El contexto de explicación matemática'

En este artículo vamos a hablar de nuestras aulas y de nuestra preocupación por las

matemáticas, el contexto y la elaboración de significados; lo haremos situándonos en

la perspectiva de los valores para reflexionar sobre las tramas significativas de las

historias escolares de conocer. Vamos a escribir seleccionando dos valores propios de

la enculturación: Por un lado, el valor que da a la comunicación la objetivación, el

control, la apertura y la argumentación y, por el otro, el valor social que aporta el incluir

los recursos matemáticos fundamentales en esta actividad racional.

Queremos subrayar el papel significador que adquiere la actividad matemática escolar

cuando se puede desplegar como un proceso social semiótico bien fundamentado.

Las personas elaboramos significados sobre nuestros saberes vinculando los

conocimientos con los contextos en los que, cada uno de nosotros, ha vivido su

conocer. El significado que hilvanamos determina la manera y las circunstancias en las

que cada persona va a usar, probablemente, sus saberes; porque el significado

representa, para la persona que sabe, el valor que tiene su saber para atribuir sentido

a nuevas realidades.

También podemos aplicar esta afirmación general a los saberes matemáticos que

adquirimos en la escuela. Eso quiere decir que la relación de significado que nuestros

alumnos construyen, entre las matemáticas y la realidad, es una consecuencia de los

contextos matemáticos que viven en su conocer.

Esta relación es un dato básico para evaluar la calidad de los procesos educativos

porque de ella depende si nuestros alumnos percibirán, o no, un recurso cultural

valioso en las matemáticas que aprendan.

Nuestros interesesLas dos maestras co-autoras de este artículo somos tutoras de los dos grupos de ciclo

superior de una escuela pública de Ciutadella (Menorca) que se llama C.P. Pintor

Torrent.

Este rol de tutoras nos lleva a percibir siempre las cosas que pasan en el aula, incluso

en clase de matemáticas, desde un marco educativo muy amplio. Nos preocupan

cuatro cosas: la calidad de las interacciones entre nuestros alumnos; el bienestar con

el que se pueden sentir miembros de nuestra comunidad; el proceso amplio de

enculturación que pueden estar realizando en su aprendizaje; y su capacidad para

1 Este trabajo ha sido posible por el apoyo del CEP de Menorca, en especial de Marga Pons Gomila, y seha realizado en el marco del convenio de colaboración firmado entre el ICE de la UAB y la FPCEEBlanquema de la URL

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entender las consecuencias de problemas importantes actuales manejando

información sutil y relevante sobre ellos.

En nuestro trabajo como maestras damos un gran valor a estudiar con detalle los

comportamientos de nuestros alumnos. Escuchar sus argumentos, valorar los

procedimientos que han usado, comprender sus conversaciones y, cuando es

necesario, plantearles nuevos interrogantes sobre su propio trabajo.

1. El valor contextual de la actividad matemáticaPensamos que las acciones matemáticas han de jugar un papel contextualizador muy

importante en las historias de conocer que se despliegan en nuestras aulas.

1.1. La comprensión objetiva y racional

Primero, porque ciertos procesos matemáticos son muy valiosos en la comprensión

objetiva y racional del mundo: el proceso de probar, el de resolver problemas, o el de

definir, por ejemplo; pero también el proceso de organizar información en sistemas

deductivos utilizando recursos simbólicos, estableciendo relaciones, visualizando

geométricamente, o eligiendo algún sentido particular para las operaciones, entre otras

muchas cosas ...

1.2. La semántica racional de los fenómenos

Además, los objetos matemáticos son organizadores esenciales de la semántica

racional de muchos fenómenos reales. Por ejemplo, las funciones nos organizan el

mundo de las dependencias elaborando significados sobre su linealidad.

En la clase de sexto estuvimos estudiando

la vuelta ciclista a España y recogimos

muchas anécdotas de nuestros alumnos

que nos ayudaron a entender esta última

afirmación. Un ejemplo sería la

conversación que se desarrolló en clase

cuando intentaron consensuar la

información que aportaba el gráfico que

aparece en la figura 1.

I Figura 1 I El problema fundamental de los niños fue acordar la

analogía que representaba la imagen. "Xavi (interpretando la información): Que el móvil 1

va a 20 Km/h y el móvil 2 va a 40 Km/h. Que el móvil uno va por un camino que todo es subida

y el móvil 2 va por un camino más largo en el que hay cuestas para arriba y rectas, por eso uno

va a 20 Km/ y el otro a 40 Km/h". Otros niños replican "Josn: Este gráfico no nos muestra el

terreno, nos muestra los Km; Joseph: Nos dice la pendiente; Joan: Es la velocidad, no el

terreno". En otros momentos la conversación deriva hacia el problema de consensuar

las predicciones que la imagen permite, como por ejemplo "Roben: El móvil 1pienso que

200190180170160150140130

:3 1201-----.= 110~ 100

~ ~7060

o

1/

GRÁFICA

.~.'

Hores

.,. Móbil1 .•.. Móbil2

2

si seguimos con las horas sabremos siempre dónde estará porque el gráfico nos da la

información de que sigue. El móvil 2 si seguimos no sabemos si seguirá o no porque el gráfico

no nos da ninguna información sobre si sigue o no"

La estadística nos organiza el mundo de las poblaciones permitiéndonos predecir

nuevos significados a partir de su distribución. O las operaciones aritméticas nos

organizan el mundo de las relaciones elaborando significados sobre los vínculos entre

las cantidades.

En la figura 2 tenemos una anécdota, vivida en clase de quinto, que nos muestra

, ,:¡.

Han representado una gráfica debarras para obtener gráficamente ladiferencia entre el mayor y el menor.Señalan en el gráfico la mitad de estadistancia y escogen como valor centralel peso de la distribución que está máspróximo: 40,8 Kg

Figura 2

claramente el papel semántica de la estadística. En la figura podemos ver el

procedimiento propuesto por dos niños del aula para calcular el peso "que pueda

representar o resumir los pesos de todos". En la clase surgieron otras posibilidades y

esta suscitó una buena controversia sobre su validez. Muchos no la aceptaban por que

no entendían el papel que jugaba, en el procedimiento de cálculo, la medida en cm de

la distancia entre el peso mayor y el menor. Se trata de un texto de sentido

procedimental y argumentativo para elegir un peso de la distribución del que puedan

estar seguros de su representatividad.

Por último, en la figura 3 podemos observar un texto escrito para calcular la

reciprocidad entre el precio de un sofá representado en euros y en pesetas. Los niños

~t~::t~~~~~:!2t'J~ Z,l.llp!t!.~(¡t<rI)~ $fJ.'{l ¡¡tt1

I Figura 3

3

Página 2 de 2

que han escrito este texto han utilizado en su cálculo la tabla de equivalencias que

aparecía en el folleto de propaganda de la casa de muebles.

Como se puede observar, el niño opera construyendo un modelo algebraico de las

reciprocidades que existen entre las operaciones que realiza en euros y las que realiza

en pesetas para asegurarse la validez de la equivalencia final que obtendrá entre los

dos precios totales.

En los tres casos, y podríamos señalar muchos más, los objetos matemáticos que

usan los niños y las niñas les permiten elaborar algún significado. En el primer caso, la

coherencia del movimiento y la predicción de las posiciones futuras del móvil, en el

segundo caso el significado de la distribución que representa el peso que escogen y

en el último ejemplo, la validez de la equivalencia final obtenida en un proceso de

construcción aritmética.

Pensemos ahora que estamos comprendiendo en clase cualquier problema actual

importante, por ejemplo temas ambientales como la energía, el agua, o los residuos.

Se puede fácilmente ver el valor de esta actividad matemática para entender el

presente, hacer predicciones y saber tomar decisiones personales, económicas y

políticas.

1.3. El derecho a la herencia cultural y el valor contextual de la actividadmatemática

Por lo tanto el derecho infantil a la educación es, también, el derecho a unos contextos

matemáticos de conocer que les permitan la construcción de relaciones vívidas de

significado entre las prácticas matemáticas y la realidad. Para conseguirlo, la vida que

se vive en el aula, en el conocer, tiene que estar tramada con acciones, expresiones y

temáticas matemáticas que permitan experimentar racionalmente la realidad y, al

mismo tiempo, el conocer debe desplegarse como si fuera el desenlace coherente

que consiguen las personas al conectar, en forma de diálogo, sus intenciones

explicativas.

Es decir, nuestro interés por el valor contextual de la actividad matemática se debe

entender como una consecuencia de nuestra preocupación por el bienestar, la

comunicación y la comunidad por un lado, y por el conocer matemático por el otro.

Porque nosotros vemos estas dos preocupaciones como las dos caras de una misma

moneda, aquella que representa, como dice Bishop, el valor que tiene la apertura, la

objetivación y la racionalidad en la educación crítica de los ciudadanos.

2. La vida social matemáticaLa vida matemática de las aulas no es una consecuencia directa ni de los problemas ni

de los recursos matemáticos sino de la forma particular cómo se conjugan en cada

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19/05/2005

f'

historia los elementos cognitivos, lingüísticos, sociales y contextuales que se ponen en

juego al conocer.

Por ejemplo, una noticia del periódico sobre las consecuencias que tiene el peso

exagerado de las mochilas escolares sobre la salud de las criaturas, puede dar lugar,

o no, a una vida de conocer matemática. Probablemente, para que ocurra es

necesario:

• En primer lugar, que los niños y las niñas se sientan comprometidos en

consensuar su forma de comprender si sus mochilas y sus costumbres son o

no saludables.

• En segundo lugar, que puedan, además, vivir racionalmente este proceso de

negociación de significados evaluando ellos mismos su pensamiento y

abriéndose a realidades nuevas.

• y en tercer lugar, que, para entender, se vayan desplegando en el aula un

sistema amplio de acciones, expresiones y temáticas matemáticas cuando se

intenta objetivar la información y controlar racionalmente su significado.

En nuestras clases de quinto y sexto de primaria, el uso de una balanza analógica

para pesar sus mochilas provocó conflictos y conversaciones sobre la equivalencia

entre los números y las líneas de la escala numérica del aparato y las unidades del

sistema de medidas; también sobre la precisión con la que se podía medir y los

sistemas numéricos adecuados para representar los pesos.

También en las dos clases la organización del peso de todas las mochilas en una tabla

de doble entrada, que relacionara este dato con cada uno de los niños y con los días

de la semana, permitió objetivar la distribución de los pesos diferenciando esta

información del dato individual de cada mochila. La tabla, al mostrar que la distribución

global de los pesos podía explicar, en su conjunto, si su comportamiento era o no

saludable, abrió el grupo al problema de inferir explicaciones de las distribuciones y a

considerar cómo se combinan entre ellos los horarios escolares y las costumbres de

cada niño para entender la diversidad de pesos que reflejaba la tabla.

2.1. Probablemente, no hay dos vidas matemáticas iguales

Los métodos que las dos clases utilizaron para hacer inferencias y el significado que

atribuyeron a la información nueva que obtenían fueron muy distintos, tal vez como

consecuencia de las diferencias cognitivas de los dos grupos y de las influencias

sutiles que cada una de las tutoras había ejercido sobre su clase.

El caso es que el mismo problema tejió dos maneras distintas de utilizar las

matemáticas para explicar el posible sentido de salud que había en sus costumbre de

portear la mochila. En los dos casos, las acciones y los signos matemáticos

permitieron una vivencia racional de este problema, y la elaboración de una respuesta

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para él, abriendo las puertas a la objetivación de los datos y al recurso de la

argumentación. Pero el significado concreto del procedimiento racional, es decir, la

naturaleza íntima de la explicación matemática, fue distinta en cada grupo.

Los niños y niñas de quinto utilizaron procedimientos gráficos casi exclusivamente,

como se puede ver en la figura 2, mientras que en sexto tuvieron mucho más éxito los

algebraicos; al mismo tiempo, mientras que en quinto buscaban valores centrales de la

distribución argumentando con la posición que ocupaban los pesos en su serie, en

sexto lo hacían equilibrando las cantidades de cada uno de ellos.

Cada historia matemática de conocer que se desplegó en nuestras aulas fue única y,

tal vez, irrepetible; pero conservando unos patrones en los acontecimientos que

permitieron a nuestras comunidades escolares elaborar matemáticamente significados

reales. Vamos a comentar cómo es este patrón porque nos muestra la manera cómo

se despliega la vida matemática cuando forma el contexto del conocer.

3. La naturaleza de la explicación matemáticaDesde la óptica de la semiótica social, la explicación matemática escolar es un

proceso social, basado en el diálogo, que se despliega con la intención de elaborar y

consensuar, racionalmente, significados posibles para la realidad. Se trata de un

contexto de conocer con identidad propia porque las personas realizan la mediación

lingüística de este proceso utilizando sistemas matemáticos de signos, ejecutando

acciones matemáticas significativas y organizando el diálogo con temáticas y materias

propias de las matemáticas.

• Siendo un proceso de interacción social, la explicación matemática no es

nunca un hecho puntual que se pueda reducir a una tarea concreta, si no que

se desarrolla a lo largo del tiempo y su cronología tiene un significado global,

explicador de lo que sucede, para las personas que participan. En este proceso

juegan un papel importante aquellas características que, aunque no son

propiamente matemáticas, son esenciales para determinar la calidad de todos

los procesos de interacción social: Por ejemplo, el estatus que ejercen las

personas, la predisposición a actuar, el compromiso que tengan con la

colaboración, el valor que otorgan a sus procesos y a sus productos, los

intereses ...

• Además es un proceso de naturaleza dialógica. Esto quiere decir que la

comunicación crea la dinámica significadora del proceso. Se siente, se actúa y

se piensa influyéndose unos a los otros utilizando sistemas de signos. Y esta

dinámica interactiva se utiliza para elaborar y compartir relaciones de

significado entre los lenguajes, los conceptos y la realidad. Se trata de

conversaciones que forman los argumentos de cada persona y que, además,

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permiten conectar los de cada uno entre sí convirtiendo a unos en los ecos de

los otros.

• Este proceso social dialógico es intencional porque está dirigido a consensuar

significados explicativos de la realidad y también está restringido, como nuestro

cuerpo está formado y restringido a la vez por nuestra piel, por la naturaleza

del registro matemático. Esto quiere decir que la conversación adquiere, al

mismo tiempo, identidad matemática y capacidad de elaborar significados; y

adquiere esta doble naturaleza matemática y semiótica como consecuencia de

que las intenciones de las personas operan al mismo tiempo que se adaptan,

durante el diálogo:

o a los sistemas conceptuales matemáticos que se usan en ella

o a los formatos que adquieren sus textos cuando se expresan

matemáticamente informaciones

o a las acciones matemáticas que se utilizan y a las temáticas que se han

seleccionado para que organicen el diálogo.

Como se puede ver, el contexto escolar de conocer que llamamos "explicación

matemática" es un sistema formado por un conjunto muy amplio de características.

Algunas de ellas, como la tolerancia o el sentimiento de participación, son propias de

los componentes personales; mientras que otras, como las cualidades de la

situación o las intenciones explicativas que persiguen las personas, son propias de los

componentes contextuales. Aún otras, como la forma que adquiere el habla o el

sistema conceptual que se esté usando, son propios de los componentes

lingüísticos o de los matemáticos.

La tolerancia y la libertad de pensar, por ejemplo, adquieren un valor especial cuando

las personas incluyen en estas competencias personales y sociales los sistemas de

signos matemáticos para comprender y consensuar. Al mismo tiempo, el uso de

recursos matemáticos, como por ejemplo las coordenadas o los sistemas numéricos,

también adquieren un valor especial cuando las personas incluyen en su empleo

deliberado sus intereses políticos, económicos o sociales.

y esto es así porque el contexto escolar que forma la actividad matemática es un

sistema adaptativo; es decir, el valor de contexto que adquieren las matemáticas es

una consecuencia de la conectividad que se pueda tejer entre los componentes

relacionales, situacionales y matemáticos de la vida del aula.

Dedicaremos el resto del artículo a mostrar la importancia que tiene la conecfividad

como propiedad fundamental del sistema contextual que forma la actividad

matemática. Para ello hemos escogido una acción matemática importante, la acción

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de expresar, y vamos a observar cómo su valor explicativo es una consecuencia de las

adaptaciones que forman su naturaleza semiótica.

4. La conectividad en la acción matemática de expresarComo ya es sabido, los estudiantes que llegan a comprender las expresiones

matemáticas y los significados que representan tienen en su poder un conjunto de

herramientas que expanden significativamente su capacidad para experimentar

racionalmente la realidad.

Ahora bien, la manera personal que tienen nuestros alumnos de expresar

matemáticamente algún fenómeno está muy relacionada con el significado concreto

con el que ellos intentan pensar, por lo que estas expresiones, aunque no sean

convencionales, forman su sistema matemático de expresarse y son fundamentales

para que los alumnos puedan realmente comunicar y consensuar con los compañeros

sus argumentos matemáticos. Esto ocurre tanto si las expresiones son escritas como

si son orales y en cualquiera de los formatos matemáticos posibles.

Hemos escogido la "conversación matemática" para observar algunas de las

adaptaciones profundas que crean la manera matemática de expresarse de nuestros

alumnos.

4.1. Un texto oral

La conversación matemática es un texto oral colectivo que puede desplegarse con

muchas finalidades matemáticas distintas: En el aula podemos hablar para diseñar

todos juntos sistemas de medir, para consensuar textos escritos de cálculo o

imágenes que puedan considerarse buenas analogías para representar ciertas

relaciones, para utilizar instrumentos geométricos asegurando el diseño de objetos o

de artefactos, para lograr construir modelos físicos que permitan entender un

fenómeno naturaL.. y tantas y tantas otras. Cada una de estas intenciones

matemáticas parece influir en las cualidades lingüísticas que adquiere la conversación

como texto oral.

Así, por ejemplo, si la conversación pretende consensuar alguna definición, la función

metalingüísfica del habla deja su huella dando carácter al diálogo porque los alumnos

lo utilizan para controlar las variables que abstraen de los fenómenos naturales y cómo

las utilizan para precisar su naturaleza. En cambio, cuando los alumnos pretenden

consensuar alguna información nueva, el diálogo adquiere un carácter propio del

registro que los lingüistas llaman estándar, porque los alumnos hablan para unificar

significados. Por lo tanto, la conversación de nuestros alumnos parece que cambia su

naturaleza lingüística, al mismo tiempo que se adapta a las intenciones matemáticas

de los hablantes.

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4.2. Definir

Por ejemplo veamos (figura 4) dos imágenes elaboradas por niños de quinto en el

desarrollo de una conversación que tenía por objetivo definir la velocidad. Cada una

representa, a través de una analogía, una naturaleza diferente de ella y la diversidad

de estas analogías nos permite observar la profundidad metalingüística que adquiere

el habla cuando los niños conversan para consensuarlas.

La primera imagen la hemos seleccionado de una documentación que aportó Elisabeth

Bosch de su aula de quinto del CEIP Pau Vila. Representa la velocidad a la que

volaría el Concorde en un viaje de New York a Barcelona. La segunda imagen la

hemos seleccionado de los trabajos del aula de quinto de nuestra escuela; la niña está

representando la velocidad a la que, según el periódico, un ciclista había recorrido una

de las etapas de la vuelta ciclista a España.

La recta de la primera imagen representa la distancia física que separa las dos

ciudades y sobre ella están marcados los espacios regulares que recorre el Concorde

I Figura 4

en cada unidad de tiempo. Cuando estos mismos niños elaboran un texto escrito para

definir la velocidad dicen: "La velocidad es el ritmo y la medida juntos, como por ejemplo el

globo cuando hace 7 m y 80 cm en 3 segundos, todo junto es el ritmo y la medida es 7 m y 80

cm y si sumamos e/ ritmo y /a medida es /a ve/ocidad".

En la segunda imagen también aparece una recta como analogía de la distancia

recorrida por el ciclista pero, además, se recoge información sobre el esfuerzo del

ciclista y se ignora cualquier referencia al tiempo, a pesar de que el periódico tan solo

explicaba el dato de la velocidad media y, naturalmente, en forma de una relación

entre el espacio y el tiempo. Esta imagen parece una buena analogía de esta otra

definición escrita que también apareció en el aula del Pau Vila: "La velocidad es una

medida de tiempo y espacio recorrido conjunto, todo se basa en la potencia, sinónimo de

fuerza. Sin potencia no hay ni espacio ni tiempo recorrido ... aunque estés quieto todavía tienes

velocidad y potencia, aunque no la hagas servir /a tienes. La velocidad se puede medir en

metros, centímetros etc por minuto o por segundo ... es el ritmo de las cosas".

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En la acción de definir el habla va adquiriendo un carácter de texto al mismo tiempo

que los niños diferencian las propiedades de los objetos y las de su movimiento y

experimentan con los atributos que este puede tener, abstrayendo la reciprocidad

métrica entre el espacio y el tiempo como el valor básico que determina la naturaleza

racional de la velocidad.

4.3. El hipertexto

Podemos comparar esta actividad matemática de explicar una definición con lo que

ocurrió en una de nuestras clases de sexto cuando los niños conversaron para "mirar,

estudiar, comentar", según sus palabras, una tabla de doble entrada que relacionaba

los pesos de las mochilas con cada uno de los niños y con los distintos días de la

semana.

En este caso, el proceso lingüístico de los niños estuvo claramente influenciado por la

estructura textual de la tabla que tenían delante. Si nosotros interveníamos haciendo

preguntas, la conversación se reducía a interpretar los elementos del texto en los que

habíamos centrado la atención del grupo. Pero si podíamos conseguir que los niños se

implicaran buscando información observábamos una dinámica muy interesante. Un

niño centraba la atención del grupo en algún sector del texto y nos parecía que la

conversación estaba centrada en elaborar un significado para él. En un momento

determinado, alguien "saltaba" a otro sector, y el esfuerzo se centraba entonces en la

semántica del nuevo elemento textual que habían elegido ..

Los elementos significativos del texto que se iban escogiendo cambiaban

continuamente de naturaleza. Unas veces eran elementos muy concretos (como el

peso de la mochila de un niño), otras veces mucho más generales (como la diferencia

entre los pesos del miércoles y del jueves, por ejemplo). Nos dio la impresión que esta

conversación iba dirigida a dotar de un significado hipertextual a la tabla, "lincando"

cada una de sus partes con las otras y con el todo.

Al mismo tiempo que se transformaba la naturaleza lingüística de la tabla a un

hipertexto, surgían temáticas y significados matemáticos de valor: La importancia de

considerar la amplitud de una distribución, la frecuencia de un suceso, el significado

estadístico de no venir a clase o de no traer mochila, o cómo encontrar un parámetro

que les permitiera relacionar distribuciones de diferente amplitud... Guillermo: Lo

sumamos todo y lo dividimos Miguel: iYo no quiero hacer divisiones! Maestra: ¿Qué

conseguiríamos saber haciendo esto? Marta: sabríamos el peso que habríamos traído dentro

de la mochila si todos la hubiéramos traído. Y sabremos los niños que no han traído mochila el

que habrían traído. Miquel: iPero Joan no ha traído mochila! Por tanto 21. Cambia mucho 21

que 22, cambia la cosa. Marta: Pero lo hemos de repartir entre todos... la cosa ha de ser

equilibrada. Que cada uno traiga lo mismo ...Y nos olvidamos de si uno trae 4,5 o 6 o 3,5. Todos

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igual. Y lo hacemos el lunes y el miércoles. Y sabremos el día que cada niño trae más.

Guillermo: Entonces será la media Miquel: No de todos, porque Joan no traía mochila.

También aparecen funciones metalingüísticas. En nuestro ejemplo, para consensuar

qué significaba "la media": Georgina:¿Qué es hacer la media? Marta: No lo se. La mitad del

más alto y del más bajo. No lo se explicar. Georgina: Suena a mitad de cualquier cosa, media

parte. Esther: ¿A qué te lleva la media? Porque si ya está en medio, da lo mismo. Maestra:

¿Dónde nos puede llevar? Marta: Es saber lo que trae la clase en general. Si uno trae mucho y

el otro no, no toda la clase trae poco o mucho. Mira, si uno trae 6 y el otro 2, la clase no trae ni

mucho ni poco, trae una media de 3. Maestra(después de otras intervenciones): ¿Se puede

calcular? Esther: Sí, pero es difícil porque hay muchos números.

Así, pues, también las conversaciones matemáticas, como todos los textos orales, son

muy sensibles a los cambios en las intenciones que puedan tener cada uno de los

hablantes y a la manera cómo eligen sus formas de expresarse de acuerdo con sus

significados personales.

Con frecuencia las frases están llenas de informaciones implícitas y se usan tanto las

palabras o las imágenes como los gestos o las miradas ...Esta naturaleza tan poco

"científica", pero tan lingüística, de la conversación es muy importante cuando la

estamos usando como un contexto matemático del conocer; porque su valor, como

contexto, depende de las adaptaciones dinámicas que se puedan producir entre las

temáticas matemáticas y las intenciones, las expresiones y los significados de los

hablantes.

Ocurre algo parecido con otros formatos matemáticos. La imagen, por ejemplo,

adquiere valor semiótica conectando sus naturalezas analógica y matemática o las

herramientas vinculando sus significados procedimentales y matemáticos. Siempre, la

conectividad entre las personas y las matemáticas, y no la jerga científica, es el dato

fundamental para entender el valor que las matemáticas pueden adquirir, en un

momento dado, como contexto escolar del conocer.

5. ConclusionesNos habíamos propuesto, al empezar este artículo, hablar de la enseñanza de las

matemáticas desde la perspectiva del valor que tiene la comunicación y la

racionalidad. Y hemos subrayado el papel significadar que adquiere la actividad

matemática escolar cuando se puede desplegar como un proceso social semiótica

bien fundamentado basado en la conectividad.

5.1. La equ ldad en el conocer

Hemos visto que la actividad matemática puede jugar un papel contextualizador de

primer orden en las historias de conocer que se viven en las aulas. Pero esta

afirmación es solo media verdad. La otra parte, que ha ido surgiendo muchas veces a

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lo largo del artículo sin que la hayamos dejado tomar forma, es la importancia que

también tiene el conocer como contexto básico de la actividad matemática.

Tal vez, la enseñanza clave que podemos obtener, cuando reflexionamos sobre la

educación matemática desde el valor, consiste simplemente en tomar conciencia de

esta doble naturaleza de significados y de contextos recíprocos que tienen los

recursos matemáticos y el conocer. Esto quiere decir que la actividad matemática

adquiere valor solamente cuando existe una equidad entre ella y los saberes de las

personas; y entre las personas y las comunidades en las que conviven cuando

aprenden.

5.2. Cambiar las metáforas para encontrar nuevas soluciones

La reflexión sobre la educación matemática desde estas coordenadas podría aportar

soluciones efectivas a los problemas actuales que tenemos con la calidad de los

aprendizajes. Pero exige que consideremos la vida matemática de nuestras aulas

rompiendo con algunas metáforas profesionales que han sido claves, durante mucho

tiempo, en nuestros argumentos.

En primer lugar, es necesario romper con la metáfora clásica de las matemáticas

vistas como un edificio a construir para percibirlas como una red interactiva de valiosos

recursos culturales en la que tenemos que incluir a nuestros alumnos. Es decir, se

trata de reflexionar sobre la escuela con la visión de las matemáticas como sistemas

culturales y funcionales de expresiones y de significados conceptuales, que incluyen

los contextos en los que es adecuado aplicarlos y las formas sociales de utilizarlas

para comprender la realidad.

En segundo lugar también debemos cortar con el modelo del docente que utiliza su

discurso (incluyendo materiales manipulativos) con la intención de trasladar

conocimientos ya elaborados a la mente de sus alumnos para consensuar otros

patrones de enseñanza que sean adecuados para mediar matemáticamente en los

procesos comunicativos del aula.

5.3. El valor del conocer infantil

Como reflexión final nos gustaría dedicar unas líneas más a nuestros alumnos para

subrayar el valor que poseen como actores matemáticos creativos. Nosotros hemos

aprendido mucho de ellos, de su manera de pensar y, también de sus dificultades y de

la potencialidad que tienen en usar recursos matemáticos para comprender el mundo y

compartir estos significados. También queremos subrayar lo importante que es

devolver las producciones al grupo y el valor que adquiere el diálogo posterior, así

cómo la fuerza que tiene una pregunta oportuna en el momento oportuno.

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Es lógico que terminemos hablando de nuestros alumnos, ya que es posible convertir

las matemáticas en un contexto de conocer valioso porque pueden actuar como

conocedores sutiles y matemáticos de las cosas.

"Maestra: ¿Qué es el metro cuadrado?Eduarad: Por ejemplo la clase, la pared de un lado, de otro, y de otro y de otro(va señalando) todo el cuadrado de la clase.Alan: Por ejemplo, una pared da 15 metros, la otra 15 metros, la otra 15 metros yla otra 15 metros. Todas las paredes han de ser igualesEduard: En mi casa hay dos paredes más largas que las otras dos y hace 2.200metros cuadrados. No tienen que ser iguales para hacer 1metro cuadrado.Andreu: ¿Para hacer un metro cuadrado? Es imposible, porque no puede sertriangulo ni rectángulo"(Joana Florit, La superficie, cuarto de primaria)

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BibliografíaBishop, A. (1991): La encúlturecion matemática. Barcelona, Paidos, 1999Bosch, E. (2000): Diario de aula: Los aviones. Manuscrito sin publicar, CEIP Pau Vila,Esparraguera (Barcelona)Florit, J. (2002): Diario de aula: la superficie. Manuscrito sin publicar. CP PintorTorrent, Ciutadella (Menorca)Fort, E. Villanueva, 1. Comas, N. Gallego, C (2002): Si los Tintín y los Milú queríanviajar a la luna ... ¿Por qué se encontraron haciendo matemáticas? Kikiriki Revista deCooperación Educativa, Diciembre 2002Godino,J (2000): Significado y comprensión de los conceptos matemáticos. Uno, 25 pp77-88 Julio-Septiembre 2000NCTM (2002): Princlples and standards WWW.NCTM.orgPuig, L (1997): Análisis fenomenológico. En VVAA La educación matemática en laenseñanza secundaria. Barcelona, ICE UB- HorsoriVVAA (2001): Contextos culturales para la enseñanza de las matemáticas I y 11.Aulade Innovación educativa números 103-104 y 107 Julio-Agosto y Diciembre 2001

Carlos Gallego: Profesor de didáctica de las matemáticas FPCEE Blanquerna. UrlSeminario La cultura matemática de las personas. ICE UABhttp://www.blues.uab.es/ice/matematica/DNI 39636068 tf 932533000 angelcarlosgl@blanquerna.url.es

Francisca Rodriguez Anglada. C.P. Pintor Torrent, Ciutadella (Menorca) tf 971383800fmrodriguez@educacio.caib.es

Francesca Roman Camping C.P. Pintor Torrent, Ciutadella (Menorca) tf 971383800fjroman@educacio.caib.es

Línea de investigación: Enculturación matemática

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