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TRIGONOMETRÍA

1

TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRÍÍAA 44

IIDDEENNTTIIDDAADDEESS CCIIRRCCUULLOO TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCOO

OO CCIIRRCCUUNNFFEERREENNCCIIAA GGOONNIIOOMMÉÉTTRRIICCAA

Recibe este nombre por tres motivos: a) El radio utilizado es la unidad de la longitud usada. b) Al usar la unidad la función queda simplificada. c) Cuando en una división el divisor es uno, el cociente es el dividendo. Ejemplo: de círculo trigonométrico. El radio también se denomina la distancia entre el origen del sistema de coordenadas y un punto cualesquiera del círculo.

LLÍÍNNEEAASS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS

Las líneas trigonométricas sirven para mostrarnos gráficamente en el círculo funciones trigonométricas. FUNCIÓN SENO

Seno =Hipotenusa

Opuesto Cateto = ciatanDis

Opuesto Cateto = r

Ordenada = 1y = Y

TRIGONOMETRÍA

2

Senα = RY Como R = 1 Senα =

1Y = y = ordenada

FUNCIÓN COSENO

Coseno = Hipotenusa

Adyacente Cateto = ciatanDis

Adyecente Cateto = R

Abcisa = 1x

Cos. α = RX =

ciatanDisAbcisa =

1x = x

Cos = RX como R = 1 Cos = x

FUNCIÓN TANGENTE

Tangente ∝ = Adyacente CatetoOpuesto Cateto =

AbcisaOrdenada =

xy =

αCosαSen

A B

C

αy

x

x = Cateto Adyacente

y = Cateto Opuesto

A B

C

α y

x

Coseno

y = seno

α y = Sen

x

TRIGONOMETRÍA

3

CCOONNCCLLUUSSIIÓÓNN DDEE LLAASS LLÍÍNNEEAASS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS

NOTA Al Seno, Coseno y Tangente se les llama líneas trigonométricas, a la cotangente, secante y cosecante colíneas trigonométricas.

α

Tangente Seno

Coseno

TRIGONOMETRÍA

4

CCOOLLÍÍNNEEAASS

TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS FUNCIÓN COTANGENTE

Cotangente = Opuesto Lado

Adyacente Lado = Ordenada

Abcisa = yx =

αsenαcos

¡Observe! 1) Observa que “β” es el complemento de α, y, α es el complemento de β.

¡IMPORTANTE! La tangente de un ángulo es la Cotangente de su complemento.

Por tanto la Tan β = OCCB pero OC = 1 y nos queda:

Tan β = OCCB =

1CB = CB De Donde

O A

B C

β α

Cotangente de Alfa

TRIGONOMETRÍA

5

Cot α = CB FUNCIÓN SECANTE

Secante = Adyacente Cateto

Hipotenusa = Abcisa

Hipotenusa = x

Hipotenusa

Sec α = OAOB pero OA vale uno por ser el radio del círculo y tenemos

que:

Sec α = OAOB =

1OB = OB

NOTA: Recuerde que la definición de Secante es: Es una recta que corta una curva, observe que la Secante de α es OB. ¡IMPORTANTE! La secante se forma como una recta indefinida FUNCIÓN COSECANTE

α

B

A Q O

P Secante de Alfa

TRIGONOMETRÍA

6

Cosecante = Opuesto Lado

Hipotenusa

NOTA: la secante de β es decir, Cosecante de α porque son complementarios.

Sec β = OBOA pero OB es igual a uno, por lo tanto:

Sec β = OBOA =

1OA = OA

Sec β = Csc α es decir, Sec β = OA y Csc α = OA

CCOONNCCLLUUSSIIÓÓNN

LLÍÍNNEEAASS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEELL CCIIRRCCUULLOO

α β

B A

O

Cosencante de Alfa

α

C

D

O A B

Tangente

Seno

Coseno

TRIGONOMETRÍA

7

CCOOLLIINNEEAASS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEELL CCIIRRCCUULLOO

RREELLAACCIIOONNEESS FFUUNNDDAAMMEENNTTAALLEESS EENNTTRREE LLAASS FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRIICCAASS YY FFOORRMMAA DDEE

RREEDDUUCCCCIIÓÓNN

FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEE UUNN TTRRIIAANNGGUULLOO RREECCTTÁÁNNGGUULLOO

Sen A = RY Csc A =

YR Tan A =

XY

Cos A = RX Sec A =

XR Ctg A =

YX

y

R

Ax

α

T C

P

B

A Q O

Secante

Cosecante

Cotangente

TRIGONOMETRÍA

8

FFUUNNCCIIOONNEESS RREECCIIPPRROOCCAASS Son aquellas funciones que al multiplicar entre sí su producto es igual a 1. PRIMERA RELACIÓN Sen A • Csc A = 1 Demostración:

Sen A = RY Csc A =

YR

De donde:

Sen A ⋅ Csc A = RY ⋅

YR = 1

Conclusión: Sen A ⋅ Csc A =1

Sen A = CscA

1 y Csc A = SenA

1

SEGUNDA RELACIÓN:

Cos A • Sec A = 1 Demostración:

Cos A = RX y Sec A =

XR

De donde:

Cos A • Sec A = RX •

XR = 1

Conclusión:

TRIGONOMETRÍA

9

Cos A • Sec A = 1 También:

Cos A = SecA

1 y Sec A = CosA

1

TERCERA RELACIÓN:

Tag A • Ctg A = 1 Demostración:

Tag A = XY y Cot A =

YX

De donde:

Tag A • Ctg A = XY •

YX = 1

Conclusión:

Tag A • Ctg A = 1

Tag A = CtgA

1 y Ctg A = TagA

1

CUARTA RELACIÓN:

Tag A = CosASenA

Demostración:

Sen A = RY ; Cos A =

RX ; Tag A =

XY

TRIGONOMETRÍA

10

Tag A = CosASenA =

RXRY

= RY ÷

RX =

RY •

XR =

XY

Conclusión: Tag A

XY ó Tag A =

CosASenA

QUINTA RELACIÓN:

Ctg A = SenACosA

Demostración:

Sen A = RY y Cos A =

RX ; Ctg A =

YX

Ctg A = SenACosA =

RYRX

= RX ÷

RY =

RX ⋅

YR =

YX

Conclusión:

Ctg A = YX ó

SenACosA

TRIGONOMETRÍA

11

SEXTA RELACIÓN:

Sen 2 A ÷ Cos 2 A = 1 Demostración: aplicando Pitágoras

R 2 = X 2 + Y 2 Aplicando la propiedad básica de las ecuaciones, dividimos todos los términos de la ecuación por R 2 y nos queda.

2

2

RR =

2

2

RX +

2

2

RY

Pero

2

2

RR = 1

2

2

RX = Cos 2

2

2

RY = Sen 2

De donde:

1= Cos 2 + Sen 2 De donde:

Sen 2 + Cos 2 = 1 ó Sen 2 A + Cos 2 A = 1

Pasando Coseno al miembro derecho nos queda:

Sen 2 A = 1 – Cos 2 A Sacando raíz cuadrada a ambos miembros nos queda:

ASen2 = ACos1 2−

TRIGONOMETRÍA

12

Elaborando la operación en el miembro izquierdo nos queda:

sen A = ACos1 2− SÉPTIMA RELACIÓN:

Sec 2 A = 1 + Tg 2 A Demostración: aplicando Pitágoras.

R 2 = X 2 +Y 2 Aplicando la propiedad básica de las ecuaciones, dividimos todos los términos de la ecuación por x 2 y nos queda.

2

2

XR =

2

2

XX +

2

2

XY

De donde:

2

2

XR = 1 +

2

2

XY

Pero: 2

2

XR = Sec 2 y

2

2

XY = Tg 2

De donde: Sec 2 = 1 + Tg 2 Conclusión: Sec 2 A = 1 + Tg 2 A Aplicando la propiedad básica de las ecuaciones, es decir, sacando raíz cuadrada a ambos miembros nos queda:

ASec 2 = ATg1 2+

TRIGONOMETRÍA

13

Extrayendo la Raíz Cuadrada en el lado izquierdo nos queda:

Sec A = ATg1 2+ OCTAVA RELACIÓN:

Csc 2 A = 1 +Ctg 2 A Demostración: Aplicando Pitágoras.

R 2 = X 2 + Y 2 Aplicando la propiedad básica de las ecuaciones es decir, dividiendo todos los términos de la ecuación por y 2 nos queda:

2

2

YR =

2

2

YX +

2

2

YY

Pero:

2

2

YR : Csc 2 =

2

2

YX = Ctg 2 ;

2

2

YY = 1

De donde:

csc 2 = Ctg 2 + 1 ó csc 2 = 1 + Ctg 2 Conclusión:

Csc 2 A = 1 + Ctg 2 A Metiendo ambos miembros bajo radical nos queda:

ACsc 2 = Actg1+ Extrayendo Raíz Cuadrada al miembro izquierdo nos queda:

Csc A = ACtg1 2+

TRIGONOMETRÍA

14

UUNNAA FFUUNNCCIIÓÓNN EENN BBAASSEE AA LLAASS OOTTRRAASS CCIINNCCOO

SENO EN BASE A COSECANTE

Recuerde que: Sen A RY = y Csc A =

YR

De donde:

Sen A = RY =

YR1

Pero: YR = Csc por ser complemento

De donde: Sen A = RY =

CscA1

Conclusión: Sen A CscA

1

NOTA Cuando tratamos las líneas trigonométricas establecemos que en un ángulo alfa, cuyo radio vale la unidad, el lado opuesto es el Seno y el lado adyacente es el Coseno.

TRIGONOMETRÍA

15

EN BASE A COSENO Elaboramos la figura: De la figura establecemos que:

Sen 2 A + Cos 2 A = 1 De donde:

Sen 2 A = 1 – Cos 2 A De donde:

Sen A = ACos1 2− EN BASE A COTANGENTE Vimos que:

Csc A = ACtg1 2+ También vimos que:

Csc A = SenA

1

De donde:

SenA1 = ACtg1 2+

Despejando seno nos queda:

ACtg11

2+ = Sen A

A

B

C A

Seno

Coseno

1

TRIGONOMETRÍA

16

Organizando nos queda:

Sen A =ACtg1

12+

EN FUNCIÓN DE SECANTE 1) Cos A . Sec A = 1 De donde

2) Sec A = CosA

1

Pero en la relación sexta vimos que: 3) Cos A = ASen1 2− Por tanto reemplazando en dos tenemos que:

Sec A = ASen1

12−

Multiplicando cada miembro por si mismo nos queda:

Sec A . Sec A = Sec 2 A

ASen1

12−

• ASen1

12−

= ASen1

12−

De donde:

Sec 2 = ASen1

12−

TRIGONOMETRÍA

17

De donde: Sec 2 A ( 1 – Sen 2 A ) = 1 De donde: Sec 2 A – Sec 2 A ⋅ Sen 2 A = 1 De donde.

-Sec 2 A ⋅ Sen 2 A = 1 - Sec 2 A Multiplicando todos los términos por menos uno nos queda Sec 2 A ⋅ Sen 2 A = -1 + Sec 2 A Organizando nos queda: Sec 2 A . Sen 2 A = Sec 2 A – 1 Despejando Sen 2 A queda:

Sen 2 A = 2

2

Sec1Sec −

Metiendo ambos miembros bajo radical queda:

ASen2 = ASec

1ASec2

2 −

Extrayendo Raíz Cuadrada en el miembro izquierdo nos queda:

Sen A = ASec

1ASec2

2 −

EN BASE A COSECANTE Ya vimos que:

Sen A = CscA

1

De la ecuación establecemos que:

Sen A • Csc A = 1

TRIGONOMETRÍA

18

EN FUNCIÓN DE TANGENTE Sabemos que:

1) Tan A = A Cosa Sen

También sabemos que: 2) Cos A ASen1 2− Reemplazando en (1) a Coseno nos queda:

3) Tan A = ASen1

SenA2−

Multiplicando ambos miembros por un valor igual nos queda:

Tan A . Tan A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

− ASen1SenA

2 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

− ASen1SenA

2

De donde nos queda:

Tan 2 A = ASen1

ASen2

2

−

De donde: Tan 2 A (1 - Sen 2 A) = Sen 2 A Tan 2 A – Tan A . Sen 2 A = Sen 2 A Tan 2 A = Sen 2 A + Tan 2 A . Sen 2 A Factorizando tenemos:

Tan 2 A = sen 2 A (1 + Tan 2 A) De donde: Sen 2 A (1 + Tan 2 A) = Tan 2 A

TRIGONOMETRÍA

19

De donde:

Sen 2 A = ATan1

ATan2

2

+

Sacando Raíz Cuadrada a ambos miembros nos queda:

ASen2 = ATan1

ATan2

2

+

De donde:

Sen A = ATan1

TanA+

RREESSUUMMEENN DDEELL CCAALLCCUULLOO DDEELL SSEENNOO EENN FFUUNNCCIIÓÓNN DDEE LLAASS RREESSTTAANNTTEESS

Sen A = CscA

1

Sen A = ACos1 2−

Sen A = ACtg1

12+

Sen A = ASec

1ASec2

2 −

Sen A = ATan1

TanA2+

TRIGONOMETRÍA

20


((CCOONNTTIINNUUAACCIIÓÓNN IIDDEENNTTIIDDAADDEESS))

CCOOSSEENNOO EN BASE AL SENO Vimos que: Sen 2 A + Cos 2 A = 1 De donde: Cos 2 A = 1 - Sen 2 A Manteniendo ambos miembros bajo radical queda:

ACos2 = ASen1 2− Extrayendo Raíz Cuadrada al miembro de la izquierda queda:

Cos A = ASen1 2− EN BASE A LA SECANTE

Cos A =SecA

1

EN BASE A TANGENTE

Vimos que 1) Tan A = CosASenA

2) pero Sen A = ACos1 2−

TRIGONOMETRÍA

21

Reemplazando Seno en uno nos queda:

Tan A= CosA

ACos1 2−

Multiplicando cada miembro por si mismo queda:

Tan A ⋅ Tan A = CosA

ACos1 2− ⋅ CosA

ACos1 2− Haciendo la operación:

Tan 2 A = ACos

ACos12

2−

Quitando el denominador queda:

Tan 2 A ⋅ Cos 2 A = 1 - Cos 2 A Pasando Coseno al lado izquierdo queda:

Tan 2 A ⋅ Cos 2 A + Cos 2 A = 1 Factorizando queda:

Cos 2 A (Tan 2 A + 1) = 1 Despejando Coseno nos queda:

Cos 2 A = 1ATan

12 +

Organizando el Denominador queda:

Cos 2 A = ATan1

12+

Sacando Raíz Cuadrada a ambos miembros queda:

Cos A = ATan1

12+

TRIGONOMETRÍA

22

EN BASE A COSECANTE Vimos que:

1) Csc A = SenA

1

También vimos: 2) Sen A = ACos1 2− Reemplazando Seno en uno nos queda:

Csc A = ACos1

12−

Elevando al cuadrado ambos miembros nos queda:

Csc A . csc A = ACos1

12−

• ACos1

12−

De donde:

Csc 2 A = ACos1

12−

De donde:

1 – Cos 2 A ACsc

12

De donde:

− Cos 2 A = 1ACsc

12

−

De donde multiplicando cada término por menos uno queda:

Cos 2 A = - 1ACsc

12

+

Organizando el segundo miembro:

TRIGONOMETRÍA

23

Cos 2 A = ACsc

112

−

Convirtiendo la unidad en Csc 2 A sobre Csc 2 A queda:

Cos 2 A = ACsc

1ACscACsc

22

2

−

Elaborando la suma de fraccionarios con igual denominador queda:

Cos 2 A = ACsc

1ACsc2

2 −

Extrayendo Raíz Cuadrada a ambos miembros queda:

Cos A = ACsc

1ACsc2

2 −

EN BASE A COTANGENTE Vimos que:

1) Cot A = SenACosA

También vimos que: 2) Sen A = ACos1 2− Reemplazando Seno en Uno nos queda:

3) Cot = ACos1

CosA2−

Elevando al cuadrado cada miembro nos queda:

TRIGONOMETRÍA

24

Cot A • Cot A = ACos1

CosA2−

• ACos1

CosA2−

Elaborando la operación queda:

Cot 2 A = ACos1

ACos2

2

−

Quitando el denominador nos queda: Cot 2 A (1- Cos 2 A) = Cos 2 A Elaborando la operación nos queda: Cot 2 A - Cot 2 A . Cos 2 A = Cos 2 A Despejando Cotangente nos queda: Cot 2 A = Cos 2 A + Cot 2 A . Cos 2 A De donde: Cot 2 A = Cos 2 A (1 + Cot 2 A) Despejando Coseno nos queda:

ACot1

ACot2

2

+ = Cos 2 A

Cambiando todos los términos queda:

Cos 2 A = ACot1

ACot2

2

+

Sacando Raíz Cuadrada a ambos miembros nos queda:

ACos2 = ACot1

ACot2

2

+

Elaborando la operación.

TRIGONOMETRÍA

25

Cos A = ACot1

CotA2+

Resumiendo: Cos A = ASen1 2−

Cos A = SecA

1

Cos A = ATan1

12+

Cos A = CscA

1ACsc 2 −

Cos A = ACot1

CotA2+

TTAANNGGEENNTTEE EN BASE A COTANGENTE Ya vimos que

Tan A = ACtg

1

EN BASE A SENO

1) Tan A = ACos ASen

También vimos que:

TRIGONOMETRÍA

26

2) Cos A = ASen² - 1 Reemplazando Seno en uno nos queda:

3) Tan A = A² Sen - 1

ASen

EN BASE A COSENO Vimos que:


También vimos que: 2) Sen A = ACos² - 1 3) Reemplazando Seno en uno nos queda:

Tan A = ACos

ACos² - 1

EN BASE A SECANTE Vimos que:


Ya vimos que:

2) Sen A = ASec

1 - A ²Sec

Ya vimos que:

TRIGONOMETRÍA

27

3) Cos A = Sec A

1

Reemplazando en uno nos queda:

Tan A =

ASec1

ASec1 - A Sec²

Quitando Denominadores por ser iguales nos queda que:

Tan A = 1

1 - A Sec²

De donde: Tan A = 1 - A Sec² EN BASE A COSECANTE Ya vimos que:


También sabemos que:

2) Sen A = Csc A

1


3) Cos A = ACsc

1 - A Csc²

TRIGONOMETRÍA

28

Reemplazando en uno nos queda que:

Tan A =

ACsc1 - A Csc²

Csc A1

Anulando Denominadores queda:

Tan A = 1 - A ²Csc

1

RREESSUUMMEENN

Tan A = ACtg

1

Tan A = ASen² - 1

ASen

Tan A = ACos

ACos² - 1

Tan A = 1 - ASec 2

Tan A = 1 - A ²Csc

1

TRIGONOMETRÍA

29

CCOOTTAANNGGEENNTTEE EN BASE A SENO Ya vimos que:

1) Cot A = ATan

1

Sabemos que:


Pero Cos A = ASen² - 1 Reemplazando en dos a Coseno nos queda:

3) Tan A = A² Sen - 1

ASen

Reemplazando Tangente en uno nos queda:

Cot A =

ASen² - 1 ASen

1

Elaborando la operación correspondiente nos queda:

Cot A = ASen

ASen² - 1

TRIGONOMETRÍA

30

EN BASE A COSENO Sabemos que:

1) Cot A = ATan

1

Pero sabemos que:


También sabemos que: 3) Sen A = ACos² - 1 Reemplazando Seno en dos nos queda:

Tan A = ACos

ACos² - 1

Reemplazando Tangente en uno nos queda:

Cot A =

ACos ACos² - 1

1

Elaborando la operación nos queda:

Cot A = ACos² - 1

ACos

EN BASE A TANGENTE

Cot A = ATan

1

EN BASE A SECANTE

TRIGONOMETRÍA

31

Sabemos que:

1) Cot A = ATan

1

También sabemos que: 2) Tan A = 1 - A Sec² Reemplazando en uno nos queda:

3) Cot A = 1 - A Sec²

1

EN BASE A COSECANTE

1) Cot A = ATan

1

Pero sabemos que:

2) Tan A = 1 - A Csc²

1

Reemplazando tangente en uno nos queda:

3) Cot A =

1 - A ²Csc11

Elaborando la operación queda: 4) Cot A = 1 - A ²Csc

TRIGONOMETRÍA

32

RREESSUUMMEENN

Cot A = ASen

ASen² - 1

Cot A = ACos² - 1

AosC

Cot A = AanT

1

Cot A = 1 - A ²Sec

1

Cot A = 1 - ACsc 2

SSEECCAANNTTEE EN BASE A SENO Sabemos que:

1) Sec A = ACos

1

Sabemos que: 2) Cos A = ASen² - 1 Reemplazando Coseno en uno nos queda:

3) Sec A = A² Sen - 1

1

EN BASE A COSENO

TRIGONOMETRÍA

33

Sec A = ACos

1

EN BASE A TANGENTE Sabemos que:

1) Sec A = ACos

1


2) Cos A = ATan² 1

1+

Reemplazando Coseno en uno nos queda:

3) Sec A =

ATan² - 111

Elaborando la operación queda: 4) Sec A = ATan² 1+ EN BASE A COTANGENTE Sabemos que:

1) Sec A = ACos

1

Sabemos que:

2) Cos A = ACot² 1

ACot+


TRIGONOMETRÍA

34

3) Sec A =

ACot² 1 ACot

1

+

Elaborando la operación nos queda:

4) Sec A = ACot

ACot² 1+

EN BASE A COSECANTE Sabemos que:

1) Sec A = ACos

1

Sabemos que:

2) Cos A = Csc A

1 - A Csc²


3) Sec A =

Csc A1 - A Csc²

1

Elaborando la operación correspondiente nos queda:

4) Sec A = 1 - A Csc²

Csc A

TRIGONOMETRÍA

35

RREESSUUMMEENN

Sec A = ASen² - 1

1

Sec A = ACos

1

Sec A = ATan² 1+

Sec A = ACot

ACot² 1+

Sec A = 1 - A Csc²

Csc A

CCOOSSEECCAANNTTEE

EN BASE A SENO Sabemos que:

Csc A = ASen

1

EN BASE A COSENO Sabemos que:

1) Csc A = ASen

1

Pero: Sen A = ACos² - 1 Reemplazando en uno por Coseno queda:

TRIGONOMETRÍA

36

2) Csc A = ACos² - 1

1

EN BASE A TANGENTE Sabemos que:

1) Csc A = ASen

1

Sabemos que:

2) Sen A = ATan² 1

ATan+


3) Csc A =

ATan² 1 ATan

1

+


4) Csc A = ATan

ATan² 1+

EN BASE A COTANGENTE Sabemos que:

1) Csc A = ASen

1

TRIGONOMETRÍA

37

Sabemos que:

2) Sen A = ACot² 1

1+


3) Csc A =

ACot² 111

+

Elaborando la operación nos queda: 4) Csc A = ACot² 1+ EN BASE A SECANTE Sabemos que:

1) Csc A = ASen

1

Sabemos que:

2) Sen A = Sec A

1 - A Sec²


3) Csc A =

Sec A1 - A Sec²

1


4) Csc A = 1 - A Sec²

Sec A

TRIGONOMETRÍA

38

RREESSUUMMEENN

Csc A = ASen

1

Csc A = ACos² - 1

1

Csc A = AanT

ATan² 1+

Csc A = ACot² 1+

Csc A = 1 - A Sec²

Sec A

TRIGONOMETRÍA

39


FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS

DDEE LLAA SSUUMMAA YY DDEE LLAA DDIIFFEERREENNCCIIAA DDEE DDOOSS ÁÁNNGGUULLOOSS

FUNCIÓN SENO Si llamamos aun ángulo “a” y a otro ángulo “b” se presenta que:

Sen (a + b) = Sen a • Cos b + Cos a • Sen b

La demostración generalmente se presenta a través de la figura Pitagórica: NOTA: Para que entienda que ∠ a = ∠ a, recuerde que en Geometría se demostró que ángulos agudos con lados correspondientes perpendiculares, con iguales. Es la norma que aplicamos en este caso. Observe que GH es perpendicular a OH ; observe que GF es perpendicular a OI por tanto ∠ a = ∠ a

H

I E O

G

F a

a

b

TRIGONOMETRÍA

40

DEMOSTRACIÓN

1) Sen (a + b ) = OGGE

2) Pero GE = FE + FG 3) Pero FE = HI 4) Sustituyendo en 2 FE por HI queda: 5) GE = HI + FG 6) Sustituyendo 5 en uno queda:

7) Sen (a + b) = OG

FG HI + = OGHI +

OGFG

Es decir:

Sen (a + b) = OGHI +

OGFG

Multiplicando la primera fracción por OH y la segunda fracción por GH nos queda:

8) Sen (a + b) = OGHI •

OHOH +

OGFG •

GHGH

El orden de los factores no altera el producto y nos queda:

9) Sen (a + b) = OHHI •

OGOH +

GHFG •

OGGH

Observando cada fracción tenemos:

10) OHHI = Sen a

OGOH = Cos b

TRIGONOMETRÍA

41

GHFG = Cos a

OGGH = Sen b

En otras palabras

11) Sen (a + b) = OHHI •

OGOH +

GHFG •

OGGH

Sen (a + b) = Sen a • Cos b + Cos a • Sen b

FUNCIÓN COSENO

Cos (a + b ) = OGOE

Pero: OE = OI – EI

EI = FH Sustituyendo en OE por OI – EI y EI por FH Nos queda:

Cos (a + b) = OG

FH - OI = OGOI −

OGFH

H

I E O

G

F a

a

b

TRIGONOMETRÍA

42

Multiplicando la primera fracción por OH y la segunda fracción por GH nos queda:

Cos (a + b) = OGOI •

OHOH −

OGFH •

GHGH

El orden de los factores no altera el producto y nos queda:

Cos (a + b) = OHOI •

OGOH −

GHFH •

OGGH

Pero:

OHOI = Cos a

OGOH = Cos b

GHFH = Sen a

OGGH = Sen b

En otras palabras

Cos (a + b) = OHOI •

OGOH −

GHFH •

OGGH

Cos (a + b) = Cos a • Cos b − Sen a • Sen b FUNCIÓN TANGENTE 1) Sabemos que

Tan = Coseno

Seno

TRIGONOMETRÍA

43

Por tanto

2) Tan (a + b) = b)(a Cosb)(a Sen

++ =

b Sen a Sen b Cos a Cosa Cos b sen b Cos a Sen

•+••+•

Aplicando la ley básica de los fraccionarios dividimos numerador y denominador por Coseno a · Coseno b y nos queda:

3) Tan (a + b) =

bCosaCosb Sen a Sen - b Cos a Cos

b Cos a Cosa Cos b Sen b Cos a Sen

•••

••+•

De lo anterior queda:

4) Tan (a + b) =

b Cos aCosa Cos b Sen

bCos aCosb Cos a osC

b Cos a Cosa Cos b Sen

b Cos a Cosb Cos a Sen

••

−••

••

+••

Simplificando queda:

5) Tan (a + b) =

bCos aCosb Sen a Sen - 1

b Cosb Sen

a Cosa Sen

••

+

Pero:

6) a Cosa Sen = Tan A

b Cosb Sen = Tan B

a Cosa Sen = Tan A

b Cosb Sen = Tan B

TRIGONOMETRÍA

44

Reemplazando en 5 nos queda:

Tan (a + b) = b Tan a Tan - 1 b Tan a Tan

•+

FUNCIÓN COTANGENTE Sabemos que

Cot = Seno

Coseno

De donde:

Cot (a + b) = b)(a enSb)(a Cos

++ =

a Cos b Sen b Cos a Senb Cos a Sen b Cos a osC

•+••−•

Aplicando la característica básica de los fraccionarios dividimos numerador y denominador por Sen a · Sen b y nos queda:

Cot (a + b) =

b Sen aenSa Cos b Sen

bSen aSenb Cos a enS

b Sen a enSb Sen a Sen

b Sen a Senb Cos a osC

••

−••

••

+••

Simplificando queda:

Cot (a + b) =

aSena Cos

bSenb Cos

1 - b Sen a enSb Cos a Cos

+

••

TRIGONOMETRÍA

45

Pero:

a Sena osC = Cot a

b Senb osC = Cot b

Reemplazando nos queda:

Cot (a + b) = a Cot b otC

1 - b Cot a Cot••

FUNCIÓN SECANTE Sabemos que:

Sec = Cos

1

Aplicando este principio, para Secante se aplica la relación:

Sec (a + b) = b) (a Cos

1+

FUNCIÓN COSECANTE Sabemos que:

Csc = Sen

1

Aplicando este principio para Cosecante se aplica la relación:

Csc (a + b) = b) (a enS

1+

TRIGONOMETRÍA

46

FFUUNNCCIIÓÓNN TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAA DDEE LLAA DDIIFFEERREENNCCIIAA DDEE DDOOSS ÁÁNNGGUULLOOSS

NOTA: Coseno a = Cos – a DEMOSTRACIÓN CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO

Cos a = R

OA Cos – a = R

OA

Deducción Cos a = Cos – a FUNCIÓN SENO 1) Sen (a + b ) = Sen a • Cos b + Sen b • Cos a 2) Sen [a + (-b)] = Sen a • Cos (-b) + Sen (-b) • Cos a NOTA Los valores dentro de un signo de agrupación precedido del signo más (+) salen conservando su signo. Por otra parte tenemos: Cos (-b) = Cos b Por lo ya explicado en el círculo Trigonométrico

Sen (-b) = - Sen b 3) Sustituyendo en dos nos queda:

a

B

R

O R

A -a

TRIGONOMETRÍA

47

Sen (a-b) = Sen a • Cos b – Sen b • Cos a FUNCIÓN COSENO Sabemos que Cos (a-b) = Cos a • Cos b – Sen a • Sen b Cos [a + (-b)] = Cos a • Cos (-b) - Sen a • Sen (-b) Pero Cos (-b) = Cos b : Por lo ya visto. - Sen b = Sen (-b) y tenemos: Cos [a + (-b)] = Cos a • Cos (-b) - Sen a • Sen (-b) Cos (a-b) = Cos a • Cos b + Sen a • Sen b CONCLUSIÓN Cos (a – b) = Cos a • Cos b + Sen a • Sen b FUNCIÓN TANGENTE Sabemos que:

Tan (a + b) = b Tan a Tan - 1 b Tan a Tan

•+

Porque menos por menos arroja más.

TRIGONOMETRÍA

48

Tan [a + (-b) ] = (-b) Tan a Tan - 1

(-b) Tan a Tan•

+

Pero: Tan (-b) = - Tan b De donde:

Tan (a – b) = b Tan a Tan 1 b Tan a Tan

•+−

FUNCIÓN COTANGENTE Sabemos que:

Cot (a + b) = b Cot a otC

1 - b Cot a Cot+•

Cot [a + (-b)] = (-b) Cot a otC

1 - (-b) Cot a Cot+•

Cot (-b) = - Cot b De donde:

Cot (a – b) = b Cot a otC

1 - b Cot a Cot−•−

Multiplicando numerado y denominador por (-1) nos queda:

Cot (a – b) = (-1) b) Cot a otC(

(-1) 1) - b Cot a Cot (−•−

TRIGONOMETRÍA

49

De donde:

Cot (a – b) = b Cot a otC

1 b Cot a Cot+−

+•+

De donde:

Cot (a – b) = a Cot b otC

1 b Cot a Cot+

+•

FUNCIÓN SECANTE Sabemos que:

Sec = Cos

1


Sec (a + b) = b) (a osC

1+

De donde:

Sec (a – b) = b) (a osC

1−

Uniendo los dos conceptos nos queda:

Sec (a ± b) = b) (a osC

1±

FUNCIÓN COSECANTE Sabemos que:

Csc = Sen

1

TRIGONOMETRÍA

50

Csc (a + b) = b) (a enS

1+

Csc (a – b) = b) (a enS

1−

Uniendo los dos conceptos nos queda:

Csc (a ± b) = b) (a enS

1±

RREESSUUMMEENN DDEE LLAASS FFOORRMMUULLAASS VVIISSTTAASS

Sen (a ± b) = Sen a • Cos b ± Sen b • Cos a Cos (a ± b) = Cos a • Cos b m Sen b • Sen a

Tan (a ± b) = bTanaTan 1 b Tan a Tan

•±

m

Cot (a ± b) = aCot bCot

1 b Cot a otC±

±•

Sec (a ± b) = b) (a Cot

1±

Csc (a ± b) = b) (a enS

1±

TRIGONOMETRÍA

51

FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEELL ÁÁNNGGUULLOO DDUUPPLLOO

FUNCIÓN SENO Sabemos que:

Sen (a + b ) = Sen a • Cos b + Cos a • Sen b Al ángulo duplo se le llama ángulo 2a. Para logarlo “b” se iguala a “a” y nos queda b = a Por tanto:

Sen (a + b ) = Sen a • Cos b + Cos a • Sen a Observe que el segundo miembro está compuesto por términos semejantes, por tanto los reducimos y tenemos: Sen a • Cos a + Sen a • Cos a 2 Sen a • Cos a Es decir: Sen (a + a) = 2 Sen a • Cos a En otras palabras Seno de 2a o Seno del ángulo duplo queda: Sen 2a = 2 Sen a • Cos a FUNCIÓN COSENO Sabemos que:

Cos (a + b ) = Cos a • Cos b – Sen a • Sen b Haciendo b = a nos queda:

TRIGONOMETRÍA

52

Cos (a + a ) = Cos a • Cos a – Sen a • Sen a

De donde: Cos 2a = Cos² a – Sen² a FUNCIÓN TANGENTE Sabemos que:

Tan (a + b) = b Tan a Tan - 1

b Tan a Tan•

+

Haciendo b = a nos queda:

Tan (a + a) = a Tan a Tan - 1

a Tan a Tan•

+

De donde:

Tan 2a = a²Tan - 1

a Tan 2

TRIGONOMETRÍA

53

FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEELL ÁÁNNGGUULLOO MMIITTAADD

Ya vimos que: 1. Sen 2a = 2 Sen a • Cos a También sabemos que: 2. Cos 2a = Cos² a – Sen² a También sabemos: 3. Cos² a = 1 – Sen² a También sabemos que: 4. Cos 2a = 1 – Sen² a – Sen² a De donde: 5. Cos 2a = 1 – 2 Sen² a Pero: 6. Sen² a = 1 – Cos² a De donde: reemplazando queda: 7. Cos 2a = 1 – 2 (1 – Cos² a) Resolviendo queda: 8. Cos 2a = 1 – 2 + 2 Cos² a De donde: 9. Cos 2a = -1 + 2 Cos² a De donde: 10. Cos 2a = 2 Cos² a – 1

TRIGONOMETRÍA

54


11. Tan 2a = aTan²-1

a Tan 2

CÁLCULO DE SEN 2X

Ya sabemos que: 1) Cos 2a = 1 – 2 Sen² a

Si reemplazamos “a” por 2X nos queda:

2) Cos 2 2X = 1 – 2 Sen²

2X

Simplificando nos queda:

3) Cos x = 1 – 2 Sen² 2X

Despejando 2 Sen² 2X nos queda:

De donde: 4) 2 Sen² 2X = 1 – Cos x

De donde: 5) Sen² 2X =

2 xCos - 1

6) 2x ²Sen =

2 xCos - 1

7) Sen 2X = ±

2 xCos - 1

CÁLCULO DEL COSENO DE 2X

Ya sabemos que: 1) Cos 2a = 2 Cos² a – 1

TRIGONOMETRÍA

55

Si reemplazamos “a” por 2X nos queda:

2) Cos 2 2X = 2 Cos²

2X – 1

Simplificando nos queda:

3) Cos x = 2 Cos² 2X – 1

Cambiando el signo a todos los términos nos queda:

4) − Cos x = − 2 Cos² 2X + 1

Despejando Cos² nos queda:

5) 2 Cos² 2X = Cos x + 1

De donde: 6) Cos² 2X =

21 x Cos +

De donde: 7) 2x ²Cos =

21 x Cos +

Organizando nos queda:

8) Cos 2X = ±

2 xCos 1 +

CÁLCULO DE LA TANGENTE DE 2X

Sabemos que:

1) Tan x = xCoseno

xSeno

TRIGONOMETRÍA

56

Por tanto:

2) Tan 2x =

2x Cos

2x Sen

Pero:

3) Sen 2x = ±

2 xCos - 1

4) Cos 2x = ±

2 xCos 1 +

Por tanto:

5) Tan 2x =

2 xCos 1

2 xCos - 1

+

Simplificando denominadores queda:

6) Tan 2x =

xCos 1 xCos - 1

+

Si multiplicamos numerador y denominador del miembro derecho por

xCos 1+ nos queda:

7) Tan 2x =

xCos 1 xCos - 1

+ •

xCos 1 xCos 1

++

8) Tan 2x =

x)²Cos (1 x)Cos (1 x)Cos - 1(

+

+

9) Tan 2x =

xCos 1 xCos² - 1

+

TRIGONOMETRÍA

57

10) Tan 2x =

xCos 1 x² Sen

+

11) Tan 2x =

xCos 1 xSen

+

Multiplicando numerado y denominador por xCos - 1 nos queda que:

12) Tan 2x =

xCos 1 xCos - 1

+ •

xCos 1 xCos -1

−

13) Tan 2x =

x)Cos - (1 x)Cos 1( x)²Cos - (1

+

14) Tan 2x =

xCos² 1 xCos - 1

−

15) Tan 2x =

xSen² xCos - 1

16) Tan 2x =

xSen xCos - 1

CONCLUSIÓN

Tan 2x =

xSen xCos - 1 Ò Tan

2x =

xCos 1 xSen

+

TRIGONOMETRÍA

58

CÁLCULO DE LA COTANGENTE DE 2X

Sabemos que:

1) Tan 2X =

xSen xCos - 1

Sabemos que:

2) Cot 2X =

2x Tan

1

De donde: 3) Cot 2X =

2x Tan

1 =

xSen xCos - 1

1

Pero: 4)

xSen xCos - 1

11

= 11 •

xCos - 1 xSen =

xCos - 1 xSen

CONCLUSIÓN:

Cot 2X =

xCos - 1 xSen

CÁLCULO DE LA SECANTE DE 2X

1) Sec 2X =

2x Cos

1 =

2 xCos 1

1+

2) Sec 2x =

2x Cos

1 =

2 xCos 1

1+

TRIGONOMETRÍA

59

CÁLCULO DE LA COSECANTE DE 2X

Csc 2X =

2x Sen

1 =

2 xCos 1

1−

CONCLUSIÓN:

Csc 2x =

2 xCos 1

1−

TRIGONOMETRÍA

60

TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRÍÍAA 88 FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS

EENN EELL CCÍÍRRCCUULLOO TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCOO

DEFINICIÓN Toman este nombre las razones por cocientes que se dan en trigonometría. También se les llama relaciones de dependencia establecidas en el círculo, por ser funciones trigonométricas, que dependen de un ángulo perteneciente a este círculo. FUNCIONES CIRCULAR TRIGONOMÉTRICA Toma este nombre cuando se toma como base el círculo para obtener las razones por cocientes. CARACTERÍSTICAS DEL CÍRCULO El círculo trigonométrico se caracteriza por tener el ángulo en el centro de la circunferencia y el radio de dicho círculo es igual a la unidad. Observe la figura. CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO

α Y

X

Lado opuesto

Lado adyacente

TRIGONOMETRÍA

61

FUNCIONES RECÍPROCAS Toman este nombre las funciones trigonométricas del ángulo agudo tales, que su producto arroja la unidad.

EJEMPLO:: 1) Sen α • Csc α = 1 porque RY •

YR = 1

De donde 2) Sen α = α Csc

1

3) Csc α = α enS

1

4) Cos α • Sec α = 1 porque RX •

XR = 1

De donde 5) Cos α = αec S

1

6) Sec α = α osC

1

SIGNOS ALGEBRAICOS DE LAS FUNCIONES

NOTA a) El radio vector siempre se considera como positivo b) El signo de las funciones trigonométricas en cualquier cuadrante lo definen los signos de “X” y “Y”

ORDEN DE LOS CUADRANTES EN EL PLANO

I = Primer cuadrante II = Segundo cuadrante III = Tercer cuadrante IV = Cuarto cuadrante

Y

Y1

X X1 I II

III IV

TRIGONOMETRÍA

62

SSIIGGNNOO DDEE LLAASS FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS SSEEGGÚÚNN EELL CCUUAADDRRAANNTTEE

SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL PRIMER CUADRANTE 1) NOTA: Observe que “X” y “Y” son positivos, por tanto el resultado, es decir, la función es positiva. 2) NOTA: Se dice que un ángulo está o pertenece a cierto cuadrante Cuando el Radio Vector o lado final esta en este cuadrante.

1) Sen α = RY = +

2) Cos α = RX = +

3) Tan α = XY = +

4) Cot α = YX = +

5) Sec α = XR = +

Y

Y1

X X1

B

C A x

Y R

α

TRIGONOMETRÍA

63

6) Csc α = YR = +

SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL SEGUNDO CUADRANTE

1) Sen α = RY = +

2) Cos α = RX− = −

3) Tan α = X

Y−

= −

4) Cot α = YX− = −

5) Sec α = X

R−

= −

6) Csc α = YR = +

Y

Y1

X X1 −X

Y R

α

B

TRIGONOMETRÍA

64

SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TERCER CUADRANTE

1) Sen α = RY− = −

2) Cos α = RX− = −

3) Tan α = XY

−− = +

4) Cot α = YX

−− = +

5) Sec α = X

R−

= −

6) Csc α = YR = −

Y

Y1

X X1 −X

−Y R

α

B

TRIGONOMETRÍA

65

SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL CUARTO CUADRANTE

1) Sen α = RY− = −

2) Cos α = RX = +

3) Tan α = XY− = −

4) Cot α = Y

X−

= −

5) Sec α = XR = +

6) Csc α = Y

R−

= −

Y1

X X1 X

−Y R

α

B

Y

TRIGONOMETRÍA

66

TTAABBLLAA DDEE LLOOSS SSIIGGNNOOSS DDEE CCAADDAA FFUUNNCCIIÓÓNN TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAA SSEEGGÚÚNN EELL CCUUAADDRRAANNTTEE

QQUUEE PPEERRTTEENNEECCEENN

CUADRANTE SENO COSENO TANGENTE COTANGENTE SECANTE COSECANTE

I + + + + + + II + − − − − + III − − + + − − IV − + − − + −

El lado final de un ángulo puede terminar en cualquier cuadrante dependiendo del tamaño del ángulo. EJEMPLO: Demostrar que el lado final de un ángulo de 250º está en el tercer cuadrante. SOLUCIÓN 1) 180º es el final del segundo cuadrante 2) Los 70º restantes se encuentran en el tercer cuadrante De acuerdo a los puntos uno y dos elaboremos la figura

Y1

X X1

250º

Y

TRIGONOMETRÍA

67

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANGULARES (En el límite de los cuadrantes)

1) NOTA: Los ángulos cuadrangulares se conocen como ángulos de 0º, 90º, 180º, 270º, 360º. 2) NOTA: Se dice que un ángulo es cuadrangular cuando el lado terminal coincide con uno de los ejes del plano cartesiano. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO 0º NOTA: Cuando el ángulo es de 0º, el lado terminal coincide con el semi-eje positivo de las “X” y la ordenada, es igual a cero porque no hay abertura. La distancia “R” es la misma abscisa, o por lo menos coinciden en la longitud de la distancia que por ser círculo trigonométrico se considera como la unidad, por tanto, podemos decir que en 0º, “X” = 1 y “R” = 1 y “Y” = 0. Observe la figura:

Sen 0º = RY =

10 = 0

Cos 0º = RX =

11 = 1

Tan 0º = XY =

10 = 0

Cot 0º = RX =

01 = Indef = α

Sec 0º = XR =

11 = 1

Csc 0º = YR

= 01 = Indef = α

Y1

X X1

Y X = 1 R = 1 Y = 0

0º

TRIGONOMETRÍA

68

FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEELL ÁÁNNGGUULLOO DDEE 9900ºº

NOTA: Cuando el ángulo es de 90º el lado terminal o Radio Vector coincide con el semi-eje positivo de las “Y” y la abscisa se convierte en cero, es decir, X = 0. El radio Vector y la ordenada coinciden y son iguales a la unidad. CONCLUSIÓN: Cuando el ángulo es de 90º se presenta que:

X = 0 Y = 1 y R = 1 Observe la figura:

Sen 90º = RY =

11 = 1

Cos 90º = RX =

10 = 0

Tan 90º = XY =

01 = Indef = α

Cot 90º = YX =

10 = 0

Sec 90º = XR =

01 = Indef = α

Csc 90º = YR =

11 = 1

Y1

XX1

YX = 0 Y = 1 R = 190

0

TRIGONOMETRÍA

69


NOTA: Cuando el ángulo es de 180º el lado terminal coincide con el semi-eje negativo de las “X” por tanto la ordenada Y = 0 la distancia “R” es positiva en todos los cuadrantes y es igual a la unidad y la abscisa “X” = -1.

CONCLUSIÓN:

X = -1 Y = 0 y R = 1 Observe la figura:

Sen 180º = RY =

10 = 0

Cos 180º = RX− =

11− = −1

Tan 180º = X

Y−

= 1

0−

= 0

Cot 180º = YX− =

01− = Indef = α

Sec 180º = X

R−

= 1

1−

= −1

Csc 180º = YR =

01 = Indef = α

Y1

X X1

YX = -1 Y = 0

180º 0

TRIGONOMETRÍA

70


NOTA: En el ángulo de 270º el lado terminal coincide con el semi-eje negativo de las “Y” se presenta que la abscisa “X” = 0, el Radio Vector o distancia es positiva y coincide con el semieje negativo de las “y”.

CONCLUSIÓN:

En 270º, X = 0 Y = -1 y R = 1 Observe la figura:

Sen 270º = RY =

11− = −1

Cos 270º = RX =

10 = 0

Tan 270º = XY =

01− = Indef = α

Cot 270º = YX =

10−

= 0

Sec 270º = XR =

01 = Indef = α

Csc 270º = YR =

11−

= −1

Y1

X X1

Y

X = 0 Y = -1 R = 1

270º 0

270º

TRIGONOMETRÍA

71


NOTA: Los valores de las funciones trigonométricas del ángulo de 360º son los mismos vistos para el ángulo de 0º porque el lado final del ángulo de 360º vuelve a la posición inicial de 0º.

TABLA DE VALORES DE LOS ÁNGULOS CUADRANGULARES

CUADRANTE SENO COSENO TANGENTE COTANGENTE SECANTE COSECANTE

0º 0 1 0 ∞ 1 ∞ 90º 1 0 ∞ 0 ∞ 1 180º 0 -1 0 ∞ -1 ∞ 270º -1 0 ∞ 0 ∞ -1

EJEMPLO: VISTO EJEMPLO: Demostrar que: Sen 90º + Cos 90º + Csc 90º + Ctg 90º = 2 Observando en las tablas establecemos que: Sen 90º = 1 Cos 90º = 0 Csc 90º = 1 Cot 90º = 0 Resultado = 2 EJEMPLO: Demostrar que: Cos 180º + Sec 180º + Sen 180º +Tan 180º = −2 Observando en las tablas establecemos. Cos 180º = −1 Sec 180º = −1

TRIGONOMETRÍA

72

Sen 180º = 0 Tan 180º = 0 Resultado = −2 EJEMPLO: Mostrar que: (a² − b²) Cos 360º - 4ab Sen 270º = a² + 4ab − b² Observando las tablas establecemos que: 1) Cos 360º = 1 Sen 270º = −1 y nos queda: 2) [(a² − b²) · 1] − 4ab. (−1) = a² + 4ab – b² De donde: 3) a² − b² + 4ab = a² + 4ab − b² Ordenando nos queda: 4) a² + 4ab − b² = a² + 4ab − b²

FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEE ÁÁNNGGUULLOOSS NNEEGGAATTIIVVOOSS

NOTA: Hasta el momento hemos hallado las funciones trigonométricas de ángulos positivos, es decir, cuando al formar un ángulo el lado termina se desplaza en forma contraria a las manecillas del reloj. En este capítulo pasamos a considerar cuando el lado terminal se desplaza en la misma forma de las manecillas del reloj. PROCEDIMIENTO El procedimiento responde a las mismas Reglas utilizadas en los ángulos positivos.

TRIGONOMETRÍA

73

CCOOMMPPAARRAACCIIÓÓNN DDEE ÁÁNNGGUULLOOSS EENN EELL PPRRIIMMEERROO YY CCUUAARRTTOO CCUUAADDRRAANNTTEE

Observe la figura 1) 2) OBSERVACIONES a) La abscisa (X) es la misma para ambos ángulos, positivo y

negativo. b) “R” es igual para ambos ángulos. c) La ordenada “Y” difiere en el signo.

Y1

XX1 α

Y

α

ÁNGULO POSITIVO

ÁNGULO NEGATIVO

Y1

X X1 α

Y

α

Y

-Y

TRIGONOMETRÍA

74

TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRÍÍAA 99 FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS

TTEENNIIEENNDDOO EENN CCUUEENNTTAA LLAASS OOBBSSEERRVVAACCIIOONNEESS VVIISSTTAASS EELL TTEEMMAA AANNTTEERRIIOORR

CCUUAADDRRAANNTTEE 11 YY 44

Y1

X X1 α

Y

β X

R

R

P (x,y)

−Y

Sen α = RY

Cos α = RX

Tan α = XY

Cot α = YX

Sec α = XR

Csc α = YR

Sen (β) = RY−

Cos (β) = RX

Tan (β) = XY−

Cot (β) = Y

X−

Sec (β) = XR

Csc (β) = Y

R−

P (x,y)

FUN

CIO

NE

S D

EL

ÁN

GU

LO P

OS

ITIV

O

FUN

CIO

NE

S D

EL

ÁNG

ULO

NEG

ATI

VO

TRIGONOMETRÍA

75

CCUUAADDRRAANNTTEE 22 YY 33

Y1

X X1 α

Y

β−

−X

R

R

P (x,y)

−Y

Sen α = RY

Cos α = RX−

Tan α = X

Y−

Cot α = YX−

Sec α = X

R−

Csc α = YR

Sen (β) = RY−

Cos (β) = RX−

Tan (β) = XY

−−

Cot (β) = YX

−−

Sec (β) = X

R−

Csc (β) = Y

R−

P1 (x,y)

FUN

CIO

NE

S D

EL

ÁN

GU

LO P

OS

ITIV

O

FUN

CIO

NES

DEL

Á

NG

ULO

NE

GA

TIVO

Y

TRIGONOMETRÍA

76

FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEE ÁÁNNGGUULLOOSS CCOOMMPPLLEEMMEENNTTAARRIIOOSS

Nota: Dos ángulos son complementarios por defecto, cuando la suma de sus arrojan 90º. SENO Y COSENO El seno de un ángulo, es igual al coseno del complementario. Observe la figura

Sen 40º = RY1 ; Cos (90 – 40) =

RY ; Luego:

Sen 40º = Cos (90 – 40) Sen 40º = 0.64278 Cos 50º = 0.64278 CONCLUSIÓN

Sen α = Cos β También podremos decir que:

Cos β 0 Sen α

Y1

X1 X

Y

X

Y1

(x,y)

α = 40

β

TRIGONOMETRÍA

77

CONCLUSIÓN El Seno de un ángulo es igual al Coseno de su complemento o por el contrario, coseno de un ángulo es igual al seno de su complemento. TANGENTE Y COTANGENTE Tangente de un ángulo es igual a cotangente de su complemento. Observe la figura

Sen α = XY1 ; Cos β =

1XY

Pero X = X1

Y = Y1

De donde XY1 =

1XY

Y1

X1 X

Y

X1

Y1

(x,y)

α = 40 β

X

TRIGONOMETRÍA

78

CONCLUSIÓN La tangente de un ángulo es igual a la cotangente de su complemento. SECANTE Y COSECANTE

Sen α = XR ; Cos β =

1XR

Pero R = R

X = X1

De donde XR =

1XR

CONCLUSIÓN La secante de un ángulo es igual a la cosecante de su complemento.

Y1

X1 X

Y

X1

Y1

(x,y)

α β

X

40º

TRIGONOMETRÍA

79

FFOORRMMAA AABBRREEVVIIAADDAA DDEE VVEERR LLAASS FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEE ÁÁNNGGUULLOOSS

CCOOMMPPLLEEMMEENNTTAARRIIOOSS Observe la figura Nota: se debe tener en cuenta α + β = 90º

Sen (α) = ABBC = Cos β

Cos (α) = ABAC = Sen β

Tan (α) = ACBC = Cot β

Cot (α) = BCAC = Tan β

Sec (α) = ACAB = Csc β

Csc (α) = BCAB = Sec β

B

C A α

β

TRIGONOMETRÍA

80

FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEE ÁÁNNGGUULLOOSS SSUUPPLLEEMMEENNTTAARRIIOOSS

Nota: Dos ángulos son suplementarios cuando su suman arrojan 180º. Dos ángulos son suplementarios por exceso cuando su diferencia arroja 180º.

FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEE ÁÁNNGGUULLOOSS

SSUUPPLLEEMMEENNTTAARRIIOOSS PPOORR DDEEFFEECCTTOO ((118800 −− αα)) Observe la figura Y = Y1 |X| = |-X| R = R Los ángulos alfa son iguales

SENO

Sen α = RY y Sen (180 - α) =

RY1

Pero Y = Y1 y R = R

α α

Y1 Y

A A1

−X X

α

Nota: Las Rayitas en “X” indica que los valores son iguales con respecto al valor absoluto es decir, no tenemos en cuenta el signo

TRIGONOMETRÍA

81

De donde

Sen (180 – α) = Sen α

COSENO

Cos α = RX y Cos (180 - α) =

RX−

Por tanto: Cos (180 – α) = – Cos α

TANGENTE

Tan α = XY y Tan (180 - α) =

RX1

− = −

XY

Por tanto: Tan (180 – α) = – Tan α

COTANGENTE

Cot α = XY y Cot (180 - α) =

1YX− = −

XY

De donde: Cot (180 – α) = – Cot α

SECANTE

Sec α = XR y Sec (180 - α) =

XR−

= − XR

De donde: Sec (180 – α) = – Sec α

COSECANTE

Csc α = YR y Csc (180 - α) =

1YR =

YR

De donde: Csc (180 – α) = – Csc α

Por tanto:

Csc (180 – α) = – Csc α

TRIGONOMETRÍA

82

CONCLUSIÓN Las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales en valor absoluto a las funciones trigonométricas del ángulo suplementario por defecto pero con signo contrario, con excepción del seno y la cosecante que tienen el mismo signo. Elaboremos una tabla de lo visto Sen (180 – α) = Sen α Cos (180 – α) = − Cos α Tan (180 – α) = − Tan α Cot (180 – α) = − Cot α Sec (180 – α) = − Sec α Csc (180 – α) = Csc α

FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEELL ÁÁNNGGUULLOO

SSUUPPLLEEMMEENNTTAARRIIOO PPOORR EEXXCCEESSOO

Observe la figura

OBSERVE Que únicamente el

Sen y Csc son positivos el resto es negativo

Y

X −Y1

−X1

α

α

α

TRIGONOMETRÍA

83

Se debe tener en cuenta que:

R = R Y = −Y1 X = −X1

SENO

Sen α = RY y Sen (180º + α) =

RY1− = −

RY1−

Por tanto Sen (180º + α) = −Sen α

COSENO

Cos α = RX y Cos (180º + α) =

1

1

RX− = −

RX

Por tanto: Cos (180º – α) = – Cos α

TANGENTE

Tan α = XY y Tan (180º + α) =

XY1

−− =

XY

De donde: Tan (180º + α) = Tan α

COTANGENTE

Cot α = XY y Tan (180º + α) =

YX

−− =

YX

Por tanto: Cot (180º + α) = Cot α

En cuanto a valor absoluto se refiere

TRIGONOMETRÍA

84

SECANTE

Sec α = XR y Sec (180º + α) =

1

1

XR−

= − XR

De donde: Sec (180º + α) = – Sec α

COSECANTE

Csc α = YR y Csc (180º + α) =

1

1

YR = −

YR

De donde: Csc (180º + α) = – Csc α

CONCLUSIÓN Las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales en valor absoluto, a las funciones del ángulo suplementario por exceso pero de signo contrario excepto la tangente y la cotangente que presentan el mismo signo. Elaboremos la tabla correspondiente de acuerdo a lo visto Sen (180º + α) = − Sen α Cos (180º + α) = − Cos α Tan (180º + α) = Tan α Cot (180º + α) = Cot α Sec (180º + α) = − Sec α Csc (180º + α) = − Csc α

TRIGONOMETRÍA

85

EJEMPLO: Expresar Coseno de un ángulo de 200º como una función de un ángulo y hallar su valor. DESARROLLO 1) Observe que es un ángulo suplementario por exceso 2) Observe que el exceso es de 40º porque 220º − 180º = 40º 3) Observe la tabla, observe que Cos (180 + α) = − cos α Es decir a igual a menos. Coseno de alfa que en este caso es 40º Respuesta

Cos 220º = − Cos 40º = − 0,766044 Nota: Al ángulo de 40º se le llama ángulo relacionado.

FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEELL ÁÁNNGGUULLOO

SSUUPPLLEEMMEENNTTAARRIIOO ((336600ºº)) PPOORR DDEEFFEECCTTOO

Observe la figura R = R1 X = X Y = Y1 α = − α

α −X

R

−Y1

Y

−α

R1

(en valor absoluto)

(en valor absoluto)

TRIGONOMETRÍA

86

SENO

Sen α = RY y Sen (360º + α) =

1

1

RY− = −

RY

De donde Sen (360º + α) = −Sen α

COSENO

Cos α = RX y Cos (360º + α) =

RX

De donde: Cos (360º – α) = Cos α

TANGENTE

Tan α = XY y Tan (360º − α) =

XY1−

De donde: Tan (360º + α) = −Tan α

COTANGENTE

Cot α = XY y Cot (360º − α) =

1YX−

Por tanto: Cot (360º − α) = − Cot α

SECANTE

Sec α = XR y Sec (360º − α) =

XR1 = −

XR

De donde: Sec (360º − α) = Sec α

COSECANTE

Csc (360º − α)

Csc α = YR y Csc (360º + α) =

1

1

YR−

= − YR

De donde: Csc (360º − α) = – Csc α

TRIGONOMETRÍA

87

Elaboremos la tabla correspondiente de acuerdo a lo visto Sen (360º − α) = − Sen α Cos (360º − α) = Cos α Tan (360º − α) = − Tan α Cot (360º − α) = − Cot α Sec (360º − α) = Sec α Csc (360º − α) = − Csc α CONCLUSIÓN Las funciones trigonométricas de un ángulo de 360º por defecto son iguales en valor absoluto a las funciones del ángulo suplementario pero de un signo contrario. Excepto el coseno y la secante que son del mismo signo. EJEMPLO: Expresar Sen 330º como función de un ángulo agudo y hallar su valor. DESARROLLO 1) 330º es menor que 360º en 30º 2) Según la tabla: Sen (360º - 30º) = − Sen 30º 3) − Sen 30 = −0,5 RESPUESTA: Sen 330º = −0,5 EN SÍNTESIS 1) Cuando un ángulo sea de 180º ± α sus funciones son numéricamente iguales, en valor absoluto, a las funciones, funciones del mismo nombre de α 2) Cuando el ángulo sea de 180º ± α o de 270º ± α sus funciones son numéricamente iguales a las funciones de α 3) En todos los casos el signo del resultado es el que corresponde a la función buscada en el cuadrante en que se encuentre el lado final del ángulo.

TRIGONOMETRÍA

88


EECCUUAACCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS

DEFINICIÓN Ecuación trigonométrica es aquella ecuación cuyos términos son funciones trigonométricas. Resolver una ecuación trigonométrica es hallar el valor del ángulo que satisface dicha ecuación.

IIDDEENNTTIIDDAADDEESS

CONOCIMIENTOS PRIMARIOS 1) Se recomienda conocer las elaciones básicas y conocer las formas y alternativas de cada una. 2) Reconocer Factorización. 3) Es conveniente iniciar el trabajo en el miembro más complicado de la ecuación. 4) Si un miembro contiene una o más operaciones indicadas se deben efectuar como primer paso.

TRIGONOMETRÍA

89

5) Si el primer miembro contiene más de una función mientras que el otro miembro contiene una, se convierten las funciones del primer miembro en término de la función que esta en el segundo miembro, de acuerdo con las relaciones fundamentales. 6) De ser posible uno de los miembros debe ser factorizado. 7) Si no es posible aplicar ninguna de las indicaciones anteriores. Las funciones del miembro más complicado se convierten en Senos y Cosenos y se simplifican. EJEMPLO: Demostrar que la ecuación siguiente es una identidad.

1) αSec 1

α Tan+

− αSec 1

α Tan−

= α Sen

Sen

Como el miembro de la izquierda es el más complicado iniciamos con el. Elaboramos la diferencia de fracciones. 2) Se halla el denominador común que en este caso es el producto de los denominadores. 3) Denominador Común = (1 + Sec α) ( 1 – Sec α) 4) Pasamos cada fracción al denominador común.

αSec 1)α (Tan )αSec - (1 )αSec 1(

++

TRIGONOMETRÍA

90

Resolviendo el numerador queda: 5) Tan α (1 – Sec α) Elaborando la operación queda: 6) Tan α − Tan α • Sen α Dejamos el denominador común y nos queda:

αSec 1α Tan

+ =

)αSec - (1 )αSec 1(αSec α Tan - α Tan

+•

Pasamos la segunda fracción al denominador común

7) )αSec - (1 )αSec (1

Sec 1)αSec - (1 )αSec (1 α Tan

+

+−

Resolviendo el numerador queda 8) = − Tan α (1 + Sec α) 9) = − Tan α – Tan α • Sec α

10) − αSec 1

α Tan−

= )αSec - (1 )αSec 1(αSec α Tan - α Tan

+•−

Uniendo las dos nos queda

11) Sec -1α Tan

Sec1α Tan

−+

= )αSec - (1 )αSec (1

αSec α Tan - α Tan - αSec α Tanα Tan+

••−

Observe que reduciendo términos semejantes el numerador nos queda que: 12) Tan α - Tan α • Sec α - Tan α • Sec α = -2 Tan α • Sec α

TRIGONOMETRÍA

91

Resolviendo el denominador queda: 13) (1 + Sec α) (1 – Sec α) = 1² - Sec² α 14) = 1 – Sec² α Uniendo numerador y denominador nos queda:

15) )αSec - (1 )αSec (1

αSec α Tan - α Tan - αSec α Tanα Tan+

••− = α Sec² - 1

αSec α Tan 2 •

Pero 16) 1 – Sec² α = - Tan² α De donde:

17) α Sec² - 1

αSec α Tan 2 •− = α ² Tan

αSec α Tan 2 •−

Por lo tanto:

18) α Sec² - 1

αSec α Tan 2 • = α Tan α Tan-

αSec 2•

De donde:

19) α Sec² - 1

αSec α Tan 2 •− = α Tan-αSec 2

Pasemos la expresión a Senos y Cosenos y simplifiquemos

20) α Tan

Sec 2 =

α Cosα Senα Cos

1 2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

TRIGONOMETRÍA

92

21) Simplificando nos queda:

α Cosα Senα Cos

1 2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

1α Sen

1 1 2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= α Sen

2

22) Tomando el dato original vemos que:

α Sen

2 = α Sen

2

23) αSec 1

α Tan+

− αSec 1

α Tan−

= α Sen

2 Si es una identidad

EJEMPLO: Demostrar que:

1) α Cos

α Tan α Cos αSec •+ = 2 Tan α

Resolviendo el miembro izquierdo podemos decir que:

2) α Cos

α Tan α Cos αSec •+ = α Cosα Sen +

α Cosα Tan α Cos •

Pero:

3) α Cosα Sen = Tan α

Además:

α Cos

α Tan α Cos • = Tan α

TRIGONOMETRÍA

93

4) α Cos

α Tan α Cos αSec •+ = Tan α + Tan α = 2 Tan α

5) α Cos

α Tan α Cos αSec •+ = 2 Tan α

EECCUUAACCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS

NOTA: Aunque siempre trabajemos con ecuaciones en este caso buscamos el valor del ángulo. EJEMPLO: Resolver la ecuación siguiente: 1) 3 Tan α − 2 Cos α = 0 Como:

Tan α = α Cosα Sen

Por tanto:

2) 3 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α Cosα Sen – 2 Cos α = 0

De donde:

3) 3 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α Cosα Sen – 2 Cos α

TRIGONOMETRÍA

94

De donde:

4) 3 Sen α = 2 (Cos α • Cos α) De donde:

5) 3 Sen α = Cos² α De donde:

6) 3 Sen α – 2 Cos² α = 0 Pero:

7) Cos² α = -2 (1 – Sen² α) Por tanto:

8) -2 Cos² α = -2 (1 – Sen² α) De donde:

9) - 2 Cos² α = -2 + 2 Sen² α = 0 De donde:

10) 3 Sen α - 2 + 2 Sen² α = 0 Volviendo a multiplicar queda:

11) 2 Sen² α + 3 Sen α − 2 = 0 Multiplicando por 2 queda:

12) 2² Sen² α + 3 (2 Sen α) − 4 = 0 De donde

13) (2 Sen α + 4) (2 Sen α - 1) Uniendo los factores Queda: 14) 2 (2 Sen α + 2) (2 Sen α - 1)

TRIGONOMETRÍA

95

Nos queda:

15) 2

1) - α Sen (2 2) α Sen (2 2 +

Nos queda:

16) (Sen α + 2) (2 Sen α − 1) Igualando a cero cada factor queda: 17) Sen α + 2 = 0 Sen α = −2 2 Sen α − 1 = 0 Sen α = 1

Sen α = 21

NOTA: La única solución real es la segunda, puesto que no existe ningún

ángulo cuyo Seno sea −2, por tanto los ángulos cuyo Seno vale 21 son:

30º y 150º

EJEMPLO: Resolver la ecuación

1) 8 Sen α − 3 = 0

Despejando 2) 8 Sen α = 3

3) Sen α = 83

4) Sen α = 0.375 NOTA: Pero 0,375 es el Seno de 22º Por tanto: α = 22º, α = 158º

TRIGONOMETRÍA

96

EJEMPLO: Resolver la ecuación

1) 2 Cos α = 1 – Sen α Elevamos ambos miembros al cuadrado y nos queda:

2) (2 Cos α)² = (1 – Sen α)² De donde:

3) 4 Cos² α = 1 – 2 Sen α + Sen² α Pero:

4) Cos² α = 1 – Sen² α Reemplazando nos queda:

5) 4 (1 – Sen² α) = 1 – 2 Sen α + Sen² α Elaborando la operación queda:

6) 4 – 4 Sen² α = 1 – 2 Sen α + Sen² α Pasando todos los términos al miembros izquierdo 7) 4 – 4 Sen² α = 1 – 2 Sen α + Sen² α = 0 8) 3 – 5 Sen² α + 2 Sen α = 0 Ordenando queda:

9) – 5 Sen² α + Sen α + 3 = 0 Cambiándole el signo a todos los términos nos queda:

10) 5 Sen² α − 2 Sen α − 3 = 0 Observe que la expresión trigonométrica comprende a un trinomio algebraico de la forma ax² + bx + c = 0

TRIGONOMETRÍA

97

Multiplicando por 5 queda: 11) 5² Sen² α − 2 (5 Sen α) − 15 = 0 Convirtiendo en factores queda: 12) (5 Sen α − 5) (5 Sen α + 3) = 0 Simplificando queda:

13) 5

3) α Sen (5 5) - α Sen (5 +

De donde: 14) (Sen α − 1) (5 Sen α + 3) = 0 Igualando cada factor a cero queda: 15) Sen α − 1 = 0 Sen α = 1 Tomando la segunda ecuación queda: 5 Sen α + 3 = 0 5 Sen α = −3

Sen α = 53− = − 0.600

Pero, Sen 90º = 1 y − 0.600 es el Seno de 216º52’11’’ y 3253º7’48’’ por tanto α = 90º, 216º 52’ 44’’; 323º 7’ 48’’

TRIGONOMETRÍA

98

IIDDEENNTTIIDDAADDEESS

EJERCICIO DE APLICACIÓN

Para la solución de identidades es necesario conocer las identidades y los casos de factorización. 1) Probar la identidad Tan α • Cot α = 1 Solución: a) Tan α • cot α = 1 Reemplazando por 4 identidades básicas tenemos

b) α Cosα Sen •

α Senα osC = 1

Cancelando llegamos a 1 = 1 2) Probar la identidad Tan α + Cot α = Sec α • Csc α Solución Tan α + Cot α = Sec α • Csc α

- Reemplazando por identidades básicas tenemos:

a) α Cosα Sen +

α Senα osC =

α Cos1 •

α enS1

- Realizando la operación de fracciones del miembro izquierdo de

la ecuación, tenemos:

TRIGONOMETRÍA

99

b) α Sen α Cosα Cos α ²Sen

⋅+ =

α Sen α Cos1⋅

NOTA: Observe que se halló el denominador común y se multiplicó en cruz en el miembro izquierdo. En el miembro derecho de la ecuación, se multiplicó numerador por numerador y el denominador por denominador. c) Reemplazamos por la identidad pitagórica: Sen² α + Cos² α = 1.

Y obtenemos:

α Sen α Cos

1⋅

= α Sen α Cos

1⋅

3) Probar la identidad α Cos - α Senα Cos² - α Sen² = Sen α + Cos α

Solución:

α Cos - α Senα Cos² - α Sen² = Sen α + Cos α

- Aplicando el caso de factorización diferencia de cuadrados

“a² − b² = (a – b) (a + b)”, al numerador del miembro izquierdo de la identidad tenemos:

a) α Cos - α Sen

)α Cos α (Sen )α Cos - α Sen( + = Sen α + Cos α

- Simplificando tenemos

Sen α + Cos α = Sen α + Cos α

TRIGONOMETRÍA

100

4) Probar la identidad

α Cos α Senα Cos³ α ³Sen

++ = 1 – Sen α Cos α

Solución

α Cos α Senα Cos³ α ³Sen


- Aplicando el caso de factorización suma de cubos a³ + b³ = (a +

b) (a² - ab + b²) al numerador de el miembro izquierdo de la identidad tenemos:

a) α Cos α Sen

)α Cos² α Cos α Sen - α (Sen² )α Cos α (Sen+


- Simplificando tenemos

b) Sen² α - Sen α Cos α + Cos² α = 1 – Sen α · Cos α

- Reemplazando en el miembro izquierdo la identidad pitagórica Sen² α + Cos² α = 1, tenemos

c) 1 – Sen α Cos α = 1 – Sen α · Cos α 5) Probar la identidad:

)α Cos - (1 )α Cos1()1α(Sec )1 α Sec(

+−+ = Sec² α

Solución

- Aplicando diferencia de cuadrados en el numerador y denominador de el miembro izquierdo tenemos:

TRIGONOMETRÍA

101

a) α Cos² - 11α ²Sec − = Sec² α

- Aplicando las identidades pitagóricas Sec² α - 1 = Tan² α y

1 – Cos² α = Sen² α, tenemos:

b) α²Senα²Tan = Sec² α

- Teniendo en cuenta las identidades básicas Tan α = α Cosα Sen y

Sec α = α Cos

1

c)

1α Sen²α Cos²α Sen²

= α Cos²

1

- Multiplicando extremos y medios tenemos

d) α Cos² α Sen²

α Sen²⋅

= α Cos²

1

- Simplificando obtenemos

α Cos²1 =

α Cos²1

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