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FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y RECURSOS HUMANOS FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES ECONÓMICAS Y FINANCIERAS

UNIDAD ACADEMICA DE ESTUDIOS GENERALES

Manual teórico para uso exclusivo de los estudiantes

Ciudad Universitaria USMP Av. Las Calandrias N°151

Santa Anita - Lima

MATEMÁTICA I

I Ciclo

Semestre 2017 – I

MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2017- I

Material didáctico para uso exclusivo de los estudiantes de las Facultades y Escuelas Profesionales:

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINITRATIVAS Y RECUSOS HUMANOS Escuela Profesional de Administración de Negocios Internacionales

Escuela Profesional de Administración Escuela Profesional de Gestión de Recursos Humanos

Escuela Profesional de Marketing

FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES, ECONÓMICAS Y FINANCIERAS Escuela de Profesional Contabilidad y Finanzas

Escuela Profesional de Economía


INTRODUCCION

La matemática es una ciencia formativa, fomenta el razonamiento en todo

ámbito donde se pueda desarrollar una persona, por lo que el curso de Matemática I, es

una asignatura que cumple uno de los objetivos básicos de la universidad, enseñar a

los alumnos a obtener conocimientos en forma clara, ordenada, razonada, bajo

estructuras sólidas de la ciencia, para que ellos a su vez puedan aplicarlos en su vida

personal y profesional.

La presente Guía de Ejercicios y Problemas de Matemática I, está preparado

especialmente para nuestros alumnos de Estudios Generales de la USMP, orientada a

incrementar la calidad del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Asignatura de

Matemática I, en la Unidad Académica de Estudios Generales.

Este Manual teórico contiene la teoría de todos los temas de la asignatura con

algunos ejercicios y problemas de aplicación resueltos y en otros casos metodología de

solución de los mismos para cada uno de los temas que se realizarán en el presente

semestre académico 2017 – I.

Por lo que está estructurado en cuatro unidades, de acuerdo al silabo

correspondiente. Estas unidades son: Lógica Matemática, Conjuntos, Ecuaciones,

Funciones y Tópicos de Geometría Analítica y aplicaciones de la Programación Lineal.

Finalmente, el propósito del presente manual consiste en que sea un instrumento

básico de trabajo en cada sesión de clase para el alumno, que contribuya a la formación

profesional y académica de cada uno de los estudiantes de Estudios Generales que

cursan la asignatura de Matemática I, es indispensable que el alumno use el manual

tanto en clase como también como un instrumento de práctica fuera de ella. Se insta

también a los alumnos usar la bibliografía recomendada en el sílabo.

Los Profesores


1

SEMANA 1

LÓGICA MATEMÁTICA

La lógica tiene sus inicios desde el tiempo de Aristóteles, nacido en Grecia (384-

322 a.c.) plasmado en su obra “Organum”, llamada lógica aristotélica o clásica.

Luego Gottfried Wilhem Liebnitz (1646 – 1716) alemán, introduce los símbolos

lógicos los cual facilitaban el estudio, utilizándolos como instrumentos

matemáticos. Sin embargo no es sino hasta la genialidad de George Boole (1815

– 1864) Inglés, quien publicó su obra “Una investigación de las leyes del

pensamiento”, que realmente dio un gran salto al estudio de la matemática

simbólica que gracias a Bertrand Russell (1872 –1970) y Alfred Whitchead

(1864 –1947) con su obra “Principia Mathemática” publicada en 1910 y 1913;

que proponen como la base para el desarrollo vertiginoso de la lógica llamada

“lógica simbólica”.

Concepto: La Lógica es la ciencia que estudia el razonamiento inductivo é

deductivo. El razonamiento inductivo es aquel que lleva a

conclusiones generales a partir de observaciones particulares y el

razonamiento deductivo parte de conclusiones generales y llega a

conclusiones particulares.

1. ENUNCIADO. Es toda oración o frase que exprese alguna idea, a través de

afirmaciones, negaciones, preguntas, órdenes, saludos, emociones, etc.

Ejemplo: ¡Qué bueno que estudie matemática

¿Desea tener éxito en sus estudios?

Pero, por supuesto.

2. ENUNCIADO ABIERTO. Es aquel enunciado, el cual no se puede responder con

verdadero o falso.

Ejemplo: 3x<6 4x-3y =8 Ella es Psicóloga

3. PROPOSICIÓN LÓGICA. Una proposición es un enunciado cuya propiedad

fundamental es que puede responderse como verdadero (V) o falso (F), pero no

ambas a la vez. Por tanto no existe ambigüedad en la respuesta.


2

Una proposición se representa simbólicamente por letras minúsculas tales como:

p , q , r , s ,.llamadas variables proposicionales. Ejemplo:

p : La matemática es una ciencia pura. q : Todos los universitarios han rendido un examen de admisión.

4. VALOR DE VERDAD. Si p es una proposición, su valor de verdad se denota con

( )V p y escribimos:

( )V p V si el valor de p es verdadero y ( )V p F si el valor de p es falso.

5. PROPOSICIÓN SIMPLE. Es aquella proposición lógica que consta de un solo sujeto y un predicado. Ejemplo: p : Las flores son parte de una planta. q: El curso de matemática I es pre-requisito para cursar Matemática II en la

USMP

6. PROPOSICIÓN COMPUESTA. Está conformada por dos o más proposiciones

simples unidas por palabras que enlazan a dichas proposiciones. Ejemplo:

Los universitarios tienen carnet de identificación y pagan medio pasaje p q

7. OPERADORES LÓGICOS. Son signos o símbolos que representan palabras y

que son usados para relacionar proposiciones. Tenemos:

SIMBOLO NOMBRE Algunas palabras

_ Negación “no” “ni” “nunca”

Conjunción “y” “pero” “también”

Disyunción débil “o” “a menos que”

Condicional “entonces”

Bicondicional “si y solo si”

Disyunción fuerte “ o….o….”


3

8. TABLAS DE VERDAD.

9. SIGNOS DE AGRUPACIÓN O DE COLECCIÓN. Los signos de agrupación

, , se usan en lógica cuando se trata de obtener esquemas lógicos más

complejos. Otra finalidad de estos signos es darle mayor o menor jerarquía a los

operadores.

10. FÓRMULA LÓGICA. Es una combinación de variables proposicionales y

operadores lógicos. Se evalúa mediante tablas de verdad.

Las fórmulas lógicas o esquemas moleculares, se evalúan mediante tablas de

valores de verdad, el número de valores de verdad queda determinado por 2n,

donde n es el número de proposiciones.

Si al evaluar una fórmula lógica resulta que todos los valores de verdad de su

operador principal son verdaderos, entonces se tiene una TAUTOLOGÍA.

Si todos estos valores son falsos, es una CONTRADICCIÓN.

Si es una combinación entre valores verdaderos y falsos, entonces se tiene una

CONTINGENCIA.

CONJUNCIÓN

P Q pq

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

DISYUNCIÓN FUERTE

p q pq

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

F

DISYUNCIÓN DÉBIL

p Q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

CONDICIONAL

P Q pq

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

BICONDICIONAL

p Q pq

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

NEGACIÓN

p ~ p

V

F

F

V


4

EJERCICIOS RESUELTOS

I. Determine cuáles de las siguientes expresiones, son enunciados o proposiciones lógicas, justificando su respuesta

1. ¡Me gusta el color blanco! ENUNCIADO

2. 4𝑥 − 2 < 7 ENUNCIADO ABIERTO

3. El número 333 es divisible por 3. PROPOSICION

II. Determinar el valor de verdad de la siguiente proposición:

1. O Lima es la ciudad de los Virreyes o Trujillo la ciudad del huayno.

p: Lima es la ciudad de los Virreyes

q: Trujillo la ciudad de la marinera

Luego tenemos: p Δ q

Reemplazando por sus valores de verdad V Δ F resulta V

EJERCICIOS OPCIONALES

[√0.36 = 0.6 ∨ √−16 = 4] → ( 32 + 22 = 52)

Reemplazando por sus valores de verdad tenemos:

(V ˅ F) F…………. V F resulta F

III. Establecer la tautología, la contradicción o contingencia de la siguiente proposición:

~p q p q p q

Metodología de solución: (Pautas)

a) Determinar el conector principal b) Determinar el Nª de variables proposicionales de las proposiciones c) Empezar en lo posible de derecha a izquierda d) Determinar la proposición resultante antes y después del conector principal e) Evaluar según lo establecido determinando si se trata de tautología,

contradicción o contingencia

IV. De la falsedad de ~ ~p q r s deduzca el valor de verdad de:

~ ~ ~p q q p


a) Aplicando la Tabla de Verdad determinar los valores de verdad de cada proposición

b) Reemplazar en la expresión por definir c) Volver a aplicar la Tabla de Verdad y determinar el valor de verdad solicitado


5

CUANTIFICADORES

FUNCIÓN PROPOSICIONAL. La función proposicional es un enunciado abierto de la

forma ( )P x , es decir, se trata de una expresión que contiene alguna variable que al ser

sustituida por un valor particular se convierte en proposición.

Por ejemplo:

2( ) : 3 10P x x ; es un enunciado abierto

2(2) : 2 3 10P ; es una proposición falsa

2(3) : 3 3 10P ; es una proposición verdadera

CUANTIFICADORES. Los cuantificadores sirven para transformar un enunciado abierto

o función proposicional en una proposición para lo cual su misión es indicar cuántos

elementos de un conjunto dado, cumplen con cierta función proposicional.

1. CUANTIFICADOR UNIVERSAL. Representado por ∀ se emplea para afirmar que

todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada función

proposicional.

.Notación:

∀ 𝒙 ∈ 𝑨 ∶ ”Para todo x que pertenece al conjunto A se cumple que”

2. CUANTIFICADOR EXISTENCIAL. Representado por , se usa para indicar que al

menos un elemento de un conjunto cumple con determinada función proposicional

.Notación:

∃ 𝒙 ∈ 𝑨 / ” Existe algún x que pertenece al conjunto A tal que se cumple que”

NEGACIÓN DE LOS CUANTIFICADORES.

:)(/~ AxxpAx ( )~ p x “la negación de un existencial da un universal”

/)(:~ AxxpAx ( )~ p x “la negación de un universal da un existencial

NOTA.

En general, la proposición universal :x A P x es verdadera si la propiedad ( )P x

lo es, es decir, si cumple con cada uno de los elementos de A y es falso si hay al menos

un elemento de A que no cumple la propiedad ( )P x .


6

En general, la proposición existencial : ( )x A P x es verdadera si en A hay al menos

un elemento x que cumple ( )P x y es falsa si ningún elemento de A cumple con ( )P x

, esto es, todo elemento de A no cumple ( )P x .

EJERCICIO RESUELTO

Determinar el valor de verdad de la siguiente expresión:

2/ 1 0x N x

Según la definición de cuantificador existencial la respuesta es V

Procedemos a negar la expresión: ~ 2/ 1 0 x N x la cual resulta un

cuantificador universal de la forma: 2/ 1 0x N x

Según la definición de cuantificador universal la respuesta es F


7

SEMANA 2

CONJUNTOS

Desde que nacemos, nos encontramos con agrupaciones, en primer lugar con personas

a nuestro derredor tratando de conocernos, luego con cosas con las cuales empezamos

a diferenciar formas, texturas, etc. Así continuamos aprendiendo a relacionar objetos y

los vamos agrupando según las necesidades. Por ejemplo los compañeros de la

escuela, las enfermedades del corazón, estudiantes de matemática, entre otros. Nos

hacemos preguntas respecto a estas agrupaciones y sus componentes, por eso la

matemática se encarga de estudiarlas y este estudio es conocido como Teoría de

Conjuntos.

1. IDEA INTUITIVA DE CONJUNTO. De manera intuitiva diremos que un conjunto es

una colección bien definida de objetos. A cada uno de estos objetos le denominamos

elemento del conjunto. Un conjunto se denota por una letra mayúscula, sus

elementos se encierran entre llaves y se separan por comas cuando el conjunto esta

expresado por extensión.

2. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS.

2.1. POR EXTENSIÓN. Aquí se listan todos los elementos del conjunto. Esta lista

de elementos la escribimos entre llaves.

2.2. POR COMPRENSIÓN. Aquí se escribe una propiedad que cumplen todos los

elementos que están en el conjunto.

3. RELACIÓN DE PERTENENCIA. Cuando un elemento se encuentra en un conjunto

se dice “que este elemento pertenece al conjunto” y se denota por “pertenece”.

4. SUBCONJUNTO. Es aquel que forma parte de otro. Se denota por y se lee “es

subconjunto de” ó “está contenido en”. Un conjunto A es subconjunto de B si y sólo

si cada elemento de A también es elemento de B y se denota por A B .

El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto A.

5. DIAGRAMA DE VENN-EULER. Son gráficos que nos ayudan a ilustrar algunas

ideas. En el caso de la teoría de conjuntos se usan diagramas de Venn-Euler. Se

usan generalmente círculos para graficar los conjuntos y un rectángulo para el

conjunto universal.

6. CARDINAL DE UN CONJUNTO. Es la cantidad o número de elementos de un

conjunto y se denota por n A .


8

7. CONJUNTOS ESPECIALES.

7.1. CONJUNTO UNIVERSAL. Es aquel formado por todos los elementos con los

cuales estamos trabajando en un problema particular. Se denota por U . Es

muy importante establecer el conjunto universal, ya que eso determinará

nuestro marco de referencia.

7.2. CONJUNTO VACÍO. Es aquel que carece de elementos. Se denota por ó

.

7.3. CONJUNTOS DISJUNTOS. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen

elementos en común.

7.4. CONJUNTO UNITARIO. Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

7.5. CONJUNTO POTENCIA. El conjunto potencia de un conjunto A , es el

conjunto formado por todos los subconjuntos de A . Se denota por P A y el

número de elementos de 2nP A , donde n es el número de elementos de

A .

7.6. CONJUNTO FINITO. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es limitada.

7.7. CONJUNTO INFINITO. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es

ilimitada. Por ejemplo el conjunto de números reales.

EJERCICIO RESUELTO

I. Expresar por extensión el siguiente conjunto:

𝐹 = {𝑥 𝑥⁄ (𝑥 − 5)(𝑥 + 6) = 0 }

El producto de varios factores iguales a 0 hace que cada uno de ellos pueda tomar ese valor, por lo tanto los valores que asume x son: 0, - 6, 5

Así: 𝐹 = {− 6, 0, 5 }

II. Resolver:

1. 𝑆𝑖 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁 −1 < 𝑥 ≤ 4⁄ }, Determinar P(A)


a) Pasar el conjunto A de comprensión a extensión b) Determinar el Nª de elementos de A c) Determinar el Nª de elementos de P(A) según la fórmula dada en clase d) Con los elementos del conjunto potencia definido se forman los subconjuntos

del conjunto potencia y se completa con el conjunto vacío


9

SEMANA 3 - 4

OPERACIONES CON CONJUNTOS

1. UNIÓN. Dado dos conjunto A y B, la unión de A y B se define como:

/A B x x A x B

Nota; Siempre se cumple que A A

2. INTERSECCIÓN. Dado dos conjuntos A y B, la intersección de A y B se define como:

/A B x x A x B

Dos conjuntos son disjuntos sí A B . Además siempre se cumple que A

.

3. DIFERENCIA. Dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos A y B se define como:

/A B x x A x B

4. DIFERENCIA SIMÉTRICA. Dado dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica de A y B se define como:

A B U

A B U

A B U

A

B

U A B

U

A

B

U A B

U

A B

U A

B

U


10

/A B x x A B x B A

5. COMPLEMENTO. Dado un conjunto A y el conjunto universal U, donde A U , se

define el complemento de A como:

/' cA A x x U x A

Nota: Siempre se cumple que: 'U y ' U .

EJERCICIO RESUELTO

I. Resolver:

1. Sean los conjuntos: Sean los conjuntos: 𝑈 = {𝑥 ∈ ℤ+/0 ≤ 𝑥 < 9},

𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ/𝑥 ≥ 1 ∧ 𝑥 < 5} y 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ/0 < 𝑥 ≤ 9 ∧ 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟}. Hallar:

a) A B

A = {x Ɛ N / 1≤ x < 5} = {1, 2, 3, 4}

B= {2, 4, 6, 8}

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Por definición de diferencia de Conjuntos: A – B = {1, 3}

A B U

U

A

A B U A

B

U

A’


11

II. APLICACIONES

Un grupo de 60 chef se presentaron a un Concurso de Cocina en las siguientes

especialidades: postres, cremas y pastas. Obteniéndose como resultado que: 30

ganaron en la especialidad de pastas. 25 ganaron en la especialidad de postres. 20

ganaron en la especialidad de cremas. 5 ganaron en pastas y postres pero no en

cremas. 7 ganaron en pastas y cremas. 1 ganó en las tres especialidades. Además se

sabe que el número de los que ganaron sólo postres es la mitad de los que ganaron

la especialidad de pastas. Determine cuantos ganaron, al menos, en dos de las

especialidades.


a) Leer y comprender el problema

b) Listar la información (datos e incógnita)

c) Graficar una intersección de tres conjuntos

d) Cada vez que sea posible iniciar el trabajo colocando en el grafico el valor de la

intersección de los tres conjuntos

e) Pasar la información del listado al grafico

f) Analizar el grafico

g) Dar respuesta a lo solicitado


12

SEMANA 5

ECUACIONES LINEALES

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las dos expresiones

que conforman una ecuación son llamadas lados o miembros, y están separados por el

signo de igualdad “=”

La ecuación lineal de primer grado con una variable es aquella que adopta la forma

canónica: ax + b = 0 / a 0 a, b

Resolver una ecuación consiste en hallar el valor de la variable que hace verdadera

dicha igualdad.

La solución es también llamada raíz de la ecuación siendo expresada por: a

bx

DISCUSIÓN:

Respecto a la solución de la ecuación, se debe tener en cuenta lo siguiente: 1º La ecuación es compatible determinada, (finitas soluciones)

Si: a 0 b

2º La ecuación es compatible indeterminada, (infinitas soluciones)

Si: a = 0 b = 0

3º La ecuación es incompatible, inconsistente (ecuación absurda)

Si: a = 0 b / b 0

1. Resolver−𝟓{−𝟐 [−𝟑𝒙 + 𝟑(−𝟐 − 𝟐𝒙)]}

Se resuelve primero lo que está dentro del paréntesis, respetando los signos, luego los corchetes y finalmente las llaves.

−𝟓{−𝟐 [–𝟑𝒙 + 𝟑(−𝟐 − 𝟐𝒙)]} = −𝟓{−𝟐 [–𝟑𝒙 − 𝟔 − 𝟔𝒙]}

= −𝟓{−𝟐 [−𝟗𝒙 − 𝟔]}

= −𝟓{𝟏𝟖𝒙 + 𝟏𝟐}

= −𝟗𝟎𝒙 − 𝟔𝟎

Luego: x = - 2/3 C.S: {- 2/3}

ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE EN

LOS NÚMEROS REALES

EJEMPLOS:


13

2.- Resolver:

Aplicando las siguientes identidades

1. ad =bc

2. ( a + b ) ( c + d ) = ac + ad +bc +bd

Obtenemos:

(X+3)(x–4) = (x-2)(x+1)

x2- 4x + 3x – 12 = x2 + x - 2x - 2

Simplificando: - x – 12 = - x - 2

-12 = -2 ABSURDO.

La ecuación es Incompatible. C.S: x ε Ǿ

3. Resolver la siguiente ecuación con radical:

a) 5 14 2 1x x


a) Elevar al cuadrado ambos términos b) Efectuar la transposición de términos c) Dejar la incógnita en un solo termino d) Determinar la incógnita y el conjunto

solución

4x

1x

2x

3x

d

c

b

a


14

APLICACIONES

Una compañía produce harina de pescado, con un costo variable de $38 por tonelada. Si los

costos fijos son $55 000 por mes y el alimento se vende en $63 por tonelada, ¿cuántas

toneladas deben venderse para que la compañía tenga una utilidad mensual de $270 000?

Solución:

Se sabe que: I = p q = CT + U

CT= CU + CF

Reemplazando valores tenemos: 83 x q = [(38 x q) + 55000] + 270000

q = 7222 Toneladas

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Sistema de Ecuaciones Lineales.

Al conjunto de ecuaciones:

253

542

yx

yx se le llama sistema de 2 ecuaciones lineales con

2 variables. Las variables o incógnitas son x e y. el problema consiste en encontrar valores

para x e y para los cuales ambas ecuaciones sean verdaderas (de manera simultánea). a

estos valores se les llama soluciones del sistema.

Interpretación Geométrica.

Como las ecuaciones del sistema son lineales, sus gráficas son rectas. Si los dibujamos en

un mismo plano, existen sólo 3 posibilidades:

1.

y

L1

L2

(xo; yo)

xo x

Un sólo punto de intersección. El sistema tiene solución única:

0

0

x x

y y


15

2.

3.

Métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, antes de usar uno de los métodos, es

conveniente alinear los términos en x y en y:

A. Método de eliminación por adición

Ilustramos este método para el sistema: 2 4 5 .. . . . ( 1)3 5 2 .. . . . ( 2)

x yx y

Busquemos que los coeficientes de la variable x sean iguales, excepto por el signo, para esto

multiplicamos a la ecuación (1) por 3 y a la ecuación (2) por -2, así queda un sistema

equivalente:

4106

15126

yx

yx

Luego sumamos ambas ecuaciones, miembro a miembro, obtenemos: 112 y que es una

ecuación lineal en la variable y, fácil de resolver: 2/11y

Para obtener el valor de x, reemplazamos 2/11y en cualquiera de las ecuaciones

originales (1) ó (2), para este caso elegimos la ecuación (1):

2/11

542

y

yx

ó 5)2/11(42 x

que es una ecuación lineal en la variable x, fácil de resolver, así 2/17x . Por lo tanto, la

solución del sistema es única: 2/11,2/17 yx

Esta solución cumple en ambas ecuaciones.

L1

L2

y

x

No hay intersección.

El sistema no tiene solución.

Infinitos puntos de intersección. El sistema tiene infinitas soluciones. Se le llama Solución paramétrica.

( )

x rr R

y f r

y

x

L1 L2


16

B. Método de eliminación por sustitución

Ilustramos este método, con el sistema:

)2.....(253

)1.....(542

yx

yx

Primero escogemos una de las ecuaciones, en este caso (1) y despejamos una de las

variables, en este caso despejamos la variable y, así obtenemos:

2534

25

yx

xy

Sustituimos el valor de y en la ecuación (2), resultando una ecuación lineal, de una variable,

fácil de resolver:

2)4

25(53

x

x ,

Luego 2/17x .

Reemplazamos, el valor hallado de x en la ecuación (1) se obtiene una ecuación lineal en la

variable y, fácil de resolver:

54)2

17(2

y ,

Luego 2/11y .

Por lo tanto, la solución del sistema es única: 2/11,2/17 yx .

Esta solución cumple en ambas ecuaciones. Se pudo haber elegido la ecuación (2) y despejar

la variable x, y proceder de manera similar.


17

SEMANA 6

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Definición.

Una ecuación de segundo grado es aquella expresión en la que el exponente máximo es 2,

siendo además racional y entera y, de la forma: 2 0ax bx c ; donde , ,a b c , son números

reales y 0a .

Completas: 2 0ax bx c

Incompletas: 2 0ax bx donde 0c ; 2 0ax c donde 0b

METODOS DE SOLUCION

Los métodos para resolver una ecuación de segundo grado son: Por factorización o por la fórmula general

a) Por Factorización.- Pueden ser mediante factor común, aspa simple, completando cuadrados, etc.

Ejemplo:

Resolver: 032 2 xx

Factorización mediante aspa simple: 032 2 xx

x2 3

x 1

Los factores son: (2 3)( 1) 0x x

Igualando a cero cada factor: 01 ; 032 xx

Resolviendo se obtiene: 1 ; 2

3 xx

El conjunto solución es: 3

2. ; 1 C S

Ejemplo:

Resolver: 3𝑥2 − 6𝑥 = 0

Usando el factor común: 3𝑥(𝑥 − 2) = 0 → 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 2

𝐶. 𝑆: { 0; 2 }


18

b) Por la Formula General:

Una ecuación de segundo grado: 2 0ax bx c puede resolverse utilizando la

formula general:

2 4

2

b b acx

a

; Donde cba , y son los coeficientes de la

ecuación.

Procedimiento

a) Se halla el valor de los coeficientes: cba , y .

b) Se reemplaza el valor de los coeficientes en la fórmula general.

c) Se reducen los términos semejantes en cada miembro

d) Se despeja la incógnita.

Además, de acuerdo al valor del discriminante se tiene:

Si, 2 4 0b ac , entonces las raíces son reales y diferentes.

Si, 2 4 0b ac , entonces las raíces son complejas.

Si, 2 4 0b ac , entonces las raíces son reales e iguales.

Ejemplo:

Resolver: 0682 2 xx

Los valores de cba , y son: 2 , 8 , 6a b c

Reemplazando en la formula general (F.G.), se tiene:

2( 8) ( 8) 4(2)(6)

2(2)x

=

8 64 48

4

=

8 16

4

=

4

48

Entonces: 4

48

1

x y

4

48

2

x → 3

1x y 1

2x

→ 1 ; 3 . SC


19

APLICACIONES

1. La ecuación de ingresos de cierta compañía es: 2340 4I p p ; donde p es el

precio en dólares del producto que fabrica esa compañía. ¿Cuál será el precio

para que el ingreso sea de $ 6 000, si el precio debe ser mayor de $ 40?

Solución:

Como nos referimos al mismo ingreso:

2340 4I p p = 6000

Ordenando y simplificando tenemos: p2 – 85p + 1500 = 0

Resolviendo por cualquiera de los métodos se tiene que p = 60

SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES.

Un sistema de ecuaciones no lineales es aquel sistema en el que al menos una ecuación

no es lineal. Se puede resolver un sistema no lineal, por el Método de eliminación por

sustitución. Ejemplos:

1. Resolver:

0

2

yx

xy ;Despejamos una variable (cualquiera) de la ecuación

lineal.

Por ejemplo y, así:

0

2

yx

xy

Reemplazamos en la ecuación no lineal: 2xx , la cual es una ecuación

cuadrática, que al resolver se obtiene las raíces: 10 xóx .

Para hallar los valores de y, hacemos los reemplazos respectivos:

sí 0x entonces 0y ; sí 1x entonces 1y .

Por lo tanto, las soluciones del sistema no lineal son:

0

0

y

xó

1

1

y

x


20

(0,0)

(-1,1)

x + y = 0

x

y

Forma Gráfica

2. Resolver:

1

1

xy

xy

Observamos que en la ecuación lineal, la variable y está despejado. Sólo queda

sustituir en la ecuación no lineal: 1 1 x x , la cual es una ecuación con radical

que nos lleva a una ecuación cuadrática. Resolviendo se obtiene: 1)1( 2 xx ,

entonces resolviendo se tiene: 10 xóx

Para hallar los valores de y, hacemos los reemplazos respectivos:

sí 0x entonces 1y ; sí 1x entonces 0y

Por lo tanto las soluciones del sistema no lineal son:

1

0

y

x o

0

1

y

x

Forma Gráfica

(0,1) (-1,0)

y = x+1

x

y


21

SEMANA 7

DESIGUALDADES E INECUACIONES LINEALES

DESIGUALDADES: Es un enunciado que establece una relación de orden (< ,>, ≤, ≥ )

Ejemplo: 5 > 8 5 ≥ 8 8 < 5 8 ≤ 5

Propiedades de las desigualdades

1) Si: 𝑎 < 𝑏 → 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 Ejemplo: 5 < 7 → 5 + 2 < 7 + 2

2) Si: 0a b

a b y c ac bc yc c

Ejemplo: 6 < 9 y 3 >0 ⇾ 6.3 < 9.3 y 6

3<

9

3

3) Si: 0a b

a b y c ac bc yc c

Ejemplo: 3 < 7 y -2 < 0 ⇾ 3 ( -2) > 7 ( -2) y 3

−2 >

7

−2

El conjunto solución de las desigualdades se da mediante intervalos

INTERVALOS: Sea I un subconjunto de R (I R). Decimos que I es un intervalo, si y sólo si es el conjunto de todos los números reales que están comprendidos entre dos extremos (que pueden ser reales o ideales).

MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2016 - I I

22

INECUACIONES LINEALES

Definición: Son desigualdades, provistas de variables en primer grado y entes matemáticos.

Ejemplo 1:

Resolver: 7𝑥 + 5 ≤ −3𝑥 − 5

Pasando las variables al primer miembro: 7𝑥 + 3𝑥 ≤ −5 − 5

Simplificando: 4𝑥 ≤ −10

Dividiendo entre 4: 𝒙 ≤−𝟓

𝟐

∴ 𝐶. 𝑆. = ⟨−∞; −5

2⟩

Ejemplo 2:

Resolver: −3𝑥 − 7 > 7𝑥 − 10

Pasando las variables al primer miembro: −3𝑥 − 7𝑥 > −10 + 7

Simplificando: −10𝑥 > −3

Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 10: 𝑥 <3

10

∴ 𝐶. 𝑆. = ⟨−∞; 3

10⟩

Ejemplo 3:

Resolver: 3 −5𝑥

2≤

2

5+3𝑥

6

Multiplicando por 30 (MCD): 90 − 75𝑥 ≤ 12 + 15𝑥

Pasando las variables al primer miembro: −75𝑥 − 15𝑥 ≤ 12 − 90

Simplificando: −90𝑥 ≤ −78

Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 90: 𝑥 ≥13

15

∴ 𝐶. 𝑆. = [13

15; ∞[

Ejemplo 4:

Resolver: 3−1𝑥 + 2−1𝑥 + 6−1𝑥 > 5

Solución:

5623

xxx

M.C.M. (3; 2; 6) = 6

−5

2

3

10

13

15


23

556

32

x

xxx

∴ C.S. = <5; +>

Ejemplo 5:4𝑥 + 1 ≥ 3 − 5𝑥 > 10 − 7𝑥 6

4𝑥 + 1 ≥ 3 − 5𝑥

Pasando las variables al primer miembro:

4𝑥 + 5𝑥 ≥ 3 − 1 Simplificando: 9𝑥 ≥ 2

Dividiendo entre9: 𝑥 ≥2

9

2

9

S3 − 5𝑥 > 10 − 7𝑥 6

Pasando las variables al primer miembro:

−5𝑥 + 7𝑥 > 10 − 3

Simplificando: 2𝑥 > 7

Dividiendo entre 2 : 𝑥 >7

2

7

2

∴ 𝑥 ∈ ⟨7

2 , ∞⟩

APLICACIONES DE DESIGUALDADES LINEALES

Obtener ganancia: 0U ; 0t tI C

No obtener pérdida: 0U ; 0t tI C

1. Una empresa produce cartucheras. Las cartucheras tienen un precio unitario de venta de

S/. 20 y un costo unitario de S/. 15. Si los costos fijos son de S/. 500 000, determine el

número mínimo de cartucheras que deben venderse para que la empresa tenga utilidades.

Solución: Como se quiere que la empresa tenga utilidades se empleara la siguiente simbología: U ˃ 0

Remplazando tenemos: I – CT ˃ O

2Oq – (15q + 500000) ˃ 0

Por tanto: q ˃ 100000

Rpta: El mínimo número de cartucheras a producir y vender es 100001

I

I

II 5

2/9

I

7/2

I


24

SEMANA 8

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Definición: Son desigualdades, provistas de variables en segundo grado y entes matemáticos.

Casos: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 a, b, y c ∈ ℝ y 0a

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0

Procedimiento:

Resolver la inecuación como si fuera una ecuación, hasta encontrar las raíces, o soluciones

de la ecuación, éstas serán los extremos del intervalo o los intervalos correspondientes al

conjunto solución.

Depende de la relación de orden que tenga la inecuación, para establecer el conjunto solución.

Caso 1.- 2 0ax bx c , entonces:

1) 2 0ax bx c , al resolver supongamos que obtenemos como soluciones 1x m y

2x n

2) Como la relación de orden es ≥

; ;x m n y m < n

Nota: Si la desigualdad hubiera sido solo > el conjunto solución sería:

; ;x m n

Caso 2.- 2 0ax bx c

𝑪. 𝑺 ∶ [𝒎;𝒏]

Nota: En el caso de ser solo < 𝑪. 𝑺 ∶ (𝒎; 𝒏)

m n

+ + −

− + +

𝑚 𝑛


25

Ejemplo:

Resolver 2 6 0x x

1) 2 6 0x x 0)2)(3( xx 31 x ó 22 x

2) Como la inecuación es

𝑪. 𝑺: 𝒙 ∈ ⟨−∞; −𝟐] ∪[𝟑 ; ∞⟩

Analizar:

Si la inecuación es de la forma 2( ) 0ax b el conjunto solución es: ……………………….

Si la inecuación es de la forma 2( ) 0ax b el conjunto solución es: …………………………

¿Cuál sería el conjunto solución si en las desigualdades cuadráticas anteriores no existe el igual?

APLICACIONES DE DESIGUALDADES CUADRÁTICAS

Ejemplos de solución:

(Producción y utilidades). Las ventas mensuales x de cierto artículo cuando su precio es

p dólares están dadas por xp 3200 . El costo de producir x unidades al mes del artículo

es )5650( xC dólares. ¿Cuántas unidades de este articulo deberán producirse y

venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2 200 dólares?

Solución.

( ) ( )I unidades vendidas precio por unidad

)3200( xxI

23200 xxI

El costo C (en dólares) de fabricar x unidades es xC 5650 , la utilidad U (mensual)

obtenida por producir y vender x unidades está dada por:

CIU

)5650()3200( 2 xxxU

2 195 3 650U x x

xpI

-2 3

+ + −


26

Dado que la utilidad U debe ser al menos de $2200, tenemos que

2200 U

2195 3 650 2200x x

Al escribir esto en la forma estándar y dividir todo entre -3 (notando que el signo de la

desigualdad se invierte), se obtiene la desigualdad:

2 65 950 0x x

Que es una inecuación cuadrática, por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el

intervalo cerrado 8.42 ; 2.22

Rpta.

Para alcanzar la meta requerida el número de unidades producidas y vendidas por mes debe

estar entre 23 y 42 inclusive.

(Decisión de precios). Una peluquería tiene un promedio de 120 clientes semanales a un

costo actual de $8 por corte de cabello. Por cada incremento de $0,75 en el precio, la

peluquería perderá 10 clientes. ¿Cuál debe ser el precio máximo que puede cobrarse de modo

que los ingresos semanales no sean menores que los actuales?

Solución.

Sea x el número de incremento de $0, 75 por encima de $8. Entonces el precio por corte de

cabello es (8 0,75 )x dólares, y el número de clientes será de (120 10 )x por semana.

Entonces: Ingresos totales semanales = numero de clientes×precio por corte

)75.08)(10120( xxI

Los ingresos por los 120 clientes actuales son 960$ 8120 por tanto los nuevos ingresos

deben ser al menos $960

(120 10 )(8 0,75 ) 960x x

Simplificando

2 10 7,5 0x x

Por tanto la solución de la desigualdad es el intervalo 4/3 , 0

Esto es, el precio de un corte de cabello debe estar entre $8 y $(8 + 0,75(4/3)) = $9,00

Rpta. El precio máximo que puede cobrarse es $9,00


27

(Ingresos del fabricante). Al precio de p dólares por unidad, x unidades de cierto articulo

pueden venderse al mes en el mercado con xp 5500 .¿Cuántas unidades deberán

venderse cada mes con el objeto de obtener ingresos de por lo menos $12 500?

Solución.

Ingresos totales semanales = numero de unidades x precio

; 12 500 I

(500 5 ) 12500x x 2500 5 12500x x 25 500 12500 0 x x

2 100 2500 0 x x 2( 50) 0 x

La solución de la desigualdad es 50x

Rpta. Al mes se deben venderse 50 unidades.

)5-(500 xxI


28

SEMANA 10

FUNCIONES

I. SISTEMA COORDENADO BIDIMENSIONAL

El sistema coordenado bidimensional o 𝑅2 o rectangular o plano, se representa mediante

dos rectas perpendiculares, llamados ejes coordenados, que se intersectan o cruzan en

un punto llamado origen O. A la línea horizontal se le llama eje X (eje de abscisas), y a la

línea vertical, eje Y (eje de las ordenadas).

Cada punto Pen un plano XY debe tener asignado un par de números llamado par

ordenado, se denota ( , )P a b . a se llama abscisa de P y b ordenada de P. Se dice que

P tiene las coordenadas ),( ba .

II. PRODUCTO CARTESIANO

Dados dos conjuntos A y B , el producto cartesiano se define como:

, /A B x y x A y B

Ejemplo 1

Dado los conjuntos: 2;1;0A y 4;2B , hallar: BA

Solución:

)4,2();2,2();4,1();2,1(();4,0();2,0(BA

y

x

I

CUADRANTE

II

CUADRANTE

III

CUADRANTE

IV

CUADRANTE

(eje de las ordenadas)

( eje de las abscisas)

y

xa

b

( , )a b

o


29

Ejemplo 2

Dado el conjunto: 4; 3; 1A hallar: A A

Solución:

(4, 4); (4,3); (4, 1); (3, 4); (3,3); (3, 1); ( 1, 4); ( 1,3); ( 1, 1)A A

Propiedad

ABBA

III. RELACIONES

Dado un producto cartesiano A x B, mediante una regla de correspondencia entre la

abscisa y la ordenada de sus pares ordenados se dice que existe una RELACIÖN.

Las abscisas de los pares ordenados de la relación se les llaman DOMINIO

Las ordenadas de los pares ordenados de la relación de les llama RANGO

Observación

Si BA tiene n elementos entonces existen n2 relaciones de A en B

a) 7 ( , ) / 1R x y B A x y

IV. FUNCIONES

Definición de Función

Una función de A en B , es una relación BAf que hace corresponder a cada

elemento ""x del conjunto A a lo más un elemento "" y del conjunto .B

La notación de una función es )(xfy que se lee “ y es igual a f dé x ”, donde ""x

es la variable independiente e "" y la variable dependiente.

El conjunto de valores que puede tomar ""x se denomina dominio de una función, y al

conjunto de valores que puede tomar "" y se le denomina rango de la función.

Formas de Representar una Función

Con el fin de describir una función específica podemos usar las siguientes formas:

a) Verbal (mediante una descripción con palabras).

El interés bancario producido por un capital, está en función del tiempo que esté

depositado.

b) Algebraica (por medio de una fórmula explícita).

Con una fórmula: A(r) = r2 que es el área de un círculo.


30

c) Visual (con una gráfica).

d) Numérica (a través de una tabla de valores).

Con una tabla de valores.

w (kilos) C(w) (dólares)

0 < w 1

1 < w 2

2 < w 3

3 < w 4

4

6.5

8.5

10

Costo de enviar por correo de primera clase una encomienda.

e) Diagrama Sagital

Dominio Rango

f) Conjunto de Pares Ordenados

1 2

4, 2 ; ,3 ; 0,1 ; 6,0 ; , 32 5

g

g es una función

x

y

A B

f


31

Formas para determinar si una Relación ó Correspondencia es una función

Existen dos formas para determinar si una relación o correspondencia es o no es una función:

1. Estableciendo los siguientes Principios: Principio de Existencia: “Cada elemento de A está asociado a otro elemento de B” Principio de Unicidad: “A cada elemento de A le corresponde un solo elemento de B”

2. Aplicación del Método de la Recta Vertical: “Se traza una recta vertical paralela al eje “Y” y si corta a la gráfica de la supuesta función en un solo punto; luego la gráfica representa una función” Nota: Se debe analizar la gráfica presentada como posible función de izquierda a derecha aplicando el método referido. Ejemplos:

Determine si la correspondencia dada por el conjunto de pares ordenados es una función:

g: A B {(1;3),(2;4),(,(3;5),(4;6),(5;7)}

f: A B {(1;2),(5;2),(3;a),(a;-2),(a;5)}

f

2

a

-2

5

1

5

3

a

A B

g

1

2

3

4

5

3

4

5

6

7

A B

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5


32

Determinar si las siguientes gráficas representan una función: 1.

2.

3.

4.

No es función ya que al trazar la recta vertical corta a la gráfica en 2 puntos.

Si es función ya que la vertical que se traza corta a la gráfica en 1 punto.

y

x

No es función ya que al trazar la recta vertical, corta a la gráfica en 2 puntos.

No es función ya que la vertical corta a la gráfica en 2 puntos.

y

x

y

x

y

x


33

Cálculo de las variables a y b en una función 1.- Si f es una función encontrar el valor de “a” y “b”

a) f : {(-1;42a – b),(2;3a + b),(6;1),(2;243),(-1;256)}

Solución

Para x = -1 tenemos y = 42a - b = 256

De acuerdo a la propiedad de los exponentes. 42a - b = 256 = 44 . . . . . . . .(1)

Para x = 2 tenemos y = 3a + b = 243

Por el misma propiedad se tiene: 3a + b = 243 = 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

Luego de (1) y (2); igualamos los exponentes resultando un sistema de ecuaciones con

dos incógnitas donde obtenemos que a = 3 y b = 2

a) f : {(a; a + b),(a;14),(b; b - a),(b ; 4)}

Solución

De acuerdo al principio de unicidad se tiene:

a + b = 14 y b – a = 4

Resolviendo tenemos que: a = 5 y b = 9

b) f : {(-1; 2a – 3b),(2; 5a + b),(3; 5),(2; 25),(-1; 64)}

Solución

De acuerdo al principio de unicidad se tiene:

a – 3b = 6 y a + b = 2

Resolviendo tenemos que: a = 3 y b = -1


34

V. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

En la definición de una función encontramos que los valores que puede asumir “x” y los valores que asume “y” forman el Dominio (Dom) y Rango (Rg) respectivamente. Para el caso de una función representada gráficamente puede asumirse una metodología aparente para determinar el Domf y el Rgf y es la siguiente: Cuando se trata de definir Domf analizamos la totalidad de la gráfica de izquierda a derecha y proyectamos la misma sobre el eje X con lo que obtenemos el resultado cuidando la forma de los intervalos en cada tramo analizado. Para el caso del Rgf hacemos exactamente lo mismo pero esta vez se proyecta la gráfica sobre el eje Y. Ejemplo: En las siguientes gráficas determinar Domf y Rgf

Domf : 𝑥𝜖 < −∞; −5 >∪< −5;−4 >∪ [−3; 1[ ∪ {3} Rgf: 𝑦𝜖]−∞ ; 4]

Df : 𝑥 𝜖 < −∞; −5 >∪< −5;2] ∪< 2; 0] ∪< 0; 2 >∪< 2;∞ >

Rf : 𝑦 𝜖 < −∞; −2 >∪ {−1} ∪< 0; 6 >

Nota: El resultado del Dominio y Rango puede abreviarse según sea el tramo y el intervalo analizado.

x

4

3 1 3

y

4

2

5

5

2

1 2

2

6

2


35

SEMANA 11

VI. CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN

Función creciente: Una función f es

estrictamente creciente en el intervalo I ,

si Ixxxfxfxx 212121 ,)()(

La grafica está creciendo o subiendo de

izquierda a derecha conforme el valor de x

también aumenta.

Función decreciente: Una función f es

estrictamente decreciente en el intervalo I ,

si Ixxxfxfxx 212121 ,)()(

La grafica está decreciendo o bajando de

izquierda a derecha conforme el valor de x

aumenta.

Ejemplo

La función 2( ) ( 1) , 0,5f x x x es estrictamente creciente.

Solución

Considerando 01 x y 52 x , entonces:

1)10()0()( 2

1 fxf

36)15()5()( 2

2 fxf

Se tiene que si )()( 2121 xfxfxx se cumple 5,0, 21 xx

Por lo tanto la función es estrictamente creciente en 5,0

Signos de la función

i. 0)( xf )(xf es negativa ;x a b

ii. 0)( xf )(xf es positiva ;x b c

y

1( )f x

2( )f x

1x2x x

x

y

( )f x

a b c

y

2( )f x

1( )f x

1x 2x x


36

Intersecciones con los ejes coordenados

- Intersección con el eje x

Hacemos 0)( xfy , y hallamos el valor de x .

- Intersección con el eje y

Hacemos 0x , y hallamos el valor de y .

Ejemplo

Dada la siguiente gráfica )(xfy

Tenemos:

Dominio:

, 8 6 5,0 1,8domf

Rango:

, 4 3 2,3Ranf

Intervalos de crecimiento:

5,0 , 5,8

Intervalos de decrecimiento

1,5

)(xf es positiva en

6 , 1,3 , 7,8

)(xf es negativa en

, 8 , 5,0 , 3,7

Puntos de intersección con el eje x

(3,0), (7,0)

Punto de intersección con el eje y

(0, 4)

y

x1

3

5 5 7

4

3 8

1

68

3 2


37

VII. EVALUACION DE UNA FUNCION

Evaluar una función significa encontrar un valor para la misma y éste puede ser numérico o literal.

La evaluación de una función tiene dos características:

- Evaluación Analítica

- Evaluación Gráfica

Ejemplos:(Evaluación Analítica)

1) Evalúa las siguientes funciones en los valores indicados:

Función f(a) f(0) f(-2) f(5) f(x + h)

f(x) = 4x2 + 1 4(a)2 + 1 1 17 101 4(x + h)2+1

f(x) = x / 2 a/2 0 -1 5/2 X + h / 2

f(x) = 2x - 6 2a - 6 -6 -10 4 2(x+h) - 6

f(x) = 3x 3a 0 -6 15 3(x+h)

2) Evaluar la función f(x) = 6x – 2 para : f(0) ; f(-2) ; f(8)

f(0) = 6(0) – 2 = -2 f(-2) = 6(-2) – 2 = -14 f(8) = 6(8) – 2 = 46

3) Evaluar la función 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + √𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎: 𝑓(1)𝑦 𝑓(9)

𝑓(1) = √12 + √1 = 2

𝑓(9) = √92 + √9 = 12

4) Evaluar la función 𝑓(𝑥) = {(2𝑥2 – 10𝑥 + 2) ; 𝑥 < 3 7𝑥 + 1 ; 𝑥 > 3

𝑓(0) ; 𝑓(5) ; 𝑓(−2) ; 𝑓(√3) Para resolver esta evaluación debemos tener en cuenta el dominio en el que se sitúa el valor de x examinado y el respectivo valor de la función para ese valor de x. Luego:

𝑓(0) = 2(0)2 – 10(0) + 2 = 2


38

𝑓(5) = 7(5) + 1 = 36

𝑓(−2) = 2(−2)2 – 10(−2) + 2 = 30

𝑓(√3 = 2(√3)2 – 10(√3) + 2 = 8 − 10(√3)

5) Evaluar función: 𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 1 ; −6 ≤ 𝑥 ≤ 6

36 − 𝑥2 ; 6 < 𝑥 ≤ 10

ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑀 = 3𝑓(0) + 8𝑓(7)

4𝑓(−4) – 3𝑓(10)

Luego: f(0) = 02 – 1 = -1 f(7) = 36 – 72 = -13 f(-4) = (-4)2 – 1 = 15 f(10) = 36 – 102 = - 64

Así: 𝑀 = 3(−1) + 8(−13)

4(15) – 3(−64) =

−107

252

Ejemplos:(Evaluación gráfica)

Dada la siguiente grafica determinar: 𝑃 = 𝑓(−4) + 𝑓(0)

𝑓(5) − 𝑓(3)

Seguir el procedimiento propuesto


39

FUNCIONES ESPECIALES

Funciones especiales

1. Función lineal: 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃;𝒂 ≠ 𝟎, 𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙): 𝒙 ∈ 𝑹 , 𝑹𝒈 𝒇(𝒙): 𝒚 ∈ 𝑹

2. Función constante.

cxf )( , donde c es una constante, fDom , cfRan

3. Función cuadrática

,)( 2 cbxaxxf 0a , fDom .

4. Función polinomial

),()( xpxf Donde )(xp es un polinomio, fDom

5. Función Racional

( )

( )( )

p xf x

q x , donde )()( xqyxp ; q(x) ≠ 0 son funciones polinomiales.

0)(/ xqxfDom

6. Función radical

( ) ( )nf x p x , si n es par, 0)(: xpfDom

7. Función por partes o tramos

33

22

11

,)(

,)(

,)(

)(

fDomxxf

fDomxxf

fDomxxf

xf 21 fDomfDomfDom 3fDom .

8. Función valor absoluto

f x x , donde

, 0

, 0

x si xx

x si x

, )( fDom


40

Ejemplo

Hallar el dominio de las siguientes funciones:

1. 2

4( )

xf x

x x

04 x

x4

02 xx

10

0)1(

xx

xx

,4 0,1Dom f

2. 6 3 3

( )3 4

xf x

x

036 x

x2

043 x

43x

3/ 4,2Dom f

OPERACIONES CON FUNCIONES

1. Suma de funciones

xgxfxgf , gDomfDomgfDom )(

2. Diferencia de funciones

xgxfxgf , gDomfDomgfDom )(

3. Multiplicación de funciones

xgxfxfg . , gDomfDomgfDom ).(

4. División de funciones

xg

xfx

g

f

, gDomfDomgfDom )( 0)(/ xgx

5. Composición de funciones

,)()( xgfxgf )()()()( fDomxggDomxgfDom

,)()( xfgxfg )()()()( gDomxffDomxfgDom

Observación

Las operaciones entre funciones están definidas siempre y cuando el dominio de las

nuevas funciones sea distinto de vacío.

4 2


41

7321

Ejemplos

1. Si ( ) 1 ( ) 2,f x x y g x x hallar ))(( xgf y ( )( )f

xg

Solución

;1Dom f y, RgDom )( , entonces:

;1Dom f g , ;1 2f

Domg

Luego:

21)()()( xxxgxfxgf

2

1

)(

)()(

x

x

xg

xfx

g

f

2. Si 7,3,2)( xxxf y 3,0,4)( xxxg . Hallar )(xgf y )(xfg

Solución

a) )()()()( fDomxggDomxgfDom

7,343,0 xx

31

743

x

x

3,0)( gfDom

1 0 3

Por lo tanto:

xxxfxgfxgf 2)4(24)()(

b) )()()()( gDomxffDomxfgDom

3,027,3 xx

21

12

320

x

x

x

)( fgDom

Por lo tanto:

)(xfg No está definido.


42

EJERCICIO RESUELTO

1) Sean las Funciones

Hallar: a) )6)((3

)0)((4)5.)(.(2

gf

gfgfE b)

)20)((5

)8)((2)15)((3

gf

gfgfE

Solución:

a) f(5) . g(5) = 6 x 8 = 48

(f + g)(0) = 0 + 0 = 0

(f – g)(- 6) = - 4 – 8 = - 12

E = 2(48) – 4(0) / 3(- 12)

E = - 96 / 36

Nota: Siguiendo las mismas pautas se resuelve el otro ejercicio.

x

y( )g x

3

8

6 5

4

x

y( )f x

4

6

6 4

4

3

2

2


43

y

x

y

GRÁFICA DE FUNCIONES 1) Función constante

cxf )( , c = constante

𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅, 𝑅𝑔 𝑓(𝑥): 𝑦 𝜖 {𝑐} 3) Función cuadrática

2)( xxf

𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅, 0;Ran f

4) Función valor absoluto

, 0( )

, 0

x xf x x

x x

𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅¸

0;Ran f

2) Función lineal

xxf )(

𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅, 𝑅𝑔 𝑓(𝑥): 𝑦 𝜖 𝑅

4) Función raíz cuadrada

,)( xxf

,0fDom , 0;Ran f

5) Función racional

x

xf1

)(

𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅 − {0};

𝑅𝑔 𝑓(𝑥): 𝑦 𝜀 𝑅 − {0}

y

y y

c

x x 1

1

1

1 -1

-1

- 1 1

1

1 4

2

1

x

-1 1

1

x

y


44

SEMANA 12

FUNCIÓN LINEAL

RECTAS

Pendiente de una recta

Sean 1 1 2 2( , ) ( , )x y y x y dos puntos diferentes sobre una recta no vertical. La pendiente de la

recta se define como: 2 1

2 1

y y cambio verticalm

x x cambio horizontal

Podemos caracterizar la orientación de una recta por su pendiente:

Pendiente cero Recta horizontal

Pendiente indefinida Recta vertical

Pendiente positiva Recta que sube de izquierda a derecha

Pendiente negativa Recta que desciende de izquierda a derecha

FORMAS DE ECUACIONES DE LA RECTA

Ecuación punto – pendiente

Sea la recta L con pendiente m que pasa por el punto 0 0( , )x y , tiene por ecuación:

0 0( )y y m x x

Ejemplo 1: Hallar la recta que pasa por (1,4) que tiene pendiente 5.

Solución:

Tenemos punto de paso (1,4) y m = 5 luego la ecuación de la recta es 4 5( 1)y x

simplificando : 5 1L y x .

Ecuación que pasa por dos puntos

Sea la recta L que pasa por los puntos 1 1 2 2( , ) ( , )x y y x y . Entonces la ecuación de recta

es: 2 11 1

2 1

( )y y

y y x xx x


45

Ejemplo 2: Hallar la ecuación de la recta L que pasa por: (-1,2) y (3,5).

Solución.

Es claro que 5 2 3

3 ( 1) 4m

y tomando como punto de paso cualquiera de ellos, digamos

el punto (3,5) se tiene la ecuación: 3

5 34

y x . Reduciendo tenemos: 3 11

:4 4

L y x

Ecuación pendiente – intersección

Sea la recta L con pendiente m que interseca al eje y en b, tiene por ecuación: bmxy

Ecuación lineal general: 0 CByAx

Ecuación de una recta vertical: ax

Ecuación de una recta horizontal: by

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Rectas Paralelas

Dos rectas 1 2L y L son paralelas, si sus pendientes 1 2m y m son iguales. Es decir:

21 // LL si sólo si 21 mm .

Rectas Perpendiculares

Dos rectas 1 2L Ly son perpendiculares, si sus pendientes 1 2m y m satisfacen la siguiente

relación 1 2. 1m m .

Es decir 1 2 1

2

1

L L mm

si y solo si .

Ejemplo 3:

Hallar la ecuación de la recta L (y su perpendicular) que pasa por el punto (1,2) y es

paralela a la recta 2 3y x .

Solución. Si L pasa por el punto (1,2) y es paralela a la recta 2 3y x entonces la

pendiente de L es 2. Luego aplicando la ecuación punto pendiente tenemos

2 2( 1) : 2y x L y x . Luego la ecuación de la recta L1 perpendicular a L y que pasa


46

por (1,2) es L1: 1

2 12

y x resolviendo tenemos L1:1 3

2 2y x que es la recta

perpendicular a L.

APLICACIONES DE FUNCION LINEAL

Demanda Lineal Oferta Lineal

m es cantidad de equilibrio

n es precio de equilibrio.

Ejemplo 1

Supongamos que la demanda por semana de un producto es de 150 unidades a un precio de

$ 40 por unidad y de 300 unid. A un precio de $ 35 por unidad. Hallar la ecuación de demanda,

si dicha ecuación es lineal.

Solución.

Según los datos, es claro que q = 150 y p = 40; también q = 300 y p = 35. Por el hecho que

es lineal, el precio p y la cantidad q están relacionados linealmente, de modo que podemos

representar en un plano cartesiano de ejes q y p, los puntos 150,40 300,35y , hallando

así la ecuación de la recta que pasa por dichos puntos. Hallando la pendiente, tenemos que:

q

p Pendiente negativa

q

p

Pendiente positiva

q

p

m

n (m,n) Punto de equilibrio


47

35 40 1

300 150 30m

, y tomando como punto de paso, cualquiera de ellos, digamos (40, 150)

tenemos la recta 1 454

30 3p q

, que es la ecuación de demanda

, y tomando como punto de paso, cualquiera de ellos, digamos (40, 150) tenemos la recta

1 454

30 3p q

, que es la ecuación de demanda

EJERCICIO RESUELTO

a) (Ecuación de demanda). Suponga que los clientes demandaran 60 unidades de un

producto cuando el precio es de $ 20 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $ 40

cada una. Hallar la ecuación de la demanda, suponiendo que es lineal. Hallar el precio por

unidad cuando se requiere 35 unidades.

Solución:

Según los datos, es claro que q = 60 y p = 20; también q = 25 y p = 40. Por el hecho que es

lineal, el precio p y la cantidad q están relacionados linealmente, de modo que podemos

representar en un plano cartesiano de ejes q y p, los puntos (60,20) y (25,40), hallando así la

ecuación de la recta que pasa por dichos puntos. Hallando la pendiente, tenemos que:

Así la ecuación de la recta que pasa por dichos puntos. Hallando la pendiente, tenemos que:

𝑚 = 40−20

25−60=

20

− 35=

4

− 7 , y tomando como punto de paso, cualquiera de ellos, digamos (60,

20) tenemos la recta 𝑝 =− 4

7 𝑞 +

415

7, que es la ecuación de demanda. Para q = 35 el precio

debe ser $ 39.28


48

APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

a) Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son: 3 200 1800 0q p y

3 100 1800 0q p , respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares y

“q” el número de unidades vendidas por periodo.

1.- Encuentre, algebraicamente, el precio y la cantidad de equilibrio

Solución:

Definamos el Sistema de Ecuaciones: 3 200 1800 0q p (1)

3 100 1800 0q p (2)

Resolviendo por el método de eliminación tenemos que p = 12 y q = 200 b) En un aula de clases el docente propone resolver el siguiente Sistema de Ecuaciones:

{

12𝑥 − 4

2+3(2𝑥 + 𝑦)

5=16

10

1

7𝑥 −

1

14𝑦 =

11

7

El estudiante Pablo del turno mañana de matemática I sostiene que el sistema no tiene

solución, por lo que se pide resolver el ejercicio y confirmar o no lo mencionado por el

estudiante.

Metodología de solución

a) Sacando el MCM a ambas ecuaciones las uniformizamos como una ecuación lineal propiamente dicha. b) Obtenemos un sistema de ecuaciones más simple y trabajable c) Resolver el sistema por cualquiera de los métodos.


49

SEMANA 13

FUNCIÓN CUADRÀTICA

FUNCIÓN CUADRÁTICA

f es una función cuadrática si y sólo si puede escribirse en la forma 2( )f x ax bx c ;

donde a, b y c son constantes, con 0a .

Representación gráfica de una función cuadrática.

Su gráfica es una curva, llamada parábola, y es simétrica respecto a la recta vertical hx

, llamada eje de simetría y con vértice khV , .

si 0a , 2 y ax bx c si 0a ; cbxaxy 2

la parábola se abre hacia arriba. la parábola se abre hacia abajo.

( )Dom f R ; ( ) ,Ran f k ( )Dom f R ; ( ) ,Ran f k

k valor mínimo de la función k valor máximo de la función

Coordenadas del vértice

Las coordenadas del vértice son: , ,2 2

b bV h k f

a a

y

x h

k ( h ; k )

y

x h

k ( h ; k )


50

Ejemplo 1

Determinar dominio, rango y gráfica de 2( ) 2 8 3y f x x x

Solución:

Primero hallamos el vértice

Como ,2a 8b y 3c , luego 2)2(2

)8(

2

a

bh y 2(2) 2(2) 5(2) 3 1f

Entonces el vértice es: (2,1)V

Como 02 a , entonces la parábola se abre hacia arriba

Gráfica

Ejemplo 2

Determinar dominio, rango y gráfica de 2362)( xxxfy

Solución:

Primero hallamos el vértice

Como ,3a 6b y 2c , luego h= 1)3(2

6

2

a

b y

5)1(3)1(62)1( 2 f

Entonces el vértice es: )5,1(V

Como 03 a , entonces la parábola se abre hacia abajo

Gráfica

( )Dom f R

( ) 1,Ran f

)( fDom

5;)( fRan

3

x 2

1 ( 2 ; 1 )

y

5 (-1; 5)

y

x

-

1

2

4

1


51

APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÀTICA

Recuerda:

Ejemplo:

El ingreso de una empresa algodonera se estima a través del tiempo de acuerdo a la siguiente

función 224 288 64I t t , donde I es el ingreso en miles de dólares y t es el tiempo

medido en años.

a) ¿En qué año se alcanzará el máximo ingreso y cuánto será

b) Grafique la función ingreso.

Resolución:

a) 6)24(2

288

2

a

bth 224 288 64I t t

Luego: 2(6) 24(6) 288(6) 64I

(6) 800I

El máximo ingreso se alcanzará en el 6to año.

El máximo ingreso será de 800 mil dólares.

b)

U = IT - CT IT = p.q donde: p precio unitario. q cantidad.

V (h, k) =

a

bf

a

b

2,

2 el vértice de una parábola.

I

t 6

800 (6,800)


52

APLICACIONES

Ejemplo 1

La función de demanda de un fabricante de muebles es qqfp 71400)( , donde p es el

precio (en euros) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana).

a) Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante.

b) Determine el ingreso máximo.

Solución:

Lo que tenemos es la Demanda de los muebles y esto significa que estamos frente a una Función Lineal y en realidad lo que buscamos es determinar una Función Cuadrática según el tema tratado.

Relacionemos la función dada como dato y la incógnita, que en este caso esta representada por el Ingreso y busquemos un camino hacia la función que verdaderamente necesitamos.

I = p q = (1400 – 7q)q

I = - 7q2 +1400q que es precisamente nuestra función cuadrática.

Calculemos la dirección y el vértice de la parábola.

Por ser a negativo la parábola va para abajo

Aplicando las fórmulas para h ; k tenemos: h = 100 y k = 70000

Luego el vértice es (100; 70000)

Si la parábola va para abajo, significa que Kmáx = Imáx = 70000 por ser el punto más alto de la gráfica para un nivel de producción de 100 unidades.

Nota:

Para graficar se sigue los pasos siguientes:

a) Intersección en “q”: Se hace f(X) = 0 y se obtienen dos puntos que son por donde la gráfica

corta al eje q.

b) Intersección en “I”: Se hace q = 0 y se obtiene el intercepto en eje I.


53

APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES.

1. En el problema siguiente, se proporciona una ecuación de oferta y una de demanda

para un producto. Si “p “representa el precio por unidad en dólares y “q” el número

de unidades por unidad de tiempo, encuentre el punto de equilibrio.

Oferta : 2 20p q ; demanda :2200 2p q

2. En el problema siguiente se representa el ingreso total en TI dólares y TC el costo

total en dólares para un fabricante. si “q” representa tanto el número de unidades

producidas como el número de unidades vendidas. Encuentre la cantidad de

Equilibrio. Esquematice un diagrama de equilibrio

303

)10( 2

qC

qI

T

T

3. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son p - 2q = 20 y p + 2q2 - 200 = 0,

respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares y “q” el número

de unidades, encuentre el punto de equilibrio y muéstrelo gráficamente.

4. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son p - 4q = 24 y p + 4q2 - 248 = 0

respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares y “q” el número

de unidades, encuentre el punto de equilibrio y muéstrelo gráficamente.


54

SEMANA 14

DESIGUALDADES EN EL PLANO CARTESIANO

Si en un plano P consideramos una recta L éste queda dividido en tres conjuntos: el conjunto

de puntos que están en la recta misma, y los semiplanos 1

p y 2

p formados por los puntos

que están a uno y otro lado de la recta L .

Consideremos la recta vertical x a .

Los puntos que están en la recta son aquellos que satisfacen su ecuación. Los puntos que

están a la izquierda satisfacen la inecuación x a , y los puntos que están a la derecha

satisfacen la inecuación x a .

EJEMPLO 1. Graficar en el plano cartesiano la desigualdad y x

Primero graficamos a la recta y x .

La recta ha sido trazada en forma punteada ya que los puntos sobre ella no forman parte del

conjunto solución de la desigualdad (semiplano abierto). Por tanto, la recta trazada es la

frontera entre los puntos que satisfacen la desigualdad y los puntos que no la satisfacen.

y x

a


55

Para determinar el semiplano que representa gráficamente a la inecuación se toman dos

puntos. Uno que esté por encima de la recta y el otro por debajo. El punto que satisface la

desigualdad determina el semiplano que representa la solución.

En nuestro caso tomamos los puntos ( 2; 2) y (3; 2) , entonces el punto que satisface la

desigualdad es (3; 2) , por lo que la gráfica de y x es el semiplano bajo la recta fronteriza.

EJEMPLO 2. Graficar en el plano cartesiano la desigualdad 1y x

Primero graficamos a la recta 1y x .

Luego verificamos si las coordenadas del punto (0, 0) satisfacen la desigualdad. Como este

es el caso, entonces el semiplano que representa gráficamente a la inecuación es el que

contiene al origen.

y x


56

Graficar en un mismo sistema de coordenadas el conjunto formado por las

siguientes desigualdades:

EJEMPLO 3

25

0

0

x y

x

y

Como las desigualdades deben satisfacerse simultáneamente, se debe graficar la intersección

de las regiones correspondientes a cada una de ellas.

Primero graficamos la desigualdad 0x :

Es decir: 0x . Se observa que esta recta es coincidente con el eje Y del sistema.

Su grafica es el semiplano ubicado a la derecha del eje Y (puesto que 0x )

Segundo graficamos la desigualdad 0y :

Es decir: 0y . Se observa que esta recta es coincidente con el eje X del sistema.

Su grafica es el semiplano ubicado arriba del eje X (puesto que 0y ).

Tercero graficamos la desigualdad 25x y :

Es decir: 25x y .

Su grafica es el semiplano ubicado por debajo de la recta 25x y (puesto que

25x y ).


57

EJEMPLO 4.

Indicar los vértices del polígono formado.

Como las desigualdades deben satisfacerse simultáneamente, se debe graficar la intersección

de las regiones correspondientes a cada una de ellas.

Es claro que la región que corresponde a 0x es el semiplano ubicado a la derecha del eje

Y , y la que corresponde a 0y es el semiplano ubicado arriba del eje X . Graficaremos

las rectas 2 6x y y 4x y .

Y

X

25

25


58

EJEMPLO 5

𝑥 − 𝑦 < 5

𝑥 + 2𝑦 < 14

𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0

SOLUCIÓN

𝑥 − 𝑦 = 5 (1) 𝑥 + 2𝑦 = 14 (2)

𝒚 𝒙−𝟓 𝟎 𝟎 𝟓

𝒚 𝒙 𝟕 𝟎 𝟎 𝟏𝟒

A, B y C son los vértices del

polígono.


59

EJEMPLO 6

2𝑥 + 𝑦 ≤ 8

2𝑥 + 3𝑦 ≤ 12

𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0

SOLUCIÓN

2𝑥 + 𝑦 = 8 → (1) 2𝑥 + 3𝑦 = 12 → (2)

𝒚 𝒙𝟖 𝟎𝟎 𝟒

𝒚 𝒙 𝟒 𝟎 𝟎 𝟔

A, B y C son los vértices

del polígono.


60

SEMANA 15

INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACION LINEAL

La teoría de la programación lineal fue desarrollada en la década 1940 - 1950 por matemáticos

tales como John von Neumann, George Dantzig, T. Koopmans, etc. La programación lineal

sirve para encontrar el valor máximo o el valor mínimo de una expresión lineal sujeta a un

conjunto de desigualdades lineales. La aplicación más común abarca el problema general de

asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible, esto es,

en forma óptima. Tiene aplicaciones en la investigación de operaciones, ciencias

administrativas, física y biología.

Veamos el ejemplo de una fábrica que produce una gama de artículos y que dispone de una

variedad de recursos (personal, materias primas, máquinas, créditos, etc.) cada uno de los

cuales supone un costo a considerar. ¿Cuál debe ser la política a seguir si se quieren

conseguir los máximos beneficios?

FORMA DE REPRESENTAR LOS MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

FORMA GENERAL:

a) FUNCIÓN OBJETIVO

FO: Max / min Z = C1X1 + C2 X2 + ... + CJXJ + ... + CnCn

b) RESTRICCIONES ESTRUCTURALES

Re:

{

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2+ . . . . . +𝑎1𝑛𝑥𝑛 , < = > 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2+ . . . . . +𝑎2𝑛𝑥𝑛, < = > 𝑏2

.

.𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2+ . . . . . +𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛, < = > 𝑏𝑚

Donde:

n = número de variables de decisión. m = número de restricciones, y n > m

aij = son coeficientes técnicos, que indican la proporción de un determinado recurso que requiere un producto, por cada unidad que se elabore de ella. Sirve para indicar también en algunos casos, una relación lógica de las variables.


61

bj= son las constantes, referidos al nivel de recursos disponibles. En algunos casos representan los valores que tienen las relaciones lógicas.

Cj= representan los costos o utilidades que generan cada una de las variables del

modelo por unidad.

c) RESTRICCIONES DE “ NO NEGATIVIDAD (RNN) ”

XJ > 0 ; J = 1, 2, ..., n

X2

X1

VARIABLES ESTRUCTURALES O DE DECISION:

Son variables bases del modelo, que están directamente relacionadas con el problema real.

EJEMPLO N° 1:

FO: MIN Z = 2x1+ 15x2 + 10x3 + 5x4

Re:

{

2x1 + x2 + 3x3 − x4 ≥ 10x1 + 4x2 + 2x4 ≥ 15

5x1 + 3x2 + x3 + x4 ≥ 20x ≥ 0y ≥ 0

+

+


62

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

EJEMPLO 1

Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 de proteínas. El alimento

A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas; el alimento B contiene 2 unidades

de carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento cuesta $ 1,20 por unidad y el B $ 0.8 por

unidad. ¿Cuántas unidades de cada alimento deben prepararse para minimizar el costo?.

¿Cuál es el costo mínimo?

SOLUCIÓN

Carbohidratos (x) A B

Proteínas (y) X 2 4

Y 2 1

𝐶𝑀𝐼𝑁 = 1,2𝑥 + 0,80𝑦

Sujeto a:

{

2𝑥 + 2𝑦 ≤ 16 → (1)

4𝑥 + 𝑦 ≤ 20 → (2)

𝑋 ≥ 0 → (3)

𝑌 ≥ 0 → (4)

𝑦 𝑥8 00 8

𝑦 𝑥20 00 5

VERTICES:

𝐴 ( 8 , 0) 𝐶 (0 , 20)

B: 4𝑥 + 𝑦 = 202𝑥 + 2𝑦 = 16

4𝑥 + 𝑦 = 20 𝑥 + 𝑦 = 8

𝑥 + 𝑦 = 8 4 + 𝑦 = 8 ⇒ 𝑦 = 2 𝑥 = 4

𝐵 (4, 2)

𝐶𝐴 = 1,2 (8) + 0,8 (0) = 9,6

𝐶𝐵 = 1,2 (4) + 0,8 (2) = 4,8 + 1.6 = 6,4 (𝑚í𝑛. )


63

RESPUESTA:

Deben comprarse 8 unidades de carbohidratos y ninguna unidad de proteínas para

minimizar el costo. El costo mínimo será de 9,6 dólares.

EJEMPLO 2

Una fábrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña. La fábrica dispone de

80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio. Para construir una bicicleta de paseo se

necesita 1Kg de acero y 3 Kg de aluminio, y para construir una bicicleta de montaña

se necesita 2kg de acero y 2kg de aluminio. Si vende las bicicletas de paseo a $200

y las de montaña a $150. ¿Cuántas bicicletas de cada tipo debe construir para que el

beneficio sea máximo?. ¿Cuál es el beneficio máximo?

SOLUCIÓN

ACERO ALUMINIO

A 1 3 X : Bicicleta de paseo

B 2 2 Y : Bicicleta de montaña

Total 80 120 U : Utilidad

Máx 𝑈 = 200𝑥 + 150 𝑦

S. A.

{

𝑥 + 2𝑦 ≤ 80 → (1)

3𝑥 + 2𝑦 ≤ 120 → (2)

𝑋 ≥ 0 → (3)

𝑌 ≥ 0 → (4)

𝑦 𝑥40 00 80

𝑦 𝑥 60 0 0 40

VERTICES

A (40,0) B

C (0; 40)

B:

𝑥 + 2𝑦 = 80 20 + 2𝑦 = 80

3𝑥 + 2𝑦 = 120 2𝑦 = 80 −𝑥 − 2𝑦 = −80 3𝑥 + 2𝑦 = 120

𝑦 = 30

2𝑥 = 40 𝑥 = 20

𝐵 (20; 30)

RESPUESTA:

𝑈𝐴 = 200 (40) + 150 ( 0) = 8000

𝑈𝐵 = 200 (20) + 150 (30) = 8500 (𝑀á𝑥)

𝑈𝐶 = 200 (0) + 150 (40) = 6000


64

Respuesta:

Deben construirse 20 bicicletas de paseo y 30 de montaña. La utilidad máxima es de $8 500.

EJEMPLO 3

Una empresa fabrica dos modelos de DVD: el modelo A y el modelo B. Se dispone de 50

kilogramos de caucho y de 80 horas de mano de obra. Para fabricar un DVD del modelo A se

utiliza 1 kilogramo de caucho y 1 horas de trabajo, y para fabricar un DVD del modelo B se

utiliza 1 kilogramo de caucho y 2 hora de trabajo. Si la venta le genera una utilidad 30 soles

por cada modelo A y 40 soles por cada modelo B. ¿Cuántos DVD de cada tipo debe fabricar

y vender para que la utilidad sea máxima?, ¿Cuál es la utilidad máxima?.

Consideremos: x : Número de DVD del modelo A

y : Número de DVD del modelo B.

U : Utilidad mensual.

La función objetivo, que se debe maximizar, es: 30 40U x y

50 (1)

2 80 (2)

0 (3)

0 (4)

. .

x y

x y

x

y

s a

A las restricciones (3) y (4) se les denomina condiciones de no negatividad. La región que

satisface simultáneamente las condiciones (1) a (4) se denomina región factible.

Graficando las desigualdades e identificando la región factible se tiene:

MODELO A MODELO B TOTAL

Cantidad de caucho 1x 1x 50 kg.

Horas de mano de obra 1x 2x 80 horas

Y

X

40

50 80

50

A B

C

D


65

Se puede probar que una función lineal definida sobre una región factible acotada y no vacía

tiene un valor máximo (o mínimo) y se encuentra en uno de sus vértices. Para hallar este valor

es suficiente evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible y

después elegir aquél en que la función objetivo resulte óptima.

En nuestro caso, las coordenadas de los vértices de la región factibles son:

A (0, 0) B (50, 0) C (20, 30) D(0, 40)

Entonces, se evalúa la función objetivo en cada punto:

U (0, 0) = 30 (0) + 40 (0) = 0

U (50, 0) = 30 (50) + 40(0) = 1500

U (90, 0) = 30 (20) + 40 (30) = 1800

U (0, 40) = 30 (0) + 40 (40) =1600

Por consiguiente U tiene un valor máximo en C , en donde: 20x e 30y .

Se debe fabricar y vender 20 DVD del modelo A y 30 DVD del modelo B. La utilidad máxima

es de de S/. 1 800.

EJEMPLO 4

Supongamos que una compañía fabrica dos tipos de artefactos, manuales y eléctricos. Cada

uno de ellos requiere en su fabricación el uso de tres máquinas: A, B y C. Un artefacto manual

requiere del empleo de la máquina A durante dos horas, de una hora en la máquina B y de

una hora en la máquina C. Un artefacto eléctrico requiere de una hora en A, dos horas en B y

una hora en C. Supóngase, además, que el número máximo de horas disponibles por mes

para el uso de las tres máquinas es 180, 160 y 100, respectivamente. La utilidad que se

obtiene con artefactos manuales es de $4 y de $6 para los eléctricos. Si la compañía vende

todos los artefactos que fabrica ¿cuántos artefactos de cada tipo se deben elaborar con el

objeto de maximizar la utilidad mensual?

Un resumen de los datos se presenta en la siguiente tabla

A B A Utilidad

Manual 2h 1h 1h 4

Eléctrica 1h 2h 1h 6

Horas disponibles 180 160 100


66

Consideremos

x : Número de artefactos manuales que se fabrican en el mes.

y : Número de artefactos eléctricos que se fabrican en el mes.

U : Utilidad mensual.

La función objetivo es:

: 4 6U x y Maximizar

2 180 (1)

2 160 (2)

100 (3)

0 (4)

0 (5)

x y

x y

x y

x

y

A las restricciones (4) y (5) se les denomina condiciones de no negatividad. La región que

satisface simultáneamente las condiciones (1) a (5) se denomina región factible.

Aunque existen una cantidad infinita de soluciones, se debe hallar la que maximice a la función

de utilidad.

Se puede probar que una función lineal definida sobre una región factible acotada y no vacía

tiene un valor máximo (o mínimo) y se puede encontrar este valor en un vértice. Esta


67

afirmación permite hallar soluciones óptimas, para lo cual es suficiente evaluar la función

objetivo en cada uno de los vértices de la región factible y después elegir aquél en que la

función objetivo resulte óptima.

En nuestro caso, tenemos

A (40, 60) B (80, 20) C (90, 0) D(0, 0) E (0, 80) .

Entonces, se evalúa la función objetivo en cada punto:

U (40, 60) = 4 (40) + 6 (60) = 520

U (80, 20) = 4 (80) + 6 (20) = 440

U (90, 0) = 4 (90) + 6 (0) = 360

U (0, 0) = 4 (0) + 6 (0) = 0

U (0, 80) = 4 (0) + 6 (80) = 480.

Por consiguiente U tiene un valor máximo de $520 en A , en donde 40x e 60y .


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SEMANA 16

APLICACIONES

1. Una compañía química diseña una planta para producir dos tipos de polímeros P1 y P2.

La planta debe tener una capacidad de producción de al menos 100 unidades de P1 y

420 de P2 cada día. Existen dos posibles diseños para las principales cámaras de

reacción que se incluirán en la planta. Cada cámara de tipo A cuesta $600 000 y es capaz

de producir 10 unidades de P1 y 20 unidades de P2 por día, el tipo B es un diseño más

económico, cuesta $300 000 y es capaz de producir 4 unidades de P1 y 30 unidades de

P2 por día. Debido a los costos de operación es necesario tener al menos 4 cámaras de

cada tipo en la planta. ¿Cuántas de cada tipo deben incluirse para minimizar el costo de

construcción y aún así satisfacer el programa de producción requerido? (Suponga que

existe un costo mínimo).

2. Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevos artículos:

camiones y camionetas con base en la información siguiente:

Máquina A Máquina B Máquina C

Camión 2h 3h 5h

Camioneta 1h 1h 1h

Las horas que los empleados tienen disponibles por semana son: para operación de la

máquina A, 80 horas, para la B 50 horas, para el acabado 70 horas. Si las utilidades en

cada camión y cada camioneta son de $7 y $2 respectivamente. ¿Cuántos juguetes de

cada uno deben producirse por semana con el fin de maximizar la utilidad? ¿Cuál es la

utilidad máxima?

3. La empresa de transporte “Viaje Feliz”, desea vender a lo más 260 pasajes de Lima a

Tumbes, , de dos clases: clase VIP y clase económica.

La ganancia correspondiente son de 60 y 40 soles respectivamente. Además la empresa

decide vender por lo menos 120 pasajes de la clase económica. Se pide:

a) La cantidad de pasajes de cada clase para que las ganancias sean máximas.

b) Cuál es la ganancia máxima.

4. Si “X” es el número de unidades del producto A; “Y” el número de unidades del producto B,

el administrador formula el modelo utilizando la técnica de programación lineal (P.L.):

G = 500x + 200y

s.a.:

2x + 3y > 12

2x + y < 8

x > 0; y > 0


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Afirma que cuando se producen y venden 3 unidades del producto A y 2 unidades del

producto B; la ganancia máxima será $19 000.

Se pide defender o cuestionar dicha afirmación justificando su respuesta.

5. La mueblería ESTILO S.A. fabrica y vende juegos de dormitorio en caoba y cedro. Cada

juego de dormitorio de caoba le origina una ganancia de $120 y cada juego de dormitorio

de cedro le origina una ganancia de $150. Se sabe que la fábrica produce al mes no más

de 200 juegos de dormitorios de caoba y no más de 250 juegos de dormitorios de cedro;

y que al mes en tienda no se venden más de 300 juegos de dormitorios. Al utilizar la

técnica matemática de la programación lineal, que consiste en:

c) Plantear tus incógnitas y darles variables.

d) Formular la ecuación o función ganancia.

e) Plantear el sistema de inecuaciones.

f) Graficar el sistema de inecuaciones.

g) Evaluar en la función ganancia.

Recomienda cuántos juegos de dormitorio y de qué tipo se deben producir y vender para

maximizar las ganancias de la empresa.

6. Un empresario textil para su departamento de ropa de vestir encarga la confección de

pantalones y poleras de damas estilo deportivo. El fabricante dispone para la confección

750 m de tejido de algodón y 1 000 m de tejido de poliéster; se sabe que cada pantalón

precisa de 1 m de algodón y 2 m de poliéster y que cada polera necesita de 1.5 m de

algodón y 1 m de poliéster.

El precio del pantalón se fija en S/.100 y el de la polera en S/.80. Su Gerente de Ventas

le indica que debe vender 250 pantalones y 375 poleras para que el Ingreso sea máximo,

Se le pide a Ud. que defienda o cuestione la opinión del Gerente de Ventas e indique

además cuál sería el Ingreso Máximo.

7. Una compañía fabrica dos tipos de artefactos manuales y eléctricos. Cada uno de ellos

requiere en su fabricación el uso de dos máquinas: A y B. Un artefacto manual requiere

del empleo de la máquina A durante una hora y de una hora en la máquina B. Supóngase,

además, que el número máximo de horas por mes que dispone para el uso de las dos

máquinas A y B es de 180 y 100 respectivamente.

La Utilidad que se obtiene con artefactos manuales es de $4 y para los eléctricos es de

$6. Su Gerente de Ventas le indica que la Utilidad Máxima se obtiene cuando se venden

80 artefactos manuales y 20 artefactos eléctricos. Se le pide a Ud. que defienda o

cuestione la opinión del Gerente de Ventas e indique además cuál sería la Utilidad

Máxima.

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