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Matemticas Preuniversitarias

Efran Soto Apolinar

TRMINOS DE USO

Derechos Reservados c 2010.Todos los derechos reservados a favor de Efran Soto Apolinar.

Soto Apolinar, Efran.Matemticas PreuniversitariasPrimera edicin.Mxico. 2010.

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Efran Soto A.

Prefacio

Este libro de matemticas preuniversitarias es una recopilacin de los libros Matemticas para Bachiller-ato I, II, III, IV, V, y VI escritos por el mismo autor, basado en los programas de estudio de la direccingeneral de bachillerato (DGB). El contenido del libro est dividido en partes, la parte I corresponde alprimer semestre, la parte II corresponde al segundo semestre y as sucesivamente.

Cada parte consta de varios captulos y a su vez cada uno de estos captulos contiene secciones donde seincluyen ejemplos resueltos de los problemas ms comnes que encontrars en un curso de matemti-cas preuniversitarias de ese semestre en particular.

Adems de los temas sugeridos por los programas de la DGB se incluyen los siguientes: desigualdades(parte I), y elipse e hiprbola (parte III).

La enseanza de las matemticas en todos los niveles acadmicos ha ganado una fama de permaneceren crisis durante mucho tiempo ya. Como respuesta a esta situacin se han desarrollado investigacionesen el rea de matemtica educativa en todo el mundo.

Con frecuencia se ensean las matemticas de manera aislada, como si el estudiante fuera matemtico:se dan conceptos, se enuncian teoremas, se demuestran stos, se deducen corolarios, etc. La mayorparte de la evidencia emprica indica que esta forma de enseanza ocasiona confusin en los estudi-antes, poca comprensin y alto nivel de reprobados.

En este libro nos hemos dado a la tarea de utilizar otra forma de trabajo, con la intencin de dar alestudiante la imagen de unas matemticas tiles, contrario a la imagen infrtil que obtiene el estudiantecuando recibe enseanza de las matemticas de manera formal.

En este libro se muestran muchos trucos que te ayudarn a resolver problemas y entender el porqude cada procedimiento. La idea es que cada vez ms personas entiendan las matemticas tan bien quesean capaces de explicarlas a otra persona o de utilizarlas para resolver problemas cotidianos.

Espero que este material sea de utilidad para tu mejor aprendizaje de las matemticas.

Efrain Soto Apolinar.Monterrey, N.L. Mxico.

2010.

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Efran Soto A.

ndice de contenidos

I lgebra xiii

1 Introduccin al lgebra 1

1.1 Problemas Aritmticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Problemas Aritmticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Razones y Proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Lenguaje algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.1 Algoritmos aritmticos y geomtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.2 Series y sucesin lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Polinomios de una variable 41

2.1 Propiedades de la igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Problemas geomtricos y algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.1 Reglas de los exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.2 Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.2.3 Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.2.4 Tringulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.2.5 Factorizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.2.6 Simplificacin de Fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3 Ecuaciones de primer grado 105

3.1 Ecuaciones de Primer Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.1.1 Ec. de Primer Grado con una incgnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.1.2 Ec. de primer grado y la funcin lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.1.3 Interpretacin grfica (funcin lineal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.2 Sistemas de Ecuaciones lineales (2 incgnitas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.2.1 Mtodos algebraicos para resolver S.E.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

3.2.2 Mtodo de Sustitucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.2.3 Mtodo de Igualacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.2.4 Mtodo de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

3.2.5 Interpretacin grfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

3.2.6 S.E.L. 33 con y sin solucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169


vi NDICE DE CONTENIDOS

4 Ecuaciones de segundo grado 177

4.1 Resolucin de Ecuaciones de Segundo Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

4.1.1 Mtodo de despeje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

4.1.2 Mtodo de factorizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

4.1.3 Mtodo de frmula general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

4.1.4 Mtodo Grfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

4.2 Desigualdades de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

4.2.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

4.2.2 Interpretacin Geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

4.2.3 Desigualdades con una incgnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

4.3 Desigualdades de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

4.3.1 Solucin de un sistema de desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

II Geometra Plana 243

5 ngulos y Tringulos 245

5.1 Definicin y clasificacin de ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

5.2 ngulos en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

5.2.1 Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

5.2.2 Clasificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

5.2.3 Medicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

5.2.4 ngulos formados por dos rectas paralelas y una secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

5.3 Tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

5.3.1 Definicin y clasificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

5.3.2 Congruencia de tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

5.3.3 Teorema de Pitgoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

6 Polgonos y Circunferencia 299

6.1 Definicin y Clasificacin de Polgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

6.1.1 Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

6.1.2 Clasificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

6.1.3 Suma de ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

6.1.4 Triangulacin de polgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

6.1.5 Permetros y reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

6.2 Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

6.2.1 Definicin y elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

6.2.2 Rectas tangentes a una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

6.2.3 ngulos en la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

7 Funciones Trigonomtricas 323

7.1 Funciones trigonomtricas para ngulos agudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

7.1.1 Conversin de grados a radianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326


Efran Soto A.

NDICE DE CONTENIDOS vii

7.1.2 Funciones recprocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

7.1.3 Clculos de valores para ngulos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

7.1.4 Resolucin de tringulos rectngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

7.1.5 F. Trig. para ngulos de cualquier magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

8 Leyes de Senos y Cosenos 341

8.1 Ley de senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

III Geometra Analtica 349

9 Sistemas de ejes coordenados 351

9.1 Coordenadas de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

9.1.1 Ejes Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

9.1.2 Lugares geomtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

9.2 Rectas, segmentos y polgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

9.2.1 Segmentos Rectilneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

9.2.2 Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

9.2.3 Polgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

Formulario de la Unidad Nueve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

10 La lnea recta 389

10.1 Ecuaciones y propiedades de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

10.1.1 Forma punto-pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

10.1.2 Forma pendiente-ordenada al origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

10.1.3 Forma simtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

10.1.4 Forma general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

10.1.5 Forma normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

10.1.6 Distancia entre un punto y una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

10.2 Ec. rectas notables en un tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

Formulario de la Unidad Diez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

11 La circunferencia 453

11.1 Caracterizacin geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

11.2 Ecuacin ordinaria de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

11.2.1 Circunferencia con centro en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

11.2.2 Centro fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

11.3 Ecuacin general de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

11.3.1 Conversin de forma ordinaria a forma general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

11.3.2 Conversin de la forma general a la forma ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

11.4 Circunferencia que pasa por tres puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

11.4.1 Condiciones analticas y geomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

11.5 Circunferencia y secciones cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497


viii NDICE DE CONTENIDOS

Formulario de la Unidad Once . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

12 La parbola 505


12.1.1 La parbola como lugar geomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

12.2 Ecuaciones ordinarias de la parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

12.2.1 Parbolas con vrtice en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

12.2.2 Parbolas con vrtice fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

12.3 Ecuacin General de la Parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

12.3.1 Conversin de f. ordinaria a f. general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

12.3.2 Conversin de f. general a f. ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528

Formulario de la Unidad Doce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

13 La elipse 545


13.1.1 La elipse como lugar geomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

13.1.2 Elementos asociados a la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549

13.2 Ecuaciones ordinarias de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

13.2.1 Vrtice en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

13.2.2 Centro fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558

13.3 Ecuacin general de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565


13.3.2 Conversin de la forma general a la forma ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570

Formulario de la Unidad Trece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578

14 La hiprbola 579


14.1.1 La hiprbola como lugar geomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581

14.1.2 Elementos asociados a la hiprbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

14.2 Ecuacin ordinaria de la hiprbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

14.2.1 Hiprbola con centro en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

14.2.2 Hiprbola con centro fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588

14.3 Ecuacin general de la hiprbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599


14.3.2 Conversin de f. general a f. ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607

Formulario de la Unidad Catorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618

IV Funciones 619

15 Relaciones y funciones 621

15.1 Relaciones y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623

15.2 Clasificacin y transformacin de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633


Efran Soto A.

NDICE DE CONTENIDOS ix

15.2.1 Tipos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

15.2.2 Funcin Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638

15.2.3 Funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646

15.3 Graficacin de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653

16 Funciones polinomiales 669

16.1 La funcin polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671

16.1.1 Concepto de funcin polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671

16.1.2 La funcin constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673

16.1.3 La funcin lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674

16.1.4 La funcin cuadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683

16.1.5 Funciones polinomiales de grados 3 y 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695

17 Funciones racionales 707

17.1 La funcin racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709

17.1.1 Concepto de Funcin Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709

17.1.2 Grficas de las funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713

17.1.3 Variacin inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724

18 Funciones exponencial y logartmica 731

18.1 Funcin exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733

18.1.1 Concepto de funcin exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733

18.1.2 Variacin exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737

18.1.3 El nmero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741

18.2 Funcin logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747

18.2.1 Concepto de funcin logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747

18.2.2 Logaritmos comunes y naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753

18.2.3 Ecuaciones exponenciales y logaritmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754

V Clculo Diferencial 761

19 Lmites 763

19.1 Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765

19.1.1 Nocin intuitiva de lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765

19.1.2 Teoremas de los lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773

19.1.3 Lmites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778

19.1.4 Lmites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797

19.2 Teorema de continuidad de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811

19.2.1 Condiciones de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811

19.2.2 Teorema de valor intermedio y valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818

20 Razones de cambio y la derivada 823


x NDICE DE CONTENIDOS

20.1 La derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825

20.1.1 Razn de cambio promedio e instantnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825

20.1.2 La derivada como razn de cambio instantnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834

20.1.3 Interpretacin geomtrica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842

20.1.4 Diferenciabilidad en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849

20.1.5 Reglas del producto y del cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857

20.1.6 Derivadas de funciones trigonomtricas y sus inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861

20.1.7 Derivadas de funciones exponenciales y logaritmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867

20.1.8 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869

21 Valores mximos y mnimos y sus aplicaciones 881

21.1 Aplicaciones de la primera derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883

21.1.1 Mximos y mnimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883

21.1.2 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899

21.1.3 Mximos y mnimos usando la segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907

21.1.4 Funciones crecientes y decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915

21.2 Concavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921

21.2.1 Puntos de inflexin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928

21.2.2 Trazado de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934

21.3 Aplicaciones de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943

21.3.1 Problemas prcticos de mximos y mnimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943

21.3.2 Aplicaciones en ciencias naturales, econmico-administrativas y sociales . . . . . . . . . . . . . . . 953

VI Clculo Integral 963

22 Diferenciales e integral indefinida 965

22.1 La Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967

22.1.1 Reglas de diferenciacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968

22.1.2 La diferencial como aproximacin al incremento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969

22.2 La integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981

22.2.1 Constante de integracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982

22.2.2 Integral indefinida de funciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986

22.2.3 Integracin por sustitucin trigonomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999

23 La integral definida y los mtodos de integracin 1009

23.1 La Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011

23.1.1 Notacin de sumatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011

23.1.2 rea bajo una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012

23.1.3 Diferencial de rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017

23.1.4 Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018

23.2 Tcnicas de integracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025

23.2.1 Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025


Efran Soto A.

NDICE DE CONTENIDOS xi

23.2.2 Integracin por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1030

23.2.3 Integracin de funciones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033

23.2.4 Integracin por fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1040

23.2.5 Denominadores con factores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1040

23.2.6 Denominadores con factores cuadrticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045

24 Teorema fundamental del Clculoy las aplicaciones de la integral definida 1055

24.1 El teorema fundamental y sus aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057

24.1.1 Integracin aproximada: Regla del trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057

24.1.2 Integracin aproximada: Regla de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064

24.2 rea entre dos funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069

24.3 Aplicaciones de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073

25 Apndices 1081

Ap. 25.A. lgebra bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082

Leyes de los exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082

Productos notables y factorizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082

Ap. 25.B. Geometra plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083

Ap. 25.C. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084

Ap. 25.D. Geometra Analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085

Sistemas de Ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085

La Lnea Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086

La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087

La Parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087

La Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088

La Hiprbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089

Ap. 25.E. Trigonometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1090

Ap. 25.F. Reglas de derivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092

Ap. 25.G. Tabla de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093

Referencias 1095


xii NDICE DE CONTENIDOS


Efran Soto A.

Parte I

lgebra


Captulo 1

Introduccin al lgebra

Por aprender...

1.1. Problemas aritmticos

1.1.1. Nmeros reales

1.1.2. Razones y proporciones

1.2. Lenguaje algebraico

1.2.1. Algoritmos aritmticos y geomtricos

1.2.2. Series y sucesin lineal

Por qu es importante...

En el aprendizaje de cualquier ciencia, es importante concer la terminologa con la que estamoshablando. El material que estudiaremos en esta unidad servir de base para entender el lgebra.


2 Introduccin al lgebra


Efran Soto A.

1.1 Problemas Aritmticos 3

1.1 PROBLEMAS ARITMTICOS

En esta seccin vamos a estudiar primero los distintos conjuntos de nmeros que se definen en matemti-cas. Despus, al conocerlos mejor, podremos resolver distintos problemas aritmticos.

Para simplificar el estudio de los nmeros, los matemticos los han clasificado de la siguiente manera:

Definicin 1

NMEROS NATURALESSon los nmeros que utilizamos para contar. El conjunto de los nmeros naturales se de-nota por N.

N= {1, 2, 3, 4, 5, }

Ntese que el cero no es un nmero natural, porque cuando alguien no posee nada, no tiene necesidadde contar.

En el lenguaje matemtico, escribimos: 1 N para indicar que el nmero 1 est dentro del conjunto delos nmeros naturales, es decir, el nmero 1 es un elemento de ese conjunto.

El smbolo: se lee: ...es un elemento del conjunto...

Para indicar que un nmero dado NO es un numero natural escribimos, por ejemplo: / N. Esto nosest diciendo en palabras: El nmero NO es un nmero natural.

De manera semejante, el smbolo / se lee: ...no es un elemento del conjunto...

ComentarioEs una buena idea notar que cuando sumamos dos nmeros naturales, el resultado es otronmero natural. Nunca obtendremos un nmero con decimales.

Definicin 2

NMEROS ENTEROSEs el conjunto formado por todos los nmeros naturales, el cero y los nmeros naturalesdotados del signo negativo. El conjunto de los nmeros enteros se denota por Z.

Z= { ,3,2,1, 0, 1, 2, 3, }

Es importante notar que todos los nmeros naturales son tambin nmeros enteros, pero no todos losnmeros enteros son nmeros naturales.

Por ejemplo, el nmero 5 es un nmero entero que no es un nmero natural.

ComentarioDe nuevo, cuando sumamos dos nmeros enteros, el resultado es otro nmero entero.

Definicin 3

NMEROS RACIONALESEs el conjunto formado por todos los nmeros que pueden expresarse como el cociente dedos nmeros enteros, siendo el denominador distinto de cero. El conjunto de los nmerosracionales se denota porQ.

Q=

x |x =p

q; p , q Z, q 6= 0

Algunos ejemplos de nmeros racionales son los siguientes:

1

2

3

7

21

22

7

2

1

10

Pero no todas las fracciones se consideran nmeros racionales. Para que un nmero sea considerado



nmero racional, se requiere que tanto en el numerador como en el denominador tengamos un nmeroentero, aunque sea negativo.

Por ejemplo, los siguientes nmeros no son racionales, a pesar de que son fracciones:

1p

2

1p

5

2

10

0

4

Otra cosa importante consiste en que en el denominador no aparezca el cero. Por qu?

Ya debes saber que no es posible dividir por cero.

Por ejemplo, cuando queremos dividir 10 entre cero, no podemos encontrar una solucin.

Cuando dividimos cero entre diez, s podemos encontrar una solucin. Piensa en trminos de man-zanas: si tengo cero manzanas y las voy a repartir entre diez nios, cuntas manzanas les dar a cadanio? La respuesta es obvia, como tengo cero manzanas, a cada nio le corresponden cero manzanas.

Pero el otro caso: si tengo diez manzanas y las voy a repartir entre cero nios, cuntas manzanasles dar a cada nio?, tenemos un problema: cmo vamos a repartir las manzanas, si para empezar,tenemos cero nios?

Observa que cuando dividimos 10 entre 2, buscamos un nmero que multiplicado por 2, nos d comoresultado 10.

Cuando dividimos diez entre cero, tenemos que encontrar un nmero que multiplicado por cero nosd como resultado diez. Pero ya sabemos que cualquier nmero multiplicado por cero es igual a cero.Esto significa que no podemos encontrar algn nmero que multiplicado por cero d diez. Por eso nopodemos realizar la divisin.

Otro caso aparte es la divisin cero entre cero. Si buscamos un nmero que multiplicado por cero nos dcomo resultado cero, vemos que no hay solamente una solucin, sino un nmero infinito de soluciones,todas distintas. Por ejemplo el nmero cero, bien sirve como solucin de nuestra divisin, porque 00=0, pero igual sirve el nmero 1 como solucin, porque 10= 0, y as como cualquier nmero que se teocurra.

El problema aqu consiste en que cuando dividimos un nmero entre otro, siempre obtenemos unanica solucin, pero en este nico caso, al dividir cero sobre cero, no obtenemos una nica solucin,sino muchas.

Es importante mencionar que no es que la solucin de esta divisin sea infinito, porque cuando dividi-mos dos nmeros siempre obtenemos como resultado un nico nmero. Infinito no es un nmero, sinouna expresin que nos dice que algo no tiene fin. Por esta razn, no es correcto decir que al dividir entrecero obtenemos infinito como respuesta.

Observa que todos los nmeros enteros son nmeros racionales, porque podemos escribirlos con eldenominador igual a 1. Por ejemplo, el nmero 10, puede representarse como:

10=10

1Q

y cumple con la definicin de nmero racional, porque el denominador es distinto de cero.

ComentarioIgual que con los conjuntos de nmeros naturales y enteros, en el conjunto de los nmerosracionales, cuando sumamos dos de sus elementos, obtenemos otro elemento deQ.


Efran Soto A.


Definicin 4

NMEROS IRRACIONALESSon todos aquellos nmeros que no se pueden escribir como el cociente de nmeros en-teros, siendo el denominador distinto de cero. El conjunto de los nmeros irracionales sedenota porQ.

Q =

x |x 6=p

q; p , q Z, q 6= 0

Observa que ningn nmero racional es un nmero irracional y de manera semejante, ningn nmeroirracional es un nmero racional.

Algunos ejemplos de nmeros irracionales son:

,p

2,p

3,p

6,

Definicin 5

NMEROS REALESEs el conjunto que contiene a todos los nmeros racionales y a todos los nmeros irra-cionales.

El siguiente diagrama te ayudar a visualizar mejor cmo se relacionan los distintos conjuntos de nmerosque hemos estudiado:

RQ Q

ZN

A partir de este diagrama podemos fcilmente darnos cuenta que todos los nmeros naturales pertenecenal conjunto de los nmeros enteros, es decir, todos los nmeros naturales son tambin nmeros enteros.

Pero todos los nmeros enteros son tambin nmeros racionales, por lo tanto, todos los nmeros nat-urales tambin son nmeros racionales.

Sin embargo, ningn nmero racional es un nmero irracional y viceversa. Esto nos indica que ningnnmero natural pertenece al conjunto de los nmeros irracionales. Esto mismo ocurre con los nmerosenteros.

Y es que si un nmero es racional no puede ser irracional.

Sin embargo, cuando juntamos a todos los nmeros racionales con todos los nmeros irracionalesobtenemos el conjunto de los nmeros reales. Es decir, todos los nmeros que enlistamos (naturales,enteros, racionales e irracionales) son tambin nmeros reales.

Ejemplo 1Verifica si es verdadero o falso lo que se dice de los siguientes nmeros.

El nmerop

9 es un nmero natural. V

El nmero

2es un nmero racional. F

El nmero 0 es un nmero irracional. F



El nmero1

5es un nmero entero. F

El nmerop

3


El nmero es un nmero real. V

Ejemplo 2Indica en cada caso a qu conjunto debe pertenecer el nmero que utilizaremos en cadacaso. Evidentemente, todos pertenecen al conjunto de los nmeros reales, as que mejormenciona otro de los conjuntos.

Volumen en mililitros de un vaso. Q

rea de un crculo de radio 1. Q

Peso de una bolsa de frijol con una precisin de gramos. N oQ

Nmero total de refrescos embotellados en un da en una embotelladora. N

Nmero total de hojas impresas en una fotocopiadora. N

Saldo de una cuenta bancaria, con una precisin de hasta centavos de peso. Q

Saldo de una cuenta bancaria, con una precisin de miles de pesos. Z

Velocidad de un coche. Q

Comentario

Cuando sumamos dos nmeros reales, cualesquiera que estos sean, el resultado es otronmero real. De manera semejante, cuando multiplicamos dos nmeros reales, el resul-tado es otro nmero real.

Definicin 6

CERRADURACuando a los elementos de un conjunto se les realiza una operacin, y el resultado es algnelemento del mismo conjunto, decimos que ese conjunto es cerrado bajo esa operacin.

Por ejemplo, los nmeros naturales son cerrados bajo la suma, porque cuando sumamos dos nmerosnaturales obtenemos otro nmero natural.

De manera semejante, cuando multiplicamos dos nmeros naturales, el resultado es otro nmero nat-ural. Entonces el conjunto N tambin es cerrado bajo la multiplicacin.

Enseguida se da la lista de las propiedades ms bsicas de los nmeros reales. Si a , b , c son nmerosreales, entonces:

Suma Multiplicacin Propiedad

a + b R a b R Cerraduraa + b = b +a a b = b a Conmutativa

(a + b ) + c = a + (b + c ) (a b ) c = a (b c ) Asociativaa +0= a a 1= a Neutro

a + (a ) = 0 a 1

a= 1 Inverso

a (b + c ) = a b +a c Distributiva


Efran Soto A.


1.2 PROBLEMAS ARITMTICOS

En las matemticas los nmeros y los conjuntos son la base de toda la dems teora.

Por eso es importante saber realizar las operaciones bsicas con ellos: suma, resta, multiplicacin ydivisin, y resolver problemas prcticos con ellos.

Ejemplo 3Un tringulo tiene una base de 5.1 metros y una altura de 12.25 metros. Cul es su rea?

Ya sabemos la frmula para calcular el rea de un tringulo:

A =b h

2

Ahora sustituimos los valores y realizamos las operaciones:

A =b h

2

=(5.1)(12.25)

2

=62.475

2= 31.2375

Es importante recordar que las unidades de rea en este caso son los metros cuadrados.

Entonces, el rea del tringulo con una base de 5.1 metros de longitud y una altura de 12.25 metrosde longitud es igual a 31.2375 metros cuadrados.

En la mayora de los problemas cotidianos tenemos que trabajar con las unidades de los objetos con losque estamos trabajando.

Es muy importante recordar al final que las unidades son tambin parte de la solucin.

Otra cosa muy importante es el orden en el cual debemos realizar las operaciones.

En el ejemplo anterior debamos multiplicar y dividir. En realidad no importa qu operacin realicesprimero, siempre obtenemos el mismo resultado.

Esto se debe a que dividir en realidad significa multiplicar. Por ejemplo, cuando vas a dividir por 2,obtienes el mismo resultado que si multiplicas por 12 , si quieres dividir por 3, obtienes lo mismo que simultiplicas por 13 , etc.

De manera semejante, sumar y restar son la misma operacin. Si quieres restar 2 a un nmero, obtieneslo mismo que si sumas 2.

En la siguiente lista se muestran las operaciones indicando su prioridad.



Definicin 7

PRIORIDAD DE LAS OPERACIONESLas operaciones que aparecen al principio son las que debes realizar primero:

3 Lo que aparezca entre parntesis, por ejemplo, en la frmula:

L = L0 (1+)

primero debemos sumar lo que se indica entre parntesis.

3 Exponenciacin y radicacin, por ejemplo en la frmula:

Ek =1

2m v 2

primero debemos elevar al cuadrado la variable v .

3 Multiplicacin y divisin, por ejemplo, en la frmula:

y = 2 x +1

primero debemos multiplicar 2 por x y al resultado sumamos 1.

3 Suma y resta.

Ejemplo 4

Una estudiante de bachillerato contrat una lnea de celular en la que paga $1.45 pesos elprimer minuto de llamada local y $0.80 pesos cada minuto adicional. Una vez habl por elcelular con su mam y tard 15 minutos. Si tena un saldo de $125.35 pesos antes de iniciarla llamada, qu saldo le qued despus de terminarla?

En este caso primero debemos calcular el costo de la llamada y finalmente restar ese resultado alsaldo que tena antes de iniciar su llamada.

Vamos a calcular el costo de la llamada:

Para esto es importante considerar que el primer minuto cost $1.45 pesos, y el resto, o sea, losotros 14 minutos costaron $0.80 pesos cada uno...

Definimos C como el costo de la llamada:

C = 1.45+ (0.8)(14)

= 12.65

La llamada le cost $12.65 pesos, pero ella tena $125.35 pesos de saldo, entonces,

le quedaron: 125.35C= 125.3512.65= 112.70

Siempre que resolvemos un problema tambin es importante recordar que la solucin nos dice algoacerca del problema.

Algunas veces esa solucin nos ayuda a entender mejor un proceso o un fenmeno natural.

Los nmeros son importantes porque gracias a ellos hemos tenido un avance tecnolgico y cientficocomo el que ahora conocemos.


Efran Soto A.


Ejemplo 5

En las vacaciones nos fuimos a Cerro Azul, Ver., y mi mam compr varios recuerdos. Diezllaveros para mi tos, cinco playeras para mis primos, una imagen de la virgen para miabuelita y para m, dos libros para que me ponga a estudiar. Los precios de cada artculoestn en la siguiente tabla:

Artculo Precio

Llavero $12.00 pesosPlayera $45.00 pesosImagen de la Virgen $125.00 pesosLibro de Matemticas $120.00 pesos

Cunto gast en los recuerdos de mi pueblo?

El problema indica que cada llavero cuesta lo mismo, al igual que los dems artculos que com-pr... Entonces, por los llaveros gast:

Nmero de llaverosPrecio/llavero = Costo de llaveros(10)(12) = 120

Por las playeras gast:

Nmero de playerasPrecio/playera = Costo de playeras(5)(45) = 225

Por mis libros gast:

Nmero de librosPrecio/libro = Costo de libros(2)(120) = 240

En total gast: Por los llaveros: 120.00Por las playeras: 225.00Por la imagen de la virgen: 125.00por mis libros: 240.00

710.00

En total gast: $710.00 pesos.

Algunas veces, conocer algunas propiedades de los nmeros nos ayuda a resolver los problemas de unamanera ms sencilla. El siguiente ejemplo muestra una ancdota de uno de los mejores matemticosde la historia de la humanidad.

Ejemplo 6

Carl Friedrich Gauss fue un matemtico alemn. A los 8 aos, su maestro de primaria lepidi que sumara:

1+2+3+4+ +99+100

l utiliz el siguiente procedimiento...

Primero utiliz la propiedad que dice: si sumas varios nmeros, el orden no importa, siempreobtienes el mismo resultado...

Y l defini S como el resultado de la suma que estamos buscando...



Entonces, esto nos permite escribir:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + + 99 + 100S = 100 + 99 + 98 + 97 + + 2 + 1

2S = 101 + 101 + 101 + 101 + + 101 + 101

Pero el 101 se repite cien veces, porque cada lista de nmeros de los primeros dos renglones vadel 1 al 100 y del 100 al 1, respectivamente.

Entonces, podemos obtener ese resultado como:

2S = (101)(100)

En palabras, esto significa que 101100 es igual al doble de la suma que buscamos.

Si dividimos entre dos, obtenemos la suma que buscamos:

S =(101)(100)

2=

10 100

2= 5 050

Esto indica que: 1+2+3+4+ +99+100= 5 050

Si no crees, entonces haz la misma suma, pero a mano...

Ejemplo 7Marco puede pintar una barda en 10 horas. Carlos puede pintar la misma barda en 15

horas. Don Csar encarg a los dos que pintaran la barda juntos. Si avanzan al ritmo quese indica antes, cunto tiempo tardarn en pintarla?

Obviamente, Marco avanza ms rpido que Carlos, porque tarda menos en pintar toda la barda.

Nota que no tiene caso suponer que cada uno de ellos pint la mitad de la barda, porque no avan-zan al mismo ritmo al pintar.

Dado que Marco tarda 10 horas en pintar toda la barda, en una hora hace un dcimo del total.

Por su parte, Carlos tarda 15 horas en terminar toda la barda, por eso en una hora avanza unquinceavo de la barda.

Pintando juntos en una hora avanzan:

1

10+

1

15=

3+230=

5

30=

1

6

Esto significa que los dos juntos avanzan un sexto de la barda y por eso, tardan 6 horas en pintartoda la barda.

El siguiente ejemplo se trata de un truco para calcular el cuadrado de ciertos nmeros...

Ejemplo 8 Calcula los cuadrados de todos los nmeros de dos cifras que terminan en 5 en lasunidades.

Para elevar al cuadrado un nmero de dos cifras que termina en 5 en las unidades, tomamos eldgito de las decenas y lo multiplicamos por su consecutivo.


Efran Soto A.


A la derecha del resultado escribimos el nmero 25.

Por ejemplo, si quieres elevar el nmero 35 al cuadrado, el dgito de las decenas es 3, y su consec-utivo es el 4...

Los multiplicamos, y obtenemos: 34= 12.

Y ahora escribimos a la derecha del 12 el nmero 25. El resultado es el cuadrado de 35. Entonces,352 = 1 225

Ahora podemos calcular los cuadrados para llenar la siguiente tabla:

n k k (k +1) n 2

15 1 12= 2 22525 2 23= 6 62535 3 34= 12 1 22545 4 45= 20 2 02555 5 56= 30 3 02565 6 67= 42 4 22575 7 78= 56 5 62585 8 89= 72 7 22595 9 910= 90 9 025

Ahora podemos usar este truco para calcular el cuadrado de cualquier nmero de dos cifras quetermina en 5.

Verifica que en realidad los clculos son correctos.

Ejemplo 9

Un diseador industrial debe elegir las dimensiones de un envase de plstico en formade caja que contendr un lquido para una mquina. Las dimensiones de los envases semuestran en la siguiente tabla:

Envase Largo (cm) Ancho (cm) Fondo (cm)

A 25 15 32B 35 10 25C 20 17 35D 45 10 15

l desea encontrar la caja que tenga al menos un volumen de 11 500 cm3. Cul de esosenvases debe elegir?

Para saber si un envase de los propuestos cumplir con la condicin de que el volumen sea mayorque 11 500 cm3, debemos calcular el volumen de cada uno.

Para calcular el volumen de una caja multiplicamos largo por ancho por fondo.

Los clculos se muestran en la siguiente tabla:



Envase Largo Ancho Fondo Volumen(cm) (cm) (cm) (cm3)

A 25 15 32 12 000B 35 10 25 8 750C 20 17 35 11 900D 45 10 15 6 750

Los resultados de la columna de la derecha, que contiene el volumen de cada envase, se obtuvomultiplicando las dimensiones de cada envase, es decir, los valores que aparecen en las otrascolumnas.

Por ejemplo, para calcular el volumen del envase D, multiplicamos: (45)(10)(15) = 6 750.

Entonces, los envases A y C son los posibles candidatos a ser elegidos por el diseador industrial.

Como puedes ver, la solucin a un problema de matemticas no siempre es nica.

En este ltimo ejemplo tenemos dos soluciones posibles al problema.

Otro punto importante a hacer notar es que la solucin en este caso no es un nmero, como suele es-perarse de la mayora de los problemas matemticos.

En este caso, la solucin consiste en indicar qu envases tienen un volumen mayor a 11 500 cm3.

El siguiente problema se queda como un reto.

Reto 1

Escribe los nmeros del 0 al 10 realizando una o varias de las siguientes operaciones: suma,resta multiplicacin, y divisin, elevar a una potencia o sacar raz cuadrada, utilizando 4veces el nmero 4. Por ejemplo, el nmero cero y el nmero dos pueden expresarse comosigue:

0 =44

44

2 =444+4

Ahora t, encuentra los nmeros del 0 al 10. Recuerda que es posible juntar nmeros paraformar 44, por ejemplo.

Ejercicios 1.2 Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios. No se permite el uso de calculadora.

1)p

7 es un nmero natural. F

2)p

100 es un nmero entero. V

3) 0 es un nmero irracional. F

4) es un nmero racional. F

5)p es un nmero real. V

6) 2 es un nmero natural. F

7)1+p

5


8) El conjunto de los nmeros pares es cerrado bajo la suma. V


Efran Soto A.


9) El conjunto de los nmeros impares es cerrado bajo la suma. F

10) El conjunto de los pares es cerrado bajo la multiplicacin. V

11) El conjunto de los impares es cerrado bajo la multiplicacin. V

12) Mara tiene que realizar 4 mediciones del volumen contenido en un frasco de licuado. Debe reportarsu medicin en litros. Indica a qu conjuntos pertenece el resultado de la medicin, en general:naturales, enteros, racionales, irracionales, reales. Racionales, Reales.

13) Luis compr un cinturn de 28 pulgadas de longitud. Si expresa esa longitud en centimetros ob-tiene 71.12 cm. Expresa este nmero en forma de una fraccin. Sugerencia: observa el nmero de

decimales que tiene el nmero.7112

100

14) A qu conjunto pertenece el nmero de habitantes de una poblacin? naturales, enteros, racionales,irracionales, reales. Naturales, Enteros, Racionales, Reales.

15) Un matemtico cre un nmero menor a uno. Despus del punto decimal escribi un uno,despusun cero, despus otro uno seguido de dos ceros, despus otro uno seguido de tres ceros, y as sucesi-vamente ad infinitum. Este nmero es un nmero real. A qu otro conjunto de nmeros perteneceeste nmero? Irracionales

16) Luis sale a correr cada maana. El lunes corri 12 kilmetros, el martes solamente 11 kilmetros, elmircoles, el jueves y el viernes corri 15 kilmetros cada da. Qu distancia recorri en esos cincodas? 62 km.

17) Mi to gana $1 200.00 pesos como mago. Generalmente tarda 3 horas y media en su trabajo. Enpromedio, cunto gana por minuto? $5.71 pesos/minuto.

18) El huracn Dean lleg a la ciudad de Chetumal, Q. R., Mxico, con rachas de viento de 250 kilmetrospor hora. Eso es equivalente a una velocidad del viento de 70 metros por segundo. La energa de unkilogramo de aire de ese viento se calcula elevando al cuadrado la velocidad del viento (en m/s) ysacando la mitad de ese resultado. Qu energa tenan los vientos del huracn Dean? 2450Unidades de energa.

19) En mis exmenes de matemticas he obtenido las siguientes calificaciones: 7, 9, 8, 9.2, 6. Qupromedio tengo hasta el da de hoy? 7.84

20) En tipografa, una lnea puede contener entre 80 y 130 letras para que sea legible. En una pgina,debe haber entre 35 y 50 renglones. Cules son los nmeros de letras mnimo y mximo que cabenen una pgina de acuerdo a las reglas tipogrficas? Mnimo: 2800 letras; mximo: 2500 letras.

21) Daniela es la responsable del convivio mensual en su saln. Ella recauda $30.00 pesos de cada unode sus 21 compaeros (ella tambin coopera) y con ese dinero compra comida, refrescos y un pastelpara festejar a los que cumplieron aos en ese mes. Todos quedaban sorprendidos por la comidatan buena que llevaba que le preguntaron cmo organizaba los gastos. Ella contest: Fcil: ocupoun dcimo en el pastel, y del dinero que queda, un onceavo corresponde a los refrescos. Cuntodinero ocupa en comprar comida? $540.00 en comida, $54.00 en refrescos y $66 en pastel.

22) Un huevo proporciona 82 caloras. Un nio utiliza 450 caloras cuando juega futbol en el recreo.Cuntos huevos debe ingerir en su ingesta para suministrar las caloras que quem en el recreo dehoy? 5.487 huevos.

23) El valor simplificado de:10

21+

3

7

7

12

es: 61/84.



24) Cul es el valor de 23+24+25? 56

25) En su primer examen, Rubn obtuvo 12 reactivos correctos de un total de 20. En el segundo examenrespondi 38 de las 40 preguntas correctamente. En qu porcentaje aument su calificacin? 35%

26) El corazn de un humano adulto late, en promedio, 70 veces por minuto. Cuntas veces late elcorazn de un adulto en un ao aproximadamente? Late 36 792 000 veces aprox.

27) Una moneda de $5.00 pesos pesa alrededor de 7 gramos. Cuntas monedas de $5.00 pesos igualantu peso? Depende del peso del estudiante.

28) Una persona camina a razn de un paso por segundo. Si utiliza 30 minutos en su caminata diaria, ycada paso mide 75 cm., qu distancia en metros recorre diariamente en su caminata? 1 350 m

29) Calcula la siguiente suma: 2+4+6+8+ +200 10 100

30) Calcula: 1+3+5+7+ +99 2 500

31) Calcula: 2+4+6+ +2 000 1 001 000

32) Calcula cada una de las siguiente sumas:

1 = 1

1+3 = 4

1+3+5 = 9

1+3+5+7 = 16

1+3+5+7+9 = 25

1+3+5+7+9+11 = 36

1+3+5+7+9+11+13 = 49

1+3+5+7+9+11+13+15 = 64

1+3+5+7+9+11+13+15+17 = 81

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 = 100

Encuentras algn patrn en las sumas? Obtenemos los cuadrados perfectos consecutivos sumandoimpares.

33) Una sucesin de nmeros que aparece frecuentemente en la naturaleza es la llamada Sucesin deFibonacci. Los primeros 10 trminos de esta sucesin son: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Encuentra losprimeros 20 trminos de esta sucesin. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,1597, 2584, 4181, 6765

34) Reto: Se puede aplicar el truco de elevar al cuadrado un nmero de dos cifras que termina en cincoen las unidades a los nmeros de 3 cifras que terminan en 5? Verifica realizando los clculos sincalculadora. S.


Efran Soto A.

1.3 Razones y Proporciones 15

1.3 RAZONES Y PROPORCIONES

En la vida real surgen muchas ocasiones en las que deseamos comparar dos cantidades. Para compara-rlas tenemos muchas opciones vlidas, pero la que nos provee de informacin ms rpidamente es larazn, que est relacionada con la proporcin.

Definicin 8

RAZNConsidere los nmeros a y b . La razn de ellos es el cociente obtenido al dividirlos:

a

b

En otras palabras, la razn de dos nmeros es igual al cociente entre ellos.

Las razones se definen a partir de la divisin y se explican con fracciones porque en realidad una fraccinnos indica una razn.

Por eso tenemos las fracciones equivalentes.

Ejemplo 10Las fracciones2

7y

10

35son equivalentes. Muestra utilizando la definicin de proporcin

que es as.

De acuerdo a la definicin, la fraccin2

7indica la proporcin de los nmeros 2 y 7.

Esto significa que en el numerador hay 2 por cada 7 que hay en el denominador de la fraccin.

Si agrego 2 en el numerador, para seguir teniendo la misma proporcin, debo agregar siete en eldenominador.

2

7=

2+27+7

=4

7

Esto es equivalente a multiplicar tanto el numerador como el denominador por 2:

2

7=

4

7=(2)(2)(7)(2)

Igual, en lugar de multiplicar por 2 en el numerador y en el denominador, podemos multiplicarpor cualquier otro nmero distinto de cero y obtenemos una fraccin equivalente.

Si multiplicamos por 5 en el numerador y en el denominador, obtenemos:

2

7=(2)(5)(7)(5)

=10

35

Esto nos indica que ambas fracciones estn en la misma proporcin, es decir, son equivalentes.

Ejemplo 11En las pasadas elecciones de un pueblo el candidato A obtuvo 4 875 votos a su favor, mien-tras que el candidato B obtuvo 1 625. En qu proporcin estn sus respectivas votaciones?

Por definicin, debemos dividir el nmero de votos que obtuvo el candidato A entre el nmero devotos que obtuvo el candidato B.



Votos del candidato A

Votos del candidato B=

4 875

1 625= 3

Este resultado nos indica que el candidato A obtuvo 3 votos por cada voto que obtuvo el candidatoB.

Esta misma informacin obtenemos si encontramos la razn de los votos del candidato B conrespecto al candidato A:

Votos del candidato B

Votos del candidato A=

1 625

4 875=

1

3

La fraccin 1/3 nos dice que por cada voto que obtuvo del candidato B, el candidato A obtuvo 3.

En este ejemplo se conocan dos datos y stos no se pueden cambiar. En algunos casos tenemos msinformacin y la proporcin nos puede ayudar a calcular un dato desconocido.

Para esto, tenemos que saber que hay varios tipos de proporcin.

Definicin 9

PROPORCINEs una igualdad entre dos razones. Por ejemplo,

a

b=

c

d

Esta misma proporcin tambin podemos escribirla como: a : b :: c : d .

Definicin 10

PROPORCIN DIRECTACuando dos cantidades estn relacionadas de tal forma que cuando una cantidad crece laotra tambin crece el mismo nmero de veces, entonces tenemos una proporcin directa.

Ejemplo 12Un paquete con 600 ml de refresco cuesta $5.00 pesos. Cunto cuesta un litro de ese

refresco?

Sabemos que 600 ml de refresco cuestan $5.00 pesos.

La sexta parte de 600 ml debe costar la sexta parte de $5.00 pesos.

Es decir, 100 ml de ese refresco deben costar $5.00/6 pesos.

Un litro de refresco equivalen a 1 000 ml.

Y 1 000 ml equivalen a 10 veces 100 ml.

Entonces, 1 litro de ese refresco debe costar 10 veces ms que lo que cuestan 100 ml.

Esto es, 1 litro de ese refresco cuesta: (10) (5/6) = 50/6= $8.33 pesos.

Ejemplo 13Un vendedor de Hot Dogs puede preparar 20 Hot Dogs en 30 minutos. Cuntos puede

preparar en 45 minutos?


Efran Soto A.


Nosotros sabemos que puede preparar 20 hot dogs en 30 minutos.

Entonces puede preparar el doble de hot dogs en el doble de tiempo.

Y debe preparar la mitad de hot dogs en la mitad del tiempo.

Eso significa que puede preparar 10 hot dogs en la mitad de 30 minutos, es decir, en 15 minutos.

Entonces, si sumamos lo que puede preparar en 30 minutos con lo que puede preparar en 15minutos, obtenemos lo que puede preparar en 45 minutos.

En conclusin, puede preparar 20+10= 30 hot dogs en 45 minutos.

Ejemplo 14En un asilo se consumen 14 kg de harina por semana (7 das). Cuntos kilogramos de

harina se consumen en 30 das?

En la sptima parte del tiempo se consume la sptima parte de kilogramos de harina.

Esto significa que en un da se consumen 2 kilogramos de harina.

En 30 das se consumen 30 veces ms de harina que lo que se consume en un da,

Esto indica que en 30 das se consumen (2)(30) = 60 kilogramos de harina.

Los problemas de proporcin directa se resuelven de manera ms sencilla si utilizamos la regla de 3directa.

Por ejemplo, en el caso de los Hot Dogs, escribimos en una columna el nmero de Hot Dogs que puedepreparar y en otra la cantidad de minutos que requiere:

Hot Dogs MinutosDatos conocidos: 20 30

Para calcular: x 45

Para resolver este problema con este segundo mtodo observa que si dividimos 20 (Hot Dogs) entre 30(minutos) obtenemos la proporcin que indica cuntos Hot Dogs prepara el vendedor en un minuto1.Si multiplicamos este resultado por 45 (minutos) obtenemos la cantidad de Hot Dogs que prepara enesa cantidad de tiempo.

Entonces,

x = (45) 20

30= (3)(15)

2

3

= 30

Sabemos que en el asilo se consumen 14 kg de harina en 7 das, la razn 14 / 7 = 2 nos indica que seutilizan 2 kilogramos de harina por da en ese asilo. En 30 das se deben utilizar 30 veces ms, es decir,(30)(2) = 60 kilogramos de harina.

En forma de regla de tres directa, tenemos:

1En realidad, esta proporcin nos indica que el vendedor prepara 2 Hot Dogs en 3 minutos, o bien, dos tercios de Hot Dogs enun minuto.



kg de harina DasDatos conocidos: 14 7

Para calcular: x 30

Y al realizar las operaciones, obtenemos:

x = (30)

14

7

= (30)(2) = 60

Observa que debido a que la multiplicacin y la divisin tienen la misma prioridad como operaciones,en realidad no importa qu operacin realicemos primero. Bien podemos primero dividir y despusmultiplicar, bien podemos primero multiplicar y despus dividir... en ambos casos siempre obten-dremos el mismo resultado.

Por esto, es una costumbre utilizar la regla de tres directa de la siguiente manera:

kg de harina DasDatos conocidos: 14 7

Para calcular: x 30

empezamos multiplicando el nico nmero que conocemos del rengln donde se encuentra nuestra in-cgnita (30) por el nmero que se encuentra en el otro rengln y en la otra columna (14) y este resultadolo dividimos por el ltimo nmero conocido (7).

x =(30)(14)

7= (30)(2) = 60

Se queda como ejercicio para ti realizar este procedimiento para el caso del vendedor de Hot Dogs.

Una proporcin directa que es utilizada comnmente es el porcentaje.

Definicin 11

PORCENTAJEEs una proporcin de algo a cien. La palabra porciento indica cuntos se tomarn porcada cien.

Ejemplo 15Luisa compr un vestido. Como le hicieron un descuento del 25%, solamente pag $180.00pesos. Cul es el precio original (sin descuento) de ese vestido?

Para calcular el precio con descuento del vestido, debieron restar el 25%.

Definimos con P al precio original (sin descuento) del vestido,

Entonces, 0.25 P es el descuento que se le hizo,

Y el precio con descuento es:P 0.25 P = 0.75 P

Esto indica que pag solamente el 75% del precio original del vestido.

Y este precio fue de $180.00 pesos.


Efran Soto A.


Entonces,

0.75 P = 180 P =180

0.75=

180

3

4

=(4)(180)

3= (4)(60) = 240

Esto nos dice que el precio sin descuento del vestido era de $240.00 pesos.

En efecto, si calculamos el 25% de $240.00 pesos, entonces debemos sacar la cuarta parte,

es decir, $60.00 pesos es el 25% de $240.00

A $240.00 le restamos $60.00 y obtenemos $180.00 que es el precio con el 25% de descuento.

Ejemplo 16Un paquete de cereal contiene 15% ms gratis. Si el envase inicialmente contena 680 gr.,

cuntos gramos contiene ahora?

Sabemos que originalmente el envase contena 680 gramos.

El 10% de esa cantidad es la dcima parte, porque 10 es la dcima parte de 100.

Y el porcentaje se refiere a la proporcin por cada cien...

La dcima parte de 680 gr., es 68 gr.

Entonces, el 10% de 680 es 68.

La mitad del 10% es el 5%.

Entonces, el 5% de 680 es la mitad de 68, es decir, 34.

Si sumamos el 10% de 680 y el 5% de 680 obtenemos el 15% de 680.

Esto es, el 15% de 680 es 68+34= 102

Entonces, el envase contiene 102 gramos de ms...

Si originalmente contena 680 gramos, junto con los 102 gramos gratis (el 15%) obtenemos unnuevo total de 782 gramos.

Definicin 12PROPORCIN INVERSADos cantidades estn en proporcin inversa si al crecer una, la otra decrece, en la mismarazn.

Por ejemplo si una aumenta al doble, la otra disminuye a la mitad.

Ejemplo 17Dos trabajadores tardan 32 horas en pintar una barda. Cuntos trabajadores se requierenpara que realicen la tarea en 4 horas?

Si se asignan el doble de trabajadores deben tardar la mitad del tiempo.



Entonces, si hay

3 4 trabajadores deben tardar 16 horas,

3 y 8 trabajadores deben tardar 8 horas,

3 y 16 trabajadores deben tardar 4 horas,...

Todo esto, suponiendo que los trabajadores siempre trabajan al mismo ritmo y que no se estorbanentre ellos para realizar la tarea.

Las proporciones inversas aparecen muy frecuentemente. Sin embargo, debido a que mucha gente noconoce su nombre, no las reconoce como tal.

Ejemplo 18En un viaje, 300 personas requieren de 975 litros de agua para consumo (elaboracin de

alimentos y bebidas) durante un da. Si hacemos caso del dicho: una persona necesita dedos litros de agua diarios, para cuntas personas alcanzar el agua?

La respuesta es inmediata: como cada persona requiere de dos litros, dividimos el nmero delitros de agua que llevan consigo y obtenemos el resultado de nuestro problema:

975

2= 487.5

Esto nos dice en palabras que si cada persona consume dos litros de agua por da, entonces 975litros podrn dar a 487.5 personas agua en un da.

Sin embargo debes observar que inicialente haba 300 personas asignadas a los 975 litros de agua.

Esto significa que (en promedio) consuman ms de 2 litros de agua:

975

300= 3.25

Entonces, este problema tiene relacionadas sus variables con una proporcin inversa: cuandoaumenta el nmero de litros de agua que consume diariamente una persona, pueden dar agua amenos personas...

Y cuando disminuye el nmero de personas a las que se les va a repartir el agua, pueden que darlesms litros de agua a cada uno de ellos.

Estos dos tipos de variaciones no son los nicos. Existen otros tipos de variaciones.

Por mencionar un ejemplo, tenemos la energa que contiene el viento. Cuando la velocidad del vientoaumenta al doble, la energa que contiene un kilogramo de ese aire en movimiento aumenta ocho ve-ces. Si se triplica la velocidad del viento, la energa aumenta 27 veces, y si la velocidad incrementa alcudruplo, la energa se multiplica por 64.

Entonces, si la velocidad del viento se multiplica por k , la energa contenida ah se multiplica por k 3.

Este tipo de variacin se conoce como variacin cbica, por obvias razones2.

Otro tipo de variacin consiste en la variacin exponencial. Este tipo de variacin es la que se utiliza paradeterminar la edad de los huesos de dinosaurios y seres que existieron en nuestro planeta hace millones

2Observa que el nmero que utilizaste para multiplicar a la velocidad del viento se elev al cuadrado para conocer en quproporcin aument la energa que contiene.


Efran Soto A.


de aos. En este tipo de variacin la cantidad que aumenta o disminuye depende de la cantidad quequedaba antes.

Por ejemplo, es posible definir que una proporcin exponencial vare de un da a otro con la mitad de loque haba al da anterior. Si el lunes tena 16 gramos de una sustancia que vara de esa forma, entoncesel martes habr la mitad, es decir, 8 gr., el mircoles habr la mitad de lo que quedaba el martes, es decir,4 gr., el jueves habr 2 gr., el viernes 1 gr., y as sucesivamente.

Las poblaciones de algunas especies tienen un crecimiento exponencial tambin3.

Como puedes ver, las razones y proporciones aparecen en muchas reas distintas, adems de que hayotras formas de variacin entre dos cantidades que hemos dejado sin estudiar.

3Dentro de ciertos lmites.




Efran Soto A.

1.4 Lenguaje algebraico 23

1.4 LENGUAJE ALGEBRAICO

Las matemticas son un lenguaje, hecho por los humanos para los humanos.

Como todo lenguaje, tiene sus reglas, y si conoces sus reglas, podrs entender todas las matemticas.

Evidentemente, la base est en este lenguaje que nos ayuda a describir con palabras lo que dicen losobjetos matemticos, es decir, las ecuaciones, funciones, grficas, vectores, etc.

Para poder entender las matemticas ms elementales, debes conocer el significado de las siguientespalabras:

Palabra Significa

Suma resultado de una sumaDiferencia resultado de una restaProducto resultado de una multiplicacinCociente resultado de una divisin

Doble, triple,... multiplicar por 2, 3, etc.Mitad, tercio,... dividir entre 2, 3, etc.

Cuadrado resultado de elevar al cuadradoCubo resultado de elevar al cubo

Cuarta potencia elevar a la potencia 4Raz cuadrada calcular raz cuadrada

Raz cbica calcular raz cbica

En realidad esta lista ya debes conocerla. Cuando una persona te pide: suma 3 al nmero 2, en realidadentiendes lo que debes hacer.

Sin embargo, algunas palabras prcticamente nunca las utilizamos, a pesar de que ya sabemos realizarla operacin.

Ejemplo 19Traduce a lenguaje matemtico, es decir, a una expresin algebraica, el siguiente enunci-ado:

EL DOBLE DE UN NMERO MENOS EL CUADRADO DE OTRO.

Vamos a trabajar con dos cantidades desconocidas, la primera la llamaremos x y a la segunda y .

Como ya sabemos, la palabra doble nos indica que multipliquemos por dos: 2 x indica el dobledel primer nmero.

El cuadrado del otro quiere decir: multiplica el nmero por s mismo dos veces, es decir,elevalo al cuadrado.

Entonces, la expresin algebraica que expresa matemticamente esa frase es: y 2.

Finalmente, la frase El doble de un nmero menos el cuadrado de otro, matemticamente seescribe:

2 x y 2

Con lo que hemos traducido al lenuaje matemtico la frase.

Cualquier expresin matemtica, por ms compleja que parezca, siempre puede expresarse en palabrasa travs del lenguaje algebraico.

Otras palabras que se usan frecuentemente en el lenguaje algebraico son las siguientes:



Palabra Significa

Aumentado ms o sumado aDisminuido menos o restado de

Razn cocienteProporcin cociente

Incrementado sumadoSemi mitad de...

Ejemplo 20Traduce a una expresin matemtica la siguiente frase: El rea de un cuadrado es igual alcuadrado de la longitud de uno de sus lados.

Primero debemos notar que se est hablando de una frmula de geometra.

Necesitamos una literal para denotar el rea del cuadrado.

Por similitud, utilizaremos A.

Y para denotar la longitud del lado del cuadrado usaremos l .

Entonces, el rea (A) la encontramos elevando al cuadrado la longitud del lado (l ):

A = l 2

Esta es la frmula que nos expresa matemticamente la frase que nos pidieron traducir al lenguajealgebraico.

Seguramente ahora podrs reconocer las frmulas de geometra como expresiones que nos dan infor-macin acerca de las figuras a las cuales corresponden.

La frmula del rea del crculo, por ejemplo: A = r 2 nos indica que su rea depende solamente de unamedida: su radio. Esto es semejante al caso del cuadrado: su rea solamente depende de la longitud deuno de sus lados.

Ejemplo 21Traduce a una expresin matemtica la siguiente informacin:Carlos tiene 6 canicas msque Benjamn. Entre los dos tienen en total 78 canicas.

Vamos a utilizar la letra C para denotar la cantidad de canicas que tiene Carlos.

Y B servir para denotar la cantidad de canicas que tiene Benjamn.

Sabemos que Carlos tiene 6 canicas ms que Benjamn, as que si sumamos 6 al nmero B obten-emos lo que tiene Carlos:

C = B +6

Si sumamos las dos cantidades, obtenemos lo que tienen los dos juntos, en este caso, 78 canicas:

B +C = 78

Pero ya habamos encontrado que C = B +6, por lo que podemos escribir tambin:

B + (B +6) = 78


Efran Soto A.


Cualquiera de las dos ecuaciones sirve como solucin al texto dado en el encabezado del ejemplo.

Ms adelante estudiaremos cmo resolver estas ecuaciones.

Es importante que notes que dos ecuaciones distintas en el ejemplo anterior pueden servir para expresarexactamente la misma situacin. Cul utilizar depender de la situacin en la que nos encontremos.

Observa que algunas veces podemos expresar la misma informacin de varias maneras distintas. De-spus de todo, las matemticas son un lenguaje.

Ejemplo 22Expresa en forma de una ecuacin la siguiente informacin: Un rectngulo tiene un reade 84 metros cuadrados. Sabemos que su base mide 5 metros ms que su altura.

Denotemos con una literal la altura del rectngulo, por ejemplo, h .

Para nosotros la letra h representa los metros que mide la altura del rectngulo.

El texto nos dice que la base mide 5 metros ms, es decir, tengo que sumar 5 a la altura para obtenerlo que mide la base:

b = h +5

Adems, sabemos que el rea del rectngulo es igual a 84 metros cuadrados. Entonces:

rea = basealturaA = b h = (h +5) h

84 = (h +5) h

Esta ecuacin expresa matemticamente el texto que se dio en el encabezado del ejemplo.

El ejemplo anterior nos dice algo importante: las expresiones matemticas nos dan informacin acercade algn proceso. En este caso, la ecuacin (h+5) h = 84 nos indica las condiciones para que el rea deun rectngulo sea igual a 84 unidades cuadradas si su base mide 5 unidades ms que su altura.

No siempre es as de fcil obtener informacin de una ecuacin, pero cuando sea posible, es importantereconocerla porque as tendremos mayor informacin acerca del problema que estamos resolviendo.

Ejemplo 23

Escribe en palabras la siguiente expresin algebraica:

x + yx y

Primero observamos que se trata de la divisin de dos cantidades,

La cantidad que est en el numerador es la suma de dos nmeros,

y la cantidad que est en el denominador es la diferencia de los mismos nmeros.

Ahora, debemos recordar que el resultado de una divisin, en matemticas se llama: cociente.

Entonces,x + yx y

se lee:



El cociente de la suma de dos nmeros entre su diferencia.

El lenguaje algebraico es la forma como expresamos los procedimientos para resolver problemas matemti-cos de todas sus reas.

Continuamos con la aplicacin del lenguaje algebraico en la solucin de problemas aritmticos y ge-omtricos.

1.4.1 ALGORITMOS ARITMTICOS Y GEOMTRICOS

El lenguaje algebraico nos ayuda a expresar en palabras ecuaciones o a escribir en forma de ecuacinuna o varias operaciones que debemos realizar con algunas cantidades.

Ejemplo 1Escribe en forma de expresin algebraica el siguiente juego:Piensa un nmero, sumale dos; al resultado multiplcalo por 3, despus rstale 6. Calculala tercera parte de ese resultado y obtienes el nmero que pensaste.

Primero debemos definir el nmero que pens: x .

A ese nmero le van a sumar 2, as obtenemos: x +2.

Al resultado van a multiplicarlo por 3, con lo que obtenemos: 3 (x +2).

Despus le restan 6, y as se obtiene: 3 (x +2)6.

Finalmente, dividimos entre 3, esto se denota por:

3 (x +2)63

Y terminamos.

Es importante que observes que cuando multiplican por 3, no escriben: 3 x + 2, porque en este caso,estamos multiplicando por 3 el nmero que pensaron y al resultado le sumamos dos.

Para que te convenzas que los resultados son distintos, puedes considerar distintos valores y vers queno obtienes el mismo resultado.

Por ejemplo, digamos que pensaste el nmero 10. Si sumamos 2 obtenemos 12, y despus multipli-camos por 3 para obtener 36. Por otra parte si multiplicas 3 por 10 (el nmero que pensaste, sin sumar2) obtienes 30, y despus sumamos 2 para obtener 32. Como ya sabemos 36 6= 32.

En matemticas, cuando se explica un resultado, necesariamente debemos utilizar palabras que in-diquen cada objeto o idea.

Si no memorizas los significados de las palabras que aparecen en las tablas dadas anteriormente, nopodrs aprovechar tus cursos de matemticas, incluyendo ste.

Ejemplo 2

Explica si es correcta o incorrecta la siguiente aseveracin:

El promedio de dos nmeros es igual a su semisuma.

Calculamos el promedio sumando los nmeros y dividiendo entre el nmero de datos.


Efran Soto A.


En este caso estamos hablando de 2 nmeros,

...entonces, el promedio en este caso es:x + y

2

Por otra parte, semi significa mitad, es decir, dividir entre dos.

La semi suma de los nmeros indica que debemos dividir entre dos la suma de los nmeros...

y eso es precisamente lo que escribimos:x + y

2

Esto nos indica que la aseveracin es correcta.

Ejemplo 3

Una paquete de galletas indica en la tabla de especificaciones nutricionales que cada gal-leta contiene 54.5 kilocaloras (kCal). Pedro tambin compr 250 mL de una bebida quecontena 505 kCal en total. Si l se tom los 250 mL de bebida y adems comi n galletas.(a) Cuntas kilocaloras ingiri? (b) Traduce a lenguaje algebraico la expresin obtenida.

Este es un problema clsico de dieta.

Llamemos C la cantidad de kilocaloras que ingiri Pedro.

Las kCal que ingiri al tomar la bebida son 545 kCal.

Hasta ahora, considerando solamente las kCal ingeridas debido a la bebida son:

C = 505

Pero no es lo nico que ingiri... Tambin comi n galletas.

Sabemos que cada galleta le provee de 54.5 kCal.

Si l come solamente una galleta, ingiere 54.5 kCal,

Si come dos galletas, ingiere (54.5)(2) kCal,

Si come tres galletas, ingiere (54.5)(3) kCal, etc.,

Y en general, si come n galletas, est ingiriendo (54.5 n ) kCal.

Entonces, considerando la bebida, ms

matemáticas preuniversitarias- …… · el contenido de este libro corresponde a los cursos de...

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