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Guía MetodológicaSéptimo Grado

MATEMáTICA

GUIA MATE SEPTIMO.indd 1 27/03/10 05:15 p.m.

PRESENTACIÓNEstimados y estimadas docentes tutores de modalidades flexibles de educación, en esta ocasión te presentamos un instrumento pedagógico que ha sido diseñado con el propósito de apoyarte con el desarrollo de contenidos programáticos, que históricamente se ha constatado necesitan de una fundamentación científica más profunda para su enseñanza y para su aprendizaje, de manera que se facilite mayor comprensión de conocimientos y se garanticen mejores resultados de aprendizaje.

Este instrumento denominado “GUÍA METODOLÓGICA DE MATEMÁTICA PARA EL DOCENTE” de modalidades flexibles de educación, constituye una fuente de consulta para ampliar, fundamentar y enriquecer algunos contenidos que desarrollan los módulos de autoestudio; además contiene elementos propios de la metodología de trabajo con personas jóvenes y adultas, de manera que te vuelvas más competente en aspectos propios de la especialidad, así como en el manejo de herramientas didácticas que promuevan el aprendizaje autónomo y colaborativo, la atención a la diversidad, el enfoque de competencias, la planificación y uso del tiempo libre en el estudiantado.

Este documento presenta dos grandes partes bien diferenciadas, la primera esta referida a una breve reseña curricular sobre el plan de estudios del grado, la jornalización del año académico y algunas ideas sobre conceptos básicos de la administración curricular de las modalidades flexibles, y la segunda parte contiene el desarrollo temático acompañado de ciertas pautas metodológicas para hacer la entrega educativa.

Estamos optimistas que el uso pedagógico que hagas de este instrumento contribuirá en gran medida a fortalecer el rol de docente tutor que desempeñas, para garantizar mejores prácticas educativas con la población joven y adulta.

GUIA METODOLÓGICA MATEMÁTICA 7º 2014.indd 3 23/06/2014 01:52:22 p.m.

OBJETIVO DEL DOCUMENTO 5LINEAMIENTOS DE EVALUACIÓN 8OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA 9

UNIDAD 1 Números enteros y medidas de longitud del Sistema Internacional de medidas (SI) 12Lección 1 ¿Conoces los números enteros? 14Lección 2 Suma y resta de números enteros 18Lección 3 Multiplicación y división de enteros 21Lección 4 Operaciones combinadas de números enteros 25Lección 5 Unidades de longitud del SI 28

UNIDAD 2 Unidades de superficie. Fracciones 32Lección 1 Unidades de superficie del Sistema Internacional (SI) 34Lección 2 Unidades agrarias 37Lección 3 Números racionales 40Lección 4 Suma y resta de fracciones 44Lección 5 Multiplicación y división de fracciones 47

UNIDAD 3 Números decimales, figuras circulares, medidas de capacidad y de volumen 52 Lección 1 Introducción a los números decimales 54Lección 2 Multiplicación y división de números decimales 58Lección 3 Circunferencia y círculo 61Lección 4 Medidas de capacidad 63Lección 5 Medidas de volumen 67

UNIDAD 4 Medidas de peso, la proporcionalidad e introducción al álgebra 72Lección 1 Medidas de peso 73Lección 2 Razones y proporciones 75Lección 3 Relaciones de proporcionalidad y regla de tres 80Lección 4 Introducción al álgebra 84Lección 5 Términos semejantes 88

UNIDAD 5 Multiplicación y división de monomios. Operaciones con radicales 92Lección 1 Propiedades de los exponentes 93Lección 2 Operaciones con monomios 97Lección 3 Exponente negativo, multiplicación y división de monomios 101Lección 4 Raíces cuadradas y cúbicas 104Lección 5 Operaciones con radicales 108

ÍNDICE


Septimo Grado - Matemática 5

OBJETIVO DEL DOCUMENTOProporcionar sugerencias metodológicas y de contenido científico de la asignatura, para fortalecer las competencias profesionales de los docentes tutores que atienden modalidades flexibles, de tal forma que contribuyan a garantizar mejores resultados de aprendizaje en la población joven y adulta que se atiende.

ENFOQUE Y COMPETENCIAS DE LA ASIGNATURA DE MATEMáTICASEnfoque de la Asignatura: Resolución de Problemas

La asignatura de Matemática estimula el desarrollo de diversas habilidades intelectuales, como: el razonamiento lógico y flexible, la imaginación, la inteligencia espacial, el cálculo mental, la creatividad, entre otras. Estas capacidades tienen una aplicación práctica en la resolución de problemas de la vida cotidiana

El enfoque de la asignatura responde a la naturaleza de la Matemática: resolver problemas en los ámbitos científicos, técnicos, sociales y de la vida cotidiana. En la enseñanza de la matemática se parte de que en la solución de todo problema hay cierto descubrimiento que puede utilizarse siempre.

En este sentido los aprendizajes se vuelven significativos desde el momento que son para la vida, mas que un simple requisito de promoción.

Por tanto, el o la docente debe generar situaciones en el estudiantado explore, aplique, argumente y analice los conceptos, procedimientos algebraicos, algoritmos; sistematice e interprete información, y otros tópicos matemáticos acerca de los cuales debe aprender.

COMPETENCIAS DE LA ASIGNATURA DE MATEMáTICAS.Competencias a Desarrollar.

Razonamiento Lógico Matemático.

Esta competencia promueve en los y las estudiantes la capacidad para identificar, nombrar, interpretar información, comprender procedimientos, algoritmos y relacionar conceptos. Estos procedimientos fortalecen en los estudiantes la estructura de un pensamiento matemático, superando la práctica tradicional que partía de una definición matemática y no del descubrimiento del principio o proceso que da sentido a los saberes numéricos.

Comunicación del Lenguaje Matemático.

Las notaciones y símbolos matemáticos tienen significados precisos, diferentes a los del lenguaje natural. Esta competencia desarrolla habilidades, conocimientos y actitudes que promueven la descripción, el análisis, la argumentación y la interpretación utilizando el lenguaje matemático, desde sus contextos, sin olvidar

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6 Matemática - Septimo Grado

que el lenguaje natural es la base para interpretar el lenguaje simbólico.

• Aplicación de la Matemática al Entorno.

Es la capacidad de interactuar con el entorno y en el, apoyándose en sus conocimientos y habilidades numéricas. Se caracteriza también por la actitud de proponer soluciones a diferentes situaciones de la vida cotidiana. Su desarrollo implica el fomento de la creatividad, evitando el uso excesivo de métodos basados en la repetición.

LINEAMIENTOS METODOLÓGICOS. El proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática requiere de metodologías participativas que generen la búsqueda de respuestas en el estudiante, promoviendo su iniciativa y participación en un clima de confianza que les permita equivocarse sin temor, desarrollar su razonamiento lógico y comunicar ideas para solucionar problemas del entorno.

Se deben hacer esfuerzos para evitar explicaciones largas de parte de las y los docentes tutores y procurar que los y las estudiantes disfruten Matemática, la encuentren interesante y útil porque construyen nuevos aprendizajes significativos.

Para desarrollar este proceso, se presenta como propuesta metodológica el trabajo por Resolución de Situaciones Problemáticas (RSP). Esta metodología, junto a otras actividades planificadas, promueve la conversión de los tradicionales “ejercicios-problema o problemas de lápiz y papel” a verdaderas situaciones problematizadoras que impliquen al estudiantado la necesidad de utilizar herramientas heurísticas para resolverlas; por lo tanto sucitará el desarrollo de las competencias demandadas en la asignatura.• Resolución de Situaciones Problemáticas (RSP).

El trabajo por RSP debe tener en cuenta las siguientes condiciones:

Seleccionar el ámbito o escenario de búsqueda e indagación, especificando las variables, los objetivos de esa búsqueda, identificando la problemática y los medios disponibles.

Recopilar y sistematizar la información de fuentes primarias o secundarias que promuevan la objetividad y exactitud del análisis y pensamiento crítico.

Utilizar la deducción de formulas para seleccionar el proceso algorítmico que mejor se adecue a la resolución de problemas.

Expresar con lenguaje matemático y razonamiento lógico la solución al problema planteado.

Establecer otras situaciones problemáticas significativas que permitan transferir los saberes conceptuales, procedimentales y actitudinales aprendidos en la aplicación del RSP.



Los docentes tutores deben considerar que las actividades propuestas correspondan con los conocimientos previos del y la estudiante. De igual forma, es necesario adecuar el proyecto en una situación contextualizada, considerando las diferencias individuales de la población estudiantil.

El disponer de diversos procedimientos metodológicos-didácticos proveerá en cada estudiante un aprendizaje significativo; pero también es importante que el o la docente tutora se asegure que el procedimiento lógico empleado haya sido debidamente aprendido.

Aplicabilidad del Aprendizaje.

El desarrollo de los saberes matemáticos debe ser transferible a situaciones del entorno, haciendo al estudiante competente en la aplicabilidad a problemas reales que enfrenta. En el área matemática es fácil estructurar problemas relacionados con el ambiente particular del joven adulto, ya que consciente o inconscientemente la utiliza. La metodología con base en competencias es, por tanto, compatible con la realidad, haciendo procedimientos algorítmicos abstractos apacibles a situaciones reales. Entre mas locales sean los problemas, o mas conexión tengan con la experiencia de la vida, mas comprensibles y familiares resultan los diferentes procedimientos matemáticos.

El aprendizaje como Proceso Abierto, Flexible y Permanente.

La creación del acto educativo o el ambiente en el que se ejecuta el proceso-aprendizaje para ser congruente con la nueva metodología deberá ser abierto, flexible y permanente, incorporando los avances de cultura, la ciencia y la tecnología que sean pertinentes basado en las metodologías activas y variadas que permitan personalizar los contenidos de aprendizaje y promuevan la interacción de todos los estudiantes.

Los diferentes recursos con los que se cuenta ahora pueden hacer que las matemáticas sean comprendidas con mayor facilidad. El acceso a herramientas técnicas debe saber lograr que el saber sea flexible y permanente por el grado de ocupación que este demanda.

Consideración de Situaciones Cercanas a los Intereses de los Estudiantes.

Los intereses de las y los estudiantes varían de acuerdo a regiones o situaciones de su entorno, de aquí la habilidad del docente o tutor para interpretar los gustos por los cuales son motivados estos. Es preciso evaluar los intereses de los y las estudiantes, pueden ser aplicables a la experiencia educativa.

Los juegos de video o juegos de mesa suelen ser muy atractivos para los jóvenes. En Matemática, por ejemplo, existe un gran esfuerzo por convertir en juegos temas como: fracciones, factorización, progresiones, etcétera. Se comprueba que la utilización de estas situaciones cercanas a los estudiantes pueden desarrollar, con mayor rapidez, habilidades en ellos, haciéndolos competentes en su desarrollo académico.

Rol Activo del estudiante en el Aprendizaje de la Matemática.



Concebidos como actores en la resolución de problemas, son ellos quienes aportan soluciones. Las explicaciones del docente deben ser breves, esforzándose, sobre todo, en hacer trabajar al alumnado.

LINEAMIENTOS DE EVALUACIÓN.Los lineamientos para la evaluación de los aprendizajes establecidos por el Ministerio de Educación (Evaluación al Servicio de los Aprendizajes, MINED 2007) muestran el marco normativo para determinar las pautas y procedimientos a utilizar. Asimismo, se debe tomar como referencia el documento “Currículo al Servicio del Aprendizaje” (MINED 2007) para establecer e implementar los acuerdos de la evaluación en el centro educativo, los cuales se encuentran planteados en el Proyecto Curricular de Centro. (PCC).

Evaluación Diagnóstica: Cuando se comienza el año y al inicio de cada nueva unidad, se puede realizar la evaluación diagnostica de forma general, resolviendo una serie de situaciones problemáticas aplicadas a la vida. En estas se pondrán en evidencia las competencias que posee cada estudiante al momento de utilizar diferentes algoritmos para la solución de problemas. De esta forma, se potenciará el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Evaluación Formativa: merecen especial atención los conocimientos equivocados o acientíficos del estudiantado ya que las competencias de esta asignatura demandan el descubrimiento, la apertura de espacios para el ensayo o el error, y la comprobación de supuestos.

Estos procedimientos son fundamentales al evaluar formativamente al estudiantado, porque permiten detectar las causas de sus errores o confusiones, para ayudarles a superarlos antes de adjudicar una calificación.

Evaluación Sumativa: De acuerdo con la naturaleza de la adquisición de las competencias, la prueba objetiva solo es una actividad entre otras. Se debe diseñar de manera que evalué contenidos conceptuales y procedimentales independientes o integrados tomando en cuenta los indicadores de logro.

Se recomienda incluir actividades que evalúen los aprendizajes de las y los estudiantes enfrentándolos a una situación problemática que se resuelva con la aplicación de procedimientos: identificar, clasificar, analizar, explicar, representar, argumentar, predecir, inventar; y la utilización de conocimientos con determinadas actitudes.



Objetivos de la Asignatura de Matemática Séptimo Grado

Al finalizar el séptimo grado, el alumnado será competente para: Aplicar diferentes estrategias y procedimientos aritméticos al proponer soluciones a problemas del quehacer diario referidos al uso de los enteros.

Participar con actitud propositiva, al resolver problemas del entorno, utilizando unidades de medida.

Utilizar la información estadística con criticidad, al interpretar la información del entorno.

Interpretar y valorar el lenguaje simbólico del álgebra como una herramienta, que facilita la generalización de lo cotidiano.

Octavo Grado

Al finalizar el octavo grado, el alumnado será competente para: Resolver con seguridad y autonomía problemáticas de su entorno, aplicando las operaciones con números reales.

Interpretar y cuantificar la realidad de su entorno aplicando el cálculo de áreas y volúmenes.

Participar en la toma de decisiones al analizar y discutir la información, aplicando las medidas de tendencia central.

Generalizar la aritmética y establecer procedimientos algebraicos que faciliten la propuesta de soluciones a problemáticas de su cotidianidad.

Noveno Grado

Al finalizar el noveno grado el estudiante será competente para: Valorar la precisión del cálculo matemático en propuestas de solución que requiera la determinación de áreas de sectores circulares.

Tomar decisiones acertadas en su diario vivir, al analizar críticamente las posibilidades de ocurrencia de un suceso.

Poner soluciones a problemas de su realidad, al interpretar la información obtenida, aplicando con seguridad las medidas de dispersión.

Resolver soluciones problemáticas de su entorno escolar y social, utilizando sistemas de ecuaciones.



PROPUESTA DE JORNALIZACIÓN DEL AÑO ACADÉMICO

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4Período de inducción:

Diagnóstico de competencias básicas de la asignatura

x

Estrategias de aprendizaje autónomo x xRefuerzo a contenidos deficitarios xMódulo 1: Diagnóstico y desarrollo de la unidad 1

x x x x

Prueba objetiva xRefuerzo académico xUnidad 2: Diagnóstico y desarrollo de la unidad 2

x x x x x


x x x x x


x x x x x


x x x x x

Prueba objetiva xRefuerzo académico xRefuerzo académico x

Semanas Semanas Semanas SemanasMES 1 MES 2 MES 3ACTIVIDAD / MES MES 4



PROPUESTA DE JORNALIZACIÓN DEL AÑO ACADÉMICO

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4Período de inducción:

Diagnóstico de competencias básicas de la asignatura

x

Estrategias de aprendizaje autónomo x x Refuerzo a contenidos deficitarios x

Módulo 1: Diagnóstico y desarrollo de la unidad 1

x x x x

Prueba objetiva xRefuerzo académico x

Unidad 2: Diagnóstico y desarrollo de la unidad 2

x x x x x



x x x x x



x x x x x



x x x x x

Prueba objetiva xRefuerzo académico xRefuerzo académico x

Semanas Semanas Semanas Semanas Semanas Semanas SemanasMES 5 MES 6 MES 7 MES 8 MES 9 MES 10MES 4


12 Matemática

Unidad 1 Números enteros y medidas de longitud del Sistema Internacional de medidas (SI)

1. Descripción de la unidad

Fueron los indios o sea, los originarios de la India, los que crearon el sistema decimal que hoy usamos. Lo único que ha cambiado es la forma en la que escribimos los diez dígitos que forman el sistema. Esta forma llegó a nosotros a través de los árabes.

Ud. conoce que el sistema decimal tiene base 10 y los dígitos del 0 al 9. El orden asignado a los dígitos es 0 < 1 < 2 < 3< 4 < … < 9.

Para representar cantidades enteras o para contar, se utilizan dos números naturales y el cero. No = {0, 1, 2, 3, …}

Los naturales y el cero se vuelven insuficientes cuando necesitamos representar situaciones como pérdidas y ganancias.

Podemos representar las ganancias y las pérdidas en una recta numérica. Veamos el procedimiento para hacerlo.

En temas anteriores, situamos a los números naturales en la recta numérica. Así:

Si Marcamos a partir de cero y hacia su izquierda segmentos de igual tamaño a los de la derecha, encontraremos que existe simetría entre las marcas de ambos lados, de esta manera.

Los números mayores que cero reciben el nombre de enteros positivos; mientras que sus opuestos se llaman enteros negativos. El cero es un entero que no tiene opuesto, ni signo. Al unir los números de los conjuntos anteriores se forma el conjunto de los enteros (Z). Z = {… − 5, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…}

A la distancia que hay en la recta numérica entre un número a cero, se le llama valor absoluto, por tal motivo, el valor absoluto de un número positivo ó negativo el resultado será positivo, ya que no interesa en que sentido esté el número, solo a que distancia.

210 6 ...4 53

-3-4-5 1 ......

... ...

-1 0-2 53 42

El opuesto de 3 es (–3)

El opuesto de (–3) es 3


Guía Metodológica


Para sumar dos enteros es necesario considerar dos casos:

a) Números con el mismo signo: Si los números tienen el mismo signo, es decir, los dos son positivos o negativos, entonces se suman sus valores absolutos y el resultado conserva el signo común. Ilustramos esto con ejemplos:

−15 + (− 5) = − 20 10 + 15 = 15

b) Números con signo distinto: Si los números tienen distinto signo se restan sus valores absolutos y el resultado conserva el signo del número que presenta el mayor valor absoluto (sin su signo). Veamos con un ejemplo:

− 3 + 7 = 4 (como los signos son distintos entonces los números se deben restar y lo más fácil es restar el menor del mayor, es decir: 7 – 3 = 4

Para el signo se debe considerar cuál de los números presenta mayor valor absoluto, en este caso es 7 y como éste tiene signo positivo, entonces el resultado es positivo:

Otro ejemplo es:

10 + (− 30) = −20

Recuerde las partes de una resta:

La resta de dos números enteros a y b es: a − b = a +(−b). Luego para restar dos números enteros, sumamos al minuendo el opuesto o aditivo inverso del sustraendo, ejemplos:

a) A 7 restar 10:7 + (− 10) = −3

b) A 7 restar −10:7 − (− 10) = 7 + 10 = 17

c) A −7 restar 10:−7 − 10 = −7 + (−10)= − 17

d) A −7 restar −10:−7 − (− 10) = −7 + 10 = 3

x ó ÷ Más MenosMás + −

Menos + +

Multiplicación y división de enteros

La multiplicación y la división de enteros se aplica la misma ley de los signos:

Veamos cómo se usa la tabla en un ejemplo:

− 2(− 15) = 30 primero multiplicar los números y después los signos de acuerdo a la tabla.

Menos por menos resulta más.

Ejemplo: 10(− 6) = − 60 primero los números y después los signos con referencia a la tabla.

Observe que las reglas de los signos que se aplican a la multiplicación y la división no se pueden aplicar a la suma o resta.

En la lección cinco de esta unidad se inicia el estudio de las medidas.

Es obvio que por las dificultades de medición por las que pasaba el ser humano. Era menester uniformizar los patrones de medición: no era lo mismo una cuarta o una brazada de Manuel que de Pedro.

Para medir magnitudes como distancia, superficie, volumen, peso, etc., se creó en el siglo XVIII el Sistema Métrico Decimal.

Para satisfacer otras necesidades de medición se legaliza en 1961 el Sistema Internacional de medidas o unidades (SI). La característica de ambos es que sus unidades siguen el valor posicional que establece el sistema decimal.



Motivación

Pregunte a la clase si mediante los números naturales pueden representar las siguientes situaciones:

a) Pérdidas y ganancias.

b) Distancias sobre y bajo el nivel del mar.

c) Temperaturas sobre cero y bajo cero.

Para llegar a la creación y representación en la recta numérica de los números enteros a partir de los naturales. Donde después se le asociamos a cada marca, a la izquierda del cero, el número opuesto al natural correspondiente, anteponiendo el signo menos “−“.

Lección 1¿ConoCeS loS núMeroS enteroS?

Primera Unidad

Para comparar dos números enteros, basta con ubicarlos en la recta numérica y el que se encuentra a la derecha es mayor de otro que se encuentra a la izquierda.

Observe los ejemplos:

−3 es mayor que – 7, porque −3 se encuentra a la derecha de – 7, es: − 3 > − 7

0 es mayor que – 5, porque 0 se encuentra a la derecha de – 5:

0 > − 5

También podemos establecer la relación así:

− 7 es menor que – 3, porque está a la izquierda de – 3 esto es:

− 7 < − 3

− 5 es menor que 0, porque – 5 está a la izquierda de 0, esto es:

− 5 < 0

210 64 53

...21-1-2-3-4-5-6-7-8 0 43...


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El opuesto o inverso aditivo

En la recta también podemos observar números que están a la misma distancia del cero, pero en lados contrarios. Éstos son los números que se les denomina opuestos o inversos aditivos.

Son opuestos: a) – 5 y 5

b) – 3 y 3

Seguidamente establezca que la distancia entre un entero y el cero es la misma que entre su opuesto y el cero.

Represente esta situación mediante un ejemplo en la recta numérica:

Distancia entre 0 y 3 = valor absoluto de 3 = 3

Distancia entre 0 y – 3 = valor absoluto de – 3 −3

Donde 3 = −3 = 3

Similarmente:

Distancia entre 0 y 7 = valor absoluto de 7 = 7

Distancia entre 0 y – 7 = valor absoluto de – 7 = −7

7 = −3 = 7

¿Cuál es el valor absoluto de cero?

Ahora refuerce el concepto de valor absoluto planteando preguntas como éstas:

¿Qué números están a 4 unidades de 0 en la recta numérica?



¿Hay números cuyo valor absoluto no sea un número positivo? Explique su respuesta.

¿Qué es el valor absoluto de un número?

-3-4-5 1 ...... -1 0-2 53 42

Opuestos

-3 30

d d


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Actividades complementarias

1. Frente a cada situación escribe su opuesta.

a) subir c) acierto

c) nacer d) responsable

2. Escriba frente a cada situación el tipo de número entero que se puede utilizar para representarla. (Positivo, cero o negativo).

a) Las ganancias de una empresa

b) Los minutos que faltan para lanzar un cohete

c) La cantidad de goles a favor

d) La cantidad de goles en contra

e) El no tener ganancias ni pérdidas

f) El gastar más de lo que se gana

g) Un saldo en contra

3. Frente a cada número, escriba su opuesto.

a) 4 b) − 5 c) − 7 d) − 2300 e) 0

4. Coloca dentro de cada cuadro el número entero que falta.

1. Encuentre el valor absoluto que se pide en cada caso:

a) −2 = _______ c) 5 = _______ e) −8+1 = _______

b) −10 = _______ d) 0 = _______ f) 10 = _______

2. Dentro de cada espacio escriba >, < o = según corresponda.

a) 4 3 d) −4 −3 g) −7 −8

b) 4 0 e) − 3 − 4 h) 4 −4

c) 0 4 f) – 7 − 8 i) 4− 4 0

-4

1-1

5

2


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Ordene los elementos de los siguientes conjuntos, según se pide.

j) De mayor a menor {0, − 4, 7, 6, − 6, 1, −11}

k) De menor a mayor {−3, −7, − 2, − 9, 0}

3. De acuerdo con la información que se da en la nota siguiente, contesta las preguntas.

En un día de invierno, se registraron en una ciudad de Canadá diversas temperaturas:

4 a.m. – 3 ºC 8 a. m – 1 ºC 12 a.m. - º15C 4 p.m. – 2 ºC 8 p.m. – 4 ºC

a) ¿A qué hora se registro la temperatura más baja?

b) ¿A qué hora se registro la temperatura más alta?

c) Entre las temperaturas de las 4 a.m. y las 8 p.m., ¿cuál fue la más baja?

Actividades propuestas

1. Representar en la recta numérica:

a) −5

b) 7

c) 1

d) 0

2. Inserte < o > en el espacio para formar un enunciado verdadero.

a) 2 3 b) 4 - 2 c) − 6 − 4

d) 4 − 4 e) − 9 − 12 f) − 5 − 2

g) 5 − 7



Lección 2SuMa y reSta de núMeroS enteroS

Primera Unidad

Motivación

Presentar la situación problemática. Una compañía puso acciones en la Bolsa de Valores. En cierta semana los movimientos fueron: el lunes subió un punto, el martes bajo dos puntos, el miércoles no hubo cambios, el jueves bajo un punto y el viernes se tuvo una alza de tres puntos. Al finalizar la semana, ¿cuánto subieron o bajaron las acciones en la Bolsa?

Pida al alumnado que escriba la operación que la resuelva: + 1 + 2 + 0 + (− 1) + 3 Y explique el hecho que ésta consiste en una suma de enteros. Para sumar dos enteros, utilice en primera opción la metodología de los círculos blancos y negros expuesta en el libro de texto. Así:

El círculo negro representa los números negativos y el círculo blanco los positivos entonces cada círculo negro elimina a un blanco y si los círculos que quedan son negros el resultado es negativo y el caso contrario si es blanco el resultado es positivo.

El resultado se determina con base en lo que quede.

a) 6 + (− 4) =

Quedaron - 42

6 o bien 6 + (− 4) = 2 +

b) (− 5) + 2 = −5 o bien (− 5) + 2 = − 3 +

Quedaron 23

c) − 3 + 3 − 3 o bien (− 3) + 3 = 0 +

Lo anterior permite a sus estudiantes afirmar que: 3

0Para sumar dos enteros de diferente signo, se restan los números y se agrega al resultado el signo del sumando que tiene mayor valor absoluto

Cuando la suma es cero, no se escribe signo alguno. En este caso, los sumandos tienen el mismo valor absoluto, ya que son opuestos.

Ahora plantee esta variante:

Cuando los círculos tienen el mismo color. Entonces los sumandos tienen el mismo signo Ejemplo:

a) 5 + 2 = 5 o bien 5 + 2 = +

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b) – 3 + (− 2)

Como los círculos tienen el mismo color, se agrupan y forman una nueva colección. Luego, para sumar dos o más números enteros de igual signo, se suman los números y el resultado conserva el signo de los sumandos.

Posteriormente exponga la suma en la recta numérica:

Evaluar 3 + (− 4) mediante la recta numérica.

Solución. Explique que se comience siempre en 0. Puesto que el primer sumando, 3, es positivo, la primera flecha inicia en 0 y se traza con 3 unidades hacia la derecha (figura siguiente).

Posteriormente plantee ejercicios con los sumandos escritos horizontal o verticalmente.

Resta de enteros.

Para desarrollar la resta de enteros comience exponiendo una situación como ésta: 9 – 2 = 7: Representa una resta de dos números positivos. El resultado es 7.

7 + (− 2) = 5: Representa una suma de dos números con distinto signo. El resultado es el mismo anterior. Luego: 7 – 2 = 7 + (− 2)

En general en una resta de enteros se cumple:

Minuendo – sustraendo = minuendo + opuesto del sustraendo

-3-4-5 1-1 0-2 3 42

3

-3-4-5 1-1 0-2 3 42

3-4

La segunda flecha inicia en 3 y se tras 4 unidades hacia la izquierda, puesto que el segundo sumando es negativo (como la siguiente figura). La punta de la segunda flecha se encuentra en – 1. Así, 3 + (− 4) = 1

−−25

−3 o bien: (− 3) + (− 2) = – 5+


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b) Realizar – 3 + (− 2) mediante la recta numérica.

Solución. Comience en 0. Puesto que ambos sumandos son negativos, ambas flechas se trazan hacia la izquierda. Ver la siguiente figura.

c) Un submarino se sumerge 250 pies. Poco después, se sumerge unos 190 pies más. Encuentre la profundidad del submarino con respecto del nivel del mar (suponga que las profundidades por debajo del nivel del mar se representan mediante números negativos).

Solución. Una recta numérica vertical puede ser útil para la explicación de este problema.

− 250 + (− 190) = − 440 pies

d) Resolver 9 – ( + 4)

Solución. 9 – (+ 4) = 9 −4 = 5

e) Resolver 5 – 3

Solución. 5 – 3 = 5 + (− 3) = 2


a) Realizar – 4 + 2 mediante la recta numérica.

Solución: comience en 0. Puesto que el primer sumando,− 4, es negativo, la primera flecha se traza con 4 unidades hacia la izquierda. A partir de ahí, como 2 es positivo, la segunda flecha se traza con 2 unidades a la derecha. La segunda flecha termina en – 2. Véase la siguiente figura.

-3-4-5 1-1 0-2 3 42

-4-2

-3-4-5 1-1 0-2 3 4 52

-4-2

-250 pies

-440 pies

0 Nivel del m



Lección 3Multipli Ca Ción y divi Sión de entero SMotivación.

Presentar la siguiente situación. En una urbanización hay 15 casas de 4 ventanas cada una; 10 casas de 3 ventanas cada una y 6 casas de 8 ventanas cada una, ¿cuántas ventanas hay en total en la urbanización? Pregunte qué operaciones se necesitan en la solución. La respuesta del alumnado debe ser:

(15 × 4) + (10 × 3) + (6 × 8) Seguidamente presente la situación:

El punto más bajo del continente europeo se encuentra en las costas de Holanda, a – 15 m con respecto al nivel del mar. En América la parte más baja se encuentra en el Lago Salton, en el estado de California E. U. y es seis veces mayor que la de Holanda.

¿A qué profundidad se encuentra el Lago Salton?, con respecto al nivel del mar?

Indique a los y las estudiantes que para calcular la profundidad a la que se encuentra el Lago Salton debemos tomar en cuenta el enunciado del cuadro que dice: “En América la profundidad máxima es 6 veces mayor que la europea”. Esto es, considerar 6 veces – 15 así: (−15) + (− 15) + (− 15) + (− 15) + (− 15) = − 90

seis veces Lo cual abreviamos: 6 × (− 15) = − 90

El lago Salton se encuentra a – 90 m, es decir, a 90 m bajo el nivel del mar.

Luego, proponer que en la primera de las situaciones se dan productos donde ambos factores son positivos. Al resolver el problema anterior efectuamos una multiplicación; en ella, uno de los factores es positivo y el otro negativo.

Las diversas situaciones que se pueden presentar al multiplicar dos números enteros se encuentran en el siguiente diagrama.

Primera Unidad

Factores Productoa) (+) • (+) +b) (−) • (−) +c) (−) • (+) −d) (+) • (−) −

a) 4 × 2 = 8b) (− 4) × (− 2) = 8c) (− 4) × 2 = − 8d) 4 × (− 2) = − 8

En todos los casos las cifras se multiplican. Luego, para colocar el signo al resultado, sólo tienes que aplicar las reglas de los signos que se muestran en el cuadro de la derecha. Por último, explique que cuando haya más de dos factores, efectúe la multiplicación tomándolos de 2 en 2, por ejemplo:

8 × (− 5) × (−3) = (− 40) × (− 3) = + 120 = 120


Guía Metodológica


Para introducir el concepto de división de entero, se puede. plantear una situación como ésta en la forma siguiente; ¿Una persona gana $ 480 mensualmente si trabaja 20 días al mes, cuánto gana esta persona diariamente? Este problema se plantea así:

20 × ? = 480

Días de trabajo

Sueldo mensual

Lo que gana en un día

La operación correspondiente es una multiplicación en la que se desconoce un factor, aunque se conoce el producto. Para encontrar el número que falta, se debe realizar una división. O sea, Solución: =

480

20 = 24

Proponer caso similar: ? × 3 = − 42 Producto

negativo Factor positivo

Para que el producto sea negativo, este factor debe ser negativo

= - 423

= − 14

La respuesta es – 14 porque (− 14) × 3 = − 42

Resuma lo anterior diciendo que al dividir números enteros, pueden presentarse cuatro casos diferentes, Vamos a estudiarlos en la tabla siguiente:

a) Signos diferentes b)

(−) ÷ (+) = (−) El cociente por el divisor da el dividendo

(−) (+) = (−)

(− 6) ÷ 3 = -2 porque (− 2) × 3 = (− 6)

(+) ÷ (−) = (−) (−) (−) = (+) 12 ÷ (− 3) = − 4 porque (− 4) × (− 3) = 12

c) Signos diferentes d)

(+) ÷ (+) = (+) (+) (+) = (+) 8 ÷ 2 = 4 porque 4 × 2 = 8

(−) ÷ (−) = (+) (+) (−) = (−) (− 10) ÷ (−2) = (10)

Al resolver divisiones de números enteros, debemos tener cuidado con el cero.

Este número sí puede estar como dividendo,

pero nunca como divisor. Por ejemplo:

0

18 = 0,

0

7 = 0, 0

5- = 0, en cambio 7

0, -12

0, -5

0, no están definidos.

El cero nunca puede ser divisor


Guía Metodológica



a) Resolver 3(−5).

Solución. Puesto que los números tienen signos contrarios, el producto es negativo. 3(− 5) = − 15

b) Resolver (− 6)(7).

Solución. Puesto que los números tienen signos contrarios, el producto es negativo. (− 6)(7) = − 42

c) Resolver (− 2)(3)(− 2)(−1)

Solución. Puesto que hay tres factores negativos (un número impar), el producto será negativo: (− 2)(3)(− 2)(− 1) = (−6)(− 2)(− 1) = (12)(−1) = − 12

d) Resolver (− 3)(2) (− 1)(− 2)(− 4)

Solución. Puesto que hay cuatro factores negativos (un número par), el producto será positivo: (− 3)(2)(− 1)(− 2)(− 4) = (− 6)(− 1)(− 2)(− 4) = (6)(− 2)(− 4) = (− 12)(− 4) = 48

e) Resolver 205-

Solución. Puesto que los números tienen signos contrarios, el cociente es negativo.

20

5- = − 4

f) Resolver

Solución. Puesto que los números tienen signos iguales, ambos negativos, el cociente es positivo.

-

-

30

5 = 6

g) Resolver – 16 ÷ (− 2).

Solución. -

-

16

2 = 8


Guía Metodológica


Actividades para resolver

Resolver los problemas siguientes, anotando en cada caso las operaciones que se requieren.

1. Un submarino que se encontraba a – 19 m con respecto al nivel del mar, se sumergió al trile de esa profundidad para evitar ser bombardeado. ¿A qué distancia del nivel del mar llegó el submarino?

2. La deuda de un compañía era de 24 millones, pero el mes siguiente se había duplicado. Después de quince días la deuda se redujo en 37 millones. ¿Cuál fue la situación de la compañía al finalizar ese período?

3. Un aparato de laboratorio disminuye la temperatura 3 grados centígrados por hora (3 ºC); ¿En cuántas horas habrá disminuido 18 grados centígrados?

4. Realizar las operaciones indicadas

a) – 19 + (− 7) = g) (− 9) (− 8) =

b) – 15 + 9 = h) 42 ÷ (− 6) =

c) 12 + (− 18) = i) (− 54) ÷ (− 3) =

d) 13 – 8 = j) (− 56) ÷ 8 =

e) 5 + (− 2) + (− 8) + 4 = k) 7 – 5 + 3 – 5 =

f) – 8 × 5 = l) 6 + 21 ÷ 3 – 5 =



Lección 4 Primera Unidad

Motivación

Proponga la solución de las siguientes operaciones:

a) 5 + 4 × 3 c) 5 + 21 ÷ 3

b) (5 + 4) × 3 d) (15 + 5) ÷ 20

Luego de unos minutos, invite a los y las estudiantes que pasen a la pizarra aresolverlas. Retroalimente la solución y plantee la jerarquía de las operaciones:

i) Resolver primero los exponentes y radicales.

ii) Resolver las multiplicaciones y divisiones, según el orden de aparición: de izquierda a derecha

iii) Resolver sumas y restas de izquierda a derecha.

iv) Este orden puede ser alterado únicamente por los paréntesis que deben ser resueltos antes que las demás operaciones.

De acuerdo a esto, la solución de las operaciones anteriores es:

a) 5 + 4 × 3 = 5 + 12 = 17 c) 5 + 21 ÷ 3 = 5 + 7 = 12

b) (5 + 4) × 3 = 9 × 3 = 27 d) (15 + 5) ÷ 20 = 20 ÷ 20 = 1

En otras palabras:

6 + 21 ÷ 3 + 8 tendremos:

6 + 7 + 8

13 + 8 = 21

Plantee que de acuerdo a la jerarquía de las operaciones, para resolver 23 x 5, primero se resuelve 23 = 2 × 2 × 2 = 8.

Luego, 23 × 5 = 8 × 5 = 40

De igual forma: 25 ÷ 5 = 5 ÷ 5 = 1


Guía Metodológica


Una vez explicada la jerarquía de las operaciones presente ejercicios de suma y resta con signos de agrupación. Explique cada uno de los pasos:

[4 – (8 + 5) – (7 – 3)]

= [4 – 13 – 4 ] Dentro del opuesto = 4 – 17 Resolviendo corchete

= − 13 Restando

20 + {[23 – (12 – 15) – 10] + 3} = 20 + {23 – (- 3) – 10 + 3} Resolviendo paréntesis = 20 + {[23 + 3 – 10] + 3} = 20 + { 16 + 3} = 20 + 19 = 39

Una vez el alumnado domine este tipo de operaciones, proponga situaciones que involucren más operaciones.


Evaluar

a) 150 – [(5 ) – (4 – 3)] = 150 – [ 5 − 1 ] = 150 – 4 = 146

b) 450 – [ 6 + { 4 – (3 – 1)} ] = 450 – [6 + { 4 – 2 } ]

= 450 – [6 + 2] = 450 – 8 = 442

Este ejercicio muestra que cuando hay varios signos de agrupación se resuelven primero los que están más al interior.

c) 500 – {14 – [7 – (6 – 5 + 4)] } = 500 – {14 – [7 – 5] } = 500 – {14 – 2} = 500 – 12 = 488

Este ejercicio muestra que cuando hay varios signos de agrupación se resuelven primero los que están más al interior.


Guía Metodológica


d) 6 – [3 – (5 – 1)(7 − 20)] = 6 – [3 + (4)( – 13)] = 6 – [3 – 52] = 6 −[– 49] = 55

e) {15 + (9 – 5) (2)} {(6 × 4)(−3) + (5 – 4)(7 – 10)} = {15 + (4)(2)} {(24)(− 3) + (1) (− 3)} = {15 + (4)(2)} {(24)(− 3) + 1 (− 3)} = {15 + 8} {− 72 + (− 3) } = {23 } {− 75} = - 1725

f) (15 + 20) ÷ 5 = 35 ÷ 5 = 7

g) (3 × 2) ÷ 6 + (19 − 1) ÷ (5 + 4) = 6 ÷ 6 + 18 ÷ 9 = 1 + 2 = 3

h) – 500 – {(6 – 1)(8) ÷ 4 × 2 + 16 ÷ (10 – 2)} – 5 = −500 – {(5)(8) ÷ 8 + 16 ÷ 8} – 5 = − 500 – { 40 ÷ 8 + 2 } – 5 = − 500 – { 5 + 2} −5 = −500 – 7−5 = − 512

i) (− 40 + 16+8 ) ÷ 8 = (− 24 + 8) ÷ 8 = (− 16) ÷ 8 = – 2

j) (16 – 40 – 2 + 10) ÷ (− 2)

Una forma es ordenando positivos y negativos en el primer paréntesis:

16 – 40 – 2 + 10 = 16 + 10 – 40 – 2 Escribir todos los valores positivos y todos los negativos juntos

= 26 – 42

= − 16

Luego, (− 16) ÷ (− 2) = 8



Lección 5UnidadeS de lonGitUd del SiSteMa internacional(Si)

Primera Unidad

Motivación

Comience realizando una o más de las siguientes actividades:

a) Proponga a varios estudiantes que midan la longitud de la pizarra en cuartas.

b) Si dispone de cierta superficie, simule marcos de fútbol. Haga que varios alumnas y alumnos determinen el punto “penal” midiendo doce pasos a partir del marco.

c) Haga que una cuerda sea medida por varias personas en brazadas.

En cada uno de los casos anote los resultados y pregunte a la clase cual es la principal desventaja en este tipo de medidas de longitud. Justifique con ello la legalización del Sistema Métrico Decimal (SMD) en el siglo XVIII y del Sistema Internacional de medidas (SI) en 1961. Explique que la unidad de longitud tanto del SMD como del SI es el metro. Como una aproximación defínalo como la distancia entre dos marcas que posee una barra de platino e iridio, la cual se halla en el museo de Louvrew en París, Francia. Seguidamente explique los múltiplos y luego los submúltiplos del metro, destacando que todos ellos siguen un valor posicional igual a nuestro sistema de numeración decimal (base 10).

Es necesario que los y las estudiantes practiquen las abreviaturas de múltiplos y submúltiplos, reconocidos internacionalmente:

kilómetro km decímetro dm centímetro cm milímetro mm

hectómetro hm decámetro dam metro m

Haga otra que todas las abreviaturas se escriben con mayúscula y poseen dos letras, a excepción de la del decámetro, dam, que posee tres.

Oriente la clase para que peguen carteles en el aula donde aparece el significado de cada prefijo, la escritura y su equivalente. Prefijo Abreviatura Equivalencia Kilo k 1000 Hecto h 100 Deca da 10

Deci d 1

10 = 0.1

Centi c 1

100 = 0.01

Mili m 1

1000 = 0.001

Metro m 1


Guía Metodológica


Múltiplos Abreviatura EquivalenciaKilómetro km 1000 m

Hectómetro hm 200 mDecámetro dam 10 m

Metro m 1 mSubmúltiplos

Decímetro dm 1

10 m = 0.1 m

Centímetro cm 1

100 m = 0.01 m

Milímetro mm 1

1000 m = 0.001 m

Es imprescindible que Ud. verifique que los y las estudiantes dominan los conceptos anteriores para que pueda, hacer las conversiones.

Destaque el hecho que “cada unidad de medida del SI equivale a diez unidades de medida del orden inmediato inferior y

1

10 = 0.1 del orden inmediato inferior.

km hm dam m dm cm mm× 10

× 100× 1000

Por ello, para convertir unidades, recurra primero a la forma de casillas y luego a la forma por equivalencia.


a) Convertir 85 dam a km

Solución

km hm dam

85 dam 8 5Luego

km hm dam

85 dam 0 8 5 = 0.85 km

Lo anterior equivale a dividir 85 dam entre 100, ya que 1 km = 100 dam ó

1 dam = 1

100 km = km

100. Luego, 85 dam = 85

100 km = 0.85 km .

O sea:

85 dam = 85 dam 1

100

km

dam

= 0.85 km.


Guía Metodológica


b) Convertir 28 cm a dm, m y mm

Solución

Luego, 28 cm = 0.28 dm

= 0.028 m

= 2.8 mm

m dm cm mm0 0 2 8

c) Luisa mide su estatura, y resulta un valor de 154 cm. ¿Cuál es su estatura en metros?

Solución. Como 1 m = 100 cm, 1 cm = 1

100m.

Luego, 154 cm = 154 ÷ 100 m = 1.54 m

Otra forma de solución es:

154 cm = 154 × 1

100 m = 1.54 m.

d) Al nacer, Janet midió 32 cm y Julia 3 dm 5mm. ¿Cuál de las dos nació con mayor longitud?

Solución

Al convertir cada longitud a milímitros, tendremos:

32 cm = 32 × 10 mm 3 dm = 3 × 100 mm

= 320 mm = 300 mm

Luego, 3 dm 5 mm = 300 mm + 5 mm = 305 mm se concluye entonces que al nacer la altura de Janet es mayor que la de Julia.

e) Al medir el largo de un terreno, resulta un valor de 5.38 km. Expresa ese valor en metros.

Solución

5.38 km = 5.38 × 1,000 m

= 5,380 m

La longitud del terreno es de 5,380 m.

0 0 2 80 28 dm

0 2 82 8

m

dmmm


Guía Metodológica


Ferretería Longitud de malla ciclón PrecioA 2 km $ 11.4000B 1,500 m $ 6,750C 3,500 m $ 16,625D 3 km $ 18,000

¿Cuál de las ferreterías presenta el mejor precio, si todas proporcionan la misma altura de malla?

En base al mejor precio, ¿cuánto gasta la microempresa si necesita 1,200 m de malla ciclón?

Al expresar las longitudes en metros y calcular el precio del metro de malla tendremos:

A: 11 400 ÷ 2 000 = $5.70 el metro

B: 6750 ÷ 1500 = $4.50 el metro

C: 16625 ÷ 3500 = $ 4.75 el metro

D: 18000 ÷ 3000 = $ 6.00 el metro

Luego, el mejor precio es el de la ferretería B. El costo de los 1200 m es: 1200 × $4.50 = $5400.

4. Desarrollo del proyecto

La micro empresa “El ave” necesita construir una malla ciclón a su alrededor. Los precios por metro lineal de malla que cotiza el gerente en cuatro ferreterías son mostrados en el cuadro siguiente:



Unidad 2 Unidades de superficie. Fracciones


Esta unidad trata sobre las unidades de superficie del Sistema Internacional de medidas o unidades (SI), las unidades agrarias y las fracciones.

Llamamos área a la medida de una propiedad geométrica llamada superficie. Así decimos que la superficie de El Salvador tiene un área aproximada de 21 000 kilómetros cuadrados o km2

La unidad de medida patrón para medir la superficie es el metro cuadrado o m2.

Así como el metro posee múltiplos y submúltiplos, también los posee el metro cuadrado. km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

En el libro de texto y en esta guía se muestra que una unidad de superficie es igual a 100 unidades del orden inmediato inferior. Así:

1 km2 = 100 hm2 = 10 000 dam2 = 1000 000 m2 = 100 000 000 dm2 Etc.

En nuestro país para la medición de terrenos se usan algunas medidas de superficie como la vara cuadrada, la manzana y la caballería, Éstas reciben el nombre de medidas agrarias.

La segunda parte de esta unidad trata las fracciones.

Cuando se parte la unidad en varias partes iguales, cada una de esas partes no puede ser representada por los números entero. Por tanto, se necesita crear un conjunto más amplio y general que recibe el nombre de conjunto de los números racionales o conjunto de las fracciones.

Un número racional o fracción es aquel que puede representarse mediante la división de un entero entre otro, siendo este último diferente de cero. El conjunto de los números racionales denota por Q.

Q = { × tal que x = ab

, donde a y b son enteros y b ≠ 0}

O sea, Q = { x x = a

b, a y b ε ¢ y b ≠ 0}

En la fracción a

b; b ≠ 0, a se llama numerador y b denominador.


Guía Metodológica


En la fracción ab

; b ≠ 0, se llama numerador y b

denominador.

Si a < b, la fracción se llama propia, y si a > b, es una fracción impropia.

Si una fracción es impropia, como 53

, entonces puede

representarse como la suma de un entero más una

fracción: 53

= 1 + 23

= 2

3 .

Esta última expresión recibe el nombre de número mixto: es el que está formado por un entero y una fracción.

Suma de fracciones

a) Para sumar fracciones del mismo denominador, éste se mantiene y su numerador será la suma de los numeradores de las fracciones que se están sumando:

2

3 + 7

3 +

5

3 =

2 7 5

3

+ + =

14

3 = 4

2

3Misma situación se da en la resta:

+ 27

− 47

= 2 4

7

− = - 27

b) Para sumar o restar fracciones que poseen diferente denominador, éstos se convierten a un común denominador y luego se operan las fracciones.

Para convertir fracciones a un común denominador, se aplica el concepto de fracciones equivalentes. Por ejemplo, para convertir 3

4 y 2

3 a un común

denominador tendremos:

3

4 =

3 3

4 3

××

= 9

12

2

3 = 2 4

3 4

××

= 812

En este caso, ambas fracciones se convierten a denominador 12. Elegimos este número debido a que 12 es el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Una vez convertidas a un común denominador, se realiza la suma:

3

4 + 2

3 = 9

12 + 8

12 = 9 8

12

+ = 1712

3

4 + 2

3 = 9

12 + 8

12 = 9 8

12

- = 112

2

3 − 3

4 = 8

12 − 9

12 = 8 9

12

- = − 1

12 − 2

3 − 3

4 = − 2

3 + −

3

4 = - (- ) 8 9

12

+ = −1712

Puede verse que las fracciones se suman y restan siguiendo las mismas reglas que los enteros.

Para multiplicar y dividir fracciones se aplican las reglas siguientes:

ab

× cd

= a cb d ××

ab

÷ cd

= ab

× dc

= a db c ××

Puede Ud. observar que, al igual que en los enteros, para dividir fracciones se multiplica el dividendo por el inverso del divisor, que es 1

c

d

= dc

Ejemplos:

34

56

3 54 6152458

× =××

=

=

23

79

23

97

2367

97

÷ = ×

=××

=



Motivación.

Pida a sus estudiantes que investiguen el área de los países de Centro América, Belice y Panamá y las ordenen de acuerdo a la relación “mayor que”.

Ahora defina la unidad básica de superficie del SI, el metro cuadrado (m2), como aquella que equivale a un cuadrado de 1 m de lado.

Oriente a la clase para que estime el área en m2 de la superficie de la pizarra, la superficie del aula, de una pared, etc. Previamente Ud. ha invitado a un alumno o alumna para que dibujen en la pizarra el m2.

Ahora ya puede Ud. orientar la equivalencia entre el m2 y sus múltiplos. Defina al dam2 como la medida de superficie que tiene 1 dam de lado. Luego:

Lección 1UnidadeS de SUperficie del SiSteMa internacional(Si)

Segunda Unidad

Luego:

1 dam2 = 10 m × 10 m

1 dam2 = 100 m2

1 dam = 10 m

En este mismo procedimiento se utiliza para demostrar que 1 hm2 = 100 dam2 y 1 km2 = 100 hm2. Luego, en el SI, una unidad de superficie equivale a 100 unidades del orden inmediato inferior.

Ud. seguramente ya observó que lo mismo sucede con los submúltiplos del m2: una unidad de superficie equivale a 100 unidades del orden inmediato inferior:

1 m2 = 100 dm2

= 10 000 cm2

= 1 000 000 mm2

1 dm2 = 100 cm2

= 10 000 mm2

1 cm2 = 100 mm2

1m2

1 dam = 10m

1 dam = 10m


Guía Metodológica


km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1 km2 1 100 10000 1000000 100000000 ? ?1 hm2 0.01 1 100 ? 1000000 ? ?dam2 0.0001 0.01 1 100 10000 1000000 1000000001 m2 0.000001 0.00001 0.01 1 100 10000 1000000

1 dm2 0.00000001 0.000001 0.0001 0.01 1 ? 100001 cm2 ? 0.00000001 0.00000 0.0001 0.10 100 100

1 mm2 0.000000000001 ? ? 0.000001 0.0001 1 1

Las equivalencias entre el m2 y sus múltiplos y submúltiplos puede Ud. resumirlas a sus estudiantes en el siguiente listado. Procure que los y las estudiantes dominen los conceptos y equivalencias antes de pasar a resolver problemas.


a) El cuadro siguiente tiene un área de 1 dm2. ¿A cuántos cm2 equivalen?

Solución. Como 1 dm = 10 cm, entonces:

1 dm2 = 10 × 10 = 100 cm2.

A cuántos cm2 equivalen 3.2 m2?

Solución. Como 1 m2 = 10 000 cm2, entonces 3.2m2 = 3.2 × 10 000 cm2 m2 dm2 cm2

= 32 000 cm2

10 000

b) El área del suelo de un baño tiene un área de 4 m2. ¿Cuántos ladrillos de 1 dm2 hay que comprar para ladrillarlo?

Solución Como 1 m2 = 100 dm2

4 m2 = 4 × 100 dm2

4 m2 = 400 dm2

O sea, hay que comprar 400 ladrillos de 1 dm2 cada uno.

1 dm

1 dm


Guía Metodológica


c) El área de una finca es de 35 km2. Expresarla en hm2 y dam2.

Solución. 1 km2 = 100 hm2

= 10 000 dam2

Luego, 35 km2 = 35 × 100 m2

= 3500 m2

Además, 35 km2 = 35 × 10000 dam2

= 350 000 dam2


1. Copia y pasa a dm2 en tu cuaderno:

300 cm2 = 3 dm2 200 cm2 = ? dm2

100 cm2 = ? dm2 500 cm2 = ? dm2

2. Copia y pasa a cm2 en tu cuaderno

1 dm2 = 100 cm2 2 dm2 = ? cm2

3 dm2 = ? cm2 4 dm2 = ? cm2

3. Completa cada espacio para que la proposición sea verdadera.

a) 1 m2 = ? mm2

b) 1 cm2 = ? mm2

c) 1 cm2 = ? m2

d) 1 mm2 = ? m2

4. Escriba en el espacio el equivalente correcto.

e) 2 m2 = ? cm2

f) 4 m2 = ? dm2

g) 1.2 cm2 = ? mm2

h) 0.75 cm2 = ? mm2

i) 250 cm2 = ? m2

j) 26 dm2 = ? m2

k) 322 mm2 = ? cm2

l) 247 km2 = ? dam2



Lección 2unidadeS aGrariaS

Segundo Unidad

Motivación

Oriente a sus estudiantes para que se organicen en equipos, los que se nombrarán por los primeros dígitos: 1, 2, 3, 4, … A los equipos impares asígneles de tarea que revisen en los clasificados de un periódico matutino los terrenos que están en venta. A los equipos pares, asígneles de tarea que revisen lo mismo en otro periódico. Pida a los equipos así organizados que escriban las unidades de superficie que encontraron y que no pertenecen al SI.

Comience el desarrollo de este contenido representando en la pizarra al metro.

Seguidamente pregunte a la clase si conoce el equivalente vara - metro.

Éste es: 1 vara = 836 mm Luego, 1 v = 0.836 m

Entonces, al comparar gráficamente ambas medidas tendremos:

Dibuje en la pizarra ambas medidas en escala real, o sea, 1 a 1.

Como IV = 0. 836 m

1 m = 1

0836.v

1 m = 1,196 v

En El Salvador, los terrenos para vivienda y otras construcciones se miden en varas cuadradas o V2. Explique así la equivalencia m2 - v2.

1v = 0.836 m

1v = 0.836 m

1 v2

Como 1 v = 0.836 m

1 v2 = 0.836 m × 0.836 m

1 v2 = 0.698896 m2

1 v2 = 0.70 m2, aproximadamente


Guía Metodológica


O sea que: 1 m2 = 1

070.v2

1 m2 = 1.43 v2

Establecer que además de la vara cuadrada existen otras medidas agrarias como el área (a). Ésta es la medida de superficie equivalente a un cuadrado de 10 m de lado.

1 a = 100 m2

Luego, 1 centiárea = 1 ca = 100100

2 m = 1 m2

O sea que la centiárea o ca, es un submúltiplo del área que equivale a 1 m2.

Un submúltiplo del área que es muy importante es la hectárea, Pregunte a la clase cuál es el equivalente entre ambas medidas. Oriente la atención de la clase al hecho que “hecto” significa 100, por lo cual

1 hectárea = 1 ha = 100 áreas = 100 a

Y como 1 a = 100 m2

1 ha = 100 m × 100 m = 10 000 m2

O sea que la hectárea es la medida de superficie que equivale a un cuadrado de 100 m de lado.

Represente gráficamente el equivalente entre la hectárea y el metro cuadrado:

La manzana y caballería es la medida de superficie que equivale a un cuadrado de 100 V de lado. Es decir, a un área de 10 000 v2

1 manzana = 1 mz

= 100 v × 100 v

= 10 000 v2

100 m

100 m

1ha = 10000 m2

100 v

100 v

10000 v2


Guía Metodológica


La caballería es la unidad agraria que equivale a 64.34 manzanas.

Como 1 ha = 10 000 m2 y 1 mz = 10 000 v2, la equivalencia entre la hectárea y la manzana es la misma que entre el metro cuadrado y la vara cuadrada, o sea:

1 ha = 1.43 mz O sea: 1 mz = 0.70 ha


a) ¿Cuántas hectáreas hay en una caballería?

Solución.

1 cab = 64.34 mz 1 cab = 0.70 ha

Luego:

1 cab = 64.34 × 0.70 ha 1 cab = 45.038 ha

b) ¿Cuántos metros cuadrados hay en una caballería?

Solución:

1 cab = 45.038 ha 1 ha = 10 000 m2

Luego:

1 cab = 45.038 × 10 000 m2

1 cab = 450380 m2

Resolver

a) Para enlosar un patio rectangular de 30 v por 18 v, ¿cuántas losas de 40 cm2 cada una hay que comprar?

b) Completa el siguiente cuadro de equivalencias de medidas agrarias.

Medida cab mz ha a v 2

cab 1mzha 1 1000

a1

1000

v 2 1



Lección 3núMeroS raCionaleS

Segunda Unidad

Motivación

Proponer la siguiente actividad: haga una encuesta con sus estudiantes para que propongan cual es su equipo favorito de la primera división de fútbol salvadoreño.

Equipo Nº de estudiantesFAS 9

Águila 8Alianza 7

A. Marte 6Firpo 4

Vista Hermosa 3Otro 3

40

Pregunte qué parte del total de estudiantes apoya a determinado equipo. Así, el

FAS es apoyado por el 940

o nueve cuarentavos de estudiantes, el Águila por el 840

etc. Explique que de situaciones como la anterior surgieron los números llamados irracionales o fracciones: Si a y b son números enteros, y b ≠ 0, entonces la división indicada a

b es una fracción. Al número “a” se le llama numerador y a “b” se le llama

denominador.


a) En una competencia ciclística, cuatro deportistas salen simultáneamente. Después de 45 minutos, el ciclista A recorre dos tercios del total; B un cuarto; C la mitad y D avanza 5

6 del recorrido.

Solución:

El ciclista A recorre 23

:

El ciclista B recorre 14

:

El ciclista C recorre 12

:

El ciclista D recorre 56

:

El resultado será una tabla similar a la siguiente:

0 23

0 14

0 12

0 56


Guía Metodológica


El siguiente paso es ubicar los cuatro recorridos en una sola recta numérica. De esta forma se comprueba:

5 23

12

146

> > >

Por lo cual, el ciclista D va encabezando la competencia; le sigue A; después C y por último B.

b) Ordenar las fracciones anteriores sin representarlas en la recta numérica.

Solución. Sabemos que si dos o más fracciones tienen el mismo denominador, la mayor es aquella que posee mayor numerador. Luego, debemos convertirlas a un común denominador.

El común denominador más conveniente de varias fracciones es el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores.

Como el mcm de 6, 3, 2 y 4 es 12, tendremos: 6 = 2 × 3 3 = 3 2 = 2 4 = 2 × 2 = 22

mcm = 22.3 = 12

5 5 26 2

10126

= ××

= 1 1 6

2 66122

= ××

=

1 1 34 3

3124

= ××

=

Luego: 10 812

612

31212

> > >

O sea: 5 2

312

146

> > >

c) Convertir las siguientes fracciones a un común denominador igual a 48: 2 5

12724

76

383

, , , y

Solución:

2 2 16

3 1632483

= ××

= 48 316

5 5 4

12 4204812

= ××

= 48 12

4


Guía Metodológica


7 7 8

8 820486

= ××

= 48 6

8

3 3 6

8 618488

= ××

= 48

68

Haga notar que en este caso las fracciones fueron convertidas a un común denominador diferente del mcm.

Explique que el hecho que al ser convertidas al mcm como denominador, obtenemos:

32 16

2448=

2048

1024

=

56 282448

=

18 92448

=

En ambos casos decimos que las fracciones han sido ampliadas.

d) Simplificar la fracción 96112

Exponga que simplificar o reducir una fracción es el proceso inverso de ampliarla. Comenzamos dividiendo sus dos términos entre el mismo número primo, excepto se visualice un divisor común a ambos términos.

96112

16 224 2

4856

= ÷÷

=

4856

48 256 2

2428

= ÷÷

=

2428

24 228 2

1214

= ÷÷

=

1214

12 214 2

67

= ÷÷

=

Como 6 y 7 no tienen factores comunes diferentes de 1, la fracción 6

7 es irreductible.


Guía Metodológica


e) Representar la fracción 258

como número mixto.

Solución. Como una fracción es una división indicada, primero averiguamos cuántas veces contiene 25 a 8:

25 824 31

Como lo contiene 3 veces, descomponemos a 258

en 31

= 3 8

1 8

××

= más lo que falta

para llegar a 258

.

O sea: 258

248

18

318

318

= + = + = .

Más directamente: 25 8

24 31

Luego: 258

318

=

f) Representar a 325

como fracción impropia

Solución:

325

325

3 51 5

25

= + = ××

=

= +15

525

=

175

Más directamente: 325

3 5 25

= × +

3

25

175

=

Antes de presentar el procedimiento directo, haga énfasis en la necesidad del dominio del procedimiento por parte del estudiantado.



Lección 4SuMa y reSta de fraCCioneS

Segunda Unidad

Motivación

Proponga a la clase la siguiente situación problemática.

Para construir un carrito modelo, un joven empleo 312

h ensamblando el cuerpo,

112

h pegando ruedas y otras partes, y 112

h en la pintura. ¿Cuánto tiempo en total

empleó en armar el carro?

Oriente a la clase hacia su solución, la que implica una suma de fracciones:

Tiempo total: 312

112

112

+ +

= (3 + 1 + 1) + + +1

212

12

{ = 5 + 3

2

= × +5 2 32

= 132h

Como 13

2612

h= horas, ese es el tiempo total que se empleó. 13 21 6

Oriente el análisis de la operación anterior:

i) Para sumar fracciones de igual denominador, se suman los numeradores y se mantienen el mismo denominador:

Si ab

cb

y y son fracciones, entonces:

ab

cb

a cb

+ = +, b 0≠

ii) Si aparecen números mixtos en la suma, los enteros y las fracciones pueden sumarse por separado y después se suman ambos resultados, representando la respuesta como fracción impropia o número mixto.

Toda la lección anterior da las bases para la suma y resta de fracciones. Sin embargo es importante que los y las estudiantes practiquen el cálculo mental con fracciones.


Guía Metodológica


Por ejemplo, ¿cuántos medios hay en 7 unidades? O sea, 71

7 2 1421 2

= × =×

en 7 hay

142

.

¿Cuántos tercios hay en 5 unidades?

En 51

hay 5 3 1531 3

× =×

= En 5 hay 15 tercios.

¿Cuántos quintos hay en 6?

6

15 51 5

305

= ××

= = En 6 hay 30 quintos

¿Cuántos cuartos hay en 2?

21

2 41 4

84

= ××

= = En 2 hay 8 cuartos


1. Efectuar las siguientes sumas y representar el resultado como número mixto si la fracción resultante es impropia.

a) 3 4 3 4 71

7 7 7 7+ = + = = d) 2

12

52

212

+ = =

b) 186

36

18 36

216

336

312

+ = + = = = e) 534

51

34

− −=

c) 185 5 5

125

225

6 18 6− −= = =

= ××5 41 4

34

−

= = =204

34

174

414

−

2. Efectuar:

a) 3

4

1

2 4

3 1 23 1 22 2 4

+ = + ××

= + ×( )

=

5

4 =1

1

4


Guía Metodológica


b) 175

6 18

11

6

7

18− −=

= 11 3 7 1

18

( ) ( )−

=

33 7

18

−

=

26

18

= 13

9

=159

c) 3

4

2

5

3

4

17

53− = −

=

3 5 17 4

20

( ) ( )−

= −4320

= 2 3

20

En este punto hay que destacar que las fracciones se comportan como los números enteros en cuanto a su signo.

Actividades para realizar

Reúnase con los alumnos y alumnas y construyan sus propios ejercicios, siguiendo los pasos de este diagrama.

1. Pídales que escriban fracciones.

2. Pídales que seleccionen una operación.

3. Revisar denominadores de las fracciones y siga la flecha correspondiente.

4. Efectúe la operación.

5. Analice la respuesta para ver si está en su mínima expresión.

No

Si

No

Si

Escribe dos fracciones

Selecciona una operación (+ ó -)

Efectúa la operación

Encuentre las fracciones

equivalentes de igual denominador

Convierte a número mixto y/o simplifica

la fracción

¿Son de igual denominador?

¿Está en su forma más simple?

Fin



Lección 5MultipliCaCión y diviSión de fraCCioneS

Segunda Unidad

Motivación

Plantee a la clase la siguiente situación: Un matrimonio da en herencia un terreno de 2400 v2 a sus tres hijos.

Uno le dio los 3

8 del terreno, y a otro le dio los 2

5. ¿Cuánto le toca de terreno a cada

uno?

Oriente la solución de esta situación en el sentido que en matemáticas, la expresión “x” es la “y” parte de A, el término “de” indica una multiplicación. Así, “los 3

8 del terreno”

significa 38

× (2400v2).

Para calcular dicho producto, exprese que 18

de 2400 es la octava parte, o sea,

2400

8 = 300v2, por lo cual los de 2400 = 3 × 300 = 900 v2.

Lo anterior muestra que para multiplicar un entero por una fracción, se multiplica el entero por el numerador de la fracción. Es decir:

abc

a bc

× = ×

O lo que es lo mismo:

a b

ca b

ca bc1 1

× = =××

×

Con esta situación, pregunte a la clase como calcularía el producto 23

9

10× ; para que

infieran que 23

9

10

2 9

3 10

18

30

3

5× = = =×

×

Destaque el hecho que la simplificación puede hacerse también antes de efectuar los productos del numerador y del denominador; es decir:

23

910

1 3

2 93 101

× =××

5

35

=

Seguidamente presente el ejemplo de la página 90 del libro de texto. Proponga que escriban la fórmula del producto de fracciones:

ab

cd

a cb d

× = ××

, con b ≠ 0 y d ≠ 0.


Guía Metodológica


Para la división de fracciones presente el siguiente método.

Decimos que 5 es el cociente cuando el dividendo 10 es dividido por el divisor 2: 5 × 2 = 10. En general, podemos llamar “n” al cociente cuando el número “a” es dividido

entre b ≠ 0 si: ab

= n

Por ejemplo: 4

5

1

10

1

10

4

58÷ = × =8

23

2

5

5

3

5

3

2

5

2

3÷− − −= × =−

Se puede observar:

4

5

1

10

4

5

1

1

4

5

10

18÷ = × = × =

10

2

3

2

5

2

3

1

2

2

3

5

2

5

3÷− − −= × = × =

5−

En general, a

db

cd

ab c

÷ = × 1

= ×ab

dc

a c

da db cb

÷ = ××

O sea que para dividir fracciones, se multiplica el dividendo por el inverso del divisor.


a) En cierto día la temperatura en San Miguel era de 37º C a las 11 a.m. Durante las tres horas siguientes subió un promedio de 3

4 ºC por hora.

¿Cuál fue la variación total de la temperatura?

Solución

Como la temperatura asciende 34

ºC por hora, en 3 horas sube

⇒

⇒


Guía Metodológica


3

4

3

4

3

1

9

43× = × = ºC =

2

14

ºC

Paty saca de una gaveta que contiene una gruesa (144 unidades) de lápices, tres cajas de dos docenas 5

6 cada una.

¿Cuántas cajas de lápices quedan en la gaveta?

Solución. 2 docenas son 2 × 12 = 24 lápices. 56

de

docena son 56

12

110× = lápices

Luego, 25

6 docenas son 24 +10 = 34 lápices.

En 3 cajas hay 3 × 34 = 102 lápices.

Como la gaveta contiene originalmente 144 lápices, quedan:

144 − 102 = 42 lápices

GUIA METODOLÓGICA MATEMÁTICA 7º 2014.indd 49 02/06/2014 07:49:12 a.m.

Guía Metodológica



1. Al iniciar el día, una acción se vendía a 117

8 dólares. Al cierre de actividades, se vendía

en 133

4. ¿Cuál fue la ganancia de las acciones ese día?

2. Un plomero conecta dos pedazos de tubo que mide 33

8 pies y 5

1

16 pies,

respectivamente. ¿Cuál es la longitud total de los dos pedazos unidos?

3. Una receta pide 21

2 tazas de harina y otra

1

1

3 tazas de harina, que se añaden después.

¿Cuánta harina se requiere para la receta?

4. Durante la marea alta, el nivel de agua en un medidor es de pies. Durante la

marea baja, el nivel de agua desciende hasta pies. ¿Cuánto desciende el nivel de agua?

5. Se colocan cinco piezas de madera de pies de longitud una junto a la otra. ¿Cuál es la longitud total de las cinco piezas?

6. Una receta necesita de cucharadita de teriyaki (sazonador) por cada libra de carne.

Para cocinar libras de carne, ¿cuántas cucharaditas de teriyaki se necesitan?

7. José corta un pedazo de madera de pulgadas en dos partes iguales. ¿Cuánto mide cada pieza resultante?

8. Tomás desea subdividir un lote de acres en 3 lotes de igual tamaño. ¿Cuánto mide cada lote?

9. Una enfermera suministra miligramos de cierta droga por cada kilogramo de

peso de un paciente. Si el señor López pesa 80 kg, determine la cantidad de droga que se debe suministrar al señor López.

10. Determine

a) c)

b) d)


Guía Metodológica


Desarrollo del proyecto

Descripción: calcular la capacidad en litros de una pila cuyas dimensiones están expresadas en metro.

Supongamos que la pila tienen las dimensiones que se muestran en la figura.

El cálculo del volumen de la pila es:

Volumen = V = 2 m × 1.5 m × 1.8 m

V = 5.4 m3

Luego, como 1 m3 = 1000 dm3

= 1000 l

Entonces la capacidad de la pila es 5.4 × 1000 l

= 5400 l

2 m

8 m

1.5



Unidad 3 Números decimales, figuras circulares, medidas de capacidad y de volumen


La unidad 3 comprende el estudio de los números decimales: concepto y las cuatro primeras operaciones; la circunferencia y el círculo y las medidas de capacidad y de volumen.

Números decimales

En 1585 un agrimensor belga, Simón Stevin, sustituyó las fracciones propias como

, , , etc., o sea, donde el denominador es una potencia de 10, por varias

cifras precedidas por un punto llamado decimal.

Por ejemplo:

=0.9

=0.57

=0.239 etc.

Ante este nuevo modo de ver la escritura de número, los científicos de la época la adoptan para representar cantidades menores que la unidad.

Una de las mayores ventajas que presentan estos números es que al igual que los enteros, se escriben de acuerdo a un valor posicional: diez unidades de un orden equivalen a una unidad del orden inmediato superior.

Por consiguiente, las operaciones de sumas y resta con números decimales siguen las mismas reglas que se realizan con los números enteros. En este sentido, el único cuidado que se debe tener al sumar y restar decimales es el mismo que se tiene con los enteros; decir, respetan el valor posicional: colocan décimas bajo décimas, centésimas bajo centésimas, milésimas bajo milésimas, etc.

La multiplicación y división con números decimales también se efectúan bajo las mismas reglas que con los números enteros, con algunas variantes que se explican en esta unidad.

Una situación de suma importancia lo constituye lo expuesto anteriormente: Los números decimales simplifican el trabajo en la ciencia, técnica y el diario vivir.

9 37 637

10 100 1000

9

10

57

100

239

1000


Guía Metodológica


La circunferencia

Después que el hombre primitivo adquirió el concepto de línea recta, posiblemente el concepto en suceder fue el de la circunferencia. Esto, debido a que la naturaleza reproduce esta figura en diversas situaciones.

Miles de años después, ya en la Edad Antigua, el ser humano desarrolló, en base al concepto de circunferencia, un invento que revolucionó a la humanidad, como es la rueda.

Esto, posiblemente inspirado en el hecho que el tronco de un árbol de forma cilíndrica puede descender sobre una pendiente con un movimiento de rotación.

La circunferencia es el conjunto de puntos tales que su distancia a un punto interior llamado centro es constante.

Sus elementos principales son: centro, radio, diámetro, cuerda, tangente y secante.

La longitud de la circunferencia se calcula por medio de la expresión 2 r donde π es la relación que existe entre su longitud y el diámetro y r es el radio de la circunferencia.

El conjunto de puntos interiores a una circunferencia se llama círculo y su área se encuentra mediante la expresión πr2.

Desde la antigüedad el ser humano sabía de la existencia del número , el cuál fascinó a los matemáticos y filósofos de diversas épocas.

Actualmente aún prevalece la idea en unos pocos matemáticos que el número π es un racional, o sea, un número entero dividido entre otro entero diferente de cero. La discusión sigue abierta pero π es un ejemplo clásico de número irracional.

Las medidas de capacidad son aquellas que sirven para medir cantidades de líquidos. La unidad básica o fundamental del SI es el litro, que es la cantidad de líquido que se halla en un cubo de 1 dm de arista.

Al igual que el metro, el litro posee múltiplos y submúltiplos.

Los primeros son el decalitro o dal, el hectolitro o hl y el kilolitro o kl.

Los submúltiplos del litro son el decilitro o dl, el centilitro o cl y el mililitro o ml.

La unidad básica de volumen del SI es el metro cúbico o m3. La diferencia entre las medidas de volumen y las medidas de capacidad es que las primeras miden el volumen de cuerpos sólidos, líquidos y gaseosas, mientras que las medidas de capacidad miden el volumen de cuerpos líquidos y de gases.



Motivación

Proponga a los y las estudiantes que utilizando una regla graduada midan la longitud de:

a) Un lápiz

b) El diámetro de una moneda de $0.25

c) Un tornillo

Y de manera indirecta el área de:

a) Una hoja de papel.

b) La carátula de un libro.

Además, pregunte a sus estudiantes cuál podría ser la temperatura de una persona con fiebre.

Posteriormente pregunte si todas las cantidades que miden los fenómenos anteriores se expresan con números entero.

Una vez que Ud. ha mostrado la diversidad de situaciones donde se aplican los números decimales, desarrolle el concepto de dichos números.

Además del ejemplo de las figuras que aparecen en el libro de texto, Ud. puede mostrar al metro y sus submúltiplos:

Lección 1introduCCión a loS núMeroS deCiMaleS

Tercera Unidad

1 m = 10 dm

1 dm = 10 cm

1 cm =10 mm

O sea que:

1 m = 100 cm

= 1000 mm

1 dm = 100 mm

0

1 dm

1mm1cm


Guía Metodológica


Haga preguntas con respecto a los múltiplos, como:

¿Qué parte del km es el hm?

¿Qué parte del dam es el cm?

¿Qué parte del km es el mm?

¿Qué parte del hm es el cm?

Después de comparar y analizar las respuestas individualmente o en grupo, deben

tener expresiones como 110

, 1

100,

1

1000,

110000

y

11000000

. Estas expresiones reciben

el nombre de fracciones decimales, ya que surgieron al dividir el entero o unidad en 10, 100, 1000, etc. Partes. Luego, explique que las fracciones decimales pueden escribirse empleando el principio posicional de nuestro sistema de numeración en el cual 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. Las órdenes decimales se escriben hacia la derecha de las enteras, separándolas mediante un punto decimal, como se muestra enseguida:

De acuerdo con el principio posicional se cumple que:

1 unidad = 10 décimos 1 milésimo = 10 diezmilésimos 1 decimo = 10 centésimos 1 diez milésimo = 10 cien milésimos 1 centésimo = 10 milésimos 1 cienmilésimo = 10 millonésimos

Es indistinto decir décimos o décimas, centésimos o centésimas, etc.

Presente una tabla para mostrar la escritura apropiada para las fracciones decimales utilizando el punto decimal.

Enteros punto d c m di ci mi

Qué relación encuentran entre el número de ceros en la fracción

y la cantidad de cifras a la derecha del punto.

1

10

0 . 1

1

100

0 . 0 1

1

1000

0 . 0 0 1

110000

0 . 0 0 0 1 Cuando la fracción decimal se escriba utilizando el punto, le llamaremos número decimal.

ENTEROS

Uni

dade

s de

mill

ón

DECIMALES

Cent

enar

es

de m

illar

dece

nas

de m

illar

Uni

dade

s de

mill

ar

Cent

enas

Dec

enas

Uni

dade

s

PUN

TO

DEC

IMA

L

Déc

imas

Cent

ésim

as

Milé

sim

as

Die

zmilé

sim

as

Cien

milé

sim

as

Mill

onés

imas


Guía Metodológica


Que para expresar una fracción decimal como un número decimal escribimos el numerador de la fracción y colocamos el punto decimal de manera que el número de cifras a la derecha del punto sea igual al número de ceros del denominador. Ejemplos:

Fracción decimal

Numerador Número de ceros del

denominador

Número de cifras que debe haber a la derecha del punto

Colocación del punto decimal

a)8

1008 2 2

2 cifras

0.08 Agregamos un cero antes del 8 para completar 2 cifras

b)12

1000012 4 4

4 cifras

0.0012 Agregamos dos ceros para completar 4 cifras

Por último explique que para leer correctamente números decimales, leemos primero la parte entera (si la hay) y luego la parte decimal como si fuera entera, pero nombrando al final el orden correspondiente a la última cifra. Ejemplos:

Número decimal LecturaEnteros . d c m

1 . 6 2 8 Un entero, seis veintiocho milésimas

0 . d c 12 . 0 2 Doce enteros, dos centésimas

0 . d c m di ci 0 . 0 0 0 0 7 Cero enteros, siete cienmilésimas

Muestre al escribir un número decimal se debe llenar con ceros los lugares de las órdenes que falten.

Como los números decimales se escriben según el valor posicional de sus cifras, las operaciones de suma y resta se realizan de igual forma que en los números enteros.


1. Escribir la fracción que equivale a cada número decimal dado.

Número decimal a) 0.8 b) 0.903 c) 10.06 d) 0.45208 e) 0.0093 f) 1.35Y

Fracción decimal

8

1010

903

1000


Guía Metodológica


2. Expresar las siguientes fracciones decimales mediante un número decimal.

Fracción decimal

Número decimal

Fracción decimal

Número decimal

Fracción decimal

Número decimal Y

a) 3

100.3 f)

8

10000j)

56

10000

b) 2

1000.02 g)

3005

1000l)

1486

100000

c) 325

100000.0325 h)

1425

1000000m)

510

3. Anotar cada paréntesis la letra mayúscula que le corresponda al número decimal dado, según su ubicación en la recta numérica.

1.1 ( ) 0.3 ( ) 2.8 ( ) 1.8 ( )

1.4 ( ) 0.5 ( ) 2.75 ( ) 3.900 ( )

4. Considerando el área de las masas continentales, dadas en millones de kilómetros cuadrados en la tabla siguiente, encuentra lo que se pide.

Continente Área en millones de km2 Encontrar África

América39.31 42.1

a) La suma de las áreas de lasmasas continentales

Asia Europa

44.8 10.171

b) La diferencia entre las áreas deAmérica y Europa

Antártida Oceanía

13.82 8.935

c) La diferencia entre las áreas deAsia y Oceanía

0 1 2 3

A F I H D E G B JD

4



Lección 2MultipliCaCión y diviSión de núMeroS deCiMaleS

Tercera Unidad

Motivación

Proponga la siguiente solución problemática:

Un comerciante compró 15 pantalones en $ 210.75. Si vende 8 a $ 18.25 cada uno, ¿Cuánto gana en total por la venta realizada?

Someta la solución a una discusión entre los y las estudiantes, para que comprueben que dicha solución comprende operaciones de multiplicación y división con decimales.

Seguidamente proponga una situación como ésta: Mario es fontanero, y gana $11 por hora trabajada. Si en una obra invierte tres horas y media de trabajo, ¿cuánto gana Mario por la obra realizada?

Pregunte qué operación realizarían los estudiantes para resolver el problema.

Oriéntelos para que lleguen a la siguiente conclusión:

Puesto que Mario trabajó 3 horas, una operación a efectuar puede ser:

11 + 11 + 11 + 5.5 = 33 + 5.5 = 38.5

3 horas + media hora

Sin embargo, el proceso puede abreviarse, al emplear la multiplicación, así: 3.5 × 11 =

Una cifra decimal

35113535385

.

.

×

Se multiplican los números como si fueran naturales.

Se coloca el punto decimal al resultado, de acuerdo al total de cifras

decimales en los factores.

¿Cuánto ganó Mario por las tres y media horas que trabajó? Platee otros ejemplos:

a)3.6

16884

28

1008

.

.

×

2 cifras

decimales

b)

0.02002

00004

.

.×

(Agregamos ceros para

completar las 4 cifras)

4 cifras

decimales

c)615092

90552

.

.×

3 cifras

decimales

Recomiende a sus estudiantes que comprueben los resultados en la calculadora.


Guía Metodológica


Seguidamente muestre que la multiplicación de un número decimal por 10, 100 ó 1000 puede efectuarse en forma directa. Haga que observen las multiplicaciones que siguen y completen lo que se pide.

0.487× 10 4.870

3 decimales

1000487.

×48700.

3 decimales

100487

487000

.

.× 3

decimales

Invítelos a que comparen el primer factor de cada multiplicación con el resultado obtenido, ¿qué diferencia encuentra?

La conclusión a la que deben llegar es:

Para multiplicar por 10, 100 ó 1000 solamente corremos el punto decimal a la derecha tantos lugares como ceros aparezcan.

Introduzca la división de números decimales con un ejemplo como éste:

Si un pliego de papel mide 58.5 cm de longitud y se quiere dividir en 9 tiras de igual medida. ¿De qué medida resultan dichas tiras?

Otro pliego mide 40 cm de longitud. ¿Cuántas tiras de 2.5 cm se pueden obtener?

Para orientar la solución del problema, haga las siguientes preguntas:

¿Qué operaciones deben efectuar para contestar las preguntas del problema?

a) ¿Para contestar la primera pregunta?

b) Para contestar la segunda pregunta?

¿Hay algún número decimal en estas operaciones?

¿Cuál(es)?

Luego, aclare que en una división donde aparecen decimales pueden presentarse los siguientes casos:

a) Número decimal ÷ número entero (58.5 ÷9)

b) Número entero ÷ número decimal (40 ÷ 2.5)

c) Número decimal ÷ número decimal (22.75 ÷ 3.75)

a) 585 9585

9

585 10

9 10

585

90.

. .÷ = = =××


Guía Metodológica


Haga observar que multiplicamos dividendo y divisor por 10 para eliminar la cifra decimal de 58.5. Luego haga que los estudiantes efectúen la división 585 ÷ 90. Similarmente.

b) 40 254025

40025

40 10

25 10÷ = = =×

×.

. . c) 2275 375

3752275 100

375 100

2275. .

.

.÷ = =×

×Por último oriente a la clase para que concluya que en el procedimiento para convertir la división a otra con números enteros, se corre el punto decimal, igual número de lugares, tanto en el dividendo como en el divisor.


a) Una lata de vegetales pesa 0.255 kg. ¿Cuánto pesarán 50 de esas latas?

Solución. Como una lata pesa 0.255 kg, 50 pesan 0.255 × 50 = 12.75 kg

b) ¿Cuál será el área de un terreno rectangular que mide 12.5 m de frente y 20.75 m de fondo?

Solución. Como en el rectángulo, área = base × altura, entonces A = 12.5 m × 20.75m


1. Calcular mentalmente las siguientes divisiones.

2. Sin efectuar cálculos por escrito, identificar el resultado correcto para cada operación, encerrándolo en un círculo. ¿Cuál es el correcto?

a) 9.8 ÷ 2 = 49 4.9b) 25 ÷ 1.95 = 1.282 12.82c) 0.18 ÷ 0.3 = 0.6 06d) 24 ÷ 3.9 61.53 6.153e) 0.028 ÷ 7 = 0.004 0.0004

3. Escribir dentro de cada cuadro el número correspondiente para completar expresiones verdaderas.

a) × 8.2 = 20.5 c) × 4 = 32.125 e) 3.45 × = 8.625

b) 3.6 × = 21.6 d) 9.4 × = 47.188 f) 12 × = 0.24

5.6 ÷ 8 = 4 ÷ 0.2 = 1.2 ÷ 0.2 = 10.6 ÷ 10 =0.16 ÷ 4 = 6 ÷ 0.3 1.4 ÷ 0.7 = 0.8 ÷ 10 =1.2 ÷ 3 = 8 ÷ 0.4 = 1.5 ÷ 0.3 = 4.28 ÷ 10 =

0.12 ÷ 3 = 16 ÷ 0.8 = 0.16 ÷ 0.4 = 826.14 ÷ 100 =0.25 ÷ 5 = 15 ÷ 0.05 = 1.6 ÷ 0.4 = 0.5 ÷ 100 =2.5 ÷ 5 = 20 ÷ 0.4 = 0.25 ÷ 0.5 = 9.4 ÷ 100 =0.025 ÷ = 12 ÷ 0.6 = 0.25 ÷ 0.05 = 8.16 ÷ 1000 =0.14 ÷ 7 = 81 ÷ 0.9 = 0.40 ÷ 0.08 = 0.005 ÷ 1000 =



Lección 3CirCunferenCia y CírCulo

Tercera Unidad

Motivación

Proponga a la clase la siguiente situación: ¿Cómo hacemos para calcular el área de una región?

Al tratar de encontrar el área de una región, colocando una unidad en su interior, en la mayoría de los casos no podemos calcular el área exacta, por ejemplo: Al utilizar el cm2

para calcular el área de la siguiente región, tenemos:

Área aproximada por defecto: 6 cm2 Área aproximada por exceso: 15 cm2

Podemos dar dos resultados aproximados. Sin embargo, el error de medición en los dos casos es considerable. Para encontrar una aproximación más precisa podemos utilizar una unidad menor.

Por ejemplo:

Si utilizamos el mm2 (papel milimétrico) la aproximación será más precisa, ya que casi todo el triángulo queda cubierto por mm2 “completos”.

Sin embargo, con el procedimiento de calcular áreas mediante el conteo de cuadritos, sólo podemos encontrar resultados aproximados, por lo que en el siguiente tema veremos otra forma de calcular, en forma exacta, el área de algunas figuras. Esto implica el uso de fórmulas.

A continuación proponga la siguiente actividad:

a) Utilizar una cinta métrica de costurera y medir en milímetros la longitud de la circunferencia de varias monedas. Medir después el diámetro de cada una, también en mm. Dividir la longitud de la circunferencia (C) entre el diámetro (d). ¿Qué resultados obtienes?

B

C

B

C

B

C


Guía Metodológica


Valor de la moneda Longitud de la circunferencia

Longitud del diámetro

ld

Resultado hasta centésimas

b) Completar la siguiente tabla escribiendo los resultados de las mediciones.

c) Observen los resultados. ¿tienen algo en común?

Si realizaron lo que pedimos en forma correcta, deben haber encontrado una gran semejanza entre los resultados obtenidos, pues todos ellos deben ser, si no iguales, sí aproximadamente iguales a 3.14. El número (3.14) es a la vez una aproximación del número 3.1415926535897…, número que expresamos con la letra griega π (se lee “pi”) o sea π = 3.1415926535897…

Al dividir la longitud de la circunferencia entre uno de sus diámetros observamos que el diámetro está contenido π veces (3 veces y fracción) en su circunferencia.

d) El valor exacto de π no puede obtenerse, para fines prácticos utilizaremos un valor aproximado de π, el número 3.14

e) Para cualquier circunferencia tenemos que:

f) longitud de la circunferencia

longitud del diámettro=π es decir

ld

=314.

De lo anterior, obtenemos que l = 3.14 × d.

O sea que la longitud de la circunferencia se obtiene multiplicando 3.14 por la longitud de su diámetro. l = 3.14 × d. Como el diámetro d es igual al doble del radio r, la fórmula anterior equivale a: l = 2(3.14)(r)

1. Una rueda tiene un radio de 25 cm, si ha dado 5 vueltas, ¿qué distancia ha recorrido?

Solución

En una vuelta recorre l = 2(3.14)(25 cm) = 157 cm En cinco vueltas recorre l = 157 cm (5) = 785 cm

2. Al cercar un jardín circular se utilizaron 7.85 m de tala de alambre, ¿cuál es el diámetro de dicho jardín?

Solución

l = πd 7.85 = 3.14 × d

Luego, 785314

.

. = 2.5 m es el diámetro

Hallar el área de la parte sombreada de la figura formada por un círculo y un triángulo.

Solución

El área sombreada A es el área del círculo, menos el área del triángulo. Como el área del triángulo es base por

altura entre dos, o sea, Ab h

=×2

, el área sombreada es:

A

A

=( )( ) −×

=( )( )− =

314 816 82

314 64 64 20096

2

2

.

. . cm

A = (8)2 × 3.14 – (16)(8); ya que la altura del triángulo es igual al radio del círculo y la base igual al diámetro.

Luego:

A = 200.96 cm2 – 64 cm2 = 136.96 cm2

h = 8cm



Lección 4MedidaS de CapaCidad

Tercera Unidad

Motivación

Organice una visita a una tienda o supermercado para que sus estudiantes puedan observar en qué unidades están las cantidades de líquidos como jugos, leche, vinagre, lejía, etc.

Explique el hecho que los líquidos, como el agua, la leche, el vino, etc., toman forma de vasija que los contiene.

Esas vasijas tienen una cabidad o capacidad, es decir, un espacio hueco para contener a los líquidos.

Proponga situaciones como ésta:

Para medir los líquidos se emplean las medidas de capacidad.

La unidad fundamental es el litro.

Un litro es la cantidad de líquido que cabe en un cubo de 1 dm de arista.

1 litro = 1 l

Ahora pase a explicar los múltiplos del litro.

El hombre guarda y transporta líquidos en grandes depósitos.

1dm

1dm

1litro 1dm1litro 1litro

= =

Para medir la capacidad de esos depósitos se utilizan los múltiplos del litro, es decir, unidades con un número exacto de veces mayores que el litro.


Guía Metodológica


Así tenemos: 1 decalitro = 10 litros = 10 l

1 hectolitro 1 hl = 10 dal = 100 l

1 kilolitro = 10 hl = 100 dal = 1000 l

De manera similar exponga que en muchos aspectos usamos pequeños depósitos para líquido, como en una jeringa, etc. Por ello necesitamos unidades menores que el litro, las cuales son:

El decilitro (dl) que es la décima parte del litro: 1 dl = 0.1 l o 1 l = 10 dl

El centilitro (cl) que es la centésima parte del litro: 1 cl = 0.1 l o 1 l = 100 cl

El mililitro (ml) que es la milésima parte del litro: 1 ml = 0.001 l o 1 l = 100 ml.

Para finalizar, proponga a la clase que dibujen un cuadro alusivo en sus cuadernos y en cartulina para exponerlo en un lugar visible del aula

1 decalitro = 10 litros = 10 l

1 hectolitro 1 hl = 10 dal = 100 l

1 kilolitro = 10 hl = 100 dal = 1000 l

De manera similar exponga que en muchos aspectos usamos pequeños depósitos para líquido, como en una jeringa, etc. Por ello necesitamos unidades menores que el litro, las cuales son:

El decilitro (dl) que es la décima parte del litro: 1 dl = 0.1 l o 1 l = 10 dl

El centilitro (cl) que es la centésima parte del litro: 1 cl = 0.1 l o 1 l = 100 cl

El mililitro (ml) que es la milésima parte del litro: 1 ml = 0.001 l o 1 l = 100 ml.

1dal =

1dal =


Guía Metodológica


kl hl dal l dl cl ml1 kl 1 hl 1 dl 1 l 1 dl 1 cl 1 ml

Lo anterior puede expresarlo diciendo que si ordenamos todas las unidades de capacidad tomando como valor unidad el litro, tendremos:

O sea:

10 l = 1 dal ; 10 ml = 1 cl 10 dal = 1 hl ; 10 cl = 1 dl 10 hl = 1 kl ; 10 dl = 1 l

Por lo tanto, las unidades de capacidad siguen las reglas del sistema decimal: 10 unidades de orden forman una unidad del orden inmediato superior; y también una unidad de un orden forman 10 unidades del orden inmediato inferior; por ejemplo:

10 dal = 1 hl ; 1 hl = 10 dal ; 10 l = 1 dal


1. Resuelva mentalmente:

10 dal = ….. l ; 1 cl = ….. ml ; 10 ml = ….. cl

10 hl = ….. kl ; 1 kl = ….. hl ; 1 dal = ….. l

2. Para convertir:

8 hl = …8000 dl

8 hl = 8000 dl

4 l = …0.04 hl

3. En un recipiente tenemos 6 hl de agua. ¿Cuántos l tenemos? ¿Y dl?

Solución. 6 hl = 6 × 100 l = 600 l

= 6 × 1000 dl = 6000 dl

4. Resolver mentalmente: 5 dal = ….. l ; 7 hl = ….. cl ; 4 l = ….. dl

1000L 100L 10L 1L 0.1L 0.01L 0.001L

l dl cl mldalkl hl8

l dl cl mldalkl hl8 0 0 0

l dl cl mldalkl hl4

l dl cl mldalkl hl0 0 4

8 hl = . . . . dl

4 l = . . . . hl

l dl cl mldalkl hl8

l dl cl mldalkl hl8 0 0 0

l dl cl mldalkl hl4

l dl cl mldalkl hl0 0 4

4 l = …0.04 hl


Guía Metodológica


5. Este camión lleva 8 kl, 7 hl y 5 dal de leche. ¿Cuántos dal lleva? ¿Cuántos l?

= 875 dal de leche

= 8750 l de leche 8 kl = 8000 l 7 hl = 700 l + 5 dal = 50 l 8 750 l

6. En una bodega hay 3 tinajas que en total tienen 8 kl 5 dal de vino. ¿Cuántas vasijas de litro podemos llenar? ¿Cuántas vasijas de 1 dal podemos llenar?

Solución. 8 kl = 8 × 100 dal = 800 dal + 5 dal 805 dal

8 kl = 8 × 1000 l = 8000 l 5 dal = 5 × 10 l = 50 l 8050 l

7. En este depósito hay 1.503 l de agua. Lo descomponemos en sus distintas unidades.

1 503 l = 1 kl 5 hl 0 dal 3 l kl hl dal l1 5 0 3

Actividades para resolver

a) Un hombre saca 10 l de agua por minuto de un pozo. ¿Cuántos dal podrá sacar en una hora? ¿cuántos hl?

b) Expresar en sus componentes (forma compleja) las siguientes cantidades en tu cuaderno: 1.050 l = ….. kl ….. hl …..dal ….. l 3.681 l = ….. kl ….. hl …..dal ….. l 461 l = ….. kl ….. hl …..dal ….. l

8kl7hl5dalk l h l dal l8 7 5

k l h l dal l8 7 5 0

1.503 l

c) Un depósito de agua potable contiene 5.670 l. Expresar en sus distintas unidades el contenido del depósito.

5.670 l = ? kl ? hl ? dal ? l 5.670 l



Lección 5MedidaS de voluMen

Tercera Unidad

Motivación

Una ampolla con agua destilada demarca “El curalotodo” contiene 10 ml. Otra ampolla idéntica, pero de marca “El higiénico” contiene la misma cantidad, pero su medida indica 10 cm3.

¿Porqué ambas medidas indican la misma cantidad?

Luego de presentar la anterior situación, represente en la pizarra al metro lineal (m) y al metro cuadrado (m2). Pregunte a la clase si alguien puede decir qué es el metro cúbico (m3). Preséntelo como la unidad de volumen del SI.

Para determinar los submúltiplos del metro cúbico, oriente las respuestas de la clase en el sentido que el metro cúbico es el volumen de un cubo cuyas aristas miden 1 metro. ¿Pueden expresar el volumen de este cubo en decímetros cúbicos? El diagrama siguiente puede ayudarles a contestar esa pregunta.

Puesto que 1 metro = 10 decímetros, cada una de las aristas del cubo mide 10 decímetros.

De ahí que el volumen del cubo o sea, 10 × 10 × 10, o se1 000 decímetros cúbicos. Entonces, 1 metro cúbico = 1 m3 = 1 000 decímetros cúbicos = 1 000 dm3

Pueden explicar por qué son verdaderas las siguientes proporciones?

1 m3 = 1 000 000 centímetros cúbicos = 1 000 000 cm3

1 dm3 = 1 000 cm3

10 ml10 cm3

00

10 dm= 1 m

10 dm= 1 m10 dm= 1 m1 metro cúbico


Guía Metodológica


Con las preguntas anteriores se espera que los y las estudiantes expresen que de igual forma en que se muestra la equivalencia 1 m3 = 1 000 dm3, se tiene:

1 dm= 10cm

1 dm= 10 cm1 dm= 10 cm

1 km= 10 hm1 km= 10 hm

1 km= 10 hm

1 dm3 = 1 000 cm3

Luego:

1 m3 = 1 000 dm3

= 1 000 × 1 000 cm3 = 1 000 000 cm3

Resuma lo anterior explicando que:

a) Con el metro, sus múltiplos y submúltiplos, cada unidad de medida equivale a 10 unidades de la medida inmediato inferior.

b) Con el metro cuadrado, sus múltiplos y submúltiplos, cada unidad de medidas equivale a 100 unidades de la medida inmediata inferior.

De igual forma:

c) Con el metro cúbico y sus múltiplos y submúltiplos, cada unidad de medida equivale a 1000 unidades de la medida inmediata inferior.

Por ejemplo en los múltiplos tendremos:

1 km3 = 1000 hm3

= 1000 × 1000 dam3

1 km3 = 1000000 m3

= 1000000 × 1000 m3

1 km3 = 1 000 000 000 m3

Asimismo: 1 hm2 = 1 000 dam3

= 1 000 × 1 000 m3

1 hm3 = 1 000 000 m3

También:

1 dam3 = 1 000 m3

1 m3 = 1 000 dm3

= 1 000 × 1 000 cm3

1 m3 = 1 000 000 cm3

1 m3 = 1 000 000 × 1 000 mm3

1 m3 = 1 000 000 000 mm3

Destaque este hecho: ¡ 1 m3 equivale a mil millones de mm3 !


Guía Metodológica


Ilustre la relación entre los múltiplos y submúltiplos del metro cúbico mediante el siguiente esquema:

Una vez determinados los múltiplos y submúltiplos del metro cúbico, pregunte a los y las estudiantes qué relación encuentran entre las medidas de capacidad y de volumen. Algunas respuestas podrían ser:

No hay relación.

Sirven para lo mismo

Tienen poca relación, etc.

Oriente la respuesta en el sentido de la definición del litro.

1 l = 1 dm3

1 l = 1000 cm3

O sea:

Luego, las medidas de capacidad son aquellas medidas de volumen que se aplican a líquidos. Para establecer la equivalencia entre ambas medidas, recurrimos a la definición de litro: 1 l = 1 dm3 = 1 000 cm3. Además: 1 l = 1 000 ml.

Luego, como 1 l = 1 000 cm3 = 1 000 ml, entonces 1 cm3 = 1 ml, con lo cual queda explicada la situación planteada en la motivación de esta lección.


1. Convertir 120 cm3 a mm3, dm3 y m3.

Solución. 120 cm3 = 120 × 1 000 mm3

120 cm3 = 120 000 mm3

Como 1 dm3 = 1 000 cm3

1 cm3 = 1

1000 dm3

Luego: 120 cm3 =

120

1

10003 dm

120cm3 = 0.12 dm3

km3

x1000 x1000 x1000 x1000 x1000 x1000

1000 1000 1000 1000 1000 1000

hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3


Guía Metodológica


Otra forma sería dividiendo directamente 120 entre 1 000:

120 cm3 = 0.12 dm3

2. Indicar la unidad de medida apropiada para medir las siguientes cantidades de líquidos:

a) Un frasco de jarabe para la tos.

b) Volumen de agua que pasa en un año por la Presa 15 de septiembre.

c) Producción diaria de leche en una granja artesanal.

d) Leche líquida que se compra en la tienda o el supermercado.

e) Agua contenida en diez barriles bien tapados.

f) Consumo mensual de agua en la vivienda.

Solución

a) cm3 o ml

b) km3

c) m3 o l

d) l

e) m3 o l

f) m3

3. El volumen de un tanque es de 3m3. Encontrar su capacidad expresada en ml.

Solución. 1 m3 = 1 000 dm3

1 m3 = 1 000 000 cm3

O sea: 1 m3 = 1 000 000 ml, ya que 1 cm3 = 1 ml

Luego: 3 m3 = 3 × 1 000 000 ml

3 m3 = 3 000 000 ml

4. Un químico dibujo 75 cm3 de ácido clorhídrico con 26 cm3 de agua. ¿Cuántos mililitros contiene la solución?

Solución. La solución contiene 75 cm3 + 26 cm3 = 101 cm3

Y como 1 cm3 = 1 ml, entonces 101 cm3 = 101 ml.


Guía Metodológica


5. ¿Cuántos centímetros cúbicos de alcohol se necesitan para llenar un frasco de 0.5 litros de capacidad?

Solución. Como 1 l = 1 000 cm3

1.5 l = 0.5 × 1 000 cm3

0.5 l = 500 cm3

Luego, se necesitan 500 cm3 de alcohol para llenar el recipiente.

Desarrollo del proyecto

Supongamos que la pila posee las dimensiones que se muestran en el dibujo. El volumen de ese cuerpo geométrico llamado paralelepípedo rectángulo es:

V = largo × ancho × alto

V = a × b × c

Luego, V = 2 m × 1.8 m × 1.5 m

V = 5.4 m3

Como 1m3 = 1000 dm3 = 1000 l, entonces:

V = 5.4 × 1000 l

2 m

1.5 m

1.8 m



Unidad 4 Medidas de peso, la proporcionalidad e introducción al álgebra

Descripción de la unidad

Esta unidad comprende los contenidos correspondientes a las medidas de peso del Sistema Internacional (SI); los conceptos básicos de proporcionalidad: razones, proporciones, sus elementos y la propiedad fundamental de las proporciones; las relaciones directa e inversa de proporcionalidad y la regla de tres. Por último se realiza una introducción al álgebra, hasta llegar a los términos semejantes.

En el Sistema Internacional de medidas o de unidades SI, la unidad de peso básica o fundamental es el gramo, denotado por “g”. Sus múltiplos son el decagramo (dag), el hectogramo (hg) y el kilogramo (kg).

Los submúltiplos del metro son el decigramo (dg), el centigramo (cg) y el miligramo (mg).

Después de estudiar las medidas de peso, se estudia la relación entre el peso y el volumen de algunas sustancias como el agua, partiendo del hecho que el peso de un centímetro cúbico de agua destilada a 4 ºC y a cero metros de altitud es de un gramo.

En la proporcionalidad se parte del concepto de razones y proporciones hasta llegar al principio fundamental de las proporciones, el cual nos permite determinar el valor del término desconocido o incógnita en una proporción. Las relaciones de proporcionalidad, por su parte, nos permiten establecer cuando dos magnitudes son directa o inversamente proporcionales. Esta relación directa – o inversa – nos permite establecer la llamada regla de tres simple, la cual es un instrumento de vital importancia para la solución de cierta clase de problemas. Por ejemplo, en la formación de ácido nítrico se combinan 14 partes de nitrógeno con 48 de oxígeno. ¿Cuántos kg de nitrógeno necesitan combinarse con 336 kg de oxígeno para fabricar ese compuesto?

En la última parte de esta unidad se desarrolla una introducción al álgebra partiendo del lenguaje algebraico hasta llegar a las operaciones con monomios.



Lección 1MedidaS de peSo

Cuarta Unidad

Motivación

Formule a sus estudiantes preguntas como la siguiente: ¿Quién pesa más: un kilogramo de piedras, un kilogramo de madera o un kilogramo de plumas?

Si los estudiantes afirman que el kilogramo de piedras, no corrija, sino más bien finja estar de acuerdo y continúe mostrando ejemplos similares hasta que ellos reflexionen y concluyan que las piedras, la madera y las plumas pesan un kilogramo.

Orientaciones metodológicas

Ahora continúe con el desarrollo del contenido presentando situaciones como ésta: Cuando se pide 1 kg de alguna cosa se está expresando una idea de peso (pése 1 kg de…..; esto peso mucho…).

Mencione que las cosas pesan porque la Tierra atrae a los cuerpos con una fuerza llamada de gravedad.

Oriente a que concluyan que el peso de un cuerpo es la medida de la fuerza con que la Tierra lo atrae.

Invite a sus estudiantes a que observen las situaciones siguientes:

Este cuerpo tiene muy poca masa (hay muchos huecos), como en un pedazo de corcho

Este cuerpo tiene mucha masa (hay pocos huecos), como en un pedazo de hierro.

Luego, mencióneles que masa es la cantidad de materia que posee un cuerpo.

Ahora, pídales a sus estudiantes que establezcan la diferencia entre masa y peso

Peso = Fuerza Masa = cantidad de materia

Después de la presentación anterior, exponga que en el Sistema Internacional, las unidades de masa y peso tienen el mismo nombre y siguen las mismas reglas.

Haga saber a sus alumnos y alumnas que la unidad fundamental es el gramo (g): gramo masa es la unidad de masa y gramo fuerza o gramo peso es la unidad de peso.

Pregúnteles ahora, ¿La masa de todos los cuerpos se puede medir sólo en gramos?


Guía Metodológica


Seguramente contestarán que no, entonces, oriente que como algunas veces el gramo resulta a veces muy pequeño, se utiliza el kilogramo (kg). y que este equivale a 1,000g

Ahora pregunte ¿Con qué instrumento se mide el peso de un cuerpo?

Refuerce que para medir el peso de los cuerpos se utiliza la balanza.

En uno de los platillos de la balanza se coloca el cuerpo y en el otro las pesa necesarias para equilibrar el fiel de la balanza.

Seguidamente pida a sus estudiantes que haga un listado de los múltiplos del gramo. Después retroalimente la respuesta, es decir que lleguen:

decagramo (dag) = 10 g hectogramo (hg) = 100 g kilogramo (kg) = 1 000 g miriagramo (mag) = 10 000 g

Aclare que se utilizan otras unidades mayores que el kilogramo para masas (pesos) muy grandes:

1 quintal métrico = 1 q = 100 kg 1 tonelada métrica = 1 t = 1 000 kg 1 t = 10 q

De manera similar, pida a los estudiantes que escriba en la pizarra los submúltiplos del gramo y su abreviatura respectiva y luego los anoten en su cuaderno.

Destaque el hecho que el gramo junto con sus múltiplos y submúltiplos forman un sistema con valor posicional: una unidad de un orden equivale a diez unidades del orden inmediato inferior.


1. Una balanza señala 25 g. ¿Cuántos kilogramos son?

Solución:

kg hg dag g0 0 2 5 = 0.025 kg25 g =

Directamente: 25 g = 25 × 1

1000 kg

25 g = 25

1000 kg

25 g = 0.025 kg

Expresar 5 g en dag

Solución:

dag g0 5 = 0.5 kg5 g =

2. Expresar 3509 kg en las unidades que lo componen (en forma compleja)

Solución:t q mag kg3 5 0 9 = 3 t 5 q 0 mag 9 kg3.509 =

Donde t = toneladas métricas q = quintales métricas mag = miriagramo (1 mag = 10 000 g)

1k



Lección 2razoneS y proporCioneS

Cuarta Unidad

Motivación

Proponga a sus alumnos y alumnas la siguiente situación: en condiciones normales de salud, la relación que hay entre el tamaño de la cabeza y la estatura general del cuerpo humano varía conforme los años:

Al nacer, la longitud de la cabeza representa aproximadamente la cuarta parte de la estatura total. Hacia los 10 años, la relación es de 1 a 5; en la adolescencia, de 1 a 7 y en un adulto llega a ser de 1 a 8.

¡Disponga de una cinta métrica y haga que sus estudiantes verifiquen la situación anterior


Con base a la lectura de la motivación pregunte a su estudiantes ¿cómo interpretan las expresiones “ 1 a 5”, “ 1 a 7” y “1 a 5”?

Oriente las respuestas al hecho que al nacer, la cabeza representa aproximadamente la cuarta parte de la estatura total. Si el cuerpo humano pudiera dividirse en cuatro partes de igual tamaño (longitud), la cabeza sería una de ellas. Esto es, la cabeza representa 1

4

parte de la estatura total. Aquí diremos que la relación es de 1 a 4.

Si la relación entre cabeza y estatura es de 1 a 5, entonces:

La cabeza representa 1

5 o la quinta parte total.



7 o la séptima parte total.



8 o la octava parte total

Ahora exponga que en las situaciones anteriores, se han comparado dos cantidades; esto en matemática se conoce como razón.

Pida a sus estudiantes que construya su definición de razón, luego retroalimente y mencione:

Una razón es la comparación de dos números mayores que cero mediante un cociente. Es decir que a

b es una razón, donde a y b > 0.


Guía Metodológica


Las expresiones 14

1

5

1

8, y son razones que indican la relación entre la cabeza y la

estatura. Las razones también pueden expresarse así: 1 a 4, 1 a 5, 1 a 7 y 1 a 8.

En muchas situaciones de nuestra vida diaria, aplicamos razones. Pregunte a sus estudiantes ¿Podrían mencionar algunos ejemplos de razones?

Pídales que los den a conocer al resto de sus compañeros y compañeras.

Otros ejemplos que puede mencionar son:

8 horas de sueño de las 24 horas del día 824

2 cucharas de azúcar por cada cucharada de café 21

250 g de manteca por 100 g de harina 2501000

Luego mencione que una razón se puede escribir así: a : b o bien ab

se lee “a” es a “b”.

Donde, al número “a” se le llama antecedente y a “b” consecuente.

El antecedente y el consecuente de una razón pueden ser números fraccionarios o decimales. Por ejemplo: Una oferta de una tienda dice “Lleve 1 y pague 1

2” , entonces la

razón es 1 : 12

donde el antecedente es 1 y el consecuente es 12

Al igual que en las fracciones, en las razones existen equivalencias. Por ejemplo, al preparar horchata:

un vaso dos vasos tres vasos cuatro vasos cinco vasos seis vasosCucharadas

de azúcar 2 4 6 8 10 12

Cucharadas de horchata 1 2 3 4 5 6

Ahora, pregunte a sus estudiantes ¿Qué observan en las razones que se forman con los datos de la tabla anterior?

Posiblemente respondan que son equivalentes, es decir que las razones 21

4

2

6

3

4

8, , , ... …

son equivalentes

Luego mencione que si se igualan estas razones, se tiene una proporción.

Oriente a que concluyan que si

ab

y

cd

son razones equivalentes, entonces: ab

cd

= es

una proporción. La que también puede escribirse como a : b: : c : d, en ambos casos se lee “a es a b como c es a d”.

Invite a sus estudiantes que lean en su libro de texto lo relacionado a los términos de una proporción y así aplicarlos en ejemplos.


Guía Metodológica


Para lo cual puede presentar el siguiente:

En la proporción 42

6

3= 4 y 3 son los términos extremos o extremos, 2 y 6 son los

términos medios o medios.

Ahora, pregúnteles ¿qué sucede al multiplicar los medios y los extremos de una proporción?

Presente los siguientes ejemplos:

a) 4

2

6

3=

Producto de medios → 2 × 6 = 12 ¡Los resultado

Producto de extremos → 4 × 3 = 12 son iguales!

b) 3

5

6

10=

5 × 6 = 30

3 × 10 = 30

Luego, orientarlos para concluir:ab

cd

= si y solamente si ad = bc. A esto también se le conoce como: Propiedad

fundamental de las proporciones.

Se sugiere que presente a sus estudiantes aplicaciones de esta propiedad para encontrar uno de los términos de una proporción cuando se conocen otros tres.

Ejemplos:

Si x5

14

35= ¿cuál es el valor de la incógnita?

Solución

x (35) = 14 × 5 Propiedad de las proporciones × ( 35) = 70 Multiplicando

x = 70

35 Concepto de división exacta

x = 2 dividiendo

Si 725 20

= x Calcular el valor de la incógnita

Solución:

x ( 25) = 7 × 20 Propiedad de las proporciones x (25) = 140 Multiplicando

x = 140


x ó x= =5 56

3

5.


Guía Metodológica



1. Calcular la velocidad de un tren que recorre 560 km en 7 h. Expresarla en km/h (kilómetro por hora).

Solución

Como recorrer 560 km en 7 h, tendremos la razón 5607

km

h80

km

h Dividiendo 560 ÷ 7. Luego, la velocidad del tren es 80

km

h

2. Expresar la razón que corresponde a cada enunciado.

a) Una persona que pesa 70 kg tiene unos 5 l de sangre.

b) Un jugador de beisbol conectó 2 hits en 5 veces al bate.

c) Siete de los diez equipos de liga mayor de fútbol han sido campeones nacionales.

d) En 13 de los 35 países de América, el idioma oficial es el inglés.

e) Uno de los 35 países de América tienen por idioma oficial el guaraní.

Solución

a) 70

5

14 kg

l

kg=

l

b) 2

504000= . (El average en beisbol se calcula con 4 cifras decimales)

c) 7

10 d)

13

35 e)

1

35

3. Un tren de carga puede viajar 210 km en 3 horas. Si su velocidad permanece constante. ¿Cuántos kilómetros puede viajar en 5 horas?

Solución

Puede hacerse un cuadro para visualizar mejor el problema.

X Tiempo en h (t) Distancia en km recorrida (d)210

x3 5

Como el tren mantiene constante su velocidad:

3 210

5=

x 3 (x) = 5 × 210 Propiedad de las proporciones 3 (x) = 1050 Multiplicando

x = 1050


x = 350 DividiendoEntonces el tren recorre 350 km en 5 horas.


Guía Metodológica


4. Completar en el cuaderno las tablas siguientes, de manera que se formen razones equivalentes.

a) Número de artículos iguales

1 2 3

Precios en nuevos pesos 250 2,750

b) Número de

minutos60 3600

Número de horas 1 3 8 10

Solución

1 2 3 11250 500 750 2,750

60 180 3600 480 6001 3 60 8 100

5. Copiar en el cuaderno escribir el número apropiado en cada cuadro, de manera que las igualdades dadas formen una proporción.

a) 2

5 35 = f)

31

15 =

b) 312

5 = g) 3

614 =

c) 12

6

8 = h)

48

9 =

d) 78

42 = i) 248

1 =

e) 1

31 2 = j)

205

3 =

Solucióna) 5 2 35

5 70705

14

xx

x

( ) = ( )=

= =

b) x = 20

c) x = 9

d) x = 48

e) x =231

f) x

x

2 31 15

31 15 465

= ( )= ( ) =

a) b)



Lección 3relaCioneS de proporCionalidad y reGla de treS

Cuarta Unidad

Motivación

Presente la siguiente situación: Las tarifas para publicar un aviso clasificado por una semana en los periódicos “A” y “B” son:

Líneas Costo (4)1 2.502 5.003 7.504 10.005 12.506 15.007 17.508 20.009 22.50

10 25.0011 27.5012 30.00

Líneas Costo (4)1 3.002 6.03 9.004 12.005 15.006 17.007 19.008 21.009 23.00

10 25.0011 27.0012 29.00

Ahora formule preguntas como éstas:

Si Karla desea publicar un aviso de 8 líneas por una semana, ¿cuál tarifa le resulta mejor?

Y si desea publicar un aviso de 10 líneas, ¿cuál tarifa le convienen más?

¿Y por 12 líneas?

¿En cuál de los dos periódicos el precio por palabra prevalece fijo?

¿Cómo hacer para averiguarlo?


Explique el hecho que para contestar lo anterior, se divide el precio entre el número de palabras, y que en esta lección se estudiará situaciones similares a la del periódico “B”, en las cuales un valor permanece constante. En este caso se dice que las dos magnitudes que se relacionan - en este caso número de líneas y precio – son directamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por un número, también la otra magnitud está multiplicada por el mismo número.

Proponga otras situaciones y pida a la clase que determine si las magnitudes relacionadas son o no directamente proporcionales.


Guía Metodológica


Ejemplos:

a) km recorridos por un vehículo

Gasolina consumida (galones)

90 180 270 360 400 540 630

2 2 6 8

10 12 14

b) Tiempo de estudio

dedicado a un tema (horas)

Calificación obtenida

4 8

12 16 20

4 6 7 9

10

Una vez los y las estudiantes han conceptualizado la proporcionalidad directa, exponga que para graficar dos magnitudes es necesario hacerlo en el plano cartesiano, el cual se explica en la primera página del libro de texto de esta lección.

Proponga a sus estudiantes que se organicen en equipos y estudien el gráfico de la segunda página de esta lección. Retroalimente la construcción de dicho gráfico y pida a los equipos que construyan los gráficos de los ejemplos a) y b) anteriores y establezcan diferencias.

Haga observar que el gráfico de proporcionalidad directa es una línea recta que pasa por el origen.

Aproveche el recurso gráfico para explicar la constante de proporcionalidad.

a = = = = = = = =90

2

180

4

270

6

360

8

450

10

540

12

630

1445

Luego, la fórmula que relaciona al tiempo (t) y la distancia recorrida (d) es: d = 45 t

Por ejemplo, si se quiere encontrar la distancia recorrida luego de 5 horas, se tiene:

d = 45 t d = 45(5) d = 225 km

La distancia recorrida luego de 5 h es igual a 225 km.

Para la relación de proporcionalidad inversa se sugiere proponer el ejemplo del libro de texto o el siguiente:

Volumen (m3) Número de veces3 166 8

12 424 2

El cuadro siguiente muestra el número de veces que se utiliza un recipiente para llenar una cisterna y la capacidad en metros cúbicos de dicho recipiente. ¿Cuál es la capacidad de la cisterna?


Guía Metodológica


Solución.

Haga observar que en este caso, al multiplicar ambas magnitudes resulta una constante: 3(16) = 6(8) = 12(4) = 24(2) = 48 m3, que es el volumen de la cisterna.

En este caso, el producto volumen en (v) por número de veces (n) es una constante llamada constante de proporcionalidad inversa. El estudio de la proporcionalidad directa e inversa permite resolver problemas tipos de regla de tres directa, inversa o compuesta de interés, etc. Para mostrar la regla de tres directa, recurra al anterior ejemplo a) de proporcionalidad directa.

Si un vehículo recorre 270 km y consume 6 galones de combustible, ¿cuánto recorre si consume 7.5 galones?

Solución.

De acuerdo al enunciado se tiene: km Nº de galones 270 6 x 7.5Como las magnitudes son directamente proporcionales, entonces:

270

6 75= x

. Luego, 6(x) = 270 × 7.5

x x= =×270 75

63375

.; . km

Lo que significa que con 7.5 galones de combustible, el vehículo recorre 337.5 km.

Ejemplo

En un centro educativo, enfermaron de varicela 70 de 280 estudiantes matriculados. ¿Qué porcentaje representan los enfermos y enfermas?

Solución.

Se plantea la respectiva proporción, donde x es el porcentaje de estudiantes, como porcentaje es el número de enfermos con respecto a 100 estudiantes se tiene.

x100

35

140=

140 x = (100)(35) 140 x = 3 500

x = =3500

14025

El 25 % de los niños enfermó de varicela.


Guía Metodológica



1. Determinar las magnitudes que varían en forma directamente proporcional

kg 5 3costo 90 54

base 12 8altura 4 6

volumen 20 80presión 4 1

Lado de un hexágono 12 8

perímetro 72 48

Solución

a) Y d) son directamente proporcionales; c) son inversamente proporcionales

2. Escribir en cada guión de la derecha, si las magnitudes son directamente proporcionales (DP) o inversamente proporcionales (IP)

a) La cantidad de agua desalojada por una llave y el tiempo que estuvo abierta

b) La velocidad de un automóvil y el tiempo que se tarda en ir de Monterrey a Saltillo

c) El interés que se recibe mensualmente y la cantidad depositada.

d) El perímetro de un pentágono regular y la longitud de uno de sus lados

e) La base de un rectángulo y la altura del mismo, si el área del rectángulo es de 60

f) La distancia real entre San Salvador y La Unión y la distancia en un mapa entre los mismos municipios.

g) La cantidad de azúcar y la cantidad de harina que se requieren para hacer un pastel.

Solución

DP: a), c), d), f), g), IP: b), e).

3. Para hacer dos cortinas, Bessi, ocupó 9 yardas de tela. ¿Cuánta tela necesita para elaborar cinco cortinas iguales?

Solución

Planteado la relación, se tiene: No. de cortinas yardas 2 9 5 x

Luego: 2

5

9 5 9

22 5 9 225= = = =×

xx x x( ) . yardas de tela.

a) b) c) d)



Lección 4introduCCión al álGebra

Cuarta Unidad

Motivación

Comience la clase explicando a sus estudiantes que el lenguaje algebraico utiliza la habilidad que han adquirido al hacer una traducción de inglés a español. Analice con ellos y ellas cómo lo hacen, para lo cual proponga la siguiente situación:

The table is red La mesa es roja

Mencione que este procedimiento de sustitución de palabras en inglés por su equivalente en español es el mismo que utilizaran para hacer la traducción de los enunciados en español al lenguaje algebraico.


Utilice el procedimiento anterior para realizar la traducción del siguiente enunciado al lenguaje algebraico.

Hallar un número que sumando a 10 es 25 Lo primero es asignar letras a las cantidades desconocidas:

Hallar un número que sumando a 10 es 25

n Una vez que se ha hecho la traducción de las cantidades desconocidas, entonces se traducen los operadores involucrados en el enunciado:

Hallar un número que sumando a 10 es 25

n + 10 = 25 Entonces la traducción completa sería: n + 10 = 25

Seguidamente escriba varias fórmulas que sus estudiantes han utilizado en todos sus estudios y pídales que las interpreten e identifiquen. Para ello proponga las siguientes situaciones para que relacionen cada fórmula con su respectiva interpretación de la derecha.

Fórmula Interpretación

a) l3 Volumen del cubo de arista l

b) πr2 Área del círculo de radio r

c) b × h Área del rectángulo de base b y altura h

d) b h×

2 Área del triángulo de base b y altura h


Guía Metodológica


e) l2 Área del cuadrado de lado l

f) 2πr Longitud de la circunferencia de radio r

g) ( )B b h+ × 2

Área del trapecio de bases b y B y altura h

Explique el hecho que cada una de las fórmulas anteriores es un ejemplo de expresión algebraica. Defina su concepto y el concepto de variable y término. Así, al sumar el área y el perímetro de un cuadrado tendremos: l2 + 4 l. En el término l2, el exponente es 2 y su coeficiente es 1, ya que l2 = 1 l2.

La expresión 2 x – 8 tiene dos términos, y uno de ellos es una constante, ya que no posee variable: − 8.

En la expresión l2 + 4 l, destaque el hecho que cada término representa un producto de números y variables con exponentes enteros no negativos: l2 y 4 l son ejemplos de monomios.

La expresión –16 t2 + 96 t

Es un modelo matemático de la altura (en pies), después de t segundo, de un proyectil con una velocidad vertical de 96 pies por segundo.

La expresión anterior se llama polinomio. Los polinomios se utilizan en muchas áreas de las matemáticas, incluyendo sus aplicaciones.

Con el ejemplo anterior pida a sus estudiantes que den un concepto de polinomio y que mencionen otros ejemplos.

Retroalimente lo anterior estableciendo que: en un polinomio, a cada monomio se le llama término. Los polinomios con exactamente dos términos se llaman binomios. Los polinomios con exactamente tres términos se llaman trinomios.

La expresión x + y es un binomio, ya que es la suma de dos monomios.Asimismo, 5x3 + 2xy – 6 es un trinomio.La expresión 5x− 2 nos es monomio, ya que su exponente es negativo.

Oriente a sus estudiantes a que lean en su libro de texto lo referente al grado de un término para poder aplicarlo en ejemplos como el siguiente:

Identificar el grado de cada término de 8a4b2 + 3ab + 7. Dar el grado del polinomio.

Solución.

El grado de 8a4b2 es 4 + 2 = 6El grado de 3ab es 1 + 1 = 2. El grado de 7 es 0. Piensa en 7 como 7x0.El grado del polinomio 8a4b2 + 3ab + 7 es 6.

El término de grado más alto se llama término principal. ¿Cuál es el término principal del polinomio anterior?


Guía Metodológica



1. Traducir al lenguaje algebraico:

A 9 se le resta un número

9 – x 9 – x

Un octavo de un número

1

8 x 1

8Tres veces un número más 2

3 x + 2 3x + 2

6 veces un número menos 4

6 x – 4 6x – 4

Tres veces la suma de número más 5

3 ( x + 5) 3(x + 5)

a aumentada en el doble de b

a + 2 b a + 2b

Dos veces la suma de a y b

2 (a + b) 2(a + b)

30 disminuido en tres veces c

30 – 3 c 30 – 3c

Tres veces la diferencia entre 30 y c

3 ( 30 – c ) 3(30 – c)

50 menos el producto de 10 por p

50 – 10 p 50 – 10p

El producto de 50 por la suma de p más 10 50(p + 10)

50 ( p + 10)


Guía Metodológica


2. Decir cuál expresión es un polinomio. Si es polinomio, determinar si es monomio, binomio o trinomio.

a) y2 + y b) 1 1

32 2 2

xx x+ + c) 5x4 – 3x2 + 9

Solución.

a) La expresión y2 + y es un polinomio porque es la suma de los dos monomios y2 y y.

Es binomio porque tiene dos términos.

b) La expresión 1 1

32 2 2

xx x+ + no es un polinomio porque 1

x no es un monomio.

c) La expresión 5x4 – 3x2 + 9 se puede reescribir como 5x4 + (−3x2) + 9. Por lo tanto, 5x4 – 3x2 + 9 es un polinomio porque es la suma de los monomios 5x4, − 3x2 y 9.Es trinomio porque tiene tres términos.

Se sugiere aclarar que no hay que confundir términos y factores.

Mencione que en un polinomio, los términos se suman y los factores se multiplican.

En el polinomio 2x3 + 5x4y2, los términos son 2x3 y 5x4y2. En el término 2x3, los factores son 2 y x3. En el término 5x4y2, los factores son 5, x4 y y2.

El factor numérico de un término se llama coeficiente. En el término 5x4y2, 5 es el factor.

3. Identificar los términos. Dar el coeficiente de cada término.

a) 4x2 + 3x – 5 b) 2a4b3 – 3a2b3 – ab + 3

Solución.

a) Los términos son 4x2, 3x, – 5.

El coeficiente de 4x2 es 4; el coeficiente de 3x es 3; el coeficiente de – 5 es – 5.

b) Los términos son 2a4b3, − 3a 2b3, − ab y 3.

El coeficiente de 2a4b3 es 2; el coeficiente de – 3a2b3 es – 3; el coeficiente de – ab es – 1; el coeficiente de 3 es 3.

4. Identificar el grado de cada término de – 6x2 + 8x2y5 – 3x – 6. Dar el grado del polinomio.

Solución

Término o monomio Grado

– 6x4 48x2y5 2 + 5 = 7

– 3x = – 3x1 1– 6 0

Luego, el grado del polinomio es 7 y su término principal es 8x2y5.



Lección 5térMinoS SeMejanteS

Cuarta Unidad

Motivación

Consulte a sus estudiantes como resuelven el problema siguiente:

En un huerto se cortan en varias etapas mangos y marañones. Éstos se muestra en la siguiente tabla.

corte mango marañones1 15 122 16 173 10 104 12 115 25 20

Si “x” significa mango y “y” marañón ¿cómo efectuaría la suma de frutas?

Oriente la pregunta a la siguiente respuesta.

Suma de mangos: 15x + 16y + 10x + 12x + 25x =78xSuma de marañones: 12y + 17y + 10y + 11y + 20y = 70y

La suma de frutas es 78 mangos y 70 marañones. En símbolos:

78x + 70y


Aprovechando el ejemplo, haga énfasis en que los términos que representan a los mangos se llaman semejantes: poseen las mismas variables con los mismos exponentes (pregunte si también los términos que representan a los marañones son semejantes).

Para introducir el exponente entero positivo ilústrelo con el ejemplo del área de un cuadrado de lado 5 cm. así:

A= l2 = 52 = 5 × 5= 25 cm2

Luego presente 34 = 3 × 3 × 3 × 3

4 veces 3

Mencione que, una expresión que contiene exponentes como a3, está escrita en forma exponencial. Invite a sus estudiantes a que lean en su libro de texto lo referente a los exponentes positivos.


Guía Metodológica


En base al concepto de exponente, desarrolle las siguientes divisiones:

4

4

44444

44

5

234= =. . . .

.

7

7

77777

77

6

247= =. . . .

.

9

9

7

37 3 49= − 9

Oriente a sus estudiantes a que observen los ejemplos anteriores y luego pregunte: ¡Qué observan? ¿Cómo se puede generalizar?

Ahora, mencione que para cualquier número a ≠ 0 y para cualquier par de números m y n enteros no negativos se tiene:

aa

m

nm na= −

De esta forma:

7

7

5

55 5 07 7= =−

7º = 1 Además, 7

7

5

5 1=

Similarmente:

2

2

7

72 2 02 2= =−

2º = 1 Además, 2

2

7

7 1=

Invite a sus estudiantes que respondan a ¿Qué pueden decir de los ejemplos anteriores? Oriente a que concluyan que aº = 1, para todo número a ≠ 0.

Proponga a sus estudiantes que apliquen el concepto de exponente para efectuar divisiones con potencias de igual base donde el exponente del dividendo es menor que el exponente del divisor::

5

5

5555

5555555

1

5

4

7 3= =. . .

. . . . . . 8

8

88

888888

1

8

2

6 4= =.

. . . . . Pero también: 5

5

4

7 sugiere esta respuesta:

55

5 54

74 7 3= =− − = 5 4 – 7 = 5 – 3

Además: 8

88 8

2

62 6 4= =− − O sea: 5

15

33

− =

8 4

4

1

8− =

Oriente que a partir del ejemplo anterior concluyan la regla, luego que la verifiquen en su libro de texto.


Guía Metodológica



1. Simplificar

a) 3b + 4b = 7b h) 6ha + b + 8ha + b

b) 11c + 9c i) − 8kp – 1 – 7kp – 1 = −15kp – 1

c) – 5g – 10g = − 15g j) − jc – d – 5jc – d

d) – 6e – e k) fg+ fg= fg

e) − 3v2 – 9v2 = − 12v2 l) m+ m

f) 8gx + 5gx m) a + 2a

g) 2ym + 2 + 7ym + 2 = 9ym + 2 0 op+op

Solución

a) 7b d) – 7 l g) 9ym + 2 j) − 6 jc- d m) 3a

b) 20c e) – 12 v h) 14 ha + b k) fg n) m

c) – 15g f) 11 gx i) – 15 kp – 1 l) 2 ke + f o) op

2. Comprobar las siguientes simplificaciones

a) 2b – 3b = -− b e) - 29de + 11de = −9de

b) 25ga + 1 – 54ga + 1 = − 29ga + 1 f) m2 n + m2 n = m2 n

c) 18 c – 11c = 7c g) − 8fx + 13fx = 5fx

d) h h h h) −

5

6p y +1 +

3

4p y +1 =−

1

12p

y+1

1 2 7

2 3 6

2 3

1 3

1 4

1 5

7 6

9 20

3 4

7 7

1 2 1

2 3 6


Guía Metodológica


3. Con frecuencia, los médicos utilizan las matemáticas para evaluar la salud. Por ejemplo, para determinar si un paciente corre un riesgo alto de tener problemas cardiacos, comparan las gráficas de su pulso y presión sanguínea con las gráficas del pulso y presión normales para personas de edad, estatura y peso similares.

Las matemáticas también se utilizan para determinar la cantidad de grasa que hay en el cuerpo. Los investigadores han encontrado que el peso no es el mejor indicador de la cantidad de grasa que hay en el cuerpo, Así que desarrollaron una fórmula que relaciona la estructura de los huesos con la cantidad de grasa real.

El polinomio 0.49W + 0.45 P – 6.36R + 8.7, donde W = circunferencia de la cintura en centímetros, P = grosor de la piel que cubre el músculo pectoral en milímetros y R el diámetro de la muñeca en centímetros, da una estimación de grasa que hay en el cuerpo de un hombre.

Solución.

Estimar el porcentaje de grasa en el cuerpo de un hombre con medidas

W = 94.2 cm, P = 6.3 mm, R = 7.5 cm.

0.49W + 0.45P – 6.36R + 8.7

0.49(94.2) + 0.45(63) – 6.36(7.5) + 8.7

= 9.993 ≈ 10

El hombre tiene un 10% de grasa



Unidad 5 Multiplicación y división de monomios. Operaciones con radicales

Descripción de la unidad

Esta unidad comprende las propiedades de los exponentes, las cuales se resumen asi:

i) bm ∙ bn = bm + n iv) (ab)n = anbn

ii) bb

m

nm nb= − = bm – n iv) a

bab

n n

n

=

iii) (bm)n =bmn v) ab

ab

n n

n

= , b ≠ 0

Todos los casos anteriores se llega a las propiedades mediante un proceso inductivo.

Posteriormente se estudia un contenido que es una aplicación de algunas propiedades de los exponentes: la rotación científica, la cual permite escribir de un manera simplificada cantidades muy grandes o muy pequeñas.

Otro contenido que se estudia en esta unidad son las operaciones con monomios.

Usted puede analizar que la suma y resta de monomios se basa en la reducción de términos semejantes, contenido que se estudió en la unidad anterior. Se aplican estas dos operaciones con monomios para estudiar los signos de agrupación con expresiones algebraicas, los cuales se estudiaron con los números enteros. Posteriormente se completa el estudio sobre exponentes negativos y la multiplicación y división de monomios, las cuales se basan en las propiedades de los exponentes En la multiplicación y división comprenden con monomios las que se refieren al producto como las que se refirieren al cociente. De potencias:

ab

ab

n n

n

= , b ≠ 0

En la multiplicación con monomios y polinomios se comprenden los casos de monomio por monomio, monomio por polinomio, monomio entre monomio y polinomio entre monomio, quedando la multiplicación y división de polinomios para estudiarse en octavo grado.

Para el estudio de la raíz cuadrada y raíz cúbica se parte de las siguientes propiedades de las raíces: ab = a b

ab3 = a3 b3

ab

= ab

Las cuales se completan en la lección 5 de esta unidad con la propiedad anm = amn

En la lección 5 también se estudian las propiedades de radicales referidas al producto y división de radicales, la suma y resta y la multiplicación de éstos.



Lección 1propiedadeS de loS exponenteS

Quinta Unidad

Motivación

Proponga a sus estudiantes un prisma cuadrangular o paralelepípedo rectangular cuyas aristas miden x, 2x, 3x respectivamente.

Pida a sus estudiantes que encuentren el volumen de la caja si éste es igual al producto de sus tres dimensiones:

V = x(2x)(3x)

V = 2 ∙ 3 ∙ x ∙ x ∙ x

V = 6 ∙ x ∙ x ∙ x

Ahora, pregunte:

¿Cómo se calcula el producto x ∙ x ∙ x?

Para contestar esta pregunta, proponga ejemplos de productos de potencias de igual base como los siguientes:

53 ∙ 54 equivale a (5 ∙ 5 ∙ 5) (5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5) = 57

23 ∙ 25 equivale a (2 ∙ 2 ∙ 2) (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2) = 28

b3 ∙ b equivale a b4 + 1 = b5, ya que b = b1.

Orientaciones Metodológicas

Oriente a sus estudiantes para que por medio de la introducción antes expuesta puedan generalizar que:

Para cualquier número real b ≠ 0, y para cualquier m y n en los enteros no negativos:

bm ∙ bn = bm + n

Presente ahora, los siguientes ejemplos:

a) 54 ∙ 52 = 54 + 2 ( 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5)(5 ∙ 5) = 56

= 56

b) x ∙ x2 ∙ x3 = x1 + 2 + 3 x(x ∙ x)(x ∙ x ∙ x) = x6

= x6

x2x

3x


Guía Metodológica


Recuerde a sus estudiantes que en la lección anterior se determinó la regla para encontrar la multiplicación y división de potencias con la misma base:

Ahora, continúe presentando las otras propiedades de exponentes de forma inductiva, por ejemplo, oriéntelos para que efectúen

Para la regla de la potencia de una potencia recurra a estos casos particulares:

(32)5 = 32 ∙ 32 ∙ 32 ∙ 32 ∙ 32 = 32(5) = 310

(53)4 = 53 ∙ 53 ∙ 53 ∙ 53= 53 + 3 + 3 + 3= 53(4) = 512

De los ejemplos anteriores usted, puede orientar a sus estudiantes para que infiera la propiedad referida a la potencia de una potencia.

(bm)n = bmn

Luego que la verifiquen en su libro de texto.

De manera similar oriente la propiedad o regla de la potencia de un producto:

(5x)3 = 5x ∙ 5x ∙ 5x = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ x ∙ x ∙ x= 53 x3

(2y)4 = 2y ∙ 2y ∙ 2y ∙ 2y ∙ = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ y ∙ y ∙ y ∙ y= 24 y4

A partir de los ejemplos anteriores, oriente a los estudiantes que infieran que (ab)n = anbn.

La regla de la potencia de un cociente puede Ud. presentarla así:

2

3

4

= 2

323

23

23

⋅ ⋅ ⋅ = 23

23

23

23

⋅ ⋅ ⋅ = 2

3

4

4

Luego, concluir que en forma general se tiene:

ab

=

ab

n

n

Para presentar la notación científica puede Ud. considerar los ejemplos del libro de texto, también puede presentar otros ejemplos, como los siguientes:

La estrella Sirio está ubicada aproximadamente a 8,220,000,000,000,000 km de la Tierra. Por el contrario el radio del electrón es de unos 0.000 000 000 000 002 82 m.

Entonces se tiene que:

La distancia de la Tierra a Sirio = 8.2 × 1015 km.

Radio del electrón = 2.82 × 10−15

Mencione que escribir un número en notación científica significa representarlo como el producto de un número mayor o igual a 1 y menor o igual a 10.


Guía Metodológica


Oriente la escritura en notación científica Así:

i) Muevan el punto decimal del número original a la derecha del primer dígito distinto de cero. Esto dará un numero mayor o igual que 1 pero menor que 10

ii) Cuenten el número de lugares que recorrió el punto decimal para obtener el número del paso anterior. Si el número original era mayor o igual que 10, el conteo es positivo. Si era menor que 1, la cuenta debe ser negativa.

iii) Multipliquen el número obtenido en el paso 1 por lo elevado a la cuenta o potencia obtenida en paso ii

Pida a sus estudiantes que verifiquen si se han aplicado estos pasos en los ejemplos anteriores.

c. Actividades complementarias

A . Efectuar las operaciones siguientes:

a) 25 ∙ 24 ∙ 2 Solución 25 + 4 + 1 = 210

b) y3 ∙ y7 ∙ y4 Solución y3 + 7 + 4 = y14

c) 3

3

10

8 Solución 310 – 8 = 32

d) yy

9

Solución y9 – 1 = y8

e) 927

4 3

2

a yay

= 927

4 3

2 ⋅ ⋅aa

yy

= 13

a3y

f) 520

4 7

1 2

b xb x

-

- -

Solución:520

4

1

7

2

⋅ ⋅bb

xy-

-

- = 1

4 ∙ b4 – (- 1) ∙ x- 7- ( - 2) b ≠ 0, x ≠ 0

= 14

∙ b4 + 1 ∙ x- 7 + 2 = 14

∙ b5∙ x- 5 b ≠ 0, x ≠ 0

= 14

b5 ∙ 15x

= 1 14

5

5

. .. bx

= bx

5

54 b ≠ 0, x ≠ 0

B. Efectuar los siguientes desarrollos:

a) (2b)3 Solución 23b3 = 8b3

b) (2b4)3 Solución 23(b4)3 = 23b4(3) = 8b12

c) (− 3x4y3z− 2)−5


Guía Metodológica


Solución:

(− 3)−5(x4) −5 (y3) −5 (z−2) −5 = 13

1 15 4 5 3 5(- ) ( ) ( ) ⋅ ⋅

x y ∙ z10

= 13

1 15 20 15 ⋅ ⋅

x y z10

= − zx y

10

5 20 153 = − z

x y

10

20 15343

C. Efectuar la siguiente potencia 35

2xy

Solución:35

2xy

= ( )( )35

2

2

xy

= 35

2 2

2 2

⋅ xy

= 9 2

225xy

D. Establecer la igualdad (=) o desigualdad (≠) de las siguientes expresiones:

a) 23 + 53 ? 73

b) 32 + 3- 2 ? 30

c) (3 + 4)2 ? 32 + 42

d) (3 – 4) 2 ? 32 – 42

e) 6 ∙ 32 + 5 ∙ 32 = 11.32

Solución:

a) ≠ b) = c) ≠ d) ≠ e) =



Lección 2operaCioneS Con MonoMioS

Quinta Unidad

Motivación

Presente una situación como la siguiente:

Una mezcla de concreto tiene los siguientes ingredientes por volumen: 1 parte de cemento, 2 partes de agua, 3 partes de arena, y 3 partes de otros agregados. Éstos se emplean para producir la expresión x + 2x + 3x + 3x.

Exponga a sus estudiantes que esta expresión se utiliza para determinar la cantidad de cada ingrediente para fabricar una cantidad específica de concreto, y representa una suma de monomios.

Seguidamente retroalimente el concepto de término y de monomio estudiados en la lección anterior. Por ejemplo, 3x2, 5xy3, 2

5b4, − xz3 son monomios, mientras que 3x−4,

5y− 2, 1x

, son ejemplos de términos.


Como ejemplo introductorio presente la siguiente situación.

Encontrar la suma de las áreas de las siguientes figuras:

Lo cual equivale a sumar los monomios 3x2, x2, x2 y 4x:

3x2 + x2 + x2 + 4x = 5x2 + 4x

Similarmente, la resta del área del primer cuadrilátero menos la del segundo es:

3x2 – x2 = 3x2 – 1x2 = (3 – 1) x2

= 2x2

Destaque el hecho que para efectuar la suma o resta de monomios éstos deben ser semejantes. En caso contrario, la operación queda indicada.

Cuando los y las estudiantes dominen la suma y resta de monomios, puede proponer ejercicios más complicados que contengan signos de agrupación, donde sólo aparezcan esas dos operaciones.

xx

x

x

x3x


Guía Metodológica


Posteriormente, oriente la formación de equipos entre los y las alumnas para que analicen las reglas de las potencias de monomios, basadas en las reglas o propiedades de los exponentes.

Luego, mencione a sus estudiantes que tanto en la suma como en la resta con frecuencia se usa otro procedimiento, basado en que – (x + y) = − x + (− y): Se eliminan los paréntesis y se reúnen los términos semejantes. Si los paréntesis están precedidos de un signo menos, se cambia el signo de cada término incluido en ellos. Si los paréntesis están precedidos de un signo más o no tienen signo, no se cambia el signo de los términos.

En el caso de paréntesis dentro de paréntesis (o llaves) { } o corchetes [ ] o cualquier otro símbolo de agrupación), en general lo más atinado es eliminar los paréntesis interiores primero y después proceder hacia afuera, al igual como se hizo con los números enteros.


1. Sumar los siguientes monomios

a) 8x, − 3x d) − 3ª, 4b g) − 2b, − 8b

b) – 8m, 9m e) – 6, 9 h) – 2b, 8b

c) m, n f) 2b, − 8b i) 2b, 8b

Solución

a) 8x + (− 3x) = [8 + (− 3)]x = 5x ó también: 8x − 3x = (8 – 3); x = 5x

b) 3a2b + 4ab2 + a2b + 7ab2 – 10b3

= 3a2b + a2b + 4ab2 + 7ab2 – 10b3 Ordenando términos semejantes

= (3 + 4) a2b + (4 + 7) ab2 – 10b3 Reduciendo términos semejantes

= 7a2b + 11ab2 – 10b3

c) m + n

d) − 3ª + 4b

e) – 6 + 9 = 3

f) 2b + (− 8b) = [2 + (− 8)]b= − 10b

h) – 2b + 8b = (− 2 + 8)b= 6b

i) 2b + 8b = (2 + 8)b= 10b


Guía Metodológica


2. Simplificar

a) 2m3 – 6m3 b) 3x5y4 – 6y5 – x5y4 + 2y5 c) 7x3y + 3y3 + x3y

Solución:

a) 2m3 – 6m3 = (2 – 6)m3

b) 3x5y4 – 6y5 – x5y4 + 2y5 = (3 – 1)x5y4 + (− 6 + 2)y5= 2xy4 + −4y5= 2x5y4 – 4y5

c) 7x3y + 3x3 – x3 + x3y = (7 + 1)x3y + (3 – 1)x3 = 8x3y + 2x3

3. Restar:

a) 5 de 8 e) 2ª de 3b

b) − 7 de 4c f) 3b de 2ª

c) 11 de 8 g) − 5ª de 6b

d) − 9 de – 1 h) −6x2y de – x2y

Solución:

a) – 8 – 5 = - 13 e) 3b – 2ª

b) 4 – (- 7) = 4 + 7 = 11 f) 2ª – 3b

c) 8 – 11 = - 3 g) 6b – (− 5ª) = 6b + 5ª

d) − 1− (− 9) = − 1 + 9 = 8 h) − x2y – (− 6x2y) = − x2y + 6x2y = 5x2y

4. Efectuar las operaciones indicadas y presentar los resultados en la forma más simple.

8y – {− 7x – [(3y – 7x) – (2y – 8x)] + 5x}

Solución:

8y – {− 7x – [(3y – 7x) – (2y – 8x)] + 5x} = 8y – {− 7x – [3y – 7x – 2y + 8x] + 5x}

= 8y – {− 7x – [y + x] + 5x}

= 8y – {− 7x – yx + 5x}

= 8y – {− 3x – y}

= 8y + 3x + y}

= 3x + 9y


Guía Metodológica


5. Simplificar las siguientes expresiones con monomios.

a) (25)2 c) (4n3)2 e) (− 3m4n2)2 g) (− 2x2y4)3

b) (m8)4 d) (3mn4)3 f) y 5

3Solución:

a) (25)2 = 25(2) = 210

b) (m8)4 = m8(4) = m32

c) (4n3)2 = 42(n3)2 = 16n6

d) (3mn4)3 = 33m3(n4)3 = 27m3n12

e) (− 3m4n2)2 = (−3)2(m4)2(n2) = 9m8n4

f) y 5 3

3

= ( )y 5

33 = y15

9

g) (− 2x2y4)3 = (− 2)3(x2)3(y4)3 = − 8x6y12

6. Simplificar

a) (7ª)(4ª) – (3ª2)

b) (− 2y2)3 + 4y(2y5)

c) (− 3ª2b4)3(4ª3b)2

d) (− 4m2)0(5m4)1(− 3m3)

Solución:

a) (7ª)(4ª) – (3ª2) = 28ª2 – 3ª2 = 25ª2

b) (− 2y2)3 + 4y(2y5) = (− 2)3(y2)3 + 4(2) y ∙ y5= −8y6 + 8y6= 0

c) (− 3a2b4)3(4a3b)2 = [(− 3)3a6b12] [42a6b2] = [− 27a6b12] [16a6b12]

= − 27(16)a6 ∙ a6 ∙b12b2

= − 432ª12b14

d) (− 4m2)0(5m4)1(2m3)0 = 2 + 4 + 3= (1)(5m4)(1)= 5 m4

e) -

- 48

3

2 4

aba b

= --

48

3

3⋅⋅

⋅aa a

bb b

= 12ab

f) (- )(- )

525

4

2 2

mm

= (- )(- ) ( )

525

4 4

2 2 2

mm

= 625625

4

4

mm

= 1



Lección 3exponente neGativo, MultipliCaCión y diviSión de MonoMioS

Quinta Unidad

Motivación

Proponga a sus estudiantes el cálculo del área de un rectángulo cuya base mide “x” unidades y su altura “x + y” unidades; o sea, si A es el área, pregúnteles ¿cómo encuentran el producto x (x + y)?

En esta lección refuerza el concepto de exponente negativo y aplica las propiedades de los exponentes a la multiplicación y división de monomios.

Como la división de un monomio entre otro monomio fue desarrollado en la lección anterior con la potencia de un cociente, en esta lección se hace énfasis en la división de un polinomio entre un monomio.


Proponga a sus estudiantes ejercicios que requieran no sólo la aplicación del exponente negativo sino que además involucren a propiedades de los exponentes.

Para desarrollar el contenido del producto de un monomio por un polinomio, establezca previamente la propiedad distributiva del producto sobre la suma, la cual debe ser presentada inicialmente con números enteros. De esta forma, puede pedirle a sus estudiantes que comprueben igualdades como las siguientes:

a) 5(2 + 7) = 5 ∙ 2 + 5 ∙ 7

Solución: Al calcular separadamente cada miembro de la igualdad, resulta:

5(2 + 7) = 5(9) Sumando 2 +7

= 45 Multiplicando 5 × 9

Por otro lado:

5 ∙ 2 + 5 ∙ 7 = 10 + 35 Multiplicando

= 45 Sumando

Luego, como 5(2 + 7) = 45 y 5 ∙ 2 + 5 ∙ 7 = 45, entonces: 5(2 + 7) = 5 ∙ 2 + 5 ∙ 7

y

x

x


Guía Metodológica


b) – 5(2 + 3) = (− 5) ∙ 2 + (− 5) ∙ 3

Se tiene entonces: − 5(2 + 3) = − 5(5)= − 25

Además: (− 5) ∙ 2 + (− 5) ∙ 3 = −10 + (− 15) = − 25

Luego: − 5(2 + 3) = (− 5) 2 + (− 5) 3

c) – 4(− 2 + 8) = − 4(− 2) + (− 4) 8

Entonces: − 4(− 2) + (− 4) 8 = 8 + (− 32) = − 24

Luego: − 4(− 2 + 8) = − 4(− 2) + (− 4)8

d) 3(5 – 8) = 3(5) + 3(− 8)

Se tiene que: 3(5 – 8) = 3(5 + (− 8) ) = 3(− 3) = − 9

Además, 3(5) + 3(− 8) = 15 + (− 24)= − 9

Luego, 3(5 − 8) = 3(5) + 3(− 8)

Oriente a los estudiantes para que a partir ejemplos expuestos permiten generalizar la propiedad distributiva del producto sobre la suma:

a(b + c) = ab + ac, donde a, b y c representan cualquier número

De manera similar puede presentar la otra variable de esta propiedad:

(b + c)a = ba + ba, donde a,b y c representan cualquier número

Ahora, mencione que la división de un polinomio entre un monomio también se basa en esta propiedad, ya que:

a bc

+ = 1c

(a + b), c ≠ 0= 1c

∙ a + 1c

∙ b c ≠ 0= ac

+ bc

c ≠ 0


1. Efectuar:

a) (3x)(4x) c) (− 7x2y5)(4x3y3) e) (− 3ª)(4ª2)(− a4)

b) (3x2)(− x) d) (4m2)(2m3)(− m)

Solución:

a) (3x)(4x) = (3 ∙ 4)(x ∙ x) = 12x2

b) (3x2)(− 1x) = (3x2)(− 1x)= (3 ∙ −1 )(x2 ∙ x) = − 3x3

c) (− 7x2y5)(4x3y3) = (− 7 ∙ 4)(x2 ∙ x3)(y5 ∙ y3) = − 28x5y8

d) (4m2)(2m3)(− m) = (4 ∙ 2 ∙ − 1)(m2 ∙ m3 ∙ m)= − 8

e) (− 3ª)(4ª2)(− a4) = (− 3 ∙ 4 ∙ − 1)(a ∙ a2 ∙ a4) = 12ª7


Guía Metodológica


2. Expresar usando exponentes positivos.

a) 4− 2 c) ab− 1 e) 3ª−1

b) m− 3 d) (3ª)− 1 f) (23 + 5− 3)0

Solución

a) 4− 2 = 142 c) ab− 1 =

ab1 =

ab

e) 3ª− 1 = 31a

= 3a

b) m− 3 =

13m

d) (3ª− 1) = 13 1( )a

= 13a

3. Efectuar:

a) 3(8x + 2) c) 2 4xx +

b) (5x – 4)(− 3) d) 5 15 10

5

3 2x x - -

Solución:

a) 3(8x + 2) = 3(8x) + 3(2)

= 24x + 6

b) (5x – 4)(− 3) = 5x(− 3) + (− 4)(− 3)

= − 15x + 12

c) 2 4x

x + = 2x

x + 4

x = 2 + 4

x d) 5 15 10

5

3 2x x - - = 55

3x − 155

2x − 105

= x3 – 3x2 – 2


Guía Metodológica


Lección 4RaíceS cuadRadaS y cúbicaS

Quinta Unidad

Motivación

Proponga a sus estudiantes un cuadrado de área conocida, cuyo valor es un cuadrado perfecto como 1, 4, 9,16,25,36, 49, ….. cm2 y pida a que determinen el valor del lado por simple inspección.

Luego, pregunte ¿cuánto mide el lado de un cuadrado cuya área es x2?

Haga lo mismo con un cubo cuyo volumen es un cubo perfecto como: 23 = 8, 33 = 27, 43 = 64, 53 = 125, 63 = 216, … cm3 y pida a los estudiantes que determine por simple inspección el valor de la arista. Luego, que generalicen a un cubo de volumen x3.


Luego de la introducción anterior exponga que en esta lección se desarrollan los contenidos de ambas raíces, por lo cual comenzará exponiendo la primera de ellas:

Como 12 = 1, entonces la raíz cuadrada de 1 es 1.

22 = 4, entonces la raíz cuadrada de 4 es 2.



Oriente a sus estudiantes que observen que en los ejemplos anteriores se obtiene el cuadrado de un número cuando se eleva a la segunda potencia.

Luego menciones que cuando se necesita encontrar el número que se elevó al cuadrado el proceso de búsqueda se llama cálculo de la raíz cuadrada de un número. O sea que: El número c es la raíz cuadrada de a si c2 = a.

Seguidamente muestre con ejemplos que todo número positivo tiene dos raíces cuadradas: una positiva y una negativa:

52 = 25, significa que la raíz cuadrada de 25 es 5.

(− 5)2 = (− 5)(− 5) = 25 significa que la raíz cuadrada de 25 es − 5.

A = x2

x

V = x3

x

x

x


Guía Metodológica


La raíz cuadrada principal es la raíz positiva. El signo se llama radical y se usa para la raíz cuadrada principal. Para denotar a la raíz negativa usamos − . Luego:

25 = 5 y − 25 = − 5

Indique que para denotar ambas raíces se usa el signo ± .

El número 0 tiene sólo una raíz cuadrada: el mismo 0.

Luego, oriente a que concluyan que el cuadrado de cualquier número positivo o negativo es positivo, por lo cual los números negativos no poseen raíz cuadrada en los conjuntos numéricos que ellos manejan en este nivel.

Se sugiere que mencione a sus estudiantes que si un número no es cuadrado perfecto, su raíz cuadrada es un número irracional. Por ejemplo, 2 y 3 no son cuadrados perfectos, por lo cual 2 y 3 son números irracionales.

Oriente que para calcular la raíz cuadrada de un número analicen el método expuesto en el libro de texto, donde se descompone el número en sus factores primos y luego se aplica la propiedad ab = a b , con a > 0 y b > 0. Para comprobar los resultados sugiera el uso de la calculadora.

Ejemplo:

80 = 16 5

= 4

8040201051

22225

16 = 4(2.236068)

= 8.94 42719

El valor 5 = 2.236068 se obtuvo en la calculadora. Ahora verifique directamente que 80 = 8.9442719, por lo cual 80 = 4 5 .

Para el estudio de la raíz cúbica proceda de manera similar a la raíz cuadrada.

Después de algunos ejemplos, defina que el número c se llama raíz cúbica de a si c3 = a, lo que se escribe así: c = a3

Por ejemplo, 2163 = 6, ya que 63 = 216.

Además, - 2163 = − 6, ya que (− 6)3 = − 216.

Destaque el hecho que las raíces cúbicas de números negativos sí están definidas.


Guía Metodológica



1. Simplificar:

a) 64 c) 400 e) 196

b) 225 d) 196 f) 625

Solución.

Puede verificarse en la tabla del libro que todos los números son cuadrados perfectos.

a) 64 = 8 c) 400 = 20 e) 196 = − 6

b) 225 − = -− 15 d) 196 = 14 f) 625 = 25

2. Simplificar:

a) 60 b) 40 c) − 54 d) 111

Solución:

a) 60 = 4 15 ×

= 4 15

= 2 15

b) 40 = 4 10 ×

= 4 10

= 2 10

c) − 54 = − 9 6 ×

= 9 6

= − 3 6

d) 111 = 111 , ya que en su descomposición 111 no posee cuadrados perfectos: 111 = 3 × 37 111

371

337

3. ¿Entre cuáles números enteros consecutivos están:

a) 83 b) - 83 c) 33 d) 75 ?

60 2

30 2

15 2

5 5

1

23 = 8}


Guía Metodológica


4. Simplificar.

a) 83 c) 273

b) - 83 d) x 33

Solución

a) 83 = 233 = 2 c) 273 = 333 = 3

b) - 83 = - 233 = − 2 d) x 33 = x

5. Simplificar:

a) 27 6 33 x y b) 125 9 123 m n c) 16 153 x

Solución:

a) 27 6 33 x y = 33 2 3 33 ( )x y = 333 ( )x 2 33 y 33 = 3x2y

b) 125 9 123 m n = 53 3 3 4 33 ( ) ( )m n = 533 ( )m 3 33 ( )n 4 33 = 5m3n4

c) 16 153 x = 2 23 5 33 ⋅ ⋅ ( )x = 23 233 ( )x 5 33 = 23 ∙ 2 ∙ x5= 2x5



Lección 5operaCioneS Con radiCaleS

Quinta Unidad

Motivación

Proponga un cubo del arista x. Pregunte cuánto debe medir la arista de otro cubo para que su volumen sea el doble del primero.

En esta lección se completa el estudio de los radicales, que ya fueron introducidos en la lección anterior con el estudio de las raíces cuadradas y cúbicas.


Para el estudio de los radicales se sugiere comenzar considerando la propiedad estudiada en la lección 4:

ab = a ∙ b con a > 0 y b > 0

Para la división de radicales presente una expresión como éstas: 10049

y 10049

Para que los y las estudiantes comparen sus valores.

Partiendo de este ejemplo, oriente a sus estudiantes a que infieren que:ab

= ab

donde a y b son números no negativos y b ≠ 0.

Luego mencione que para sumar y restar expresiones radicales se aplica el principio de reducción de términos semejantes.

Ahora, presente algunos ejemplos:

1. Simplificar 18

Solución: 18 = 9 2 ⋅ Factoriza el radicando con un factor cuadrado perfecto.

= 9 ∙ 2 Utiliza la propiedad multiplicativa de los radicales. = 3 2 El radicando no tiene factores que sean cuadrados perfectos.

2. Multiplicar y simplificar:

2 14

Solución:

2 14 2 14

2 2 7

2 2 7

2 7

=

=

=

=

.

. .

.

Multiplicar

Factorizar y encontrar factores cuadrados perfectos


Guía Metodológica



1. Simplificar:

a) 48 t b) 72 2x

Solución:

a) 48 t = 16 3 ⋅ t Identificar en el radicando un factor cuadrado perfecto.

= 16 ∙ 3t Usar la propiedad multiplicativa de los radicales

= 4 3t

b) 72 2x = 36x 22 ⋅

= 36 2x ∙ 2

= 6x 2

2. Multiplicar y simplificar:

3 2x ∙ 9 2x

Solución

3 2x ∙ 9 2x = 3 9x5⋅ Multiplica

= 3 9 x x4⋅ ⋅ ⋅ Factoriza y encuentra factores cuadrados perfectos.

= 9 x x4 3 ⋅ ⋅ ⋅ Identifica cuadrados perfectos.

= 9 ∙ x 4 ∙ 3x

= 3x2 3x

3. Aproximar las siguientes raíces cuadradas: a) 160 b) 341

Solución:

a) 160

160 = 16 10 ⋅ Se busca un factor del radicando que sea cuadrado perfecto.

= 16 10 = 4 10

4(3.162) 10 3.162

12.648

Con calculadora: 160 12.649111 Redondea a la milésima más cercana

12.649


Guía Metodológica


b) 341

341 = 11 31 ⋅ No hay factor que sea cuadrado perfecto.

= 11 . 31

3.317 × 5.568

18.469 Redondea a la milésima más cercana.

Con calculadora: 341 18.466185

18.466 Redondea a la milésima más cercana.

4. Simplificar:

a) 25

9 b) 1

16 c) 18

50

Solución:

a) 25

9 = 5

3 porque 5

3 ∙ 53

= 259

b) 1

16 = 1

4 porque 1

4 ∙ 14

. 116

Algunas veces un radicando fraccionario se puede simplificar en un cuadrado perfecto:

a) 18

50 = 9

25

2

2⋅ = 9

25 =

35

5. Dividir y simplificar:

a) 273

b) 30

6

3

2

aa

Solución:

a) 273

= 27

3 = 9 = 3

b) 30

6

3

2

aa

= 30

6

3

2

aa

= 5a

6. Efectuar:

a) 3 5 + 4 5

b) 2 − 8

c) x + 4 x

Solución.

a) 3 5 + 4 5

= (3 + 4) 5 Utiliza propiedad distributiva.

= 7 5

Algunas veces necesitamos simplificar el radicando antes de sumar o restar:

b) 2 − 8 = 2 4 ⋅ 2

= 2 − 2 2 Simplifica.

= (1 – 2) 2 Utiliza la propiedad distributiva.

= − 2

c) x + 4 x = x + 2 x = 3 x

7. Simplificar.

a) 23

= 23

∙ 33

Multiplica por 1: 33

= 1

= 2 33 3

⋅⋅

= 6

3 o 13

6

b) 6

2 = 6

2 ∙ 2

2 Multiplica por 1: 2

2 = 1

= 6 22 2⋅⋅

= 6 2

2 = 3 2


Guía Metodológica


8. Simplificar:

a) 3

4 b) 5

12 c) 2

5 3

yx

a) 3

4 = 3

4 Escríbalo como división de radicales

= 3

2

b) 5

12 = 5

12. 3

3 Multiplicando por 1: 3

3 = 1

15

36 = 15

6

c) 2

5 3

yx

= 2

5 3

y

x

= 2

5 3

y

x ∙ 5

5

xx

Multiplica por 1: 5

5

xx

= 1

= 10

25 4

yx

x = 10

5 2

yx

x

Proyecto

Solución:

Por el teorema de Pitágoras:

h2 = 102 – 52

h2 = 100 – 25 = 75

h = 75 = 25 3 x = 5 3 = 8.66 m

La escalera no alcanza la altura deseada, aunque el cuerpo de la persona que realice la instalación sí lo hace.


matemática guía metodológica · objetivo del documento 5 lineamientos de evaluaciÓn 8 objetivos...

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