matematicas y el arte(1)

LAS MATEMÁTICAS LAS MATEMÁTICAS Y Y

EL ARTEEL ARTE

BORJA IMAZ Y SERGIO MENENDEZBORJA IMAZ Y SERGIO MENENDEZ

MATEMATICAS Y EL ARTE BORJA IMAZ Y SERGIO MENENDEZ

INDICEINDICE

ESCHER Y LAS MATEMÁTICAS.ESCHER Y LAS MATEMÁTICAS.– Biografía.Biografía.– ObraObra– Encajar un numero infinito de figuras en un espacio finito.Encajar un numero infinito de figuras en un espacio finito.

LA RAZON AUREA.LA RAZON AUREA.– Introducción e Historia.Introducción e Historia.– Demostración.Demostración.– Representaciones.Representaciones.– El número El número phiphi en la naturaleza. en la naturaleza.– El número El número phiphi en la geometría. en la geometría.

BIBLIOGRAFÍA.


ESCHERESCHER

Biografía.Biografía.– Maurits Cornelis Escher (1898-1972),

dibujante y grabador holandés que trazó arquitecturas imposibles y juegos geométricos obsesivos.

– Escher estaba decidido a resolver problemas que parecían interesar más a los matemáticos que a los artistas. Tenía el deseo de romper las limitaciones que impone el plano al arte.

– El 17 de octubre de 1922, Escher llegó a Granada, visitó la Alhambra y se quedó deslumbrado por los mosaicos y los estucados.

– A partir de 1937, empieza a preocuparse por la simetría, la repetición y por la continuidad entre formas geométricas y formas vivas.


ESCHERESCHER

Obra.Obra.– Para los matemáticos la obra de Escher permite mostrar Para los matemáticos la obra de Escher permite mostrar

de manera artística algunos objetos de su disciplina.de manera artística algunos objetos de su disciplina. – También es evidente la aportación de Escher a los También es evidente la aportación de Escher a los

recubrimientos en el espacio. recubrimientos en el espacio. – Otros aspecto es el empleo de poliedros en sus dibujos.Otros aspecto es el empleo de poliedros en sus dibujos. – Escher exploró la mutación posible de las formas, la Escher exploró la mutación posible de las formas, la

alquimia imaginaria de los cuerpos transformados. alquimia imaginaria de los cuerpos transformados. – la aplicación más interesante de las matemáticas en la la aplicación más interesante de las matemáticas en la

obra de Escher es su uso de geometrías no euclídeas.obra de Escher es su uso de geometrías no euclídeas.– Trabaja los paisajes urbanos para ofrecer figuraciones Trabaja los paisajes urbanos para ofrecer figuraciones

extremadamente precisasextremadamente precisas


ESCHERESCHER

Encajar un numero infinito de figuras en un Encajar un numero infinito de figuras en un espacio finito.espacio finito.– Escher tomaba objetos cuyas áreas siguiesen la regla: 1/2, Escher tomaba objetos cuyas áreas siguiesen la regla: 1/2,

1/4, 1/8, 1/16, ...1/4, 1/8, 1/16, ...– Si sumáramos todas sus áreas tendríamos la expresión: 1/2 Si sumáramos todas sus áreas tendríamos la expresión: 1/2

+ 1/4 + 1/8 + 1/16 +.....=1, que es una serie convergente que + 1/4 + 1/8 + 1/16 +.....=1, que es una serie convergente que suma la unidad.suma la unidad.


ESCHERESCHER


LA RAZON AUREALA RAZON AUREA

Introducción e HistoriaIntroducción e Historia– Durante muchos años, los artistas se preguntaron Durante muchos años, los artistas se preguntaron

cual era la forma mas perfecta y armoniosa de dividir cual era la forma mas perfecta y armoniosa de dividir un objeto en dos partes.un objeto en dos partes.

– Al mismo tiempo, querían saber la relación entre las Al mismo tiempo, querían saber la relación entre las medidas de un objeto para que este sea perfecto.medidas de un objeto para que este sea perfecto.

– Platón observó una forma de dividir un segmento de Platón observó una forma de dividir un segmento de forma armónica y agradableforma armónica y agradable

– Esto lo llamo Esto lo llamo La Sección.La Sección.



– Sin embargo, fue Sin embargo, fue otro griego Euclides otro griego Euclides el que encontró, el que encontró, geométricamente, geométricamente, como dividir en dos como dividir en dos partes un segmento partes un segmento armónicamente.armónicamente.

– Al segmento Al segmento resultante lo llamo resultante lo llamo Sección Áurea.Sección Áurea.



EuclidesEuclides explico de la siguiente manera:explico de la siguiente manera:– Tenemos un segmento AB dividido en dos partes: AC y CBTenemos un segmento AB dividido en dos partes: AC y CB( suponiendo que AC > CB).( suponiendo que AC > CB).

Y enunció el siguiente concepto: Y enunció el siguiente concepto: – Un segmento es dividido en dos partes armónicamente cuando la Un segmento es dividido en dos partes armónicamente cuando la

razón entre el segmento y la parte mayor es igual a la razón razón entre el segmento y la parte mayor es igual a la razón entre la parte mayor y menorentre la parte mayor y menor..

BA C

AB

AC

=AC

CB



Demostración:Demostración:

Tenemos el segmento de antes:Tenemos el segmento de antes:

– Donde AC = a, CB = b y AB = a + b. Siendo CB el segmento Donde AC = a, CB = b y AB = a + b. Siendo CB el segmento menor.menor.

– Por lo tanto se debe cumplir que:Por lo tanto se debe cumplir que:

– Asignamos el valor 1 a el segmento CB :Asignamos el valor 1 a el segmento CB :

BA C

a + b

a=

a

b

a + 1a

= a



– Multiplicamos ambos miembros por a y nos queda:Multiplicamos ambos miembros por a y nos queda:a + 1 = a^2a + 1 = a^2

– Reordenando queda:Reordenando queda:a^2 – a – 1 = 0a^2 – a – 1 = 0

– Por último, aplicamos la ecuación de segundo grado y Por último, aplicamos la ecuación de segundo grado y cogemos la solución positiva ( ya que la solucion cogemos la solución positiva ( ya que la solucion negativa no se puede coger)negativa no se puede coger) 1 + 51 + 5

– Este numero es el número phi, Φ, o razón aurea. Este numero es el número phi, Φ, o razón aurea.

2=

1,6180339887…



Representaciones:Representaciones:– Angulo de oroAngulo de oro– Propiedades.Propiedades.

Φ^2 = Φ + 1Φ^2 = Φ + 1 Φ – 1 = 1/ΦΦ – 1 = 1/Φ Φ^3= Φ + 1/ Φ – 1Φ^3= Φ + 1/ Φ – 1

– Fracciones contiguas.Fracciones contiguas.– Ecuaciones algebraicas.Ecuaciones algebraicas.– Trigonometría.Trigonometría.– Raíces aninadadas. Raíces aninadadas. – Relación con la secuencia de Fibonacci.Relación con la secuencia de Fibonacci.

360/Φ +1 = 137,5…º360/Φ +1 = 137,5…º


LA RAZON AUREALA RAZON AUREA El número áureo en la El número áureo en la

naturaleza:naturaleza:– La relación entre la cantidad de La relación entre la cantidad de

abejas macho y abejas hembra.abejas macho y abejas hembra.– Disposición de los pétalos de Disposición de los pétalos de

las flores.las flores.– Distribución de las hojas de un Distribución de las hojas de un

tallo.tallo.– La relación entre la distancia La relación entre la distancia

entre las espirales de cualquier entre las espirales de cualquier caracol o de cefalópodos como caracol o de cefalópodos como el nautilus. el nautilus.

– La relación entre el grosor de La relación entre el grosor de las ramas principales y el las ramas principales y el tronco.tronco.

– La distancia entre las espirales La distancia entre las espirales de una piñade una piña

– En la cantidad de elementos En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales constituyentes de las espirales o dobles espirales de los o dobles espirales de los girasoles.girasoles.



El número phi en la geometría.El número phi en la geometría.– Relaciones entre las partes de Relaciones entre las partes de

un pentágono.un pentágono.– Relaciones entre las partes de Relaciones entre las partes de

un pentágono estrellado.un pentágono estrellado.– Relaciones entre las partes de Relaciones entre las partes de

un decágono.un decágono.– Relaciones entre las partes de Relaciones entre las partes de

un dodecaedro y del un dodecaedro y del icosaedro.icosaedro.

– Rectángulo aúreo de Euclides.Rectángulo aúreo de Euclides.– Rectangulo de Keppler.Rectangulo de Keppler.– Teorema de Ptolomeo y el Teorema de Ptolomeo y el

pentágono.pentágono.

Rectángulo de Keppler


BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA

Número Áureo, Wikipedia.Número Áureo, Wikipedia. Escher y las Matemáticas.Escher y las Matemáticas. La Oreja SurrealistaLa Oreja Surrealista

http://es.wikipedia.org/wiki/N?mero_?ureo

http://escheralquimista.blogspot.com/2007/03/cuerpos.html

http://laorejasurrealista.blogspot.com/2009/06/mc-escher-4-escher-y-las-matematicas.html


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