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PABLO

EFFENBERGER

MATEMÁTICA1.° SECUNDARIA CABA

#EducandoGeneracionesCC 61075384ISBN 978-950-13-2593-5

II

Derechos reservados Kapelusz Editora S.A. Prohibida su copia, reproducción y distribución.

Capítulo2

• Lenguaje coloquial y simbólico.

• Ecuaciones con números enteros.

• Conjunto solución de una ecuación.

• Ecuaciones con potencias y raíces.

• Sistemas de ecuaciones.

• Inecuaciones con números enteros.

Ecuaciones, sistemas e inecuaciones


Teoría

Lenguaje coloquial y simbólico

Traducir al lenguaje simbólico y resolver.

Hallar la mínima expresión.

Marcar con una X la expresión correcta.

a) a . a

b) m m

c) r r

d) t : t

e) 5s 3s

f) 6b . 2b2

g) n . n3

h) 2w4 6w4

i) 20h6 : 5h

a) La suma entre ocho y menos quince.

b) La diferencia entre seis y catorce.

c) El producto entre siete y el opuesto de cuatro.

d) El cociente entre treinta y menos seis.

e) El triple de la diferencia entre cinco y nueve.

f) La suma entre la mitad de diez y menos doce.

g) El cuadrado del anterior a catorce.

h) El siguiente del doble de menos trece.

i) El anterior de la cuarta parte de cien.

j) El triple del siguiente de menos nueve.

1

2

3

El lenguaje coloquial es el que se utiliza cotidianamente y está compuesto por palabras. El lenguaje simbólico es el utilizado por la Matemática para expresar propiedades o fórmulas y está compuesto por números, letras, operaciones, relaciones, conectivos, etc.

Lenguaje simbólico Lenguaje coloquial 8 5 Ocho es mayor que cinco. 9 7 2 La diferencia entre nueve y siete es dos. 20 : 4 5 El cociente entre veinte y cuatro es cinco. 32 9 El cuadrado de tres es nueve.

En el lenguaje simbólico, las letras representan números en general.a) La suma de dos números es trece: a b 13b) El producto de dos números es negativo: m . t 0c) La raíz cúbica de un número es ocho: e 83

a)

b)

c)

d)

e)

f)

La mitad del siguiente de un número

El anterior del doble de un número

El triple del anterior de un número

El cuadrado del siguiente de un número

El siguiente de la cuarta parte de un número

La diferencia entre un número y su quíntuplo

n 1 : 2

n : 2 1

n 1 : 2( )

++

+

r 1 . 3

3r 1

3 r 1( )

−−−

a : 4 1

a 1 : 4

a 1 : 4

( )+

++

2s 1

2 s 1

s 1 . 2

( )−−−

e 1

e 1

e e

2

2

2

( )+++

c c : 5

5c c

c 5c

30


Expresar en lenguaje coloquial.

Escribir tres pares de números que cumplan con cada condición.

Escribir todos los valores enteros de a que cumplen con cada condición.

Completar con el número que corresponda en cada caso.

Colocar V (verdadero) o F (falso) según corresponda.

4

5

8

6

7

a) a b 0

a a a

b b b

b) m n 4

m m m

n n n

c) r . s 6

r r r

s s s

d) 4 t : h 0

t t t

h h h

a) 3 p 1

b) m : 2 1

c) 4t 1

d) a a 1

e) h . h 1

f) s s2

a) a b 6 a 4+ = ∧ = − b

b) m n 0 m 3− = ∧ = − n

c) r 8 r 0= ∧ < r

d) s . t 0 t 7= ∧ = − s

e) h 1 h 02 = ∧ < h

f) d : e 2 e 5= − ∧ = d

9 Calcular el resultado de las operaciones.

a) 4 a 0− < ≤

b) 0 a 5 6< − <

c) a 3

d) a 42

e) a 102

f) a 1 814( )+ =

a) a b 7+ = ( )+ =5 a b

b) d e 3− = − =e d

c) m . p 20 − =m . p : ( 5)

d) g : n 1 − =g n

e) h z 5+ = − ( )− − =3 h z

f) 2x 2y 8+ = + =3x 3y

a) 2x 3x x 6x

b) x x 1

c) 0x 0

d) x 2 2 x2 4

e) x : x 0

f) 6x : 6 x

g) 2x x x

h) x x x2

i) x . x . x 3x

j) 3 x 2 3x 2

k) x x 1 x2 x

l) x2 x x3

Desafío

31


Teoría

Teoría

Ecuaciones. Conjunto solución

Unir cada ecuación con el valor que la verifica.

Plantear la ecuación y decidir si no tiene solución o cualquier valor la verifica.

a) Un número es igual a su siguiente.

b) El doble de un número es igual a la suma de su

siguiente y su anterior.

c) La diferencia entre un número y su anterior es

uno.

d) El producto de un número y su siguiente es

igual a la suma de su cuadrado y su anterior.

e) El cociente de dos números iguales es cero.

f) La suma de un número, su anterior y su

siguiente es igual al triple del número.

g) La diferencia entre un número y su siguiente

es uno.

h) El anterior del cuadrado de un número es

igual al producto de su anterior y su siguiente.

10

11

Una ecuación es una igualdad en la que hay por lo menos un valor desconocido (incógnita).

a) x 6 11 b) 2. x 1 10 c) x2 1 50 d) x 2 23 + =−

El conjunto solución de una ecuación es el o los valores de la incógnita que verifican la igualdad.

En a) x 5 porque 5 6 11 El conjunto solución es S 5{ }= o x 5

En b) x 4 porque 2.( 4 1) 10 El conjunto solución es S 4{ }= − o x 4

En c) x 7 o x 7 porque 7 1 507 1 50

2

2( )+ =

− + = El conjunto solución es S 7 ; 7{ }= − o x 7

En d) x 10 porque 10 2 23− + =− El conjunto solución es S 10{ }= − o x 10

• Hay ecuaciones que no tienen solución, es decir, no existe ningún valor que las verifique. x x 2 El conjunto solución es = ∅S

• También hay ecuaciones que cualquier valor las verifica. x x 2x El conjunto solución es S Z

3 x 1 2x 3

2 x 2 36

x 3 x 1 122x 03 24+ =4x24x

7 3 x 1− +3x =

x 4

x 2

x 5

x 1

x 6

x 3

a)

b)

c)

d)

e)

32


Teoría

Ecuaciones de primer grado

Para resolver una ecuación con números enteros, se aplica la ley uniforme.a)

=−

+ =+ − = −

x 4

x 9 5x 9 9 5 9

b)

=−

− =−− + =− +

x 3

x 5 8x 5 5 8 5

c) − =−− − =− −

x 5

2x 102x : ( 2) 10 : ( 2)

• De una ecuación que no tiene solución, se obtiene una contradicción.

x 3 x x x 3 x x 3 0 FALSO = ∅S

• De una ecuación que se verifica para cualquier valor, se obtiene una igualdad.

x x 2x 2x 2x 0 0 0 VERDADERO S Z

14 Aplicar propiedades y encontrar las soluciones de cada ecuación.

Desafío

Hallar el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones.

Plantear la ecuación y hallar el número que cumple con cada condición.

12

13a) La suma con su anterior es treinta y siete.

b) El doble de su anterior es setenta y seis.

c) La diferencia entre su quíntuplo y su doble es

veintiuno.

d) La cuarta parte de su triple es quince.

e) El anterior de su tercera parte es nueve.

f) El consecutivo de su cuádruplo es el cuadrado

de siete.

a) 4x 15 7

b) 1 3x 19

c) 2x 17 3

d) 5x 3 x 7 4x

e) 4 2x 5x 8

f) x 6 3x 6 2x

g) 2 x 4 5x 23

h) 9 3 x 2 x 1

i) 4 3 2x 3x 2 3 x

a) x 5 . x 2 0 b) x . x 1 6 c) x 4 2 49

33


Repaso

Expresar en lenguaje simbólico y resolver.

a) La tercera parte del anterior a menos veinte:

b) El siguiente del doble de menos catorce:

c) La mitad de la diferencia entre tres y quince:

d) El producto entre el anterior y el siguiente de menos seis:

e) El cociente entre cuarenta y el cubo de menos dos:

f) El cuádruplo del cuadrado del siguiente de cinco:

g) La raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado de diez y diecinueve:

Completar la tabla.

Traducir al lenguaje coloquial las siguientes expresiones.

a) k 1 13

b) 2 r 1 12

c) m 1 : 3 8

d) a2 1 24

e) b 1 3 27

f) k . k 1 20

g) k k 1 k 2 33

Plantear el cálculo y resolver.

Encontrar el número que cumpla con todas las condiciones.

15

16

17

18

19• Su opuesto es primo.

• Su anterior es menor que 11.• La suma de las cifras de su siguiente es 7.

• Su cuadrado es menor que 300.

m 6

m 3 7

m 6 8

2m 1 7

m : 2 9 3

m 7 21

a) =− ∧ =−a 5 b 3 ( )− =4 a b

b) =− ∧ =c 4 d 6 ( )( )+ − =c d c d

c) = ∧ =−e 7 g 4 ( )− − =e g3

d) =− ∧ =−h 12 k 5 h k2 2+ =

34


Plantear la ecuación y calcular la longitud de cada lado en las siguientes figuras.

Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones.

En un rectángulo, la base es el triple de la altura disminuida en dos unidades.

Hallar la expresión.

c) Calcular la base y la altura del rectángulo si el perímetro es de 52 cm.

23

20

21

22 Plantear la ecuación y hallar el número que cumple con cada condición.

a) 17x 15 6x 23 10 8x− + + − = −

b) 13 19x 9 7x x 4 13x− + + = − −

c) 8 8x 6 11x 1 5 3x− + − − + = +

d) 9x 12 14x 5 x 6 10x 7+ − − = − − −

e) 3 x 5 6 5 5 x 2( ) ( )+ + = + +

f) 8x 3 2 5x 2 7 x( ) ( )− + = −

g) 5 3x 7 3 x 9 4 3x 2( ) ( ) ( )− − − = −

h) 2 x 5 3 4 x 4x 2x 23( ) ( )+ − + − = −

a) La tercera parte de su siguiente es igual al

anterior de menos diez.

b) El cuádruplo de su anterior es igual al cubo de

menos cuatro.

c) La diferencia entre su doble y su quíntuplo es

igual al cuadrado de seis.

d) El producto de su siguiente y menos tres es

igual al anterior a cuarenta.

a) Del perímetro del rectángulo. b) Del área del rectángulo.

a) b)

3x

5 c

m 2x 3cm

4x 7 cm

Perímetro: 27 cm

7x − 1 cm

5x

+ 2

cm

Perímetro: 74 cm

a

b c

r m

ps

35


Teoría

Ecuaciones con potencias y ra íces

Unir cada ecuación con el o los valores que la verifican.

Aplicar propiedades y hallar el conjunto solución.

a) x . x . x 6252

b) x : x 5127 4 = −

c) x 4

d) x : x 3226

7( ) = −

e) x . x 7518 418

f) x . x 529 = −

24

25

• Cuando la incógnita está afectada por alguna raíz x xnn

( ) =

a) x 11

x 112

2( )=

=

x 121

b) x 5 3

x 5 3

x 5 27

3

33

3( )+ =

+ =

+ =x 22

c) x 2 5 7

x 2 2

x 2 2

x 2 16

4

4

44

4( )

− + =

− =

− =

− =x 18

• Cuando la incógnita está elevada a alguna potencia xx si n es impar

si n es parxnn =

a) x 36

x 36x 6

2

2

=±x 6

b) x 1 64

x 1 64

x 1 4

3

33 3

( )

( )

+ =

+ =+ =

x 3

c) x 2 81

x 2 81

x 2 3x 2 3 x 5x 2 3 x 1

4

44 4

1

2

( )

( )

− =

− =

− =− = =− =− −=

xn

( )xn

)

xx si n es impar

si n es parxnn =

x 273

x 2

x 162

x 23

x 642

x 34

x 164

x 325

x 9

x 814

x 2

x 2

x 81

x 3

x 3

x 4

x 8

x 4

x 8

a)

b)

c)i)

d)j)

e)

f)

g)

h)

36


28 Explicar por qué las siguientes ecuaciones no tienen solución entera.

a) x 9 02 + =

b) x 34 = −

Desafío

Plantear la ecuación y hallar el número que cumple con cada condición.


26

27

a) Es negativo y el siguiente de su cuadrado es

sesenta y cinco.

b) El cubo de su anterior es menos sesenta y

cuatro.

c) Es positivo, y el cuadrado de su anterior es

veinticinco.

d) La mitad de su cubo es menos ciento ocho.

e) Es negativo, y el cuadrado de su siguiente es

ciento veintiuno.

f) El triple de la raíz cuarta de su anterior es

quince.

a) 4x 9 72 − =

b) 5 . x 9 35+ =

c) 3x 25 13 + =

d) 3x 6 33 − = −

e) x 20 : 3 45( ) ( )+ − =

f) 2 4x 3 14− =

g) x 3 4 402( )+ + =

h) 15x 9 2 54 − + =

i) 2x 7 31 43( )+ + =

37


Teoría

Sistemas de ecuaciones lineales

Completar los casilleros con por lo menos cinco números negativos.

a) x y 3 S ; , ; , ; , ; , ; , ; , …

b) x y 5 S ; , ; , ; , ; , ; , ; , …

c) 2x y 7 S ; , ; , ; , ; , ; , ; , …

Probar qué valores verifican ambas ecuaciones y unir los sistemas con su solución.

Completar las soluciones de cada ecuación y encontrar la solución del sistema.

a) x y 7 S 6 ; , ; 1 , 2 ; , 3 ; , ; 7 , …

3x y 1 S 3 ; , ; 2 , ; 1 , ; 5 , 2; , …

S ;

b) x y 4 S 7 ; , ; 5 , 6 ; , 2 ; , ; 1 , …

2x y 5 S 3 ; , ; 1 , ; 3 , 1 ; , ; 7 , …

S ;

29

30

31

Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitos pares de números que la verifican.

x y 10 S x ; y S 1 ; 9 , 5 ; 5 , 8 ; 2 , 3 ; 7 , 2 ; 12 , 14 ; 4 , 1 ; 11 , …

Un sistema son dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolverlo es encontrar el valor de “x” y de “y” que verifique ambas ecuaciones.

x y 5 S x ; y S 1 ; 4 , 5 ; 0 , 4 ; 1 , 7 ; 2 , 6 ; 1 , 3 ; 2 , 8 ; 3 , …x y 3 S x ; y S 10 ; 7 , 9 ; 6 , 1 ; 2 , 5 ; 8 , 4 ; 1 , 1 ; 4 , 1 ; 2 , …

La solución del sistema es: S 4 ; 1 o sea x 4y 1

x y 7

x y 1

+ =y

=y

2x y 3

y x 6

+ y

=x

y x 5

x y 5

=x

=y −

x 3y 9

2y x 4

3y

+ =x

x 3y 2

y x 6

+ 3y

=x

a)

b)

c)

d)

e)

x 3

y 2

x 1

y 5

x 4

y 3

x 6

y 1

x 4

y 3

x 4

y 2

38


Teoría

Resolución analítica de un sistema

Para resolver analíticamente un sistema, se puede aplicar el método de sustitución en el cual:

• Se despeja “x” o “y” de una de las ecuaciones x y 8 x 8 y2x y 7+ = = −− =

• Se reemplaza el valor despejado en la otra ecuación y se resuelve.

2 8 y y 7 16 2y y 7 3y 9 y 3

• Se reemplaza el valor hallado en cualquiera de las ecuaciones y se halla el valor de la otra incógnita.

x y 8 x 3 8 x 5 S 5 ; 3

34 Escribir dos sistemas distintos cuya solución sea 2; 3 .

Desafío

Resolver analíticamente los siguientes sistemas.

Plantear el sistema y resolver.

32

33a) ¿Cuáles son los números cuya suma es cinco y

su diferencia es nueve?

b) Si dos bolsas pesan 26 kg y una pesa 8 kg más

que la otra, ¿cuánto pesa cada bolsa?

c) En una caja, hay $ 64 en billetes de $ 2 y $ 5.

Si hay 20 billetes en la caja, ¿cuántos hay de

cada valor?

d) Calcular la superficie de un rectángulo de

54 cm de perímetro cuya base mide el doble

que la altura.

a) x y 10

2x y 8

+ =− =

b) 3x y 1

y x 5

+ =− =

c) x y 2

3x 4y 3

+ =+ =

d) x 2y 8

y 3x 1

− =− =

39


Teoría

Inecuaciones

Escribir todos los números enteros que verifican las siguientes expresiones.

Marcar con una X los valores que verifican las siguientes inecuaciones.

a) x 3 x 0 x 8 x 3 x 2 x 5 x 2

b) 1 x x 1 x 0 x 1 x 6 x 3 x 2

c) x 5 x 4 x 6 x 5 x 7 x 0 x 1

d) 2 x x 2 x 0 x 3 x 1 x 5 x 1

e) x 3 x 3 x 2 x 0 x 1 x 1 x 4

f) x 4 x 0 x 7 x 5 x 2 x 4 x 6

Escribir 5 pares de números que cumplan las siguientes desigualdades.

a) x y 0 x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

b) x . y 20 x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

c) x : y 5 x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

d) 2 x y 1 x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

e) 4 x : y 2 x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

35

36

37

Una inecuación es una desigualdad en la que hay por lo menos un valor desconocido. Resolver una inecuación es encontrar los valores que verifican la condición de la desigualad.

a) x 5 b) x y 5 c) x 3 1 d) x . y 4

a) 3 a 5− < <

b) 1 b 4− ≤ <

c) 7 c 2− < ≤ −

d) 4 d 0− ≤ ≤

40


Teoría

Las inecuaciones se resuelven como las ecuaciones, salvo en el caso en que se multiplique o divida por un número negativo. En dicho caso, cambia el sentido de la desigualdad.

a) 5x 3 75x 7 3x 10 : 5x 2

− ≤≤ +≤≤

b) x 1 : 2 4x 1 4 . 2

x 8 1x 7

( )+ >+ >> −>

c) 5 3x 233x 23 5x 18 : 3x 6

( )

− >− > −

< −<−

d) x 5 : 4 3x 5 3 . 4

x 12 5x 7

( ) ( )( )

+ − ≤−+ ≥− −≥ −≥

40 Deducir las siguientes condiciones.

Desafío

Plantear la inecuación y hallar los números que cumplen con las siguientes condiciones.

Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones.

38

39a) 17 8x 5 2x− > −

b) 3x 4 10x 12 . 2( )− − ≤ − −

c) 9 3x 5 x 1( )− + < +

d) 5x 3 : 2 x 26( ) ( )− − ≥ +

e) 5 2 x 1 2 x 5 13( ) ( )− + < + +

f) x 14 4x 7 : ( 3)( )+ ≤ − −

a) − <a b 0

b) > ∧ >a . b 0 b 0

c) < ∧ >c . d 0 c 0

d) = ∧ ≠a : b 0 b 0

e) a : b 1

f) = ∧ ≠a . b 0 a 0

a) El triple de su siguiente es mayor que doce.

b) La mitad de su anterior es menor que seis.

c) Su doble disminuido en siete es mayor o igual

que once.

d) Su cuarta parte aumentada en seis es menor

o igual que dos.

e) La diferencia entre su doble y su triple es

mayor que menos uno.

f) El cociente entre su anterior y menos dos es

menor que ocho.

41


Repaso

Hallar mentalmente los valores que verifican cada ecuación.

Completar las soluciones de cada ecuación.

a) x y 2 S 1 ; , ; 4 , 5 ; , ; 0 , 1; , ; 8 , …

b) x y 7 S 3 ; , ; 1 , 11 ; , ; 9 , 5; , ; 6 , …

c) 2x y 0 S 1 ; , ; 8 , 3 ; , ; 0 , 5; , ; 6 , …

Unir cada inecuación con su conjunto solución.


41

42

43

44a) − =3x 45 302

b) 7x 9 11+ =

c) ( )− =x 1 : 5 433

d) 2 . 3x 5 5 92( )− − =

e) 4x 11 7 : 2 6( )− + =

f) 1 3 x 4 253( )− + =

g) 4 x 20 10 283( )− + =

h) 2 x 1 502( )+ =

i) 9 2 x 1 3− + =

a) + =x 1 502

b) + =x 7 5

c) + =x 8 03

d) − = −x 15 33

e) − =10 x 12

f) + =7 x 20 21

x 5

x 5

x 4

x 6

x 6

x 4

x 8

x 8

x 9 1

x : 4 1

x 6

2x 122x 10

x : 1 5x 3 7

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

42


Resolver analíticamente los siguientes sistemas.


45

46

47 Plantear y resolver.

a) x y 4

x y 8

+ =− =

b) x y 2

3y 2x 1

− =− =

c) x y 3

x 3y 1

+ =+ =

d) y 3x 2

x y 4

− =− =

a) 3x 9 4x 5x 7− + + < −

b) 1 5x 3 7x 12− − ≥ − −

c) 4 2x 3 x x 13− + − > −

d) 2 x 5 5x 8( )− ≤ +

e) 5 x 3 2 x 3 x 1( ) ( )− − − ≥ +

f) 3 4 x 2 17 2 x 4( ) ( )− + > + +

a) ¿Qué números verifican que el cuadrado de su

siguiente es igual al anterior a cincuenta?

b) Si la suma de dos números es cincuenta y siete,

y uno de ellos es el doble que el otro, ¿cuáles

son los números?

c) ¿Qué condición deben cumplir los números

cuyo anterior es menor que su triple aumentado

en trece unidades?

d) Si el triple de la raíz cuadrada del siguiente

de un número es el cuádruplo de nueve, ¿de

qué número se trata?

e) ¿Qué números verifican que la diferencia

entre su anterior y su séxtuplo es mayor que

el cuadrado de siete?

f) La diferencia entre dos números es dos y el

doble del mayor es igual al triple del menor.

¿Cuáles son los números?

43


Integración

Plantear el cálculo y resolver.

a) La suma entre la tercera parte de quince y el opuesto de veinte:

b) La diferencia entre el anterior a menos catorce y nueve:

c) La mitad del producto entre menos doce y once:

d) El triple del siguiente del cubo de menos cuatro:

e) La raíz cuadrada de la diferencia entre los cuadrados de trece y cinco:

Escribir la expresión simbólica.

a) El doble del anterior de un número

b) La tercera parte del siguiente de un número

c) El anterior del triple de un número

d) El siguiente de la mitad de un número

e) El cuádruplo del siguiente de un número

a) − =2a 3 11 a

b) + =b : 3 2 0 b

c) ( )+ =4 c 7 12 c

d) ( )− = −d 8 : 6 3 d

e) ( )− − =5 e 1 20 e

f) g 1 : 4 1( ) ( )+ − = g

a) 1 x 8 7x 1 2x+ − − = −

b) 7 5x 2 8x 4x 3 x− + + = − + +

c) 4x 5 3x 4 6x 20− + + = + −

d) 3 x 4 4x 12 x( )+ − = −

e) 5 4 x 1 x 11( )− − + = +

f) 2 x 3 3 2x 5 1( ) ( )− − − =

Hallar mentalmente el valor de cada incógnita.

Resolver las siguientes ecuaciones.

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51

49

48

44



Plantear la ecuación y calcular la longitud de la base y la altura de cada rectángulo.

Plantear y resolver.

Plantear la ecuación y decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) El triple del siguiente de un número es igual a la mitad de su séxtuplo.

b) La diferencia entre el doble y el quíntuplo de un número es igual al opuesto de su triple.

c) La suma entre el doble del anterior y el triple del siguiente de un número es igual al siguiente de su

quíntuplo.

d) El producto de un número y su siguiente es igual a su anterior.

e) El producto del anterior y el siguiente de un número es igual al anterior de su cuadrado.

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53

54

55

a) El triple del siguiente de un número es igual a su

quíntuplo disminuido en siete unidades. ¿Cuál

es el número?

b) La base y la altura de un rectángulo difieren en

cinco unidades. Si el perímetro es de 62 cm,

¿cuál es la superficie del rectángulo?

c) La diferencia entre el doble del anterior y el

quíntuplo del siguiente de un número es

once. ¿De qué número se trata?

d) Si la edad que tendrá David dentro de seis

años es igual al triple de la edad que tenía

hace cuatro años, ¿qué edad tiene David?

a) b)

a) 5x 7 132 − = b) 3x 7 5+ = c) x 2 1 102( )− + = d) 3x 6 4 13 − + =

2x2 + 1 cm

x2 +

3 c

m

Perímetro: 32 cm

x + 2 cm

x −

3 c

m

Perímetro: x + 19 cm 45


Integración

Unir cada sistema con su conjunto solución.

Plantear el sistema y resolver.

a) x y 5 x

y 2

b) x y 0 x 6

y

c) x . y 1 x

y 8

d) 2 x y 0 x 5

y

e) x : y 2 x

y 5

f) x y 1 x 4

y

a) La suma de dos números es 42 y su diferencia

es 8. ¿Cuáles son los números?

b) Dos ángulos complementarios difieren en 40°.

¿Cuál es la amplitud de cada uno?

c) El perímetro de un rectángulo es de 58 cm.

Si la base es 5 cm mayor que la altura, ¿cuál

es la superficie?

d) Matías ahorró $ 37 con 25 monedas de $ 1 y $ 2.

¿Cuántas monedas de cada valor tiene Matías?

a) 3x 7 x 2x 13− + + ≤ −

b) x 11 4x 9 2x 7− − + > −

c) 2 x 5 3 5x 2( )− − ≥ +

d) 6 4 x 2 x 2 3 4 x( ) ( )− − − < − −

Completar con un valor que verifique cada condición.


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59

57

56

S { }5 ; 7

S { }4 ; 64 ;

S { }3 ; 5

S { }7 ; 1

S { }3 ; 7=

x y 2

2y 5x 5

=y

− =5x

x y 10

3x y 2

=y

+ y

x y 6

2x y 0

+ =y −− y

y x 8

x y 6

=x

+ =y −

x y 2

y x 12

+ =y

=x

a)

b)

c)

d)

e)

S { }2 ; 4

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