matemática i guía de seminarios y clases de...

Matemática I

Guía de Seminarios y

clases de Taller

Lic. Victoria Benavente Llorente

Lic. Natalia Esteves López

Lic. Ezequiel Ferrero

Lic. Belén Franzoni

Dra. Jimena Olmos Asar

Dra. Ma. Belén Oviedo

Dr. Alexis Paz

Dr. Luis Reinaudi

Dr. Cristián G. Sánchez

Universidad Nacional de Córdoba

Facultad de Ciencias Químicas

Departamento de Matemática y Física

IntroducciónProlegómenos de la asignatura Matemática I

La asignatura Matemática I del Ciclo Básico Común de la Facultad de Ciencias Químicas de laUNC desarrolla los conceptos fundamentales del análisis diferencial de funciones de una variabley sus aplicaciones. Además de los objetivos relacionados con los contenidos especí�cos de laasignatura, se espera que los estudiantes logren durante el desarrollo de la misma una serie dehabilidades relacionadas con la resolución de problemas y la aplicación de razonamientos lógicosa la justi�cación de procedimientos.La asignatura se desarrolla en tres tipos de clases que se dictan semanalmente durante el primercuatrimestre:

Clases Teóricas: Las clases teóricas son no obligatorias y desarrollan los conceptos delprograma de clases teóricas detallado más adelante. Estas clases se dictan en dos módulossemanales de 1:20 hora de duración. Si bien las clases teóricas no son obligatorias se re-comienda fuertemente que los alumnos asistan a las mismas ya que allí se desarrollan losfundamentos de la asignatura.

Seminarios: Durante las clases de seminario el docente ejempli�ca la aplicación de losconceptos teóricos a situaciones problemáticas típicas desarrollándolas para los estudiantesen la pizarra. Los ejercicios a ser desarrollados durante el seminario están indicados expre-samente en la guía de trabajos prácticos. Estas clases consisten en un módulo semanal de1:00 hora de duración.

Clases de taller: Las clases de taller son de 2:00 horas de duración y tienen la �nalidad deque los alumnos trabajen en grupos o junto con el docente en la resolución de los ejerciciosde la guía de trabajos prácticos, en la cuál se destacan aquellos problemas que se considerenclave en la adquisición de conceptos básicos.

Contenidos Curriculares Básicos

Los siguientes temas corresponden a los contenidos curriculares básicos del área temática mate-mática exigidos por el Ministerio de Educación de la Nación para las carreras de Bioquímica yFarmacia:

1. Funciones lineales, cuadráticas, polinómicas, exponenciales y trigonométricas.

2. Vectores en el plano y en el espacio.

3. Límites, derivadas, diferenciales.

4. Integrales inde�nidas y de�nidas.

5. Derivadas parciales.

6. Integrales curvilíneas y múltiples.

7. Ecuaciones diferenciales ordinarias.

8. Aplicaciones.

En el transcurso de la asignatura Matemática I se desarrollan los puntos destacados en negrita.

1

Introducción 2

Objetivos

Al terminar el curso de Matemática I, el alumno:

1. De�nirá en lenguaje simbólico, grá�co y verbal los conceptos de función, límite, continuidady derivada.

2. Resolverá ecuaciones e inecuaciones en una variable conteniendo funciones trascendentes.

3. Calculará límites de funciones polinomiales, racionales y trascendentes en un punto dado.

4. Dada una función arbitraria, determinará dominio, imagen, asíntotas, límites laterales,puntos de discontinuidad, intervalos de crecimiento y decrecimiento y recta tangente en unpunto.

5. Calculará derivadas de funciones arbitrarias de una variable.

6. Enunciará en lenguaje simbólico, grá�co y verbal los teoremas de Rolle y de Valor Medio,y los aplicará a la resolución de situaciones problemáticas.

7. Gra�cará funciones arbitrarias de una variable.

8. Calculará puntos extremos relativos y absolutos de una función en un intervalo dado.

9. Aplicará los conceptos de derivada y funciones trascendentes a la resolución de situacionesproblemáticas.

Además, adquirirá a lo largo del curso las siguientes habilidades:

1. Ante una situación problemática dada, diseñará una estrategia de solución, obtendrá unasolución apropiada y justi�cará en forma correcta la elección de la estrategia y la coherencialógica de su planteo.

2. Presentará los resultados correctamente en forma verbal, simbólica y grá�ca.

3. Comunicará los resultados y procedimientos prolija y ordenadamente.

4. Calculará correctamente resultados algebraicos.

Programa de clases teóricas

1. Repaso: Números naturales, enteros, racionales e irracionales. Números reales. Represen-tación de los números en la recta real. Conjuntos: de�nición, pertenencia, Intersección yunión. Desigualdades: Relación de mayor o menor en términos del orden del conjunto delos reales, reglas para las desigualdades, desigualdades continuas.

2. Intervalos: Finitos e in�nitos, abiertos y cerrados, semiabiertos, expresión de soluciones deinecuaciones en términos de intervalos.

3. Valor absoluto: De�nición, solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto, pro-piedades del valor absoluto (producto y cociente), desigualdad triangular.

4. Coordenadas cartesianas, distancia en el plano, ecuación de la circunferencia, rectas, ecua-ción de la recta, rectas paralelas y perpendiculares.

Introducción 3

5. Funciones: De�nición del concepto de función, dominio e imagen, grá�cos de funciones,diferencia entre grá�cos de funciones y relaciones, paridad, evaluación, composición y com-binación (suma, producto y cociente) de funciones, grá�cos de composiciones simples (tras-lación, estiramiento, re�exión). Dominio de la función compuesta. Funciones elementales.Polinomios.

6. Funciones trigonométricas: de�nición en términos de la circunferencia trigonométrica. Fun-ciones periódicas, solución de ecuaciones que contienen funciones periódicas.

7. Funciones inversas, Funciones uno a uno, Cómo encontrar la inversa, Grá�co de la funcióninversa.

8. Función Exponencial, Extensión intuitiva de la exponenciación racional a exponentes irra-cionales, propiedades de la exponencial, de�nición de logaritmo como inversa de la funciónexponencial, propiedades del logaritmo.

9. Límites: De�nición intuitiva, de�nición formal, cálculo del límite de una función lineal enun punto por medio de la de�nición formal, ejemplos de funciones que no poseen límite enun punto, límites laterales. Reglas para el cálculo de límites. Límites en el in�nito. Asíntotasverticales y horizontales. Teorema del Sándwich.

10. Continuidad, discontinuidad evitable, discontinuidad in�nita, continuidad lateral, continui-dad en un intervalo, continuidad de funciones combinadas.

11. Derivada: de�nición, relación con la recta tangente al grá�co, diferenciabilidad, relaciónentre diferenciabilidad y continuidad, notaciones para la derivada, reglas de derivacion,regla de la cadena.

12. Derivadas de funciones trigonométricas, limites notables, diferenciación implícita, derivadasde orden superior, derivadas de funciones trigonométricas inversas, derivadas de exponen-ciales y logaritmos, derivada de la función inversa.

13. Máximos y mínimos locales y absolutos, teorema del valor extremo, teorema de Fermat,puntos críticos, relación entre extremo local y punto crítico, recetas para encontrar extre-mos absolutos en un intervalo cerrado, teorema de Rolle, teorema del valor medio, regla dela derivada primera, funciones crecientes y decrecientes, concavidad, punto de in�exión, cri-terio de la derivada segunda. Utilización de la información obtenida para gra�car funcionesarbitrarias.

Programa de clases prácticas

1. Lenguaje matemático, estrategias de solución y operaciones básicas.

2. Conjuntos: Unión, intersección, representaciones y nomenclatura.

3. Funciones I: De�nición, composición, combinación y grá�cas.

4. Funciones II: Desplazamiento, estiramiento y re�ejo de grá�cas. Funciones Trigonométricas.

5. Funciones III: Funciones uno a uno, función inversa, exponenciales y logaritmos.

6. Límites.

7. Continuidad.

Introducción 4

8. Derivadas I: Reglas de derivación, recta tangente, derivación implícita.

9. Derivadas II: Funciones Trigonométricas, Exponenciales y Logarítmicas.

10. Extremos en intervalos cerrados: Determinación de máximos y mínimos en intervalos ce-rrados.

11. Análisis completo de funciones: Valor medio, crecimiento, decrecimiento, dirección de laconcavidad.

1 - Lenguaje matemático, estrategias de solución yoperaciones básicas

En este práctico se repasarán los conceptos básicos de la matemática, aplicando técnicas de ma-nejo algebraico y analizando cómo evitar los errores más comunes. Estas habilidades son de sumaimportancia para cualquier razonamiento lógico, tal como se muestra en la siguiente cita:

��Contrariar las reglas de la lógica matemática sólo trae calamidades. Basta una premisa mate-

mática falsa para poder probar cualquier disparate�.

��¾En serio? A ver, si 2+2=5, demuéstreme que yo soy el Papa�

��Si 2+2=5, entonces 5=4 restémosle 3 y tendremos que 2=1, si usted y el Papa son dos el Papa

y usted son uno, por lo tanto, usted es el Papa�

Bertrand Rusell

Objetivos

Al �nalizar este práctico, el alumno:

Se expresará correctamente en lenguaje matemático y evitará cometer errores comunes(pérdida de soluciones, división por cero, . . . ) en el manejo algebráico.

Realizará demostraciones matemáticas simples

Resolverá correctamente inecuaciones, ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

Aplicará cuando sea necesario técnicas de manejo algebraico, tales como completar cua-drados, factorizar, simpli�car, racionalizar, etc.

Temas Teóricos

Números naturales, enteros, racionales e irracionales. Números reales.

Propiedades de las operaciones.

Lenguaje matemático. Demostraciones.

Manejo Algebraico: Factorización, racionalización, completar cuadrados, etc.

Funciones cuadráticas: forma polinómica, canónica y factorizada.

Bibliografía

Michael Spivak. Calculus. Segunda Edición. Capítulo 1 �Propiedades básicas de los núme-ros� (pág. 3-26) y 2 �Distintas clases de números� (pág. 27-45).

Ciclo de Nivelación FCQ UNC. Introducción al estudio de las Ciencias Químicas. Año 2016.�Números Reales� (pág. 39-80).

5

Lenguaje matemático 6

Adrián Paenza. Matemática. . . ¾Estás ahi? - Episodio 2. �Monedas en carretilla� (pág. 43-48).

http://www.acertijos.net

Ejercicios Seminario

S1. Discuta brevemente qué signi�ca demostrar algo matemáticamente y demuestre las siguien-tes a�rmaciones:(a) El cuadrado de un número par es par.

(b)√

2 no es un número racional. (Ayuda: De�na qué es un número racional, escriba√

2 co-mo una fracción irreducible y utilice las dos demostraciones anteriores para llegar a un

absurdo). Con esta demostración, ¾Queda demostrada la existencia del número√

2?.

S2. Gra�que y resuelva las siguientes ecuaciones:

(a) x2 = 2 + x

(b) x2 < 2 + x

(c)

{x = 2yy = x2

S3. Resuelva las siguientes ecuaciones (Ayuda: realice un análisis cuidadoso de los signos decada miembro o factor):

(a)

{x2 + 2 = −y

y = 2 + 3x2

(b) θ(ρ2 + 2ρ+ 1) = 0

(c)x2

(x2 − 4x+ 4)(√

7 +√

13x4)≤ 0

S4. Convierta la expresión polinómica x2−x+2 en su forma canónica (completando cuadrados)y factorizada (encontrando las raíces) y gra�que. ¾Es siempre posible encontrar la formafactorizada de un polinomio cuadrático?

Ejercicios Taller

T1. Al igual que el producto, la suma es una operación entre dos elementos de un conjuntoque resulta en otro elemento del mismo conjunto. Estas operaciones quedan completamentede�nidas por sus propiedades. Responda:(a) ¾Qué propiedades son necesarias para extender el producto y la suma para más de dos

elementos?

(b) ¾Qué propiedades son necesarias para de�nir las operaciones de resta y división?

T2. Tome una calculadora y realice las siguientes operaciones:

(a) Piense un número entero (llámese β), sume 10−30, luego reste β y por último divida por10−30. ¾Qué resultado obtiene? Escriba las operaciones realizadas en una expresión alge-braica y resuélvala. ¾Puede explicar lo ocurrido, y en qué momento se introdujo el error?¾Considera que puede con�ar en la calculadora para realizar cualquier operación?


T3. (*) Dado el siguiente razonamiento matemático:Sean a y b números distintos de cero, además a = b, entonces:

a = b multiplicando por a:

a2 = ab sumando (a2 − 2ab) :a2 + (a2 − 2ab) = ab+ (a2 − 2ab)

2a2 − 2ab = a2 − ab sacando factor común:2a(a− b) = a(a− b) simpli�cando (a-b):

2a = a simpli�cando a:

2 = 1

(a) ¾Dónde se encuentra el error?

(b) ¾Qué operación involucra �simpli�car� en ambos miembros?

T4. ¾Qué error encuentra en el siguiente razonamiento matemático?

12 = (−1)2 tomando raíz√

12 =√

(−1)2 simpli�cando1 = −1

Exprese con generalidad la forma correcta de tomar la raíz a un cuadrado y viceversa.

T5. Exprese con palabras o con notación matemática (según corresponda) las siguientes de�ni-ciones:(a) ∀a, b ∈ R : a ≤ b⇔ (b− a) ∈ R+

(b) Para todo número entero par, existe un número entero impar, tal que el cociente entre elprimero y dos veces el segundo sea igual a uno.

T6. (*) Partiendo de que (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2:

Deduzca una expresión equivalente para (a− b)2 y (a+ b)3

Reduzca a expresiones del tipo h · (a + b)2 + c (completar cuadrados) indicando losvalores de h, a, b y c en las siguientes expresiones:

(a) 4 + 4y + y2

(b) 3 + 2√

3d+ d2

(c) 2√

3d+ d2

(d) 9 + 6t+ 3t2

(e) 4 + 2t+ t2/2

T7. Simpli�que las siguientes expresiones:

(a)16x5 + 64x4 − 9x− 36

x+ 4− (4− 4x2)2

(b)

[g3g9

g9/2g−1/2g10 + (g2)4 g5

]−1− 2g(g

−8/4g)

g2g−3

(c) (2a− b)(2a+ b)− (2b− a)(b+ a)


T8. Lleve a la mínima expresión:

(a)105√

23

(b)12

2 +√

8

(c)a√b+ b

(d)

38 + 535/3

76

T9. (*) Gra�que y resuelva (obtenga todas las soluciones) las siguientes ecuaciones:

(a) x2 = x

(b) (r − 2)r = (r − 2)

(c) φ2 − 2 = 2φ2 + 3

(d)

{2y + x = 6y

xy + 4x+ 24 = 8

T10. (*) Resuelva las siguientes inecuaciones:

(a) (x− 1)(x− 3) > 0

(b) x2 − 2x+ 2 > 0

(c) 2 < x2 + x+ 1

(d)x− 1x− 2

< 5

(e)1

x+

1

1− x> 0

(f)x− 1x+ 1

> 0

(g)

√(x2 − 4x+ 4)2

x2 + 7≤ 0

T11. Demuestre las siguientes a�rmaciones:

(a) (*) El cuadrado de un número impar es impar.

(b) La factorial de un número natural mayor a 1 es par. (Nota: la factorial de un número naturales el producto de todos los números naturales entre 1 y dicho número).

(c) Si a < b y c > 0 entonces ac < bc. ¾Qué pasaría si c < 0?

(d) (*) La �media geométrica� entre dos números (√ab) tiene un valor intermedio a ellos.

(e) El promedio entre dos números tiene un valor intermedio a ellos.

(f) (*) Si a > 1 entonces a2 > a y si 0 < a < 1 entonces a2 < a. Gra�que las funciones x y x2,superpuestas en un mismo grá�co, para comprender este item.


T12. Encuentre los valores de A, B, C y D si x3 + 2x = Ax3 +Bx2 + Cx+D

T13. Considere los siguientes problemas:

(a) Un roble transpira 150000 L/año de agua que representan un 25% de lo que consumepara su supervivencia. Si para abastecer una plantación de robles de 150 ha, se necesi-tan 450 millones de litros anuales, calcule la densidad promedio de robles/ha. (Ayuda :utilice unidades adecuadas que simplifiquen las operaciones)

(b) En el juego de estirar la cuerda, 4 atletas tiran tan fuerte como 5 personas no deportistas.Dos no deportistas y un atleta tiran tan fuerte como un león. El león y tres no deportistasse enfrentan ahora con 4 atletas. ¾Quién ganará en este último caso?

(c) Un general desea organizar a sus soldados y los dispone en �las de dos. Sin embargo unsoldado no entra en dicha formación ante lo cual el general decide disponerlos en �las de tres.Nuevamente sobra un soldado y lo mismo sucede cuando se organizan de a 4. Finalmente,todos los soldados se encuentran ubicados cuando froman �las de 5. Diga cuántos soldadoshay en dicho escuadron si se sabe que no llegan a sumar 100 en total.

(d) En un comedor universitario se preparan 80 kg de gelatina para el postre. A las 13 hs seconsumió la mitad mas un cuarto de la cantidad preparada y dado que después de las 14 hscontinuó llegando gente se consumió nuevamente la mitad más un cuarto de lo restante Sipara la cena se sabe que asisten en promedio 100 comensales, calcule el peso de la porciónde gelatina que le toca a cada uno si se reparte lo sobrante del el mediodía.

(e) (*) Suponga que está parado en la vereda cerca de un edi�cio muy alto, digamos de 100pisos. Supongamos también que camiones blindados, de esos que transportan caudales,depositaron en la vereda su�cientes monedas de un peso como para que las empiece a apilaren la base del edi�cio con la idea de llegar hasta la terraza. Además, en la vereda dejaronuna carretilla que mide un metro de ancho por un metro de largo por un metro de alto.¾Cuántos viajes estima que tendrá que hacer con la carretilla llena de monedas para levantaruna pila de monedas de un peso y llegar hasta la terraza del edi�cio?

2 - ConjuntosUnión, intersección, representaciones y nomenclatura

�La matemática correctamente vista no sólo posee verdad, sino también suprema belleza, una

belleza fría y austera, como esa de la escultura.

Bertrand Rusell. Mysticism and logic. 1918

Si bien la teoría de conjuntos parece tener poca importancia en la práctica, es uno de los pilaresmás fuertes de la Matemática. Las ideas iniciales sobre funciones se basan en esta teoría y esfundamental para comenzar cualquier estudio de estadística o lógica. La razón de su importanciaestá relacionada con el hecho de formalizar de algo tan intuitivo y natural como puede resultarun conjunto:

�Un conjunto es un saco lleno de elementos. Dentro del saco puede haber números, letras, plantas,

personas, mastodontes, . . . , prácticamente cualquier cosa.�

Julius Wilhelm Richard Dedekind

Objetivos


Representará conjuntos y sus combinaciones en la recta real o en diagramas de Venn.

Escribirá matemáticamente cualquier conjunto y sus combinaciones tanto en nomenclaturapor extensión como por comprensión.

Expresará las soluciones de ecuaciones e inecuaciones con sus conjuntos correspondientes.

De�nirá valor absoluto y resolverá adecuadamente cualquier situación matemática que loinvolucre.

Temas Teóricos

Conjuntos: de�nición, pertenencia, resta, intersección y unión. Notación y representacióngrá�ca.

Desigualdades: Relación de mayor o menor en términos del orden del conjunto de los reales,reglas para las desigualdades, desigualdades continuas.

Intervalos: Finitos e in�nitos, abiertos y cerrados, semiabiertos, expresión de soluciones deinecuaciones en términos de intervalos.

Valor absoluto: De�nición, solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto, pro-piedades del valor absoluto (producto y cocientes), desigualdad triangular.

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Conjuntos 11

Bibliografía

Michael Spivak. Calculus. Segunda Edición. Capítulos 1 �Propiedades básicas de los núme-ros� (pág. 3-26) y 2 �Distintas clases de números� (pág. 27-45)

Ciclo de Nivelación FCQ UNC. Introducción al estudio de las Ciencias Químicas. Año 2016.�Números Reales� (pag. 39-80)

Patricia Kisbye y Alejandro Tiraboschi. Ciclo de Nivelación FAMAF UNC. Elementos deLógica y Teoría de conjuntos. Año 2010.


S1. Representar en la recta real los siguientes conjuntos:

(a) M = {x ∈ Z| − 3 ≤ x < 2}

(b) K = {x ∈ R|1 < x ≤ 9 ∨ x ≤ −2}

(c) M ∪K

(d) M ∩K

(e) M −K

(f) (M ∪K)−K

S2. Considerando los conjuntos del inciso anterior, responda:

(a) ¾Qué notación se utilizó para describir los conjuntos M y K?

(b) Exprese M en notación por extensión. ¾Puede expresar K en notación por extensión?

(c) Represente en un diagrama de Venn (o diagrama de conjuntos) las operaciones realizadasen los últimos 4 apartados.

S3. Resuelva las siguientes inecuaciones representando en la recta real su solución.

(a) x2 < 3x+ 4

(b) (x− 1)(x+ 1) ≤ 0

(c) (x− 1)(x+ 1) < |x| − 1Para los 3 apartados, represente grá�camente cada miembro (o factor) de la inecuación eindique la solución en el grá�co.

S4. Demuestre las siguientes a�rmaciones

(a)

∣∣∣∣1x∣∣∣∣ = 1|x| con x 6= 0

(b) −b ≤ a ≤ b si y sólo si |a| ≤ b ∧ b ∈ R+.

Conjuntos 12

Ejercicios Taller

T1. Dado el siguiente diagrama de Venn:

A

B

C

D

EF

Marque sobre el mismo (o represente en otro diagrama, si considera conveniente):

(a) B ∪ C ∪D

(b) B ∩ C ∩D

(c) A ∪ C ∪ F

(d) C − E

(e) E − F

(f) (B ∪ C)−D

T2. (*) Con el diagrama del inciso anterior indique si es veradero o falso:

(a) F es un subconjunto de E.

(b) C es un subconjunto de D.

(c) D yA tienen una intersección no vacía.

(d) La unión de A con C tiene interseccióncon E

T3. (*) Represente esquemáticamente en el intervalo [−2, 2] de la recta real los conjuntos N0,Z, Q y R. Compare los conjuntos en un diagrama de Venn. ¾Cuáles de estos conjuntos sondensos y cuales discretos?

T4. Dado los siguientes conjuntos A y B, encontrar en cada caso los conjuntos unión (C = A∪B)e intersección (D = A ∩ B). Gra�car A, B, C y D en la recta real o con diagramas deconjuntos cuando sea posible.

(a) A = {1, 5, π, {números pares}}B = {2, 9, 8} ∪ {números primos}

(b) A = {x|x es un elemento de la tabla periódica con número atómico �Z� par ∧ Z < 20}B = {H,Fe, S,Na}

(c) A = {x|x es un día de primavera}B = {x|x es un día de septiembre}

(d) A = {x|x el cuadrado de un número par}B = {x|x los números impares}

T5. Escriba las de�niciones de los símbolos > y

Conjuntos 13

T6. (*) Represente en la recta real los siguientes conjuntos:

(a) A = {x ∈ R|3 < x ≤ 4}

(b) B = {x ∈ R| − 2 < x ≤ 0}

(c) C = {x ∈ R| − 1 < x ≤ 3}

(d) A ∪B

(e) A ∩B

(f) A ∪B ∪ C

(g) A ∩ C ∩BPara los últimos cuatro apartados indique la notación por comprensión.

T7. Escriba los conjuntos con notación por comprensión que de�nen los distintos tipos de inter-valo: [a, b], (a, b), [a, b) y (a, b]. ¾Siempre puede utilizarse la notación extendida?

T8. (*) Represente en la recta real cada uno de los siguientes intervalos/conjuntos.

(a) [2, 6]

(b) (−1, 3)

(c) (−∞, 3]

(d) (1, 6]

(e) {x ∈ R|3 < x ≤ 9 ∧ 10 < x ∧ x ≤ 3}

(f) {x ∈ R|3 < x ≤ 9 ∨ 10 < x}

(g) {x ∈ Z|x = 2a+ 1 ∧ a ∈ Z}

(h) El intervalo [−3, 2) ∈ Z

T9. Para cada inciso del ejercicio T10 del práctico 1:

(a) Represente en la recta real los conjuntos solución.

(b) Para cada una de las primeras cuatro inecuaciones realice un grá�co que contenga losmiembros (o factores) de las mismas e indique el conjunto solución.

T10. Escriba la de�nición de valor absoluto y realice un grá�co de f(x) = |x|

T11. (*) Demuestre:

(a) Si a < b y c < d entonces a+c < b+d.

(b) Si a < b y c > d entonces a−c < b−d.

(c) |xy| = |x||y|

(d)∣∣∣yx

∣∣∣ = |y||x| con x 6= 0T12. El valor máximo por comparación entre dos números x e y se denota por �max(x, y)�, mien-

tras que el mínimo por �min(x, y)�. Indique el valor de max(−5, 3) y min(π, 0) y demuestreque:

(a) max(x, y) =x+ y + |y − x|

2(b) min(x, y) =

x+ y − |y − x|2

T13. (*) Indique los conjuntos de valores de t para los cuales las siguientes expresiones tienensentido en R:

(a)√t+ 7

(b)√−t+ 2

(c)√t2 + 7t+ 12

T14. (*) La distancia a lo largo de una recta numérica entre x y 7 es igual a 3 ¾Cuáles son losposibles valores para x? Exprese la respuesta gra�cando sobre una recta real y compare conel caso en que la distanica entre x y 7 es menor a 3. De�na el conjunto de soluciones paraambos casos.

Conjuntos 14

T15. Un vaso de precipitados de 0,5 L tiene un radio de 4 cm ¾Cuál debe ser la incerteza de lamedida de la altura h del agua del vaso para asegurar que tenemos 0,5 L con un error menora 1%, es decir menor a 5 cm3?

3 - Funciones IDe�nición, composición, combinación y grá�cas

La idea de función proviene de la necesidad de expresar los fenómenos de la naturaleza medianteleyes abstractas que relacionen las magnitudes que intervienen en ellos, las cuales se han elabo-rado a partir de los datos extraídos de las observaciones.

�El concepto más importante de todas las matemáticas es, sin dudarlo, el de función: en casi

todas las ramas de la matemática moderna, la investigación se centra en el estudio de funciones.

No ha de sorprender, por lo tanto, que el concepto de función sea de una gran generalidad.�

Michael Spivak

Sírvanos de consuelo saber que a lo largo de toda la materia podemos limitar nuestra atencióna funciones de una clase muy particular, las funciones de una única variable real. Sin embargo,veremos que incluso esta clase tan limitada de funciones presentará tal variedad como paraentretenernos un buen rato. Repasaremos el concepto de función, las ideas básicas acerca defunciones, sus grá�cas y las formas de combinarlas.

Objetivos

Al �nalizar éste práctico, el alumno:

De�nirá en lenguaje simbólico, grá�co y verbal los conceptos de función, dominio e imagen.

Compondrá, combinará y gra�cará correctamente funciones elementales.

Temas Teóricos

Funciones: De�nición del concepto de función, dominio e imagen.

Grá�cos de funciones. Diferencia entre grá�cos de funciones y relaciones.

Paridad.

Evaluación.

Combinación (suma, producto y cociente) de funciones.

Composición. Dominio de la función compuesta.

Bibliografía

J. Stewart, �Cálculo diferencial e integral�, International Thompson Editores. Capítulo 1Funciones y Modelos, secciones: 1.1 (pág. 12-26) y 1.2 (pág. 26-41)

J. Stewart, �Introducción al Cálculo�, International Thompson Editores: Capítulo 4 Fun-ciones, secciones: 4.1 a 4.5 (pág. 204-240).

15

Funciones I 16


S1. Si f(x) =x+ 1

x− 1determine f(0), f(2), f(−2) y f(1/2).

S2. Establezca el dominio de cada función y represéntelo en la recta real:

(a) f(x) = x2+2x2−1 (b) g(x) =

4√x2 − 6x

(c) h(x) = x+2x2−4

S3. Determine el dominio y trace la grá�ca de cada función

(a) f(x) = x2 + 2x− 1

(b) h(x) = |2x|(c) f(t) =

{ 1t

si t < −13− t si t ≥ −1

S4. Dadas las funciones f(x) = 1x−1 y g(x) = x2 − 5x + 7, determine las composiciones f ◦ g,

g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g y sus dominios.

S5. Gra�que la siguiente circunsferencia (x − 1)2 + (y − 2)2 = 9 ¾Por qué no es ésta la grá�cade una función?

Ejercicios Taller

T1. De�na función. ¾Toda relación es función? ¾Cuántas maneras conoce para representar unafunción?

T2. (*) El dominio de f es A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y f(1) = 2, f(2) = 1, f(3) = 0, f(4) = 1,f(5) = 2, f(6) = 4. ¾Cuál es la imagen de f? Dibuje un diagrama de �echas y una grá�cade f .

T3. Si f(x) = 2x2 + 3x− 4, determine f(1), f(2), f(√

2), f(1 +√

2), f(−x), f(s+ 1), 2f(x) yf(2x).

T4. (*) Establezca el dominio de cada función:

(a) f(x) =x4

x2 + x− 6 (b) g(t) =√t− 1t+ 1

(c) h(a) =1

2a2 + 4

T5. (*) Determine el dominio y trace la grá�ca de cada función

(a) f(s) = 3− 2s

(b) f(x) =

−1 si x < −11 si −1 ≤ x ≤ 1−1 si x > 1

(c) g(r) =√−r

(d) g(u) =

{1− u2 si u ≤ 22u− 7 si u > 2

T6. Dada una curva en el plano cartesiano xy ¾Cómo es posible saber si ésta representa o no lagrá�ca de una función?

Funciones I 17

T7. (*) Determine en cada caso si la curva es la grá�ca de una función de x o no. En casoa�rmativo de�na dominio e imagen.

-2 0 2

-2

0

2

x

y

(a)

-2 0 2

-2

0

2

x

y

(b)

-2 0 2

-2

0

2

x

y

(c)

-2 0 2

-2

0

2

x

y

(d)

-2 0 2

-2

0

2

x

y

(e)

-2 0 2

-2

0

2

x

y

(f)

T8. ¾Cuándo se dice que una función es par? ¾Cuándo impar? ¾Qué sabemos en cada casorespecto de su simetría?

T9. (a) Si el punto (5, 3) está sobre la grá�ca de una función par, ¾Cuál otro punto tambiéndebe estar sobre la grá�ca?

(b) Si el punto (5, 3) está sobre la grá�ca de una función impar, ¾Cuál otro punto tambiéndebe estar sobre la grá�ca?

T10. (*) Determine si f es par, impar o ninguno de los dos casos. Si es par o impar, trace sugrá�ca haciendo uso de la simetría.

(a) f(x) = x−2

(b) f(x) = x5(c) f(x) = x2 + x

(d) f(x) = x3 − x

T11. (*) Gra�que las siguientes circunsferencias

(a) (x)2 + (y − 1)2 = 4(b) (4x+ 4)2 + (4y − 4)2 = 8(c) x2 − x+ y2 + 2y − 314 = 0 Ayuda: completar cuadrados

Funciones I 18

T12. A partir del grá�co, deduzca una ecuación para la circunsferencia

-2 0 20

2

4

x

y

(-1,3)

T13. (*) Determine f + g, f − g, fg y f/g y de�na sus dominios:

(a) f(x) = x3 + 2x2, g(x) = 3x2 − 1(b) f(x) =

√2 + x, g(x) =

√2− x

T14. (*) Dadas f(x) =1

xy g(x) = x3 + 2x, determine las siguientes funciones compuestas y sus

dominios. Evalúe la composición en x = 0, 1,−1, 2 cuando sea posible.

(a) f ◦ g(b) g ◦ f

(c) f ◦ f(d) g ◦ g

(e) f ◦ (fg)(f) f ◦ (f + g)

T15. (*) Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo rematado por un semicírculo.Si el perímetro de la ventana es de 900 cm, exprese su área como función de su ancho.

T16. Se in�a un globo esférico. Si su radio r aumenta con la rapidez de 1 cm/s, exprese suvolúmen en función del tiempo t en segundos.

Ayuda: Recuerde que el volumen de la esfera se calcula como V = 43πr3

Funciones I 19

T17. El propietario de una casa corta el césped en verano cada miércoles por la tarde. Traceuna grá�ca aproximada de la altura del césped como función del tiempo durante el mes defebrero.

4 - Funciones IIDesplazamiento, estiramiento y re�ejo de grá�cas. Funciones Trigonométricas

Haremos una clasi�cación de los principales tipos de funciones con los que se encuentra uno en elCálculo. Aprenderemos los procedimientos de desplazamiento, estiramiento y re�ejo de grá�casde funciones. Pondremos especial hincapié en las funciones trigonométricas y sus aplicaciones.Éstas últimas aparecen en muchos aspectos de nuestra vida cotidiana: Por ejemplo, en todotipo de problemas que involucren geometría, como los problemas a los que se enfrentan lostopógrafos, en la navegación, en la Astronomía; también en todo tipo de fenómenos periódicos,como el movimiento de un péndulo, el de un cuerpo unido a un resorte, en la descripción de lasondas acústicas, electromagnéticas, etc.

Objetivos


Gra�cará funciones arbitrarias de una variable, escalando y desplazando a partir de fun-ciones elementales conocidas.

De�nirá en lenguaje simbólico, grá�co y verbal funciones periódicas y trigonométricas.Enunciará de modo correcto las soluciones de las ecuaciones que involucren dichas funciones.

Temas Teóricos

Funciones elementales. Polinomios.

Grá�co de composiciones simples (traslación, estiramiento, re�exión).

Funciones Trigonométricas:

De�nición en términos de la circunsferencia trigonométrica.

Funciones periódicas.

Solución de ecuaciones que contienen funciones periódicas.

Bibliografía

J. Stewart, �Cálculo diferencial e integral�, International Thompson Editores: Capítulo 1Funciones y Modelos, sección 1.2 (pág. 26-41); Apéndice C Trigonometría (pág. A19-A31).

J. Stewart, �Introducción al Cálculo�, International Thompson Editores: Capítulo 7 Fun-ciones Trigonométricas, secciones: 7.1 y 7.2 (pág. 378-392), 7.4 y 7.5 (pág. 402-417), 7.8 y7.9 (pág. 427-446) .

20

Funciones II 21


S1. Gra�que la función f(x) = 1− (x− 1)2 en el intervalo [0, 2]. Identi�que la función g(x) dela cual proviene y las modi�caciones realizadas para obtener f(x).

S2. Dada la grá�ca de y =√x use transformaciones para trazar la grá�ca de y =

√x− 2,

y = −√x, y = 2

√x, y =

√2x e y =

√−x.

S3. Gra�que tres copias de la circunsferencia de radio unidad:

(a) en la primera: de�na la medición de ángulos en base a la longitud de arco. Ubique losvalores más usuales. Exprese la relación entre grados (◦) y radianes.

(b) en la segunda: de�na seno y coseno de un ángulo α (sin(α) y cos(α)). Exprese grá�ca-mente la tangente del ángulo α, tan(α).

(c) en la tercera: indique los signos que toman las funciones sin(α), cos(α) y tan(α) en cadacuadrante.

S4. Trace las grá�cas de las siguientes funciones. En cada caso describa con palabras en qué sediferencian de la grá�ca de sin(x):

(a) y = sin(2x)

(b) y = 1− sin(x)(c) y = 2 sin(x)

(d) y = sin(x+ π3 )

S5. Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones:

(a) | sin(t)| = 1 (b) sin(2x)− cos(x) = 0

Ejercicios Taller

T1. ¾Qué tipos de funciones conoce? Dé ejemplos de cada una de ellas.

T2. Determine si cada una de las siguientes funciones es un tipo de función de potencias, funciónraíz, función polinomial (de�niendo su grado), función racional, función algebraica, funcióntrigonométrica, función exponencial o función logarítmica:

(a) f(x) = 5√x

(b) g(x) =√

1− x2

(c) h(x) = x9 + x4 − π

(d) r(x) =x2 + 1

x3 + 1

(e) s(x) = tan(2x)

(f) t(x) = log10(x)

T3. (*) Dé las recetas para las siguientes transformaciones de funciones:

a) Desplazamientos verticales y horizontales.

b) Estiramientos y compresiones verticales y horizontales.

c) Re�exiones verticales y horizontales.

Funciones II 22

Identi�que qué operaciones fueron realizadas sobre la función f(x) = x3 para obtener lastransformaciones que se muestran en los siguientes grá�cos:

(a) (b) (c) (d) (e)

T4. Trace la grá�ca de la función y = |x2 − 1|.

T5. (*) Gra�que cada función, no por medio de la ubicación de puntos, sino a partir de la grá�cade alguna de las funciones estándares conocidas y aplicando transformaciones apropiadas.

(a) y = 2− cos(x)(b) y = (x− 1)3 + 2(c) y = | cos(2x)|

(d) y = 12√x+ 4− 3

(e) y = sin(|x|)(f) y = sin(x+ π2 )

¾A la grá�ca de qué funciónconocida resulta idéntica?

T6. Enuncie la de�nición de funciones periódicas. De�na el período.

T7. (*) Realice una tabla con los valores de sin(x) para x = 0, π6 ,π4 ,

π3 ,

π2 ,

2π3 ,

3π4 ,

5π6 , π,

3π2 , 2π.

Sabiendo que 1 = sin2(x) + cos2(x) incorpore a la tabla los valores de cos(x) para los x'sdados. A partir de los datos anteriores, complete la tabla con los valores de tan(x).

T8. (*) Derive las siguientes identidades a partir de las fórmulas de adición de senos y cosenos:

(a) sin(π2 + x

)= cos(x)

(b) sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ)

(c) cos(2θ) = cos2(θ)− sin2(θ)

T9. (*) Dadas las siguientes grá�cas, deduzca a qué funciones pertenecen:

-π/4 π/4 3/4π

-5

5

(f)

-2π -π 0 π 2π

-2

0

2

4

(g)

T10. Veri�que que las siguientes expresiones tienen valor 1 para cada número real t para el cualla expresión está de�nida:

Funciones II 23

(a) 12 [tg(t) cosec(t) cos(t) + cotg(t) sec(t) sin(t)]

(b)sec(t) cosec(t)

tg(t) + cotg(t)

T11. Suponga que las ventas de pasajes de una aerolínea están dadas (en miles de pesos) pors(t) = 330 + 6t + 45 sin(16πt), en donde t es el tiempo medido en meses. ¾Qué fenómenoreal podría causar la �uctuación en la venta de pasajes modelada por el término del seno?Basado en su respuesta, ¾Qué mes corresponde a t = 0? Despreciando las �uctuacionesestacionales, ¾En cuánto están creciendo anualmente las ventas de pasajes de la aerolínea?

T12. (*) Un niño que toca la guitarra se encuentra con que una de las cuerdas está desa�nada,y la nota Do suena como la nota Re. La función que representa estas notas viene dada porh(t) = A sen (t/B). Sabiendo que la frecuencia es la cantidad de ciclos por unidad detiempo y que la de Re es mayor que la de Do, gra�que cualitativamente las funciones querepresentan ambas notas y compare. Identi�que y analice el parámetro que varía entre lasfunciones cuando la cuerda esta a�nada y desa�nada.

5 - Funciones IIIFunciones uno a uno, función inversa, exponenciales y logaritmos.

Llegado este punto en el desarrollo de la asignatura, tenemos un conocimiento acabado del con-cepto de función. Sabemos que una función es básicamente una regla que permite asignar, aun número en un conjunto denominado dominio, un único número en otro conjunto que hemosdenominado imagen. El concepto de función permite describir, utilizando lenguaje matamático,situaciones físicas en las que diversos factores determinan el comportamiento de un sistema. Elvolumen y la temperatura de un gas determinan su presión, la dosis de una medicación adminis-trada ocasionará una determinada respuesta terapéutica. Es una evolución natural del conceptoel preguntarse si es posible invertir el procedimiento en el caso de los ejemplos mencionados:¾Qué dosis de fármaco debo administrar a un paciente para lograr una respuesta determinadade antemano? ¾Qué temperatura debe tener un gas a un determinado volumen para lograr unadada presión? La respuesta a estas preguntas viene dada por las funciones inversas, las cualesserá posible determinar bajo ciertas condiciones. En ésta guía desarrollaremos el concepto defunción inversa y a su vez los conceptos de función exponencial y logarítmica. Estas dos fun-ciones trascendentes son ubicuas en la aplicación del lenguaje de la matemática a las cienciasnaturales.

Objetivos

Al �nalizar el desarrollo del presente práctico el alumno:

Determinará en forma grá�ca o simbólica la existencia de la función inversa de una funcióndada y la calculará si ésta existe.

Gra�cará funciones logarítmicas y exponenciales simples.

Aplicará las propiedades de las funciones logaritmo y exponencial a la solución de ecuacionesy situaciones problemáticas.

Temas Teóricos

Funciones inversas, Funciones uno a uno, Cómo encontrar la inversa, Grá�co de la funcióninversa.

Función Exponencial, Extensión intuitiva de la exponenciación racional a exponentes irra-cionales, propiedades de la exponencial, de�nición de logaritmo como inversa de la funciónexponencial, propiedades del logaritmo.

Bibliografía

J. Stewart, �Cálculo: Trascendentes Tempranas�, Thompson/Brooks/Cole, sexta edición.2007. Capítulo 1: Funciones y modelos, sección 1.5 (pág. 52), sección 1.6 (pág. 59).

24

Funciones III 25


S1. Dada la función x2 determinar un dominio restringido en el que sea una función uno a unoy encuentre grá�ca y simbólicamente su inversa en ese dominio restringido.

S2. Gra�que en un mismo sistema de ejes las funciones ln(x) y ex

S3. Gra�que en un mismo sistema de ejes las funciones ax, bx y cx con c < a < b.

S4. Gra�que en un mismo sistema de ejes las funciones loga(x), logb(x) y logc(x) con c < a < b.

S5. Demuestre que loga(x) =ln(x)ln(a)

S6. Encuentre las soluciones a las siguientes ecuaciones:

(a) log2(x) = 3

(b) 2x−5 = 3

(c) ex = 16

(d) ln(x) = −1

Ejercicios para el taller

T1. Enuncie las de�niciones de función uno a uno y función inversa de una dada.

T2. ¾Cómo es posible saber a partir del grá�co de una función si ésta es �uno a uno�?

T3. (*) Sea f(x) una función uno a uno tal que f(3) = 9, ¾Cuál es el valor de f−1(9)?

T4. (*) Dadas los siguientes funciones, de�nidas en forma grá�ca, simbólica o verbal, determinarcuáles de ellas son uno a uno y en tal caso construir su inversa.

a)

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

b)

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Funciones III 26

c)

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

3

4

5

d)

-2 -1 1 2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

e) g(x) = 1/x

f) A(T ) es el crecimiento de una población de bacterias en función de la temperatura.

g) h(t) es la altura de un proyectil t segundos luego de ser disparado a un ángulo de 45grados respecto de la vertical.

h) p(d) es el cambio promedio en la presión arterial de un grupo de pacientes en respuestaa una dosis d de enalapril.

T5. (*) Encontrar una fórmula para las inversas de las siguientes funciones

(a) f(x) = ex3

(b) f(x) = 4x−12x+3

(c) y = ex

1+2ex

(d) y = ln(x+ 3)

T6. Gra�car las funciones ex y ln(x). ¾Cómo se comportan estas funciones cuando su argumentocrece inde�nidamente? ¾Cuál es la ventaja de utilizar escalas logarítmicas para gra�carcantidades grandes?

T7. Dadas las siguientes funciones, calcule su logaritmo y simplifíquelo:

a) f(x) = a5x5x

b) g(x) = 34(x+5)6

exx−1

T8. (*) Expresar las siguientes cantidades como un único logaritmo:

a) ln(5) + 5 ln(3)

b) ln(a+ b) + ln(a− b)− 2 ln(c)c) ln(1 + x2) + 12 ln(x)− ln sin(x)

T9. (*) Encontrar los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones:

Funciones III 27

(a) e3x−4 = 2

(b) 3x+2 = m

(c) 5log5(2x) = 6

(d) lnx2 = 2 ln(4)− 4 ln(2)(e) lnx+ ln(x+ 1) = 1

(f) ln(e2x−1) = 5

T10. (*) Encuentre el dominio de las siguientes funciones y gra�que: a) y = log(x + 5) b)y = − ln(x) c) y = ln(−x) d) y = ln |x| e) y = log(cos(x))

T11. (*) Dadas las funciones f(x) =√

3− e2x y f(x) = ln(2 + lnx) encontrar su dominio y eldominio de su función inversa.

T12. ¾Qué grá�co de escala logarítmica utilizaría para gra�car la función y = Aex de forma talque se vea como una recta? ¾Y para la función y = axb?

T13. Dadas las funciones sen(x) y cos(x), encuentre un dominio restringido en el cual poseaninversa.

T14. Encontrar el valor exacto de las siguientes expresiones: a) arc tg(1) b) sen−1(sen(7π/3)) c)arc cos(−1/2) d) sen−1(

√3/2)

T15. (*) Cuando el �ash de una cámara se dispara, las baterías inmediatamente comienzan arecargar el capacitor del �ash, el cual almacena una carga eléctrica dada por

Q(t) = Q0(1− e−t/a) (1)

Donde Q0 es la máxima capacidad de carga y t se mide en segundos.

a) Encontrar la inversa de esta función y explicar verbalmente su signi�cado.

b) ¾Cuánto tiempo es necesario para recargar el capacitor al 90% de su capacidad sia = 2?

T16. La concentración de iones hidronio [H3O+] de una solución de ácido ascórbico (vitamina C)en función de su concentración analítica CA y su constante de disociación kaestá dada por:

[H3O+] =

√kaCA (2)

a) Calcular el pH = − log[H3O+] de la solución en función de la concentración analíticaCA.

b) Encontrar la concentración analítica que hace que el pH de la solución sea igual a 5 sila ka = 1,75× 10−5.

6 - Límites

Los inicios del cálculo se encuentran en las determinaciones de áreas y volúmenes hechas porlos escolásticos de la Grecia antigua, como Eudoxio y Arquímedes. Aunque en sus �métodosde agotamiento� están implícitos los aspectos de la idea de límite, ni Eudoxio ni Arquímedesformularon este concepto en forma explícita. De igual modo, matemáticos como Calaveri, Fermaty Barrow, precursores inmediatos de Newton en el desarrollo del cálculo in�nitesimal, en realidadno usaron límites. Fue Isaac Newton el primero en hablar claramente de los límites. Explicó quela idea principal con respecto a los límites es que �las cantidades se acercan más de lo que se puedeexpresar con cualquier diferencia dada�. Newton presentó en 1687 en sus Principia Mathematicasu versión del cálculo in�nitesimal y la empleó para investigar en la mecánica, dinámica de �uidosy el movimiento ondulatorio, así como a �n de explicar el movimiento de los planetas y cometas.

extraído de �Cálculo�, J. Stewart

Objetivos


Determinará grá�ca y analíticamente la existencia de límites y límites laterales.

Calculará límites por de�nición de manera analítica y los representará grá�camente.

Utilizará las propiedades algebraicas de los límites para cálculos generales.

Dada una función, determinará dominios y asíntotas verticales y horizontales, y esbozarála grá�ca aproximada.

Temas Teóricos

Límites: De�nición intuitiva, de�nición formal.

Cálculo del límite de una función lineal en un punto por medio de la de�nición formal.

Ejemplos de funciones que no poseen límite en un punto. Límites laterales.

Reglas para el cálculo de límites.

Límites en el in�nito. Asíntotas verticales y horizontales.

Teorema del Sándwich.

Bibliografía

J. Stewart, �Cálculo, Trascendentes Tempranas� 3°ed., International Thompson Editores.Capítulo 1 Límites y Razones de Cambio, secciones: 1.1-1.4 (pág. 46-79), sección: 1.6 (pág.90-101).

28

Límites 29


S1. Dada la siguiente función f(x), determine los siguientes límites observando el grá�co acontinuación:

a) ĺımx→2+

f(x)

b) ĺımx→2−

f(x)

c) ĺımx→2

f(x

d) ĺımx→4+

f(x)

e) ĺımx→4−

f(x)

f ) ĺımx→4

f(x)

g) ĺımx→3

f(x)

1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

x

y

S2. a) Guiándose con el siguiente grá�co de f(x) = 1x , encuentre un valor de δ que cumpla:∣∣∣∣1x − 0,5∣∣∣∣ < 0,2, siempre que |x− 2| < δ.

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Y

X

b) Encuentre de manera analítica la forma general que debe cumplir δ para que |x− 2| <

δ ⇒∣∣∣∣1x − 0,5

∣∣∣∣ < �c) Demuestre, haciendo uso de la de�nición de límite, que ĺım

x→24x− 3 = 5

Límites 30

S3. Calcule los siguientes límites:

a) ĺımx→∞

x2 − 2x4x2 − 4 b) ĺımt→0

√t2 + 9− 3

t2

S4. Sea f(x) =2

x− 3,

a) determine su dominio.

b) determine, si existen, asíntotas verticales y horizontales.

c) utilice la información obtenida para gra�car f(x)

Ejercicios Taller

T1. (*) Para la función f(x) que se muestra a continuación, exprese (si existen) los valorespedidos.

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

8

10

12

x

y

a) ĺımx→−9+

f(x)

b) ĺımx→−9−

f(x)

c) ĺımx→−9

f(x)

d) ĺımx→−4+

f(x)

e) ĺımx→−4−

f(x)

f ) ĺımx→−4

f(x)

g) ĺımx→3+

f(x)

h) ĺımx→3−

f(x)

i) ĺımx→3

f(x)

j ) Las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales.

Límites 31

T2. (*) Calcule:

a) ĺımx→5+

6

x− 5

b) ĺımx→5−

6

x− 5

c) ĺımx→1+

1

x2 − 1

d) ĺımx→1−

1

x2 − 1

e) ĺımx→0

(x− 5)2 − 25x

f ) ĺımx→∞

3x+ 2

5x3 + x2 − 4x

g) ĺımx→1

x3 − 1x3 + 2x2 − 3x

h) ĺımx→∞

x2 − x4 + 1

x2 − 1

i) ĺımx→∞

(3x+ 5)(5x+ 2)

−(x− 3)2

j ) ĺımx→1+

1

x2 − 1− 1x3 − 1

k) ĺımx→2

x3 − 2x2 − 6x+ 12x3 + 3x− 10

l) ĺımx→0

|x|x

m) ĺımx→0

1− cos2(x)2(x2 + 1)

n) ĺımx→∞

x2e1/x

2(x+ 1)2

ñ) ĺımx→0

ln(x2 sen(x))

o) ĺımx→∞

sen(x)

x

p) ĺımx→∞

x3 + x− 12x3 + 5

q) ĺımx→−∞

7x4 + x3 − 1x2 + 1

T3. Estime cuánto se debe acercar x a 3 para que la distancia entre 6x+ 1 y 19 sea menor que:

a) 0,1 b) 0,01

T4. (*) Gra�que la función y = x2 en el intervalo I = [0, 2]. Encuentre grá�camente un númeroδ que satisfaga

∣∣x2 − 1∣∣ < 0,5 siempre que |x− 1| < δ.T5. (*) Empleando la de�nición de límite demuestre que las siguientes a�rmaciones son correc-

tas:

a) ĺımx→2

3x− 2 = 4

b) ĺımx→−1

5x+ 8 = 3

T6. Demuestre usando el Teorema del Sándwich la siguiente a�rmación:

ĺımx→0

√x3 + x2

(sen

π

x

)= 0

T7. (*) Determine el dominio y las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones.Con los datos obtenidos esboce un grá�co de la función:

a) y =x2 + 1

x2 − 1b) y =

x3

x2 + 3x− 10c) y =

x

x+ 4

7 - Continuidad

Intuitivamente, es fácil asimilar la esencia del concepto de continuidad. En términos sencillos,puede decirse que una función real de variable real es continua en un intervalo cuando se puededibujar sobre el papel a lo largo de dicho intervalo sin levantar el lápiz. La descripción matemáticade esta idea intuitiva recurre al uso de la noción de límite.

Objetivos


De�nirá función continua de manera grá�ca y analítica.

Determinará intervalos de continuidad de las funciones dadas de manera grá�ca y analítica.

Aplicará los conocimientos adquiridos sobre continuidad y el teorema del valor intermediopara la resolución de problemas.

Temas Teóricos

Continuidad.

Discontinuidad evitable, discontinuidad in�nita.

Continuidad lateral, continuidad en un intervalo, continuidad de funciones combinadas.

Teorema del valor Intermedio.

Bibliografía

J. Stewart, �Cálculo, Trascendentes Tempranas� 3°ed., International Thompson Editores.Capítulo 1 Límites y Razones de Cambio, sección: 1.5 (pág. 80-89).

32

Continuidad 33


S1. Observando la grá�ca de la función f(x) de�na sus discontinuidades. En los casos en que seaplique de�na si la discontinuidad es por derecha o por izquierda. ¾Se puede de�nir algunade las discontinuidades como evitable? En tal caso, proponga una grá�ca que la evite.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

y

x

S2. Utilice la de�nición de continuidad, los teoremas enunciados en clases y las propiedades delos límites para demostrar que las siguientes funciones son continuas en el intervalo dado.Piense y discuta por qué se han elegido estos intervalos.

a) f(x) = x√

16− x2 I = [−4, 4]

b) f(x) =x+ 1

x− 3I = (−∞, 3)

S3. Explique por qué cada una de las funciones tiene una discontinuidad en el punto dado. Tracela grá�ca de f(x):

a) f(x) =−1

(x− 1)2a = 1

b) f(x) =

−1

(x− 1)2si x 6= 1

0 si x = 1a = 1

S4. ¾Cuál de las siguientes funciones f(x) tiene una discontinuidad evitable en a? Si la discon-tinuidad es evitable, de�na una función g(x) que coincida con la f(x) cuando x 6= a y quesea continua en R:

a) f(x) =x− 7|x− 7|

a = 7

b) f(x) =x2 − 2x− 8

x+ 2a = −2

S5. Utilice el Teorema del Valor Intermedio para demostrar que existe una raiz de la ecuaciónx3 − 3x+ 1 = 0 en el intervalo I = (0, 1).

Continuidad 34

Ejercicios Taller

T1. Enuncie las condiciones que debe cumplir una función f(x) para ser continua en un puntox = a.

T2. Enuncie las funciones continuas y los problemas que conozca que pueden llegar a causardicontinuidades.

T3. (*) Demuestre que cada una de las siguientes funciones es continua en su dominio, para locual deberá primero de�nir correctamente el dominio:

a) f(x) = (x+ 2)(x3 + 8x+ 9)

b) g(x) =x4 + 17

6x2 + x− 1

c) h(x) =

√x− 25 + x

T4. (*) Determine los puntos en los cuales f(x) es discontinua. ¾En alguno de esos valores f(x),es continua sólo por derecha o sólo por izquierda? Trace la grá�ca de f(x).

a) f(x) =

2x+ 1 si x < −1

3x si − 1 < x < 12x− 1 si x ≥ 1

b) f(x) =

√−x si x < 01 si 0 ≤ x ≤ 1√x si x > 1

T5. (*) Determine los valores de las constantes c y d para que la función h(x) sea una funcióncontinua:

h(x) =

2x si x < 1

cx2 + d si 1 ≤ x ≤ 24x si x > 2

T6. (*) Determine si las siguientes funciones tienen discontinuidades evitables en x = a. Encaso de que así sea, determine una función g(x) que coincida con f(x) para x 6= a y que seacontinua en R:

a) f(x) =x3 + 64

x+ 4a = −4

b) f(x) =3−√x

9− xa = 9

T7. (*) Demuestre que existe un número c que cumple la siguiente condición:

f(x) = x3 − x2 + x ⇒ ∃ c / f(c) = 10

T8. Utilizando el Teorema del Valor Intermedio demuestre que existe un número que es exacta-mente una unidad mayor que su cubo.

T9. (*) Un viajante sale de su casa a las 7:00 AM y llega a su destino a las 7:00 PM. A lamañana siguiente regresa a su casa saliendo de nuevo a las 7:00 AM y siguiendo el mismocamino llega a su casa a las 7:00 PM. Utilizando el teorema del valor intermedio demostrarque por lo menos hay un punto del camino por el cual el viajante pasa exactamente a lamisma hora los dos días.

8 - Derivadas IReglas de derivación, recta tangente, derivación implícita

El concepto de derivada de una función matemática se halla íntimamente relacionado con lanoción de límite. Así, la derivada se entiende como la variación que experimenta la función deforma instantánea, es decir, entre dos puntos de su dominio su�cientemente próximos entre sí. Laidea de instantaneidad que transmite la derivada posee múltiples aplicaciones en la descripciónde los fenómenos naturales y sociales.En esta guía aprenderemos el concepto de derivada de una función a partir de su de�nición.Calcularemos las derivadas de funciones a partir de las reglas de derivación y aplicaremos estenuevo concepto a la resolución de diferentes problemas.

Objetivos


Determinará la derivada de una función a partir de su de�nición. Aplicará las técnicas dederivación de funciones para la resolución de problemas.

Calculará rectas tangentes a una curva f(x). Aplicará los conceptos de derivada y suspropiedades en la solución de ejercicios y problemas.

Temas Teóricos

De�nición de derivada y su relación con la recta tangente al grá�co.

Diferenciabilidad y continuidad. Diferenciación implícita.

Reglas de derivación. Regla de la cadena.

Bibliografía

J. Stewart, �Cálculo: Trascendentes Tempranas�, Thompson/Brooks/Cole, sexta edición.2007. Capítulo 2: Límites y Derivadas, sección 2.7 (pág. 143); sección 2.8 (pág. 154). Ca-pítulo 3: Reglas de Derivación, sección 3.1 (pág. 173), sección 3.2 (pág. 183), sección 3.4(pág. 197), sección 3.5 (pág. 207).

35

Derivadas I 36


S1. Dada f(x) =√x− 1:

(a) En un mismo grá�co represente f(2), f(2+h), f(2+h)−f(2) y h, donde h > 0. ¾Qué recta

tiene pendientef(2 + h)− f(2)

h?

(b) Encuentre la derivada, f ′(x), por de�nición. Analice el dominio de f ′(x).

(c) Calcule f ′(a) con a ∈ Dom(f ′) y f ′(5).

(d) Gra�que f(x) y f ′(x).

S2. Calcule las derivadas de las siguientes funciones, utilizando las reglas de derivación:

(a) f(x) = (x− 2)(2x+ 1)

(b) f(t) =at+ b

ct+ d

(c) h(s) = s5 + s−1 − s−2

(d) f(x) =(x2 +

√x2 + 1

)4(x+ 1)

S3. Obtenga las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y = 3 − x2 en el punto(−1, 2). Gra�que.

S4. Calculedy

dxsabiendo que x2 + y2 = 4x+ 4y.

Ejercicios Taller

T1. Enuncie la de�nición de derivada de una función.

T2. (*) Si f(x) = 4− x2, usando la de�nición de derivada:(a) encuentre la derivada, f ′(x), por de�nición

(b) analice el dominio de f ′(x)

(c) calcule f ′(a) con a ∈ Dom(f) y f ′(−2). Además compruebe que f ′(1) = −2

(d) gra�que f(x) y f ′(x)

T3. Encuentre la derivadas de las siguientes funciones usando la de�nición de derivada. Deter-mine en todos los casos el dominio de la función y de su derivada

(a) f(x) = x3 − x2 + 2x

(b) h(x) =√

1 + 2x

(c) g(t) =4− 3t2 + t

T4. (*) ¾Es diferenciable la función f(x) = |x+ 3| en x = −3? JSR

Derivadas I 37

T5. (*) Dada la siguiente función:

f(x) =

0 x ≤ 0

5− x 0 < x < 41

5− xx ≥ 4

(a) Determine el dominio de f(x)

(b) ¾Para qué valores de x la función es discontinua?

(c) ¾Para qué valores de x la función es diferenciable?

T6. Sea f(x) =

{x2 x ≤ 2

mx+ b 2 < x

Calcule los valores de m y b que hacen que f sea diferenciables siempre

T7. (*) Dada la función f(x) =1

x− 2; calcule la pendiente de la recta tangente a la grá�ca de

f en el punto (1, f(1)). Obtenga además la ecuación de dicha recta tangente

T8. Obtenga las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y = 3 − x2 en el punto(−1, 2)

T9. (*) Calcule las derivadas de las siguientes funciones usando las reglas de derivación:

(a) f(x) = (x−3 + 1)2(x2 − 1)3

(b) x(t) =1 + t3

1− t3

(c) y(x) =

(x− 1

x2

)(√x− 1√

x

)(d) v(w) =

1

w2 −√

3w+ 2

(e) z(x) = 4√x3 − 4x− 4x

2

√x4 + 6x

(f) u(t) =(xt+ (xt)−1

)8(g) f(x) = x

√x+√x+ 1 +

2

x3

(h) h(z) =√z +

1

(√z + 3)

2

(i) g(w) =

√w + 1 + 8

(w2 + 1)3

(j) h(x) =(a√abx− ab

)3 (a2x4 + c

)1/2T10. Sean u = g(x) y f(u) = ur con r ∈ Q

(a) Obtenga (f ◦ g)(x)

(b) Calculed

dx(f ◦ g)

T11. Sea y = f(u), u = g(x) y x = h(t), donde f , g y h son funciones diferenciables. Calculedy

dt.

T12. (*) Calculedy

dxen las siguientes ecuaciones y evalúe en los puntos indicados:

(a) y2 + x2 = 25 ; (3,4)

(b) x3 + y3 = 6xy ; (3,3)

Derivadas I 38

T13. (*) La Ley de Boyle para los gases ideales establece que, a temperatura constante, PV = cdonde P es la presión del gas, V es el volumen y c es una constante. Si la presión está dadapor la expresión: P (t) = 30 + 2t con P en cm de Hg, t en s; y el volumen inicial es de 60cm3, determine la razón de cambio de volumen V con respecto al tiempo t a los 10 s.

9 - Derivadas IIFunciones Trigonométricas, Exponenciales y Logarítmicas

En este trabajo práctico aprenderemos a derivar funciones trigonométricas, logarítmicas y expo-nenciales. Estas funciones tienen una gran aplicación en Física, Química, Biología, Economía yCiencias Sociales. Se utilizan para la modelar diferentes fenómenos naturales, como por ejemplo:la luz, la corriente o las mareas. Todos estos fenómenos se representan a partir funciones sinusoi-dales. Además, nos permiten analizar el decaimiento de alguna sustancia radiactiva o estudiar larapidez con que aumenta o se consume algún compuesto químico.

Objetivos


Aplicará el concepto de derivada y sus propiedades en la resolución de ejercicios y proble-mas.

Calculará derivadas de funciones trascendentes utilizando técnicas de derivación.

Temas Teóricos

Límites notables. Derivadas de funciones trigonométricas.

Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.

Derivada de la función inversa.

Bibliografía

J. Stewart, �Cálculo: Trascendentes Tempranas�, Thompson/Brooks/Cole, sexta edición.Capítulo 3: Reglas de Derivación, sección 3.1 (pág. 173), sección 3.3 (pág. 189, sección 3.6(pág. 215).

39

Derivadas II 40


S1. Si f(x) = sen(x) demuestre utilizando la de�nición de derivada que f ′(x) = cos(x).

S2. Teniendo en cuenta que ax = e(x ln(a)), demuestre qued

dx(ax) es proporcional a ax y la

constante de proporcionalidad es ln(a).

S3. Calcule la derivada de la función f aplicando las reglas de derivación:

(a) f(x) = 4 sen(x)− cos(4x2)

(b) f(x) = ln(√

1− x3)

(c) f(x) = sec(x) + tg(x)

(d) f(x) = 3e2x−1 + 3x

S4. Dada f(x) = sen(x):

(a) gra�que en el mismo sistema de coordenadas las funciones f y f−1, en el intervalo[−π/2, π/2];

(b) encuentre la pendiente de la recta tangente a la grá�ca f en el punto (π/4, 1/√

2);

(c) halle la pendiente de la recta tangente a la grá�ca f−1 en el punto (1/√

2, π/4).

S5. Derivando la identidad x = f(f−1)(x) encuentre(f−1

)′(x) para la función f(x) = arc sen(ln(x)).

Ejercicios Taller

T1. (*) Calcule los siguientes límites notables:

(a) ĺımx→0

sen(2x)

x

(b) ĺımx→0

sen2(2x)

x2

(c) ĺımx→∞

3x sen

(1

x

)(d) ĺım

x→0

x cos2(x)− xx3

T2. Si f(x) = cos(x) demuestre utilizando la de�nición de derivada que f ′(x) = − sen(x).

T3. Demuestre qued

dx(loga(x)) =

1

ln(a)x.

T4. (*) Calcule la derivada de la función f aplicando las reglas de derivación:

(a) f(x) = (1− cosec(2x+ 1))2/3

(b) f(x) =3 tg(x)

2− sen(x)

(c) f(x) =(1 + x) sen(x)

1− x2

(d) f(x) =(cos2(x) + sen2(x)

) (x2 + 1

)(e) f(x) = ln(3x) + 3 tg(x)− ex3

(f) f(x) = xsen(x)

(g) f(x) = ln(x)ln(3x)

(h) f(x) = etg(x) (e−x + 1)

(i) f(x) = 4sen(2x)

(j) f(x) = cos(2 sen(cos(e2x)))

(k) f(x) =

√1− x1 + x

cos(1− x)

Derivadas II 41

T5. Hallar la derivada de la función exponencial compuesta:

y = uv

Donde u = φ(x) y v = ψ(x).

T6. Demuestre que si u es diferenciable en x entonces arc cos′(u) =−1√

1− u2u′(x) y arc tg′(u) =

1

1 + u2u′(x).

T7. (*) Dadas las siguientes funciones f(x), encuentre f−1(x). Además, derivando la identidadx = f(f−1)(x) deduzca

(f−1

)′(x):

(a) f(x) = tg(x)

(b) f(x) = sen(x)

(c) f(x) = 3x+ 5

(d) f(x) = cotg(x)

T8. (*) Encuentre una ecuación para la recta tangente a la curva f(x) = x cos(x) en el punto(−π, π). Gra�que la curva f y su tangente en el mismo sistema de coordenadas.

T9. ¾Para qué valores de x el grá�co f(x) = x+ 2 sen(x) tiene una tangente horizontal?

T10. (*) Dada f(x) = 3 cos(x− π

4

)+ 2:

(a) gra�que en el mismo sistema de coordenadas las funciones f y f−1 en el intervalo [π/4, 5π/4];

(b) encuentre la pendiente de la recta tangente a la grá�ca f en el punto (3π/4, 2);

(c) halle la pendiente de la recta tangente a la grá�ca f−1 en el punto (2, 3π/4).

T11. (*) Una bebida se saca de la heladera a una temperatura de 10 ◦C y se deja en una habitacióndonde la temperatura es de 25◦C. Según la ley de enfriamiento de Newton (calentamientosería en este caso el término apropiado) la temperatura T de la bebida variará en el tiempode acuerdo a la expresión:

T (t) = 25−Ae−kt

con A y k constantes.

(a) Sabiendo que al cabo de 20 minutos la temperatura de la bebida es de 15◦C, calcule lasconstantes A y k.

(b) Gra�que la función T para t ≥ 0 y encuentre la expresión de la rapidez instantánea decalentamiento de la bebida.

(c) ¾Cuál será la temperatura de la bebida al cabo de una hora?

T12. Suponga que se introduce gas en un globo esférico a razón de 50 cm3 por segundo. Supongaque la presión del gas permanece constante y que el globo tiene siempre forma esférica.¾Cuál es la rapidez con que aumenta el radio del globo cuando su diámtro es 5 cm?

10 - Extremos en intervalos cerradosDeterminación de máximos y mínimos en intervalos cerrados

¾Cuáles son las aplicaciones de la derivada? ¾De qué nos sirve derivar funciones? En esta guíavamos a aprender cómo utilizar la derivada de una función para encontrar los máximos y mínimosde la misma. Muchos problemas de la vida cotidiana y de nuestro futuro trabajo van a requerirestas habilidades. Por ejemplo:

Si hacemos un cultivo de células y conocemos la función que describe su cantidad en funcióndel tiempo, sabremos cuándo tendremos el máximo número posible de células.

Si conocemos la función que describe la distribución de un fármaco en el organismo, sabre-mos cuándo alcanzará la concentración máxima en sangre, y sabremos cada cuántas horasadministrar el mismo.

Objetivos


Reconocerá grá�camente extremos absolutos y relativos de una función dentro de un in-tervalo de�nido.

Enunciará el teorema del valor extremo.

Enunciará y demostrará el teorema de Fermat.

De�nirá punto crítico, y hallará grá�ca y analíticamente los mismos en una función deter-minada.

Hallará los extremos absolutos de cualquier función continua en un intervalo cerrado.

Temas Teóricos

De�nición de extremos absolutos y relativos o locales

Teorema del valor extremo

Teorema de Fermat. Demostración

Puntos críticos

Bibliografía

J. Stewart, �Cálculo diferencial e integral�, International Thompson Editores. Capítulo 4Applications in di�erentiation, sección 4.1 (pág. 270-276)

42

Extremos 43


S1. Dada la siguiente función de�nida en el intervalo cerrado [−5; 6],

(a) Encuentre máximo y mínimo absoluto en el intervalo [−1; 1, 5](b) Encuentre máximo y mínimo absoluto en el intervalo (−5; 1, 5)(c) Encuentre máximo y mínimo absoluto en el intervalo [2; 6]

(d) Encuentre extremos absolutos y relativos en el intervalo [−5; 6](e) ¾De qué depende que un extremo sea relativo o absoluto?

S2. Decida cuáles de estas funciones poseen extremos absolutos

(a) f(x) = x2

(b) h(k) = ln(k)

(c) f(g) = cos(g)

(d) f(x) = x(2n+1) , ∀n ∈ N

S3. ¾En cuáles de las siguientes situaciones puede aplicarse el teorema del valor extremo en elintervalo [a, b]? ¾Por qué?

(a) (b)

S4. Encuentre los puntos críticos de la función f(x) =3x2 + a

x+ 2

Extremos 44

S5. Encuentre los extremos absolutos de las siguientes funciones, en los intervalos indicados:

(a) f(x) = x3 + 2x2 − 3 ; [-2,12 ](b) h(x) = |x− 1| ; [-2,3](c) h(x) = |x− 1| ; [-2,-1](d) f(s) = es + e−s ; [-1,2]

Ejercicios Taller

T1. De�na máximo y mínimo absoluto y relativo de una función

T2. Dé dos ejemplos de funciones en un intervalo cerrado dado:

(a) cuyos extremos absolutos estén de�nidos

(b) que no posean extremos absolutos

T3. De�na punto crítico.

T4. (*) Decida si las siguientes premisas son verdaderas o falsas, y dé un contraejemplo paraaquellas que son falsas

(a) Una función siempre tiene extremos absolutos en un intervalo

(b) Una función siempre tiene extremos absolutos en un intervalo cerrado

(c) Una función continua siempre tiene extremos absolutos en un intervalo cerrado

(d) Una función discontinua en un intervalo cerrado no tiene extremos absolutos en eseintervalo

(e) Una función discontinua en un intervalo cerrado no necesariamente tiene extremosabsolutos en ese intervalo

(f) Una función discontinua en un intervalo abierto no necesariamente tiene extremosabsolutos en ese intervalo

T5. (*) Encuentre los puntos críticos de las siguientes funciones:

(a) f(y) = y4 − y2 + 3(b) g(z) = ln(3) + (z − 5)4

(c) h(x) =x+ 6

x2 − 5x+ 1(d) f(x) = |4x− 1|

(e) f(θ) = cos(θ) + 5θ

(f) g(x) = x−4 ln(x)

(g) f(k) =√

3− k3

(h) f(x) = x3/4 + x1/2

T6. (*) En la siguiente �gura se muestra la grá�ca de la derivada de una función f(x). Marquelos valores de x donde se encuentran los puntos críticos de la función original

Extremos 45

T7. Describa, paso a paso, el procedimiento a seguir para encontrar los extremos absolutos decualquier función continua en un intervalo cerrado

T8. (*) ¾En cuáles de las siguientes situaciones puede aplicarse el teorema del valor extremo enel intervalo [a, b]? ¾Por qué?

y

ba

x

(a)

x

y

a b

(b)

T9. (*) Encuentre los extremos absolutos de las siguientes funciones en el intervalo indicado:

(a) f(x) = x2 − 2x+ 1 ; [0, 2](b) h(x) = 2x3 − x+ 3 ; [−2, 0](c) f(y) = y4 − 2y2 + 3 ; [−2, 2]

(d) g(x) =x4

x+ 2; [−2, 12 ]

(e) f(x) = ln(x2 + x+ 1) ; [−1, 1]

(f) f(z) = ze−z2; [0, 1]

(g) f(x) = 2x + 22−x; [0, 3]

T10. (*) Gra�que una función f(x) en el intervalo [0, 8] que cumpla con todos los siguientesrequisitos:

Posee un mínimo absoluto en x = 4

Posee un máximo absoluto en x = 1

Extremos 46

Posee un mínimo relativo en x = 2

Posee un máximos relativos en x = 3 y x = 7

Posee 6 puntos críticos en total

T11. Si A y B son dos números enteros positivos, encuentre sus valores, sabiendo que A+B = 8y que la suma de sus cuadrados es la mínima posible

T12. (*) Encuentre el punto de la recta y = 3x + 1 cuya distancia al punto (1, 1) sea mínimaAyuda : la distancia entre dos puntos se define d = ((x2 − x1)2 + (y2 − y1)2)

12

T13. Si f(x) posee un mínimo en c, pruebe que g(x) = −f(x) posee un máximo en c

11 - Análisis completo de funcionesValor medio, crecimiento, decrecimiento, dirección de la concavidad.

¾Qué hacemos con todo lo que aprendimos hasta ahora? Dado que f ′(x) representa la pendientede la curva y = f(x) en el punto (x, f(x)), nos dice cómo evoluciona la curva en cada punto. Porlo tanto, conociendo la derivada, tenemos mucha información sobre la función en sí misma.Ahora vamos a aplicar los conocimientos adquiridos al análisis completo de funciones. Conocien-do la fórmula de la misma, seremos capaces de encontrar su dominio, raíces, asíntotas, puntoscríticos, máximos y mínimos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, intervalos de concavi-dad o curvatura. Con todos estos datos, seremos capaces de gra�car casi cualquier función sinnecesidad de una tabla o gra�cadoras.

Objetivos


Enunciará el Teorema de Rolle

Enunciará y demostrará el Teorema del Valor Medio

Analizará y gra�cará funciones arbitrarias de una variable

Temas Teóricos

Teorema de Rolle

Teorema del Valor Medio. Demostración

Crecimiento y decrecimiento

Análisis de la primera derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimientode funciones

Concavidad y convexidad

Punto de in�exión

Análisis de la segunda derivada para determinar intervalos de concavidad y convexidad defunciones

Integración de contenidos previos: funciones, dominio, límites, asíntotas, derivada, punto crítico,extremos.

Bibliografía

J. Stewart, �Cálculo diferencial e integral�, International Thompson Editores. Capítulo 4Applications in di�erentiation, secciones 4.2 y 4.3 (pág. 280-294)

47

Análisis de funciones 48


S1. Dada la siguiente grá�ca

Encuentre y marque aproximadamente el punto c con pendiente paralela a la de la rectasecante que pasa por a y b (Punto c del Teorema del Valor Medio (TVM))Intente hacer lo mismo del ítem anterior en este grá�co:

¾Por qué no existe c? ¾Se contradice el TVM? ¾Por qué?

S2. Encuentre, cuando sea posible, todos los puntos c que satisfagan el TVM en el intervaloseñalado

(a) f(x) = 3 + 2x− x2 ; [1, 3](b) g(x) =

√x− 4 ; [5, 8]

(c) h(x) =x

|x|; [−1, 1]

(d) h(x) =x

|x|; [−2,−1]


S3. Marque en el grá�co las zonas donde f(x) crece, decrece, es cóncava hacia arriba o cóncavahacia abajo

S4. ¾Puede aplicarse el TVM a las siguientes funciones? ¾Por qué?

(a) (b)

S5. Realice un análisis completo de la función f(x) = x3 − 3x2 + 3, determinando:

(a) Dominio

(b) Asíntotas verticales y horizontales, si existen

(c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento

(d) Máximos y mínimos

(e) Intervalos de concavidad y convexidad

Con estos datos, realice un grá�co de la función.


Ejercicios Taller

T1. Enuncie el Teorema del Valor Medio (TVM)

T2. (*) ¾Puede aplicarse el TVM a las siguientes funciones? ¾Por qué?

x

y

a b

(a)

x

y

a b

(b)

T3. (*) La velocidad promedio de un objeto que se mueve en línea recta entre los tiempos t = ay t = b puede ser expresada como:

v =f(b)− f(a)

b− adonde f(t) es la posición de dicho objeto al tiempo t y la velocidad instantánea al tiempot = c es f ′(c). Si un auto recorrió 950 km en 10 horas, ¾qué velocidad, sin lugar a dudas,ha marcado el velocímetro al menos una vez?

T4. (*) ¾Existe alguna función continua y derivable en el intervalo [0,3] tal que f(3) = 8,f(1) = 2, y f ′(x) ≤ 2 para todo x?

T5. Utilizando el TVM, demuestre que si f ′(x) = 0 para todo x en un intervalo (a, b), entoncesf(x) es constante en el intervalo.

T6. (*) Muestre que la función f(x) = 4x− cos(x) tiene una única raíz real

T7. Utilizando el TVM, demuestre que ex ≥ 1 + x para todo x ≥ 0

T8. (*) Complete la siguiente tabla en la cual se evalúan los intervalos de crecimiento y decre-cimiento de la función f(x) = x3 − 12x

2 − 2x+ 5 con el test de la primera derivada

Intervalo Signo de f ′(x) Comportamiento de f(x)(-∞,-23)( , ) -( ,∞) Creciente


T9. Demuestre las siguientes a�rmaciones:

(a) Si f(x) y g(x) son crecientes en I, entonces f + g es creciente en I

(b) Si f(x) y g(x) son positivas y crecientes en I, entonces f × g es creciente en I(c) Si f(x) y g(x) son crecientes en R, entonces f ◦ g es creciente en R(d) Si f(x) y g(x) son cóncavas hacia arriba en I, entonces f + g es cóncava hacia arriba

en I

T10. (*) Los empleados de una fábrica de producción de autopartes trabajan 8 horas al día.El proceso de manufactura se lleva a cabo siempre de la misma manera. Sin embargo, laproducción no es homogénea, como muestra el siguiente grá�co de la cantidad de elementosproducidos en función del tiempo:

2 3 4 5 6 7 8

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

ca

ntid

ad

de

pro

du

cto

s

tiempo [horas]

Viendo la grá�ca, ¾en qué momento la velocidad de producción es la más alta? Estime apro-ximadamente las coordenadas del punto de in�exión (productividad). ¾Cuál es el signi�cadodel punto de in�exión?

T11. Demuestre que la función f(x) = x|x| tiene un punto de in�exión en (0,0), aunque f ′′(0)no existe

T12. Para cada caso, gra�que una función que cumpla con las condiciones requeridas:

(a) f ′(x) < 0 en (-∞,a) y (b,∞), y f ′(x) > 0 en (a,b) f ′′(x) > 0 en (-∞,c) y f ′′(x) < 0 en (c,∞) ; y a < c < b

(b) f ′(x) nunca cambia de signo

f ′′(x) se hace cero una vez

(c) f(x) crece en (-∞,a) y decrece en (a,∞) ĺımx→−∞

f(x) = ĺımx→∞

f(x) = 0


f(x) tiene dos puntos de in�exión

T13. (*) Sabiendo que f(4) = 3, f ′(4) = 2, f ′(x) > 0 y f ′′(x) < 0 ∀x, ¾cuántas raíces tiene f(x)?¾es posible que f ′(0) = 1? ¾por qué?

T14. (*) El grá�co siguiente corresponde a la derivada de la función continua f(x)

determine:

(a) puntos críticos de f(x)

(b) intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)

(c) puntos de in�exión de f(x)

(d) intervalos de concavidad y convexidad de f(x)

¾cuáles son los puntos críticos de f ′(x)?Con estos datos, esbozar un grá�co aproximado de f(x) y de f ′′(x)

T15. (*) Para cada una de las siguientes funciones, determine: dominio, asíntotas, intervalos decrecimiento, máximos y mínimos, intervalos de concavidad y convexidad. Realice un grá�coaproximado de cada una.

f(x) =exp(x)

1 + exp(x)

g(θ) = cos(2θ) + θ

h(y) =√x2 + 4

f(t) = t2 + 4t− 3

T16. ¾Cuántos puntos de in�exión tiene, como máximo, el polinomio de grado n de�nido comof(x) = axn + bxn−1 + ...+ cx2 + dx, con a, b, ..., c y d distintos de cero? Demuestre

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