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Matemática Básica Un enfoque desde la Transposición

Didáctica

Esta obra ofrece una forma distinta de explicar algunos conceptos de

la matemática. El enfoque presentado aquí podría ser útil para

estudiantes de ingeniería o educación.

2017

Derwis Rivas Olivo

Departamento de Cálculo. Facultad de Ingeniería. ULA 27/01/2017

Introducción Desde sus inicios, la matemática, se ha mantenido en una constante

evolución. Cada vez son más sus aportes hacia otras ciencias y cada vez

más aumenta su campo de estudio. Resulta una tarea titánica

emprender el camino que concluya en llegar a la cima de éste

conocimiento socialmente construido a lo largo de la historia de la

humanidad. No obstante, contrario a esta tarea, la actividad que

significa conocer la forma como sus objetos más básicos se comportan,

satisfacen propiedades y operan entre ellos, es una tarea que se puede

llevar a cabo sin mayores complicaciones. Darle al lector una

orientación hacia el desarrollo de esta actividad es el objetivo

fundamental de este trabajo.

Por ende, lo que el lector encontrará no trata sobre la construcción

teórica de los objetos que hacen vida en la matemática. En lugar de eso,

encontrará un breve repaso que comprende gran parte de la esencia de

los conceptos de la artimética, el álgebra, la geometría analítica y el

cálculo infinitesimal desde el punto de vista de sus operaciones y

propiedades, que le permitirá hacerse de un conocimiento sobre los

fundamentos prácticos que hacen vida en estos conceptos.

Se trata en lo posible, a lo largo de todas las explicaciones, emplear un

discurso informal, menos técnico, tratando, y repito en lo posible, de

darle al discurso matemático cierto rostro humano que le permita al

lector adueñarse de los objetos matemáticos aquí presentados en su

forma simple y útil en sus operaciones y propiedades. Por esta razón, se

busca de este modo, alejarlo del técnicismo propio de la matemática que

impide, en la mayoría de los casos, a quienes no están formados en

dicha ciencia, adueñarse de la misma para tales propósitos.

Por lo tanto, en este trabajo no se ofrece un contenido matemático para

hacer investigación en ella, sino para conocer los conceptos, propiedaes

y operaciones básicas y la forma de hacer uso de ellas. Se trata

entonces, de emplear un discurso basado en la Transposición Didáctica.

Si bien es cierto que al hacerlo se pierde cierta generalidad en los

conceptos emitidos, también es cierto que se gana cierta comprensión,

aunque local, de tales conceptos. Se espera que el lector, en el

transcurrir del tiempo en contacto con la matemática, logre aprender

aquellas generalidades que en el momento no logró aprender. Tal como

ha ocurrido con la humanidad desde el inicio de la matemática.

Desde sus primeros pasos, la matemática no es ni fue lo que hoy día

conocemos como matemática. Esta ciencia incomprendida por muchos,

nace por la necesidad del hombre de cuantificar casi todas sus

actividades diarias; la agricultura, el comercio, la economía familiar,

etc. Cada civilización (egipcios, chinos, romanos, indúes, griegos) le

impregnó a la matemática cierto valor cultural propio de sus creencias,

de la forma de observar el Mundo y las fuerzas que en él se manifiestan.

Así por ejemplo, para los egipcios la existencia del número negativo o

del cero era practicamente imposible, ya que para ellos el número

estaba intimamente relacionado a la cantidad y la medida. Por otro

lado, para los indúes la existencia de números negativos representaba

un hecho muy normal y aceptados por todos, ya que para ellos el

número positivo representaba el “bien” la “fuerza positiva” y el número

negativo representaba el “mal” la “fuerza negativa opuesta a la positiva”.

Los indúes afirmaban que al encontrarse dos “fuerzas” de igual

magnitud pero opuestas (el “mal” vs el “bien”) se obtenía el “equilibrio”,

se obtenia el número cero.

Se debe a los griegos que la matemática se conozca hoy día como la

conocemos. En su mundo de ideas, y por darle sentido a la vida: dónde

se encuentra el ser, la existencia de lo puro, de lo único, de lo

indivisible, impregnaron a la matemática de Leyes y Propiedades e

hicieron de ella una Ciencia que se contruye a partir de axiomas,

postulados, teoremas, colorarios. Esto, permitió que la matemática

creciera e impregnó al Mundo de ella. El aporte de los griegos fue muy

beneficioso para el crecimiento de la misma, el único error y no lo

cometieron los griegos, fue suponer que para aprender matemáticas se

debe comenzar por aprender todos sus axiomas, postulados, teoremas,

leyes… que explican cómo ella funciona, en lugar de mostrar sus

operaciones desde el punto más básico, para luego, en el tiempo,

desarrollar esas competencias que permite ver en ella la necesidad de

tener que plantear toda esa estructura logica para poder generalizar sus

operaciones, sus propiedades. Dicho esto, no queda otra cosa que

presentar el contenido de este trabajo. Esta obra comprende cinco

capitulos:

Capítulo 1: Números, operaciones y propiedades. Comprende una

breve explicación acerca de la forma como se fue extendiendo el

conjunto de los números, partiendo desde los naturales, hasta llegar a

los números reales. En el paso de cada uno se detallan sus operaciones

y propiedades fundamentales y se muestra la inconveniencia que cada

uno presenta en ciertas operaciones. Este capítulo también contempla

conceptos como el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor,

potenciación-propiedades y radicación-propiedades. De modo que este

primer capítulo brinda la base teórica-práctica necesaria para entender,

sin mayores complicaciones, el contenido de los siguientes capítulos.

Capítulo 2: Polinomios, Ecuaciones e Inecuaciones. Inicia con una

breve presentación acerca de los métodos más usuales empleados para

factorizar polinomios en el campo de números reales. También se ofrece

una breve descripción del significado que tienen los polinomios

irreducibles en dicho campo. Con ello, se ofrece al lector un conjunto de

herramientas fundamentales para adentrarse al estudio de las

ecuaciones e inecuaciones. En el caso de las ecuaciones, se estudian

únicamente tres tipos de ecuaciones: lineal, cuadrática y cúbica. En lo

que respecta a las inecuaciones, el estudio se dirige a presentar los

diversos medios que permiten obtener el conjunto solución de una

inecuación.

Capítulo 3: Funciones reales de variable real. En este capítulo se

trata el concepto que abre la puerta al estudio del cálculo diferencial e

integral: las funciones. Su importancia obliga a presentar

detenidamente este concepto, razón que nos impulsa a estudiar

previamente tres conceptos que dan el inicio a la geometría analitica: el

plano cartesiano, las ecuaciones de la recta y las cónicas. En la base de

estos conceptos se muestra el concepto de función y se presenta una

familia de funciones que constituyen las llamadas funciones

elementales. Se estudia el gráfico de una función y el algebra de

funciones. Finaliza con el estudio de la función inversa.

Capítulo 4: Límite y Continuidad. En este capítulo se abre la puerta

al cálculo diferencial. Se estudia el concepto de límite desde dos

enfoques: geométrico y analítico y se aborda el estudio de las

indeterminaciones. En lo que respecta a la continuidad, se estudia la

continuidad en un punto y en un intervalo. Este capítulo finaliza con el

estudio del algebra de las funciones continuas.

Capítulo 5: Derivada y diferencial. Se aborda el estudio de la derivada

en un punto y la función derivada, donde se analiza el modo de obtener

la función derivada como resultado de la implementación de un proceso

algebraico basado en un conjunto de leyes y propiedades. Basados en

este procedimiento se estudia la derivada de una función definida

implícitamente y las derivadas de orden superior hasta llegar a la

formulación de la derivada n-ésima de una familia de funciones. Este

capítulo concluye con el cálculo de diferenciales y valores aproximados.

Indice general

1. Los numeros, operaciones, propiedades 51.1. Los Numeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Los Numeros Enteros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Los Numeros Racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.1. Suma o Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.2. Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.3. Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4. Los Numeros Irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.1. El numero π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.2. El numero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5. Los Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5.1. Decimales y Fraccion Generatriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.6. Potenciacion y Radicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6.1. Potenciacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6.2. Radicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2. Polinomios, productos notables y factorizacion 432.0.3. Productos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.0.4. Factorizacion en el Campo Real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.0.5. Polinomios Irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.1. Ecuaciones Polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.1.1. Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.1.2. Ecuaciones Cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.1.3. Ecuaciones de grado mayor o igual a 3 . . . . . . . . . . . . . . 612.1.4. Teorema de la Factorizacion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.2. Inecuaciones y Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.2.1. Relacion de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.2.2. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.2.3. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.2.4. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.2.5. Ecuaciones con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.2.6. Inecuaciones con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3. Funciones Reales de Variable Real 913.1. Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.2. Ecuaciones de la Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.3. Conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.4. Funciones. Definicion y Clasificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

1

2 Prof. Derwis Rivas Olivo INDICE GENERAL

3.5. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.5.1. Funciones a partir de una Conica . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.5.2. Dominio Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.6. Catalogo de Funciones Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.6.1. Funciones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.6.2. Funciones Transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.6.3. Funcion Definida por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.7. Grafica de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1533.7.1. Traslaciones Verticales y Horizontales . . . . . . . . . . . . . . . 1533.7.2. Reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.7.3. Estiramiento y Compresion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

3.8. Algebra de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1643.8.1. Operaciones entre funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1643.8.2. Calculo de forma analıtica del dominio de una funcion . . . . . 1673.8.3. Composicion de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

3.9. Funcion Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1763.9.1. Funciones Biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1763.9.2. Funcion Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

3.10. Funciones como Modelos Matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

4. Lımite y Continuidad 1914.1. Lımite de una funcion en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

4.1.1. Lımites Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1934.1.2. Calculo de Lımites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1964.1.3. Lımite Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2024.1.4. Lımite al Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2084.1.5. Formas Indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

4.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2374.2.1. Continuidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2374.2.2. Continuidad en intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2434.2.3. Algebra de Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

5. Derivada y Diferencial 2515.1. Derivada de una funcion en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

5.1.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2515.1.2. Interpretacion geometrica de la derivada . . . . . . . . . . . . . 2535.1.3. Derivada y Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

5.2. La Funcion Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2615.2.1. Derivada de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . 2635.2.2. Calculo de Derivadas: Diferenciacion. . . . . . . . . . . . . . . . 2665.2.3. Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

INDICE GENERAL Prof. Derwis Rivas Olivo 3

5.2.4. Notacion de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2845.3. Diferenciacion Implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

5.3.1. Derivacion Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2935.3.2. Derivada de la Funcion Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2955.3.3. Razon de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

5.4. Derivadas de Orden Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3015.4.1. Velocidad y aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3025.4.2. Derivada enesima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

5.5. Diferenciales y valores aproximados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3095.5.1. Aproximacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3095.5.2. Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3125.5.3. Aplicaciones de la diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

Capıtulo 4Lımite y Continuidad

4.1. Lımite de una funcion en un punto

Queremos estudiar la nocion de lımite de una funcion de variable real en un puntoa, es decir, abordar el siguiente problema: dada una funcion f : A ⊂ IR −→ IR y elpunto a (el cual no necesariamente pertenece al dominio A de la funcion), ¿cual es elcomportamiento de los valores f(x) (imagenes) cuando los valores de x se aproximana a?. Para precisar esto, observemos las siguientes situaciones:

a

f(a)

x a+

x a+

x a-

f(x)

f(x)

Situación 2

x a+

x a+

x a- a

L

f(x)

f(x)

Situación 1

L

En la Situacion 1 podemos ver que la funcion f no esta definida en a, es decir a nopertenece al dominio de la funcion. Sin embargo, cuando los valores de x se aproximana a por la derecha (se denota: x → a+ y se lee x tiende a a por la derecha); las imagenesf(x), de estos valores, se aproximan a un numero L. Ası mismo, las imagenes f(x) seaproximan a L cuando x → a−. De modo que las imagenes tienden a un unico valor Lcuando x se aproxima a a, bien sea; por la derecha o por la izquierda.

En la Situacion 2 las imagenes no tienen el mismo comportamiento, a pesar que lafuncion esta definida en a. Notemos que cuando x tiende a a por la derecha (x → a+) lasimagenes f(x), de estos puntos, se aproximan a un valor L. Mientras que las imagenesf(x), cuando x → a−, se aproximan a f(a) 6= L. Por lo tanto las imagenes no tiendena un unico valor.

Como se puede notar estas situaciones muestran, por lo menos, dos maneras distintascomo se pueden comportar las imagenes cuando la variable x se aproxima a un numeroa. En el caso, en que las imagenes f(x) se aproximen a un unico valor L cuando losvalores de x se aproximan a a, lo expresamos diciendo que la funcion tiene lımite y estelimite es precisamente el numero real L.

Precisemos lo antes dicho en la siguiente definicion.

191

Material descargado desde la web del profesor de la Universidad de Los Andes Mérida – Venezuela. Autoría del

Profesor Derwis Rivas Olivo http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/derivas/apuntes.html

192 Prof. Derwis Rivas Olivo Capıtulo 4. Lımite y Continuidad

Definicion 4.1 (No rigurosa de lımite en un punto a)Sea f una funcion definida en un intervalo abierto que contiene al punto a, exceptoposiblemente en el mismo punto a. Diremos que el lımite de f(x) cuando x tiende a a

es el numero L, y escribimos

lımx→a

f(x) = L,

si cuando x se aproxima a a, pero sin llegar a ser a, f(x) se aproxima a un unico

valor L.

Calculo de lımites usando la grafica de la funcion

Es posible apoyarnos en el grafico de la funcion para determinar el comportamiento delas imagenes cuando la variable se aproxima a un numero dado. Veamos el siguienteejemplo.

Ejemplo 4.2 Determina lımx−→2

x2 − 4

x− 2

Solucion. Graficamos la funcion f(x) =x2 − 4

x− 2. Para ello recordemos el procedi-

miento aplicado en el Ejercicio 7 en la Seccion de Ejercicios Resueltos del Capıtulo2.

f(x) =x2 − 4

x− 2=

(x− 2)(x+ 2)

x− 2= x+ 2 si x 6= 2.

x 2- 2

4

f(x)

f(x)

x 2+

2

Como puede notarse en la figura adjunta, lasimagenes se aproximan a 4 bien sea cuandox se aproxima a 2 por la derecha, ası comotambien, cuando x se aproxima a 2 por la iz-quierda. Entonces 4 es el lımite de la funcioncuando x se aproxima a 2. Esto es,

lımx−→2

x2 − 4

x− 2= 4.

Calculo de lımites usando una tabla de valores

Algunas veces no es posible obtener el grafico de una funcion aplicando las tecnicasestudiadas en el Capitulo anterior. En estos casos, para calcular el lımite de talesfunciones es conveniente construir una tabla de valores; en donde se muestran quevalores tiene f(x) para x cercanos al punto. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4.3 Halla lımx−→3

[√x+ 1 +

√2x+ 3

]



4.1. Lımite de una funcion en un punto Prof. Derwis Rivas Olivo 193

Solucion. Consideremos la funcion f(x) =√x+ 1+

√2x+ 3 y los siguientes valores

para x a la derecha e izquierda de 3.

3

3,01 3,1 3,3 3,5

x 3+

2,992,92,72,5

x 3-

Cuando x se aproxima a 3 por la derecha la funcion toma los valores:

x 3,5 3,3 3,1 3,01 3,001f(x) 5,283 5,172 5,057 5,005 5,0005

Por otro lado, cuando x se aproxima a 3 por la izquierda la funcion toma los valores:

x 2,5 2,7 2,9 2,99 2,999f(x) 4,699 4,821 4,941 4,994 4,9994

La informacion que se muestra en ambas tablas apunta a la siguiente conclusion: f(x)se aproxima a 5 cuando x se aproxima a 3. Por lo tanto,

lımx−→3

[√x+ 1 +

√2x+ 3

]= 5

4.1.1. Lımites Laterales

Para hallar el limite de una funcion en un punto a nos aproximamos a a por amboslados, por la derecha y por la izquierda. Si nos aproximamos a a solo por un lado, biensea, por la derecha o por la izquierda tendrıamos un lımite lateral.

Definicion 4.4 (No rigurosa de lımites laterales)Sea f una funcion definida en un intervalo abierto que contiene al punto a, exceptoposiblemente en el mismo punto a.

Si al acercarnos por la derecha de a, los valores que toma f(x) se aproximan a unvalor L, decimos que existe el lımite lateral derecho de la funcion f en el puntoa y lo denotamos

lımx→a+

f(x) = L.

Analogamente, si nos acercamos a a por la izquierda y los valores de f(x) tiendena un valor L, decimos que existe el lımite lateral izquierdo de la funcion f en elpunto a y lo denotamos

lımx→a−

f(x) = L.




Existe una interesante conexion entre el lımite de una funcion en un punto y sus lımiteslaterales, tal conexion se muestra en el siguiente teorema.

Teorema 4.5 El lımite de una funcion f en un punto a existe y vale L si, y solo silos limites laterales existen y ambos valen L. Esto es

lımx→a

f(x) = L ⇔ lımx→a+

f(x) = L y lımx→a−

f(x) = L.

Observacion 4.6 Con este Teorema podemos decir que en la Situacion 2, presentadaal inicio de este capıtulo, la funcion f en el punto a no tiene lımite; ya que los lımiteslaterales no son iguales.

lımx→a+

f(x) = L y lımx→a−

f(x) = f(a).

Ejemplo 4.7 Considera la siguiente funcion f definida de la siguiente manera

1

2

-1

3 4-p/2

Calcula, si existen, los siguientes lımites.

1) lımx→0

f(x) 2) lımx→3

f(x) 3) lımx→4

f(x) 4) lımx→π/2

f(x)

Solucion.

1) Como lımx→0+

f(x) = −1 y lımx→0−

f(x) = 0, entonces lımx→0

f(x) no existe.

2) Analogamente, lımx→3

f(x) no existe ya que lımx→3+

f(x) = 0 y lımx→3−

f(x) = 2.

3) En este caso lımx→4+

f(x) = 1 y lımx→4−

f(x) = 1. Por lo tanto, lımx→4

f(x) = 1.

4) Analogamente, lımx→π/2

f(x) existe y vale 1 ya que lımx→π/2+

f(x) = 1 y lımx→π/2−

f(x) = 1.

Ejemplo 4.8 ¿Existe lımx→2

|x− 2|x− 2

?.




Solucion. Para responder esta pregunta nos apoyaremos en el grafico de la funcion.Claramente la funcion no esta definida en x = 2. De la definicion de valor absolutotenemos

f(x) =|x− 2|x− 2

=

x− 2

x− 2, si x− 2 > 0;

−(x− 2)

x− 2, si x− 2 < 0.

=

{1, si x > 2;−1, si x < 2.

Por lo tanto el grafico de f corresponde a la siguiente figura

2

1

-1

Notemos que

lımx→2+

f(x) = 1 y lımx→2−

f(x) = −1

lo que significa que lımx→2

|x− 2|x− 2

no existe.

Ejercicios Propuestos Nº 1

Usa el grafico de la funcion para determinar el valor de los siguientes lımites.

1) lımx→4

√x+ 1 2) lım

x→2

x3 − 8

x− 23) lım

x→3x2 + 2

4) lımx→1

x2 − 2x+ 1

x− 15) lım

x→3

x− 3

x2 − 96) lım

x→−3ex+3

Determina el valor de los siguientes lımites usando una tabla de valores.

1) lımx→1

√x− 1

x− 12) lım

x→0

ex − 1

x3) lım

x→0

ln(x+ 1)

x

4) lımx→0

sen x

x5) lım

x→0

sen x− x cosx

sen x6) lım

x→1

xex−1

x+ 1

Considera la funcion f definida por

1

-1

-4 p 2p




Usa los lımites laterales para decidir si existen los siguientes lımites

lımx→−4

f(x) , lımx→0

f(x) , lımx→π

f(x) y lımx→2π

f(x).

Que puede decir acerca de la existencia de los siguientes lımites.

1) lımx→0

|x|x

2) lımx→−2

|x+ 2|x+ 2

3) lımx→1

|x2 − 1|x− 1

4.1.2. Calculo de Lımites.

Lımite de las funciones elementales

Un breve vistazo a la grafica de cada una de las funciones elementales nos garantizaque si a pertenece al dominio de la funcion, entonces:

1. lımx→a

k = k (el lımite de la funcion constante es la constante).

2. lımx→a

x = a.

3. lımx→a

x2 = a2 y lımx→a

x3 = a3. En general,

lımx→a

xn = a2 donde n es un numero natural.

4. lımx→a

√x =

√a y lım

x→a

3√x = 3

√a. En general,

lımx→a

n√x = n

√a donde n es un numeros natural.

5. lımx→a

|x| = |a|.

6. lımx→a

1

x=

1

ay lım

x→a

1

xn=

1

an. En general,

lımx→a

1

xn=

1

andonde n es un numero natural.

7. lımx→a

logb(x) = logb(a). En particular, lımx→a

ln(x) = ln(a).

8. lımx→a

bx = ba. En particular, lımx→a

ex = ea.




9. lımx→a

sen(x) = sen(a) 10. lımx→a

cos(x) = cos(a)

11. lımx→a

tan(x) = tan(a) 12. lımx→a

senh(x) = senh(a)

13. lımx→a

cosh(x) = cosh(a) 14. lımx→a

tanh(x) = tanh(a)

15. lımx→a

arc sen(x) = arc sen(a) 16. lımx→a

arc cos(x) = arc cos(a)

17. lımx→a

arctan(x) = arctan(a)

Hasta ahora para calcular lımites nos apoyamos en el grafico de la funcion o en una tablade valores. Un resultado fundamental en la teorıa de los lımites nos dice que el procesode tomar lımites respeta las operaciones elementales del algebra. Es decir, el limite deuna suma, diferencia, producto y cociente de funciones es igual a la suma, diferencia,producto y cociente de los lımites de cada funcion. Este resultado nos proveera de unmetodo que nos facilitara el calculo de lımites.

Teorema 4.9 (Algebra de Lımites)Si existen numeros reales L y M tales que

lımx→a

f(x) = L y lımx→a

g(x) = M,

entonces:

1. lımx→a

cf(x) = c lımx→a

f(x) = cL donde c es un numero real.

2. lımx→a

[f(x)± g(x)] = lımx→a

f(x)± lımx→a

g(x) = L±M.

3. lımx→a

[f(x) · g(x)] = lımx→a

f(x) · lımx→a

g(x) = L ·M

4. lımx→a

[f(x)

g(x)

]=

lımx→a

f(x)

lımx→a

g(x)=

L

M, si M 6= 0.

Ejemplo 4.10 (Lımite de una funcion polinomica)Consideremos la funcion polinomica

f(x) = b0 + b1x+ b2x2 + · · ·+ bnx

n.

Queremos calcular el valor de lımx→a

f(x). Haciendo uso de la parte 1 y 2 del Teorema

4.9 y de los lımites de las funciones elementales tendremos:

lımx→a

(b0 + b1x+ b2x2 + · · ·+ bnx

n) = lımx→a

b0 + lımx→a

b1x+ lımx→a

b2x2 + · · ·+ lım

x→abnx

n

= b0 + b1 lımx→a

x+ b2 lımx→a

x2 + · · ·+ bn lımx→a

xn

= b0 + b1a+ b2a2 + · · ·+ bna

n = f(a).




De modo que si f(x) es una funcion polinomica, entonces

lımx→a

f(x) = f(a).

Ejemplo 4.11 (Lımite de una funcion racional)Consideremos la funcion racional

g(x) =P (x)

Q(x)=

b0 + b1x+ b2x2 + · · ·+ bnx

n

c0 + c1x+ c2x2 + · · ·+ cmxm.

Queremos calcular el valor de lımx→a

g(x). Haciendo uso de la parte 4 del Teorema 4.9 y

del ejemplo anterior tendremos:

lımx→a

b0 + b1x+ b2x2 + · · ·+ bnx

n

c0 + c1x+ c2x2 + · · ·+ cmxm=

lımx→a

(b0 + b1x+ b2x2 + · · ·+ bnx

n)

lımx→a

(c0 + c1x+ c2x2 + · · ·+ cmx

m)

=b0 + b1a+ b2a

2 + · · ·+ bnan

c0 + c1a+ c2a2 + · · ·+ cmam=

P (a)

Q(a),

este resultado tendra sentido si Q(a) 6= 0. Por lo tanto, si g(x) =P (x)

Q(x), entonces

lımx→a

g(x) = g(a) =P (a)

Q(a)siempre que Q(a) 6= 0.

Ahora tenemos herramientas muy valiosas que nos permitiran calcular algunos lımitessin necesidad de apoyarnos en la grafica de la funcion o en una tabla de valores.

Ejemplo 4.12 Determina el valor de los siguientes lımites.

1) lımx→2

(4x3 − 7x2 + 5x− 10) 2) lımx→−1

3x3 − 4x+ 1

x2 + 2x− 1

3) lımx→π/2

[sen(x) + cos(x)] 4) lımx→0

x2 + 3 cos(x)− ex

x3 + ex + 4

Solucion.

1) Usaremos el Ejemplo 4.10.

lımx→2

(4x3 − 7x2 + 5x− 10) = 4(2)3 − 7(2)2 + 5(2)− 10 = 32− 28 + 10− 10 = 4.

2) Usaremos el Ejemplo 4.11.

lımx→−1

3x3 − 4x+ 1

x2 + 2x− 1=

3(−1)3 − 4(−1) + 1

(−1)2 + 2(−1)− 1=

−3 + 4 + 1

1− 2− 1=

2

−2= −1.




3) Aplicaremos la parte 2 del Teorema 4.9 y los lımites de las funciones elementales.

lımx→π/2

[sen(x) + cos(x)] = lımx→π/2

sen(x) + lımx→π/2

cos(x) = sen(π/2) + cos(π/2) = 1.

4) Aplicaremos la parte 1, 2 y 4 del Teorema 4.9 y los lımites de las funciones elemen-tales.

lımx→0

x2 + 3 cos(x)− ex

x3 + ex + 4=

lımx→0

[x2 + 3 cos(x)− ex

]

lımx→0

[x3 + ex + 4

]

=lımx→0

x2 + lımx→0

3 cos(x)− lımx→0

ex

lımx→0

x3 + lımx→0

ex + lımx→0

4

=02 + 3 lım

x→0cos(x)− e0

03 + e0 + 4

=3 cos(0)− 1

1 + 4=

2

5


Utiliza el lımite de las funciones elementales, el Teorema 4.9 y los ejemplos 4.10 y 4.11para encontrar el valor de los siguientes lımites.

1) lımx→−1

(x5 − 3x4 + 6x3 − 2x+ 5) 2) lımx→2

(1

2x4 +

3

4x2 + 9

)3) lım

x→3

2x − 6

log3 x− 5

4) lımx→0

x3 − 2x2 + 6x− 3

6x4 − 6x3 + 3x− 75) lım

x→1

ln x− arctan x

3(x2 − 2x+ 3)6) lım

x→π/2

1 + sen x

2− csc x

7) lımx→27

√x+

√3

9x+ log3(x) 8) lım

x→−2

3x3 + 25

x2 + 8x− 99) lım

x→0ex cos x

10) lımx→100

log x

(3

2log(x)− 10

)11) lım

x→0

5x cothx

1 + 3 sen x12) lım

x→2

1 + x√x

x√x− 1

Lımite de una funcion compuesta

Un vistazo a los lımite calculados hasta el momento nos muestra que el calculo dedichos lımites se reduce al calculo de lımites de funciones elementales. La siguienteproposicion nos brinda un metodo para calcular lımites de funciones compuestas.




Proposicion 4.13 Si lımx→a

g(x) = b y lımt→b

f(t) = f(b) donde t = g(x) cuando x −→ a,

entonceslımx→a

f(g(x)) = f(b) = f(lımx→a

g(x)).

Ejemplo 4.14 Aplica las diferentes propiedades estudiadas hasta ahora para calcularlos siguientes lımites.

1) lımx→2

√x+ 1

x2 + 12) lım

x→1

(1 + ln(x))3 + 23√7x+ 1

3) lımx→0

[arctan(x3 + 1) + ln2

(x2 + e2

x+ e

)]4) lım

x→π[sen(x/2) + cos(2x)]2+tan(x)

5) lımx→−1

[√1− 3x

x2 + 5− e6x3−2

]6) lım

x→0

[(x2 + 4x− 3) sec(π − x2)

]

Solucion. Resolveremos los cuatro primeros, los dos ultimo quedaran como ejercicio.

1) Usaremos la Proposicion 4.13 y el Ejemplo 4.11

lımx→2

√x+ 1

x2 + 1=

√lımx→2

x+ 1

x2 + 1=

√3

5.

2) Usaremos la parte 2 y 4 del Teorema 4.9 y la Proposicion 4.13.

lımx→1

(1 + ln(x))3 + 23√7x+ 1

=lımx→1

[(1 + ln(x))3 + 2

]

lımx→1

[3√7x+ 1

] =lımx→1

(1 + ln(x))3 + lımx→1

2

3

√lımx→1

(7x+ 1)

=

(lımx→1

(1 + ln(x)))3

+ 2

3√7(1) + 1

=

(1 + lım

x→1ln(x)

)3+ 2

3√8

=(1 + ln(1))3 + 2

2=

3

2.

3) Usaremos la parte 2 del Teorema 4.9 y la Proposicion 4.13.

lımx→0

[arctan(x3 + 1) + ln2

(x2 + e2

x+ e

)]= lım

x→0arctan(x3 + 1) + lım

x→0ln2

(x2 + e 2

x+ e

)

= arctan(lımx→0

(x3 + 1)) +

[lımx→0

ln

(x2 + e2

x+ e

)]2

= arctan(1) +

[ln

(lımx→0

x2 + e 2

x+ e

)]2

= π/4 + [ln(e)]2 = 1 + π/4.




4) Usaremos la parte 2 del Teorema 4.9 y la Proposicion 4.13.

lımx→π

[sen(x/2) + cos(2x)]2+tan(x) = lımx→π

[sen(x/2) + cos(2x)]lımx→π

(2 + tan(x))

=[lımx→π

sen(x/2) + lımx→π

cos(2x)]2+ lım

x→πtan(x)

= [1 + 1]2+0 = 22 = 4.


Determina el valor de los siguientes lımites aplicando paso a paso cada una de laspropiedades estudiadas en esta seccion (ver Ejemplo 4.14).

1) lımx→4

[sen(x− 3)

x+ 2

∣∣∣∣x+ 2

x

∣∣∣∣e1

x2−15

]2) lım

x→−2arctan

[3x2 + 1

6x− 3

]

3) lımx→0

[√4x2 + 3 + 3

√5x3 + 27− 5

√243− x3

]4) lım

x→0

25x−3 + 2x2+9x−2

1 + 4x−2

5) lımx→−π/2

(sen2 x− 3 sen x+ 1

4 sen2 x+ 1

) sen x+ 1

2 cosx+ 36) lım

x→3

31−x − 3

1 + 2−(x−1)

7) lımx→0

[log3

(1− 2 cos2 x

x2 + 7x− 3

)]x2 + 1

x+ 28) lım

x→π/2

tan(2x) + csc(3x)

1 + sen2 x

9) lımx→0

[log2

(x2 + 2

4− 3x2

)+ log2

(1 + 7x− 9x2

7x2 + 9x+ 4

)]10) lım

x→−1

5

√6− 3x2 + 7x

9x2 + 7x− 3

11) lımx→2

[cosh(3x+ 2) + senh(7x− 3)] 12) lımx→−2

x3

√6x2 + 2

x2 + 2

13) lımx→0

arctan(2x+ 1)

5 sen(x− π/2)14) lım

x→π

cos(3x) + 5e sen(2x)

3x+ ln(1 + tan(2x))

15) lımx→2

(3x− 1

5x2 + 3

)x2+3

16) lımx→0

[ln(x2 + 1)− e3x3+7x

]

17) lımx→3

|x− 3| sen(x+ 1)

(x+ 1)(x− 3)18) lım

x→1

(x− 1) ln(2x+ 1)

|x− 1|




4.1.3. Lımite Infinito

Consideremos una funcion f cuya representacion grafi-ca puede observarse en la figura adjunta. Observando lagrafica de f notamos que si x se aproxima a a por laderecha, los valores de f(x) se hacen cada vez mas pe-quenos, es decir, la imagen para estos valores de x tiendea −∞. Esto es,

lımx→a+

f(x) = −∞.

Analogamente, cuando x se aproxima a a por la izquier-da, los valores de f(x) se hacen cada vez mas grandes,es decir, f(x) tiende a +∞. Lo que significa,

lımx→a−

f(x) = +∞.

a

f(x)®

+¥

f(x)®

-¥

Este comportamiento de las imagenes alrededor del punto a motiva la siguiente defini-cion.

Definicion 4.15 (No rigurosa de lımite infinito)Consideremos una funcion f : D ⊂ IR −→ IR. Diremos que el lımite de f es +∞( o −∞), si cada vez que x se aproxime a un numero fijo a (por la derecha o por laizquierda) las imagenes f(x), para dichos valores de x, crece indefinidamente (o decreceindefinidamente).

Observacion 4.16 Es importante aclarar que el simbolo ∞ no es un numero, por lotanto carece de sentido operar con el. Este simbolo es usado para denotar cantidadesmuy grandes (+∞) o cantidades muy pequenas (−∞). En el contexto de los lımites,el simbolo ∞, se usa para describir como varian las imagenes de algunas funcionescuando x se aproxima a un punto.

Ejemplo 4.17 Calcula lımx→−1

2

x+ 1.

-1X

Y Solucion. En la figura adjunta se muestrala grafica de la funcion f(x) = 2

x+1. De modo

que

lımx→−1+

2

x+ 1= +∞

lımx→−1−

2

x+ 1= −∞




Ejemplo 4.18 Calcula lımx→4

x+ 1√x− 2

Solucion. No tenemos herramientas para representar la funcion f(x) = x+1√x−2

. Demodo que para calcular el lımite echaremos mano de la propiedad 4 del Teorema 4.9.

lımx→4

x+ 1√x− 2

=lımx→4

x+ 1

lımx→4

√x− 2

Como el lımite en el numerador resulta 5 y el lımite en el denominador es 0, no podemosusar el teorema antes mencionado para hallar el valor de este lımite. Vamos a calculareste lımite usando una tabla de valores.

Cuando x se aproxima a 4 por la derecha tenemos los siguientes valores.

x 4,5 4,3 4,1 4,01 4,001 4,0001f(x) 45,33 71,96 205,26 2005,25 20005,24 200005,28

Observe como la imagen crece indefinidamente a medida que x se aproxima a 4por la derecha. Es decir,

lımx→4+

x+ 1√x− 2

= +∞.

Cuando x se aproxima a 4 por la izquierda tenemos los siguientes valores.

x 3,5 3,7 3,9 3,99 3,999 3,9999f(x) -34,83 -61,46 -194,76 -1994,75 -19994,74 -199994,72

Notemos que la imagen decrece indefinidamente a medida que x se aproxima a 4por la izquierda. Es decir,

lımx→4−

x+ 1√x− 2

= −∞.

A continuacion enunciaremos algunas proposiciones las cuales nos proporcionan algunosmetodos para el calculo de lımites infinitos.


f(x) = L 6= 0 y lımx→a

g(x) = 0, entonces lımx→a

f(x)

g(x)= ∞. En

particular,

a. Si L > 0 y g(x) → 0 mediante valores positivos de f , entonces lımx→a

f(x)

g(x)= +∞.




b. Si L > 0 y g(x) → 0 mediante valores negativos de f , entonces lımx→a

f(x)

g(x)= −∞.

c. Si L < 0 y g(x) → 0 mediante valores positivos de f , entonces lımx→a

f(x)

g(x)= −∞.

d. Si L < 0 y g(x) → 0 mediante valores negativos de f , entonces lımx→a

f(x)

g(x)= +∞.

Ejemplo 4.20 Vamos a calcular lımx→4

x+ 1√x− 2

usando la Proposicion 4.19.

Solucion. Como lımx→4

(x + 1) = 4 y lımx→4

(√x − 2) = 0 se trata de un lımite infinito.

Por otro lado, para x > 4 (x a la derecha de 4) la funcion g(x) =√x− 2 toma valores

positivos y para x < 4 (x a la izquierda de 4) la funcion g(x) =√x − 2 toma valores

negativos. Entonces

lımx→4

x+ 1√x− 2

= ∞ ⇒

lımx→4+

x+ 1√x− 2

= +∞,

lımx→4−

x+ 1√x− 2

= −∞.


f(x) = ±∞ y lımx→a

g(x) = L, donde L es una constante,

entonces

a. lımx→a

[f(x)± g(x)] = ±∞.

b. lımx→a

[f(x)g(x)] = ∞, siempre que L 6= 0. En particular,

Si L > 0, entonces lımx→a

[f(x)g(x)] = ±∞.

Si L < 0, entonces lımx→a

[f(x)g(x)] = ∓∞.

Ejemplo 4.22 Calcular lımx→2+

[1− x2

x− 2+ sen(x2 + 1)

]

Solucion. Primero expresamos el lımite como una suma de lımites

lımx→2+

[1− x2

x− 2+ sen(x2 + 1)

]= lım

x→2+

1− x2

x− 2︸︷︷︸I

+ lımx→2+

sen(x2 + 1)︸︷︷︸

II

.

Luego calculamos cada lımite por separado




Calculo de I: Aplicaremos la Proposicion 4.19. Como lımx→2+

1−x2 = −3 y lımx→2+

x−2 =

0, se trata de un lımite infinito. Ademas, para x > 2 (x a la derecha de 2) la funciong(x) = x− 2 toma valores positivos, entonces

lımx→2+

1− x2

x− 2= −∞.

Calculo de II: Este lımite es inmediato a partir de la Proposicion 4.13.

lımx→2+

sen(x2 + 1) = sen(22 + 1) = sen(5).

Por lo tanto, de la Proposicion 4.21

lımx→2+

[1− x2

x− 2+ sen(x2 + 1)

]= −∞.


[(x2 + 1) ln(x− 1)

].

Solucion. Expresamos el lımite como un producto de lımites

lımx→1+

[(x2 + 1) ln(x− 1)

]= lım

x→1+(x2 + 1)

︸︷︷︸I

· lımx→1+

ln(x− 1)︸︷︷︸

II

.

Calculamos cada uno por separadoCalculo de I: Este lımite es inmediato a partir de la Proposicion 4.13

lımx→1+

(x2 + 1) = 12 + 1 = 2.

Calculo de II: Para calcular este lımite nos apoyamos en larepresentacion grafica de la funcion g(x) = ln(x−1). La figuraadjunta muestra la grafica de f . De modo que

lımx→1+

ln(x− 1) = −∞.

1

Por lo tanto, de la Proposicion 4.21 lımx→1+

[(x2 + 1) ln(x− 1)

]= −∞.

Proposicion 4.24

a. Si lımx→a

f(x) = +∞ y lımx→a

g(x) = +∞, entonces

lımx→a

[f(x) + g(x)] = +∞.




lımx→a

[f(x)g(x)] = +∞.

b. Si lımx→a

f(x) = −∞ y lımx→a

g(x) = −∞, entonces

lımx→a

[f(x) + g(x)] = −∞.

lımx→a

[f(x)g(x)] = +∞.

c. Si lımx→a

f(x) = +∞ y lımx→a

g(x) = −∞, entonces lımx→a

[f(x)g(x)] = −∞.

Ejemplo 4.25 Calcular lımx→π/2

[tan(x) + sec(x)].

Solucion. Expresamos el lımite como una suma de lımites

lımx→π/2

[tan(x) + sec(x)] = lımx→π/2

tanx

︸︷︷︸I

+ lımx→π/2

sec(x)

︸︷︷︸II

Nos apoyaremos en el grafico de las funciones para determinar el valor de dichos lımites.

Y

X-p/2 3 /2pp/2-3 /2p 2pp-p-2p

1

-1

Y

X-p/2 3 /2pp/2-3 /2p 2pp-p-2p

Al observar las graficas notamos que el calculo de estos lımites debe hacerse, por unlado; cuando x se aproxima a π/2 por la derecha, y por otro lado; cuando x se aproximaa π/2 por la izquierda.

lımx→π/2+

tan(x) = −∞ y lımx→π/2+

sec(x) = −∞.

Por lo tanto, de la parte b. de la Proposicion 4.24 tenemos:

lımx→π/2+

[tan(x) + sec(x)] = −∞.




Por otro lado,

lımx→π/2−

tan(x) = +∞ y lımx→π/2+

sec(x) = +∞.

Por lo tanto, de la parte a. de la Proposicion 4.24 tenemos:

lımx→π/2−

[tan(x) + sec(x)] = +∞.

Proposicion 4.26 Sean f y g funciones tales que

lımx→x0

f(x) = +∞ y lımx→x0

g(x) = −∞.

Entonces:

a. Si 0 < a < 1 entonces lımx→x0

af(x) = 0

b. Si a > 1 entonces lımx→x0

ag(x) = 0

c. lımx→x0

arctan(f(x)) =π

2y lım

x→x0

arctan(g(x)) = −π

2

d. lımx→x0

tanh(f(x)) = 1 y lımx→x0

tanh(g(x)) = −1

e. lımx→x0

coth(f(x)) = 1 y lımx→x0

coth(g(x)) = −1

f. lımx→x0

sech(f(x)) = 0 y lımx→x0

sech(g(x)) = 0

g. lımx→x0

csch(f(x)) = 0 y lımx→x0

csch(g(x)) = 0


arctan

[4x+ 1

x− 1

].

Solucion. Notemos que lımx→1+

4x+ 1

x− 1=

lımx→1+

(4x+ 1)

lımx→1+

(x− 1). Como el numerador resulta 5 y

el denominador resulta 0 tenemos entre manos un lımite infinito. Ademas, g(x) = x−1toma valores positivo cuando x → 1+, entonces

lımx→1+

4x+ 1

x− 1= +∞.

Por lo tanto, de la Proposicion 4.26 tenemos

lımx→1+

arctan

[4x+ 1

x− 1

]=

π

2.





Usa el grafico de la funcion para determina el valor de los siguientes lımites.

1) lımx→3

2

(x− 3)22) lım

x→−4

(1

x+ 4+ 2

)3) lım

x→−1

(2

(x+ 1)2+ 3

)

4) lımx→3

ln(x+ 3) 5) lımx→2+

log1/2(x− 2) 6) lımx→1+

2 + log2(x− 1)

7) lımx→−2

−3

(x+ 2)28) lım

x→−3log3 |x+ 3| 9) lım

x→2− ln |x− 2|

Usa una tabla de valores para determinar el valor de los siguientes lımites.

1) lımx→1

2x+ 1

x− 12) lım

x→9

x− 10√x− 3

3) lımx→−2

ln |x2 − 4|

Utiliza las Proposiciones 4.19, 4.21, 4.24 y 4.26 para calcular los siguientes lımites.

1) lımx→1+

[3x2 + 1

(x− 1)2cos(x2 − 1)

]2) lım

x→3arctan

[√x2 + 3

x− 3

]

3) lımx→−4

(1

2

)1− 3x2

4 + x4) lım

x→1/3

[6 + x3

1− 3x+ ln (3x+ 1)

]

5) lımx→1

coth

[4x2 + 1

x− 1

]x3+1

6) lımx→1

√x+ 5e−1/|x2−1|

7) lımx→−5

arctan

[ −3

x+ 5

] x+ 1

2x+ 88) lım

x→−1

3√4 + xe3/x+1

9) lımx→3

sech

(√x+ 3

x− 3

)10) lım

x→−1+

[ln(x+ 1) + ln(x2 − 1)

]

11) lımx→1−

3

√4

x− 1+

3

√2x2

x2 − x

12) lım

x→π

[tan(x2

)+ cos

(3x

2

)]

4.1.4. Lımite al Infinito

En la figura adjunta, tenemos que si x cre-ce indefinidamente o lo que es igual tiende a+∞ (x → ∞), los valores de f(x) se acercana 1, es decir, f(x) tiende a 1.

1

x ® +¥

f(x)




Este comportamiento de las imagenes se precisa con la nocion de lımite y lo concretamoscon la siguiente expresion:

lımx→+∞

f(x) = 1.

Cuando x → ∞ y las imagenes f(x) se aproximan a un valor se puede generalizar pormedio de la siguiente definicion.

Definicion 4.28 (No rigurosa de lımite al infinito)Consideremos una funcion f : D ⊂ IR −→ IR. Diremos que la funcion f tiene un lımiteal infinito si toda vez que x tiende a ∞ (+∞ o −∞) las imagenes f(x) se aproximana un valor L. Esto es:

lımx→+∞

f(x) = L o lımx→−∞

f(x) = L.

Observacion 4.29 Para que tenga sentido investigar si una funcion f tiene o nolımite al infinito es necesario que el dominio D de la funcion sea de la forma: D = IR,D = [x0,+∞), D = (x0,+∞), D = (−∞, 0], D = (−∞, 0). De otra forma, no sepuede tomar la variable hacia el infinito.

Ejemplo 4.30 ¿Cuales de las siguientes funciones tiene lımite al infinito?

1) f(x) =1

x2 + 1+ 2 2) G(x) =

coth(x), si x < 0;x2, si 0 ≤ x ≤ 1;(12

)x+ 1, si x > 1.

3) g(x) = x2 + 2 4) h(x) =√4− x2

Solucion. En cada caso nos apoyaremos en el grafico de la funcion para responderesta pregunta.

1) El grafico de la funcion puede verse en la figuraadjunta. Por lo tanto

lımx→+∞

1

x2 + 1+ 2 = 2

lımx→−∞

1

x2 + 1+ 2 = 2

De modo que la funcion f tiene lımite al infi-nito en los dos casos: cuando x tiende a +∞y cuando x tiende a −∞.

2

f(x)f(x)

x ® +¥x ® -¥

3




2) En el grafico de la funcion podemos que:

lımx→+∞

G(x) = 1

lımx→−∞

G(x) = −1

De modo que la funcion G tiene lımite al infi-nito en los dos casos: cuando x tiende a +∞y cuando x tiende a −∞.

-1

1

10

3) En el grafico de la funcion podemos ver que cuando x tien-de a +∞ las imagenes crecen indefinidamente. El mis-mo comportamiento de las imagenes se observa cuandox tiende a −∞. Por lo tanto,

lımx→+∞

g(x) = +∞

lımx→−∞

g(x) = +∞

De modo que la funcion g NO tiene lımite al infinito.

4) En virtud de la Observacion 4.29 y del grafico de la funcionpodemos inducir que no tiene sentido investigar si lafuncion tiene o no lımites al infinito ya que Dom(h) =[−2, 2]. 2-2

2

Ejemplo 4.31 Calcular lımx→∞

22−x3

.

Solucion. No tenemos tecnicas que nos ayuden a graficar la funcion f(x) = 22−x3.

De modo que para carcular este lımite usaremos una tabla de valores.

1) Primero investigemos el comportamiento de las imagenes cuando x tiende a +∞.

Para x = 2 tenemos f(2) = 22−(2)3 = 7, 8x10−3

Para x = 4 tenemos f(4) = 22−(4)3 = 1, 08x10−19

Con estos dos valores es suficiente para inferir que las imagenes tienden a cerocuando x tiende a +∞. Es decir,

lımx→+∞

22−x3

= 0.

2) Ahora investigemos el comportamiento de las imagenes cuando x tiende a −∞.

Para x = −2 tenemos f(−2) = 22−(−2)3 = 512




Para x = −4 tenemos f(−4) = 22−(−4)3 = 3, 6x1019

Con estos dos valores es suficiente para inferir que las imagenes tienden a +∞cuando x tiende a −∞. Es decir,

lımx→−∞

22−x3

= +∞.

Lo que significa que la funcion f(x) = 22−x3no tiene limite al infinito cuando

x → −∞.

Por lo tanto,

lımx→∞

22−x3 ⇒

lımx→+∞

22−x3

= 0,

lımx→−∞

22−x3

= +∞.

Durante el desarrollo de capitulo hemos querido hacer notar, y esperamos que se hayanotado, que el calculo de lımites se basa en tres tecnicas muy bien definidas: Usando elgrafico de la funcion, usando una tabla de valores y usando propiedades y proposicionesque fundamentan el comportamiento general de algunos lımites.

A continuacion presentaremos una serie de proposiciones que nos ayudaran a determi-nar cuando una funcion tiene o no limite al infinito.

Proposicion 4.32 Sea P (x) = anxn+an−1x

n−1+· · ·+a1x+a0 una funcion polinomialy consideremos los siguientes casos:

a. Si el grado n es par, entonces

lımx→±∞

[anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0] =

{+∞, si an es positivo;−∞, si an es negativo.

b. Si el grado n es impar y an es positivo, entonces

lımx→+∞

[anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0] = +∞

lımx→−∞

[anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0] = −∞

c. Si el grado n es impar y an es negativo, entonces

lımx→+∞

[anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0] = −∞

lımx→−∞

[anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0] = +∞

En conclusion, el limite al infinito de una funcion polinomial no existe.




Ejemplo 4.33 Calcular lımx→+∞

[1− 2x2 + 3x3 − 5x5]

Solucion. De la Proposicion 4.32 se deduce rapidamente

lımx→+∞

[1− 2x2 + 3x3 − 5x5] = −∞.

Proposicion 4.34 Sean f y g funciones tales que lımx→±∞

f(x) = L y lımx→±∞

g(x) = ±∞,

entonces

lımx→±∞

f(x)

g(x)= 0.


1

x2 + 1+ 2

Solucion. Usaremos las proposiciones 4.34 y 4.32. En efecto,

lımx→+∞

1

x2 + 1+ 2 = lım

x→+∞

[1

x2 + 1

]+ lım

x→+∞2

=lım

x→+∞1

lımx→+∞

(x2 + 1)+ 2 = 0 + 2 = 2.

Observacion 4.36 Las proposiciones 4.19, 4.21, 4.24 y 4.26, presentadas en la seccionanterior, tambien son validas si sustituimos x → a y x → x0 por x → +∞ o x → −∞.

Ejemplo 4.37 Utiliza las propiedades para calcular los siguientes lımites.

1) lımx→−∞

[ex3+5x−2 + coth(3x2 + 8x− 1)

]2) lım

x→+∞

[(x3 − 4) arctan(4− x5)

]

Solucion. Solucion de 1

lımx→−∞

[ex3+5x−2 + coth(3x2 + 8x− 1)

]= lım

x→−∞ex3+5x−2 + lım

x→−∞coth(3x2 + 8x− 1)

Aparte,

lımx→−∞

(x3 + 5x− 2) = −∞ lo que implica lımx→−∞

ex3+5x−2 = 0

lımx→−∞

(3x2 + 8x− 1) = +∞ entonces lımx→−∞

coth(3x2 + 8x− 1) = 1

Por lo tanto, lımx→−∞

[ex3+5x−2 + coth(3x2 + 8x− 1)

]= 0 + 1 = 1.

Solucion de 2

lımx→+∞

[(x3 − 4) arctan(4− x5)

]= lım

x→+∞(x3 − 4) lım

x→+∞(arctan(4− x5))

Aparte




lımx→+∞

(x3 − 4) = +∞.

Como lımx→+∞

(4− x5) = −∞ se sigue que lımx→+∞

(arctan(4− x5)) = −π/2.

De modo que lımx→+∞

[(x3 − 4) arctan(4− x5)

]= +∞.


Usa la grafica de la funcion para determinar el valor de los siguientes lımites.

1) lımx→+∞

[e−3x + 1

]2) lım

x→∞

2

x2 + 13) lım

x→∞

3

(x+ 3)2

4) lımx→∞

(3

4

)x+3

5) lımx→+∞

ln(x− 6) 6) lımx→∞

(cothx+ 1)

7) lımx→∞

arctan(x+ 3) 8) lımx→+∞

√x2 + 1 9) lım

x→+∞

x+ 1

x− 2

Usa una tabla de valores para calcular el valor de los siguientes lımites.

1) lımx→+∞

√x2 + 1

x+ 12) lım

x→+∞ln

(x+ 3

x− 2

)3) lım

x→−∞

x2 + 1

2x2 + 3

Usa las Proposiciones 4.32 y 4.34 para calcular los siguientes lımites (ver Ejemplo 4.37).

1) lımx→−∞

[3√x2 + 1− 3

√x3 + 7

]2) lım

x→+∞

[arctan(1− x2)− arctan(x2 + 3x− 1)

]

3) lımx→∞

[ln(x2 + 3) + ln(3x2 − 1)

]4) lım

x→∞earctan(x3+1)

5) lımx→∞

coth(7x− 3)

(1

5

) 4−2x2

5

6) lım

x→+∞

[sen

(1

3x2 + 1

)+ cos

(2

x2 + 1

)]

7) lımx→∞

arctan[coth(2x3 + 9x2 − 3)

]8) lım

x→−∞

[√1 + x2 +

√x2 + 4

]

9) lımx→∞

arctan3√1 + x5 10) lım

x→∞coth

[1 + x2 − 3x3

]2+ 1x+1

11) lımx→∞

sen

(π

2+

3

x2 + 3

)12) lım

x→∞ex3+7x−3 cos

(2π +

4

x2 − 1

)

13) lımx→−∞

log1/2

(4

2+

3

x3 + 3x− 1

)14) lım

x→+∞arctan

[1 + 2x2 − 7x3

]4+ 3x2+7

15) lımx→−∞

ln[e4+ 6

3x2+5

]




4.1.5. Formas Indeterminadas

Indeterminacion de la forma 0

0

Sean f , g funciones tales que lımx→a

f(x) = 0 y lımx→a

g(x) = 0, entonces al tratar de

calcular el lımx→a

f(x)

g(x)usando el Teorema 4.9 nos llevaria a la expresion 0

0, la cual no da

informacion acerca de la existencia del lımite. Por tal razon, se dice que este lımite esindeterminado de la forma 0

0o que el lımite es de la forma indeterminada

00.

Para saber el valor de estos lımites, en caso que exista, debemos “evitar” la indeter-minacion, la cual se logra por medio de metodos algebraicos. Sin embargo, es buenorecalcar que el grafico de la funcion o una tabla de valores son siempre efectivos paracalcular el lımite de cualquier funcion sin importar la indeterminacion.A continuacion desarrollaremos algunos metodos algebraicos que nos ayudaran a evitaruna indeterminacion de la forma 0

0.

Funciones Racionales.

Recordemos que una funcion racional en una funcion de la forma f(x) =P (x)

Q(x)donde

P (x) y Q(x) son polinomios de grado n y m, respectivamente. Supongamos que ellımite

lımx→a

P (x)

Q(x)(4.1)

tiene una indeterminacion de la forma 00. Esto ocurre solo si

lımx→a

P (x) = P (a) = 0 y lımx→a

Q(x) = Q(a) = 0

lo cual indica que el numero a es raız de ambos polinomios. Entonces por el Teoremadel Resto (Teorema referencia) existen polinomios R(x) y S(x) tales que

P (x) = (x− a)R(x) y Q(x) = (x− a)S(x).

Volviendo al lımite 4.1, tenemos:

lımx→a

P (x)

Q(x)= lım

x→a

(x− a)R(x)

(x− a)S(x)= lım

x→a

R(x)

S(x)=

R(a)

S(a).

La cancelacion que ocurre en la segunda igualdad es posible porque x 6= a, ya que xtiende a a, es decir x se aproxima a a sin tomar el valor de a. Si al evaluar los polinomiosR(x) y S(x) en x = a resultara nuevamente la indeterminacion 0

0volvemos a aplicar el

Teorema del resto.




Ejemplo 4.38 Calcular lımx→3

x3 − 3x2 + 2x− 6

x3 − 3x2 − 5x+ 15

Solucion. Este es un lımite indeterminado de la forma 00. Aplicamos el Teorema del

Resto

1 -3 2 -63

1 0 2 0

3 0 6

x -3x +2x-6 = (x-3)(x +2)3 2 2

1 -3 -5 153

1 0 -5 0

3 0 -15

x -3x -5x+15 = (x-3)(x -5)3 2 2

Por lo tanto

lımx→3

x3 − 3x2 + 2x− 6

x3 − 3x2 − 5x+ 15= lım

x→3

(x− 3)(x2 + 2)

(x− 3)(x2 − 5)= lım

x→3

x2 + 2

x2 − 5=

32 + 2

32 − 5=

11

4.

Observacion 4.39 Otra manera de evitar la indeterminacion en este tipo de lımites esfactorizando ambos polinomios usando tecnicas de factorizacion en lugar del Teoremadel Resto.

x3 − 3x2 + 2x− 6 = x2(x− 3) + 2(x− 3) = (x− 2)(x2 + 2)

x3 − 3x2 − 5x+ 15 = x2(x− 3)− 5(x− 3) = (x− 3)(x2 − 5)

Luego,

lımx→3

x3 − 3x2 + 2x− 6

x3 − 3x2 − 5x+ 15= lım

x→3

(x− 3)(x2 + 2)

(x− 3)(x2 − 5)= lım

x→3

x2 + 2

x2 − 5=

32 + 2

32 − 5=

11

4.


En cada caso determine el valor de a que hace posible que el lımite exista y determineel valor de cada lımite.

1) lımx−→2

ax3 − 5x− 7a

x3 + 5x2 − 15x+ 22) lım

x−→3/2

8ax3 + 16x‘2− 9a

4x2 − 8x+ 3

Determina el valor de los siguientes lımites, en caso que exista.

1) lımx−→a

3x3 + 2x2 − 3a2x− 2a2

3x2 − 3ax+ 2x− 2a2) lım

x−→−3

2x4 − 21x2 + 27

2x3 + 3x2 − 9x

3) lımx−→−2

x3 + 2x2 − 4x− 4

−2x3 − 8x2 − 8x4) lım

x−→1/2

x

1− x− 1− x

x1− x

x− x

1− x




1) lımx−→1

x− 1

2x− x2 + 2

x− x− 2

x+ 1

2) lımx−→1+

3

√x2 − 1

x2 − 2x+ 1

3) lımx−→2+

log1/2

(x2 − 3x+ 2

x2 − 4x+ 4

)4) lım

x−→3+

(x3 − 3x2 + x− 3

x2 − x− 6

) 3− x

x2 − 6x+ 9

5) lımx−→0+

[ln(x2 + x)− ln(2x2 + 3x)

]6) lım

x−→2+arctan

(√x− 2

x− 2

)

7) lımx−→3

e

(x− 3)2 + x− 3

x2 − 9 8) lımx−→3

x3 − 27a3

x2 − 9a2

9) lımx−→a

ax2 − a2x+ 5ax− 5a2

x4 − 25x2 − a2x2 + 25a210) lım

x−→a

x3 + ax2 + ax− 2a2x− a2

x3 − a3

11) lımx−→0

(3x− 1

2x+ 3

)2

12) lımx−→1

4

2x− 2

x

13) lımx−→2

(3

√x+ 2

x− 1

)x+ 1

2x14) lım

x−→0

2x3 − x2

4x2 − 3x

15) lımx−→1

x2 − 3x+ 2

x2 + x− 216) lım

x−→z

z3 − yz2 − zx2 + yx2

xy + xz − zy − z2

17) lımx−→−2

x3 + 7x2 + 16x+ 12

x3 + x2 − 8x− 1218) lım

x−→−b

x3 + 2bx2 + 2b2x+ b3

x3 + b3

19) lımx−→−a

x2 + ab+ ax+ bx

x2 + ax− ab− bx20) lım

x−→−1

x3 + 4x2 + 5x+ 2

x3 − 3x− 2

Funciones Irracionales.

Consideremos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 4.40 Calcular lımx→−2

x+ 2√x+ 2

Solucion. Claramente se trata de un lımite indeterminado de la forma 00. Para evitar

esta indeterminacion introducimos el factor x + 2 en el radical y luego simplificamospara obtener el valor del lımite.

lımx→−2

x+ 2√x+ 2

= lımx→−2

√(x+ 2)2

x+ 2= lım

x→−2

√x+ 2 = 0.





3√(x2 − 9)2

x− 3.

Solucion. Tenemos un lımite indeterminado de la forma 00. Para evitar la indetermi-

nacion y calcular el valor del lımite aplicamos el procedimiento anterior.

lımx→3

3√

(x2 − 9)2

x− 3= lım

x→3

3

√(x2 − 9)2

(x− 3)3= lım

x→3

3

√[(x− 3)(x+ 3)]2

(x− 3)3

= lımx→3

3

√(x− 3)2(x+ 3)2

(x− 3)3= lım

x→3

3

√(x+ 3)2

x− 3

Llegamos al final a un lımite infinito. Como el numerador es siempre positivo y eldenominador es; positivo para x > 3, negativo para x < 3. Entonces

lımx→3

3√

(x2 − 9)2

x− 3= lım

x→3

3

√(x+ 3)2

x− 3⇒

lımx→3+

3

√(x+ 3)2

x− 3= +∞

lımx→3−

3

√(x+ 3)2

x− 3= −∞

Si la expresion con radicales es un binomio, para evitar la indeterminacion 00, usaremos

la tecnica de la conjugada para racionalizar la expresion con radicales. Aca es necesarioconsiderar dos casos: binomio de raıces cuadradas, binomio de raıces cubicas.

Caso I: Raıces Cuadradas

En el caso de un binomio de raıces cuadradas aplicaremos la factorizacion

a2 − b2 = (a− b)(a+ b)

para racionalizar el binomio. En este caso a+b representa la conjugada de la expresion.


√x2 + 3− 2x

x2 + 7x− 8

Solucion. Tenemos una indeterminacion de la forma 00. La expresion con radicales

que debemos racionalizar aparece en el numerador. Si hacemos a =√x2 + 3 y b = 2x, la

conjugada es√x2 + 3+2x. Multiplicamos numerador y denominador por la conjugada




y aplicamos las propiedades para resolver el lımite.

lımx→1

√x2 + 3− 2x

x2 + 7x− 8= lım

x→1

(√x2 + 3− 2x)(

√x2 + 3 + 2x)

(x2 + 7x− 8)(√x2 + 3 + 2x)

= lımx→1

(√x2 + 3)2 − (2x)2

(x2 + 7x− 8)(√x2 + 3 + 2x)

usamos el factorizacion

= lımx→1

x2 + 3− 4x2

(x2 + 7x− 8)(√x2 + 3 + 2x)

= lımx→1

1√x2 + 3 + 2x

lımx→1

3− 3x2

x2 + 7x− 8separamos en dos lımites

=1

4lımx→1

−3(x− 1)(x+ 1)

(x− 1)(x+ 8)factorizamos los polinomios

=1

4lımx→1

−3(x+ 1)

x+ 8= −1/6.

El binomio podrıa aparecer tanto en el numerador como en el denominador, en estecaso tendrıamos doble conjugada. Veamos el siguiente ejemplo.


1−√x2 + 1√

x+ 1− 1

Solucion. Se trata de un lımite indeterminado de la forma 00. La conjugada del

numerador es 1 +√x+ 1 y la cinjugada del denominador es

√x2 + 1 + 1.

lımx→0

1−√x2 + 1√

x+ 1− 1= lım

x→0

(1−√x2 + 1)(1 +

√x2 + 1)(

√x+ 1 + 1)

(√x+ 1− 1)(

√x+ 1 + 1)(

√x2 + 1 + 1)

= lımx→0

(12 − (√x2 + 1)2)(

√x+ 1 + 1)

((√x+ 1)2 − 12)(

√x2 + 1 + 1)

= lımx→0

√x+ 1 + 1√x2 + 1 + 1

lımx→0

1− x2 − 1

x+ 1− 1

=2

2lımx→0

−x2

x= 1 lım

x→0(−x) = 0.

Caso II: Raıces CubicasEn este caso aplicaremos una de las siguientes formulas, dependiendo del binomio.

Si se trata del binomio de una diferencia usamos:

a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2) donde a2 + ab+ b2 representa la conjugada.




Si se trata del binomio de una suma usamos:

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab+ b2) donde a2 − ab+ b2 representa la conjugada.

Ejemplo 4.44 Calcular lımx→−2

x3 + 6x2 + 14x+ 12

3 + 3√3x3 − 3

Solucion. Se trata de un lımite indeterminado de la forma 00. Como se trata del

binomio de una suma la conjugada es a2 − ab + b2, donde a = 3 y b = 3√3x3 − 3.

Entonces

a2 − ab+ b2 = 32 − 33√3x3 − 3 + (

3√3x3 − 3)2 = 9− 3

3√3x3 − 3 + (

3√3x3 − 3)2.

Luego,

lımx→−2

x3 + 6x2 + 14x+ 12

3 + 3√3x3 − 3

= lımx→−2

(x3 + 6x2 + 14x+ 12)(9− 3 3√3x3 − 3 + ( 3

√3x3 − 3)2)

(3 + 3√3x3 − 3)(9− 3 3

√3x3 − 3 + ( 3

√3x3 − 3)2)

= lımx→−2

(x3 + 6x2 + 14x+ 12)(9− 3 3√3x3 − 3 + ( 3

√3x3 − 3)2)

33 + ( 3√3x3 − 3)3

= lımx→−2

(9− 33√3x3 − 3 + (

3√3x3 − 3)2) lım

x→2

x3 + 6x2 + 14x+ 12

27 + 3x3 − 3

= 27 lımx→−2

(x+ 2)(x2 + 4x+ 6)

3(x+ 2)(x2 − 2x+ 4)= 27 lım

x→−2

x2 + 4x+ 6

3(x2 − 2x+ 4)= 3/2


Determina el valor de los siguientes lımites, en caso que exita.

1) lımx→a

√x+ a−

√2a

x− a2) lım

x→5

x− 5

5−√30− x

3) lımx−→0

2x2 +√3x+ 4√

16− x

4) lımx−→1

√x+ 3− 2

2 + 3√x2 − 9

5) lımx−→0

1− 3√x2 + 2x+ 1√

9x+ 9− 36) lım

x−→0

3√8x− 8 + 2

x2 − x

7) lımx−→a

√x−√

a

x− a8) lım

x−→0

1−√1− x

x9) lım

x−→7

2−√x− 3

x2 − 49

10) lımx−→a

x2 −√a3x√

ax− a11) lım

x−→1

√x+ 3−

√3x+ 1√

x− 112) lım

x−→2

x2 −√8x√

2x− 2

13) lımx−→2

x−√x+ 2√

4x+ 1− 314) lım

x−→0

√x+ 1−

√x2 + x+ 1

x15) lım

x−→a

x√x− a

√a√

x−√a




Calcula el lımite lımh−→0

f(x+ h)− f(x)

hen cada una de las siguientes funciones

1) f(x) =√x+ 1 2) f(x) = x2 − 3x+ 5 3) f(x) =

2

x+ 1

4) f(x) =x+ 4

x5) f(x) =

3

x26) f(x) = 5x2

7) f(x) =3√4x 8) f(x) = 3

√x+ 2

Cambio de Variable

El cambio de variable es una tecnica muy utilizada en el calculo de lımites, la razonse debe a que una vez utilizada modifica el lımite a calcular en un lımite mas facil deresolver. La justificacion de esta tecnica se encuentra en el siguiente teorema.

Teorema 4.45 (Cambio de Variable)Si x = g(t) tal que lım

t→bg(t) = a y g(t) 6= a para todo t 6= b, entonces

lımx→a

f(x) = lımt→b

f(g(t)).

El cambio de variable es x = g(t).


e2x − 1

e2x + ex − 2

Solucion. Tenemos un lımite indeterminado de la forma 00. Reescribimos el lımite de

la siguiente manera

lımx→0

e2x − 1

e2x + ex − 2= lım

x→0

(ex)2 − 1

(ex)2 + ex − 2.

Por la forma como esta expresado el lımite parece razonable considerar el siguientecambio de variable {

t = ex

si x → 0 entonces t → 1

Al aplicar el cambio de variable nos queda un lımite de funciones racionales.

lımx→0

(ex)2 − 1

(ex)2 + ex − 2= lım

t→1

t2 − 1

t2 + t− 2= lım

t→1

(t− 1)(t+ 1)

(t− 1)(t+ 2)= lım

t→1

t + 1

t + 2= 2/3

Las expresiones irracionales se reducen, en muchos casos, a una forma racional intro-duciendo el cambio de variable

ax+ b = tn donde ax+ b es la parte subradical y n es el m.c.m. de los ındices





x− 3√2x+ 3− 3

.

Solucion. Consideremos el cambio de variable{t2 = 2x+ 3 ⇒ x = t2−3

2

como x → 3 entonces t → 3

Aplicamos el cambio de variable y obtenemos

lımx→3

x− 3√2x+ 3− 3

= lımt→3

t2−32

− 3√t2 − 3

= lımt→3

t2 − 9

2(t− 3)= lım

t→3

(t− 3)(t+ 3)

2(t− 3)= lım

t→3

t + 3

2= 3


3√x+ 1− 1

1−√x+ 1

.

Solucion. En este caso el cambio de variable es{x+ 1 = t6 note que m.c.m(2, 3) = 6como x → 0 entonces t → 1

Al sustituir nos queda

lımx→0

3√x+ 1− 1

1−√x+ 1

= lımt→1

3√t6 − 1

1−√t6

= lımt→1

t2 − 1

1− t3= lım

t→1

(t− 1)(t+ 1)

(1− t)(1 + t+ t2)

= lımt→1

(t− 1)(t+ 1)

−(t− 1)(1 + t + t2)= lım

t→1

t+ 1

−(1 + t+ t2)= −2/3.


En los siguientes lımites aplica un cambio de variable conveniente para encontrar elvalor de dicho lımite, en caso que exista.

1) lımx−→1

√x3 + 3

√x− 3x− 1

x2 − 2x+ 12) lım

x−→0

3√x+ 1−

√x+ 1

2√x+ 1− 2

3) lımx−→π

1 + cos3 x

1− cos2 x4) lım

x−→1

√ln2 x+ 1− 3 lnx+ 1

2−√ln2 x+ 4

5) lımx−→0

sen2 x+ 4 sen x

sen x6) lım

x−→1

3√x+ 6− 2√

x+ 6− 2√2

7) lımx−→0

e3x + 4e2x − 7ex + 2

3e2x − 2ex + 18) lım

x−→0

6− 3√cos x+ 3√

1 + 3 cosx− 2

9) lımx−→1

√x+ 3− 2

2 + 3√x2 − 9

10) lımx−→π/2

2 sen3 x− 5 sen2 x− 3 sen x+ 6

1− sen2 x

11) lımx→a

√x+ a−

√2a

x− a12) lım

x→5

x− 5

5−√30− x




Funciones trigonometricas.

Aunque ya sabemos como calcular un lımite que contenga funciones trigonometricas, notenemos todavia un metodo que nos ayude a calcular este tipo de lımites que presenteuna indeterminacion de la forma 0

0. El objetivo de esta seccion es presentar un metodo

que nos ayude a calcular estos lımites, para ello, iniciemos con el siguiente teorema.

Teorema 4.49 (Teorema de la funcion acotada)Sean f y g funciones tales que lım

x→af(x) = 0 y supongamos que existe un numero M > 0

tal que |g(x)| ≤ M para todo x cercano a a, excepto posiblemente en a. Entonces

lımx→a

[f(x)g(x)] = 0.

Observacion 4.50 El nombre del teorema anterior se debe a lo siguiente: Si g(x) esuna funcion que verifica |g(x)| ≤ M para algun numero M positivo, entonces se diceg(x) es una funcion acotada. Un breve vistazo a las graficas de las funciones seno,coseno, arcotangente, y cotangente hiperbolica nos advierte que dichas funciones sonejemplos de funciones acotadas.El teorema anterior tambien es valido si en lugar de x → a lo reemplazamos porx → ∞.

Ejemplo 4.51 Usa el teorema de la funcion acotada para calcular los siguientes lımites

1) lımx→0

x sen

(1

x

)2) lım

x→∞

sen x

x

Solucion. 1) Digamos que f(x) = x y g(x) = sen(1x

). Claramente lım

x→0f(x) = 0, se

verifica una condicion del teorema. Por otro lado, el seno tiene la siguiente propiedad

| sen(α)| ≤ 1 para todo α.

Si hacemos α = 1/x, entonces | sen(1x

)| ≤ 1 para todo x 6= 0. De modo que existe

M = 1 tal que |g(x)| ≤ M , lo que significa que se verifica la otra condicion. Entoncespor el Teorema de la funcion acotada

lımx→0

x sen

(1

x

)= 0.

2) Reescribimos el lımite de la siguiente manera

lımx→∞

sen x

x= lım

x→∞

1

xsen x.




Digamos que f(x) = 1xy g(x) = sen x. Claramente se verifican las dos condiciones del

teorema

lımx→∞

1

x= 0 y ademas | sen x| ≤ 1 para todo x.

Entonces por el Teorema de la funcion acotada

lımx→∞

sen(x)

x= 0.

Teorema 4.52 (Teorema de la funcion intermedia)Sean f , g y h funciones tales que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x cercano a a, exceptoposiblemente en a. Si ademas lım

x→af(x) = L y lım

x→ah(x) = L, entonces lım

x→ag(x) = L.

Ejemplo 4.53 Usa el teorema de la funcion intermedia para demostrar que

lımx→0

sen x

x= 1. (4.2)

Solucion. Para demostrar el valor de este lımite con-sideremos un arco BC = x radianes en un cırculo trig-nometrico, donde 0 < x < π/2 y construyamos los seg-mentos CA ⊥ OB, DB ⊥ OB y el segmento OD queune el origen con D, tal como se muestra en la figuraadjunta.

x

A

C

B

D

O

En la figura se tiene que |CA| = sen x, |BD| = tan x y comparando las areas de lostriangulos OAC, OBD y la del sector circular OBC, se tiene

Area OAC ≤ Area OBC ≤ Area OBD,

donde

Area OAC =cos x sen x

2, Area OBD =

tanx

2y Area OBC =

x

2.

Entonces al sustiruir en las desigualdades se tiene que

cos x sen x

2≤ x

2≤ tanx

2

de donde al multiplicar por 2 se tiene

cos(x) sen x ≤ x ≤ tanx.




Puesto que 0 < x < π/2 podemos dividir por sen x > 0 y obtenemos

cosx ≤ x

sen x≤ 1

cosx⇒ 1

cosx≥ sen x

x≥ cosx

luego

cosx ≤ sen x

x≤ 1

cosx.

Como lımx→0

cosx = 1 y lımx→0

1

cos x= 1, se tiene en virtud del Teorema de la Funcion

Intermedia

lımx→0

sen x

x= 1.

Observacion 4.54

Durante la solucion del ejemplo anterior se estabecio la siguiente cadena de de-sigualdades

cosx ≤ x

sen x≤ 1

cosxpara todo 0 < x < π/2.

Entonces por el Teorema de la Funcion Intermedia

lımx→0

x

sen x= 1

ya que lımx→0

cosx = 1 y lımx→0

1

cosx= 1.

La identidad (4.2) demostrada en el ejemplo anterior se puede generalizar de lasiguiente manera:

lımx→0

sen[f(x)]

f(x)= 1 siempre que f(x) → 0 cuando x → 0.

Esta afirmacion es consecuencia inmediata del Teorema de Cambio de Variable(Teorema 4.45).

A continuacion presentaremos una serie de ejemplos en los cuales se muestra como seaplica la identidad (4.2) o la Observacion 4.54 para calcular lımites indeterminados dela forma 0

0que contienen funciones trigonometricas.


tanx

x.




Solucion. Tenemos un lımite indeterminado 00. Primero aplicamos la identidad tanx =

senxcos x

, entonces el lımite nos queda

lımx→0

tan x

x= lım

x→0

sen x

cosxx

= lımx→0

sen x

x cosx.

Luego separamos el lımite como el producto de los siguientes lımites

lımx→0

1

cosx· lımx→0

sen x

x,

donde el primer lımite resulta 1 y el segundo lımite es precisamente la identidad (4.2),de modo que

lımx→0

tanx

x= lım

x→0

1

cosx· lımx→0

sen x

x= 1 · 1 = 1.


sen(5x)

x.

Solucion. Tenemos una indeterminacion de la forma 00. Como el argumento del seno

no es x, sino la funcion 5x, aplicaremos la segunda parte de la Observacion 4.54. Paraello, el denominador debe ser igual al argumento de la funcion de modo que debemosmultiplicar numerador y denominador por 5 para convertir el denominador igual alargumento de la funcion seno.

lımx→0

sen(5x)

x= lım

x→0

5 sen(5x)

5x= 5 lım

x→0

sen(5x)

5x= 5 · 1 = 5.

Note que en la segunda igualdad aplicamos la propiedad 1 del Teorema 4.9.


sen(4x)

sen(3x).

Solucion. Se trata de un lımute indeterminado de la forma 00. Si dividimos entre x

numerador y denominador nos quedarıan dos lımites similares al lımite del ejemploanterior, ası

lımx→0

sen(4x)

sen(3x)= lım

x→0

sen(4x)x

sen(3x)x

=lımx→0

sen(4x)

x

lımx→0

sen(3x)

x

=lımx→0

4 sen(4x)

4x

lımx→0

3 sen(3x)

3x

=4 lımx→0

sen(4x)

4x

3 lımx→0

sen(3x)

3x

=4 · 13 · 1 = 4/3.





1− cos x

x.

Solucion. Tenemos una indeterminacion de la forma 00. Para que sea posible aplicar la

identidad (4.2) multiplicamos el numerador y denominador por 1+cosx (la conjugadade 1− cosx). De modo que

lımx→0

1− cos x

x= lım

x→0

(1− cosx)(1 + cos x)

x(1 + cos x)= lım

x→0

1− cos2 x

x(1 + cos x).

Usando la identidad 1− cos2 x = sen2 x el lımite queda

lımx→0

1− cosx

x= lım

x→0

sen2 x

x(1 + cosx)

separamos el lımite y obtenemos el resultado.

lımx→0

1− cosx

x= lım

x→0

sen2 x

x(1 + cosx)= lım

x→0

1

1 + cosx· lımx→0

sen x · lımx→0

sen x

x

=1

2· 0 · 1 = 0.

Observacion 4.59 Notemos que

lımx→0

cosx− 1

x= lım

x→0

−(1− cosx)

x= − lım

x→0

1− cosx

x= 0


1− cos x

x2

Solucion. Se trata de un lımite indeterminado de la forma 00muy parecido al lımite

resuelto en el ejemplo anterior. Seguiremos el mismo procedimiento.

lımx→0

1− cosx

x2= lım

x→0

(1− cosx)(1 + cosx)

x2(1 + cosx)= lım

x→0

1− cos2 x

x2(1 + cos x)= lım

x→0

sen2 x

x2(1 + cosx)

= lımx→0

1

1 + cos(x)· lımx→0

sen x

x· lımx→0

sen x

x=

1

2· 1 · 1 = 1/2.

Los ultimos tres lımites:

lımx→0

1− cosx

x= 0 , lım

x→0

cosx− 1

xy lım

x→0

1− cosx

x2= 1/2

aparecen en el calculo de los lımites que estudiaremos en adelante, de modo que losusaremos como identidades.





tanx− sen x

x3.

Solucion. Se trata de un lımite indeterminado de la forma 00. Usamos la identidad

tan x = sen xcos x

,

lımx→0

tanx− sen x

x3= lım

x→0

senxcos x

− sen x

x3= lım

x→0

senx−cos x senxcos x

x3= lım

x→0

sen x− cosx sen x

x3 cosx.

En el numerador sacamos factor comun sen x, y descomponemos el lımite como pro-ducto de varios lımites para obtener el resultado

lımx→0

tan x− sen x

x3= lım

x→0

sen x(1− cosx)

x3 cosx= lım

x→0

sen x

x· lımx→0

1− cos x

x2· lımx→0

1

cosx

= 1 · 12· 1 = 1/2.

Ejemplo 4.62 Calcular lımx→a

sen x− sen a

x− a, con a 6= 0.

Solucion. Tenemos un lımite indeterminado de la forma 00. Notemos que el lımite no

tiende a cero. En aras de utilizar la identidad (4.2) el lımite debe tender a cero, porlo tanto, es necesario aplicar un cambio de variable. Parece razonable hacer t = x− apara que t tienda a cero cuando x → a.

c.v.

{t = x− a ⇒ x = t+ aComo x → a entonces t → 0


lımx→a

sen x− sen a

x− a= lım

t→0

sen t + a− sen a

t.

Sustituimos la identidad sen(t+ a) = sen t cos a+cos t sen a en el lımite, sacamos sen afactor comun y separamos en dos lımites, por ultimo resolvemos cada lımite.

lımx→a

sen x− sen a

x− a= lım

t→0

sen t cos a+ cos t sen a− sen a

t

= lımt→0

sen t cos a+ sen a(cos t− 1)

t

= lımt→0

sen t sen a

t+ lım

t→0

sen a(cos t− 1)

t

= sen a lımt→0

sen t

t+ sen a lım

t→0

cos t− 1

t= sen a · 1 + sen a · 0 = sen a.




Ejemplo 4.63 Calcular lımx→π/3

1− 2 cosx

π − 3x.

Solucion. Tenemos un lımite indeterminado de la forma 00. Al igual que el anterior

debemos aplicar un cambio de variable,

c.v.

{t = π − 3x ⇒ x = π−t

3⇒ x = π

3− t

3

Como x → π/3 entonces t → 0.


lımx→π/3

1− 2 cosx

π − 3x= lım

t→0

1− 2 cos(π3− t

3)

t.

Como cos(π3− t

3) = cosπ/3 cos t + sen t sen π/3 = 1/2 cos t +

√3/2 sen t, entonces al

sustituir en el lımite resulta

lımt→0

1− 2 cos(π3− t

3)

t= lım

t→0

1− 2[1/2 cos t/3 +

√3/2 sen t/3

]

t

= lımt→0

1− cos t/3−√3 sen t/3

t.

Separamos en dos lımites y resolvemos cada uno

[lımt→0

1− 2 cos(π3− t

3)

t= lım

t→0

1− cos t/3−√3 sen t/3

t= lım

t→0

[1− cos t/3

t−

√3 sen t/3

t

]

= lımt→0

1− cos t/3

t− lım

t→0

√3 sen t/3

t

= lımt→0

1− cos t/3

3t/3−

√3 lım

t→0

sen t/3

3t/3

=1

3lımt→0

1− cos t/3

t/3−

√31

3lımt→0

sen t/3

t/3

=1

3· 0−

√3

3· 1 = −

√3

3.


x2 + 2x− 3

sen(x− 1).

Solucion. Tenemos un lımite indeterminado de la forma 00. Notemos que x2+2x−3 =

(x− 1)(x+3), lo que nos hace pensar en descomponer el lımite de la siguiente manera

lımx→1

x2 + 2x− 3

sen(x− 1)= lım

x→1

(x− 1)(x+ 3)

sen(x− 1)= lım

x→1(x+ 3) · lım

x→1

x− 1

sen(x− 1).


En el segundo lımite aplicamos el siguiente cambio de variable

c.v.

{t = x− 1 ⇒ x = t+ 1Como x → 1 entonces t → 0.

y la primera parte de la Observacion 4.54.

lımx→1

x2 + 2x− 3

sen(x− 1)= lım

x→1(x+ 3) · lım

x→1

x− 1

sen(x− 1)= 4 · lım

t→0

t

sen t= 4 · 1 = 4.


Determina el valor de los siguientes lımites, en caso que exista.

1) lımx→0

tanx− sen x

sen3 x2) lım

x→0

sen 5x− sen 3x

sen x

3) lımx→0

cosx− cos 3x

x24) lım

x→0

1 + sen x− cosx

1 + sen 3x− cos 3x

5) lımx→a

cosx− cos a

x− a6) lım

x→0

√1 + tanx−

√1 + sen x

x3

7) lımx→0

√1− cosx2

1− cosx8) lım

x→π/3

tan3 x− 3 tanx

cos(x+ π

6

)

9) lımx→−2

tanπx

x+ 210) lım

x→1

1− x2

sen πx

11) lımx→π/4

sen x− cosx

1− tan x12) lım

x→1

cos πx2

1−√x

13) lımx→0

1−√cosx

x214) lım

x→0

arc sen x

x

15) lımx→π

1− sen x2

π − x16) lım

x→0

arctan 3x

sen 4x

17) lımx→0

x− sen 4x

3x+ sen 2x18) lım

x→0

√1 + sen x−

√1− sen x

x

19) lımx→1

(1− x) arctan

(1

x2 − 1

)20) lım

x→1(x2 − 1) sen

(4

x− 1

)

21) lımx→0

x2 coth

(1

x

)

Indeterminacion de la forma ∞∞

Sean f , g funciones tales que lımx→a

f(x) = ∞ (o lımx→∞

f(x) = ∞) y lımx→a

g(x) = ∞ (o

lımx→∞

g(x) = ∞), entonces al tratar de calcular el lımx→a

f(x)

g(x)(respectivamente, lım

x→∞

f(x)

g(x))


usando el Teorema 4.9 nos llevaria a la expresion ∞∞ . Este resultado no nos da infor-

macion acerca de la existencia del lımite. Por tal razon, se dice que el lımite esindeterminado de la forma ∞

∞ o que el lımite es de la forma indeterminada∞∞ .

Al igual que en la indeterminacion 00, para saber el valor de estos lımites, en caso que

exista, debemos “evitar” la indeterminacion, la cual se logra por medio de un cambiode variable. Nuevamente, el grafico de la funcion o una tabla de valores son metodosefectivos para calcular el valor del lımite que presente este tipo de indeterminaciones.

Funciones Racionales.

Para evitar una indeterminacion de la forma ∞∞ en lımites de funciones racionales apli-

camos el cambio de variable x = 1/t. Con ello, la indeterminacion ∞∞ se transforma en

una indeterminacion de la forma 00. Calcular lımites con este tipo de indeterminaciones

ya no es un problema para nosotros.


x3 − 2x2 + 5x− 8

x2 − 5x+ 1.

Solucion. Claramnente se trata de un lımite indeterminado de la forma ∞∞ .

c.v.

{x = 1

t

Como x → +∞ entonces x → 0+.

Aplicamos el cambio y resolvemos el lımite

lımx→+∞

x3 − 2x2 + 5x− 8

x2 − 5x+ 1= lım

t→0+

(1/t)3 − 2(1/t)2 + 5(1/t)− 8

(1/t)2 − 5(1/t) + 1= lım

t→0+

1t3− 2

t2+ 5

t− 8

1t2− 5

t+ 1

= lımt→0+

1− 2t+ 5t2 − 8t3

t3

1− 5t+ t2

t2

= lımt→0+

1− 2t+ 5t2 − 8t3

t(1− 5t + t2)= +∞

Ejemplo 4.66 Calcular lımx→−∞

2x2 − 6

6x4 − 3x2 + 5.

Solucion. Se trata de un lımite indeterminado de la forma ∞∞ .

c.v.

{x = 1

t

Como x → −∞ entonces x → 0−.



lımx→−∞

2x2 − 6

6x4 − 3x2 + 5= lım

t→0−

2(1/t)2 − 6

6(1/t)4 − 3(1/t)2 + 5= lım

t→0−

2t2− 6

6t4− 3

t2+ 5

= lımt→0−

2− 6t2

t2

6− 3t2 + 5t4

t4

= lımt→0−

t2(2− 6t2)

6− 3t2 + 5t4= 0


2x3 + 4x+ 8

3x3 + 8x2 − 4.

Solucion. Claramnente se trata de un lımite indeterminado de la forma ∞∞ .

c.v.

{x = 1

t

Como x → +∞ entonces x → 0+.


lımx→+∞

2x3 + 4x+ 8

3x3 + 8x2 − 4= lım

t→0+

2(1/t)3 + 4(1/t)2 + 8

3(1/t)3 + 8(1/t)2 − 4= lım

t→0+

2t3+ 4

t2+ 8

3t3+ 8

t2− 4

= lımt→0+

2 + 4t+ 8t3

t3

3 + 8t− 4t3

t3

= lımt→0+

2 + 4t+ 8t3

3 + 8t− 4t3= 2/3.

Observacion 4.68 Los tres ultimos ejemplos nos muestran tres resultados que no va-rian en el calculo de lımites de funciones racionales con indeterminaciones de la forma∞∞ . En general, si el limite

lımx→∞

anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0bmxm + bm−1xm−1 + · · ·+ b1 + b0

tiene una indeterminacion de la forma ∞∞ , entonces tiene tres posibles valores

lımx→∞

anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0bmxm + bm−1xm−1 + · · ·+ b1 + b0

=

0, si n < m;∞, si n > m;anbm, si n = m.


Funciones Irracionales.

En el caso de funciones irracionales aplicamos el cambio de variable x = 1tn, donde n

es el mınimo comun multiplo entre los ındices de los radicales presentes en la funcion.


x+√x2 + 1

x+ 3.

Solucion. Se trata de un lımite indeterminado de la forma ∞∞ . En este caso, n = 2

c.v.

{x = 1

t2

Como x → +∞ entonces t → 0+.

Aplicamos el cambio de variable y resolvemos el lımite

lımx→+∞

x+√x2 + 1

x+ 3= lım

t→0+

1/t2 +√(1/t2)2 + 1

1/t2 + 3= lım

t→0+

1

t2+

√1 + t4

t4

1 + 3t2

t2

= lımt→0+

1 +√1 + t4

t2

1 + 3t2

t2

= lımt→0+

1 +√1 + t4

1 + 3t2= 1.


x2 + 3√x+ 2√

x2 + 3.

Solucion. Se trata de un lımite indeterminado de la forma ∞∞ . En este caso, n =

m.c.m.(2, 3) = 6.

c.v.

{x = 1

t6


Aplicamos el cambio de variable y resolvemos el lımite

lımx→+∞

x2 + 3√x+ 2√

x2 + 3= lım

t→0+

(1/t6)2 + 3√1/t6 + 2√

(1/t6)2 + 3= lım

t→0+

1

t12+

3

√1 + 2t6

t6√1 + 3t12

t12

= lımt→0+

1

t12+

3√1 + 2t6

t2√1 + 3t12

t6

= lımt→0+

1 + t6 3√1 + 6t6

t12√1 + 3t12

t6

= lımt→0+

1 + t6 3√1 + 6t6

t6√1 + 3t12

= +∞.


Funciones Exponenciales.

Trataremos unicamente el caso de funciones definidas de la forma f(x) = R(anx, bmx),donde R denota una expresion racional. En este caso, para evitar la indeterminacion∞∞ dividimos al numerador y denominador entre el mayor exponencial.


22x + 3x

1 + 2x.

Solucion. Tenemos un lımite indeterminado de la forma ∞∞ . Para investigar cual es

el mayor exponencial reescribimos el lımite de la siguiente manera:

lımx→+∞

22x + 3x

1 + 2x= lım

x→+∞

4x + 3x

1 + 2x.

Claramente el mayor exponencial es 4x, entonces

lımx→+∞

22x + 3x

1 + 2x= lım

x→+∞

4x + 3x

4x1 + 2x

4x

= lımx→+∞

1 +3x

4x1

4x+

2x

4x

= lımx→+∞

1 +

(3

4

)x

(1

4

)x

+

(2

4

)x = +∞

En la ultima igualdad utilizamos la parte a y b de la Proposicion 4.26.


Encuentre el valor de los siguientes lımites.

1) lımx→+∞

3x4 − 2x+ 5

x2 + 2x− 12) lım

x→+∞

2x3 + 5x2 − x+ 3

3x3 − 4x2 + 6x− 1

3) lımx→+∞

2x+ 3

x2 + 54) lım

x→+∞

(2x+ 1)3(x− 4)2

x(2x− 1)4

5) lımx→+∞

(3x+ 2)2(2x+ 3)

(2x− 5)36) lım

x→+∞

(x− 1)2(x+ 2)2

(2x+ 5)3

7) lımx→+∞

x(x+ 4)5

(4x− 1)48) lım

x→+∞

1 +x

1− xx+ 1

x− 1− x− 1

x+ 1

9) lımx→+∞

x3 − 2x√x+ 2

10) lımx→−∞

3√2x3 − 2

x2 + 1

11) lımx→−∞

3√x3 − 2x

x−√x2 + 1

12) lımx→+∞

x+√x2 + 1

3√x3 − 2x


13) lımx→+∞

x2 + 2x√x+ 1

14) lımx→+∞

log2

(2x3 − x

4x3 − 1

)

15) lımx→+∞

5

√2x3 − x+ 1

x3 + 116) lım

x→+∞4

√(4x2 + 9x+ 3

2x2 + 1

)3

17) lımx→−∞

(5x4 − 2

5x4 + 6

)3x2 + 1

x2 + 218) lım

x→−∞

(4x2 − 2x+ 3

x2 + 1

)3x+ 2

x2

19) lımx→+∞

log33

√3x2 + 2x

x2 − 120) lım

x→+∞

(x+

√x

x−√x

)2x− 1

x+ 2

21) lımx→+∞

(√2x3 − 3x‘2 + 4

4x3 + 1

)x+ 2

x2

22) lımx→+∞

(2x2 − 7

x+ 1− 6x2 + 4

3x− 5

)

Indeterminacion de la forma ∞−∞Sean f , g funciones tales que lım

x→af(x) = ∞ (o lım

x→∞f(x) = ∞) y lım

x→ag(x) = ∞ (o

lımx→∞

g(x) = ∞), entonces al tratar de calcular el lımx→a

(f(x) − g(x)) (respectivamente,

lımx→∞

(f(x) − g(x))) usando el Teorema 4.9 nos llevaria a la expresion ∞ − ∞. Este

resultado no nos da informacion acerca de la existencia del lımite. Por tal razon, sedice que el lımite es indeterminado de la forma ∞−∞ o que el lımite es dela forma indeterminada ∞−∞.

En el caso de funciones racionales; una suma de fracciones evitara la indeterminacion∞ − ∞. Si se trata de funciones irracionales, la conjugada nos ayudara a resolver ellımite evitando dicha indeterminacion. Veamos algunos ejemplos.


(1

1− x− 3

1− x3

).

Solucion. Se trata de un lımite indeterminado de la forma ∞ −∞. Como se tratade funciones racionales realizamos una suma de fracciones

1

1− x− 3

1− x3=

1 + x+ x2 − 3

1− x3=

x2 + x− 2

1− x3.

Luego, nos queda el siguiente lımite

lımx→1

(1

1− x− 3

1− x3

)= lım

x→1

x2 + x− 2

1− x3.


Es un lımite indeterminado de la forma 00. Factorizamos ambos polinomios y resolvemos

el lımite

lımx→1

x2 + x− 2

1− x3= lım

x→1

(x− 1)(x+ 2)

(1− x)(1 + x+ x2)= lım

x→1

x+ 2

1 + x+ x2= 1


[√x2 + 1−

√x+ 2].

Solucion. Tenemos un lımite indeterminado de la forma∞−∞. Como es una funcionirracional aplicamos una conjungada para reescribir el lımite y evitar esta indetermi-nacion.

√x2 + 1−

√x+ 2 =

(√x2 + 1−

√x+ 2)(

√x2 + 1 +

√x+ 2)√

x2 + 1 +√x+ 2

=(√x2 + 1)2 − (

√x+ 2)2√

x2 + 1 +√x+ 2

=x2 − x− 1√

x2 + 1 +√x+ 2

Luego el lımite nos queda

lımx→+∞

[√x2 + 1−

√x+ 2] = lım

x→+∞

x2 − x− 1√x2 + 1 +

√x+ 2

.

Se trata de un lımite con indeterminacion de la forma ∞∞ . Por lo tanto aplicamos el

siguiente cambio de variable

c.v.

{x = 1

t2


Sustituimos el cambio de variable, y buscamos el valor del lımite.

lımx→+∞

x2 − x− 1√x2 + 1 +

√x+ 2

= lımt→0+

(1/t2)2 − 1/t2 − 1√(1/t2)2 + 1 +

√1/t2 + 2

= lımt→0+

1− t2 − t4

t4√1 + t4

t4+

√1 + 2t2

t2

= lımt→0+

1− t2 − t4

t2(√

1 + t4 + t√1 + 2t2

) = +∞.


[ln(3x2 + 1)− ln(2x2 − 3)

].


Solucion. Tenemos un lımite indeterminado de la forma ∞−∞. Usamos las propie-dades de los logaritmos para reescribir la funcion y evitar la indeterminacion

ln(3x2 + 1)− ln(2x2 − 3) = ln

[3x2 + 1

2x2 − 3

].

Luego, nos queda el lımite

lımx→+∞

[ln(3x2 + 1)− ln(2x2 − 3)

]= lım

x→+∞ln

[3x2 + 1

2x2 − 3

]= ln

[lım

x→+∞

3x2 + 1

2x2 − 3

]= ln(3/2).

En la segunda igualdad hemos usado la Proposicion 4.13, mientras que en la ultimaigualdad hemos usado la Observacion 4.68.


Calcula el valor de los siguientes lımites.

1) lımx→+∞

(√4x2 + 3x+ 1− 2x

)2) lım

x→+∞

(√1 + x−

√x)

3) lımx→+∞

[ln(x+ 1)− ln(x2 + 1)

]4) lım

x→+∞

(√x2 + ax− x

)

5) lımx→+∞

(√2x2 + 2x− 3−

√2x2 − 3x+ 2

)6) lım

x→+∞

(√(x+ a)(x+ b)− x

)

7) lımx→+∞

(√x+

√x−

√x−

√x

)8) lım

x→+∞

(√x(x+ a)−

√x)

9) lımx→+∞

[arctan

(1− x2

2x+ 5

)]x+√x2 + 8√

4x2 − 5 10) lımx→+∞

(2x2 + 3x− 1

x2 + 1

)4−x2

11) lımx→π/2

[ln(sen3 x− 1)− ln(sen2 x− 1)

]12) lım

x→+∞

(5x− 1

2x− 1

) 2x

3x− 1

13) lımx→+∞

[arctan

(x2 + 3

4x− 1

)]2x+ 3

x14) lım

x→+∞

(x+ 1

2x+ 1

)x2+3

15) lımx→+∞

[ln(

√x2 + 2 + x)− ln

√x2 + 3

]16) lım

x→+∞

(3x−

√x2 + x− 1

)

17) lımx→+∞

[ln(x3 − 2x+ 6)− ln(x2 + x+ 1)

]18) lım

x→+∞arc cos

[√x2 + x− x

]

19) lımx→+∞

[ln(x+

√x2 + 6)− ln(x+ 5)

]20) lım

x→−∞

(5x2 − 1

2x2 + 3

)x+3

21) lımx→0

[ln(e3x − 2e2x − 3ex + 4)− ln(e3x − 1)

]

4.2. Continuidad Prof. Derwis Rivas Olivo 237

4.2. Continuidad

Geometricamente, una funcion es continua si su grafica no tiene saltos o interrupciones.En otras palabras, si su grafica puede ser trazada sin levantar el lapiz del papel. Enestos terminos, podemos decir, que las siguientes funciones no son continuas.

2 0

fg2

La funcion f en x = 2 tiene una interrupcion, mientras que g en x = 0 tiene unsalto. Sin embargo, en cualquier otro punto del dominio de f esta funcion no tieneinterrupciones ni saltos, al igual que la funcion g para x 6= 0. Esta idea nos hace pensarque la continuidad es un concepto puntual, es decir la continuidad de una funcionse observa en cada punto del dominio de la funcion.

4.2.1. Continuidad en un punto

Definicion 4.75 (Continuidad en un punto)Diremos que una funcion f es continua en el punto x0 si se cumplen las siguientescondiciones:

i. f esta definida en x0. Es decir, existe la imagen f(x0).

ii. Existe un numero real L tal que lımx→x0

f(x) = L. Es decir, existe el lımite en x0.

iii. L = lımx→x0

f(x) = f(x0). Es decir, el valor del lımite es igual a la imagen.

Observacion 4.76

1. La primera condicion nos dice que el punto x0 debe pertenecer al dominio de lafuncion para que tenga sentido la continuidad en x0. A diferencia del lımite, elpunto x0 podıa o no pertenecer al dominio de la funcion.

2. La continuidad de la funcion en un punto x0 garatiza la existencia del lımite endicho punto.

3. Si la funcion es continua en x0, la tercera condicion nos permite calcular el lımitepor simple sustitucion.


Ejemplo 4.77 Consideremos las funciones f y g dadas al inicio de esta seccion. Comof no esta definida en x = 2 (no existe la imagen), entonces f no es continua en dichopunto. Por otro lado, la funcion g esta definida en x = 0, a saber g(0) = 0. Sinembargo, el lımite en 0 no existe, ya que los lımites laterales son diferentes

lımx→x+

0

g(x) = 0 , lımx→x−

0

g(x) = 2.

Por lo tanto, g no es continua en 0.

Definicion 4.78 (Discontinuidad)Diremos que f es discontinua en el punto x0 o que x0 es un punto de discontinuidadde f si f no es continua en x0. Esto equivale a decir que al menos una de las trescondiciones exigidas en la definicion no se cumple. Esto es:

i. f no esta definida en x0.

ii. No existe el lımite en x0.

iii. lımx→x0

f(x) 6= f(x0).

Tipos de discontinuidades

1. Discontinuidad Evitable: Se dice que la discontinuidad en x0 es evitable cuan-do la funcion no esta definida en x0 y existe el lımite en x0. Recibe este nombreporque es posible redefinir la funcion de modo que sea continua en el punto dondeno es continua.

Ejemplo 4.79 La funcion f(x) =x2 − 25

x− 5no es continua en x = 5, porque 5 no

pertenece al dominio de la funcion. Sin embargo,

lımx→5

x2 − 25

x− 5= lım

x→5

(x− 5)(x+ 5)

x− 5= lım

x→5(x+ 5) = 10

el lımite en x = 5 existe y vale 10. Por lo tanto, f en x = 5 presenta unadiscontinuidad evitable. Para evitar la discontinuidad redefinimos la funcion dela siguiente manera:

f(x) =

x2 − 25

x− 5, si x 6= 5;

10, si x = 5.

Claramente, f definida de esta forma es continua en x = 5. En efecto, existe laimagen en x = 5, f(5) = 10, existe el lımite en x = 5 y vale 10, el lımite es iguala la imagen. Se verifican las tres condiciones de la definicion.


2. Discontinuidad Esencial: Se dice que la discontinuidad en x0 es esencial cuandono existe el lımite en x0. En este caso, no hay modo de salvar la discontinuidad.Si los lımites laterales existen se dice que la discontinuidad es esencial de salto.Si uno de los lımites laterales es infinito se trata de un discontinuidad esencialinfinita.

Ejemplo 4.80 La funcion f presentada al inicio de esta seccion en el puntox = 2 tiene una discontinuidad de esencial infinta, miestras que la funcion gtiene, en el punto x = 0, una discontinuidad esencial de salto.

Ejemplo 4.81 Considera la siguiente funcion

f(x) =sen x

x− 2

∣∣∣∣x− 2

x

∣∣∣∣e−1/|x+1|.

Clasifica los puntos de discontinuidad de la funcion. En donde sea posible redefine lafuncion de modo que sea continua.

Solucion. Claramente esta funcion esta definida en todo R, excepto en los puntosx = −1, x = 0 y x = 2. De modo que Dom(f) = IR − {−1, 0, 2} y por lo tanto f esdiscontinua en tales puntos. Para clasificar los puntos de discotinuidades calculamos ellımite en cada uno de estos puntos

En x = −1 tenemos:

lımx→−1

sen x

x− 2

∣∣∣∣x− 2

x

∣∣∣∣e−1/|x+1| = lım

x→−1

sen x

x− 2

∣∣∣∣x− 2

x

∣∣∣∣ lımx→−1

e−1/|x+1|

=sen(−1)

−3

∣∣∣∣−3

−1

∣∣∣∣ lımx→−1

e−1/|x+1|

= sen(1) lımx→−1

e−1/|x+1| = sen(1)0 = 0.

El lımite en x = −1 existe. Entonces f en x = −1 tiene discontinuidad evitable.

En x = 0 tenemos:

lımx→0

sen x

x− 2

∣∣∣∣x− 2

x

∣∣∣∣e−1/|x+1| = lım

x→0

|x− 2|x− 2

e−1/|x+1| lımx→0

sen x

|x|

=| − 2|−2

e−1 lımx→0

sen x

|x|

= −1/e lımx→0

sen x

|x| =

{1/e , si x → 0−

−1/e , si x → 0+.

El lımite en x = 0 no existe, pero existen los lımites laterales, entonces en x = 0f tiene discontinuidad esencial de salto.


En x = 2 tenemos:

lımx→2

sen x

x− 2

∣∣∣∣x− 2

x

∣∣∣∣e−1/|x+1| = lım

x→2

sen x

|x| e−1/|x+1| lım

x→2

|x− 2|x− 2

=sen(2)

2e−1/3 lım

x→2

|x− 2|x− 2

=

sen(2)

2e−1/3, si x → 2+

−sen(2)

2e−1/3, si x → 0−.

El lımite en x = 2 no existe, pero existen los lımites laterales, entonces en x = 2f tiene discontinuidad esencial de salto.

Podemos evitar la discontinuidad en x = −1 redefiniendo la funcion de la siguientemanera:

f(x) =

sen x

x− 2

∣∣∣∣x− 2

x

∣∣∣∣e−1/|x+1|, si x ∈ IR − {−1, 0, 2};0, si x = −1.

Ejemplo 4.82 Estudia la continuidad de la funcion

f(x) =

ex+π, si x ≤ −π;− cos x, si −π < x < π;sen x, si π ≤ x ≤ 3π/2;

1

(x− 3π/2)2− 1, si x > 3π/2.

¿Que puedes decir acerca de la existencia de los siguientes lımites?

lımx→+∞

f(x) y lımx→−∞

f(x).

Solucion. El grafico de la funcion nos ayudara a determinar cuales son los puntos enlos que la funcion podrıa no ser continua.

-p p 3p/2

-1

1


Claramente la funcion presenta tres puntos de discontinuidades: −π, π y 3π/2.

Estudiamos la continuidad en x = −π. En este punto la funcion no esta definida,sin embargo, el lımite existe. En efecto

lımx→−π+

f(x) = lımx→−π+

ex+π = 1

lımx→−π−

f(x) = lımx→−π−

− cosx = 1

Por lo tanto en x = −π la funcion tiene una discontinuidad evitable.

Estudiamos la continuidad en x = π. En este punto la funcion esta definida,f(π) = sen π = 0. Veamos los lımites laterales

lımx→π+

f(x) = lımx→π+

sen x = 0

lımx→π−

f(x) = lımx→π−

− cosx = 1

Como los lımites laterales existen y no son iguales, la funcion en dicho punto,presenta una discontinuidad esencial de salto.

Estudiemos la continuidad en x = 3π/2. La imagen existe, f(3π/2) = sen(3π/2) =1. Veamos los lımites laterales

lımx→3π/2+

f(x) = lımx→3π/2+

1

(x− 3π/2)2− 1 = +∞

lımx→3π/2−

f(x) = lımx→3π/2−

sen x = 1

Como uno de los lımites laterales es un lımite infinito, tenemos en x = 3π/2 unadiscontinuidad infinita.

Con respecto a los lımites lımx→+∞

f(x) y lımx→−∞

f(x) podemos decir que ambos lımites

existen, eso se puede notar en el grafico de la funcion, sin embargo lo podemos com-probar en el siguiente calculo:

lımx→−∞

f(x) = lımx→−∞

ex+π = 0

lımx→+∞

f(x) = lımx→+∞

1

(x− 3π/2)2− 1 = −1



Estudie la continuidad de las siguientes funciones. Si la funcion presenta discontinuidadevitable en algun punto redefina la funcion en dicho punto de modo que sea continua.

1) f(x) =3x2 + 5x− 1

x2 + 12) f(x) =

x3 + 3x2 + 5x+ 3

x+ 1

3) f(x) =x2 + x− 2

x2 − 14) f(x) =

x2 − 9

x− 3

5) f(x) =1

x− xe x+2x−1

6) f(x) =(x− 2)e−1/x cos

(2πx−2

)sen(

π(x2−1)2

)

x2 − 4x+ 3

1) f(x) = x2 sen1

x2) f(x) = x cot x

3) f(x) =x

|x| 4) f(x) = arctan1

x

5) f(x) = ln | tan x

2| 6) f(x) = (1 + x) arctan

1

1− x2

5) f(x) =

x2 − 25

x− 5si x 6= 5

x2 + 1 si x = 56) f(x) =

2x+1 si x ≤ 02− x2 si 0 < x ≤ 1x− 1 si x > 1

Sea f(x) =(x− a)

√x− 4

(x− 3)e−1/x, con a ∈ IR.

1. Halla el dominio D de la funcion.

2. Estudia, segun los valores de a ∈ IR, la continuidad (clasificando las discontinui-dades) de la funcion

g(x) =

{f(x), si x ∈ D;0, si x 6∈ D.

En cada una de las siguientes funciones

a) Hacer el estudio de continuidad.

b) Calcule los lımites que se indican en cada caso.

1. f(x) =

1

(x+ 1)2si x ≤ 0

√4− x2 si 0 < x ≤ 2

−2x+2 si x > 2

lımx−→−1

f(x) ; lımx−→1

f(x) ; lımx→+∞

f(x) ; lımx→−∞

f(x)


2. f(x) =

arctan(x+ π/2) si x ≤ −π/2sen(x) si −π/2 < x < π/2x− π/2 si π/2 ≤ x ≤ π2π − x si π < x ≤ 2πlog1/2(x− 2π) si x > 2π

lımx−→−2π

f(x) ; lımx−→3π/2

f(x) ; lımx→+∞


f(x)

3. f(x) =

(x+ 3)2 si x < −2−2 si x = −2−x− 1 si −2 < x < 01

x− 1si 0 ≤ x ≤ 2

−x2 + 4x− 3 si x > 2

lımx−→1

f(x) ; lımx−→−4

f(x) ; lımx→+∞


f(x)

4. f(x) =

x− 4

x− 5si x < −5

x si x = −5log2(2x+ 10) si −5 < x ≤ −3−√x+ 3 si −3 < x < −1

2√1− x2 + 1 si −1 ≤ x ≤ 1

e1−x si x > 1

lımx−→−2

f(x) ; lımx−→−4

f(x) ; lımx−→0

f(x) ; lımx→+∞


f(x)

Determine el valor de a que hace posible que la funcion sea continua en el punto x = −1.

f(x) =

{ax2 + 5x− 2a si x ≤ −14x+ 3 si x > −1

Determine los valores de m y n de modo que la funcion sea continua en los puntosx = −1 y x = 2.

f(x) =

2x+ 3 si x ≤ −13x3 +mx2 − nx+ 48 si −1 < x < 2x2 + 1 si x ≥ 2

4.2.2. Continuidad en intervalos

Definicion 4.83 (Continuidad lateral)Una funcion f es continua por la derecha en el punto x0 si

lımx→x+

0

f(x) = f(x0).


Una funcion f es continua por la izquierda en un punto x0 si

lımx→x−

0

f(x) = f(x0).

Evidentemente

f es continua en x0 ⇔

f es continua por la izquierda en x0

yf es continua por la derecha en x0.

Ejemplo 4.84 Estudia la continuidad de la siguiente funcion y clasifica las disconti-nuidades.

-5 0 3

4

1

f

Claramente, f tiene tres puntos de discontinuidades; x = −5, x = 0 y x = 3. Vamos aclasificar cada punto:

En x = −5, tenemos discontinuidad esencial de salto y continuidad a la izquierda.En efecto,

lımx→−5−

f(x) = 1 = f(−5) y lımx→−5+

f(x) = 4

En x = 0, tenemos discontinuidad de evitable

lımx→0+

f(x) = lımx→0−

f(x) = 1 existe el lımite en x = 0.

No hay continuidad a derecha ni continuidad a izquierda.

En x = 3, tenemos discontinuidad esencial infinita. En efecto,

lımx→3+

f(x) = −∞.

Como lımx→3−

f(x) = f(3) = 4, entonces en x = 3 la funcion es continua a izquierda.

Definicion 4.85 (Continuidad en intervalos)


1. Una funcion f es continua en el intervalo abierto (a, b) si f es continua en todopunto x0 de (a, b).

2. Una funcion f es continua en el intervalo [a, b) si f es continua en el intervaloabierto (a, b) y f es continua por la derecha en a.

3. Una funcion f es continua en el intervalo (a, b] si f es continua en el intervaloabierto (a, b) y f es continua por la izquierda en b.

4. Una funcion f es continua en el intervalo [a, b] si f es continua en el intervaloabierto (a, b) y f es continua por la derecha en a y continua a la izquierda en b.

Ejemplo 4.86 La funcion f definida en el ejemplo anterior es continua en los siguien-tes intervalos: (−∞,−5], (−5, 0), (0, 3] y [3,+∞). La union de estos intervalos defineel dominio de continuidad de la funcion. Esto es

Dominio de continuidad = (−∞,−5] ∪ (−5, 0) ∪ (0, 3] ∪ [3,+∞).

Es importante aclarar que el dominio de continuidad de una funcion no siempre coin-cide con el dominio de la funcion. En este caso, el dominio de la funcion es:

Dom(f) = (−∞,−5] ∪ (−5, 0) ∪ (0, 3] ∪ [3,+∞) = (−∞, 0) ∪ (0,+∞).

Ejemplo 4.87 (Continuidad de las funciones elementales)Un vistazo a las graficas de las funciones elementales nos permite afirmar que todas

las funciones elementales son continuas en su dominio de definicion. Ası,

por ejemplo la funcion f(x) =1

x3es continua en los intervalos (−∞, 0) y (0,+∞).

Ejemplo 4.88 (Continuidad de las funciones polinomicas y racionales)En los Ejemplos 4.10 y 4.11 verificamos que si f es una funcion polinomica y g es unafuncion racional, entonces

lımx→a

f(x) = f(a) para todo a ∈ IR.

lımx→a

g(x) = g(a) =P (a)

Q(a)siempre que Q(a) 6= 0.

Por lo tanto, las funciones polinomicas son continuas en todo IR y las funciones racio-nales son continuas en su dominio de definicion.

Ejemplo 4.89 Consideremos la funcion

f(x) =x3 + 2√

9− x2 +√x2 − 4

.

¿Sera f continua en los siguientes intervalos [0,+∞), (−∞, 0), [0, 3], (1, 2) y [−3,−2]?.


Solucion. Notemos que la funcion debe verificar simultaneamente las siguientes con-diciones para que este bien definida.

9− x2 ≤ 0 ⇒ x2 ≥ 9 ⇒ |x| ≥ 3 ⇒ −3 ≤ x ≤ 3

x2 − 4 ≤ 0 ⇒ x2 ≤ 4 ⇒ |x| ≤ 2 ⇒ x ≤ 2 o x ≥ −2.

De modo que, el Dom(f) = [−3,−2] ∪ [2, 3]. Ahora estudiamos la continuidad en cadaintervalo del dominio.Continuidad en [−3,−2]. Claramente f es continua en (−3,−2).

lımx→−3+

x3 + 2√9− x2 +

√x2 − 4

= − 25√5= −5

√5 = f(−3)

lımx→−2−

x3 + 2√9− x2 +

√x2 − 4

= − 6√5= −6/5

√5 = f(−2)

Por lo tanto, f es continua en el intervalo [−3,−2].Continuidad en [2, 3]. Claramente f es continua en (2, 3).

lımx→2+

x3 + 2√9− x2 +

√x2 − 4

=10√5= 2

√5 = f(2)

lımx→3−

x3 + 2√9− x2 +

√x2 − 4

=29√5= 29/5

√5 = f(3)

Por lo tanto, f es continua en el intervalo [2, 3].Con respecto a la pregunta f solo es continua en los intervalos (1, 2) y [−3,−2].

4.2.3. Algebra de Funciones Continuas

A continuacion enunciaremos dos teoremas que nos seran muy utiles para estudiar lacontinuidad de una funcion y construir una gran variedad de funciones continuas. Elprimero de estos resultados nos dice que las operaciones de suma, resta, multiplicaciony division preservan la continuidad de la funcion.

Teorema 4.90 Sea f , g funciones continuas en un punto x0 y sea k un numero real.Entonces,

(a) f + g es continua en x0.

(b) f − g es continua en x0.

(c) f · g es continua en x0.

(d) f/g es continua en x0 Siempre que g(x0) 6= 0.


El segundo resultado afirma que la composicion entre funciones no afecta la continuidadde las funciones.

Teorema 4.91 (Continuidad de la funcion compuesta)Sean f , g funciones tales que f es continua en x0 y g es continua en f(x0), entoncesg ◦ f es continua en x0.

Ejemplo 4.92 Las siguientes funciones son continuas es todo IR

f(x) = sen x+ 3√x+ x3 + 2x2 + 8x+ 9

g(x) = 5√x arctanx− x5 − 7x4 + 8x− 9.

Solucion. En efecto, las funciones f y g se definen como la suma, resta y productode funciones continuas en IR.

Ejemplo 4.93 Estudia la continuidad de la siguiente funcion.

f(x) =3

√x2 + 4x+ 5

x2 + x+ 1+ | cos (1 + ex5+4x+7)|

Solucion. Consideremos las funciones

g(x) =3

√x2 + 4x+ 5

x2 + x+ 1

h(x) = | cos (1 + ex5+4x+7)|tales que f(x) = g(x) + h(x)

Ahora estudiamos la continuidad de cada funcion por separado.

(a) Continuidad de g. Para estudiar la continuidad de g descomponemos a g enlas funciones:

g1(x) =x2 + 4x+ 5

x2 + x+ 1y g2(x) =

3√x

de modo que g(x) = g2(g1(x)).

Como x2 + x + 1 6= 0 para todo x ∈ IR, entonces del Ejemplo 4.88 se sigue queg1 es continua en IR. Por otro lado, la funcion g2(x) = 3

√x es continua en IR. Por

lo tanto g(x) = g2(g1(x)) =3

√x2 + 4x+ 5

x2 + x+ 1es continua en IR.


(b) Continuidad de h. Para estudiar la continuidad de h descomponemos estafuncion en las siguientes funciones

h1(x) = |x| , h2(x) = cosx , h3(x) = 1 + ex y h4(x) = x5 + 4x+ 7

donde cada una es continua en IR. Por lo tanto la composicion

h(x) = h1(h2(h3(h4(x)))) = | cos (1 + ex5+4x+7)|

es tambien continua en IR.

De (a) y (b) y del hecho que f(x) = g(x) + h(x) se sigue que f es continua en IR.

Terminamos esta seccion mostrando un resultado que generaliza la Proposicion 4.13dada en la seccion 4.1.2. En aquel momento este resultado fue muy util para calcular ellımite de funciones compuestas. En este momento, la utilidad no cambia, lo que cambiaes la condicion que debe verificar f . Veamos

Teorema 4.94 (Teorema de Sustitucion)Si lım

x→ag(x) = L y f es continua en L, entonces

lımx→a

f(g(x)) = f(lımx→a

g(x))= f(L).

Ejemplo 4.95 Utiliza el Teorema de Sustitucion para calcular el siguiente lımite

lımx→2

log2

(3x2 + 4

x+ 2

)

Solucion. Como el lımx→2

3x2 + 4

x+ 2= 4 y la funcion f(x) = log2(x) es continua en x = 4

entonces

lımx→2

log2

(3x2 + 4

x+ 2

)= log2

(lımx→2

3x2 + 4

x+ 2

)= log2(4) = 2.


En las siguientes funciones, determina el dominio, estudia la continuidad de cada unay expresa el dominio de continuidad (compara el dominio de la funcion con el dominiode continuidad).

1. f(x) =

(x+ 1)2, si x ≤ 0;1

2x2 , si 0 < x ≤ 1;x2, si x > 1.


2. f(x) =

1

(x+ 1)2− 1, si x ∈ (−∞,−1) ∪ (−1, 0];

1− x2, si 0 < x ≤ 1;x, si x > 1.

Estudia la continuidad de las siguientes funciones

1) f(x) =sen(x2 + 3x− 1)

x2 + 2x+ 42) f(x) = e

1x2+1 + arctan

(3

√x+ 1

x2 + 2

)

3) f(x) = ln(x2 + 3x+ 9)e3x+1

Investiga si cada una de las siguientes funciones son continuas en el intervalo indicado.

1. f(x) =x+ 2√x− 2

en los intervalos [2,+∞), [−2, 2], (2,+∞) y (−∞, 2).

2. f(x) =3√3x− 7

4− |3x+ 5| en los intervalos (−∞, 0), (0,+∞), (−1, 0), (0, 1) y (−10,−3).

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