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MATEMÁTICA

INGRESO 2017

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NÚMEROS REALES

El conjunto de números reales, que simbolizaremos con ℝ , es un conjunto que descubriste a partir de

un proceso constructivo que comenzó con el conjunto de los números naturales, y se fue ampliando con

el los enteros, de los racionales, delos irracionales, debido a la necesidad de resolver diferentes

problemas.

En cada conjunto numérico se definen operaciones y se analizan sus propiedades.

El conjunto de los números naturales: ℕ = {1, 2, 3, ...}

En este conjunto ℕ , se pueden realizar sumas y multiplicaciones sin salirse de él, (se dice que la

suma y la multiplicación son cerradas), pero no ocurre lo mismo con la resta, por ejemplo si

queremos restar 5 – 9, surge la necesidad de otro conjunto de números... De aquí se definen los

números negativos, que junto a los naturales y el cero forman el conjunto de los números enteros

que designaremos ℤ, . En este conjunto, la suma, la resta y la multiplicación son cerradas.

Es necesario considerar el conjunto de números enteros para poder resolver problemas como el

siguiente: ¿Existe un número natural que verifique que sumado a 8 de por resultado 3? En símbolos: ¿

x N / 8 + x = 3?

El conjunto de los números enteros: ℤ = {...,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,...}

Evidentemente, el conjunto de números naturales está contenido en el conjunto de números enteros, por

eso se dice que los números enteros son una "ampliación" de los naturales.

Pero, también hay problemas que no se pueden resolver en ℤ, como por ejemplo el siguiente:

¿Existe un número entero tal que multiplicado por 5 de por resultado 2? La respuesta es no.

Es necesario considerar una "ampliación" del conjunto de números enteros para poder resolverlo.

Surge así el conjunto de números racionales o fraccionarios. Un número racional es aquél que

puede escribirse como el cociente de dos números enteros p y q siendo q ≠ 0.

ℚ = { q

p / p ℤ , q ℤ y q 0 }

Por ejemplo, 3

5 es un número racional porque 3 y 5 son números enteros. 0 es racional porque

puede expresarse como 0

1 y ambos son enteros

¿Qué significa que dos números racionales son iguales?

Sean p, p´ ℤ , q , q ℤ − {0} , 𝑝

𝑞=

𝑝´

𝑞´ ⟺ 𝑝. 𝑞´ = 𝑝´. 𝑞

Notar que los enteros son racionales, pues pueden escribirse en forma de fracción.

Resulta: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ

3

Sea ahora el siguiente problema: ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado cuyos lados miden 1

unidad? Utilizando el Teorema de Pitágoras resulta que la respuesta es 2 . Y este número no es

racional, pues no puede expresarse como fracción. ( 2 = 1,414213562..)

Surge un nuevo conjunto de números, los irracionales. Se definen como aquellos números que no son

racionales. Se simboliza 𝕀. Los números 3 , , e son irracionales. Notar que ℚ 𝕀 =

Otros ejemplos de números irracionales son:

2 ; 3 ; 5 ; e = 2,718281...

3 2 ; 3 3 ; 4 2 ; 5 2

El conjunto de los números racionales unido al de los irracionales constituyen el conjunto de los

números reales. En símbolos: ℝ = ℚ ∪ 𝕀

Se puede usar la representación decimal para representar a los números reales.

Los números racionales pueden expresarse con una representación decimal finita o con una expresión

decimal periódica.

Por ejemplo: 3

2 = 1,5

1

3 = 0,333… = 0,3

En una expresión decimal periódica el grupo de cifras decimales que se repiten se llama período.

¿Pueden representar todos los números que conocemos mediante una expresión decimal finita o

periódica? No, todo número cuya expresión decimal es infinita no periódica constituye un número

irracional. Por ejemplo: 5,13133133313....... 0,12345678910111213....

Nota: El sistema numérico que usamos se llama decimal, o sistema de base 10, porque en este

sistema cada entero positivo está representado como una suma de potencias de 10.

Ejemplo: 105=1.102 + 0.10 + 5.10

0

Operaciones con números reales:

Es conveniente que ahora recordemos las propiedades que gozan algunas operaciones. La

aplicación correcta de las mismas ayuda a un manejo fluido de las operaciones con números reales.

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Suma:

Propiedades:

Sean a, b y c números reales cualesquiera. Se cumplen:

1- Propiedad de cierre o clausura: La suma de dos números reales es un único número real.

En símbolos: a ℝ , b ℝ a + b ℝ

2- Propiedad conmutativa: a + b = b + a ∀ a , b ℝ

3- Propiedad asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ℝ

4- Existencia del elemento neutro: Existe 0 R tal que a + 0 = 0 + a = a ∀ a ℝ

5- Existencia de opuesto: Para cada a ℝ existe su opuesto, -a ℝ que verifica a + (-a) = 0.

Diferencia:

La existencia de un único opuesto para cada número real justifica la definición de diferencia o resta de

números reales de la siguiente manera: a - b = a + (-b) siendo a ℝ , b ℝ

Propiedades:

Sean a, b y c números reales cualesquiera.

1- Propiedad de cierre o clausura: a ℝ , b ℝ a - b ℝ

2- Propiedad conmutativa: No se cumple.

Pues, por ejemplo: Sean a=6 y b=7, resulta a-b = 6-7 = -1 y b-a = 7-6 = 1.

3- Propiedad asociativa: No se cumple. (Buscar un ejemplo para probar esto)

4- La resta no tiene elemento neutro.

5- Como no tiene elemento neutro, no se puede analizar la existencia de opuesto.

Producto:

Propiedades:

1- Propiedad de cierre o clausura: a ℝ, b ℝ a.b ℝ

2- Propiedad conmutativa: a . b = b . a a , b ℝ

3- Propiedad asociativa: (a . b) . c = a . (b . c) a, b, c ℝ

4- Existencia del elemento neutro: Existe 1 ℝ tal que a . 0 = 0 . a = a a ℝ

5- Existencia de inverso multiplicativo:

Para cada a ℝ - {0} existe inverso, 1/a, que verifica a . (1/a) = 1

El inverso multiplicativo, si existe, es único.

Cociente o división:

La existencia de un único inverso multiplicativo para cada número real distinto de cero justifica la

definición de cociente de números reales de la siguiente manera: a b = a. 1

𝑏 siempre que b0

5

Propiedades:

Sean a, b y c números reales cualesquiera.

1- Propiedad de cierre o clausura: a ℝ , b ℝ -{0} a b ℝ

2- Propiedad conmutativa: No se cumple.

3- Propiedad asociativa: No se cumple.

4- La división no tiene elemento neutro.

5- Como no tiene elemento neutro, no se puede analizar la existencia de opuesto.

Observaciones: Sean a ℝ , b ℝ

0.a = 0 a ℝ

a.b = 0 ( a = 0 ó b = 0 )

1

𝑏 = 1 b = 1 . b

-1 = b

-1 b 0

0

𝑏 = 0 b = 0 . b-1 = 0 b 0

Propiedad distributiva (del producto con respecto a la suma):

a. (b + c) = a. b + a. c para todo a, b, c ℝ

Potenciación de un número real y exponente entero

Sean a ℝ y n ℕ , na = a.a.a.....a (n veces) el número a se llama base y n exponente.

a 0 = 1 si a 0 a

-n = ( 1/a)

n si a 0

Propiedades de la potenciación

Sean m, n números enteros y a, b números reales, se cumplen:

- Distributiva respecto al producto: (a.b)n = a

n . b

n

- Distributiva respecto al cociente: (a/b)n = a

n / b

n con b0

- Productos de potencias de igual base: an . a

m = a

m+n

- Cociente de potencias de igual base: an / a

m = a

m-n con a0

- Potencia de otra potencia: ( am )

n = a

m.n

Nota: Si algún exponente es negativo o cero, deben ser a y b distintos de cero.

La potencia no es distributiva con respecto a la suma ni a la diferencia.

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Radicación

Dados n ℕ , n 2 y a ℝ se llama raíz n-ésima de a, a cualquier número real que verifique bn=a

El número n se denomina índice y a radicando. En símbolos: abba nn

Observaciones:

Cuando el índice n es impar el valor de b es único y del mismo signo que el radicando.

Ejemplos: Se quiere calcular 5 32 . Se busca un b ℝ / b5 = 32. Se ve que 2

5=32 y es el único que

cumple esta condición. Luego 5 32 =2.

Se quiere calcular 5 32 . Se busca un b ℝ / b5 = -32. Se ve que (-2)

5=-32 y es el único que cumple

esta condición. Luego 5 32 = -2.

Cuando el índice n es par y el valor de a es negativo, no existe la raíz n-ésima de a.

(Se quiere calcular 9 . Se busca un b R / b2 = -9. Se ve que no existe tal b.)

Cuando el índice n es par y el valor de a es positivo, existen dos posibles valores de b. Se elige la

positiva y recibe el nombre de raíz aritmética n-ésima de a.

(Se quiere calcular 25 . Se busca un b R / b2 = 25. Se ve que hay dos valores de b, el 5 y el -5. Se

usará 25 = 5)

Nota: n 0 = 0

Propiedades de la radicación: Sean a, b ℝ

Distributiva respecto al producto: nnn baba ..

Distributiva respecto al cociente:

n

n

n

b

a

b

a

b 0

Raíz de otra raíz mnn m aa .

Nota: Si a ó b son negativos, estas propiedades valen cuando n es impar.

Combinando la potenciación y la radicación se definen las potencias de exponentes racionales m/n con

m ℤ y n ℕ , de la siguiente manera:

mnn mn

m

a a a con a ℝ+ si n es par y a ℝ si n es impar.

n

m

n

m

n

m

a

1

a

1 a

con a 0

Valen las propiedades citadas anteriormente.

7

Ejercicio 1:

Dada la siguiente tabla:

ℕ ℤ ℝ 𝕀

-5

8,3

√5

-5/3

10000

√−1

𝜋

√2

0

355/113

a) Marcar, si es posible, a que conjunto/s pertenecen los números de la primera columna.

b) Escribir el número como racional, de tres maneras distintas.

c) Convertir cada número en notación decimal expresándolos con uno, dos, tres y cinco

decimales.(Pensar que, en algunos casos, no es exactamente el mismo número)

d) Ordenar todos los números en forma creciente.

e) Marcar, de ser posible, su ubicación en la recta real.

Ejercicio 2:

Unir cada expresión con su resultado

14 − 4 − 5 + 3 − 2 + 7 − 1 + 4 18

14 − (4 − 5) + 3 − (−2 + 7 − 1) + 4 4

14 − 4 − [5 + 3 − (−2 + 7) − 1] + 4 16

14 − (4 − 5 + 3) − (−2 + 7 − 1 + 4) 12

Ejercicio 3:

Colocar en cada caso paréntesis donde sea necesario para que obtener e resultado indicado

a) 6. 3 + 6 : 2 - 1 = 20 b) 6. 3+ 6 : 2 - 1 = 26 c) 6. 3+ 6 : 2 - 1 = 20

Ejercicio 4:

Suprimir llaves, corchetes y paréntesis:

a)

b)

aba

abbaa

5

25

9

2

42

363

3

1

yzzyxzyxzyx 3232

8

Ejercicio 5:

Calcular. Luego realizar la misma operación con calculadora

143

8

5

12

5

3

11

4

2

11

4

3

5

2

c)

3

34

10

17

52-4

- 7

2- ) 10

5

2

10

12

3

1

5

1

3

2 ) ba

Ejercicio 6:

Transformar en fracción y resolver. Luego realizar la misma operación con calculadora

a) b)

Ejercicio 7:

Evaluar las siguientes expresiones:

5

24

2

14623.2222232

10

320f) ) 6 3d) 24 c) 53.2 b) 2.2)

a

baea

Ejercicio 8:

Resolver aplicando las propiedades de radicación y potencia:

Ejercicio 9:

Resolver, suponiendo que a ≠ 0

𝑎) 2𝑎 − 5𝑎 + 4𝑎 − 7𝑎 = 𝑏) 2

𝑎−

5

𝑎+

−3

𝑎

𝑐) 𝑎

𝑎−

𝑎

5+

−3𝑎

10 𝑑) [(20 − 5𝑎)2: 𝑎−3]

35

9,28:90,11,25

82:

25

4

4,09,0

22,04,0.3,0

784,01

1936,012

3

3

363

96

8

512

nm

nm 5 32

4

1.

2

3.2

2

1yxxy

xx 900400 5 5 23 7 22

1yxzyx

9

ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones que contienen uno o más valores

desconocidos (incógnita)

Una solución es un valor de la(s) incógnita(s) para los cuales la igualdad se verifica.

El conjunto solución de la ecuación es el conjunto de todas las soluciones.

Resolver una ecuación significa encontrar todas las soluciones, o sea hallar el conjunto solución.

Una identidad es una ecuación que se verifica para todos los valores posibles de la(s) incógnita(s).

Una expresión es algebraica si en ella aparecen variables y números, llamados coeficientes,

relacionados por operaciones suma, producto, división, potenciación y radicación

Ejemplos:

a) x + 5 = 0 c) x + y = 8 e) log y = 6 g) 2a - 4b + 10c = 9

b) a2 + a - 4 =0 d) e

x = 20 f) sen(p) = 0.45

Dos ecuaciones se dicen equivalentes cuando todas las soluciones de la primera ecuación son también

soluciones de la segunda, y, viceversa, todas las soluciones de la segunda ecuación son también

soluciones de la primera.

Ejemplos:

a) Las ecuaciones x + 1 = 2 y 2x + 2 = 4 son equivalentes.

Pues x=1 es la única solución de ambas ecuaciones.

b) Las ecuaciones x - 3 = 0 y x2 - 3 = 0 no son equivalentes.

Pues x=3 es solución de ambas, pero la segunda tiene una solución, x=-3, que no es solución de la

primera

Las ecuaciones pueden clasificarse, teniendo en cuenta el conjunto solución, en:

Compatible Determinada: cuando tienen un número finito de soluciones.

Compatible Indeterminada: cuando tienen infinitas soluciones.

Incompatible: cuando no existe ninguna solución.

Ejemplos:

a) x + 1 = 0 tiene una solución x = -1

b) x = x tiene infinitas soluciones ( es una identidad)

c) x2 = -1 no tiene ninguna solución real.

Teniendo en cuenta el número de incógnitas, una ecuación puede clasificarse en: ecuación de una

incógnita, ecuación de dos incógnita , etc.

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Ejercicio 1:

Clasificar las ecuaciones dadas en los ejemplos anteriores según el número de incógnitas.

Cuando el número de ecuaciones es igual o mayor a dos se llama sistema de ecuaciones.

Ejemplos: a)

2032

1

yx

yx b)

543

3

2)log(2

yx

yx

yx

Metodología para resolver ecuaciones:

Como dos ecuaciones equivalentes tienen las mismas soluciones, cuando se quiere resolver una

ecuación se puede resolver cualquiera que sea equivalente a ella, de ahí la idea de buscar ecuaciones

equivalentes más simples.

El procedimiento es transformar una ecuación en otra equivalente pero más simple, y así sucesivamente

hasta llegar a una ecuación equivalente a la dada, de la cual se encuentra con facilidad su conjunto

solución.

Las transformaciones qué se pueden hacer sobre una ecuación para obtener una equivalente son:

1- Intercambiar los dos miembros de la ecuación

2- Simplificar los miembros de la ecuación reduciendo a términos semejantes, eliminando los

paréntesis, etc.

3- Sumar o restarla misma expresión a ambos miembros de la ecuación (ver nota a)

4- Multiplicar o dividir ambos miembros por una misma expresión distinta de cero. (ver nota b)

5- Si un miembro de la ecuación es 0 y el otro puede ser factorizado, entonces se puede usar la ley

del producto y hacer cada factor igual a cero.

Notas:

a) Si la expresión que se suma no se puede calcular para cada valor de la incógnita entonces puede

ocurrir que las dos ecuaciones no sean equivalentes:

b) Si la expresión que se multiplica no es distinta de cero entonces puede ocurrir que las dos

ecuaciones no sean equivalentes:

.

11

2t 1 3 ) 1 - t (2

t t

t. 1 t . 1

t2) 2

1( t 2)

2

1(

t)(2 2

1 t)(2

2

1

t2 t 2

0 t 2 0 t 2

)1 - (1 2t ) 1 -1 ( t 2

1 - t 2 1 1 - 1 t 2

t2 1 1 t 2

t2 1 3 1 2. - t 2

Ecuación lineal en una incógnita:

Una ecuación es lineal en la incógnita x si mediante transformaciones equivalentes puede reducirse a la

siguiente expresión:

a.x + b = 0 a R , b R , a 0

Ejemplos

1) 5x - 4 = 3x - 2

. 5x - 4 = 3x - 2

5x - 4 – 3x = 3x - 2 -3x se suma a cada miembro el opuesto de (-3x)

2 x - 4 = - 2 se opera

2 x - 4 + 4 = - 2 + 4 se suma a cada miembro el opuesto de (-3x)

2 x = 2 se opera

2 x = 2 se divide a cada miembro por 2

2 x/2 = 2/2

x = 1

Luego el conjunto solución es S={1]

2)

Cualquiera sea el valor que demos

a “ t “ , la igualdad se verifica ,

por lo tanto, esta ecuación es

satisfecha por todos los reales, el

conjunto solución es R. Se trata de

una identidad.

S = R

12

1- .t 0

1-0 ).22(

1-2t)(-2t 2t- t2

1- t2 t 2

1- t 2 0 t 2

1 -2t ) 1 -1 ( t 2

1 - t 2 1 - 1 t 2

t2 1 t 2

t2 3 1 2. - t 2

t

2t 3 ) 1 -t ( 23)

Ejercicio 2:

Buscar en los ejemplos anteriores las ecuaciones de primer grado en una variable y resolverlas.

Analizando la ecuación a.x + b = 0 con a, b R, se puede clasificar, teniendo en cuenta las soluciones

de la misma, en:

a) compatible a solución única: cuando a 0, En este caso, la solución queda x = - b/a

b) indeterminada cuando a = 0 y b = 0 queda 0.x = 0 se verifica para todo x R

c) incompatible cuando a = 0 y b 0 queda 0.x = b no se verifica para ningún x R

Ejemplos:

a) 3x + 2 = 0 ==> x = -2/3

b) 3x - 3x = 0 ==> 0.x = 0 ==> se verifica para todo x R

c) 3x - 3x = 5 ==> 0.x = 5 ==> no se verifica para ningún x R

Ejercicio 3:

Resolver las siguientes ecuaciones lineales:

i)

ii) iii)

No existe valor de “t” que

verifique esa igualdad pues,

0. t = 0 t R

S =

53

13945

2

7

xxx

2

234

3

215

6

4523

xx

xxx

4

1

3

13

2

15

4

510

x

x

13

Ecuación lineal en dos incógnitas:

Se llama ecuación lineal en las incógnitas x e y si mediante transformaciones equivalentes puede

reducirse a la siguiente expresión:

a.x + b.y + c = 0 a,b,c R , a 0 , b 0

Analizando la ecuación a.x + b.y + c = 0 a,b,c R, se puede concluir que la clasificación según las

soluciones de la misma es la siguiente manera:

a) nunca es compatible determinada.

b) incompatible cuando a = 0, b = 0 y c 0

0.x + 0.y = b no se verifica para ningún par de valores x,y R

c) indeterminada el resto de los casos

Ejemplos:

a) 3x + 2y = 1 ==> x = (1 -2y)/3 ; y R

b) 0x + 0y = 0 ==> se verifica para todo x R y todo y R

c) 0x - 0y = 5 ==> no se verifica para ningún x R

Generalizando, se dice que una ecuación lineal en las incógnitas 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , si mediante

transformaciones equivalentes puede reducirse a la siguiente expresión:

𝑎1. 𝑥1 + 𝑎2. 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛. 𝑥𝑛 + 𝑏 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑎1, 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 , 𝑏 ∈ ℝ

Una ecuación se dice no lineal si no es lineal.

Ejemplos:

2x +1 = 3 lineal

3x - 2y + 4 = 0 lineal

x + y - z = 4 lineal

2x2 +1 = 3 no lineal

2x2 – 2 log(y) + 4 = 0 no lineal

x +sen(y) - z = 4 no lineal

x.y + x = 6 no lineal

14

Ecuación de segundo grado en una variable:

Una ecuación es de segundo grado en la incógnita x si mediante transformaciones equivalentes puede

reducirse a la siguiente expresión:

a.x2 + b.x + c = 0 a R, b R, c R, a 0

Para resolver esta ecuación se utiliza la resolvente:

xb b ac

a1 2

2 4

2,

La expresión b2-4ac recibe el nombre de discriminante de la ecuación.

Se simboliza: ac4b2

Analizando la resolvente de la ecuación de segundo grado, se puede concluir que las soluciones de la

misma depende del discriminante, de la siguiente manera:

a) si > 0 la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas.

b) si = 0 la ecuación tiene dos soluciones reales e iguales. (una solución doble)

c) si < 0 la ecuación no tiene ninguna solución real.

En los casos a y b la ecuación resulta compatible y en el caso c resulta incompatible.

Ejemplos:

a) x2 + x - 2 = 0 1

2

311

x

2

31

2

811

1.2

)2.(1.411 2

2,1

x

22

312

x

b) x2 - 2x + 1 = 0 1

2

02

2

02

1.2

1.1.4422,1

x

c) x2 + x + 2 = 0

2

71

2

811

1.2

2.1.4112,1x

15

6

5

3

2 - x

6

13 - x

3

5 x

2

3 12) 0 15-y

3

1 -y 11) 2-

8

1 x

4

3- 10)

13 - a a 4 - 5 9) 16 - x 5x - 8 8) 5y - 23 1 -7y 7)

35 - 7 -4x - 6) 8 y .5

1 5) 117 y 13- 4)

6 - 9 x 3) 22 18 - x2) 8 11 y 1)

Propiedad:

Si x1 y x2 son las soluciones de una ecuación de segundo grado en la incógnita x , entonces se puede

factorizar la expresión ax2+bx+c de la siguiente manera:

ax2 + bx + c = a (x - x1) (x – x2)

Ejercicio 4:

Analiza los casos particulares de la ecuación cuadrática

Ejercicio 5:

Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas deduciendo previamente la cantidad de soluciones de

acuerdo al discriminante:

i)

ii)

iii)

Ejercicio 6:

Calcular m tal que las siguientes ecuaciones cuadráticas tengan:

i) tenga 2 raíces reales

ii) tenga 1 raíz real

iii) carezca de raíces reales

Ejercicio 7:

Resolver las siguientes ecuaciones

335344 22 xxxx

66222 xxxx

374135 22 xxxx

;0323 2 xmx

;042 mxx

;032 2 mxx

16

Ejercicio 8:

Resolver las siguientes ecuaciones:

a) x2 - 5x + 6 = 0

b) p2 - 5p = -1

c) y2 - 3y + 2 = 4y - 2y

2

d) 5c2 +9c - 1 = -7c

2 +12c - 8

e) i2 - 4i = 0

f) b2 - 64 = 0

g) -5x2 - 20 = - 10x

h) (3x-2)2 + (2x+3)

2 = 26

i) 6x - 18 - (x+1)2 = x

2 - (x+2)

2

Ejercicio 9:

Escribir una ecuación cuadrática que tenga por raíces los siguientes números:

a) 3 ; 5 b) 2 ; 1/3 c) 1 d) 0 ; 1

Ejercicio 10:

Escribe una ecuación que tenga como soluciones los números 7 y – 8.

2y13y 3-5y 21) t - 1 1 - t 20)3x 4 x 4 2x 19)

2x 2 -2x -4x 18) w7 - w7 17) y 7 y 7 16)

5 x 0 15) 0 x4 14) 0 x . 0 )13

) 1 x ( x 1) - x ( x 37)

x 1) - x ( x 36) x x. x.35) 0 x

6-3x 34)

0 1-2x

x)-3 (x 32) 0

x-8

4-x 31) 0 ) 4 7a )(3 - a (

7

1 )29

0 ) 2-x )(1 - x ( x30) 0 ) 2 -3x )( 3 -(2x 29) 0 ) 8 - m ( m 28)

0 ) 1 -4y () 4 -(3y 27) 0 ) 7 - t )( 3 - t ( 26) 0 ) 5 - x )( 2 x ( 25)

) 1 - a ( - ) 2 a ( ) 3 -a ( a 24) 25 ) 10 -2y ( -5y 23) ) 2 - t 3 10( 80 22)

17

b a c b c a 6) b a b c- c a- 5)

b a b c c a 4) b a a- b- 3)

c a a c 2) c b b )1

c

INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones que contienen uno o más valores

desconocidos (incógnita)

Una solución es un valor de la(s) incógnita(s) para los cuales la desigualdad se verifica.

El conjunto solución es el conjunto de todas las soluciones.

Resolver una inecuación significa encontrar todas las soluciones, o sea hallar el conjunto

solución.

Propiedades: Sean x, y, z R

Si x < y entonces x + z < y + z ( igual para >, , )

Si x < y y z > 0 entonces x . z < y . z ( igual para )

Si x < y y z < 0 entonces x . z > y . z ( igual para )

Ejercicio 1

Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando la respuesta.

En todos los casos a, b y c son números reales.

¿Cómo se puede averiguar si un número es solución de una inecuación? .

Ejemplo: ¿x = 5 es solución de la inecuación x2 + 3 < 5 - x ? ; ¿ x = -1 es solución?

Reemplazamos la incógnita x por el valor 5. x2 + 3 < 5 - x

52 + 3 5 - 5

25 + 3 0

28 0 ( 28 > 0)

Luego: x = 5 no es solución de la inecuación.

x = -1 x2 + 3 < 5 - x

(-1)2 + 3 5 - (-1)

1 + 3 5 + 1

4 6 (4<6) Luego, x = -1 sí es solución de la ecuación.

¿Habrá otras soluciones? ¿Cómo se pueden encontrar? Lo importante aquí es que para decidir si

un número dado es o no solución, no hace falta resolver la inecuación.

18

2 x 0 1 -x

x 2 h) 2 x 5 3x - x x 4- g)

0 x 1 3 x

2 -x f) 3 t 0 ) t 3 )( 3 - t ( e)

3 t 0 ) t 3 )( 3 - t ( )d 1 x 8 ) 5 x ( xc)

3- y 9 y - 6 b) 3 y 10- 5 -y 2 a)

2

4)A ( 3

2 x

6)(A 3

2 x 1.

(A2) 3

2 x ) 3

3

1(

) propiedad 3, de inverso elpor amosmulltiplic ( 2 3

1 )3(

3

1

4)A ( 2 x 3

5)(A 2 0 x 3

) propiedad 2,- de opuesto el (sumamos 2 0 2 2 - x 3

0 2 - x 3

x

Ejercicio 2:

Determinar si el número indicado es solución de la desigualdad:

Ejercicio 3:

Representa gráficamente (para repasar los operadores lógicos):

1 x 4 x 8) 5 x 2 x 7)

0 x 2- x 6) 5- t 10 - t5) 2 x 1- x 4)

3- y 7- 3) 3 y 0 2) 6 x 1 )1

Existen distintos métodos para resolver inecuaciones. Se usará el método algebraico. Según el caso

hay uno omás métodos que resultan apropiados, más simpli o más fácil de reconocer las soluciones

o más conocido.

Ejemplos:

1) Encuentra el conjunto solución de 3x–2>0, exprésalo como intervalo y represéntalo sobre las

recta real.

19

0 2 x

4 -2x n) 0

2-x

1-x m)

0 ) 6- x ( ) 4 - x (() 2 x( l) 0 ) 2 x ( ) 5 - x ( k) 0 ) 2 x ( ) 5 - x ( j)

0 ) 2 x ( ) 5 - x ( i) 0 ) 1 x ( x h) ) 1 x ( x g)

0 ) 1 x ( ) 1 - x ( f) 0 ) 2 - x(1) - x ( e) x 6 3 - 1 - x 2 d)

x5 - 8 x 5 - 7 c) 5 x 2 - 4 b) 2 - x 5 4 x 3 a)

32

2

, 3

2

3

2 / x R x S

2 x _1 / R x

Resulta entonces el conjunto solución

( -1 0 2/3 1 2

2) Encuentra el conjunto solución de (x – 2 )(x + 1) 0, exprésalo como intervalo y represéntalo

sobre las recta real.

Para que el producto de los dos factores ( x – 2 ) y ( x + 1 ) sea menor o igual que

cero, tenemos dos posibilidades:

(I) x – 2 0 x + 1 0 (II) x – 2 0 x + 1 0

S(I) S(II)

S

(I) x 2 x -1

-2 -1 0 1 2 resulta S(I) =

(II) x 2 x -1

-2 -1 0 1 2 resulta S(II) = [ -1 , 2 ]

S = S(I) S(II) = [ -1 , 2 ] = [ -1 , 2 ] =

Ejercicio 4:

Resuelve las siguientes inecuaciones, si es posible con distintos métodos, expresa el conjunto

solución como intervalo y represéntalo en la recta real.:

20

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de una número x, denotado por | x |, es un número real que, es igual a x , si x es

positivo ó cero y, es el opuesto de x, si x es negativo.

En símbolos:

|x| = {x, x ≥ 0

−x, x < 0

Ejemplos

| 3 | = 3 | -1 | = -1 | log (-2) | = log (-2) = 0.058

| (-3)| = - (-3) = 3 | 1 - | = - (1- ) = -1 | log (-3) | = - log (-3)= - (- 0.85) = 0.85

Propiedades:

a) | x | 0 ; Rx .

b) | x | = | - x | ; Rx .

c) | x | = r x = r ó x = -r -r lo r

d) | x | < r -r < x < r ( * )

-r o r

e) | x | > r x < -r ó x > r ) * ( -r o r

Ejemplos

1 ) | x – 5 | < 3 )d.(prop

.abvalor - 3 < x - 5 < 3

)a.(prop

.desig 5 - 3 < x < 5 + 3 2 < x < 8

2 < x < 8 1S

x2 y 2S

8x ( “ y “ S 1 S 2 )

S 1 S 2 = { x R / 2 < x } { x R / x < 8 } = ( 2 ; 8 )

-1 > 0

1- < 0

- 2 > 1 log ( -2) > 0

0< -3 < 1 log ( -3) < 0

r > 0

21

0 2

| ( x S1

| ) x S2

0 8 | ( )

x S = S 1 S 2

0 2 8

Rta: S = { x R / 2 < x < 8 } S = ( 2 ; 8 )

( | ) x

2 5 8

2 ) | x – 5 | > 3 )e.(prop

.abvalor x -5 < -3 ó x -5 > 3

1S

2x ó 2S

8x ( “ó “ S1 S2 )

Rta: S = S 1 S 2 = { x R / x < 2 } { x R / x > 8 }

= (- ; 2 ) ( 8 ; + )

) | ( x

2 5 8

3 ) 0 < | x – 5 | < 3

1S

5x0 y

2S

35x (conjunto solución S 1 S 2 )

Rta: S = S 1 S 2 = { x R / x 5 } ( 2 ; 8 ) = ( 2 ; 8 ) – { 5 }

( ) ( ) x

2 5 8

Ejercicio 1:

Representar sobre un eje coordenado los conjuntos A ; B ; AB y AB para:

a) A = [2 ; 4 ) ; B = [ 4 ; 7]

b) A = [2 ; 6 ] ; B = [3 ; 4]

c) A = ( 2 ; 4 ) ; B = (1 ; 5 )

d) A = (-3; -1 ) ; B = (-2 ; 0 )

22

Ejercicio 2:

Resolver y unir cada inecuación en la primer columna con su conjunto solución en la segunda

columna. Graficar el conjunto solución .

a) | x – 5 | < 3

b) | 5 – x | < 0

c) | x – 7 | < 2

d) | x – 7 | 2

e) 2 < | 4 - 2x | < 6

f) 0 < | 4 - 2x | < 6

Ejercicio 3:

Hallar el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones, y representarlo en el eje real

S1 = { x R / 5 < x < 9 }

S2 = (-1 ; 1) ( 3 ; 5)

S3 = ( -1 ; 5 ) - { 2 }

S4 =

S5 = R - { 0 }

S6 = R

S7 = { 0 }

S8 = { x R / x 5} { x R / x 9 }

S9 = { x R / x > 2,5 }

S10 = [ 1,5 ; + )

S11 = { x R / -2 < x < 2 }

S12 = { x R / x -2} { x R / x 2 }

23

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Se llama sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas x e y a la siguiente expresión:

a1.x + b1.y + c1 = 0

a1,b1,c1,a1,b1,c1 R

a2.x + b2.y + c2 = 0

Se llama solución de un sistema de ecuaciones a los valores que, atribuidos a las incógnitas,

verifican todas las ecuaciones del sistema.

Resolver el sistema el hallar, si existen, la o las soluciones comunes a hallar todas las ecuaciones del

mismo. Es decir hallar el conjunto solución del sistema (S)

Son tres las situaciones que se pueden presentar:

a) Que el sistema tenga solución única. Se llama sistema compatible determinado.

b) Que el sistema tenga infinitas soluciones. Se llama sistema compatible indeterminado.

c) Que el sistema no tenga solución . Se llama sistema incompatible

Ejemplos:

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) x + y = -2

2x + y = -1

Para resolver este sistema por el método de sustitución, hay que:

- despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones

- reemplazarla en la otra ecuación

- resulta una ecuación en una sola incógnita, se resuelve

- encontrar el valor de la otra incógnita

Despejamos y de la primera ecuación : y=-2-x y lo reemplazamos en la segunda:

2x + (-2-x) = -1 ==> x = 1

Luego: y = -2 -1 = -3 d

La solución del sistema es : x=1, y=-3 S={(1,-3)}

Este sistema es compatible determinado.

¿Hay otros métodos para resolver este tipo de sistemas?¿Cuáles son?

24

b) x - y = 3

2x - 2y = 6

Despejamos x de la primera ecuación: x=3+y y lo reemplazamos en la segunda:

2(3+y) -2y = 6 ==> 6 +2y-2y = 6 ==> 0y = 0

Vemos que cualquier y R verifica esta ecuación, luego el sistema tiene infinitas soluciones, que

pueden escribirse como: x=3+y, y R

Este sistema es compatible indeterminado.

c) 2x + y = 2

x + (1/2)y = 3

Despejamos y de la primera ecuación: y=2-2x y lo reemplazamos en la segunda:

x + (1/2)(2-2x) = 3

x +1 -x = 3

0x=2

vemos que no existe x R que verifique esta ecuación, luego el sistema no tiene solución.

Este sistema es incompatible.

Ejercicio 1:

Analizar si alguno de los pares siguientes (-1,1) ; (2 , 0) ; (0,0) ; (1, 1) es solución del sistema:

0

02

yx

xy

Ejercicio 2:

Dado el sistema: {2𝑥 . 3𝑦 = 0

−𝑥 + 3

2𝑦 = 0

Analizar si alguno de los pares siguientes es solución del sistema: (4,-1) ; (3,2) ; (1/2 , ½) , (-9;-6)

¿Puedes decir cuántas soluciones tiene este sistema, sin resolverlo? ¿Por qué?

Ejercicio 3:

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. Clasificarlos de acuerdo a su conjunto solución.

a)

72

12

yx

xy b)

463

52

yx

yx c)

1

15

yx

yx d)

842

22117

yx

yx

Ejercicio 4:

Para el sistema {𝛼𝑥 − 𝑦 = −1

𝑥 + 𝛼𝑦 = 2 , encontrar, si existe, el valor del número real α tal que el (0,1) sea

solución.

25

LOGARITMO. ECUACIONES LOGARITMICAS

26

27

Ecuaciones logarímicas

Ejemplos

Ecuaciones logarímicas

Ejemplos:

28

Ejercicio 1:

Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales

Ejercicio 2:

Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales

29

POLINOMIOS

𝑆𝑒𝑎 𝑛 ∈ ℕ0, 𝑎0 , 𝑎1, 𝑎2 , 𝑎3, … . , 𝑎𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 , 𝑥 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒. Llamaremos expresión

polinomial o Polinomio en una variable con coeficientes reales, a toda expresión del tipo

𝒑(𝒙) = 𝒂𝒏. 𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏. 𝒙𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟐. 𝒙𝟐 + 𝒂𝟏. 𝒙𝟏 + 𝒂𝟎

Utilizando el símbolo, puede escribirse de la siguiente manera:

n

i

inin xaxP

0

El número ai , i= 1,n se llama coeficiente de grado i, el número an ≠ 0 se llama coeficiente principal y

al número a0 se lo llama término independiente.

Ejemplos:

a) 𝑝(𝑥) = 3 + 0. 𝑥2 + 1. 𝑥3 − 2,4. 𝑥1

b) 𝑞(𝑥) = 5

c) 𝑟(𝑥) = 0 + 0. 𝑥1 + 0. 𝑥2 + 0. 𝑥3 + 2. 𝑥4

d) 𝑠(𝑥) = 0 + 0. 𝑥1 − 2. 𝑥2 + 0. 𝑥3 − 2. 𝑥4 + 1. 𝑥5

En general no se escriben los términos con coeficientes nulos, tampoco el coeficiente igual a 1. Los

polinomios de los ejemplos se escriben:

a) 𝑝(𝑥) = 3 + 𝑥3 − 2,4. 𝑥

b) 𝑞(𝑥) = 5

c) 𝑟(𝑥) = 2. 𝑥4

d) 𝑠(𝑥) = −2. 𝑥2 − 2. 𝑥4 + 1. 𝑥5

Un polinomio está ordenado si se escriben los términos ordenados según las potencias decrecientes de

la variable x, y está completo cuando se escriben todas las potencias de x.

El polinomio p del ejemplo está incompleto, para completarlo se agregan las potencias de x faltantes

con coeficientes ceros, obteniendo 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 0𝑥2 − 2,4. 𝑥 + 0

Se llama polinomio nulo al polinomio que tiene todos los coeficientes nulos, se escribe p(x)=0

En lo anterior se usó la letra x para simbolizar la variable, también se pueden usar otras letras, teniendo

cuidado de indicar cuál es. Dar ejemplos.

30

Un monomio es un polinomio de un solo término. Un binomio es un polinomio de dos términos, un

trinomio es un polinomio de tres términos, y uno de cuatro términos es un cuatrinomio.

Se llama grado de un polinomio en una sola variable al mayor exponente de los términos de

coeficientes no nulos.

El polinomio nulo carece de grado.

Si el polinomio de reduce a un número, p(x)= a0, se llama polinomio constante y tiene grado cero.

Si el polinomio tiene grado 1 se denomina polinomio lineal o de primer grado.

Si el polinomio tiene grado 2 se denomina polinomio cuadrático o de segundo grado.

Si el polinomio tiene grado 3 se denomina polinomio cúbico o de tercer grado.

Dos polinomios son iguales si y sólo tienen el mismo grado y los coeficientes de los términos de igual

grado son iguales. En Símbolos:

𝑆𝑒𝑎𝑛 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛. 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1. 𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1. 𝑥1 + 𝑎0, 𝑦

𝑞(𝑥) = 𝑏𝑚. 𝑥𝑚 + 𝑏𝑚−1. 𝑥𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1. 𝑥1 + 𝑏0 , entonces

𝒑(𝒙) = 𝒒(𝒙) ⟺ 𝒎 = 𝒏 𝒚 𝒂𝟎 = 𝒃𝟎 , 𝒂𝟏 = 𝒃𝟏 , 𝒂𝒏 = 𝒃𝒎

Ejercicio 1:

Determinar si existen valores de las constantes a , b , c y d para los cuales los polinomios p(x) y q(x)

resultan iguales :

i)) p(x) = ax4 3x

3 + 4x

25 q(x) = 3x

4 +bx

3 + 4x

2 + (c5)x + d

ii) p(x) = (x3- a x + 1).(2 x

2- b) q(x) = 2 x

5- 7 x

3+ 2 x

2+ 6 x – 3

Operaciones con Polinomios

Dados los polinomios

𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛. 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1. 𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1. 𝑥1 + 𝑎0, 𝑦

𝑞(𝑥) = 𝑏𝑚. 𝑥𝑚 + 𝑏𝑚−1. 𝑥𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1. 𝑥1 + 𝑏0 ,

Suma:

Se puede suponer que ambos polinomios tienen el mismo grado, pues de no ser así, basta con completar

con coeficientes cero los términos faltantes. En ese caso, la suma de polinomios se define:

𝒑(𝒙) + 𝒒(𝒙) = (𝒂𝒏 + 𝒃𝒏) 𝒙𝒏 + (𝒂𝒏−𝟏 + 𝒃𝒏−𝟏)𝒙𝒏−𝟏 + ⋯ + (𝒂𝟏 + 𝒃𝟏)𝒙𝟏 + (𝒂𝟎 + 𝒃𝟎)

El grado del polinomio suma es igual o menor al mayor de los grados de los polinomios sumandos, o

bien carece de grado.

31

Ejercicio 2:

a) Enunciar las propiedades de la suma de polinomios

b) Busca la forma práctica de ordenar los polinomios para sumarlos.

Para cada polinomio existe un opuesto (inverso aditivo). Dos polinomios son opuestos cuando siendo

del mismo grado, los coeficientes de los monomios semejantes son opuestos entre sí.

Resta o diferencia de polinomios:

Teniendo en cuenta la definición, definir la diferencia de polinomios.

Producto de polinomios

Tratemos de intuir la definición de producto de polinomios pensando en la propiedad distributiva de los

números reales.

Dados los polinomios 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 − 𝑥 + 2 y 𝑞(𝑥) = 3𝑥 + 1 , el producto entre ellos es:

𝑝(𝑥). 𝑞(𝑥) = (2𝑥3 − 𝑥 + 2). (3𝑥 + 1) , aplicando la propiedad distributiva

𝑝(𝑥). 𝑞(𝑥) = 2𝑥3(3𝑥 + 1) − 𝑥 (3𝑥 + 1) + 2. (3𝑥 + 1) , aplicando la propiedad distributiva

𝑝(𝑥). 𝑞(𝑥) = 2𝑥3. 3𝑥 + 2𝑥3 . 1 − 𝑥 3𝑥 + 𝑥. 1 + 2. 3𝑥 + 2. 1

Operando:

𝑝(𝑥). 𝑞(𝑥) = 2.3 𝑥3. 𝑥 + 2.1 𝑥3 − 3 𝑥 𝑥 + 1. 𝑥 + 2. 3 𝑥 + 2. 1

𝑝(𝑥). 𝑞(𝑥) = 6 𝑥4 + 2 𝑥3 − 3 𝑥2 + 1. 𝑥 + 6 𝑥 + 2

Resulta:

𝑝(𝑥). 𝑞(𝑥) = 6 𝑥4 + 2 𝑥3 − 3 𝑥2 + 7. 𝑥 2

Se define, entonces, el producto de polinomios de la siguiente manera:

Dados los polinomios

𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛. 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1. 𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1. 𝑥1 + 𝑎0, 𝑦

𝑞(𝑥) = 𝑏𝑚. 𝑥𝑚 + 𝑏𝑚−1. 𝑥𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1. 𝑥1 + 𝑏0 ,

El polinomio que se indica p(x).q(x) es el polinomio producto siguiente:

𝒑(𝒙). 𝒒(𝒙) = 𝒂𝒏. 𝒃𝒎𝒙𝒏+𝒎 + ⋯ + (𝒂𝟎𝒃𝟐 + 𝒂𝟏𝒃𝟏 + 𝒂𝟐𝒃𝟎)𝒙𝟐 + (𝒂𝟏𝒃𝟎 + 𝒂𝟎𝒃𝟏)𝒙 + (𝒂𝟎. 𝒃𝟎)

El producto de dos polinomios es otro polinomio cuyo grado es igual a la suma de los grados de los

polinomios factores. Se indica: gr (p.q) = gr(p) + gr(q) .

32

Ejercicio 3:

a) Enunciar las propiedades de la multiplicación de polinomios.

b) Busca la forma práctica de presentar los polinomios para multiplicarlos.

Casos especiales de productos de polinomios: Sea 𝑎 𝜖ℝ,

1) (𝑥 − 𝑎). (𝑥 + 𝑎) = 𝑥2 − 𝑎2 Este polinomio se llama diferencia de cuadrados

2) (𝑥 + 𝑎)2 = (𝑥 − 𝑎). (𝑥 + 𝑎) = 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 Este polinomio se llama trinomio cuadrado

perfecto

3) (𝑥 + 𝑎)3 = (𝑥 − 𝑎). (𝑥 + 𝑎). (𝑥 + 𝑎) … … . . (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎𝑟)

Ejercicio 4;

i) Completa de modo que se trate de un trinomio cuadrado perfecto y luego escríbelo como un binomio

al cuadrado:

a) x2 + 2x + ...... b) .... 4x

+ 1 c) x

4 ..... + 9 d) 2x

2 ......+ 2

ii) Escribe la expresión dada como un binomio al cuadrado más una constante:

a) x2 + 2x + 5 b) 3x

2 - 12x + 2 c) 9x

2 + 12x 1

iii) Escribe las diferencias como un producto de la forma (a + b)(a b):

a) x2 9 b) 16 x

2 c) x

4 25 d) 25 4x

2 e) 9x

2 ¼

División de polinomios

Si p(x) y q(x) son dos polinomios con coeficientes reales y q(x) no nulo, entonces existen únicos

polinomios c(x) y r(x) con coeficientes reales tales que: 𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥). 𝑐(𝑥) + 𝑟(𝑥)

Donde 𝑟(𝑥) = 0 ó 𝑔𝑟(𝑟) < 𝑔𝑟(𝑞) ; p(x) es el dividendo, q(x) es el divisor, c(x) es el polinomio

cociente y r(x) es el resto de la división de p(x) por q(x).

p(x) q(x)

r(x) c(x)

Conociendo el cociente c(x) y el resto de la división de p(x) por q(x), el cociente entre p y q se puede

expresar:

𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥)= 𝑐(𝑥) +

𝑟(𝑥)

𝑞(𝑥)

33

Observación: para dividir polinomios puedes utilizar un esquema práctico similar al usado para la

división entre números, debiendo ordenar ambos polinomios en forma decreciente de las potencias de

la variable y completando al polinomio dividendo.

Ejemplo:

Se quiere dividir p(x) = x4 + 3x

3 +2x por q(x)= 3x x

2 1 pero, ante de hacerlo deben

escribirse sus términos en orden de potencias decrecientes de la variable y completar el dividendo, tal

como se expresó antes.

En este caso el dividendo ya está ordenado, pero falta completarlo:

p(x) = x4 + 3x

3 + 0x

2 + 2x

El divisor debe escribirse ordenadamente:

q(x)= x2 + 3x 1

Ahora se puede efectuar la división:

x4 + 3x

3 + 0x

2 + 2x x

2 + 3x 1

x4 3x3 + x2 x2 1

x2 + 2x

x2 + 3x1

5x6

Cuando es resto de la división de p(x) por q(x) es el polinomio nulo, se dice que “ p(x) es divisible por

q(x)” o que “q(x) es factor de p(x)” , o que “ p(x) es múltiplo de q(x)” , o que “p(x) es divisible por

q(x)”. En ese caso, resulta 𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥). 𝑐(𝑥)

Ejercicio 5:

Dados los siguientes polinomios

p(x) = 2x5 +4x

43x

3 + 4x5 ; q(x) = x

5 +2x

4+3x

3 + 4x

2+3

r(x) = 3x3 4x

2 +2x3 ; s(x) = x

5 +2x

4+2x

2 +3x+4

Realizar las siguientes operaciones:

a) p(x) + q(x) b)1/2.p(x) + 3/2.r(x) c) q(x) s(x) d) q(x)+s(x) r(x) e) p(x)+2s(x)

Ejercicio 6:

Calcular p(x)q(x) en cada uno de los siguientes casos:

a) p(x) = x5 +5x

42x

3 + 4x

2+3 ; q(x) = x

21

b) p(x) = x2 + x 1 ; q(x) = x

2 + x +1

34

Ejercicio 7:

Obtener c(x) y r(x) tales que 𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥)= 𝑐(𝑥) +

𝑟(𝑥)

𝑞(𝑥) , siendo:

a) p(x) = 4x5 2x

3 3x

2 +2x3 ; q(x) = 2x

4 + x

21

b) p(x) = x5 +2x

4+x

3 ; q(x) = 3x

3 +6x

2+3x

c) p(x) = 6x5 2x

4 13x

3 +6x

2 +5x2 ; q(x) =3x+ 1

Ejercicio 8:

Dados los polinomios: p(x) = x3- 3 x

2 - 1 , q(x) = 3 x

2- 2 x + 1 y r(x) = 4 x

3+ x

2 ,

hallar el polinômio p(x) . q(x) – 3 r(x)

Regla de Ruffini

Se aplica al dividir un polinomio p(x) por uno de la forma q(x)= (𝑥 − 𝑎) 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ∈ ℝ

El esquema práctico esta división, conocida como regla de Ruffini, consiste en lo siguiente:

- ordenar el polinomio en potencias decrecientes y completarlo.

- se escriben los coeficientes del mismo, incluido el término independiente.

- a la izquierda de ellos, en la siguiente línea se escribe el número a.

- se baja el primer coeficiente a la línea siguiente y el producto del mismo por a se coloca debajo del

segundo coeficiente.

- se efectúa la suma entre estos dos números;

- luego este resultado se multiplica por a y se coloca debajo del tercer coeficiente, sumando a éste el

producto obtenido.

- se procede en forma similar hasta llegar a sumar al término independiente un producto de este tipo.

En la tercera línea se obtienen los coeficientes del polinomio cociente, y en la última columna de la

misma se obtiene el resto de la división.

Ejemplo:

Siendo p(x) = 3 x4 + 12x

3 + 2x y q(x) = x , antes de pasar al esquema se debe completar el

dividendo:

p(x) = 3 x4 + 12x

3 + 0x

2 +2x

Luego se procede a realizar la división, de acuerdo a como se explicó antes:

35

3 12 0 2 5

5 15 15 75 365

3 3 15 73 370

Resulta así: c(x) = 3x3 3x

2 15x 73 y r(x) = 370

El polinomio p(x) puede escribirse:

𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥). 𝑐(𝑥) + 𝑟(𝑥)

p(x) = (x ).( 3x3 3x

2 15x 73) -370

Si 𝑐 𝜖ℝ y 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛. 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1. 𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1. 𝑥1 + 𝑎0 , se llama valor numérico de p en c al

número real 𝑝(𝑐) = 𝑎𝑛. 𝑐𝑛 + 𝑎𝑛−1. 𝑐𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1. 𝑐1 + 𝑎0.

Es decir, calcular el valor numérico de p en c es reemplazar la variable por c y hacer las cuentas.

Ejemplo:

Si p(x) = 3 x4 + 12x3 + 2x

El valor numérico del mismo para x0 = 1 es p(1) = 3 14 + 121

3 + 21 = 6

El valor numérico para x1=5 es p(5) = 354 + 125

3 + 255 = 370

Repara en este último resultado. ¿No lo relacionas con nada?

Ejercicio 9:

Halla el valor numérico de p(x) indicado en cada caso

a) p( 0 ) , p (2) y p(1) , siendo p(x) = 2x3 +x

2 8x4

b) p(0) , p(1) y p(3) , siendo p(x) = x5 +2x

43x

3

Ejercicio 10:

Dividir p(x) por q(x)= x , aplicando la regla de Ruffini:

a) p(x) = 3x5 4x

3 x

2 +2x3 ; q(x) = x2

b) p(x) = 5x42x

3 + 2x+1 ; q(x) = x+ 1

c) p(x) = 5x3 3x

2 +2x3 ; q(x) = x3

d) p(x) = x5 +2x

4x

3 ; q(x) = x1

e) p(x) = 6x5 2x

4 13x

3 +6x

2 +5x2 ; q(x) =x+2

f) p(x) = 2x3 +x

2 8x4 ; q(x) = x2

g) p(x) = 2x3 x

2 +8x+4 ; q(x) = x + ½

36

RAICES DE UN POLINOMIO. TEOREMA DEL RESTO

Se dice que un número es una raíz, o un cero del polinomio p(x) si y sólo si p() = 0

Si se pudiera calcular el resto de la división de los polinomios, se podría rápidamente concluir se un

polinomio es divisible por otro. El Teorema del resto brinda un elemento para el reconocimiento de un

cero de un polinomio, cuando el divisor es de la forma (x+)

Teorema del resto

Sea 𝜖ℝ y p(x) un polinomio de grado mayor o igual a 1. El resto de la división p(x) por q(x) =

xes igual r =p()

Corolario: Un número es raíz de p(x) si y solo si p(x) es divisible por (x-)

Se observa que el resto de la división efectuada con el esquema de la regla de Ruffini y el valor

numérico del polinomio para x = a son iguales.

Ejemplo:

es raíz de p(x) = x2

-2x -3 pues p(3) = 9 – 6 – 3 = 0.

También es raíz de p(x) ya que p(-1) = 1 + 2 – 3 = 0.

Pero no es raíz de p(x) dado que p(2) = 4 – 4 – 3 = -3 0

Ejercicio 11:

Verificar el resto aplicando el teorema en cada una de las operaciones realizadas en el ejercicio 7

Ejercicio 12:

Determinar para qué valor de k el polinomio:

a) p(x) = x43x

3 + k x

2 - x + 2 es divisible por x+2

b) q(x) = -x3 + kx

2 -

kx + 3 es divisible por x-3

c) r(x) = 4x3 + 3x

2 -k x + 6k tiene la raíz = -3

Ejercicio 13:

Analizar si los números:

a) α = 1, α = -1, α = -1/3 son raíces del polinomio p(x) = 3x42x

3 4x

2 + 2x + 1

b) α = -1/2, α = 0, α = -1 son raíces del polinomio p(x) = x3

+ x

Se observa que encontrar una raíz una raíz de polinomio es encontrar un valor de la variable x tal que

p(x) =0

37

La expresión p(x) =0 se llama ecuación algebraica. Los valores de la variable que satisfacen esta

ecuación se llaman soluciones de la ecuación. Luego encontrar las raíces de un polinomio p(x) es

encontrar las soluciones de la ecuación p(x) =0

A continuación se analizan algunas cuestiones acerca de las raíces de un polinomio, a saber, todos los

polinomios las tienen? Cuántas? Cómo calcularlas?

Algunos resultados con respecto a estas preguntas:

Todo polinomio de grado mayor o igual a uno con coeficientes reales tiene al menos una raíz,

que puede ser real o compleja (Teorema fundamental del álgebra)

Todo polinomio de grado n 1 tiene exactamente n raíces. (reales o complejas, iguales o

distintas)

Un polinomio cuyos coeficientes son reales, si tiene una raíz compleja

entonces el complejo conjugado de la misma también es raíz de ese

polinomio.

Los polinomios p(x) y q(x) = k.p(x) con k 0 tienen las mismas raíces

p(x).q(x) = 0 p(x) 0 q(x) 0

El polinomio nulo es múltiplo de cualquier polinomio, porque 0= 𝑝(𝑥). 0

Todo polinomio es múltiplo de sí mismo 𝑝(𝑥) = 1. 𝑝(𝑥)

Todo polinomio es divisible por un polinomio de grado cero

Multiplicidad de una raíz:

Un número se dice que es raíz múltiple de orden n, o de multiplicidad n, de un polinomio p(x) si

p(x) es divisible por (x- )n (y no de (x- )

n+1 )

Ejemplo: Sea p(x) = -(x-4)3.(x+5), “4” es una raíz de orden 3 (ó raíz triple) de p(x), mientras que “-

5” es una raíz simple.

Ejercicio 14:

a)Indicar en cada caso el grado del polinomio y las raíces con su multiplicidad:

𝒊) 𝒙𝟑(𝒙 − 𝟏)𝟐(𝒙 + 𝟏)𝟑 𝒊𝒊) (𝟐𝒙 + 𝟏)𝟑(𝒙 − √𝟑)𝟐 𝒊𝒊𝒊) 𝟐(𝒚 + 𝟐)𝟐(𝟑

𝟐− 𝒚) (𝟏 + 𝒚)

b) Dar el coeficiente principal y el término independiente de cada uno de los polinomios del ítem a)

Ejercicio 15:

Determina el orden de multiplicidad de la raíz = 2 del polinomio p(x) = x47x

3 +18x

2 - 20x + 8, halla

las otras raíces reales de p(x) si existieran, y factoriza el polinomio dado.

38

Factorización de un polinomio como producto de binomios de la forma x

(donde ℂ es raíz del polinomio)

Todo polinomio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛. 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1. 𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1. 𝑥1 + 𝑎0 de grado positivo admita una única

descomposición en factores de la forma

p(x) = an(x1) (x2) (xn1) (xn) donde 𝛼0 , 𝛼1, 𝛼2 , … . , 𝛼𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠

Ejemplos:

a) Si se factoriza p(x) =2x3 3x

2 - 3x + 2, cuyas raíces son ½, -1 y 2 (Verifícarlo aplicando el

teorema del resto) se obtiene: p(x) =2(x ½)(x+1)(x2)

b) Sea p(x) = 2x3+ 2x

2-10x + 6, hallar las raíces de p, su multiplicidad de las mismas y factorizar

q(x).

Por simple inspección del polinomio se observa que 1 = 1 es raíz. Se usa la regla de Ruffini para

realizar el cociente entre p(x) y x-1 (el resto debe dar cero)

2 2 -10 6

1 2 4 -6

2 4 -6 0

Como puede observarse, el cociente entre p(x) y (x-1) es C 1 (x) = 2x2

+ 4x – 6 y ahora puede escribirse

p(x) = (x-1)(2x2

+ 4x – 6).

Ahora se busca las raíces de C 1 (x) que como es un polinomio de grado dos, se puede usar la resolvente

(no hace falta usar la regla de Ruffini). Resulta C 1 (x) = 2(x-1)(x + 3)

Reemplazando se obtiene: p(x) = 2(x-1)(x-1)(x+3)

p(x) = 2(x-1)2

(x+3)

Se ha encontrado que 1 = 2 = 1 es raíz doble y que 3 = -3 es raíz simple.

Teorema de Gauss:

Sea 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛. 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1. 𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1. 𝑥1 + 𝑎0 un polinomio a coeficientes enteros

(𝛼0 , 𝛼1, 𝛼2 , … . , 𝛼𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠)

Si r/q, con r y q enteros, primos entre sí y q 0, es raíz de p(x), entonces a0 es múltiplo de r y an es

múltiplo de q.

39

Ejemplo:

Sea p(x) = 3x5- 11x

4+ 11x

3- 7x

2+ 8x + 4 , para encontrar las posibles raíces racionales de p(x) puede

aplicarse el teorema de Gauss ya que todos sus coeficientes son números enteros, luego

Divisores de a 0 = 4 : 1, 2, 4

Divisores de a 5 = 3 : 1, 3

Posibles raíces racionales: 1, 2, 4, 1/3, 2/3, 4/3

Aplicando la regla de Ruffini o el teorema del resto se puede verificar que p(x) tiene a “2” como raíz

doble y -1/3 como raíz simple, las dos raíces restantes son complejas.

Verificar también que la factorización de p(x) es: 3(x-2)2

(x+1/3)(x2

+1)

Ejercicio 16:

Calcular las raíces racionales, si existen, de los siguientes polinomios y realizar la descomposición

factorial de los mismos

a) p(x) = 2x3 - 3x

2 -11 x + 6

b) p(x) = x4 + 2x

3 - 4x

2 -5 x – 6

c) p(x) = 4x3 - 3x

+ 1

d) p(x) = 3x3 + x

2 -12 x – 4

e) p(x) = 3x3 + 2x

2 + 2x 1

Ejercicio 17:

Determinar el orden de multiplicidad de la raíz = 2 del polinomio p(x) = x47x

3 +18x

2 - 20x + 8,

hallar las otras raíces reales de p(x) si existieran, y factorizar el polinomio dado.

Ejercicio 18:

Teniendo en cuenta que p(x) = an(x1)(x2)(x3) ...(xn1)(xn), en cada caso reconstruir al

polinomio si se sabe que:

a) an = 2 y sus raíces son: 1, 2, 2 y ½

b) an = ¼ y sus raíces son 1(doble) , 2 , 2 y 3

c) an = 1 , es de grado 4, su término independiente es 0 y tiene por raíces a 1, 1 y 2

Ejercicio 19:

Encontrar el polinomio p(x) de menor grado, que verifica las condiciones indicadas en cada caso.

a) p(x) es divisible por (x-2), = -1/2 es raíz de multiplicidad 3, =4 es raíz simple y p(0) = -2

b) = 3/2 y = - 5 son raíces simples, (x2 +4) es un factor de p(x) y p(1) = 3

c) p(-1) = 0, p(-2) = 8, = 2 es raíz doble y = 0 es raíz simple

d) p(-1) = 2, p(0) = 0, = 1 es raíz triple y el resto de dividir p(x) por (x + 2) es cero

40

Ejercicio 20:

Determina para qué valor de k el polinomio p(x) = x4

- 3 x3+ k x

2- x + 2 es divisible por x + 2

Ejercicio 21:

En cada caso encuentra las raíces reales de p(x) y luego realiza su descomposición factorial:

a) p(x) = 2 x4

- 5 x3+ 5 x - 2 b) 2 x

3- 7 x

2- 27 x -18