matemáticas 3 opción a educaciÓn secundaria …chopo.pntic.mec.es/~fgrino/modelos de examenes...
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Ejercicio nº 1.- a)))) Opera y simplifica:
−
2 21 3 1 1
3,4 2,3 :2 5 2 2
�
−−−−
− + −− + −− + −− + −
b)))) Reduce a una sola potencia:
1 5
5 0
2 4
2 2
−−−−
−−−−
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅ Solución: a) Expresamos N 2,3 en forma de fracción:=
�
10 N 23,333
N 2,333
21 79 N 21 N
9 3
=
− =
= → = =
…
…
34 17También sabemos que 3,4 .
10 5= =
− Operamos y simplificamos: 2 2
17 7 1 3 1 1 17 7 5 1 17 7 5 15: 4
5 3 2 5 2 2 5 3 6 4 5 3 6 4
204 140 50 225 111 3760 60 60 60 60 20
− − + − − = − + − − = − + − =
= − + − = − = −
1 5 1 10
145 0 5
2 4 2 2b) 2
2 2 2 1
− −
− −
⋅ ⋅= =
⋅ ⋅ Ejercicio nº 2.- El precio de un artículo, con IVA, era de 1 444,2 €.
a)))) Si lo rebajan en un 8%, ¿cuál será su precio actual?
b)))) Halla cuál era su precio sin IVA, antes de la rebaja, sabiendo que el IVA es el 16%.
Solución:
Opción A
Evaluación: Fecha:
Matemáticas 3
EDUCACIÓN SECUNDARIA
SOLUCIONES
a) 1 444,2 · 0,92 = 1 328,664 ≈ 1 328,66 €
b) 1 444,2 : 1,16 = 1 245 € Ejercicio nº 3.- Opera y simplifica: ((((3x −−−− 1))))
2 ++++ ((((3x ++++ 1)))) ((((3x −−−− 1)))) −−−− 4x
2 ((((2x ++++ 5))))
Solución: (3x − 1)
2 + (3x + 1) (3x − 1) − 4x2 (2x + 5) = 9x
2 − 6x + 1 + 9x2 − 1 − 8x
3 − 20x = − 8x3 − 2x
2 − 6x Ejercicio nº 4.- Resuelve:
( )
3 15 1 1a) 2
2 2 2 3
−−−−++++− + − =− + − =− + − =− + − =
xxx x
2 2b) 3 30 2 2 6 3− + = − + +− + = − + +− + = − + +− + = − + +x x x x x
c) 4 14
2 5 3
= += += += +
− = −− = −− = −− = −
x y
y x
Solución:
( )3 15 1 1a) 2
2 2 2 3
xxx x
−+ − + − =
5 3 3 1 22 2 2 6 1
x x x x+ −− + − =
3 15 9 9 3 1 126 6 6 6 6
x x x x+ −− + − =
3 15 9 9 3 1 12x x x x+ − + + − =
3 9 3 12 15 9 1x x x x− + − = − − +
15 23x− = −
2315
x =
12 2 2
2
6
b) 3 30 2 2 6 3 36 36
6
x
x x x x x x x
x
= −
− + = − + + → = → = ±
=
↗
↘
c) 4 14 4 14
2 5 3 3 2 5
x y x y
y x x y
= + − =
− = − + = ( )
4 14
3 2 4 14 5
y x
x x
= −
+ − = →
3 8 28 5 11 33 3x x x x→ + − = → = → =
4 14 12 14 2 2y x y= − = − = − → = − Solución: x = 3 ; y = −2
Ejercicio nº 5.- El producto de un número entero por su consecutivo es 268 unidades mayor que la cuarta parte de dicho número. ¿De qué número se trata? Solución: Llamamos x al número que buscamos. Tenemos que:
( ) 21 268 2684 4x x
x x x x+ = + → + = +
2 24 4 1072 4 3 1072 0x x x x x+ = + → + − =
134 673 9 17152 3 17161 3 131
8 48 8 8
16
xx
x
− ± + − ± = − = −− ±= = =
=
�
�
67La solución no es válida, pues es entero.
4x x
= −
Solución: El número es 16. Ejercicio nº 6.- Halla la longitud de la apotema de un hexágono regular de 10 cm de lado. Solución:
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
2 210 5 100 25 75 8,66 cma = − = − = ≈ Ejercicio nº 7.- Halla el área total y el volumen de cada uno de estos cuerpos geométricos: a)))) Un cilindro de 12 cm de altura cuya circunferencia básica mide 18,84 cm.
b)))) Una esfera de 5 cm de diámetro. Solución: a)
− Hallamos el radio de la base:
18,84 18,842 18,84 cm 3 cm
2 6,28r rπ = → = ≈ =
π
− Área de la base = πr2 = π · 32 = 9π ≈ 28,26 cm2 = A1
− Área lateral = 2πrh = 18,84 · 12 = 226,08 cm2 = A2
− Área total = 2 · A1 + A2 = 2 · 28,26 + 226,08 = 56,52 + 226,08 = 282,60 cm2
− Volumen = πr2h ≈ 28,26 · 12 = 339,12 cm3
b)
− Superficie = 4πR2 =4π · 2,52 = 25π ≈ 78,5 cm2
3 3 34 4Volumen 2,5 65,42 cm
3 3R− = π = π ⋅ ≈
Ejercicio nº 8.- a)))) Representa gráficamente la función 3x ++++ 2y ==== 4. ¿Pertenece el punto (−(−(−(−2,35; 1,8)))) a dicha recta?
b)))) Halla la ecuación de la siguiente recta:
Solución:
3 4a) 3 2 4
2x
x y y− +
+ = → =
Pasa por (2, −1) y (0, 2):
Comprobamos si el punto (−2,35; 1,8) está o no en la recta:
3 · (−2,35) + 2 · 1,8 = −7,05 + 3,6 = −3,45 ≠ 4
Luego el punto no pertenece a la recta.
b) La recta no pasa por el origen de coordenadas, luego su ecuación tendrá la forma y = mx + n:
− El punto de corte con el eje Y es (0, 1) → n = 1
− Por cada unidad que avanza en la x , bajamos 2 unidades en la y → m = −2
La ecuación es y = −2x + 1. Ejercicio nº 9.- a)))) Sabiendo que 20 °°°°C ==== 68 °°°°F y que 30 °°°°C ==== 86 °°°°F, halla la ecuación de la recta que nos da la transformación de
grados centígrado a grados Farenheit y represéntala gráficamente. b)))) ¿Cuántos grados Farenheit son 37 °°°°C? Solución: a) Buscamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos (20, 68) y (30, 86):
86 68 181,8
30 20 10m
−= = =
−
Ecuación punto−pendiente:
( ) ( )68 1,8 20 68 1,8 36 1,8 32 en C; en Fy x y x y x x y= + − → = + − → = + ° °
b) Si x = 37 °C → y = 1,8x + 32 = 1,8 · 37 + 32 = 66,6 + 32 = 98,6 °F Ejercicio nº 10.- Las edades de los empleados de una cierta empresa, A, vienen recogidos en la siguiente tabla:
EDAD 16 −−−− 26 26 −−−− 36 36 −−−− 46 46 −−−− 56 56 −−−− 66
N.°°°° DE EMPLEADOS 8 21 19 17 15
a)))) Calcula la media y la desviación típica de esta distribución.
b)))) En otra empresa, B, la media de edad es de 35 años y la desviación típica es de 10 años. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y compara la dispersión en ambos grupos.
Solución: a) Hallamos la marca de clase, xi, de cada intervalo y hacemos la tabla:
Intervalo xi fi fixi fixi2
16 − 26 21 8 168 3 528
26 − 36 31 21 651 20 181
36 − 46 41 19 779 31 939
46 − 56 51 17 867 44 217
56 − 66 61 15 915 55 815
80 3 380 155 680
Media:
338042,25
80i if x
xn
Σ= = =
Desviación típica:
22 2155680
42,25 160,94 12,6980
i if xx
n
Σσ = − = − = =
12,69C.V. 0,300b)
42,25La dispersión es un poco mayor en el caso .
10C.V. 0,286
35
AA
A
BB
B
xA
x
σ = = =
σ = = =
Ejercicio nº 1.- a)))) Opera y simplifica
2 22 1 1 1 1
1,163 6 2 2 3
�
−−−−
+ : − − ++ : − − ++ : − − ++ : − − +
b)))) Simplifica:
12 4
2 3
3 2
−−−−−−−−
::::
Solución: a) Expresamos N 1,16 en forma de fracción:=
�
100 N 116,666
10 N 11,666
105 790 N 105 N
90 6
=
− =
= → = =
…
…
Opción B
Evaluación: Fecha:
Matemáticas 3
EDUCACIÓN SECUNDARIA
SOLUCIONES
− Operamos y simplificamos:
2 22 1 1 7 1 1 2 2 7 1 2 2 7 37
: 93 6 2 6 2 3 3 6 6 4 3 6 6 4
8 4 14 111 11312 12 12 12 12
− + − − + = + − − + = + − − =
= + − − = −
1 1 12 4 2 4 2 2
2 3 3 3 3 3 9b) : :
3 2 2 2 2 2 4
− − −− −
= = = =
Ejercicio nº 2.- a)))) En una tienda de complementos tienen todo a mitad de precio. María se fija en un bolso que cuesta 80 €. Si el
IVA aplicado es del 12%, ¿cuánto pagará finalmente? b)))) En esa misma tienda se compra unos zapatos por 50,4 € incluido ya el IVA del 12%. ¿Cuánto costaban
inicialmente los zapatos? Solución: a) Todo a mitad de precio equivale a un descuento del 50%.
Precio inicial = 80 € Descuento del 50% → Paga el 50% → I.V. = 0,5 IVA del 12% → I.V. = 1,12 Precio final = 80 · 0,5 · 1,12 = 44,8 €
b) Precio final = 50,4 €
Precio inicial = (50,4 : 0,5) : 1,12 = 90 € Ejercicio nº 3.- Reduce y simplifica:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
4 2 1 2 1 1x x x x x+ − − + + − ++ − − + + − ++ − − + + − ++ − − + + − +
Solución:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 2 2 2
4 2 1 2 1 1 2 8 4 4 4 1
2 7 4 4 4 1 2 3 9
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x
+ − − + + − + = − + − − + + + − =
= + − − − − + − = + −
Ejercicio nº 4.- Resuelve:
( )
3 1 2 2 1 1 1a) 1
4 3 2 2 3
−−−− ++++− + − =− + − =− + − =− + − =
x x x
2 2b) 3 3 5 8 2− + = − +− + = − +− + = − +− + = − +x x x x
c) 2 5 1 0
4 11 3
+ + =+ + =+ + =+ + =
− =− =− =− =
y x
y x
Solución:
( )3 1 2 2 1 1 1a) 1
4 3 2 2 3
x x x− + − + − =
3 6 2 1 1 14 3 4 6 1
x x x− +− + − =
9 18 8 4 3 2 1212 12 12 12 12
x x x− +− + − =
9 18 8 4 3 2 12x x x− − − + − =
18 8 2 12 9 4 3x x x− − − = − + −
28 4x− =
4 128 7
x = − = −
2 2 2b) 3 3 5 8 2 2 3 0x x x x x x− + = − + → − − =
1
2
12 4 12 2 16 2 4
2 2 23
x
x
x
= −± + ± ±
= = =
=
�
�
( )2c) 2 5 1 0 5 2 1 10 4 2
4 11 3 3 4 11 3 4 11
Sumando: 13 13 1
y x x y x y
y x x y x y
x x
× −+ + = + = − − − = →
− = − + = − + =
− = → = − 2 5 1 0 2 5 1 0 2 4 2y x y y y+ + = → − + = → = → = Solución: x = −1 ; y = 2
Ejercicio nº 5.- Se mezclan 625 litros de aceite de oliva, de 3,2 €/l, con cierta cantidad de aceite de girasol, de 1,6 €/l, resultando la mezcla a 2,6 €/l. ¿Cuántos litros de aceite de girasol se han mezclado? Solución:
CANTIDAD (l ) PRECIO/l
COSTE TOTAL (euros)
OLIVA 625 3,2 625 · 3,2 = 2 000
GIRASOL x 1,6 1,6x
MEZCLA 625 + x 2 000 + 1,6x
Coste total 2000 1,6Precio mezcla 2,6 euros/
Cantidad total 625
xl
x
+= = =
+
( )2000 1,6 2,6 625
2000 1,6 1625 2,6
375
x x
x x
x
+ = +
+ = +
=
Solución: Se han mezclado 375 litros de aceite de girasol.
Ejercicio nº 6.- Halla la altura de este tronco de cono:
Solución:
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
2 2h 15 9 225 81 144 12 cm= − = − = = Ejercicio nº 7.- Halla el área total y el volumen de una pirámide de 12 cm de altura cuya base es un hexágono regular de 4 cm de lado. Solución:
− Hallamos el área de la base:
2 24 2 16 4 12 3,46 cma = − = − = ≈
21
24 3,46Área base 41,52 cm
2 2P a
A⋅ ⋅
= = = =
− Hallamos el área de una de las caras laterales:
2 2H 12 144 12 156 12,49 cma= + = + = ≈
22
H 4 12,49Área cara lateral 24,98 cm
2 2b
A⋅ ⋅
= = = =
− Área total = A1 + 6 · A2 = 41,52 + 6 · 24,98 = 41,52 + 149,88 = 191,40 cm2
( ) 31 1Volumen Área base altura 41,52 12 166,08 cm
3 3− = ⋅ = ⋅ ⋅ =
Ejercicio nº 8.- a)))) Representa gráficamente la función 2x ++++ 3y ==== 4. ¿Pertenece el punto ((((2,45;−−−−0,3)))) a la recta? b)))) Halla la ecuación de la siguiente recta dada gráficamente:
Solución:
2 4a) 2 3 4
3x
x y y− +
+ = → =
Pasa por (2, 0) y (−1, 2):
Para ver si (2,45; −0,3) está en la recta, sustituimos en la ecuación 2x + 3y = 4:
2 · (2,45) + 3 · (−0,3) = 4,9 − 0,9 = 4
Por tanto (2,45; −0,3) pertenece a la recta.
b) La recta no pasa por el origen de coordenadas, luego su ecuación será de la forma
y = mx + n: − El punto de corte con el eje Y es (0, −2) → n = −2 − Por cada unidad que avanzamos en x , la y aumenta 3 unidades → m = 3 Por tanto, la ecuación es y = 3x − 2.
Ejercicio nº 9.- El precio de un viaje en autobús depende de los kilómetros recorridos. Por un trayecto de 95 km se pagan 11 € y si el trayecto es de 155 km cuesta 17 €.
a)))) Escribe la ecuación de la recta que relaciona los kilómetros recorridos, x , con el precio del billete, y. Represéntala gráficamente.
b)))) Si la distancia a recorrer fuera de 350 km, ¿cuánto costaría el billete? Solución:
a) Buscamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos (95, 11) y (155, 17):
17 11 60,1
155 95 60m
−= = =
−
Ecuación punto−pendiente: y = 11 + 0,1 (x − 95) → y = 11 + 0,1x − 95) → y = 1,5 + 0,1x
b) Si x = 350 km → y = 1,5 + 0,1x = 1,5 + 0,1 · 350 = 1,5 + 35 = 36,5
Costaría 36,5 €. Ejercicio nº 10.- Midiendo la estatura, en centímetros, de cada persona de un determinado grupo, A, hemos obtenido los datos que se recogen en la tabla:
ESTATURA 140 −−−− 150 150 −−−− 160 160 −−−− 170 170 −−−− 180 180 −−−− 190
N.°°°° DE PERSONAS 7 18 27 31 12
a)))) Calcula la media y la desviación típica.
b)))) En otro grupo, B, la estatura es de 162 cm, con una desviación típica de 10 cm. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y compara la dispersión en ambos grupos.
Solución: a) Hallamos la marca de clase, xi, de cada intervalo y hacemos la tabla:
Intervalo xi fi fixi fixi2
140 − 150 145 7 1 015 147 175
150 − 160 155 18 2 790 432 450
160 − 170 165 27 4 455 735 075
170 − 180 175 31 5 425 949 375
180 − 190 185 12 2 220 410 700
95 15 905 2 674 775
Media:
15905167,42
95i if x
xn
Σ= = =
Desviación típica:
22 22674775
167,42 126,07 11,2395
i if xx
n
Σσ = − = − = =
11,23C.V 0,067b)
167,42 La variación relativa es casi igual en los dos grupos,
ligeramente mayor en el primero.10C.V 0,062
162
AA
A
BB
B
.x
.x
σ = = =
σ = = =
Ejercicio nº 1.- a)))) Calcula y simplifica el resultado:
23 5 1 1
2,164 2 2 4
�
+ − − − ++ − − − ++ − − − ++ − − − +
b)))) Simplifica:
4 2
1
3 9
3
−−−−
−−−−
⋅⋅⋅⋅
Solución: a) Expresamos N 2,16 en forma de fracción:=
�
100 N 216,666
10 N 21,666
195 1390 N 195 N
90 6
=
− =
= → = =
…
…
− Operamos y simplificamos:
213 3 5 1 1 13 15 1 1 13 15 2 52 45 12 56 4 2 2 4 6 8 4 4 6 8 4 24 24 24 24
+ − − − + = − − + = − − = − − = −
4 2 4 4
11 1
3 9 3 3b) 3 3
3 3
− −
− −
⋅ ⋅= = =
Ejercicio nº 2.- a)))) Marta compra un equipo de música que cuesta 250 €. A la hora de pagar le aplican un descuento del 15% y el
IVA del 16%. ¿Cuánto pagará finalmente por el equipo de música?
Opción C
Evaluación: Fecha:
Matemáticas 3
EDUCACIÓN SECUNDARIA
SOLUCIONES
b)))) En esa misma tienda, compra un televisor por el que paga 400 € una vez aplicado el descuento del 15% y el IVA del 16%. ¿Cuál era el precio inicial del televisor?
Solución: a) Precio inicial = 250 €
Descuento del 15% → Se paga el 85% → I.V. = 0,85
IVA del 16% → I.V. = 1,16
Precio final = 0,85 · 1,16 · 250 = 246,5 €
b) Precio final = 400 €
Precio inicial = (400 : 0,85) : 1,16 ≈ 405,68 € Ejercicio nº 3.- Opera y simplifica:
( ) ( ) ( ) ( )222 3 1 2 1 2 1 2 1x x x x x+ − + + + −+ − + + + −+ − + + + −+ − + + + −
Solución:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 3 2 2 2
3 2 2 2 3 2
2 3 1 2 1 2 1 2 1 6 2 4 4 1 4 1
6 2 4 4 1 4 1 6 2 4 2
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
+ − + + + − = + − + + + − =
= + − − − + − = + − −
Ejercicio nº 4.- Resuelve:
(((( ))))3 1 2 5 1 1 3a) 5
4 5 4 2 8
x xx x
−−−− −−−− − + + = +− + + = +− + + = +− + + = +
2b) 2 3 3 5 2 2x x x+ − = − − ++ − = − − ++ − = − − ++ − = − − +
c) 4 12 2
3 6 2
= += += += +
+ =+ =+ =+ =
x y
y x
Solución:
( )3 1 2 5 1 1 3a) 5
4 5 4 2 8
x xx x
− − − + + = +
3 3 2 5 1 5 34 5 4 8 1 8
30 30 16 40 10 5 200 1540 40 40 40 40 40
x x x x
x x x x
− −− + + = +
− −− + + = +
30 30 16 40 10 5 200 15x x x x− − + + + = +
30 16 10 200 30 40 5 15x x x x− + − = − − +
176 0 0x x− = → =
( )2 2b) 2 3 3 5 2 2 2 5 0 2 5 0x x x x x x x+ − = − − + → + = → + = →
1
2
0
52 5 0 2 5
2
x
x x x
=
→+ = → = − → = −
�
�
c) 4 12 2 4 2 12 2 6
3 6 2 2 3 6 2 3 6
Sumando: 2 0 0
x y x y x y
y x x y x y
y y
= + − = − =
+ = − + = − − + = −
= → = 12
4 12 2 12 3 34
x y x x= + = → = = → =
Solución: x = 3 ; y = 0 Ejercicio nº 5.- María ha pagado 85,8 € por un bolso y unos zapatos que costaban entre los dos 103 €. En el bolso le han rebajado un 15% y en los zapatos un 20%. ¿Cuál era el precio original de cada artículo? Solución: x → precio original del bolso y → precio original de los zapatos Rebaja del 15% en el bolso → Paga el 85% de x Rebaja del 20% en los zapatos → Paga el 80% de y
Por tanto:
( )103 103
0,85 0,80 103 85,8 0,85 0,80 85,8 0,85 0,80 85,8
3,4 0,85 82,4 0,80 85,8 0,05 3,4 68
0,05103 103 68 35
x y y xx x
x y x y
x x x x
y x
+ = = − → → + − = →
+ = + =
→ + − = → = → = =
= − = − =
Solución: El bolso costaba 68 € y los zapatos 35 €. Ejercicio nº 6.- En una circunferencia de 16 cm de radio trazamos una recta a 7 cm de su centro. Halla la longitud de la cuerda que determina esta recta en la circunferencia. Solución:
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
2 216 7 256 49 207 14,39 cmx = − = − = ≈ Ejercicio nº 7.-
a)))) Halla el área de esta figura:
b)))) Halla el volumen de un cono de 16 cm de generatriz cuya circunferencia básica mide 18,84 cm. Solución: a)
− Hallamos la longitud de la base mayor del trapecio:
2 25 4 25 16 9 3 cmx = − = − = =
Base mayor = 4 + 2x = 4 + 6 = 10 cm
( ) ( ) 21
h 10 4 4Área del trapecio 28 cm
2 2
b bA
′+ ⋅ + ⋅− = = = =
2 22
2
5Área del semicírculo 12,5 39,25 cm
2 2r
Aπ ⋅ π ⋅
− = = = π ≈ =
− Área total = A1 + A2 = 28 + 39,25 = 67,25 cm2
b)
− Hallamos el radio de la base:
18,84 18,842 18,84 cm 3 cm
2 6,28r rπ = → = ≈ =
π
− Hallamos la altura del cono:
2 2h 16 256 9 247 15,72 cmr= − = − = ≈
2 2 31 1Volumen h 3 15,72 148,08 cm
3 3r− = π = ⋅ π ⋅ ⋅ ≈
Ejercicio nº 8.-
a)))) Representa la función −−−−3x ++++ 2y ==== 1. Si queremos que el punto P(−(−(−(−1,5; b)))) esté en la recta, ¿qué valor ha de tomar b?
b)))) Escribe la ecuación de la siguiente recta:
Solución:
3 1a) 3 2 1
2x
x y y+
− + = → =
Pasa por (1, 2) y (−1, −1):
Para que el punto P esté en la recta, tiene que cumplir su ecuación:
−3 · (−1,5) + 2b = 1 → 4,5 + 2b = 1 → 2b = −3,5 → b = 1,75
b) La recta no pasa por el origen de coordenadas, luego su ecuación será de la forma
y = mx + n:
− El punto de corte con el eje Y es (0, 5) → n = 5
− Por cada unidad que avanzamos en x , bajamos dos unidades en y → m = −2
La ecuación de dicha recta es y = −2x + 5. Ejercicio nº 9.- Un fontanero nos cobra por venir a nuestro domicilio 10 € más 8 € por cada hora de trabajo.
a)))) Halla la ecuación de la recta que relacione el coste, y, de una reparación en función del tiempo que tarde en hacer el trabajo, x. Represéntala gráficamente.
b)))) Si tarda tres horas y media en realizar el trabajo, ¿cuánto pagaremos? Solución: a) y = 10 + 8x
b) Si x = 3,5 → y = 10 + 8x = 10 + 8 · 3,5 = 10 + 28 = 38
Pagaremos 38 €.
Ejercicio nº 10.- Las notas de matemáticas de las alumnas y los alumnos de 3º de ESO de un determinado instituto han sido las siguientes:
NOTA 0 −−−− 2 2 −−−− 4 4 −−−− 6 6 −−−− 8 8 −−−− 10
N.°°°° DE ALUMNOS/AS 6 8 45 62 9
a)))) Halla la media y la desviación típica de esta distribución.
b)))) La nota media de los mismos alumnos y alumnas en inglés ha sido de 6,5 con una desviación típica de 2,8. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y di en cuál de ellos la variación relativa es mayor.
Solución: a) Hallamos la marca de clase, xi, de cada intervalo y hacemos la tabla:
Intervalo xi fi fixi fixi2
0 − 2 1 6 6 6
2 − 4 3 8 24 72
4 − 6 5 45 225 1 125
6 − 8 7 62 434 3 038
8 − 10 9 9 81 729
130 770 4 970
Media:
7705,92
130i if x
xn
Σ= = =
Desviación típica:
22 24970
5,92 3,18 1,78130
i if xx
n
Σσ = − = − = =
1,78C.V. 0,301b)
5,92La variación relativa es mayor en las notas de inglés.
2,8C.V 0,431
6,5
MM
M
II
I
x
.x
σ = = =
σ = = =
Ejercicio nº 1.- a)))) Efectúa y simplifica:
− +
13 1 3 1 3 1
1,83 :4 2 2 2 4 3
�
−−−−
⋅ + − +⋅ + − +⋅ + − +⋅ + − +
b)))) Simplifica la siguiente expresión:
2
5 2 13 3
3
−−−−
−−−−⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅
Solución: a) Expresamos N 1,83 en forma de fracción:=
�
100 N 183,333
10 N 18,333
165 1190 N 165 N
90 6
=
− =
= → = =
…
…
− Operamos y simplificamos: 1
3 1 3 11 1 3 1 3 1 2 11 1 9 3 2 11 11:
4 2 2 6 2 4 3 4 2 3 6 2 4 4 6 6 4
9 4 22 33 16 412 12 12 12 12 3
−
− + ⋅ + − + = − + ⋅ + − + = − + + − =
= − + + − = − = −
2
5 2 5 2 2 51b) 3 3 3 3 3 3 243
3
−
− − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =
Ejercicio nº 2.- Alicia gasta 1/3 del dinero que tenía en comprarse un libro, y 3/4 de lo que le quedaba, en un regalo para su amiga María. Si aún le quedan 6 €, ¿cuánto dinero tenía al principio? Solución:
Opción D
Evaluación: Fecha:
Matemáticas 3
EDUCACIÓN SECUNDARIA
SOLUCIONES
1 2Gasta en un libro le quedan del total.
3 33 2 6 1
Gasta de del total en el regalo.4 3 12 2
1 1 2 3 5 1En total ha gastado: Le queda del total.
3 2 6 6 6 6
− →
− = =
− + = + = →
1 de 6 euros 36 euros tenía al principio
6x x= → =
Ejercicio nº 3.- Opera y simplifica:
( ) ( ) ( ) ( )2
1 2 3 3x x x x x+ + − + + −+ + − + + −+ + − + + −+ + − + + −
Solución:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 2 3 3 4 4 9 3 3 5x x x x x x x x x x x x+ + − + + − = + + − + + − = − −
Ejercicio nº 4.- Resuelve:
1 1 1a) 3 2 2
3 2 3
++++− + − − =− + − − =− + − − =− + − − =
xx x
2 2b) 5 4 6 10 4− + = − +− + = − +− + = − +− + = − +x x x x
c) 5 6 7 0
5 6 16 0
− − =− − =− − =− − =
+ + =+ + =+ + =+ + =
y x
x y
Solución:
1 1 1a) 3 2 2
3 2 3x
x x+
− + − − =
1 13 2 2
6 3 3x x
x+
− + − − =
18 12 1 2 2 2 126 6 6 6 6 6
x x x +− + − − =
18 12 1 2 2 2 12x x x− + − − − =
12 2 2 12 18 1 2x x x− − − = − − +
16 5x− = −
516
x =
2 2 2b) 5 4 6 10 4 3 4 0x x x x x x− + = − + → − − =
1
2
13 9 16 3 25 3 5
2 2 24
x
x
x
= −± + ± ±
= = =
=
�
�
5
6
c) 5 6 7 0 6 5 7 30 25 35
5 6 16 0 5 6 16 30 36 96
Sumando: 61 61 1
y x x y x y
x y x y x y
y y
×
×
− − = − + = − + =→
+ + = + = − + = −→
= − → = − 5 6 16 0 5 6 16 0 5 10 2x y x x x+ + = → − + = → = − → = − Solución: x = −2 ; y = −1
Ejercicio nº 5.- En un rectángulo de 120 cm
2 de área, la base excede al triple de la altura en 2 unidades. Halla la longitud de la
base y la de la altura. Solución:
( ) 2
2 2
Base 3 2 Área 3 2 120 cmAltura 3 2 120 3 2 120 0
x x x
x x x x x
→ + = + =
→ + = → + − =
402 4 1440 2 1444 (no válida)2 38
66 6 6
6
xx
x
− ± + − ± = −− ±= = =
=
�
�
3 2 18 2 20x + = + =
Solución: La base mide 20 cm y la altura, 6 cm. Ejercicio nº 6.- Los radios de dos circunferencias miden 8 cm y 3 cm, respectivamente, y la distancia entre sus centros es de 15 cm. Halla la longitud del segmento de tangente común externa. Solución:
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
2 215 5 225 25 200 14,14 cmt = − = − = ≈ Ejercicio nº 7.- Halla la superficie total y el volumen de un prisma recto de 12 cm de altura cuya base es un hexágono regular de 4 cm de lado. Solución:
− Hallamos el área de la base:
2 24 2 16 4 12 3,46 cma = − = − = ≈
21
24 3,46Área base 41,52 cm
2 2P a
A⋅ ⋅
= = = =
− Hallamos el área de una de las caras laterales:
A2 = b · h = 4 · 12 = 48 cm2 = A2
− Área total = 2 · A1 + 6 · A2 = 2 · 41,52 + 6 · 48 = 83,04 + 288 = 371,04 cm2
− Volumen = (Área base) · h = 41,52 · 12 = 498,24 cm3 Ejercicio nº 8.- a)))) Representa gráficamente la función 3x ++++ 4y ==== 2, y comprueba si el punto (−(−(−(−2,64; 2,48)))) pertenece o no a la
recta.
b)))) Observa la gráfica y escribe la ecuación correspondiente:
Solución:
3 2a) 3 4 2
4x
x y y− +
+ = → =
Pasa por (2, −1) y (−2, 2):
Comprobamos si el punto (−2,64; 2,48) cumple la ecuación de la recta:
3 · (−2,64) + 4 · (2,48) = −7,92 + 9,92 = 2
Luego el punto si pertenece a la recta. b) Como no pasa por el origen, la ecuación de dicha recta será de la forma y = mx + n:
− El punto de corte con el eje Y es (0, 3) → n = 3 − Por cada unidad que se avanza en la x , se bajan 2 unidades en la y → m = −2
La ecuación es y = −2x + 3. Ejercicio nº 9.- Por la recogida de agua en unas fuentes medicinales debemos pagar 20 céntimos de euro por el acceso al recinto y 5 céntimos de euro por cada litro recogido. a)))) Halla la ecuación de la recta que nos da el coste total en función de la cantidad de agua cogida; y
represéntala gráficamente.
b)))) ¿Cuánto tendríamos que pagar si cogiéramos 5 litros de agua? Solución: a) y = 20 + 5x, siendo x los litros que cogemos e y, el coste total (en céntimos de euro).
b) Si x = 5 litros → y = 20 + 5 · 5 = 20 + 25 = 45 céntimos de euro Ejercicio nº 10.- a) En una bolsa hay cuatro bolas, cada una con uno de los números 1, 2, 3, 4. Extraemos dos bolas y sumamos
los números obtenidos. Hemos repetido la experiencia 60 veces, obteniendo los siguientes resultados:
SUMA 3 4 5 6 7
N.°°°° DE VECES 8 12 21 9 10
Halla la media y la desviación típica de esta distribución.
b)))) Hemos lanzado dos dados 200 veces, anotando la suma que obteníamos. La media ha sido 7 y la desviación
típica 2,43. Calcula el coeficiente de variación en este caso y en el anterior y di en cuál de ellos la variación relativa es mayor.
Solución: a)
xi fi fixi fixi2
3 8 24 72
4 12 48 192
5 21 105 525
6 9 54 324
7 10 70 490
60 301 1 603
Media:
3015,02
60i if x
xn
Σ= = =
Desviación típica:
22 21603
5,02 1,52 1,2360
i if xx
n
Σσ = − = − = =
11
1
22
2
1,23C.V. 0,245b)
5,02La dispersión es mayor en el segundo caso.
2,43C.V. 0,347
7
x
x
σ = = =
σ = = =
Ejercicio nº 1.- a)))) Opera y simplifica el resultado
2 23 1 2 1 1
0,135 5 3 2 4
�
−−−−
− ⋅ + − +− ⋅ + − +− ⋅ + − +− ⋅ + − +
b)))) Reduce a una sola potencia y calcula:
−
11 2
3 4:
4 3
−−−−
Solución: a) Expresamos N 0,13 en forma de fracción:=
�
Opción E
Evaluación: Fecha:
Matemáticas 3
EDUCACIÓN SECUNDARIA
SOLUCIONES
100 N 13,333
10 N 1,333
12 290 N 12 N
90 15
=
− =
= → = =
…
…
− Operamos y simplificamos: 2 2
3 1 2 2 1 1 3 1 9 2 1 1 3 9 2 25 5 3 15 2 4 5 5 4 15 4 4 5 20 15 4
36 27 8 30 1360 60 60 60 60
− − ⋅ + − + = − ⋅ + − + = − + − =
= − + − = −
1 1 11 2 1 2 1 1
3 4 4 4 4 4 4b) : :
4 3 3 3 3 3 3
− − −− −
= = = =
Ejercicio nº 2.- De un solar se vendieron 2/7 partes y posteriormente 4/5 de lo que quedaba. Si aún quedan por vender 1 200 m
2.
¿Cuál era la superficie de la parcela? Solución:
2
2 5 Vende partes Le quedan del total
7 74 5 4
Vende de del total5 7 7
2 4 6 1 En total ha vendido Le queda del total
7 7 7 7Por tanto:
1 de 1200 m 1200 7 8400
7x x
− →
− =
− + = →
= → = ⋅ =
La superficie de la parcela era de 8 400 m2. Ejercicio nº 3.- Opera y simplifica:
( ) ( ) ( )( )223 1 2 2 2x x x x x+ − − + + −+ − − + + −+ − − + + −+ − − + + −
Solución:
( ) ( ) ( )( ) ( )22 3 2 2 2
3 2 2 2 3 2
3 1 2 2 2 3 3 4 4 4
3 3 4 4 4 3 3 4 8
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
+ − − + + − = + − − + + − =
= + − + − + − = + + −
Ejercicio nº 4.- Resuelve:
( )4 2 1 4 3 1 29a)
3 2 2 4 8
x xx
−−−− ++++− + − =− + − =− + − =− + − =
2b) 6 12 4 2+ = ++ = ++ = ++ = +x x x
c) 3 8 2
12 21 3 0
= += += += +
− + =− + =− + =− + =
x y
x y
Solución:
( )4 2 1 4 3 1 29a)
3 2 2 4 8
8 4 4 3 3 293 2 2 8 8
64 32 12 48 36 9 8724 24 24 24 24
x xx
x x x
x x x
− + − + − =
− +− + − =
− +− + − =
64 32 12 48 36 9 87x x x− − − + − =
64 12 36 87 32 48 9x x x− + = + + +
88 176x =
176 2
88x x= → =
2 2 2b) 6 12 4 2 6 10 4 0 3 5 2 0x x x x x x x+ = + → + − = → + − =
1
2
2 16 3
5 25 24 5 49 5 76 6 6
122
6
x x
x
x x
= = =
− ± + − ± − ±= = =
= − = − =
�
�
( )4c) 3 8 2 3 2 8 12 8 32
12 21 3 0 12 3 21 12 3 21
Sumando: 11 11 1
x y x y x y
x y x y x y
y y
× −= + − = − + = − →
− + = + = + =
= − → = −
63 8 2 8 2 6 2 2
3x y x x= + = − = → = = → =
Solución: x = 2 ; y = −1
Ejercicio nº 5.- Las dos cifras de un número suman 11; y, si invertimos el orden de sus cifras, el nuevo número excede en 63 unidades al número inicial. ¿De qué número se trata? Solución: Llamamos x a la cifra de las decenas e y a la de las unidades. Así, el número es 10x + y. Tenemos que:
11 11 11
10 10 63 9 9 63 7 11 7
x y y x y x
y x x y y x y x x x
+ = = − = −
+ = + + − = − = − − =
4 2 2 11 11 2 9 9x x y x y= → = → = − = − = → =
Solución: El número es 29. Ejercicio nº 6.- Halla la generatriz de un tronco de cono de 16 cm de altura en el que los radios de las bases miden 8 cm y 3 cm,
respectivamente. Solución:
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
2 216 5 256 25 281 16,76 cmg = + = + = ≈ Ejercicio nº 7.- a)))) Halla el área de esta figura:
b)))) Halla el volumen de esta pirámide:
Solución: a) − Área del triángulo equilátero:
2 2h 6 3 36 9 27 5,20 cm= − = − = ≈
21
h 6 5,20Área 15,60 cm
2 2b
A⋅ ⋅
= = = =
− Área del rectángulo = b · h = 6 · 5 = 30 cm2 = A2
− Área del círculo (unión de los dos semicírculos) = πr2 = π · 2,52 = 6,25 π ≈ 19,63 cm2 = A3
− Área total = A1 + A2 + A3 = 15,60 + 30 + 19,63 = 65,23 cm2
b)
− Hallamos la altura de la pirámide:
2 2h 6 2 36 4 32 5,66 cm= − = − = ≈
( ) 31 1Volumen Área base altura 16 5,66 30,19 cm
3 3− = ⋅ = ⋅ ⋅ ≈
Ejercicio nº 8.- a)))) Representa la función −−−−2x ++++ 3y ==== 1. Si queremos que el punto P((((a; 1,36)))) esté en la recta, ¿qué valor tiene que
tomar a?
b)))) Escribe la ecuación de la siguiente recta:
Solución:
2 1a) 2 3 1
3x
x y y+
− + = → =
Pasa por (1, 1) y (−2, −1):
El punto P(a; 1,36) pertenecerá a la recta si cumple su ecuación:
3,08
2 3 1,36 1 2 4,08 1 2 3,08 1,542
a a a a−
− + ⋅ = → − + = → − = − → = =−
b) Como no pasa por el origen la ecuación de dicha recta será de la forma y = mx + n:
− El punto de corte con el eje Y es (0, −8) → n = −8
− Por cada unidad que avanzamos en x , subimos dos en y → m = 2
La ecuación es y = 2x − 8.
Ejercicio nº 9.- Un determinado día, Mercedes por 15 dólares ha pagado 18 € y Ana por 25 dólares ha pagado 30 €.
a)))) Halla la ecuación de la recta que nos da el precio en euros, y, de x dólares.
b)))) Represéntala gráficamente.
c)))) ¿Cuánto habríamos pagado por 30 dólares? Solución: a) Buscamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos (15, 18) y (25, 30):
30 18 121,2
25 15 10m
−= = =
−
Ecuación punto−pendiente:
( )18 1,2 15 18 1,2 18 1,2y x y x y x= + − → = + − → =
b)
c) Si x = 30 dólares → y = 1,2x = 1,2 · 30 = 36 € Ejercicio nº 10.- En las familias de una determinada localidad, A, el número de hijos viene dado en la siguiente tabla:
N.°°°° DE HIJOS 0 1 2 3 4 5 6
N.°°°° DE FAMILIAS 62 247 520 830 380 51 10
a)))) Calcula la media y la desviación típica.
b)))) En las familias de otra localidad, B, el número medio de hijos es de 3,2; con un desviación típica de 1,8. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y compara la dispersión en ambos grupos.
Solución: a)
xi fi fixi fixi2
0 62 0 0
1 247 247 247
2 520 1 040 2 080
3 830 2 490 7 470
4 380 1 520 6 080
5 51 255 1 275
6 10 60 360
2 100 5 612 17 512
Media:
56122,67
2100i if x
xn
Σ= = =
Desviación típica:
22 217512
2,67 1,21 1,12100
i if xx
n
Σσ = − = − = =
1,1C.V 0,412b)
2,67La variación relativa es mayor en .
1,8C.V. 0,563
3,2
AA
A
BB
B
.x
B
x
σ = = =
σ = = =