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MATEMÁTICA LÚDICA

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MATEMÁTICA LÚDICA

Jorge V. Tuapanta

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MATEMÁTICA LÚDICA

© 2018 Jorge V Tuapanta

© 2018 Escuela Superior Politécnica de Chimborazo (Espoch)

Panamericana Sur, kilómetro 1 1/2Dirección de Publicaciones CientíficasRiobamba, EcuadorTeléfono: 593 (3) 2998200Código Postal: EC060155

Aval Espoch

Este libro se sometió a arbitraje bajo el sistema de doble ciego (peer review).

Corrección y diseño:La Caracola Editores

Impreso en Ecuador

Prohibida la reproducción de este libro, por cualquier medio, sin la previa autorización por escrito de los propietarios del Copyright.

CDU: 51-8 + 511 + 512Riobamba: Escuela Superior Politécnica de ChimborazoDirección de Publicaciones, año 2018 91 pp. vol: 17 x 24 cmISBN: 9787-9942-35-169-21. Razonamiento lógico2. Razonamiento matemático3. Razonamiento numérico

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CONTENIDO GENERAL

MATEMÁTICA LÚDICA...........................................................................................10Introducción ......................................................................................................10

1. RAZONAMIENTO LÓGICO...........................................................111.1. Flor María ........................................................................................111.2. El problema del cruce...................................................................................111.3. El novio.................................. ..........................................................121.4. La cadena ........................ ................................................................131.5. La caja de joyas....................................................................................151.6. Las motos . ........................................... ............................................161.7. La mujer de Héctor ..........................................................................181.8. La cena.............................................................................................. 201.9. Los ángeles y los diablos....................................................................231.10. Predilecciones por diarios.................................................................241.11. Los amigos y sus aficiones................................................................261.12. Amigos de la guerra.........................................................................281.13. De compras.......................................................................................31

2. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO.............................................................342.1. Las preguntas......................................................................................342.2. El número que pensó..........................................................................342.3. El caballo y el asno.............................................................................352.4. Los obreros........................................................................................362.5. El cordel............................................................................................382.6. Los cromos........................................................................................392.7. Los alumnos.......................................................................................412.8. División de un número.......................................................................432.9. Las edades..........................................................................................442.10. La edad del tío.................................................................................452.11. Tabla mágica de polinomios.............................................................46

3. RAZONAMIENTO NUMÉRICO..................................................................503.1.Problema de la medida.........................................................................503.2. El gato trepador..................................................................................523.3. El poblado...........................................................................................533.4. La edad..............................................................................................54

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Jorge V. Tuapanta, Mg.

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3.5.Las vacas de Newton..........................................................................553.6. Los huevos de gallina y pato..............................................................563.7. La tabla mágica..................................................................................603.8. Diversas tablas mágicas.......................................................................633.9. La matriz mágica...............................................................................653.10. Figuras de un solo trazo...................................................................68

4 .PROBLEMAS PROPUESTOS.................................................................................72Razonamiento lógico................................................................................72Razonamiento matemático.......................................................................76Razonamiento numérico...........................................................................81

SOLUCIONES A PROBLEMAS PROPUESTOS.....................................................87

BIBLIOGRAFÍA...........................................................................................................89

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ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1. Siete cadenas con cinco anillos cada una................................13

Figura 1.2. Cinco anillos abiertos.............................................................14

Figura 1.3. Unión de seis trozos dos a dos usando tres de los anillos abier-tos............................................................................................................14

Figura 1.4. Unión de seis trozos de cadena usando los cinco anillos abiertos..................................................................................................................14

Figura 1.5. Las cajas sin su color y los objetos que contienen...............................15

Figura 1.6. Las cajas con su color y objetos que contienen............................16

Figura 1.7. La gráfica muestra al conductor que lleva la moto de… y lleva el caso de…..................................................................................................18

Figura 1.8. Parejas de músicos y bailarines................................................19

Figura 1.9. Ubicación de las amigas alrededor de la mesa; fase 1..............20

Figura 1.10. Ubicación de las amigas alrededor de la mesa; fase 2............21

Figura 1.11. Ubicación de las amigas alrededor de la mesa; fase 3............21

Figura 1.12. Ubicación de las amigas alrededor de la mesa y sus cualida-des............................................................................................................22

Figura 2.1. Un caballo y un asno...............................................................36

Figura 3.1. Primera fase de llenado y vaciado............................................50

Figura 3.2. Segunda fase de llenado y vaciado...........................................50

Figura 3.3. Tercera fase de llenado y vaciado.............................................51

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Jorge V. Tuapanta, Mg.

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Figura 3.4. Cuarta fase de llenado y vaciado.............................................51

Figura 3.5. Fase final de llenado y vaciado.................................................52

Figura 3.6. Número de días para salir de un pozo de 10 m...............................53

Figura 3.7. Heptágono y sus diagonales de un solo trazo................................69

Figura 3.8. Pentágono y sus diagonales de un solo trazo..................................69

Figura 3.9. Endecágono y sus diagonales de un solo trazo........................69

Figura 3.10. Tridecágono y sus diagonales de un solo trazo......................69

Figura 3.11. Ruta irregular de un solo trazo.............................................69

Figura 3.12. Rectángulo cuadriculado de un solo trazo............................69

Figura 3.13. Camino irregular de un solo trazo........................................70

Figura 3.14. Rectángulo cuadriculado de trazo.........................................70

Figura 3.15. Figura geométrica de un solo trazo.......................................70

Figura 3.16. Figura cilíndrica de un solo trazo..........................................70

Figura 3.17. Figura geométrica de un solo trazo.......................................70

Figura 3.18. Círculo seccionado de un solo trazo......................................70

Figura 3.19. Corazón con figuras geométricas de un solo trazo................71

Figura 3.20. Figura tridimencional de un de un solo trazo........................71

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PRÓLOGO

La Matemática lúdica, a través de los juegos recreativos de razonamiento lógico-matemático, pone a prueba nuestra capacidad de razonar, y aunque los problemas no se resuelven inmediatamente, es la constancia y darle vueltas y vueltas lo que permitirá encontrar la solución. Ningún problema es fácil, todos exigen concentración, dedicación y una gran capacidad razonativa.

El objetivo de este libro es contribuir con el desarrollo de la capacidad de ra-zonamiento de los estudiantes de bachillerato y de aquellos que ingresan al curso de nivelación y primer semestre del nivel superior, para que potencien sus facul-WDGHV�GH�LQWHOLJHQFLD��SRUTXH�DTXHO�TXH�UD]RQD�FRQ�H¿FDFLD�HV�FDSD]�GH�KDOODU�ORV�medios más seguros para resolver o desarrollar cualquier problema o actividad FRQ�H¿FLHQFLD�\�HIHFWLYLGDG�

Cuando uno busca el porqué y el cómo de las cosas, es cuando se ha apren-dido a razonar, y es esta actividad la que nos ayuda a desarrollar nuestra inteli-JHQFLD��QXHVWUDV�GHVWUH]DV��\�HQ�HVSHFLDO�OD�VHJXULGDG��\�OD�FRQ¿DQ]D�HQ�QXHVWUR�yo interior.

Estoy convencido de que todos aquellos que llegan a este nivel de razonar y GH�QR�DFHSWDU�ODV�FRVDV�VLQ�XQD�MXVWL¿FDFLyQ�R�GHPRVWUDFLyQ��VLQ�XQ�SRU�TXp��VRQ�SHUVRQDV�TXH��FDGD�YH]�PiV��DGTXLULUiQ�FRQ¿DQ]D�HQ�Vt�PLVPRV�\�GLUiQ�³\R�Vt�puedo, esto y mucho más, y lo demostraré”. Es este momento el que quiero que tengan, porque a partir de este instante se automotivarán para aprender muchas FRVDV�PiV�VLQ�LPSRUWDU�FXiQ�GLItFLOHV�VHDQ�

Jorge Tuapanta

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DEDICATORIA

$�PL�iQJHO�GH�OD�JXDUGD�³PL�PDGUH´

mis hermanos

y

mi padre

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MATEMÁTICA LÚDICA

IntroducciónCada uno de los juegos recreativos, para desarrollar el razonamiento lógi-

co-matemático, los propongo como una manera de apoyar a los docentes con una herramienta que ayude a motivar la clase de matemática, y muy especialmente para desarrollar el razonamiento lógico de los estudiantes.

Cabe señalar que cada juego recreativo constituye la recopilación de nume-rosas experiencias; los mismos han sido adaptados a nuestro medio y realidad; algunos de ellos son creaciones originales.

En la resolución de los juegos recreativos se presentan todos y cada uno de los pasos que implica el razonamiento; esto, ayudará al docente a crear otros de acuerdo con el medio en el que se desenvuelva.

8WLOL]DU�HVWRV�MXHJRV�HQ�FDGD�FODVH�GH�PDWHPiWLFD�PH�KD�WUDtGR�PXFKDV�VD-tisfacciones, porque la motivación que adquieren los estudiantes es contagiante, motiva al maestro a crear un juego nuevo, que sea un reto para el estudiante.

Cuando logran sacar un ejercicio que les parece complicado se motivan los estudiantes, y piden más…; pero, en ese momento, aprovecho para iniciar mi clase de matemática, diciéndoles que para la siguiente clase habrá otro juego que pondrá a prueba la capacidad, ingenio y creatividad de resolución.

Los juegos recreativos de razonamiento lógico-matemático han sido selec-cionados para que sean resueltos en una forma práctica; y, lo más importante, que realmente les ayude a razonar; que exija un pensamiento lógico, y, ser imaginati-vos para resolver los juegos.

0H�JXVWDUtD�TXH�HVWH�OLEUR�VHD�DSURYHFKDGR�SRU�ORV�GRFHQWHV��\�TXH�XWLOLFHQ�OD�matemática recreativa para desarrollar ese razonamiento que tantas veces critica-PRV�ORV�SURIHVRUHV�\�GHFLPRV�³HVWRV�HVWXGLDQWHV�QR�VDEHQ�UD]RQDU´�

Para terminar, dado que en este texto en ningún problema se sugiere el nivel en el que puede ser utilizado, su uso en las clases queda a discrecionalidad de los docentes, pues su experiencia y el conocimiento del potencial de sus estudiantes le permitirán escoger los que creyere conveniente según el nivel en que trabaje.

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CAPÍTULO 1. RAZONAMIENTO LÓGICO

1.1. Flor María)ORU�0DUtD�YLYH�HQ�XQD�FDVD�GH�GRV�SLVRV��(Q�HO�SULPHU�SLVR�YLYH�OD�JHQWH�TXH�

PLHQWH��HQ�HO�VHJXQGR�VROR�JHQWH�TXH�GLFH�OD�YHUGDG��'LFH�)ORU�0DUtD�TXH�VH�HQ-FRQWUy�FRQ�XQ�YHFLQR�TXH�OH�GLMR�TXH�YLYtD�HQ�HO�VHJXQGR�SLVR��¢(Q�TXp�SLVR�YLYH�)ORU�0DUtD"��7XDSDQWD�������

Solución

$QDOLFHPRV�ODV�UHVSXHVWDV�TXH�GDUtDQ�ORV�KDELWDQWHV�GHO�SULPHUR�\�VHJXQGR�SLVR��D�OD�VLJXLHQWH�SUHJXQWD��¢(Q�TXp�SLVR�YLYH�8VWHG�"

/RV�GHO�SULPHU�SLVR�PLHQWHQ�VLHPSUH��SRU� OR� WDQWR��VX�UHVSXHVWD�VHUtD��³<R�vivo en el segundo piso”.

Los del segundo piso dicen la verdad, por lo tanto, la contestación a la misma SUHJXQWD�VHUtD��³<R�YLYR�HQ�HO�VHJXQGR�SLVR´�

([DPLQHPRV�OR�TXH�GLMR�)ORU�0DUtD��³0H�HQFRQWUp�FRQ�XQ�YHFLQR�TXH�GLFH�que vive en el segundo piso”.

�3RU�ORV�DQiOLVLV�DQWHULRUHV��QRV�GDPRV�FXHQWD�GH�TXH�)ORU�0DUtD�GLFH�OD�YHU-GDG��HQWRQFHV�)ORU�0DUtD�YLYH�HQ�HO�VHJXQGR�SLVR�

1.2. El problema del cruce8Q�KRPEUH�OOHJD�D�OD�RULOOD�GH�XQ�UtR�OOHYDQGR�XQ�ORER��XQD�FDEUD�\�XQD�FRO��/D�

EDUFD�SDUD�DWUDYHVDU�HO�UtR�QR�SXHGH�OOHYDU�QDGD�PiV�TXH�DO�SDVDMHUR�\�XQD�GH�ODV�SLH]DV��¢&yPR�KDFHU�OD�WUDYHVtD�SDUD�QR�SHUGHU�QLQJXQD�GH�ODV�FRVDV"��7XDSDQWD�������

Solución

Analicemos la situación en la que se encuentra el hombre: como su barca no tiene la capacidad de carga esperada, debe decidirse por un único objeto y trans-portar lo primero. Si escoge como primer pasajero al lobo, al volver encontrará solo la cabra, pues esta se habrá dado un banquete con la col. Si decide llevar la col, al volver encontrará al lobo contento, y con su estómago lleno, pues este

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MATEMÁTICA LÚDICA

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habrá devorado a la cabra. Para que no surja ningún contratiempo el hombre GHEHUi�OOHYDU�SULPHUR�D�OD�FDEUD��SXHV�HO�ORER�QR�HV�YHJHWDULDQR���\�OXHJR�GH�WUDQV-portarla, al otro lado del rio, volverá y se decidirá por un nuevo pasajero.

¢&yPR�GHFLGLUVH�SRU�HO�QXHYR�SDVDMHUR"�(O�KRPEUH�LQGLVWLQWDPHQWH�HVFRJHUi�cual quiera, col o lobo, pero debe regresar a la cabra a la orilla de salida, evitando DVt�OD�SHUGLGD�GH�XQR�GH�ORV�REMHWRV�

Escojamos la col: el hombre la transportará hasta la otra orilla y regresará con la cabra, la desembarcará en la orilla inicial e inmediatamente subirá a la EDUFD�DO�ORER�\�OR�OOHYDUi�DO�RWUR�ODGR�GHO�UtR��/R�GHMDUi�\�UHJUHVDUi�SRU�OD�FDEUD��FXPSOLHQGR�DVt�HO�REMHWLYR�GH�SDVDU�ORV�WUHV�REMHWRV�VLQ�SHUGHU�QLQJXQR�

6L�KXELHVH� HVFRJLGR�DO� ORER�FRPR�VHJXQGR�REMHWR� D� WUDQVSRUWDU�� GHMDUtD� DO�PLVPR�HQ�OD�RWUD�RULOOD�\�WUDVODGDUtD�OD�FDEUD�D�OD�RULOOD�LQLFLDO��GHMDUtD�OD�FDEUD�\�VXELUtD�D�OD�FRO��OD�OOHYDUtD�KDVWD�OD�RWUD�RULOOD�\�YROYHUtD�SRU�OD�FDEUD��FRPSOHWDQGR�el trabajo.

1.3. El novioPara escoger un novio entre tres candidatos: un doctor en Matemáticas, un

GRFWRU�HQ�)tVLFD��\�XQ�LQJHQLHUR��HQ�6LVWHPDV��XQD�FKLFD�GHFLGH�VRPHWHUORV�D�XQD�prueba: sobre la cabeza de cada uno de ustedes se colocará una bola, cuyo color no podrán ver, pero si verán el color de la bola colocada sobre la cabeza de los demás.

Los colores se escogerán entre cinco bolas, tres rojas y dos verdes; el primero que diga el color de la bola que tiene sobre su cabeza será mi novio; al que se equivoque, le corto la cabeza.

Uno de ellos, el matemático, que ve una bola roja sobre la cabeza de los otros GRV��D¿UPD�FRQ�VHJXULGDG��YLHQGR�TXH�ORV�RWURV�GRV�QR�GLFHQ�QDGD��\R�WHQJR�XQD�EROD�URMD��$GDSWDFLyQ�GHO�SUREOHPD�³/RV�WUHV�QRYLRV�GH�'DKL]H´���0DOED�7DKDQ��VI���S������

Solución

Cada uno de los participantes debe tener la absoluta seguridad del color de la esfera que tiene sobre su cabeza, ya que si responden teniendo dudas corren el ries-go de sufrir un cruel destino. El matemático, antes de contestar, debe tener absoluta certeza sobre lo que va a responder. A continuación, analizamos la situación:

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6XSRQJDPRV�TXH�HO�PDWHPiWLFR�WLHQH�XQD�EROD�YHUGH�VREUH�VX�FDEH]D��HO�It-VLFR�SHQVDUtD���6L�\R�WHQJR�XQD�EROD�YHUGH�VREUH�PL�FDEH]D��HO�LQJHQLHUR�HQ�VLV-WHPDV�VH�GDUtD�FXHQWD�GH�TXH�OD�EROD�TXH�WLHQH�VREUH�VX�FDEH]D�HV�URMD��SXHV�ODV�GRV�~QLFDV�HVIHUDV�YHUGHV��HVWDUtDQ�IXHUD�GH�OD�EROVD�\�HQ�ODV�FDEH]DV�PtD�\�GHO�matemático. Como él no dice nada, entonces, la bola sobre mi cabeza no es verde, GHEH�VHU�URMD���&RQ�HVWH�UD]RQDPLHQWR��HO�GRFWRU�HQ�)tVLFD�VHUtD�VLQ�OXJDU�D�GXGD�el novio de la chica, pues no se habrá equivocado, suponiendo que el matemático tiene una bola verde sobre su cabeza.

De la misma manera, si el ingeniero en sistemas ve una bola verde sobre la FDEH]D�GHO�PDWHPiWLFR��DSOLFDUtD�XQ�UD]RQDPLHQWR�H[DFWDPHQWH�LJXDO�DO�GHO�ItVLFR��FRQ�OR�TXH�VLQ�WHPRU�D�HTXLYRFDUVH��D¿UPDUtD�TXH�OD�EROD�VREUH�VX�FDEH]D�HV�URMD��HV�GHFLU��pO�SHQVDUtD��6L�\R�WHQJR�XQD�EROD�YHUGH�VREUH�PL�FDEH]D��HO�GRFWRU�HQ�ItVLFD�VH�GDUtD�FXHQWD�TXH�OD�EROD�TXH�WLHQH�VREUH�VX�FDEH]D�HV�URMD��SXHV�ODV�GRV�~QLFDV�HVIHUDV�YHUGHV��HVWDUtDQ�IXHUD�GH�OD�EROVD�\�HQ�ODV�FDEH]DV�PtD�\�GHO�PDWH-mático, como él no dice nada, entonces, la bola sobre mi cabeza no es verde, la misma debe ser roja, entonces, si el matemático tuviera una bola verde sobre su FDEH]D�HO�GRFWRU�HQ�)tVLFD�R�HO�LQJHQLHUR�HQ�6LVWHPDV�VH�GDUtDQ�FXHQWD�\��VLQ�WHPRU�a equivocarse, hubiesen dicho que la esfera que reposa sobre su cabeza es roja; pero ninguna de las dos personas responde. Por lo tanto, la esfera sobre la cabeza del matemático evidentemente no era verde, sino roja.

El doctor en Matemática debe haber hecho este razonamiento para indicar TXH�OD�HVIHUD�TXH�WHQtD�VREUH�VX�FDEH]D�HUD�URMD�

1.4. La cadenaA un herrero le entregaron siete trozos de cadena de cinco eslabones cada tro-

]R�\�OH�HQFDUJDURQ�TXH�ORV�XQLHUD�IRUPDQGR�XQD�FDGHQD�FRQWLQXD��YHU�¿JXUD������

)LJXUD������6LHWH�FDGHQDV�FRQ�FLQFR�DQLOORV�FDGD�XQD

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MATEMÁTICA LÚDICA

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$QWHV�GH�WUDEDMDU��HO�KHUUHUR�PHGLWy�VREUH�HO�Q~PHUR�GH�DQLOORV�TXH�WHQGUtD�QHFHVLGDG�GH�FRUWDU�\�IRUMDU��'HFLGLy�TXH�KDUtD�IDOWD�DEULU�\�FHUUDU�VHLV�DQLOORV�

¢(V�SRVLEOH�KDFHU�HO�WUDEDMR�DEULHQGR�\�HQOD]DQGR�XQ�Q~PHUR�PHQRU�GH�DQL-OORV"��3HUHOPDQQ��������S������

Solución

/D�UHVSXHVWD�D�OD�SUHJXQWD�HV�Vt��3DUD�HOOR��GH�ORV�VLHWH�WUR]RV��FRJHPRV�FXDO-TXLHUD�\�DEULPRV�ORV�FLQFR�DQLOORV��FRPR�OR�PXHVWUD�OD�¿JXUD�����

$KRUD�XQLPRV�ORV�WUR]RV�GRV�D�GRV�XWLOL]DQGR�ORV�DQLOORV�DELHUWRV��YHU�¿JXUD������

�)LJXUD������&LQFR�DQLOORV�DELHUWRV

)LJXUD������8QLyQ�GH�VHLV�WUR]RV�GRV�D�GRV�XVDQGR�WUHV�GH�ORV�DQLOORV�DELHUWRV

)LJXUD������8QLyQ�GH�VHLV�WUR]RV�GH�FDGHQD�XVDQGR�ORV�FLQFR�DQLOORV�DELHUWRV

+DVWD�DTXt�VH�KDQ�XWLOL]DGR�WUHV�DQLOORV�SDUD�XQLU�ORV�VHLV�WUR]RV�GH�FDGHQD��pero aún no tenemos una cadena continua.

$KRUD� GLVSRQHPRV� GH� WUHV� WUR]RV� GH� FDGHQD� FRQ� ��� HVODERQHV� FDGD� XQD� \�dos anillos abiertos, los mismos que nos servirán para unir los tres trozos antes mencionados, y de esta manera obtener una cadena continua, cumpliendo con el REMHWLYR��FRPR�VH�PXHVWUD�HQ�OD�¿JXUD�����

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1.5. La caja de joyasEl mayordomo de la señorita Diana decide robar las joyas de su patrona.

Estas están guardadas en cuatro cajas de colores diferentes: negra, roja, blanca y verde. El mayordomo recuerda que cada caja contiene dos objetos diferentes. Una caja guarda un reloj y un brazalete, otra un anillo y un collar. La caja que esta a la izquierda de la blanca contiene un collar y un brazalete y la caja blanca contiene un reloj y un anillo. La caja verde está situada entre la roja y la blanca, la caja roja está a la izquierda de la verde, y la caja negra a la izquierda de la roja. Las dos cajas centrales contienen un collar, y la primera y última contienen un reloj.

Al momento del robo, por miedo a ser sorprendido, el mayordomo solo coge OD�FDMD�QHJUD�\�HVFDSD��¢4Xp�MR\DV�UREy"��7XDSDQWD��������

Solución

El objetivo principal es ubicar las cajas según el contenido y su color, cum-pliendo las condiciones del problema.

Según el problema, en cada caja existen dos objetos diferentes, una caja guarda un reloj y un brazalete; otra contiene un anillo y un collar, una tercera, un collar y un brazalete y, en la caja blanca, hay un reloj y un anillo, con lo cual se conoce lo que contiene cada caja, faltándonos determinar el color de las tres SULPHUDV�FDMDV��(Q�OD�¿JXUD������VH�PXHVWUDQ�ODV�FDMDV�VLQ�HO�FRORU��SHUR�FRQ�HO�contenido de cada una de ellas.

Como la caja verde está situada entre la roja y la blanca, la caja roja está a la izquierda de la verde y la negra la izquierda de la roja. Estas quedan ubicadas en

RelojBrazalete

AnilloCollar

CollarBrazalete

RelojAnillo

? ? ?

)LJXUD������/DV�FDMDV�VLQ�VX�FRORU�\�ORV�REMHWRV�TXH�FRQWLHQHQ�

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MATEMÁTICA LÚDICA

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el siguiente orden: negra, roja, verde y blanca, con lo cual podemos determinar lo que contiene cada caja.

Según el problema, las dos cajas centrales contienen un collar, es decir, las cajas roja y verde poseen un collar; y la primera y última contienen un reloj, lo TXH�VLJQL¿FD�TXH�OD�FDMD�EODQFD�\�OD�FDMD�QHJUD�FRQWLHQHQ�XQ�UHORM��GHEHPRV�UH-cordar que la caja blanca contiene un reloj y un anillo, además, que una de las cajas contiene un reloj y un brazalete, entonces la caja negra contiene un reloj y un brazalete, siendo estos los objetos que el mayordomo robó.

Finalmente, se sabe que la caja que está a la izquierda de la blanca contiene un collar y un brazalete, siendo esta la verde, entonces, la caja que contiene un DQLOOR�\�FROODU�HV�OD�URMD��YHU�¿JXUD�����

1.6. Las motos

Valeria, Mariela, y Carmita se pasean en moto. Cada una está en la moto de una de sus amigas y tiene puesto el casco de la otra. La que lleva el casco de Car-PLWD�FRQGXFH�OD�PRWR�GH�0DULHOD��¢4XLpQ�HVWi�HQ�OD�PRWR�GH�9DOHULD"��7XDSDQWD��������

Solución

Para resolver el problema, tomaremos en cuenta las condiciones iniciales del mismo: que cada amiga lleve la moto de la una y tenga puesto el casco de la otra, es decir, en ningún momento ellas tendrán puesto su propio casco ni manejarán su propia moto. Entonces, bajo las condiciones del problema, una primera posi-ELOLGDG�OD�GHWDOODPRV�HQ�OD�WDEOD������\�XQD�VHJXQGD��HQ�OD�WDEOD�����

)LJXUD������/DV�FDMDV�FRQ�VX�FRORU�\�REMHWRV�TXH�FRQWLHQHQ

RelojBrazalete

AnilloCollar

CollarBrazalete

RelojAnillo

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6HJ~Q�OD�WDEOD������9DOHULD�SXHGH�OOHYDU�SXHVWR�HO�FDVFR�GH�0DULHOD�\�FRQGXFLU�la moto de Carmita. Mariela puede llevar puesto el casco de Carmita y conducir OD�PRWR�GH�9DOHULD��<�&DUPLWD�SXHGH�OOHYDU�SXHVWR�HO�FDVFR�GH�9DOHULD�\�FRQGXFLU�la moto de Mariela.

6HJ~Q�OD�WDEOD������9DOHULD�SXHGH�OOHYDU�SXHVWR�HO�FDVFR�GH�&DUPLWD�\�FRQGXFLU�la moto de Mariela. Mariela puede llevar puesto el casco de Valeria y conducir la PRWR�GH�&DUPLWD��<�&DUPLWD�SXHGH�OOHYDU�SXHVWR�HO�FDVFR�GH�0DULHOD�\�FRQGXFLU�la moto de Valeria. Ahora establezcamos quién está en la moto de Valeria, sabien-do que la que lleva el casco de Carmita conduce la moto de Mariela. Según esta última condición, la solución que satisface los requerimientos del problema está UHVXPLGR�HQ�OD�WDEOD������3RU�OR�WDQWR��OD�TXH�HVWi�HQ�OD�PRWR�GH�9DOHULD�HV�&DUPLWD��YHU�¿JXUD������

Conductor Casco de Moto de

Valeria Mariela Carmita

Mariela Carmita Valeria

Carmita Valeria Mariela

Conductor Casco de Moto de

Valeria Carmita Mariela

Mariela Valeria Carmita

Carmita Mariela Valeria

7DEOD������3ULPHUD�SRVLELOLGDG

7DEOD������6HJXQGD�SRVLELOLGDG

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)LJXUD������/D�JUi¿FD�PXHVWUD�DO�FRQGXFWRU�TXH�OOHYD�OD�PRWR�GH«�y lleva el caso de…

Valeria

Carmita

Carmita

MarielaValeria

Mariela

ValeriaCarmita

Mariela

1.7. La mujer de Héctor

&XDWUR� SDUHMDV� HVWiQ� GH� ¿HVWD�� VXV� QRPEUHV� VRQ��$OLFLD�� %iUEDUD�� &HFLOLD��Dora, Eduardo, Francisco, Gastón y Héctor. En cierto momento, Francisco se pone a tocar la trompeta acompañado por Cecilia al piano. Dora, que no es la mu-jer del trompetista, no quiere bailar, Héctor se queda sentado para acompañarla. Entonces, los dos se dan cuenta que la mujer de Eduardo no baila con su marido VLQR�FRQ�HO�GH�$OLFLD��¢4XLpQ�HV�OD�PXMHU�GH�+pFWRU"��7XDSDQWD��������

Solución

El objetivo del problema es determinar cuáles son las cuatro parejas de es-SRVRV��3ULPHUR��VHSDUHPRV�D�ORV�P~VLFRV�)UDQFLVFR��WURPSHWLVWD��\�&HFLOLD��SLD-QLVWD���6HJXQGR��D�ODV�SHUVRQDV�TXH�EDLODQ��<�WHUFHUR��D�ODV�SHUVRQDV�TXH�TXHGDQ�VHQWDGDV��TXH�VHUtDQ�'RUD�\�+pFWRU��YHU�¿JXUD������

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Francisco

Cecilia Dora Héctor

Gastón Bárbara

Eduardo

Alicia

)LJXUD������3DUHMDV�GH�P~VLFRV�\�EDLODULQHV

7DEOD������(O�FXDGUR�PXHVWUD�ODV�SDUHMDV�GH�HVSRVRV�\�VX�FRQGLFLyQ

Según el problema, Dora y Héctor se dan cuenta de que en el grupo de los que bailan, la mujer de Eduardo baila con el marido de Alicia. Entonces, el mari-do de Alicia tiene que ser Gastón, pues los únicos varones que bailan son Eduar-GR�\�*DVWyQ��3RU�OR�WDQWR��OD�PXMHU�GH�(GXDUGR�WLHQH�TXH�VHU�%iUEDUD��SXHV�HV�OD�única bailarina que no hemos tomado en cuenta. Dado que Dora no es la mujer GHO�WURPSHWLVWD�)UDQFLVFR��VH�GHGXFH�TXH�OD�PXMHU�GH�)UDQFLVFR�VHUtD�&HFLOLD��SXHV�es la única chica que se queda sin pareja. Entonces, Dora tiene que ser la mujer de +pFWRU��/DV�FXDWUR�SDUHMDV�GH�HVSRVRV�ODV�UHVXPLPRV�HQ�OD�WDEOD�����

ESPOSOS CONDICIÓN

Dora y Héctor Sentados

Gastón y Alicia %DLODQGR

Francisco y Cecilia Músicos

(GXDUGR�\�%iUEDUD %DLODQGR

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)LJXUD������8ELFDFLyQ�GH�ODV�DPLJDV�DOUHGHGRU�GH�OD�PHVD��IDVH���

1.8. La cena

Una chica invitó recientemente a cenar a cinco de sus mejores amigas, ellas VRQ��1DQF\��6DQGUD��-HVVLFD��*ORULD��3DXOLQD�\�/LOLDQD��OD�DQ¿WULRQD���ODV�FXDOHV�se sentaron alrededor de una mesa circular. Una de ellas es inteligente, otra de ojos verdes, otra sentimental, otra escritora, otra cantante, y otra la mejor amiga de Jessica. La señorita que es la mejor amiga de Jessica se sentó frente a Nancy.

La que es inteligente se sentó frente a Gloria, quien a su vez se sentó entre la señorita de ojos verdes y la mejor amiga de Jessica.

La señorita que es escritora se sentó frente a Sandra, junto a la señorita inte-ligente y a la izquierda de la mejor amiga de Jessica.

La señorita de ojos verdes se sentó entre la señorita Gloria y la señorita que se sentó enfrente de la mejor amiga de Jessica.

Liliana, que es inteligente, se sentó junto a la señorita que es escritora y fren-te a la señorita que es sentimental.

¢3XHGH�8VWHG��LGHQWL¿FDU�D�FDGD�XQD�GH�HVWDV�HQFDQWDGRUDV�FKLFDV"��7XDSDQWD��������

Solución

Para solucionar el problema, procedamos de la siguiente manera: coloquemos a Nancy en una de las sillas y al frente de ella ubicamos a la mejor amiga de Jessi-FD��YHU�¿JXUD������

Nancy Mejor amigade Jessica

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Ordenemos los demás datos. La escritora se sentó a la izquierda de la mejor DPLJD�GH�-HVVLFD��HQWHQGLpQGRVH�SRU�L]TXLHUGD��FXDQGR�QRV�PRYHPRV�HQ�VHQWLGR�KRUDULR���)UHQWH�D�OD�SRVLFLyQ�GH�OD�HVFULWRUD��SRQGUHPRV�D�6DQGUD�\��D�OD�L]TXLHUGD�GH�OD�HVFULWRUD��FRORFDPRV�D�OD�VHxRULWD�TXH�HV�LQWHOLJHQWH��YHU�¿JXUD�������

Interpretemos los demás datos. La que es inteligente se sentó frente a Gloria; esta, a su vez, se sentó entre la señorita de ojos verdes y la mejor amiga de Jessi-FD��6DQGUD�HQWRQFHV�VHUi�OD�VHxRULWD�GH�RMRV�YHUGHV��YHU�¿JXUD������

Nancy

Sandra

Inteligente Escritora

Mejor amigade Jessica

)LJXUD�������8ELFDFLyQ�GH�ODV�DPLJDV�DOUHGHGRU�GH�OD�PHVD��IDVH���

)LJXUD�������8ELFDFLyQ�GH�ODV�DPLJDV�DOUHGHGRU�GH�OD�PHVD��IDVH���

Nancy

Sandraojos verdes

Gloria

Inteligente Escritora

Mejor amigade Jessica

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7DEOD������(O�FXDGUR�GHVFULEH�D�ODV�FKLFDV�\�VXV�UHVSHFWLYDV�FXDOLGDGHV�

)LJXUD�������8ELFDFLyQ�GH�ODV�DPLJDV�DOUHGHGRU�GH�OD�PHVD�\�VXV�FXDOLGDGHV�

Sandra, la señorita de ojos verdes, se sentó entre Gloria y Nancy. Liliana, que es la inteligente, se sentó junto a la escritora.

La señorita que es sentimental se sentó frente a Liliana entonces, Gloria es la sentimental.

La mejor amiga de Jessica es Paulina y Jessica es la escritora. Por lo tanto, Nancy es la cantante.

�/D�VROXFLyQ�FRPSOHWD�DO�SUREOHPD�VHUtD�OD�TXH�VH�SUHVHQWD�HQ�OD�¿JXUD������

,QWHUSUHWDQGR� OD�¿JXUD������� WHQHPRV� ORV� UHVXOWDGRV�TXH� VH� H[SUHVDQ�HQ� OD�WDEOD�����

Nancycantante

Sandraojos verdes

Gloriasentimental

Lilianainteligente

Jessicaescritora

Paulinamejor amiga

de Jessica

Nombre Sandra Gloria Paulina Nancy Liliana Jessica

CualidadOjosverdes

Sentimen-tal

Mejor amigade Jessica

Cantante Inteligente Escritora

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1.9. Los ángeles y los diablos

£$OHUWD�HQ�HO�3DUDtVR��/RV�GLDEORV�ORJUDURQ�IRU]DU�OD�SXHUWD�JXDUGDGD�SRU�HO�buen anciano San Pedro y se introducen disfrazados de ángeles para sembrar el desorden. Cinco sospechosos acaban de ser apresados. Pero no se sabe quién es el diablo y quién es el ángel. Comienza el interrogatorio. Lógicamente, los ángeles dicen siempre la verdad, mientras los diablos mienten siempre.

I. Jorge dice que Hugo es un diablo.

II. Hugo jura que Luis es un ángel.

III. Luis sostiene que Danilo es un diablo.

,9��'DQLOR�D¿UPD�TXH�&DUORV�HV�XQ�iQJHO�

V. Para Carlos, Danilo y Jorge son ángeles.

¢4XLpQHV�VRQ�ORV�GLDEORV�\��TXLpQHV�VRQ�ORV�iQJHOHV"

�7XDSDQWD�������

Solución

3DUWDPRV�GH�OD�D¿UPDFLyQ�,,��+XJR�MXUD�TXH�/XLV�HV�XQ�iQJHO��6L�+XJR�IXHVH�XQ�iQJHO��QR�WHQGUtD�QHFHVLGDG�DOJXQD�GH�MXUDU��HQWRQFHV�+XJR�HV�XQ�GLDEOR��\�OyJLFDPHQWH�OR�TXH�pO�D¿UPD�HV�PHQWLUD��FRQFOX\HQGR�TXH�/XLV�HV�XQ�GLDEOR��'H�la declaración I y la deducción anterior, concluimos que Jorge dice la verdad, por OR�WDQWR��pO�HV�XQ�iQJHO��'H�OD�D¿UPDFLyQ�,,,�\�VDELHQGR�TXH�/XLV�HV�XQ�GLDEOR��VH�concluye que Danilo es un ángel. A partir del resultado anterior y la declaracion IV concluimos que Carlos es un ángel.

)LQDOPHQWH��SRU�OD�GHFODUDFLyQ�9�\�ORV�UHVXOWDGRV�REWHQLGRV�FRQ¿UPDPRV�TXH�Carlos es un ángel.

(QWRQFHV�SRQHPRV�XQ�¥�HQ�ODV�FDVLOODV�FRUUHVSRQGLHQWHV�GHO�FXDGUR�GH�GREOH�HQWUDGD��FRPR�VH�PXHVWUD�HQ�OD�WDEOD�����

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Cualidad

Jorge Hugo Luis Danilo Carlos

Ángel √ √ √

Diablo √ √

En conclusión, los ángeles son Jorge, Danilo y Carlos; y los diablos, Hugo y Luis.

1.10. Predilecciones por diarios$PHOLD��%ODQFD��&DUORV�\�'DUZLQ�WLHQHQ�SUHIHUHQFLD�VROR�SRU�XQR�GH�HVWRV�

diarios: El Universo, El Comercio, El Expreso y El Telégrafo. Se sabe que:

I. Amelia lee Expreso.

,,��%ODQFD�HV�YHFLQD�GH�TXLHQ�OH�El Universo.

,,,��&DUORV�\�%ODQFD�QR�VH�FRQRFHQ�

,9��%ODQFD�QR�OHH�HO�GLDULR�El Comercio.

¢4XLpQ�OHH�HO�GLDULR�El Comercio�\��4Xp�OHH�'DUZLQ"

�6DQWLOODQD��������S�����

Para resolver este tipo de problemas, se organizarán los datos en una tabla GH�GREOH�HQWUDGD��FDGD�FDVLOOD�VH�PDUFDUi�FRQ�XQ�¥�VL�OD�D¿UPDFLyQ�HV�YHUGDGHUD�y con una X si es falsa.

(Q�FDGD�¿OD�R�FROXPQD�GHEH�LU�VROR�XQD�FDVLOOD�FRQ�XQ�¥��HQ�ODV�GHPiV�FDVLOODV�GH�HVD�¿OD�R�FROXPQD�VH�SRQGUi�XQD�;��3DUD�OD�UHVROXFLyQ�GHO�SUREOHPD��UHODFLR-nemos los nombres con los diarios que leen en una tabla de doble entrada, como se muestra a continuación:

7DEOD������(O�FXDGUR�PXHVWUD�TXLpQHV�VRQ�ORV�iQJHOHV�\�GLDEORV�

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• 6HJ~Q�OD�D¿UPDFLyQ�,��$PHOLD�OHH��Expreso; entonces, marcamos con un ¥�OD�LQWHUVHFFLyQ�GH�OD�¿OD�GH�$PHOLD�\�OD�FROXPQD�GH� Expreso y con una ;�HQ�ODV�GHPiV�FDVLOODV�GH�HVD�¿OD�\�FROXPQD��

• <�SRU�OD�D¿UPDFLyQ�,9��PDUFDPRV�FRQ�XQD�;�OD�LQWHUVHFFLyQ�GH�OD�¿OD�GH�%ODQFD�\�OD�FROXPQD�GH�El Comercio��FRPR�VH�PXHVWUD�HQ�OD�WDEOD�����

• 'H�OD�D¿UPDFLyQ�,,�\�,,,��VH�GHGXFH�TXH�%ODQFD�HV�YHFLQD�GH�'DUZLQ��SRU�OR�WDQWR��'DUZLQ�OHH�El Universo��(QWRQFHV�SRQHPRV�XQ�¥�\�XQD�;�GRQGH�FRUUHVSRQGH��FRPR�VH�PXHVWUD�HQ�OD�WDEOD�����

Cualidad

ElUniverso

ElComercio Expreso El

Telégrafo

Amelia X X √ XBlanca XCarlos XDarwin X

Cualidad

ElUniverso

ElComercio Expreso El

Telégrafo

Amelia X X √ XBlanca X X XCarlos X XDarwin √ X X X

7DEOD������(O�FXDGUR�PXHVWUD�OD�LQIRUPDFLyQ�GH�ORV�GDWRV�GLUHFWRV�

7DEOD������(O�FXDGUR�PXHVWUD�OD�LQIRUPDFLyQ�GH�OD�GHGXFFLyQ�

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• $�SDUWLU�GH�OD�LQIRUPDFLyQ�GH�OD�WDEOD������VH�GHGXFH�TXH�%ODQFD�OHH�El Telégrafo y Carlos lee El Comercio�� HQWRQFHV�SRQHPRV�XQ�¥�\�XQD�;�GRQGH�FRUUHVSRQGH��FRPR�VH�PXHVWUD�HQ�OD�WDEOD�����

Entonces, Carlos lee el diario El Comercio��\�'DUZLQ�OHH�El Telégrafo.

1.11. Los amigos y sus aficiones

$UPDQGR��0DUWtQ�\�(OR\�WLHQHQ�GLIHUHQWHV�D¿FLRQHV��FLFOLVPR��DMHGUH]�\�WH-nis, y gustan de vestimenta deportiva de colores diferentes: negro, azul y blanco. Se sabe que:

,��0DUWtQ�QR�SUDFWLFD�WHQLV�

II. Al ajedrecista no le gusta el azul.

III. Armando no practica ajedrez.

,9��4XLHQ�SUDFWLFD�WHQLV�JXVWD�GHO�FRORU�EODQFR�

9��0DUWtQ�QR�JXVWD�GHO�FRORU�QHJUR�

¢4Xp�D¿FLyQ�WLHQH�$UPDQGR"�¢4Xp�FRORU�OH�JXVWD�D�0DUWtQ"

�6DQWLOODQD��������S������

Cualidad

ElUniverso

ElComercio Expreso El

Telégrafo

Amelia X X √ XBlanca X X X √Carlos X √ X XDarwin √ X X X

7DEOD������(O�FXDGUR�PXHVWUD�OD�VROXFLyQ�GHO�SUREOHPD�

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Solución

Relacionemos los nombres con el deporte y el color de vestimenta en un cuadro de doble entrada, como se muestra a continuación:

• 3RU�ODV�D¿UPDFLRQHV�,��,,,�\�9�PDUFDPRV�FRQ�XQD�;�HQ�OD�LQWHUVHFFLyQ��GH�OD�¿OD�GH�$UPDQGR�\�OD�FROXPQD�GH�DMHGUH]��<�FRQ�XQD�;�HQ�ODV�LQWHU-VHFFLRQHV�GH�OD�¿OD�GH�0DUWtQ�\�ODV�FROXPQDV�GH�WHQLV�\�QHJUR��FRPR�VH�PXHVWUD�HQ�OD�WDEOD�����

• $�SDUWLU�GH�OD�D¿UPDFLyQ�,��GHGXFLPRV�TXH�D�0DUWtQ�QR�OH�JXVWD�HO�FRORU�EODQFR��HO�WHQLV�HV�FRQVLGHUDGR�HO�GHSRUWH�EODQFR��\�WRPDPGR�HQ�FRQVL-GHUDFLyQ�OD�D¿UPDFLyQ�9��FRQFOXLPRV�TXH�D�0DUWtQ�OH�JXVWD�HO�FRORU�D]XO��HQWRQFHV�SRQHPRV�XQ�¥�\�XQD�;�GRQGH�FRUUHVSRQGH��FRPR�VH�PXHVWUD�HQ�OD�WDEOD������

Deportes Color de vestimenta

Ciclismo Ajedrez Tenis Negro Azul Blanco

Armando X

Martin X X

Eloy

Deportes Color de vestimenta

Ciclismo Ajedrez Tenis Negro Azul Blanco

Armando X X

Martin X X √ X

Eloy X

7DEOD������(O�FXDGUR�PXHVWUD�OD�LQIRUPDFLyQ�GH�ORV�GDWRV�GLUHFWRV�

7DEOD�������(O�FXDGUR�PXHVWUD�OD�LQIRUPDFLyQ�GH�OD�GHGXFFLyQ�

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• 'H�OD�D¿UPDFLyQ�,,�\�,,,�GHGXFLPRV�TXH��FRPR�D�0DUWtQ�OH�JXVWD�HO�FR-lor azul, él no es ajedrecista, entonces el que practica ajedrez es Eloy, SRU�OR�WDQWR��SRQHPRV�XQ�¥�\�XQD�;�GRQGH�FRUUHVSRQGH��$�SDUWLU�GH�ODV�GHGXFFLRQHV�DQWHULRUHV�VH�OOHQDQ�¿QDOPHQWH�WRGDV�ODV�FDVLOODV��WRPDQGR�HQ�FXHQWD�TXH��VL�HQ�OD�¿OD�R�FROXPQD�GH�ORV�FXDGURV�UHODFLRQDGRV�FRQ�³GHSRUWHV´�\�³FRORU�GH�YHVWLPHQWD´�DSDUHFHQ�GRV�³;´�OD�WHUFHUD�HV�³¥´�\�YLFHYHUVD��FRPR�VH�PXHVWUD�HQ�OD�WDEOD������

3RU�OR�WDQWR��OD�D¿FLyQ�GH�$UPDQGR�HV�HO�WHQLV�\�HO�FRORU�TXH�OH�JXVWD�D�0DUWtQ�es el azul.

1.12. Amigos de la guerra

Cinco hombres que fueron camaradas en la Segunda Guerra Mundial asisten D�XQD� UHXQLyQ��6H� WUDWD�GH�*HUPiQ��%ROtYDU��3DEOR��+XJR�\�1HOVRQ�FX\RV�R¿-FLRV�VRQ��*UDEDGRU��3UR\HFWLVWD��%LyORJR��+HUUHUR�\�1HXUyORJR��(OORV�YLYHQ�HQ�ODV�FLXGDGHV�GH�*UHHQ�)LHOG��%URZQVYLOOH��3HWHUVEXUJR��+DUSHU�\�1DVKYLOOH��SHUR�ninguno de ellos vive en la ciudad que tiene la misma inicial de su nombre, ni el nombre de su ocupación tiene la misma inicial que su nombre o que la del nom-EUH�GH�OD�FLXGDG�HQ�OD�FXDO�YLYH��(O�ELyORJR�QR�YLYH�HQ�3HWHUVEXUJR��%ROtYDU�QR�HV�herrero ni proyectista; tampoco vive en Petersburgo ni en Harper. Hugo vive en 1DVKYLOOH�\�QR�HV�ELyORJR�QL�JUDEDGRU��*HUPiQ�QR�HV�UHVLGHQWH�HQ�%URZQVYLOOH��como tampoco Nelson, quien no es biólogo ni herrero. Disponiendo solamente de OD�LQIRUPDFLyQ�GDGD��¢SXHGH�8VWHG��GHWHUPLQDU�HO�QRPEUH�GH�OD�FLXGDG�HQ�OD�TXH�UHVLGH�1HOVRQ"��7XDSDQWD��������

Deportes Color de vestimenta

Ciclismo Ajedrez Tenis Negro Azul Blanco

Armando X X √ X X √Martin √ X X X √ X

Eloy X √ X √ X X

7DEOD�������(O�FXDGUR�PXHVWUD�OD�VROXFLyQ�FRPSOHWD�GHO�SUREOHPD�

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Solución

Con la primera parte de los datos del problema, podemos formar una tabla GH�SRVLELOLGDGHV��~QLFDPHQWH�FRQ�ODV�OHWUDV�*��%��3��+�\�1��UHSUHVHQWDQGR�WDQWR�D�los nombres, como a las profesiones y las ciudades en que vive cada persona. De DFXHUGR�FRQ�HO�HQXQFLDGR��QR�VH�SXHGH�UHSHWLU�XQD�OHWUD�QL�HQ�OD�PLVPD�¿OD��QL�HQ�OD�PLVPD�FROXPQD��YHU�WDEOD������

,QVHUWHPRV�DKRUD��HQ�WDEOD�������ODV�UHIHUHQFLDV�GH�OD�VHJXQGD�SDUWH�GHO�SUREOHPD�

%ROtYDU�QR�HV�KHUUHUR�QL�SUR\HFWLVWD��WDPSRFR�SXHGH�VHU�ELyORJR�QL�SXHGH�YLYLU�HQ�%URZQVYLOOH���OD�OHWUD�%�FRLQFLGH�FRQ�OD�LQLFLDO�GH�VX�QRPEUH���7DPSRFR�KDELWD�HQ�Petesburgo ni Harper. De acuerdo con ello, en profesión y ciudad escribiremos las po-sibilidades restantes, es decir, las profesiones de grabador o neurólogo, y las ciudades GH�*UHHQ�)LHOG�R�1DVKYLOOH��YHU�WDEOD������

Procedemos de igual manera con las demás condiciones planteadas por el SUREOHPD��+XJR�YLYH�HQ�1DVKYLOOH�\�QR�HV�ELyORJR��JUDEDGRU�QL�KHUUHUR��SXHV�OD�OHWUD�+�QR�GHEH�FRLQFLGLU�FRQ�OD�LQLFLDO�GH�VX�QRPEUH���WDPSRFR�SXHGH�VHU�QHXUy-ORJR��SXHV�OD�OHWUD�1�FRLQFLGH�FRQ�OD�FLXGDG���(VWR�GHMD�HQ�HYLGHQFLD�TXH�OD�~QLFD�posibilidad restante para la profesión de Hugo sea la de proyectista. Además, la OHWUD�1�HVWi�UHSHWLGD�HQ�OD�~OWLPD�¿OD��OR�TXH�HOLPLQD�OD�SRVLELOLGDG�HQ�GXGD�VREUH�OD�FLXGDG�HQ�TXH�YLYH�%ROtYDU��\�DO�PLVPR�WLHPSR�HOLPLQD�*�GHO�FDVLOOHUR�SURIH-VLyQ��TXHGiQGRQRV�ORV�UHVXOWDGRV�FRPR�VH�PXHVWUD�HQ�WDEOD������

Nombre G (Germán) B (Bolívar) P (Pablo) H (Hugo) N (Nelson)

Profesión

Ciudad

Nombre G B P H N

Profesión G o N

Ciudad G o N

7DEOD�������(O�FXDGUR�PXHVWUD�QRPEUHV��SURIHVLyQ�\�FLXGDG��IDVH���

7DEOD�������(O�FXDGUR�PXHVWUD�QRPEUHV��SURIHVLyQ�\�FLXGDG��IDVH���

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MATEMÁTICA LÚDICA

30

Nombre G B P H N

Profesión Neurólogo Proyectista

Ciudad Green Field Nashville

*HUPiQ�QR�HV� UHVLGHQWH�HQ�%URZQVYLOOH�� WDPSRFR�SXHGH�YLYLU�QL�HQ�*UHHQ�)LHOG��QL�HQ�1DVKYLOOH��SXHV�VRQ�FLXGDGHV�HQ�TXH�UHVLGHQ�%ROtYDU�\�+XJR�UHVSHFWL-YDPHQWH��/DV�SRVLELOLGDGHV�SDUD�OD�FLXGDG�HQ�TXH�YLYH�*HUPiQ�VRQ�3�R�+��3HWHUV-EXUJR�R�+DUSHU���1HOVRQ�QR�UHVLGH�HQ�%URZQVYLOOH��WDPSRFR�SXHGH�YLYLU�HQ�*UHHQ�Field ni Nashville, la posibilidad para la ciudad es la misma que tiene Germán. La FLXGDG�IDOWDQWH�GH�LQJUHVDU�DO�FXDGUR�HV�%URZQVYLOOH��OD�FXDO�SRQGUtDPRV�GHEDMR�de Pablo. Nelson no es biólogo ni herrero, tampoco es neurólogo ni proyectista, debido a que son profesiones que ya escribimos en la tabla; la única posibilidad UHVWDQWH�HV�TXH�VHD�JUDEDGRU��YHU�WDEOD������

(O�ELyORJR�QR�YLYH�HQ�3HWHUVEXUJR��DQDOLFHPRV�HVWD�D¿UPDFLyQ�� ODV�~QLFDV�SHUVRQDV�TXH�SRGUtDQ�VHU�ELyORJRV�VRQ�*HUPiQ�\�3DEOR��3DEOR�YLYH�HQ�%URZQVYL-OOH�\�QR�SXHGH�VHU�ELyORJR��SRU�OD�OHWUD�%�TXH�VH�UHSHWLUtD�HQ�OD�PLVPD�FROXPQD���dejando la posibilidad de serlo a Germán. Conociendo que Germán es biólogo, OD�SURIHVLyQ�TXH�QRV�IDOWDED�LQJUHVDU�HV�KHUUHUR��WUDEDMR�TXH�OH�FRUUHVSRQGHUtD�D�3DEOR���YHU�WDEOD��������

Nombre G B P H N

Profesión Neurólogo Proyectista Grabador

Ciudad P o H Green Field Nashville P o H

7DEOD�������(O�FXDGUR�PXHVWUD�QRPEUHV��SURIHVLyQ�\�FLXGDG��IDVH���

7DEOD�������(O�FXDGUR�PXHVWUD�QRPEUHV��SURIHVLyQ�\�FLXGDG��IDVH���

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Jorge V. Tuapanta, Mg.

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Puesto que el biólogo no vive en Petersburgo, eliminamos la P del casillero ³FLXGDG´�HQ�TXH�YLYH�*HUPiQ��KHPRV�FRPSUREDGR�HQWRQFHV�TXH�*HUPiQ�YLYH�HQ�+DUSHU��SRU�OR�TXH�TXLWDUtDPRV�OD�SRVLELOLGDG�GH�TXH�1HOVRQ�YLYD�HQ�HVWD�~OWLPD�ciudad. Por lo tanto, los nombres, profesión y ciudad de los amigos se muestra HQ�OD�WDEOD������

En conclusión, la ciudad en la que vive Nelson es Petersburgo.

1.13. De compras/DV�VHxRULWDV��6RQ�.DWW\��(OHQD��0DUtD��5RFtR��3DROD�\�0HU\��/DV�WUHV�~OWLPDV�

chicas tienen las siguientes cualidades: impredecible, comprensiva y sentimen-WDO�UHVSHFWLYDPHQWH��/DV�VHLV�IXHURQ�MXQWDV�GH�FRPSUDV�DO�SDVDMH�FRPHUFLDO�³(O�Coral. Cada una de las señoritas fue directamente al piso en el cual se hallaba el DUWtFXOR�GH�UHJDOR�TXH�TXHUtD�FRPSUDU��FDGD�XQD�GH�HOODV�FRPSUy�GRV�DUWtFXORV��&RPSUDURQ�XQ�HVIHURJUi¿FR��XQ�stiker, un cuadro, un osito de peluche, un paya-VLWR��XQ�UHORM��XQD�HVFODYD��XQ�FUXFL¿MR��XQD�DJHQGD��XQ�SyVWHU��XQ�SRUWDUUHWUDWRV�y una lámpara.

Todas las señoritas, excepto Mery, entraron en el ascensor en el primer piso. 7DPELpQ�HQWUDURQ�HQ�HO�DVFHQVRU�GRV�FDEDOOHURV��'RV�VHxRULWDV��5RFtR�\�OD�TXH�FRPSUy�OD�HVFODYD�\�HO�FUXFL¿MR��GHVFHQGLHURQ�HQ�HO�VHJXQGR�SLVR��(Q�HO�WHUFHU�

Nombre G B P H N

Profesión %LyORJR Neurólogo Herrero Proyectista Grabador

Ciudad P o H Green Field %URZQVYLOOH Nashville P o H

Nombre G B P H N

Profesión %LyORJR Neurólogo Herrero Proyectista Grabador

Ciudad Harper Green Field %URZQVYLOOH Nashville Petersburgo

7DEOD�������(O�FXDGUR�PXHVWUD�QRPEUHV��SURIHVLyQ�\�FLXGDG��IDVH���

7DEOD�������(O�FXDGUR�PXHVWUD�QRPEUHV��SURIHVLyQ�\�FLXGDG�GH�WRGRV�ORV�DPLJRV�

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MATEMÁTICA LÚDICA

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SLVR�VH�YHQGtDQ�SyVWHUV�\�stikers. Los caballeros descendieron en el cuarto piso. /D�VHxRULWD�TXH�FRPSUy�HO�UHORM�\�HO�HVIHURJUi¿FR�GHVFHQGLy�HQ�HO�TXLQWR�SLVR�\�GHMR�D�0DUtD�TXH�GHVFHQGLHUD�VROD�HQ�HO�VH[WR�SLVR��(Q�OD�¿HVWD�GH�1DYLGDG��.D-tty, que recibió un cuadro y un portarretratos como regalo sorpresa de una de las VHxRULWDV�TXH�KDEtD�GHVFHQGLGR�HQ�HO�VHJXQGR�SLVR��SUHVHQFLy�HO�DJUDGHFLPLHQWR�TXH�VX�HQDPRUDGR�KL]R�SRU�HO�FUXFL¿MR�TXH�OH�GLy�XQD�GH�ODV�RWUDV�FKLFDV��6L�HQ�HO�SULPHU�SLVR�VH�YHQGtDQ�SHOXFKHV�\�(OHQD�IXH�OD�VH[WD�SHUVRQD�TXH�VDOLy�GHO�DVFHQ-VRU��¢4Xp�FRVDV�FRPSUy�FDGD�XQD�GH�ODV�VHxRULWDV"��7XDSDQWD��������

Solución

Para facilitar la solución, debemos ordenar, en una tabla adecuada, todos los REMHWRV�FRPSUDGRV��DVt�FRPR�ORV�QRPEUHV�GH�ODV�VHxRULWDV�

6HJ~Q�HO�SUREOHPD��0HU\�VH�TXHGy�HQ�HO�SULPHU�SLVR��OXJDU�GRQGH�VH�YHQGtDQ�SHOXFKHV��SRU�OR�WDQWR��FRPSUy�HO�RVLWR��5RFtR�VH�TXHGy�pQ�HO�VHJXQGR�SLVR��SHUR�UHFRUGHPRV�TXH��HQ�OD�¿HVWD�GH�1DYLGDG��.DWW\�UHFLELy�XQ�FXDGUR�\�XQ�SRUWDUUH-WUDWRV�GH�TXLHQ�VH�KDEtD�TXHGDGR�HQ�HO�VHJXQGR�SLVR��VLHQGR�HVWD�SHUVRQD�5RFtR��Se sabe que, en el primer piso, el ascensor se llenó con cinco chicas y dos caba-lleros. En el segundo piso, se bajan dos chicas. En el tercer piso, se baja una chica a comprar posters y stikers. En el cuarto piso, descienden los caballeros. Por lo tanto, Elena, siendo la sexta persona en salir del ascensor, se bajó en el quinto SLVR�\�FRPSUy�XQ�UHORM�\�XQ�HVIHURJUi¿FR��0DUtD�GHVFHQGLy�VROD�HQ�HO�VH[WR�SLVR�

'DGR�TXH��(OHQD��0DUtD�\�0HU\�QR�GHVFHQGLHURQ�HQ�HO�VHJXQGR�SLVR�\�5RFtR�QR�FRPSUy�XQ�FUXFL¿MR��HQWRQFHV�3DROD�FRPSUy�OD�HVFODYD�\�HO�FUXFL¿MR��\�GHV-cendió en el segundo piso. Katty, al descender en el tercer piso, compró pósters y stikers���YHU�WDEOD�������

Nombre Katty Elena María Rocío Paola Mery

Piso � � � � � �

Objetos PósterStiker

Reloj(VWHURJUi¿FR

Cuadro Portarretratos

Esclava &UXFL¿MR Osito

7DEOD�������(O�FXDGUR�PXHVWUD�QRPEUHV��SLVR�GH�GHVFHQVR�\�REMHWRV�TXH�FRPSUDURQ��IDVH���

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Jorge V. Tuapanta, Mg.

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Consideremos ahora los objetos que sobran y que no están asignados a nin-guna señorita: el payaso, la lámpara y la agenda. Dado que en el primer piso se YHQGtDQ�SHOXFKHV��\�0HU\�TXHGR�DKt��HOOD�GHELR�KDEHU�FRPSUDGR�HO�SD\DVR��/RV�REMHWRV� UHVWDQWHV� OR�GHELy�KDEHU�FRPSUDGR�0DUtD�HQ�HO� VH[WR�SLVR��(Q� OD� WDEOD�������VH�PXHVWUDQ�ORV�REMHWRV�TXH�FDGD�XQD�FRPSUDURQ�SRU�FDGD�FKLFD��DO�LJXDO�TXH�el piso en el que descendió.

Nombre Katty Elena María Rocío Paola Mery

Piso � � � � � �

Objetos PósterStiker

Reloj(VWHURJUi¿FR

LámparaAgenda

Cuadro Portarretratos

Esclava &UXFL¿MR

OsitoPayasito

7DEOD�������(O�FXDGUR�PXHVWUD�ORV�QRPEUHV��SLVR�GH�GHVFHQVR�\�ORV�REMHWRV�TXH�FRPSUDURQ

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CAPÍTULO 2. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

2.1. Las preguntas(Q�XQ�H[DPHQ�GH����SUHJXQWDV��VH�GD�FLQFR�SXQWRV�SRU�FDGD�UHVSXHVWD�FRUUHF-

ta y se quita tres puntos por cada respuesta errada. Si un estudiante responde a WRGDV�ODV�SUHJXQWDV�\�REWLHQH�WUHV�SXQWRV��¢&XiQWDV�SUHJXQWDV�FRQWHVWy�FRUUHFWD-PHQWH"��7XDSDQWD��������

Solución

Para resolver el problema, representemos con x, el número de preguntas con respuestas correctas; entonces, el número de preguntas con respuestas erradas VHULD�������x . Si se dan cinco puntos por cada respuesta correcta, entonces el total GH�SXQWRV�TXH�JDQD�HO�HVWXGLDQWH�HVWi�UHSUHVHQWDGR�SRU��x .

Si tres puntos se quitan por cada respuesta incorrecta, entonces el total de SXQWRV�TXH�SLHUGH�HO�HVWXGLDQWH�HVWi�UHSUHVHQWDGR�SRU����� - x��

6L�HO�HVWXGLDQWH�UHVSRQGH�D�WRGDV�ODV�SUHJXQWDV�\�REWLHQH�WUHV�SXQWRV��VLJQL¿-FDUtD�TXHǣ�ͷ��Ǧ�͵ሺͳͷ�Ǧ��ሻ�ൌ�͵�฿�ͷ���͵��ൌ�͵�Ͷͷ�฿���ൌ�Ǥ

Entonces, él estudiante contesta correctamente seis preguntas y lógicamente nueve las contesta en forma errada.

8QD�FRPSUREDFLyQ�VLPSOH�VHUtD�������������� ���SXQWRV��OD�QRWD�TXH�VDFR�HO�estudiante.

2.2. EL Número que pensó'tJDOH�TXH�HO�Q~PHUR�SHQVDGR�OR�HOHYH�DO�FXER��6XPH�HO�WULSOH�GHO�FXDGUDGR�

GHO�Q~PHUR��OXHJR�VXPH�HO�WULSOH�GHO�Q~PHUR�\�SRU�~OWLPR�VXPH���

3tGDOH�HO�UHVXOWDGR�GH�WRGDV�ODV�RSHUDFLRQHV�DQWHV�LQGLFDGDV�

$KRUD�VDTXH�OD�UDt]�F~ELFD�GH�WRGR�HVH�UHVXOWDGR�\�UpVWHOH�XQR��(O�UHVXOWDGR�VHUi�HO�Q~PHUR�TXH�OD�SHUVRQD�SHQVy�DO�LQLFLR��7XDSDQWD��������

Solución

Comprobemos matemáticamente que siempre llegamos al número pensado, siempre y cuando se hagan todos los pasos y cálculos en forma correcta.

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Supongamos que el número pensado es: x.

(OHYH�DO�FXER���x.

Al valor anterior, súmele el triple del cuadrado del número: x�����x2.

Al valor obtenido anteriormente, súmele el triple delnúmero: x�����x�����x

3RU�~OWLPR��D�OD�FDQWLGDG�DQWHULRU��V~PHOH����x�����x�����x ���� ��x �����

$KRUD��VDTXH�OD�UDt]�F~ELFD�GH�HVH�UHVXOWDGR��x + ���

$O�YDORU�REWHQLGR��UpVWHOH����\�QRV�TXHGD�HO�Q~PHUR�SHQVDGR��x.

3RU�HMHPSOR��VXSRQJDPRV�TXH�HO�Q~PHUR�TXH�HVWD�SHQVDQGR�HV�HO���

(OHYHPRV�DO�FXER��\�QRV�GD�����.

$O� UHVXOWDGR� DQWHULRU�� VXPHPRV� HO� WULSOH� GHO� FXDGUDGR�GHO� Q~PHUR������������� ������

$�OD�FDQWLGDG�REWHQLGD��VXPHPRV�HO�WULSOH�GHO�Q~PHUR������������� ������

)LQDOPHQWH��DO�UHVXOWDGR�DQWHULRU��VXPHPRV����������� ������(VWD�FDQWLGDG�GH�����QRV�GD�OD�SHUVRQD�D�OD�TXH�LQWHQWDPRV�DGLYLQDU�HO�Q~PHUR�TXH�HVWi�SHQ-sando.

�6DFDPRV�OD�UDt]�F~ELFD�GH������TXH�HV���\�OH�UHVWDPRV����REWHQLpQGRVH�HO�Q~PHUR�TXH�HVWDED�SHQVDQGR��HO���

2.3. El caballo y el asno

Un caballo y un asno caminaban juntos llevando su pesada carga sobre sus ORPRV��0LHQWUDV�HO�DVQR�VH�TXHMDED�GH�VX�SHVDGD�FDUJD��HO�FDEDOOR�OH�GLMR���£1R�WH�ODPHQWHV���\D�TXH��VL�\R�WH�TXLWDVH�GRV�VDFRV��HQWRQFHV�PL�FDUJD�VHUtD�HO�WULSOH�TXH� OD� WX\D��6LQ�HPEDUJR��VL�\R� WH�GLHUD� WUHV�VDFRV�HQWRQFHV� WX�FDUJD�VHUtD�HO�GREOH�TXH�OD�PtD���¢&XiQWRV�VDFRV�OOHYDED�FDGD�XQR"��$GDSWDFLyQ�GHO�SUREOHPD�HO�FDEDOOR�\�DVQR���3HUHOPDQ�������S������

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MATEMÁTICA LÚDICA

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mejor note quejes

ya noaguanto más

Solución

Para resolver el problema, designemos con x el número de sacos que lleva el caballo, y con y el número de sacos que lleva el asno. Según el problema, a la queja del asno, el caballo le dice, si yo te quitase dos sacos, entonces mi carga VHUtD�HO�WULSOH�TXH�OD�WX\D��HV�GHFLU�x ���� ����y������

6LQ�HPEDUJR��VL�\R�WH�GLHUD�WUHV�VDFRV�HQWRQFHV�WX�FDUJD�VHUtD�HO�GREOH�TXH�OD�PtD��HV�GHFLU�����x ����� �y�����

Al despejar x de las dos expresiones halladas e igualar sus resultados tene-PRV������y��������� �y���������฿�y� ��

��

Con el valor de y hallamos x� ��

Entonces, el caballo cargaba siete sacos, mientras que el asno se lamentaba por tener cinco sacos en su lomo.

2.4. Los obreros

Los obreros de una fábrica se declaran en huelga. La cuarta parte de ellos cobra XQ�MRUQDO�GH�������GLDULRV��OD�WHUFHUD�SDUWH�GH�������GLDULRV�\�HO�UHVWR�GH�������/D�KXHOJD�GXUy����GtDV�\��DO�UHLQWHJUDUVH�DO�WUDEDMR��VH�OHV�DERQy�OD�FXDUWD�SDUWH�GH�OR�TXH�KXELHUDQ�JDQDGR�HQ�ORV����GtDV��SRU�OR�TXH�ORV�REUHURV�SHUGLHURQ������������¢&XiQWRV�VRQ�ORV�REUHURV"��7XDSDQWD�������

)LJXUD������8Q�FDEDOOR�\�XQ�DVQR

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Solución

Determinemos el número de obreros que existen en la fábrica, a partir del salario que percibe los obreros de cada uno de los grupos.

&DOFXOHPRV�HO�VDODULR�TXH�UHFLELUtDQ�ORV�REUHURV�HQ����GtDV�GH�ODERUHV�QRU-males.

Supongamos que y�UHSUHVHQWD�HO�VDODULR�WRWDO�TXH�UHFLELUtDQ�ORV�WUDEDMDGRUHV�HQ�ORV����GLDV�GH�WUDEDMR�QRUPDO��&RPR�HOORV�VROR�UHFLEHQ�OD�FXDUWD�SDUWH�GH�VX�VDODULR�QRUPDO�\�SLHUGHQ�����������TXH�UHSUHVHQWD�ORV�����GHO�VDODULR�WRWDO�TXH�GHEtD�SDJDUVH�D�WRGRV�ORV�WUDEDMDGRUHV��VH�WLHQH�TXH�

����y� ���������฿ y� ��������

(QWRQFHV��HQ�ORV����GtDV�GH�WUDEDMR��OD�WRWDOLGDG�GH�ORV�REUHURV�GHEtD�UHFLELU�XQ�PRQWR�GH�����������R����������GLDULRV�

Determinemos cuánto cobra cada grupo de obreros, para ello representemos con x , el número total de obreros que hay en la fábrica, entonces:

(O�SULPHU�JUXSR��TXH�FRQVWLWX\H�OD�FXDUWD�SDUWH�GH�ORV�REUHURV��FREUDUtD�HQ�XQ�GtD�GH�WUDEDMR: ������x ���x .

(O�VHJXQGR�JUXSR��TXH�FRQVWLWX\H�OD�WHUFHUD�SDUWH�GH�ORV�REUHURV��FREUDUtD�HQ�XQ�GtD�GH�WUDEDMR�������x ����x .

�����������

<�HO�WHUFHU�JUXSR��TXH�FRQVWLWX\H�ODV������SDUWHV�GH�ORV�REUHURV��FREUDUtD�HQ�XQ�GtD�GH�WUDEDMR�������x ����x .

������������

6XPDQGR�ORV�VDODULRV�GLDULRV�GH�ORV�WUHV�JUXSRV�GH�WUDEDMDGRUHV��REWHQGUtD-mos el salario diario de todos los obreros de la fábrica, es decir:

��x + ���x

+ ���x � ��������

��������������

(

(

(

(

(

(

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MATEMÁTICA LÚDICA

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Al resolver la ecuación, determinamos el número de trabajadores que existen HQ�OD�IiEULFD��HVWR�HV�����REUHURV�Comprobemos el resultado:

(O�SULPHU�JUXSR�OR�FRQVWLWX\H�OD�FXDUWD�SDUWH�GH�ORV�����REUHURV��HVWR�HV������6L�FDGD�REUHUR�UHFLEH�������GLDULRV��OD�IiEULFD�SDJD�����������SRU�ORV����GtDV�GH�trabajo de este grupo.

(O�VHJXQGR�JUXSR�OR�FRQVWLWX\H�OD�WHUFHUD�SDUWH�GH�ORV�����REUHURV��HVWR�HV������6L�FDGD�REUHUR�UHFLEH�������GLDULRV��OD�IiEULFD�SDJD�����������SRU�ORV����GtDV�de trabajo de este grupo.

<�HO�WHUFHU�JUXSR�GH�REUHURV��TXH�VRQ����������������������JDQD������GLDULRV��SRU�OR�TXH�OD�IiEULFD�SDJD�����������D�HVWH�JUXSR�

(Q�UHVXPHQ��OD�IiEULFD�SRU�FRQFHSWR�GH�VXHOGRV��HQ�ORV����GLDV�GH�WUDEDMR�GH�VXV�REUHURV��SDJD���������������������������������������

&RPR�ORV�REUHURV�VH�SOHJDURQ�D����GtDV�GH�KXHOJD��HOORV�UHFLELHURQ�VROR�OD�FXDUWD�SDUWH�GH������������HVWR������������\�SHUGLHURQ�����������TXH�FRQVWLWX\H�las tres cuartas partes del monto total.

2.5. El cordel/D�PDPi�OH�GLFH�DO�KLMR��¢3DUD�TXp�QHFHVLWDV�WDQWR�FRUGHO�VL�\D�WH�GL�XQ�EXHQ�

RYLOOR"�¢4Xp�KDV�KHFKR�FRQ�HO�FRUGHO"�<�HO�PXFKDFKR�FRQWHVWD��3ULPHUR�PH�FR-JLVWH�XQ�WHUFLR��/D�PLWDG�GH�OR�TXH�TXHGy�VH�OD�OOHYy�-XDQ��4XHGy�PX\�SRTXLWR�\�de ello cogió papá la tercera parte. Luego Katty necesitó las tres cuartas partes GHO�UHVWR��£1R�TXHGDURQ�PiV�TXH����FHQWtPHWURV��¢4Xp�ORQJLWXG�WHQtD�HO�FRUGHO�DO�SULQFLSLR"��$GDSWDFLyQ�GHO�SUREOHPD�³(O�EUDPDQWH´���3HUHOPDQQ��������S�����

Solución

Para resolver el problema, supongamos que x representa la longitud total del cordel. Según el problema, la mamá del muchacho cogió la tercera parte, es decir:

x �\�VREUy���x de cordel ������������������

OD�PLWDG�GH��[�VH�OR�OOHYy�-XDQ��HV�GHFLU��������x x y

������������������������������������������������������������

quedó x de cordel.

��

( (

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El papá del muchacho cogió un tercio de x����HV�GHFLU�������x x y queda

����������������������������������������������������������������������������������������������������

�x de cordel.

��

<�SRU�~OWLPR�.DWW\�FRJLy�ODV�WUHV�FXDUWDV�SDUWHV�GH��x , HV�GHFLU�������x x ,

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

TXHGiQGROH�DO�PXFKDFKR������x x del cordel.

�������������������������������������������������

&RPR�DO�¿QDO�GH OD�UHSDUWLFLyQ��HO�PXFKDFKR�VH�TXHGD�FRQ����FHQWtPHWURV��entonces: x� �����฿ x = ���.

���

(QWRQFHV��OD�ORQJLWXG�GH�FRUGHO�TXH�WHQtD�HO�PXFKDFKR�DO�SULQFLSLR�HUD�GH�����FHQWtPHWURV�

Comprobemos nuestro resultado:

�/D�PDPi�GHO�PXFKDFKR�FRJLy�XQ�WHUFLR�GH�GH�����FP��HV�GHFLU���������FP�� �����FP�\�TXHGDURQ�����FP�����������������������������������������������������������������

/D�PLWDG�GH�����FP�VH�OR�OOHYy�-XDQ��HVWR�HV���������FP�� �����FP�\�TXHGDURQ�����FP������������������������������������������������������������������

(O�SDSi�FRJLy�OD�WHUFHUD�SDUWH�GH�����FP��HV�GHFLU���������FP�� ����FP�\�TXH-GDURQ����FP�������������������������������������������������������������������

3RU�~OWLPR��.DWW\�QHFHVLWDED�ODV�WUHV�FXDUWDV�SDUWHV�GH����FP��HVWR�HV���������FP�� �����FP�\�TXHGDURQ�ORV����FP�TXH�LQGLFy�HO�PXFKDFKR�������������������������

2.6. Los cromos

Jorge sale de la casa con un montón de cromos y vuelve sin ninguno. Su madre le pregunta que ha hecho con ellos y el niño contesta: a cada amigo que PH�HQFRQWUp�OH�GL�OD�PLWDG�GH�ORV�FURPRV�TXH�WHQtD�PiV�GRV��¢<�D�FXiQWRV�DPLJRV�WH�KDV�HQFRQWUDGR"�$�VLHWH��¢&XiQWRV�FURPRV�WHQtD�-XDQLWR�DO�VDOLU�GH�FDVD"��7XD-SDQWD��������

(

((

(

((

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MATEMÁTICA LÚDICA

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Solución

Para resolver el problema, se puede utilizar un razonamiento matemático y un lógico.

Razonamiento matemático

Denotemos con n�OD�FDQWLGDG�GH�FURPRV�TXH�-RUJH�WHQtD�DO�VDOLU�GH�FDVD�

Según el problema, la repartición de los cromos entre los siete amigos se lo hizo de la siguiente forma:

Cuando Jorge se encontró con su primer amigo, le entregó la mitad de los cromos más dos, quedándole la mitad menos dos, es decir:

Al encontrarse con su segundo amigo, le entregó la mitad de más dos, quedándole:

Al tercer amigo, le entregó la mitad de más dos, quedándole:

Al cuarto amigo, le regaló la mitad de más dos, quedándole:

Al quinto amigo, le regaló la mitad de más dos, quedándole:

Al sexto amigo, le regaló la mitad de más dos, quedándole:

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Jorge V. Tuapanta, Mg.

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<�DO�VHSWLPR�DPLJR��OH�UHJDOy�OD�PLWDG�GH���������������PiV�GRV��TXHGiQGROH�

Pero, según el enunciado del problema, Jorge regresa a casa sin ningún cro-mo, entonces, el resto representado por la última expresión deducida, la iguala-mos a cero, es decir:

$Vt�VH�REWLHQH�XQD�HFXDFLyQ�TXH�GD�FRPR�UHVXOWDGR�HO�YDORU�GH�n =�������TXH�UHSUHVHQWD�HO�Q~PHUR�GH�FURPRV�TXH�-RUJH�WHQtD�DO�VDOLU�GH�FDVD�

Razonamiento lógico

Para el razonamiento lógico, lo que hacemos es buscar el número de cromos TXH�-RUJH�WHQtD�FXDQGR�VH�HQFRQWUy�FRQ�HO�VpSWLPR�DPLJR�

Como sabemos, a cada amigo que encontraba le daba la mitad de los cromos TXH�WHQtD�PiV�GRV��(QWRQFHV��FXDQGR�VH�HQFRQWUy�DO�VpSWLPR�DPLJR��pO�GHEtD�WHQHU�cuatro cromos.

$O�HQFRQWUDUVH�FRQ�HO�VH[WR�DPLJR��GHEtD�WHQHU����FURPRV�

$O�HQFRQWUDUVH�FRQ�HO�TXLQWR�DPLJR��GHEtD�WHQHU����FURPRV�

$O�HQFRQWUDUVH�FRQ�HO�FXDUWR�DPLJR��GHEtD�WHQHU����FURPRV�

$O�HQFRQWUDUVH�FRQ�HO�WHUFHU�DPLJR��GHEtD�WHQHU�����FURPRV�

$O�HQFRQWUDUVH�FRQ�HO�VHJXQGR�DPLJR��GHEtD�WHQHU�����FURPRV�

<�DO�HQFRQWUDUVH�FRQ�HO�SULPHU�DPLJR��-RUJH�GHEtD�WHQHU�����FURPRV�

2.7. Los alumnosEn un instante dado en el aula de una escuela, un grupo de alumnos está le-

yendo, otros charlando, y la cuarta parte del total de alumnos están escribiendo. Después, cuatro de ellos dejan la lectura por la escritura, uno deja la charla por la lectura y dos dejan la escritura por la charla, con lo cual resulta entonces que HVFULEHQ� WDQWRV�FRPR� OHHQ�\� OHHQ� WDQWRV�FRPR�FKDUODQ��¢&XiO�HV�HO�Q~PHUR�GH�DOXPQRV"��7XDSDQWD��������

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MATEMÁTICA LÚDICA

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Solución

Para la resolución del problema, supongamos que x representa el total de alumnos e y los alumnos que leen en un instante dado, entonces tendremos que:

Los alumnos que escriben son: .

Los alumnos que charlan son:

Según el problema, cuatro alumnos dejan la lectura por la escritura, pero uno deja la charla por la lectura, entonces los alumnos que leen son:

En otro instante, dos alumnos dejan la escritura por la charla y cuatro dejan la lectura por la escritura, entonces los alumnos que escriben son:

Además, un alumno deja la charla por la lectura y dos dejan la escritura por la charla, entonces los alumnos que charlan son:

Finalmente, teniendo en cuenta que, escriben tantos como leen y leen tantos como charlan, se forma el siguiente sistema de ecuaciones:

Para la resolución del sistema, se puede aplicar cualquier técnica de resolu-FLyQ��$TXt�XWLOL]DUHPRV�OD�GH�UHGXFFLyQ�

$O�VXPDU�ODV�HFXDFLRQHV�QRV�TXHGD���y� ����฿ y ����

<�DO�VXVWLWXLU�HO�YDORU�GH�y en la primera ecuación del sistema original, se ob-tiene: x��������� �����฿ x���

= _=__

= _+

+_

= __

�x - y������� ��x - y�����

y��������� �y����

�� ��

x ������� ���x ������ ����

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Jorge V. Tuapanta, Mg.

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Entonces:

(O�Q~PHUR�WRWDO�GH�DOXPQRV�HV�����

Los alumnos que leen: y��� ������ ��

Los alumnos que escriben:

Los alumnos que charlan:

2.8. División de un númeroDividir un número en cuatro partes de forma que, si se suma, resta, multipli-

ca o divide por un número dado, correspondientemente, resulta un número que es múltiplo de dicho número dado. Determinar el número buscado si el número GDGR�HV����\�HO�Q~PHUR�PXOWLSOLFDGRU�HV�HO�VpSWLPR�HOHPHQWR�GH�OD�VXFHVLyQ�GH�)LERQDFFL��DGDSWDFLyQ�GHO�SUREOHPD�UXOHWDV�FKLQDV���3DUUD��������S�����

Solución

Para hallar el número que se debe dividir, demostremos matemáticamente como obtener los números que cumplan con las condiciones pedidas por el pro-blema: Sea x el número a dividir, a, b, c, d los números resultados de la división, m y k�HO�Q~PHUR�GDGR�\�HO�PXOWLSOLFDGRU�UHVSHFWLYDPHQWH��HQWRQFHV�[� ��a + b + c + d. Según las condiciones del problema tenemos que:

como x = a + b + c + d

x = m (k - �) + m (k - �) + k + km2

x = k (m2 + 2m + �)

x = k (m + �)2

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Aplicando a nuestro caso, para m� ����\ k� ����WHQHPRV��[� ��������������� ������

Entonces el número a dividir es x� ������\�ORV�FXDWUR�Q~PHURV�UHVXOWDGRV�GH�la división son:

a� ���������� ������b� ���������� ����� c� ����\�d� ��������� ������

Nota: los números de la serie de Fibonacci son:

������������������������������������

2.9. Las edadesEn una charla familiar, el padre le dice al hijo: Hace ocho años, mi edad era

HO�WULSOH�GH�OD�HGDG�TXH�WX�WHQtDV��SHUR�GHQWUR�GH�VLHWH�DxRV�VHUi�HO�GREOH��WX�PDGUH�es cinco años menor que yo y tu hermano menor tiene un tercio de la edad de tu PDGUH��¢&XiQWRV�DxRV�WLHQHQ�ORV�LQWHJUDQWHV�GH�OD�IDPLOLD"

Solución

3DUD�VX�VROXFLyQ�QRV�DSR\DUHPRV�HQ�OD�WDEOD������6HD�x la edad actual del pa-dre y y edad actual del hermano mayor. A partir de estos resultados, se hallará la edad de los demás integrantes de la familia.

Según el problema, hace ocho años, la edad del padre era el triple de la edad de su hijo mayor, es decir: x����� ����y���

<�GHQWUR�GH�VLHWH�DxRV��OD�HGDG�GHO�SDGUH�VHUi�HO�GREOH�GH�OD�HGDG�GH�VX�KLMR�mayor, es decir: x����� ����y���

Edad haceocho años

Edadactual

Edad dentrode siete años

Padre x – 8 x x + 7

Hijo mayor y – 8 y y + 7

7DEOD������5HVXPHQ�GH�GDWRV�GHO�SUREOHPD

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Jorge V. Tuapanta, Mg.

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Para hallar las soluciones de las ecuaciones ᬅ y ᬆ, utilizaremos la técnica de sustitución.

De la ecuación ᬅ despejamos x , es decir:

x����� �����y������฿ x� ��y������

y sustituimos en ᬆǡ para obtener el valor de y , es decir:

x����� ����y����฿��y���������� ��y������฿ y� ����

el valor de y , lo sustituimos en la ecuación despejada de ᬅǡ es decir:

x� ��y�����฿ x� ������������฿ x� ���

(QWRQFHV�OD�HGDG�GHO�SDGUH�HV����DxRV�\�GHO�KLMR�PD\RU�HV����DxRV��3DUD�KDOODU�OD�HGDG�GH�OD�PDGUH��VDEHPRV�TXH�HO�SDGUH�HV�PD\RU�FRQ���DxRV��HV�GHFLU��OD�PDGUH�WLHQH����DxRV�\�HO�KLMR�PHQRU�WLHQH�XQ�WHUFLR�GH�OD�HGDG�GH�OD�PDGUH��HVWR�HV�

2.10. La edad del tío/D�VREULQD� OH�SUHJXQWD�D�VX� WtR���¢&XiQWRV�DxRV� WLHQHV�� WtR"�¢FXiQWRV�DxRV�

WLHQH�PL�SDSD�\�PL�WtD"����eO�OH�FRQWHVWD��HO�FXDGUDGR�GH�WX�HGDG�H[FHGH�HQ�XQ�DxR�D�OD�PtD��\�GHQWUR�GH�GRV�DxRV��HO�Vp[WXSOH�GH�WX�HGDG�H[FHGHUi�HQ�FXDWUR��7X�SDGUH�HV�PHQRU�FRQ�GRV�DxRV�\�WX�WtD�HV�PHQRU�FRQ�FXDWUR�DxRV��¢&XiQWRV�DxRV�WLHQHQ�HO�WtR��OD�VREULQD��VX�SDGUH�\�VX�WtD"

Solución

3DUD�VX�VROXFLyQ�QRV�DSR\DUHPRV�HQ�OD�WDEOD������6HD�x�OD�HGDG�DFWXDO�GHO�WtR�y y edad actual de la sobrina. A partir de estos resultados, se hallará la edad del SDGUH�GH�OD�QLxD�\�GH�VX�WtD�

� ���� ���

años. =

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Edadactual

Edad dentrode dos años

Tío x x+ 2

Sobrina y \����

7DEOD������5HVXPHQ�GH�GDWRV�GHO�SUREOHPD

Según el problema, el cuadrado de la edad actual de la sobrina excede en un DxR�D�OD�HGDG�GHO�WtR��HV�GHFLU��\�� �[�����

<�GHQWUR�GH�GRV�DxRV��HO�Vp[WXSOH�GH�OD�HGDG�GH�OD�VREULQD�H[FHGH�HQ�FXDWUR�DxRV�D�OD�HGDG�GHO�WtR��HV�GHFLU�����y������ �� x����������

Para hallar las soluciones de las ecuaciones ᬅ���ᬆǡ utilizaremos la técnica de sustitución. De la ecuación ᬆ despejamos x , es decir:

���y������ �� x����������฿ x� ��y�����

y sustituimos en ᬅǡ�obteniendo el valor de y , es decir:

y�� �x����฿ y�� ��y�������฿ y����y���� ���

y�����y��� ��฿�� y�����y���� ���฿ y ���R�y� ����

el valor de y negativo no puede ser solución, ya que hablamos de edades, entonces y� ���VXVWLWXLPRV�HQ�x� ��y������SDUD�KDOODU�HO�YDORU�GH x , es decir:

[� ��\�����฿�[� ����������� ����

(QWRQFHV�OD�HGDG�GHO�WtR�HV����DxRV�\�OD�HGDG�GH�VREULQD�HV�VLHWH�DxRV��3DUD�KDOODU�OD�HGDG�GHO�SDGUH�GH�OD�QLxD��VDEHPRV�TXH�HO�WtR�HV�PD\RU�FRQ�GRV�DxRV��HV�GHFLU��OD�HGDG�GHO�SDGUH�HV����DxRV�\�OD�WtD�HV�PHQRU�FRQ�FXDWUR��HQWRQFHV��WLHQH����xRV�

2.11. Tabla mágica de polinomios

(Q�OD�WDEOD������HVFRMD�XQD�¿OD��R�FROXPQD���VHOHFFLRQH�XQ�SROLQRPLR�\�StQWHOR�R�HQFLHUUH�HQ�XQ�FtUFXOR��UHSLWD�OD�PLVPD�DFFLyQ�FRQ�ODV�GHPiV�¿ODV��R�FROXPQDV�����

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$O�¿QDO�HQ�FDGD�XQD�GH�ODV�¿ODV�\�FROXPQDV�GHEH�TXHGDU�SLQWDGR�R�HQFHUUDGR�HQ�XQ�FtUFXOR�XQ�~QLFR�SROLQRPLR��6XPH�ORV�FXDWUR�SROLQRPLRV�SLQWDGRV�R�HQFHUUD-GRV�HQ�XQ�FtUFXOR��\�FRPSUXHEH�TXH�HO�SROLQRPLR�UHVXOWDQWH��IDFWRUL]DGR�HV

��[������[����[���

Solución

A continuación, se muestran tablas con cuatro polinomios pintados luego de KDEHU�UHDOL]DGR�ODV�DFFLRQHV�VROLFLWDGDV�SRU�HO�SUREOHPD��<�VH�FRPSUXHED�TXH�OD�VXPD�GH�HVRV�SROLQRPLRV�XQD�YH]�IDFWRUL]DGR�HV��[�–����[�–����[�–����

$O�VXPDU�ORV�SROLQRPLRV�TXH�DSDUHFHQ�SLQWDGRV�HQ�OD�WDEOD������REWHQHPRV�

�x� –�x� + x –� �x� �x� –��x�������x –��� �x� –���x� + x –���

–��x������x –�� �x� –��x������x –��x������x –���� –��x������x –���

–��x������x���� �x� –��x������x���� –��x������x –��� –��x������x –��

–��x������x �x� –��x������x���� –�x������x –��� –��x������x –��

�x� –�x� + x –� �x� �x� –��x�������x –��� �x� –���x� + x –���

–��x������x –�� �x� –��x������x –��x������x –���� –��x������x –���

–��x������x���� �x� –��x������x���� –��x������x –��� –��x������x –��

–��x������x �x� –��x������x���� –�x������x –��� –��x������x –��

7DEOD������7DEOD�PiJLFD�GH�SROLQRPLRV��[�

7DEOD������7DEOD�PiJLFD�FRQ�FXDWUR�SROLQRPLRV�SLQWDGRV��SRVLELOLGDG���

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6L� DO� SROLQRPLR�REWHQLGR�� DSOLFDPRV� OD� UHJOD� GH�5XI¿QL� SDUD� IDFWRUDUOR� VH�REWLHQH�����x� –���x�������x –����� ��x –�����x –�����x –�����

$O�VXPDU�ORV�FXDWUR�SROLQRPLRV�TXH�DSDUHFHQ�SLQWDGRV�HQ�OD�WDEOD������REWHQH-mos: –��[������[��������[� –��[������[�������[� –�[������[�–����–��[������[�–���� ����[� –��[�–��[� –��[� –�[� –��[������[�����[�����[�����[��������–����–���� ��[� –���[�������[�–�����

$O� LJXDO�TXH�HQ�HO�FDVR�DQWHULRU��VL�DO�SROLQRPLR�REWHQLGR��[� –���[������[�������DSOLFDPRV�OD�UHJOD�GH�5XI¿QL�SDUD�IDFWRUDUOR�VH�REWLHQH��[�–����[�–����[�–����

�x� –�x� + x –� �x� �x� –��x�������x –��� �x� –���x� + x –���

–��x������x –�� �x� –��x������x –��x������x –���� –��x������x –���

–��x������x���� �x� –��x������x���� –��x������x –��� –��x������x –��

–��x������x �x� –��x������x���� –�x������x –��� –��x������x –��

7DEOD������7DEOD�PiJLFD�FRQ�FXDWUR�SROLQRPLRV�SLQWDGRV��SRVLELOLGDG���

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�x� –�x� + x –� �x� �x� –��x�������x –��� �x� –���x� + x –���

–��x������x –�� �x� –��x������x –��x������x –���� –��x������x –���

–��x������x���� �x� –��x������x���� –��x������x –��� –��x������x –��

–��x������x �x� –��x������x���� –�x������x –��� –��x������x –��

7DEOD������7DEOD�PiJLFD�FRQ�FXDWUR�SROLQRPLRV�SLQWDGRV��SRVLELOLGDG���

$O� VXPDU� ORV� FXDWUR� SROLQRPLRV� TXH� DSDUHFHQ� SLQWDGRV� HQ� OD� WDEOD� �����obtenemos:

–��[������[����[� –��[������[�–��[������[�–������[� –���[� + x –���� ��[�����[� –��[� –��[� –��[� –���[������[�����[�����[���[�–���–���� ��[� – ��[������[�–���

6L�D��[� –��[������[�–����DSOLFDPRV�OD�UHJOD�GH�5XI¿QL�SDUD�IDFWRUDUOR�REWHQHPRV��[�–����[�–����[�–����

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CAPÍTULO 3. RAZONAMIENTO NUMÉRICO

3.1. Problema de la medida7HQHPRV�GRV�YDVLMDV��XQD�GH����OLWURV�\�OD�RWUD�GH�VLHWH�OLWURV��4XHUHPRV�UH-

FRJHU�H[DFWDPHQWH�VHLV�OLWURV�GH�DJXD�VLQ�OD�D\XGD�GH�QLQJXQD�RWUD�YDVLMD��¢&yPR�UHVROYHUOR"��7XDSDQWD��������

Solución

���3ULPHUR�OOHQDPRV�OD�YDVLMD�GH�VLHWH�OLWURV��\�YDFLDPRV�HQ�OD�GH����OLWURV��IDOWD�SRU�OOHQDU�HQ�HVWD�FXDWUR�OLWURV��YHU�¿JXUD������

���1XHYDPHQWH�OOHQDPRV�OD�YDVLMD�GH�VLHWH�OLWURV��\�FRPSOHWDPRV�HO�FRQWHQLGR�GH�OD�GH�����TXHGiQGRQRV�HQ�OD�GH�VLHWH��WUHV�OLWURV��YHU�¿JXUD������

)LJXUD������3ULPHUD�IDVH�GH�OOHQDGR�\�YDFLDGR

)LJXUD������6HJXQGD�IDVH�GH�OOHQDGR�\�YDFLDGR

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���9DFLDPRV�OD�YDVLMD�GH�����\�ORV�WUHV�OLWURV�GH�OD�GH�VLHWH��ORV�FRORFDPRV�HQ�OD�GH�����YHU�¿JXUD������

���9ROYHPRV�D�OOHQDU�OD�GH�VLHWH�OLWURV��\�OD�YDFLDPRV�HQ�OD�YDVLMD�GH�����FRQ�OR�FXDO�VH�REWLHQHQ����OLWURV��IDOWiQGRQRV�SRU�OOHQDU�HQ�OD�PLVPD�XQ�OLWUR��YHU�¿JXUD����

���3RU�~OWLPD�YH]��OOHQDPRV�OD�YDVLMD�GH�VLHWH�OLWURV�\�FRPSOHWDPRV�HO�FRQWHQLGR�GH�OD�GH�����TXHGiQGRQRV�HQ�OD�YDVLMD�GH�VLHWH�OLWURV�XQ�WRWDO�GH�VHLV�OLWURV��FRQ�OR�FXDO�VH�OOHJD�D�OD�VROXFLyQ�GHO�SUREOHPD��YHU�¿JXUD�������

)LJXUD������7HUFHUD�IDVH�GH�OOHQDGR�\�YDFLDGR

)LJXUD������&XDUWD�IDVH�GH�OOHQDGR�\�YDFLDGR�

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MATEMÁTICA LÚDICA

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)LJXUD������)DVH�¿QDO�GH�OOHQDGR�\�YDFLDGR

£)iFLO��¢9HUGDG"

3.2. El gato trepador

8Q�JDWR�VH�FD\y�D�XQ�SR]R�TXH�WLHQH�XQD�SURIXQGLGDG�GH����PHWURV��,QPHGLD-WDPHQWH�VH�SXVR�D�WUHSDU�SDUD�LQWHQWDU�VDOYDUVH��&DGD�GtD�VXEtD�WUHV�PHWURV��SHUR�OXHJR�VH�HVFXUUtD�\�EDMDED�GRV�PHWURV��JDWR�YDQLGRVR���¢&XiQWRV�GtDV�WDUGDUi�HQ�VDOLU�GHO�SR]R"��7XDSDQWD��������

Solución

Según las condiciones planteadas por el problema:

El primer día: el gato sube hasta encontrarse a la altura de tres metros sobre el fondo del pozo, pero al mismo tiempo, por ser vanidoso, retrocede dos metros, encontrándose ahora a la altura de un metro del fondo.

El segundo día: vuelve a subir, desde el primer metro hasta el cuarto metro, pero en el mismo instante baja dos metros, quedándose a una altura de dos metros.

El tercer día: el gato sube desde el segundo metro hasta el quinto metro, pero vuelve a resbalarse dos metros, quedándose a una altura de tres metros. El JDWR��HQ�UHDOLGDG��VXEH�XQ�XQ�PHWUR�SRU�GtD��SXHV�VXEH�WUHV�\�UHVEDOD�GRV���DVt�HQ�HO�VpSWLPR�GtD�HO�JDWR�QR�KDEUi�VDOLGR�WRGDYtD�GHO�SR]R��SXHV�VH�HQFRQWUDUi�D�XQD�altura de siete metros del fondo.

El octavo día: el gato logrará su cometido, pues al encontrarse a siete metros de altura, subirá nuevamente tres metros adicionales y ya no tendrá necesidad de HVFXUULUVH��SXHV�KDEUi�VDOLGR�GHO�SR]R��YHU�¿JXUD������

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3.3. El poblado

En un poblado, hay siete casas; cada casa tiene siete gatos; cada gato mata VLHWH�UDWRQHV�TXH��D�VX�YH]��VH�KDEtDQ�FRPLGR�FDGD�XQR�VLHWH�HVSLJDV�GH�WULJR��\�FDGD�XQD�GH�HVWDV�HVSLJDV�GH� WULJR��DO� VHPEUDUODV��SURGXFLUtDQ�VLHWH�DUUREDV�GH�JUDQR��¢&XiO�HV�HO�WRWDO�GH�JUDQR"��7XDSDQWD��������

Solución

Como vemos, el número siete es sin lugar a duda la clave para nuestro razo-namiento; por consiguiente, para dar solución a este problema, debemos proceder como sigue: hay siete casas, y en cada casa habitan siete gatos:

Cada gato mata siete ratones:

Los ratones se comen siete espigas de trigo cada uno:

1

1d 2d 3d 4d 5d 6d 7d 8d

2 22

22

22

2 33

33

33

33

3456789

10 m

)LJXUD�����1~PHUR�GH�GtDV�SDUD�VDOLU�GH�XQ�SR]R�GH����P

gatos��casagatos �

casas �

* =

ratones �

gatoratones �

gatos� ��

* =

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MATEMÁTICA LÚDICA

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espigas �ratónespigas �

ratones� ��

* =

&DGD�HVSLJD�SURGXFLUtD�VLHWH�DUUREDV�GH�JUDQR�

(Q�UHVXPHQ��HO�WRWDO�GH�JUDQR�TXH�VH�SURGXFLUtD�FRQ�ODV�HVSLJDV�TXH�VH�FRPLH-URQ�WRGRV�ORV�UDWRQHV�VHUtD����� ��������DUUREDV�GH�JUDQR�

3.4. La edadTres personas, Andrés, Milton y Carlos, dicen lo siguiente:

Andrés:�<R�WHQJR����DxRV��\�GRV�PHQRV�TXH�0LOWRQ�\�XQR�PiV�TXH�&DUORV�

Milton: No soy el más joven, Carlos y yo tenemos tres años de diferencia. &DUORV�WLHQH����DxRV�

Carlos:�<R�VR\�PiV�MRYHQ�TXH�$QGUpV��$QGUpV�WLHQH����DxRV��0LOWRQ�WLHQH�tres años más que Andrés.

Determine la edad de cada una de las personas sabiendo que únicamente una GH�ODV�D¿UPDFLRQHV�TXH�KDFH�FDGD�SHUVRQD�HV�IDOVD���7XDSDQWD��������

Solución

3DUD�UHVROYHU�HO�SUREOHPD�GHEHPRV�DQDOL]DU�ODV�D¿UPDFLRQHV�GH�ODV�WUHV�SHU-VRQDV�\� FRPSUREDU� DVt� VX�YHUDFLGDG��(PSHFHPRV�EXVFDQGR�SDUHMDV�GH� D¿UPD-FLRQHV�TXH�VH�SXHGDQ�FRQWUDGHFLU��UHGXFLHQGR�DVt�HO�Q~PHUR�GH�SRVLELOLGDGHV�\�ahorrando mucho esfuerzo en la resolución del problema.

5HYLVHPRV�OD�SULPHUD�D¿UPDFLyQ�GH�$QGUpV��³\R�WHQJR����DxRV´��eVWH�HQXQ-FLDGR�FRQWUDGLFH�FRQ�OR�GLFKR�SRU�&DUORV��³$QGUpV�WLHQH����DxRV´��(Q�HO�VHJXQGR�HQXQFLDGR�GH�$QGUpV��³\R�WHQJR�GRV�DxRV�PHQRV�TXH�0LOWRQ´�� OH�FRQWUDGLFH�OD�D¿UPDFLyQ�GH�&DUORV��³0LOWRQ� WLHQH� WUHV�DxRV�PiV�TXH�$QGUpV´��<�HQ�HO� WHUFHU�HQXQFLDGR�GH�$QGUpV��³<R�WHQJR�XQ�DxR�PDV�TXH�&DUORV´��FRLQFLGH�FRQ�OR�TXH�GLFH�&DUORV��³\R�VR\�PiV�MRYHQ�TXH�$QGUpV´�

6XSRQJDPRV�TXH�OD�D¿UPDFLyQ�GH�$QGUpV��³\R�WHQJR����DxRV´�HV�IDOVD��HQWRQFHV�ODV�D¿UPDFLRQHV�³GRV�PHQRV�TXH�0LOWRQ��\�XQR�PiV�TXH�&DUORV´��VHUtDQ�YHUGDGHUDV�

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$QDOLFHPRV�OR�TXH�0LOWRQ�GLFH��³QR�VR\�HO�PiV�MRYHQ´��HVWR�VHUtD�YHUGDGHUR��considerando el análisis anterior, de que Milton es el mayor. Además, él expresa. ³&DUORV�\�\R�WHQHPRV�WUHV�DxRV�GH�GLIHUHQFLD´��OR�FXDO�FRLQFLGH�FRQ�QXHVWUR�UD]R-namiento, porque, si Andrés tiene dos menos que Milton y uno más que Carlos, entonces Milton y Carlos tienen una diferencia de tres años de edad. Todo esto QRV�OOHYD�D�FRQFOXLU�TXH�OD�WHUFHUD�SURSRVLFLyQ�PHQFLRQDGD�SRU�0LOWRQ��³&DUORV�WLHQH����DxRV´��HV�IDOVD�

$QDOLFHPRV�¿QDOPHQWH�OR�TXH�&DUORV�GLFH��³<R�VR\�PiV�MRYHQ�TXH�$QGUpV´��expresión que es correcta, ya que se consideró a Carlos como el menor de todos. /XHJR�LQGLFD�TXH�³$QGUpV�WLHQH����DxRV´��D¿UPDFLyQ�TXH�HV�YHUGDGHUD��\D�TXH�VDWLVIDFH�WRGDV�ODV�FRQGLFLRQHV�FRQVLGHUDGDV�FRPR�FRUUHFWDV��FRQFOX\pQGRVH��¿-QDOPHQWH�� TXH� VX� ~OWLPD� H[SUHVLyQ�� ³0LOWRQ� WLHQH� WUHV� DxRV�PiV� TXH�$QGUpV´��es falsa; este último análisis lo podemos comprobar porque, si dijéramos que la H[SUHVLyQ�HV�YHUGDGHUD��FRQWUDGLUtD��WRGR�OR�TXH�KHPRV�DQDOL]DGR�DQWHULRUPHQWH�

(Q�FRQFOXVLyQ��VL�VDEHPRV�TXH�$QGUpV�WLHQH����DxRV��SRGHPRV�FRQFOXLU�TXH�0LOWRQ� WLHQH����DxRV� �GRV�DxRV�PiV�TXH�$QGUpV��\�&DUORV� WLHQH����DxRV� �XQR�PHQRV�TXH�$QGUpV���(VWDV�VROXFLRQHV�VDWLVIDFHQ� WRGDV� ODV�SURSRVLFLRQHV�FRQVL-GHUDGDV�FRPR�YHUGDGHUDV��OR�TXH�VLJQL¿FD�TXH��QXHVWUD�VXSRVLFLyQ�UHDOL]DGD��IXH�FRUUHFWD��/DV�HGDGHV�GH�ORV�WUHV�FKLFRV�VH�UHVXPHQ�HQ�OD�WDEOD�����

3.5. Las vacas de Newton

6DELHQGR�TXH����YDFDV�KDQ�FRPLGR��HQ����GtDV��OD�KLHUED�GH�XQ�SUDGR�GH����iUHDV�\�TXH����YDFDV�KDQ�FRPLGR��HQ����GtDV��OD�KLHUED�GH�RWUR�SUDGR�GH����iUHDV��VH�GHVHD�VDEHU�FXiQWDV�YDFDV�FRPHUiQ�HQ����GtDV�OD�KLHUED�GH�XQ�SUDGR�GH����iUHDV��7XDSDQWD��������

Nombres Edad

Andrés ��

Milton ��

Carlos ��

7DEOD������(GDGHV�GH�ORV�WUHV�FKLFRV

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7DEOD������1~PHUR�GH�YDFDV��GtDV�\�iUHDV�VHJ~Q�D¿UPDFLRQHV�H�LQFUHPHQWR��IDVH���

Nota: se debe considerar que los tres prados contienen la misma cantidad de hierba por área; además debemos suponer que todas las vacas consumen la misma cantidad.

Solución

$� SULPHUD� YLVWD�� DOJXLHQ� GLUtD� TXH� OD� VROXFLyQ� VH� SXHGH� REWHQHU� KDFLHQGR�una regla de tres, y esto no es cierto. Si procediéramos a hallar la solución del SUREOHPD�FRQ�HVWH�SURFHGLPLHQWR��OD�UHVSXHVWD�VHUtD�YiOLGD�~QLFDPHQWH�SDUD�XQD�D¿UPDFLyQ�GH�ODV�TXH�KDFH�HO�SUREOHPD��SHUR�QR�VH�FXPSOLUtD�SDUD�OD�RWUD�

Debemos, por lo tanto, buscar una relación entre las dos hipótesis que plantea el problema, y aplicarla a la tercera.

6DEHPRV�TXH����YDFDV� FRPHQ�� HQ����GtDV�� OD�KLHUED�GH���� iUHDV� �SULPHUD�D¿UPDFLyQ��

$GHPiV��VDEHPRV�TXH����YDFDV�FRPHQ��HQ����GtDV��OD�KLHUED�GH����iUHDV��VH-JXQGD�D¿UPDFLyQ��

¢&yPR�VH�UHODFLRQDQ�HQWRQFHV�ODV�D¿UPDFLRQHV"�/D�UHVSXHVWD�OD�REWHQHPRV�D�SDUWLU�GHO�DQiOLVLV�GHO�Q~PHUR�GH�YDFDV��HQ�HO�SULPHU�FDVR�WHQHPRV����\�HQ�HO�VHJXQGR�����HV�GHFLU��KDQ�DXPHQWDGR�VHLV�YDFDV�

$QDOLFHPRV� ORV�GtDV�� HQ� OD�SULPHUD� D¿UPDFLyQ� WHQHPRV����\� HQ� OD� VHJXQ-GD�����HV�GHFLU��HO�DXPHQWR�GH�GtDV�HV�WUHV�

)LQDOPHQWH��¢HQ�FXiQWR�DXPHQWDQ�ODV�iUHDV"�����–���� ����iUHDV�GH�DXPHQWR��5HVXPLHQGR�OR�DQWHULRU��ORV�UHVXOWDGRV�VHUtDQ�ORV�SUHVHQWDGRV�HQ�OD�WDEOD�����

Vacas Días Áreas

$ÀUPDFLyQ�� �� �� ��

$ÀUPDFLyQ�� �� �� ��

Incremento � � ��

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Comparemos ahora la segunda condición del problema, con la tercera: no conocemos el aumento ni el número de vacas, por lo que debemos determinarlo.

/RV�GtDV�VRQ����\�����SRU�OR�WDQWR��HO�LQFUHPHQWR�GH�GtDV�HV�WUHV��)LQDOPHQWH��HQ�OD�VHJXQGD�KLSyWHVLV�GHO�SUREOHPD�WHQHPRV����iUHDV�\�HQ�OD�WHUFHUD�WHQHPRV����iUHDV��HVWR�VLJQL¿FD�TXH�VH�KDQ�DXPHQWDGR����iUHDV��YHU�WDEOD������

%XVTXHPRV� DKRUD� XQD� UHODFLyQ� HQWUH� ORV� GRV� LQFUHPHQWRV� HQFRQWUDGRV�� (O�Q~PHUR�GH�GtDV�VH�PDQWLHQH�LJXDO�HQ�DPERV�FDVRV��SHUR�HO�Q~PHUR�GH�iUHDV�TXH�aumentamos se ha duplicado en el segundo caso.

Pensemos, si el incremento en áreas es el doble, conservando el mismo in-FUHPHQWR�HQ�ORV�GtDV�QHFHVDULRV�SDUD�TXH�ODV�YDFDV�FRPDQ�HO�SDVWR��GDGR�TXH�ORV�animales comen la misma cantidad de pasto y los prados tienen la misma canti-dad de hierba por área, entonces concluimos que necesitaré un incremento mayor GH�YDFDV�SDUD�FRQVHUYDU�HVWD�UHODFLyQ��VL�GHMR�HO�PLVPR�LQFUHPHQWR�GH�YDFDV��HV�GHFLU��VHLV��QHFHVLWDUp�XQ�PD\RU�LQFUHPHQWR�GH�GtDV��

3RU�FRQVLJXLHQWH��GXSOLFR�HO�LQFUHPHQWR�GH�YDFDV�GH�VHLV�D����\��FRPR�HQ�OD�VHJXQGD�D¿UPDFLyQ�GHO�SUREOHPD�WHQtDPRV����YDFDV��HQWRQFHV��������� �����

(VWR�VLJQL¿FD�TXH�VH�QHFHVLWDQ����YDFDV�SDUD�TXH�FRPDQ�HQ����GtDV�XQ�SUDGR�GH����iUHDV��7RGR�OR�DQWHULRU��VH�UHVXPH�HQ�OD�WDEOD�����

Vacas Días Áreas

$ÀUPDFLyQ�� �� �� ��

$ÀUPDFLyQ�� �� �� ��

$ÀUPDFLyQ�� " �� ��

,QFUHPHQWR���� � � ��

,QFUHPHQWR���� " � ��

7DEOD������1~PHUR�GH�YDFDV��GtDV�\�iUHDV�VHJ~Q�D¿UPDFLRQHV�H�LQFUHPHQWR��IDVH���

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CESTA ELIMINADA � 2 � 4 5 6

HUEVOS � � �� �� �� ��

RESTO DE HUEVOS �� �� �� �� �� ��

TOTAL �� �� �� �� �� ��

Vacas Días Áreas

$ÀUPDFLyQ�� �� �� ��

$ÀUPDFLyQ�� �� �� ��

$ÀUPDFLyQ�� �� �� ��

Incremento � � ��

Incremento �� � ��

7DEOD������1~PHUR�GH�YDFDV��GtDV�\�iUHDV�VHJ~Q�D¿UPDFLRQHV�H�LQFUHPHQWR

7DEOD������(O�FXDGUR�PXHVWUD�ODV�FHVWDV�HOLPLQDGDV�\�HO�Q~PHUR�GH�KXHYRV�UHVWDQWHV�

3.6. Los huevos de gallina y pato

Se dispone de seis cestas que contienen huevos; una de ellas contiene cinco, OD�RWUD�VHLV��\�ODV�UHVWDQWHV��������������\����UHVSHFWLYDPHQWH��(Q�XQD�GH�ODV�FHV-WDV�KD\�KXHYRV�GH�JDOOLQD��HQ�ODV�RWUDV�GH�SDWR��³6L�YHQGR�HVWD�FHVWD�PHGLWDED�HO�YHQGHGRU�PH�TXHGDUi�HO�GREOH�GH�KXHYRV�GH�JDOOLQD�TXH�GH�SDWR´��¢$�TXp�FHVWD�VH�UH¿HUH�HO�YHQGHGRU"��3HUHOPDQQ��������S������

Solución

Determinemos la cesta que se va a vender para que quede el doble de huevos de gallina que de pato. Procedamos entonces a la posible venta de cada una de las cestas y registramos el número de huevos que sobra en cada caso. Por ejemplo, VL�YHQGH�OD�FHVWD�XQR��TXH�FRQWLHQH�FLQFR�KXHYRV��QRV�TXHGDUtDQ����GH�XQ�WRWDO�GH����KXHYRV��\�DVt�VXFHVLYDPHQWH��YHU�WDEOD�����

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Para que pueda cumplirse que el número de huevos de gallina sea el doble TXH�ORV�GH�SDWR��HO�Q~PHUR�VREUDQWH�GH�KXHYRV�GHEH�VHU�GLYLVLEOH�SDUD�WUHV��SRU�HMHPSOR��VL�WHQHPRV�FXDWUR�KXHYRV�GH�SDWR��HO�GREOH�GH�KXHYRV�GH�JDOOLQD�VHUtD�RFKR�\�HO�Q~PHUR�WRWDO�GH�KXHYRV�HV�����Q~PHUR�GLYLVLEOH�SDUD�WUHV���OR�PLVPR�VH�cumple para cualquier cantidad de huevos de pato y el doble de gallina.

Veamos cuáles de las cantidades sobrantes en huevos son divisibles para tres �YHU�WDEOD������

En conclusión, podemos vender los huevos únicamente de las cestas uno, cuatro, cinco y seis para que se cumpla la condición antes mencionada.

¢&yPR�GHWHUPLQDPRV�DKRUD�OD�FHVWD�D�OD�TXH�VH�UH¿HUH�HO�YHQGHGRU"�'H�ORV�UHVWRV�GH�KXHYRV��DO�VHU�YHQGLGDV�ODV�FHVWDV����������\���������FRUUHVSRQGHUtDQ�D�ORV�KXHYRV�GH�SDWR�\�����D�ORV�GH�JDOOLQD��SDUD�VH�FXPSOH�OD�UHODFLyQ�GHO�GREOH�GH�KXHYRV�GH�JDOOLQD�TXH�GH�SDWR���YHU�WDEOD������

CESTA ELIMINADA � 2 � 4 5 6

HUEVOS � � �� �� �� ��

RESTO DE HUEVOS �� �� �� �� �� ��

',9,6,%/(�325�� SÍ NO NO SÍ SÍ SÍ

CESTA ELIMINADA � 2 � 4 5 6

HUEVOS � � �� �� �� ��

RESTO DE HUEVOS �� �� �� �� �� ��

',9,6,%/(�325�� SÍ NO NO SÍ SÍ SÍ

�����+��'(�*$//,1$� �� �� �� ��

�����+��'(�3$72� �� �� �� ��

7DEOD������&HVWDV�HOLPLQDGDV��Q~PHUR�GH�KXHYRV�UHVWDQWHV�\�VX�GLYLVLELOLGDG�SDUD�WUHV�

7DEOD������&HVWDV�TXH�FXPSOHQ�\�QR�FXPSOHQ�FRQ�ODV�FRQGLFLRQHV�GHO�YHQGHGRU

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607DEOD�������7DEOD�PiJLFD

6L�YHQGHPRV� OD�FHVWD�XQR�� WHQGUHPRV�XQ�VREUDQWH�GH����KXHYRV�GH�JDOOLQD�\����GH�SDWR��$O�YHQGHU�OD�FHVWD�FXDWUR��WHQGUHPRV�XQ�VREUDQWH�GH����KXHYRV�GH�JDOOLQD�\����GH�SDWR��9HQGLHQGR�OD�FHVWD�FLQFR��QRV�VREUDUtDQ����KXHYRV�GH�JDOOLQD�\����GH�SDWR��3HUR�DO�YHQGHU�OD�FHVWD�VHLV��QRV�TXHGDUtDQ����KXHYRV�GH�JDOOLQD�\����de pato. Tenemos entonces al momento cuatro soluciones posibles, pero debemos buscar la que se acomode perfectamente al número de huevos que sobran en las otras cestas.

6L�YHQGHPRV�OD�FDQDVWD�XQR��ORV�Q~PHURV����\����QR�VH�REWHQGUtDQ�GH�OD�VXPD�del número de los huevos que quedan en las canastas restantes, es decir, ninguna FRPELQDFLyQ�GH���������������\����KXHYRV�VREUDQWHV��DO�VHU�VXPDGRV�QRV�GDUtD�HO�par de números buscados; igual sucede al vender las canastas cuatro y seis, no se SRGUiQ�REWHQHU�ODV�SDUHMDV�GH�Q~PHURV��������\��������

6L�YHQGHPRV�OD�FDQDVWD�FLQFR�GH����KXHYRV��QRV�TXHGDQ�

������ ����KXHYRV�GH�SDWR��FDQDVWDV���\����

������������ ����KXHYRV�GH�JDOOLQD��FDQDVWDV������\����

�3RU�OR�WDQWR��OD�FDQDVWD�D�OD�TXH�VH�UHIHUtD�HO�YHQGHGRU�HV�OD�GH����KXHYRV��OD�cual vende.

3.7. La tabla mágica(Q�OD�WDEOD������HVFRMD�XQD�¿OD��R�FROXPQD���VHOHFFLRQH�XQ�Q~PHUR�\�StQWHOR�

R�HQFLHUUH�HQ�XQ�FtUFXOR��UHSLWD�OD�PLVPD�DFFLyQ�FRQ�ODV�GHPiV�¿ODV��R�FROXPQDV���DO�¿QDO�HQ�FDGD�XQD�GH�ODV�¿ODV�\�FROXPQDV�GHEH�TXHGDU�SLQWDGR�R�HQFHUUDGR�HQ�XQ�FtUFXOR�XQ�~QLFR�Q~PHUR��6XPH�ORV�RFKR�Q~PHURV�TXH�TXHGDURQ�SLQWDGRV�\�FRPSUXHEH�TXH�HO�UHVXOWDGR�HV�����DGDSWDFLyQ�GHO�MXHJR�TXH�DSDUHFH�EDMR�HO�WtWXOR�³0DJLF�ZLWK�D�PDWUL[´���(]TXHUUD��������SS���������

�� � �� �� �� �� ��� ���� � �� �� � �� ��� ��� �� �� � �� �� ��� �� �� �� � �� �� ��� ���� �� � ��� � � ��� ����� �� �� �� �� �� � ����� � � ��� � � ��� ������ �� � ��� � � ��� ���

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Solución

A continuación, se muestran algunas tablas en las que aparece pintado ocho Q~PHURV�OXHJR�GH�KDEHU�UHDOL]DGR�ODV�DFFLRQHV�VROLFLWDGDV�SRU�HO�SUREOHPD��<�VH�FRPSUXHED�TXH�HO�UHVXOWDGR�GH�OD�VXPD�GH�HVRV�Q~PHURV�HV����

$O�VXPDU�ORV�Q~PHURV�TXH�DSDUHFHQ�SLQWDGRV�HQ�OD�WDEOD������REWHQHPRV�

–���������������������–����–��� �����

$O�VXPDU�ORV�Q~PHURV�TXH�DSDUHFHQ�SLQWDGRV�HQ�OD�WDEOD�������REWHQHPRV���������–��������–�����������–��� ���

7DEOD�������7DEOD�PiJLFD

7DEOD�������7DEOD�PiJLFD�FRQ�RFKR�Q~PHURV�SLQWDGRV��SRVLELOLGDG���

�� � �� �� �� �� ��� ���� � �� �� � �� ��� ��� �� �� � �� �� ��� �� �� �� � �� �� ��� ���� �� � ��� � � ��� ����� �� �� �� �� �� � ����� � � ��� � � ��� ������ �� � ��� � � ��� ���

�� � �� �� �� �� ��� ���� � �� �� � �� ��� ��� �� �� � �� �� ��� �� �� �� � �� �� ��� ���� �� � ��� � � ��� ����� �� �� �� �� �� � ����� � � ��� � � ��� ������ �� � ��� � � ��� ���

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7DEOD�������7DEOD�PiJLFD�FRQ�RFKR�Q~PHURV�SLQWDGRV��SRVLELOLGDG���

7DEOD�������7DEOD�PiJLFD�FRPSOHWD���

�� � �� �� �� �� ��� ���� � �� �� � �� ��� ��� �� �� � �� �� ��� �� �� �� � �� �� ��� ���� �� � ��� � � ��� ����� �� �� �� �� �� � ����� � � ��� � � ��� ������ �� � ��� � � ��� ���

$O�VXPDU� ORV�Q~PHURV�TXH�DSDUHFHQ�SLQWDGRV�HQ� OD� WDEOD�������REWHQHPRV����������–����������–��–�� ����

NOTA:�VH�SXHGH�GHGXFLU�GH�ODV�WUHV�WDEODV�DQWHULRUHV�TXH��HQ�FDGD�¿OD�R�FR-OXPQD��GHEH�KDEHU�XQ�VROR�Q~PHUR�SLQWDGR��R�HQFHUUDGR�HQ�XQ�FLUFXOR���SDUD�TXH�se cumplan las condiciones exigidas por el problema.

Si se preguntan, cómo es posible que se sepa de antemano que la suma sea VLHPSUH�����DO�VXPDU�FXDOTXLHU�FRPELQDFLyQ�GH�RFKR�Q~PHURV�SLQWDGRV��R�HQFH-UUDGRV�HQ�XQ�FtUFXOR��EDMR�ODV�FRQGLFLRQHV�H[LJLGDV�SRU�HO�SUREOHPD��OHV�GLUH�TXH�OD�UHVSXHVWD�HVWD�HQ�OD�WDEOD�������(Q�HOOD�DSDUHFHQ�XQD�QXHYD�¿OD�\�FROXPQD��TXH�IXHURQ�RFXOWDGRV�HQ�OD�WDEOD������FRQ�ORV�VXPDQGRV�GH�ORV�Q~PHURV�REWHQLGRV�HQ�OD�WDEOD�DQWHV�PHQFLRQDGD��6L�D�ORV�Q~PHURV�TXH�DSDUHFHQ�HQ�OD�¿OD�\�FROXPQD�RFXOWDGD�ORV�VXPDPRV�REWHQGUHPRV�FRPR�UHVXOWDGR����

+ �� 7 �� �� �� �� ��� ��

2 �� � �� �� �� �� ��� ��

�� �� � �� �� � �� ��� ��

8 � �� �� � �� �� ��� �

6 � �� �� � �� �� ��� �

�� ��� �� � ��� � � ��� ���

�� �� �� �� �� �� �� � ��

�� ��� � � ��� � � ��� ���

��� ��� �� � ��� � � ��� ���

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(QWRQFHV��SDUD�VDEHU�OD�VXPD�GH�ORV�RFKR�Q~PHURV�SLQWDGRV��R�HQFHUUDGRV�HQ�FtUFXORV���EDVWD�FRQ�VXPDU�ORV�Q~PHURV�GH�OD�¿OD�\�FROXPQD�TXH�IXHURQ�RFXOWDGRV�SDUD�HO�OHFWRU��HQ�QXHVWUR�FDVR�VXPDPRV�ORV�Q~PHURV�GH�OD�¿OD�\�FROXPQD�SLQWDGRV�HQ�OD�WDEOD������

Fila: –���������–�����������–����–��� ����Columna: ��–����������–��������–���–��� ����$O�VXPDU�ORV�GRV�UHVXOWDGRV�REWHPRV����

3.8. Diversas tablas mágicas

Para que una tabla numérica sea considerada mágica, en cada una de las casillas que conforman la misma, se deben colocar números sin repetir, de modo GH�REWHQHU�VLHPSUH�OD�PLVPD�VXPD��HQ�FDGD�¿OD��HQ�FDGD�FROXPQD�\�HQ�FDGD�GLD-gonal.

3DUD�FRQVWUXLU�ODV�WDEODV�PiJLFDV��TXH�DTXt�VH�SUHVHQWDQ��VH�XWLOL]DQ�Q~PHURV�que son elementos de una sucesión aritmética.

Nota: una sucesión de números es aritmética si la diferencia de dos términos consecutivos cualesquiera de la secuencia es una constante. Por ejemplo:

• ����������������������������HV�XQD�VXFHVLyQ�DULWPpWLFD��SRUTXH�OD�GLIHUHQFLD�HQWUH�FXDOTXLHU�SDUHMD�GH�HOHPHQWRV�FRQVHFXWLYRV�HV������–��� ���–��� ���–��� �����

• ���������������������������������HV�XQD�VXFHVLyQ�DULWPpWLFD��\�OD�GLIHUHQFLD�HQWUH�FXDOTXLHU�SDUHMD�GH�HOHPHQWRV�FRQVHFXWLYRV�HV������–��� �–���–��–��� �–���–��–���� �–����

Construir las tablas mágicas, en cada uno de los casos, bajo las condiciones pedidas:

D�� &RORFDU�ORV�Q~PHURV����������������������������\����HQ�ODV�FDVLOODV�GH�XQD�WDEOD�GH��[���GH�WDO�IRUPD�TXH�HQ�FDGD�¿OD��FROXPQD�\�GLDJRQDOHV�OD�VXPD�VHD����

Solución

Para colocar los números, lo primero es ordenar en forma descendente o as-cendente: �, �, ����������������, ��, ��.

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/XHJR�LGHQWL¿FDPRV�HO�Q~PHUR�FHQWUDO�\�OR�FRORFDPRV�HQ�OD�FDVLOOD�GHO�FHQWUR�GH�OD�WDEOD��HQ�HVWH�FDVR��HO�����7RPDQGR�FRPR�FHQWUR�HO�����FRJHPRV�ORV�YDORUHV�ODWHUDOHV���\�����\�ORV�XELFDPRV�HQ�ODV�FDVLOODV��HVWH�SURFHGLPLHQWR�OR�UHSHWLPRV�hasta ubicar todos los valores cumpliendo con lo pedido por el problema.

/D�WDEOD�������PXHVWUD�FyPR�TXHGDQ�XELFDGRV�ORV�Q~PHURV�SDUD�TXH�VX�VXPD�WDQWR�HQ�¿ODV��FROXPQDV�\�GLDJRQDOHV�VHD����

E�� &RORFDU�ORV�Q~PHURV�����������������������������\����HQ�ODV�FDVLOODV�GH�XQD�WDEOD��[���GH�WDO�IRUPD�TXH��HQ�FDGD�¿OD��FROXPQD�\�GLDJRQDOHV��OD�VXPD�VHD����

Solución

A igual que en el problema anterior, ordenamos en forma descendente o as-cendente: �����������, ��, ��������������.

,GHQWL¿FDPRV�HO�Q~PHUR�FHQWUDO��HO�����\�OR�FRORFDPRV�HQ�OD�FDVLOOD�GHO�FHQWUR�GH�OD�WDEOD��7RPDQGR�FRPR�FHQWUR�HO�����FRJHPRV�ORV�YDORUHV�ODWHUDOHV���\�����\�los colocamos en las casillas, este procedimiento lo repetimos hasta ubicar todos ORV�YDORUHV� FXPSOLHQGR�FRQ� OR�SHGLGR�SRU� HO�SUREOHPD��/D� WDEOD������PXHVWUD�FRPR�TXHGDQ�XELFDGRV�ORV�Q~PHURV�SDUD�TXH�VX�VXPD�WDQWR�HQ�¿ODV��FROXPQDV�\�GLDJRQDOHV�VHD����

�� � ��

�� �� �� �� �

�� � ��

�� �� �

� �� ��

7DEOD��������7DEOD�PiJLFD�GH��[���FX\D�VXPD�HV����

7DEOD�������7DEOD�PiJLFD�GH��[���FX\D�VXPD�HV���

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F�� &RORTXHPRV�ORV�P~OWLSORV�GH�FLQFR�KDVWD�HO����HQ�ODV�FDVLOODV�GH�XQD�WDEOD��[���GH�WDO�IRUPD�TXH�HQ�FDGD�¿OD��FROXPQD�\�GLDJRQDOHV�OD�VXPD�VHD�����

Nota:�ORV�P~OWLSORV�GHO���KDVWD�HO����VRQ��������������������

���������������������������������������\����

Solución

Ordenamos los números en forma ascendente:

5, ��, ����������������������, ������������������, ��, ��, 80.

,GHQWL¿FDPRV�ODV�SDUHMDV�GH�Q~PHURV�SRU�VXV�FRORUHV�\�OR�XELFDPRV�HQ�ODV�UHVSHFWLYDV�FDVLOODV�FRPR�VH�PXHVWUD�HQ�OD�WDEOD������

&DEH�VHxDODU�TXH�HVWH�WLSR�GH�WDEODV�PiJLFDV�GH��[��VRQ�XQ�SRFR�PiV�FRPSOL-cadas de construir, como lo puede evidenciar el lector.

3.9. La matriz mágica

(Q�OD�WDEOD�������HVFRMD�XQD�¿OD��R�FROXPQD���VHOHFFLRQH�XQD�PDWUL]�\�StQWHOD�HQFLHUUH�HQ�XQ�FtUFXOR��UHSLWD�OD�PLVPD�DFFLyQ�FRQ�ODV�GHPiV�¿ODV��R�FROXPQDV���DO�¿QDO�HQ�FDGD�XQD�GH�ODV�¿ODV�\�FROXPQDV�GHEH�TXHGDU�SLQWDGR�R�HQFHUUDGR�HQ�XQ�FtUFXOR�XQD�~QLFD�PDWUL]�

Sume las cuatro matrices pintadas o encerradas en un

FtUFXOR��\�FRPSUXHEH�TXH�OD�PDWUL]�UHVXOWDQWH�HV

Nota: una matriz es un arreglo de la forma

� �� �� ��

�� �� �� ��

�� �� �� ��

�� �� �� ��

7DEOD�������7DEOD�PiJLFD�GH��[���FX\D�VXPD�HV����

�������

_

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La operación de suma entre las matrices

VH�GH¿QH�GH�OD�VLJXLHQWH�IRUPD�

Solución

A continuación, se muestran algunas tablas con cuatro matrices pintadas, lue-JR�GH�KDEHU�UHDOL]DGR�ODV�DFFLRQHV�VROLFLWDGDV�SRU�HO�SUREOHPD��<�VH�FRPSUXHED�que el resultado de la suma de esas matrices es

7DEOD�������7DEOD�PiJLFD�GH�PDWULFHV

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7DEOD��������7DEOD�FRQ�FXDWUR�PDWULFHV�SLQWDGDV��SRVLELOLGDG���

7DEOD��������7DEOD�FRQ�FXDWUR�PDWULFHV�SLQWDGDV��SRVLELOLGDG���

$O�VXPDU�ODV�PDWULFHV�TXH�DSDUHFHQ�SLQWDGDV�HQ�OD�WDEOD�������REWHQHPRV�

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<�DO�VXPDU�ODV�PDWULFHV�TXH�DSDUHFHQ�SLQWDGRV�HQ�OD�WDEOD�������REWHQHPRV�

6XPDQGR�ODV�PDWULFHV�SLQWDGRV�HQ�OD�WDEOD�������QRV�GD�

3.10. Figuras de un solo trazo

3DUD�FRQVWUXLU�XQD�¿JXUD�GH�XQ�VROR�WUD]R��HV�GHFLU��VLQ�OHYDQWDU�HO�OiSL]�GHO�SDSHO�QL�SDVDU�GRV�YHFHV�SRU�HO�PLVPR�OXJDU��GHEHPRV�LGHQWL¿FDU�OD�FDQWLGDG�GH�YpUWLFHV�SDUHV��SXQWR�HQ�HO�FXDO�FRQFXUUHQ�XQ�Q~PHUR�SDU�GH� OtQHDV��H� LPSDUHV��SXQWR�HQ�HO�FXDO�FRQFXUUHQ�XQ�Q~PHUR�LPSDU�GH�OtQHDV��TXH�WLHQH�OD�¿JXUD�

6L�WRGRV�ORV�YpUWLFHV�VRQ�SDUHV��OD�¿JXUD�SXHGH�VHU�GLEXMDGD�GH�XQ�VROR�WUD]R��

7DEOD�������7DEOD�FRQ�FXDWUR�PDWULFHV�SLQWDGDV��SRVLELOLGDG���

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6L�WLHQH�GRV�YpUWLFHV�LPSDUHV��OD�¿JXUD�SXHGH�VHU�GLEXMDGD�GH�XQ�VROR�WUD]R��6H�comienza en un vértice impar y se termina en el otro vértice impar. Si tiene más GH���YpUWLFHV�LPSDUHV��OD�¿JXUD�QR�VH�SXHGH�GLEXMDU�GH�XQ�VROR�WUD]R�

&RPSUXHEH�VL�ODV�¿JXUDV�TXH�D�FRQWLQXDFLyQ�VH�H[SRQHQ�VH�SXHGHQ�UHDOL]DU�FRQ�XQ�VROR�WUD]R��5HFXHUGH�TXH�OD�¿JXUD�GHEH�VHU�WUD]DGD�VLQ�OHYDQWDU�HO�OiSL]�del papel.

)LJXUD������+HSWiJRQR�\�VXV�GLDJRQDOHV

�)LJXUD������(QGHFiJRQR�\�VXV�GLDJRQDOHV�

�)LJXUD�������7UD]R�LUUHJXODU�GH�XQ�VROR�

)LJXUD������3HQWiJRQR�\�VXV�GLDJRQD-les de un solo trazo.

)LJXUD�������7ULGHFiJRQR�\�VXV�GLDJR-nales de un solo trazo.

)LJXUD�������5HFWiQJXOR�FXDGULFXODGR�de un solo trazo.

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�)LJXUD�������7UD]R�LUUHJXODU�GH�XQ�VROR�

)LJXUD�������)LJXUD�JHRPpWULFD�GH�XQ�VROR����������������trazo

)LJXUD�������)LJXUD�JHRPpWULFD�GH�XQ�VROR�trazo

)LJXUD�������5HFWiQJXOR�FXDGULFXODGR�de un solo trazo

)LJXUD�������)LJXUD�FLOtQGULFD�GH�XQ�solo trazo

)LJXUD�������&tUFXOR�VHFFLRQDGR�GH�XQ�solo trazo

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)LJXUD�������&RUD]yQ�FRQ�¿JXUDV�JHRPp-tricas de un solo trazo.

)LJXUD�������(VFULWXUD�GH�XQ�QRPEUH�FRQ�XQ�VROR�WUD]R�

)LJXUD�������)LJXUD�WULGLPHQFLRQDO�GH�un solo trazo.

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CAPÍTULO 4. PROBLEMAS PROPUESTOS

RAZONAMIENTO LÓGICO

4.1. El roboEn la trifulca de un robo, cinco sospechosos acaban de ser apresados. Pero

no se sabe quién es ladrón y quién es inocente. Comienza el interrogatorio. Ló-gicamente, los inocentes dicen siempre la verdad, mientras los ladrones mienten siempre.

Rubén dice que Miguel es un ladrón Miguel jura que Wilson es inocente Wi-OVRQ� VRVWLHQH�TXH� -DLPH�HV�XQ� ODGUyQ� -DLPH�D¿UPD�TXH�0DULR�HV� LQRFHQWH��3DUD�Mario, Miguel y Wilson son ladrones

¢4XLpQHV�VRQ�ORV�ODGURQHV�<�TXLpQHV�VRQ�ORV�LQRFHQWHV"��7XDSDQWD��������

4.2. Paseo de amigosGabriel, Mauro y Jorge se pasean en bicicletas. Cada uno está en la bicicleta

GH�XQR�GH�VXV�DPLJRV�\�WLHQH�SXHVWR�HO�FDVFR�GHO�RWUR��¢4XLpQ�OOHYD�HO�FDVFR�GH�*DEULHO�\�OD�ELFLFOHWD�GH�0DXUR"�¢4XLpQ�OOHYD�HO�FDVFR�GH�-RUJH�\�OD�ELFLFOHWD�GH�*DEULHO"��7XDSDQWD��������

4.3. El robo de joyasEl ama de llaves de la señorita Verónica decide robar las joyas de su patrona.

Estas están guardadas en cuatro cajas de colores diferentes: amarilla, roja, azul y verde.

El ama de llaves recuerda que cada caja contiene dos objetos diferentes. Una caja guarda una esclava y unos pendientes; otra un anillo de diamantes y un collar de perlas.

La caja roja contiene una esclava y un anillo de diamantes. La caja amarilla está situada entre la roja y la azul.

La caja roja está situada a la derecha de la verde.

Cada una de las dos cajas de la derecha contiene un collar de perlas y en cada una de las cajas de la izquierda hay una esclava.

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La caja que se halla a la derecha de la amarilla contiene un collar de perlas y unos pendientes.

Al momento del robo, por miedo a ser sorprendida, el ama de llaves de la señorita Verónica coge las cajas amarilla y verde, y escapa.

¢4Xp�FRQWHQtD�FDGD�XQD�GH�ODV�FDMDV�TXH�UREy"

4.4. La araña trepadora6L�XQD�DUDxD�VXEH���P�\�UHVEDOD���P�VREUH�XQD�SDUHG��VL�SRU�FDGD���P�HQ�VXELU�VH�

GHPRUD�GRV�KRUDV�¢(Q�FXiQWR�WLHPSR�DOFDQ]DUi�XQD�DOWXUD�GH����P"��7XDSDQWD��������

4.5. El herreroA un herrero le entregaron ocho trozos de cadena: cinco trozos de cuatro

eslabones cada uno, dos trozos de cinco eslabones cada uno, y un trozo de seis eslabones; y, le encargaron que los uniera formando una cadena continua. Antes de poner manos a la obra, el herrero comenzó a meditar sobre el número de ani-OORV�TXH�WHQGUtD�QHFHVLGDG�GH�FRUWDU�\�IRUMDU�GH�QXHYR�

'HFLGLy�TXH�OH�KDUtD�IDOWD�DEULU�\�FHUUDU���DQLOORV�

¢(V�SRVLEOH�KDFHU�HO�WUDEDMR�DEULHQGR�\�HQOD]DQGR�XQ�Q~PHUR�PHQRU�GH�DQL-OORV"��$GDSWDFLyQ�DO�SUREOHPD�GH�OD�FDGHQD���3HUHOPDQQ��������S�����

4.6. La medida7HQHPRV�GRV�YDVLMDV��XQD�GH�FLQFR�OLWURV�\�OD�RWUD�GH�WUHV�OLWURV��4XHUHPRV�

recoger exactamente cuatro litros de agua sin la ayuda de ninguna otra vasija. ¢&yPR�UHVROYHUOR"��7XDSDQWD��������

4.7. La fiesta

&XDWUR� SDUHMDV� HVWiQ� GH� ¿HVWD�� VXV� QRPEUHV� VRQ��.DWW\�� (PDQXHO�� )UDQFR��%HWW\��$OH[DQGUD��'XQLD��*XVWDYR�\�+HQU\��(Q�FLHUWR�PRPHQWR��)UDQFR�VH�SRQH�a tocar la trompeta acompañada por Katty al piano. Dunia, que no es la mujer del trompetista, no quiere bailar, Henry se queda sentado para acompañarla. En-tonces, los dos se dan cuenta que la mujer de Emanuel no baila con su marido VLQR�FRQ�HO�GH�$OH[DQGUD��¢4XLpQ�HV�OD�PXMHU�GH�+HQU\"�<�¢TXLpQ�HV�OD�PXMHU�GH�)UDQFR"���7XDSDQWD��������

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4.8. Los amigos de la universidad

Cinco personas que fueron amigas en la Universidad asisten a un Seminario Internacional.

6H�WUDWD�GH�$QGUpV��'LVUDHOt��)UDQFR��(OHQD�\�0D\UD�FX\DV�SURIHVLRQHV�VRQ��DUTXLWHFWR��GLVHxDGRU�JUi¿FR��ItVLFR�QXFOHDU��HOHFWUyQLFR�\�PDWHPiWLFR�

Ellos viven en Argentina, Dinamarca, Francia, España y México, pero ningu-QR�GH�HOORV�YLYH�HQ�HO�SDtV�TXH�WLHQH�OD�PLVPD�LQLFLDO�GH�VX�QRPEUH��QL�HO�QRPEUH�de su ocupación tiene la misma inicial que su nombre o que la del nombre del SDtV�HQ�HO�FXDO�YLYH�

(O�HOHFWUyQLFR�QR�YLYH�HQ�)UDQFLD��(OHQD�QR�HV�GLVHxDGRUD�JUi¿FD��WDPSRFR�vive en Francia ni en Dinamarca.

'LVUDHOt�YLYH�HQ�$UJHQWLQD�\�QR�HV�HOHFWUyQLFR�QL�PDWHPiWLFR��0D\UD�QR�HV�residente en España, como tampoco Andrés, quien no es matemático ni diseñador JUi¿FR��'LVSRQLHQGR�VRODPHQWH�GH�OD�LQIRUPDFLyQ�GDGD�

¢SXHGH�8VWHG�GHWHUPLQDU�HO�QRPEUH�GHO�SDLV�HQ�TXH�UHVLGH��$QGUpV�\�FXiO�HV�VX�SURIHVLyQ"��7XDSDQWD��������

4.9. De compras en el pasaje comercial/DV�VHxRULWDV��0DUtD��0HU\��3DXOLQD��0\ULDQ��0D\UD�\�*ORULD�IXHURQ�MXQWDV�

de compras al pasaje comercial El Caracol.

Cada una de las hermosas y encantadoras señoritas fue directamente al piso HQ�HO�FXDO�VH�KDOODED�HO�DUWtFXOR�GH�UHJDOR�TXH�TXHUtDQ�FRPSUDU��FDGD�XQD�GH�HOODV�FRPSUy�GRV�DUWtFXORV��&RPSUDURQ�XQD�WDUMHWD�GH�QDYLGDG��XQ�JORER��XQ�RVLWR�GH�peluche, una muñeca de trapo, una esclava, un libro, un portarretratos, una caja GH�P~VLFD��XQ�UHORM��XQD�DJHQGD��XQD�OiPSDUD�\�XQ�FUXFL¿MR�

Todas las señoritas, excepto Gloria, entraron en el ascensor en el primer piso. También entraron en el ascensor dos caballeros. Dos señoritas, Paulina y la que compró la esclava y el reloj, descendieron en el segundo piso. En el tercer piso YHQGtDQ�WDUMHWDV�\�JORERV��/RV�FDEDOOHURV�GHVFHQGLHURQ�HQ�HO�FXDUWR�SLVR��/D�VH-ñorita que compró el libro y la agenda descendió en el quinto piso y dejó a Mayra que descendió sola en el sexto piso.

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(Q�OD�¿HVWD�GH�1DYLGDG��0HU\��TXH�UHFLELy�XQD�FDMD�PXVLFDO�\�XQ�FUXFL¿MR�FRPR�UHJDOR�VRUSUHVD�GH�XQD�GH�ODV�VHxRULWDV�TXH�KDEtD�GHVFHQGLGR�HQ�HO�VHJXQGR�piso, presenció el agradecimiento que su enamorado le hiciera por el reloj que diera una de las otras chicas.

6L�HQ�HO�SULPHU�SLVR�VH�YHQGtDQ�UHJDORV�GH�WUDSR�\�IHOID��\�OD�VHxRULWD�0\ULDQ�IXH�OD�VH[WD�SHUVRQD�HQ�VDOLU�GHO�DVFHQVRU��¢TXp�FRVDV�FRPSUDURQ�FDGD�XQD�GH�HVWDV�KHUPRVDV�\�HQFDQWDGRUDV�FKLFDV"��7XDSDQWD��������

4.10. Las tres parejasTres parejas: Henry y Mery, Richard y Tatiana, y Geovanny y Katty, se en-

FXHQWUDQ�MXQWR�D�XQ�UtR�TXH�VH�SURSRQHQ�DWUDYHVDU�

Solo disponen de una pequeña embarcación sin barquero, apta para transpor-tar únicamente dos personas a la vez.

¢&yPR�SDVDUiQ�HVDV�VHLV�SHUVRQDV�GH�PDQHUD�TXH�QLQJXQD�PXMHU�TXHGH�HQ�FRPSDxtD�GH�GRV�KRPEUHV��VL�VX�PDULGR�QR�HVWi�SUHVHQWH"��$GDSWDFLyQ�DO�SUREOH-PD�/RV�WUHV�PDULGRV�FHORVRV���0DOED�7DKDQ��������

4.11. El almuerzoJorge invitó recientemente a almorzar a cinco de sus mejores amigos, ellos

son: Miguel, Jaime, Fernando, Rubén y Julio; los mismos que se sentaron alrede-dor de una mesa circular. Uno de ellos es inteligente, otro trabajador, otro amoro-so, otro divertido, otro es serio y otro es extrovertido. El señor que es inteligente se sentó frente a Julio. El que es extrovertido se sentó frente a Miguel, quien a su vez se sento entre el señor que es inteligente y el que es divertido. El señor que es trabajador se sentó frente a Jorge, junto al señor que es extrovertido y a la izquierda del que es inteligente. El señor que es divertido se sentó entre Miguel y el señor que se sentó enfrente del que es inteligente. Rubén, que es extrovertido se sentó a la izquierda del que es trabajador y frente al que es amoroso.

¢3XHGH�XVWHG�LGHQWL¿FDU�D�FDGD�XQR�GH�HVWRV�DPLJDEOHV�\�UHVSRQVDEOHV�FKLFRV"

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4.12. Los tres candidatosPara escoger un novio entre tres candidatos, un médico, un banquero y un arquitec-

to, una chica decide someterlos a una prueba: sobre la cabeza de cada uno de ustedes se colocará una bola, cuyo color no lo podrán ver, pero si verán el color de la bola colocada sobre la cabeza de los demás. Los colores se escogerán entre cinco bolas, tres verdes y dos amarillas; el primero que diga el color de la bola que tiene sobre su cabeza será mi novio; el que se equivoque será mi sirviente durante un año. Uno de ellos, el arquitecto, TXH�YH�XQD�EROD�YHUGH�VREUH�OD�FDEH]D�GH�ORV�RWURV�GRV��D¿UPD�FRQ�VHJXULGDG��YLHQGR�TXH�ORV�RWURV�GRV�QR�GLFHQ�QDGD���\R�WHQJR�XQD�EROD�YHUGH���([SOLTXH�VX�UD]RQDPLHQWR���$GDSWDFLyQ�GHO�SUREOHPD�/RV�WUHV�QRYLRV�GH�'DKL]H���0DOED�7DKDQ��������S�������

4.13. La reuniónEn una reunión, se encuentran un publicista, un novelista, un dentista y un pro-

fesor. Ellos se llaman Piero, Carlos, Lalo y Luis, no necesariamente en ese orden.

Además:

I. Piero y el publicista están enojados con Luis.

II. Carlos es amigo del profesor.

III. El novelista es familiar de Luis.

IV. El dentista es vecino de Lalo y del profesor.

V. Piero acaba de publicar un libro.

¢4XLpQ�HV� HO�GHQWLVWD"�<�¢TXLpQ�HV�HO�SXEOLFLVWD"��6DQWLOODQD��������S������

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO4.14. La huelga

Los obreros de una fábrica se declaran en huelga. La cuarta parte de ellos FREUD�XQ�MRUQDO�GH�������OD�WHUFHUD�SDUWH�GH�������\�HO�UHVWR�GH�������/D�KXHOJD�GXUy����GtDV�\�DO�UHLQWHJUDUVH�DO�WUDEDMR�VH�OHV�DERQy�OD�VH[WD�SDUWH�GH�OR�TXH�KXELHUDQ�JDQDGR�HQ�ORV����GtDV��FRQ�OR�FXDO�SHUGLHURQ�ORV�REUHURV������������¢&XiQWRV�VRQ�ORV�REUHURV"��7XDSDQWD��������

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4.15. Los cuatro hermanos&XDWUR�KHUPDQRV�WLHQHQ�������6L�HO�GLQHUR�GHO�SULPHUR�HV�DXPHQWDGR�HQ������HO�

GHO�VHJXQGR�UHGXFLGR�HQ������HO�GHO�WHUFHUR�VH�OR�GXSOLFD�\�HO�GHO�FXDUWR�VH�UHGXFH�a la mitad, entonces todos los hermanos tendrán la misma cantidad de dólares. ¢&XiQWR�GLQHUR�WHQtD�FDGD�XQR"��3HUHOPDQ��������S������

4.16. La edad del hijo/D�HGDG�GH�XQ�SDGUH�\�OD�GH�VX�KLMR�VXPDQ����DxRV��6L�HO�SDGUH�WXYLHUD����

DxRV�PHQRV�\�HO�KLMR�VHLV�DxRV�PiV��ORV�GRV�WHQGUtDQ�OD�PLVPD�HGDG��'HQWUR�GH�WUHV�DxRV��FXiO�VHUi�OD�HGDG�GHO�KLMR��6DQWLOODQD��������S������

4.17. Tu edad y la míaSoy mayor en cuatro años que el cuadrado de tu edad, y menor en ocho años

TXH�HO�FXDGUDGR�GH�OD�HGDG�TXH�WHQGUiV�HO�SUy[LPR�DxR��¢&XiOHV�VRQ�QXHVWUDV�HGD-GHV"��6DQWLOODQD��������S������

4.18. Costo de las comprasAl salir de compras de una tienda de Miami, llevaba en el portamonedas unos

����HQ�SLH]DV�GH�����\�SLH]DV�GH����FHQWDYRV�

$O�UHJUHVDU��WUDtD�WDQWDV�PRQHGDV�GH������FRPR�PRQHGDV�GH����FHQWDYRV�TXH�WHQtD�DO�FRPLHQ]R��\� WDQWDV�PRQHGDV�GH����FHQWDYRV�FRPR�SLH]DV�GH����� WHQtD�antes. En el portamonedas me quedaba un tercio del dinero que llevaba al salir de FRPSUDV��¢&XiQWR�FRVWDURQ�ODV�FRPSUDV"

4.19. Las canicasSebastián sale de casa con un montón de canicas y vuelve sin ninguna. Su

padre le pregunta que ha hecho con ellas y el niño contesta: a cada amigo que me HQFRQWUp�OH�GL�OD�PLWDG�GH�ODV�FDQLFDV�TXH�WHQtD�PiV�WUHV�

¢<�D�FXiQWRV�DPLJRV�WH�KDV�HQFRQWUDGR"�$�VHLV�

¢&XiQWDV�FDQLFDV�WHQtD�6HEDVWLiQ�DO�VDOLU�GH�FDVD"

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4.20. El examen(Q�XQ�FXUVR�GH�FLQFR�SHUVRQDV��VH�HQWUHJD�D�FDGD�XQR�XQ�H[DPHQ�FRQ����SUH-

guntas: se dan cinco puntos por cada respuesta correcta y se quitan tres puntos por cada respuesta errada:

D�� (O�SULPHU�HVWXGLDQWH�UHVSRQGH�D�WRGDV�ODV�SUHJXQWDV�\�REWLHQH����SXQWRV�

E�� (O�VHJXQGR�HVWXGLDQWH�UHVSRQGH�D�WRGDV�ODV�SUHJXQWDV�\�REWLHQH����SXQWRV�

F�� (O�WHUFHU�HVWXGLDQWH�UHVSRQGH�D����SUHJXQWDV�\�REWLHQH����SXQWRV�

G�� (O�FXDUWR�HVWXGLDQWH�UHVSRQGH�D����SUHJXQWDV�\�REWLHQH����SXQWRV�

H�� (O�TXLQWR�HVWXGLDQWH�UHVSRQGH�D����SUHJXQWDV�\�REWLHQH����SXQWRV�

¢&XiQWDV�SUHJXQWDV�FRQWHVWD�FRUUHFWDPHQWH�FDGD�HVWXGLDQWH"

4.21. Las vacacionesEn un instante dado, en el Complejo Deportivo El Valle, un grupo de va-

cacionistas está nadando, y otros jugando cartas; la octava parte del total está jugando básquet y la cuarta parte del total jugando indor fútbol. Después de un momento, dos dejan la natación por el básquet; tres, el juego de cartas por el fútbol; cinco, el fútbol por la natación; siete la natación por el juego de cartas, tres dejan el básquet por el juego de cartas; uno, la natación por fútbol y uno deja el fútbol por el básquet, con lo cual el número de jugadores de cartas excede en dos al de nadadores; el de futbolistas exceden en cuatro al de basquetbolistas y el grupo de jugadores de cartas excede en dos al de natación.

D�� ¢&XiO�HV�HO�Q~PHUR�GH�YDFDFLRQLVWDV"

E�� ¢&XiO�HV�HO�Q~PHUR�GH�YDFDFLRQLVWDV�HQ�ODV�GLIHUHQWHV�GLVFLSOLQDV�GHVSXpV�GH�UHJLVWUDGRV�ORV�FDPELRV"

F�� ¢&XiO�HV�HO�Q~PHUR�GH�YDFDFLRQLVWDV�HQ�ODV�GLIHUHQWHV�GLVFLSOLQDV�DQWHV�GH�UHJLVWUDGRV�ORV�FDPELRV"

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4.22. Los días de vacaciones

8Q�HVWXGLDQWH�VDOLy�GH�YDFDFLRQHV�SRU�[�GtDV�\�REVHUYy��TXH��GXUDQWH�WRGDV�sus vacaciones, llovió siete veces, ya sea por la mañana o por la tarde. Cuando OORYtD�SRU�OD�WDUGH��HVWDED�FODUD�OD�PDxDQD��+XER�FLQFR�WDUGHV�\�VHLV�PDxDQDV�FOD-UDV��¢&XiQWRV�GtDV�YDFDFLRQy"��7XDSDQWD��������

4.23. Más dinero

�¢0iV�GLQHUR"�SUHJXQWy�OD�PDGUH�\�D\HU�PLVPR�WH�GL�XQD�EXHQD�VXPD��¢3DUD�TXp�QHFHVLWDV�WDQWR"�¢(Q�TXp�OR�KDV�JDVWDGR"���¢(Q�TXp�KH�JDVWDGR"�FRQWHVWy�HO�PXFKDFKR��3ULPHUR�PH�TXLWDVWH�XQ�WHUFLR����

�¢&RQ�TXp�TXHUtDV�TXH�ODYDUD�OD�URSD�VL�QR�KDEtD�GHWHUJHQWH"���/D�PLWDG�GH�OR�TXH�TXHGy�VH�OR�OOHYy�7RP�SDUD�FRPSUDU�DOJR�TXH�pO�QHFHVLWDED����'HEHV�VHU�FRQGHVFHQGLHQWH�FRQ�WX�KHUPDQR�PD\RU����/R�IXL��4XHGy�PX\�SRTXLWR�\�GH�HOOR�FRJLy�SDSi�XQ�FXDUWR��/XHJR�0DUtD�QHFHVLWy�WUHV�RFWDYRV�GHO�UHVWR�SDUD�FRPSUDU�QR�Vp�TXH����

�¢<�TXp�KDV�KHFKR�FRQ�HO�UHVWR�GHO�GLQHUR"�

�¢&RQ�HO�UHVWR"�£1R�TXHGDURQ�PiV�TXH����FHQWDYRV��

¢4Xp�FDQWLGDG�GH�GLQHUR�WHQtD�DO�SULQFLSLR"

4.24. Cuadrado mágico

Se dice cuadrado mágico de orden tres a la siguiente tabla:

a b c

d e f

g h i

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(Q�OD�WDEOD������ODV�OHWUDV�UHSUHVHQWDQ�Q~PHURV�QDWXUDOHV�GH�WDO�PDQHUD�TXH�OD�VXPD�GH�ODV�¿ODV��FROXPQDV�\�GH�ODV�GLDJRQDOHV�HV�VLHPSUH�FRQVWDQWH�H�LJXDO�D�s.

'HPXHVWUH�TXH�V� ��H�

4.25. Tabla mágica de polinomios

(Q�ODV�WDEODV�GH�FDGD�XQR�GH�ORV�OLWHUDOHV��HVFRMD�XQD�¿OD��R�FROXPQD���VHOHF-FLRQH�XQ�SROLQRPLR�\�StQWHOR�R�HQFLHUUH�HQ�XQ�FtUFXOR��UHSLWD�OD�PLVPD�DFFLyQ�FRQ�ODV�GHPiV�¿ODV��R�FROXPQDV���DO�¿QDO�HQ�FDGD�XQD�GH�ODV�¿ODV�\�FROXPQDV�GHEH�TXHGDU�SLQWDGR�R�HQFHUUDGR�HQ�XQ�FtUFXOR�XQ�~QLFR�SROLQRPLR�

D�� (Q� OD� WDEOD������ OD�DFFLyQ�DQWHV� LQGLFDGD� UHStWDOD� WUHV�YHFHV�� WHQGUi� WUHV�SROLQRPLRV�SLQWDGRV�R�FRQ�XQ�FtUFXOR�DOUHGHGRU�

Sume todos ellos y compruebe que el polinomio resultante,factorizado, es LJXDO�D��[������[�������

E�� (Q�OD�WDEOD������OD�DFFLyQ�DQWHV�LQGLFDGD�UHStWDOD�FXDWUR�YHFHV��WHQGUi�FXD-WUR�SROLQRPLRV�SLQWDGRV�R�FRQ�XQ�FtUFXOR�DOUHGHGRU�

Sume todos ellos y compruebe que el polinomio resultante factorizado es LJXDO�D��[������[������[�������

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RAZONAMIENTO NUMÉRICO

4.26. Cuadrangular de fútbolEn un instituto, se celebró un torneo cuadrangular entre los equipos de los

SDUDOHORV�$��%��&�\�'��(O�FDVR�FXULRVR�HV�TXH�FDGD�XQR�GH�ORV�HTXLSRV�PHWLy�XQ�JRO��\�VLQ�HPEDUJR�OD�FODVL¿FDFLyQ�IXH�

3DUDOHOR�$�� FLQFR�SXQWRV�3DUDOHOR�%�� FLQFR�SXQWRV�3DUDOHOR�&�� WUHV�SXQWRV�Paralelo D: un punto

2�VHD��VH�PHWLHURQ�FXDWUR�JROHV��\�VLQ�HPEDUJR�VH�FRQVLJXLHURQ����SXQWRV�entre todos.

¢&yPR�VH�H[SOLFD�HVWR"�¢&XiOHV�IXHURQ�ORV�UHVXOWDGRV"

4.27. Vacas en el prado

6DELHQGR�TXH����YDFDV�KDQ�FRPLGR�HQ����GtDV�OD�KLHUED�GH�XQ�SUDGR�GH����iUHDV�\�TXH����YDFDV�KDQ�FRPLGR�HQ����GtDV�OD�KLHUED�GH�RWUR�SUDGR�GH����iUHDV��VH�GHVHD�VDEHU�F~DQWDV�YDFDV�FRPHUiQ�HQ����GtDV�OD�KLHUED�GH�XQ�SUDGR�GH�����iUHDV�

1RWD��VH�GHEH�FRQVLGHUDU�TXH�ORV�WUHV�SUDGRV�FRQWHQtDQ�OD�PLVPD�FDQWLGDG�GH�hierba por área, además debe suponer que todas las vacas consumen la misma cantidad.

4.28. La edad de las chicas7UHV�FKLFDV��%HWW\��0DUtD�\�/RUHQD�GLFHQ�OR�VLJXLHQWH�

%HWW\��\R�WHQJR����DxRV��\�GRV�PHQRV�TXH�/RUHQD�\�XQR�PiV�TXH�0DUtD�

/RUHQD��QR�VR\�OD�PiV� MRYHQ��0DUtD�\�\R� WHQHPRV�WUHV�DxRV�GH�GLIHUHQFLD��0DUtD�WLHQH����DxRV�

0DUtD��\R�VR\�PiV�MRYHQ�TXH�%HWW\��%HWW\�WLHQH����DxRV��/RUHQD�WLHQH�WUHV�DxRV�PiV�TXH�%HWW\�

Determine la edad de cada una de las encantadoras chicas, sabiendo que úni-FDPHQWH�XQD�GH�ODV�D¿UPDFLRQHV�TXH��KDFH�FDGD�SHUVRQD�HV�IDOVD�

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4.29. Matriz mágica

(Q�OD�WDEOD������HVFRMD�XQD�¿OD��R�FROXPQD���VHOHFFLRQH�XQD�PDWUL]�\�StQWHOD�R�HQFLHUUH�HQ�XQ�FtUFXOR��UHSLWD�OD�PLVPD�DFFLyQ�FRQ�ODV�GHPiV�¿ODV��R�FROXPQDV���DO�¿QDO�HQ�FDGD�XQD�GH�ODV�¿ODV�\�FROXPQDV�GHEH�TXHGDU�SLQWDGR�R�HQFHUUDGR�HQ�XQ�FtUFXOR�XQD�~QLFD�PDWUL]��6XPH�ODV�FXDWUR�PDWULFHV�SLQWDGDV�R�HQFHUUDGDV�HQ�XQ�FtUFXOR��\�FRPSUXHEH�TXH�OD�PDWUL]�UHVXOWDQWH�HV

4.30. Tabla mágica numérica(Q�ODV�WDEODV�GH�FDGD�XQR�GH�ORV�OLWHUDOHV��HVFRMD�XQD�¿OD��R�FROXPQD���VHOHF-

FLRQH�XQ�Q~PHUR�\�StQWHOR�R�HQFLHUUH�HQ�XQ�FtUFXOR��UHSLWD�OD�PLVPD�DFFLyQ�FRQ�ODV�GHPiV�¿ODV��R�FROXPQDV���DO�¿QDO�HQ�FDGD�XQD�GH�ODV�¿ODV�\�FROXPQDV�GHEH�TXHGDU�SLQWDGR�R�HQFHUUDGR�HQ�XQ�FtUFXOR�XQ�~QLFR�Q~PHUR�

D�� (Q�OD�WDEOD������OD�DFFLyQ�DQWHV�LQGLFDGD�UHStWDOD�RFKR�YHFHV��WHQGUi�RFKR�Q~PHURV�SLQWDGRV�R�FRQ�XQ�FtUFXOR�DOUHGHGRU��6XPH�WRGRV�HOORV�\�FRPSUXHEH�TXH�resultado es igual a -10.

E�� (Q�OD�WDEOD������OD�DFFLyQ�DQWHV�LQGLFDGD�UHStWDOD�FLQFR�YHFHV��WHQGUi�FLQFR�Q~PHURV�SLQWDGRV�R�FRQ�XQ�FtUFXOR�DOUHGHGRU��6XPH�WRGRV�HOORV�\�FRPSUXHEH�TXH�

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el resultado es igual a -5.

F�� (Q�OD�WDEOD������OD�DFFLyQ�DQWHV�LQGLFDGD�UHStWDOD�RFKR�YHFHV��WHQGUi�RFKR�Q~PHURV�SLQWDGRV�R�FRQ�XQ�FtUFXOR�DOUHGHGRU��6XPH�WRGRV�HOORV�\�FRPSUXHEH�TXH�el resultado es igual a 58.

G�� (Q�OD�WDEOD������OD�DFFLyQ�DQWHV�LQGLFDGD�UHStWDOD�RFKR�YHFHV��WHQGUi�RFKR�Q~PHURV�SLQWDGRV�R�FRQ�XQ�FtUFXOR�DOUHGHGRU��6XPH�WRGRV�HOORV�\�FRPSUXHEH�TXH�el resultado es igual a 36.

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H�� (Q�OD�WDEOD������OD�DFFLyQ�DQWHV�LQGLFDGD�UHStWDOD�GLH]�YHFHV��WHQGUi�GLH]�Q~PHURV�FRQ�XQ�FtUFXOR�DOUHGHGRU��6XPH�WRGRV�HOORV�\�FRPSUXHEH�TXH�HO�UHVXOWDGR�es igual a 55.

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I�� (Q�OD�WDEOD�������OD�DFFLyQ�DQWHV�LQGLFDGD�UHStWDOD�GLH]�YHFHV��WHQGUi�GLH]�Q~PHURV�FRQ�XQ�FtUFXOR�DOUHGHGRU��6XPH�WRGRV�HOORV�\�FRPSUXHEH�TXH�HO�UHVXOWD-do es igual a 15.

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SOLUCIONES A PROBLEMAS PROPUESTOS

4.1. El robo

Los ladrones son Miguel y Wilson, y los inocentes son Rubén, Jaime y Mario.

4.3. El robo de joyas

En el robo, el ama de llaves de la señorita Verónica se llevó la caja amarilla TXH�FRQWHQtD�XQ�FROODU�GH�SHUODV�\�XQ�DQLOOR��\�OD�FDMD�YHUGH�TXH�FRQWHQtD�XQD�HV-clava y unos pendientes.

4.5. El herrero

LD�UHVSXHVWD�HV�TXH�Vt�HV�SRVLEOH�KDFHU�HO�WUDEDMR�DEULHQGR�\�HQOD]DQGR�XQ�número menor a siete anillos; basta con abrir y cerrar seis anillos.

�����/D�¿HVWD/D�PXMHU�GH�+HQU\�HV�'XQLD��\�OD�GH�)UDQFR�HV�%HWW\�

4.13. La reunión

El dentista es Carlos y el publicista es Lalo.

4.15. Los cuatro hermanos

(O�GLQHUR�TXH�WHQtDQ�FDGD�XQR�GH�ORV�KHUPDQRV�HV�����������������\�������UHV-pectivamente.

4.15. Tu edad y la mía

0L�HGDG�HV����DxRV�\�OD�WX\D�HV���DxRV�

4.17. Las canicas

6HEDVWLiQ�DO�VDOLU�GH�FDVD�WHQtD�����FDQLFDV�

4.21. Las vacaciones

D�� (O�Q~PHUR�GH�YDFDFLRQLVWDV�HV����

E�� (O�Q~PHUR�GH�YDFDFLRQLVWDV�HQ�ODV�GLIHUHQWHV�GLVFLSOLQDV�GHVSXpV�GH�UHJLV-

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WUDGRV�ORV�FDPELRV�HV��QDWDFLyQ������MXHJR�GH�FDUWDV������EiVTXHW�����H�LQGRU�I~WERO�����

F�� (O�Q~PHUR�GH�YDFDFLRQLVWDV�HQ�ODV�GLIHUHQWHV�GLVFLSOLQDV�DQWHV�GH�UHJLVWUD-GRV�ORV�FDPELRV�HV��QDWDFLyQ������MXHJR�GH�FDUWDV������EiVTXHW����H�LQGRU�I~WERO����

4.23. Más dinero

(O�GLQHUR�TXH�WHQtD�DO�SULQFLSLR�HO�PXFKDFKR�HUD��������

4.27. Vacas en el prado

ODV�YDFDV�TXH�FRPHUiQ�HQ����GtDV�OD�KLHUED�GH�XQ�SUDGR�GH�����VRQ�����

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BIBLIOGRAFÍA

$/(*5Ë$�(=48(55$��3����������0DJLD�\�0DWHPiWLFDV�GH�OD�PDQR�GH�0DUWLQ��1~PHURV����������

0$/%$��7����������El hombre que calculaba,�������HG���%DUFHORQD��9HUyQ�

3$55$��5����������Un paseo a través de la Matemática Recreativa. Recuperado GH�KWWSV���HV�VFULEG�FRP�GRFXPHQW�����������8Q�3DVHR�$WUDYHV�GH�/DV�0D-tematicas- Recreativas

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6$17,//$1$�6��$����������Preparate para la U��7RPR���\����4XLWR��6DQWLOODQD

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