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MATEMÁTICAS 2Geometría, trigonometría, datos y azar

primera edición ebook 2014

Joaquín Ruiz Basto

BACHILLERATO GENERAL

SERIE INTEGRAL POR COMPETENCIAS

Grupo Editorial Patria®División Bachillerato, Universitario y Profesional

Dirección editorial: Javier Enrique CallejasCoordinación editorial: Alma Sámano CastilloElaboración de rúbricas: Alex Polo Velázquez, páginas: 22, 23, 24, 44, 45, 68, 69, 90, 91, 118, 119, 134, 135, 156, 157, 172, 173, 188, 189, 204, 205Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado SolísSupervisor de preprensa: Miguel Ángel Morales VerdugoDiagramación: Gustavo Vargas Martínez, Jorge Antonio Martínez JiménezIlustraciones: José Luis Mendoza Monroy, Perla Alejandra López Romo, Gerardo Díaz, Antonio NúñezFotografías: Thinkstock

Matemáticas 2

Geometría, trigonometría, datos y azar.

Serie integral por competencias

Derechos reservados: ©2014, Joaquín Ruiz Basto

©2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.

ISBN ebook: 978-607-438-997-5

Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca,Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro núm. 43

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en

cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en México / Printed in Mexico

Primera edición ebook: 2014

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DedicatoriaA Estela, Rodrigo, Leonardo, Christian y Ricardo.

A todos los que contribuyeron para la realización de esta obra.

IV

BLO

QU

E

2 Comprendes la congruencia de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

BLO

QU

E

1 Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas . . . . . . . . . . . 2

Contenido Parte 1 Desarrollo

de competencias . . . . . . . 1

BLO

QU

E

3 Resuelves problemas de semejanzas de triángulos y teorema de Pitágoras 46

BLO

QU

E

4 Reconoces las propiedades de los polígonos . . . . . . . . . . . . . . . 70

BLO

QU

E

5 Reconoces las propiedades de la circunferencia . . . . . . . . . . . . 92

BLO

QU

E

6 Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos . . . . . . . . . . 120

V

BLO

QU

E

7Aplicas funciones trigonométricas . . 136

BLO

QU

E

8 Aplicas las leyes de senos y cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

BLO

QU

E

9Aplicas la estadística elemental . . . . 174

BLO

QU

E

10 Empleas los conceptos elementales de la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . 190

Parte 2 Material de consulta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207Sección 1 . Ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Sección 2 . Lados de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Sección 3 . Triángulos y áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Soluciones a ejercicios impares de autoevaluación para la Parte 1 231

Soluciones a ejercicios impares de la Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

. . . . . . . . . .

VI

Competencias genéricas del Bachillerato General

Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempeñar, y les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convi-

vencia adecuada en sus ámbitos sociales, profesional, familiar, etc., por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresa-do del Sistema Nacional de Bachillerato.

A continuación se enlistan las competencias genéricas:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

3. Elige y practica estilos de vida saludables.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apro-piados.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la inculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

Competencias disciplinares básicas del campo de las Matemáticas

Competencias disciplinarias básicas Bloques de aprendizaje

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1. Construyeeinterpretamodelosmatemáticosmediantelaaplicacióndeprocedimientosaritméticos,algebraicos,geométricos.

X X X X X X X X X X

2. Formulayresuelveproblemasmatemáticos,aplicandodiferentesenfoques.

X X X X X X X X X X

3. Explicaeinterpretalosresultadosobtenidosmedianteprocedimientosyloscontrastaconmodelosestablecidososituacionesreales.

X X X X X X X X X X

4. Argumentalasoluciónobtenidadeunproblema,conmétodosnuméricos,gráficos,analíticosovariacionalesmedianteellenguajeverbal,matemáticoyelusodelastecnologíasdelainformaciónycomunicación.

X X X X X X X X X X

5. Analizalasrelacionesentredosomásvariablesdeunprocesosocialonaturalparadeterminaroestimarsucomportamiento.

X X

6. Cuantifica,representaycontrastaexperimentalomatemáticamentelasmagnitudesdelespacioydelaspropiedadesfísicasdelosobjetosquelosrodean.

X X X X X X X X

7. Eligeunenfoquedeterministaounoaleatorioparaelestudiodeunprocesoofenómeno,yargumentasupertinencia.

X X

8. Interpretatablas,gráficas,mapas,diagramasytextosconsímbolosmatemáticosycientíficos.

X X

VII

Es el segundo libro de la Serie integral por competencias, que ayudará a profesores y estudiantes a organizar y desa-rrollar experiencias de aprendizaje a lo largo del segundo semestre escolar del bachillerato general.

Esta obra se apega al programa oficial de la asignatura y pone el centro de la actividad en el propio estudiante.

Así, cada uno de los 10 bloques que lo integran inicia exponiendo una situación didáctica al estudiante, de su entorno social, familiar o personal, que requiere la búsqueda de explicaciones o soluciones.

La obra propone, enseguida, una secuencia didáctica de actividades que conduce al alumno a la solución de la situación propuesta y que puede realizarse individualmente o en forma colectiva de modo que, a través del aná-lisis, la reflexión, el estudio, la investigación y el trabajo personal y colaborativo, el estudiante desarrolle habilidades cognitivas, haciendo y aplicando sus conocimientos, mismos que podrá ampliar en los segmentos informativos de cada lección; incluyen ejercicios de autoevaluación con solución para los impares.

Cada bloque contiene, después de cada situación didáctica, un proyecto de trabajo cuyo objetivo es que el estudiante desarrolle sus conocimientos y habilidades, y consolide la autonomía en su quehacer.

Otra fuente complementaria de consulta de contenidos matemáticos para el estudiante se proporciona en la segunda parte del libro e incluye soluciones a ejercicios de orden impar.

La distribución de los contenidos del curso en 10 bloques permitirá al profesor disponer de variados proble-mas de aplicación práctica para organizar su trabajo en el aula.

Esta segunda edición se enriquece con nuevos e interesantes problemas y con modelos de instrumentos para la evaluación: rúbricas analíticas, listas de cotejo, guías de observación y lineamientos para la organización y uso de un portafolio de evidencias, elementos que, sin duda, serán de gran utilidad para el alumno y el profesor.

Joaquín Ruiz BastoProblema propuesto

Situación didáctica

Análisis de la situación

Conocimientos

Consulta

Secuencia didáctica

Proyecto de trabajo

Rúbrica de evaluación Segmento informativo

Parte teórica

Ejemplos

Comentarios adicionales

Aplicaciones

Autoevaluaciones

Sugerencias para los ejercicios

Presentación

MATEMÁTICAS 2Geometría, trigonometría, datos y azar

Contenido Bloque 1 Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas A. El reflejo de la luz en vidrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 B. Rescate de un bebé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 C. Aretes artesanales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Bloque 2 Comprendes la congruencia de triángulos A. Campismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 B. Crucero turístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Bloque 3 Resuelves problemas de semejanzas de triángulos y teorema de Pitágoras A. Amplificando un diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 B. Empaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 C. La lente de aumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Bloque 4 Reconoces las propiedades de los polígonos A. Héroes y villanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 B. Ángulos y espejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 C. Impermeabilizando una casa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Bloque 5 Reconoces las propiedades de la circunferencia A. Juego con monedas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 B. Arquitectura del paisaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 C. Ubicación de un hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 D. Pasta hojaldrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Bloque 6 Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos A. Pirámide del Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 B. Disco compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Bloque 7 Aplicas funciones trigonométricas A. Partida de tenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 B. Limpiaparabrisas de autos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 C. Biorritmo de las personas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Bloque 8 Aplicas las leyes de senos y cosenos A. Rescate alpino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 B. Juego de mesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Bloque 9 Aplicas la estadística elemental A. Concurso de chefs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 B. El chef ganador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Bloque 10 Empleas los conceptos elementales de la probabilidad A. Paletas de sabores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 B. Eligiendo premios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Parte 1Desarrollo de competencias

n Expresaideasyconceptosmedianterepresentacioneslingüísticas,matemáticasográficas.

n Sigueinstruccionesyprocedimientosdemanerareflexiva,comprendiendocómocadaunodesuspasoscontribuyealalcancedeunobjetivo.

n Construyehipótesis;diseñayaplicamodelosparaprobarsuvalidez.n Utilizalastecnologíasdelainformaciónycomunicaciónparaprocesareinterpretar

información.n Eligelasfuentesdeinformaciónycomunicaciónparaunpropósitoespecíficoy

discriminaentreellasdeacuerdoasurelevanciayconfiabilidad.

n Definemetasydaseguimientoasusprocesosdeconstrucccióndeconocimientos.n Proponelamaneradesolucionarunproblemaydesarrollaunproyectoenequipo,

definiendouncursodeacciónconpasosespecíficos.n Aportapuntosdevistaconaperturayconsideralosdeotraspersonasdemanera

reflexiva.n Asumeunaactitudconstructiva,congruenteconlosconocimientosyhabilidadescon

losquecuentadentrodedistintosequiposdetrabajo.

Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas

Competencias a desarrollarCompetencias a desarrollar

n Expresaideasyconceptosmedianterepresentacioneslingüísticas,matemáticasográficas.

n Sigueinstruccionesyprocedimientosdemanerareflexiva,comprendiendocómocadaunodesuspasoscontribuyealalcancedeunobjetivo.

n Construyehipótesis;diseñayaplicamodelosparaprobarsuvalidez.n Utilizalastecnologíasdelainformaciónycomunicaciónparaprocesareinterpretar

información.n Eligelasfuentesdeinformaciónycomunicaciónparaunpropósitoespecíficoy

discriminaentreellasdeacuerdoasurelevanciayconfiabilidad.

n Definemetasydaseguimientoasusprocesosdeconstrucccióndeconocimientos.n Proponelamaneradesolucionarunproblemaydesarrollaunproyectoenequipo,

definiendouncursodeacciónconpasosespecíficos.n Aportapuntosdevistaconaperturayconsideralosdeotraspersonasdemanera

reflexiva.n Asumeunaactitudconstructiva,congruenteconlosconocimientosyhabilidadescon

losquecuentadentrodedistintosequiposdetrabajo.

Competencias a desarrollar

Objetos de aprendizaje

Ángulos:

Porsuabertura

Porlaposiciónentredosrectasparalelasyunasecante(transversal)

Porlasumadesusmedidas:

Complementarios

Suplementarios

Triángulos:

Porlamedidadesuslados

Porlaaberturadesusángulos

Propiedades relativas de los triángulos.

¿Qué sabes hacer ahora?

Lostriángulosconstituyenlabaseparaconstruirdiversasfigurasgeométricas.

Muchasdelaspropiedadesdeéstasderivandelaspropiedadesorelacionesmétricasentreladosyángulosdelostriángulos.

Unaaplicaciónnotabledelapeculiardeterminaciónmutuaentreladosyángulosdeestafiguratansimple,seencuentraenlaedificacióndeestructuraseningeniería,yaquealserindeformableestafigura(salvoporsudestrucción)hacenquesealamásresistente.

Competencias a desarrollar

1B LO Q U E

Desempeños del estudiante al concluir el bloque

Identificadiferentestiposdeángulosytriángulos.

Utilizalaspropiedadesycaracterísticasdelosdiferentestiposdeángulosytriángulos,apartirdesituacionesqueidentificaensucomunidad.

Resuelveejerciciosy/oproblemasdesuentornomediantelaaplicacióndelaspropiedadesdelasumadeángulosdeuntriángulo.

�

Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas Grupo Editorial Patria®

BLOQUE1Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas Grupo Editorial Patria®

AConocimientos

Dos ángulos adyacentes tienen un lado en común, pero no se traslapan.

∠AOB y ∠BOC son adyacentes.

OB→

es su lado común.

O

AB

C

Dos ángulos complementarios suman 90°.

Ejemplo: si a = 30° y β = 60°, entonces son complementarios

Dos ángulos suplementarios suman 180°.

Ejemplo: Si a = 20° y β = 160°, entonces son suplementarios

Dos ángulos pueden ser complementarios o suplementarios sin importar la posición de sus lados.

Consulta

En libros y otras fuentes sobre geometría plana:

Clasificación de ángulos según:

a) sus medidas .

b) la suma de sus medidas .

c) la posición de sus lados .

Situación didáctica El reflejo de la luz en vidrio

Cuando un rayo de luz incide sobre un vidrio, una parte se desvía (reflejo) en el medio en que viaja y otra atraviesa el vidrio (refracción) .

Si haces un experimento con una lámpara de mano, de modo que con la superficie del vidrio el rayo reflejado forme un ángulo de 53º y el rayo refractado un ángulo de 66º, podrías requerir alguna información sobre los ángulos que se forman, tal como:

a) ¿Cuánto miden los ángulos de incidencia y de reflexión ϕ y ϕ’?

b) ¿Cuánto mide el ángulo de refracción ω?

ϕ

ω

ϕ'

53º

66º


¿Existe alguna relación especial entre los lados de los ángulos ϕ y ϕ’?

¿Cómo se denomina a estos ángulos en geometría?

¿Cómo se llama en óptica a los ángulos ϕ y ϕ’?


�


Rúbrica de evaluación

1. Elabora un reporte en el que obtengas la medida de los ángulos ϕ, ϕ’ y ω y justifiques cada paso de tu desarrollo.

2. Escribe un resumen donde indiques qué entiendes por:

a) Ángulos complementarios

b) Ángulos adyacentes

c) Ángulo llano

Debes ilustrar con diagramas tus explicaciones.

3. Investiga en un libro de física qué es la refracción y la reflexión de la luz y anexa esta información a tu reporte sobre la obtención de las medidas de los ángulos en el experimento presentado en la situación didáctica.


1. ¿A cuánto es igual la suma ϕ’ + 53º? ¿Por qué?

2. A partir del dato anterior, obtén la medida de ϕ’.

3. ¿Es correcto afirmar que ϕ = ϕ’? Justifica la respuesta.

4. Designa por a al ángulo comprendido entre ϕ y el ángulo de 66º. ¿Cuánto mide este ángulo? Justifica tu respuesta.

5. Explica por qué razón ω = 90º - 66º.

6. ¿Es correcto que confirmes tus resultados realizando las dos sumas que se proporcionan a continuación?:

a) a + ϕ + ϕ’ + 53º = 180º _______________________________________

b) 66º + a + ϕ = 180º _______________________________________

Argumenta cada una de tus respuestas.

7. Conclusión: En este experimento, el ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión miden cada uno: _______________ y el ángulo de refracción mide: _____ _______________.

Proyecto de trabajo

1. Las manecillas del reloj Indica qué tipo de ángulo forman las manecillas del reloj cuando están en la posición mostrada.

a) b) c)

121110

98

7 6 543

21 1211

1098

7 6 543

21 1211

1098

7 6 543

21

2. Comprobar y probar En casos particulares, comprueba la validez de las siguientes afirmaciones. Demuestra después que son ciertas para cualquier par de ángulos iguales a, β.

a) Dos ángulos iguales tienen complementos iguales.

b) Dos ángulos iguales tienen suplementos iguales.

c) Si los complementos —o los suplementos— de dos ángulos son iguales, entonces los ángulos son iguales.


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Segmentoinformativo 1A


Tipos de ángulosA) Según sus medidas:

Agudo: Entre 0° y 90°

Recto: 90°

Obtuso: Entre 90° y 180°

Llano: 180°

Llano

Obtuso

Recto

Agudo

0º180º

90º

B) Según la posición de sus lados:

De lados colineales: Un ángulo cuyos lados son rayos opuestos.

Opuestos por el vértice: Son dos ángulos cuyos lados forman pares de rayos opuestos.

Adyacentes: Ángulos con vértice y un lado común, pero sin puntos interiores comunes.

1

23

C) Según la suma de sus medidas:

Complementarios: Son dos ángulos que suman 90°.

30º

60º

70º

20º

Suplementarios: Son dos ángulos que suman 180°.

100º 80º 60º120º

Ejemplo 1. Reconociendo tipos de ángulos

De acuerdo con los distintos criterios de clasificación de los ángulos, describe qué tipos de ángulos son los siguientes:

a) ∠1 y ∠2 b) ∠a, ∠b y ∠c

1

2

a

bc

180º 0º

90º

Fíjate en lo siguiente...

Los ángulos agudos nunca miden 0° ni 90°.

Los ángulos obtusos nunca miden 90° ni 180°.

Recuerda

Un punto en una recta divide a ésta en dos rayos opuestos, es decir, dos rayos que parten del mismo origen pero siguen direcciones opuestas.

Verifica tu avance

¿Por qué todo ángulo de lados colineales es un ángulo llano?

Justifica tu respuesta.

Ampliando el conocimiento

Dos rectas son perpendiculares (^) si se cortan formando ángulos adyacentes iguales.

m ^ n

m

n

Verifica tu avance

¿Por qué podemos decir que las rectas perpendiculares forman ángulos de 90°?

¿Por qué siempre son iguales dos ángulos opuestos por el vértice?

Argumenta tu respuesta.

Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas Grupo Editorial Patria®Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas Grupo Editorial Patria®

�

c) ∠3 y ∠4 d) ∠LNO, ∠MNO, ∠LNM.

90º

0º180º

3 4

0º180º

90º

N

L

M

O

Solución

a) Opuestos por el vértice; agudos.

b) Adyacentes; ∠a y ∠b, agudos y complementarios; ∠c recto.

c) Cada uno es recto; ambos son suplementarios y adyacentes.

d) ∠LNO obtuso; ∠MNO agudo; ∠LNM recto. (mide 130°) (mide 40°) (mide 130° - 40° = 90°)

Ejemplo 2. Aplicando criterios para discriminar

Explica por qué:

a) ∠a y ∠b no son opuestos por el vértice.

b) a y β no son adyacentes.

c) ∠1, ∠2 y ∠3 no son complementarios.

a b

α β

1

23

90º

0º

a) b) c)

Solución

a) Sólo tienen un par de lados opuestos.

b) Tienen puntos interiores comunes.

c) Aunque suman 90°, no son dos ángulos, sino tres.

Ejemplo 2b

Fíjate en lo siguiente…

Cuando usas letras del alfabeto griego para denotar ángulos, puedes prescindir del símbolo ∠.


Algunas letras minúsculas del alfabeto griego y sus nombres:

a alfa q theta

β beta ϕ fi

d delta y psi

g gamma ω omega

Verifica tu avance

¿Son adyacentes ∠s y ∠t?

t

s

¿Son suplementarios ∠1, ∠2, ∠3 y ∠4?

1

23

4

Justifica cada respuesta.


�


Sugerencias para la autoevaluación 1A

1. Para hallar el complemento, resta a 90° el ángulo dado.

2. Expresa 90° en grados y minutos.

5. El doble de un ángulo de 42° 40’ se obtiene multiplicándolo por dos. Convierte en grados los minutos que formen grupos de 60.

6. Expresa 180° en grados, minutos y segundos antes de restar el ángulo dado.

13. Deben cumplirse tres condiciones para que dos ángulos sean adyacentes. Identifícalas en la definición.

Autoevaluación 1A

1. a) 30° es el complemento de ?

b) El complemento de 70° es ?

c) 142° es el suplemento de ?

d) El suplemento de 15° es ?

e) El complemento de 2x° es ?

2. Si a y β son complementarios y a = 31° 25’, ¿cuánto mide β?

3. Un ángulo que mide 179° 59’ 60”, ¿es un ángulo llano?

4. ¿Es 67° 45’ 29” el complemento de 23° 15’?

5. ¿Puede ser 14° 28’ el complemento del doble del ángulo que mide 42° 40’?

6. Obtén el suplemento de 57° 34’ 20”.

7. Clasifica los siguientes ángulos según sus medidas:

a) ∠DFE d) ∠AFE

b) ∠CFE e) ∠BFD

c) ∠BFE

0º180º

90º

A

B

C D

E

F

Utiliza la figura de la página 9 para los ejercicios 8 a 18.

8. Nombra tres ángulos que tengan el rayo OF como lado común.

9. Nombra todos los ángulos agudos.

10. Nombra dos ángulos obtusos distintos y dos iguales.

11. Nombra un ángulo recto.

12. ¿∠2 y ∠6 son opuestos por el vértice?

13. Nombra un par de ángulos adyacentes.

14. ¿∠1 y ∠6 son adyacentes?, ¿y ∠3, ∠4?

15. ¿Cuánto suman ∠5 y ∠6?


�

16. Colineales significa que están en la misma recta.

18. Revisa el ejemplo 2 en este segmento. Ángulos iguales tienen igual medida.

19. Colorea el interior de cada ángulo usando un tono distinto para cada uno, ¿qué observas?

23. ¿Cómo deben ser los lados de dos ángulos opuestos por el vértice?

24. La suma de dos ángulos obtusos, ¿es menor o mayor que 180°? ¿Por qué?

26. ¿Qué sucedería si ambos fuesen agudos, o ambos obtusos?

27. ¿La definición de ángulos suplementarios depende de la posición de los lados de los ángulos?

28. Cuando generas un ángulo mediante un giro, un lado permanece fijo y el otro se mueve. ¿Qué ocurre al completar una vuelta?

16. ¿Es ∠AOB un ángulo de lados colineales? ¿Cuánto mide?

17. Si ∠2 = 35°, ¿cuánto mide ∠3?

18. ¿Es correcto afirmar que ∠4, ∠5 y ∠6 son suplementarios? ¿Son iguales ∠1 y ∠4?

A

B

C

D

E

F

90º O1

2 3

4

56

Ejercicios 8 a 18

19. En la siguiente figura, ¿son adyacentes a y β? ¿Tienen un lado común? ¿Tienen el mismo vértice?

20. ¿Son complementarios a y β?

α

β

Ejercicios 19 y 20

21. ¿Tiene sentido hablar del complemento de 120°?

22. ¿Pueden ser suplementarios dos ángulos agudos?

23. ¿Podrían ser adyacentes dos ángulos opuestos por el vértice?

24. ¿Pueden ser complementarios dos ángulos obtusos?

25. ¿Son iguales todos los ángulos rectos? ¿Y los llanos? ¿Y los agudos?

26. ¿El suplemento de un ángulo agudo es siempre un ángulo obtuso?

27. ¿Todos los ángulos suplementarios son adyacentes?

28. ¿Cómo definirías “ángulo de una vuelta” sin utilizar la noción de grado?

29. ¿Cuánto miden dos ángulos complementarios iguales? ¿Y dos ángulos suplementarios iguales?

10



Conocimientos

Rectas paralelas

Si dos rectas no se intersecan o cortan en algún punto se dice que son paralelas (||). En el dibujo, l || m

l

m

Para averiguar si dos segmentos de recta son paralelos, puede verificarse alguna de las condiciones siguientes:

1. Que la distancia entre ambos es siempre la misma.

2. Que forman ángulos respectivamente iguales con una recta que atraviese a ambos.

Consulta


Ángulos formados en dos rectas para-lelas cortadas por una transversal .

Trazo de a) la perpendicular y b) la paralela a una recta desde un punto exterior, utilizando: 1) regla y compás; 2) escuadras de dibujo .

Trazo de una recta paralela a otra uti-lizando escuadras de dibujo .

Situación didáctica Rescate de un bebé

El dibujo a escala muestra los avances en la excavación de un pozo hecho para rescatar a un pequeño que cayó al fondo de un pozo de 18 metros de profundidad y 30 cm de diámetro .

La estrategia a seguir para evitar derrumbes consiste en excavar un pozo paralelo al pozo donde cayó el bebé, de 80 cm de diámetro, hasta una profundidad de 18.5 metros y conectar ambos por debajo mediante un túnel.

Si estuvieras a cargo de los trabajos, ¿cómo verificarías, en los reportes gráficos del avance de la perforación, que el pozo se mantendrá vertical, para no desembocar antes en el pozo provocando un derrumbe?

18 m

30 cm 80 cm

18.5 m


Si el nuevo pozo se perforara en forma vertical para evitar coincidir con el primer pozo, ¿podrías suponer entonces que este último también es vertical?

Dos perforaciones verticales, ¿deben ser paralelas?

¿Cómo podría garantizarse que el nuevo pozo es paralelo al primero?

Dado que no se indica variación en los diámetros de ambos pozos, ¿puede concluirse que en cada uno los bordes se mantienen “paralelos”?

B


11



Debes entregar como producto un trabajo en el que expliques las condiciones de paralelismo entre dos rectas y muestres los trazos geométricos realizados para situar cada punto de avance de la perforación del túnel:

a) Mediante regla y compás.

b) Con escuadras de dibujo.

El trabajo debe mostrar la verificación del paralelismo con el trazo de una transversal y la medición de los ángulos respectivos.

Debe consignarse también la escala que utilizaste en el dibujo.

Trabajo de investigación

Investiga qué técnicas de ingeniería se utilizan en la práctica para efectuar perforaciones correctas, verticales o inclinadas.


1. Haz un dibujo a escala en el cual representes el pozo vertical donde cayó el bebé.

2. Dibuja a cierta distancia de éste la boca de 80 cm del pozo que se abrirá. Supón un cierto número de avances en la perforación total del pozo (cinco, por ejemplo). Explica cómo debe ser la distancia entre cada punto de avance y el pozo.

3. Ubica ahora en el dibujo el primer punto donde llegó la perforación inicial. ¿Cómo garantizas que está a la distancia correcta? Haz lo mismo para el siguiente punto y prosigue así hasta concluir la ubicación de los cinco puntos.

4. Verifica ahora, con la técnica del trazo de las paralelas con escuadras de dibujo, que tu localización anterior de los puntos fue correcta y que los pozos son pa ralelos en tu representación gráfica a escala.

5. Utiliza ahora la propiedad de la transversal y, con un transportador, confirma en tu dibujo que ambos pozos efectivamente son paralelos.

6. Describe con palabras el procedimiento completo para asegurar el éxito de la perforación.

Proyecto de trabajo

1. Los rayos del sol ¿Cómo podrías concluir que los rayos del sol llegan a la Tierra en forma paralela?

2. Urbanismo En el mapa a escala de un fraccionamiento urbano parece que las calles Rosas y Gardenia son paralelas, lo mismo que las calles Lirio y Clavel. ¿Cómo podrías confirmar o desmentir esta apreciación visual?

E

F

1

C

D

A

B2

3

Ros

as

Gar

den

ia

Clavel

Lirio

α'

r2

α

r1


12


Verifica tu avance

¿Por qué toda recta es paralela a sí misma?

Fíjate en lo siguiente...

Las rectas p y q no son paralelas.

12 4

3

6 5

7 8

p

q

En este caso observamos que los pares de ángulos no son iguales en cada grupo. Por ejemplo: ∠1 ≠ ∠5, ∠4 ≠ ∠6, ∠2 ≠ ∠8.


La recíproca de la proposición condicional:Si es un alce, entonces tiene cuernos, es la proposición:

Si tiene cuernos, entonces es un alce .Intercambiando la hipótesis y la conclusión de la condicional dada, se obtiene su recíproca.

Verifica tu avance

Si una proposición es verdadera, ¿siempre será verdadera su recíproca? Ejemplifica.

Paralelas y transversalesDos rectas que están en un mismo plano son paralelas (||) cuando coinciden en todos sus puntos o en ninguno.

m

nl

En la figura, las rectas l y m no son paralelas porque están en planos distintos. En cambio, n || m están en el mismo plano y no tienen puntos en común.

Cuando una recta atraviesa varias paralelas es una transversal para éstas.

En la figura, la recta t es una transversal para las rectas m y n. Cuando dos paralelas son cortadas por una transversal se forman ocho ángulos.

t

m

n

12

4356

87

Estos ángulos se asocian por pares y se agrupan en tres tipos:

Correspondientes Alternos internos Alternos externos

∠1 y ∠5 ∠2 y ∠6 ∠3 y ∠5 ∠2 y ∠8

∠3 y ∠7 ∠4 y ∠8 ∠4 y ∠6 ∠1 y ∠7

4356

12

87

4356

12

87

Una propiedad exclusiva de las rectas paralelas es que los pares de ángulos pertenecientes a un mismo grupo son iguales entre sí.

Propiedad fundamental de las paralelas

En rectas paralelas, los ángulos correspondientes son iguales. Lo mismo ocurre con los ángulos alternos externos y los alternos internos.

La afirmación recíproca también es verdadera. Ésta, sin embargo, opera como un criterio para determinar si dos rectas son paralelas o no.

Segmentoinformativo 1B


13

Verifica tu avance

¿Por qué son iguales dos ángulos agudos, o bien dos ángulos obtusos, cuyos lados son respectivamente paralelos?

α

β

ϕ

θ

Examina más posiciones.

Información histórica

Una antigua medición de la Tierra

Además de comprobar que los rayos del sol son paralelos en la Tierra, el sabio Eratóstenes, en la antigua Grecia, infirió la curvatura terrestre observando las sombras de los objetos en dos ciudades, Siena y Alejandría. En la misma época del año, a la misma hora, en Siena no se producía sombra alguna, y en Alejandría sí, con un ángulo de 7° 12’.

7° 12’Alejandría

0° 00’Siena

Después veremos cómo, con estos datos, de dujo la longitud de la Tierra.

Verifica tu avance

¿La distancia entre los ojos de una persona modifica la zona común del campo visual?Argumenta tu respuesta.

Criterio de paralelismo

Si al cortar dos o más rectas con una transversal se obtienen ángulos correspondientes o alternos iguales, las rectas son paralelas.

Ejemplo 1. Ángulos con paralelas y transversales

En la figura, las rectas s y q son paralelas, lo mismo que las rectas m y n.

a) Si a = 34°, ¿cuánto miden a’ y β?

b) ¿Cuánto mide el ángulo ω?

m n

q

sα’ α

ββ’

ω

Solución

a) a = a’ = 34° por ser correspondientes; a’ = β = 34° al ser opuestos por el vértice; β’ = β = 34° por ser alternos internos.

b) ω = 180° - 34° = 146°.

Ejemplo 2. Ángulos en un paralelogramo

Un paralelogramo es una figura con cuatro lados, paralelos dos a dos.

Argumenta por qué es cierto que en cualquier paralelogramo:

a) Los ángulos consecutivos son suplementarios.

b) Los ángulos opuestos son iguales.

A C

B D

α α’β

α’’

Solución

Por hipótesis, las rectas AB y CD son paralelas, lo mismo que AC y BD.

a) a = a’ por ser correspondientes. Por tanto, a’ + β = a + β = 180°.

b) a = a’ = a’’ por ser, en ese orden, correspondientes y alternos internos.

Ejemplo 3. El campo visual de los seres humanos

Cuando vemos de frente, la visión de cada uno de nuestros ojos es de 120°.

¿Cuántos grados de visión abarca la zona común de ambos ojos?

120°120°

ϕ

Solución

El campo visual común es de 120°.

Considerando paralelos los rayos, ϕ = 120°, por ser ángulos correspondientes.


1�


Sugerencias para la autoevaluación 1B

1. Para una mejor visualización, prolonga con líneas punteadas las rectas v y w.

2. Obtén el suplemento de 150°.

3. Obtén ∠1 y después ∠DCE para hallar ∠2.

4. Busca ángulos correspondientes y opuestos por el vértice.

5. Inicia buscando un ángulo auxiliar que sea correspondiente a uno de los ángulos dados.

6. ¿Qué tipo de pares de ángulos son los ángulos rectos? Aplica el criterio de paralelismo.

7. Para el inciso a) dibuja el ángulo auxiliar ϕ con lados paralelos a los de β y aplica el resultado del ejercicio 5a).

α

β

ϕ

El trazo de ϕ equivale a trasladar el ángulo β.

Los incisos 7b) y 7c) se resuelven usando el resultado del inciso 7a).

Autoevaluación 1B

1. En las siguientes figuras, a || b, m || n y v || w,

¿cuáles pares de ángulos son:

a) correspondientes?

b) alternos internos?

c) alternos externos?

43

12

a b

8756

1 2

45

6

3

m n

v

w

2. Las rectas s, p y q de la figura son parale las. Determina el valor de q y ω a partir del dato proporcionado.

pϖ

s150º

qυ

3. En la figura, AB || CD y AD || CE, ¿cuánto miden ∠1 y ∠2?

C E

A D

B

30º

20º1

2

4. ¿Cuánto miden ∠x y ∠y si los lados de los triángulos son paralelos?

C E F

AD

B53º

38º

x

y

5. Los siguientes pares de ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos. Argumenta por qué en tales casos son iguales o suplementarios.

a) a = β b) a = β c) a + β = 180°

α

β

α β

α

β

6. ¿Por qué son paralelas dos rectas cuando ambas son perpendiculares a una tercera recta?

l

m

n

7. Los siguientes pares de ángulos tienen sus lados respectivamente perpendiculares. Argumenta por qué en tales casos son iguales o suplementarios.

a) a = β b) a = β c) a + β = 180°

α

β

β

α

β

α


1�

8. Obtén primero ∠y.

9. En este ejercicio, obtén los ángulos en orden alfabético. No confundas paralelas con transversales.

10. Utiliza ángulos correspondientes y alternos internos. Ejemplo:

1

4a

∠1 = ∠a correspondientes

∠a = ∠4 alternos internos

∠1 = ∠4 por transitividad

11. y 12. Busca ángulos iguales que te permitan aplicar el criterio del paralelismo.

13. Obtén el suplemento de 63°. Busca ángulos alternos externos y correspondientes.

14. Obtén ∠1 y su opuesto por el vértice. Asocia el primero, por separado, con 77° y con 23°. Usa ángulos alternos internos y obtén los suplementos de ∠2 y ∠3.

8. Si s || t, ¿cuánto miden ∠x, ∠y y ∠z?

y

xs

t50º 80º

30º

9. En la figura, m || n, ¿cuánto miden los ángulos indicados?

x

z52º

91º

m n

10. En el triángulo mostrado, cada lado es paralelo a uno de los segmentos dibujados en su interior. Prueba que:

a) ∠1 = ∠4

b) ∠2 = ∠5

c) ∠3 = ∠6

1

2 34

56

11. Con la información dada, argumenta por qué: AB y CD son paralelas. Información:

∠A = ∠D

AC es paralela a BD

A

B

C

D

12. Prueba que s || t, cuando m || n, y ∠1 = ∠2.

1

m n

s

t2

13. Sabiendo que l || m y p || q, determina el valor de ∠a, ∠b y ∠c.

63º

a

b

l m

p

qc

14. Encuentra la medida de cada uno de los ángulos numerados.

77º 23º1

23

1�



Conocimientos

Triángulos isósceles

Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.

Si AB = AC,

∠1 = ∠2

A

1 2

B C

Ángulos interiores

En todo triángulo, la suma de sus ángulos interiores es igual a 180º.

a + β + d = 180º

δ

βα

Consulta


Suma de los ángulos interiores de un triángulo .

Ángulos en la base de un triángulo isósceles .

Ángulos en triángulos .

Situación didáctica Aretes artesanales

Trabajas en un taller de orfebrería y debes elaborar unos aretes con las indicacio-nes que se te dan en el dibujo .

Los dos tramos rectos mayores son iguales, lo mismo que los lados del triángulo interior donde aparece un ángulo recto.

¿Qué medidas tendrán los ángulos interiores de tus piezas?

40°

90°


¿Tiene alguna importancia para la solución del problema que los tramos mayores de la pieza sean de igual tamaño?

¿Existe alguna relación entre la cantidad de lados iguales en un triángulo y los ángulos interiores de éste?

¿Cuáles ángulos podrían ser iguales? ¿Por qué?

¿Sería de utilidad determinar si existen triángulos iguales en la figura?

C


1�



Elabora un reporte sobre la forma en que obtuviste sucesivamente los valores de los ángulos solicitados.

En cada caso, utiliza dos columnas para tu descripción:

a) En el lado izquierdo, anota tu desarrollo para obtener el valor de los ángulos.

b) En el lado derecho, describe la propiedad geométrica que justifica cada paso del desarrollo efectuado a la izquierda.

Concluye tu trabajo con un dibujo similar al que se te presentó en la secuencia didáctica, en el que consignes la medida de cada uno de los ángulos interiores del arete.


1. Si el ángulo recto es de 90°, ¿cuánto deben sumar los otros dos ángulos de dicho triángulo? ¿Son complementarios?

2. Aplica la propiedad del triángulo isósceles para determinar cuánto mide cada uno de estos ángulos.

3. Si el triángulo mayor envolvente tiene dos lados iguales, ¿cuántos ángulos iguales posee? Ubica éstos y obtén su medida.

4. A partir de lo anterior, ¿cuánto miden los ángulos a y β?

a = ____________, β = ____________.

θ ϕ

b

α

a

β

40°

90°

5. Utiliza las medidas obtenidas para a y β a fin de hallar el valor de los ángulos q y ϕ.

q = ____________, ϕ = ____________.

6. ¿Cuánto miden, por último, ∠a y ∠b? Justifica tu respuesta.

Proyecto de trabajo

1. Lácteos La presentación de seis porciones de un queso se hace en una caja con forma hexagonal.

a) ¿Cuánto mide cada ángulo interior de la caja?

b) ¿Cuánto suman dichos ángulos?QuesoDon Pablo

2. Aspas de un ventilador Las cinco aspas de un ventilador fijo de techo determinan cinco triángulos isósceles, como muestra la imagen. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de cada triángulo?

matemáticas 2 - grupo editorial · pdf fileresuelve ejercicios y/o problemas de su...

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