A

H

E FG

3 60

grau

Repàs en comú• Formeu grups de quatre components i indiqueu que, en cada grup,

cada integrant ha de preparar i explicar als companys el contingut d’una doble pàgina diferent de la unitat:

2 Ha de dir què es treballa en aquesta doble pàgina: conceptes (què és…) i procediments (com és…). Pot utilitzar com a base la taula proposada en l’activitat del programa d’ESTUDI EFICAÇ de la pàgina 89 i les síntesis dels quadres explicatius.

2 Ha de posar un exemple del cas i resoldre’l, explicant cada pas del procediment seguit.

2 Ha d’inventar un problema senzill en què haja d’aplicar el contin-gut de la dita pàgina.

UNITAT 6

Solucions 1. • 25 , 24 , 23

• 23 , 22 , 21 , 0 , , 1 1 , 12

• R. M. 26 , 22 , 0 , 11 , , 1 3 , 14

2. A ▶ (13, 13) B ▶ (0, 11)C ▶ (22, 12) D ▶ (21, 0) E ▶ (23, 21) F ▶ (0, 22) G ▶ (12, 23) H ▶ (13, 0) • Tenen igual la primera co-

ordenada A i H, i B i F.Igual la segona, D i H.

3. • 18 ▶ 1, 2, 3, 6, 9 i 18. Compost.

• 26 ▶ 1, 2, 13 i 26. Compost.

• 13 ▶ 1 i 13. Primer.• 17 ▶ 1 i 17. Primer.• 24 ▶ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 i

24. Compost.

4.

5. Comproveu els traçats fets per l’alumnat.

6. • 162º 9’ 27”• 212º 7”• 62º 53’ 29”• 54º 19’ 15”

7. MCD (12 i 8) 5 4 Cada bossa pesarà 4 kg.12 : 4 5 3; 8 : 4 5 23 1 2 5 5

Obtindrà 5 bosses.

8. 135 : 60 ▶ q 5 2; r 5 15Passen 2 minuts i 15 se-gons.

9. 15 3 6 5 90; 27 1 90 5 1171/3 de 117 5 39117 2 39 5 78Li van quedar 78 fotos.

10. 413 : 59 5 7; 71 2 5 9 30 3 9 5 270Costarien 270 €.

11. Pilar s’hi va connectar 7 hores, 27 minuts i 43 segons.

12. 144 : 18 5 8; 108 : 12 5 9;9 2 8 5 1. És 1 € més barat en l’oferta de 18.

91

grau minut segon

360 360

:60:60

▶▶

▶ ▶

132255 _ 0122-0137.indd 137132255 _ 0122-0137.indd 137 11/9/09 07:20:3211/9/09 07:20:32

92

Taula 1 ▶ 7 porcions de pizza d’anxoves i 9 de pernil i formatge.

– Quina fracció de pizza demanen en total?

– Quantes pizzes completes són?

Taula 2 ▶ 6 porcions de pizza de tonyina i 5 de productes fumats.

– Quina fracció de pizza demanen en total?– Quina fracció de pizza han demanat de

tonyina més que de productes fumats?

Taula 3 ▶ 2 pizzes senceres de pernil i formatge.

– Quantes porcions són? – Quina fracció de pizza és?

Taula 4 ▶ 1 pizza de tonyina per a repartir entre 4 persones.

– Quantes porcions n’agafarà cada persona? Quina fracció de pizza és?

Operacions amb fraccions7

La pizza és un plat italià molt conegut. A la pizzeria Il mare tallen les pizzes en 8 porcions iguals i serveixen les porcions que demanen els clients.

Observa les comandes i contesta.

RE

2

Ce

1.

2.

3.

Altres formes de començar• Treballeu de forma manipulativa les comandes de pizza de la situ-

ació inicial de la unitat. Per a això formeu grups d’alumnes, doneu-los diversos quadrats de paper de quatre colors distints (que re-presenten els quatre sabors de pizza) i demaneu-los que els tallen en huit trossos iguals (poden doblegar-los per la meitat en ambdós sentits i per les dues diagonals i, després, tallar-los pels doblecs). Representeu en cada grup les comandes plantejades en el llibre i després altres de similars, plantejades de manera col·lectiva.

Objectius• Reconéixer situacions reals en

què intervenen fraccions.

• Recordar els conceptes bàsics necessaris per al desenvolupa-ment de la unitat.

Suggeriments didàctics• Comenteu la situació inicial i

demaneu a l’alumnat que apor-te experiències personals per fer que s’adonen que fan servir les fraccions i que hi operen en moltes activitats diàries.

• Plantegeu la comanda de cada taula i responeu a les pregun-tes de forma col·lectiva; de-maneu a l’alumnat que efec-tue un càlcul mental intuïtiu.Encara que el càlcul es faça amb porcions (nombres natu-rals), feu-los vore que en reali-tat són operacions amb fracci-ons de pizza, i comenteu que en aquesta unitat aprendran a calcular les dites operacions.

• En Recorda el que en saps, re-passeu amb l’alumnat la relació entre un nombre mixt i una frac-ció, i el procediment per a reduir dues fraccions a comú denomi-nador.

Competències bàsiques

Interacció

amb el món físic

A partir de la situació inicial, de-maneu a l’alumnat que esmente altres situacions en què fem ser-vir fraccions i hi operem, encara que les anomenem com a tros-sos, racions, unces…

Competència

social i ciutadana

En presentar la situació inicial de la pizzeria, digueu que mantindre un comportament correcte als llocs pú-blics és important i, especialment, observar unes normes d’educació a l’hora de menjar.

92

132255 _ 0138-0153.indd 140132255 _ 0138-0153.indd 140 11/9/09 07:19:4511/9/09 07:19:45

?

93

RECORDA EL QUE EN SAPS

Números mixtos

Reducció a denominador comú

Un nombre mixt està format per un nombre natural i una fracció.

94

5 2 1 14

5 2 14

9 quarts de truita són 2 truites senceres i un quart d’una altra.

Per reduir dues fraccions a denominador comú, segueix aquests passos:

1r Calcula el denominador comú: és el MCM dels denominadors de les fraccions.

2n Calcula el numerador de cada fracció: divideix el denominador comú entre el denominador de la fracció i multiplica pel numerador.

56

▶ 18 : 6 3 5 5 15 ▶ 56

5 1518

29

▶ 18 : 9 3 2 5 4 ▶ 29

5 4

18

9 4 1 2

56

i 29

MCM (6 i 9) 5 18

Com s’escriu una fracció en forma de nombre mixt.

94

▶ 94

5 2 14

Com s’escriu un nombre mixt en forma de fracció.

2 14

2 3 4 1 1 5 9 ▶ 2 14

5 94

1. En cada cas, expressa la part pintada en forma de fracció

i de nombre mixt.

2. Escriu cada fracció en forma de nombre mixt

i cada nombre mixt en forma de fracció.

185

326

388

214

2 57

5 27

7 49

3 7

10

3. Redueix a denominador comú.

● 34

i 25

● 56

i 38

● 7

10 i

815

● 49

, 56

i 7

12

● A sumar i restar fraccions de denominador diferent.

● A multiplicar dues fraccions.

● A dividir dues fraccions.

● A resoldre problemes amb fraccions.

APRENDRÀS

Vocabulari de la unitat• Suma, resta, multiplicació i divisió de fraccions

• Fracció inversa

Solucions

Pàgina inicial

• Taula 1: 7 8

1 9 8

5 16 8

5 2

Demanen en total 16 8

de pizza.

Són 2 pizzes completes.

• Taula 2: 6 8

1 5 8

5 11 8

6 8

2 5 8

5 1 8

Demanen en total 11 8

de pizza.

Han demanat 1 8

més de tonyina

que de productes fumats.

• Taula 3: 2 3 8 5 16Són 16 porcions de pizza.

Són 16 8

de pizza.

• Taula 4: 6 8

5 2

Cada persona n’agafarà 2 porcions.

Són 2 8

de pizza.

Recorda el que en saps

1. Rosa ▶ 3 2

5 1 1 2

Verd ▶ 8 3

5 2 2 3

Roig ▶ 22 6

5 3 4 6

2. 3 3 5

5 2 6

4 6 8

5 1 4

19 7

37 7

67 9

37 10

3. • 3 4

i 2 5

▶ 15 20

i 8 20

• 5 6

i 3 8

▶ 20 24

i 9 24

• 7 10

i 8 15

▶ 21 30

i 16 30

• 4 9

, 5 6

i 7 12

▶ 16 36

, 30 36

i 21 36

UNITAT 7

93

132255 _ 0138-0153.indd 141132255 _ 0138-0153.indd 141 11/9/09 07:19:4511/9/09 07:19:45

94

Suma de fraccions

1. Calcula i explica com ho fas.

Després, representa i comprova la suma.

28

1 58

▶

36

1 56

▶

49

1 59

1 79

▶

2. Suma aquestes fraccions de denominador diferent.

23

1 37

25

1 29

56

1 35

12

1 23

1 45

16

1 59

34

1 58

3

10 1

715

12

1 45

1 9

10

Marc té un hort i un jardí.

Ha plantat 27

de l’hort amb tomaques,

37

amb pimentons i 17

amb carlotes.

Després ha plantat 14

del jardí amb flors i 25

amb gespa.

Quina fracció de l’hort ha plantat en total? I del jardí?

De l’hort Suma 2

7,

3

7 i

1

7

Les fraccions tenen igual denominador: suma els numeradors i deixa el mateix denominador.

27

1 37

1 17

5 2 1 3 1 1

7 5

67

Ha plantat 67

de l’hort.

Del jardí Suma 1

4 i

2

5

Les fraccions tenen denominador diferent: redueix-les a denominador comú i després suma les fraccions d’igual denominador.

14

1 25

5 5

20 1

820

5 5 1 8

20 5

1320

Ha plantat 1320

del jardí.

● Per sumar diverses fraccions d’igual denominador, se sumen els numeradors i es deixa el mateix denominador.

● Per sumar diverses fraccions de diferent denominador, es redueixen les fraccions a denominador comú i després se sumen els numeradors i es deixa el denominador comú.

Abans de sumar, redueix-les a denominador comú.

RECORDA

3.

4.

5.

6.

7.

Re

sig

CÀ

Altres activitats• Plantegeu situacions similars a les següents perquè l’alumnat cal-

cule mentalment i responga raonadament:

Antoni ha sumat a la fracció 2/7 una fracció en què el denomina-dor és 7. Ha obtingut com a resultat una fracció:

– Igual que la unitat. Quines dues fraccions ha sumat Antoni?

– Menor que la unitat. Quines fraccions ha pogut sumar Antoni?(cal buscar totes les solucions que siguen possibles).

– Major que la unitat. Quines fraccions ha pogut sumar Antoni?(cal dir diversos casos que siguen possibles).

– Igual que un nombre natural. Quines fraccions ha pogut sumar Antoni? (cal dir diversos casos que siguen possibles).

Objectius• Sumar fraccions d’igual i de di-

ferent denominador.

• Resoldre problemes de suma de fraccions.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Llegiu la situació plantejada i comenteu la suma de fraccions que cal calcular per a resoldre cada pregunta. Indiqueu la im-portància de comprovar, abans d’operar, si les fraccions tenen igual denominador o no.

• Recordeu com se sumen dues fraccions d’igual denominador i expliqueu que, quan els de-nominadors són diferents, cal reduir les fraccions a comú denominador de primer i apli-car després el procediment anterior.

• En portar a terme l’activitat 3, comenteu que tot nombre natu-ral es pot expressar com una fracció de denominador 1 i així operar només amb fraccions.

Competències bàsiques

Aprendre a aprendre

En repassar la reducció a comú denominador per calcular sumes de fraccions, feu vore a l’alumnat la importància de consolidar bé els continguts treballats, atés que suposen la base per a aprenen-tatges posteriors.

Solucions

1. 7 8

▶

8 6

▶

16 9

▶

94

132255 _ 0138-0153.indd 142132255 _ 0138-0153.indd 142 11/9/09 07:19:4611/9/09 07:19:46

0

95

3. Calcula aquestes sumes d’un nombre natural i una fracció.

▶ Exemple: 2 1 37

5 21

1 37

5 147

1 37

5 14 1 3

7 5

177

● 1 1 29

3 1 78

4 1 57

● 45

1 2 27

1 5 3

10 1 6

4. Expressa les sumes de l’activitat 3 en forma de nombre mixt i de fracció.

▶ Exemple: 45

1 2 5 2 1 45

5 2 45

5 2 3 5 1 4

5 5

145

● Obtens les mateixes fraccions que en l’activitat 3?

5. Calcula i resol. Després, contesta.

Teresa es menja la meitat d’un gelat i Àngel es menja dos cinquens del mateix gelat. Quina fracció de gelat es mengen en total?

12

1 25

5 10

1 10

5

En total es mengen de gelat.

● En quantes parts iguals divideixen el gelat per menjar-se cada un la seua part?

● Quantes d’aquestes parts es menja cada un? Quantes parts es mengen en total?

6. Resol.

En una parada venen porcions de panada. Cada porció és un nové de panada. Tres amics en demanen 8, 6 i 5 porcions, respectivament. Quina fracció de panada demanen en total? Quantes panades senceres i porcions són?

Emili ha comprat filets de vedella que pesen cinc sisens de quilo, i filets de porc que pesen tres setens de quilo. Quina fracció de quilo pesen en total els filets? Pesen més o menys d’un quilo?

7. Pensa i contesta. Escriu un exemple que demostre cada resposta.

Ignasi ha sumat dues fraccions menors que la unitat. Pot ser la suma una fracció menor que la unitat? I major? I igual que la unitat?

7

Resta per compensació: suma el mateix nombre als dos termes perquè el segon

siga una desena

31 2 19 73 2 18 34 2 27 95 2 36

43 2 29 51 2 28 52 2 37 54 2 46

65 2 39 46 2 38 61 2 47 82 2 56

72 2 49 89 2 58 78 2 67 99 2 66

CÀLCUL MENTAL

1 2

74 2 28 5 76 2 30 5 46

1 2

2 5 21

1

2 5

5

10

2

5 5

4

10

Altres activitats• Escriviu a la pissarra diverses sumes de fraccions canviant l’ordre

dels sumands i pregunteu a l’alumnat si pensa que el resultat serà el mateix. A continuació, calculeu-les en comú i comenteu al final que la suma de fraccions també compleix les propietats commuta-tiva i associativa. Per exemple:

3 7

1 5 6

i

5 6

1 3 7

( 2 3

1 5 3 ) 1

9 4

i

2 3

1 ( 5 3

1 9 4 )

• Després de treballar la multiplicació de fraccions en les pàgines 98 i 99, podeu dur a terme una activitat similar a aquesta per a comprovar que la multiplicació de fraccions també compleix les propietats commutativa i associativa.

2. • 2/3 1 3/7 5 23/21 • 1/6 1 5/9 5 13/18 • 2/5 1 2/9 5 28/45 • 3/4 1 5/8 5 11/8 • 5/6 1 3/5 5 43/30 • 3/10 1 7/15 5 23/30 • 1/2 1 2/3 1 4/5 5 59/30 • 1/2 1 4/5 1 9/10 5 11/5

3. • 11/9 31/8 33/7• 14/5 37/7 63/10

4. • 1 2 9

5 11 9

; 3 7 8

5 31 8

;

4 5 7

5 33 7

• 2 4 5

5 14 5

; 5 2 7

5 37 7

;

6 3 10

5 63 10

Les fraccions són les mateixes.

5. 1 2

1 2 5

5 5 10

1 4 10

5 9 10

Es mengen 9/10 de gelat.• Divideixen el gelat en 10

parts iguals.• Teresa es menja 5 parts i Àn-

gel, 4. Se’n mengen 9 parts.

6. • 8 9

1 6 9

1 5 9

5 19 9

Demanen 19/9 de panada.

19 9

5 2 1 9

Són 2 panades i 1 porció.

• 5 6

1 3 7

5 35 42

1 18 42

5

5 53 42

Pesen 53/42 de quilo.53/42 . 1Pesen més d’1 kg.

7. Sí, la suma pot ser menor, ma-jor i igual que la unitat.R. M. 3/5 1 1/5 5 4/5; 4/5 , 13/5 1 4/5 5 7/5; 7/5 . 13/5 1 2/5 5 5/5; 5/5 5 1

Càlcul mental

• 12 55 7 59 14 23 15 8 26 8 14 26 23 31 11 33

UNITAT 7

95

132255 _ 0138-0153.indd 143132255 _ 0138-0153.indd 143 11/9/09 07:19:4611/9/09 07:19:46

96

Resta de fraccions

Sílvia tenia en un pitxer 710

de litre de suc de pinya

i en un altre pitxer 34

de litre de suc de taronja.

Ompli de suc de pinya un got de 310

de litre,

i de taronja una tassa de 15

de litre.

Quina fracció de litre de suc queda en cada pitxer?

Pinya Resta 3

10 de

7

10

Les fraccions tenen igual denominador: resta els numeradors i deixa el mateix denominador.

710

2 3

10 5

7 2 310

5 4

10

Queden 4

10 de litre de suc de pinya.

Taronja Resta 1

5 de

3

4

Les fraccions tenen denominador diferent: redueix-les a denominador comú i després resta les fraccions d’igual denominador.

34

2 15

5 1520

2 4

20 5

15 2 420

5 1120

Queden 1120

de litre de suc de taronja.

● Per restar dues fraccions d’igual denominador, es resten els numeradors i es deixa el mateix denominador.

● Per restar dues fraccions de diferent denominador, es redueixen les fraccions a denominador comú i després es resten els numeradors i es deixa el denominador comú.

1. Calcula i explica com ho fas.

Després, representa i comprova la resta.

58

2 28

▶

89

2 29

▶

106

2 56

▶

2. Resta aquestes fraccions de diferent denominador.

67

2 25

34

2 23

7

10 2

47

89

2 45

56

2 38

49

2 5

12

35

2 1

10

815

2 9

20

RECORDA

Per poder restar-les, redueix-les de primer a denominador comú.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Altres activitats• Proposeu a l’alumnat que complete els quadrats màgics següents,

de manera que la suma de les fraccions de cada fila, columna i diagonal siga sempre el mateix nombre:

En corregir-los a la pissarra, demaneu a l’alumnat que escriga la suma calculada per esbrinar el total comú de l’operació, i la suma i resta combinades per trobar el nombre de cada casella.

Objectius• Restar fraccions d’igual i de di-

ferent denominador.

• Resoldre problemes de resta de fraccions.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Llegiu la situació plantejada i comenteu la resta de fraccions que cal calcular per a saber quant de suc queda de cada sabor. Indiqueu que, igual que en la suma, abans d’operar, cal comprovar si les fraccions te-nen igual denominador o no.

• Expliqueu que el procediment de resta de fraccions és similar al de la suma i calculeu a la pis-sarra les dues restes, animant l’alumnat a intervindre-hi.

• Abans de dur a terme l’activitat 6, comenteu que la jerarquia de les operacions amb fraccions és la mateixa que amb nom-bres naturals, i recordeu la dita jerarquia calculant en comú al-gunes operacions combinades amb nombres naturals.

Competències bàsiques

Autonomia

i iniciativa personal

Llegiu la situació inicial i animeu l’alumnat a predir el procediment per a calcular la resta de fraccions d’igual i de diferent denominador, prenent com a model la suma de fraccions.

Solucions

1. 3 8

▶

6 9

▶

5 6

▶

96

4/8 2/8

5/8

6/8

1 10/3 5/3

8/3

3

132255 _ 0138-0153.indd 144132255 _ 0138-0153.indd 144 11/9/09 07:19:4611/9/09 07:19:46

97

7

3. Calcula aquestes restes d’un nombre natural i una fracció.

▶ Exemple: 5 2 38

5 51

2 38

5 408

2 38

5 40 2 3

8 5

378

● 1 2 25

3 2 17

4 2 34

6 2 79

● 32

2 1 94

2 2 113

2 3 235

2 4

4. Calcula.

▶ Exemple: 34

1 74

2 54

5 3 1 7 2 5

4 5

54

● 45

1 35

2 25

● 56

2 16

1 76

● 97

2 47

2 27

5. Resol.

● Roger ha partit 2 flams iguals en 8 parts iguals cada flam. S’han menjat sis huitens d’un flam. Quina fracció de flam ha quedat? És més o menys d’un flam?

● Marta ha comprat un batut de xocolate de tres quarts de litre i un altre de vainilla d’un terç de litre. De quin sabor ha comprat més batut? Quina fracció de litre més?

● Carles va llegir ahir dos novens d’un llibre i hui dos terços del mateix llibre. Quina fracció de llibre ha llegit hui més que ahir?

6. Calcula aquestes operacions combinades.

23

1 16

2 34

56

2 12

1 25

79

2 (38 1 14) 4

5 2 (34 2

310)

6 2 34

5

1 25

5

79

2 5

2 5

7. Calcula i escriu les fraccions que falten perquè les igualtats siguen certes.

8. RAONAMENT. Pensa i completa les fraccions.

1 5 15

1 5

1 5 76

2 6

● Escriu dues sumes i dues restes de fraccions el resultat de les quals siga 1.

14

1 5 7

12 1

35

5 3135

49

2 5 5

18 2

310

5 1340

Altres activitats• Entregueu a cada alumne una targeta de paper perquè hi escriga

una fracció i ajunteu totes les targetes formant un muntó.

Agafeu dues targetes a l’atzar del muntó, llegiu les fraccions que hi ha i indiqueu-los que en calculen la suma i la diferència. Feu-los vore que abans d’escriure la resta, han d’esbrinar quina de les dues fraccions és major, per escriure-la com a minuend.

A continuació, agafeu tres targetes del muntó, llegiu-les i demaneu que calculen la suma de les tres i una operació combinada forma-da per una suma i una resta, amb parèntesis o sense. Comenteu que si, en calcular una de les expressions, resulta una resta que no poden resoldre, han de canviar de lloc les fraccions, les opera-cions o els parèntesis.

UNITAT 7

97

2. • 6/7 2 2/5 5 16/35 • 5/6 2 3/8 5 11/24 • 3/4 2 2/3 5 1/12 • 4/9 2 5/12 5 1/36 • 7/10 2 4/7 5 9/70 • 3/5 2 1/10 5 5/10 5 1/2 • 8/9 2 4/5 5 4/45 • 8/15 2 9/20 5 5/60 5

5 1/12

3. • 3 5

20 7

13 4

47 9

• 1 2

1 4

2 3

3 5

4. • 4 1 3 2 2 5

5 5 5

5 1

•

5 2 1 1 7 6

5 11 6

•

9 2 4 2 2 7

5 3 7

5. • 2 2 6 8

5 10 8

; 10 8

. 1

Han quedat 10/8 de flam. És més d’un flam.

• 3 4

i 1 3

▶ 9 12

i 4 12

;

3 4

. 1 3

. N’ha comprat més

de xocolate.

3 4

2 1 3

5 9 12

2 4 12

5 5 12

N’ha comprat 5/12 de litre més.

• 2 3

2 2 9

5 6 9

2 2 9

5 4 9

Ha llegit hui 4/9 de llibre més.

6. 5 6

2 3 4

5 1 12

2 6

1 2 5

5 22 30

5 11 15

7 9

2 5 8

5 11 72

4 5

2 9 20

5 7 20

7. • 4 12

5 1 3

• 10 35

5 2 7

• 3 18

5 1 6

• 25 40

5 5 8

8. 1 5 1 5

1 4 5

1 5 7 6

2 1 6

• R. L.

132255 _ 0138-0153.indd 145132255 _ 0138-0153.indd 145 11/9/09 07:19:4711/9/09 07:19:47

98

Multiplicació de fraccions

1. Calcula i explica com ho fas.

25

de 74

5 25

3 74

5 3

3 5

45

3 18

3 23

5 3 3

3 3 5

49

de 3

10 34

de 25

76

3 56

13

3 37

32

3 56

3 25

34

3 29

3 35

14

3 47

3 23

2. Calcula aquestes multiplicacions de nombres naturals i fraccions.

▶ Exemple: 2 3 37

5 21

3 37

5 2 3 31 3 7

5 67

● 3 3 27

● 5 3 7

10 ●

29

3 2 ● 56

3 4 ● 45

3 2 3 78

● 6 3 59

3 4

3. Calcula la fracció de cada nombre. Després, multiplica la fracció pel nombre, calcula

el nombre natural equivalent i comprova que obtens el mateix resultat.

23

de 24 49

de 45 56

de 84 37

de 161 58

de 232

A classe han posat un suro que ocupa les 35

parts d’una paret

i hi han col·locat diversos dibuixos que ocupen la meitat del suro.

Quina fracció de la paret ocupen els dibuixos del suro?

El suro 35

de la paret ▶

12

dels 35

de la paret ▶ 5 ◀ 3

10 de la paret

Calcula 1

2 de

3

5, és a dir, multiplica

1

2 per

3

5

● El numerador és el producte dels numeradors.

● El denominador és el producte dels denominadors.

Els dibuixos del suro ocupen les 310

parts de la paret.

Per multiplicar diverses fraccions, es multipliquen els numeradors i es multipliquen els denominadors.

Els dibuixos del suro

12

3 35

5 1 3 32 3 5

5 3

10▶

4.

5.

6.

Re

sig

CÀ

Altres activitats• Escriviu a la pissarra l’expressió a 3 b 5 c. Comenteu que, en

multiplicar dos nombres naturals (excepte 0 i 1), el producte és major que els factors, però amb les fraccions no sempre passa això. Escriviu-ne uns quants exemples i comproveu en comú que:

– Si b és un nombre natural, c sempre és major que a.

Exemple: 3 5

3 2 5 6 5

, 6 5

. 3 5

– Si b és una fracció major que 1, c sempre és major que a.Si b és una fracció menor que 1, c sempre és menor que a.

Exemples: 4 3 7 3

5 28 3

, 28 3

. 4 5 2

3 3 4

5 15 8

, 15 8

, 5 2

Objectius

• Multiplicar fraccions.

• Resoldre problemes de multipli-cació de fraccions.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Presenteu la situació inicial i mostreu com s’obté la solució de forma gràfica.

• Després, comenteu que 1/2 de 3/5 equival a multiplicar amb-dues fraccions (1/2 3 3/5) i expliqueu el dit algoritme.

Per a reforçar

• Aprofiteu l’estratègia sobre in-ventar altres pràctiques simi-lars que hi ha en la pàgina 56 del manual d’ESTUDI EFICAÇ i demaneu a l’alumnat que escri-ga dues fraccions i després les sume, les reste (la major menys la menor) i les multiplique.

Competències bàsiques Competència cultural

i artística

Aprofiteu la situació presentada en el quadre per a comentar el va-lor educatiu de les il·lustracions i treballs exposats a classe i el valor cultural i artístic de les ex-posicions d’art, així com la impor-tància de la seua disposició en l’espai.

Solucions

1. 14 20

5 7 10

12 90

5 2 15

6 20

5 3 10

35 36

3 21

5 1 7

8 120

5 1 15

30 60

5 1 2

18 180

5 1 10

8 84

5 2 21

98

132255 _ 0138-0153.indd 146132255 _ 0138-0153.indd 146 11/9/09 07:19:4711/9/09 07:19:47

23

4

99

7

4. Resol.

● Tres cinquens dels pastissos d’una safata són de xocolate. Quatre setens dels pastissos de xocolate tenen, a més a més, crema. Quina fracció dels pastissos tenen xocolate i crema?

● Una panada pesa tres quarts de quilo. Sara n’ha comprat la meitat. Quina fracció de quilo pesa el tros que ha comprat?

● Laura ha comprat 3 bosses de creïlles fregides que pesaven tres huitens de quilo cada una. Quina fracció de quilo pesen les 3 bosses en total? Pesen més o menys d’un quilo?

● Antoni ha omplit d’aigua 4 pots iguals de set desens de litre de capacitat. Quina fracció de litre d’aigua hi ha en total als pots?

● Dos terços dels 57 animals que hi ha en una granja són gallines. Quantes gallines hi ha a la granja?

● Damià té apegades en un àlbum 162 fotos. Quatre novens de les fotos són del viatge que va fer a l’estiu. Quantes fotos del viatge té a l’àlbum?

5. Escriu la fracció inversa de cada fracció donada. Després, multiplica totes dues.

● 37

37

3 5 …

● 29

● 4

11 ●

65

6. Completa el terme que falta en cada fracció perquè les igualtats siguen certes.

4 3

3 5

158

2

3 4

5 6

20

37

3 2

3 9

5 2756

Resta per compensació: resta el mateix nombre dels dos termes perquè el segon

siga una desena

42 2 11 35 2 22 49 2 23 65 2 34

53 2 21 58 2 32 67 2 43 77 2 44

68 2 31 74 2 52 86 2 63 89 2 74

70 2 41 81 2 62 92 2 73 91 2 64

CÀLCUL MENTAL

▶

APRÉN

● Per a trobar la fracció inversa d’una altra, canvia entre si el numerador i el denominador.

● El producte d’una fracció per la inversa és sempre 1.

▶ 54

fracció inversa

45

54

3 45

5 5 3 44 3 5

5 2020

5 1

2 3

74 2 23 5 71 2 20 5 51

2 3

Altres activitats• Indiqueu a l’alumnat que, quan s’opera

amb fraccions, convé simplificar la frac-ció obtinguda com a resultat sempre que siga possible.

Escriviu a la pissarra una columna amb diverses operacions amb fraccions i una altra columna amb els seus resultats simplificats, perquè l’alumnat calcule i relacione cada operació amb el seu re-sultat.

Per exemple:

2. • 6 7

• 35 10

5 7 2

• 4 9

•

20 6

5 10 3

• 56 40

5 7 5

•

120 9

5 40 3

3. • 16 • 69

• 20 • 145

• 70

4. • 4 7

3 3 5

5 12 35

Tenen xocolate i crema 12/35 dels pastissos.

• 1 2

3 3 4

5 3 8

Pesa 3/8 de quilo.

• 3 3

3 8

5 9 8

; 9 8

. 1

Les 3 bosses pesen 9/8 de quilo. Pesen més d’1 kg.

• 4 3 7 10

5 28 10

5 14 5

En total n’hi ha 28/10 (14/5) de litre.

• 2 3

de 57 5 38

Hi ha 38 gallines.

• 4 9

de 72 5 72

Té 72 fotos.

5. • 3 7

▶ 7 3

; 3 7

3 7 3

5 1

•

2 9

▶ 9 2

; 2 9

3 9 2

5 1

•

4 11

▶ 11 4

; 4 11

3 11 4

5 1

•

6 5

▶ 5 6

; 6 5

3 5 6

5 1

6. 5 4

3 3 2

5 15 8

2 5

3 3 4

5 6 20

3 7

3 1 2

3 9 4

5 27 56

Càlcul mental

• 31 13 26 31 32 26 24 33 37 22 23 15 29 19 19 27

UNITAT 7

99

4 3

1 1 6

6 5

9 4

2 3 2

3 2

8 5

3 3 4

2 3

4 9

3 3 2

3 4

132255 _ 0138-0153.indd 147132255 _ 0138-0153.indd 147 11/9/09 07:19:4711/9/09 07:19:47

100

Divisió de fraccions

Laia té 2 kg i mig d’ametles. Les reparteix en bosses d’un quart de quilo cada una. Quantes bosses en pot preparar?

Ametles 2 12

kg ▶ ▶ 52

kg

Bosses de 1

4 kg 1 kg 5 4 bosses ▶ ▶ 10 bosses d’

14

kg

Calcula quants 1

4 hi ha en

5

2, és a dir, divideix

5

2 entre

1

4

● El numerador és el producte del numerador de la primera fracció pel denominador de la segona.

● El denominador és el producte del denominador de la primera fracció pel numerador de la segona.

Pot preparar-ne 10 bosses d’un quart de quilo.

Per dividir dues fraccions, es multipliquen els termes en creu.

52

: 14

5 5 3 42 3 1

5 202

5 10▶

1. Calcula i explica com ho fas.

38

: 47

5 3

3 5 5 :

38

5 51

: 38

5 3

3 5

29

: 35

76

: 18

23

: 57

45

: 3

10 2 :

47

3 : 78

56

: 4 49

: 5

2. Converteix cada divisió en una multiplicació i calcula.

● 37

: 49

25

: 7

12

59

: 47

18

: 23

● 79

: 6 3

10 : 5

58

: 4 6

11 : 3

FES-HO AIXÍ

Una altra manera de dividir fraccions és multiplicar la primera fracció per la inversa de la segona.

Si el segon terme és un nombre natural, es multiplica per la fracció inversa d’aquest nombre.

▶

▶

37

: 54

5 37

3 45

5 3 3 47 3 5

5 1235

23

: 5 5 23

3 15

5 2 3 13 3 5

5 2

15

3.

4.

5.

6.

7.

Altres activitats• Plantegeu a l’alumnat uns quants problemes de multiplicació o

divisió de fraccions, perquè prenga nota de les dades de l’enunciat (si tenen dificultat, pot fer-ho un alumne a la pissarra de forma dirigida), trie l’operació corresponent i els resolga. Per exemple:

– Robert empaqueta 6 kg d’aletes de pollastre en safates de 3/4 de quilo. Quantes pot fer-ne?

– Júlia ven en un tros les tres cinquenes parts d’un formatge que pesa 3/4 de quilo. Quant pesa el tros de formatge venut?

– Cèlia empaqueta 2 kg i 3/4 de kg de ganxets en bosses de quart de quilo. Quantes en prepara?

Objectius• Dividir fraccions.

• Resoldre problemes de divisió de fraccions.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Presenteu la situació i treba-lleu-la de forma similar a la multiplicació de la doble pà-gina anterior. En presentar la solució gràfica, expliqueu la representació del nombre mixt i la seua expressió en forma de fracció, i per què es divideix cada unitat (1 kg) en 4 parts iguals.

• A continuació, raoneu com re-solem aquest repartiment amb una divisió i expliqueu com es calcula. Insistiu en la diferèn-cia amb la multiplicació, ja que alguns alumnes tendeixen a di-vidir els numeradors i els deno-minadors.

Per a reforçar

• Aprofiteu l’estratègia referent a reconéixer el que s’ha aprés que hi ha en la pàgina 62 del manual d’ESTUDI EFICAÇ llegint el títol de cada doble pàgina de la unitat i demanant a diversos alumnes que expliquen com es calcula cada operació. A conti-nuació, escriviu a la pissarra i resoleu en comú un exemple de cada operació amb fracci-ons, pregunteu als xiquets i xiquetes en quines han tingut dificultats i si ja les han supera-des, i proposeu més activitats de pràctica.

Competències bàsiques

Competència lingüística

En corregir les divisions planteja-des en aquesta doble pàgina, de-maneu a l’alumnat que explique com les ha calculades, perquè siga conscient del procés seguit i, a par-tir de la sistematització, adquirisca cada vegada major automatisme.

100

132255 _ 0138-0153.indd 148132255 _ 0138-0153.indd 148 11/9/09 07:19:4811/9/09 07:19:48

: 3

101

7

3. Resol.

● David té una botella amb dos cinquens de litre de llet. Cada vegada que pren un café amb llet, s’aboca a la tassa un desé de litre de llet. Quants cafés amb llet pot prendre amb la llet de la botella?

● Natàlia envasa 6 kg de mandarines en malles de tres quarts de quilo. Quantes malles pot fer-ne?

● Tomàs reparteix 3 truites iguals entre diversos amics. Dóna a cada un un cinqué de truita i no en sobra gens. Entre quantes persones ha repartit les truites?

● Maite ha d’enviar 4 paquets iguals, que pesen en total huit novens de quilo. Quina fracció de quilo pesa cada paquet?

● Ricard ha fet les tres quartes parts d’un treball en 3 dies. Si tots els dies ha fet la mateixa quantitat de treball, quina fracció de treball ha fet cada dia?

4. Calcula i escriu les fraccions que falten perquè les igualtats siguen certes.

27

3 5 1021

3 35

5 2710

14

: 5 3

28 :

25

5 4540

5. Calcula aquestes operacions combinades.

14

1 12

3 35

89

2 23

: 56

(72 2 56) 3

29

95

: (38 1 34)

14

1 5 89

2 5 3 5 : 5

6. Calcula i completa.

1 14

2 56

3 52

: 3102

3

7. RAONAMENT. Pensa i escriu la fracció o el nombre natural que falta en cada igualtat.

1 5 14

3 1 5 6 3 1 5 74

3

1 5 14

: 1 5 6 : 1 5 74

:

UNITAT 7

Solucions

1. • 21 32

10 27

56 6

5

28 3

14 15

40 15

5

8 12

• 40 3

14 4

5

7 2

24 7

5 24

4 45

2. •

27 28

24 35

35 36

3 16

• 7 54

3 50

5 32

6 33

5 2 11

3. •

2 5

: 1 10

5 20 5

5 4

Pot prendre 4 cafés amb llet.

• 6 : 3 4

5 24 3

5 8

Pot fer-ne 8 malles.

• 3 : 1 5

5 15 1

5 15

Ha repartit les truites entre 15 persones.

• 8 9

: 4 5

8 36

5 2 9

Cada paquet pesa 8 36

( 2 9 )

de quilo.

• 3 4

: 3 5

3 12

5 1 4

Cada dia ha fet 3 12

( 1 4 )

de treball.

4.

5 3

9 2

7 3

9 20

5.

1 4

1 3 10

5 11 20

8 9

2 12 15

5 4 45

16 6

3 2 9

5 32 54

5 16 27

9 5

: 9 8

5 72 45

5 8 5

6.

2 3

→ 11 12

→ 1 12

→ 5 24

→

→

50 72

5 25 36

7. • 4 •

1 6

• 4 7

• 1 4

• 6 • 7 4

101

Altres activitats• Escriviu a la pissarra diversos parells de fraccions (i de nombre na-

tural i fracció). Demaneu als xiquets i xiquetes que dividisquen la primera fracció entre la segona. A continuació, indiqueu que dividis-quen la segona fracció entre la primera. Corregiu a la pissarra les dues divisions de cada parell i demaneu-los que expliquen quina relació hi ha entre ambdós resultats: són fraccions inverses.

132255 _ 0138-0153.indd 149132255 _ 0138-0153.indd 149 11/9/09 07:19:4811/9/09 07:19:48

102

7. Completa les fraccions perquè les igualtats

siguen certes.

38

1 8

5 10

25

1 5 2935

6 2

26

5 3

2

23

5 19

2 3 3

5 1021

47

3 5 2021

4 :

6 5 54

20 :

49

5 4532

8. Calcula.

34

1 52

2 35

289

2 56

: 27

59

: (34 2 12) (16 1

38) 3

52

9. Pensa i digues si el resultat pot ser

un nombre natural. Posa’n un exemple.

10. Observa les pastilles i calcula quina fracció

de pastilla és.

Fixa-t’hi: Les dues pastilles són de la mateixa mida i estan dividides en un nombre diferent de parts iguals.

● 3 unces de xocolate negre i 2 de blanc.

● 1 unça de xocolate blanc més que 1 de xocolate negre.

● 3 trossos de 2 unces de xocolate negre.

● La meitat d’un tros de 3 unces de xocolate blanc.

Activitats

1. ESTUDI EFICAÇ. Copia i completa

l’esquema.

2. Suma.

35

1 45

56

1 37

13

1 24

1 58

3 1 14

29

1 6 5 1 78

1 8

3. Resta.

67

2 27

56

2 49

74

2 38

2 2 16

5 2 103

145

2 2

4. Multiplica.

58

3 18

43

3 25

35

3 74

3 23

3 3 106

59

3 4 5 3 38

3 2

5. Divideix.

52

: 27

35

: 38

49

: 56

5 : 78

3 : 25

154

: 2

6. Escriu el signe de l’operació que s’ha

fet en cada cas.

34

25

5 158

34

25

5 6

20

34

25

5 2320

34

25

5 7

20

Restes dues

fraccions

Sumes dues

fraccions

Divideixes dues fraccions

Multipliques dues fraccions

OPERACIONS AMB FRACCIONS

Suma ▶ Primerament es redueixen a …

Resta ▶ Primerament …

Multiplicació ▶ Es multipliquen …

Divisió ▶ …

11

ET

Altres activitats• Demaneu als xiquets i xiquetes que inventen i calculen una suma,

una resta, una multiplicació i una divisió de dues fraccions i d’una fracció i un nombre natural. A continuació, indiqueu a cada alumne que copie en un full les huit operacions desordenades, però sense el signe de l’operació efectuada, i l’entregue a un company. Aquest ha d’esbrinar quina operació s’ha fet en cada cas.

Objectius• Repassar els continguts bàsics

de la unitat.

• Aplicar les matemàtiques en di-ferents contextos.

Competències bàsiques

Aprendre a aprendre

Mostreu a l’alumnat que, partint del que ja sabien sobre fraccions, han aconseguit avançar en el seu coneixement.

Solucions

1. R. L.

2. 7/5 53/42 35/24 13/4 56/9 111/8

3. 4/7 7/18 11/811/6 5/3 4/5

4. 5/64 8/15 42/60 5 7/10 30/6 5 5 20/9 30/8 5 15/4

5. 35/4 24/15 5 8/5 24/45 5 8/15 40/7 15/2 15/8

6. 3/4 : 2/5 3/4 3 2/5 3/4 1 2/5 3/4 2 2/5

7. 3/8 1 7/8 5 10/8 15/35 5 3/7

5/6 2 2/6 5 3/6 7/92/7 3 5/3 5 10/21 5/39/4 : 5/6 5 54/20 5/8

8. • 53 20

• 20 9

• 7 36

• 65 48

9. • Suma: sí que pot ser.

R. M. 3/7 1 11/7 5 2

• Resta: sí que pot ser.

R. M. 19/3 2 1/3 5 6

• Multiplicació: sí que pot ser.

R. M. 3/4 3 8/3 5 2

• Divisió: sí que pot ser.

R. M. 3/4 : 1/8 5 6

102

132255 _ 0138-0153.indd 150132255 _ 0138-0153.indd 150 11/9/09 07:19:4911/9/09 07:19:49

ts

ó

de

e.

103

7

11. Resol.

● Ivan col·lecciona peces d’escacs. Un seté de les peces són de vidre, dos setens són de pedra i les restants són de fusta. Quina fracció de les peces és de fusta? Si té en total 448 peces, quantes són de cada material?

● Karina ha begut un terç de l’aigua d’una cantimplora i Pau, tres huitens. Quina fracció de l’aigua de la cantimplora han begut en total? Quina fracció de l’aigua queda a la cantimplora?

● Pep ha comprat 2 safates amb un quart de quilo de pastissos amb crema i mig quilo de pastissos sense crema cada una. Quina fracció de quilo pesa cada safata? I en total les 2 safates?

● En un gerro hi ha roses i clavells. Tres cinquens de les flors són roses i dos novens de les roses són blanques. Quina fracció de les flors són clavells? I quina fracció de les flors són roses blanques?

● Sergi ven truites partides en sisens. Hui tenia 30 sisens de truita i ha venut 3 truites i un sisé. Quants sisens de truita li queden? Quantes truites senceres i sisens de truita són?

● Quants gots d’un quart de litre es poden omplir amb el refresc d’una botella d’1 litre i mig?

● En una carretera de 3 km es vol posar un fanal cada tres desens de quilòmetre. Quants fanals s’hi col·locaran, a més del primer de l’inici del camí?

ETS CAPAÇ DE… Utilitzar fraccions a la cuina

Manel és cuiner. Abans de començar a cuinar, prepara els ingredients necessaris per a elaborar cada plat.

● Per a fer les verdures saltades del primer plat, utilitza 1 kg i mig de creïlles, 3 quarts de quilo de carabassetes i 1 quart de quilo de porros. Quant pesen en total les creïlles i la verdura?

● Per preparar el segon plat, ha comprat 9 filets que pesen un sisé de quilo cada un. Quant pesen en total tots els filets?

● Per a postres vol preparar 2 litres i quart de suc de taronja. Escorrent cada taronja n’obté un huité de litre. Quantes taronges necessita per a preparar tot el suc?

● Si reparteix els 2 litres i quart de suc en 9 gots iguals, quina fracció de litre de suc abocarà en cada un dels gots?

UNITAT 7

10. • 3/8 1 2/6 5 17/24 • 1/6 2 1/8 5 1/24• 3 3 2/8 5 6/8 5 3/4• 3/6 : 2 5 3/12 5 1/4

11. • De fusta ▶ 1 2 1/7 2

2 2/7 5 4/7. De vidre ▶ ▶ 1/7 de 448 5 64. De pedra ▶ 2/7 de 448 5 5 128. De fusta ▶ 4/7 de 448 5 256.

• 1/3 1 3/8 5 17/24Han begut 17/24 de l’aigua.1 2 17/24 5 7/24Hi queden 7/24 de l’aigua.

• 1/4 1 1/2 5 3/4 Cada safata pesa 3/4 kg.

2 3 3 4

5 6 4

5 3 2

5 1 1 2

Les dues pesen 6/4 kg (1 kg i mig).

• 1 2 3/5 5 2/5. Són cla-vells 2/5 de les flors.2/9 3 3/5 5 6/45 5 2/15Són roses blanques 6/45 (2/15) de les flors.

• 30 6

2 3 1 6

5 11 6

5 1 5 6

Li’n queden 11 sisens. Són 1 truita sencera i 5 sisens.

• 1 1 2

5 3 2

3 2

: 1 4

5 12 2

5 6

Es poden omplir 6 gots.• 3 : 3/10 5 30/3 5 10

S’hi col·locaran 10 fanals més.

Ets capaç de…

• 1 1 2

1 3 4

1 1 4

5 10 4

5

5 5 2

5 2 1 2

Pesen 10/4 kg (2 kg i mig).

• 9 3 1 6

5 9 6

5 3 2

5 1 1 2

Pesen 9/6 kg (1 kg i mig).

• 2 1 4

: 1 8

5 9 4

: 1 8

5 72 4

5

5 18Necessita 18 taronges.

• 2 1 4

: 9 5 9 4

: 9 5 9 36

5 1 4

N’abocarà 1/4 litre en cada got.

103

Programa d’ESTUDI EFICAÇ• En acabar la unitat, demaneu a l’alumnat que complete una taula com

aquesta:

Unitat 7 Operacions amb fraccions

El que he aprésEl que he aprés

a fer

Suma de fraccions

Resta de fraccions

Multiplicació de fraccions

Divisió de fraccions

132255 _ 0138-0153.indd 151132255 _ 0138-0153.indd 151 11/9/09 07:19:4911/9/09 07:19:49

EX

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Altres activitats• Plantegeu a l’alumnat altres problemes similars als presentats en

aquesta pàgina, per fer-los en comú a la pissarra. Per exemple:

– Raquel té un muntó de cucs de seda. Regala a un amic 5 cucs, que són un sisé dels que tenia. Quants cucs de seda tenia Ra-quel? Quants li’n queden?

– En un viatge, Andreu fa una parada després de recórrer les cinc huitenes parts del trajecte. Des d’aquest punt, li falten encara per recórrer 84 km. Quants quilòmetres ha recorregut ja? Quants quilòmetres haurà recorregut en acabar el viatge?

104

Solució de problemesRepresentar la situacióRepresenta l’enunciat de cada problema. Això t’ajudarà a comprendre’l millor.

Després, resol-lo.

Laura i Fèlix han obert una capsa de bombons i s’han menjat els dos cinquens de tots els bombons que hi havia a la capsa. Encara queden a la capsa 12 bombons. Quants bombons hi havia al principi a la capsa?

▶ Representem la capsa de bombons dividida en 5 parts iguals. Assenyalem les parts que s’han menjat i les parts que queden.

1r Calculem els bombons que hi ha en cada part.

En 3 parts hi ha 12 bombons.

12 : 3 5 4 ▶ En cada part hi ha 4 bombons.

2n Calculem els bombons que hi havia a la capsa.

En 5 parts ▶ 5 3 4 5 20

Solució: A la capsa hi havia 20 bombons.

1. Mariola ha cuinat les tres quartes parts dels filets que tenia a la nevera. Ha cuinat en total 15 filets. Quants filets tenia Mariola a la nevera?

2. Els dos terços dels participants en un concurs de pintura són dones i els restants són homes. Hi han participat 14 dones. Quantes persones han participat en el concurs?

3. Penèlope va prestar al seu germà cinc sisens dels estalvis que tenia. Li va prestar 55 . Quants diners tenia Penèlope?

4. Miquel va comprar una impressora a terminis. Ha pagat ja els tres huitens del preu i ha de pagar encara 75 . Quant costava la impressora?

5. Paula va enviar ahir set huitens dels correus electrònics que havia d’enviar durant tota la setmana. Li van quedar sense enviar 4 correus. Quants correus havia d’enviar en total?

6. INVENTA. Escriu un problema semblant als d’aquesta pàgina que puga ser resolt millor representant la situació.

▶

(12 bombons)

25

35

}}

▶▶

▶▶

▶

▶

▶

▶

104

Objectius• Resoldre problemes represen-

tant la situació de l’enunciat.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Comenteu l’estratègia planteja-da i llegiu el problema resolt per parts, fent i retolant en cada cas un dibuix a la pissarra. Després, resoleu-lo fent vore a l’alumnat el suport que suposa el dibuix elaborat.

Competències bàsiques

Tractament

de la informació

Comenteu la importància que té interpretar bé les dades i l’ajuda que proporciona per a la compren-sió del problema la seua repre-sentació gràfica.

Solucions1. Per cuinar: 1/4

Cuinat: 3/4 15

15 : 3 5 5; 4 3 5 5 20 Tenia a la nevera 20 filets.

2. Homes: 1/3

Dones: 2/3 14

14 : 2 5 7; 3 3 7 5 21 Hi han participat 21 persones.

3. Per prestar: 1/6

Prestat: 5/6 55

55 : 5 5 11; 6 3 11 5 66 Penèlope tenia 66 €.

4. Per pagar: 5/8 75Pagat: 3/8

75 : 5 5 15; 8 3 15 5 120 La impressora costava 120 €.

5. Per enviar: 1/8 4

Enviat: 7/8

8 3 4 5 32 Havia d’enviar 32 correus.

6. R. L.

▶▶

132255 _ 0138-0153.indd 152132255 _ 0138-0153.indd 152 11/9/09 07:19:4911/9/09 07:19:49

105

7

EXERCICIS

1. Calcula.

● 147.906 1 34.127 ● 617 3 945

● 898.026 1 40.816 ● 243 3 620

● 345.697 2 281.904 ● 9.423 : 27

● 512.776 2 16.999 ● 81.192 : 398

2. Calcula.

● 7 3 3 2 8 : 2 ● 2 1 3 1 5 3 4

● 9 2 2 3 3 1 6 ● 11 2 (1 1 3) 3 2

● 6 : (7 2 4) 2 1 ● 6 3 4 2 8 2 7

● 5 2 (9 2 5) 1 7 ● 9 2 2 3 (9 2 5)

3. ESTUDI EFICAÇ. Explica amb paraules teues.

● Com se sap si dues fraccions són equivalents.

● Com es calculen fraccions equivalents a una altra fracció per amplificació.

● Com es calculen fraccions equivalents a una altra per simplificació.

4. Expressa en forma de nombre mixt.

● 184

● 395

● 708

● 839

5. Expressa en forma de fracció.

● 8 34

● 7 45

● 9 38

● 6 79

6. Completa perquè les fraccions siguen

equivalents.

● 74

5 12

● 1815

5 6

● 5

5 4064

7. Compara cada parell de fraccions.

● 56

i 1118

● 67

i 78

● 38

i 4

12

PROBLEMES

8. Un quart dels 300 pisos d’un bloc són més grans que la resta. Per arreglar el garatge, els pisos grans van pagar 115 cada un i els restants van pagar 93 cada pis. Quant costava la reparació?

9. Pilar i Pere lligen la mateixa novel·la. Pilar n’ha llegit ja tres huitens i Pere n’ha llegit dos novens. Quin dels dos ha llegit més?

10. Marta va vendre al gener 25 vestits a 120 cada un. Al febrer en va vendre 3 menys, però cada un el va vendre 17 més car. Quin mes en va traure més diners? Quants més?

11. En una fàbrica de llepolies van envasar 14.400 gominoles en bosses de 12 gominoles cada una. Les bosses les van posar en caixes de 20 bosses cada una. Cada caixa la van vendre per 30 . Quants diners en van traure?

12. Lluís i Mireia han coincidit hui fent una ruta de senderisme. Lluís la recorre cada 8 setmanes i Mireia, cada 10 setmanes. D’ací a quantes setmanes tornaran a coincidir?

13. Marta té en l’MP3 18 cançons soltes de pop anglés, 35 de pop espanyol i dos discos d’un grup de rock amb el mateix nombre de cançons cada un. En total té 77 cançons. Quantes cançons hi ha en cada disc de rock?

RepassaUNITAT 7

Solucions 1. • 182.033 • 583.065

• 938.842 • 150.660• 63.793 • 349• 495.777 • 204

2. • 17 • 25• 9 • 3• 1 • 9• 8 • 1

3. • Els productes dels seus termes en creu són iguals.

• Multiplicant-ne els dos ter-mes per un mateix nombre.

• Dividint-ne els termes en-tre un mateix nombre.

4. 4 2 4

7 4 5

8 6 8

9 2 9

5. 35 4

39 5

75 8

61 9

6. 7 4

5 21 12

18 15

5 6 5

5 8

5 40 64

7. 5 6

. 11 18

6 7

, 7 8

3 8

. 4 12

8. 1/4 de 300 5 75300 2 75 5 22575 3 115 1 225 3 93 5 5 29.550Costava 29.550 €.

9. 3 8

. 2 9

. Pilar ha llegit més.

10. 25 3 120 5 3.000(25 2 3) 3 (120 1 17) 5 5 3.0143.014 2 3.000 5 14 En va traure més diners al fe-brer: 14 € més.

11. 14.000 : 12 5 1.2001.200 : 20 5 6060 3 30 5 1.800En van traure 1.800 €.

12. MCM (8 i 10) 5 40Tornaran a coincidir d’ací a 40 setmanes.

13. 77 2 (18 1 35) 5 2424 : 2 5 12En cada disc de rock hi ha 12 cançons.

105

Repàs en comú• Formeu grups de quatre alumnes i demaneu a cada grup que in-

vente un problema utilitzant una o més operacions amb fraccions: suma, resta, multiplicació i divisió, i el resolga. Arreplegueu els pro-blemes proposats i plantegeu-ne alguns perquè tot l’alumnat els resolga en el quadern. Un dels alumnes del grup que l’ha inventat l’ha de fer a la pissarra per corregir-lo.

132255 _ 0138-0153.indd 153132255 _ 0138-0153.indd 153 11/9/09 07:19:5011/9/09 07:19:50

106

Nombres decimals. Operacions

8

● Quina puntuació ha aconseguit cada gimnasta?

● Quina és la part entera de la puntuació de Núria? I la part decimal de la puntuació de Roser?

● Quina gimnasta ha aconseguit la puntuació més alta? I la més baixa?

En la gimnàstica esportiva es realitzen exercicis en aparells (barra fixa, anelles, poltre...) o al sòl. Les gimnastes reben dels jutges una puntuació per cada un dels exercicis fets. Aquesta puntuació és un nombre menor o igual que 10, amb una xifra decimal. Tot seguit es descarten les notes major i menor i es fa la mitjana de les restants. Aquesta mitjana, que serà un nombre decimal amb tres xifres decimals, és la nota de l’esportista.

En la taula figuren les puntuacions de cinc gimnastes en un exercici.

Gimnasta Puntuació

Núria 8,973

Roser 9,156

Arantxa 9,028

Yaiza 8,964

Carme 9,180

RE

L

E

L

●

●

1.

2.

3.

4.

C

F

P

Altres formes de començar• Demaneu a l’alumnat que diga llocs en els quals es puguen vore

nombres decimals o situacions en les quals solem utilitzar-ne, per exemple quan expressem mesures.

Poseu-ne diversos exemples i escriviu els nombres decimals a la pissarra, per repassar-ne de forma col·lectiva la lectura, descom-posició i comparació.

• Feu un dictat de nombres decimals i després demaneu a l’alumnat que llija els nombres escrits. Feu-los preguntes sobre els nombres escrits per repassar-ne la descomposició i comparació. Per exem-ple: Quins nombres tenen 4 desenes? Quins nombres són majors que 3 i menors que 3,8?

Objectius• Reconéixer situacions reals en

què intervenen nombres deci-mals.

• Recordar conceptes necessaris per a desenvolupar la unitat.

Suggeriments didàctics• Llegiu el text inicial i comenteu

amb l’alumnat per què s’utilitzen nombres decimals en les puntu-acions. Aprofiteu les preguntes plantejades per a comprovar el seu nivell en el maneig d’aquests nombres: lectura, escriptura, des-composició, comparació…

• En Recorda el que en saps, tre-balleu amb l’alumnat els contin-guts que considereu més neces-saris, segons l’avaluació inicial anterior.

Competències bàsiques

Interacció

amb el món físic

Prenent com a exemple les pun-tuacions de les gimnastes de la situació inicial, demaneu a l’alum-nat que anomene altres situacions en què usem nombres decimals. Per exemple: preus, temps, longi-tuds…

Competència cultural

i artística

En comentar la situació inicial ex-pliqueu que en les proves, a més de l’habilitat esportiva, es cuida i puntua l’aspecte estètic de l’exer-cici. Amb el diàleg, fomenteu en l’alumnat el valor de cuidar la pre-sentació del seu treball.

Competència social

i ciutadana

En dialogar sobre els esportistes, mostreu com un exemple a imitar el seu esforç personal, la seua vinculació a l’equip, la ciutat o la nació que representen, i la seua acceptació de triomfs i derrotes.

106

132255 _ 0154-0169.indd 156132255 _ 0154-0169.indd 156 11/9/09 07:23:2811/9/09 07:23:28

107

RECORDA EL QUE EN SAPS

Lectura i descomposició de nombres decimals

El nombre 17,425 és un nombre decimal.

La part entera és 17 i la part decimal és 425.

● 17,425 es llig: 17 unitats i 425 mil·lèsimes o 17 coma 425.

● 17,425 5 1 desena 1 7 unitats 1 4 dècimes 1 2 centèsimes 1 5 mil·lèsimes

17,425 5 10 1 7 1 0,4 1 0,02 1 0,005

1. Escriu com es llig i descompon cada nombre.

4,8 9,52 30,196 147,04 6,083

2. Escriu aquests nombres decimals.

● 5 unitats i 3 dècimes ● 71 coma 09

● 9 unitats i 26 mil·lèsimes ● 6 coma 148

3. Compara i escriu el signe adequat.

● 58,37 58,4 ● 2,69 2,652

● 32,6 27,9 ● 14,036 14,038

4. Expressa com s’indica.

Com a nombre decimal Com a fracció decimal

28710

5

100

3191.000

0,4 6,81 0,052

Part entera Part decimal

C D U d c m

1 7 4 2 5

Comparació de nombres decimals

9 , 12 4 5 4 i 2 5 2

▼ 5 . 3

9,83 , 12,6 ▼ 4,251 . 4,236

9,83

12,6

4,251

4,236

Fraccions decimals i nombres decimals

Podem expressar les fraccions decimals com a nombres decimals, i a l’inrevés.

398100

5 3,98 56

1.000 5 0,056 4,7 5

4710

0,23 5 23

100

2 zeros 3 zeros 1 xifra decimal 2 xifres decimals 2 xifres decimals 3 xifres decimals 1 zero 2 zeros

● A sumar i restar nombres decimals.

● A multiplicar dos nombres decimals.

● A aproximar un nombre decimal a les unitats, dècimes o centèsimes.

● A estimar sumes o restes de nombres decimals i productes d’un decimal per un natural.

APRENDRÀS

,

Vocabulari de la unitat• Nombre decimal

• Dècima, centèsima i mil·lèsima

• Aproximació

• Estimació

Solucions

Pàgina inicial

• Núria: 8 coma 973. Roser: 9 coma 156.Arantxa: 9 coma 028.Yaiza: 8 coma 964.Carme: 9 coma 180.

• La part entera de la puntuació de Núria és 8.La part decimal de la puntuació de Roser és 156.

• Carme ha obtingut la puntuació més alta i Yaiza, la més baixa.

Recorda el que en saps

1. • 4,8 ▶ 4 coma 8 o 4 unitats i 8 dècimes4,8 5 4 1 0,8

• 9,52 ▶ 9 coma 52 o 9 unitats i 52 centèsimes9,52 5 9 1 0,5 1 0,02

• 30,196 ▶ 30 coma 196 o 30 unitats i 196 mil·lèsimes30,196 5 30 1 0,1 1 1 0,09 1 0,006

• 147,04 ▶ 147 coma 04 o 147 unitats i 4 centèsimes147,04 5 100 1 40 1 7 1 1 0,04

• 6,083 ▶ 6 coma 083 o 6 unitats i 83 mil·lèsimes6,083 5 6 1 0,08 1 1 0,003

2. • 5,3 • 71,09• 9,026 • 6,148

3. • 58,37 , 58,4 • 32,6 . 27,9 • 2,69 . 2,652• 14,036 , 14,038

4. • 28,7 0,05 0,319

• 4 10

681 100

52 1.000

UNITAT 8

107

132255 _ 0154-0169.indd 157132255 _ 0154-0169.indd 157 11/9/09 07:23:2811/9/09 07:23:28

108

Suma i resta de nombres decimals

1. Col·loca els nombres i calcula.

● 76,42 1 8,95 ● 52,17 2 9,63

● 3,218 1 14,39 ● 264,035 2 7,8

● 0,5 1 7,84 1 21,9 ● 80,6 2 24,59

● 9,26 1 54,3 1 0,178 ● 73,2 2 5,381

2. Calcula el terme que falta en cada operació. Explica com ho fas.

38,47 1 5 51,95 2 6,284 5 13,79

1 9,8 5 406,34 193,7 2 5 75,64

5,461 1 5 10,27 2 80,42 5 27,5

3. Calcula.

1 6,73 1 27,5 2 8,9 2 4,1768,45

– 5,28 1 24,6 2 3,751 1 9,3813,7

Andreu va comprar una planta per 17,65 , una jardinera per 21,43 i una regadora que costava 8,50 . Per pagar va donar un bitllet de 50 . Quants diners li van tornar?

Li van tornar 2,42 .

1r Suma els preus dels tres articles per calcular la despesa total.

Suma 17,65; 21,43 i 8,50

D U d c

2n Resta la despesa total dels diners donats per calcular quants li’n tornen.

Resta 47,58 de 50

D U d c

Per sumar o restar nombres decimals, es col·loquen de manera que coincidisquen en la mateixa columna les xifres del mateix ordre. Després, se sumen o es resten com si foren nombres naturals i es posa la coma en el resultat davall la columna de les comes.

En restar, quan calga, afig zeros al minuend.

RECORDA

1 7, 6 5 2 1, 4 3

1 8, 5 0 4 7, 5 8

5 0, 0 0 2 4 7, 5 8 0 2, 4 2

4.

5.

6.

Mu

CÀ

Altres activitats• Entregueu a cada alumne una targeta de paper perquè hi escriga

un nombre decimal d’una, dues o tres xifres decimals.

Arreplegueu les targetes i poseu-les en un muntó. Agafeu-ne dues targetes a l’atzar i llegiu els nombres que hi ha perquè en calculen la suma i la diferència (feu-los vore que han d’esbrinar quin dels dos nombres és major, per a escriure’l com a minuend en la resta).

A continuació, agafeu-ne tres més, digueu els nombres que conte-nen i demaneu-los que calculen la suma dels tres i una operació combinada formada per una suma i una resta, amb parèntesis o sense. Comenteu que si, en calcular una de les expressions, re-sulta una resta que no poden resoldre, han de canviar de lloc els nombres, les operacions o els parèntesis.

Objectius• Sumar i restar nombres deci-

mals.

• Resoldre problemes de suma i resta amb nombres decimals.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Llegiu el problema inicial i plan-tegeu en comú els passos per resoldre’l. Escriviu les operaci-ons a la pissarra recordant la col·locació dels termes i calcu-leu-les. En efectuar la resta, co-menteu que afegim zeros en la part decimal del minuend per facilitar-ne el càlcul.

• Abans de fer l’activitat 4, co-menteu que la jerarquia de les operacions és la mateixa en operar amb nombres decimals que amb naturals o fraccions.

Per a reforçar

• Aprofiteu l’estratègia sobre de-tectar errors en el procediment que hi ha en la pàgina 58 del manual d’ESTUDI EFICAÇ, i de-maneu a l’alumnat que, després de portar a cap les activitats 2 i 3, comprove els resultats ob-tinguts per detectar-hi possibles errors, calculant l’operació dona-da amb el terme trobat i aplicant a cada terme de la sèrie l’opera-ció inversa per a l’obtenció del terme anterior.

Competències bàsiques

Autonomia i iniciativa

personal

Fomenteu en els xiquets i xiquetes aquesta competència animant-los a resoldre individualment els pro-blemes plantejats, com a aplica-ció pràctica dels procediments de suma i resta de nombres decimals treballats anteriorment. Corregiu-los al final en comú, demanant-los que expliquen com els han resolt i per què.

108

132255 _ 0154-0169.indd 158132255 _ 0154-0169.indd 158 11/9/09 07:23:2811/9/09 07:23:28

3

7,8

9

1

109

4. Calcula. Recorda l’ordre en què has de fer les operacions.

▶ Exemples: 26,83 2 4,5 1 7,619 26,83 2 (4,5 1 7,619)

22,33 1 7,619 5 29,949 26,83 2 12,119 5 14,711

● 4,26 1 9,513 2 12,8 ● 43,5 2 (16,83 1 0,094) ● 25,4 2 (31,398 2 7,6)

● 21,7 2 6,34 1 3,591 ● 27,316 1 (5,2 1 19,87) ● 30,28 2 16,572 1 4,9

● 36,28 2 5,7 2 14,629 ● 19,258 2 (21,7 2 8,36) ● 57,9 2 (2,8 1 37,416)

5. Observa i calcula.

● Quant pesen en total els paquets roig i verd?

● Quant pesen en total els paquets blau, verd i groc?

● Quant pesa el paquet blau menys que el groc?

● Quant pesen els paquets roig i blau més que el paquet verd?

6. Resol.

● Òscar vol comprar un xandall i unes sabatilles que costen 27,90 i 23,45 , respectivament. En té prou amb un bitllet de 50 ? Quants diners li falten o li sobren?

● Un corredor de Fórmula 1 va tardar 1 minut i 22,459 segons a fer una volta a un circuit. El seu company d’equip hi va tardar 1,07 segons més que ell. Quant de temps va tardar el seu company a fer una volta al circuit?

● Anna vol comprar un retall de tela per fer-hi una disfressa. Necessita 1,08 m de tela per als pantalons, 0,86 m per a la jaqueta i 1,5 m per a fer la capa. A la botiga hi ha retalls de 3 m i de 4 m. Quants metres de tela necessita? Quin tipus de retall comprarà? Quina quantitat de tela li sobrarà?

8

Multiplica un nombre natural per 2

21 3 2 52 3 2 28 3 2 124 3 2

43 3 2 81 3 2 39 3 2 302 3 2

32 3 2 72 3 2 57 3 2 423 3 2

24 3 2 64 3 2 68 3 2 514 3 2

CÀLCUL MENTAL

40 3 2 5 80 7 3 2 5 14

47 3 2 94 80 1 14 5 94

1,328 kg

4,256 kg

2,5 kg

3,75 kg

Altres activitats• Escriviu a la pissarra tres nombres decimals i, a l’altre costat, el

resultat de sumar-los i restar-los de dos en dos. Per exemple:

Nombres Sumes i diferències

6,8 9,464 1,706

4,37 11,894 0,724

5,094 11,17 2,43

Animeu l’alumnat a esbrinar i escriure amb els nombres donats les tres sumes de dos nombres i les tres restes amb els resultats corresponents.

Solucions1. • 85,37 • 42,54

• 17,608 • 256,235• 30,24 • 56,01• 63,738 • 67,819

2. 5 51,95 2 38,47 5 13,48

5 406,34 2 9,8 5 396,54

5 10,27 2 5,461 5 4,809

5 13,79 1 6,284 5 20,074

5 193,7 2 75,64 5 118,06

5 27,5 1 80,42 5 107,92

3. • 8,45 → 15,18 → 42,68 → → 33,78 → 29,604

• 13,7 → 8,42 → 33,02 → → 29,269 → 38,649

4. 0,973 26,576 1,60218,951 52,386 18,60815,951 5,918 17,684

5. • 2,5 1 1,328 5 3,828Pesen en total 3,828 kg.

• 3,75 1 1,328 1 4,256 5 5 9,334Pesen en total 9,334 kg.

• 4,256 2 3,75 5 0,506Pesa 0,506 kg menys.

• 2,5 1 3,75 2 1,328 5 5 4,922Pesen 4,922 kg més.

6. • 27,90 1 23,45 5 51,35 51,35 . 50 No té prou diners. 51,35 2 50 5 1,35Li falten 1,35 €.

• 22,459 1 1,07 5 23,529 Hi va tardar 1 minut i 23,529 segons.

• 1,08 1 0,86 1 1,5 5 3,444 2 3,44 5 0,56En necessita 3,44 m. Comprarà un retall de 4 m.Li’n sobraran 0,56 m.

Càlcul mental

• 42 104 56 24886 162 78 60464 144 114 84648 128 136 1.028

UNITAT 8

109

132255 _ 0154-0169.indd 159132255 _ 0154-0169.indd 159 11/9/09 07:23:2911/9/09 07:23:29

110

Multiplicació de nombres decimals

1. Calcula quantes xifres decimals tindrà el producte i escriu la coma del resultat.

● 36,29 3 8 5 29032 ● 95,7 3 3,6 5 34452 ● 2,04 3 362 5 73848

● 17 3 5,864 5 99688 ● 8,3 3 4,19 5 34777 ● 5,928 3 0,7 5 41496

2. Calcula.

6,92 3 34 5,39 3 20,7 82,5 3 4,035 208 3 4,76

47 3 1,058 71,3 3 8,9 39,76 3 9,61 0,762 3 3,92

3. Multiplica aquests nombres decimals per la unitat seguida de zeros.

▶ Exemples: 6,42 3 10 5 64,2 8,9 3 100 5 890

4,519 3 10 2,834 3 100 3,92 3 1.000

37,2 3 10 56,1 3 100 74,5 3 1.000

81,56 3 10 73,05 3 100 1,683 3 1.000

0,093 3 10 0,9 3 100 0,097 3 1.000

Natàlia compra 2 kg de castanyes a 3,49 el quilo i 1,4 kg de nous a 4,95 el quilo. Quant costen les castanyes? I les nous?

Multiplica 3,49 per 2

1r Multiplica com si foren nombres naturals.

2n En el producte, separa amb una coma, a partir de la dreta, tantes xifres decimals com tinga el nombre decimal.

▶ 2 xifres decimals ◀ 2 xifres decimals

Multiplica 4,95 per 1,4

1r Multiplica com si foren nombres naturals.

2n En el producte, separa amb una coma, a partir de la dreta, tantes xifres decimals com tinguen en total els dos factors.

▶ 2 xifres decimals ▶ 1 xifra decimal

◀ 3 xifres decimals

Per multiplicar nombres decimals, es multipliquen com si foren nombres naturals i, en el producte, se separen amb una coma, a partir de la dreta, tantes xifres decimals com tinguen en total els dos factors.

Desplaça la coma a la dreta tants llocs com zeros segueixen la unitat. Si cal, afig zeros a la dreta.

RECORDA

3, 4 9 3 2 6, 9 8

4, 9 5 3 1,4 1 9 8 0

4 9 5 6, 9 3 0

Les castanyes costen 6,98 . Les nous costen 6,93 .

Castanyes Nous

4.

5.

6.

7.

8.

Altres activitats• Recordeu a l’alumnat que en la calculadora indiquem la coma dels

nombres decimals amb un punt. Demaneu-los que escriguen en la calculadora diversos nombres decimals al dictat i pregunteu des-prés què apareix en la pantalla.

A continuació, plantegeu diverses sumes, restes i multiplicaci-ons a la pissarra per resoldre amb la calculadora i corregiu-les en comú.

• També podeu demanar-los que utilitzen la calculadora per a com-provar els resultats d’algunes operacions efectuades en la unitat.

Objectius• Multiplicar un nombre decimal

per un nombre natural, i dos nombres decimals.

• Calcular operacions combina-des amb nombres decimals.

• Resoldre problemes de suma, resta i multiplicació amb nom-bres decimals.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Llegiu el problema proposat i plantegeu a la pissarra les dues multiplicacions. Pregunteu si els factors són nombres natu-rals o decimals i expliqueu en cada cas com es calculen.

En expressar el cost de les nous, raoneu per què es lleva el zero final i escriviu uns quants nom-bres decimals per dir en comú si és possible o no llevar la xifra zero en cada un.

• Comenteu que, en comptar les xifres decimals per escriure la coma en el producte (sempre des de la dreta), en alguns ca-sos cal afegir zeros a l’esquer-ra. Poseu-ne alguns exemples.

• En treballar l’activitat 3, recor-deu com es multiplica un nom-bre natural i un de decimal per la unitat seguida de zeros i pro-poseu-ne alguns exemples per calcular-los mentalment.

Competències bàsiques

Tractament de la

informació

En treballar els problemes de l’ac-tivitat 6, feu observar a l’alumnat que tots els preus tenen dues xi-fres decimals (els cèntims) i co-menteu que, segons la situació i les dades que utilitzem, els nom-bres decimals poden tindre o no un nombre de xifres decimals fix.

110

132255 _ 0154-0169.indd 160132255 _ 0154-0169.indd 160 11/9/09 07:23:2911/9/09 07:23:29

0

0

00

00

111

8

4. Calcula.

3 5,2 2 24,82 3 0,3 1 18,756,3

– 29,85 3 6,4 1 9,78 3 5,242,9

5. Calcula. Recorda l’ordre en què has de fer les operacions.

▶ Exemple:

34,7 1 (5,2 2 1,48) 3 6,9 ● 3,5 3 2,7 2 1,86 ● 2,8 3 3,6 2 4,3 3 1,79

34,7 1 3,72 3 6,9 ● 19,7 2 6,3 3 2,75 ● 10,52 2 3,2 3 2,3 1 6,5

34,7 1 25,668 ● (8,15 2 5,2) 3 1,86 ● 3,915 1 5 3 (4,9 2 1,678)

60,368 ● 37 2 (8,4 1 15,29) ● (27 2 2,7) 3 3,94 2 2,5

6. Observa els preus i calcula.

● Andreu va comprar 2 kg de plàtans. Quant li van costar?

● Lurdes va comprar 1,5 kg de raïm. Quant va haver de pagar?

● Sara va comprar 1,8 kg de pomes. Va pagar amb un bitllet de 5 . Quants diners li van tornar?

● Lluís va comprar 3,4 kg de peres i 2,15 kg de raïm. Quant va pagar en total? Quant li van costar les peres més que el raïm?

7. Resol.

Sergi ha comprat 9 entrades per a un concert, a 23,45 cada una.

Quant li costen les entrades si li fan una rebaixa de 18,30 en el preu total?

Quant li costen si la rebaixa és d’1,90 en cada entrada?

8. RAONAMENT. Observa cada producte resolt i escriu, sense fer l’operació,

el resultat de les altres multiplicacions.

27 3 3,46 2,7 3 346

0,27 3 3,46 0,027 3 34,6

5,29 3 80 5,29 3 800

5,29 3 0,8 5,29 3 0,08

2,7 3 3,46 5 9,342 5,29 3 8 5 42,32

1,75 /kg

2,60 /kg

2,84 /kg

2,05 /kg

Altres activitats• Comenteu a l’alumnat que, per a viatjar o en algunes transaccions

comercials, a vegades han de fer-se canvis de moneda. Per exem-ple, d’euros a dòlars americans, lliures esterlines (del Regne Unit), iens japonesos…

Escriviu a la pissarra el tipus de canvi de l’euro i diverses monedes aproximat amb dues xifres decimals, per exemple:

1 € 5 1,36 dòlars; 1 € 5 0,89 lliures i 1 € 5 132,54 iens

Demaneu a l’alumnat que calcule quants dòlars, lliures, iens… ens donarien barata diferents quantitats d’euros.

Solucions1. 290,32 344,52 738,48

99,688 34,777 4,1496

2. 235,28 111,57349,726 634,57332,8875 990,08382,0936 2,98704

3. 45,19 283,4 3.920372 5.610 74.500815,6 7.305 1.6830,93 90 97

4. • 6,3 → 32,76 → 7,94 → → 2,382 → 21,132

• 42,9 → 13,05 → 83,52 → → 93,3 → 485,16

5. • 7,59 • 2,383• 2,375 • 9,66• 5,487 • 20,025• 13,31 • 93,242

6. • 2 3 2,84 5 5,68Li van costar 5,68 €.

• 1,5 3 2,60 5 3,9Va haver de pagar 3,90 €.

• 1,8 3 1,75 5 3,155 2 3,15 5 1,85Li van tornar 1,85 €.

• 3,4 3 2,05 5 6,972,15 3 2,60 5 5,596,97 1 5,59 5 12,566,97 2 5,59 5 1,38En total va pagar 12,56 €.Li van costar 1,38 € més.

7. 23,45 3 9 2 18,30 5 192,75Si li fan una rebaixa en el preu total, li costen 192,75 €.

(23,45 2 1,90) 3 9 5 193,95Si li fan una rebaixa en cada entrada, li costen 193,95 €.

8. • 27 3 3,46 5 93,42 2,7 3 346 5 934,20,27 3 3,46 5 0,93420,027 3 34,6 5 0,9342

• 5,29 3 80 5 423,25,29 3 800 5 4.2325,29 3 0,8 5 4,2325,29 3 0,08 5 0,4232

UNITAT 8

111

132255 _ 0154-0169.indd 161132255 _ 0154-0169.indd 161 11/9/09 07:23:2911/9/09 07:23:29

112

1. Aproxima com s’indica.

6,2 4,17 3,729

3,58 8,346 6,805

7,941 9,253 5,471

2. Pensa i escriu quins valors pot tindre la xifra tapada en cada nombre.

Aquest nombre, aproximat Aquest nombre, aproximat a les unitats, és 4. a les dècimes, és 5,9.

Pot ser …, …, …, … o … Pot ser …, …, …, … o …

Aproximació de nombres decimals

Observa com s’aproxima el nombre 2,635 a les unitats, a les dècimes i a les centèsimes.

● Aproximació a les unitats

Per aproximar a les unitats, mira la xifra de les dècimes.

– Si és major o igual que 5, augmenta en 1 la xifra de les unitats.

– Si és menor que 5, deixa igual la xifra de les unitats.

● Aproximació a les dècimes

Per aproximar a les dècimes, mira la xifra de les centèsimes.

– Si és major o igual que 5, augmenta en 1 la xifra de les dècimes.

– Si és menor que 5, deixa igual la xifra de les dècimes.

● Aproximació a les centèsimes

Per aproximar a les centèsimes, mira la xifra de les mil·lèsimes.

– Si és major o igual que 5, augmenta en 1 la xifra de les centèsimes.

– Si és menor que 5, deixa igual la xifra de les centèsimes.

2,635 ▶ 2,6

3 , 5, 6 5 6

2,635 ▶ 2,64

5 5 5, 3 1 1 5 4

2,635 ▶ 3

6 . 5, 2 1 1 5 3

A les unitats

A les dècimes

A les centèsimes

5,8 4, 7

2,635

2,6 2,61 2,62 2,63 2,64 2,65 2,66 2,67 2,68 2,69 2,7

2,635

2,63 2,631 2,632 2,633 2,634 2,635 2,636 2,637 2,638 2,639 2,64

2,635

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3

E

1.

2.

Mu

CÀ

Altres activitats• Comenteu a l’alumnat que, a vegades, en multiplicar dos nombres

decimals, el resultat té més xifres decimals de les que són ne-cessàries en la situació, raó per la qual cal fer l’aproximació del resultat.

Proposeu alguns problemes similars a aquests, raonant en comú que cal aproximar el producte a les centèsimes:

– Sònia compra 1,157 kg de taronges a 1,40 €/kg. Quant ha de pagar?

– En uns magatzems descompten 0,16 € per cada euro de com-pra. Quant descomptaran en una compra de 158,65 €?

Objectius• Aproximar nombres decimals a

les unitats, a les dècimes i a les centèsimes.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Escriviu a la pissarra tres nom-bres d’una, dues i tres xifres decimals, respectivament, i pregunteu entre quins dos nombres d’una xifra decimal menys que cada un d’aquests es troben. Per exemple: 4,7 està comprés entre 4 i 5; 3,25 ho està entre 3,2 i 3,3; i 9,176 ho està entre 9,17 i 9,18.

Amplieu després l’exercici a nombres amb més xifres deci-mals, perquè busquen la xifra corresponent.

Per a explicar

• Expliqueu amb l’exemple pro-posat l’aproximació a cada or-dre d’unitat.

Després, aproximeu en comú altres nombres, de manera que es treballen tots els casos: que la xifra següent siga major, igual o menor que 5.

• Quan corregiu l’activitat 2, de-maneu a l’alumnat que expli-que el raonament seguit.

Per a reforçar

• Aprofiteu l’estratègia referent a buscar les idees principals que hi ha en la pàgina 15 del manu-al d’ESTUDI EFICAÇ i pregunteu a l’alumnat en quina xifra s’han de fixar quan aproximen a una determinada unitat.

Solucions1. • 6 • 4,2 • 3,73

4 8,3 6,818 9,3 5,47

2. pot ser 0, 1, 2, 3 o 4. pot ser 5, 6, 7, 8 o 9.

112

132255 _ 0154-0169.indd 162132255 _ 0154-0169.indd 162 11/9/09 07:23:3011/9/09 07:23:30

113

8

Estimacions

Paula vol fer un avió d’aeromodelisme. Necessita un llistó de 57,8 cm i un altre de 26,3 cm, i un cordell de 2,93 m.

● Quants centímetres de llistó necessita aproximadament?

Estima la suma 57,8 1 26,3

1r Aproxima les dades 57,8 cm i 26,3 cm a les unitats, 57,8 1 26,3 ja que cal obtindre el resultat en centímetres.

2n Suma les aproximacions. 58 1 26 5 84

Necessita uns 84 centímetres de llistó.

● Si compra el cordell a 6 el metre, quant li costa aproximadament?

Estima el producte 2,93 3 6

1r Aproxima la dada 2,93 m a les unitats, 2,93 3 6 ja que el preu està en euros per metre.

2n Multiplica les aproximacions. 3 3 6 5 18

El cordell li costa uns 18 .

Per estimar sumes, restes o productes de nombres decimals, s’aproximen els nombres a la unitat més convenient i després se sumen, resten o multipliquen les aproximacions.

1. Estima les operacions, aproximant a la unitat indicada.

2. Resol.

En una pastisseria, els pastissos grans costen 18,70 i els xicotets, 13,85 . Quants euros costa, aproximadament, un pastís gran més que un de xicotet?

A les unitats 17,29 1 5,9 28,6 2 19,723 8,31 3 5

A les dècimes 24,175 1 3,68 15,84 2 6,351 15,47 3 3

A les centèsimes 9,635 1 8,726 20,483 2 4,027 6,279 3 20

Multiplica un nombre natural per 5: multiplica per 10 i divideix entre 2

24 3 5 61 3 5 34 3 5 262 3 5

86 3 5 83 3 5 52 3 5 486 3 5

44 3 5 45 3 5 76 3 5 628 3 5

CÀLCUL MENTAL

3 5

74 740 370 3 10 : 2

Altres activitats• Escriviu a la pissarra una suma de dos nombres amb tres xifres

decimals i demaneu a l’alumnat que la calculen.

A continuació, estimeu la suma aproximant els dos sumands a les unitats, després a les dècimes i, per últim, a les centèsimes, i comenteu-ne en comú els resultats:

– A quin ordre d’unitat està aproximada cada suma.

– Quina de les aproximacions dóna com a resultat el nombre deci-mal més pròxim a la suma exacta.

Després, podeu realitzar una activitat similar a partir d’una resta i d’una multiplicació d’un nombre decimal per un de natural, per observar que les conclusions són similars en les tres operacions.

Objectius• Estimar sumes, restes i mul-

tiplicacions de nombres deci-mals.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Feu vore a l’alumnat que en estimar aproximem els termes de l’operació a l’ordre més adequat (o a l’indicat); per això, el resultat que obtenim és també un resultat aproxi-mat, no exacte.

• Raoneu en comú la utilitat de l’estimació per a anticipar i comprovar de manera ràpida i qualitativa el resultat d’operaci-ons amb decimals.

Competències bàsiques

Competència lingüística

Aprofiteu el problema inicial per-què l’alumnat comente situacions en què cal un càlcul exacte i al-tres en què és més pràctic un càl-cul aproximat, i quines expressi-ons ens ajuden a diferenciar-les. Comenteu també que el text del problema ens indica la unitat a la qual hem d’aproximar els nom-bres.

Solucions1. • 17 1 6 5 23

29 2 20 5 98 3 5 5 40

• 24,2 1 3,7 5 27,915,8 2 6,4 5 9,415,5 3 3 5 46,5

• 9,64 1 8,73 5 18,3720,48 2 4,03 5 16,456,28 3 20 5 125,6

2. 18,70 2 13,85 ▶ 19 2 14 5 5Costa uns 5 € més.

Càlcul mental

• 120 305 170 1.310 430 415 260 2.430 220 225 380 3.140

UNITAT 8

113

132255 _ 0154-0169.indd 163132255 _ 0154-0169.indd 163 11/9/09 07:23:3011/9/09 07:23:30

114

Activitats

1. Suma.

● 658,2 1 94,73

● 24,83 1 17,546

● 7,19 1 34,8 1 65

● 58,46 1 82,953 1 0,7

2. Resta.

● 83,692 2 7,94 ● 53,2 2 9,371

● 164, 6 2 48,03 ● 327 2 8,56

3. Multiplica.

● 2,805 3 67 ● 4,82 3 29,3

● 3,216 3 100 ● 19,4 3 35,8

● 5,3 3 1.000 ● 61,2 3 5,704

4. Escriu amb xifres i calcula.

● Vint-i-quatre unitats i huitanta-tres centèsimes més dotze unitats i noranta-set mil·lèsimes.

● Cent cinc coma sis menys quaranta-huit coma dos-cents setanta-u.

● Nou unitats i cinc-centes seixanta-quatre mil·lèsimes per cinquanta-huit.

● Quaranta coma vint-i-set per dèsset coma trenta-nou.

5. Calcula el terme que falta.

● 1 6,294 5 84,713

● 23,485 1 5 30,76

● 2 9,82 5 61,304

● 76,54 2 5 3,297

6. Calcula. Després compara els resultats

i escriu el signe corresponent.

● 5,297 1 18,43 25,36 2 1,498

● 6,79 3 3,2 14,346 1 7,382

● 82,4 2 17,591 1,36 3 47

● 3,175 3 6,4 27,5 2 6,89

7. ESTUDI EFICAÇ. Posa un exemple de cada

una de les operacions amb decimals que

has aprés i explica a un company com les

calcules.

8. Pensa i escriu la coma que falta en cada

nombre per obtindre aquests resultats.

● 7169 1 3528 5 75,218

● 527 2 1983 5 32,87

● 681 3 39 5 265,59

● 972 3 058 5 56,376

9. Calcula. Recorda l’ordre en què has de fer

les operacions.

● 7,43 1 5,8 2 9,152

● 65,2 2 4,953 3 10

● 3,5 3 (6,43 1 2,816)

● (24,7 2 16,39) 3 10,8

● 5,63 1 0,084 3 100 2 9,2

● 8,5 3 4,96 2 (32,87 1 1,054)

10. Aproxima cada nombre decimal

com s’indica.

11. Completa amb dos nombres decimals

l’aproximació dels quals siga el nombre

donat.

● … , 8 , … ● … , 15 , …

● … , 5,4 , … ● … , 20,6 , …

● … , 6,37 , … ● … , 9,82 , …

3,7 8,4 9,27 5,691

A les unitats

2,43 9,65 4,172 8,529

A les dècimes

5,978 3,041 7,354 6,905

A les centèsimes

12

ET

Altres activitats• Escriviu a la pissarra aquestes operacions. Feu vore a l’alumnat

que el primer terme és sempre 5,74 i el segon és un nombre major i un altre que és menor que 1. Pregunteu-los quin signe (. o ,) escriurien en cada cercle; després, demaneu-los que calculen cada operació, comproven la resposta i hi escriguen el signe correcte.

5,74 1 3,2 ◯ 5,74 5,74 2 3,2 ◯ 5,74 5,74 3 3,2 ◯ 5,745,74 1 0,8 ◯ 5,74 5,74 2 0,8 ◯ 5,74 5,74 3 0,8 ◯ 5,74

Per últim, comenteu els resultats:– La suma sempre és major que el primer sumand.– La diferència sempre és menor que el minuend.– Si el segon factor és major que 1, el producte és major que el

primer factor, però si és menor que 1, el producte és menor.

Objectius• Repassar els continguts bàsics

de la unitat.

• Aplicar les matemàtiques en di-ferents contextos.

Competències bàsiques

Aprendre a aprendre

Les activitats presentades ajuden els xiquets i xiquetes a avaluar el seu propi aprenentatge: què han aprés i què han de reforçar en-cara. Fomenteu en l’alumnat que mantinga sempre una actitud posi-tiva a pesar dels errors que puga cometre, fent-los vore que poden aprendre’n.

Interacció

amb el món físic

Amb l’activitat proposada en Ets capaç de…, l’alumnat comprova el sentit pràctic dels continguts treballats en aquesta unitat per comprendre i resoldre situacions de la vida diària. Això els motivarà i potenciarà la seua confiança.

Solucions1. • 752,93

• 42,376 • 106,99 • 142,113

2. • 75,752 • 43,829• 116,57 • 318,44

3. • 187,935 • 141,226• 321,6 • 694,52• 5.300 • 349,0848

4. • 24,83 1 12,097 5 36,927• 105,6 2 48,271 5 57,329• 9,564 3 58 5 554,712• 40,27 3 17,39 5 700,2953

5. • 5 84,713 2 6,294 5 5 78,419

• 5 30,76 2 23,485 5 5 7,275

• 5 61,304 1 9,82 5 5 71,124

• 5 76,54 2 3,297 5 5 73,243

114

132255 _ 0154-0169.indd 164132255 _ 0154-0169.indd 164 11/9/09 07:23:3011/9/09 07:23:30

a

…

…

115

5,8 ¬

1,25 ¬

12. Observa i contesta, fent un càlcul

aproximat.

● Quants metres fan, aproximadament, els dos cordells?

● Quants litres caben, aproximadament, al bidó més que a la cassola?

● Quants quilos pesen, aproximadament, 4 melons com aquest?

8

13. Resol.

● Francesc va rebre al bar 53 botelles d’1,5 ¬ de refresc amb gas i 38 botelles de 0,75 ¬ de refresc sense gas. Quants litres de refresc va rebre en total?

● Maite té un rotllo de cordell de 5 m. En talla 3 trossos de 0,76 m cada un i un altre tros d’1,4 m. Quants metres de cordell queden al rotllo?

● Ahir, Agnés va fer 3 voltes a un circuit de 2,385 km i hui ha fet 2 voltes a un altre de 4,6 km. Quants quilòmetres ha recorregut hui més que ahir?

● Miquel ha comprat 2,5 kg de carn a 7,28 /kg i 3 barres de pa a 0,52 cada una. Per pagar dóna 20 . Quants diners li tornen?

ETS CAPAÇ DE… Fer càlculs amb carburants

En una gasolinera tenen hui aquests preus.

● Ramon ha omplit el depòsit del cotxe, en el qual caben 50 ¬. Hi ha ficat 38,45 ¬. Quants litres de gasolina hi havia al depòsit?

● Sara posa 27,48 ¬ de gasolina extra súper. La pantalla de l’assortidor aproxima l’import a cèntims d’euro (centèsimes). Quant pagarà Sara?

● Juli té un cotxe dièsel i li ha de posar gasoil A. Quina diferència de preu per litre hi ha entre els dos tipus de gasoil? Si Juli posa 30 litres del gasoil més car, quant pagarà més que si en posa del barat?

PREUS

Gasolina: – Súper ▶ 1,011 /¬ – Extra súper ▶ 1,065 /¬

Gasoil A:– Dièsel ▶ 0,956 /¬ – Extra dièsel ▶ 1,071 /¬

4,86 m

3,126 kg

3,259 m

UNITAT 8

6. • 23,727 , 23,862 • 21,728 5 21,728 • 64,809 . 63,92 • 20,32 , 20,61

7. R. L.

8. • 71,69 1 3,528 5 75,218• 52,7 2 19,83 5 32,87• 68,1 3 3,9 5 265,59• 97,2 3 0,58 5 56,376

9. • 4,078• 15,67• 32,361 • 89,748• 4,83• 8,236

10. • 4 8 9 6• 2,4 9,7 4,2 8,5• 5,98 3,04 7,35 6,91

11. R. M. • 7,8 , 8 , 8,34• 14,962 , 15 , 15,2• 5,38 , 5,4 , 5,408• 20,574 , 20,6 , 20,64• 6,366 , 6,37 , 6,371• 9,817 , 9,82 , 9,823

12. • 4,86 1 3,259 ▶ 5 1 3 5 8 Fan uns 8 metres.

• 5,8 2 1,25 ▶ 6 2 1 5 5 Hi caben uns 5 litres més.

• 3,126 3 4 ▶ 3 3 4 5 12 Pesen uns 12 quilos.

13. • 53 3 1,5 1 38 3 0,75 5 108Va rebre 108 ¬ de refresc.

• 3 3 0,76 1 1,4 5 3,685 2 3,68 5 1,32 Queden 1,32 m de corda.

• 2 3 4,6 2 3 3 2,385 5 5 2,045Ha recorregut 2,045 km més.

• 2,5 3 7,28 1 3 3 0,52 5 5 19,7620 2 19,76 5 0,24Li tornen 0,24 €.

Ets capaç de…

• 50 2 38,45 5 11,55Al depòsit n’hi havia 11,55 ¬.

• 27,48 3 1,065 5 29,2662 →→ 29,27Sara pagarà 29,27 €.

• 1,071 2 0,956 5 0,115. La diferència per litre és 0,115 €.30 3 0,115 5 3,45 Pagarà 3,45 € més.

115

Programa d’ESTUDI EFICAÇ• En acabar la unitat, feu que l’alumnat complete una taula com

aquesta:

Unitat 8 Nombres decimals. Operacions

El que he aprésEl que he aprés

a fer

Suma i resta de decimals

Multiplicació de decimals

Aproximació de decimals

Estimacions

132255 _ 0154-0169.indd 165132255 _ 0154-0169.indd 165 11/9/09 07:23:3011/9/09 07:23:30

116

Solució de problemesAvançar una solució aproximadaTroba una solució aproximada per a cada problema. Després, resol-lo i comprova

que la solució exacta es correspon amb la solució aproximada.

Marc ha comprat a la fruiteria: 4 kg de taronges a 2,75 el quilo, 3 kg de pomes a 1,39 el quilo i 2 kg de plàtans a 1,78 el quilo. Quant ha pagat Marc per la compra?

▶ En les situacions de compra és molt útil trobar primerament una solució aproximada. Això ens donarà una idea bastant fiable de quina serà la solució exacta, que calcularem després.

Solució aproximada

1r Aproxima els preus a les unitats. Taronges: 2,75 ▶ 3 Pomes: 1,39 ▶ 1 Plàtans: 1,78 ▶ 2

2n Calcula el preu aproximat.4 3 3 1 3 3 1 1 2 3 2 5 19

Ha pagat aproximadament 19 .

Solució exacta

4 3 2,75 1 3 3 1,39 1 2 3 1,78 5 18,73

Ha pagat 18,73 .

Les dues solucions tenen valors molt semblants.

1. Mònica ha comprat un vestit per 87,35 , unes sabates per 39,15 i un barret per 51,78 . Quant ha pagat Mònica?

2. Pere tenia 29,32 i va comprar un llibre per 13,85 i un disc per 12,19 . Quants diners li van quedar?

3. En la compra d’una càmera de fotos, Joan va pagar 175,60 en el primer termini i 3 terminis més de 42,75 cada un. Quant va pagar Joan per la càmera?

4. Cinthia ha comprat 9 capses de caragols a 6,78 cada una, 2 capses de femelles a 1,93 cada una i un descaragolador elèctric que costava 22,19 . Quants diners li ha costat la compra?

5. INVENTA. Escriu un problema semblant als d’aquesta pàgina i demana al company que calcule de primer una solució aproximada.

EX

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Altres activitats• Comenteu que calcular una solució aproximada també pot ser molt

útil per a detectar de forma fàcil i ràpida que la solució exacta que s’ha trobat és errònia (si ambdues solucions són molt diferents). Assenyaleu, no obstant això, que la similitud d’ambdues solucions no assegura tampoc que el resultat siga correcte.

Plantegeu un problema senzill i escriviu a la pissarra tres possibles solucions (una de les quals siga correcta), perquè l’alumnat efec-tue mentalment un càlcul aproximat i diga quines són clarament errònies. Per exemple:

Ignasi ha comprat 2 camisetes a 9,75 € cada una i 5 gorres a 3,15 € cada una. Quant ha pagat en total?

Solucions: 25,35 € 35,25 € 32,95 €

Objectius• Resoldre problemes amb de-

cimals mitjançant l’anticipació d’una solució aproximada.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Comenteu amb els xiquets i xiquetes els avantatges del càlcul aproximat i quan podem portar-lo a cap. Assenyaleu-los que és una aplicació real i pràc-tica del contingut sobre estima-cions amb nombres decimals treballat en la pàgina 113.

Competències bàsiques

Tractament

de la informació

Quan presenteu l’estratègia de treball, comenteu amb l’alumnat la conveniència de tractar la infor-mació per a ajustar-la a la nostra situació i objectius concrets.

Solucions 1. • Solució aproximada (S. A.):

87 1 39 1 52 5 178Ha pagat uns 178 €.

• Solució exacta (S. E.):87,35 1 39,15 1 51,78 5 5 178,28Ha pagat 178,28 €.

2. • S. A.: 29 2 (14 1 12) 5 3Li van quedar uns 3 €.

• S. E.: 29,32 2 (13,85 1 1 12,19) 5 3,28Li van quedar 3,28 €.

3. • S. A.: 176 1 3 3 43 5 305Va pagar uns 305 €.

• S. E.: 175,60 1 3 3 42,75 5 5 303,85. Va pagar 303,85 €.

4. • S. A.: 9 3 7 1 2 3 2 1 1 22 5 89Li ha costat uns 89 €.

• S. E.: 9 3 6,78 1 2 3 3 1,93 1 22,19 5 87,07Li ha costat 87,07 €.

5. R. L.

116

132255 _ 0154-0169.indd 166132255 _ 0154-0169.indd 166 11/9/09 07:23:3111/9/09 07:23:31

117

8

EXERCICIS

1. Escriu quatre múltiples de cada nombre.

● 9 ● 10 ● 13 ● 15

2. Calcula tots els divisors de cada un

d’aquests nombres.

● 9 ● 12 ● 24 ● 40

3. Esbrina quins d’aquests nombres

15 18 20 21 30

són divisibles per:

● 2 ● 3 ● 5

4. Calcula.

● MCD (12, 24) ● MCM (3, 15)

● MCD (16, 40) ● MCM (4, 7)

5. ESTUDI EFICAÇ. Algunes d’aquestes

comparacions estan mal fetes.

Escriu-les bé en el quadern.

611

, 4

11

25

. 27

23

. 34

95

, 115

34

, 35

712

, 1124

78

. 98

69

. 6

10

418

. 2

12

6. Escriu dues fraccions equivalents

a cada una d’aquestes, una per

amplificació i l’altra per simplificació.

● 64

● 1815

● 1210

● 2024

7. Calcula.

911

1 4

11

38

1 5

12

14

1 58

1 9

10

78

2 58

113

2 136

72

2 73

1 74

PROBLEMES

8. Manuela va mesclar tres quarts de quilo de xocolate negre i dos cinquens de quilo de xocolate blanc per recobrir un pastís. Només hi va utilitzar huit desens de quilo. Quina fracció de quilo li va sobrar?

9. Magdalena i Carles han d’enviar per correu dos lots iguals de regals. Magdalena ja ha enviat quatre setens dels regals i Carles tres huitens. Qui ha enviat menys regals? Si cada lot té 56 regals, quants n’ha enviat ja cada un?

10. En una empresa van repartir 4.000 paquets de cereals en 80 lots iguals. Els 25 primers lots els van enviar a un supermercat que va vendre cada paquet de cereals a 2 . Quant va obtindre el supermercat per la venda dels cereals?

11. En un creuer van viatjar 175 persones i es van recaptar 59.500 . El mes següent van apujar el preu per persona 50 i hi van viatjar 30 persones més. Quant van recaptar en el segon creuer més que en el primer?

12. Joan va fer ahir dos terços de les 90 telefonades de l’empresa on treballa. Tres cinquens de les seues telefonades van ser internacionals i d’aquestes en un quart no va obtindre resposta. Quantes trucades internacionals va fer Joan? En quantes trucades internacionals obtingué Joan resposta?

RepassaUNITAT 8

Solucions

1. R. M. 9 ▶ 18, 45, 63 i 90

2. • 9 ▶ 1, 3 i 9• 12 ▶ 1, 2, 3, 4, 6 i 12• 24 ▶ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12

i 24• 40 ▶ 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20

i 40

3. • Per 2 ▶ 18, 20 i 30• Per 3 ▶ 15, 18, 21 i 30 • Per 5 ▶ 15, 20 i 30

4. • 12 • 15• 8 • 28

5. 6 11

. 4 11

7 8

, 9 8

3 4

. 3 5

2 3

, 3 4

7 12

. 11 24

6. R. M. 6 4

5 18 12

5 3 2

7. • 13 11

• 19 24

• 71 40

• 2 8

5 1 4

• 9 6

5 3 2

• 35 12

8. 3/4 1 2/5 5 23/2023/20 2 8/10 5 7/20Li van sobrar 7/20 de quilo.

9. 3 8

, 4 7

. Carles n’envià menys.

4 7

de 56 5 32; 3 8

de 56 5 21

Magdalena ha enviat 32 re-gals i Carles, 21.

10. 4.000 : 80 5 50 25 3 50 3 2 5 2.500 Va obtindre 2.500 €.

11. 59.500 : 175 5 340 340 1 50 5 390175 1 30 5 205390 3 205 5 79.950 79.950 2 59.500 5 20.450 Van recaptar 20.450 € més.

12. 2 3

de 90 5 60; 3 5

de 60 5 36;

1 4

de 36 5 9; 36 2 9 5 27

Va fer 36 trucades internacio-nals. Va obtindre resposta en 27 trucades.

117

Repàs en comú• Demaneu a l’alumnat que escriga les operacions següents amb

nombres decimals i les calcule en el quadern: una suma de dos sumands amb diferent nombre de xifres decimals, una resta el minuend de la qual tinga menys xifres decimals que el subtrahend, una multiplicació d’un nombre decimal per un de natural i una altra multiplicació de dos nombres decimals.

A continuació, indiqueu-los que inventen tres problemes que es resolguen amb la suma, la resta i la primera multiplicació, respecti-vament, i calculen una solució aproximada per a cada un.

Al final, feu una posada en comú i demaneu a diversos alumnes que expliquen a la pissarra el procediment que han seguit per cal-cular cada operació i cada estimació.

132255 _ 0154-0169.indd 167132255 _ 0154-0169.indd 167 11/9/09 07:23:3111/9/09 07:23:31

168

2. En l’histograma hi ha representats els alumnes d’una acadèmia de natació agrupats

per edats. Observa’l i contesta.

● Joan té 4 anys, Anna té 6 anys i Pere té 10 anys. En quin grup d’edat es troba cada un?

● Paula té 12 anys. Quants alumnes té en total el grup d’edat a què pertany Paula?

● Quines edats poden tindre els alumnes del grup menys nombrós?

●

118

Tractament de la informacióHistogrames

En una oficina de correus han classificat els enviaments en diversos grups segons el pes.

En l’histograma s’han representat els enviaments que hi ha en cada classe.

En un histograma usem rectangles units per a representar dades agrupades.

1. Observa l’histograma de dalt i contesta.

● Quant poden pesar els enviaments del grup més nombrós?

● Es pot saber quants enviaments de 3,5 kg s’han fet? Per què?

● Quants enviaments pesen de 3 a 4 kg? Hi ha 7 enviaments que pesen de 3 a 4 kg.

● Un enviament pesa 1 kg. En quin grup està? Està en el grup d’1 a 2 kg.

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Nom

bre

d’e

nvia

ments

De 0 a 1

D’1 a 2

De 2 a 3

De 3 a 4

De 4 a 5

Pes (en kg)

45

40

35

30

25

20

15

10

5

0

Nom

bre

d’a

lum

nes

De 0 a 5

De 5 a 10

De 10 a 15

De 15 a 20

De 20 a 25

Edat (en anys)

Quants alumnes de l’acadèmia tenen 15 anys o més?

3.

4.

Objectius• Interpretar i representar histo-

grames.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Assenyaleu-los que ja coneixen molts tipus de gràfics diferents (gràfics de ba rres, lineals, pic-togrames…).

Per a explicar

• Comenteu que els histogrames s’utilitzen quan les dades estan agrupades. Deixeu clar que no coneixem les dades concretes sinó el nombre de dades que té cada grup. Recalqueu també que cada grup conté les dades menors o iguals que el valor inferior que defineix el grup i menors que el valor superior (per exemple, el valor 3 no està en el grup de 2 a 3 sinó en el grup de 3 a 4). Mostreu les si-milituds amb els diagrames de barres a l’hora d’interpretar i representar. Treballeu en comú les activitats 1 i 2, i aclariu els possibles dubtes que tinguen. Proposeu (o demaneu a l’alum-nat que ho faça) altres pregun-tes de treball amb la interpreta-ció.

• Treballeu amb tota la classe (o demaneu a l’alumnat que ho faça de forma individual) la re-presentació del gràfic de l’acti-vitat 3.

• Porteu a cap activitats d’interpre-tació una vegada corregits els gràfics de les activitats 3 i 4.

Competències bàsiques

Tractament

de la informació

Mostreu la presència de la infor-mació gràfica en la societat i as-senyaleu la importància de saber extraure la informació dels gràfics i expressar-la d’altres maneres.

118

132255 _ 0154-0169.indd 168132255 _ 0154-0169.indd 168 11/9/09 07:23:3111/9/09 07:23:31

169

s

n

119

● Marta fa 1,69 m i Lluís fa 1,74 m. En quin grup es troba

cada un?

● Quin és el grup més nombrós? Quines estatures poden tindre?

● Miquel fa 1,90 m. Quants aspirants hi ha en total en el seu grup?

● Quants aspirants fan 1,74 m d’estatura o més?

3. Llig la informació. Després, copia i completa la taula i el gràfic.

4. Copia i completa el gràfic amb les dades del text. Després, contesta.

En un ambulatori han agrupat les anàlisis de sucre en sang de diverses persones per a un estudi. Mesuren els mil·ligrams de sucre que hi ha en 1 decilitre.

Quaranta persones en tenien de 70 a 82 mg/dl, trenta-cinc persones en tenien de 82 a 94 mg/dl, vint-i-cinc en tenien de 94 a 106 mg/dl, quinze de 106 a 118 mg/dl i deu persones de 118 a 130 mg/dl.

mg/dl de sucre Nre. de persones

De 70 a 82

De 82 a 94

De 94 a 106

De 106 a 118

De 118 a 130

33

30

27

24

21

18

15

12

9

6

3

0

Nom

bre

d’a

spirants

1 2 3 4 5Grup

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

0N

re. de p

ers

ones

De 70 a 82

De 82 a 94

De 94 a 106

De 106 a 118

De 118 a 130

mg/dl

En unes proves físiques per a bomber han classificat els aspirants segons l’estatura en metres.

GRUP 1. D’1,60 m a 1,67 m ▶ 6 aspirants

GRUP 2. D’1,67 m a 1,74 m ▶ 27 aspirants

GRUP 3. D’1,74 m a 1,81 m ▶ 30 aspirants

GRUP 4. D’1,81 m a 1,88 m ▶ 21 aspirants

GRUP 5. D’1,88 m a 1,95 m ▶ 18 aspirants

Solucions1. • De 2 a 3 kg.

• No es pot saber, perquè en l’histograma no coneixem dades concretes.

2. • Joan: de 0 a 5.Anna: de 5 a 10.Pere: de 10 a 15.

• Té en total 40 alumnes.

• De 20 a 25 anys.

• 30 1 10 5 40Tenen 15 o més anys 40 alumnes de l’acadèmia.

3.

4.

• Marta es troba en el grup 2 i Lluís es troba en el grup 3.

• El grup més nombrós és el grup 3. Poden mesurar d’1,74 a 1,81 m (aquest úl-tim valor no hi està inclòs).

• Hi ha 18 aspirants (grup 5).

• 30 1 21 1 18 1 69Hi ha 69 aspirants.

119

mg /dl de sucre Nre. persones

De 70 a 82 40

De 82 a 94 35

De 94 a 106 25

De 106 a 118 15

De 118 a 130 10

50

40

30

20

10

70 a

82

94 a

106

82 a

94

106a

118

118a

130

30

24

18

12

6

G1 G3G2 G4 G5

132255 _ 0154-0169.indd 169132255 _ 0154-0169.indd 169 11/9/09 07:23:3211/9/09 07:23:32

120

Divisió de nombres decimals

9

La velocitat a què naveguen els vaixells s’expressa en nusos. Un nus equival a una milla nàutica per hora, és a dir, a 1,852 quilòmetres per hora.

Cada vaixell té una velocitat màxima que és determinada, entre altres factors, per l’eslora o longitud: com més llarg siga un vaixell, més pot córrer. Una vegada assolida aquesta velocitat màxima, si afegim més potència, aquesta originarà ones més grans –creades pel vaixell–, però no més velocitat.

Per exemple, un veler de 12 metres de llargària pot arribar a una velocitat de 8,4 nusos i un iot de motor de 22 metres pot arribar a 30 nusos.

● Quants metres recorrerà un vaixell en una hora a una velocitat de 10 nusos?

● A quants quilòmetres per hora anirà el veler de l’exemple si va a la velocitat màxima? I el iot?

RE

M

PsdS

C

Se

1.

2.

3.

Altres formes de començar• Plantegeu en comú situacions en què és útil calcular una divisió

i poseu-ne un exemple amb nombres naturals i un altre en què el dividend o el divisor siga un nombre decimal. Comenteu la ne-cessitat d’aprendre a dividir amb nombres decimals. Per exemple:

2 Lluís compra 3 llibres iguals per 18 €. Quant costa cada llibre?Roser compra 3 llibres iguals per 15,75 €. Quant costa cada llibre?

2 Clàudia aboca 12 ¬ d’aigua d’un bidó en botelles de 2 ¬ cada una. Quantes botelles ompli d’aigua?Tomàs aboca 12 ¬ d’aigua d’un bidó en botelles d’1,5 ¬ cada una. Quantes botelles ompli d’aigua?

Objectius• Reconéixer situacions reals en

què intervenen i operem amb nombres decimals.

• Recordar conceptes necessaris per a desenvolupar la unitat.

Suggeriments didàctics• Demaneu a l’alumnat que obser-

ve la foto, llija el text i dialogue entorn dels vaixells, relacionant-ho amb l’àrea de Coneixement del Medi. Llegiu les preguntes presentades i raoneu en grup quina operació hem d’efectuar per a respondre-les.

• En Recorda el que en saps repas-seu amb l’alumnat dos contin-guts necessaris per a transfor-mar el divisor decimal d’algunes divisions en un nombre natural: com es multiplica un nombre per la unitat seguida de zeros i els canvis en els termes d’una divi-sió en multiplicar o dividir el divi-dend i el divisor per un mateix nombre.

Competències bàsiques

Competència lingüística

A partir del text inicial, treballeu amb l’alumnat el vocabulari nou, fent insistència especial en les unitats de mesura que hi ha. In-diqueu altres unitats conegudes de la mateixa magnitud i relacio-neu les unes amb les altres, ano-menant situacions en què es fan servir i demanant a l’alumnat que n’aporte exemples.

Interacció amb

el món físic

La situació inicial de la unitat mos-tra a l’alumnat la utilització en la vida real de les matemàtiques: nombres naturals i nombres deci-mals, unitats de mesura, la neces-sitat de les operacions… Això els motivarà atés que dóna un sentit al seu esforç per aprendre.

120

132255 _ 0170-0185.indd 172132255 _ 0170-0185.indd 172 11/9/09 07:22:4211/9/09 07:22:42

121

RECORDA EL QUE EN SAPS

Multiplicació d’un nombre decimal per la unitat seguida de zeros

Per multiplicar un nombre decimal per la unitat seguida de zeros, es desplaça la coma cap a la dreta tants llocs com zeros segueixen la unitat. Si cal, s’afigen zeros a la dreta.

7,491 3 10 5 74,91

3,58 3 100 5 358

2,6 3 1.000 5 2.600

● A dividir un nombre decimal entre un nombre natural.

● A dividir un nombre natural entre un nombre decimal.

● A dividir un nombre decimal entre un nombre decimal.

● A calcular quocients amb un nombre donat de xifres decimals.

● A resoldre problemes amb nombres decimals.

APRENDRÀS

Canvis en els termes d’una divisió

Si es multiplica o divideix el dividend i el divisor d’una divisió entera per un mateix nombre, el quocient no varia, però el residu queda multiplicat o dividit per aquest nombre.

52 3 3 ▶ 156 24 ◀ 8 3 3 52 : 2 ▶ 26 4 ◀ 8 : 2 12 6 2 6 4 3 3 4 : 2

1. Calcula.

4,519 3 10 81,56 3 100 3,92 3 1.000

37,2 3 10 0,093 3 100 1,683 3 1.000

2,83 3 10 73,05 3 100 74,5 3 1.000

56,1 3 10 0,9 3 100 0,097 3 1.000

2. Observa la divisió resolta i completa la taula.

3. Suprimeix zeros i calcula.

● 4.640 : 20 ● 8.400 : 400 ● 22.500 : 90

Dividend Divisor Quocient Residu

546 3 4 24 3 4

546 3 10 24 3 10

546 : 2 24 : 2

546 : 6 24 : 6

5 4 6 2 40 6 6 2 2 1 8

52 8 4 6

Vocabulari de la unitat• Dividend, divisor, quocient i residu

Competència

social i ciutadana

En dialogar sobre els vaixells i la tripulació, comenteu la importàn-cia de treballar en equip en mol-tes situacions quotidianes. Feu vore als xiquets i xiquetes que la col·laboració en el treball i l’estu-di facilita la consecució de les metes que ens proposem.

Solucions

Pàgina inicial

• 1,852 3 10 5 18,5218,52 3 1.000 5 18.520 Recorrerà 18.520 metres.

• Veler: 8,4 3 1,852 5 15,5568Anirà a 15,5568 km per hora.Iot: 30 3 1,852 5 55,56Anirà a 55,56 km per hora.

Recorda el que en saps

1. 45,19 8.156 3.920 372 9,3 1.68328,3 7.305 74.500561 90 97

2. Quocient Residu

22 18 3 4 5 72 22 18 3 10 5 180 22 18 : 2 5 9 22 18 : 6 5 3

3. • 4.640 : 20 ▶ 464 : 2 5 232

• 8.400 : 400 ▶ 84 : 4 5 21

• 22.500 : 90 ▶ 2.250 : 9 5 5 250

UNITAT 9

121

132255 _ 0170-0185.indd 173132255 _ 0170-0185.indd 173 11/9/09 07:22:4311/9/09 07:22:43

122

Divisió d’un decimal entre un natural

Lola ha fet un formatge amb llet de vaca que pesa 2,856 kg i un altre amb llet d’ovella que pesa 1,394 kg. Després ha tallat cada formatge en dos trossos iguals. Quant pesa la meitat de cada formatge?

Formatge de vaca

Divideix 2,856 entre 2

Divideix com si foren nombres naturals i, en baixar la primera xifra decimal del dividend, escriu la coma en el quocient.

2,8 5 6 20 8 1,4 2 8 0 5 1 6 0

La meitat del formatge de vaca pesa 1,428 kg.

Formatge d’ovella

Divideix 1,394 entre 2

Com que la part entera del dividend és menor que el divisor (1 , 2), escriu 0 i coma en el quocient, i continua dividint 13 entre 2.

1,3 9 4 2 1 9 0,6 9 7 1 4 0

La meitat del formatge d’ovella pesa 0,697 kg.

Per dividir un nombre decimal entre un nombre natural, es fa la divisió com si foren nombres naturals i, en baixar la primera xifra decimal del dividend, es posa la coma en el quocient.

1. Calcula.

● 72,56 : 8 ● 5,496 : 6 ● 30,75 : 25

● 9,215 : 5 ● 2,135 : 7 ● 296,1 : 63

● 635,4 : 9 ● 0,696 : 8 ● 8,428 : 49

2. Calcula el factor que falta en cada multiplicació. Explica com ho fas.

6 3 5 50,58 32 3 5 104,96

3 9 5 976,5 3 85 5 82,195

3. Divideix aquests nombres decimals entre la unitat seguida de zeros.

▶ Exemples: 52,3 : 10 5 5,23 7,6 : 100 5 0,076

128,4 : 10 40,8 : 100 425,2 : 1.000

9,3 : 10 329,5 : 100 81,4 : 1.000

5,79 : 10 7,16 : 100 30,7 : 1.000

0,36 : 10 24,37 : 100 6,9 : 1.000

Desplaça la coma cap a l’esquerra tants llocs com zeros segueixen la unitat. Si cal, afig zeros a l’esquerra.

RECORDA Mu

CÀ

1.

2.

D

Altres activitats• Comenteu amb l’alumnat que a vegades, en fer compres, per a

comparar el preu d’un article amb un altre, hem d’esbrinar el preu de la unitat. Demaneu-los que resolguen problemes similars a aquests:

2 Un paquet A de 6 flams costa 1,62 € i un altre paquet B de 8 flams costa 2,08 €. En quin dels dos paquets resulta a més bon preu el flam?

2 Una marca ven els paquets de 4 iogurts a 0,76 € i els de 12 iogurts a 2,04 €. Quant estalvies per cada iogurt si decideixes comprar paquets de 12 iogurts?

Objectius• Calcular divisions en què el divi-

dend és un nombre decimal i el divisor és un nombre natural.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Plantegeu unes quantes divisi-ons amb nombres naturals, tant exactes com enteres, per repas-sar i comprovar que l’alumnatmaneja bé l’algoritme de la di-visió abans d’operar amb nom-bres decimals.

Per a explicar

• Plantegeu el problema inicial i escriviu les dues divisions a la pissarra. Expliqueu com es cal-cula la primera, cridant l’aten-ció de l’alumnat en baixar el 8 del dividend i escriure la coma en el quocient.

Calculeu a continuació la se-gona divisió, explicant per què escrivim zero i coma en el quo-cient.

Competències bàsiques

Aprendre a aprendre

Comenteu amb els xiquets i xique-tes la importància que té com-prendre i aprendre bé cada proce-diment treballat, perquè cal per a abordar sense dificultats els se-güents.

Solucions

1. • 9,07 • 0,916 • 1,23 • 1,843 • 0,305 • 4,7 • 70,6 • 0,087 • 0,172

2. 5 50,58 : 6 5 8,43 5 976,5 : 9 5 108,5 5 104,96 : 32 5 3,28 5 82,195 : 85 5 0,967

3. • 12,84 • 0,408 • 0,4252 • 0,93 • 3,295 • 0,0814 • 0,579 • 0,0716 • 0,0307 • 0,036 • 0,2437 • 0,0069

122

132255 _ 0170-0185.indd 174132255 _ 0170-0185.indd 174 11/9/09 07:22:4311/9/09 07:22:43

6

00

0

0

123

9

Multiplica un nombre natural per 11: multiplica per 10 i després suma el nombre

16 3 11 40 3 11 200 3 11

18 3 11 42 3 11 300 3 11

30 3 11 53 3 11 610 3 11

36 3 11 54 3 11 720 3 11

CÀLCUL MENTAL

3 11

24 240 264

3 10 1 24

1. En cada cas, escriu quina divisió de nombres naturals has de calcular i com ho has fet.

… : …

2. Calcula.

● 21 : 3,5 ● 493 : 3,4 ● 592 : 9,25 ● 61 : 0,008

● 44 : 2,75 ● 91 : 0,104 ● 2.015 : 0,62 ● 42 : 0,025

Divisió d’un natural entre un decimal

En una fàbrica s’embotellen 3.546 ¬ de suc d’un depòsit en botelles d’1,5 ¬ de capacitat. Quantes botelles s’ompliran?

Divideix 3.546 entre 1,5

S’ompliran 2.364 botelles.

1r Converteix el divisor en un nombre natural. Per fer-ho, multiplica el dividend i el divisor per la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals tinga el divisor.

3.546 : 1,5 1,5 té 1 xifra decimal Multiplica per 10 35.460 : 15

2n Fes la divisió de nombres naturals que has obtingut.

3 5 4 6 0 1 5 0 5 4 2 3 6 4 0 9 6 0 6 0 0 0

Per dividir un nombre natural entre un nombre decimal, es multipliquen tots dos nombres per la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals tinga el divisor, i després es fa la divisió de nombres naturals obtinguda.

85 : 0,34

30 : 1,2 59 : 0,125 288 : 2,25 1.273 : 0,5

Com que el divisor té … xifres decimals, he multiplicat el dividend i el divisor per …▶

Altres activitats• Plantegeu a l’alumnat problemes que es resolen calculant una di-

visió d’un nombre decimal entre un nombre natural, o d’un nombre natural entre un nombre decimal. Per exemple:

2 Andreu ha comprat 5 testos de flors iguals. Ha pagat per la com-pra 14,65 €. Quant costava cada test?

2 Sara té en el viver una caixa plena de paquets de terra. La caixa pesa 54 kg i cada paquet pesa 4,5 kg. Quants paquets de terra hi ha a la caixa?

Al final, corregiu els problemes a la pissarra i demaneu a l’alumnat que explique com ha calculat cada divisió.

Objectius• Calcular divisions en què el divi-

dend és un nombre natural i el divisor és un nombre decimal.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Llegiu el problema i escriviu la divisió. Comenteu que no po-dem calcular-la així perquè el divisor és un nombre decimal i expliqueu com es transforma en una altra divisió amb divisor natural.

Recordeu que, en multiplicar el dividend i el divisor pel mateix nombre, el quocient no varia, però el residu queda multipli-cat pel dit nombre. Per això, de moment sols es presenten divi-sions exactes.

Competències bàsiques

Competència

social i ciutadana

Aprofiteu la situació del problema inicial per a dialogar sobre la im-portància de reciclar el vidre, el plàstic, les llandes, el paper…, llançant cada material on pertoca.

Solucions

1. • 8.500 : 34 5 2502 xifres → per 100

• 300 : 12 5 251 xifra → per 10

• 59.000 : 125 5 4723 xifres → per 1.000

• 28.800 : 225 5 1282 xifres → per 100

• 12.730 : 5 5 2.5461 xifra → per 10

2. 6 145 64 7.625 16 875 3.250 1.680

Càlcul mental

• 176 440 2.200 198 462 3.300 330 583 6.710 396 594 7.920

UNITAT 9

123

132255 _ 0170-0185.indd 175132255 _ 0170-0185.indd 175 11/9/09 07:22:4311/9/09 07:22:43

124

Divisió d’un decimal entre un decimal

1. En cada cas, escriu quina divisió has de calcular i contesta.

341,6 : 42,7 ▶  3.416 : 427

100,2 : 8,35 ▶  … : …

9,728 : 6,4 ▶  … : …

5,382 : 0,39 ▶  … : …

● Per quin nombre has multiplicat el dividend i el divisor? Per què? El dividend obtingut és un nombre natural o decimal?

2. Escriu la divisió del requadre que té igual quocient que cada divisió donada.

Després, calcula aquest quocient.

● 0,364 : 0,7 5 … : … 5 …

● 0,364 : 0,07 5 … : … 5 …

● 3,64 : 0,07 5 … : … 5 …

● 3,64 : 0,007 5 … : … 5 …

● 36,4 : 0,007 5 … : … 5 …

3. Calcula.

54,6 : 0,65 7,918 : 2,14 2,87 : 0,035 524,4 : 76

4,608 : 0,072 3,074 : 5,8 31 : 0,62 68,37 : 129

Sara compra un llom que pesa 2,4 kg per 44,88 . Quant costa el quilogram de llom?

Divideix 44,88 entre 2,4

El quilogram de llom costa 18,70 .

1r Converteix el divisor en un nombre natural. Per fer-ho, multiplica el dividend i el divisor per la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals tinga el divisor.

44,88 : 2,4 2,4 té 1 xifra decimal Multiplica per 10 448,8 : 24

2n Fes la divisió que has obtingut.

4 4 8,8 2 4 2 0 8 1 8,7 1 6 8 0 0

Per dividir un nombre decimal entre un nombre decimal, es multipliquen tots dos per la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals tinga el divisor, i després es fa la divisió obtinguda.

El dividend de la divisió obtinguda pot ser un nombre natural o decimal. El divisor sempre és un nombre natural.

POSA ATENCIÓ

364 : 7 3,64 : 7 3.640 : 7

36.400 : 7 36,4 : 7

4.

5.

6.

7.

8.

Altres activitats• Recordeu a l’alumnat que, quan el divisor és un nombre decimal, el

convertim en natural multiplicant el dividend i el divisor per la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals tinga el divisor. A conti-nuació expliqueu que, quan el divisor és un nombre natural acabat en zeros, també podem simplificar la divisió dividint el dividend i el divisor entre la unitat seguida de tants zeros com tinga el divisor.

Plantegeu divisions com les següents per treballar en comú:

98 : 0,4 ▶ 980 : 4 5.700 : 30 ▶ 570 : 346,5 : 1,5 ▶ 465 : 15 480 : 500 ▶ 4,8 : 57,82 : 2,3 ▶ 78,2 : 23 69,2 : 20 ▶ 6,92 : 2

Objectius• Calcular divisions en què el di-

vidend i el divisor són nombres decimals.

• Calcular operacions combina-des amb nombres decimals.

• Resoldre problemes de divisió amb nombres decimals.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Llegiu el problema proposat i escriviu la divisió a la pissarra. Treballeu aquesta divisió com a unió dels dos casos estudiats anteriorment.

Demaneu a l’alumnat que ob-serve el divisor, comenteu que és un nombre decimal i pregun-teu què hem de fer i com.

A continuació, pregunteu com són el dividend i el divisor de la nova divisió, comenteu que ja saben calcular-la i feu-ho de for-ma col·lectiva, demanant a l’alumnat que explique cada pas fet.

Per a reforçar

• Aprofiteu l’estratègia referent a detectar les pròpies dificultats que hi ha desenvolupada en la pàgina 60 del manual d’ESTU-DI EFICAÇ i, en treballar l’activi-tat 3, demaneu-los que pensen en el procediment seguit per a calcular cada tipus de divisió i que comenten si han trobat di-ficultat en alguna i per què.

Competències bàsiques

Autonomia

i iniciativa personal

Quan feu l’activitat 4, animeu l’alumnat a comprovar cada terme calculat, aplicant al resultat l’ope-ració inversa a la realitzada. Així, tindran la satisfacció de saber que ho han fet bé, o tindran l’opor-tunitat de corregir les errades co-meses.

124

132255 _ 0170-0185.indd 176132255 _ 0170-0185.indd 176 11/9/09 07:22:4411/9/09 07:22:44

125

4. Calcula.

: 4,2 2 4,82 3 3,5 : 624,78

3 5,6 : 8 1 2,121 : 5,329,3

5. Calcula. Recorda l’ordre en què has de fer les operacions.

● 63,8 1 9,516 : 7,8 ● 60,188 : (5,9 1 1,44) 3 3,07

● 42,18 : 5,7 2 3,629 ● 9,657 1 7,614 : (3,1 2 2,92)

● 2,08 3 3,6 : 1,2 ● (0,82 1 0,76) : (13,2 2 12,805)

6. Resol.

● En un forn han fet hui 54,5 kg de pastes per empaquetar-les en capses de 0,25 kg cada una. Quantes capses ompliran?

● Enric té a la vidriola 36 en monedes de 0,20 . Quantes monedes hi té?

7. Calcula el quocient i el residu d’aquestes divisions enteres.

● 37,4 : 5,8 ● 981,5 : 0,64 ● 46 : 0,37 ● 8,231 : 0,009 ● 64,57 : 0,095

8. RAONAMENT. Calcula cada divisió. Després, pensa per quin nombre has multiplicat

el dividend i completa.

7 : 0,1 5 … : 1 5 … ▶ 7 : 0,1 5 7 3 …

8,2 : 0,1 5 … : 1 5 … ▶ 8,2 : 0,1 5 8,2 3 …

3,95 : 0,1 5 … : 1 5 … ▶ 3,95 : 0,1 5 3,95 3 …

● Pensa i completa. Després, posa’n dos exemples i comprova.

– Dividir un nombre entre 0,01 és igual que multiplicar-lo per …

– Dividir un nombre entre 0,001 és igual que multiplicar-lo per …

Calcula el quocient i el residu de la divisió 67,9 : 2,3.

1r Multiplica per 10 el dividend i el divisor, i calcula la divisió obtinguda.

2n Troba els termes de la divisió original a partir dels termes de la divisió calculada: – El quocient és el mateix. – El residu ha quedat multiplicat per 10 ▶ Divideix-lo entre 10.

67,9 : 2,3 ▶ 6 7 9 2 3 679 : 23 67,9 : 2,3 2 1 9 2 9

Quocient 5 29 Quocient 5 29 1 2

Residu 5 12 Residu 5 12 : 10 5 1,2

9

FES-HO AIXÍ

▶

▶ Dividir un nombre entre 0,1 és igual que multiplicar-lo per …

Altres activitats• Després de treballar el quadre Fes-ho així de l’activitat 7, proposeu

als xiquets i xiquetes que comenten, agrupats de dos en dos, la si-tuació següent. Al final, feu una posada en comú, ajudant l’alumnat perquè obtinga una resposta comuna raonada:

2 Per repartir 48 kg de mel en pots de 2,5 kg, un granger fa la di-visió 48 : 2,5; és a dir, divideix 480 : 25 i obté com a quocient 19 i com a residu 5.

Com que el residu és 5, pensa que podrà ficar aquests 5 kg de mel en 2 pots més de 2,5 kg i així no li’n sobrarà gens.

En què s’equivoca el granger?

Solucions1. • 341,6 : 42,7 ▶ 3.416 : 427

Per 10. És natural.• 100,2 : 8,35 ▶ 10.020 : 835

Per 100. És natural.• 9,728 : 6,4 ▶ 97,28 : 64

Per 10. És decimal.• 5,382 : 0,39 ▶ 538,2 : 39

Per 100. És decimal.

2. • 3,64 : 7 5 0,52• 36,4 : 7 5 5,2• 364 : 7 5 52• 3.640 : 7 5 520• 36.400 : 7 5 5.200

3. 84 3,7 82 6,964 0,53 50 0,53

4. • 24,78 → 5,9 → 1,08 → → 3,78 → 0,63

• 29,3 → 164,08 → → 20,51 → 22,631 → → 4,27

5. • 65,02 • 25,174• 3,771 • 51,957• 6,24 • 4

6. • 54,5 : 0,25 5 218Ompliran 218 capses.

• 36 : 0,20 5 180Té 180 monedes.

7. • 374 : 58q 5 6; r 5 26 : 10 5 2,6

• 98.150 : 64q 5 1.533; r 5 38 : 100 5 5 0,38

• 4.600 : 37q 5 124; r 5 12 : 100 5 5 0,12

• 8,231 : 0,009 ▶ 8.231 : 9q 5 914; r 5 5 : 1.000 5 5 0,005

• 64.570 : 95q 5 679; r 5 65 : 1.000 5 5 0,065

8. • 7 : 0,1 5 7 3 108,2 : 0,1 5 8,2 3 103,95 : 0,1 5 3,95 3 10Dividir entre 0,1 és igual que multiplicar per 10.

• Dividir entre 0,01 és igual que multiplicar per 100.Dividir entre 0,001 és igual que multiplicar per 1.000.

UNITAT 9

125

132255 _ 0170-0185.indd 177132255 _ 0170-0185.indd 177 11/9/09 07:22:4411/9/09 07:22:44

126

Obtenció de xifres decimals en el quocient

1. Explica com obtens els quocients amb el nombre de xifres decimals indicat.

Després, calcula.

2. Divideix 26 entre 7 i escriu en cada cas el quocient i el residu.

● Quocient sense xifres decimals. ● Quocient amb 2 xifres decimals.

● Quocient amb 1 xifra decimal. ● Quocient amb 3 xifres decimals.

Quin és el quocient major? I el residu menor?

Albert té una veta de 9 metres i la vol tallar en 7 trossos iguals. Quants metres farà cada tros?

Divideix 9 entre 7

9 7 2 1 Cada tros farà 1 m i li sobraran 2 m.

Albert vol saber amb més precisió quant ha de mesurar cada tros, així li sobrarà menys veta. Per fer-ho, trau xifres decimals en el quocient.

● Quocient amb una xifra decimal

Escriu en el dividend una xifra decimal: afig-hi una coma i un zero. Després, divideix.

U d

9,0 7 2 0 1,2 q 5 1,2 6 r 5 6 dècimes 5 0,6

Cada tros farà 1,2 m i li sobraran 0,6 m (6 dm).

● Quocient amb dues xifres decimals

Escriu en el dividend dues xifres decimals: afig-hi una coma i dos zeros. Després, divideix.

U d c

9,0 0 7 2 0 1,2 8 6 0 q 5 1,28 4 r 5 4 centèsimes 5 0,04

Cada tros farà 1,28 m i li sobraran 0,04 m (4 cm).

En una divisió entera es pot obtindre el quocient amb el nombre de xifres decimals que es desitge, escrivint el dividend amb aquest mateix nombre de xifres decimals.

Afig al dividend …

● 5 : 3 ● 26 : 9

● 79 : 25 ● 187 : 34

Afig al dividend …

● 7 : 4 ● 31 : 6

● 58 : 15 ● 253 : 42

Afig al dividend …

● 6 : 7 ● 59 : 8

● 93 : 39 ● 308 : 61

Amb 1 xifra decimal Amb 2 xifres decimals Amb 3 xifres decimals

3.

4.

5.

Mu

CÀ

Altres activitats• Plantegeu aquestes operacions amb fraccions i demaneu a l’alumnat

que expresse cada fracció en forma de nombre decimal.

A continuació, indiqueu-los que calculen cada operació de fraccions i de nombres decimals i comproven que els resultats expressen el mateix nombre.

45

1 32

114

2 52

25

3 34

72

: 14

Per exemple: 45

1 32

5 2310 23

10 5 2,3

0,8 1 1,5 5 2,3

Objectius• Obtindre quocients amb un nom-

bre donat de xifres decimals.

• Calcular l’expressió decimal d’una fracció.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Plantegeu el problema proposat i calculeu en comú la primera solució. A continuació, comen-teu la conveniència de calcular el quocient amb major precisió.Expliqueu com s’obté el quoci-ent amb una xifra decimal i feu insistència especial en la inter-pretació del residu. Treballeu de forma similar el càlcul del quo-cient amb dues xifres decimals, animant l’alumnat a intervindre-hi i, en acabant, podeu calcular en comú el quocient amb tres xifres decimals.

• Expliqueu el Fes-ho així de l’ac-tivitat 4 i calculeu de manera col·lectiva la primera divisió de cada tipus. Comenteu que, a ve-gades, el divisor té infinites xi-fres decimals i no podem acon-seguir que el residu siga zero.

Per a reforçar

• Aprofiteu els exemples d’in-ferències que hi ha en la pà-gina 12 del manual d’ESTUDI EFICAÇ i animeu l’alumnat a raonar i opinar com es poden calcular les divisions planteja-des en els Fes-ho així de l’ac-tivitat 3. Després, expliqueu i treballeu de forma col·lectiva els dits casos.

Competències bàsiques

Competència cultural

i artística

Quan plantegeu el problema inici-al, comenteu que, moltes vega-des, en fer treballs manuals ne-cessitem calcular divisions per a repartir el material i poseu-ne en comú uns quants exemples.

126

▶ ▶

132255 _ 0170-0185.indd 178132255 _ 0170-0185.indd 178 11/9/09 07:22:4411/9/09 07:22:44

127

9

3. Calcula el quocient amb el nombre de xifres decimals indicat.

● Amb 1 xifra decimal ▶ 8 : 3,4 7,5 : 4,6 23,1 : 0,95

● Amb 2 xifres decimals ▶ 7,2 : 5 3,18 : 2,9 46 : 3,7

● Amb 3 xifres decimals ▶ 12,5 : 6 9,42 : 0,89 28,05 : 6,8

4. Divideix obtenint xifres decimals en el quocient fins que el residu siga zero.

● 8 : 5 ● 207 : 9,2

29 : 8 168 : 6,4

91 : 28 35 : 1,6

● 37,8 : 4 ● 48,9 : 1,5

95,4 : 12 27,51 : 3,5

76,2 : 25 51,03 : 8,4

5. Expressa cada fracció com un nombre decimal.

▶ Exemple: 35

3 : 5 ▶ ▶ 35

5 0,6 25

14

72

38

FES-HO AIXÍ FES-HO AIXÍ

Calcula 63,5 : 8 amb 2 xifres decimals.

1r Escriu el dividend amb 2 xifres decimals: com que 63,5 té 1 xifra decimal, afig-hi un zero.

2n Divideix.

63,5 : 8 ▶ 6 3,5 0 8 7 5 7,9 3 3 0 6

Calcula 7,4 : 0,32 amb 1 xifra decimal.

1r Converteix el divisor en un nombre natural: multiplica el dividend i el divisor per 100.

2n Escriu el dividend amb 1 xifra decimal: afig-hi la coma i un zero.

3r Divideix.

7,4 : 0,32 ▶ 740 : 32 ▶ 7 4 0,0 3 2 1 0 0 2 3, 1 0 4 0 0 8

FES-HO AIXÍ

Divideix. Després escriu la coma en el quocient (si no està ja escrita), afig un zero al dividend i continua dividint tantes vegades com calga.

10 : 8 10 8 20 1,2 5 40

0

3,0 5 0 0,6

Multiplica un nombre natural per 9: multiplica per 10 i després resta el nombre

12 3 9 45 3 9 230 3 9

14 3 9 48 3 9 340 3 9

25 3 9 59 3 9 680 3 9

36 3 9 67 3 9 790 3 9

CÀLCUL MENTAL

3 9

24 240 216 3 10 2 24

Altres activitats• Comenteu a l’alumnat que en dividir dos nombres a vegades obtenim

un quocient exacte amb una, dues, tres… xifres decimals, però que altres vegades el quocient té infinites xifres decimals.

Poseu com a exemple d’aquest cas el càlcul del quocient de la di-visió 11 : 9 amb una, dues, tres i quatre xifres decimals.

11 : 9 5 1,2 11 : 9 5 1,22 11 : 9 5 1,222 11 : 9 5 1,2222

Raoneu en comú, sense efectuar l’operació, quin és el quocient amb cinc, sis… xifres decimals i comenteu que podem expressar el quocient amb el nombre de xifres decimals que volem, perquè el 2 es repeteix indefinidament. Si ho considereu convenient, comen-teu que aquests nombres s’anomenen periòdics.

Solucions

1. • Afig al dividend una coma i un zero.5,0 : 3 ▶ q 5 1,626,0 : 9 ▶ q 5 2,879,0 : 25 ▶ q 5 3,1187,0 : 34 ▶ q 5 5,5

• Afig al dividend una coma i dos zeros.7,00 : 4 ▶ q 5 1,7531,00 : 6 ▶ q 5 5,1658,00 : 15 ▶ q 5 3,86253,00 : 42 ▶ q 5 6,02

• Afig al dividend una coma i tres zeros.6,000 : 7 ▶ q 5 0,85759,000 : 8 ▶ q 5 7,37593,000 : 39 ▶ q 5 2,384308,000 : 61 ▶ q 5 5,049

2. • 26 : 7 ▶ q 5 3; r 5 5• 26,0 : 7 ▶ q 5 3,7

r 5 1 dècima 5 0,1

• 26,00 : 7 ▶ q 5 3,71r 5 3 centèsimes 5 0,03

• 26,000 : 7 ▶ q 5 3,714r 5 2 mil·lèsimes 5 0,002El quocient major és 3,714 i el residu menor és 0,002.

3. • 8 : 3,4 ▶ q 5 2,37,5 : 4,6 ▶ q 5 1,623,1 : 0,95 ▶ q 5 24,3

• 7,2 : 5 ▶ q 5 1,443,18 : 2,9 ▶ q 5 1,0946 : 3,7 ▶ q 5 12,43

• 12,5 : 6 ▶ q 5 2,0839,42 : 0,89 ▶ q 5 10,58428,05 : 6,8 ▶ q 5 4,125

4. • 1,6 • 22,53,625 26,253,25 21,875

• 9,45 • 32,67,95 7,863,048 6,075

5. 2/5 5 0,4 1/4 5 0,25 7/2 5 3,5 3/8 5 0,375

Càlcul mental

• 108 405 2.070 126 432 3.060 225 531 6.120 324 603 7.110

UNITAT 9

127

132255 _ 0170-0185.indd 179132255 _ 0170-0185.indd 179 11/9/09 07:22:4411/9/09 07:22:44

128

1. Llig i resol.

● Xavier ha comprat 3 refrescos a 0,68 cada un i 2 entrepans iguals. Per pagar ha donat un bitllet de 5 i 4 monedes de 20 cèntims. Quant li ha costat cada entrepà?

● Sol ha fet un viatge de 370 km. Ha calculat que, cada 100 km, ha gastat 6,08 ¬ de gasolina. Quants litres de gasolina ha gastat en total en el viatge?

2. Observa i resol.

La pinta, el quart i el galó són unitats de capacitat anglosaxones. Fixa’t en l’equivalència que tenen en litres.

1 pinta 1 quart 1 galó

● Quantes pintes són 1 quart? Quants quarts són 1 galó?

● En un pitxer hi ha 3 pintes de suc. Quants litres hi ha?

● En un bidó hi ha 1 quart de gasolina. Quants litres més de gasolina es poden posar al bidó si aquest té una capacitat d’1 galó?

● Leire ha abocat en un poal 2 galons i 1 quart d’aigua. Quants litres d’aigua hi ha abocat?

Problemes amb decimals

En un tonell hi havia 49,65 ¬ d’oli. Amb aquest oli Ivan ha omplit 15 botelles de 0,75 ¬ cada una i diversos bidons de 3,2 ¬. Quants bidons ha omplit d’oli?

Ivan ha omplit 12 bidons d’oli.

1r Calcula quant d’oli aboca a les botelles.

A les botelles n’aboca 11,25 ¬.

2n Calcula quant d’oli li queda per abocar als bidons.

Als bidons n’aboca 38,4 ¬.

3r Calcula quants bidons ompli.

3 8, 4 : 3,2 ▼ ▼

3 8 4 3 2 0 6 4 1 2 0 0

Ompli 12 bidons.

1 pinta 5 0,568 litres

1 quart 5 1,136 litres

1 galó 5 4,544 litres

0, 7 5 3 1 5

3 7 5 0 7 5

1 1, 2 5

4 9, 6 5 2 1 1, 2 5 3 8, 4 0

3.

4.

5.

Altres activitats• Formeu tres grups i demaneu a cada un que invente altres proble-

mes amb les dades del cartell de l’activitat 2, la taula de l’activitat 3 i el gràfic de l’activitat 4, respectivament.

Al final, plantegeu-ne alguns per resoldre de forma col·lectiva a la pissarra.

Objectius• Resoldre problemes de suma,

resta, multiplicació i divisió amb nombres decimals.

• Resoldre problemes amb nom-bres decimals buscant les da-des en quadres, taules i grà-fics.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Llegiu el problema proposat i pre-gunteu a l’alumnat com el resol-drien. Una vegada arreplegades les seues aportacions, resoleu-lo en comú. Comenteu cada pas del procés, escriviu a la pissarra l’operació corresponent i dema-neu a un alumne que la calcule i explique com ho fa.

• Abans de demanar als xiquets i xiquetes que resolguen (ells sols o en grups reduïts) els pro-blemes proposats en les activi-tats 2, 3 i 4, plantegeu-los di-verses preguntes de recerca de dades, fins a comprovar que no tenen dificultat a interpretar la informació presentada.

Competències bàsiques

Tractament

de la informació

Comenteu a l’alumnat que en la vida quotidiana les dades es tro-ben reflectides de moltes formes diferents: textos, cartells, taules, gràfics… i mostreu que cal saber interpretar la informació per a po-der resoldre les situacions proble-màtiques que ens sorgisquen.

Autonomia

i iniciativa personal

En enfrontar-se als problemes proposats, l’alumnat desenvolupa la iniciativa per aplicar de forma pràctica el sentit de les operaci-ons treballades en els dos temes de nombres decimals i l’autono-mia en el càlcul de la solució.

128

132255 _ 0170-0185.indd 180132255 _ 0170-0185.indd 180 11/9/09 07:22:4511/9/09 07:22:45

129

9

3. Busca les dades en la taula i resol.

4. Observa el gràfic i calcula.

COMPOSICIÓ NUTRICIONAL D’UN GOT DE LLET

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Grams

● Lluc ha pres hui 3 gots de llet entera. Quants grams d’hidrats de carboni més que de proteïnes ha pres?

● Agnés ha pres aquesta setmana 50,4 g de greixos amb els gots de llet semidesnatada que ha begut. Si n’ha pres cada dia la mateixa quantitat, quants grams de greixos ha pres en la llet de cada dia? Quants gots n’ha begut diàriament?

5. RAONAMENT. Observa la divisió resolta i esbrina, sense fer-les, quines d’aquestes

divisions donen el mateix quocient i el mateix residu que aquella.

● 132,6 : 20 ● 13,26 : 0,2

● 1.326 : 20 ● 1.326 : 0,2

● 13,26 : 0,02 ● 1,326 : 0,002

● 1,326 : 0,02 ● 0,1326 : 0,002

Diàmetre

(en mm)25,75 23,25 24,25 22,25 19,75 21,25 18,75 16,25

Gruix

(en mm)2,2 2,33 2,38 2,14 1,93 1,67 1,67 1,67

Pes

(en g)8,5 7,5 7,8 5,74 4,1 3,92 3,06 2,3

● Quants mil·límetres fa el gruix de la moneda de 2 més que la de 5 cèntims?

● Quants grams pesen 3 monedes de 20 cèntims i 2 de 50 cèntims?

● Quants mil·límetres fa de llarg una fila amb aquestes monedes?

● Lorena ha fet una torre amb 4 monedes iguals. L’alçada de la torre és 6,68 mm. De quins valors poden ser les monedes?

● Eduard ha pesat 6 monedes del mateix valor i 2 monedes de 50 cèntims. En total, les huit monedes pesen 39,12 g. Quines monedes ha pesat?

Proteïnes

Greixos

Hidrats

de carboni

1 3 2,6 2 1 2 6 6,3 0 6 0

Llet entera

Llet semidesnatada

Cada ratlleta de l’eix són 0,2 g.

UNITAT 9

Solucions1. • 3 3 0,68 5 2,04

5 1 4 3 0,2 5 5,85,8 2 2,04 5 3,76 3,76 : 2 5 1,88Li ha costat 1,88 €.

• 370 : 100 5 3,7 3,7 3 6,08 5 22,496N’ha gastat 22,496 litres.

2. • 1,136 : 0,568 5 24,544 : 1,136 5 4Un quart són 2 pintes. Un galó són 4 quarts.

• 3 3 0,568 5 1,704N’hi ha 1,704 litres.

• 4,544 2 1,136 5 3,408Se’n poden posar al bidó 3,408 litres més.

• 2 3 4,544 1 1,136 5 5 10,224N’hi ha abocat 10,224 li-tres.

3. • 2,2 2 1,67 5 0,53Mesura 0,53 mm més.

• 3 3 5,74 1 2 3 7,8 5 5 32,82 Pesen 32,82 g.

• 25,75 1 2 3 23,25 5 72,25Mesura 72,25 mm.

• 6,68 : 4 5 1,67 Poden ser d’1, 2 o 5 cèn-tims.

• 39,12 2 2 3 7,8 5 23,5223,52 : 6 5 3,92Ha pesat 6 monedes de 5 cèntims i 2 monedes de 50 cèntims.

4. • 3 3 (9,2 2 6,4) 5 8,4N’ha pres 8,4 g més.

• 50,4 : 7 5 7,27,2 : 3,6 5 2 Cada dia n’ha pres 7,2 g.N’ha begut 2 gots al dia.

5. • 1.326 : 20• 13,26 : 0,2• 1,326 : 0,02• 0,1326 : 0,002

129

Altres activitats• Escriviu a la pissarra una suma, una resta, una multiplicació i una

divisió amb nombres decimals.

Indiqueu a l’alumnat que invente dos problemes que es resolguen calculant una de les operacions anteriors, i dos més que es resol-guen amb dues operacions, una de les quals siga alguna de les operacions escrites a la pissarra.

Al final, calculeu les operacions a la pissarra i feu una posada en comú on l’alumnat llija els enunciats proposats per a cada opera-ció i en diga la solució.

132255 _ 0170-0185.indd 181132255 _ 0170-0185.indd 181 11/9/09 07:22:4511/9/09 07:22:45

130

Activitats

1. ESTUDI EFICAÇ. Explica com calcules cada

tipus de divisió amb nombres decimals.

Després, calcula.

● D’un nombre decimal entre un de natural.

45,6 : 3 39,78 : 17

123,18 : 6 37,506 : 42

● D’un nombre natural entre un de decimal.

48 : 9,6 24 : 0,75

910 : 2,8 636 : 0,125

● D’un nombre decimal entre un de decimal.

19,6 : 4,9 23,8 : 0,85

32,64 : 3,4 814,2 : 2,76

2. Calcula.

● 84,164 : 7,94 ● 53,9 : 0,275

● 261,8 : 9,35 ● 273 : 18,2

● 134,42 : 26 ● 74,26 : 0,94

3. Troba el factor que falta en cada cas.

8 3 5 191,232

7,3 3 5 4.277,8

6,37 3 5 96,824

3 492 5 260,76

3 2,9 5 537,08

3 0,085 5 0,3145

4. En cada divisió, calcula el quocient amb

el nombre de xifres decimals indicat.

Amb 2 xifres decimals

● 83 : 76 ● 51,2 : 9,74

● 104 : 3,5 ● 237,6 : 28

Amb 3 xifres decimals

● 69 : 87 ● 94,8 : 7,6

● 25 : 4,3 ● 109,52 : 39

5. Divideix obtenint xifres decimals en el

quocient fins que el residu siga zero.

● 629 : 68 ● 52,7 : 34

● 29,04 : 9,6 ● 213 : 7,5

6. Fes aquestes operacions combinades.

● 6,38 1 4,56 : 3,8

● 15,2 3 9,45 : 10

● 40,48 : (12,4 2 9,87)

● (21 2 16,3) : (74,82 1 25,18)

7. Expressa les fraccions següents com

a nombres decimals.

45

74

115

18

54

Copia i representa les fraccions anteriors en la recta numèrica.

0 0,5 1 1,5 2

8. Obtín el nombre decimal equivalent

a cada fracció, compara i escriu el signe

corresponent.

● 1 65

● 0,7 58

● 3,57 154

● 94

2 ● 178

2,2 ● 52

2,22

9. Pensa i contesta.

● El quocient d’una divisió de dos nombres naturals, pot ser decimal?

● El quocient d’una divisió de dos nombres decimals, pot ser natural?

10. Sense fer l’operació completa,

escriu la coma del quocient de cada

una de les divisions.

● 9,75 : 3 5 325 ● 3,12 : 0,6 5 52

11

ET

Altres activitats• Proposeu als xiquets i xiquetes activitats de càlcul del residu de di-

visions de natural o decimal entre decimal, a partir de la prova de la divisió (com a alternativa a dividir aquest residu entre el nombre pel qual multipliquem dividend i divisor). D’aquesta forma practiquen també la multiplicació i la resta de decimals. Per exemple:

7 : 1,2 ▶ 70 12 q 5 5 7 : 1,2 10 5 r 5 D 2 d 3 q 5 7 2 1,2 3 5 5 1

6,5 : 3,24 ▶ 650 324 q 5 2 6,5 : 3,24 002 2 r 5 6,5 2 3,24 3 2 5 0,02

Objectius• Repassar els continguts bàsics

de la unitat.

• Aplicar les matemàtiques en di-ferents contextos.

Competències bàsiques

Aprendre a aprendre

En corregir les divisions planteja-des en aquesta doble pàgina, de-maneu a l’alumnat que explique com les ha calculades, perquè siga conscient del procés seguit i, a partir de la sistematització, ad-quirisca cada vegada un automa-tisme major.

Solucions1. Comproveu que l’alumnat sap

aplicar la tècnica adequada en cada cas.

• 15,2 2,3420,53 0,893

• 5 32325 5.088

• 4 289,6 295

2. • 10,6 • 196• 28 • 15• 5,17 • 79

3. 5 191,232 : 8 5 23,904 5 4.277,8 : 7,3 5 586 5 96,824 : 6,37 5 15,2 5 260,76 : 492 5 0,53 5 537,08 : 2,9 5 185,2 5 0,3145 : 0,085 5 3,7

4. • 1,09 5,2529,71 8,48

• 0,793 12,4735,813 2,808

5. • 9,25 • 1,55• 3,025 • 28,4

6. • 6,38 1 1,2 5 7,58• 143,64 : 10 5 14,364• 40,48 : 2,53 5 16• 4,7 : 100 5 0,047

130

132255 _ 0170-0185.indd 182132255 _ 0170-0185.indd 182 11/9/09 07:22:4511/9/09 07:22:45

154

2

res

res

2

131

9

11. Resol.

● Quatre amics han anat a berenar. El berenar costa en total 24,20 i el volen pagar en parts iguals. Quant paga cada un?

● Ester necessita 20 m de veta. La veta es ven en rotllos de 2,5 m cada un. Quants rotllos de veta necessita?

● En un hort han collit 68 kg de llimes i els han repartit en 8 cistelles de manera que totes pesen el mateix i no sobra cap llima. Quant pesa cada cistella?

● Joan vol fer una estanteria. Talla una post de 2,8 m en estants de 0,35 m. Quants estants en trau?

● Un meló de 2,1 kg costa en una botiga 5,25 . Quant costarà un altre meló que pesa 1,86 kg?

● Lluïsa ha comprat per al jardí una taula que costava 37,60 i 5 cadires iguals. Per pagar ha donat 2 bitllets de 50 i li han tornat 8,15 . Quant costava cada cadira?

● Pere ha preparat un suc amb 0,86 ¬ de suc de poma, 0,45 ¬ de maduixa i 0,3 ¬ de raïm. Després l’ha repartit en 7 gots iguals. Quants litres de suc ha posat en cada got?

● Joan corre 4,26 km cada dia de dilluns a divendres i 7,8 km cada dia del cap de setmana. Quants quilòmetres corre cada setmana?

ETS CAPAÇ DE… Calcular preus de telefonades

Diversos amics estudien les tarifes telefòniques de mòbil que tenen contractades per vore si els convé fer-hi algun canvi.

● Francesc té la tarifa fixa. Les telefonades de l’última setmana li han costat en total 3 . Quants minuts ha parlat aquesta setmana?

● Carme ha fet dues telefonades amb la tarifa jove, una de 5 minuts i l’altra de 6 minuts. Quant ha pagat per les dues telefonades?

● Maria ha fet 3 telefonades i té la tarifa única. Quant li han costat les 3 telefonades?

Si haguera tingut la tarifa jove, hauria pagat 1,62 . Quants minuts va parlar en total?

Li hauria eixit més barat amb la tarifa fixa?

TARIFES TELEFÒNIQUES

– Tarifa jove: 0,15 per telefonada més 0,09 cada minut.

– Tarifa fixa: 0,12 cada minut.

– Tarifa única: 0,53 cada telefonada, siga quina siga la duració.

UNITAT 9

7. 4/5 5 0,8 7/4 5 1,7511/5 5 2,2 1/8

5 0,125

5/4 5 1,25. Roig: 1/8verd: 4/5, blau: 5/4morat: 7/4, groc: 11/5.

8. • 1 , 65

• 0,7 . 58

• 3,57 , 154

• 94

. 2

• 178

, 2,2 • 52

. 2,22

9. • Sí. • Sí.

10. • 3,25 • 5,2

11. • 24,20 : 4 5 6,05Cada un paga 6,05 €.

• 20 : 2,5 5 8En necessita 8 rotllos.

• 68 : 8 5 8,5 Cada cistella pesa 8,5 kg.

• 2,8 : 0,35 5 8En trau 8 estants.

• 5,25 : 2,1 5 2,5 2,5 3 1,86 5 4,65 Costarà 4,65 €.

• 2 3 50 2 8,15 5 91,8591,85 2 37,60 5 54,2554,25 : 5 5 10,85Cada cadira costa 10,85 €.

• 0,86 1 0,45 1 0,3 5 1,611,61 : 7 5 0,23N’han posat 0,23 ¬.

• 4,26 3 5 1 7,8 3 2 5 5 36,9Corre 36,9 km.

Ets capaç de…

• 3 : 0,12 5 25Francesc ha parlat 25 minuts.

• 0,15 3 2 1 0,09 3 (5 1 6) 5 5 1,29Carme ha pagat 1,29 €.

• 0,53 3 3 5 1,59 Li han costat 1,59 €.0,15 3 3 5 0,45 1,62 2 0,45 5 1,171,17 : 0,09 5 13Va parlar en total 13 minuts.0,12 3 13 5 1,561,56 , 1,59Sí, li hauria eixit més barat.

131

Programa d’ESTUDI EFICAÇ• En acabar la unitat, feu que l’alumnat complete aquesta taula:

Unitat 9 Divisió de nombres decimals

El que he aprésEl que he aprés

a fer

Un decimal entre un natural

Un natural entre un decimal

Un decimal entre un decimal

Obtenció de xifres decimals en el quocient

Problemes amb decimals

132255 _ 0170-0185.indd 183132255 _ 0170-0185.indd 183 11/9/09 07:22:4611/9/09 07:22:46

132

Solució de problemesRepresentar dades amb dibuixosResol els problemes següents representant la dada desconeguda amb un dibuix.

Després comprova que la solució és correcta.

En les dues classes de 6é van arreplegar aliments per a una campanya solidària. En 6é B en van arreplegar 9 kg més que en 6é A i entre les dues classes van arreplegar 71 kg d’aliments. Quants quilos en van arreplegar en cada classe?

▶ No sabem quants quilos se’n van arreplegar en 6é A. Representem aquesta dada amb un dibuix ▶

1r Escrivim les dades del problema.

Quilos arreplegats en 6é A: Quilos arreplegats en 6é B: 1 9

2n Expressem la condició del problema: la suma de les dues quantitats és 71 kg, i calculem.

1 1 9 5 71

2 3 1 9 5 71

2 3 5 71 2 9 5 62

5 62 : 2 5 31

3r Calculem la solució. 4t Comprovem.

6é A ▶ 5 31 kg 40 5 31 1 9

6é B ▶ 1 9 5 31 1 9 5 40 kg 31 1 40 5 71

Solució: En 6é A van arreplegar 31 kg d’aliments i en 6é B, 40 kg.

1. Clara respon a les 10 preguntes d’un examen. Contesta bé 8 preguntes més de les que contesta malament. Quantes preguntes contesta bé i quantes malament?

Malament:

Bé: 1 …

Total: 1 1 … 5 …

2. Maria ha comprat un disc i un llibre. El disc li ha costat 2,50 menys que el llibre i pels dos ha pagat 27,50 . Quant ha pagat per cada article?

Llibre: Disc: 2 …

Total: 1 2 … 5 …

3. Joan ha construït la maqueta d’un drac. La cua fa 10 cm més que el cos i la longitud total és de 40 cm. Quant fa la cua? I el cos?

Cos:

Cua: …

Longitud total: …

4. INVENTA. Escriu un problema semblant als que tens en aquesta pàgina que es puga resoldre expressant una dada amb un dibuix. Comprova que la solució és correcta.

EX

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Altres activitats• Després de treballar els problemes d’aquesta pàgina, proposeu a

l’alumnat resoldre’ls representant amb un dibuix l’altra dada des-coneguda i comprovar que obtenim el mateix resultat. Per exem-ple:

– Problema resolt: Quilos en 6é B: ; Quilos en 6é A : 2 9

– Problema 1: Bé: ; Malament: 2 8

– Problema 2: Disc: ; Llibre: 1 2,50

– Problema 3: Cua: ; Cos: 2 10

Objectius• Resoldre problemes represen-

tant amb un dibuix una dada desconeguda.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Llegiu el problema resolt i co-menteu que no sabem el nom-bre de quilos que en van ar-replegar en 6é A, però podem representar aquesta dada amb un dibuix i expressar també amb aquest dibuix els quilos que en van arreplegar en 6é B i la relació que hi ha entre ells. Expliqueu el procés seguit per resoldre el problema i que ope-rem amb el dibuix com si fóra un nombre.

• Abans de resoldre cada proble-ma proposat treballeu en comú l’expressió de cada dada i la condició amb el dibuix triat.

Competències bàsiques

Tractament

de la informació

La resolució d’aquests problemes ajuda l’alumnat a expressar de forma simbòlica dades reals i re-lacionar-les mitjançant operacions matemàtiques, base per a l’estu-di posterior de l’àlgebra.

Solucions1. Malament: Bé: 1 8

1 1 8 5 10 ▶ 5 19 bé i 1 malament.

2. Llibre: Disc: 2 2,501 2 2,50 5 27,50

▶ 5 15Pel llibre ha pagat 15 € i pel disc, 12,50 €.

3. Cos: Cua: 1 10 1 1 10 5 40 ▶

▶ 5 15La cua mesura 25 cm i el cos, 15 cm.

132

132255 _ 0170-0185.indd 184132255 _ 0170-0185.indd 184 11/9/09 07:22:4611/9/09 07:22:46

133

9

EXERCICIS

1. Escriu amb xifres cada nombre. Després,

troba’n la descomposició.

● Cinc milions dotze mil cent tres.

● Tretze milions quatre mil vint-i-nou.

● Dos-cents tres milions huitanta mil u.

2. Escriu.

● El nombre anterior a 300.000.000.

● El nombre posterior a 175.099.899.

● El menor nombre parell de huit xifres.

3. Calcula.

● 9 2 (6 1 1) ● (5 2 1) : 2 1 6

● 8 : 2 1 4 ● 9 3 3 2 24 : 8

● 5 3 (8 2 1) ● 8 2 2 3 3 2 1

● 7 2 2 3 3 ● 7 3 4 2 (2 1 8) : 5

4. ESTUDI EFICAÇ. Completa les frases.

● Per sumar dues fraccions, de primer …

● Per restar dues fraccions …

● Per multiplicar dues fraccions …

● Per dividir dues fraccions …

5. Calcula.

23

1 56

98

2 34

57

3 38

83

: 76

47

1 3 8 2 25

67

3 2 5 : 29

6. Calcula.

● 4,9 1 12,675 ● 12,75 3 4,9

● 8,72 2 3,989 ● 0,691 3 1.000

7. Aproxima com s’indica.

● A les unitats: 4,7 6,18 2,528

● A les dècimes: 8,32 3,46 7,651

● A les centèsimes: 1,926 2,635 5,194

PROBLEMES

8. En una reunió, dos terços dels assistents eren dones i els restants eren homes. De les dones, tres quarts tenien menys de 30 anys. Quina part dels assistents eren dones menors de 30 anys? I dones majors de 30 anys? Quina part eren homes?

9. Joan va recol·lectar 200 kg de cireres. Va rebutjar-ne 15 kg perquè s’havien fet malbé i va posar la resta en caixes de 5 kg. Cada caixa la va vendre a 13,75 . Quants diners va obtindre per la venda de totes les caixes?

10. Rosa, Laura i Pau han de fer un treball sobre un mateix llibre. Rosa ha fet ja dos cinquens del treball, Laura tres desens i Pau dos sisens. Qui ha fet més part del treball? I menys?

11. En una botiga van comprar 120 quilos de pomes a 1,50 el quilo i 80 quilos a 1,75 el quilo. Després van vendre cada quilo de pomes a 1,72 . Quin benefici en van traure? Quin hauria sigut el benefici si hagueren venut el quilo 8 cèntims més car?

12. En una enquesta feta a 405 persones, dos terços d’aquestes persones van dir que menjaven dues peces de fruita cada dia, dos novens en menjaven una peça i la resta no menjava fruita. Quantes persones de les enquestades no menjaven fruita cada dia?

RepassaUNITAT 9

4. R. L.Solucions 1. • 5.012.103 5 5 U de mi-

lió 1 1 DM 1 2 UM 1 1 1 C 1 3 U

• 13.004.029 5 1 D de milió 1 3 U de milió 1 1 4 UM 1 1 2 D 1 9 U

• 203.080.001 5 2 C de milió 1 3 U de milió 1 1 8 DM 1 1 U

2. • 299.999.999• 175.099.900 • 10.000.000

3. • 2 • 35 • 8 • 1• 8 • 1 • 24 • 26

4. R. M. Per sumar dues frac-cions, es redueixen a comú denominador i, després, se’n sumen els numeradors i es deixa el denominador comú.

5. 96

5 32

38

1556

4821

5 167

257

385

127

452

6. • 17,575 • 62,475• 4,731 • 691

7. • 5 6 3• 8,3 3,5 7,7• 1,93 2,64 5,19

8. Menors de 30 anys: 3/4 3

3 2/3 5 6/12 5 1/2 Majors de 30 anys: 2/3 2

2 6/12 5 2/12 5 1/6 Homes: 1 2 2/3 5 1/3

9. (200 2 15) : 5 5 37 37 3 13,75 5 508,75 Va obtindre 508,75 €.

10. 2/5 . 2/6 . 3/10. Més part: Rosa; menys: Laura.

11. 120 3 1,50 1 80 3 1,75 5 5 320 (120 1 80) 3 1,72 5 344344 2 320 5 24 Van obtindre 24 €. 24 1 200 3 0,08 5 40Hauria sigut de 40 €.

12. 1 2 (2/3 1 2/9) 5 1/9No en menjaven: 45 (405 : 9).

Repàs en comú • Proposeu a l’alumnat completar amb la divisió el treball realitzat

en Repàs en comú de la unitat 8 (pàg. 117) sobre la suma, resta i multiplicació de nombres decimals.

Demaneu-los que escriguen i calculen tres divisions (no importa que siguen enteres):

– Un nombre decimal entre un nombre natural.– Un nombre natural entre un nombre decimal.– Un nombre decimal entre un altre nombre decimal.

A continuació, indiqueu-los que inventen un problema que es resol-ga amb cada una de les divisions anteriors, preguntant només pel quocient i si hi ha o no residu. Resoleu-ne alguns en comú.

133

132255 _ 0170-0185.indd 185132255 _ 0170-0185.indd 185 11/9/09 07:22:4711/9/09 07:22:47

134

Figures planes10

Les fi gures planes estan presents en moltes situacions de la vida diària. En el tauler del parxís, un popular joc de taula d’origen hindú, trobem diversos tipus de polígons i altres fi gures planes.

● En quina part del tauler pots vore quadrats? I rectangles?

● Hi pots vore algun trapezi? Hi trobes algun altre tipus de quadrilàter? Quin?

● Quins altres polígons hi ha en el tauler? On es troben?Quants costats, vèrtexs i angles tenen?

● Pots vore altres fi gures planes en el tauler? Quin nom tenen? Són polígons? Per què?

RE

P

1.

2.

U

C

co

Altres formes de començar• Utilitzeu les figures planes del material d’aula per a repassar con-

tinguts bàsics de geometria apresos en cursos anteriors. Després, podeu presentar el quadre Recorda el que en saps com a resum d’aquests continguts. Per exemple:– Classificar i definir un polígon segons el nombre de costats. – Assenyalar els elements d’un polígon o d’un cercle.– Classificar i definir triangles segons els costats i els angles.– Classificar i definir quadrilàters i paral·lelograms, dient totes les característiques que coneguen de cada un.– Reconéixer els polígons regulars i anomenar el triangle i el quadri-làter regular.– Definir i calcular el perímetre d’un polígon.

Objectius• Reconéixer situacions reals en

què hi haja figures planes.

• Recordar conceptes necessaris per a desenvolupar la unitat.

Suggeriments didàctics• Demaneu als xiquets i xiquetes

que observen la fotografia del tauler del parxís i responeu de forma col·lectiva a les pregun-tes presentades. Sol·liciteu-los que descriguen cada figura pla-na localitzada, procurant que l’expressió i l’ús dels termes geomètrics siguen precisos.

• Podeu demanar a l’alumnat que duga a classe altres taulers de joc formats per figures planes i que els descriga de manera col·lectiva.

• En Recorda el que en saps, re-passeu els elements dels polí-gons i demaneu a l’alumnat que explique com es classifi-quen els triangles, quadrilàters i paral·lelograms.

Competències bàsiques

Competència

social i ciutadana

Aprofiteu la situació inicial del joc del parxís per a dialogar amb l’alumnat sobre els jocs. Assenya-leu el valor social del joc en grup i la importància de saber complir les regles, mantenint la diversió i l’amistat sense competitivitat.

Competència cultural

i artística

Comenteu, a partir del joc del par-xís, l’origen de molts jocs popu-lars, com a mostra de la cultura d’un poble.

A més, feu observar a l’alumnat el dibuix del tauler de diversos jocs de taula i feu-los notar que conte-nen figures geomètriques de dife-rents tipus.

134

132255 _ 0186-0205.indd 188132255 _ 0186-0205.indd 188 11/9/09 07:25:5211/9/09 07:25:52

135

RECORDA EL QUE EN SAPS

Polígons: elements i classificació

1. Classifica cada polígon tenint en compte els costats

i els angles.

2. Pensa i contesta.

● Com és el triangle regular segons els costats i segons els angles?

● Com s'anomena el quadrilàter regular? Quantes diagonals té? Com són?

Un polígon és una figura plana formada per una línia poligonal tancada i el seu interior.

Els elements d’un polígon són: els costats, els vèrtexs, els angles i les diagonals.

Els polígons es poden classificar així:

– Segons el nombre de costats, en triangles, quadrilàters…

– Segons que els costats i els angles siguen iguals o diferents, en polígons regulars o irregulars.

Classificació de triangles i quadrilàters

● A identificar una base i la seua altura o altures en triangles i paral·lelograms.

● A reconéixer quina és la suma dels angles d’un triangle i d’un quadrilàter.

● A calcular la longitud d’una circumferència.

● A reconéixer les figures circulars i les posicions relatives de rectes i circumferències.

APRENDRÀS

angle vèrtex

costat

diagonal

Classificació de triangles

Segons els costats

Equilàter Isòsceles Escalé

Segons els angles

Rectangle Acutangle Obtusangle

Classificació de quadrilàters

Trapezoide Trapezi Paral·lelogram

Classificació de paral·lelograms

Quadrat Rectangle Rombe Romboide

Vocabulari de la unitat• Base i altura

• Triangle, quadrilàter i paral·lelogram

• Centre, radi, corda, diàmetre, arc i semicircumferència

• Longitud d’una circumferència. El nombre π• Figures circulars: sector circular, segment circular, semicercle

i corona circular

• Rectes exterior, tangent i secant a una circumferència

• Circumferències exteriors, interiors, tangents exteriors, tangents interiors i secants

SolucionsPàgina inicial

• Hi ha quadrats en els quatre cantons del tauler i, al centre, el quadrat format pels quatre triangles.Hi ha rectangles en la majoria de les caselles numerades i en les de cada color que pugen al centre.

• Hi ha trapezis en les caselles amb els nombres 8, 9, 25, 26, 42, 43, 59 i 60.

Sí que hi ha un altre tipus de quadrilàter: al centre dels cer-cles dels cantons (casa) tro-bem diversos rombes.

• Hi ha quatre triangles que for-men el quadrat central. Els tri-angles tenen 3 costats, 3 vèr-texs i 3 angles.

• Sí que hi ha altres figures pla-nes, els cercles: quatre de grans als cantons del tauler i grisos o de color dins algunes caselles. No són polígons per-què estan formats per una línia corba, no poligonal.

Recorda el que en saps

1. • P . blau: triangle equilàter acutangle.

• P . verd: triangle escalé rec-tangle.

• P . rosa: quadrilàter, paral-lelogram, rombe.

• P . taronja: quadrilàter, trape-zi.

• P . groc: triangle isòsceles obtusangle.

• P . morat: quadrilàter, trape-zoide.

• P . roig: quadrilàter, paral-lelogram, romboide.

2. • El triangle regular és equilà-ter i acutangle.

• El quadrilàter regular és el quadrat. Té dues diagonals que són iguals i perpendicu-lars.

UNITAT 10

135

132255 _ 0186-0205.indd 189132255 _ 0186-0205.indd 189 11/9/09 07:25:5311/9/09 07:25:53

136

Base i altura de triangles i paral·lelograms

Patrícia ha repassat de taronja una base de cada polígon i ha traçat de roig una altura corresponent a aquesta base.

El costat AB és una base del triangle. També ho són els costats BC i AC.

El segment roig és l’altura corresponent a la base AB. És un segment perpendicular a la base o a la seua prolongació, i un dels extrems és el vèrtex C.

El costat AB és una base del paral·lelogram. També ho són els costats BC, CD i AD.

El segment roig és una altura corresponent a la base AB. És un segment perpendicular a la base o a la seua prolongació, i un dels extrems és un dels vèrtexs oposats C o D.

● Base d’un triangle o d’un paral·lelogram és qualsevol dels costats.

● Altura d’un triangle o d’un paral·lelogram és un segment perpendicular a una base o a la seua prolongació, traçat des d’un dels vèrtexs oposats.

C C C

A B A B A B

1. Quantes bases tenen els triangles? I els paral·lelograms? Contesta.

2. Calca cada triangle i traça, amb un escaire o un cartabó, l’altura corresponent

a la base AB.

● En quin triangle coincideix l’altura amb un dels costats? Classifica’l segons els angles.

● En quin triangle has prolongat la base per traçar l’altura? Classifica’l segons els angles.

● En quin triangle has dibuixat l’altura a l’interior? Classifica’l segons els angles.

C

BA

C

BA

C

BA

D C D C D C D C

A B A B A B A B

3.

Mu

CÀ

P

1

2

3

4

A

4

TA

Altres activitats• Proposeu a l’alumnat marcar les altures en triangles i paral-

lelograms mitjançant plegament. Pot utilitzar les figures del materi-al d’aula com a plantilla per a dibuixar cada figura en un full.

Demaneu-los que, en cada full, dobleguen la figura per una base (i la seua prolongació). Després, han de fer un segon doblec de ma-nera que passe pel (o un) vèrtex oposat i que el primer doblec co-incidisca amb si mateix. En els paral·lelograms poden fer un altre doblec que passe per l’altre vèrtex oposat, per obtindre les dues altures corresponents a la base.

Finalment, indiqueu-los que desdobleguen el full i marquen la base d’un color sobre el primer doblec i l’altura (o les dues altures) d’un altre color sobre el segon (i tercer) doblec.

Objectius• Identificar les bases i les altures

en triangles i paral·lelograms.

• Traçar l’altura o les altures cor-responents a una base donada.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Dibuixeu a la pissarra uns quants triangles i paral·lelograms i de-maneu a l’alumnat que els clas-sifique. Crideu l’atenció sobre els costats perpendiculars del triangle rectangle, el quadrat i el rectangle.

• Recordeu com podem dibuixar una perpendicular a una recta utilitzant un escaire o un carta-bó, i demaneu-los que en dibui-xen algunes en un full.

Per a explicar

• Expliqueu la definició de base i d’al-tura i la forma de traçar aquesta darrera. Indiqueu que a voltes cal prolongar la base d’aquestes figu-res per a poder traçar-hi l’altura.Mostreu que a cada base d’un triangle li correspon una altura, però que a cada base d’un paral-lelogram li corresponen dues al-tures.

• Expliqueu el Taller a la pissarra i demaneu als xiquets i xique-tes que facen el traçat en el quadern. Després, assenyaleu que duguen a cap l’activitat 4 i corregiu-la a la pissarra, verba-litzant cada pas seguit.

Competències bàsiques

Autonomia

i iniciativa personal

En aquesta doble pàgina, l’alum-ne maneja molts continguts ja co-neguts: classificació de triangles i paral·lelograms, costats i vèrtexs d’un polígon, traçat d’una perpen-dicular… Animeu l’alumnat a tre-ballar amb autonomia, relacionant els continguts nous amb contin-guts previs ja apresos.

136

132255 _ 0186-0205.indd 190132255 _ 0186-0205.indd 190 11/9/09 07:25:5311/9/09 07:25:53

137

3. Calca cada paral·lelogram i traça, amb un escaire o un cartabó, l’altura corresponent

a la base AB des del vèrtex D.

● En quins paral·lelograms coincideix l’altura amb un dels costats? En quin has prolongat la base per traçar l’altura?

● Des de quin altre vèrtex pots traçar l’altura a la base AB? Traça-la.

10

Multiplica un nombre natural per 101: multiplica per 100 i després suma el nombre

17 3 101 39 3 101 63 3 101

18 3 101 42 3 101 75 3 101

26 3 101 54 3 101 89 3 101

25 3 101 58 3 101 92 3 101

CÀLCUL MENTAL

3 101

35 3.500 3.535 3 100 1 35

Per traçar un triangle ABC de costats 6 cm, 5 cm i 4 cm, segueix aquests passos:

1r Dibuixa amb el regle un segment AB de 6 cm.

2n Obri el compàs 5 cm, punxa en el punt A i traça un arc.

3r Obri el compàs 4 cm, punxa en el punt B i traça un arc que talle l’anterior en el punt C.

4t Uneix els punts A i B amb C per formar els costats del triangle. Després, pinta’n l’interior.

A 6 cm B A 6 cm B A 6 cm B A 6 cm B

4. Traça els triangles següents i classifica’ls.

Quant fan les tres bases? Quant fan les tres bases? Traça l’altura de la base AB. Traça l’altura de la base DE.

C

5 cm 4 cm

C

▶▶▶

Un triangle ABC de costats 4 cm, 3 cm i 5 cm.

Un triangle DEF de costats 3 cm, 3 cm i 5 cm.

1r 2n 3r 4t

TALLER Traçat d’un triangle de costats coneguts

C CC

C

D DD

D

B B B BA A A A

Altres activitats• Dibuixeu a la pissarra un triangle acutangle, un de

rectangle i un d’obtusangle, i demaneu a uns quants alumnes que dibuixen les tres altures en cada un.

Feu-los notar que les altures s’uneixen en un punt, situat segons el tipus de triangle: en l’acutangle està a l’interior del triangle; en el rectangle, al vèr-tex de l’angle recte; i en l’obtusangle, fora del trian-gle.

Demaneu a l’alumnat que dibuixe en el quadern un triangle de cada tipus, hi trace les tres altures i mar-que de color el punt on es tallen.

Solucions1. Els triangles tenen 3 bases i

els paral·lelograms en tenen 4.

2.

• En el triangle groc. És un triangle rectangle.

• En el triangle taronja. És un triangle obtusangle.

• En el triangle rosa. És un triangle acutangle.

3.

• En el quadrat i en el rectan-gle.En el romboide.

• Des del vèrtex C.

4.

Càlcul mental

• 1.717 3.939 6.363 1.818 4.242 7.575 2.626 5.454 8.989 2.525 5.858 9.292

UNITAT 10

137

Les bases fan 4 cm, 3 cm i 5 cm.

Les bases fan 3 cm, 3 cm i 5 cm.

A

C

E

B

D

F

132255 _ 0186-0205.indd 191132255 _ 0186-0205.indd 191 11/9/09 07:25:5311/9/09 07:25:53

138

Suma dels angles de triangles i quadrilàters

1. Quant sumen els angles de cada polígon? Contesta.

Després, mesura’ls i comprova la resposta.

2. Esbrina en cada cas quant mesura l’angle pintat de roig.

3. Llig i calcula.

● Dos angles iguals d’un triangle mesuren cada un 50º. Quant mesura l’altre angle?

● Dos angles oposats d’un paral·lelogram mesuren cada un 80º. Quant mesura cada un dels altres dos angles?

Quant sumen tots els angles d’aquests triangles?

● Triangle rectangle: 50º 1 40º 1 90º 5 180º

● Triangle obtusangle: 25º 1 120º 1 35º 5 180º

Quant sumen tots els angles d’aquests quadrilàters?

● Trapezoide: 40º 1 100º 1 130º 1 90º 5 360º

● Paral·lelogram: 2 3 65º 1 2 3 115º 5 360º

● La suma dels angles d’un triangle és igual a 180º.

● La suma dels angles d’un quadrilàter és igual a 360º.

A

C

B50º

40º90º

D25º

120º

35º

E

F

D

A B

C

H G

FE

65º115º

65º115º90º

130º100º40º

40º 70º

25º 110º 50º

120º70º

115º50º

125º

4.

7.

8.

●

5

6

●

TA

Altres activitats• Demaneu a cada alumne que dibuixe en un full un triangle i un

quadrilàter i que mesure dos dels angles del triangle i tres del qua-drilàter.

Després, ha de passar el full al company perquè calcule la mesura de l’angle desconegut en cada figura i comprove que és correcte el resultat del càlcul mesurant-lo amb el transportador.

Objectius• Reconéixer quina és la suma

dels angles d’un triangle i d’un quadrilàter.

• Calcular l’amplitud d’un angle a partir de la suma dels angles d’un triangle o un quadrilàter.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Comproveu en comú que la suma dels angles de cada tri-angle dibuixat és 180º i asse-nyaleu que és igual en tots els triangles. Demaneu a un alum-ne que dibuixe a la pissarra un triangle, per exemple acutangle, en mesure els angles i els sume.

• Treballeu de forma similar amb els quadrilàters, indicant que en tots la suma dels angles és 360º. Dibuixeu altres quadrilà-ters a la pissarra perquè l’alum-nat ho comprove. Recordeu que els angles oposats en els paral-lelograms són iguals.

Per a reforçar

• Aprofiteu l’estratègia referent a reconéixer el que s’ha aprés que hi ha en la pàgina 62 del manual d’ESTUDI EFICAÇ i, quan treballeu l’activitat 4, demaneu-los que definisquen cada tipus de triangle, diguen quant sumen els angles d’un triangle i com aquestes informacions ens per-meten respondre a les pregun-tes que se’ns plantegen.

Competències bàsiques

Tractament

de la informació

Quan porteu a terme les activitats, indiqueu a l’alumnat que ha de tin-dre sempre en compte tant la in-formació donada en l’exercici com la informació apresa en cursos an-teriors.

138

132255 _ 0186-0205.indd 192132255 _ 0186-0205.indd 192 11/9/09 07:25:5411/9/09 07:25:54

139

105º45º

90º15º 120º

60º

4. Llig i calcula.

● Quant mesura cada angle d’un triangle equilàter?

● L’angle desigual d’un triangle isòsceles mesura 100º. Quant mesura cada un dels altres dos angles?

7. Observa la figura i calcula quant mesura cada angle pintat.

▶ … ▶ …

▶ … ▶ …

8. RAONAMENT. Pensa i calcula.

● Un angle d’un triangle rectangle mesura 55º. Quant mesura cada un dels altres dos angles?

● Un angle d’un rombe mesura 70º. Quant mesura cada un dels altres tres angles?

10

Els triangles equilàters tenen els 3 costats i els 3 angles iguals.Els triangles isòsceles tenen 2 costats i 2 angles iguals.

POSA ATENCIÓ

● Comprova, sense utilitzar el transportador, que els angles del triangle ABC sumen 180º. Calca el triangle i segueix aquests passos:

5. Traça i retalla un triangle. Comprova que la suma dels angles és 180º.

6. Traça i retalla un quadrilàter. Comprova que la suma dels angles és 360º.

● Comprova, sense utilitzar el transportador, que els angles del quadrilàter ABCD sumen 360º.

Calca el quadrilàter i traça’n una diagonal per descompondre el quadrilàter en dos triangles: ABC i ACD.

Com que els angles de cada triangle sumen 180º, els angles del quadrilàter sumen 180º 1 180º 5 360º.

C

BA

D

TALLER Suma dels angles d’un triangle i d’un quadrilàter

1r Marca els punts M i N, punts mitjans dels costats AC i CB, respectivament.

2n Traça el segment MN i doblega el triangle per aquest segment.

3r Doblega de manera que els vèrtexs A i B coincidisquen amb C. Els tres angles A, B i C sumen 180º.

M N

BCA

C

NM

A B

M N

A B C

B C

C

A

Altres activitats• Dibuixeu a la pissarra figures formades per triangles i quadrilàters,

perquè l’alumnat deduïsca l’amplitud d’alguns angles usant i rela-cionant diversos continguts:

– La suma dels angles d’un triangle i d’un quadrilàter.– Els angles complementaris i suplementaris.– Com són els angles d’un paral·lelogram…

Per exemple:

Corregiu l’activitat demanant-los que expli-quen el raonament seguit per calcular la me-sura de cada angle.

Solucions1. • Triangle morat: 180º

65º 1 25º 1 90º 5 180º

• Triangle taronja: 180º30º 1 130º 1 20º 5 180º

• Quadrilàter blau: 360º140º 1 60º 1 110º 1 1 50º 5 360º

• Quadrilàter verd: 360º2 3 40º 1 2 3 140º 5 360º

2. Triangle rosa: 180º 2 (40º 1 70º) 5 70º

Triangle groc:180º 2 (120º 1 25º) 5 35º

Trapezi:360º 2 (70º 1 50º 1 110º) 5 5 130º

Trapezoide:360º 2 (115º 1 125º 1 50º) 5 5 70º

3. • 180º 2 2 3 50º 5 80ºL’altre angle mesura 80º.

• 360º 2 2 3 80º 5 200º200º : 2 5 100ºCada un mesura 100º.

4. • 180º : 3 5 60º. Fa 60º.

• 180º 2 100º 5 80º80º : 2 5 40ºCada un mesura 40º.

5. R. L.

6. R. L.

7. Angle roig: 180º 2 (90º 1 45º) 5 45º

Angle blau:180º 2 (120º 1 15º) 5 45º

Angle verd:180º 2 (90º 1 15º) 5 75º

Angle groc:360º 2 (75º 1 60º 1 105º) 5 5 120º

8. • 180º 2 (90º 1 55º) 5 35ºEls altres dos angles mesu-ren 90º i 35º.

• 360º 2 2 3 70º 5 220º 220º : 2 5 110ºEls altres tres angles mesu-ren: un angle, 70º i els altres dos, 110º cada un.

UNITAT 10

139

132255 _ 0186-0205.indd 193132255 _ 0186-0205.indd 193 11/9/09 07:25:5411/9/09 07:25:54

140

La circumferència. Elements

1. Traça una circumferència amb centre en un punt O i de 3 cm de radi.

● Marca en la circumferència tres punts A, B i C. A quina distància estan aquests punts del centre O? Dibuixa els radis i comprova-ho.

● Dibuixa-hi un diàmetre. Quant fa? Comprova-ho.

2. Traça una circumferència i dibuixa.

Un radi. Un diàmetre. Una corda.

Un arc. Una semicircumferència.

3. Dibuixa una estrela com la que hi ha a la dreta seguint aquests passos. Després, contesta.

1r Dibuixa una circumferència de 2 cm de radi.

2n Traça un diàmetre RS.

3r Obri el compàs els 2 cm que mesura el radi, punxa en el punt R i traça un arc que talle la circumferència en els punts M i N.

4t Traça tres cordes: MN, MS i NS.

5é Obri el compàs els 2 cm que mesura el radi, punxa en el punt S i traça un arc que talle la circumferència en els punts P i Q.

6é Traça tres cordes: PQ, RP i RQ.

● Quin polígon formen les cordes traçades en el punt 4t? Classifica’l segons els costats i segons els angles.

● Com és l’hexàgon central, regular o irregular?

La circumferència és una línia corba tancada i plana, els punts de la qual es troben tots a la mateixa distància del centre.

Els elements de la circumferència són aquests:

● Centre. És el punt equidistant de tots els punts de la circumferència.

● Radi. És un segment que uneix el centre amb un punt de la circumferència.

● Corda. És un segment que uneix dos punts de la circumferència.

● Diàmetre. És una corda que passa pel centre. La seua longitud és el doble de la longitud d’un radi.

● Arc. És la part de la circumferència compresa entre dos punts.

● Semicircumferència. És un arc igual a la meitat de la circumferència.

R

S

QP

M N

semicircumferència

radi

centrediàmetre

cordaarc

E

1.

2.

3.

4.

Altres activitats• Dibuixeu a la pissarra una circumferència sense usar el compàs,

repassant un objecte circular. Després, expliqueu com es pot tro-bar el centre d’aquesta circumferència seguint aquests passos:

1r Es marquen tres punts en la circumferència: A, B i C.

2n S’hi dibuixen les cordes AB i BC.

3r Es traça la mediatriu de cada corda. El punt de tall de les dues mediatrius és el centre de la circumferència.

Indiqueu a l’alumnat que dibuixe una circumferència en un full sen-se usar el compàs i que en troben el centre.

Objectius• Identificar els elements d’una

circumferència.

• Traçar circumferències i dibui-xar-hi o assenyalar-hi els ele-ments de què consta.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Recordeu què és una circumfe-rència, recalcant especialment que és una línia i que tots els punts equidisten del centre. De-maneu a l’alumnat que ho com-prove amb el regle. Després, definiu cada element perquè l’alumnat els identifique en el dibuix. Insistiu en la importàn-cia de la precisió en les defini-cions.

Competències bàsiques Competència cultural

i artística

Una vegada portada a cap l’activi-tat 3, indiqueu a l’alumnat que pinte l’estrela lliurement o utilit-zant determinats colors. Després, animeu-los a fer altres figures lliu-res usant el compàs i el regle.

Solucions1. • Els tres punts estan a 3 cm

del centre O.

• 2 3 3 5 6 El diàmetre fa 6 cm.

2. R. M.

3. Dibuix: R. L.

• Un triangle equilàter acutan-gle.

• L’hexàgon central és regu-lar.

140

132255 _ 0186-0205.indd 194132255 _ 0186-0205.indd 194 11/9/09 07:25:5411/9/09 07:25:54

141

10

El nombre π i la longitud de la circumferència

Fèlix envolta amb una cinta dos cercles de cartó, és a dir, en marca les circumferències.

En estirar les cintes, Fèlix observa que la longitud de cada circumferència és un poc més de 3 vegades el diàmetre del cercle.

Fèlix comprova que:

● En dividir la longitud de la circumferència entre el diàmetre del cercle, el quocient és sempre el mateix nombre, que té un valor aproximat de 3,14. Aquest nombre es diu π (pi).

● La longitud de la circumferència és, aproximadament, el producte de 3,14 pel diàmetre, és a dir, 3,14 per 2 vegades el radi.

Observa com calcula la longitud de les dues circumferències.

▶ L 5 3,14 3 12 mm 5 37,68 mm ▶ L 5 3,14 3 2 3 9 mm 5 56,52 mm

Ld

5 π 5 3,14

L 5 π 3 d 5 π 3 2 3 r

▶▶

La longitud de la circumferència és igual al producte de 3,14 pel diàmetre.

L 5 π 3 d 5 2 3 π 3 r

1. Mesura en mil·límetres el diàmetre de cada circumferència

i calcula’n la longitud.

2. Traça una circumferència de 3 cm de radi i calcula’n la longitud.

3. Resol.

El radi de les rodes d’una bicicleta fa 25 cm. Quants centímetres avançarà la roda cada vegada que faça una volta completa?

4. RAONAMENT. Pensa i digues si aquesta frase és verdadera.

Després, calcula i comprova.

Si el diàmetre d’una circumferència és el doble que el diàmetre d’una altra, la longitud també és el doble.

d 5 20 cm

d 5 10 cm

12 mm 9 mm

12 mm 18 mm

Altres activitats• Recordeu la situació presentada en el quadre i proposeu a l’alum-

nat comprovar, igual que Fèlix, que la relació entre la longitud d’una circumferència i el seu diàmetre és el nombre π.

Entregueu a l’alumnat pots de diferents grandàries (o millor les tapadores), demaneu-los que n’envolten la base amb una tira de paper estreta i, després, estiren aquesta tira i la mesuren amb el regle. A continuació, indiqueu-los que dibuixen el cercle de la base en un paper, el retallen i el dobleguen per la meitat, per marcar-hi el diàmetre i després mesurar-lo.

Finalment, escriviu a la pissarra les mesures obtingudes i calculeu-ne els quocients, que seran aproximacions del nombre π.

Objectius• Calcular la longitud d’una cir-

cumferència, donat el diàmetre o el radi.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Expliqueu el text i copieu els dibuixos a la pissarra perquè l’alumnat identifique la circum-ferència, el diàmetre i la longi-tud representada en una recta. Escriviu a la pissarra cada re-lació, indicant el significat de cada lletra: longitud de la cir-cumferència (L), diàmetre (d) i radi (r), i del nombre pi (π).

Competències bàsiques

Interacció

amb el món físic

Motiveu l’alumnat comentant que per a mesurar longituds grans o corbes es fa servir un instrument que consisteix en una roda i un mànec llarg; la persona va pas-sant la roda just per la línia que vol mesurar. Animeu l’alumnat a explicar com es calcula amb aquest instrument la longitud de-sitjada.

Solucions1. • Circumferència taronja:

L 5 3,14 3 16 mm 5 5 50,24 mm

• Circumferència morada:L 5 3,14 3 25 mm 5 5 78,5 mm

2. Dibuix: R. L.L 5 2 3 3,14 3 3 cm 5 5 18,84 cm

3. L 5 2 3 3,14 3 25 cm 5 5 157 cmLa roda avançarà 157 cm.

4. Sí que és verdadera.L 5 3,14 3 10 cm 5 31,4 cmL 5 3,14 3 20 cm 5 62,8 cm62,8 cm 5 2 3 31,4 cm

UNITAT 10

141

132255 _ 0186-0205.indd 195132255 _ 0186-0205.indd 195 11/9/09 07:25:5411/9/09 07:25:54

142

El cercle i les figures circulars

El cercle és una figura plana formada per una circumferència i el seu interior.

Les figures circulars principals són aquestes:

Sector circular

És la part del cercle limitada per dos radis i un dels arcs.

Semicercle

És la meitat del cercle. Està limitat per un diàmetre i una de les semicircumferències.

Segment circular

És la part del cercle limitada per una corda i un dels arcs.

Corona circular

És la part del cercle limitada per dues circumferències que tenen el mateix centre (concèntriques).

1. Escriu el nom de

cada figura circular.

2. Dibuixa cada figura circular i explica com ho has fet.

▶ Exemple:

1r Dibuixe una circumferència.

2n Trace dos radis.

3r Repasse un dels arcs.

4t Pinte l’interior.

3. Pensa i contesta.

● Si traces dos radis, quants sectors circulars pots pintar?

● Si traces una corda, quants segments circulars pots pintar?

● Si traces un diàmetre, quants semicercles pots pintar?

● El semicercle, és un sector circular? Per què?

● El semicercle, és un segment circular? Per què?

Un sector circular Un segment circular

Un semicercle

Una corona circular

1.

2.

P

Mu

CÀ

Altres activitats• Demaneu als xiquets i xiquetes que dibuixen i retallen quatre cer-

cles; que hi marquen un diàmetre, dos radis, una corda i una circum-ferència concèntrica, respectivament, i que els retallen. Feu-los vore que així han obtingut dos semicercles, dos sectors circulars, dos segments circulars i una corona circular i una altra circumferència.

• Anomeneu de forma col·lectiva exemples reals de figures circulars:– Semicercle: mitja truita, la rodanxa de llima d’un refresc…– Sector circular: un tros de pizza, un formatget en porcions…– Segment circular: l’àrea d’una porteria de futbol, la primera llesca

d’una fogassa de pa…– Corona circular: una rosca, un CD…

Objectius• Identificar i dibuixar les figures

circulars.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Dibuixeu a la pissarra cada fi-gura circular, digueu-ne el nom i llegiu la definició de cada ele-ment anomenat en les figures alhora que els assenyaleu.

• L’alumnat ha de reconéixer tam-bé el sector i el segment circu-lar de l’activitat 1.

Competències bàsiques

Competència lingüística

Fomenteu l’interés per definir les figures circulars cada vegada de forma més precisa, utilitzant un vo-cabulari geomètric específic.

Solucions1. Semicercle. Segment circular.

Sector circular.

2. • Un segment circular:1r Dibuixe una circumferèn-

cia.2n Trace una corda.3r Repasse un arc.4t Pinte l’interior.

• Un semicercle:1r Dibuixe una circumferèn-

cia.2n Trace un diàmetre.3r Repasse una de les seues

semicircumferències.4t Pinte l’interior.

• Una corona circular:1r Dibuixe dues circumfe-

rències concèntriques.2n Pinte la part de cercle que

hi ha entremig.

3. • Dos sectors circulars.• Dos segments circulars.• Dos semicercles.• Sí, perquè el diàmetre és

igual que dos radis.• Sí, perquè el diàmetre és una

corda.

142

132255 _ 0186-0205.indd 196132255 _ 0186-0205.indd 196 11/9/09 07:25:5511/9/09 07:25:55

143

10

1. Copia la figura i completa.

● La recta taronja és … a la circumferència blava i és … a la circumferència roja.

● La recta verda és … a la circumferència … i és … a la circumferència …

● Les circumferències … i … són …

2. Copia la figura de l’activitat 1 i dibuixa.

● Una recta tangent a la circumferència roja i secant a la circumferència blava.

● Una circumferència interior a la circumferència roja i exterior a la circumferència blava.

Posicions relatives de rectes i circumferències

● Una recta pot tindre les posicions següents respecte a una circumferència.

● Dues circumferències poden tindre aquestes posicions relatives.

Exterior

No tenen cap punt en comú.

Tangent

Tenen un punt en comú.

Secant

Tenen dos punts en comú.

Multiplica un nombre natural per 99: multiplica per 100 i després resta el nombre

11 3 99 45 3 99 72 3 99

12 3 99 56 3 99 76 3 99

23 3 99 57 3 99 88 3 99

34 3 99 63 3 99 99 3 99

CÀLCUL MENTAL

3 99

27 2.700 2.673 3 100 2 27

Exteriors Interiors

No tenen cap punt en comú.

Tenen dos punts en comú.

Secants

Tenen un punt en comú.

Tangents

exteriors

Tangents

interiors

Altres activitats• Porteu a classe dos cercles de diferent grandària (per exemple dels

utilitzats en gimnàstica, o dibuixats en cartó) i un mànec de granera.

Demaneu als xiquets i xiquetes que isquen de dos en dos i repre-senten, amb el mànec i un cercle, les posicions d’una recta respec-te a una circumferència que els indiquen diversos companys. A con-tinuació, han de col·locar el cercle i el mànec en la posició que vulguen i serà la resta de la classe la que diga com és la recta res-pecte a la circumferència.

Després, entregueu els dos cercles i repetiu l’activitat, per treballar les posicions relatives de dues circumferències.

UNITAT 10

Objectius• Reconéixer la posició d’una rec-

ta respecte a una circumferèn-cia.

• Reconéixer les posicions relati-ves de dues circumferències.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Dibuixeu a la pissarra una cir-cumferència i raoneu en comú les tres possibles posicions d’una recta respecte a aquesta circumferència.

• Presenteu després de forma si-milar les posicions relatives de dues circumferències, fent vore les similituds que hi ha.

Per a reforçar

• Aprofiteu l’estratègia sobre in-ventar altres pràctiques simi-lars de la pàgina 56 del manual d’ESTUDI EFICAÇ i proposeu a l’alumnat treballar en parelles per reconéixer les posicions de circumferències i rectes dibuixa-des pel company i dibuixar les que ell indique.

Solucions1. • Tangent a la circumferència

blava i exterior a la circumfe-rència roja.

• Exterior a la circumferència blava i secant a la circumfe-rència roja.

• Les circumferències blava i roja són secants.

2.

Càlcul mental

• 1.089 4.455 7.128 1.188 5.544 7.524 2.277 5.643 8.712 3.366 6.237 9.801

143

132255 _ 0186-0205.indd 197132255 _ 0186-0205.indd 197 11/9/09 07:25:5511/9/09 07:25:55

144

5. Observa i completa.

● El punt O és …

● El segment AB és …

● El segment OC és …

● El segment AD és …

6. Copia la figura de l’activitat 5 i pinta.

Després, contesta.

Un arc AC.

Una semicircumferència.

Un sector circular.

Un segment circular.

● Hi podies haver repassat un altre arc AC? I una altra semicircumferència?

● Quants sectors circulars hi pots pintar? Quins radis i arcs el limiten?

● Quants segments circulars hi pots pintar? Quines cordes i arcs el limiten?

7. ESTUDI EFICAÇ. Completa l’esquema.

8. Mesura i calcula la longitud de cada

circumferència.

9. Observa i escriu com és cada recta respecte

a cada circumferència.

Activitats

1. Calca aquests triangles, repassa’n una base

de blau i traça’n l’altura de color roig.

2. Calca els paral·lelograms, repassa’n una base

de blau i traça’n les dues altures de color roig.

3. Contesta.

● Quina és l’altura del triangle corresponent a la base AB? I l’altura de la base CA?

● Quina és l’altura del rectangle corresponent a la base AB des de C? I a la base CB des de A?

4. Esbrina en cada cas quant mesura cada

angle pintat.

A

C

B A

D

B

C

CA

O

B

D

ELEMENTS D’UNA CIRCUMFERÈNCIA

Centre ▶ És el punt ...

Radi ▶ És un segment ...

30º30º

30º

45º

45º

100º

90º

110º

55º

1

1

E

Altres activitats• Demaneu a l’alumnat que dibuixe els polígons següents en el qua-

dern i, després, corregiu-los a la pissarra i demaneu a uns quants alumnes que expliquen com ho han fet.

– Tres triangles: un que siga rectangle; un altre, acutangle; i un altre, obtusangle, que tinguen una base que faça 4 cm i l’altura corresponent a aquesta base, 3 cm.

– Un rectangle i un romboide que tinguen una base que faça 4 cm i les altures corresponents a aquesta base, 3 cm.

Podeu ajudar l’alumnat que tinga dificultat suggerint-li que recorde, en cada polígon, si l’altura coincideix amb un costat i si està a l’interior o a l’exterior de la figura, per dibuixar-la i obtindre’n així el vèrtex oposat.

Objectius• Repassar els continguts bàsics

de la unitat.

• Aplicar les matemàtiques en di-ferents contextos.

Competències bàsiques

Aprendre a aprendre

Quan corregiu les activitats, de-maneu a l’alumnat que explique com les ha resoltes, ja que això l’ajudarà a ser més conscient del seu propi aprenentatge.

Solucions

1.

2.

3. • El costat CA. El costat AB.• El costat CB. El costat AB.

4. • Rosa: 180 º 2 2 3 30º 5 5 120º.

• Taronja: 360º 2 (110º 1 1 100º 1 45º) 5 105º.

• Roig: 180 º 2 (90º 1 45º) 5 5 45º. Morat: 55º.Blau 5 Verd: 360 º 2 2 3

3 55º 5 250º; 250 º : 2 5 5 125º.

5. • El centre. • Un radi.

• Un diàmetre. • Una corda.

6. R. M.

• Sí. Sí.

• 6 sectors circulars: dos que estan limitats pels radis OA i OC i els seus dos arcs, dos més pels radis OC i OB, i els altres dos per OA i OB (tam-bé són semicercles).

144

A

D

C

B

132255 _ 0186-0205.indd 198132255 _ 0186-0205.indd 198 11/9/09 07:25:5511/9/09 07:25:55

?

r?

e

D

145

10

10. Copia la figura i escriu com són entre si

la circumferència verda i cada una de les

altres tres.

11. Observa i escriu el color de dues

circumferències que siguen:

● Interiors.

● Secants.

● Tangents interiors.

12. Resol.

● El costat d’un quadrat fa 4 cm. Quant mesura cada base? Quant mesura l’altura d’una d’aquestes bases?

● Miquel vol fer amb un filferro un cércol de 5 cm de radi. Quants centímetres ha de mesurar el filferro?

● Eva vol posar una tanca al voltant d’una piscina circular de 4 m de diàmetre. Cada metre de tanca costa 5 . Quant costa la tanca en total?

● Una roda d’un tricicle fa 12,5 cm de radi. Quants centímetres avança la roda cada vegada que fa una volta completa? Quantes voltes ha de fer per a recórrer 471 cm?

ETS CAPAÇ DE… Calcular la suma dels angles d’un polígon

Ja saps que els angles d’un triangle sumen 180º. Amb aquesta informació, pots esbrinar quants graus sumen els angles de tots els polígons que coneixes.

Dibuixa cada polígon i traça, des d’un dels vèrtexs, totes les diagonals. Ja has dividit el polígon en triangles! Després, calcula la suma dels angles.

● Nombre de triangles: …

● Suma dels angles:

180º 1 180º 5 2 3 180º 5 …

● Nombre de triangles: …

● Suma dels angles:

… 1 … 1 … 5 … 3 180º 5 …

Un quadrilàter

Un pentàgon

Un octàgon

Un hexàgon Un heptàgon

Un enneàgon

Programa d’ESTUDI EFICAÇ• En acabar la unitat, feu que l’alumnat complete aquesta taula:

Unitat 10 Figures planes

El que he aprésEl que he aprés

a fer

Base i altura de triangles i …

Suma dels angles de …

La circumferència. Elements

Longitud de la circumferència

El cercle i figures circulars

Posicions relatives de rectes…

UNITAT 10

• 4 segments circulars: dos de limitats per la corda AD i els seus dos arcs, i els altres dos per AB (també són semicercles).

7. R. L.

8. • L 5 π 3 d 5 3,14 3

3 14 5 43,96 mm• L 5 2 3 π 3 r 5 2 3

3 3,14 3 1 5 6,28 cm

9. • La recta taronja és tangent a la circumferència roja i secant a la blava.

• La recta verda és secant a la circumferència roja i ex-terior a la blava.

10. • Verda i roja: secants.• Verda i blava: tangents ex-

teriors.• Verda i groga: exteriors.

11. • Blava i verda. • Verda i roja.• Blava i roja.

12. • Cada base mesura 4 cm.L’altura mesura 4 cm.

• L 5 2 3 π 3 r 5 2 3

3 3,14 3 5 5 31,4Ha de mesurar 31,4 cm.

• L 5 π 3 d 5 3,14 3 4 5 5 12,5612,56 3 5 5 62,8La tanca costa 62,80 €.

• L 5 2 3 π 3 r 5 2 3

3 3,14 3 12,5 5 78,5471 : 78,5 5 6La roda avança 78,5 cm. Ha de fer 6 voltes.

Ets capaç de...• Quadrilàter: 2 triangles.

Suma d’angles: 360º.• Pentàgon: 3 triangles.

Suma d’angles: 540º.• Hexàgon: 4 triangles.

Suma d’angles: 720º.• Heptàgon: 5 triangles.

Suma d’angles: 900º.• Octàgon: 6 triangles.

Suma d’angles: 1.080º.• Enneàgon: 7 triangles.

Suma d’angles: 1.260º.

145

132255 _ 0186-0205.indd 199132255 _ 0186-0205.indd 199 11/9/09 07:25:5511/9/09 07:25:55

146

Solució de problemesImaginar el problema resoltEn alguns problemes geomètrics és útil traçar una figura aproximada

a la que volem dibuixar per esbrinar com podem construir-la.

Resol els problemes següents d’aquesta manera.

Mireia ha dibuixat tres punts, A, B i C, en un full i vol trobar un punt P que es trobe a la mateixa distància dels tres punts. Com ho pot fer?

▶ Imaginem el problema resolt i fem un dibuix aproximat per deduir, a partir d’aquest, què hem de fer per a trobar aquest punt P.

Aquest punt P, com que està a la mateixa distància de A i B, és un punt de la mediatriu del segment AB. Igualment, pel fet d’estar a la mateixa distància de A i C, es troba en la mediatriu del segment AC.

Per tant, el punt P buscat és el que compleix aquesta doble condició: estar en les mediatrius dels dos segments, AB i AC.

Per trobar el punt P farem el que segueix:

1r Traçar el segment AB i el segment AC.

2n Trobar les mediatrius d’aquests dos segments.

3r El punt P serà el punt de tall d’aquestes dues mediatrius.

Fes en el quadern aquesta construcció i comprova que el mètode és correcte.

1. Leire ha traçat un triangle. En coneixia un dels costats i també els angles que formaven els altres dos costats amb el primer. Com l’ha fet?

2. Antoni ha dibuixat un quadrat de vèrtexs A, B, C i D. Vol trobar un punt que estiga situat a la mateixa distància dels quatre vèrtexs del quadrat. Com pot fer-ho?

C

A

B

C

AB

P

C

B

D

A

C

AB

P

EX

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Altres activitats• Una vegada realitzat el problema 2 plantejat en aquesta pàgina,

podeu plantejar-ne altres de similars que tinguen com a base el dibuix d’aquest quadrat. Per exemple:

– Olga ha dibuixat un quadrat de vèrtexs A, B, C i D, i una circum-ferència que passa pels quatre vèrtexs del quadrat. Com ho ha fet?

– Robert ha dibuixat un quadrat de vèrtexs A, B, C i D. Després, ha dibuixat un altre quadrat de manera que un dels costats és la diagonal AC del quadrat anterior. Com ho ha fet?

Objectius• Imaginar i fer un dibuix aproxi-

mat d’una figura per esbrinar com es construeix.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Treballeu en comú els problemes animant l’alumnat a intervindre en el procés. Diferencieu dos moments: el traçat aproximat de la figura i el raonament del pro-cés de construcció a partir del dibuix.

Competències bàsiques

Autonomia

i iniciativa personal

Animeu els xiquets i xiquetes a representar amb un dibuix la figu-ra que imaginen, fent-ne si cal di-versos esbossos. L’ajuda que els aporta els motivarà per actuar amb major iniciativa i autonomia davant situacions noves.

Solucions1. 1r En traça el costat conegut.

2n En dibuixa els dos angles coneguts, de manera que cada un tinga com a vèrtex un dels extrems del seg-ment i un dels costats siga el dit segment.

3r El tercer vèrtex del triangle és el punt on es tallen els altres dos costats dels an-gles traçats.

2. Pot fer-ho de dues maneres:• 1r Dibuixa el quadrat.

2n Hi traça les dues diago-nals.

3r El punt buscat és el tall de les diagonals.

• 1r Dibuixa el quadrat.2n Hi dibuixa les mediatrius

de dos costats contigus. 3r El punt buscat és el tall

de les dues mediatrius.

146

132255 _ 0186-0205.indd 200132255 _ 0186-0205.indd 200 11/9/09 07:25:5611/9/09 07:25:56

147

10

EXERCICIS

1. Escriu com es llig cada nombre.

● 75

● 118

● 6

15 ●

913

● 8,023 ● 9,4 ● 25,26 ● 0,036

2. Expressa amb xifres.

● Cinc vintens.

● Tretze quarts.

● Set unitats i huit dècimes.

● Dotze unitats i sis mil·lèsimes.

3. Descompon cada nombre.

● 2,75 ● 4,9 ● 1,086 ● 34,05

4. Calcula.

● 35

1 65

2 7

15 ● (52 2

53) : 37

● 23

3 (46 2 1

12) ● 89

2 29

: 32

5. Ordena cada grup de menor a major.

● 9,69 10 9,71 9,8 9,705

● 2,135 2,14 2,143 2,2 2,139

6. Calcula.

● 3,8 1 9,637 ● 2,48 : 8

● 17,52 2 8,145 ● 864 : 6,75

● 4,9 3 3,85 ● 18,24 : 7,6

● 2,25 3 1.000 ● 31,9 : 1.000

7. ESTUDI EFICAÇ. Aquestes aproximacions

estan mal fetes. Explica per què i escriu-les

bé.

● A les unitats: 13,4 ▶ 14

● A les dècimes: 3,762 ▶ 3,76

● A les centèsimes: 5,187 ▶ 5,18

PROBLEMES

8. Eulàlia tenia a la vidriola 64 monedes iguals, amb un valor total de 12,80 . Ahir va comprar un llibre i per pagar-lo va donar 15 d’aquestes monedes i un bitllet de 10 . Quant costava el llibre?

9. En un campament han preparat 92 litres de suc de taronja. En abocar-lo en gots de 0,33 ¬ s’han perdut 0,26 ¬ de suc. Quants gots de suc s’han obtingut?

10. Quatre novens dels 27 alumnes de 6é A i cinc huitens dels 24 alumnes de 6é B van a escola a peu. A quina classe van més alumnes a peu? Quants alumnes de 6é B no hi van a peu?

11. Miquel ha comprat 6 bossetes iguals de magdalenes que pesen en total tres quarts de quilo. El preu d’un quilo de magdalenes és 16 . Quant costa cada bosseta?

12. Ahir, quatre entrades per a una obra de teatre costaven 68 . Hui, cada entrada costa 2 menys que ahir. Lídia vol anar a vore l’obra amb 5 amics. Quant costaran les entrades del grup?

13. Una nevera costava 725 . Sara va pagar 120 d’entrada i els diners restants els paga en 5 terminis iguals. Li queden per pagar 2 terminis. Quants diners ha pagat ja?

Repassa

Repàs en comú• Formeu a classe huit grups perquè els components de cada equip

preparen i exposen als companys un dels continguts de la unitat (separeu en dos grups cada un dels dos primers epígrafs de la unitat, segons el tipus de polígon).

Ajudeu-los a preparar cada exposició, comentant-ne alguns aspec-tes generals. Per exemple:

– Han de definir els elements o figures anomenades.

– Poden utilitzar figures fetes en cartolina per a mostrar les figures, elements o procediments realitzats.

– Poden fer servir la pissarra per a mostrar el procediment realitzat sobre dibuixos o els càlculs.

UNITAT 10

Solucions 1. • Set cinquens.

Onze huitens.Sis quinzens.Nou tretzens.

• Huit unitats i vint-i-tres mil·lèsimes. Nou unitats i quatre dècimes. Vint-i-cinc unitats i vint-i-sis centèsi-mes. Trenta-sis mil·lèsimes.

2. 5/20 13/4 7,8 12,006

3. • 2 U 1 7 d 1 5 c 5 2 1 1 0,7 1 0,05

• 4 U 1 9 d 5 4 1 0,9• 1 U 1 8 c 1 6 m 5 1 1

1 0,08 1 0,006• 3 D 1 4 U 1 5 c 5 30 1

1 4 1 0,05

4. • 20/15 5 4/3 • 35/18• 14/36 5 7/18 • 20/27

5. • 9,69 , 9,705 , 9,71 , , 9,8 , 10

• 2,135 , 2,139 , 2,14 , , 2,143 , 2,2

6. • 13,437 • 0,31• 9,375 • 128• 18,865 • 2,4• 2.250 • 0,0319

7. • 13,4 ▶ 13• 3,762 ▶ 3,8• 5,187 ▶ 5,19

8. 12,80 : 64 5 0,2015 3 0,20 1 10 5 13El llibre costava 13 €.

9. 92 2 0,26 5 91,7491,74 : 0,33 5 278Se n’han obtingut 278 gots.

10. 4/9 de 27 5 125/8 de 24 5 15; 15 . 12 N’hi van més en 6é B. No hi van a peu 9 alumnes (24 2 15).

11. 3/4 : 6 5 3/24 5 1/83/24 3 16 5 48/24 5 2Cada bosseta costa 2 €.

12. 68 : 4 5 17; 17 2 2 5 1515 3 6 5 90. Costaran 90 €.

13. 725 2 120 5 605605 : 5 5 1215 2 2 5 33 3 121 1 120 5 483Ha pagat ja 483 €.

147

132255 _ 0186-0205.indd 201132255 _ 0186-0205.indd 201 11/9/09 07:25:5611/9/09 07:25:56

202

148

Repàs trimestral

3. Escriu dues fraccions equivalents a cada fracció donada.

Per amplificació

Per simplificació

14

25

37

56

49

820

1218

1624

1428

3045

1. Expressa.

● La part pintada de la figura.

– En forma de nombre mixt ▶ …

– En forma de fracció ▶ …

● Cada fracció en forma de nombre mixt. ● Cada nombre mixt en forma de fracció.

25 6

30 8

43 5

23 9

22 4

4 3 7

2 5 9

5 2 5

7 1 4

3 4 6

2. Escriu les fraccions del requadre que compleixen cada condició.

● Equivalents a 23

.

● Equivalents a 35

.

4. Redueix a denominador comú.

14 i

25

79 i

23

810 i

925

514 i

621

46

, 58 i

812

5. Compara les fraccions i escriu el signe corresponent.

58

● 68

● 49

47

● 75

86

● 9

12

1524

● 7

16

1120

6. Escriu com es llig cada nombre. Després, ordena’ls de major a menor.

● 6,49 ● 6,7 ● 10,205 ● 8,3 ● 10,62 ● 8,217

7. Aproxima aquests nombres decimals a la unitat indicada.

Unitats

Dècimes

Centèsimes

5,3 7,82 9,461 6,27 12,52 3,798 2,516 8,372 0,459

NOMBRES

812

610

2030

920

1525

3050

46

1018

1624

1435

1830

OPE

1. C

74

1

74

34

2. R

71

4. R

●

●

5. D

6. E

CÀL

29 1

48 1

57 1

31 1

62 1

3. C

0

7

3

Repàs trimestral

NOMBRES

1. 3 14

5 134

4 16

3 68

8 35

2 59

5 24

317

239

275

294

226

2. 23

5 812

5 2030

5 46

5 1624

35

5 610

5 1525

5 3050

5 1830

3. R. M. 14

5 28

5 312

R. M. 820

5 410

5 25

4. 520

i 820

79

i 69

4050

i 1850

1542

i 1242

1624

, 1524

i 1624

5. , , . . ,

6. Sis coma quaranta-nou.Sis coma set.Deu coma dos-cents cinc.Huit coma tres.Deu coma seixanta-dos.Huit coma dos-cents dèsset.

10,62 . 10,205 . 8,3 . . 8,217 . 6,7 . 6,49

7. • 5 • 6,3 • 2,52 8 12,5 8,37 9 3,8 0,46

148

132255 _ 0186-0205.indd 202132255 _ 0186-0205.indd 202 11/9/09 07:25:5611/9/09 07:25:56

203

217

459

149

OPERACIONS

1. Calcula.

74

1 56

98

2 7

10

25

3 37

56

: 47

910

1 1115

56

2 1318

94

3 56

29

: 58

74

1 4

203

2 5

38

3 7

307

: 4

34

1 79

1 5

12 8 2

214

6 3 1017

9 : 125

2. Recorda l’ordre en què has de fer les operacions i calcula.

710

1 56

3 35

89

2 15

: 37

1516

2 (38 1 25) (73 2

56) 3

27

32

: (58 1 7

12)

4. Recorda l’ordre en què has de fer les operacions i calcula.

● 65,14 1 9,282 : 2,6 ● 58,548 : (4,3 1 2,67) 3 5,06

● 4,81 3 3,7 2 5,29 ● 23,74 1 19,812 : (5,4 2 2,86)

5. Divideix, obtenint en el quocient tantes xifres decimals com s’indica.

9 : 2,6 23,4 : 15 25,1 : 9,3

72,2 : 7,6 18,32 : 4,5 1,498 : 0,427

6. Expressa cada fracció com un nombre decimal.

92

72

45

134

118

CÀLCUL MENTAL

29 1 17 34 2 19 34 3 2 25 3 11

48 1 23 62 2 38 56 3 2 43 3 11

57 1 35 75 2 57 423 3 2 56 3 101

31 1 46 49 2 21 84 3 5 17 3 9

62 1 24 58 2 42 56 3 5 28 3 99

3. Calcula.

0,359 1 8,671 9,524 2 3,576 3,68 3 9 25,9 : 7

7,286 1 19,45 20,3 2 8,57 4,53 3 7,2 675 : 5,4

3,14 1 2,6 1 5,973 5,6 2 1,924 2,805 3 5,6 9,052 : 8,3

Una xifra decimal

Dues xifres decimals

Tres xifres decimals

OPERACIONS

1. • 3112

4930

234

7036

5

3518

• 1740

218

5

19

53

114

• 635

4524

5

158

218

6017

• 3524

1645

3028

5

1514

4512

5

154

2. 3630

5

65

1945

1380

1842

5

37

7258

5

3629

3. • 9,03 26,736 11,713• 5,948 11,73 3,676• 33,12 32,616 15,708• q 5 3,7 q 5 125

q 5 1,09; r 5 0,005

4. • 68,71 • 42,504 • 12,507 • 31,54

5. • q 5 3,4; q 5 9,5• q 5 1,56; q 5 4,07• q 5 2,698; q 5 3,508

6. 4,5 3,5 0,8 3,25 1,375

Càlcul mental

• 46 • 1571 2492 1877 2886 16

• 68 • 275112 473846 5.656420 153280 2.772

149

132255 _ 0186-0205.indd 203132255 _ 0186-0205.indd 203 11/9/09 07:25:5711/9/09 07:25:57

204

150

Repàs trimestral

1. Calca cada polígon i dibuixa l’altura corresponent a la base AB, des del vèrtex C.

Després contesta.

● En quins polígons coincideix l’altura amb un dels costats? Classifica’ls.

● En quins polígons has prolongat la base per traçar l’altura? Classifica’ls.

7. Observa la figura i contesta.

● Com són entre si cada parell de circumferències? Les circumferències … i … són …

● Com és la recta respecte a cada circumferència? La recta és … respecte a la circumferència …

GEOMETRIA

6. Copia cada figura circular i escriu-hi davall el seu nom.

● Què limita en cada figura la part de cercle pintada?

3. Traça dues circumferències, una de 2 cm de radi i l’altra de 8 cm de diàmetre.

4. En una de les circumferències de l’activitat 3, dibuixa cada element del color indicat.

Un radi. Un diàmetre. Una corda.

Un arc. Una semicircumferència.

2. Esbrina en cada cas quant mesura l’angle pintat.

5. Calcula.

● Un angle d’un triangle rectangle mesura 70º. Quant mesura cada un dels altres dos?

● Cada angle agut d’un rombe mesura 70º. Quant mesura cada angle obtús?

● Quant mesura la longitud d’una circumferència de 5 cm de radi?

● Quant mesura la longitud d’una circumferència de 9 cm de diàmetre?

CD

B

C

BA

C

BA A

CD

BA

85º30º

110º

75º40º

40º 125º 90º

45º 90º

●

●

●

1. R

●

●

PRO

GEOMETRIA

1.

• En el triangle rectangle i en el rectangle.

• En el triangle obtusangle i en el romboide.

2. D’esquerra a dreta: 55º, 110º, 80º, 105º.

3. i 4.

5. • 90º i 20º• 110º

• L 5 31,4 cm• L 5 28,26 cm

6. • D’esquerra a dreta: sector circular, semicercle, segment circular i corona circular.

Dos radis i un arc; un diàme-tre i una de les seues semi-circumferències; una corda i un dels seus arcs; dues cir-cumferències concèntriques.

7. • Blava i roja: tangents interi-ors.Blava i verda: exteriors.Roja i verda: secants.

• Exterior respecte a la cir-cumferència blava, secant respecte a la roja i tangent respecte a la verda.

150

AA

AA BB

B B

C C

CC DD

132255 _ 0186-0205.indd 204132255 _ 0186-0205.indd 204 11/9/09 07:25:5711/9/09 07:25:57

205

e?

151

● Carme ha omplit d’aigua 3 peixeres de 14,5 ¬ de capacitat i 2 peixeres de 23,84 ¬. Quants litres d’aigua ha abocat en total a les peixeres?

● Gonçal ha comprat 1,4 kg de gominoles i les ha repartides en bossetes de 0,35 kg cada una. Quantes bossetes de gominoles ha omplit?

● Àlex ha comprat una post de 2 m de llarg per fer una prestatgeria. La vol tallar en prestatges de 0,3 m cada un. Quants prestatges en traurà? Quants metres de post li sobraran?

1. Resol.

● En un circ s’han venut 1.470 entrades. Dos terços de les entrades eren infantils, un cinqué eren d’adult i les restants eren per a la tercera edat. Quantes entrades es van vendre per a la tercera edat?

Cada entrada d’adult costa 18,60 , les infantils costen la meitat que les d’adult i les entrades per a la tercera edat 5,80 menys que les infantils. Quant guanyaren per totes les entrades?

● Òscar i Marta venen un bloc de paperetes per a una rifa. Òscar ha venut ja 3 setens del bloc i Marta, 2 cinquens. Qui ha venut més paperetes? Quina fracció del bloc de paperetes han venut en total? Quina fracció del bloc els queda per vendre?

Si el bloc tenia 140 paperetes, quantes paperetes ha venut cada un? Quantes els en queden per vendre?

● Xavier ha comprat 1 quilo i tres quarts de fruita. Les pomes pesaven 5 sisens de quilo i la resta eren prunes. Quant pesaven les prunes?

● Cristina ha comprat 3 formatges que pesaven 4 cinquens de quilo cada un. Quina fracció de quilo pesaven els tres formatges en total?

● Àlvar ha comprat 5 huitens de quilo de carn de vedella i ha demanat que li’n piquen la quarta part. Quina fracció de quilo pesa la carn picada?

● Marisa ha comprat 1,215 kg de pernil, 0,760 kg de xoriç i 0,425 kg de mortadel·la. Ha fet 12 entrepans posant 0,15 kg de companatge en cada un. Quants quilos li n’han sobrat?

PROBLEMES

Problemes

1. • 2/3 de 1.470 5 9801/5 de 1.470 5 2941.470 2 980 2 294 5 196Es van vendre 196 entra-des per a la tercera edat.294 3 18,60 5 5.468,4018,60 : 2 5 9,309,30 2 5,80 5 3,50Entrada infantil: 9,30 €.Entrada 3a edat: 3,50 €.980 3 9,30 5 9.114196 3 3,50 5 6865.468,40 1 9.114 11 686 5 15.268,40La recaptació va ser de 15.268,40 €.

• 3/7 . 2/5N’ha venut més Òscar.3/7 1 2/5 5 29/351 2 29/35 5 6/35Han venut 29/35 del bloc i els en queden per vendre 6/35.3/7 de 140 5 602/5 de 140 5 56140 2 60 2 56 5 24Òscar: 60 paperetes.Marta: 56 paperetes.Els queden 24 paperetes.

• 1 34

2

56

5 1112

Pesaven 11/12 kg.

• 3 3 4/5 5 12/5Pesaven 12/5 kg.

• 5/8 : 4 5 5/32Pesa 5/32 kg.

• 1,215 1 0,760 1 0,425 5 5 2,4; 12 3 0,15 5 1,82,4 2 1,8 5 0,6Li n’han sobrat 0,6 kg.

• 3 3 14,5 1 2 3 23,84 55 91,18N’hi ha abocat 91,18 ¬.

• 1,4 : 0,35 5 4N’ha omplit 4 bossetes.

• 2 : 0,3 ▶ q 5 6; r 5 0,2En traurà 6 prestatges i li sobraran 0,2 m de post.

151

132255 _ 0186-0205.indd 205132255 _ 0186-0205.indd 205 11/9/09 07:25:5711/9/09 07:25:57

152

Proporcionalitat i percentatges

11

Marta treballa en una immobiliària. Dóna informació als clients sobre les cases que es construeixen i els en dóna els plànols.

Mira el plànol i contesta.

● Quantes plantes té la casa?

● Quines habitacions hi ha en cada planta?

● Quina forma té la cuina en el plànol? I el saló? Tenen aquesta mateixa forma en la realitat?

● Creus que amb el plànol els clients poden saber les dimensions reals de cada habitació?

PLANTA BAIXA

PLANTA ALTA

Escala 1 : 140

RE

P

M

C

1.

2.

3.

4.

6

E

S

●

●

●

Altres formes de començar• Faciliteu als xiquets i xiquetes (o demaneu-los que en porten de

casa) alguns fullets publicitaris de supermercats, agències de vi-atges, venda de cotxes…, en què isquen descomptes en forma de percentatge. Sol·liciteu-los que expliquen els significats de les diferents expressions i com s’han de calcular. Després, demaneu-los que les calculen i analitzen com queden els preus una vegada aplicat el descompte corresponent.

Objectius• Reconéixer situacions reals en

què estiga present la proporci-onalitat.

• Recordar conceptes necessaris per a desenvolupar la unitat.

Suggeriments didàctics• Comenteu amb els xiquets i xi-

quetes la situació plantejada, fent-los vore que les matemà-tiques són un element impres-cindible en nombroses situa-cions quotidianes, i que ens poden resultar de gran utilitat en diversitat d’ocasions. De-maneu-los que aporten les se-ues experiències amb plànols i mapes.

• Aprofiteu l’apartat Recorda el que en saps per a establir una anàlisi sobre el nivell de conei-xements previs de l’alumnat quant als percentatges i el seu significat, i els càlculs que s’hi fan. Valoreu també l’aptitud que demostren en el maneig de les diferents equivalències entre les mesures de longitud prin-cipals. Reforceu els aspectes amb més dificultats.

Competències bàsiques

Interacció amb

el món físic

Assenyaleu que la proporcionalitat és un instrument fonamental per a afrontar i resoldre gran quantitat de situacions que se’ns presenten en la vida quotidiana (compres, percentatges, anàlisi de plànols i mapes…).

Competència

social i ciutadana

Animeu l’alumnat a conéixer i exer-cir els seus drets i deures com a consumidors en situacions de compra. Assenyaleu la importàn-cia de dur a cap un consum res-ponsable, adaptat a les nostres necessitats i circumstàncies.

152

132255 _ 0206-0219.indd 208132255 _ 0206-0219.indd 208 11/9/09 07:24:4611/9/09 07:24:46

153

RECORDA EL QUE EN SAPS

● A identificar sèries de nombres proporcionals i completar taules de proporcionalitat.

● A resoldre problemes de proporcionalitat.

● A calcular percentatges i resoldre problemes de percentatges.

● A interpretar mapes i plànols a escala.

APRENDRÀS

Percentatge

Metre, centímetre i quilòmetre. Equivalències

Càlcul de percentatges

1. Explica què significa cada frase.

● El 25% dels cotxes venuts al març eren rojos.

● El 50% dels pastissos de la safata contenen crema.

● El 75% dels refrescos del bar són de cola.

2. Escriu cada percentatge de l’activitat anterior

en forma de fracció i de nombre decimal.

3. Calcula.

8% de 25 35% de 40 72% de 150

9% de 63 48% de 95 84% de 265

4. Expressa en la unitat indicada.

6,2 km 5 … m 8.700 m 5 … km

15 m 5 … cm 900 cm 5 … m

0,04 km 5 … cm 35.000 cm 5 … km

65% és un percentatge.

Es llig 65 per cent.

Significa 65 de cada 100.65% 5

65100

5 0,65

● 4,5 km 5 4,5 3 1.000 5 4.500 m

● 7,69 m 5 7,69 3 100 5 769 cm

● 0,3 km 5 0,3 3 100.000 5 30.000 cm

● 85 m 5 85 : 1.000 5 0,085 km

● 352 cm 5 352 : 100 5 3,52 m

● 5.400 cm 5 5.400 : 100.000 5 0,054 km

● 65% 5 65

100 ▶ 65% de 75 5

65100

de 75 5 65 3 75

1005

4.875100

5 48,75

● 65% 5 0,65 ▶ 65% de 75 5 0,65 3 75 5 48,75

El 65 % de 75 és 48,75.

65 % de 75

▶

3 1.000 3 100

: 1.000 : 100km m cm

Vocabulari de la unitat• Percentatge o tant per cent

• Proporcionalitat

• Sèries de nombres proporcionals

• Taules de proporcionalitat

• Escales

• Unitats de longitud: km, m i cm

Solucions

Pàgina inicial

• La casa té dues plantes.

• A la planta baixa hi ha un saló, una cuina i un bany. A la planta alta hi ha tres dormitoris i dos banys.

• En el plànol, la cuina és qua-drada i el saló és rectangular. En la realitat tenen la mateixa forma.

• Sí, poden calcular-les a partir de les mesures en el plànol i l’escala.

Recorda el que en saps

1. • De cada 100 cotxes venuts al març, 25 eren rojos.

• De cada 100 pastissos de la safata, 50 contenen crema.

• De cada 100 refrescos del bar, 75 són de cola.

2. • 25 % 5 25100

5 0,25

• 50 % 5 50100

5 0,50

• 75 % 5 75100

5 0,75

3. 2 14 1085,67 45,6 222,6

4. 6.200 m 8,7 km1.500 cm 9 m4.000 cm 0,35 km

UNITAT 11

153

132255 _ 0206-0219.indd 209132255 _ 0206-0219.indd 209 11/9/09 07:24:4711/9/09 07:24:47

154

1. Llig i contesta.

● Andreu compra pilotes de tenis. En cada pot hi ha 3 pilotes.

– Pots saber quantes pilotes hi ha en 2 pots? I en 4 pots? – És proporcional el nombre de pilotes de tenis al nombre de pots?

Per què?

● Clàudia té 1 any. Pesa 11 kg.

– Pots saber quant pesarà quan tindrà 2 anys? I quan tindrà 5 anys?

– És proporcional el pes d’una persona a l’edat? Per què?

2. Copia i completa aquestes taules de proporcionalitat.

● Sara i els seus amics volen jugar a minigolf. Cada partida costa 8 € per persona. Pot calcular Sara quant costa jugar una partida a 2, 3, 4 o 5 persones?

Sí, pot calcular quant costa la partida perquè el preu total és proporcional al nombre de persones que hi juguen.

Fixa’t en la taula: pots passar dels nombres d’una fila als de l’altra multiplicant o dividint per 8.

Per això, les sèries 1, 2, 3, 4, 5 i 8, 16, 24, 32, 40 són sèries de nombres proporcionals, i la taula s’anomena taula de proporcionalitat.

● Al primer clot, Sara ha hagut de colpejar 4 vegades la pilota per a ficar-la-hi. Pot saber quantes vegades colpejarà la pilota per a ficar-la en 2, 3, 4 o 5 clots?

No, perquè no sempre colpejarà 4 vegades la pilota per a ficar-la al clot. El nombre de vegades que colpeja la pilota no és proporcional al nombre de clots.

En aquest cas, no es pot construir una taula de proporcionalitat.

Nre. de

persones1 2 3 4 5

Preu

en euros8 16 24 32 40

3 8 : 8

1 2 5

24 36 403 4 : 4

1 2 3 11

20 60 90

2 7 8

20 50 1003 5 : 5

1 5 8 15

30 42 60

Proporcionalitat. Problemes

Est

CÀ

3.

4.

Altres activitats• Comenteu amb l’alumnat situacions de la vida real en què es do-

nen condicions de proporcionalitat i de no proporcionalitat. Propo-seu-ne algun exemple i indiqueu que ells en diguen d’altres:

– El nombre de gols marcats per un equip de futbol és proporcional al nombre de partits jugats?

– El nombre de litres de llet venuts en un supermercat és proporci-onal als diners obtinguts per la venda?

– L’alçada d’una persona és proporcional a la seua edat?

Objectius• Diferenciar sèries de nombres

proporcionals.

• Elaborar taules de proporciona-litat.

• Resoldre problemes de propor-cionalitat.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Partint de la situació proposa-da, caracteritzeu les sèries de nombres proporcionals. Deixeu clar el procés per a passar de l’una a l’altra, mostrant que en un sentit es multiplica per un mateix nombre, i en l’altre es divideix per aquest mateix nom-bre. Recalqueu la importància d’analitzar amb cura quina ope-ració s’ha d’efectuar i si el re-sultat té sentit.

• A l’hora de resoldre els proble-mes, assenyaleu que han de calcular, de primer, el valor de la segona magnitud associat amb una unitat de la primera.

Per a reforçar

• Demaneu a l’alumnat que in-vente activitats similars a les treballades, com es mostra en la pàgina 56 del manual d’ES-TUDI EFICAÇ.

Competències bàsiques

Autonomia

i iniciativa personal

Estimuleu en l’alumnat la seua confiança i autoestima en afron-tar els problemes.

Solucions1. • Sí, n’hi ha 6 (2 3 3 5 6).

Sí, n’hi ha 12 (4 3 3 5 12).Sí és proporcional, perquè tots els pots tenen el mateix nombre de pilotes.

154

132255 _ 0206-0219.indd 210132255 _ 0206-0219.indd 210 11/9/09 07:24:4711/9/09 07:24:47

155

11

Estima sumes aproximant els nombres decimals a les unitats

5,7 1 2 4,6 1 3,8 12,7 1 3,2

3 1 4,8 5,3 1 1,9 4,8 1 15,6

9,3 1 6 7,2 1 6,1 20,3 1 14,7

CÀLCUL MENTAL

3,8 ▶ 43,8 1 2,1 4 1 2 5 6

2,1 ▶ 2

3. Copia i completa cada taula de proporcionalitat. Després, resol.

● Elsa ha pagat 21 per 3 entrades de cine.

– Quant costen 5 entrades? I 8 entrades?

– Quantes entrades podria comprar amb 70 ?

● Lluís ha utilitzat 20 ous per a fer 4 truites iguals.

– Quants ous necessita per a fer 5 truites? I 7 truites?

– Quantes truites pot fer amb 40 ous? I amb 45 ous?

4. Resol.

Un pastisser utilitza 3 litres de llet per a fer 18 pastissos iguals. Quants pastissos pot fer amb 2 litres de llet? I amb 4 litres?

Òscar utilitza 25 bosses iguals per a envasar 75 kg de llimes.

Quants quilos de llimes envasarà en 30 bosses? Quantes bosses necessita per a envasar 120 kg de llimes?

Marisa recorre 6 km en 30 minuts. Quants quilòmetres recorrerà en 50 minuts, si va sempre al mateix ritme? Quants en recorrerà en 1 hora?

Laia compra 7 sobres de cromos de futbol. En total ha comprat 28 cromos. Quants cromos aconseguirà comprant 4 sobres? I 10 sobres? Quants sobres necessita comprar per a aconseguir 24 cromos? I per a aconseguir 72 cromos?

Nre.

d’entrades1 3 5 8

Preu

total ( )21 70

3 … : …

Nre. de

truites1 4

Nre.

d’ous20

3 … : …

Has de calcular de primer el preu que té una entrada. Per a passar de la primera fila a la segona cal multiplicar per aquest nombre, i per a passar de la segona fila a la primera cal dividir entre aquest.

POSA ATENCIÓ

Quants ous ha utilitzat en 1 truita?

Altres activitats• Escriviu a la pissarra aquestes taules i demaneu a l’alumnat que

les complete (són sèries proporcionals amb nombres decimals):

• No puc saber quant pesarà amb 2 anys ni amb 5 anys.No és proporcional, perquè el pes que augmentem cada any és diferent.

2. 3 4 1 2 5 6 9 10

4 8 20 24 36 40 : 4

3 5 2 4 7 8 10 20

10 20 35 40 50 100 : 5

3 10 1 2 3 6 9 11

10 20 30 60 90 110 : 10

3 6 1 5 7 8 10 15

6 30 42 48 60 90 : 6

3. • 3 7 1 3 5 8 10

7 21 35 56 70 : 7

– Costen 35 €.Costen 56 €.

– Podria comprar 10 entrades.

• 3 5 1 4 5 7 8 9

5 20 25 35 40 45 : 5

– 25 ous. 35 ous.– 8 truites. 9 truites.

4. • 18 : 3 5 6; 2 3 6 5 124 3 6 5 24Amb 2 ¬ pot fer 12 pastissos i amb 4 ¬, 24 pastissos.

• 30 : 6 5 5; 50 : 5 5 101 h 5 60 min; 60 : 5 5 12

En 50 minuts recorrerà 10 km i en 1 hora, 12 km.

• 75 : 25 5 3; 30 3 3 5 90En 30 bosses Òscar n’enva-sarà 90 kg.120 : 3 5 40. Per a envasar-ne 120 kg necessita 40 bosses.

• 28 : 7 5 4; 4 3 4 5 1610 3 4 5 40. Amb 4 sobres aconseguirà 16 cromos i amb 10 sobres, 40 cromos.24 : 4 5 6; 72 : 4 5 18.Per a aconseguir 24 cromos, ha de comprar 6 sobres, i per a 72 cromos, 18 sobres.

Càlcul mental

• 8 9 168 7 2115 13 35

UNITAT 11

155

1 3,6 4,3 10,2

6 121,2

1 4 6 8

10 37,5

0,5 8 15 18,6

0,25 50

▶

▶

▶

▶

▶

▶

▶

▶

▶

▶

▶

▶

132255 _ 0206-0219.indd 211132255 _ 0206-0219.indd 211 11/9/09 07:24:4711/9/09 07:24:47

156

Problemes de percentatges

1. Llig cada situació i respon a la pregunta sense fer operacions.

Després, calcula i comprova la resposta.

Qui apega més imants a la nevera? Per què?

● Damià i Marina tenen 20 imants cada un. Damià apega a la nevera el 35% dels seus imants i Marina el 20 % dels seus.

● Pere té 16 imants i Zaida en té 12. Els dos apeguen el 25 % dels seus imants a la nevera.

2. Calcula el preu rebaixat de cada article i completa les taules.

Tots els articles estan rebaixats un 25 %.

En un museu hi ha 80 quadres exposats. El 45 % dels quadres són paisatges, el 35 % són retrats i la resta són natures mortes.

● Quants quadres hi ha exposats de cada tipus?

Paisatges ▶ 45 % de 80 5 36

Retrats ▶ 35 % de 80 5 28

Natures mortes ▶ 80 2 (36 1 28) 5 80 2 64 5 16

Hi ha 36 paisatges, 28 retrats i 16 natures mortes.

● Quin percentatge dels quadres són natures mortes?

La suma de tots els percentatges ha de ser el 100 %.

Percentatge de natures mortes: 100 % 2 (45 % 1 35 %) 5 100 % 2 80% 5 20%

El 20 % dels quadres són natures mortes.

Preu

sense rebaixa

Preu

rebaixat

Caçadores 56

Pantalons 36

Dessuadores 24

Preu

sense rebaixa

Preu

rebaixat

Sabates 46

Sandàlies 35

Sabatilles 38

3.

4.

5.

6.

Altres activitats• Mantingueu una conversa amb els xiquets i xiquetes en què els recor-

deu què són els impostos, qui els estableix (municipals, autonòmics, estatals...) i quina n’és la utilitat. Plantegeu a continuació el càlcul d’alguns preus aplicant-los l’IVA corresponent. Per exemple:

– Als llibres se’ls aplica un 4 % d’IVA. Si un llibre sense IVA costa 15 €, quin és el preu real de venda al públic?

– Al final de la carta d’un restaurant diu «IVA no inclòs». El preu que figura en un dels plats és de 8 €. Si l’IVA corresponent és del 7 %, quant costa realment el plat?

Proposeu a l’alumnat que plantege situacions similars i que inves-tigue a quins altres productes s’afig l’IVA.

Objectius• Resoldre problemes de percen-

tatges.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Proposeu activitats de càlcul de percentatges d’un nombre. Re-cordeu també com es dividien nombres naturals i decimals per la unitat seguida de zeros.

Per a explicar

• Comenteu pas a pas el proble-ma resolt, recalcant el procés de càlcul de percentatges i que la suma de tots és sempre 100. Treballeu en comú l’activi-tat 1 i el Fes-ho així de l’activitat 5, ja que tracten de conceptes que solen plantejar dificultats a l’alumnat.

Per a reforçar

• Proposeu als xiquets i xiquetes activitats que estiguen mal resol-tes i demaneu-los que detecten els errors que s’hi han comés, tal com s’indica en la pàgina 58 del manual d’ESTUDI EFICAÇ.

Competències bàsiques

Aprendre a aprendre

Mostreu a l’alumnat que el que ja coneixia de percentatges els resulta útil per a afrontar els pro-blemes d’aquesta pàgina.

Solucions1. • Damià, perquè hi apega un

percentatge major (35% . . 20%) d’imants.

• Pere, perquè té més imants (4 . 3).

2. 56 2 25 % de 56 5 4236 2 25 % de 36 5 2724 2 25 % de 24 5 1846 2 25 % de 46 5 34,535 2 25 % de 35 5 26,2538 2 25 % de 38 5 28,5

156

132255 _ 0206-0219.indd 212132255 _ 0206-0219.indd 212 11/9/09 07:24:4811/9/09 07:24:48

157

3. Calcula.

● Andrea ha comprat un ordinador que costa 835 més el 16% d’IVA. Paga amb dos bitllets de 500 . Quants diners li han de tornar?

● En una bossa hi ha 240 caramels. El 45% són de maduixa i els restants de menta. Quants caramels hi ha de cada sabor?

● Un tren té 150 places. El 12% de les places són de vagó llit i la resta de seient. Quin percentatge de les places són de seient? Quantes places hi ha de cada tipus?

4. Resol.

● Màrius té 350 fotos de paisatges. El 24% són de platges, el 36% de muntanyes i la resta de boscos. Quantes fotos té de cada tipus?

● En un concurs de disfresses, l’ajuntament ha destinat 450 per a premis. El primer premi és el 62% del total, el segon premi és el 28%, i el tercer premi, la resta. Quants diners es destina a cada un dels premis?

● Carme ha fet una comanda de 250 refrescos per al seu bar. El 36% dels refrescos eren de cola. Dels restants, la meitat eren de taronja i l’altra meitat de llima. Quin percentatge dels refrescos eren de taronja? Quants refrescos va demanar de cada sabor?

5. Calcula quin és el percentatge en cada cas.

● En un hort de 38 arbres, 19 són pomeres. Quin percentatge dels arbres són pomeres?

● En una sala d’un museu hi ha 85 insectes. D’aquests 17 són papallones. Quin percentatge dels insectes són papallones?

6. RAONAMENT. Pensa i contesta.

Explica la resposta.

En una classe, el 25% dels alumnes tenen un gos, el 12% tenen una peixera amb peixos, el 3% tenen una tortuga i el 65% no tenen cap mascota. Pots assegurar que almenys un dels alumnes de la classe té més d’una mascota?

11

FES-HO AIXÍ

● En una classe de 24 alumnes, 6 van en ruta. Quin percentatge dels alumnes van en ruta?

Construeix una taula de proporcionalitat i calcula.

De cada 100 alumnes, 25 van en ruta. Van en ruta el 25% dels alumnes.

6

24 1003 … : …

6 25

24 1003 4 : 4▶

Altres activitats• Escriviu a la pissarra (o demaneu a l’alumnat que les complete) les

equivalències entre percentatges i fraccions, habituals en situaci-ons quotidianes.

10 % 5 110

20 % 5 15

25 % 5 14

50 % 5 12

75 % 5 34

Raoneu amb l’alumnat que, per a calcular el 10 %, 20 %, 25 % o 50 % d’un nombre, n’hi ha prou de dividir el dit nombre entre 10, 5, 4 o 2, respectivament. Per a calcular el 75 % cal multiplicar el nombre per 3 i dividir-ne el resultat entre 4.

Poseu-ne alguns exemples per calcular-los mentalment. Com ara: 10 % de 80, 20 % de 45, 25 % de 32, 50 % de 60 i 75 % de 12.

Preus rebaixats: Caçadores: 42 €Pantalons: 27 €Dessuadores: 18 €Sabates: 34,50 €Sandàlies: 26,25 €Sabatilles: 28,50 €

3. • 835 1 16 % de 835 5 968,62 3 500 2 968,6 5 31,4Li han de tornar 31,40 €.

• 45 % de 240 5 108240 2 108 5 132 Hi ha 108 caramels de ma-duixa i 132 de menta (el 55 %).

• 100 2 12 5 88. El 88 % de les places són en seient.12 % de 150 5 18 88 % de 150 5 132Hi ha 18 places en vagóllit i 132 en seient.

4. • 24 % de 350 5 8436 % de 350 5 126350 2 (84 1 126) 5 140En té 84 de platges, 126 de muntanyes i 140 de boscos.

• 62 % de 450 5 27928 % de 450 5 126450 2 (279 1 126) 5 45El primer premi és 279 €, el segon és 126 € i el tercer és 45 €.

• 100 2 36 5 6464 : 2 5 32 Eren de taronja el 32 %.36 % de 250 5 90 32 % de 250 5 80Demanà 90 refrescos de cola, 80 de taronja i 80 de llima.

5. • 38 : 19 5 2; 100 : 2 5 50 El 50 % són pomeres.

• 85 : 17 5 5; 100 : 5 5 20El 20 % dels insectes són papallones.

6. 100 2 65 5 3525 1 12 1 3 5 4040 . 35Sí, perquè la suma dels percen-tatges dels alumnes que tenen cada animal és major de 35 %, que són els alumnes que tenen alguna mascota.

UNITAT 11

157

132255 _ 0206-0219.indd 213132255 _ 0206-0219.indd 213 11/9/09 07:24:4811/9/09 07:24:48

158

Escales: plànols i mapes

Aquest és el plànol de l’apartament de Laia. Està fet a escala 1 : 150. Quines són les dimensions reals del dormitori?

L’escala del plànol és 1 : 150. Això significa que 1 cm del plànol representa 150 cm en la realitat.

Per calcular les dimensions reals del dormitori, segueix aquests passos:

El dormitori fa 3,9 m de llarg i 2,1 m d’ample.

1r Mesura en centímetres, en el plànol, el llarg i l’ample del dormitori.

Llarg en el plànol ▶ 2,6 cm Ample en el plànol ▶ 1,4 cm

2n Calcula’n les dimensions reals, sabent que està a escala 1 : 150.

Llarg real ▶ 2,6 cm 3 150 5 390 cm 5 3,9 m Ample real ▶ 1,4 cm 3 150 5 210 cm 5 2,1 m

L’escala d’un plànol o un mapa indica la relació que hi ha entre les dimensions del plànol o del mapa i les dimensions reals.

1. Mesura amb un regle en el plànol de dalt i calcula aquestes dimensions reals.

● El llarg de la cuina. ● El llarg i l’ample de la terrassa.

● L’ample del bany. ● El llarg i l’ample del saló.

2. Explica què signifiquen aquestes escales.

3. Escriu a quina escala està dibuixat cada plànol.

● Plànol A: 1 cm del plànol representa 3 cm de la realitat.

● Plànol B: 1 cm del plànol representa 30 cm de la realitat.

● Plànol C: 1 cm del plànol representa 3 m de la realitat.

4. Observa l’escala a què està fet el plànol de cada jardí, mesura i calcula’n

el perímetre real.

Escala 1 : 80 Escala 1 : 140 Escala 1 : 200

Escala 1 : 50 Escala 1 : 90 Escala 1 : 100 Escala 1 : 120

Bany Cuina Terrassa

Saló

Dormitori

5.

6.

7.

Est

CÀ

Altres activitats• Dividiu la classe en grups i entregueu a cada un una fotocòpia

d’una part d’un mapa de carreteres (o un atles) que mostre l’esca-la gràfica i diferents localitats. Demaneu-los que calculen l’escala numèrica associada i també que troben:

– Les distàncies entre diversos parells de localitats.

– La longitud d’un itinerari.

– Les localitats que estan a menys d’una distància en quilòmetres d’una certa localitat.

Objectius• Comprendre el significat del

terme escala.

• Calcular escales numèriques en plànols i mapes.

• Aplicar les escales en situaci-ons quotidianes.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Caracteritzeu l’escala com la relació numèrica entre el que hi ha representat gràficament i la mesura real, i expliqueu que aquesta relació s’estableix en-tre unitats de mesura iguals. Deixeu clar el procés de càlcul de longituds reals a partir de longituds en el plànol o mapa.

• Mostreu la utilitat de l’escala grà-fica a l’hora d’obtindre longituds reals en plànols o mapes. Indi-queu que per a obtindre l’escala numèrica associada cal efectuar un càlcul, com es mostra en l’ac-tivitat 7.

Per a reforçar

• Demaneu a l’alumnat que expli-que el procediment per a obtin-dre longituds reals a partir de les del plànol i l’escala (vegeu pàgina 54 del manual d’ESTUDI EFICAÇ).

Competències bàsiques Competència cultural

i artística

Mostreu que la proporcionalitat geo-mètrica i les escales són un recurs emprat en diferents representacions artístiques.

Solucions1. • 1,6 cm 3 150 5 240 cm 5

5 2,4 mMesura 2,4 m de llarg.

• 1 cm 3 150 5 150 cm 5 5 1,5 mMesura 1,5 m d’ample.

158

132255 _ 0206-0219.indd 214132255 _ 0206-0219.indd 214 11/9/09 07:24:4811/9/09 07:24:48

159

5. Observa l’escala a què està fet aquest mapa, mesura i calcula la distància real

que recorre un avió en cada trajecte.

En aquest mapa s’han marcat diversos trajectes que recorre un avió en línia recta entre ciutats d’Espanya.

▶ Exemple: De Madrid a Sevilla.

Distància en el plànol: 2,2 cm Distància real: 2,2 3 175 5 385 km

● De Barcelona a Madrid. ● De la Corunya a Saragossa, passant per Madrid.

● De Bilbao a València. ● De Badajoz a Sevilla, anada i tornada.

6. Observa cada escala gràfica i contesta.

● Quants quilòmetres en la realitat representa 1 cm en cada mapa?

● Quina distància real representen 5 cm en cada mapa?

7. Pensa i contesta.

● Per què creus que en els mapes s’utilitza l’escala gràfica en comptes de l’escala numèrica dels plànols?

● Com expressaries aquesta escala amb nombres?

1 cm en el mapa són …

2 km 5 … cm Escala 1 :…

11

Estima restes aproximant els nombres decimals a les unitats

4,6 2 2 7,7 2 4,8 10,8 2 1,2

5 2 3,8 4,1 2 2,9 14,7 2 3,6

9,1 2 7 8,2 2 6,3 25,3 2 14,8

CÀLCUL MENTAL

5,2 ▶ 55,2 2 2,7 5 2 3 5 2

2,7 ▶ 3

En el mapa, l’escala és gràfica: cada barreta fa 1 cm.

L’escala d’aquest mapa indica que 1 cm en el mapa representa 175 km en la realitat.

APRÉN

▶

Mapa A

0 1 2 3

Quilòmetres

Mapa B

0 4 8 12

Quilòmetres

Mapa C

0 30 60 90

Quilòmetres

0 2 4 6

Quilòmetres

Bilbaola Corunya

Madrid

BadajozValència

Barcelona

Saragossa

CeutaMelilla

Sevilla

M a r C a n t à b r i c

M a rM e d i t e r r a n i

OCEÀ ATLÀNTIC

OCEÀ

ATLÀNTIC

ESCALA

0 175

Quilòmetres

350 525

Altres activitats• Proposeu als xiquets i xiquetes que facen un plànol del seu dormitori

a escala 1 : 50, en què incorporen el llit, l’obertura de la porta, l’ar-mari i la finestra. Per a això, demaneu-los que prenguen les mides necessàries i completen la taula següent:

• 3,4 cm 3 150 5 510 cm 5 5 5,1 m; 0,8 cm 3 150 5 5 120 cm 5 1,2 mFa 5,1 m de llarg i 1,2 m d’ample.

• 3,4 cm 3 150 5 510 cm 5 5 5,1 m; 2,2 cm 3 150 5

5 330 cm 5 3,3 mFa 5,1 m de llarg i 3,3 m d’ample.

2. 1 cm en el plànol representa:• 50 cm en la realitat.• 90 cm en la realitat.• 100 cm (1 m) en la realitat.• 120 cm en la realitat.

3. • Plànol A: escala 1 : 3• Plànol B: escala 1 : 30• Plànol C: escala 1 : 300

4. • (3 1 2 1 3,5) 3 80 5 680680 cm 5 6,8 m

• (2 1 3,7 1 1,5 1 2) 3

3 140 5 1.2881.288 cm 5 12,88 m

• (1,5 1 2,5 1 1,5 1 1,5 1 1 3) 3 200 5 2.0002.000 cm 5 20 m

5. • 2,9 3 175 5 507,5Hi ha 507,5 km.

• 2,7 3 175 5 472,5Hi ha 472,5 km.

• (2,9 1 1,6) 3 175 5 787,5Hi ha 787,5 km.

• 2 3 1 3 175 5 350. Hi ha 350 km.

6. • Mapa A ▶ 1 kmMapa B ▶ 4 kmMapa C ▶ 30 km

• Mapa A ▶ 5 3 1 5 5 kmMapa B ▶ 5 3 4 5 20 kmMapa C ▶ 5 3 30 5 150 km

7. • R. M. Perquè els mapes in-diquen distàncies grans i el nombre de l’escala tindria massa xifres.

• 1 cm en el mapa són 2 km.2 km 5 200.000 cmEscala 1 : 200.000

Càlcul mental

• 3 3 10 1 1 11 2 2 10

UNITAT 11

159

Habitació Llit Armari

LlargReal → … mEn plànol → … cm

Real → … mEn plànol → … cm

Real → … mEn plànol → … cm

AmpleReal → … mEn plànol → … cm

Real → … mEn plànol → … cm

Real → … mEn plànol → … cm

132255 _ 0206-0219.indd 215132255 _ 0206-0219.indd 215 11/9/09 07:24:4911/9/09 07:24:49

160

Activitats

1. Completa i posa’n un exemple.

● El nombre de barres de pa que compre i …

● El nombre de jugadors d’un equip de futbol i …

● El temps que dura un programa de televisió i …

● El nombre de gols que fa un equip de futbol en un partit i …

2. ESTUDI EFICAÇ. Explica com calcules

els nombres de cada fila d’una taula de

proporcionalitat i completa.

3. Resol. Després, contesta.

En una botiga han venut 80 iogurts.

El 20 % dels iogurts eren de maduixa. Quants iogurts de maduixa han venut?

Dels 80 iogurts, 20 eren de xocolate. Quin percentatge dels iogurts venuts eren de xocolate?

● Quin percentatge de iogurts venuts és major: el de maduixa o el de xocolate?

● De quin sabor s’han venut més iogurts: de maduixa o de xocolate?

4. Quin regal prefereixes en cada cas?

Llig i resol.

En comprar pistatxos et donen, a més, un regal d’aquests:

2 10 g. 2 El 10 % de la compra.

● Compres 500 g de pistatxos.

● Compres 50 g de pistatxos.

5. Pensa i contesta.

Fèlix ha fet 3 fotocòpies d’un dibuix, cada una a una mida diferent:

Fotocòpia A ▶ Al 60% de l’original.

Fotocòpia B ▶ Al 100% de l’original.

Fotocòpia C ▶ Al 150% de l’original.

Com és cada fotocòpia respecte de l’original: major, menor o igual?

6. Mesura amb un regle i calcula quant mesura

cada barra en la realitat.

Escala 1 : 300

7. Calcula el llarg i l’ample reals d’aquests

mobles, sabent que el plànol està a escala

1 : 60.

● El llit. ● La taula. ● L’armari.

8. Observa l’escala i calcula.

Jordi va de A a B al matí. A la vesprada torna de B a A passant per C. Quants quilòmetres recorre a la vesprada més que al matí?

Són proporcionals

No són proporcionals

1 3 4 15

32 64 80 160

A

B

C

0 8 16 24

Quilòmetres

Escala

9

E

Altres activitats• Formeu parelles i demaneu-los que porten a cap un treball fent ser-

vir el càlcul de percentatges i proporcionalitats en un cas concret. Per exemple:– L’entrada a la piscina d’adult costa 5 € i la de xiquet 3 €.– Si els xiquets són menors de 6 anys, tenen un 10 % de descompte.– Els jubilats tenen un descompte d’1 €.– Les famílies nombroses tenen un descompte d’un 20 % del total.

Demaneu-los que elaboren un fullet informatiu amb els preus que pagarà una família amb diferent nombre de membres i edats, o proposeu situacions del tipus: quant pagarà una família amb un jubilat, un matrimoni i quatre fills, dos d’ells menors de 6 anys?, i que se les intercanvien per resoldre-les.

Objectius• Repassar els continguts bàsics

de la unitat.

• Aplicar les matemàtiques en di-ferents contextos.

Competències bàsiques

Competència lingüística

Mostreu la importància d’utilitzar els termes matemàtics de la uni-tat amb propietat i de forma ade-quada al context.

Solucions1. R. M.

• Nombre de barres de pa que compre i diners que pague.

• Nombre de jugadors i nom-bre de camisetes.

• Temps que dura un progra-ma i professionals que el presenten.

• Nombre de gols i partits guanyats.

2. Els nombres de la segona fila es calculen multiplicant per un nombre els de la primera, i els de la primera es calculen dividint els de la segona entre aquest mateix nombre.

1 3 4 8 10 15 20

8 24 32 64 80 120 160

3. 20 % de 80 5 16. Han venut 16 iogurts de maduixa.80 : 20 5 4; 100 : 4 5 25Eren de xocolate el 25 %.• És major el de xocolate.• S’han venut més iogurts de

xocolate.

4. • 500 1 10 5 510 500 1 10 % de 500 5 550500 g ▶ Preferisc el 10 %.

• 50 1 10 5 60 50 1 10 % de 50 5 5550 g ▶ Preferisc 10 g.

5. La fotocòpia A és menor, la fotocòpia B és igual i la C és major.

160

132255 _ 0206-0219.indd 216132255 _ 0206-0219.indd 216 11/9/09 07:24:4911/9/09 07:24:49

al:

a

24

161

11

9. Construeix una taula de proporcionalitat

i contesta.

● Irene ha fet 6 polseres iguals amb 48 pedretes de colors. Quantes pedretes necessita Irene per a fer 10 polseres iguals? I per a fer 15 polseres? Quantes polseres iguals pot fer Irene amb 72 pedretes? I amb 128 pedretes?

● Una màquina d’una fàbrica de conserves envasa 300 pots cada 20 minuts. Quants pots envasarà en 30 minuts? I en una hora? Quant de temps tardarà la màquina a envasar 135 pots? I a envasar 705 pots?

10. Resol.

● En un jardí s’han plantat 250 fl ors. El 46% de les fl ors són clavells xinesos, el 28% són petúnies i el 26% són pensaments. Quantes fl ors s’hi han plantat de cada tipus?Una setmana després s’havien marcit el 10% de les petúnies. Quantes petúnies s’han marcit?

● Xavier té una parada d’entrepans. Hui ha preparat 48 entrepans i ja n’ha venut 12. Quin percentatge dels entrepans preparats ha venut ja?

● Dels 60 músics d’una banda, 30 toquen el tambor i 12 la trompeta. Quin percentatge dels músics toquen el tambor? I la trompeta?

ETS CAPAÇ DE… Ajustar receptes per a diferent nombre de persones

Àngela vol fer espaguetis amb tomaca per a dinar i mira en la recepta les quantitats que necessita de cada ingredient.

S’adona d’un problema: la recepta està preparada per a 5 persones.

Quina quantitat de cada ingredient necessita Àngela si vol preparar el plat només per a 2 persones? I si el vol fer per a 6 persones?

Completa la taula esbrinant la quantitatde cada ingredient que necessita segons el nombre de persones que hi haja per a dinar.

INGREDIENTSPER A 5 PERSONES

● Espaguetis ▶ 375 g● Xoriç ▶ 150 g● Formatge ▶ 100 g ● Tomaca ▶ 300 g

Quantitat de cada ingredient

IngredientPer a 5

personesPer a 2

personesPer a 6

persones

Espaguetis

Xoriç

Formatge

Tomaca

UNITAT 11

6. • Taronja: 1,8 3 300 5 540 540 cm 5 5,4 m

• Roja: 4,2 3 300 5 1.260 1.260 cm 5 12,6 m

• Verda: 3,8 3 300 5 1.140 1.140 cm 5 11,4 m

7. • Llit: 180 cm de llarg i 90 cm d’ample.

• Taula: 96 cm de llarg i 60 cm d’ample.

• Armari: 120 cm de llarg i 48 cm d’ample.

8. A 2 B ▶ 3,5 3 8 5 28 km B 2 C 2 A ▶ (5 1 3) 3 8 5 5 64 km; 64 2 28 5 36 Recorre 36 km més.

9. 3 8 6 10 15 9 16

48 80 120 72 128 : 8

80 pedretes. 120 pedre-tes. 9 polseres. 16 polseres.

3 15 20 30 60 9 47

300 450 900 135 705 : 15

450 pots. 900 pots.9 minuts. 47 minuts.

10. • 46 % de 250 5 11528 % de 259 5 7026 % de 250 5 65 S’han plantat 115 clavells xinesos, 70 petúnies i 65 pensaments.10 % de 70 5 7. S’han marcit 7 petúnies.

• 48 : 12 5 4; 100 : 4 5 25Ha venut el 25 %.

• 60 : 30 5 2; 100 : 2 5 5060 : 12 5 5; 100 : 5 5 20Toquen el tambor el 50 % i toquen la trompeta el 20 %.

Ets capaç de…

161

Programa d’ESTUDI EFICAÇ• En acabar la unitat, feu que l’alumnat complete aquesta taula:

Unitat 11 Proporcionalitat i percentatges

El que he aprésEl que he aprés

a fer

Proporcionalitat. Problemes

Problemes de percentatges

Escales: plànols i mapes

Quantitat

Ingredient 5 per. 2 per. 6 per.

Espaguetis 375 g 150 g 450 g

Xoriç 150 g 60 g 180 g

Formatge 100 g 40 g 120 g

Tomaca 300 g 120 g 360 g

▶

▶

▶

▶

132255 _ 0206-0219.indd 217132255 _ 0206-0219.indd 217 11/9/09 07:24:4911/9/09 07:24:49

162

Solució de problemesResoldre un problema començant pel finalPer a resoldre alguns problemes hem de començar utilitzant les dades

del final i anar avançant cap arrere. Resol així aquests problemes.

Maria va estar mirant el preu d’un televisor al gener. Va decidir no comprar-lo i va tornar a la botiga al febrer. Va vore que n’havien rebaixat el preu un 20 %. Quan va anar a comprar-lo a mitjan març, el preu era 30 més barat que al febrer. El televisor li va costar 370 . Quant costava al gener?

▶ Fem un esquema i hi escrivim les dades. En els requadres aniran els preus successius.

Fixa’t que una rebaixa del 20 % significa que el preu després de la primera rebaixa era un 80 % del preu inicial.

Avancem cap arrere començant pel final. Calculem de primer el preu al febrer (370 1 30 5 400 ), i després el preu al gener (400 : 0,8 5 500 ).

Solució: Al gener, el televisor costava 500 .

1. Anna va córrer dimarts la meitat que dilluns, i dimecres va córrer 1,8 km menys que dimarts. Dimecres va córrer 5 km. Quants quilòmetres va córrer dilluns?

2. Maite ha escrit un nombre. N’ha restat 90 i després la diferència l’ha dividida entre 7. El resultat final ha sigut 20. Quin nombre ha escrit Maite?

3. Dilluns es van apuntar a una excursió moltes persones. Dimecres se n’havien esborrat 15 persones de les que s’hi havien apuntat dilluns, i divendres, en tancar la llista, quedaven apuntades el 90 % de les persones que hi havia apuntades dimecres. Van anar a l’excursió 180 persones. Quantes persones s’hi van apuntar dilluns?

4. INVENTA. Escriu un problema que es puga resoldre començant pel final.

500 400 370

Preu al gener

Preu al març

Preu al febrer

3 0,8

: 0,8

2 30

1 30

370

Preu al gener

Preu al març

Preu al febrer

3 0,8 2 30

EX

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Altres activitats• Proposeu als xiquets i xiquetes que plantegen l’enunciat d’un pro-

blema que es resolga amb dues operacions i que el resolguen. A continuació, demaneu-los que reescriguen l’enunciat del proble-ma per obtindre’n un altre que es resolga començant pel final.

• Escriviu a la pissarra alguns esquemes com el següent:

Després, demaneu-los que calculen el nombre inicial de l’esquema i inventen l’enunciat d’un problema que es resolga partint de la dada final per esbrinar la dada inicial.

Objectius• Resoldre un problema comen-

çant pel final.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Assenyaleu que amb aquesta estratègia resolem el problema de «forma inversa» al procés ha-bitual. Mostreu la importància de realitzar un esquema gràfic en el qual de primer anotem les dades numèriques i les operaci-ons efectuades en els passos successius, i en acabant (par-tint de la dada final) farem les operacions inverses a les porta-des a terme en l’altre sentit per resoldre així el problema.

Competències bàsiques

Tractament

de la informació

Mostreu que en l’esquema gràfic que fem per resoldre el problema hi ha informació que ens dóna l’enunciat i una altra que hem de deduir a partir de les dades que te-nim per a incorporar-la al procés.

Solucions

1.

Dilluns va córrer 13,6 km.

2.

Maite ha escrit el nombre 230.

3.

S’hi van apuntar 215 persones.

4. R. L.

162

: 2

Dl

▶

▶

▶

▶

▶

▶

▶

▶

▶

▶

▶

▶

Dm Dc

2 1,8

1 1,83 213,6 6,8 5

3 2 1 752 150

85Dl Dm Dc

3 0,92 15

: 0,91 15215 200 180

: 72 90

3 71 90230 140 20

132255 _ 0206-0219.indd 218132255 _ 0206-0219.indd 218 11/9/09 07:24:5011/9/09 07:24:50

163

11

EXERCICIS

1. Descompon cada nombre i escriu com

es llig.

● 8,93 ● 6,7 ● 2,304 ● 19,035

2. Expressa amb xifres.

● Set unitats i tres dècimes.

● Onze unitats i quinze centèsimes.

● Tres unitats i quaranta mil·lèsimes.

3. ESTUDI EFICAÇ. Explica amb paraules teues

com es comparen dos nombres decimals.

4. Ordena de major a menor cada grup.

● 2,8 2,9 2,954 2,96 2,961

● 9,314 9 9,4 9,134 9,03 9,341

5. Calcula.

● 2,75 1 9,884 ● 150,06 : 1,23

● 3,4 2 1,765 ● 132 : 8,25

● 2,8 3 6,02 ● 8,076 : 12

● 0,106 3 1.000 ● 471,9 : 1.000

6. Calcula.

● 27

3 (47 2 3

14) ● 52

3 43

2 64

● 7,5 3 6 : 2,5 ● 8 3 (9 2 1,4 : 2)

7. Contesta.

● Quantes bases té un triangle? I un paral·lelogram?

● Si tries una base d’un triangle, quantes altures té aquesta base? Quantes altures té una base d’un paral·lelogram?

8. Calcula la longitud de cada circumferència.

● El radi fa 5 cm.

● El diàmetre fa 20 cm.

PROBLEMES

9. Lluís té 12 anys i és 5 anys més gran que el seu germà. Entre els dos tenen 20 anys menys que el pare. Quants anys tenen entre els tres?

10. Pere ha comprat 6 pots de tomaca i un quilo de macarrons que costa 2,10 . Ha pagat amb 12 i li han tornat 1,50 . Quant li ha costat cada pot de tomaca?

11. Jordi ha anat a un viver a comprar pins per a repoblar. Al viver hi ha 1.080 pins i es venen a 4 la dotzena. Jordi vol comprar-los tots i disposa de 350 . Li falten o li sobren diners? Quants?

12. Dos terços d’un grup de 36 amics tenen els cabells negres, dos novens els tenen rossos i la resta són calbs. Quin color de cabells és el més comú? Quants amics del grup són calbs?

13. Maria té 4 pitxers amb 1,5 litres de llimonada en cada un. Ompli 12 gots d’un terç de litre cada un. Quants litres de llimonada li queden als pitxers?

14. En una fàbrica han envasat 3.960 ¬ de refresc en pots de 0,33 ¬ cada un. Els han empaquetat en paquets de 6 i els paquets en palets de 50 paquets cada un. Venen cada palet a 42,50 . Quants diners val tot el refresc envasat?

RepassaUNITAT 11

Solucions 1. • 8 U 1 9 d 1 3 c 5 8 1

1 0,9 1 0,03. 8 unitats i 93 centèsimes.

• 6 U 1 7 d 5 6 1 0,76 unitats i 7 dècimes.

• 2 U 1 3 d 1 4 m 5 2 1 1 0,3 1 0,004. 2 unitats i 304 mil·lèsimes.

• 1 D 1 9 U 1 3 c 1 5 m 5 5 10 1 9 1 0,03 1 0,005 19 unitats i 35 mil·lèsimes.

2. • 7,3 • 11,15 • 3,040

3. R. L.

4. • 2,961 . 2,96 . 2,954 . . 2,9 . 2,8

• 9,4 . 9,341 . 9,314 . . 9,134 . 9,03 . 9

5. • 12,634 • 122• 1,635 • 16• 16,856 • 0,673• 106 • 0,4719

6. • 1098

5 549

• 2212

5 116

• 18 • 66,4

7. • 3 bases. 4 bases. • 1 altura. 2 altures.

8. • L 5 2 3 p 3 r 5 2 3

3 3,14 3 5 cm 5 31,4 cm• L 5 d 3 p 5 20 cm 3

3 3,14 5 62,8 cm

9. 12 2 5 5 7(12 1 7) 1 20 5 3912 1 7 1 39 5 58 Entre els tres tenen 58 anys.

10. 12 2 1,50 5 10,50 (10,50 2 2,10) : 6 5 1,40 Cada pot costa 1,40 €.

11. (1.080 : 12) 3 4 5 360Li falten 10 € (360 2 350).

12. 2/3 de 36 5 242/9 de 36 5 836 2 (24 1 8) 5 4El més comú és el negre. Són calbs 4 amics.

13. 4 3 1,5 5 6; 12 3 1/3 5 4

6 2 4 5 2. Li’n queden 2 li-tres.

14. 3.960 : 0,33 : 6 5 2.000 2.000 : 50 5 4040 3 42,50 5 1.700Val 1.700 €.

163

Repàs en comú• Entregueu a l’alumnat el plànol d’una casa a una escala determi-

nada. Demaneu a l’alumnat que, a partir d’aquest, facen càlculs com els següents:– Calcular les dimensions reals de cada habitació. – Establir una taula de proporcionalitat entre superfície i preu del

metre quadrat construït, així com el càlcul total del preu de l’im-moble segons les dades.

– Calcular el preu que s’ha de pagar per canviar el terra de les ha-bitacions en funció del preu per metre quadrat del nou terra i de la superfície de cada una.

Demaneu a l’alumnat que propose altres activitats similars en què apliquen aspectes apresos en aquesta unitat.

132255 _ 0206-0219.indd 219132255 _ 0206-0219.indd 219 11/9/09 07:24:5011/9/09 07:24:50

164

Longitud, capacitat, massa i superfície

12

● Quants litres són 1 quilolitre (kl)? Quants litres per segon té el cabal mitjà del riu Miño?

● Quants metres són 1 quilòmetre? Quina és la longitud en metres del riu Xúquer?

● Quins rius tenen un cabal mitjà superior a 350.000 litres per segon? Quina és la longitud en metres de cada un d’aquest rius?

Els rius tenen una importància enorme per al medi ambient i per a l’ésser humà. L’aigua dels rius es fa servir en l’agricultura, el consum humà, l’obtenció d’energia… Moltes ciutats i pobles estan situats a la vora d’un riu.

La quantitat d’aigua que porta un riu s'anomena cabal i varia molt. En la taula hi ha indicats el cabal mitjà i la longitud d’alguns rius d’Espanya.

Cabal mitjà

en kl per segon

Longitud

en km

Miño 340 310

Duero 675 895

Tajo 444 1.007

Guadiana 78 818

Guadalquivir 164 657

Ebre 426 910

Xúquer 49 498

Segura 26 325

RE

1.

L

Altres formes de començar• Utilitzeu la mesura amb passos com a tècnica de motivació per

a iniciar la unitat. Proposeu a cada alumne que, al pati, es mulle la sola de les sabates per deixar la marca dels passos en terra. Després, amb una cinta mètrica ha de mesurar la distància recor-reguda i calcular la longitud mitjana dels seus passos en metres. Amb aquesta dada, l’alumnat pot calcular el llarg del passadís, l’ample de la classe, etc., multiplicant el nombre de passos fets per la longitud mitjana de cada pas. Expliqueu que aquesta tècnica s’usava antigament i que, encara que pot ser útil a vegades, no és exacta i que, per això, es fa necessari l’ús d’unes unitats de mesu-ra convencionals i precises.

Objectius• Reconéixer situacions reals on

intervenen unitats de mesura.

• Recordar conceptes necessaris per a desenvolupar la unitat.

Suggeriments didàctics• Comenteu la situació de parti-

da i demaneu a l’alumnat que indique quines unitats de me-sura hi ixen i quina magnitud mesura cada una. Pregunteu-los si són unitats principals de mesura de la seua magnitud i, si no ho són, que diguen la seua equivalència amb la uni-tat principal. Resoleu en comú les activitats.

• L’apartat Recorda el que en saps us ajudarà a fer-vos una idea exacta dels coneixements previs sobre unitats de mesu-ra que té l’alumnat. Aclariu els possibles dubtes deixant cla-ra la relació de les unitats de cada magnitud amb la seua unitat principal.

Competències bàsiques

Interacció

amb el món físic

Observant la fotografia amb què s’inicia la unitat, parleu amb l’alum-nat sobre la necessitat de compati-bilitzar el desenvolupament i la cura del medi ambient, buscant sempre una interacció harmònica.

Competència lingüística

Recordeu a l’alumnat els nombres de les unitats de mesura princi-pals i els significats dels prefixos que posem davant de cada una per formar els nombres de les al-tres unitats (quilo- , hecto-, deca-, deci-, centi-, mil·li-). Mostreu que els mateixos prefixos es repetei-xen en longitud, capacitat i mas-sa per indicar una mateixa relació amb la unitat principal.

164

132255 _ 0220-0237.indd 222132255 _ 0220-0237.indd 222 11/9/09 07:28:5911/9/09 07:28:59

165

RECORDA EL QUE EN SAPS

● A conéixer i utilitzar les unitats de longitud, capacitat, massa i superfície.

● A realitzar estimacions en diferents contextos.

● A resoldre problemes on isquen unitats de mesura.

APRENDRÀS1. Completa.

3 km 5 … m 7,8 hl 5 … ¬ 4,2 dag 5 … g

2,6 hm 5 … m 1,92 dal 5 … ¬ 0,75 kg 5 … g

250 m 5 … dam 4.300 ¬ 5 … kl 974 g 5 … hg

724 m 5 … km 92 ¬ 5 … dal 113 g 5 … kg

5 m 5 … dm 9 ¬ 5 … cl 2,8 g 5 … dg

7,2 m 5 … cm 6,4 ¬ 5 … ml 64 g 5 … cg

349 cm 5 … m 120 dl 5 … ¬ 375 mg 5 … g

870 mm 5 … m 160 cl 5 … ¬ 46,9 dg 5 … g

Longitud, capacitat i massa

LONGITUD ▶ El metre (m) és la unitat principal.

Múltiples del metre Submúltiples del metre

Decàmetre (dam) ▶ 1 dam 5 10 m Decímetre (dm) ▶ 1 m 5 10 dm

Hectòmetre (hm) ▶ 1 hm 5 100 m Centímetre (cm) ▶ 1 m 5 100 cm

Quilòmetre (km) ▶ 1 km 5 1.000 m Mil·límetre (mm) ▶ 1 m 5 1.000 mm

CAPACITAT ▶ El litre (¬) és la unitat principal.

Múltiples del litre Submúltiples del litre

Decalitre (dal) ▶ 1 dal 5 10 ¬ Decilitre (dl) ▶ 1 ¬ 5 10 dl

Hectolitre (hl) ▶ 1 hl 5 100 ¬ Centilitre (cl) ▶ 1 ¬ 5 100 cl

Quilolitre (kl) ▶ 1 kl 5 1.000 ¬ Mil·lilitre (ml) ▶ 1 ¬ 5 1.000 ml

MASSA ▶ El quilogram (kg) és la unitat principal. El gram (g) és una unitat molt usada.

Múltiples del gram Submúltiples del gram

Decagram (dag) ▶ 1 dag 5 10 g Decigram (dg) ▶ 1 g 5 10 dg

Hectogram (hg) ▶ 1 hg 5 100 g Centigram (cg) ▶ 1 g 5 100 cg

Quilogram (kg) ▶ 1 kg 5 1.000 g Mil·ligram (mg) ▶ 1 g 5 1.000 mg

Vocabulari de la unitat• Quilòmetre, hectòmetre, decàmetre, metre, decímetre, centímetre

i mil·límetre

• Quilolitre, hectolitre, decalitre, litre, decilitre, centilitre i mil·lilitre

• Quilogram, hectogram, decagram, gram, decigram, centigram i mil·ligram, tona i quintar

• Superfície, quilòmetre quadrat, hectòmetre quadrat, decàmetre quadrat, metre quadrat, decímetre quadrat, centímetre quadrat i mil·límetre quadrat

• Unitat agrària, centiàrea, àrea i hectàrea

Solucions

Pàgina inicial

• 1 quilolitre són 1.000 litres.340 kl/s 5 340.000 ¬/s

• 1 quilòmetre són 1.000 metres.498 km 5 498.000 m

• Tenen un cabal mitjà més gran els rius Duero, Tajo i Ebre.Longituds:Duero ▶ 895.000 mTajo ▶ 1.007.000 mEbre ▶ 910.000 m

Recorda el que en saps

1. • 3.000 m260 m25 dam 0,724 km50 dm720 cm3,49 m0,87 m

• 780 ¬19,2 ¬4,3 kl9,2 dal900 cl6.400 ml12 ¬1,6 ¬

• 42 g750 g9,74 hg0,113 kg

28 dg6.400 cg0,375 g4,69 g

UNITAT 12

165

132255 _ 0220-0237.indd 223132255 _ 0220-0237.indd 223 11/9/09 07:28:5911/9/09 07:28:59

166

La distància entre dues ciutats es mesura en quilòmetres. L’amplària d’un full de paper es mesura en centímetres.

Les unitats de longitud formen un sistema decimal. Observa les unitats de longitud i les relacions entre aquestes.

En aquests exemples pots vore com passar d’una unitat a una altra.

● De dam a cm ▶ 6 dam 5 6 3 1.000 5 6.000 cm

● De mm a dm ▶ 4 mm 5 4 : 100 5 0,04 dm

Unitats de longitud. Relacions

3 1.000

3 10 3 10 3 10

dam m dm cm

: 10 : 10

: 100

dm cm mm

1. Completa el quadre en el quadern.

2. Escriu quina operació cal fer per a passar d’una unitat a l’altra.

▶ Exemples: De hm a cm ▶ Multiplicar per 10.000. De dam a km ▶ Dividir entre 100.

● De dm a km ● De km a cm ● De dam a mm

● De hm a dm ● De cm a dam ● De mm a dm

3. Completa.

0,035 km 5 ... cm 1,26 dm 5 ... mm 9.876 cm 5 ... hm

620 mm 5 ... dm 0,015 dam 5 ... mm 5,3 dam 5 ... cm

4,376 hm 5 ... cm 0,36 hm 5 ... km 21.034 dm 5 ... dam

3 10

km m cm

: 10

Per passar d’una unitat a una altra unitat menor es multiplica

3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10

km hm dam m dm cm mm

: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10

Per passar d’una unitat a una altra unitat major es divideix

4.

5.

6.

7.

Sum

CÀ

Altres activitats• Escriviu a la pissarra dues columnes: l’una amb longituds d’objec-

tes o distàncies de la classe, i l’altra, amb mesures expressades en unitats inadequades. Per exemple:

Llargària d’un bolígraf 1.900 mmAlçària de la porta 0,230 damAlçària de la classe 0,00015 kmLlargària de la classe 90 dm

Proposeu a l’alumnat que faça els canvis d’unitat que considere més oportuns en aquestes mesures, i que relacione les dues colum-nes correctament.

Objectius• Conéixer les unitats de longitud

i les seues relacions.

• Fer canvis d’una unitat de me-sura a una altra.

• Ordenar mesures expressades en diferents unitats.

• Resoldre problemes amb uni-tats de longitud.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Raoneu amb l’alumnat que en la realitat necessitem unitats de longitud grans i menudes. Dema-neu-los que aporten exemples de situacions en què s’utilitzen unitats de cada tipus.

Per a explicar

• Deixeu clar l’esquema de pas d’unes unitats a altres i comen-teu els exemples resolts, asse-nyalant la potència de 10 per la qual multipliquem o dividim en cada un.

• Treballeu el pas d’expressions complexes a incomplexes i l’or-denació, mostrant la necessi-tat, en el primer cas, d’expres-sar totes les mesures en la unitat indicada, i en una matei-xa unitat abans d’ordenar en el segon.

Per a reforçar

• Demaneu als xiquets i xiquetes que inventen algunes activitats similars a les treballades se-guint les pautes de la pàgina 56 del manual d’ESTUDI EFI-CAÇ.

Competències bàsiques

Autonomia

i iniciativa personal

Valoreu positivament en l’alum-nat la iniciativa a l’hora de resol-dre tot sol les activitats planteja-des, intentant no demanar ajuda llevat que siga estrictament ne-cessari.

166

132255 _ 0220-0237.indd 224132255 _ 0220-0237.indd 224 11/9/09 07:28:5911/9/09 07:28:59

167

12

4. Expressa en la unitat indicada.

▶ Exemple: 0,3 km i 250 mm en m ▶ 0,3 km i 250 mm 5 300 m 1 0,25 m 5 300,25 m

5. Expressa totes les mesures en la mateixa unitat i ordena-les de menor a major.

49,95 dm 0,05 hm 5,01 m 4.975 mm 502 cm 0,51 dam

6. Escriu dos objectes o distàncies la longitud dels quals expressaries amb cada unitat indicada.

● Metre ● Centímetre ● Quilòmetre ● Mil·límetre

7. Resol.

● En un formiguer hi ha 4 milions de formigues. Cada una fa 3 mm de llarg. Si es col·locaren totes en fila, sense deixar cap espai entre l’una i l’altra, la longitud de la fila seria major o menor de 10 km?

● Un ferrer té 5 dam de cinta metàl·lica en un rotllo. L’ha tallat en trossos de 25 cm. Quants n’ha obtingut?

● Un ciclista s’entrena en una pista coberta de 4 hm de llarg. Cada dia recorre 15 km i 600 m. Quantes voltes fa a la pista?

● En fer una passa, Lluís recorre 82 cm. De casa a l’escola fa 800 passes. Quina distància en quilòmetres recorre?

3 hm i 40 mm

9 dam, 1 m i 8 cm

0,12 km, 7 dam i 75 dm

En m

1,2 dam i 4 mm

4 hm, 3 m i 78 mm

0,001 km, 25 cm i 690 mm

En dm

2,5 hm i 975 dm

3 dam, 2 m i 16 cm

512 m, 96 cm i 520 mm

En dam

0,002 hm i 7 dm

4,5 dam, 23 dm i 5 mm

0,1 m, 8 dm i 26 cm

En mm

Suma un nombre decimal i un nombre natural

4,9 1 8 9 1 6,75 11,5 1 7

5,6 1 7 5 1 8,62 44,86 1 3

14,2 1 3 7 1 13,98 19 1 6,7

CÀLCUL MENTAL

3,89 1 12 15,89

Altres activitats• Comenteu que hi ha altres unitats de longitud que es fan servir en

determinades àrees científiques. Per exemple:– En biologia s’usa la micra (μ), que és la mil·lèsima part del

mil·límetre. Per exemple, el diàmetre d’un glòbul roig fa 6 μ.– Per a mesurar grans distàncies es fa servir la UA (unitat astronò-

mica), que equival a 150.000.000 km.– L’any llum és la distància que recorre en línia recta la llum en un

any a una velocitat de 300.000 km/s.

Demaneu a l’alumnat que busque en revistes, enciclopèdies o en Internet articles científics on isquen aquestes i altres unitats de mesura i que els duguen a classe. Feu una posada en comú amb tot el que aporte l’alumnat.

Solucions1.

2. • Dividir entre 10.000.• Multiplicar per 1.000.• Multiplicar per 100.000.• Dividir entre 1.000.• Multiplicar per 10.000.• Dividir entre 100.

3. 3.500 cm 6,2 dm 43.760 cm 126 mm150 mm0,036 km0,9876 hm5.300 cm210,34 dam

4. • 300,04 m • 34,75 dam91,08 m 3,216 dam197,5 m 51,348 dam

• 120,04 dm • 900 mm4.030,78 dm 47.305 mm19,4 dm 1.160 mm

5. 4.975 mm , 49,95 dm , , 0,05 hm , 5,01 m , , 502 cm , 0,51 dam

6. R. M.• Llarg d’una habitació.• Ample d’una llibreta. • Distància recorreguda en un

viatge.• Gruix d’una post.

7. • 12.000.000 mm 5 12 kmSeria major de 10 km.

• 5 dam 5 5.000 cm 5.000 : 25 5 200N’ha obtingut 200.

• 15 km i 600 m 5 156 hm156 : 4 5 39 Fa 39 voltes.

• 82 3 800 5 65.600 65.600 cm 5 0,656 km Recorre 0,656 km.

Càlcul mental

• 12,9 15,75 18,512,6 13,62 47,8617,2 20,98 25,7

UNITAT 12

167

3 10

: 10

km dam dmhm m cm mm

: 1.000 : 100

3 100 3 1.000 ▶▶▶

▶ ▶ ▶

132255 _ 0220-0237.indd 225132255 _ 0220-0237.indd 225 11/9/09 07:29:0011/9/09 07:29:00

168

El bric conté 1 litre de llet. Al got caben 20 centilitres de llet.

Les unitats de capacitat també formen un sistema decimal. Observa les unitats de capacitat i les relacions entre aquestes.

En aquests exemples pots vore com passar d’una unitat a una altra.

● De cl a dal ▶ 728 cl 5 728 : 1.000 5 0,728 dal

● De dal a dl ▶ 0,6 dal 5 0,6 3 100 5 60 dl

Unitats de capacitat. Relacions

1. Escriu quina operació cal fer per a passar d’una unitat a l’altra.

● De hl a dl ▶ Multiplicar per … ● De kl a cl ● De dal a ml

● De ml a dal ▶ Dividir entre … ● De ml a hl ● De dl a kl

2. Completa.

7.200 cl 5 … dl 0,8 dal 5 … ml 134 dl 5 … hl

0,09 dal 5 … cl 735 cl 5 … dal 0,95 dl 5 … cl

1.406 ml 5 … dl 0,092 kl 5 … dl 3.098 ml 5 … cl

3. Expressa en la unitat indicada.

En ¬ 2,6 hl i 4 dal 0,7 kl, 9 dal i 75 ml 12 dal, 26 cl i 540 ml

En ml 3 dal i 79 cl 5 ¬, 36 dl i 7 cl 0,001 kl, 0,07 hl i 4 ¬

En hl 0,4 kl i 28 dal 9 dal, 1 ¬ i 125 cl 1,4 ¬, 520 dl i 7.800 ml

3 100

3 10 3 10

dal ¬ dl

Per passar d’una unitat a una altra unitat menor es multiplica

3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10

kl hl dal ¬ dl cl ml

: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10

Per passar d’una unitat a una altra unitat major es divideix

: 10 : 10 : 10 dal ¬ dl cl

: 1.000

4.

5.

6.

7.

Altres activitats• Proposeu aquesta situació perquè l’alumnat, individualment o en

grup, raone i conteste de forma oral.

Si solament dispose de tres recipients, de 18 litres, 7 litres i 3 litres, respectivament:

– Com puc obtindre exactament 1 ¬?– Com puc obtindre 4 ¬?– Com puc obtindre 8 ¬?– Com puc deixar 5 ¬ en el recipient gran?

Demaneu a l’alumnat que pose exemples propis de situacions si-milars a l’anterior per fer-los en comú a la pissarra.

Objectius• Conéixer les unitats de capaci-

tat i les seues relacions.

• Fer canvis d’una unitat a una al-tra.

• Ordenar capacitats expressa-des en diferents unitats.

• Resoldre problemes amb uni-tats de capacitat.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Mostreu a l’alumnat diferents recipients (marraixes, pitxers, gots, safes, barrals…) i digueu-ne les capacitats. Comenteu la utilitat d’unitats de capacitat grans per a mesurar la capacitat de depòsits, piscines…

Per a explicar

• Treballeu de manera similar a com s’ha fet en el cas de la longitud. Mostreu les similituds que hi ha en l’esquema de pas d’unitats i en la forma de resol-dre les activitats plantejades.

Per a reforçar

• Presenteu als xiquets i xiquetes catàlegs comercials en què hàgeu tapat la capacitat de diferents re-cipients. Demaneu-los que l’esti-men i que diguen en quina unitat deu estar expressada.

• Demaneu a l’alumnat que refle-xione i detecte les seues difi-cultats d’aprenentatge a l’hora de treballar amb les unitats de capacitat, seguint les pautes que es donen en la pàgina 60 del manual d’ESTUDI EFICAÇ.

Competències bàsiques

Aprendre a aprendre

Dialogueu amb l’alumnat i feu que veja que, a partir de l’aprenentatge amb les mesures de longitud, molt del que ha aprés ho pot aplicar a la resta de magnituds.

168

132255 _ 0220-0237.indd 226132255 _ 0220-0237.indd 226 11/9/09 07:29:0011/9/09 07:29:00

169

4. Expressa totes les capacitats en la mateixa unitat i ordena-les de major a menor.

5. Escriu dos recipients la capacitat dels quals puga ser la que s’indica.

● Més d’1 cl i menys d’1 ¬. ● Més d’1 dal i menys d’1 kl.

● Més d’1 ¬ i menys d’1 dal. ● Més d’1 kl.

6. Resol.

● Una cafeteria va consumir els tres primers mesos de l’any 31 kl i 9 hl d’aigua. Quants litres en va gastar al març si els dos primers mesos n’havia gastat en total 21 kl i 3 hl?

● Maria ha de prendre 5 ml de xarop cada dia. El flascó de xarop conté 15 cl. Per a quants dies té xarop Maria? Per a quants dies tindria xarop si en prenguera 0,1 dl cada dia?

● En una taverna tenen un tonell ple de vi. Té una capacitat de 6 hl. Quantes botelles de 750 ml poden omplir amb el contingut del tonell? I botelles d’1,5 ¬?

● Per fer un batut, Carles ha mesclat 2 tasses de suc de taronja de 250 ml cada una i 1,5 litres de llet. El serveix després en gots de 50 cl. Quants gots ompli?

● Carles té al restaurant 3 garrafes de 5 litres d’oli. Ha omplit 2 botelles d’1 litre i mig cada una i la resta l’ha posat en setrills de 300 ml cada un. Quants setrills ha omplit?

7. RAONAMENT. Completa.

5 dal 1 … ¬ 5 0,54 hl 170 cl 1 … ml 5 30 dl

0,005 kl 5 0,02 hl 1 … cl 0,9 hl 5 7,5 dal 1 … dl

12

0,5 dal 1,91 dal

490 cl

0,019 kl 19.010 ml52 dl 19,2 ¬

Altres activitats• Plantegeu a l’alumnat que esbrine el nombre de gotes que hi ha en

un litre d’aigua. Necessiten un didal, un got xicotet i un recipient d’1/4 de litre. Indiqueu-los que seguisquen aquests passos (po-deu fer-ho després de recollir les seues idees).1r Amb l’ajuda d’un comptagotes (o amb l’aixeta oberta a manera

de degoteig), comptar les gotes que caben en un didal.2n Omplir el got amb didals, comptant el nombre de didals.3r Comptar el nombre de gots necessaris per a omplir 1/4 de litre.4t Multiplicar: nre. de gotes en un didal 3 nre. de didals en un got

3 nre. de gots 3 4.

Posteriorment pot ser el mateix alumnat el qui propose casos simi-lars i que explique el procés que ha seguit per a fer-ho.

Solucions1. • Multiplicar per 1.000.

• Dividir entre 10.000.• Multiplicar per 100.000.• Dividir entre 100.000.• Multiplicar per 10.000.• Dividir entre 10.000.

2. 720 dl 90 cl 14,06 dl 8.000 ml0,735 dal920 dl0,134 hl 9,5 cl309,8 cl

3. • 300 ¬; 790,075 ¬; 120,8 ¬• 30.790 ml; 8.670 ml;

12.000 ml• 6,8 hl; 0,9225 hl; 0,612 hl

4. • 52 dl . 0,5 dal . 490 cl• 19,2 ¬ . 1,91 dal .

. 19.010 ml . 0,019 kl

5. R. M.• Una tassa. • Una banyera.• Una olla. • Una piscina.

6. • 31 kl i 9 hl 5 31.900 ¬21 kl i 3 hl 5 21.300 ¬31.900 2 21.300 5 10.600En va gastar 10.600 litres.

• 15 cl 5 150 ml150 : 5 5 30Té xarop per a 30 dies.0,1 dl 5 1 cl; 15 : 1 5 15 En tindria per a 15 dies.

• 6 hl 5 600.000 ml600.000 : 750 5 8006 hl 5 600 ¬600 : 1,5 5 400Es poden omplir 800 botelles de 750 ml, i 400 de 1,5 ¬.

• 2 3 250 ml 1 1,5 ¬ 5 200 cl200 : 50 5 4Ompli 4 gots.

• 3 3 5 ¬ 2 2 3 1,5 ¬ 5 12 ¬ 12 ¬ 5 12.000 ml 12.000 : 300 5 40 Ha omplit 40 setrills.

7. • 5 dal 1 4 ¬ 5 0,54 hl• 170 cl 1 1.300 ml 5 30 dl• 0,005 kl 5 0,02 hl 1 300 cl• 0,9 hl 5 7,5 dal 1 150 dl

UNITAT 12

169

132255 _ 0220-0237.indd 227132255 _ 0220-0237.indd 227 11/9/09 07:29:0011/9/09 07:29:00

170

Unitats de massa. Relacions

1. Explica com passar d’una unitat a l’altra.

De hg a cg De dag a kg De kg a t De cg a dag De q a hg

2. Completa.

2,8 hg 5 … cg 0,15 kg 5 … g 25.000 cg 5 … hg

0,9 dag 5 … dg 1.429 mg 5 … dg 80 kg 5 … q

124 cg 5 … kg 8.373 kg 5 … t 0,9 kg 5 … dag

3. Expressa en la unitat indicada en cada cas.

● En decigrams: 2,5 hg i 137 mg 78 g, 4 dg i 95 cg 3 dag, 9 g i 680 mg

● En quilograms: 0,24 t i 9 q 9 hg, 2 dag i 75 g 2 hg, 36 dag i 570 dg

● En grams: 7 cg i 692 mg 0,5 hg, 4 g i 19 dg 0,001 t i 8 hg

El paquet conté 1 quilogram d’arròs i la cullera, 10 grams.

Les unitats de massa també formen un sistema decimal. Observa les unitats de massa i les relacions entre aquestes.

Altres unitats comunes són la tona (t) i el quintar (q).

1 tona 5 1.000 kg ▶ 1 t 5 1.000 kg

1 quintar 5 100 kg ▶ 1 q 5 100 kg

1 tona 5 10 q ▶ 1 t 5 10 q

Fixa't en com passem d’una unitat a una altra en aquests exemples.

● De dg a mg ▶ 0,5 dg 5 0,5 3 100 5 50 mg

● De dg a hg ▶ 4 dg 5 4 : 1.000 5 0,004 hg

3 100

3 10 3 10

dg cg mg

: 10 : 10 : 10 hg dag g dg

: 1.000

3 10 3 100

t q kg

: 10 : 100

Per passar d’una unitat a una altra unitat menor es multiplica

3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10

kg hg dag g dg cg mg

: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10

Per passar d’una unitat a una altra unitat major es divideix

4.

5.

6.

7.

Res

CÀ

Altres activitats• Demaneu a l’alumnat que busque, en fullets de supermercats o a

casa, el pes de paquets, llandes de conserva, etc., i que escriga, per a cada un dels casos següents, el nom de dos productes que pesen:

– Més d’1 hg i menys d’1/4 kg 2 1/4 kg

– Més d’1/4 kg i menys de 1/2 kg 2 1/2 kg

– Més de 1/2 kg i menys d’1 kg 2 1 kg

Al final, porteu a cap una posada en comú en què l’alumnat exposeles dades recollides.

Objectius• Conéixer les unitats de massa i

les seues relacions.

• Fer canvis d’una unitat a una altra.

• Ordenar pesos expressats en diferents unitats de massa.

• Resoldre problemes amb uni-tats de massa.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Demaneu a l’alumnat que diga exemples de situacions en què calen unitats de massa menu-des o grans.

Per a explicar

• Assenyaleu que les unitats de massa formen també un siste-ma decimal i indiqueu que la unitat principal de massa no és el gram, sinó el quilogram.

• Mostreu-ne, per a la tona i el quintar, les abreviatures i equiva-lències amb el quilo. Comenteu les similituds que hi ha a l’hora de treballar amb el que ja conei-xien en longitud i capacitat.

Per a reforçar

• Treballeu amb l’alumnat la me-morització de les unitats i rela-cions vistes, seguint les pau-tes de la pàgina 51 del manual d’ESTUDI EFICAÇ.

Competències bàsiques

Competència lingüística

Recalqueu a l’alumnat la impor-tància de fer servir amb precisió i correcció els termes referits a les unitats de mesura.

Solucions1. • Multiplicar per 10.000.

• Dividir entre 100.• Dividir entre 1.000.• Dividir entre 1.000.• Multiplicar per 1.000.

170

132255 _ 0220-0237.indd 228132255 _ 0220-0237.indd 228 11/9/09 07:29:0011/9/09 07:29:00

171

4. Expressa en la mateixa unitat i ordena.

5. Tria la unitat més adequada en cada cas: gram, quilogram o tona.

● El pes d’un coet espacial. ● El pes de la pissarra.

● El pes d’un alumne de 6é. ● El pes d’un edifici.

● El pes d’un iogurt. ● El pes d’una goma d’esborrar.

6. Observa i resol.

● Quants quilos pesen mil monedes d’1 cèntim?

● Quants quilos pesen mil monedes de 5 cèntims més que mil monedes de 2 cèntims?

● Quantes monedes d’1 cèntim es poden encunyar amb 4,6 t de metall?

● Quantes monedes de 5 cèntims es poden encunyar amb 3 q i 92 kg de metall?

7. Resol.

● Un camió pot portar una càrrega màxima de 5 t. Ha carregat al bosc 7 troncs de 4 q i 85 kg cada un. Quants quilos pesen els troncs? Quants quintars més podria transportar el camió?

● Un iogurt conté 1,5 mg de vitamina E afegida. – Per produir 1.000 iogurts, quants grams

de vitamina E es necessiten?– Amb 30 g de vitamina E, quants iogurts

es poden produir?

● Màrius ha preparat 20 panets iguals amb 4,8 hg de farina. Quants grams de farina hi ha en cada panet?

12

34 dag 3.500 dg

0,33 kg 3,45 hg

12,5 dg 0,7 dag

8.200 mg 2,1 g 425 cg

De menor a major De major a menor

Resta un nombre natural d’un nombre decimal

6,9 2 4 9,75 2 3 32,5 2 9

9,8 2 7 8,91 2 4 26,03 2 4

19,2 2 6 24,98 2 2 50,14 2 3

CÀLCUL MENTAL

7,39 2 2 5,39

2,30 g3,06 g

3,92 g

Altres activitats• Proposeu a l’alumnat que calcule el pes del carro de la compra

següent.

– Bossa de 4 kg de taronges – Bossa de 3,5 kg de creïlles – 2 paquets d’1 kg de sucre – 2 kg i 350 g de plàtans– 2 paquets de 350 g de cereals – Quilo i mig de tomaques – 8 iogurts de 125 g cada un – 450 g de llucet

Demaneu a l’alumnat que expresse el pes total del carro en kg, en hg, en dag, en g, en dg…

A partir d’aquesta activitat podeu proposar als xiquets i xiquetes que escriguen el contingut d’un carro de la compra i que després se’ls intercanvien per calcular el pes total de la compra en la unitat que se’ls indique.

2. 28.000 cg 2,5 hg90 dg 0,8 q0,00124 kg 90 dag150 g14,29 dg8,373 t

3. • 2.501,37 dg; 793,5 dg; 396,8 dg

• 1.140 kg; 0,995 kg; 0,617 kg

• 0,762 g; 55,9 g; 1.800 g

4. • 0,33 kg , 34 dag , , 3,45 hg , 3.500 dg

• 8.200 mg . 0,7 dag . . 425 cg . 2,1 g . 12,5 dg

5. • Tona • Quilogram• Quilogram • Tona• Gram • Gram

6. • 2,30 g 3 1.000 5 2.300 g2.300 g 5 2,3 kgPesen 2,3 kg.

• 3,92 g 3 1.000 5 3.920 g3,06 g 3 1.000 5 3.060 g3.920 g 2 3.060 g 5 5 860 g 5 0,86 kgPesen 0,86 kg més.

• 4,6 t 5 4.600.000 g4.600.000 : 2,3 5 5 2.000.000. Se’n poden encunyar 2 milions.

• 3 q i 92 kg 5 392.000 g392.000 : 3,92 5 100.000Poden encunyar-se’n cent mil.

7. • 4 q i 85 kg 5 485 kg 7 3 485 5 3.395. Pesen 3.395 kg. 5 t 5 50 q3.395 kg 5 33,95 q50 2 33,95 5 16,05Podria transportar 16,05 q més.

• 1,5 mg 3 1.000 5 1.500 mg 5

5 1,5 g. Es necessiten 1,5 g. 30 g 5 30.000 mg30.000 : 1,5 5 20.000Es poden produir 20.000 io-gurts.

• 4,8 hg 5 480 g; 480 : 20 5 5 24. Hi ha 24 g de farina.

Càlcul mental

• 2,9 6,75 23,5 2,8 4,91 22,03 13,2 22,98 47,14

UNITAT 12

171

132255 _ 0220-0237.indd 229132255 _ 0220-0237.indd 229 11/9/09 07:29:0111/9/09 07:29:01

172

: …

1. Escriu la frase que defineix cada unitat de superfície.

▶ Exemple: El decàmetre quadrat (dam2) és l’àrea d’un quadrat d’1 dam de costat.

2. Copia i completa.

3. Completa.

▶ Exemples: 3 dam2 5 3 3 100 5 300 m2 52.000 m2 5 52.000 : 10.000 5 5,2 hm2

7 km2 5 … m2 815 m2 5 … dam2 3,26 hm2 5 … m2

0,9 hm2 5 … m2 35.700 m2 5 … hm2 289.000 m2 5 … km2

12 dam2 5 … m2 9.325.000 m2 5 … km2 7,5 dam2 5 … m2

…

…

…

…

…

…

…

…

3 …dam2 m2

m2 dam2

m2 dm2

dm2 m2

…hm2 m2

…m2 hm2

m2 cm2

cm2 m2

km2 m2

m2 km2

m2 mm2

mm2 m2

Unitats de superfície

Amb les unitats de superfície expressem l’àrea d’una figura. La unitat principal de superfície és el metre quadrat (m2).

El metre quadrat és la superfície d’un quadrat d’1 m de costat.

Per a mesurar superfícies majors i menors que el metre quadrat usem els seus múltiples i submúltiples.

Fixa't en la relació de cada unitat amb el metre quadrat:

1 dam2 5 100 m2 1 m2 5 100 dm2

1 hm2 5 10.000 m2 1 m2 5 10.000 cm2

1 km2 5 1.000.000 m2 1 m2 5 1.000.000 mm2

El dam2, el hm2 i el km2 són la superfície d’un quadrat amb un costat d’1 dam, 1 hm i 1 km, respectivament.

El dm2, el cm2 i el mm2 són la superfície d’un quadrat amb un costat d’1 dm, 1 cm i 1 mm, respectivament.

MÚLTIPLES DEL METRE QUADRAT

Decàmetre quadrat ▶ dam2

Hectòmetre quadrat ▶ hm2

Quilòmetre quadrat ▶ km2

SUBMÚLTIPLES DEL METRE QUADRAT

Decímetre quadrat ▶ dm2

Centímetre quadrat ▶ cm2

Mil·límetre quadrat ▶ mm2

1 m

1 m 1 m2

4.

5.

6.

7.

8.

Altres activitats• Escriviu a la pissarra les mesures següents. Demaneu a l’alumnat

que busque els parells de mesures que expressen una mateixa superfície.

Objectius• Comprendre el concepte de su-

perfície.

• Identificar el metre quadrat, els seus múltiples i submúltiples.

• Escollir la unitat més adequada per expressar superfícies dife-rents.

• Resoldre problemes amb uni-tats de superfície.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Proposeu divisions de nombres naturals i decimals per la unitat seguida de zeros.

• Amb l’ajuda del material d’au-la, dibuixeu a la pissarra qua-drats de costat 1 m, 1 dm i 1 cm, respectivament. Escriviu al costat de cada un la uni-tat corresponent i demaneu a l’alumnat que diga superfícies que expressarien amb cada unitat.

Per a explicar

• Assenyaleu que l’àrea d’una figura és la mesura de la seua superfície, i que la unitat prin-cipal de superfície és el metre quadrat.

• Deixeu clara la definició de cada unitat i les seues relaci-ons amb el metre quadrat. Co-menteu els exemples resolts, assenyalant la potència de 10 que utilitzem en cada cas i si multipliquem o dividim.

Competències bàsiques

Tractament

de la informació

Insistiu en la necessitat, a l’hora d’expressar mesures, d’utilitzar l’abreviatura de la unitat, a més del nombre. Indiqueu també la im-portància de no confondre unitats de distintes magnituds (a vegades diuen metre per metre quadrat).

172

500 m2

0,05 km2

5 m2

0,005 m2

5 dam2

50.000 m2

0,05 dm2

5.000 mm2

50.000 m2

0,5 hm2

5.000 cm2

500.000 dm2

5 hm2

5.000 m2

0,5 m2

5.000 m2

132255 _ 0220-0237.indd 230132255 _ 0220-0237.indd 230 11/9/09 07:29:0111/9/09 07:29:01

173

12

4. Completa.

4 m2 5 … dm2 999 dm2 5 … m2 80.000 mm2 5 … m2

2,7 m2 5 … cm2 12.800 cm2 5 … m2 78 m2 5 … dm2

0,06 m2 5 … mm2 375.000 mm2 5 … m2 6.400 cm2 5 … m2

5. Pensa i tria la unitat més adequada per a expressar cada superfície.

● La Comunitat Valenciana. ● Una foto.

● Un full. ● La teua província.

● La teua classe. ● El pati de l’escola.

6. Resol.

● Un ajuntament té una parcel·la de 0,5 hm2 per a instal·lar-hi fàbriques. Ocuparan 3.700 m2 i la resta la deixaran lliure de moment. Quants metres quadrats queden lliures?

● Maria ha posat una estora de 375 dm2 en una habitació de 6 m2. Quants metres quadrats queden sense estora?

● Un bosc de 2 km2 està format per faigs i pins. Els faigs ocupen 380.000 m2. Quants metres quadrats ocupen els pins?

7. Calcula la densitat de població de cada ciutat.

8. RAONAMENT. Pensa i contesta. Dóna tres respostes possibles.

Tres germans han rebut una herència. A Lluís li ha correspost una parcel·la de 0,04 km2 i a Miquel, una parcel·la de 4,2 hm2. La parcel·la de Pere té més superfície que la de Lluís i menys que la de Miquel. Quina superfície pot tindre la parcel·la de Pere?

FES-HO AIXÍ

Per calcular la densitat de població d’una ciutat es divideix el nombre d’habitants entre la superfície que ocupa expressada en km2.

Habitants: 4.340 Superfície: 124 km2

Densitat de població 5 4.340 hab.

124 km2 5 35 hab./km2

Habitants: 2.153.550

Superfície: 105 km2

Habitants: 564.648

Superfície: 8.400 hm2

París

Lisboa

cm2

m2

km2

Vilalba

UNITAT 12

Solucions1. R. M. Vegeu l’exemple del llibre.

2. • 3 100 3 10.0003 1.000.000: 100 : 10.000: 1.000.000

• 3 100 3 10.0003 1.000.000: 100 : 10.000: 1.000.000

3. • 7.000.000 m2

9.000 m2

1.200 m2

• 8,15 dam2

3,57 hm2

9,325 km2

• 32.600 m2

0,289 km2

750 m2

4. • 400 dm2

27.000 cm2

60.000 mm2

• 9,99 m2

1,28 m2

0,375 m2

• 0,08 m2

7.800 dm2

0,64 m2

5. • km2 • cm2

• cm2 • km2

• m2 • m2

6. • 0,5 hm2 5 5.000 m2

5.000 2 3.700 5 1.300Queden lliures 1.300 m2.

• 375 dm2 5 3,75 m2

6 2 3,75 5 2,25Queden 2,25 m2.

• 2 km2 5 2.000.000 m2 2.000.000 2 380.000 5 5 1.620.000Ocupen 1.620.000 m2.

7. • París ▶ 2.153.550 hab

105 km2 5

5 20.510 hab./km2

• Lisboa ▶ 564.648 hab

84 km2 5

5 6.722 hab./km2

8. R. M. 4,1 hm2; 415 dam2 i 40.500 m2.

173

Altres activitats• Indiqueu a l’alumnat que busque informació sobre la superfície

en km2 d’alguns països. Feu al final una posada en comú amb les dades arreplegades i escriviu-ne la llista a la pissarra. Després, plantegeu preguntes sobre aquestes dades. Per exemple: Quin dels països té una extensió major? I menor?

• Si ho creieu convenient, proposeu-los arreplegar informació sobre la població d’alguns dels països de la llista anterior, i calculeu-ne de forma col·lectiva la densitat de població. Per últim, plantegeu preguntes sobre aquestes dades. Per exemple: Quin dels països està més poblat? I menys poblat?

132255 _ 0220-0237.indd 231132255 _ 0220-0237.indd 231 11/9/09 07:29:0111/9/09 07:29:01

174

En el quadre figuren les unitats de superfície i les relacions entre aquestes.

Fixa't en com passem d’una unitat a l’altra en aquests exemples.

● De dam2 a dm2 ▶

0,6 dam2 5 0,6 3 10.000 5 6.000 dm2

● De cm2 a dam2 ▶

3.800 cm2 5 3.800 : 1.000.000 5 0,0038 dam2

Per passar d’una unitat a una altra unitat menor es multiplica

3 100 3 100 3 100 3 100 3 100 3 100

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

: 100 : 100 : 100 : 100 : 100 : 100

Per passar d’una unitat a una altra unitat major es divideix

Relacions entre unitats de superfície

1. Completa.

0,005 hm2 5 … dam2 8,4 dm2 5 … mm2 974 dm2 5 … dam2

136 hm2 5 … km2 12,5 cm2 5 … dm2 1,06 dam2 5 … cm2

7.520 dam2 5 … km2 1,95 cm2 5 … mm2 2.300 dm2 5 … hm2

0,93 km2 5 … dam2 714 mm2 5 … dm2 28.130 cm2 5 … dam2

2. Expressa en la unitat indicada.

En hm2 4 km2 i 7 hm2 2 dam2 i 1.750 m2 1 hm2, 15 dam2 i 49.000 cm2

En cm2 3 dm2 i 12 cm2 8 m2 i 5 dm2 4 dam2, 1 dm2 i 315 mm2

3. Resol.

● Paula té una targeta de cartolina de 0,5 dm2. Hi ha dibuixat un rectangle roig de 28 cm2 i l’ha retallat. Quants centímetres quadrats de cartolina li han sobrat?

3 10.000

3 100 3 100

dam2 m2 dm2

: 100 : 100 : 100 dam2 m2 dm2 cm2

: 1.000.000

1.

2.

3.

4.

U

Altres activitats• Dibuixeu aquest quadre a la pissarra i mostreu que, en les me-

sures de superfície, cal reservar dues xifres per a cada unitat. Després, escriviu diverses mesures a la pissarra i demaneu a l’alumnat que les col·loque en la taula i les expresse en forma incomplexa. Per exemple:

3.525 m2 5 35 dam2 i 25 m2

483 dam2 5 4 hm2 i 83 dam2

Objectius• Aplicar les relacions entre les

unitats de superfície.

• Resoldre problemes on interve-nen unitats de superfície.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• És important recalcar que cada unitat és 100 vegades superior a la unitat immediata inferior (fins ara la relació entre unitats era de 10 en 10). Comenteu els exemples resolts i mostreu a l’alumnat la importància de con-siderar si el resultat obtingut té sentit.

Per a reforçar

• Demaneu als xiquets i xiquetes que reflexionen i reconeguen el que han aprés en aquesta uni-tat, aprofitant les pautes que hi ha en la pàgina 62 del manual d’ESTUDI EFICAÇ.

Solucions1. • 0,5 dam2

1,36 km2

0,752 km2

9.300 dam2

• 84.000 mm2

0,125 dm2

195 mm2

0,0714 dm2

• 0,0974 dam2

1.060.000 cm2

0,0023 hm2

0,02813 dam2

2. • 407 hm2

0,195 hm2 1,15049 hm2

• 312 cm2

80.500 cm2

4.000.103,15 cm2

3. 0,5 dm2 5 50 cm2 50 2 28 5 22Li n’han sobrat 22 cm2.

174

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

35 25

4 83

132255 _ 0220-0237.indd 232132255 _ 0220-0237.indd 232 11/9/09 07:29:0211/9/09 07:29:02

175

12

1. Expressa en la unitat indicada.

2. Completa.

1,3 m2 5 … ca 5 dam2 5 … a 2,6 hm2 5 … ha

34 dam2 5 … ca 4,9 hm2 5 … a 0,04 km2 5 … ha

0,7 hm2 5 … ca 2.000 m2 5 … a 15.000 m2 5 … ha

3. Resol.

● Anna té una parcel·la de 12 ha. Ha sembrat només un quart de la parcel·la. Quants metres quadrats ha sembrat? Quantes àrees ha deixat sense sembrar?

● Maria té 5 ha i 80 a de cultius de secà i 600 a de cultius de regadiu. A quin tipus de cultiu dedica més extensió? Quantes centiàrees més?

4. RAONAMENT. Observa les quatre superfícies i esbrina a quin parc correspon cada una.

● El parc de menor extensió dels quatre és Garajonay.

● Doñana té més extensió que Cabañeros.

● Monfragüe té menys extensió que Cabañeros.

Unitats agràries

Les unitats agràries s’usen per a expressar les superfícies de finques, parcel·les, boscos… Són la centiàrea (ca), l’àrea (a) i l’hectàrea (ha).

Cada unitat agrària equival a una unitat de superfície.

1 ca 5 1 m2

1 a 5 1 dam2

1 ha 5 1 hm2

Fixa't en com passem d’una unitat a l’altra en els exemples.

● De ha a m2 ▶ 0,25 ha 5 0,25 hm2 5 0,25 3 10.000 5 2.500 m2

● De dam2 a ca ▶ 1,2 dam2 5 1,2 3 100 5 120 m2 5 120 ca

● De ca a ha ▶ 35.000 ca 5 35.000 : 10.000 5 3,5 ha

5 ha 3.400 ca 27 a

En m2

1.811.800 a

54.252 hm2

389.600 dam2

40.856 ha

51 ca 0,12 ha 4 a

En dam2

9,3 ha 125 a 1.700 ca

En hm2

3 100 3 100

ha a ca

: 100 : 100

UNITAT 12

Objectius• Conéixer les unitats agràries i

utilitzar les seues equivalènci-es amb el m2, dam2 i hm2.

• Resoldre problemes amb uni-tats agràries i de superfície.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Llegiu amb l’alumnat l’explica-ció sobre unitats agràries. Ano-meneu-ne les abreviatures i es-criviu-les a la pissarra, i també les equivalències amb les uni-tats de superfície ja estudiades. Mostreu també les equivalènci-es entre aquestes.

Competències bàsiques

Competència

social i ciutadana

Comenteu amb l’alumnat la impor-tància de les faenes del camp. As-senyaleu la importància de compa-tibilitzar el desenvolupament humà amb el medi ambient.

Solucions1. • 50.000 m2; 3.400 m2;

2.700 m2

• 0,51 dam2; 12 dam2; 4 dam2

• 9,3 hm2; 1,25 hm2; 0,17 hm2

2. 1,3 ca 5 a 2,6 ha3.400 ca 490 a 4 ha7.000 ca 20 a 1,5 ha

3. • 1/4 de 12 5 33 ha 5 30.000 m2

Ha sembrat 30.000 m2.12 2 3 5 9; 9 ha 5 900 aHi ha sense sembrar 900 a.

• 5 ha i 80 a 5 580 a600 2 580 5 20; 20 a 5 5 2.000 ca. Dedica 2.000 ca més a cultius de regadiu.

4. Garajonay ▶ 389.600 dam2

Doñana ▶ 54.252 hm2

Cabañeros ▶ 40.856 haMonfragüe ▶ 1.811.800 a

175

Altres activitats• Comenteu que els llauradors i ramaders han utilitzat unitats va-

riades al llarg del temps per a expressar la superfície dels seus camps. Aquestes unitats variaven d’unes zones a altres d’Espa-nya. Per exemple: 1 fanega a Àvila eren 3.930,3966 m2; a la Coru-nya s’usava el ferrado, que equivalia a 639,5841 m2; a Alacant, un jornal de terra era 4.804,1533 m2; i a Palència, una obrada era un terreny de 5.383,1876 m2.

• Animeu l’alumnat que investigue sobre unitats de superfície em-prades al seu poble o comarca, a la Comunitat Valenciana o en altres llocs, i que invente problemes a partir d’aquestes unitats de superfície.

132255 _ 0220-0237.indd 233132255 _ 0220-0237.indd 233 11/9/09 07:29:0211/9/09 07:29:02

176

5. ESTUDI EFICAÇ. Completa el quadre

en el quadern.

6. Completa.

0,03 m2 5 ... cm2 0,007 km2 5 ... m2

6.498 dm2 5 ... dam2 3,5 hm2 5 ... cm2

90.000 mm2 5 ... m2 9.200 cm2 5 ... m2

7. Expressa en metres quadrats.

● 7 hm2 i 2 dam2 ● 345 dm2 i 4.500 cm2

● 0,06 km2 i 9 m2 ● 6 m2 i 837.000 mm2

8. Observa i contesta.

● Quantes botelles es poden omplir amb l’aigua del bidó? I amb la del poal?

● Quantes tasses es poden omplir amb l’aigua de la botella?

● Quants poals es necessiten per a omplir el bidó?

9. Calcula.

● Quantes caixes completes es poden omplir amb les taronges del sac? Quants quilos en sobren?

● Quantes bosses es poden omplir amb aquestes taronges que sobren?

km2 m2

Activitats

1. Completa.

● 0,03 km = ... cm 714 cm = ... dm

0,6 hm = ... dm 3,26 dam = ... mm

2.725 mm = ... m 45.000 dm = ... hm

● 1,9 ¬ = ... cl 1.275 ml = ... dl

75 dal = ... kl 0,283 hl = ... cl

6,8 cl = ... ml 7.916 dl = ... dal

● 6.287 g = ... hg 998 mg = ... dag

0,25 t = ... kg 76 cg = ... dg

3.574 kg = ... q 68.500 g = ... kg

2. Expressa en la unitat que s’indica.

9 dam i 5 m 8 dm i 15 cm

1,5 km i 7 hm 7 cm i 99 mm

6 hl i 56 ¬ 7 ¬ i 9 dl

0,7 kl i 9 dal 80 cl i 925 ml

9 kg i 1,5 hg 4,2 dag i 5 cg

0,06 t i 2 kg 8 dg i 625 mg

3. Expressa en la mateixa unitat i ordena com

s’indica.

4. Completa.

● 5 km 1 … m 5 62 hm

● … ¬ 1 0,03 kl 5 1 hl

● 3.980 kg 2 … t 5 19,8 q

51.000 cm 4,9 hm

5.200 dm 0,5 km

205 ¬ 2,5 hl 0,025 kl

25.100 cl 2.600 dl

0,18 t 190 kg 2 q

1.850 hg 19.300 dag

De menor a major

De major a menor

De menor a major

En m

En ¬

En g

1 q i 25 kg

7 kg

375 g

1,2 dal 1,5 ¬ 600 cl 250 ml

10

ET

Altres activitats• Plantegeu activitats que treballen la comprensió del llenguatge i

les equivalències entre les diferents unitats de mesura, similars a les següents:

– Dos decímetres més la meitat d’un metre, quants mil·límetres són?

– Tres vegades un quart de litre, quants mil·lilitres són?– 5.000 mil·ligrams, quants quarts de quilo són?– Un metre quadrat i la desena part d’un hectòmetre quadrat,

quants decímetres quadrats són?

Proposeu a l’alumnat que invente situacions similars i se les inter-canvien per solucionar-les.

Objectius• Repassar els continguts bàsics

de la unitat.

• Aplicar les matemàtiques en di-ferents contextos.

Competències bàsiques

Aprendre a aprendre

Fomenteu en l’alumnat una acti-tud positiva envers l’aprenentatge i els estudis, i animeu-los en tot moment a prendre iniciatives.

Solucions1. • 3.000 cm 71,4 dm

600 dm 32.600 mm2,725 m 45 hm

• 190 cl 12,75 dl0,75 kl 2.830 cl68 ml 79,16 dal

• 62,87 hg 0,0998 dag250 kg 7,6 dg35,74 q 68,5 kg

2. • 95 m 0,95 m2.200 m 0,169 m

• 656 ¬ 7,9 ¬790 ¬ 1,725 ¬

• 9.150 g 42,05 g62.000 g 1,425 g

3. • 4,9 hm , 0,5 km , , 51.000 cm , 5.200 dm

• 2.600 dl . 25.100 cl . . 2,5 hl . 205 ¬ . 0,025 kl

• 0,18 t , 1.850 hg , , 190 kg , 19.300 dag , , 2 q

4. • 1.200 m • 70 ¬ • 2 t

5. 3 100; 3 10.000; 3 1.000.000: 10.000; : 1.000.000; : 100

6. 300 cm2 7.000 m2 0,6498 dam2

350.000.000 cm2 0,09 m2 0,92 m2

7. • 70.200 m2 • 3,9 m2

• 60.009 m2 • 6,837 m2

8. • 1,2 dal 5 12 ¬; 12 : 1,5 5 8Es poden omplir 8 botelles.600 cl 5 6 ¬; 6 : 1,5 5 4Es poden omplir 4 botelles.

176

132255 _ 0220-0237.indd 234132255 _ 0220-0237.indd 234 11/9/09 07:29:0211/9/09 07:29:02

m2

2

m2

m2

m2

g

177

12

10. Resol.

● Carla vol posar el sòcol en una habitació rectangular que fa 6,25 m de llarg i 3,5 m d’ample. L’habitació té una porta de 120 cm d’ample. Quants metres de sòcol necessita?

● Laura ha fet 6 litres de suc i n’ha omplit 4 botelles de 75 cl cada una. La resta l’ha posat en botelles de 500 ml cada una. Quantes botelles de 500 ml ha omplit de suc?

● Sònia va pesar en nàixer 3 kg i 2 hg. La primera setmana es va aprimar 135 g i la segona setmana es va engreixar 230 g. Quants quilos pesava Sònia al final de la segona setmana?

● Per a fer un bescuit, Marina utilitza 0,5 kg de farina, 4 ous de 60 g cada un i 10 dag de sucre. Després, parteix el bescuit en 4 racions iguals. Quants grams pesa cada ració?

● El passeig marítim d’una ciutat té una longitud de 4 km i 550 m. Des de l’eixida, cada 130 m hi ha un fanal. Quants fanals hi ha en tot el passeig?

● Un flascó conté 2 dl de xarop. Penèlope n’ha de prendre 3 cullerades diàries de 5 ml cada una. Té prou xarop per a 15 dies de tractament? Quants centilitres li’n falten o li’n sobren?

● En 2007 es van cremar a Espanya 82.027 ha en incendis forestals. En 2005 es van cremar 1.059 km2 més que en 2007. Quantes hectàrees es van cremar en 2005?

● Cada un dels 52 alumnes de 6é ha pintat en un gran mural una zona de 800 cm2 de superfície. Quina superfície en metres quadrats han pintat en total?

● Pilar ha comprat una parcel·la de 5 ha i 41 a. Li ha costat 12,35 el metre quadrat. Quant li ha costat en total la parcel·la?

ETS CAPAÇ DE… Calcular superfícies en un municipi

L’ajuntament de Vilagran pensa fer diversos canvis al municipi els pròxims anys.

Les extensions de les zones que formen el poble són les que segueixen:

● L’ajuntament vol afegir al nucli urbà

50.000 m2 llevant-los de la zona de pastures. Quantes hectàrees tindrà cada una de les dues zones després del canvi?

● Fa deu anys es van repoblar 95.000 m2

de pastures i ara són pinedes. Quantes àrees de pinedes hi havia abans de la repoblació?

Nucli urbà: 250.000 ca.Pineda: 40 ha.Alzinar: 830 a.Pastures: 92 ha.

UNITAT 12

• 1,5 ¬ 5 1.500 ml1.500 : 250 5 6Es poden omplir 6 tasses.

• 1,2 dal 5 1.200 cl1.200 : 600 5 2Es necessiten 2 poals.

9. • 1 q i 25 kg 5 125 kg125 : 7 ▶ q 5 17; r 5 6Es poden omplir 17 caixes i sobren 6 kg de taronges.

• 6 kg 5 6.000 g; 6.000 : : 375 5 16. Es poden om-plir 16 bosses.

10. • 2 3 (6,25 1 3,5) 2 1,2 5 5 18,3. Necessita 18,3 m de sòcol.

• 6.000 2 4 3 750 5 3.0003.000 : 500 5 6 Ompli 6 botelles de 500 ml.

• 3,2 2 0,135 1 0,230 5 5 3,295Sònia pesava 3,295 kg.

• (500 1 4 3 60 1 100) : : 4 5 210Cada ració pesa 210 g.

• 4.550 : 130 5 35Hi ha 35 fanals.

• 3 3 5 ml 3 15 5 225 ml 55 22,5 cl; 2 dl 5 20 cl 22,5 2 20 5 2,5 No té prou xarop.Li falten 2,5 cl.

• 82.027 1 105.900 5 5 187.927Es van cremar 187.927 ha.

• 52 3 0,08 5 4,16Han pintat 4,16 m2.

• 54.100 3 12,35 5 5 668.135Li ha costat 668.135 €.

Ets capaç de…• 50.000 m2 5 5 ha

250.000 ca 5 25 ha25 1 5 5 3092 2 5 5 87El nucli urbà tindrà 30 ha i la zona de pastures tindrà 87 ha.

• 95.000 m2 5 950 a 40 ha 5 4.000 a 4.000 2 950 5 3.050Hi havia 3.050 a de pinedes.

177

Programa d’ESTUDI EFICAÇ• En acabar la unitat, feu que l’alumnat complete aquesta taula:

Unitat 12 Longitud, capacitat, massa i superfície

El que he aprésEl que he aprés

a fer

U. de longitud. Relacions

U. de capacitat. Relacions

U. de massa. Relacions

Unitats de superfície. Relacions

Unitats agràries

132255 _ 0220-0237.indd 235132255 _ 0220-0237.indd 235 11/9/09 07:29:0211/9/09 07:29:02

178

Solució de problemesRepresentar gràficament la situacióEn molts problemes, representar l’enunciat t’ajudarà a entendre’l millor.

Resol aquests problemes fent un dibuix aproximat de l’enunciat.

Maria és biòloga. Ha mesurat el cap, el tòrax i l’abdomen d’una vespa. La longitud del tòrax és el doble de la longitud del cap i la longitud de l’abdomen és el triple de la longitud del cap. La vespa fa 12 mm. Quant mesura cada part del seu cos?

▶ Representem la situació amb un dibuix. El cap el dibuixem amb un segment. Per a les parts restants repetim aquest segment tantes vegades com indica l’enunciat. La vespa és la suma de les tres parts.

12 mm

En la vespa hi ha 6 parts d’igual longitud, i en total fa 12 mm. Cada una de les parts fa 12 mm : 6 5 2 mm.

Cap ▶ 1 part, fa 1 3 2 mm 5 2 mm. Tòrax ▶ 2 parts, fa 2 3 2 mm 5 4 mm. Abdomen ▶ 3 parts, fa 3 3 2 mm 5 6 mm.

Solució: El cap fa 2 mm; el tòrax, 4 mm; i l’abdomen, 6 mm.

1. Marta té un got, una botella i un pitxer. La capacitat de la botella és el triple de la capacitat del got i la del pitxer, el doble de la capacitat de la botella. La capacitat total dels tres recipients és 250 cl. Quina capacitat té cada un?

2. Mònica, Paula i Joan són cosins. Paula mesura el doble que Mònica i Joan mesura el doble que Paula. La suma de les estatures és 315 cm. Quant mesura cada un?

3. Pere va comprar una nevera en tres terminis. En el segon termini va pagar el doble que en el primer i en el tercer termini va pagar el doble que en els dos anteriors junts. La nevera va costar 810 . Quant va pagar en cada termini?

4. INVENTA. Escriu un problema, semblant als d’aquesta pàgina, que es resolga més fàcilment fent un dibuix de la situació.

Vespa

Cap Tòrax Abdomen

EX

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Altres activitats• Plantegeu als xiquets i xiquetes la situació inversa a la treballada

en la pàgina, és a dir, a partir d’un dibuix que siguen ells els qui inventen el problema corresponent. Demaneu a cada un que pense un problema que es puga resoldre amb aquesta estratègia, que faça un dibuix associat al problema en un paper a banda, i que l’entregue al company. Aquest, a partir del dibuix, ha de generar un problema. Més tard, ambdós han de comparar els seus problemes. Per últim, feu una posada en comú en què valoreu la conveniència dels diferents problemes i dibuixos plantejats.

Objectius• Resoldre problemes represen-

tant gràficament la situació pro-posada en l’enunciat.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Assenyaleu la importància que la representació gràfica reflec-tisca fidelment la situació del problema i d’incloure-hi totes les dades, ja que, d’altra manera, ens induiria a error. Indiqueu que hi ha múltiples representacions possibles per a un mateix proble-ma.

Competències bàsiques Competència cultural

i artística

Animeu els xiquets i xiquetes a fer servir i valorar el dibuix no sols com a mitjà d’expressió i gaudi, sinó també com a mitjà de resolució de problemes, ja que ens permet vore més clarament les situacions.

Solucions1. Got: 1 ↔ Botella: 3 ↔

Pitxer: 6 ↔

Capacitat total: 10 ↔ 5 250 cl

↔ 5 250 cl : 10 5 25 cl

Got: 25 cl.Botella: 3 3 25 cl 5 75 cl.Pitxer: 6 3 25 cl 5 150 cl 5 5 1,5 ¬.

2. Mònica: 1 ↔ Paula: 2 ↔ Joan: 4 ↔

Suma: 7 ↔ 5 315 cm

↔ 5 315 cm : 7 5 45 cmMònica: 45 cm. Paula: 90 cm.Joan: 180 cm 5 1,8 m.

3. 1r termini: 1 ↔ 2n termini: 2 ↔ 3r termini: 6 ↔

Total: 9 ↔ 5 810 €

↔ 5 810 € : 9 5 90 €1r termini: 90 €.2n termini: 180 €.3r termini: 540 €.

4. R. L.

178

132255 _ 0220-0237.indd 236132255 _ 0220-0237.indd 236 11/9/09 07:29:0311/9/09 07:29:03

179

12

EXERCICIS

1. Completa els buits.

● 26 , , 24 , , 22

● +1 . . 21 . . 23

● 23 , 22 , , , +1

2. Escriu les coordenades cartesianes

de cada punt.

3. Esbrina si les fraccions de cada parell són

equivalents.

● 1218

i 23

● 45

i 54

● 67

i 2428

● 1520

i 1824

4. ESTUDI EFICAÇ. Escriu una suma, una resta,

una multiplicació i una divisió de fraccions.

Proposa-les a un company i comprova després

si les ha fet bé.

5. Completa aquesta taula de proporcionalitat.

6. Calcula.

● 9,76 2 2,4 1 2,5 3 1,8

● (3,4 1 10,35) : 5 2 1,99

● 9,3 2 3,12 : (4 2 2,44)

7. Calcula el quocient de cada divisió amb tres

xifres decimals.

● 3 : 7 ● 2 : 9 ● 0,075 : 0,6

PROBLEMES

8. En un bar han venut 60 entrepans i 32 sandvitxos. El 15 % dels entrepans i el 25 % dels sandvitxos eren de tonyina. Han venut més sandvitxos de tonyina o més entrepans de tonyina? Quants més?

9. Ramir ha fet una panada per a 4 persones. Hi ha usat 500 g de farina i 40 g de rent. Demà farà una panada per a 6 persones. Quants grams de farina i de rent necessitarà?

10. Lluís ha recol·lectat pomes. En té 40 caixes de 8,5 kg cada una i 6 sacs de 90 kg cada un. Fica les pomes en bosses de 2,5 kg cada una. Quantes bosses obté?

11. En la sessió de vesprada d’un cine es van omplir dos terços de les 120 butaques. Dels assistents, un 60 % eren dones. Quantes dones van anar a la sessió de vesprada? Quants homes?

12. Miquel tenia un cordell de 8,5 m i el va partir en trossos de 0,5 m. En va guardar cinc trossos i amb la resta va fer un treball per a l’escola. Quants metres de cordell va utilitzar en el treball?

13. Jordi té un mapa fet a escala 1 : 500.000. Ha mesurat la distància entre dos pobles i ha vist que és 4 cm. Quina és la distància real en quilòmetres entre els dos pobles?

Repassa

2 3 7

8 16 36 40

+4

+3

+2

+1

–1

–2

–3

–4

–4 –3 –2 –1 +1 +2 +3 +40

A

B

F

C

E

D

UNITAT 12

Solucions 1. • 26 , 25 , 24 , 23 ,

, 22• 11 . 0 . 21 . 22 .

. 23

• 23 , 22 , 21 , 0 , , 11

2. A ▶ (12, 11) B ▶ (21, 13)C ▶ (23, 0) D ▶ (22, 23)E ▶ (0, 22) F ▶ (13, 22)

3. • Sí • No • Sí • Sí

4. R. L.

5.

6. • 11,86 • 0,76• 7,3

7. • 3 : 7 ▶ q 5 0,428• 2 : 9 ▶ q 5 0,222• 0,075 : 0,6 ▶ q 5 0,125

8. 15 % de 60 5 925 % de 32 5 89 . 8. Ha venut més entre-pans que sandvitxos.9 2 8 5 1. N’ha venut un més.

9. Farina: 500 : 4 3 6 5 750Rent: 40 : 4 3 6 5 60Necessitarà 750 g de farina i 60 g de rent.

10. 40 3 8,5 1 6 3 90 5 880880 : 2,5 5 352Obté 352 bosses.

11. 2/3 de 120 5 8060 % de 80 5 4880 2 48 5 32Van ser 48 dones i 32 ho-mes.

12. 8,5 : 0,5 5 17 17 2 5 5 1212 3 0,5 5 6 Va utilitzar 6 m de cordó.

13. 4 3 500.000 5 2.000.0002.000.000 cm 5 20 kmLa distància real és 20 km.

Altres activitats• Proposeu a l’alumnat que prepare huit qüestions relacionades amb

els continguts estudiats en aquesta unitat (dues sobre cada magnitud treballada) i les respostes corresponents. Cada alumne ha de formu-lar les preguntes que ha preparat a un company, dir-li si les respostes són correctes, i explicar-li’n la resolució en cas que hi haja dificultats o si la resposta és errònia. Exposeu-ne algunes a la classe i aprofiteu per a aclarir els possibles dubtes que hi puga haver.

179

2 3 4 7 9 10

8 12 16 28 36 40

132255 _ 0220-0237.indd 237132255 _ 0220-0237.indd 237 11/9/09 07:29:0311/9/09 07:29:03

180

Àrea de figures planes

En un delfinari fan fotos a totes les persones que hi entren. Després de l’espectacle, les persones que ho desitgen es queden una còpia de la foto, que fa 15 cm de llarg i 10 cm d’ample.

● Quina àrea de paper en centímetres quadrats té cada fotografia?

● En cada full de paper de la impressora caben 4 fotografies i sobren 90 cm2 de paper. Quants centímetres quadrats té cada full en total?

13 RE

U

B

●

●

●

1.

2.

Altres formes de començar• Dibuixeu a la pissarra unes quantes figures planes, indiqueu a

l’alumnat que són representacions de llocs i objectes, i poseu-ne alguns exemples en comú: finques o camps de cultiu, plànols d’ha-bitatges, zones esportives, fotografies o targetes, posts de taules, vidres d’una finestra, etc.

Feu-los preguntes i comentaris perquè comprenguen la utilitat de trobar-ne les àrees i els perímetres. Per exemple:

– Com podem saber quant costa aquesta finca, si ens donen el preu del metre quadrat de sòl?

– Com podem saber quants metres de tanca es necessiten per a tancar aquesta finca?

Objectius• Reconéixer situacions reals en

que hi haja figures planes amb una àrea determinada.

• Recordar conceptes necessaris per a desenvolupar la unitat.

Suggeriments didàctics• Indiqueu a l’alumnat que ob-

serve la fotografia xicoteta del xiquet amb el dofí. Pregunteu quin tipus de polígon és i de-maneu que n’assenyalen el perímetre, en mesuren els cos-tats i el calculen, així com tam-bé que marquen una base de la figura i l’altura corresponent.Tot seguit, recordeu que l’àrea d’aquest rectangle és la super-fície de la fotografia i calculeu-la en comú a la pissarra, amb les mesures preses anteriorment.

• Llegiu el text i resoleu en comú les dues qüestions, amb aques-tes noves dades.

• En Recorda el que en saps, re-passeu les equivalències entre les unitats de superfície (m2, dm2 i cm2) i quines són les ba-ses i les altures d’un triangle i un paral·lelogram.

Competències bàsiques

Interacció

amb el món físic

En comentar la fotografia inicial de la unitat, fomenteu en l’alum-nat la cura i el respecte cap als animals, així com la valoració del que ens aporten: acompanya-ment, entreteniment, ajuda en el treball... Mostreu la importància d’interactuar amb el medi de ma-nera harmònica.

Competència

social i ciutadana

Aprofiteu també la fotografia inici-al per a comentar normes gene-rals de comportament en llocs públics i en activitats grupals.

180

132255 _ 0238-0255.indd 240132255 _ 0238-0255.indd 240 11/9/09 07:28:1011/9/09 07:28:10

181

RECORDA EL QUE EN SAPS

Unitats de superfície

Base i altura d’un triangle i un paral·lelogram

● El centímetre quadrat és la superfície d’un quadrat d’1 cm de costat.

● El decímetre quadrat és la superfície d’un quadrat d’1 dm de costat.

● El metre quadrat és la superfície d’un quadrat d’1 m de costat.

● Per passar d’unes unitats a les altres operem com veus en l’esquema:

● La base és un costat qualsevol. La base AB és el segment morat.

● L’altura és el segment perpendicular a una base o a la seua prolongació, traçat des del vèrtex oposat o d’un dels vèrtexs oposats. L’altura corresponent a la base AB traçada des del vèrtex C és el segment roig.

1. Completa.

8 m2 5 … dm2 600 dm2 5 … m2

0,36 m2 5 … dm2 23.000 dm2 5 … m2

4 dm2 5 … cm2 850 cm2 5 … dm2

3,5 dm2 5 … cm2 7.200 cm2 5 … dm2

9 m2 5 … cm2 54.000 cm2 5 … m2

0,07 m2 5 … cm2 9.000 cm2 5 … m2

2. Calca cada polígon i repassa’n en roig totes les bases.

Després, traça l’altura corresponent a la base AB

des del vèrtex C.

3 10.000

3 100 3 100

: 100 : 100

: 10.000

m2 dm2 cm2

altura

base

D

A B

C

● A obtindre l’àrea de quadrats, rectangles, rombes, romboides, triangles, polígons regulars i cercles.

● A obtindre l’àrea de figures planes compostes a partir d’altres figures d’àrees conegudes.

APRENDRÀS

C

A B

D

A B

C

A B

C D C

A B

Vocabulari de la unitat• Quadrat, rectangle, rombe, romboide, triangle, polígon regular, cer-

cle i semicercle

• Àrea. Centímetre quadrat (cm2), decímetre quadrat (dm2) i metre quadrat (m2)

• Costat (c), base (b), altura (h), diagonal major (D), diagonal menor (d), perímetre (P), apotema (ap) i radi (r)

• El nombre π

Competència cultural

i artística

En llegir el text inicial, dialogueu amb l’alumnat sobre la importàn-cia de les fotografies com a mitjà d’informació, material de record i forma d’expressió artística de realitats culturals i de fenòmens naturals que ens envolten.

SolucionsPàgina inicial

• 15 3 10 5 150 Cada fotografia té 150 cm2.

• 4 3 150 1 90 5 690Cada full té 690 cm2.

Recorda el que en saps

1. 800 dm2 6 m2 36 dm2 230 m2 400 cm2 8,5 dm2 350 cm2 72 dm2 90.000 cm2 5,4 m2 700 cm2 0,9 m2

2.

UNITAT 13

181

A A

AA

C

C C

C

B B

B

D

D

132255 _ 0238-0255.indd 241132255 _ 0238-0255.indd 241 11/9/09 07:28:1111/9/09 07:28:11

182

Àrea del rectangle i del quadrat

● L’àrea del rectangle és el producte ▶ Àrea del rectangle 5 b 3 h

de la base per l’altura.

● L’àrea del quadrat és el costat ▶ Àrea del quadrat 5 c2 elevat al quadrat.

● Quina és l’àrea d’aquest rectangle?

El llarg del rectangle és la base, b, i l’ample és l’altura, h.

Àrea del rectangle 5 llarg 3 ample 5 base 3 altura

Àrea 5 b 3 h 5 4 cm 3 2 cm 5 8 cm2

● Quina és l’àrea d’aquest quadrat?

El quadrat és un tipus especial de rectangle. La base i l’altura són iguals al costat, c.

Àrea del quadrat 5 costat 3 costat 5 costat2

Àrea 5 c 3 c 5 c2 5 3 cm 3 3 cm 5 9 cm2

h 5 2 cm

b 5 4 cm

1. Mesura i calcula l’àrea en centímetres quadrats de cada figura.

2. Fes un croquis i calcula l’àrea en cada cas.

3. Calcula l’àrea de cada quadrat. Després, contesta.

● És el costat del quadrat major el doble del costat del quadrat menor?

● És l’àrea del quadrat major el doble de l’àrea del quadrat menor?

● Un rectangle de 30 cm de base i 20 cm d’altura.

● Un quadrat de 50 cm de costat.

● Una parcel·la rectangular de 12 m de llarg i d’ample, un terç del llarg.

● Un marc de fotos quadrat de 40 cm de perímetre.

1 cm 2 cm

c 5 3 cm

c 5 3 cm

À

1.

Est

CÀ

Altres activitats• Copieu a la pissarra la taula següent, expliqueu que en cada co-

lumna s’indiquen les dades d’un rectangle o un quadrat i demaneu a l’alumnat que calcule, en cada cas, la dada que falta i diga quina forma té la figura.

Objectius• Calcular l’àrea d’un rectangle i

un quadrat coneixent-ne o me-surant-ne els costats.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Dibuixeu a la pissarra un rec-tangle i recordeu com se’n cal-cula l’àrea multiplicant-ne les dimensions. Comenteu llavors la relació del llarg i l’ample amb la base i l’altura. Expli-queu el cas especial del qua-drat, en què la base i l’altura coincideixen amb el costat.

• Escriviu les fórmules a la pis-sarra explicant què significa cada lletra, i demaneu a l’alum-nat que les memoritze.

Competències bàsiques

Tractament

de la informació

L’expressió de les fórmules de l’àrea d’una figura, utilitzant lle-tres associades amb les longi-tuds que es prenen com a dades, ajuda l’alumnat a memoritzar-les, alhora que el prepara per a treba-llar de forma més abstracta.

Solucions1. 4 3 3 5 12. A 5 12 cm2

8 3 2 5 16. A 5 16 cm2

42 5 16. A 5 16 cm2

2. • 30 3 20 5 600 A 5 600 cm2

• 502 5 2.500A 5 2.500 cm2

• 12 : 3 5 4; 12 3 4 5 48A 5 48 cm2

• 40 : 4 5 10; 102 5 100A 5 100 cm2

3. Roig ▶ 12 5 1. A 5 1 cm2

Verd ▶ 22 5 4. A 5 4 cm2

• 1 3 2 5 2. Sí que ho és.• 1 3 2 5/ 4. No; és 4 vega-

des major.

182

Base 8 cm 8 cm

Altura 8 cm 5 cm 2,5 cm

Àrea 25 cm2 10 cm2 3.600 m2

132255 _ 0238-0255.indd 242132255 _ 0238-0255.indd 242 11/9/09 07:28:1211/9/09 07:28:12

183

13

Quina és l’àrea d’aquest rombe?

Fixa't que si tracem paral·leles a cada diagonal del rombe pels vèrtexs, es forma un rectangle amb una base que és igual a la diagonal major del rombe, D, i una altura igual a la diagonal menor, d.

▶L’àrea del rombe és la meitat de l’àrea d’aquest rectangle.

Àrea del rectangle diagonal major 3 diagonal menorÀrea del rombe 5 5 2 2

D 3 d 5 cm 3 2 cm Àrea 5 5 5 5 cm2

2 2

Àrea del rombe

L’àrea del rombe és el producte ▶ de les diagonals dividit entre 2.

D 3 dÀrea del rombe 5 2

1. Mesura i calcula l’àrea. 2. Calcula l’àrea de cada rombe.

● La diagonal major fa 12 cm i la diagonal menor 10 cm.

● La diagonal menor fa 8 cm i la diagonal major 15 cm.

● La diagonal major i la diagonal menor són iguals i totes dues fan 30 cm.

● La diagonal menor fa 6 cm i la diagonal major el doble.

h 5 d 5 2 cm

b 5 D 5 5 cm

d

D

d 5 2 cm

D 5 5 cm

6,2 3 5 8,1 3 20 2,3 3 300

7,8 3 4 4,3 3 70 6,1 3 400

3,4 3 6 5,6 3 40 8,9 3 500

9,7 3 9 9,9 3 50 7,6 3 600

Estima productes aproximant el nombre decimal a les unitats

CÀLCUL MENTAL

3,8 ▶ 43,8 3 7 4 3 7 = 28

Altres activitats• Mostreu un rombe de cartolina i traceu-hi les dues diagonals. Ta-

lleu per la diagonal major i formeu un romboide amb els dos trian-gles.

Assenyaleu a l’alumnat que la base del romboide és la diagonal major del rom-be, i l’altura del romboide és la meitat de la diagonal menor.

Després, raoneu en comú la fórmula de l’àrea del rombe a partir de la del rom-boide.

Àrea 5 b 3 h 5 D 3 d2

5 D 3 d

2

Objectius• Calcular l’àrea d’un rombe, co-

neixent-ne o mesurant-ne les diagonals.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Dibuixeu un rombe a la pissar-ra i demaneu a l’alumnat que calque en un full el rombe de la il·lustració. Llegiu el text i dibui-xeu les paral·leles a cada diago-nal del rombe pels vèrtexs per formar el rectangle, alhora que els xiquets i xiquetes les tracen en el full. Feu-los observar que la diagonal major del rombe és igual que la base del rectangle i la diagonal menor n’és l’altura. Demaneu que retallen el rec-tangle i després el rombe, i que comproven que els quatre trian-gles que completen el rectangle formen el rombe. Raoneu en comú que l’àrea del rombe és la meitat de l’àrea del rectangle.

Solucions1. Verd ▶

4 3 22

5 4

A 5 4 cm2

Rosa ▶ 5 3 2,4

2 5 6

A 5 6 cm2

2. • 12 3 2,42

5 60

A 5 60 cm2

• 15 3 8

2 5 60. A 5 60 cm2

• 30 3 30

2 5 450

A 5 450 cm2

• (6 3 2) 3 6

2 5 36

A 5 36 cm2

Càlcul mental

• 30 160 60032 280 2.40018 240 4.50090 500 4.800

UNITAT 13

183

132255 _ 0238-0255.indd 243132255 _ 0238-0255.indd 243 11/9/09 07:28:1211/9/09 07:28:12

184

Quina és l’àrea d’aquest romboide?

Fixa't que un romboide es pot transformar en un rectangle. N’hi ha prou de tallar per l’altura h i traslladar el triangle obtingut a l’altre costat.

▶El rectangle obtingut té la mateixa base, b, i altura, h, que el romboide.

Àrea del romboide 5 Àrea del rectangle 5 base 3 altura

Àrea 5 b 3 h 5 3 cm 3 2 cm 5 6 cm2

Àrea del romboide

L’àrea del romboide és el producte ▶ Àrea del romboide 5 b 3 h

de la base per l’altura.

h 5 2 cm

b 5 3 cm

h h 5 2 cm

b 5 3 cm

1. Mesura i calcula l’àrea de cada romboide en centímetres quadrats.

Traça’n l’altura quan calga.

2. Calcula l’àrea de cada romboide. Després, contesta.

Quins romboides dels anteriors tenen la mateixa àrea? ●

Dos romboides amb distintes bases i altures, poden tindre la mateixa àrea?

3. Pensa i contesta. Després, calcula i comprova.

Martí té una parcel·la en forma de romboide de 100 m de base i 60 m d’altura. També té un prat romboïdal de 100 m de base i amb el doble d’altura que la parcel·la. L’àrea del prat és el doble de l’àrea de la parcel·la?

A. La base fa 8 cm i l’altura 6 cm. C. La base fa 10 cm i l’altura 4,8 cm.

B. L’altura fa 4 cm i la base 9 cm. D. L’altura fa 12,4 cm i la base 5 cm.

À

1.

2.

3.

Altres activitats• Dibuixeu a la pissarra els romboides ABCD i ABEF i comenteu que

els punts D, C, F i E estan en la mateixa recta.

Demaneu a dos alumnes que repassen la base AB i tracen una al-tura de cada romboide corresponent a aquesta base. Feu-los vore que les dues altures són iguals. Després, pregunteu: Tenen els dos romboides la mateixa àrea? Per què?

Objectius• Calcular l’àrea d’un romboide,

coneixent-ne o mesurant-ne la base i l’altura.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Dibuixeu a la pissarra un romboi-de i mostreu com es pot formar a partir d’aquest un rectangle d’igual base i altura. Demaneu a l’alumnat que calque el romboi-de de la il·lustració, el retalle i trasllade el triangle per cons-truir el rectangle. Llavors, rao-neu amb ells que l’àrea del romboide és igual que l’àrea del rectangle.

Competències bàsiques

Aprendre a aprendre

Comenteu que els continguts ante-riors serveixen de base per a apre-nentatges posteriors: per exemple, el coneixement de la base, l’altura i l’àrea d’un rectangle ens ajuda a calcular l’àrea d’un romboide.

Solucions1. Verd ▶ 2 3 3 5 6. A 5 6 cm2

Blau ▶ 4 3 1,5 5 6. A 5 6 cm2

Roig ▶ 3 3 2 5 6. A 5 6 cm2

Groc ▶ 2 3 2,5 5 5A 5 5 cm2

2. A ▶ 8 3 6 5 48. A 5 48 cm2

B ▶ 9 3 4 5 36. A 5 36 cm2

C ▶ 10 3 4,8 5 48A 5 48 cm2

D ▶ 5 3 12,4 5 62A 5 62 cm2

• Els romboides A i C. Sí que poden tindre la mateixa àrea.

3. Sí, l’àrea del prat és el doble que la de la parcel·la.Parcel·la ▶ 100 3 60 5 5 6.000 m2

Prat ▶ 100 3 120 55 12.000 m2

12.000 5 6.000 3 2

184

D C F E

A B

132255 _ 0238-0255.indd 244132255 _ 0238-0255.indd 244 11/9/09 07:28:1211/9/09 07:28:12

185

Quina és l’àrea d’aquest triangle?

Fixa't que si tracem paral·leles a dos costats del triangle es forma un romboide amb la mateixa base, b, i altura, h, que el triangle de partida.

▶L’àrea del triangle és la meitat de l’àrea d’aquest romboide.

Àrea del romboide base 3 altura Àrea del triangle 5 5 2 2

h 5 2 cm h 5 2 cm

b 5 4 cmb 5 4 cm

13

Àrea del triangle

L’àrea del triangle és el producte de ▶ la base per l’altura dividit entre 2.

b 3 hÀrea del triangle 5 2

1. Mesura i calcula l’àrea de cada triangle en cm2.

Traça’n l’altura quan calga.

2. Calcula l’àrea en cada cas.

Un triangle de 15 cm de base i 10 cm d’altura. ●

Un triangle de 4 cm de base i amb una altura que fa 12 cm més que la base. ●

Una peça de fusta triangular de 30 cm de base i 15 cm d’altura. ●

Una parcel·la triangular de 150 m de base i 70 m d’altura. ●

3. RAONAMENT. Observa i contesta.

Tenen els dos triangles ●

la mateixa base? I igual altura?

Tenen els dos triangles ●

la mateixa àrea? Per què?

4 cm 3 2 cm Àrea

b 3 h5 5 2

5 4 cm2

2

2 cm

2 c

m

Altres activitats• Demaneu a l’alumnat que dibuixe i retalle un rectangle, després

que hi trace una de les diagonals i retalle els dos triangles formats. Indiqueu-los que comproven que els dos triangles són iguals i que, per tant, l’àrea de cada triangle és la meitat que la del rectangle, i una base del triangle i l’altura corresponent són iguals que les del rectangle.

Objectius• Calcular l’àrea d’un triangle, co-

neixent-ne o mesurant-ne la base i l’altura.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Treballeu de forma similar a les pàgines anteriors explicant a la pissarra l’obtenció de la fórmu-la de l’àrea del triangle a partir de l’àrea del romboide.

Per a reforçar

• Aprofiteu l’estratègia referent a inventar altres pràctiques simi-lars de la pàgina 56 del manual d’ESTUDI EFICAÇ i suggeriu als xiquets i xiquetes portar a cap la mateixa comprovació dibui-xant i retallant altres tipus de triangles (rectangles i obtusan-gles).

Solucions1. • (4 3 1,5) : 2 5 3. A 5 3 cm2

• (2 3 2) : 2 5 2. A 5 2 cm2

• (2 3 3) : 2 5 3. A 5 3 cm2

• (4 3 2,5) : 2 5 5. A 5 5 cm2

2. • 15 3 102

5 75

A 5 75 cm2

• 4 3 (4 1 12)2

5 32

A 5 32 cm2

• 30 3 152

5 225

A 5 225 cm2

• 150 3 702

5 5.250

A 5 5.250 m2

3. • Sí que tenen la mateixa base i igual altura.

• Sí que tenen la mateixa àrea.

UNITAT 13

185

132255 _ 0238-0255.indd 245132255 _ 0238-0255.indd 245 11/9/09 07:28:1211/9/09 07:28:12

186

Àrea de polígons regulars

Quina és l’àrea d’aquest polígon regular?

Qualsevol polígon regular es pot descompondre en triangles iguals, unint el centre amb els vèrtexs.

La base de cada triangle és un costat del polígon i l’altura és el segment que uneix el centre del polígon amb el punt mitjà del costat. Aquest segment s’anomena apotema, ap.

L’àrea del polígon és la suma de les àrees de tots els triangles que s’han format.

Fixa’t que, si col·loquem els triangles en fila, l’àrea total és la meitat de l’àrea d’un romboide que té de base el perímetre del polígon, P, i d’altura l’apotema, ap.

Àrea del romboide perímetre 3 apotemaÀrea del polígon regular 5 5 2 2

P 3 ap 10 cm 3 1,4 cmÀrea 5 5 5 7 cm2

2 2

L’àrea d’un polígon regular és el producte del perímetre ▶ per l’apotema dividit entre 2.

P 3 ap

Àrea del polígon regular 5 2

ap

1,4

cm

b 5 2 cm

1. Calcula l’àrea de cada polígon regular,

sabent que l’àrea de cada triangle marcat

és 20 m2.

2. Calcula l’àrea de cada polígon.

Un octàgon regular de 18 cm de costat ●

i 21,7 cm d’apotema.

Un decàgon regular de 150 cm de ●

perímetre i 23,1 cm d’apotema.

6,9

cm

17,3

cm

10 cm 20 cm

ap 5 1,4 cm

2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm

perímetre P

À

Mu

CÀ

1.

Altres activitats• Dibuixeu a la pissarra un quadrat de 4 dm de costat i demaneu a

un alumne que hi trace les dues diagonals.

Mostreu que el punt on es tallen les diagonals és el centre del qua-drat, traceu-hi l’apotema i raoneu en comú que mesura 2 dm.

Demaneu a l’alumnat que en calcule l’àrea de dues maneres: per la fórmula de l’àrea del quadrat i per la fórmula de l’àrea d’un polí-gon regular, i que comproven que s’obté el mateix resultat.

Àrea 5 42 dm2 5 16 dm2

Àrea 5 4 3 4 dm 3 2 dm

2 5 16 dm2

Objectius• Calcular l’àrea d’un polígon re-

gular, coneixent-ne o mesurant-ne el costat i l’apotema.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Dibuixeu un pentàgon regular i demaneu a l’alumnat que cal-que el de la il·lustració. Marqueu el centre del polígon, expliqueu que aquest punt està a la matei-xa distància de tots els vèrtexs i descomponeu-lo en cinc trian-gles iguals. Comenteu que l’àrea del polígon és cinc vegades l’àrea d’un tri-angle i assenyaleu-ne un. Mos-treu que el costat del pentàgon és una base i traceu-hi l’apote-ma i definiu-la, indicant que és l’altura corresponent a aquesta base.Raoneu en comú que, com que els triangles formen la meitat d’un romboide, l’àrea del polí-gon regular és la meitat que la del romboide i la base i l’altura del romboide són el perímetre i l’apotema del pentàgon. Escri-viu-ne la fórmula, expliqueu el significat de P i ap, i demaneu que la memoritzen.

Solucions1. 4 3 20 m2 5 80 m2

6 3 20 m2 5 120 m2

8 3 20 m2 5 160 m2

2. • A 5 (5 3 10) 3 6,9

2 5

5 172,5 cm2

• A 5 (6 3 20) 3 17,3

2 5

5 1.038 cm2

• A 5 (8 3 18) 3 21,7

2 5

5 1.562,4 cm2

• A 5 150 3 23,1

2 5

5 1.732,5 cm2

186

132255 _ 0238-0255.indd 246132255 _ 0238-0255.indd 246 11/9/09 07:28:1311/9/09 07:28:13

187

13

Àrea del cercle

L’àrea del cercle és el producte ▶ Àrea del cercle 5 π 3 r 2 del nombre π pel radi al quadrat.

Fixa't en el dibuix.

El cercle és semblant a un polígon regular amb moltíssims costats.

El perímetre seria la longitud de la circumferència i l’apotema, el radi.

Quina és l’àrea d’aquest cercle?

perímetre 3 apotemaÀrea d’un polígon regular 5

2

longitud de la circumferència 3 radi 2 3 π 3 r 3 r Àrea del cercle 5 5 5 π 3 r 2

2 2

Àrea 5 π 3 r2 5 3,14 3 12 cm2 5 3,14 cm2

Multiplica un nombre decimal per desenes i centenes

0,4 3 60 2,4 3 20 0,4 3 600 1,3 3 200

0,7 3 80 4,1 3 30 0,5 3 700 2,1 3 500

0,8 3 40 5,2 3 40 0,06 3 300 5,02 3 300

0,9 3 30 7,1 3 50 0,08 3 900 4,12 3 400

CÀLCUL MENTAL

3 400

0,3 30 120 3 100 3 4

1 cm

1. Calcula l’àrea i contesta.

Quin és el radi del cercle major? ●

És el doble que el radi del menor?

L’àrea del cercle major, és el doble ●

que l’àrea del menor?

2. Calcula l’àrea.

D’un cercle de 5 cm de radi. ●

D’un cercle de 4 m de diàmetre. ●

D’una finestra circular de 30 cm ●

de radi.

D’una pizza de 14 cm de radi. ●

D’una plaça de 200 m de diàmetre. ●

D’un cràter circular de 300 m ●

de diàmetre.

3 cm

12 cm

▶ ▶

Altres activitats• Demaneu a l’alumnat que calcule la longitud de la circumferència

i l’àrea de diversos cercles, donant-los la mesura del radi o del diàmetre en centímetres exactes.

És important que diferencien bé els dos càlculs: la fórmula que han d’aplicar en cada cas (2 3 π 3 r o π 3 r2) i la unitat de mesura del resultat (cm o cm2).

• Després de calcular l’àrea d’un cercle, proposeu a l’alumnat cal-cular l’àrea d’un semicercle i d’un sector circular d’un quart de cercle.

A 5 π 3 r 2 ▶ A 5 π 3 r 2

2 ▶ A 5

π 3 r 2

4

Objectius• Calcular l’àrea d’un cercle, co-

neixent-ne o mesurant-ne el radi o el diàmetre.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Feu observar als xiquets i xique-tes en la il·lustració que, quan els polígons tenen molts cos-tats, s’assemblen a un cercle. Escriviu a la pissarra i dedu-ïu l’àrea del cercle a partir de l’àrea del polígon regular, rao-nant en comú que el perímetre és similar a la longitud de la circumferència i l’apotema és similar al radi.

• Dibuixeu un cercle a la pissar-ra, indiqueu la mesura del radi i calculeu-ne l’àrea de forma col·lectiva. Després, dibuixeu-ne un altre i indiqueu la mesura del diàmetre. Raoneu en comú que de primer hem de trobar el radi i després l’àrea.

Solucions1. Roig ▶ A 5 3,14 3 32 5

5 28,26 cm2

Verd ▶ 12 : 2 5 6A 5 3,14 3 62 5 113,04 cm2

• r 5 6 cm. Sí.• No, és 4 vegades major.

2. • A 5 3,14 3 52 5 78,5 cm2

• 4 : 2 5 2; A 5 3,14 3 22 5 5 12,56 m2

• A 5 3,14 3 302 5 5 2.826 cm2

• A 5 3,14 3 142 5 5 615,44 cm2

• 200 : 2 5 100; A 5 3,14 3

3 1002 5 31.400 m2

• 300 : 2 5 150; A 5 3,14 3

3 1502 5 70.650 m2

Càlcul mental

• 24 48 240 260 56 123 350 1.050 32 208 18 1.506 27 355 72 1.648

UNITAT 13

187

132255 _ 0238-0255.indd 247132255 _ 0238-0255.indd 247 11/9/09 07:28:1311/9/09 07:28:13

188

Àrea d’una figura plana

Quina és l’àrea de la figura verda?

Per calcular l’àrea de la figura, la dividim en altres figures conegudes l’àrea de les quals siguem capaços de calcular.

En aquest cas la podem dividir en un semicercle, un rectangle i un triangle.

L’àrea total de la figura és la suma de les àrees de les tres figures en què l’hem descompost:

● El semicercle és la meitat d’un cercle de 100 m de diàmetre.

● El rectangle fa 50 m d’altura i 100 m de base.

● El triangle fa 80 m de base (180 m – 100 m) i 50 m d’altura.

Àrea del cercle π 3 r 2 3,14 3 502 m2

Àrea del semicercle 5 5 5 5 3.925 m2

2 2 2

Àrea del rectangle = b 3 h 5 100 m 3 50 m 5 5.000 m2

b 3 h 80 m 3 50 m

Àrea del triangle 5 5 5 2.000 m2

2 2

Àrea de la figura verda 5 3.925 m2 1 5.000 m2 1 2.000 m2 5 10.925 m2

Per a calcular l’àrea d’una figura plana, cal descompondre-la en altres figures les àrees de les quals sapiem calcular i després sumar les àrees d’aquestes figures.

50 m

100 m

50 m

80 m

1. Completa i calcula l’àrea de la zona roja.

● L’àrea de la zona roja és l’àrea del … menys l’àrea del …

● El radi del cercle fa … m. Àrea del cercle 5 …

● El costat del quadrat fa … m. Àrea del quadrat 5 …

● Àrea de la zona roja 5 … 2 … 5 …

10 m

10 m12 m

▶100 m

180 m 100 m

180 m

2.

3.

4.

5.

Altres activitats• Dibuixeu a la pissarra la figura següent i

pregunteu a l’alumnat com es diu la figura circular limitada pels dos cercles.

Calculeu en comú l’àrea de la corona circu-lar, restant l’àrea del cercle menor de l’àrea del cercle major.

Objectius• Calcular l’àrea d’una figura pla-

na descomponent-la en figures d’àrea coneguda.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Utilitzeu dues figures de cartoli-na o del material d’aula per a mostrar a l’alumnat una figura composta per ambdues, o mun-tades l’una sobre l’altra, i rao-neu en comú si l’àrea de la fi-gura formada és la suma o la diferència de les dues inicials.

Per a explicar

• Copieu la figura a la pissarra i raoneu amb l’alumnat que per a calcular-ne l’àrea hem de de-terminar quines figures la com-ponen. Marqueu-les i comenteu que l’àrea total és la suma de l’àrea de cada part. Calculeu-la de forma col·lectiva, raonant en comú que l’àrea del semicercle és la meitat que la del cercle, i com trobem cada mesura.

• Treballeu col·lectivament l’activi-tat 1, comentant que en aquest cas hem de calcular la diferèn-cia de les àrees.

Per a reforçar

• Aprofiteu l’estratègia sobre me-moritzar que hi ha en la pàgina 51 del manual d’ESTUDI EFI-CAÇ i, abans de calcular l’àrea de les figures compostes, de-maneu a l’alumnat que repas-se i escriga la fórmula de l’àrea de cada figura plana treballada en la unitat.

Competències bàsiques

Autonomia

i iniciativa personal

Animeu els xiquets i xiquetes a reflexionar sobre les figures l’àrea de les quals coneixen perquè, en descompondre figures compostes, busquen de manera autònoma les dites figures.

188

5 cm

3 c

m

132255 _ 0238-0255.indd 248132255 _ 0238-0255.indd 248 11/9/09 07:28:1311/9/09 07:28:13

189

13

2. Calcula l’àrea de cada figura.

3. Màrius ha dibuixat aquests logotips per a una empresa. Mesura cada un i calcula’n l’àrea.

4. Obtín l’àrea de cada peça metàl·lica. Traça les línies que cregues necessàries, mesura i opera.

5. RAONAMENT. Dibuixa i contesta.

Traça una figura i descompon-la de diverses formes en polígons d’àrea coneguda. Pots calcular l’àrea d’aquesta figura plana de diverses maneres?

20 m

20

m

23 m

38 m

Altres activitats• Dibuixeu diversos polígons irregulars a la pissarra. Expliqueu que si

tracem en cada polígon totes els diagonals des d’un vèrtex, el polígon queda dividit en triangles. Comenteu que així podem calcular l’àrea de qualsevol polígon, mesurant la base i l’altura dels triangles que el componen i sumant l’àrea de tots.

Proposeu a l’alumnat calcular, per exemple, l’àrea d’aquest trapezi, traçant-hi la diagonal des del vèr-tex A.

UNITAT 13

Solucions1. • L’àrea del cercle menys

l’àrea del quadrat.• El radi fa 12 m.

A 5 3,14 3 122 5 5 452,16 m2

• El costat del quadrat fa 10 m. A 5 102 5 100 m2

• 452,16 2 100 5 352,16 m2

2. • Rectangle: 38 3 20 5 5 760 m2

Rombe: 38 3 20

2 5

5 380 m2

Àrea figura verda: 760 m2 2 380 m2 5 5 380 m2

• Semicercle: r 5 20 : 2 5 10 3,14 3 100

25 157 m2

Triangle: 20 3 23

2 5

5 230 m2

Àrea figura morada: 157 m2 1 230 m2 5 5 387 m2

3. • Quadrat: 42 5 16 cm2

Triangle: 3 3 2

2 5 3 cm2

Àrea taronja: 16 2 3 5 5 13 cm2

• Cercle: 3,14 3 22 5 5 12,56 cm2

Romboide: 2 3 1,5 5 3 cm2

Àrea rosa: 12,56 2 3 5 5 9,56 cm2

• Rectangle: 4 3 2 5 8 cm2

Cercle: 3,14 3 12 5 5 3,14 cm2

Àrea roja: 8 1 3,14 5 5 11,14 cm2

4. • A 5 32 1 2 3 1,5 3 3

2 5

5 13,5 cm2

• A 5 42 1 3 3 4

2 2

2 (3,14 3 22) 5 9,44 cm2

• A 5 42 1 22 1

1 3,14 3 1

2 5 21,57 cm2

• A 5 4 3 2 1 4 3 3

2 5

5 14 cm2

5. R. L. Sí.

189

3 cm

10 cm

4 c

m

A B

D C

132255 _ 0238-0255.indd 249132255 _ 0238-0255.indd 249 11/9/09 07:28:1311/9/09 07:28:13

190

Activitats

1. ESTUDI EFICAÇ. Fes una fitxa que continga

un dibuix de cada tipus de figura plana i la

fórmula per a calcular-ne l’àrea.

2. Calcula l’àrea de cada figura.

3. Calcula l’àrea de cada figura mesurant

les longituds que calga.

4. Fes un croquis de cada figura i calcula’n l’àrea.

Un romboide de 15 cm de base ●

i 30 cm d’altura.

Un triangle de 12 cm de base ●

i 8 cm d’altura.

Un hexàgon regular de 60 cm de perímetre ●

i 8,7 cm d’apotema.

Un cercle de 40 cm de diàmetre. ●

Un quadrat de 36 cm de perímetre. ●

Un rectangle de 20 cm de perímetre ●

i 6 cm de costat major.

5. Obtín l’àrea de cada jardí. Fixa't bé en quines

figures planes el componen.

13 m

20 m

8 m

14 m

16 cm

24 cm

6,8

m

10 m

40 cm17 cm 6 cm

26

,5 m

12 m

12 m

20 m 8 m

16 m

69 m

80 m 56 m

138 m

6.

ET

Altres activitats• Raoneu amb l’alumnat que, per calcular l’àrea de triangles, rectan-

gles i romboides, normalment en prenem com a base el costat ho-ritzontal, però que obtindríem el mateix resultat si en prenguérem una altra base i l’altura corresponent. Proposeu a l’alumnat que ho comproven amb algunes figures del material.

• Indiqueu a l’alumnat que dibuixe un triangle, un quadrilàter, un pen-tàgon i un hexàgon regulars utilitzant com a plantilla les figures del material. Després, expliqueu que si tracem les mediatrius de dos costats d’un polígon regular, el punt on es tallen és el centre del polígon. Demaneu-los que troben el centre de cada polígon, des-prés hi tracen l’apotema i en calculen l’àrea.

Objectius• Repassar els continguts bàsics

de la unitat.

• Aplicar les matemàtiques en di-ferents contextos.

Solucions1. R. L.

2. Rectangle ▶ 20 3 13 5 5 260 m2

Triangle ▶ 14 3 8

2 5 56 m2

Romboide ▶ 24 3 16 5 5 384 cm2

Pentàgon ▶ (5 3 10) 3 6,8

2 5

5 170 m2

Rombe ▶ 40 3 17

2 5 340 cm2

Cercle ▶ 3,14 3 62 5 5 113,04 cm2

3. Quadrat ▶ 2,52 5 6,25 cm2 Rectangle ▶ 3 3 1,5 5 5 4,5 cm2 Romboide ▶ 2 3 2,5 5 5 cm2

Rombe ▶ 2,5 3 2

2 5 2,5 cm2

Triangle ▶ 2,5 3 2

2 5

5 2,5 cm2

Hexàgon ▶ (6 3 1,4) 3 1,2

2 5

5 5,04 cm2

Cercle ▶ 3,14 3 12 5 5 3,14 cm2

4. • A 5 15 3 30 5 450 cm2

• A 5 12 3 8

2 5 48 cm2

• A 5 60 3 8,7

2 5 261 cm2

• A 5 3,14 3 202 5 5 1.256 cm2

• 36 : 4 5 9 A 5 92 5 81 cm2

• 20 2 2 3 6 5 8; 8 : 2 5 4 A 5 6 3 4 5 24 cm2

5. • A 5 20 3 26,5 5 530 m2

A 5 12 3 12

2 5 72 m2

A 5 8 3 26,5

2 5 106 m2

190

132255 _ 0238-0255.indd 250132255 _ 0238-0255.indd 250 11/9/09 07:28:1411/9/09 07:28:14

ea.

re

es

8 m

191

13

6. Traça les línies oportunes, mesura i calcula

l’àrea de cada taulell.

7. Resol.

Quina àrea de gespa hi ha al voltant ●

de la piscina?

Quants arbres es poden plantar en una ●

parcel·la romboïdal de 100 m de llarg i 40 m d’altura si cada arbre necessita una àrea de 8 m2 per a poder créixer?

ETS CAPAÇ DE… Planejar la reforma d’una habitació

Mireia vol pintar ella mateixa el saló de sa casa. Ha anat a una botiga i ha triat un color que li ha agradat. Li han dit que amb 1 quilo d’aquesta pintura pot pintar una superfície de 8 m2.

Mireia ha anat a casa i ha mesurat les parets, el sostre, les portes i les finestres del saló. Totes tenen forma rectangular i les dimensions són les que segueixen:

Calcula quants metres quadrats ha de pintar Mireia i quants pots de pintura ha de comprar.

5 m

5 m

15 m

25 m

PARETS 2 parets de 6 m de llarg i 3 m d’alt ●

2 parets de 4 m de llarg i 3 m d’alt ●

SOSTRE 6 m de llarg i 4 m d’ample ●

PORTA 1 porta de 2 m d’alt i 1,5 m d’ample ●

FINESTRES 2 finestres de 1,5 m d’alt i 1 m d’ample ●

Programa d’ESTUDI EFICAÇ• En acabar la unitat, feu que l’alumnat complete aquesta taula:

Unitat 13 Àrea de figures planes

El que he aprésEl que he aprés

a fer

Àrea de paral·lelograms

Àrea de triangles

Àrea de polígons regulars

Àrea del cercle

Àrea de figures planes

UNITAT 13

A 5 3,14 3 102

2 5

5 157 m2

Àrea f. verda: 530 1 72 1 1 106 1 157 5 865 m2

• A 5 80 3 6 3 69

2 5

5 16.560 m2

A 5 56 3 138 5 7.728 m2

Àrea f. groga: 16.560 1 1 7.728 5 24.288 m2

• A 5 3,14 3 82

2 5

5 100,48 cm2

A 5 3,14 3 42

2 5

5 25,12 cm2

Àrea f. taronja: 100,48 2

2 2 3 25,12 5 50,24 cm2

6. • A 5 1 3 4 5 4 cm2

A 5 4 3 1

2 5 2 cm2

Àrea f. rosa: 4 1 2 3 2 5 5 8 cm2

• A 5 42 5 16 cm2 A 5 3,14 3 12 5 3,14 cm2 Àrea f. groga: 16 2

2 3,14 5 12,86 cm2 • A 5 3 3 1 5 3 cm2

A 5 4 3 2

2 5 4 cm2

A 5 3 3 1

2 5 1,5 cm2

Àrea f. marró: 3 1 4 1 1 1,5 5 8,5 cm2

7. • 25 1 2 3 5 5 3515 1 2 3 5 5 25A 5 35 3 25 5 875 m2 A 5 25 3 15 5 375 m2

875 2 375 5 500 m2

Hi ha 500 m2 de gespa.• A 5 100 3 40 5 4.000 m2

4.000 : 8 5 500. S’hi po-den plantar 500 arbres.

Ets capaç de…2 3 6 3 3 1 2 3 4 3 3 5 60 m2

6 3 4 5 24 m2; 2 3 1,5 5 3 m2

2 3 1,5 3 1 5 3 m2

A 5 60 1 24 2 3 2 3 5 78 m2

Ha de pintar 78 m2.78 : 8 ▶ q 5 9; r 5 6Ha de comprar 10 pots de pintura.

191

132255 _ 0238-0255.indd 251132255 _ 0238-0255.indd 251 11/9/09 07:28:1411/9/09 07:28:14

192

Solució de problemesReduir el problema a un altre problema conegutResol els problemes reduint-los de primer a un problema que sàpies resoldre.

Joan està dissenyant un setiet rectangular de suro que té buits circulars. Quina àrea de suro en cm2 té el setiet que dissenya Joan?

▶ Per a resoldre el problema, el més adequat és reduir-lo de primer a un problema que sapiem fer: calcular l’àrea de cada una de les peces quadrades que componen el setiet.

● L’àrea de cada peça és igual a l’àrea del quadrat menys l’àrea del buit circular.

– Àrea del quadrat 5 c2 5 62 cm2 5 36 cm2

– Àrea del cercle 5 π 3 r2 5 π 3 22 cm2 5 12,56 cm2

– Àrea d’una peça 5 36 cm2 2 12,56 cm2 5 23,44 cm2

● El setiet té 28 (7 3 4) peces.

L’àrea del setiet és igual a 28 vegades l’àrea d’una peça.

– Àrea del setiet 5 28 3 23,44 cm2 5 656,32 cm2

Solució: El setiet que dissenya Joan té 656,32 cm2 de suro.

6 cm

6 cm2 cm

3. INVENTA. Escriu un problema semblant als d’aquesta pàgina que es puga resoldre reduint-lo a un altre de conegut.

1. Manuela ha fet una estora cosint triangles de tela iguals. Quina és l’àrea de la part verda?

2. Pilar ha fet un disseny unint romboides iguals. Quina és l’àrea de la zona morada?

9 cm

4 cm

16 cm

6 cm

EX

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Altres activitats• Demaneu a l’alumnat que dibuixe sobre una quadrícula (per exem-

ple, un full de quadern que els seus quadradets fan 4 mm de cos-tat) una greca o un mosaic format per la repetició de dues o tres figures iguals: triangles, quadrats, rectangles o romboides.

Reproduïu a la pissarra alguns dels dibuixos i calculeu-ne de forma col·lectiva l’àrea total, multiplicant l’àrea de cada figura pel nombre de figures que hi ha i sumant els productes resultants.

Objectius• Resoldre problemes reduint-los

de primer a un altre problema conegut.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Plantegeu el problema resolt, dibuixant el setiet a la pissarra. Comenteu amb els xiquets i xi-quetes que calcular l’àrea de la zona taronja de la figura és molt difícil i animeu-los a plan-tejar formes de fer-ho més sen-zilles. Feu-los notar que hi ha una figura més senzilla repeti-da i resoleu el problema de ma-nera col·lectiva a la pissarra, seguint els passos indicats en el llibre.

• És possible que plantegen una altra manera de solucionar-lo: calcular l’àrea total del rectan-gle (de costats 4 3 6 cm i 7 3

3 6 cm) i restar-ne l’àrea dels cercles (28 3 π 3 22 cm2 ). De-maneu-los que comproven que obtenen el mateix resultat.

Competències bàsiques

Competència lingüística

A l’hora de resoldre problemes, fo-menteu en l’alumnat l’expressió cla-ra i precisa del raonament seguit.

Solucions

1. Un triangle: A 5 4 3 9

2 5

5 18 cm2

A 5 30 3 18 cm2 5 540 cm2

L’àrea verda és 540 cm2.

2. 6 : 2 5 3; 16 : 4 5 4

Un romboide: A 5 3 3 4 5 5 12 cm2

A 5 20 3 12 cm2 5 240 cm2

L’àrea morada és 240 cm2.

3. R. L.

192

132255 _ 0238-0255.indd 252132255 _ 0238-0255.indd 252 11/9/09 07:28:1411/9/09 07:28:14

193

13

EXERCICIS

1. Descompon aquests nombres.

5.003.712 ● ● 3.770.908

81.104.670 ● ● 70.067.103

197.051.030 ● ● 702.160.007

2. Escriu el valor de posició de les xifres 7

en cada nombre.

7.501.713 70.070.815 701.207.084

3. Escriu amb xifres.

Huitanta milions onze mil trenta-dos. ●

Cent sis milions dos-cents tres mil ●

huit-cents vint-i-quatre.

Set quarts. ●

Tres setzens. ●

Quinze unitats i dotze mil·lèsimes. ●

Set unitats i quatre centèsimes. ●

Seixanta-tres coma dotze. ●

4. Escriu com es llig cada nombre.

8.103.026 40.020.037 130.800.470 ●

69

●

1523

178

95

840

13,25 0,025 8,9 4,103 ●

5. ESTUDI EFICAÇ. Escriu una sèrie de

nombres i una altra sèrie proporcional.

Explica com ho has fet i com obtindre

la primera a partir de la segona.

6. Ordena de menor a major cada grup.

23.675.014 30.205.126 23.700.016 ●

23.680.987 24.013.568

25

●

810

96

1415

28,09 29,1 28,86 27,99 30,3 ●

7. Completa.

16 km 5 … dam 4.300 cm 5 … m

4,5 mm 5 … dm 0,56 hm 5 … m

1,36 ¬ 5 … ml 5.800 dl 5 … hl

6.134 cl 5 … ¬ 4,75 dal 5 … dl

3,06 t 5 … kg 9,120 kg 5 … g

9,15 kg 5 … hg 0,095 hg 5 … cg

PROBLEMES

8. La longitud d’una marató són 42 km, 1 hm i 95 m. La part final d’una marató va consistir a córrer en un estadi 7 voltes a una pista de 400 m de longitud. Quina distància s’havia corregut abans d’arribar a l’estadi?

9. Dels 300 hostes d’un hotel, dos cinquens són francesos, un 15 % són alemanys i els restants són d’altres països. Quants hostes de l’hotel no són ni francesos ni alemanys?

10. En una fàbrica s’envasen 1.500 kg d’olives en 6 hores. Quant de temps es tardarà a envasar-ne 2.500 kg? Quants kg d’olives s’envasaran en 8 hores?

11. Lola compra uns pantalons per 50 . A l’hora de pagar en caixa li diuen que li rebaixen un 10 %. Després, al preu rebaixat li afigen el 16 % d’IVA. Quant paga Lola pels pantalons?

Repassa

Repàs en comú• Formeu diversos grups i demaneu als membres de cada grup que

dibuixen en cartolina cada una de les figures planes que s’han treballat en la unitat, utilitzant el regle, l’escaire o cartabó i el com-pàs. (Aconselleu-los que, com a polígon regular, tracen un hexàgon i recordeu-los com es dibuixa a partir d’una circumferència, amb la mesura del radi). A continuació, han d’escriure per un dels costats de cada figura la fórmula de la seua àrea i, després, mesurar les dades necessàries i calcular-la.Al final, podeu arreplegar les figures fetes i utilitzar-les individual-ment o en grup per a reforçar i repassar, o per a calcular l’àrea de figures compostes, col·locant dues figures juntes o muntades.

UNITAT 13

Solucions 1. R. M. • 5 U de milió 1

1 3 UM 1 7 C 1 1 D 1 2 U

2. • 7.000.000 U i 700 U• 70.000.000 U i 70.000 U• 700.000.000 U i 7.000 U

3. • 80.011.032 • 106.203.824

• 7/4 • 3/16• 15,012 • 7,04 • 63,12

4. • Huit milions cent tres mil vint-i-sis; quaranta milions vint mil trenta-set; cent trenta milions huit-cents mil quatre-cents setanta.

• Sis novens; quinze vint-i-tre-sens; dèsset huitens; nou cinquens; huit quarantens.

• 13 coma 25; 0 coma 025;8 coma 9; 4 coma 103.

5. R. L.

6. • 23.675.014 , , 23.680.987 , , 23.700.016 , , 24.013.568 , , 30.205.126

• 2/5 , 8/10 , 14/15 , , 9/6

• 27,99 , 28,09 , , 28,86 , 29,1 , 30,3

7. 1.600 dam 43 m0,045 dm 56 m1.360 ml 5,8 hl61,34 ¬ 475 dl3.060 kg 9.120 g91,5 hg 950 cg

8. 42.195 2 2.800 5 39.395S’havien corregut 39.395 m.

9. 2/5 de 300 5 12015 % de 300 5 45300 2 (120 1 45) 5 135No ho són 135 hostes.

10. 1.500 : 6 5 2502.500 : 250 5 10S’hi tarda 10 h.8 3 250 5 2.000Se n’envasaran 2.000 kg.

11. 50 2 10 % de 50 5 4545 1 16 % de 45 5 52,2Lola paga 52,20 €.

193

132255 _ 0238-0255.indd 253132255 _ 0238-0255.indd 253 11/9/09 07:28:1411/9/09 07:28:14

254

1. Observa el gràfic de sectors i contesta. A una sessió d’un cine amb 4 sales van anar 720 espectadors en total.

● A quina sala hi va haver més espectadors? I menys?

● Hi va haver menys espectadors a la sala 2 o a la sala 3?

● Quants espectadors hi va haver en cada una de les sales?

194

Tractament de la informacióGràfics de sectors

S’ha fet un estudi sobre les causes de 1.080 incendis forestals. Les dades s’han representat en un diagrama de sectors.

En un gràfic de sectors representem les dades amb sectors circulars.

● Quina va ser la causa d’incendi més comuna? Van ser les distraccions, ja que és el sector circular més gran en el gràfic.

● Hi va haver més incendis intencionats o per fenòmens naturals?

N’hi va haver més per fenòmens naturals; el seu sector circular és més gran que el que correspon als incendis intencionats.

● Quants incendis forestals hi va haver per distraccions?

1r Calculem els incendis que representa cada grau del gràfic.

Nombre d’incendis

Graus del cercle =

1.080 360 = 3 ▶ Cada grau representa 3 incendis.

2n Mesurem els graus del sector rosa, el de les distraccions, i calculem el nombre d’incendis multiplicant els graus per 3.

El sector mesura 180º ▶ Representa 180 3 3 5 540 incendis.

Hi va haver 540 incendis forestals per distraccions.

Distraccions

Fenòmens naturals

Intencionats

Sala 1

Sala 2

Sala 3

Sala 4

3.

2.

4.

Objectius• Interpretar i representar gràfics

de sectors.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Dibuixeu a la pissarra cercles dividits en sectors de colors di-ferents. Demaneu a uns quants alumnes que isquen, els me-suren amb el transportador del material d’aula i, en acabant, els classifiquen de major a menor.

Per a explicar

• Mostreu a l’alumnat que en els gràfics de sectors dividim el cercle en sectors circulars les amplituds dels quals són pro-porcionals al nombre de dades de cada grup. La interpretació qualitativa és senzilla, per mera comparació d’amplituds, mentre que la interpretació quantitativa és més complexa. Comenteu l’exemple resolt i comproveu en comú la solució de l’activitat 1.

• La representació dels gràfics de sectors té certa comple-xitat. Porteu a cap en comú l’activitat 3, mostrant els pas-sos que s’han de seguir. As-senyaleu que la suma de tots els sectors circulars ha de ser el cercle complet. Corregiu en comú les activitats 3 i 4.

• Treballeu de nou la interpreta-ció d’aquests gràfics una ve-gada obtinguts i corregits els gràfics de les activitats 3 i 4.

Competències bàsiques

Tractament

de la informació

Assenyaleu que els gràfics de sec-tors ens ofereixen informació qua-litativa (comparant l’amplitud dels sectors) i quantitativa (mesurant cada sector i calculant el nombre de dades que representa).

194

132255 _ 0238-0255.indd 254132255 _ 0238-0255.indd 254 11/9/09 07:28:1511/9/09 07:28:15

255

En una festa de disfresses van anotar de què es van disfressar els 60 assistents.

195

3. Representa en un gràfic de sectors la informació de la taula.

2. Llig la informació i representa-la en un gràfic de sectors.

Per decidir el color de l’envàs d’un nou producte de perfumeria es va fer una enquesta a 180 persones sobre el color que preferien i s’obtingueren aquests resultats:

1r Suma totes les dades: 80 1 60 1 40 5 180

2n Calcula els graus que corresponen a cada persona de l’enquesta:

Graus del cercle Nombre de persones

= 360 180 = 2 ▶ A cada persona li corresponen 2 graus.

3r Calcula els graus del sector circular corresponent a cada color.

80 3 2º 5 160º ▶ Un sector de 160º serà de color blau.

60 3 2º 5 … ▶ Un sector de … serà …

… 3 … 5 … ▶ Un sector de …

4t Traça una circumferència i, amb un transportador i un regle, dibuixa el sector circular corresponent a cada color.

En un hotel hi ha allotjades 120 persones de països de quatre continents. Es distribueixen de la manera següent:

– 80 són de països d’Europa.

– 15 són de països d’Àfrica.

– 20 són de països d’Amèrica.

– 5 són de països d’Àsia.

4. Llig i representa la informació en un gràfic de sectors.

Color Blau Roig Groc

Nombre

de persones80 60 40

Disfressa Vampir Animal Superheroi Astronauta

Nombre de

persones30 12 10 8

Blau

Roig

Groc

Blau

Roig

Groc

Solucions

1. • Més espectadors: sala 1. Menys: sala 4.

• N’hi hagué menys a la sala 3.

• 1 grau = 2 espectadors.Sala 1: 260 espectadors.Sala 2: 200 espectadors.Sala 3: 160 espectadors.Sala 4: 100 espectadors.

2. Sector roig: 120º.Sector groc: 80º.

3. 1 assistent = 6 graus.

4. 1 persona = 3 graus.

195

Vampir

Animal

Superheroi

Astronauta

Europa

Àfrica

Amèrica

Àsia

132255 _ 0238-0255.indd 255132255 _ 0238-0255.indd 255 11/9/09 07:28:1511/9/09 07:28:15

196

Cossos geomètrics. Volum

Un baló és un cos geomètric format per polígons de cuir units els uns amb els altres. Quan l’inflem, adopta una forma esfèrica.

En el baló desinflat hi ha 12 pentàgons i 20 hexàgons units pels costats, de manera que cada pentàgon està voltat completament d’hexàgons.

● Quantes cares té el baló de futbol? Són iguals tots els polígons?

● Cada pentàgon, amb quants hexàgons comparteix costats?

● Cada costat dels polígons que formen el baló, a quants polígons pertany?

● A quants polígons pertany cada vèrtex?

14 RE

s

1.

2.

C

Altres formes de començar• Demaneu als xiquets i xiquetes (o els en podeu proporcionar, si

ho preferiu) que busquen i porten a classe diferents fotografies d’escultures o elements arquitectònics (edificis, ponts...) amb es-tructures fetes a base de cossos geomètrics. Comenteu-ne amb ells les característiques, les diferències, la funcionalitat...

• Sol·liciteu a l’alumnat que modele amb plastilina diferents cossos geomètrics (que coneguen o no). Comenteu després les caracterís-tiques i els elements d’alguns.

Objectius• Reconéixer situacions reals en

què hi haja cossos geomètrics.

• Recordar conceptes necessaris per a desenvolupar la unitat.

Suggeriments didàctics• Sol·liciteu als xiquets i xiquetes

que lligen el text i resolguen en comú les activitats a partir de la fotografia del baló. Demaneu-los que aporten més exemples d’al-tres objectes quotidians formats per la unió de diferents polígons (capsa de sabates, dau...).

• En Recorda el que en saps, re-passeu amb l’alumnat els cos-sos geomètrics que ja coneixen i els seus elements. Verifiqueu que tenen clars els conceptes abans de passar a treballar amb la resta de la unitat.

Competències bàsiques

Interacció

amb el món físic

Mostreu que el coneixement dels cossos geomètrics ens permet in-terpretar més bé la realitat i poder interactuar-hi de manera més efi-caç.

Aprendre a aprendre

Indiqueu a l’alumnat que ja coneix d’altres cursos molts conceptes relacionats amb els cossos geo-mètrics. Recordeu-los que l’apre-nentatge és un procés continu i que cal fonamentar bé els conei-xements per a poder avançar amb seguretat en aprenentatges pos-teriors.

Competència

social i ciutadana

En comentar la fotografia, feu-los vore la importància que té seguir les regles en les competicions es-portives i de l’esport com a mitjà de desenvolupament personal i social.

196

132255 _ 0256-0269.indd 258132255 _ 0256-0269.indd 258 11/9/09 07:32:0711/9/09 07:32:07

197

Cilindre Con Esfera

RECORDA EL QUE EN SAPS

Prismes i piràmides

Els prismes i les piràmides són cossos geomètrics les cares dels quals són totes polígons. Els prismes tenen dues cares paral·leles i iguals, anomenades bases, i la resta de les cares són paral·lelograms. Les piràmides tenen una base i la resta de cares són triangles.

1. Classifica cada cos en prisma o piràmide i escriu

quantes cares, vèrtexs i arestes té.

2. Quines afirmacions són errònies? Explica per què.

Tots els cossos redons tenen vèrtexs. ●

Un cilindre té dues bases que són polígons iguals. ●

La base d’una esfera és un cercle. ●

Un con té un únic vèrtex. ●

● A reconéixer poliedres i els seus elements.

● A utilitzar la relació entre volum i capacitat.

● Com calcular el volum d’un cos amb un cub unitat.

● A conéixer i utilitzar les unitats de volum i a passar d’unes a altres.

● A calcular el volum d’ortoedres i cubs.

APRENDRÀS

superfície corba

radi

Cossos redons

Els cossos redons són cossos geomètrics que tenen superfícies corbes.

base

superfície lateral corba

radi

Prisma hexagonal Piràmide hexagonal

basevèrtex o cúspide

aresta lateral

cara lateral

vèrtex

basearesta bàsica

cara lateral

vèrtex

aresta bàsica

aresta lateral

vèrtex

base

radi

superfície lateral corba

Vocabulari de la unitat• Prisma, piràmide, cos redó

• Base, cara, aresta, vèrtex, radi

• Cub, tetraedre, octaedre, icosaedre, dodecaedre

• Cub unitat

• Metre cúbic (m3 )

• Decímetre cúbic (dm3)

• Centímetre cúbic (cm3)

SolucionsPàgina inicial

• 12 1 20 5 32. Té 32 cares. No són tots els polígons iguals, n’hi ha de dos tipus: pentàgons i hexàgons.

• Cada pentàgon comparteix cos-tats amb cinc hexàgons.

• Cada costat pertany a dos polí-gons.

• Cada vèrtex pertany a tres polí-gons.

Recorda el que en saps

1. • Piràmide pentagonal.Té 6 cares, 6 vèrtexs i 10 arestes.

• Prisma hexagonal.Té 8 cares, 12 vèrtexs i 18 arestes.

• Prisma triangular.Té 5 cares, 6 vèrtexs i 9 arestes.

2. Són errònies:

• Tots els cossos redons tenen vèrtexs. Perquè sols té vèrtex el con.

• Un cilindre té dues bases que són polígons iguals. Per-què les dues bases iguals del cilindre són cercles, no polígons.

• La base d’una esfera és un cercle. Perquè l’esfera no té base.

UNITAT 14

197

132255 _ 0256-0269.indd 259132255 _ 0256-0269.indd 259 11/9/09 07:32:0811/9/09 07:32:08

198

Els poliedres són cossos geomètrics les cares dels quals són totes polígons. Els elements d’un poliedre són cares, arestes i vèrtexs.

Ja coneixes dos tipus de poliedres: els prismes i les piràmides; però hi ha altres poliedres, com el cos blau i el cos groc.

Els poliedres regulars són aquells les cares dels quals són totes polígons regulars iguals i en cada vèrtex coincideix el mateix nombre de cares. Tan sols hi ha cinc poliedres regulars.

Tetraedre Octaedre Icosaedre Cub Dodecaedre

4 cares 8 cares 20 cares 6 cares 12 cares que són que són que són que són que són triangles triangles triangles quadrats pentàgons regulars regulars regulars regulars

Poliedres. Poliedres regulars

1. Escriu quins d’aquests cossos són poliedres.

2. Compta les cares, els vèrtexs i les arestes de cada poliedre.

● Quins poliedres dels anteriors són prismes? Quin és una piràmide?

F G H I

A B C D E

caraaresta

vèrtex

3.

4.

5.

Cal

CÀ

Altres activitats• Formuleu-los preguntes similars a les següents i demaneu-los que

escriguen les respostes en el quadern d’una manera raonada:

– Pot un prisma tindre solament dues cares laterals?

– Pot tindre un prisma dos desenvolupaments diferents?

– Pot tindre una piràmide menys de quatre vèrtexs?

– Pot un prisma tindre un nombre senar de vèrtexs?

– Pot una piràmide tindre un nombre senar d’arestes?

Objectius• Reconéixer poliedres i els seus

elements.

• Identificar els cinc poliedres re-gulars i els seus elements.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Classifiqueu amb l’alumnat els cossos geomètrics del materi-al d’aula. Indiqueu que, a més d’aquests, hi ha altres tipus de cossos geomètrics que estudi-aran ara.

Per a explicar

• Deixeu clar què és un poliedre i quins són els seus elements, i mostreu que tots els prismes i piràmides són poliedres (però no a la inversa).

• En treballar els poliedres re-gulars assenyaleu que només existeixen els cinc que s’indi-quen en el llibre. Subratlleu que han de complir-se simultà-niament dues condicions: que totes les cares siguen polígons regulars iguals i que s’unisquen el mateix nombre de cares en cada un dels vèrtexs.

Per a reforçar

• Aprofiteu l’estratègia referent a memoritzar de la pàgina 51 del manual d’ESTUDI EFICAÇ i demaneu als xiquets i xiquetes que memoritzen la definició de poliedre, els seus elements i els cinc poliedres regulars.

Competències bàsiques Competència cultural

i artística

Demaneu a l’alumnat que dibuixe sobre quadrícula composicions artístiques lliures en què facen servir diferents tipus de poliedres. Comenteu-ne algunes en comú. Assenyaleu la presència dels cos-sos geomètrics en les representa-cions artístiques al llarg de la his-tòria.

198

132255 _ 0256-0269.indd 260132255 _ 0256-0269.indd 260 11/9/09 07:32:0811/9/09 07:32:08

199

14

3. Escriu el nom del prisma o piràmide a què pertany cada desenvolupament.

4. Contesta.

Quins dos desenvolupaments de l’activitat 3 pertanyen a poliedres regulars? Com es diuen?

5. Calcula el nombre de cares, vèrtexs i arestes de cada poliedre regular i completa la taula.

▶ Exemple:

Té 4 cares, amb 3 costats cada una. ▶ En total hi ha

4 3 32

5 6 arestes.Cada aresta pertany a 2 cares.

Té 4 cares, amb 3 vèrtexs cada una. ▶ En total hi ha 4 3 3

3 5 4 vèrtexs.

Cada vèrtex pertany a 3 cares.

Calcula el 10 % o multiplica per 0,1: divideix entre 10

10 % de 7 10 % de 30 10 % de 400

10 % de 6 10 % de 90 10 % de 356

0,1 3 9 0,1 3 75 0,1 3 6.000

0,1 3 8 0,1 3 49 0,1 3 8.700

CÀLCUL MENTAL

10 % de 82 ▶ 82 : 10 = 8,2

0,1 3 82

tetraedre

Poliedre regular Nombre de cares Nombre d’arestes Nombre de vèrtexs

Tetraedre

Octaedre

Icosaedre

Cub

Dodecaedre

Altres activitats• Mostreu els cossos geomètrics de plastilina creats pels xiquets i

xiquetes en l’apartat Altres formes de començar de la pàgina 196 (o els cossos del material d’aula), i demaneu-los que els classifiquen i indiquen si són poliedres, cossos redons, prismes, piràmides… Treballeu també el reconeixement i recompte dels elements.

• Ensenyeu a la classe un desenvolupament del material d’aula. De-maneu a l’alumnat que raone a quin cos pot correspondre i que n’assenyale alguns elements (bases, cares laterals…). Després, comproveu en comú que aquest desenvolupament correspon al dit cos.

Solucions1. Són poliedres: A, C, D, i I.

2. Verd ▶ 5 cares, 6 vèrtexs i 9 arestes.Blau ▶ 7 cares, 7 vèrtexs i 12 arestes.Marró ▶ 6 cares, 8 vèrtexs i 12 arestes.Taronja ▶ 8 cares, 12 vèrtexs i 18 arestes.Morat ▶ 11 cares, 13 vèrtexs i 22 arestes.• Són prismes els poliedres

marró i taronja. És una pirà-mide el poliedre blau.

3. Verd ▶ Piràmide triangular.Taronja ▶ Prisma hexagonal.Groc ▶ Prisma quadrangular.Morat ▶ Piràmide pentagonal. Blau ▶ Prisma triangular.

4. Pertanyen a poliedres regulars el verd i el groc. Són tetraedre i cub, respectivament.

5. • Tetraedre: 4 cares, 6 ares-tes i 4 vèrtexs.

• Octaedre: 8 cares,8 3 3

2 5 12 arestes

i 8 3 3

4 5 6 vèrtexs.

• Icosaedre: 20 cares,20 3 3

2 5 30 arestes

i 20 3 3

5 5 12 vèrtexs.

• Cub: 6 cares,6 3 4

2 5 12 arestes

i 6 3 4

3 5 8 vèrtexs.

• Dodecaedre: 12 cares, 12 3 5

2 5 30 arestes

i 12 3 5

3 5 20 vèrtexs.

Càlcul mental

• 0,7 3 40 0,6 9 35,6 0,9 7,5 600 0,8 4,9 870

UNITAT 14

199

132255 _ 0256-0269.indd 261132255 _ 0256-0269.indd 261 11/9/09 07:32:0811/9/09 07:32:08

200

B

Volum amb un cub unitat

El volum d’un cos és la quantitat d’espai que ocupa. En aquest curs es calcularà el volum de cubs i ortoedres (un ortoedre és un prisma amb les cares totes rectangles).

Per calcular el volum d’un ortoedre o un cub, es pren com a unitat de mesura un cubet i es compta el nombre de cubets de cada cos.

Cada capa d’aquest ortoedre

▶ Hi ha 4 3 2 3 3 5 24 cubets.

té 4 3 2 cubets. Volum 5 24

L’ortoedre té 3 capes d’alt.

Cada capa d’aquest cub

▶ Hi ha 2 3 2 3 2 5 23 5 8 cubets.

té 2 3 2 cubets. Volum 5 8

El cub té 2 capes d’alt.

2. Calcula el volum de l’ortoedre usant cada cub unitat.

Ortoedre

1. Compta els cubets i calcula el volum.

AC

D

E

F

Volum 5 …

Volum 5 …

Unitat ▶

Unitat ▶

● Per què els valors numèrics que obtens són diferents?

V

1.

2.

3.

Altres activitats• Dibuixeu a la pissarra dos cossos formats per 3 3 2 3 4 cubets

i per 2 3 6 3 2 cubets, per exemple. Sol·liciteu a l’alumnat que efectue el càlcul del volum dels dos cossos.

Mostreu que el volum de tots dos cossos és el mateix, però que les seues dimensions són diferents. Després, demaneu-los que troben, i si pot ser també dibuixen en els quaderns, altres cossos formats per cubets el volum dels quals siga 24.

Objectius• Conéixer el concepte de volum i

d’ortoedre.

• Calcular el volum d’un cos usant un cub unitat.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Deixeu clara la definició de vo-lum i com es pot calcular el vo-lum d’un cos (en concret s’hi treballa amb ortoedres per la seua facilitat) comptant cubs unitat. Mostreu la similitud amb el càlcul d’àrees amb un qua-drat unitat. Feu insistència en el fet que el valor numèric del volum depén de la unitat de mesura considerada (tot i que el volum del cos és sempre igual).

Competències bàsiques

Tractament

de la informació

Assenyaleu que en expressar el volum d’un cos amb un cub unitat estem usant dues informacions: la numèrica, donada pel nombre de cubs, i la gràfica, donada pel cub unitat considerat.

Solucions1. A ▶ 6 3 3 3 2 5 36 cubets.

B ▶ 33 5 27 cubets.C ▶ 4 3 4 3 2 5 32 cubets. D ▶ 43 5 64 cubets.E ▶ 7 3 3 3 2 5 42 cubets. F ▶ 6 3 3 3 4 5 72 cubets.

2. Unitat ▶ V 5 24

Unitat ▶ V 5 3

• El resul tat numèr ic no és coincident perquè s’ha utilitzat una unitat de mesu-ra diferent. Si ho creieu con-venient comenteu que, com que l’ortoedre és el mateix, el seu volum també és igual.

200

132255 _ 0256-0269.indd 262132255 _ 0256-0269.indd 262 11/9/09 07:32:0911/9/09 07:32:09

201

14

Volum i capacitat

1. Calcula el volum de cada cos. Després, calcula’n la capacitat si l’aresta de cada cub

fa 1 dm.

Volum 5 … Volum 5 … Volum 5 … Capacitat 5 … ¬ Capacitat 5 … ¬ Capacitat 5 … ¬

● Quina seria la capacitat de cada cos anterior si l’aresta de cada cub fóra d’1 m?

2. Resol.

● Cada contenidor de la figura té una capacitat d’1 kl. Si cal emmagatzemar 40 kl, quants contenidors queden per emmagatzemar?

● En un depòsit cúbic d’1 m d’aresta s’han abocat 800 ¬ de llet. Què té més volum: la part plena del depòsit o la buida?

● D’un recipient cúbic d’1 dm d’aresta ple d’aigua se n’han abocat 60 cl a un pitxer. On hi ha ara més aigua: al recipient o al pitxer?

3. RAONAMENT. Pensa i contesta.

Maties ha abocat 500 ¬ d’aigua en un recipient cúbic d’1 m d’aresta.

● Quina és la capacitat del recipient?

● Coincideix la capacitat amb la quantitat de líquid que hi ha dins el recipient?

La capacitat d’un recipient equival al seu volum.

La capacitat d’un depòsit en forma de cub d’1 m d’aresta és 1 quilolitre (1 kl), és a dir, 1.000 litres.

La capacitat d’un recipient en forma de cub d’1 dm d’aresta és 1 litre (1 ¬).

1 m

1 ¬ 1 dm

1 kl

Altres activitats• Proposeu l’activitat següent per treballar la idea que cossos dife-

rents poden tindre la mateixa capacitat.

Dibuixeu a la pissarra uns quants cossos diferents formats per cubs unitat i que consten tots del mateix nombre de cubets. Indi-queu que l’aresta de cada cubet fa 1 dm (o 1 m) i demaneu a l’alumnat que compte els cubets i calcule el volum i la capacitat dels cossos.

Posteriorment, podeu proposar-los que siguen ells mateixos els qui facen el dibuix d’altres cossos que tinguen la mateixa capacitat.

Objectius• Relacionar capacitat i volum

(decímetre cúbic amb litre i me-tre cúbic amb quilolitre).

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Deixeu clara l’equivalència entre el volum d’un recipient i la seua capacitat. Comenteu els casos de decímetre cúbic - litre i metre cúbic - quilolitre. Indiqueu que en la realitat es parla indistinta-ment de l’un o de l’altre. Feu en comú algun cas de l’activitat 1, ja que l’alumnat sol tindre pro-blemes per a comptar els cubs que no veu.

• Indiqueu que la capacitat d’un recipient (o el seu volum) sols coincideix amb la quantitat de líquid que conté quan està ple. Insistiu en això després de dur a terme les activitats 2 i 3, atés que és un concepte que sol ser difícil.

Solucions1. Blau ▶ Volum 5 30 Capacitat 5 30 ¬

Roig ▶ Volum 5 17 Capacitat 5 17 ¬

Verd ▶ Volum 5 42 Capacitat 5 42 ¬

• Serien 30 kl, 17 kl i 42 kl, respectivament.

2. • Hi ha 39 contenidors 5 39 kl40 kl 2 39 kl 5 1 kl Queda 1 contenidor.

• Capacitat 5 1 kl 5 1.000 ¬Plena: 800 ¬. Buida: 200 ¬.Més volum: part plena.

• Capacitat 5 1 ¬ 5 100 clPitxer: 60 cl.Recipient: 40 cl.Hi ha més aigua al pitxer.

3. • Capacitat 5 1 kl 5 1.000 ¬• 1.000 ¬ 5/ 500 ¬.

No coincideix.

UNITAT 14

201

132255 _ 0256-0269.indd 263132255 _ 0256-0269.indd 263 11/9/09 07:32:0911/9/09 07:32:09

202

Unitats de volum

Per a mesurar volums d’objectes usem les unitats de volum: centímetre cúbic, decímetre cúbic i metre cúbic.

● Un cub d’1 cm d’aresta té un volum d’1 centímetre cúbic (1 cm3).

● Un cub d’1 dm d’aresta té un volum d’1 decímetre cúbic (1 dm3).

● Un cub d’1 m d’aresta té un volum d’1 metre cúbic (1 m3).

Les equivalències entre les unitats de volum són:

1 m3 5 1.000 dm3

1 dm3 5 1.000 cm3

Per calcular el volum d’un ortoedre multipliquem les tres dimensions.

Volum: 4 cm 3 2 cm 3 3 cm 5 24 cm3

● Les unitats de volum són: metre cúbic (m3), decímetre cúbic (dm3) i centímetre cúbic (cm3).

1 m3 5 1.000 dm3 1 dm3 5 1.000 cm3

● El volum d’un ortoedre és igual al producte del llarg per l’ample per l’alt.

1. Pensa i contesta.

Quin és el volum d’un cub d’1 m d’aresta? A quina unitat de capacitat equival? ●

Quin és el volum d’un cub d’1 dm d’aresta? A quina unitat de capacitat equival? ●

2. Completa.

4 m3 5 … dm3 8 dm3 5 … cm3 7.000 dm3 5 … m3 6.000 cm3 5 … dm3

12 m3 5 … dm3 7,6 dm3 5 … cm3 30.000 dm3 5 … m3 23.500 cm3 5 … dm3

3,8 m3 5 … dm3 4,29 dm3 5 … cm3 680 dm3 5 … m3 786 cm3 5 … dm3

0,27 m3 5 … dm3 0,125 dm3 5 … cm3 95 dm3 5 … m3 43 cm3 5 … dm3

1 cm

1 cm3

1 dm

4 cm2 cm

3 cm

1 dm3

1 m

1 m3

3.

4.

5.

Cal

CÀ

Altres activitats• Demaneu a l’alumnat que calcule (prenent les mesures pertinents)

el volum dels ortoedres i cubs del material d’aula, de diferents brics, d’una goma, d’un llibre de text…

• Entregueu a cada alumne dues targetes iguals i demaneu-los que hi escriguen un mateix volum expressat en dues unitats diferents (una en cada targeta). Després, ajunteu l’alumnat en grups i dema-neu-los que barregen les targetes de tots i les col·loquen esteses de cara avall. Per torn, han d’alçar dues targetes i determinar si expressen el mateix volum. Si no és així, les han de tornar a col-locar on estaven.

Objectius• Reconéixer les unitats de volum

principals: metre, decímetre i centímetre cúbics i les abrevia-tures (m3, dm3 i cm3).

• Utilitzar les equivalències entre les unitats de volum.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Comenteu el dibuix de la pàgina i deixeu clares les definicions de les unitats. Assenyaleu que com que es tracta de tres di-mensions, cada unitat és 1.000 vegades major que la immedia-tament inferior. Mostreu les si-milituds i diferències que hi ha amb les unitats de mesura de longitud i les de superfície.

• Incidiu altra vegada en la rela-ció entre capacitat i volum quan porteu a cap l’activitat 1.

• Mostreu la utilitat de la fórmula per a calcular el volum de qualse-vol ortoedre o cub a partir de les seues dimensions. Assenyaleu-ne la semblança amb el càlcul fet comptant els cubets unitat i deixeu clar que totes les longi-tuds han d’estar expressades en la mateixa unitat per a poder apli-car la fórmula al càlcul.

Per a reforçar

• Demaneu als xiquets i xiquetes que elaboren un esquema per passar d’unes unitats de volum a altres seguint l’estratègia de la pàgina 21 del manual d’ESTU-DI EFICAÇ.

Competències bàsiques

Competència lingüística

Insistiu en la necessitat d’anome-nar cada magnitud amb el vocabu-lari corresponent perquè la comu-nicació amb els altres siga fluida i correcta (a vegades l’alumnat arri-ba a confondre decímetre amb de-címetre quadrat o decímetre cú-bic).

202

132255 _ 0256-0269.indd 264132255 _ 0256-0269.indd 264 11/9/09 07:32:1011/9/09 07:32:10

m3

m3

203

14

3. Ordena de menor a major cada grup.

5 m3 7.000 dm3 8,2 m3 8.250 dm3

3.500 cm3 2,9 dm3 3,01 dm3 3.499 cm3

7,05 dm3 7.000 cm3 7,2 dm3 7.100 cm3

4. Calcula el volum de cada cos.

5. Resol.

● A Vilabosc hi ha un depòsit en forma d’ortoedre. S’hi emmagatzema aigua per combatre els incendis forestals. Té unes dimensions de 20 m de llarg, 15 m d’ample i 12 m d’alt.

– Quin és el volum del depòsit?

– Quina capacitat té en quilolitres? I en litres?

● Al poble de Vallverda tenen també un depòsit contra incendis. Té forma cúbica i l’aresta fa 15 m.

– Quin és el seu volum? És major o menor que el volum del depòsit de Vilabosc?

– Quina capacitat té en litres?

– Quants litres d’aigua caben al depòsit de Vallverda menys que al depòsit de Vilabosc? Quants quilolitres són?

No oblides expressar totes les mesures en una mateixa unitat abans de comparar.

POSA ATENCIÓ

Calcula el 50 % o multiplica per 0,5: divideix entre 2

CÀLCUL MENTAL

50 % de 70 ▶ 70 : 2 5 35

0,5 3 70

4 c

m

6 cm2 cm

3 d

m3 dm

3 dm 4 m

4 m

4 m

4 m

3 m

5,5

m

50 % de 8 50 % de 40 50 % de 600

50 % de 4 50 % de 30 50 % de 480

0,5 3 2 0,5 3 28 0,5 3 2.000

0,5 3 6 0,5 3 36 0,5 3 4.600

Altres activitats• Mostreu a l’alumnat un rebut d’aigua i anoteu a la pissarra el preu

del metre cúbic d’aigua consumit. Plantegeu problemes i situaci-ons similars a les següents:

– En dutxar-se una persona consumeix 90 litres d’aigua. Quant costa l’aigua d’una dutxa?

– Un llavaplats consumeix 30 litres d’aigua per ús. Quants metres cúbics d’aigua consumeix per any si es fa servir una vegada per dia? Quants euros costa aquest consum d’aigua?

Solucions

1. • El volum és 1 m3. Equival a 1 kl.

• El volum és 1 dm3.Equival a 1 ¬.

2. 4.000 dm3 8.000 cm3

12.000 dm3 7.600 cm3

3.800 dm3 4.290 cm3

270 dm3 125 cm3

7 m3 6 dm3

30 m3 23,5 dm3

0,68 m3 0,786 dm3

0,095 m3 0,043 dm3

3. • 5 m3 , 7.000 dm3 , , 8,2 m3 , 8.250 dm3

• 2,9 dm3 , 3,01 dm3 , , 3.499 cm3 , 3.500 cm3

• 7.000 cm3 , 7,05 dm3 , , 7.100 cm3 , 7,2 dm3

4. • 6 3 2 3 4 5 48 ▶ ▶ V 5 48 cm3

• 33 5 27 ▶ V 5 27 dm3

• 3 3 4 3 5,5 5 66 ▶ ▶ V 5 66 m3

• 43 5 64 ▶ V 5 64 m3

5. • 20 3 15 3 12 5 3.600– Volum 5 3.600 m3 – Capacitat 5 3.600 kl 5

5 3.600.000 ¥ 153 5 3.375

– Volum5 3.375 m3

3.375 , 3.600. És menor.– Capacitat 5 3.375.000 ¬– 3.600.000 ¬ 2

2 3.375.000 ¬ 5 5 225.000 ¬ 5 225 kl

N’hi caben 225.000 ¬ menys.Són 225 kl menys.

Càlcul mental

• 4 20 300 2 15 240 1 14 1.000 3 18 2.300

UNITAT 14

203

132255 _ 0256-0269.indd 265132255 _ 0256-0269.indd 265 11/9/09 07:32:1011/9/09 07:32:10

204

1. Classifica aquests cossos en poliedres

i cossos redons.

A B C

E F

H I

2. Contesta.

Quins poliedres de l’activitat anterior ●

són prismes? I piràmides?

Quins són poliedres regulars? ●

3. Relaciona cada cub amb els

desenvolupaments que el poden formar.

4. ESTUDI EFICAÇ. Explica.

● En què es diferencien els poliedres i els cossos redons.

● En què s’assemblen i es diferencien un prisma i una piràmide triangulars.

5. Calcula el volum de cada cos usant

el cub unitat.

B

6. Calcula la capacitat de cada cos de

l’activitat 5 suposant que l’aresta

de cada cub mesura:

● 1 m. ● 1 dm.

7. Pensa i contesta.

Dos recipients diferents, poden ●

tindre la mateixa capacitat? I el mateix volum?

Dos recipients amb la mateixa ●

capacitat, tenen el mateix volum?

Dos recipients amb una mateixa ●

quantitat de líquid dins, poden tindre el mateix volum? I diferent? Poden tindre la mateixa capacitat? I diferent?

8. Completa.

3 m3 5 … dm3 5.000 dm3 5 … m3

1,5 m3 5 … dm3 172 dm3 5 … m3

24 dm3 5 … cm3 800 cm3 5 … dm3

0,16 dm3 5 … cm3 39 cm3 5 … dm3

Activitats

C

D

A B

5

1 2

3 4

6

A

D

G1

E

Altres activitats• Escriviu a la pissarra els rètols següents i demaneu a l’alumnat

que ordene els cossos de menor a major volum:

Objectius• Repassar els continguts bàsics

de la unitat.

• Aplicar les matemàtiques en di-ferents contextos.

Competències bàsiques

Autonomia

i iniciativa personal

Animeu l’alumnat a afrontar amb confiança situacions reals i a apli-car-hi tots els seus coneixements matemàtics.

Solucions1. Poliedres: B, C, D, G, H i I.

Cossos redons: A, E i F.

2. • Prismes: G i H.Piràmides: C i I.

• Poliedres regulars: B, C i D.

3. A ▶ 2, 3, 5 i 6B ▶ 1, 3, 4, 5 i 6

4. R. M. • Els poliedres estan formats

per cares totes poligonals i els cossos redons presenten alguna superfície corba i si te-nen alguna cara plana és un cercle.

• S’assemblen en el fet que els dos són poliedres i la base (o les bases) són triangles.Es diferencien en el nombre de cares, vèrtexs i arestes, i en el fet que les cares la-terals del prisma són paral-lelograms i les de la piràmi-de són triangles.

5. A ▶ Volum 5 10

B ▶ Volum 5 14

C ▶ Volum 5 125

D ▶ Volum 5 31

6. • A ▶ 10 kl • A ▶ 10 ¬B ▶ 14 kl B ▶ 14 ¬C ▶ 125 kl C ▶ 125 ¬D ▶ 31 kl D ▶ 31 ¬

204

Cos A 40 dm de llarg, 25 dm d’ample, 30 dm d’alt

Cos B 2 m de llarg, 1 m d’ample, 5 m d’alt

Cos C 12 dm de llarg, 18 dm d’ample, 64 dm d’alt

132255 _ 0256-0269.indd 266132255 _ 0256-0269.indd 266 11/9/09 07:32:1011/9/09 07:32:10

m3

3

m3

3

205

14

9. Calcula el volum d’aquests cossos.

10. Calcula el volum de cada cos.

Un ortoedre que fa 3 m d’ample, ●

6 m de llarg i 5 m d’alt.

Un ortoedre que fa 25 cm de llarg, ●

20 cm d’ample i 5 cm d’alt.

Un cub de 10 dm d’aresta. ●

11. Resol.

● En una glaçonera hi ha 20 glaçons. Cada glaçó té 2 cm d’aresta. Quin és el volum d’un glaçó? I de tots els glaçons de la glaçonera?

● Per trasplantar un arbre, Màrius ha fet un clot de 2 m de llarg, 2 m d’ample i 1,5 m de profunditat. El volum que ocupen les arrels de l’arbre és 1 m3. Quants metres cúbics de terra ha d’afegir per a omplir el clot?

ETS CAPAÇ DE… Fer càlculs per al manteniment d’una piscina

En una escola de natació estan preparant la piscina per a aquesta temporada.

L’han omplida d’aigua i han d’afegir clor a l’aigua per a deixar-la a punt i poder començar les classes.

La piscina de l’escola té forma d’ortoedre i fa 50 m de llarg, 20 m d’ample i 2 m de profunditat.

A l’escola saben que han de posar 4 g de clor per cada metre cúbic d’aigua de la piscina. El clor el compren en pots de 5 kg cada un.

● Quants metres cúbics d’aigua té la piscina? Quants quilolitres són?

● Quants grams de clor han de posar en total a la piscina?

● Quants pots de clor han de comprar per a preparar-la? Els sobrarà clor?

4 m

4 m

4 m4 dm

3 c

m

6 cm3 cm

2 dm

9 d

m

UNITAT 14

7. • Sí, dos recipients diferents poden tindre la mateixa ca-pacitat i també el mateix volum.

• Sí, dos recipients amb la mateixa capacitat tenen el mateix volum.

• Sí, dos recipients que con-tenen la mateixa quantitat de líquid poden tindre el mateix o diferent volum.Així mateix, poden tindre la mateixa o diferent capaci-tat.

8. 3.000 dm3 5 m3

1.500 dm3 0,172 m3

24.000 cm3 0,8 dm3

160 cm3 0,039 dm3

9. • 6 3 3 3 3 5 54V 5 54 cm3

• 43 5 64V 5 64 m3

• 4 3 2 3 9 5 72V 5 72 dm3

10. • 6 3 3 3 5 5 90V 5 90 m3

• 25 3 20 3 5 5 2.500V 5 2.500 cm3 5 2,5 dm3

• 103 5 1.000V 5 1.000 dm3 5 1 m3

11. • 23 5 8; 20 3 8 5 160El volum d’un glaçó és 8 cm3 i el volum de tots els glaçons és 160 cm3.

• 2 3 2 3 1,5 5 6; 6 2 1 5 5 Ha d’afegir 5 m3 de terra al clot per a omplir-lo.

Ets capaç de…• 50 3 20 3 2 5 2.000

V 5 2.000 m3 ▶ C 5 2.000 kl Té 2.000 m3 d’aigua, que són 2.000 kl.

• 4 3 2.000 5 8.000Hi han de posar 8.000 g de clor.

• 8.000 g 5 8 kg 8 : 5 ▶ q 5 1; r 5 35 3 2 2 8 5 2Han de comprar 2 pots de clor i els en sobraran 2 kg.

205

Programa d’ESTUDI EFICAÇ• En acabar la unitat, feu que l’alumnat complete aquesta taula:

Unitat 14 Cossos geomètrics.Volum

El que he aprésEl que he aprés

a fer

Poliedres. Poliedres regulars

Volum amb un cub unitat

Volum i capacitat

Unitats de volum

132255 _ 0256-0269.indd 267132255 _ 0256-0269.indd 267 11/9/09 07:32:1111/9/09 07:32:11

206

Solució de problemesComençar amb problemes més senzillsEn alguns problemes, de primer és útil resoldre’n d’altres de més senzills per a obtindre pistes.

Resol aquests problemes treballant-ne abans alguns de més senzills.

Magdalena ha fet amb cubs una torre de 5 capes com la que hi ha en la figura. Uns cubs es veuen i altres no. Quants cubs es veuen? Quants cubs estan ocults?

▶ Per resoldre el problema, considerarem de primer torres d’1, 2, 3 i 4 capes.

Cubs visibles: 1 Cubs ocults: 0

Cubs visibles: 1 1 3 5 4 Cubs ocults: 1

Cubs visibles: 1 1 3 1 5 5 9 Cubs ocults: 1 1 3 5 4

Cubs visibles: 1 1 3 1 5 1 7 5 16 Cubs ocults: 1 1 3 1 5 5 9

Per a 5 capes, seguint la pauta ▶ Cubs visibles: 1 1 3 1 5 1 7 1 9 5 25 Cubs ocults: 1 1 3 1 5 1 7 5 16

1. Quants cubs visibles tindrà una torre com la de Magdalena que tinga 7 capes? I si té 10 capes?

2. Xavier ha fet una torre de 5 capes com la que hi ha en la figura de la dreta. Quants cubs visibles té? I d’ocults?

Quants cubs de cada tipus hi haurà en una torre de 8 capes? I de 10 capes?

4 capes

1 capa

2 capes

3 capes

EX

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Altres activitats• Plantegeu a l’alumnat activitats similars a les treballades, com les

següents:

Quants cubs tindrà una torre com aquestes que conste de 7 ca-pes? I si té 9 capes?

Objectius• Resoldre problemes començant

per altres problemes més sen-zills.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Dialogueu amb l’alumnat sobre les estratègies que han aprés. Assenyaleu que a més de fer un dibuix, una taula…, podem també resoldre problemes més senzills que ens proporcionen una pista per afrontar el que tenim plantejat.

Per a explicar

• Intenteu que siguen capaços de «vore» els cubs que estan ocults de la torre i que desco-brisquen tots sols la regla que segueix el nombre de cubs de cada tipus (mostreu la relació entre el nombre de cubs de cada pas i del pas anterior).

Solucions1. Cubs visibles d’una torre de 7

capes:1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 1 13 5 49Cubs visibles d’una torre de 10 capes:1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 1 13 1 15 1 17 1 19 5 100

2. Cubs d’una torre de 5 capes:– Visibles: 3 1 4 1 5 1 6 1

1 7 5 25– Ocults: 2 1 4 1 6 1 8 5 20Cubs d’una torre de 8 capes:– Visibles: 3 1 4 1 5 1 6 1

1 7 1 8 1 9 1 10 5 52– Ocults: 2 1 4 1 6 1 8 1

1 10 1 12 1 14 5 56Cubs d’una torre de 10 capes:– Visibles: 3 1 4 1 5 1 6 1

1 7 1 8 1 9 1 10 1 11 1 1 12 5 75

– Ocults: 2 1 4 1 6 1 8 1 1 10 1 12 1 14 1 16 1 18 55 90

206

132255 _ 0256-0269.indd 268132255 _ 0256-0269.indd 268 11/9/09 07:32:1211/9/09 07:32:12

207

14

EXERCICIS

1. Expressa com una potència i escriu com

es llig.

4 ● 3 4 3 4 3 4 3 4 ● 5 3 5 3 5 3 5

7 ● 3 7 3 7 ● 8 3 8

2. Expressa usant una potència de 10.

1.000 100.000 100.000.000

3. Calcula.

● Ï16 ● Ï36 ● Ï64 ● Ï100

4. ESTUDI EFICAÇ. Completa l’esquema.

5. Calcula.

23

1

48

75

2

415

34

3

69

83

:

74

6. Calcula.

35

●

1

26

3

410

● 25 3 3,6 2 48 : 1,6

52

●

2

(43 2

56) ● 5,64 : (0,27 1 0,33)

7. Expressa en la unitat indicada.

En cm2 ▶ 12 dm2 890 mm2 0,7 m2

En m2 ▶ 8,5 a 4,9 hm2 325 dm2

En hm2 ▶ 916 m2 28 km2 147 dam2

En ha ▶ 82 a 2,3 hm2 734 ca

PROBLEMES

8. Dos terços dels assistents a una funció de teatre eren dones i d’aquestes un cinqué eren majors de 60 anys. Quina fracció dels assistents eren dones majors de 60 anys?

9. Joan té 120 llibres. Tres quarts són novel·les, el 20 % són contes i la resta són diccionaris. Quants llibres de cada tipus té Joan?

10. Una moneda d’1 cèntim d’euro pesa 2,30 g. Quantes monedes hi haurà en una bossa de monedes d’1 cèntim que pesa 35 kg i 190 g?

11. Lluís té un cordell de 9 m. El divideix en dues parts iguals. Amb una d’aquestes parts fa trossos de 0,25 m i amb l’altra fa trossos de 0,15 m. Quants trossos obté en total?

12. En una parcel·la quadrada de 40 m de costat s’ha instal·lat un estany circular de 10 m de radi. Quants metres quadrats de parcel·la han quedat lliures?

13. Maria té estalviats 600 . Amb un huité dels seus estalvis compra diversos llibres iguals per regalar-los. Cada llibre costa 12,50 . Quants llibres ha comprat Maria?

Repassa

ÀREA DE FIGURES PLANES

Rectangle ▶ b 3 h

Quadrat ▶ …

7,35 1 0,98

9 2 6,78

4,2 3 6,09

9,405 : 45

UNITAT 14

Solucions 1. 45 ▶ 4 a la cinquena

54 ▶ 5 a la quarta73 ▶ 7 al cub82 ▶ 8 al quadrat

2. 103 105 108

3. • 4 • 6 • 8 • 10

4. • Rectangle ▶ b 3 h• Quadrat ▶ c 2

• Rombe ▶ D 3 d

2• Romboide ▶ b 3 h

• Triangle ▶ b 3 h

2• Polígon regular ▶

P 3 ap2

• Cercle ▶ π 3 r2

5. 28/24 5 7/6 8,3317/15 2,2218/36 5 1/2 25,57832/21 0,209

6. • 44/60 5 11/15 • 60• 12/6 5 2 • 9,4

7. 1.200 cm2 8,9 cm2 7.000 cm2 850 m2 49.000 m2 3,25 m2 0,0916 hm2 2.800 hm2 1,47 hm2 0,82 ha 2,3 ha 0,0734 ha

8. 1/5 3 2/3 5 2/15 Eren 2/15 dels assistents.

9. 3/4 de 120 5 9020 % de 120 5 24120 2 (90 1 24) 5 6Té 90 novel·les, 24 contes i 6 diccionaris.

10. 35 kg i 190 g 5 35.190 g35.190 : 2,3 5 15.300Hi haurà 15.300 monedes.

11. 9 : 2 5 4,5; 4,5 : 0,25 5 184,5 : 0,15 5 3018 1 30 5 48En total obté 48 trossos.

12. 402 5 1.6003,14 3 102 5 3141.600 2 314 5 1.286En queden lliures 1.286 m2.

13. 1/8 de 600 5 7575 : 12,50 5 6Maria ha comprat 6 llibres.

207

Repàs en comú • Dividiu l’alumnat en quatre grups i entregueu a cada un una cartoli-

na gran de diferents colors. Cada grup hi ha de tractar un d’aquests apartats que li adjudiqueu:

2 Grup 1: Poliedres i poliedres regulars.2 Grup 2: Volum amb un cub unitat. 2 Grup 3: Volum i capacitat.2 Grup 4: Unitats de volum.

Hi han d’incorporar les síntesis teòriques necessàries, dibuixos explicatius i/o imatges d’objectes quotidians, propostes d’activi-tats de pràctica… Posteriorment, cada grup ha d’explicar als com-panys restants la tasca que ha dut a terme.

132255 _ 0256-0269.indd 269132255 _ 0256-0269.indd 269 11/9/09 07:32:1211/9/09 07:32:12

208

Estadística

● Quin és el consum mitjà en litres cada 100 km de cada tipus de vehicle?

● El consum per ciutat de cada vehicle, és major o menor que el consum mitjà?

● El consum per carretera de cada vehicle, és major o menor que el consum mitjà?

Tots hem d’ajudar a cuidar el medi ambient.

Les empreses automobilístiques dissenyen vehicles amb motors que cada vegada consumeixen menys, tant a les ciutats com en els viatges per carretera.

A continuació tens el consum, en litres cada 100 km, de tres tipus de vehicles.

15

Per ciutat Per carretera

Turisme 7 5

Furgoneta 11 9

Tot terreny 10 8

RE

A

M

Qiq

S

E

R

L

1

2

L

1.

2.

3.

Altres formes de començar• Demaneu a l’alumnat que busque en el diccionari la paraula estadís-

tica i comenteu-ne els significats. Mostreu que en la societat actual és una eina important per a conéixer l’opinió pública i per a poder prendre decisions de tipus comercial. Digueu-los que aporten exem-ples d’informacions que podrien determinar-se mitjançant estudis estadístics.

• Sol·liciteu a l’alumnat que busque i retalle (en diaris o revistes) no-tícies en què isquen resultats estadístics. Després, feu una posada en comú sobre què s’hi ha estudiat, els resultats obtinguts, què signifiquen…

Objectius• Reconéixer situacions reals en

què s’utilitzen mesures esta-dístiques.

• Recordar conceptes necessaris per a desenvolupar la unitat.

Suggeriments didàctics• Demaneu als xiquets i xiquetes

que comenten lliurement què coneixen sobre la mitjana i com es pot calcular. Comenteu la utilitat de la mitjana en mol-tes situacions diàries (tempe-ratures, notes…). Mostreu que la mitjana està sempre com-presa entre les dades.

• En Recorda el que en saps, re-passeu amb l’alumnat com es fa l’agrupació de dades en for-ma de taula (agrupant-les de primer i comptant-les després) i el càlcul de la mitjana a partir d’aquesta taula.

Competències bàsiques

Competència

social i ciutadana

Comenteu la importància de se-guir les normes de trànsit per part de tots. Establiu un debat sobre la relació entre el progrés científic i tecnològic i la necessitat de res-pectar el medi ambient.

Autonomia

i iniciativa personal

Animeu l’alumnat a fer servir amb confiança tots els seus coneixe-ments, i en concret el càlcul de la mitjana, en diferents situacions.

Competència cultural

i artística

Demaneu a l’alumnat que elabore un sistema gràfic alternatiu per registrar les respostes al qüestio-nari i comenteu en comú els avan-tatges i inconvenients d’alguns d’aquests sistemes.

208

132255 _ 0270-0288.indd 272132255 _ 0270-0288.indd 272 11/9/09 07:31:2911/9/09 07:31:29

209

RECORDA EL QUE EN SAPS

Agrupació de dades en una taula

Mitjana aritmètica

Quan tenim moltes dades, és convenient comptar quantes vegades ix cada una i després agrupar els resultats en forma de taula. Així, podem saber fàcilment quines dades ixen més i fer càlculs de manera més ràpida.

S’han anotat les edats dels xiquets que han anat a la consulta d’un pediatre.

Edats: 3, 3, 11, 5, 3, 8, 3, 5, 8, 3, 5 i 3 anys

Recompte: 3 ▶ 6 vegades

5 ▶ 3 vegades ▶ 8 ▶ 2 vegades

11 ▶ 1 vegada

La mitjana aritmètica o mitjana d’un grup de dades es calcula així:

1r Es multiplica cada dada pel nombre de vegades que ix i se sumen tots els productes.

2n Es divideix la suma pel nombre total de dades.

La mitjana de les dades de dalt es calcula així:

1r 3 3 6 1 5 3 3 1 8 3 2 1 11 3 1 5 60

2n 6 1 3 1 2 1 1 5 12; 60 : 12 5 5

La mitjana és 5.

1. Agrupa cada conjunt de dades en una taula.

● Nombre de germans: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4

● Punts en un examen: 8, 5, 6, 6, 5, 8, 5, 8, 4, 6, 5

● Nombre de llibres llegits: 3, 4, 4, 3, 6, 3, 2, 5, 4, 5, 3, 6

2. Calcula la mitjana de cada conjunt de dades de l’activitat

anterior.

3. Pensa i escriu.

● Tres nombres diferents la mitjana dels quals siga 6.

● Quatre nombres (algun d’aquests repetit) la mitjana dels quals siga 8.

● A reconéixer les variables estadístiques.

● A calcular freqüències absolutes i relatives d’unes dades.

● Com obtindre la mitjana i la moda d’unes dades.

● Com calcular la mediana i el rang d’unes dades.

APRENDRÀS

Edat

(anys)3 5 8 11

Nre. de

vegades6 3 2 1

Edat

(anys)3 5 8 11

Nre. de

vegades6 3 2 1

Vocabulari de la unitat• Recompte de dades

• Freqüències absolutes i relatives

• Mitjana aritmètica

• Moda

• Mediana

• Rang

• Diagrama d’arbre

Solucions

Pàgina inicial

• Turisme: (7 1 5) : 2 5 6Consum mitjà ▶ 6 ¬/100 kmFurgoneta: (11 1 9) : 2 5 10Consum mitjà ▶ 10 ¬/100 kmTot terreny: (10 1 8) : 2 5 9Consum mitjà ▶ 9 ¬/100 km

• Turisme: 7 . 6. És major.Furgoneta: 11 . 10. És major.Tot terreny: 10 . 9. És major.

• Turisme: 5 , 6. És menor.Furgoneta: 9 , 10. És menor.Tot terreny: 8 , 9. És menor.

Recorda el que en saps

1.

2. • 1 3 4 1 2 3 3 1 3 3 2 1 1 4 3 1 5 204 1 3 1 2 1 1 5 1020 : 10 5 2La mitjana del nombre de germans és 2.

• 4 3 1 1 5 3 4 1 6 3 3 1 1 8 3 3 5 661 1 4 1 3 1 3 5 1166 : 11 5 6La mitjana de punts és 6.

• 2 3 1 1 3 3 4 1 4 3 3 1 1 5 3 2 1 6 3 2 5 481 1 4 1 3 1 2 1 2 5 1248 : 12 5 4La mitjana de llibres llegits és 4.

3. • R. M. 4, 5, 9• R. M. 5, 7, 7, 13

UNITAT 15

209

Germans 1 2 3 4

Vegades 4 3 2 1

Punts 4 5 6 8

Vegades 1 4 3 3

Llibres 2 3 4 5 6

Vegades 1 4 3 2 2

132255 _ 0270-0288.indd 273132255 _ 0270-0288.indd 273 11/9/09 07:31:2911/9/09 07:31:29

210

Variables estadístiques

1. Copia i completa la taula.

2. Escriu tres variables quantitatives i tres variables qualitatives.

3. Observa cada grup de respostes. Escriu quina en pot ser la variable estadística

i assenyala si és quantitativa o qualitativa.

Una empresa ha contractat Jordi perquè faça unes enquestes. Hi ha preguntes molt diferents i n’obté diversos tipus de dades.

L’estadística s’encarrega d’extraure informació de les dades.

El pes, la nacionalitat, l’edat, el color d’ulls… són variables estadístiques.

Jordi ha preguntat el pes en quilos a diverses persones. ●

Totes les respostes han sigut nombres: 52, 74, 68… El pes és una variable quantitativa.

També els ha preguntat la nacionalitat. ●

Les respostes no han sigut nombres: Espanya, Perú, Rússia, Xina… La nacionalitat és una variable qualitativa.

L’estadística recull dades per extraure’n informació.

Les variables estadístiques poden ser quantitatives (si tenen valors numèrics) o qualitatives (si tenen valors d’un altre tipus).

Variable

estadística

Quina pregunta

es faria?

Les respostes

són numèriques?

És qualitativa

o quantitativa?

Color favorit Quin color li agrada més? No Qualitativa

Estatura

Programa de TV preferit

Professió

Longitud en nàixer

Nom del pare

▶ Exemple: 10, 6, 9, 8, 7

– Variable estadística: nota en 5 controls de Matemàtiques.

– Tipus de variable: quantitativa.

Taronja, meló, plàtan, pera ● ● Flam, iogurt, pastís, gelat

13, 17, 15, 12, 21 ● ● Lectura, esport, fotografia, bricolatge

156, 184, 203, 172, 179 ● ● 2, 1, 0, 1, 2, 0, 1

Cal

CÀ

F

1.

2.

Altres activitats• Formeu grups de tres o quatre alumnes i demaneu-los que elabo-

ren una bateria de preguntes les respostes de les quals podran ser de tipus quantitatiu o qualitatiu segons una descripció que els doneu (per exemple, 3 variables quantitatives i 4 de qualitatives). Cada grup ha d’entregar les seues preguntes a un altre grup per-què les conteste (analitzant abans si el nombre de variables de cada tipus és el que heu indicat).

• Una vegada recopilades les respostes a les preguntes anteriors, cada grup d’alumnes ha d’elaborar una taula calculant les freqüèn-cies absolutes i les freqüències relatives corresponents a les da-des obtingudes.

Objectius• Diferenciar entre variables es-

tadístiques quantitatives i vari-ables qualitatives.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Deixeu clara la caracterització dels tipus de variables que pot estudiar l’estadística: les varia-bles quantitatives tenen com a resposta valors numèrics, i les qualitatives, valors que no són numèrics, sinó d’un altre tipus. Feu una llista a la pissarra amb totes les variables treballades en la pàgina.

Solucions

1. • Estatura ▶ Quant fa d’alça-da? Sí. Quantitativa.

• Programa de TV preferit ▶ Quin programa de TV li agra-da més? No. Qualitativa.

• Professió ▶ Quina és la seua professió? No. Qualita-tiva.

• Longitud en nàixer ▶ Quant va mesurar en nàixer? Sí. Quantitativa.

• Nom del pare ▶ Com es diu el pare? No. Qualitativa.

2. R. L.

3. R. M.• Variable: fruita presa per 4

persones en el sopar d’ahir.Tipus: Qualitativa.

• Variable: edat de 5 cosins.Tipus: Quantitativa.

• Variable: nombre de cromos que tenen 5 xiquets.Tipus: Quantitativa.

• Variable: postres preferides per 4 persones.Tipus: Qualitativa.

• Variable: afició preferida de 4 persones.Tipus: Qualitativa.

• Variable: nombre de masco-tes que tenen 7 persones.Tipus: Quantitativa.

210

132255 _ 0270-0288.indd 274132255 _ 0270-0288.indd 274 11/9/09 07:31:3011/9/09 07:31:30

211

15

Calcula el 20 % o multiplica per 0,2: divideix entre 5

20 % de 5 20 % de 500 20 % de 5.000

20 % de 10 20 % de 100 20 % de 1.000

0,2 3 15 0,2 3 250 0,2 3 3.500

0,2 3 40 0,2 3 300 0,2 3 4.000

CÀLCUL MENTAL

20 % de 35 ▶ 35 : 5 = 7

0,2 3 35

Freqüència absoluta i freqüència relativa

1. Elabora la taula de freqüències. Després, contesta.

Manuel ha anotat el color dels cabells dels clients que ha tingut a la perruqueria.

▶ Suma: …negres rossos negres rossos

▶ Suma: …pèl-rojos rossos negres negres

negres pèl-rojos

● Amb què coincideix la suma de les freqüències absolutes?

2. Tira una moneda 15 vegades i construeix la taula de freqüències dels resultats.

Josep ha preguntat a 12 companys quants germans tenen i ha anotat les respostes.

Observa la dada 2:

● Ix 5 vegades. La freqüència absoluta de 2 és 5.

● Hi ha 12 dades en total. La freqüència relativa de 2 és 512

.

Josep ha comptat les vegades que es repeteix cada dada i ha format la taula de freqüències:

▶ Suma: 12 (nombre total de dades)

▶ Suma: 1212

5 1

Nombre de

germans0 1 2 3

Freqüència

absoluta4 2 5 1

Freqüència

relativa

4

12

2

12

5

12

1

12

Color cabells negres

Freqüència

absoluta

Freqüència

relativa

La freqüència absoluta d’una dada és el nombre de vegades que ix. ●

La freqüència relativa d’una dada és el quocient entre el nombre de vegades ●

que ix la dada i el nombre total de dades.

Nombre de germans

2 0 2 2

0 2 1 3

2 1 0 0

Altres activitats• Demaneu a l’alumnat que efectue els càlculs de freqüències abso-

lutes i freqüències relatives de dades obtingudes a l’atzar o mitjan-çant experimentació. Per exemple:

2 Anotar el tercer dígit del número de telèfon de tot l’alumnat de la classe i estudiar les freqüències de les xifres.

2 Llançar una moneda o un dau 10 vegades i obtindre les freqüèn-cies dels possibles resultats. Si agrupeu l’alumnat perquè duga a cap l’experiment, podeu comentar després les diferències en-tre les freqüències de les dades de cada grup i les freqüències de les dades globals de la classe (les freqüències relatives d’aquestes últimes prenen valors molt similars a la probabilitat de cada resultat possible).

Objectius• Diferenciar i calcular les fre-

qüències absolutes i relatives d’un conjunt de dades.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Assenyaleu que les freqüènci-es absolutes són nombres i les freqüències relatives són frac-cions. Mostreu que la suma de les freqüències absolutes és sempre igual al nombre total de dades, i la suma de les fre-qüències relatives és igual a 1.

Competències bàsiques

Tractament

de la informació

Comenteu que les taules són una forma molt usual de sintetitzar in-formació. Mostreu la importància de saber comprendre-les i cons-truir-les.

Solucions1.

Suma freq. absolutes: 10Suma freq. relatives: 10/10 5 5 1

• La suma de les freqüències absolutes coincideix amb el nombre total de dades.

2. R. L.

Càlcul mental

• 1 100 1.000 2 20 200 3 50 700 8 60 800

UNITAT 15

211

Color negres rossos pèl-rojos

Freq.

absoluta5 3 2

Freq.

relativa5/10 3/10 2/10

132255 _ 0270-0288.indd 275132255 _ 0270-0288.indd 275 11/9/09 07:31:3011/9/09 07:31:30

212

Mitjana i moda

Un grup d’amics s’han mesurat i han agrupat les estatures en la taula següent.

Estatura en cm 172 173 174 175

Freqüència absoluta 6 4 4 1

● Quina és l’estatura mitjana?

Per calcular la mitjana de les dades:

1r Multiplica cada dada ▶ 172 3 6 1 173 3 4 1 174 3 4 1 175 3 1 5 per la seua freqüència absoluta 5 1.032 1 692 1 696 1 175 5 2.595 i suma els productes.

2n Divideix la suma entre ▶ Nre. de dades 5 6 1 4 1 4 1 1 5 15 el nombre de dades. 2.595 : 15 5 173

L’estatura mitjana és 173 cm.

● Quina és l’estatura que més es repeteix en el grup d’amics?

La dada que més vegades es repeteix és 172, és la que té major freqüència absoluta (6). La moda és la dada (o dades) amb major freqüència absoluta.

La moda de les estatures és 172 cm.

1. Calcula la mitjana i la moda de les dades. Després, contesta.

En la taula figura el nombre de dies per setmana que practicaven esport diverses persones que van ser enquestades.

● Quantes persones feien esport un nombre de dies major que la mitjana? I un nombre de dies menor?

2. Calcula la mitjana d’aquests grups de nombres.

● 12, 19, 15, 11, 13, 14

● 4, 8, 8, 6, 2, 8, 9, 10, 8

● 2, 2, 1, 5, 1, 3, 5, 2, 5, 4

● 40, 45, 45, 36, 42, 45, 40, 43

Nombre de dies 0 1 2 3

Freqüència absoluta 4 13 2 1

La mitjana d’un conjunt de dades s’obté dividint la suma dels productes ●

de cada dada per la seua freqüència absoluta entre el nombre total de dades.

La moda és la dada (o dades) amb major freqüència absoluta. ●

No oblides agrupar les dades quan estiguen repetides.

POSA ATENCIÓ

3.

4.

5.

6.

7.

Altres activitats• Formeu grups de tres alumnes. Demaneu a cada grup que pregun-

te a deu persones el seu pes (en kg) i la seua estatura (en cm). Han d’anotar-ne els resultats, tabular-los, calcular les freqüències absolutes i relatives de les dades i, després, la mitjana dels pesos i de les estatures. Realitzeu una posada en comú per comentar els resultats de l’exercici i feu-los observar que ambdues mitjanes depenen de les persones a què hagen preguntat (si són xiquets, si són adults…) i dels valors extrems del conjunt de dades.

Objectius• Calcular la mitjana aritmètica

de diverses dades numèriques.

• Determinar la moda o les mo-des d’un conjunt de dades.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Comenteu amb l’alumnat la im-portància de conéixer la mitjana en contextos com qualificaci-ons, disseny de mobles, dades socials i econòmiques…

Per a explicar

• Comenteu el procés que cal se-guir per a trobar la mitjana amb dades agrupades. Mostreu la importància d’analitzar les da-des abans de calcular per sa-ber si cal agrupar-les de primer. Assenyaleu que la mitjana es calcula sols amb dades numè-riques i que no té per què coin-cidir amb alguna de les dades.

• Indiqueu que la moda és la dada o les dades amb major freqüència absoluta. Deixeu clar que hi pot haver cap moda, una moda o més d’una, de-penent del conjunt de dades. Mostreu que la moda pot cal-cular-se independentment de si les dades són quantitatives o qualitatives.

Per a reforçar

• Demaneu-los que inventen acti-vitats similars a les treballades, com s’indica en la pàgina 56 del manual d’ESTUDI EFICAÇ.

Competències bàsiques

Interacció

amb el món físic

Caracteritzeu l’estadística com un instrument útil a l’hora d’analitzar i comprendre el món que ens en-volta. Assenyaleu la importància que té en les ciències naturals i les ciències socials: mitjana de temperatures, salaris mitjans…

212

132255 _ 0270-0288.indd 276132255 _ 0270-0288.indd 276 11/9/09 07:31:3011/9/09 07:31:30

213

15

3. Observa la taula de freqüències i contesta.

En la taula tens quants alumnes d’una classe assisteixen a cada tipus d’activitat extraescolar.

Quina és la freqüència absoluta major? Quines dades la tenen? ●

Quines són les modes de les dades?

Pots calcular la mitjana de les dades? Per què? ●

4. Experimenta i contesta.

● Llança una moneda 10 vegades i anota’n els resultats. Quina és la moda?

● Llança un dau 10 vegades i anota’n els resultats. Quina és la moda? I la mitjana?

5. Resol.

● Les notes de Matemàtiques de Tomàs al llarg del curs han sigut:

5 7 6 8 6 6 7 7 8 8

Quina ha sigut la nota mitjana de Tomàs?

● Les estatures dels jugadors d’un equip de futbol sala són aquestes:

Porter Defenses Davanters ▼   ▼ ▼

182 cm 178 cm i 174 cm 168 cm i 178 cm

– Quina és l’estatura mitjana del porter i els defenses?

– Quina és l’estatura mitjana dels davanters? I l’estatura mitjana de l’equip?

● Mireia ha mesurat uns escarabats en un treball d’investigació. Les longituds en centímetres són:

1,9 2 2,3 1,7 2,1 1,8 2,2

Quina és la mitjana de les longituds?

6. Escriu.

Una llista de 4 nombres de mitjana 9. ● ● Una llista de 3 nombres amb una moda.

Una llista de 5 nombres de mitjana 7. ● ● Una llista de 3 nombres amb tres modes.

7. RAONAMENT. Pensa i contesta.

Anna diu que ha escrit una llista de 5 nombres que té 3 modes.

És això possible? Intenta escriure’n tu una. ●

Quin és el nombre mínim i el nombre màxim de modes que pot tindre ●

una llista de 5 nombres? I si la llista té 7 nombres?

Activitat extraescolar Escacs Anglés Música Tenis

Freqüència absoluta 3 7 7 2

Altres activitats• Demaneu a l’alumnat que calcule la moda o les modes dels resul-

tats dels experiments duts a terme en l’apartat Altres activitats de la pàgina 211.

• Proposeu a l’alumnat activitats que els permeten aprofundir sobre el nombre màxim de modes que pot tindre un conjunt de dades, en funció de quantes dades hi haja. Per exemple, després de portar a cap l’activitat 7, demaneu-los que intenten escriure un conjunt de 8 dades amb 1 moda, 2 modes, 3 modes...

Solucions1. 0 3 4 1 1 3 13 1 2 3 2 1

1 3 3 1 5 20; 4 1 13 1 2 1 1 1 5 20; 20 : 20 5 1

Mitjana i moda: 1.

• 2 1 1 5 3. Major que la mit-jana: 3 persones. Menor que la mitjana: 4 persones.

2. • 11 1 12 1 13 1 14 1 15 1 1 19 5 84; 84 : 6 5 14

• 2 1 4 1 6 1 8 3 4 1 9 1 1 10 5 63; 63 : 9 5 7

• 1 3 2 1 2 3 3 1 3 1 4 1 1 5 3 3 5 30; 30 : 10 5 3

• 36 1 40 3 2 1 42 1 43 1 1 45 3 3 5 336336 : 8 5 42

3. • Major freqüència: 7 (anglés i música). Les modes són anglés i música.

• No se’n pot calcular la mitja-na perquè la variable és qualitativa.

4. • R. L. • R. L.

5. • 5 1 6 3 3 1 7 3 3 1 8 3

3 3 5 68; 68 : 10 5 6,8La nota mitjana és 6,8.

• (174 1 178 1 182) : 3 5 5 178L’estatura mitjana del porter i els defenses és 178 cm.(168 1 178) : 2 5 173L’estatura mitjana dels da-vanters és 173 cm.168 1 174 1 178 3 2 1 1 182 5 880880 : 5 5 176L’estatura mitjana de l’equip és 176 cm.

• 1,7 1 1,8 1 1,9 1 2,1 11 2 1 2,2 1 2,3 5 1414 : 7 5 2La mitjana és 2 cm.

6. R. M.

• 6, 9, 10, 11 • 5, 7, 7• 4, 5, 6, 10, 10 • No n’hi ha.

7. • No és possible.

• 5 nombres: mínim zero mo-des i màxim, dues.7 nombres: mínim zero mo-des i màxim, tres.

UNITAT 15

213

132255 _ 0270-0288.indd 277132255 _ 0270-0288.indd 277 11/9/09 07:31:3011/9/09 07:31:30

214

Mediana

Joan calça un 42, Anna un 37 i Berta un 40. Quina és la mediana de les tres talles de calçat?

Per calcular la mediana:

1r Ordena les dades. 2n Busca la dada que ocupa el lloc central.

37 40 42

Dada central

La mediana és 40.

Lluís calça un 39, Sara un 37, Mila un 42 i Teo un 37. Quina és la mediana de les quatre talles de calçat?

Per calcular la mediana:

1r Ordena les dades. 2n Calcula la mitjana aritmètica de les dues dades centrals.

37 37 39 42 ▶ 37 1 39

2 = 38

Dades centrals

La mediana és 38.

La mediana d’un conjunt amb un nombre senar de dades és, ●

una vegada ordenades, la dada que ocupa el lloc central.

La mediana d’un conjunt amb un nombre parell de dades és, ●

una vegada ordenades, la mitjana de les dues dades centrals.

1. Calcula la mediana de cada conjunt de nombres.

● 1, 2, 3, 4, 5 ● 8, 6, 9, 5, 2, 10

● 5, 7, 2, 1, 7 ● 5, 4, 4, 3, 7, 4, 1, 9

● 2, 6, 4, 3, 7, 8, 1 ● 6, 8, 10, 2, 4, 0, 12, 4

2. Resol.

Leonor ha jugat diversos partits de tenis amb aquestes duracions: 73 minuts, 170 minuts, 115 minuts, 85 minuts, 125 minuts i 80 minuts. Quina és la mitjana i la mediana de les duracions dels partits?

3. Escriu.

● Cinc nombres la mediana dels quals siga 9.

● Sis nombres la mediana dels quals siga 9.

4. Pensa i contesta.

Miriam diu que la mediana de la llista de nombres que ha escrit és 5, perquè és la dada que està al centre de la llista. Té raó, Miriam? Per què?

En ordenar els nombres, escriu-los tots, encara que es repetisquen.

POSA ATENCIÓ

2 3 4 5 8 6 3

Cal

CÀ

R

1.

2.

Altres activitats• Organitzeu la classe en grups d’alumnes, de manera que en uns

grups el nombre de components siga parell i en altres, senar. In-diqueu-los que cada membre del grup ha de dir, per exemple, el nombre de dies per setmana que du a terme alguna activitat extra-escolar. Han d’anotar les dades i calcular-ne la mitjana.

• Enuncieu en veu alta quatre nombres. Demaneu als xiquets i xique-tes que afigen un nombre a aquests quatre, el que ells trien, i cal-culen la mitjana dels cinc nombres obtinguts. Comenteu en comú diferents resultats de l’exercici, i mostreu que el valor de la mitjana varia en funció de la relació del nombre que ells han triat amb els que vosaltres havíeu enunciat (si és major que aquests, si és menor, si està comprés entre aquests…).

Objectius• Calcular la mediana d’un con-

junt de dades.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Assenyaleu la necessitat d’or-denar les dades abans de cal-cular-ne la mediana. Insistiu que han de considerar totes les dades, encara que estiguen repetides.

Per a reforçar

• Escriviu a la pissarra exemples (alguns que siguen correctes i altres no) de càlcul de media-nes. Demaneu a l’alumnat que detecte els exemples que són erronis aprofitant l’estratègia que hi ha en la pàgina 58 del manual d’ESTUDI EFICAÇ.

Competències bàsiques

Competència lingüística

Fomenteu el diàleg entre l’alum-nat perquè expresse les seues idees i opinions amb claredat i respecte envers el punt de vista dels altres.

Solucions

1. • Mediana: 3• Mediana: 5• Mediana: 4• Mediana: 7• Mediana: 4• Mediana: 5

2. 73 1 80 1 85 1 115 1 1 125 1 170 5 648 648 : 6 5 108

La mitjana és 108 minuts.La mediana és 100 minuts.

3. • R. M. 4, 7, 9, 12, 20• R. M. 5, 6, 8, 10, 15, 16

4. No, perquè els nombres de la llista no estan ordenats.

Si s’ordenen, la mediana és 4.

214

132255 _ 0270-0288.indd 278132255 _ 0270-0288.indd 278 11/9/09 07:31:3111/9/09 07:31:31

215

15

Calcula el 25 % o multiplica per 0,25: divideix entre 4

25 % de 4 25 % de 800 25 % de 4.000

25 % de 8 25 % de 400 25 % de 3.600

0,25 3 12 0,25 3 240 0,25 3 0,024

0,25 3 20 0,25 3 320 0,25 3 0,048

CÀLCUL MENTAL

25 % de 28 ▶ 28 : 4 5 7

0,25 3 28

Rang

Mònica i Raül han anotat els minuts d’espera en dues línies d’autobús per vore quina de les dues funciona més bé.

● Fixa't en les dades que té Mònica.

Totes estan molt pròximes a la mitjana.

La diferència de la dada major i la menor s'anomena rang.

La dada major és 5 i la dada menor és 3. El rang és 5 2 3 5 2.

● Fixa't en les dades de Raül.

Hi ha dades molt lluny de la mitjana.

La dada major és 22 i la dada menor és 1. El rang és 22 2 1 5 21.

4 3 5 3 5

Mitjana: 205

5 4

1. Calcula el rang i la mitjana de cada grup de dades.

● 5, 5, 6, 6, 8 ● 6, 5, 8, 20, 1, 2 ● 50, 24, 25, 19, 37

● 1, 1, 2, 4, 7 ● 9, 10, 10, 9, 9, 10 ● 3, 11, 7, 15, 12, 0

2. Pensa i contesta.

Aquestes són les temperatures màximes (en ºC) previstes en dues ciutats per als dies de la setmana que ve.

● Quina serà la temperatura mitjana en cada ciutat?

● A quina ciutat hi haurà un rang més gran en les temperatures?

Mantown ▶ 13 12 15 14 11 12 14 Greenville ▶ 7 7 13 19 19 13 13

El rang dóna idea de la proximitat de les dades a la mitjana.

Es calcula restant la dada menor de la dada major.

1 4 22 3 5

Mitjana: 355

5 7

Altres activitats• Proposeu a l’alumnat esbrinar el rang dels conjunts de dades se-

güents. Digueu-los que han de planificar com obtindre les dades i tabular-les, i després efectuar els càlculs per mostrar-los als com-panys.

2 Les edats de diferents membres de la família: pares, germans, avis...

2 El nombre de mascotes de l’alumnat de classe.

2 El número de calçat de l’alumnat de classe.

Podeu variar l’activitat i fer que calculen també alguna de les altres mesures estadístiques vistes en la unitat.

Objectius• Trobar el rang d’un conjunt de

dades numèriques.

Suggeriments didàcticsPer a explicar

• Expliqueu que el rang dóna idea de la proximitat de les dades a la mitjana i que el seu càlcul es fa restant la dada menor de la major. Repasseu amb l’alumnat els conceptes estudiats fins ara al llarg de la unitat perquè queden clares les diferències entre aquests i la manera de calcular-los.

Solucions

1. • 8 2 5 5 3. Rang: 3.(5 3 2 1 6 3 2 1 8) : 5 5 6Mitjana: 6.

• 7 2 1 5 6. Rang: 6.(1 3 2 1 2 1 4 1 7) : 5 5 5 3. Mitjana: 3.

• 20 2 1 5 19. Rang: 19.(1 1 2 1 5 1 6 1 8 1 20) : : 6 5 7. Mitjana: 7.

• 10 2 9 5 1. Rang: 1.(9 3 3 1 10 3 3) : 6 5 9,5Mitjana: 9,5.

• 50 2 19 5 31. Rang: 31.(19 1 24 1 25 1 37 1 50) : : 5 5 31. Mitjana: 31.

• 15 2 0 5 15. Rang: 15.(0 1 3 1 7 1 11 1 12 1 1 15) : 6 5 8. Mitjana: 8.

2. • (11 1 12 3 2 1 13 1 14 3

3 2 1 15) : 7 5 13 (7 3 2 1 13 3 3 1 19 3 2) : : 7 5 13 La temperatura mitjana en ambdues ciutats serà 13º C.

• 15 2 11 5 4; 19 2 7 5 12; 12 . 4Hi haurà un rang major a Greenville.

Càlcul mental

• 1 200 1.000 2 100 900 3 60 0,006 5 80 0,012

UNITAT 15

215

132255 _ 0270-0288.indd 279132255 _ 0270-0288.indd 279 11/9/09 07:31:3111/9/09 07:31:31

MESURES ESTADÍSTIQUES

Mitjana ▶ Es calcula …

Mediana ▶ …

Moda ▶ És …

Rang ▶ …

216

5. ESTUDI EFICAÇ. Copia i completa

l’esquema.

6. Calcula la mitjana, la mediana, la moda

i el rang d’aquests grups de nombres.

11, 8, 9, 8, 9 ●

6, 4, 6, 4, 4, 6 ●

14, 19, 10, 6, 10, 7 ●

8, 14, 5, 10, 15, 6, 5 ●

9, 8, 6, 6, 5, 6, 8, 8 ●

7. Calcula la mitjana, la mediana, la moda

i el rang de les dades que has obtingut

en l’activitat 4.

8. Llig i indica qui té raó.

En la taula figura el nombre de camisetes de cada talla venudes en una botiga.

Verònica diu que la moda és 16 perquè ●

és el nombre de la talla més gran.

Angie diu que la moda és 12 perquè ●

és la dada central.

Carles diu que la moda és 10 perquè ●

és la dada que més es repeteix.

Minerva diu que la moda és 8 perquè la ●

seua freqüència absoluta és la freqüència que ocupa el lloc central.

Activitats

1. Classifica cada variable estadística

en quantitativa o qualitativa.

Nombre de germans. ●

Sexe. ●

Nombre de clients cada dia ●

de la setmana en una botiga.

Primer cognom ● .

Ciutat de naixement. ●

Estatura. ●

2. Completa la taula i contesta.

En les classes de 6é han fet una enquesta sobre el menjar favorit dels alumnes.

Quant val la suma de les freqüències ●

absolutes? Quants alumnes hi ha en 6é?

Quant val la suma de les freqüències ●

relatives?

3. Construeix la taula de freqüències.

El nombre diari d’assistents a un curset de ceràmica que va durar 14 dies va ser:

24 25 24 26 25 25 24

25 24 27 26 25 24 26

4. Llança un dau 10 vegades i fes la taula de

freqüències dels resultats. Després, contesta.

● Quina ha sigut la dada amb major freqüència absoluta? I relativa?

● Coincideixen els teus resultats amb els que han obtingut els companys?

Freqüència

absoluta

Freqüència

relativa

Pasta 24

Carn 10

Peix 6

Verdura 8

Altres 3

Talla 8 10 12 14 16

Freqüència

absoluta4 7 5 3 2

9

10

ET

T

Altres activitats• Proposeu a l’alumnat activitats d’investigació amb què puga treba-

llar les variacions en els valors de les mesures estadístiques en funció de les possibles variacions que hi haja en les dades. Per exemple:

2 Escriviu quatre nombres i calculeu-ne la mitjana. Sumeu el nom-bre que vulgueu a cada un dels quatre nombres i calculeu la mitjana dels nombres resultants. Quina relació hi ha entre la primera mitjana i la segona?

2 Escriviu sis nombres i calculeu-ne la mitjana. Multipliqueu els nombres per 2 i calculeu la mitjana dels nombres resultants. Quina relació hi ha entre les mitjanes? Què ocorre si en lloc de les mitjanes calculem els rangs dels dos grups de dades?

Objectius• Repassar els continguts bàsics

de la unitat.

• Aplicar les matemàtiques en di-ferents contextos.

Competències bàsiques

Aprendre a aprendre

Mostreu a l’alumnat que en aquesta unitat han avançat en els seus coneixements d’estadística. Assenyaleu que aquest aprenen-tatge els serà útil en la vida quoti-diana i en cursos posteriors.

Solucions1. Quantitativa, Qualitativa, Quan-

titativa, Qualitativa, Qualitativa, Quantitativa.

2. Freqüències relatives: 24/51, 10/51, 6/51, 8/51 i 3/51.

• La suma és 51. En 6é hi ha 51 alumnes.

• La suma és 51/51 5 1.

3.

4. R. L.

5. • Mitjana ▶ Es calcula dividint la suma dels productes de cada dada per la seua fre-qüència absoluta, entre el nombre total de dades.

• Moda ▶ És la dada o les da-des amb major freqüència absoluta.

• Mediana ▶ Una vegada or-denades les dades, és la que ocupa el lloc central del conjunt o la mitjana de les dues dades centrals.

• Rang ▶ Es calcula restant la dada menor de la dada major.

216

Assistents 24 25 26 27

Freqüència

absoluta5 5 3 1

Freqüència

relativa

514

514

314

114

132255 _ 0270-0288.indd 280132255 _ 0270-0288.indd 280 11/9/09 07:31:3211/9/09 07:31:32

a

217

15

9. Pensa i contesta.

En preguntar a 9 famílies quants mòbils tenien en total, van donar les respostes que veus en la taula.

● Com calcularies la mediana? Quina és?

● Com calcularies el rang? Quin és?

10. Pensa i escriu.

● Tres nombres amb una mediana de 7.

● Quatre nombres la mitjana i la moda dels quals siguen 5.

● Quatre nombres la mitjana i la mediana dels quals siguen 4.

● Cinc nombres la mitjana, la mediana i la moda dels quals siguen 6.

11. Resol.

S’ha passat una enquesta a un grup ●

de persones sobre el nombre de telefonades fetes ahir. Aquests són els resultats.

Calcula la mitjana i la moda de les dades.

El preu en euros del menú del dia en ●

diversos restaurants és:

12 11 14 12 14 10 11 12 12 12

Calcula la mitjana, la moda, la mediana i el rang dels preus.

ETS CAPAÇ DE… Aplicar l’estadística en l’esport

Emili és entrenador de bàsquet. El seu equip juga un partit important i en els últims minuts ha de fer un canvi.

Té dos jugadors a la banqueta que pot traure a jugar.

En les seues estadístiques, Emili té els punts anotats per cada jugador en els últims sis partits:

Carpenter → 24 4 6 16 9 19 Mirovich → 13 11 12 14 12 10

● Quina és la mitjana de punts anotats per cada jugador? I el rang?

● Quin jugador trauries tu a jugar? Explica per què.

● Coincideix la teua resposta amb la que ha donat el teu company?

Nombre

de mòbils0 1 2 3

Freqüència

absoluta 1 5 2 1

Nre. de

telefonadesFreqüència

0 16

1 15

2 8

3 1

4 2

UNITAT 15

6. • (8 3 2 1 9 3 2 1 11) : : 5 5 9Mitjana 5 9. Mediana 5 9.Moda 5 8 i 9. Rang 5 3.

• (4 3 3 1 6 3 3) : 6 5 5Mitjana 5 5. Mediana 5 5.Moda 5 4 i 6. Rang 5 2.

• (6 1 7 1 10 3 2 1 14 1 1 19) : 6 5 11Mitjana 5 11.Mediana 5 10.Moda 5 10. Rang 5 13.

• (5 3 2 1 6 1 8 1 10 1

1 14 1 15) : 7 5 9Mitjana 5 9. Mediana 5 8.Moda 5 5. Rang 5 10.

• (5 1 6 3 3 1 8 3 3 1 9) : : 8 5 7Mitjana 5 7. Mediana 5 7.Moda 5 6 i 8. Rang 5 4.

7. R. L.

8. Carles té raó.

9. • Escrivint les dades ordena-dament per saber quina és la dada central del conjunt.Mediana 5 1.

• 3 2 0 5 3. Rang 5 3.

10. • R. M. 5, 7, 10• R. M. 4, 5, 5, 6• R. M. 2, 3, 5, 6 • R. M. 3, 6, 6, 6, 9

11. • (0 3 16 1 1 3 15 1 2 3

3 8 1 3 3 1 1 4 3 2) : : 42 5 1. Mitjana 5 1.Moda 5 0.

• (10 1 11 3 2 1 12 3 5 1 1 14 3 2) : 10 5 12Mitjana 5 12.Moda 5 12.Mediana 5 12.Rang 5 4.

Ets capaç de…

• (4 1 6 1 9 1 16 1 19 1 24) : : 6 5 13Carpenter: mitjana 5 13, rang 5 20.Mirovich: mitjana 5 12, rang 5 4.

• R. L.• R. L.

217

Programa d’ESTUDI EFICAÇ• En acabar la unitat, feu que l’alumnat complete aquesta taula:

Unitat 15 Estadística

El que he aprésEl que he aprés

a fer

Variables estadístiques

Freqüències absolutes i relatives

Mitjana i moda

Mediana i rang

132255 _ 0270-0288.indd 281132255 _ 0270-0288.indd 281 11/9/09 07:31:3211/9/09 07:31:32

218

▶ Ara farem un diagrama d’arbre que anirem completant a poc a poc per no oblidar cap camí possible. Tingues en compte que no podem passar dues vegades pel mateix lloc.

Solució: Els quatre camins són ABCF, ABEF, ADEF i ADEBCF.

1r Des del punt A, pot anar a B o a D.

2n Des de B, pot anar a C o a E. Des de D ha d’anar a E.

3r Des de C i E, venint de B, ha d’anar a F.

4t Des de E, venint de D, pot anar a F o B. Des de B ha d’anar a C i després a F.

1. Quants camins diferents pot seguir Joan per a anar caminant de A a E?

2. En una agència de viatges ofereixen aquestes opcions per a anar a una ciutat:

Pots anar-hi amb avió o amb tren. Si hi vas amb avió, pots triar entre un hotel de 3 estreles i un de 4 estreles. Si hi vas amb tren, només hi ha hotel de 3 estreles. En tots els casos pots optar per habitació amb desdejuni o sense. Quantes opcions hi ha?

3. INVENTA. Escriu un problema semblant als d’aquesta pàgina en què siga útil fer un diagrama d’arbre.

A

C

B

D

E

Solució de problemesFer un diagrama d’arbreEls diagrames d’arbre són útils per a organitzar-se a l’hora de resoldre problemes.

Resol aquests problemes fent un diagrama d’arbre.

Quants camins diferents pot seguir el taxi per a anar de A a F sense passar dues vegades pel mateix lloc?

A

D

B

E

C

F

BA D

BA D E

C E

BA D E F

C E

F F

BA D E

C E

F F

B C F

EX

1.

2.

3.

4.

5.

Altres activitats• Plantegeu a l’alumnat problemes com el següent per practicar l’es-

tratègia de la pàgina:

2 Lorena vol planificar les activitats que portarà a cap durant el prò-xim curs a les vesprades i té aquestes possibilitats:

Té lliure la vesprada dels dilluns o la dels dimecres. Si escull el dilluns pot anar a ball, bàsquet o escacs. Si tria el dimecres, pot elegir teatre o natació. El dilluns pot anar de les 5 a les 6 o de les 6 a les 7, a qualsevol activitat. El dimecres pot anar a teatre de les 6 a les 7 o de les 7 a les 8, i a natació de 5 a 6 o de 7 a 8. Quantes opcions té Lorena? Quines són?

Objectius• Resoldre problemes començant

per altres problemes més sen-zills.

Suggeriments didàcticsPer a començar

• Mostreu la importància d’orga-nitzar-se a l’hora de buscar to-tes les possibles solucions d’un problema, per no oblidar-ne cap.

Per a explicar

• Comenteu l’exemple resolt as-senyalant que el diagrama d’ar-bre va registrant tots els pos-sibles camins sense oblidar-ne cap. Mostreu la importància de no equivocar-se en els passos intermedis, ja que afectarien la resta de la resolució. Treballeu les altres activitats una vegada que els xiquets i xiquetes les hagen resoltes.

Solucions1.

Pot seguir 6 camins: ABE, ABDE, ACDE, ACDBE, ADE i ADBE.

2. amb desd. 3 estr. senseAvió

amb desd. 4 estr. sense

amb desd.Tren 3 estr. sense

Hi ha 6 opcions possibles.

3. R. L.

218

A C D

B E

D

E

EE

B E

EB

D

132255 _ 0270-0288.indd 282132255 _ 0270-0288.indd 282 11/9/09 07:31:3211/9/09 07:31:32

219

15

EXERCICIS

1. Descompon cada nombre i escriu com

es llig.

3.165.601 ● ● 626.024.319

61.600.124 ● ● 160.386.067

2. ESTUDI EFICAÇ. Completa els quadres

i fes-ne d’altres de semblants per a les

mesures de superfície i volum.

3. Completa.

7,2 m2 5 … dm2 4.500 cm3 5 … dm3

900 dm2 5 … m2 1,28 dm3 5 … cm3

15 dm2 5 … cm2 6,3 m3 5 … dm3

0,2 hm2 5 … m2 1,7 dm3 5 … m3

4. Escriu amb xifres.

● Quinze novens.

● Quatre quinzens.

● Dotze centèsimes.

● Huit unitats i cent tres mil·lèsimes.

● Dues unitats i tres centèsimes.

5. Calcula.

72

●

2

(53 2

76) ● 34 : 1,7 1 12 3 2,5

116

●

2

26

3

34

● 48,3 : (0,42 2 0,12)

PROBLEMES

6. Maria va comprar dos quilos i tres quarts de tomaques. En va gastar dos cinquens de quilo en una ensalada i set huitens en una salsa. Li va quedar més o menys d’1 kg de tomaques?

7. Al desembre una nevera valia 720 . Al gener en van rebaixar el preu un 10 % i al febrer el van apujar un 5 %. Quant valia la nevera després de la pujada?

8. Lluïsa té un estany en forma d’ortoedre de 4 m de llarg, 3 m d’ample i 2 m de profunditat. Manuel en té un altre amb 7 m de llarg, 3 m d’ample i 1,5 m de profunditat. Quin dels dos estanys té més volum?

9. En una granja han envasat 600 ous. Tres cinquens els han posat en oueres de 12 ous i els restants en oueres de 6 ous. Quantes oueres han utilitzat en total?

10. Josep ha comprat 3,5 m de cordell roig a 1,60 el metre i 7,6 m de cordell blau a 2,75 el metre. Ha pagat amb tres bitllets de 10 . Quant li han tornat?

11. Per a fer estofat per a 3 persones s’usen 0,45 kg de creïlles i 0,315 kg de carn. Quants grams de creïlles fan falta per a un estofat per a 5 persones? Quants quilos de carn fan falta per a un estofat per a 8 persones?

Repassa

dal dl

hg

km m

3 10

UNITAT 15

Solucions 1. • 3 U de milió 1 1 CM 1

1 6 DM 1 5 UM 1 6 C 1 1 U

• 6 D de milió 1 1 U de mi-lió 1 6 CM 1 1 C 1 2 D 1

1 4 U• 6 C de milió 1 2 D de mi-

lió 1 6 U de milió 1 1 2 DM 1 4 UM 1 3 C 1 1 1 D 1 9 U

• 1 C de milió 1 6 D de mi-lió 1 3 CM 1 8 DM 1 1 6 UM 1 6 D 1 7 U

2. Comproveu que l’alumnat fa bé els quadres.

3. • 720 dm2 • 4,5 dm• 9 m2 • 1.280 cm• 1.500 cm2 • 6.300 dm• 2.000 m2 • 0,0017 m

4. • 15/9 4/15 0,128,103 2,03

5. • 18/6 5 3 • 50• 38/24 5 19/12 • 161

6. 2 34

2 ( 25

1 78 ) 5

5940

Li’n va quedar més d’1 kg.

7. 720 2 10 % de 720 5 648 648 1 5 % de 648 5 680,4Al final valia 680,40 €.

8. 4 3 3 3 2 5 247 3 3 3 1,5 5 31,50Té més volum l’estany de Ma-nuel.

9. 3/5 de 600 5 360360 : 12 5 30(600 2 360) : 6 5 4030 1 40 5 70 Han utilitzat 70 oueres.

10. 3,5 3 1,6 5 5,67,6 3 2,75 5 20,930 2 (5,6 1 20,9) 5 3,5Li han tornat 3,50 €.

11. 0,45 kg : 3 3 5 5 0,75 kg 5 5 750 g

0,315 kg : 3 3 8 5 0,84 kg Fan falta 750 g de creïlles i 0,84 kg de carn.

219

Repàs en comú • Dividiu els xiquets i xiquetes en equips i demaneu-los que facen un

treball d’investigació. Assenyaleu que ells mateixos han d’establir les preguntes (de tipus qualitatiu i quantitatiu), anotar els resultats del qüestionari, tabular-los i calcular les mesures estadístiques pertinents en cada cas. Finalment, n’han de comentar el signifi-cat.

També podeu crear el qüestionari en comú i que els equips el pas-sen després. D’aquesta manera, podreu comparar els resultats dels diferents equips i, fins i tot, unir totes les dades obtingudes i comparar les mesures estadístiques del conjunt total de dades i dels subconjunts dels grups.

132255 _ 0270-0288.indd 283132255 _ 0270-0288.indd 283 11/9/09 07:31:3211/9/09 07:31:32

284

220

Repàs trimestral

1. Observa cada escala i contesta.

● Quants centímetres en la realitat representa 1 cm en cada plànol? I quants quilòmetres en la realitat representa 1 cm en cada mapa?

● Quina distància real representen 5 cm en cada plànol i en cada mapa?

2. Tria en cada cas la unitat més adequada per a expressar cada mesura.

● La longitud d’un riu i el gruix d’un caragol.

● La capacitat d’una tassa i d’una piscina olímpica.

● El pes d’un bolígraf i la càrrega d’un vaixell mercant.

● La superfície d’un pis i de la pantalla d’un telèfon mòbil.

● El volum de la capsa d’un xarop i del remolc d’un camió.

MESURA

Plànol A

Escala 1 : 250

Plànol B

Escala 1 : 600

3. Escriu en la unitat indicada.

● 2 hm, 8,4 m i 3 cm ● 6 hg, 37 g i 250 dg● 0,19 dam, 56 cm i 7 mm ● 3 t i 8,2 q

● 3 dal, 4 ¬ i 16,8 dl ● 2 m2 i 5,8 dm2

● 4,5 ¬, 2,74 dl i 9,3 ml ● 0,9 m2 i 716 mm2

● 7 hm 5 … cm

● 250 mm 5 … m

● 1,9 dam 5 … dm

● 43 cl 5 … dal

● 618,5 ¬ 5 … kl

● 0,2 dl 5 … ml

● 2,8 dag 5 … cg

● 0,053 kg 5 … dg

● 176 mg 5 … cg

● 5 m3 5 …dm3

● 0,3 m3 5 … cm3

● 4.718 cm3 5 … dm3

● 6,2 dam2 5 … m2

● 791 hm2 5 … km2

● 0,085 dm2 5 … mm2

En dm

En cl

En kg

En cm2

Mapa C 0 5 10 15

Quilòmetres

Mapa D 0 20 40 60

Quilòmetres

CÀLCUL MENTAL

En aquesta columna aproxima els decimals a les unitats per operar.

5,2 1 7,6

9,7 2 2

8,4 2 6,3

6,9 3 4

3,1 3 50

9,41 1 7

7,8 2 3

10,95 2 8

6,2 3 30

5,4 3 200

10 % de 7

10 % de 240

0,1 3 93

50 % de 26

0,5 3 400

20 % de 5

20 % de 300

0,2 3 40

25 % de 120

0,25 3 24

▶

MESURA

1. • 250 cm 600 cm5 km20 km

• 0,0125 km, 0,03 km,25 km, 100 km

2. • km i mm• cl i kl• g i t• m2 i cm2

• cm3 i m3

3. • 70.000 cm; 0,25 m; 190 dm• 0,043 dal; 0,6185 kl; 20 ml

• 2.800 cg; 530 dg; 17,6 cg

• 620 m2; 7,91 km2; 850 mm2

• 5.000 dm3; 300.000 cm3; 4,718 dm3

• En dm: 2.084,3; 24,67

• En cl: 3.568; 478,33

• En kg: 0,662; 3.820

• En cm2: 20.580; 9.007,16

Càlcul mental

• 13 • 16,418 4,82 2,9528 186150 1.080

• 0,7 • 124 609,3 813 30200 6

220

1.

2. C

3.

4. O

5. C

d

GEO

132255 _ 0270-0288.indd 284132255 _ 0270-0288.indd 284 11/9/09 07:31:3311/9/09 07:31:33

285

g

60

5

300

0

120

24

221

1. Mesura i calcula l’àrea de cada figura.

2. Calcula l’àrea d’aquestes figures planes.

● Un quadrat de 6,5 cm de costat.● Un rectangle de 3,9 cm de base i 2,8 cm d’altura.● Un rombe de 7 cm i 4 cm de diagonals.● Un romboide de 6 cm de base i 8,2 cm d’altura.● Un triangle de 10 cm de base i 5,6 cm d’altura.● Un pentàgon regular de 2 cm de costat i d’1,4 cm d’apotema.● Un cercle de 5 cm de radi.

3. Descompon cada figura en altres d’àrea coneguda, mesura i calcula l’àrea total.

4. Observa aquests poliedres regulars i escriu en cada cas.

● Nom.

● Tipus de cos geomètric.

● Nombre i forma de les cares.

● Nombre de vèrtexs i d’arestes.

5. Calcula el volum

de cada ortoedre.

GEOMETRIA

2 cm

10 cm

3 cm5 cm

5 cm5 cm

GEOMETRIA

1. • 2,5 3 2,5 5 5 6,25 cm2

• 5 3 1,5 5 7,5 cm2

• (3 3 2,5) : 2 5 5 3,75 cm2

• 4 3 2 5 8 cm2

• (4,5 3 2) : 2 5 5 4,5 cm2

• (6 3 1,5 3 1,3) : : 2 5 5,85 cm2

• p 3 1,52 5 7,065 cm2

2. • 6,5 3 6,5 5 5 42,25 cm2

• 3,9 3 2,8 5 5 10,92 cm2

• (7 3 4) : 2 5 5 14 cm2

• 6 3 8,2 5 49,2 cm2

• (10 3 5,6) : 2 55 28 cm2

• (5 3 2 3 1,4) : 2 5 5 7 cm2

• p 3 52 5 78,5 cm2

3. • 3 3 1 1 3 3 2 1

1 (1,5 3 2) : 2 5 5 10,5 cm2

• (5 3 3) : 2 2 p 3

3 12 5 4,36 cm2

• 3 3 1,5 1 (5 3 3 1,5) : : 2 1 (1 3 1,5) : 2 5 9 cm2

4. • Tetraedre. Poliedre regular (i piràmide triangular).4 cares, totes triangles equilàters.

4 vèrtexs i 6 arestes.

• Cub.Poliedre regular (i prisma quadrangular).6 cares, totes quadrats.8 vèrtexs i 12 arestes.

5. • 5 3 5 3 5 5 125 cm3

• 10 3 2 3 3 5 60 cm3

221

132255 _ 0270-0288.indd 285132255 _ 0270-0288.indd 285 11/9/09 07:31:3311/9/09 07:31:33

286

222

Repàs trimestral

1. Construeix la taula de freqüències.

Aquestes són les edats dels xics i xiques que formen un grup de teatre:

10 anys, 13 anys, 12 anys, 12 anys, 14 anys, 13 anys, 12 anys, 10 anys, 11 anys, 12 anys, 14 anys i 11 anys

● Quina és la suma de les freqüències absolutes? Què indica?

● Quina és la suma de les freqüències relatives? És sempre aquest valor?

1. Resol.

● Dues entrades a un castell costen 5,60 . Quant costen 3 entrades? I 15 entrades?

● Enric ha utilitzat 45 barquetes per a fer 3 postres iguals. Quantes barquetes necessita per a fer 10 postres? Quantes postres pot fer amb 105 barquetes?

● Antònia ha comprat 4 banyadors iguals per 49,20 i 5 tovalles iguals per 47,50 . Quant costen 9 banyadors? I 3 tovalles? Què és més car, un banyador o una tovalla? Quant més?

● En una pastisseria hi ha 60 pastissos. El 25% són de xocolate, el 35% són de nata i els restants són de fruita. Quants pastissos de fruita hi ha a la pastisseria?

● Lluïsa ha comprat un jersei de 28 i uns pantalons de 31,60 que estaven rebaixats un 15%. Quant ha pagat Lluïsa per la compra?

ESTADÍSTICA

PROBLEMES

Edat (anys)

Freqüència

absoluta

Freqüència

relativa

3. Observa la taula i calcula.

En aquesta taula s’ha anotat el pes dels genets d’una cursa hípica.

● La mitjana. ● La mediana.

● La moda. ● El rang. Pes (kg) 53 54 55 56

Freqüència

absoluta4 4 2 1

2. Calcula la mitjana, la mediana, la moda i el rang d’aquests grups de nombres.

5 8 11

11 12 8 8

4 7 3 7 5

5 4 8 7 10

6 2 9 2

2 6 4 1

ESTADÍSTICA

1. Edats: 10 anys, 11 anys, 12 anys, 13 anys, 14 anys.Freqüències relatives: 2, 2, 4, 2, 2.Freqüències absolutes: 2/12, 2/12, 4/12, 2/12, 2/12.

• La suma és 12. Coincideix amb el nombre de dades.

• La suma és 1. Val sempre 1.

2. • Mitjana 5 9, mediana 5 8,moda 5 8, rang 5 7

• Mitjana 5 6, mediana 5 6,moda 5 7, rang 5 7

• Mitjana 5 4, mediana 5 3,moda 5 2, rang 5 8

3. • Mitjana 5 54• Modes 5 53 i 54• Mediana 5 54• Rang 5 3

Problemes

1. • 5,60 : 2 5 2,8 2,8 3 3 5 8,42,8 3 15 5 423 entrades: 8,40 €.15 entrades: 42 €.

• 45 : 3 5 1510 3 15 5 150105 : 15 5 7Necessita 150 barque-tes per a fer 10 postres. Amb 105 barquetes pot fer 7 postres.

• 49,20 : 4 5 12,347,50 : 5 5 9,59 3 12,3 5 110,73 3 9,5 5 28,512,3 2 9,5 5 2,89 banyadors: 110,70 €.3 tovalles: 28,50 €.És més car un banyador.Costa 2,80 € més.

• 100 % 2 25 % 2 35 % 5 40 %40 % de 60 5 24Hi ha 24 pastissos de fruita.

• 28 1 31,60 5 59,6100 % 2 15 % 5 85 %85 % de 59,6 5 50,66Ha pagat 50,66 €.

222

2.

3.

●

●

●

●

132255 _ 0270-0288.indd 286132255 _ 0270-0288.indd 286 11/9/09 07:31:3311/9/09 07:31:33

287

n

2

223

2. Observa el plànol d’un circuit per a bicicletes,

mesura i resol.

● Quina longitud té en total el circuit en el plànol? I en la realitat?

● Martí ha fet 3 voltes i mitja al circuit. Quants metres ha recorregut? Quants quilòmetres són?

3. Resol.

● Alba té una corda de 5 m de llarg. L’ha tallat en 5 trossos de 7,6 dm cada un i la resta l’ha dividit en 8 parts iguals. Quants centímetres fa cada part?

● Jordi ha comprat una caixa amb 8 botelles de llet d’1,5 ¬ cada una. En total ha pagat 12,96 . Quin és el preu d’un litre de llet?

● Un muntacàrregues admet un pes màxim de 7 quintars. Hi han carregat 3 paquets de 86,5 kg cada un i una caixa amb 300 llandes de conserva de 400 g cada una. Quants hectograms més admet el muntacàrregues?

● En un cartell que mesura 84 dm2 hi ha una fotografia de 3.250 cm2. Quina superfície del cartell no té foto?

● Leandre té un terreny de 9,5 a. Hi ha plantat 385 ca de tomaques i la resta de creïlles. Quants metres quadrats ha plantat de creïlles?

● Raül ha fet un avet de cartolina per a una obra de teatre. Ha utilitzat un triangle d’1 m de base i 1,4 m d’altura i un quadrat de 0,3 m de costat. Quants metres quadrats de cartolina fa en total l’avet?

● Tamara ha tallat una lluna de vidre rectangular de 75 cm de llarg i 52 cm d’ample en 4 vidres iguals. Quina és la superfície de cada vidre?

● Elsa fa gimnàstica amb un cércol de 80 cm de diàmetre. Quina és la longitud del cércol? Guarda el cércol en una funda circular de 42 cm de radi. Quina és la superfície de la funda?

● Hèctor té un depòsit d’aigua en forma d’ortoedre, de 2 m de llarg, 1 m d’ample i 0,8 m d’alt. Quin és el volum d’aquest depòsit mesurat en metres cúbics? Quants quilolitres d’aigua hi caben? Quants litres són?

● En una estació meteorològica s’han registrat en un dia aquestes temperatures: 17,7 ºC; 19,2 ºC; 20,1 ºC; 25,3 ºC; 21,6 ºC; 19,8 ºC i 16,3 ºC. Quina és la temperatura mitjana registrada aquest dia? Quina és la mediana d’aquestes temperatures?

Escala 1 : 15.000

2. • 3 cm 1 1 cm 1 2,5 cm 1

1 1,2 cm 1 1 cm 5 8,7 cm 8,7 3 15.000 5 130.500130.500 cm 5 1,305 kmEn la realitat són 1,305 km.

• 3,5 3 1.305 5 4.567,5Ha recorregut 4.567,5 m, que són 4,5675 km.

3. • (500 2 5 3 76) : 8 5 15Cada part fa 15 cm.

• 12,96 : (8 3 1,5) 5 1,08Cada litre costa 1,08 €.

• 7.000 2 3 3 865 2 2 300 3 4 5 3.205Admet 3.205 hg més.

• 8.400 2 3.250 5 5.150No hi ha foto en 5.150 cm2.

• 950 2 385 5 565Ha plantat 565 m2 de creïlles.

• (1 3 1,4) : 2 1 0,3 3 0,3 55 0,79 m2

Mesura 0,79 m2.

• (75 3 52) : 4 5 975 cm2

Cada vidre mesura 975 cm2.

• 2 3 p 3 40 5 251,2p 3 422 5 5 5.538,96 cm2

La longitud és 251, 2 cm i la superfície és 5.538,96 cm2.

• 2 3 1 3 0,8 5 1,6 m3

El seu volum és 1,6 m3.N’hi caben 1,6 kl 5 1.600 ¬.

• 140 : 7 5 20La mitjana és 20 ºC.La mediana és 19,8 ºC.

223

132255 _ 0270-0288.indd 287132255 _ 0270-0288.indd 287 11/9/09 07:31:3411/9/09 07:31:34

Direcció d’art: José Crespo

Projecte gràfic Portada: Carrió/Sánchez/LacastaInteriors: Paco Sánchez i Avi

Il·lustració de portada: Max

Cap de projecte: Rosa MarínCoordinació d’il·lustració: Carlos AguileraCap de desenvolupament de projecte: Javier TejedaDesenvolupament gràfic: José Luis García i Raúl de Andrés

Direcció tècnica: Ángel García Encinar

Coordinació tècnica: José Luis Verdasco i Virtudes LlobetConfecció i muntatge: Jorge Borrego, Juan Carlos Villa, David Redondo i Virtudes LlobetCorrecció: Antoni Soriano i Immaculada Gregori

© 2009 by Edicions Voramar, S. A. / Santillana Educación, S. L.C/ València, 44 – 46210 Picanya (València)PRINTED IN SPAINImprés a Espanya per

ISBN: 978-84-9807-297-6CP: 132255Depòsit legal:

Qualsevol forma de reproducció, distribució, comunicació pública o transformació d’aquesta obra només pot ser feta amb l’autorització dels seus titulars, llevat de les excepcions que estableix la llei. Contacteu amb CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necessiteu fotocopiar o escanejar algun fragment d’aquesta obra.

132255 _ 0270-0288.indd 288132255 _ 0270-0288.indd 288 11/9/09 07:31:3411/9/09 07:31:34