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55

v

Factorización y Áreas de regiones planas

Objetivosdelaunidad:

Utilizarás la factorización algebraica como un medio parainterpretar tus contextos escolares y sociales, y de esta maneraproponer soluciones creativas a los problemas que en dichosámbitosexistan.

Aplicarásel cálculode superficies y volúmenesen tuentorno,afindebuscarsolucionesalasdiversasproblemáticasquepuedanpresentarse,valorandoademás laarmoníaybellezageométricaqueterodean.

MATEMÁTICAUnidad 3

56 Matemática - octavo grado

Factorización

mediante los casos de:

Diferencia decubos

Trinomios cuadrado perfecto y diferencias

de cuadrados

Diferencia de cuadrados

Por división sintética

Suma de cubos

Regiones planas

Rectángulo, triángulo, rombo, cuadrado, trapecio y romboide.

Sector circular

Lateral y total del ortoedro

Polígonos regulares

El cubo

Corona circular

Figuras compuestas

pueden ser:

DescripcióndelProyecto

Al finalizar la unidad tendrás la oportunidad de realizar cálculos que permitirán conocer la cantidad de pintura que se necesita para pintar una casa con diseño arquitectónico.

octavo grado - Matemática 57

Motivación

Tercera Unidad Lección 1

Una plaza tiene forma cuadrada cuya dimensión es 5x de lado. Si un ingeniero quiere diseñar una fuente que tenga la misma forma geométrica pero de 2 m por lado, ¿tienes idea de cuál seria el área restante en la plaza una vez construida la fuente?Área de la plaza = (5x) (5x) = 25x2

Área de la fuente = 2 × 2 = 4 El área restante será 25x2 – 4

Factoreo ii

La expresión obtenida en la situación anterior: 25x2 – 4, representa una diferencia de cuadrados.

Factorizarás con certeza expresiones algebraicas aplicando la diferencia de cuadrados.

resolverás problemas, con perseverancia, aplicando la descomposición de expresiones algebraicas por diferencia de cuadrados.

Factorizarás con seguridad expresiones algebraicas, aplicando la suma de cubos.

Factorizarás con seguridad expresiones algebraicas, aplicando la diferencia de cubos.

Indicadores de logro: resolverás problemas, con

perseverancia, aplicando la descomposición de expresiones algebraicas por suma de cubos y/o diferencia de cubos.

Observa la siguiente figura:

¿Cómo encontrarás el área de la figura que queda al efectuar la operación planteada?

Aplicando tus conocimientos sobre el área de un rectángulo: A = bh, tienes que el área de esta figura es: (x + y) (x − y).

Entonces resulta que x2 – y2 = (x – y) (x + y), como la multiplicación cumple con ser conmutativa, este producto también puede expresarse así: x2 – y2 = (x + y)(x – y).

Diferenciadecuadrados

Si reubicas la figura anterior te queda la siguiente:

x

x

y

yy y−

x2 − y2x + y

x − y Á rea tota l

UNIDAD 3


Solución:

A = (4x) (4x) – (2) (2) = 16x2 – 4 donde 16x2 es el área del cuadro grande y 4 el área del cuadro pequeño.

Luego obtienes una diferencia de dos términos cuadrados perfectos.

Como en el caso anterior para encontrar el área que se te pide multiplicas la suma por la diferencia de las longitudes de sus lados.

Entonces resulta que 16x2 – 4 = (4x + 2) (4x – 2).

Para resolverlo, extraes la raíz cuadrada a ambos términos:

16x2 – 4 = 16 42x x= y 4 2= y luego lo expresas como el producto de la diferencia de sus raíces por la suma de las mismas:

16x2 – 4 = (4x + 2) (4x − 2).

Ejemplo 2

Factoriza: 49m2 – 144n6

Solución:

Extraes la raíz cuadrada a ambos términos

49 2m = 7m, 144 126 3n n=

Luego expresas el polinomio de forma factorizada así:

49 144 7 12 7 122 6 3 3m n m n m n− = +( ) −( )

Ejemplo 3

Factoriza: 25n4 – 81m2

Solución:

Encuentra la raíz cuadrada de ambos términos:

25 54 2n n= y 81 92m m=

Luego 25n4 – 81m2 = (5n2 +9n) (5n2 – 9n).

Ejemplo 4

Factoriza: 436 49

4 6x x−

Solución:

Para encontrar la raíz cuadrada de una fracción, tienes que buscar tanto la raíz cuadrada del numerador como del denominador en ambas fracciones así:

436

26

4 2x x= y

x x6 3

49 7=

Por lo tanto:

436 49

4 6x x− =

26 7

26 7

2 3 2 3x x x x+

−

Ejemplo 1

Observa la figura. Recuerda que el área de un cuadrado es lado por lado: L × LEncuentra el área del cuadro mayor menos el menor.

Observa

Regla: La diferencia de los cuadrados de dos cantidades es igual a la suma de las cantidades por la diferencia de las mismas. 16x2

4x

2

4

UNIDAD 3


Ejemplo 5

Factoriza: 10064

252

2ab−

Solución:

10064

108

2a a= y 25 52b b=

10064

252

2ab− =

108

5108

5a

ba

b+

−

O de forma simplificada: 54

554

5a

ba

b+

−

Ejemplo 6

Factoriza: (2x −3)2 – 16

Solución:

Observa, en este caso uno de los términos de esta diferencia de cuadrados está formado por un polinomio.

Cuando se tienen términos que son polinomios, se extrae la raíz cuadrada a todo el polinomio, así:

(2x -3)2 – 16 = ( ) ( )2 3 2 32x x− = − y 16 4=

Ahora: (2x −3)2 – 16 = [(2x – 3) + 4)] [(2x – 3) −4)]

(2x −3)2 – 16 = (2x – 3 + 4) (2x – 3 − 4)

Luego: (2x −3)2 – 16 = (2x + 1) (2x − 7)

Ejemplo 7

Factoriza: 36x2 – (x – 5)2

Solución:

36 62x x= x −( )5 2 = (x – 5)

36x2 – (x – 5)2 = [6x + (x – 5)] [6x – (x – 5)]

36x2 – (x – 5)2 = (6x + x −5) (6x –x + 5)

Por lo tanto obtienes:

36x2 – (x – 5)2 = (7x − 5) (5x + 5)

Observa

Suprimes signos de agrupación.

Luego reduces términos semejantes y aplicas ley de signos.

Observa

Suprimes signos de agrupación.

Tomas en cuenta la ley de los signos de la multiplicación.

{ {

UNIDAD 3


Factoriza los siguientes polinomios:

a) 36m2 – 16 d) 49x2y2 – 4z2 g) (x + 1)2 – 16y2

b) 100 – y4 e) 81n2m4 – p8 h) (a + 2b)2 – 9

c)49

2516

2x− f) 100

12−

x

Observa las figuras que se te presentan, es una suma de los volúmenes de ambos cubos:

Representa como el producto de dos factores la suma de dos cubos.

Para ello procedes de la siguiente manera:

Extraes la raíz cúbica de ambos términos: x x33 = ; y y33 =

Un factor es la suma de las raíces cúbicas: (x + y).

El segundo factor es el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz, es decir: x2 – xy + y2

Por lo tanto se dice que la suma de dos cubos factorizada es:

x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)

Actividad1

V = y3V = x3

yy

y

xx

x +

Sumadecubos

Observa

Regla: La suma de los cubos de dos cantidades es igual a la suma de las cantidades por el cuadrado de la primera cantidad menos la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Ejemplo 8

Factoriza: 125x3 + 1

Solución:

Extraes las raíces cúbicas: 125 533 x x= ; 1 13 =

Luego aplicas la regla:

125x3 + 1 = (5x +1) [(5x)2 – 5x + (1)2]

125x3 + 1 = (5x + 1) (25x2 – 5x + 1)

Ejemplo 9

Factoriza: 64m9 + 27n6

Solución:

Encuentras la raíz cúbica de ambos términos:

64 493 3m m= y 27 363 2n n=

Luego:

64m9 + 27n6 = (4m3 + 3n2) [(4m3)2 − (4m3) (3n2) + (3n2)2]

64m9 + 27n6 = (4m3 + 3n2) (16m6 − 12m3n2 + 9n4)

UNIDAD 3


Sabes ¿de qué forma podríamos factorizar la diferencia de cubos?

La diferencia de cubos se factoriza de la misma manera que la suma de cubos, con la diferencia de los signos en los factores.


a) 125n3 + 1 c) 1,000m3 + 216 e) 729a3 + 64b3

b) 8x3 + 125 d) 343y3 + 27z3 f) 512x3 + 27y3

Actividad 2

Ejemplo 10

Factoriza: y12 + 8z3

Solución:

Extraes raíz cúbica: y y123 4= 8 233 z z=

Aplicas la regla: y12 + 8z3 = (y4 + 2z) [(y4)2 – (y4) (2z)+ (2z)2] y12 + 8z3 = (y4 + 2z) (y8 – 2y4z + 4z2)

Ejemplo 11

Factoriza: 127

83

6

3xyz

+

Observa que son términos fraccionarios.

Solución:

Extraes la raíz cúbica a ambos términos de la fracción: 1

27133

3

x x= ,

8 26

33

2yz

yz

=

luego aplicas la regla, así:1

278

3

6

3xyz

+ = 13

2 13

13

2 22 2 2

xyz x x

yz

y+

−

+

22 2

z

Por lo tanto:1

278

3

6

3xyz

+ = 13

2 19

23

42

2

2 4

2xyz x

yxz

yz

+

− +

Diferenciadecubos

yy

y

V = y3

xx

x

V = x3

UNIDAD 3


Aplica el siguiente proceso: Extraes la raíz cúbica de ambos cubos: x 33 = x; y 33 = y

Un factor es la diferencia de las raíces cúbicas (x – y)

El segundo factor es el cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz, x2 + xy + y2

Entonces: x3 − y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)

Ejemplo 12

Factoriza: 125x3 – z3

Solución:

Encuentras las raíces cúbicas: 125 533 x x= ; z z33 =

Luego aplicas la regla: 125x3 – z3 = (5x – z) [(5x)2 + (5x) (z) + (z)2]

Se concluye que: 125x3 – z3 = (5x – z) (25x2 +5xz + z2)

Observa

Regla: La diferencia de los cubos de dos cantidades es igual a la diferencia de las cantidades por el cuadrado de la primera cantidad más la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Ejemplo 13

Factoriza: 64a3 – 27b6

Solución:64 433 a a= y 27 363 2b b=

64a3 – 27b6 = (4a – 3b2) [(4a)2 + (4a) (3b2) + (3b2)2]64a3 – 27b6 = (4a – 3b2) (16a2 + 12ab2 + 9b4)

Ejemplo 14

Factoriza: 1,000x3 – 125y3

Solución:

1 000 1033 , x x= y 125 533 y y=

1,000x3 – 125y3 = (10x – 5y) [(10x)2 + (10x) (5y) + (5y)2]1,000x3 – 125y3 = (10x – 5y) (100x2 + 50xy + 25y2)

UNIDAD 3


Ejemplo 15

Factoriza: 8125

3433 3m n−

Solución:8125

25

33 m m= ; 343 733 n n=

Aplicas la regla:8125

3433 3m n− = 25

725

25

7 72

2m n m m n n−

+

( )+( )

8125

3433 3m n− = 25

7425

145

492 2m n m mn n−

+ +


a) 125m6 – 27n9 c) 216a3 −343b3 e) 27c9 – 1

b) 1,000 − x3 d) 8y3 – 729z3 f) 729x6 – 64y3

Actividad 3

Resumen

En esta lección estudiaste tres casos de factorización:

x2 – y2 (x + y)(x – y) La diferencia de los cuadrados de dos cantidades es igual a la suma de las cantidades por la diferencia de las mismas.

x3 + y3 (x + y) (x2 – xy + y2) La suma de los cubos de dos cantidades es igual a la suma de las cantidades por el cuadrado de la primera cantidad menos la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

x3 − y3 (x – y) (x2 + xy + y2) La diferencia de los cubos de dos cantidades es igual a la diferencia de las cantidades por el cuadrado de la primera cantidad más la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

UNIDAD 3


Autocomprobación

4 La diferencia de cubos 8x9 – 125 es igual a:

a) (2x3 − 5) (4x6 + 10x3 + 25)b) (2x3 − 5)(4x6 – 10x3 −25) c) (2x3 − 5) (4x6 + 10x3 − 25)d) (2x3 − 5)(4x6 – 10x3 + 25)

2 La suma de 27x3 + 1000 de forma factorizada es igual a:

a) (3x +10) (9x2 – 30x – 100)b) (3x + 10) (9x2 – 30x + 100)c) (3x + 10) (9x2 + 30x + 100)d) (3x + 10) (9x2 + 30x −100)

1 Al factorizar (8 + 3a)2 – 16a2 obtienes:

a) (8 – a) (8 – 7a)b) (8 – a) (8 + 7a)c) (8 + a) (8 + 7a)d) (8 – 3a) (8 + 7a)

3 El resultado de factorizar 225y2 – 36z2 es:

a) (15y + 6z) (15y + 6z)b) (25y + 6z) (25y + 6z)c) (15y + 6z) (15y − 6z)d) (25y – 6z) (25y + 6z)

El desarrollo del álgebra (con la introducción de un sistema de símbolos por un lado, y la resolución de problemas por medio de las

ecuaciones), vino de la mano de los grandes matemáticos renacentistas como Tartaglia,

Stevin, Cardano o Vieta y fue esencial para el planteamiento y solución de los más diversos problemas que surgieron en la época como

consecuencia de los grandes descubrimientos que hicieron posible el progreso científico que

surgirá en el siglo XVII.

RENACENTISTASYELÁLGEBRA

Jerónimo Cardano


Tercera Unidad

Motivación

explicarás y aplicarás con seguridad las reglas, para determinar si una expresión algebraica es factorizable por la combinación del trinomio cuadrado perfecto con la diferencia de cuadrados.

resolverás problemas con perseverancia, aplicando la descomposición de expresiones algebraicas por la combinación del trinomio cuadrado perfecto con la diferencia de cuadrados.

Indicadores de logro:

Observa la figura:

José desea expresar el área construida de su casa sin el área del jardín como producto indicado de factores.El área de la casa es x2 + 2xy + y2

El área del jardín es 4 m2.

Factoreo iii

Lección 2

aplicarás y explicarás con seguridad las reglas, para determinar si una expresión algebraica es factorizable por la división sintética.

resolverás problemas con perseverancia factorizando las expresiones algebraicas.

Al observar la situación anterior, tienes que la suma de las áreas de la parte construida de la casa de José es x2 + 2xy + y2, que es un trinomio cuadrado perfecto luego a esta área le restas el área del jardín que es igual a 4 y obtienes un polinomio igual a x2 + 2xy + y2 – 4, tiene cuatro términos.

Para factorizar este tipo de polinomio: x2 + 2xy + y2 – 4, procedes de la siguiente forma:

Identificas cuál es el trinomio cuadrado perfecto.

Una vez identificado el trinomio lo agrupas:

(x2 + 2xy + y2) – 4

Ahora, factorizas el trinomio cuadrado perfecto: x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

Expresas el polinomio dado de la siguiente manera:

x2 + 2xy + y2 – 4 = (x + y)2 – 4

Esta expresión, representa una diferencia de cuadrados.

¿Recuerdas como factorizarlo?

Extraes la raíz cuadrada de cada término:

( )x y+ 2 = (x + y); 4 2=

Luego aplicas la regla:

(x + y)2 – 4 = [(x + y) + 2] [(x + y) − 2]

Trinomiocuadradoperfectoydiferenciadecuadrados

Sala x² Jardín

4 m²

Cuartoxy

Cuartoxy

Bañoy²

UNIDAD 3


Entonces: (x + y)2 – 4 = (x + y + 2) (x + y − 2).

José expresa la diferencia de las áreas de la parte construida de la casa menos la del jardín, por los factores (x + y + 2) (x + y − 2)

Si la dimensión de la casa es para x = 9 metros y para y = 3 metros.

a. ¿Cuál es el área construida de la casa?

b. ¿Cuál es el área total de la casa?

c. ¿Cuál es el área construida menos el área del jardín?

Resuelve lo anterior en tu cuaderno y luego compara tus respuestas con las siguientes:

a) 144 m2 b) 148 m2 c) 140 m2

Ejemplo 1

Factoriza: n2 + 6n + 9 – c2

¿Cómo resuelves?

Solución:

Siguiendo los pasos anteriores, recuerda que tienes que identificar el trinomio cuadrado perfecto.

Agrupas así: (n2 + 6n +9) – c2 luego compruebas si el trinomio es cuadrado perfecto, extraes la raíz cuadrada del primer y tercer término, n n2 = y 9 3= , determinas si el doble producto de las raíces resultan el segundo término: 2(n) (3) = 6n

En este caso cumple, entonces expresas el polinomio como una diferencia de cuadrados y procedes a factorizarlo.

Para (n + 3)2 − c2 se tiene:

( ) ( )n n+ = +3 32 ; c c2 =

(n + 3)2 − c2 = [(n + 3) + c] [(n + 3) − c]

(n + 3)2 − c2 = (n + 3 +c)(n + 3 − c)

Entonces: n2 + 6n + 9 – c2 = (n + 3 + c) (n + 3 − c)

Ejemplo 2

Factoriza: a ay y x2 2 26 9 4− + −

Solución:

Agrupas: ( a ay y2 26 9− + ) – 4x2

Compruebas si el trinomio es cuadrado perfecto y factorizas a ay y2 26 9− + = ( )a y−3 2 .

Para ( )a y−3 2 – 4x2 se tiene que:

a y−( )32

= a y−( )3 4 22x x=

Entonces tienes:

( )a y−3 2 – 4x2 = a y x a y x−( )+ −( )− 3 2 3 2

( )a y−3 2 – 4x2 = a y x a y x− +( ) − −( )3 2 3 2

Es decir:

a ay y x2 2 26 9 4− + − = a y x a y x− +( ) − −( )3 2 3 2

Ejemplo 3

Factoriza: x2 – 8xy + 16y2 – 25c2

Solución:

Agrupas el trinomio y lo factorizas:

(x2 – 8xy +16y2) – 25c2 = (x – 4y)2– 25c2

Extraes la raíz cuadrada a cada uno de los términos de la diferencia de cuadrados:

(x – 4y)2 – 25c2, tienes que:

x y x y−( ) = −( )4 42

; 25 52c c=

Entonces: (x – 4y)2– 25c2 = [(x – 4y) + 5c] [(x – 4y) − 5c]

Luego: x2 – 8xy + 16y2 – 25c2 = (x – 4y+ 5c) (x – 4y − 5c)

UNIDAD 3


Ejemplo 4

Factoriza: 4 12 9 252 2a ab b+ + −

Solución:

Agrupas el trinomio: 4 12 9 252 2a ab b+ + − = 4 12 9 252 2a ab b+ +( )− = 2 3 252a b+( ) −

Luego tienes: 2 3 2 32a b a b+( ) = +( ) ; 25 5=

Ahora, 2 3 252a b+( ) − = [ 2 3a b+( ) + 5] [ 2 3a b+( ) − 5]

2 3 252a b+( ) − = 2 3 5a b+ +( ) 2 3 5a b+ −( )

Entonces: 4 12 9 252 2a ab b+ + − = 2 3 5a b+ +( ) 2 3 5a b+ −( )

Ejemplo 5

Factoriza: m2 – 4m + 4 – 925

2y

Solución:

(m2 – 4m + 4) − 925

2y = (m + 2)2 – 925

2y

m m+( ) = +( )2 22 ; 925

35

2y y= Ahora, (m + 2)2 –

925

2y = m y m y+( )+

+( )−

235

235

(m + 2)2 –

925

2y = m y+ +

35

2 m y− +

35

2

Entonces: m2 – 4m + 4 –

925

2y = m y+ +

35

2 m y− +

35

2


a) x2 +2xy + y2 – n2

b) x2 + 4 − 4x – 9b2

c) 4x2 +25y2 − 36 + 20xy

d) 1 +64m2n2 – p4 – 16mn

e) a2 – b2 – 2bc – c2

f) 25 – x2 – 16y2 + 8xy

Actividad 1

UNIDAD 3


La aplicación de este procedimiento de factorización resulta de gran utilidad, ya que permite obtener de forma fácil los factores de polinomios de cualquier grado.

Al aplicar la división sintética, si el residuo es cero, significa que la división es exacta. En este caso el residuo cero indica que obtienes un factor.

Ejemplo 6

Factoriza: x3 – 4x2 + x + 6

Solución:

La división sintética se aplica cuando el divisor es de la forma (x – a), pero en este caso, se desconoce el valor de a, para determinarlo, debes considerar todos los factores de dicho valor, esto significa que tienes que buscar todos aquellos números que multiplicados resulten ese término, por lo que esos valores serán positivos y negativos.

Para factorizar este polinomio, representas la división sintética, anotando los coeficientes de la variable x, así como el término independiente. Si después de ordenar el polinomio en forma descendente, no hay uno o varios términos de x, en su lugar ubicas cero. 1 4 1 6− + +En este caso, para determinar el valor de a, debes considerar los factores del término independiente 6, que son: + 1, –1, + 2, –2, + 3, –3, +6, –6;

Ahora, debes probar con cada uno de estos factores, hasta obtener un residuo cero.

Inicia entonces:

Prueba con + 1: Prueba con − 1:

1 4 1 6

1 3 2

1 3 2 4

1− + +

− −

− −

1 4 1 6

1 5 6

1 5 6 0

1− + +

− + −

− +

−

No se obtuvo residuo. Se obtuvo residuo cero.

Puntodeapoyo

Revisa la forma de operar con división sintética en el módulo dos.

Factorizacióndepolinomiosempleandoladivisiónsintética

Cuando a = – 1, la división es exacta, entonces el polinomio es divisible entre:

x – (– 1) = x + 1

El cociente de dividir x3 – 4x2 + x + 6 entre x + 1 será de segundo grado y sus coeficientes son: 1, –5, +6.

Entonces: x3– 4x2 + x + 6 = (x + 1) (x2 – 5x + 6)

La expresión x2 – 5x + 6 puedes factorizarla por cualquiera de los métodos ya estudiados que sea aplicable o siempre por división sintética:

x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)

Luego:

x3 – 4x2 + x + 6 = (x + 1) (x – 2) (x – 3)

UNIDAD 3


Ejemplo 7

Factoriza: x3 – 12x + 16

Solución:

Es un polinomio incompleto, esto indica que tienes que completar el polinomio con cero en el término que haga falta, así:

x3 + 0x2 − 12x + 16, ahora los factores del término independiente 16 son + 1, –1, + 2, –2, + 4, –4, + 8, –8, + 16, –16

Procedes como en el caso anterior, prueba con algunos factores:

Prueba con − 2: Prueba con − 4:

1 0 12 16

2 4 16

1 2 8 32

2− +

− + +

− − +

− 1 0 12 16

4 16

1 4 4 0

416

− +

− + −

− +

−

Su residuo no es cero. Su residuo es cero.

La división es exacta para a = –4, entonces el polinomio es divisible entre x + 4

El cociente de dividir entre x + 4 será de segundo grado y sus coeficientes son:

1, –4, + 4, resultando x2 – 4x + 4

Entonces: x3 – 12x + 16 = (x + 4) (x2 – 4x + 4)

La expresión x2 – 4x + 4 puedes factorizarla por cualquiera de los métodos ya estudiados que sea aplicable o siempre por división sintética.

x2 – 4x + 4 = (x − 2) (x − 2) = (x − 2)2

Es decir: x2 – 12x + 16 =(x + 4) (x − 2) (x − 2) = (x + 4) (x − 2)2

UNIDAD 3


Ejemplo 9

Factoriza: x4 − 4x3 + 3x2 + 4x – 4

Solución:

Recuerda que lo primero es encontrar los factores de − 4 por ser el término independiente Los factores de – 4 son ± ± ±1 2 4, ,

Luego aplicas división sintética, recuerda que puedes operar con cualquiera de los factores del término independiente del polinomio.

1 4 3 4 4

1 5 8 4

1 5 8 4 0

1− + + −

− + − +

− + −

−

Es cociente exacto, el primer factor es (x + 1)

x4 − 4x3 + 3x2 + 4x – 4 = (x + 1)(x3 – 5x2 + 8x − 4 )

Sigues aplicando la regla a: x3 – 5x2 + 8x −4

Ahora los divisores de −4 son ± ± ±1 2 4, , y pruebas para 1

1 5 8 4

1 4 4

1 4 4 0

1− + −

+ − +

− +

Es cociente exacto por lo que obtienes otro factor:

(x – 1)

Ahora tienes: x3 – 5x2 + 8x −4 = (x – 1) (x2 – 4x + 4); es decir que el polinomio original queda así:

x4 − 4x3 + 3x2 + 4x – 4 = (x + 1)(x – 1)(x2 – 4x + 4)

Observa que x2 – 4x + 4 es un trinomio cuadrado perfecto igual a (x − 2)2

Por lo tanto:

x4 – 4x3 + 3x2 + 4x – 4 = (x + 1) (x – 1) (x – 2)2

Ejemplo 8

Factoriza: x3 – 2x2 + 4x – 8

Solución:

Lo primero que tienes que hacer es encontrar los factores de –8 por ser el término independiente:

–8 = –1, + 1, –2, + 2, –4, + 4, –8, + 8

Luego aplicas división sintética, separas los coeficientes del polinomio.

Elijes uno de los divisores del término independiente y comienzas a operar, en este caso puedes iniciar con 2.

1 2 4 8

2 0 8

1 0 4 0

2− + −

+ +

+

+ Obtuviste residuo cero

La división es exacta para a = 2, entonces el polinomio es divisible entre x – 2 .

El cociente de dividir entre x – 2 será de segundo grado y sus coeficientes son: 1, 0, + 4, significa que no habrá término en x, pues su coeficiente es cero.

Entonces x3 – 2x2 + 4x – 8 = (x – 2) (x2 + 4)

La expresión (x2 + 4) no puede ser factorizada, por ser una suma de cuadrados.

UNIDAD 3


Ejemplo 10

Factoriza: x3 +12x2 + 44x + 48

Solución:

Recuerda que los valores que debes considerar son los factores del término independiente, que en este caso para 48 son ± ± ± ± ± ± ± ± ±1 2 3 4 6 8 16 24 48, , , , , , , , .

Separa los coeficientes del polinomio x3 +12x2 + 44x + 48

1 12 44 48

1 13 57

1 13 57

1

105

+ + +

+ + +

+ +

+

Prueba con −2: 1 12 44 48

2 20 48

1 10 24 0

+ + +

− − −

+ +

−22

Luego x3 +12x2 + 44x + 48 = (x + 2) (x2 + 10x + 24).Para factorizar el trinomio puedes hacerlo por el caso de factoreo que tú decidas. x2 + 10x + 24 es un trinomio de la forma x2 + bx +cEntonces al factorar tienes: x2 + 10x + 24 = (x + 6) (x + 4) Luego el resultado es: x3 +12x2 + 44x + 48 = (x + 2) (x + 6) (x + 4)


a) a3 +a2 – 13a – 28 c) x3 − x2 – 14x +24 e) x3 + 6x2 – x – 6

b) x3 − 2x2 − 5x +6 d) x3 + 2x2 – 23x – 60 f) y3 + y2 – 34y +56

Actividad 2

Resumen

En esta lección estudiaste otros casos de factorización:

Para determinar si un polinomio es factorizable por la combinación del trinomio cuadrado perfecto con la diferencia de cuadrados, primero agrupas, luego compruebas si el trinomio es cuadrado perfecto, luego expresas el polinomio como una diferencia de cuadrados y lo factorizas como tal. Cuando factorizas aplicando la división sintética, tienes que determinar el valor de a, del divisor (x – a) para lo cual debes considerar los factores del término independiente, los cuales deben probarse hasta obtener un residuo igual a cero; con el que se formará el primer factor, luego continuas buscando los otros factores.

En este caso inicia con 1. Con el factor 1 no da cociente exacto.

En esta división con el factor −2 si obtienes un cociente exacto, es decir de residuo cero.

UNIDAD 3


Autocomprobación

4 Cuando factorizas 36a2 – 4x2 – 49y2 – 28xy obtienes:

a) (6a – 2x – 7y) (6a + 2x + 7y)b) (6a – 2x + 7y) (6a + 2x + 7y)c) (6a + 2x – 7y) (6a + 2x + 7y)d) (6a – 2x – 7y) (6a – 2x – 7y)

2 El polinomio 15x4 + 94x3 – 5x2 – 164x + 60 de forma factorizada se expresa:

a) (x +1) (x −6) (3x – 5) (5x +2)b) (x −1) (x + 6) (3x + 5) (5x − 2)c) (x +1) (x + 6) (3x + 5)(5x − 2)d) (x −1) (x + 6) (3x + 5) (5x + 2)

1 El polinomio 9x2 – a2 – 4m2 + 4am, para ser factorizado debe estar ordenado así:

a) 9x2 – (a2 + 4am– 4m2)b) 9x2 + (a2 + 4am – 4m2)c) 9x2 + (a2 − 4am – 4m2)d) 9x2 − (a2 − 4am + 4m2)

3 Al factorizar m2 – 10mn + 25n2 – 4x2 resulta:

a) (m – 2x + 5n) (m – 2x + 5n)b) (m – 2x + 5n) (m – 2x – 5n)c) (m – 2x − 5n) (m + 2x – 5n)d) (m + 2x – 5n) (m – 2x – 5n)

Paolo Ruffini (1765 – 1822) matemático, médico

y filósofo italiano. Ideó un procedimiento esquemático para hallar el cociente y el resto de la división de un polinomio cualquiera por otro

de la forma x – a

Este procedimiento que tiene una disposición práctica muy simple, se conoce con el nombre de

Regla de Ruffini.

Además, Investigó sobre la teoría de las ecuaciones algebraicas y sobre el cálculo de

probabilidades.

YLADIVISIÓNSINTÉTICA

Paolo Ruffini


Motivación

Tercera Unidad

Para la inauguración de los intramuros de un centro escolar, los estudiantes de 8.º grado deciden llevar un banderín de forma triangular. Si las dimensiones son 0.9 m de base y 1.6 m de altura, ¿puedes ayudarles a los estudiantes a calcular la cantidad de tela que necesitan para la elaboración de cada banderín?

Áreas de regiones planas

Lección 3

calcularás con interés áreas de regiones planas.

identificarás y explicarás con seguridad los elementos de figuras geométricas.


deducirás y utilizarás con precisión las fórmulas para calcular áreas de cuerpos geométricos.

resolverás con esmero problemas utilizando las fórmulas de áreas en figuras geométricas.

Área de un rectángulo y romboide. Área de un rectángulo.

En general, el lado sobre el cual descansa un rectángulo se le llama base y al otro lado se le llama altura.

La figura de la derecha tiene cuadriculado un rectángulo cuya base mide 4 cm y la altura es de 2 cm.

Si cuentas el número de cuadros, notarás que son 8, esto significa que el área ocupada por el rectángulo mide: 4 cm × 2 cm = 8 cm2

Este resultado lo puedes generalizar de la manera siguiente: El área que mide un rectángulo es igual al producto de la longitud de la base por la longitud de la altura, es decir: A = base × altura; o también se dice largo × ancho: A = b h

Puntodeapoyo

Rectángulo es un paralelogramo que tiene sus lados opuestos iguales dos a dos y sus ángulos son rectos.

Base

Altura

Áreadeunrectángulo

D

A B

C

UNIDAD 3


Ejemplo 1

Observa la figura. ¿Cuál es el área de ese rectángulo?

Solución:

Puedes encontrar su área contando los cuadrados, que en este caso corresponde a 18 cm2. También puedes aplicar la fórmula A = bh = (6 cm)(3 cm) = 18 cm2

El área del rectángulo es 18 cm2.

Ejemplo 2

Solución:

Base = 4 cm; altura = 5cm

A = bh, A = (4 cm) (5 cm) = 20 cm2

R: Su área es de 20 cm2.

Ejercita en tu entorno encontrando el área de las figuras geométricas de forma rectangular como: puertas, ventanas, balcones y otras.

Áreadeunromboide

El romboide es un paralelogramo que se define como un cuadrilátero que tiene sus lados opuestos iguales dos a dos, pero sus ángulos no son rectos.

Ejemplo 3

Observa la figura:

Solución:

El romboide se puede arreglar como un rectángulo, en este caso, la superficie del romboide está formada por un rectángulo de 4 cm de base y 2 cm de altura.

Dicha superficie mide 4 × 2 = 8 cm2, más dos triángulos iguales. Estos forman un rectángulo de base 1 cm y de altura 2 cm, por lo que la superficie de este rectángulo es 1 × 2 = 2 cm2.

En total, tienes que la superficie del romboide es 8 cm2 + 2 cm2 = 10 cm2. Esto indica que su área se obtendrá como la de un rectángulo, es decir que el área de un romboide está dada por A = bh.

Ejemplo 4

Encuentra el área del romboide de la figura:

Solución:

A = bhA = (6 cm) (4 cm) = 24 cm2

R: El área del romboide es 24 cm2

Ejemplo 5

Un pedazo de madera tiene la forma de un romboide, y las dimensiones son 40 cm de base y 22 cm de altura. ¿Qué cantidad de papel se necesitará para cubrir su superficie?

Solución:

Necesitas encontrar el área, es decir que aplicarás A = bh, sustituye los datos que ya conoces y tienes: A = (40 cm) (22 cm) = 880 cm2.

R: La cantidad de papel que se necesitará es 880 cm2.

Calcula el área del rectángulo de la figura.

2 cm

5 cm

B

A D

C

b = 6 cm

h = 4cm

1 cm2 1 cm2 1 cm21 cm2 1 cm2 1 cm2

1 cm2 1 cm2 1 cm21 cm2 1 cm2 1 cm2

1 cm2 1 cm2

6 cm

3 cm

1 cm21 cm2 1 cm2 1 cm2

5 cm

4 cm

B C

DA b

hh

2 cm

5 cm

UNIDAD 3


a) Una mesa rectangular se quiere cubrir con fórmica. Si sus dimensiones son 1.6 m por 1.2 m ¿Qué cantidad de fórmica se necesitará?

b) ¿Qué superficie se cubre con un azulejo que tiene forma de romboide, si su base mide 30 cm y su altura 25 cm?

c) ¿Qué cantidad de madera se necesita para construir una puerta de 0.9 m de ancho y 2 m de altura?

d) ¿Qué cantidad de tapiz se necesita para cubrir una pared con medidas de 2.5 m de ancho por 3m de altura?

Áreadeuntriángulo

En este rectángulo, la diagonal divide al rectángulo ABCD en dos triángulos iguales. El área del rectángulo es 12 cm2 lo que resulta de multiplicar 4 cm × 3 cm, es decir, base × altura.

En consecuencia, el área del triángulo sombreado, solo es la mitad, es decir, (4 cm × 3 cm) ÷ 2 = 6 cm2. De aquí puedes observar que:

Esto significa que para encontrar el área de un triángulo debes multiplicar la medida de la base por la altura dividido entre 2: A = bh

2

Ejemplo 6

Un banderín tiene forma triangular cuya base mide 24 cm y su altura 42 cm. ¿Qué cantidad de tela se utilizó para su elaboración?

Solución:

Como la fórmula a utilizar es A = bh2entonces al sustituir los datos conocidos, tienes:

A = bh2

= 24 cm 42 cmX

2 = 1 008

2

2, cm = 504 cm2

R: Se utilizó 504 cm2 de tela.

Ejemplo 7

Encuentra el área de la parte sombreada de la figura:

Solución:

Como la parte sombreada corresponde a un triángulo, entonces utilizarás la fórmula:

A bh2

= al sustituir los datos que aparecen en la figura, tienes:

A = 6 3

2182

2m m m( )( ) = = 9 m2.

El área de la figura sombreada es A = 9 m2

Ejemplo 8

Encuentra el área del triángulo de la siguiente figura:

Actividad 1

El área de un triángulo viene dada por:

A = base alturaX

2

6 cm

3 cmC

B4 cm

3 cm

A

D

8 cm

h = 10 cm

Solución:

En este triángulo tienes que la altura h = 10 cm y la base b = 8 cm. Sustituye los datos en la fórmula:

A = bh2

= 8 102

802

402

2cm cm cmcm

( )( ) = =

El área del triángulo es de 40 cm2

UNIDAD 3


Áreadeunrombo

En el rombo ABCD, tienes que la diagonal menor mide 2.6 cm y la diagonal mayor mide 4 cm. Este rombo se ha arreglado como un rectángulo con la mitad del rombo más dos triángulos que forman la otra mitad, cuya base es la diagonal 2.6 cm y la altura solo es la mitad de la diagonal mayor: 2 cm.

Áreadeuncuadrado

Construye un cuadrado que mida 3 cm por lado.

Ejemplo 9

¿Cuál es el área de un cuadrado cuyos lados miden de 9 cm?

Solución:

A = (9 cm)(9 cm) = 81 cm2

R: El área es de 81 cm2

a) Doris tiene un espejo cuadrado que mide de lado 0.45 m y lo coloca en la pared de su cuarto. ¿Qué superficie cubre?

b) Si el piso de un auditórium tiene forma cuadrada y un lado mide 18 m. ¿Cuántas losetas son necesarias para cubrirlo si cada loseta mide 1 m2?

c) A Silvia le dejaron una tarea; llevar una cantidad de papel de color rosado para cubrir un triángulo que tiene de base 144 cm y de altura 80 cm. ¿Qué cantidad de papel llevará Silvia?

El área de un cuadrado cualquiera, cuyo lado mide unidades de longitud, es igual a:

× = 2 Es decir: A = 2

9 cm

3 cm

A B

CD

A B

CD

Actividad2

El área del rombo es 2.6 cm × 2 cm = 5.2 cm2, es decir, tomando los valores originales: (4 cm) (2.6 cm) = 10.4 cm2 y para obtener el resultado anterior tienes que dividir por 2.

Así: 104

2

2. cm= 5.2 cm2

A partir de lo anterior tienes que la fórmula para encontrar el área del rombo es:

A = D dx

2: donde D es diagonal mayor y d es

diagonal menor.

Cuadricula el cuadrado para ver el número de cm2 que mide su superficie.

Observa que el área del cuadrado mide:

3 cm × 3 cm = 9 cm2

De este resultado puedes concluir que:

4 cm

2 cm

2.6 cm 2.6 cm

C

BA

D

UNIDAD 3


D b

c

a

C

A B

Ejemplo 10

Un centro de mesa tiene forma de rombo cuyas diagonales miden 52 cm y 34 cm. ¿Qué superficie de la mesa cubrirá?

Solución:

A = D dX

2 Sustituye los datos en la fórmula:

A = 52 34

2cm cmX

= 1768

2

2cm = 884 cm2

La superficie que cubrirá es de 884 cm2.

Ejemplo 11

Calcula el área de un rombo cuyas diagonales miden 6 cm y 3.2 cm.

Solución:

A = D dX

2 al sustituir los datos tienes:

A = 6 32

2cm cmX . = 9.6 cm2.

Áreadeuntrapecio

Un trapecio es un cuadrilátero que tiene uno y solo un par de lados paralelos, dichos lados son la base del trapecio.

Según la figura, AB� ��

representa la base mayor, DC� ��

la base menor y a la altura.

La superficie del trapecio está formada por un cuadrado de 4 cm por lado y por dos triángulos con alturas de 4 cm y bases de 1 cm y de 2 cm. Por lo tanto el área total de dicha figura es:

(4 cm × 4 cm) + 1 4

2cm cmX

+ 2 4

2cm cmX

A = 16 cm2 + 2 cm2 + 4 cm2 = 22 cm2

Puedes encontrar el área en forma directa procediendo de la siguiente manera: tomas como base única el promedio de las bases, es decir, la base mayor (B) de 7 cm más la base menor (b) de 4 cm, dividida entre 2, que en este caso resulta 5.5 cm; multiplica este resultado por la altura 4 cm, es decir:

A = B b+

2 altura

Al sustituir los datos, tienes: A = 7 42

cm cm+ × 4 cm

A = 5.5 cm × 4 cm = 22 cm2.

Ejemplo 12

Encuentra el área del trapecio que aparece en la figura:

6 cm

9 cm

a = 3 cm

Solución:

La fórmula a utilizar es A = B b+2

× altura

Ahora, sustituye los datos:

A = B b+2

× altura = 9 62

3cm cm

cm+ × = ( )15

23

cmcmX

A = (7.5 cm) (3 cm) = 22.5cm2

D

e

g1 cm 4 cm 2 cm

4 cm

h

f

C

A B

UNIDAD 3


Ejemplo 13

Encuentra el área de un polígono regular de 7 lados. Si la medida de cada lado es 4 cm y su apotema 3.5 cm.

Solución:

Recuerda que el perímetro lo encuentras multiplicando el número de lados del polígono por la longitud de sus lados en este caso un heptágono tiene 7 lados de 4 cm de longitud, el perímetro será P = (7)(4 cm) = 28 cm

Entonces:

A = Pa2

= 28 352

cm cmX . = 98

2

2cm = 49 cm2

El área de un polígono regular es:

A = perímetro apotemaX

2

a) La superficie de un escritorio tiene forma de trapecio y sus dimensiones son: Base mayor, 1.2 m: Base menor, 0.7 m y ancho 0.75 m. Si se quiere cubrir con vidrio, ¿qué medida debe tener?

Rosa teje un tapete que tiene la forma de rombo y sus medidas son: diagonal mayor 60 cm y diagonal menor, 40 cm.

b) ¿Qué superficie de la mesa cubrirá?

c) ¿Cuál es la nueva superficie si cada dimensión aumenta 5 cm?

Actividad3

Áreadeunpolígonoregular

Un polígono es la porción de plano limitada por segmentos de rectas, y se clasifican por el número de lados que poseen.

Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales.

xa

Como un polígono regular está formado por “n” triángulos, entonces su área será igual a:

n lado apotemaX X

2 como n lx representa el perímetro,

entonces:

Y a la vez pueden descomponerse en triángulos isósceles congruentes. El área de cualquier polígono regular es una aplicación del área de triángulos. La base de cada triángulo es un lado del polígono y su altura es la apotema. De donde el área de cada triángulo es:

lado apotemaX

2

UNIDAD 3


Áreaperímetro radio

=×

2El perímetro o longitud de una circunferencia es 2rπluego sustituyes y tienes:

A = 22

2r rr

π π=

El área del círculo se encuentra utilizando: A = π r2

El aumento de números de lados en un polígono se aproxima a una circunferencia.

Actividad 4a) Calcula el área de la tapadera de un vaso de forma circular que

mide diámetro 6 cm.

b) Un polígono regular tiene de perímetro 72 cm y una apotema de 7 cm. Calcula su área.

c) Antonio dibuja un círculo de 2 cm de radio. ¿Cuál es el área?

d) Un polígono regular tiene una apotema de 6 cm. Y su perímetro es 13 veces la apotema. Calcula su área.

C

r0

Si consideras que una circunferencia es un polígono de infinito número de lados. El área se encuentra similar a la de un polígono regular.

Solución:

La fórmula a utilizar es: A = π r2

Los elementos para encontrar el área de un círculo son el radio y la constante π, en este caso tienes diámetro, que al dividirlo entre dos se obtiene el radio.

r = D2

202cm= = 10 cm.

Luego lo sustituyes en la fórmula.

A = π r2 = 3.1416 × 102 = 3.1416 × 100 = 314.16R: Área del plato es 314.16 cm2

Resumen

Las fórmulas de áreas estudiadas en esta lección son:

Figura Fórmula Figura Fórmula Figura FórmulaRectángulo A = bh Cuadrado A = I2 Polígono

regular A = Pa2

Romboide A = bh RomboA =

D dX

2

Círculo A = π r2

TriánguloA = bh

2

TrapecioA = B b+

2 × altura

Ejemplo 14

Encuentra el área de un plato circular cuyo diámetro es igual a 20 cm.

Áreadeuncírculo

UNIDAD 3


Es razonable pensar que los primeros orígenes de la geometría se encuentran en los orígenes

de la humanidad, pues seguramente el hombre primitivo clasificaba (aún de manera

inconsciente) los objetos que le rodeaban según su forma. En la abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento−informal e

intuitivo- a la geometría. Así lo parecen confirmar la ornamentación esquemática abstracta de

vasos, cerámica y ciertos utensilios.

Posteriormente el hombre la aplicó a actividades de caza y pesca, mediante la construcción de

lanzas y flechas.

Autocomprobación

Don Roberto quiere comprar una finca de forma rectangular y necesita saber cuál es su área, si mide 185 m de largo y 460 m de ancho:a) 85,100 m2

b) 42,550 m2

c) 4,225 m2

d) 322.5 m2

2

Rosa elaboró un mantel que tiene forma de romboide y mide de base 0.7 m y de altura 0.6 m, la superficie que cubrirá la mesa es:a) 1.3 m2

b) 0.65 m2

c) 0.21 m2

d) 0.42 m2

1 3 Berta tiene que cubrir con papel, la parte superior de una tabla de forma circular cuyo diámetro mide 32 cm, la cantidad de papel a utilizar es:a) 201.06 cm2

b) 3,217 cm2 c) 804.22 cm2

d) 100.53 cm2

¿Cúal es el área de una moneda si su diámetro es de 2.3 cm?a) 7.23 cm2

b) 4.15 cm2

c) 7.20 cm2

d) 4.30 cm2

4

ORIGENDELAGEOMETRÍA


Motivación

Tercera Unidad

identificarás y explicarás con interés los elementos de los polígonos regulares.

resolverás con perseverancia problemas utilizando las fórmulas para calcular áreas de polígonos regulares.

determinarás, explicarás y usarás con seguridad la fórmula para el cálculo del área de un sector circular.

graficarás y describirás con precisión y aseo un sector una corona circular como el área comprendida entre dos circunferencias concéntricas.

resolverás con perseverancia problemas aplicando la fórmula para encontrar el área de una corona o sector circular.


Andrea es una empleada de un almacén de galletas, y le piden que encuentre la cantidad de cartón que se necesita para hacer las bases que tienen formas como las que aparecen en la figura, cada lado mide 2 cm.

FórMUlas del Área de Un póligono regUlar y circUnFerencia

Lección 4

Los polígonos son figuras limitadas por segmentos de recta denominados lados, además debe cumplir con la siguiente condición:

Un polígono regular es un polígono en el que todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de la misma medida.

Los polígonos regulares se pueden construir inscritos en una circunferencia. A medida que aumenta el número de lados, su apariencia se asemeja cada vez más a la de la circunferencia.

En un polígono regular podemos distinguir los siguientes elementos:

Lado L: Es cada uno de los segmentos que forman el polígono.

Vértice V: El punto de unión de dos lados consecutivos.

Centro C: El punto central equidistante de todos los vértices.

Radio r: El segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.

Apotema a: Segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.

Diagonal d: Segmento que une dos vértices no contiguos.

Perímetro P: Es la suma de todos sus lados.

Elementosdeunpolígono

LC

ar

dV

UNIDAD 3


En un polígono regular todos sus lados son congruentes, entonces el perímetro es igual a la medida del lado (

) por el número de lados (n), es decir P = n

Los polígonos reciben nombres específicos de acuerdo al número de lados que lo forman.

Se te presentan algunos con su respectivo nombre de acuerdo al número de lados y la fórmula para calcular el área respectiva.

Puntodeapoyo

El triángulo equilátero y el cuadrado son polígonos regulares, aunque se estudian en forma independiente.

Triángulo equilátero:

A = bh2

3 lados y es el menor de los polígonos.

Cuadrado: A = l 2

4 lados.

Pentágono:

A = 52

X Xlado apotema

5 lados.

Hexágono:

A = 62

lado apotemaX X

6 lados.

Heptágono:

A = 72

X Xlado apotema

7 lados.

Octógono:

A = 82

lado apotemaX X

8 lados.

Eneágono:

A = 9

2X Xlado apotema

9 lados.

Decágono:

A = 10

2lado apotemaX X

10 lados.

Endecágono:

A = 11

2lado apotemaX X

11 lados.

Dodecágono:

A = 12

2lado apotemaX X

12 lados.

UNIDAD 3


En general el área del polígono se calcula utilizando la fórmula: A = Pa2

Ejemplo 1

Encuentra el área de un eneágono cuyos lados miden 7 cm y su apotema 4 cm.

Solución:

Como un eneágono es un polígono de 9 lados, entonces utilizarás la fórmula siguiente:

A = 92

lado apotemaX X ; al sustituir los datos tienes

A = 9 7 42

cm cmX X = 252

2

2cm = 126 cm2

El área del eneágono es 126 cm2.

Ejemplo 2

Un ladrillo tiene la forma de un dodecágono, si cada lado mide 8 cm y su apotema 6 cm, ¿cuál es el área del ladrillo?

Solución:

El ladrillo está formado por 12 lados, entonces para encontrar el área, sustituyes los datos en:

A = 122

lado apotemaX X luego realizas el cálculo:

A = 12 8 62cm cmX X

= 576

2

2cm = 288 cm2

R: El área del ladrillo es 288 cm2.

Ejemplo 3

Un lienzo de papel tiene la forma de un pentágono regular cuya apotema mide 6 cm. Si cubre un área de 120 cm2, ¿cuánto mide cada lado del pentágono?

Solución:

En este caso conoces el área y la apotema, lo que no conoces es la longitud de cada lado para ello tienes que aplicar el despeje a partir de la fórmula para calcular el área:

A = 5

2lado apotemaX X

al sustituir los datos tienes:

120 cm2 = 5 62

lado cmX X

=

302

15cm lado

cm lado× = ×

120 cm2 = 15 cm × lado; como 15 cm está multiplicando, para encontrar el valor de cada lado, efectúas 120 cm2 ÷ 15 cm = 8 cm; que es la longitud de cada lado del pentágono.

a) Calcula el área de un decágono regular con apotema de 61.55 cm y la longitud de sus lados es 40 cm.

b) La apotema de un pentágono es igual a 6 m y su perímetro es de 40 m, encuentra su área.

c) Encuentra el área de un hexágono regular de 12 cm de lado y apotema 10.4 cm.

d) Si el área de un polígono regular es igual a 320 cm2 y su apotema 4 cm, ¿cuál es su perímetro?

Recordando el problema dela motivación encuentra la cantidad de cartón, que se necesita para las bases, ¿puedes tú ayudarle a Andrea en esta situación?

Actividad 1

UNIDAD 3


Ejemplo 4

Rosa está decorando una página de papel y quiere utilizar un sector circular que mida de radio 4 cm y un ángulo de 35º. ¿Qué área cubrirá?

Marco y Alejandra quieren pintar una mesa que tiene forma circular, Marco la quiere café y Alejandra blanca. Como no se ponen de acuerdo, deciden pintarla mitad de cada color. ¿Puedes calcular el área para cada color sabiendo que la mesa tiene un diámetro de 1 m?

Para resolver esta situación, tienes que tomar en cuenta que la mesa es circular y la mitad es un sector de ella.

Puntodeapoyo

Una circunferencia se define como la línea curva plana y encerrada, la cual todos los puntos equidistan de un punto fijo interior llamado centro. El círculo es la superficie plana limitada por la circunferencia.

Además, para calcular el área de este sector conoces el diámetro pero lo que necesitas es el radio, entonces para calcularlo efectúas:12m

= 0.5 m, luego sabes que el ángulo formado es la mitad de 360o es decir:3602

º = 180º.

Con estos datos utilizas la siguiente fórmula:

Ar n

=π 2

360ºº

Donde π = 3.1416, r = radio

nº = número de grados y 360o son las partes en que se divide el círculo.

Sustituye los datos:

Ar n= π 2

360ºº

= 31416 05 180360

2. ( . ) ( º )º

m = 141372360

2. m = 0.3927m2

El área del sector de la mesa para cada pintura es 0.3927m2.

Puntodeapoyo

nºº360

Es la porción del círculo.

Entonces, un sector circular es la parte del círculo limitada por dos radios y su arco correspondiente.

Para encontrar el área de un sector circular, tienes que conocer la longitud del radio y el ángulo central en grados.

n° ____ 360°

πr2noA =

Solución:

Los datos que te proporcionan son: r = 4 cm, nº = 35º

Utilizas la fórmula Ar n

=π 2

360ºº

luego sustituyes los datos:

Ar n

=π 2

360ºº

= 31416 4 35360

1759296360

2 2. ( ) ( º )º

.cm cm= = 4.89 cm2

R: El área a cubrir es 4.89cm2

Áreadeunsectorcircular

UNIDAD 3


Ejemplo 5

Calcula el área del sector circular que corresponde a la quinta parte del círculo y cuyo diámetro mide 9 cm.

Solución:

Para encontrar cuánto es la quinta parte del círculo, divide 3605

º = 72º.

Luego tienes que encontrar el valor del radio, para ello divide la medida del diámetro entre 2, así: 92cm = 4.5 cm2

Ahora, aplica la fórmula: Ar n

=π 2

360ºº

Sustituyes los datos y tienes: A r n=π 2

360ºº

= 31416 45 72360

45804528360

2 2. ( . ) ( º )º

.cm cm= =12.72 cm2

R: El área es 12.72 cm2

Actividad 2a) Halla el área del sector circular; se mide 4 cm el radio de la circunferencia, con una abertura de 28.º

b) Encuentra el área de un sector circular de 87º limitado por una circunferencia de 6 cm de diámetro.

c) Calcula el área del sector circular que corresponde a la sexta parte del círculo y cuyo radio mide 5 cm.

d) Calcula el área del sector circular que corresponde a la cuarta parte del círculo y cuyo diámetro mide 12 cm.

UNIDAD 3


Ejemplo 6

Encuentra el área de una corona circular, cuyo diámetro de la circunferencia mayor es de 23 cm y el radio de la circunferencia menor es de 10 cm.

Solución:

Aplicando la fórmula tienes:

A

A

=

= =

ππ((23 cm) (10 cm) )

(529 cm 100 cm )

2 2

2 2

−

− 314. 116 429

1 34375

2

2

( )

, .

cm

cmA=

R: El área de la corona circular es de 1 34375 2, . cm

Ejemplo 7

Encuentra el área de una corona circular, cuyo diámetro de la circunferencia mayor es 16 cm y el radio de la circunferencia menor es la mitad del radio mayor.

Solución:

El diámetro mayor es igual a 16cm, lo que implica que su radio es:

162cm = 8 cm,

Y el radio menor 82cm = 4 cm

Luego sustituyes en la ecuación:

A = π [(8 cm)2 − (4 cm)2]

= π (64 – 16) cm2 = (3.1416) 48 cm2 = 150.796 cm2

R: El área es aproximadamente 150.80 cm2.

¿Cómo hará para encontrar la superficie que tendrá que llenar con la masa preparada para ello?

La figura mostrada representa una corona circular. Entonces, corona circular también llamada anillo, es la región entre dos círculos concéntricos.

Para determinar la superficie de una corona circular tenemos que encontrar la diferencia entre las áreas de los dos círculos concéntricos: El mayor con radio R y el menor con radio r.

R

r

πR2

πr2

El dueño de una panadería quiere elaborar donas, para eso necesita moldes circulares que en el centro tengan un hueco, como la siguiente figura:

Observa

Área de la corona circular:

π R2− π r2 A = π (R2 – r2)

Áreadeunacoronacircular

UNIDAD 3


a) Lilian construyó una corona circular con diferentes flores y la coloca sobre una mesa. ¿Qué superficie cubre si el diámetro de la circunferencia mayor es 0.75 m y el diámetro de la circunferencia menor es .040 m?

b) Pedro trabaja confeccionando materiales de lámina y le han encargado una que tiene forma de anillo circular con dimensiones de sus radios de 22 cm y 10 cm respectivamente. ¿Qué superficie se cubrirá con dicha corona circular?

c) Se tienen dos círculos concéntricos, uno de área 1,963.5 cm2 y el otro de 314.16 cm2, calcula el área de la corona circular que se forma.

Resumen

Nombre de la figura FórmulaPolígono regular En general:

A = nla2

= Pa2

Sector circularA

r n=π 2

360ºº

Corona circular A = π R2 − π r2 = π ( R2 – r2)

Actividad 3

UNIDAD 3


Autocomprobación

Se denomina Geometría sagrada, a aquella que involucra diseños que se vinculan con el culto

religioso. En todas las culturas y a lo largo de todas las épocas, los templos, los edificios funerarios, los espacios sagrados, las pinturas y obras escultóricas destinadas al culto dan muestra de los numerosos exponentes de la misma, y de la relevancia que el

hombre les ha otorgado. Entre las formas de la Geometría sagrada se

encuentra el círculo, uno de los primeros símbolos dibujados por el hombre. Es una forma visible en

la Naturaleza, simboliza la totalidad y la eternidad, y representa al Universo. En las construcciones

antiguas aparece en los círculos neolíticos británicos, el stupa hindú, entre otras.

Diseños religiosos

Un lienzo de papel tiene la forma de un heptágono que mide de lado 15 cm y de apotema 10 cm, la superficie que cubre es:a) 525 cm2

b) 1,050 cm2

c) 450 cm2

d) 900 cm2

2

La superficie que cubre una corona circular que mide de diámetro mayor 60 cm y radio menor 5 cm es:a) 2,807.8 cm2

b) 157.08 cm2

c) 10,993.44 cm2

d) 2,748.9 cm2

1 3 La ecuación A r n=π 2

360º es la que nos sirve para

encontrar:a) Área del círculob) Área del sector circularc) Longitud de arcod) Área de la corona circular

El área de un endecágono que mide de lado 8 cm y de apotema 6 cm es:a) 528 cm2

b) 480 cm2

c) 264cm2

d) 240 cm2

4

CÍRCULOYLAGEOMETRÍASAGRADA


Motivación

Tercera Unidad


calcularás con seguridad el área de un cubo.

deducirás, explicarás y usarás con seguridad la fórmula para el área lateral y total del ortoedro y del paralelepípedo.

resolverás problemas aplicando las fórmulas del área lateral y total del ortoedro, con seguridad y confianza.

resolverás problemas aplicando las fórmulas del área de las figuras planas para el cálculo del área de figuras compuestas.

En un almacén se contratarán empleadas para el sector de regalos. Una de las pruebas es forrar una caja que tiene forma cúbica y encontrar la cantidad de papel a utilizar. Cada lado de la base mide 15 cm.

¿Cuál será el procedimiento para encontrar la cantidad de papel a utilizar?

Área total

Lección 5

Árealateraldeuncubo

Como un cubo posee cuatro caras laterales cuadradas congruentes, entonces para conocer el área lateral tienes que sumar dichas áreas.

Áreatotaldeuncubo

Arista

Arista

Arista

Cara

Recuerda que el cubo está formado por 6 caras cuadradas congruentes, que posee 8 vértices y 12 aristas.

Como sus lados son cuadrados, sabes que a un cuadrado le puedes calcular su área, entonces a un cubo también le puedes calcular el área.

El área de esta región será la suma de las áreas de los 4 cuadrados:

A lateral = A1 + A2 + A3 + A4

A lateral = 2 + 2 + 2 + 2

A lateral = 4 2

Si el lado de cada cuadrado es la arista del cubo, entonces para calcular el área lateral necesitas conocer la longitud de la arista. En este caso “ ” representa la arista.

Ya conoces que el área de un cuadrado es: A = 2

Si extiendes las caras laterales tienes:

A1 A2 A3 A4

UNIDAD 3


Áreatotaldelcubo

Si despliegas un cubo, obtienes una figura como la siguiente:

Observa la figura y notarás que para encontrar el área total tendrás que sumar las áreas de cada uno de los lados.

Es decir, el área total de un cubo es igual a:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 o simplemente es el producto de una de sus áreas por 6.

Entonces: Atotal = 6 2

Ejemplo 3

Rosa es empleada de un almacén en el sector de regalos, quiere calcular la cantidad de papel a utilizar para forrar un regalo de forma cúbica, que mide de arista 22 cm.

Solución:

Para encontrar la cantidad de papel que utilizará, tienes que aplicar la fórmula:

Atotal = 6 2 Al sustituir los datos tienes

Atotal = 6 2 = 6(22 cm)2 = 6 (484 cm2) = 2,904 cm2.

R: La cantidad de papel a utilizar es 2,904 cm2.

Ejemplo 1

Antonio pintará las paredes de una pila cuadrada cuyos lados miden 0.75 m. ¿Qué superficie pintará?

Solución:

Te das cuenta que el área a pintar son únicamente las cuatro paredes que la forman.

Significa que debes calcular el área lateral, utilizando la fórmula:

A lateral = 4 2

Como cada lado mide 0.75 m, entonces sustituyes en la fórmula:

A lateral = 4 2 = 4(0.75 m)2

= 4(0.5625 m2) = 2.25 m2

R: Entonces la superficie que Antonio pintará es 2.25 m2

Ejemplo 2

Julia quiere cubrir con papel lustre, las caras laterales (no sus bases) de una caja cúbica que mide de lado 35 cm. ¿qué cantidad de papel utilizará?

Solución:

Tienes que Julia sólo quiere cubrir cuatro caras de la caja, es decir que debes calcular el área lateral, entonces utilizas:

A lateral = 4 2 Al sustituir los datos que se te proporcionan, tienes:

A lateral = 4 2 = 4 (35 cm)2 = 4(1,225 cm2) = 4,900 cm2

R: La cantidad de papel que utilizará es 4,900 cm2 .

UNIDAD 3


Ejemplo 4

Encuentra el área total de un cubo que tiene sus aristas igual a 6 cm.

Solución:

Utilizamos la fórmula A = 6 2 , = 6 cm

Por lo tanto:

A = 6 (6 cm)2

A = 6 (36 cm2)

A = 216 cm2

El área es 216 cm2.

Ejemplo 5

Don Manuel es un pintor que cobra $ 0.75 el metro cuadrado, y se le contrata para pintar un tanque de captación de agua de forma cúbica con dimensiones de 5 m de lado.

¿Cuál es el total de dólares que cobrará don Manuel por pintar todas las áreas del tanque a excepción de la parte superior?

a) Una caja de galletas tiene forma cúbica y la longitud de cada lado es 13 cm. Calcula el área total de la caja sin su tapadera.

b) Juana tiene un recipiente de forma cúbica para guardar sus aretes y collares. Halla el área total del recipiente si sus aristas miden 12.5 cm.

c) Encuentra las medidas de las aristas de un cubo cuya área es igual a 384 cm2 .

d) Encuentra la cantidad de papel para forrar el regalo de forma cúbica planteado al inicio de esta lección.

Actividad 1

Solución:

Las dimensiones del tanque son = 5 m. y tiene forma cúbica, por tal razón utilizamos el área de un cubo: A = A = 6 2

Pero en este caso no pintará la parte superior del tanque, es decir que sólo pintará 5 lados, por lo tanto la fórmula a utilizar será 5 2 .

Aplicando A = 5 2 tienes que A = 5(5 m)2 = 125 m2 que es el área pintada, pero como cobra $ 0.75 por m2, entonces efectúas 125 m2 × 0.75 = $ 93.75.

R: Por lo tanto concluyes que Don Manuel cobrará $ 93.75 por pintar 125 m2 del tanque.

UNIDAD 3


Un ortoedro es un prisma en el que todas sus caras son rectángulos y perpendiculares entre sí. (prisma rectángular)

Existen en el entorno objetos que tienen esta forma, por ejemplo, los ladrillos que utilizan para levantar paredes, cajas de zapatos y otros.

Observa la figura tiene 6 caras rectangulares:

Recuerda que el área de un rectángulo se obtiene así: A= bh

Tomando la simbología utilizada en la figura, tienes que la base se representa por “a”, el ancho por “b” y la altura por “c”.

Entonces puedes calcular las áreas laterales de la siguiente manera:

A1= (ab + ab) = 2ab A2 = (bc + bc) = 2bc

A3 = (ac + ac) = 2ac

Es decir: A1= 2ab, A2= 2bc, A3 = 2ac

De esto puedes concluir que:

Ejemplo 6

¿Qué cantidad de papel se necesita para envolver una caja de zapatos cuyas dimensiones son 25 cm por 18 cm de base y 15 cm de altura?

Solución:

Para resolver este problema aplicas la fórmula anterior:

AT = 2ab + 2bc + 2ac

Sustituyes en la fórmula las dimensiones dadas es decir:

a = 25 cm

b = 18 cm y c = 15 cm

A= 2(25 cm) (18 cm) +2(18 cm) (15 cm) +2(25 cm)(15 cm)

A= 900 cm2 + 540 cm2 + 750 cm2

A = 2,190 cm2

R: luego se necesitan 2,190 cm2 de papel.

Ejemplo 7

Encuentra el área total de un ortoedro que tiene como base 30 cm de largo por 20 cm de ancho y 12 cm de altura.

Solución:

a = 30 cm b= 20 cm y c= 12 cm

Luego sustituyes en la fórmula:

AT = 2ab+2bc + 2ac

AT = 2(30 cm × 20 cm) +2(20 cm × 12 cm) + 2(30 cm × 12 cm)

AT = 2(600 cm2) + 2(240 cm2) + 2(360 cm2)

AT = 1,200 cm2 + 480 cm2 + 720 cm2

AT = 2,400 cm2El área total del ortoedro es la suma de las áreas laterales:

AT = 2ab + 2bc + 2ac

Áreatotalylateraldeunortoedro

a · b

a · b

b · c a · c

b · ca · c a c

b

UNIDAD 3


Ejemplo 8

Encuentra el área sombreada del televisor, si tiene las siguientes dimensiones: la pantalla es 10 cm menos que las dimensiones del televisor tanto en lo ancho como en altura.

Solución:

Primero observas que las figuras a las que se refiere el ejercicio son rectángulos, cuyas áreas se encuentran así: A = bh; base por altura.

a) ¿Cuál es el área lateral de una caja con forma de ortoedro con dimensiones de 15 cm, 12 cm y 8 cm?

b) Para guardar sus lapiceros Rocío utiliza una caja cuyas dimensiones son 14 cm, 11 cm y 8 cm Encuentra el área total de la caja de Rocío.

c) En una tienda para guardar el pan utilizan una caja transparente. Calcula el área total, si sus dimensiones son: 55 cm, 36 cm y 28 cm.

Actividad 2

Áreasdefigurascompuestas

Juan pintará la fachada de su Iglesia, incluyendo la puerta, quiere saber cuál es el área a pintar.

Al observar tiene que se forman dos figuras diferentes: un triángulo cuyas medidas son 8 m de base y 2 m de alto, y un rectángulo de 8 m de base y 4 m de alto, entonces para calcular el área tienes que hacerlo para cada figura y luego sumar esos resultados así:

Área del triángulo = bh2

El rectángulo exterior tiene dimensiones de 70 cm por 40 cm, si a esto le restas el área del rectángulo interior que forma la pantalla cuyas dimensiones según el problema son (70 − 10) cm y (40 − 10) cm.

Entonces tienes que la dimensiones serán igual a 60 cm por 30 cm, luego con estos datos encuentras el área que te piden del televisor.

As = (70 cm × 40 cm) – (60 cm × 30 cm)

As = 2,800 cm2 – 1,800 cm2 = 1,000

R: El área sombreada es: (A) = 1,000 cm2

Al sustituir los datos tienes:

( m)( m) m8 22

162

2

= = 8 m2

Área del rectángulo = bh = (8 m) (4 m) = 32 m2

R: Luego el área de toda la fachada es:

8 m2 + 32 m2 = 40 m2 .

UNIDAD 3


Ejemplo 9

Encuentra el área total del rectángulo, tomando las dimensiones de la siguiente figura.

Ejemplo 10

Encuentra el área sombreada de la siguiente figura:

Si A, B, C, y D son los vértices del cuadrado y E el punto medio de un lado.

Solución:

En este caso se trata del área de un cuadrado menos el área de la mitad de un círculo.

Las dimensiones del cuadrado son de 10 cm por lado, y el círculo tiene 10 cm de diámetro, pero para el área del círculo necesitas el radio que es el cociente del diámetro entre dos, en este caso 10 entre 2 igual a 5 cm.

Ahora tienes:

As =

2 − π r 2

2 = (10 cm)2 − π( )5

2

2cm

= 100 cm2 − 25

2

2(3.1416) cm

luego:

As = 100 cm2 − 12.5 (3.1416) cm2 = 100 cm2 − 39.27 cm2 = 60.73 cm2

R: El área sombreada es 60.7 cm2

A B

DC 10 cm

E

5 cm

5 cm

Solución:

En este caso tienes dos tipos de figuras: rectángulo y triángulos. Luego lo que te piden es encontrar el área de tres triángulos a partir de sus dimensiones.

Como es la suma del área de los tres triángulos:

At = b h b h×

+×( )

22

2Observa que hay dos triángulos rectángulos y un triángulo acutángulo.

Encuentras primero el área del triangulo acutángulo, su base es igual a 10 cm y su altura 5 cm por lo tanto su área es igual:

A = ( cm)( cm)10 52

A= 25 cm2

Luego los triángulos rectángulos externos, si observas sus dimensiones, te darás cuenta que en ambos triángulos las alturas miden 5 cm y las bases 5 cm.

A = ( cm)( cm)5 5

2pero como son dos triángulos iguales a los que tienes que encontrar el área basta que multipliques por 2 la operación anterior,

A = 25 5

2( cm)( cm)

A = (5 cm) (5 cm) = 25 cm2

Ahora que ya tienes las tres áreas concluimos que:

At = b h b h×+

×( )2

22

At = 25 cm2 + 25 cm2 = 50 cm2

UNIDAD 3


Ejemplo 11

Don Manuel debe encontrar el área de lámina que ocupará para hacer la base de una cocina ecológica con 3 quemadores de 22 cm de diámetro cada uno, sobre una base rectangular.

¿Cuál es la medida del área de la base de la cocina?

a) Encuentra el área total de la siguiente figura geométrica:

Encuentra el área de la región sombreada en b y c:

b) diámetro = 5 cm y base del rectángulo 13 cm .

c)

d) Encuentra la superficie cubierta por la figura. La base del triángulo mide de 5 cm y la altura 4 cm.

Resumen

En esta lección estudiaste un poco más sobre área lateral y total del cubo y ortoedro, además de figuras compuestas.

Para el cubo tienes: A lateral = 4 2 y Atotal = 6 2 Para el ortoedro AT = 2ab + 2bc + 2ac

Actividad 3

Solución:

En este caso es el área de un rectángulo menos el área de los tres círculos.

Si cada círculo mide de diámetro 22 cm, la altura del rectángulo mide igual (22 cm) y son tres los que cubren el rectángulo, significa entonces que su base mide 66 cm.

Entonces el área de la región sombreada es:

As= bh − 3 π r2 Al sustituir datos tienes:

As = (66 cm) (22 cm) − 3 × 31416 11 2. ( )cm

As= 1,452 cm2 − 1,140.4 cm2= 3.116

R: As= 311.6 cm2

6 cm

8 cm

5 cm

10 cm

14 cm

8 cm 6 cm

UNIDAD 3


Autocomprobación

El área total de un cubo con aristas de 12 cm es:a) 576 cm2

b) 864 cm2

c) 144 cm2

d) 3456 cm2

4 La suma de las áreas laterales de un cubo con aristas de 7 cm es:a) 294 cm2

b) 245 cm2

c) 196 cm2

d) 490 cm2

2

El área de la parte sombreada es:a) 37.93 cm2

b) 16.72 cm2

c) 35.58 cm2

d) 26.15 cm2

1 3 El área total de un ortoedro se calcula utilizando:a) 2ab + 2bc + 2acb) 6 2

c) ab + bc + acd) 4 2

El cubo de Rubik (o cubo mágico, como se lo conoce en algunos países) es un rompecabezas mecánico inventado por el escultor y profesor de arquitectura húngaro Ernö Rubik en 1974 Se trata de un conocido rompecabezas cuyas caras están

divididas en cuadros de un mismo color sólido cada una, los cuales se pueden mover. El objetivo del

juego consiste en desarmar la configuración inicial en orden y volverla a armar.

Se ha estimado que más de 100 millones de cubos de Rubik o imitaciones han sido resueltos a lo largo del mundo entero. Su mecanismo sencillo sorprende

por la complejidad de las combinaciones que se consiguen al girar sus caras.

CUBODERUBIK

5 cm

9 cm

d =3 cm


Proyecto

Un arquitecto ha diseñado una casa cuyo frente es como la figura.

Necesita conocer el área total que se pintará de esta parte (frente) y la entrada de la casa, pero sin las partes que corresponde a la puerta, las ventanas y una entrada de luz en la parte superior

Los valores son:

Para la puerta son: 0.90 m por 2 m.

Ventana cuadrada mide de lado 1.2 m.

Ventana pentagonal, mide de lado 1.4 m y la apotema 0.6 m.

El diámetro del círculo 0.6 m.

El frente mide 8 m y la altura de la casa es 3 m.

La base de la figura que se forma en la entrada 10 m y su ancho es 3 m.

La altura del triángulo en 2 m.

Realiza tú los cálculos y da a conocer el área a pintar.


Recursos

Aguilera Liborio Raúl, Matemática Octavo grado. . Talleres Gráficos UCA, San Salvador, El Salvador, 2007, 219p

Ángel Álgebra elemental . Editorial Prentice Hall, 4ª Edición, México 1997, 600p.

Aponte Gladis, Pagán Estela, Fundamentos de Matemática Básica, Editorial Addison Wesley, 1ª Edición. México 1998, 482p.

Carpinteyro Vigil Eduardo, Sánchez Hernández Rubén, Álgebra, Publicaciones Cultural, 1ª Edición, México 2002 622p.

Fuenlabrada De la Vega Samuel, Matemática I, Aritmética y Álgebra, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición. México 1994, 281p

Mendoza William y Galo de Navarro Gloria, Matemática 8º grado, UCA Editores, 2ª edición. San Salvador, El salvador, 2003, 419p

Rees Paul K, Sparks Fred W, Álgebra, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición. México 1991, 626p.

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