matemática aplicada a la edificación i tema 2...
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Matemática Aplicada a la
Edificación I
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Matemática Aplicada a la
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no y
en e
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o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
1/84
MOSAICOS
M.C. Escher
(Holanda, 1898-1972)
http://www.mcescher.com/
Matemática Aplicada a la
Edificación I
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no y
en e
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Generación de mosaicosMatemática Aplicada a la
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Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
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Se aplican traslaciones, giros, simetrías
Matemática Aplicada a la
Edificación I
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Generación de mosaicosMatemática Aplicada a la
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Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
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Grupo cristalográfico plano: producto de dos traslaciones de vectores linealmente independientes
17 grupos diferentes
Matemática Aplicada a la
Edificación I
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CAD
“Computer Aided Design”
Diseño asistido por ordenador
A modo de ejemplo:
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Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
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Programa SketchUp Software libre
Matemática Aplicada a la
Edificación I
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• Introducción. Conceptos básicos.
• Transformaciones geométricas en el plano.
o Traslación.
o Simetría axial.
Tema 2: Transformaciones en el plano y en el espacio.
o Producto de transformaciones.
o Homotecia.Matemática Aplicada a la
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Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
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o Simetría axial.
o Giro.
• Transformaciones geométricas en el espacio.
o Traslación.
o Simetría especular.
o Giro.
o Simetría axial.
o Homotecia.
o Simetría central.
o Producto de transformaciones.
o Homotecia.
Matemática Aplicada a la
Edificación I
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Introducción. Conceptos básicos
� Sistema de referencia y coordenadas
� Distancia entre dos puntos
Geometría en el plano y en el espacio :
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Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
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� Ecuaciones de rectas, planos, …
…
Matemática Aplicada a la
Edificación I
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Introducción. Conceptos básicos
Se llama transformación geométrica a toda aplicación biyectiva del plano en sí mismo. El punto P’=t(P) se denomina transformado, homólogo o imagen del punto P.
....A ....A’Transformación geométrica
t
Todo punto tiene asociada una única imagen
En el plano
En el espacio
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Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
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.... ....t
....B’....BTodo punto es imagen de un
único punto
Matemática Aplicada a la
Edificación I
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Introducción. Conceptos básicos
Transformaciones lineales
1 1 1'x a x b y c= ⋅ + ⋅ +
P(x,y) P’(x’,y’)t Las coordenadas de P’ se calculan a partir de
las de P, según indique la transformación t
Ecuaciones de una transformación geométricaEn el plano
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Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
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2 2 2'y a x b y c= ⋅ + ⋅ +
1 1 1
2 2 2
1 1 0 0 1
'
'
x c a b x
y c a b y
= ⋅
Matriz de la transformación geométrica
Matemática Aplicada a la
Edificación I
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Introducción. Conceptos básicos
Ecuaciones de una transformación geométricaEn el espacio
P(x,y,z) P’(x’,y’,z’)t
Las coordenadas de P’ se calculan a partir de las de P, según indique la transformación t
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Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
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1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
1 0 0 01 1
'
'
'
d a b cx x
d a b cy y
d a b cz z
= ⋅
Matriz de la transformación geométrica
Matemática Aplicada a la
Edificación I
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Introducción. Conceptos básicos
Dada una transformación geométrica t, se llama transformación inversa de ella, y se representa por t-1, a la transformación geométrica tal que t-1(P’)=P, siendo P’=t(P) para todo punto p del plano.
....A ....A’t
........ t -1
En el plano
En el espacio
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Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
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....A....A’t -1
� Si la matriz de la transformación t es T, entonces la matriz de la transformación inversa t -1 es su matriz inversa T -1
Matemática Aplicada a la
Edificación I
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Introducción. Conceptos básicos
Se llama isometría o movimiento a toda transformación geométrica que deja invariable las distancias.
))(),((),( isometría est QtPtdQPd =⇔
Isometrías: Traslación, simetrías, giro
No isometrías: Homotecia, semejanza
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Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
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Propiedades: Toda isometría transforma rectas en rectas
Toda isometría conserva el valor absoluto de los ángulos
El determinante de la matriz de una isometría es ±1
En el plano
Matemática Aplicada a la
Edificación I
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Introducción. Conceptos básicos
Se llama transformación directa, par o positiva a toda transformación geométrica que conserva la orientación de los ángulos.
Transformación directa: Traslación, giro, homotecia, simetría axial (espacio), …
Propiedades: El determinante de la matriz de una transformación directa es > 0
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Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
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Se llama transformación inversa, impar o negativa a toda transformación geométrica que cambia la orientación de los ángulos.
Transformación inversa: Simetría axial (plano), simetría especular (espacio), …
Propiedades: El determinante de la matriz de una transformación inversa es < 0
En el plano
En el espacio
Matemática Aplicada a la
Edificación I
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Se llama elemento doble de una transformación geométrica a todo elemento geométrico (punto, recta, circunferencia, etc.) que permanece invariable respecto de ella.
Introducción. Conceptos básicos
t(E)=EEn el plano
En el espacio
A los puntos que verifican esta propiedad (se transforman en ellos mismos, es decir coinciden con su imagen) se les llaman puntos fijos o puntos dobles de dicha transformación geométrica. M
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Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
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En las traslaciones: rectas paralelas al vector de la traslación
En las simetrías axiales planas: puntos del eje de simetría, rectas perpendiculares al eje
En las simetrías especulares (espaciales): puntos del plano de simetría, rectas y planos perpendiculares al plano de simetría
…
fijos o puntos dobles de dicha transformación geométrica.
Matemática Aplicada a la
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Traslación en el plano
Dado un vector , se llama traslación de vector , y se denota por , a la transformación geométrica que asocia a cada punto
v�
vt�v�
Transformaciones geométricas en el plano
o Traslación.
o Simetría axial.
o Giro.
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Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
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Propiedades:
por , a la transformación geométrica que asocia a cada punto P del plano otro punto de forma que se verifique
vt�)(' PtP v
�=
'PP v=����� �
• Toda traslación es una isometría directa.
• Toda traslación transforma rectas en rectas paralelas a ellas.
• Los elementos dobles de la traslación de vector v son las rectas paralelas al vector v.
• Una traslación queda determinada si conocemos un punto del plano y su imagen.
Matemática Aplicada a la
Edificación I
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o
Traslación en el plano
Ecuaciones de la traslación de vector (v1,v2)
1
2
'
'
x x v
y y v
= += +
1 1 0 0 1 Matemática Aplicada a la
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Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
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1
2
' 1 0
' 0 1
x v x
y v y
= ⋅
Matriz de la traslación
Determinante = 1
Matemática Aplicada a la
Edificación I
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no y
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o
Ejemplo
Traslación de vector (-3,-4) aplicada al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)
Rombo original
1 0 0
3 1 0
4 0 1
− −
Matriz de la traslación
1 1 1 1
Traslación en el plano
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no y
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o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
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Rombo original0 1 2 1
0 1/ 2 0 1/ 2
−
Rombo transformado
vértices originales
1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
3 1 0 0 1 2 1 3 2 1 2
4 0 1 0 1/ 2 0 1/ 2 4 7 / 2 4 9 / 2
− ⋅ = − − − − − − − − − −
vértices transformados
Matemática Aplicada a la
Edificación I
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Ejemplo
Rombo original y su
Traslación de vector (-3,-4) aplicada al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)
Traslación en el plano
Matemática Aplicada a la
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Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
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Rombo original y su transformado
Matemática Aplicada a la
Edificación I
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o
Simetría axial en el plano
Dada una recta e en el plano, se llama simetría respecto del eje e o simetría axial de eje e, y se denota por Se , a la transformación geométrica que asocia a cada punto P del plano otro punto P ′ = Se(P) de forma que la recta e es la mediatriz del segmento PP ′.
Propiedades:Matemática Aplicada a la
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Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
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Propiedades:
• Toda simetría axial es una isometría inversa.
• Los únicos puntos dobles de una simetría axial son los puntos del eje. Las rectas perpendiculares a dicho eje son rectas dobles.
• Una simetría axial queda determinada si conocemos un punto del plano y su imagen.
Matemática Aplicada a la
Edificación I
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no y
en e
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o
Ecuaciones de la simetría axial de eje e
1 1 0 0 1
' cos 2 2
' 2 cos 2
x M sen x
y N sen y
α αα α
= ⋅ −
Simetría axial en el plano
e y mx n≡ = +
pendiente de la recta e
m tg α=
ángulo que forma el eje e con el semieje positivo de OX (medido desde éste)
Matemática Aplicada a la
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en e
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no y
en e
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o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
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' 2 cos 2y N sen yα α −
Matriz de la simetría axial
Determinante = -1
Para calcular los parámetros M y N:
1 1
2 2
1 1 0 0 1
cos 2 2
2 cos 2
a M sen a
a N sen a
α αα α
= ⋅ −
A(a1,a2)
punto cualquiera del eje
(punto doble)
Matemática Aplicada a la
Edificación I
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o
Ejemplo
Simetría axial de eje x+y-1=0 aplicada al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)
Matriz de la simetría axial1 0 0
1 0 1
1 1 0
− −
Rombo original
Simetría axial en el plano
1 1 1 1 M
atemática Aplicada a la
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o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
20/84
Rombo original
Rombo transformado
0 1 2 1
0 1/ 2 0 1/ 2
−
1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 0 1 2 1 1 1/ 2 1 3/ 2
1 1 0 0 1/ 2 0 1/ 2 1 0 1 0
− ⋅ = − − −
Matemática Aplicada a la
Edificación I
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en e
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no y
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o
Ejemplo
Eje de simetría, rombo original
Simetría axial de eje x+y-1=0 aplicada al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)
Simetría axial en el plano
Matemática Aplicada a la
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no y
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o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
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Eje de simetría, rombo original y su transformado
Matemática Aplicada a la
Edificación I
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o
Giro en el plano
Dado un punto C del plano y un ángulo , se llama girode centro C y amplitud α, y se denota por G(C,α), a la transformación que asocia a cada punto P del plano otro punto P ′ = G(C,α)(P) de forma que se verifiquen las dos condiciones siguientes:
α ∈ℝ
�
( , ) ( , ')
'
d C P d C P
PCP α
• =
• =
Matemática Aplicada a la
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no y
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o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
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Propiedades:
Se llama simetría central de centro C al giro de centro C y amplitud 180∘
• Todo giro es una isometría directa.
• El único punto doble de un giro es su centro.
• Un giro queda determinado si conocemos el centro, un punto y su transformado o bien dos puntos y sus respectivos homólogos.
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
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no y
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aci
o
Ecuaciones del giro de centro C(c1,c2) y amplitud α
1 1 0 0 1
' cos
' cos
x M sen x
y N sen y
α αα α
= − ⋅
Matriz del giro
Determinante = 1
Giro en el plano
Matemática Aplicada a la
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no y
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o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
23/84
Determinante = 1
Para calcular los parámetros M y N:
1 1
2 2
1 1 0 0 1
cos
cos
c M sen c
c N sen c
α αα α
= − ⋅
C(c1,c2)
centro del giro
(punto doble)
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
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en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Ejemplo
Giro de centro C(1/2,-1) y amplitud -30º aplicado al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)
Matriz del giro
1 0 0
3 3 11
4 2 2
3 3 1 3
2 4 2 2
− − −
Giro en el plano
Matemática Aplicada a la
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en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
24/84
2 4 2 2− −
Rombo original
1 1 1 1
0 1 2 1
0 1/ 2 0 1/ 2
−
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
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: Tr
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orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Ejemplo
Giro de centro C(1/2,-1) y amplitud -30º aplicado al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)
Rombo transformado
Giro en el plano
1 0 0 1 1 1 11 1 1 1
3 3 1 3 3 5 3 3 3 31 0 1 2 1 1 1
4 2 2 4 4 4 4 4 40 1/ 2 0 1/ 2
− ⋅ = − + + + − M
atemática Aplicada a la
Tem
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orm
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en e
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no y
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aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
25/84
Rombo original y su transformado
0 1/ 2 0 1/ 23 3 1 3 3 3 3 3 5 3 7 3 5
2 4 2 2 2 4 4 4 2 4 4 4
− − − − − − −
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
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: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Producto de transformaciones
Dadas dos transformaciones geométricas t1 y t2, se llama producto de ambas transformaciones, y se denota por t2 ◦ t1, a la composición de ambas transformaciones, es decir, al resultado de aplicar primero la transformación t1 y a continuación la transformación t2
....P ....P’t1 t2 ....P’’
En el plano
En el espacio
Matemática Aplicada a la
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: Tr
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en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
26/84
....P ....P’ ....P’’
....P ....P’’t2 ◦ t1
Importante: En general, el producto de transformaciones no es conmutativo
t2 ◦ t1 ≠ t1 ◦ t2
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
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en e
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no y
en e
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aci
o
Producto de transformaciones
� Si T1 es la matriz asociada a la transformación t1 y T2
es la matriz asociada a la transformación t2, entonces la matriz asociada al producto t2 ◦ t1 es T2 ・ T1.
En el planoEn el espacio
Matemática Aplicada a la
Tem
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en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
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Producto de transformaciones
Producto de matrices
t2 ◦ t1
T2・ T1
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
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: Tr
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orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o Producto de traslaciones
Traslación de vectoraT� 1 2( , )a a a
�
Traslación de vectorbT�
1 2( , )b b b�
Matrices
1
2
1 0 0
1 0
0 1
a
a
1
2
1 0 0
1 0
0 1
b
b
T T� ��1 0 0 1 0 0 1 0 0
Producto de transformaciones en el planoMatemática Aplicada a la
Tem
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: Tr
ansf
orm
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en e
l pla
no y
en e
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aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
28/84
� El producto de dos traslaciones es otra traslación cuyo vector es la suma de los vectores de las traslaciones dadas.
b aT T� ��
1 1 1 1
2 2 2 2
1 0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
b a a b
b a a b
= + +
i
=
Traslación de vector a b+� �
El producto de traslaciones es conmutativo, es decir, el resultado no depende del orden en que se apliquen ambas traslaciones.
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Ejemplo
T(2,1)・ T(-3,-4) aplicada al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)
Producto de transformaciones en el plano
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
29/84
Traslación de vector (-3,-4) aplicada al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o Giro G(C,α) donde C(c1,c2)
( , ) ( , ')C CG Gα α�
=
Producto de giros concéntricos
Giro G(C,α’) donde C(c1,c2)
Producto de transformaciones en el plano
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
30/84
=
( , ')CG α α+
� El producto de dos giros concéntricos es otro giro del mismo centro y cuya amplitud es la suma de las amplitudes de los giros dados.
El producto de giros concéntricos es conmutativo, es decir, el resultado no depende del orden en que se apliquen ambos giros.
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Ejemplo
G(C,90º)・ G(C,-30º) donde C(1/2,-1) aplicado al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)
1 0 0
3 3 11
4 2 2
3 3 1 3
2 4 2 2
− − −
1 0 0
1/ 2 0 1
3/ 2 1 0
− − −
Podéis comprobar que es la matriz de un giro de centro C
Producto de transformaciones en el plano
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
31/84
Matriz del giro G(C,-30º)
2 4 2 2
Matriz del giro G(C,90º)
Matriz del giro G(C,90º) ・ G(C,-30º)
1 0 01 0 0
3 3 11/ 2 0 1 1
4 2 23/ 2 1 0
3 3 1 3
2 4 2 2
− − • − −
− −
1 0 0
1 3 1 3
4 2 2 2
1 3 3 1
2 4 2 2
= − − − −
un giro de centro C y amplitud 60º
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Ejemplo
G(C,90º)・ G(C,-30º) donde C(1/2,-1) aplicado al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)
1 0 0
− 1
4
1
23
1
2−1
23
− − 1
2
1
43
1
23
1
2
1 1 1 1
0 1 2 1
01
20
-1
2
=
Producto de transformaciones en el plano
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
32/84
1 1 1 1
− 1
4
1
23 −
3
4
3
43 −
5
4
1
23 −
3
4
1
43
− − 1
2
1
43 − +
1
4
1
43 − +
1
2
3
43 − +
3
4
1
43
vértices transformados
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Ejemplo
G(C,90º)・ G(C,-30º) donde C(1/2,-1) aplicado al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)
− 1
4
1
23 −
3
4
3
43 −
5
4
1
23 −
3
4
1
43
− − 1
2
1
43 − +
1
4
1
43 − +
1
2
3
43 − +
3
4
1
43
Producto de transformaciones en el plano
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
33/84
Giro de centro C(1/2,-1) y amplitud -30º aplicado al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Producto de giros no concéntricos
Giro G(C,α)
( , ) ( ', ')C CG Gα α� =
Giro G(C’,α’)
( '', ')CG α α+ si α+α’ ≠ 2kπ
Traslación si α+α’ = 2kπ
Producto de transformaciones en el plano
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
34/84
� El producto de dos giros no concéntricos es:
� Otro giro de distinto centro y amplitud la suma de las amplitudes si no es múltiplo de 2π.
� Una traslación si la suma de las amplitudes es múltiplo de 2π.
El producto de giros no concéntricos no es conmutativo, es decir, el resultado sí depende del orden en que se apliquen ambos giros.
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Ejemplo
G(O,90º)・ G(C,-30º) donde C(1/2,-1) aplicado al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)
1 0 0
3 3 11
4 2 2
3 3 1 3
2 4 2 2
− − −
1 0 0
0 0 1
0 1 0
−
Podéis comprobar que es la matriz de un giro de centro
Producto de transformaciones en el plano
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
35/84
Matriz del giro G(C,-30º)
2 4 2 2
Matriz del giro G(O,90º)
Matriz del giro G(O,90º) ・ G(C,-30º)
1 0 01 0 0
3 3 10 0 1 1
4 2 20 1 0
3 3 1 3
2 4 2 2
− • −
− −
1 0 0
3 3 1 3
4 2 2 2
3 3 11
4 2 2
= − − −
un giro de centro C’’ y amplitud 60º
3 3 1 3''( 3, )4 4 4 4
C − − +
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Ejemplo
G(O,90º)・ G(C,-30º) donde C(1/2,-1) aplicado al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)
1 0 0
− 3
4
1
23
1
2−1
23
− 11
43
1
23
1
2
1 1 1 1
0 1 2 1
01
20
-1
2
=
Producto de transformaciones en el plano
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
36/84
1 1 1 1
− 3
4
1
23 −
5
4
3
43 −
7
4
1
23 −
5
4
1
43
− 11
43 +
5
4
1
43 + 1
3
43 +
3
4
1
43
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Ejemplo
G(O,90º)・ G(C,-30º) donde C(1/2,-1) aplicado al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)
− 3
4
1
23 −
5
4
3
43 −
7
4
1
23 −
5
4
1
43
− 11
43 +
5
4
1
43 + 1
3
43 +
3
4
1
43
Producto de transformaciones en el plano
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
37/84
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Producto de giro por traslación
Giro G(C,α)
Traslación aT�
( , )C aG Tα �� =
( ', )CG α
( , )CaT G α� � =
( '', )CG α
Producto de transformaciones en el plano
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
38/84
� El producto de un giro por una traslación es otro giro de distinto centro y la misma amplitud.
El producto de un giro por una traslación no es conmutativo, es decir, el centro del giro producto depende del orden en que se apliquen ambas transformaciones.
( , )Ca α� ( '', )C α
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Ejemplo
Identificar el movimiento G(A(3,1),-90º) ・ T(-2,0)
1 0 0
2 0 1
4 1 0
−
Matriz del giro G(A(3,1),-90º)
1 0 0
2 1 0
0 0 1
−
Matriz de la traslación T(-2,0)
Producto de transformaciones en el plano
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
39/84
1 0 0 1 0 0 1 0 0
2 0 1 2 1 0 2 0 1
4 1 0 0 0 1 6 1 0
• − = − −
Podéis comprobar que es la matriz de un giro
de centro (4,2) y amplitud -90º
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Producto de simetrías axiales de ejes concurrentes
e1
e2
C
P
P'
P''
α
Producto de transformaciones en el plano
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
40/84
� El producto de dos simetrías axiales de ejes concurrentes es un giro de centro el punto de intersección de ambos ejes y de amplitud el doble del ángulo que va del eje de la primera simetría que se aplica hacia el eje de la segunda simetría que se aplica.
Todo giro se puede descomponer como producto de dos simetrías cuyos ejes se corten en el centro del giro y formen un ángulo equivalente a la mitad de el del giro.
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Producto de simetrías axiales de ejes paralelos
� El producto de dos simetrías axiales de ejes paralelos es
e1
e2
P
P'
P''v
Producto de transformaciones en el plano
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
41/84
� El producto de dos simetrías axiales de ejes paralelos es una traslación cuyo vector es perpendicular a ambos ejes, su módulo es el doble de la distancia entre ambos ejes y su sentido es el que va desde el eje de la primera simetría que se aplica hacia el eje de la segunda simetría que se aplica.
Toda traslación se puede descomponer como producto de dos simetrías de ejes paralelos, los cuales serán perpendiculares al vector de la traslación y a distancia igual a la mitad del módulo de éste y orientadas según el sentido de dicho vector.
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Recopilando…
Producto de transformaciones en el plano
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
42/84
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Homotecia en el plano
Dado un punto C del plano y un número real k ≠ 0, se llama homotecia de centro C y razón k, y se denota por H(C,k), a la transformación geométrica que asocia a cada punto P del plano otro punto P′ = H(C,k)(P) de forma que:
Propiedades:
' =kCP CP⋅����� ����
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
43/84
Propiedades:
• Ninguna homotecia (con k ≠ 1) es una isometría.
• Toda homotecia transforma puntos alineados en puntos alineados.
• Toda homotecia conserva el valor absoluto y la orientación de los ángulos.
• El único punto doble de una homotecia de razón k ≠ 1 es su centro. Las rectas que pasan por el centro son rectas dobles.
• Una homotecia queda determinada si conocemos el centro, un punto y su imagen, o bien si conocemos dos puntos y sus respectivos transformados.
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Ecuaciones de la homotecia de centro C(c1,c2) y razón k
1 1 0 0 1
' 0
' 0
x M k x
y N k y
= ⋅
Matriz de la homotecia
Homotecia en el plano
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
44/84
Para calcular los parámetros M y N:
1 1
2 2
1 1 0 0 1
0
0
c M k c
c N k c
= ⋅
C(c1,c2)
centro de la homotecia
(punto doble)
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Ejemplo
Homotecia de centro C(2,-1) y razón -1/3 aplicada al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)
Matriz de la homotecia
1 0 0
8 10
3 3
4 10
3 3
− − −
Homotecia en el plano
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
45/84
03 3
Rombo original
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Ejemplo
Homotecia de centro C(2,-1) y razón -1/3 aplicada al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)
Rombo transformado
Homotecia en el plano
1 0 01 1 1 1 1 1 1 1
8 10 . 0 1 2 1 8 / 3 7 / 3 2 7 / 3
3 30 1/ 2 0 1/ 2 4 / 3 3/ 2 4 / 3 7 / 6
4 10
− = − − − − −
− − Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
46/84
Rombo original y su transformado
03 3
− −
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Producto de homotecias
Homotecia K(C,k)
Con el mismo centro:
Homotecia K(C,k’)
( , ) ( , ') ( , ')C k C k C k kH H H ⋅=�
Homotecia en el plano
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
47/84
� El producto de dos homotecias del mismo centro es otra homotecia del mismo centro y de razón el producto de sus razones.
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Producto de homotecias
Con distinto centro:
Homotecia K(C,k)
Homotecia K(C’,k’)
=
si k�k’ ≠ 1
)','(),( kCkC HH �)',''( kkCH ⋅
Homotecia en el plano
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
48/84
En ambos casos, los parámetros que definen la transformación producto deberán ser calculados de forma matricial.
� El producto de dos homotecias de distinto centro es:
� Otra homotecia de distinto centro y razón el producto de las razones, si éste es distinto a 1.
� Una traslación si el producto de las razones es 1.
=
Traslación si k�k’ = 1
)','(),( kCkC HH �
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o Se llama semejanza al producto de un movimiento por una homotecia o de una homotecia por un movimiento.
Semejanza
Ejemplo
Homotecia en el plano
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
49/84
Calcular las ecuaciones de la semejanza que resulta al aplicar una simetría de eje y=x+1 y a continuación una homotecia de razón k=2 que transforma el punto A(2,3) en el punto A’(3,5)
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Transformaciones geométricas en el espacio.
o Traslación.
o Simetría especular.
o Giro.
o Simetría axial.
o Simetría central.
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
50/84
o Producto de transformaciones.
o Homotecia.
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Traslación en el espacio
Dado un vector , se llama traslación de vector , y se denota por , a la transformación geométrica que asocia a cada punto P del espacio otro punto de forma que se verifique
v�
vt�)(' PtP v
�=
v�
'PP v=����� �
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
51/84
vector v
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o Propiedades:
Traslación en el espacio
• Toda traslación es una isometría directa.
• Toda traslación transforma puntos alineados en puntos alineados, rectas en rectas paralelas a ellas y planos en planos paralelos a ellos.
• Toda traslación carece de puntos dobles.
• Las únicas rectas dobles de la traslación de vector v son las rectas Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
52/84
• Las únicas rectas dobles de la traslación de vector v son las rectas paralelas al vector v.
• La inversa de una traslación de vector v es otra traslación de vector – v.
• El producto (composición) de dos traslaciones de vectores u y v es otra traslación de vector u+v.
• El conjunto de las traslaciones es un grupo conmutativo.
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Traslación en el espacio
Ecuaciones de la traslación de vector (v1,v2,v3)
1
2
3
'
'
'
x x v
y y v
z z v
= += += +
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
53/84
1
2
3
1 0 0 01 1
1 0 0'
0 1 0'
0 0 1'
vx x
vy y
vz z
= ⋅
Matriz de la traslación
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Ejemplo
Traslación de vector (-3,0,6) aplicada al punto P(4,5,2)
1 0 0 0
3 1 0 0
0 0 1 0
6 0 0 1
−
Matriz de la traslación
Traslación en el espacio
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
54/84
6 0 0 1
(4,5, 2) '(1,5,8)P P→
Aplicación de la traslación 1 0 0 0 1 1
3 1 0 0 4 1
0 0 1 0 5 5
6 0 0 1 2 8
− ⋅ =
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Simetría especular en el espacio
Dado un plano Π, se llama simetría especular respectodel plano Π, y se denota por SΠ, a la transformacióngeométrica que asocia a cada punto P del espacio otropunto P’=SΠ(P) de forma que el plano Π es perpendicular ala recta que une los puntos P y P’ y pasa por el punto mediodel segmento 'PP
“reflejo en un espejo”
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
55/84
Π
M es el punto medio del segmento PP’
El segmento PP’ es perpendicular al plano Π
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Simetría especular en el espacio
Propiedades:Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
56/84
Propiedades:
• Toda simetría especular es una isometría inversa.
• Toda simetría especular transforma puntos alineados en puntos alineados, rectas en rectas y planos en planos.
• Los únicos puntos dobles de una simetría especular son los puntos del plano de simetría Π.
• Las rectas y planos perpendiculares al plano de simetría Π son elementos dobles.
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Ecuaciones de la simetría especular de plano Π
0Ax By Cz DΠ ≡ + + + =
plano de la simetría especular
( , , )A B C
vector normal al plano
Simetría especular en el espacio
1 2 3( , , )n n n n=�
vector normal al plano y UNITARIO
1 1 0 0 0 1
'x P x
= ⋅
matriz identidad de orden 3I =
n Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
57/84
Matriz de la simetría especular
Para calcular los parámetros P, Q y R:
'
'
'
x P x
y Q y
z R z
= ⋅
2I N
−
( )1
2 1 2 3
3
n
N n n n n
n
=
Se impone que un punto cualquiera del plano de simetría A(a1,a2,a3) sea punto doble
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Ejemplo
Simetría especular de plano ΠΠΠΠ: -x+y+z+3=0 aplicada al punto P(0,3,6)
1 0 0 0
1 2 22
3 3 3
2 1 22
3 3 3
− −
Matriz de la simetría especular
Simetría especular en el espacio
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
58/84
3 3 3
2 2 12
3 3 3
− −
(0,3,6) '(8, 5, 2)P P→ − −
Aplicación de la simetría especular 1 0 0 0
1 2 2 1 123 3 3 0 82 1 2
3 523 3 3
6 22 2 1
23 3 3
⋅ = −− − −
− −
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Giro en el espacio
Se llama giro o rotación de eje la recta e y ángulo α, y se denota por G(e,α), a la transformación que asocia a cada punto P del espacio otro punto P ′ = G(e,α)(P) de forma que se verifiquen las dos condiciones siguientes:
• P’ pertenece al plano Π perpendicular al eje e trazado por el punto P.
•�'PCP α= donde C es el punto de corte del plano Π con el eje e.
• ( , ) ( ', )d P e d P e=Para definir unívocamente el giro al que se M
atemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
59/84
• ( , ) ( ', )d P e d P e=Para definir unívocamente el giro al que se hace referencia hay que fijar un sentido en el eje de giro o dar un punto y su transformado
Π
Se traza el plano Π que contiene a P y es
perpendicular al eje de rotación e
e
C
En el plano Π se transforma P en P’, mediante el giro de
centro C y ángulo α
α
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Giro en el espacio
Turning Torso (Malmö, Suecia)
2005, Santiago Calatrava
Rasc
aci
elo
s re
sidenci
al de 1
90 m
etr
os
de a
ltura
y 5
4 p
lanta
s
Propiedades:Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
60/84
Rasc
aci
elo
s re
sidenci
al de 1
90 m
etr
os
de a
ltura
y 5
4 p
lanta
s
Propiedades:
• Todo giro es una isometría directa.
• Todo giro transforma puntos alineados en puntos alineados, rectas en rectas y planos en planos.
• Los únicos puntos dobles de un giro son los puntos del eje e del giro.
• Los planos perpendiculares al eje de giro y las esferas centradas en un punto del eje de giro son elementos dobles.
• El conjunto de todos los giros del mismo eje constituyen un grupo conmutativo.
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Giro en el espacioEcuaciones del giro de eje OX y ángulo α
sentido creciente en el eje
1 1 0 0 0 1
' 0 1 0 0
' 0 0 cos
' 0 0 cos
x x
y sen y
z sen z
α αα α
= ⋅ −
Matriz del giro
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
61/84
Matriz del giro
Ecuaciones del giro de eje OY y ángulo α
sentido creciente en el eje
1 1 0 0 0 1
' 0 cos 0
' 0 0 1 0
' 0 0 cos
x sen x
y y
z sen z
α α
α α
= ⋅ −
Matriz del giro
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Giro en el espacio
Ecuaciones del giro de eje OZ y ángulo α
sentido creciente en el eje
1 1 0 0 0 1
' 0 cos 0
' 0 cos 0
' 0 0 0 1
x sen x
y sen y
z z
α αα α
− = ⋅
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
62/84
Matriz del giro
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Ejemplo
Giro de eje OY y ángulo 90º y sentido creciente aplicado al punto P(7,-1,3)
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
Matriz del giro
Giro en el espacio
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
63/84
0 0 1 0
0 1 0 0
−
(7, 1,3) '(3, 1, 7)P P− → − −
Aplicación del giro
1 0 0 0 1 1
0 0 0 1 7 3
0 0 1 0 1 1
0 1 0 0 3 7
⋅ = − − − −
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Simetría axial en el espacio
Dada una recta e, se llama simetría axial de eje e, y sedenota por Se, a la transformación geométrica que asocia acada punto P del espacio otro punto P’=Se(P) de forma quese verifiquen las siguientes condiciones:
• P y P’ pertenecen a un plano perpendicular el eje e de la simetría.
• La recta definida por P y P’ es perpendicular el eje de la simetría
• Si M es el punto de corte del eje e de la simetría con la recta 'PPMatemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
64/84
•( , ) ( ', )d P M d P M=
Si M es el punto de corte del eje e de la simetría con la recta 'PP
Una simetría axial de eje e es un giro de eje e y amplitud 180°.
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Simetría axial en el espacio
Propiedades:
• Toda simetría axial es una isometría directa.
• Toda simetría axial transforma puntos alineados en puntos alineados, rectas en rectas y planos en planos.
• Los únicos puntos dobles de una simetría axial son los puntos del eje e de la simetría.
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
65/84
• Las rectas normales al eje de simetría son rectas dobles. Los planos normales al eje de simetría y los que contienen a éste son planos dobles.
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Ecuaciones de la simetría axial de eje e
1 2 3( , , )n n n n=�
vector director del eje y UNITARIO
1 1 0 0 0 1
'x P x
= ⋅
matriz identidad de orden 3I =
n
Simetría axial en el espacio
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
66/84
Matriz de la simetría axial
Para calcular los parámetros P, Q y R:
'
'
'
x P x
y Q y
z R z
= ⋅
2I N
− +
( )1
2 1 2 3
3
n
N n n n n
n
=
Se impone que un punto cualquiera del eje de simetría A(a1,a2,a3) sea punto doble
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Ejemplo
Simetría axial de eje e cuya ecuación vectorial es (x,y,z)=(2,1,2)+λλλλ(1,0,0) aplicada al punto P(0,8,-3)
1 0 0 0
0 1 0 0
2 0 1 0
−
Matriz de la simetría axial
Simetría axial en el espacio
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
67/84
2 0 1 0
4 0 0 1
− −
(0,8, 3) '(0, 6,7)P P− → −
Aplicación de la simetría axial
1 0 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0
2 0 1 0 8 6
4 0 0 1 3 7
⋅ = − − − −
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Simetría central en el espacio
Dado un punto C del espacio, se llama simetría central decentro C, y se denota por SC, a la transformación geométricaque asocia a cada punto P del espacio otro punto P’=SC(P)de forma que se verifiquen las dos siguientes condiciones:
• Los puntos P, C y P’ son colineales
• C es el punto medio del segmento 'PP
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
68/84
Propiedades:
• Toda simetría central es una isometría inversa.
• Toda simetría central transforma puntos alineados en puntos alineados, rectas en rectas paralelas y planos en planos paralelos.
• El único punto doble de una simetría central es su centro C.
• Las rectas y los planos que pasan por el centro C de la simetría son elementos dobles. Las esferas centradas en el centro de la simetría son elementos dobles.
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Simetría central en el espacio
Ecuaciones de la simetría central de centro C(c1,c2,c3)
1
2
1 0 0 01 1
2 1 0 0'
2 0 1 0'
cx x
cy y
− = − −M
atemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
69/84
32 0 0 1' cz z −
Matriz de la simetría central
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Ejemplo
Simetría central de centro M(1,0,-3) aplicada al punto P(-1,9,-3)
1 0 0 0
2 1 0 0
0 0 1 0
− −
Matriz de la simetría central
Simetría central en el espacio
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
70/84
6 0 0 1 − −
( 1,9, 3) '(3, 9, 3)P P− − → − −
Aplicación de la simetría central
1 0 0 0 1 1
2 1 0 0 1 3
0 0 1 0 9 9
6 0 0 1 3 3
− − ⋅ = − − − − − −
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Producto de transformaciones en el espacio
Producto de simetrías axiales
� El producto de dos simetrías axiales cuyos ejes son paralelos, es una traslación de vector perpendicular a ambos cuyo módulo es el doble de la distancia entre ambas rectas.
� El producto de dos simetrías axiales cuyos ejes se cortan en un punto M es un giro de eje la recta r perpendicular a ambos ejes por el punto M y ángulo el doble del que forman ambas rectas.M
atemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
71/84
el punto M y ángulo el doble del que forman ambas rectas.
Resultados similares a los del plano
� El producto de dos simetrías axiales cuyos ejes se cruzan es el producto de una traslación por un giro (o de un giro por una traslación).
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Producto de transformaciones en el espacio
Producto de giros
� El producto de dos giros de ejes paralelos es:
� Otro giro respecto a un eje paralelo a ambos si la suma de los dos ángulos de giro no es múltiplo de 2π.
� Una traslación si la suma de los dos ángulos de giro es múltiplo 2π, en cuyo caso el vector de la traslación es perpendicular a ambos ejes y su módulo es el doble de la distancia entre ambos.
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
72/84
distancia entre ambos.
� El producto de dos giros cuyos ejes se cortan es otro giro cuyo eje pasa por la intersección de los ejes dados.
� El producto de dos giros cuyos ejes se cruzan es igual al producto de dos simetrías axiales cuyos ejes se cruzan.
Resultados similares a los del plano
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Producto de transformaciones en el espacio
Movimiento helicoidal
Se llama movimiento helicoidal al producto de un giro por una traslación de vector paralelo al eje del giro.
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
73/84
escaleras de caracol
La Casa Espiral de Apartamentos (Ramat Gan, Israel)
1990, Zvi Hecker
Parque de la Villete (París, Francia)
1984-6, Bernard Tschumi
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Producto de transformaciones en el espacio
Propiedades:
Movimiento helicoidal
• Una transformación es un movimiento helicoidal si y sólo si es producto de dos simetrías axiales.
• Todo producto de traslación por giro, o de giro por traslación, es un movimiento helicoidal, cualquiera que sea la dirección del vector de la traslación.M
atemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
74/84
vector de la traslación.
• El conjunto de los movimientos helicoidales es un grupo que coincide con el grupo de los movimientos directos.
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Descomposición en producto de movimientos
Producto de transformaciones en el espacio
Toda traslación de vector se puede descomponer en el
producto de dos simetrías especulares cuyos planos son
perpendiculares a la dirección del vector , separados una
distancia y tales que el sentido desde el primer plano hacia
el segundo coincide con el sentido del vector . / 2v�
1 2, vΠ Π ⊥ �
v�
v�
v�
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
75/84
2 1vt S SΠ Π=� �
1 2, vΠ Π ⊥
1 2( , )2
vd Π Π =
�
1 2
vΠ →Π�
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Descomposición en producto de movimientos
Producto de transformaciones en el espacio
Todo giro en el espacio de eje e y de amplitud α se puede descomponer en el producto de dos simetrías especulares de planos π1 y π2 tales que π1 ⋂ π2 = e y el diedro es igual en magnitud y sentido a α/2.
�1 2eΠ Π
1 2 eΠ ∩ Π =
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
76/84
2 1( , )eG S Sα Π Π= �
�1 2
2e
αΠ Π =
1 2 eΠ ∩ Π =
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Descomposición en producto de movimientos
Producto de transformaciones en el espacio
2 1eS S SΠ Π= �1 2 eΠ ∩ Π =
Toda simetría axial de eje e se puede descomponer en el producto de dos simetrías especulares de planos perpendiculares entre sí y que se cortan en e.
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
77/84
2 1eS S SΠ Π= �
1 2Π ⊥ Π
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Descomposición en producto de movimientos
Producto de transformaciones en el espacio
1C∈Π
Toda simetría central de centro C se puede descomponer en el producto de una simetría especular de un plano que pase por C y de una simetría axial cuyo eje sea perpendicular al plano anterior y que pase por C.
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
78/84
1C eS S SΠ= � C e∈
1
1e ⊥ Π
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Homotecia en el espacio
Dados un punto C del espacio y un número real , sellama homotecia de centro C y razón k, y se representa porH(C,k), a la transformación geométrica que asocia a cadapunto P del espacio otro punto P’= H(C,k)(P) que verifica
0k ≠
'CP k CP= ⋅����� ����
“zoom”
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
79/84
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Homotecia en el espacio
Homotecia directa
razón positiva
Homotecia inversa
razón negativa
1k ≠ La homotecia no es un movimiento (no conserva las distancias)M
atemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
80/84
Ecuaciones de la homotecia de centro C(c1,c2,c3) y razón k
1
2
3
1 0 0 01 1
(1 ) 0 0'
(1 ) 0 0'
(1 ) 0 0'
c k kx x
c k ky y
c k kz z
− = − −
(no conserva las distancias)
Matriz de la homotecia
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Ejemplo
Homotecia en el espacio
Homotecia de centro C(6,2,-1) y razón 2 aplicada al punto P(3,5,2)
1 0 0 0
6 2 0 0
2 0 2 0
− −
Matriz de la homotecia
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
81/84
2 0 2 0
1 0 0 2
−
(3,5,2) '(0,8,5)P P→
Aplicación de la homotecia
1 0 0 0 1 1
6 2 0 0 3 0
2 0 2 0 5 8
1 0 0 2 2 5
− ⋅ = −
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Producto de homotecias
Homotecia K(C,k)
Con el mismo centro:
Homotecia K(C,k’)
( , ) ( , ') ( , ')C k C k C k kH H H ⋅=�
Homotecia en el espacio
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
82/84
� El producto de dos homotecias del mismo centro es otra homotecia del mismo centro y de razón el producto de sus razones.
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Producto de homotecias
Con distinto centro:
Homotecia K(C,k)
Homotecia K(C’,k’)
=
si k�k’ ≠ 1
)','(),( kCkC HH �)',''( kkCH ⋅
Homotecia en el espacio
C, C’ y C’’ están alineados
Vector de la traslación
paralelo a CC’Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
83/84
En ambos casos, los parámetros que definen la transformación producto deberán ser calculados de forma matricial.
� El producto de dos homotecias de distinto centro es:
� Otra homotecia de distinto centro y razón el producto de las razones, si éste es distinto a 1.
� Una traslación si el producto de las razones es 1.
=
Traslación si k�k’ = 1
)','(),( kCkC HH � paralelo a CC’
Matemática Aplicada a la
Edificación I
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o Se llama semejanza al producto de un movimiento por una homotecia o de una homotecia por un movimiento.
SemejanzaHomotecia en el espacio
Semejanza directa razón de la homotecia positiva
Semejanza inversa razón de la homotecia negativa
Matemática Aplicada a la
Tem
a 2
: Tr
ansf
orm
aci
ones
en e
l pla
no y
en e
l esp
aci
o
Matemática
Aplicada I
M.A. Garrido
Grupo C
84/84
Ejemplo Semejanza H(C(6,2,-1), 2) � SC(1,0,-3)
Matriz de la semejanza
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
6 2 0 0 2 1 0 0 2 2 0 0
2 0 2 0 0 0 1 0 2 0 2 0
1 0 0 2 6 0 0 1 11 0 0 2
− − − − ⋅ = − − − − − − − −