CÓMO ENSEÑAR LAS MATEMÁTICAS: UN RETO CON MUCHAS SOLUCIONES En los últimos días del recién extinto 2008, Fernando Solana, presidente de Educación y Desarrollo, A. C; nos habló de la manera en la que él lograba que sus alumnos aprendieran las materias que impartía. En ese momento surgió la idea para escribir en el primer número del décimo año de nuestro boletín, un artículo sobre algunas técnicas efectivas para la enseñanza de las matemáticas y otras materias. Las prácticas empleadas por Don Fernando son ingeniosas y sirven de ejemplo para que cualquier profesor desarrolle su propio método de enseñanza. Lo que no es válido es que el maestro se concrete únicamente a repetir lo que dicen los libros de texto. Al hacer esto, el maestro invalida su función docente y provoca que los alumnos se aburran. Tras esta digresión, lo que Don Fernando hacía era decirles a sus alumnos que el lunes haría un examen; llegado el día, argumentando algún pretexto, cambiaba el examen para el miércoles y ese día volvía a cambiar la prueba para el siguiente lunes. Con esto los alumnos estudiaban para el primer lunes, repasaban para el miércoles y por fin, cuando se presentaban al tan retardado examen, tenían más conocimientos sobre el tema que si sólo lo hubieran presentado en la primera fecha programada. Pero nuestro habilidoso amigo no se detenía ahí: el día del examen decía a los alumnos que, puesto que no entendían bien lo que se les preguntaba, abrieran sus libros. Después de una hora, cuando los alumnos aún no podían resolver el examen, les permitía que se lo llevaran a su casa y que lo entregaran una semana después. Cuando los alumnos regresaban con el examen resuelto, les

pedía que explicaran cómo habían encontrado la solución. Con ello, quienes no habían logrado contestar las preguntas comprendían sus errores o su falta de conocimiento. Observen nuestros lectores que ésta es una forma de enseñar ―a la cual los pedagogos seguro podrán llamar con algún nombre especial― que en realidad logra que los alumnos se interesen por lo que están aprendiendo. ¿Cuántas veces, como maestros o alumnos, no hemos escuchado que en los exámenes se aprende más que en clase? Como dice el gran Russell Lincoln Ackoff “más aprende el que enseña, que el que funge como estudiante”. Estimados maestros, desarrollen en sus cursos técnicas de enseñanza ingeniosas con las cuales atrapen a sus alumnos para que descubran lo útil, lo práctico y lo necesario de los temas que enseñan; de otra manera, será muy difícil que sus alumnos quieran aprender por sí solos. Éstas son algunas técnicas que pueden ayudarnos a inducir el interés en nuestros estudiantes: 1. Partir de problemas reales que pongan en

aprietos a los estudiantes. Al tratar de resolverlos con sus propios recursos, cada alumno puede descubrir formas que los docentes no imaginamos y plantear nuevos métodos de enseñanza.

2. Los estudiantes tienen su propio lenguaje y técnicas de análisis. Cuando tienen interés por resolver algún problema, se reúnen para analizarlo y en conjunto proponen soluciones. Lo que debemos hacer aquí los docentes es interesar a los alumnos en los problemas y dejar que ellos mismos elucubren las soluciones, seguro llegarán a la adecuada. Y en caso de que nos sea así, ahí entra de nuevo el docente para explicar por qué no se llegó a la solución.

MATEMÁTICAS PARA

TODOSAño 10, Número 86, enero de 2009

EN ESTE BOLETÍN:

Enero 2009 1

“El ignorante afirma, el sabio duda y reflexiona.” Aristóteles

Cómo enseñar las matemáticas: un reto con muchas soluciones

El uso del álgebra para saber cómo pensamos

¡Admírese! Interés por los libros de matemáticas

Algunos números perfectos Los problemas del calendario

Educación y el Desarrollo, A. C.Educación y Desarrollo, A. C.Educación y el Desarrollo, A. C.Educación y Desarrollo, A. C.

Consideramos que éste es un buen método para que el docente sea un verdadero facilitador del aprendizaje.

3. Deje que sus alumnos enseñen a los demás. En lugar de ser usted el que explique todo, permita que los alumnos expongan algunos temas. Esto los motiva a prepararse bien para no quedar mal ante sus pares y les da oportunidad de expresar cómo les gustaría recibir una clase. Es muy probable que los mismos compañeros corrijan y propongan los caminos para entender mejor el tema.

Estamos seguros de que nuestros lectores docentes conocen otras muchas técnicas de enseñanza, y de que sólo deben darle vuelo a su creatividad para usar los libros de texto como meras guías y no como verdades absolutas.

EL USO DEL ÁLGEBRA PARA SABER CÓMO PENSAMOS Mucho hemos escrito sobre los usos, las aplicaciones y los beneficios del álgebra con el fin de conseguir que nuestros alumnos se interesen en ella. Hemos comentado ya cómo a través de esta rama de las matemáticas podemos reflexionar y solucionar muchos de los problemas en nuestra vida. Sin embargo, el álgebra no sirve sólo para representar operaciones y ecuaciones con letras, con ella es posible también representar nuestra forma de pensar.

¡Aunque usted no lo crea! Dos grandes matemáticos fueron quienes demostraron esta importante aplicación del álgebra. Uno fue Leonhard Paul Euler (1707-1783) y el otro George Boole (1815-1864). Euler, por medio de literales y de sus famosos círculos, planteó una representación de nuestro actuar al reflexionar o al menos de cómo creemos que lo hacemos. Para ello, utilizó el razonamiento deductivo que hacemos a través de silogismos. El silogismo más conocido es el de Aristóteles que se refiere a Sócrates y que reza:

1. Todos los hombres son mortales 2. Sócrates es un hombre 3. Por ello, Sócrates es mortal

La primera frase es la premisa principal, la segunda se denomina premisa secundaria y la tercera es la conclusión que se obtiene de las dos premisas. En cada una de las frases se tiene un sujeto y un predicado. En la primera, el sujeto es todos los hombres y el predicado es son mortales; en la segunda, el sujeto es Sócrates y el predicado es que éste es un hombre. En la conclusión, el sujeto es Sócrates y el predicado es que es éste es mortal. Lo que hizo Euler fue ponerles una literal a todos los sujetos y predicados de la siguiente manera:

H = hombre (s) M = mortal (es) S = Sócrates

Con ello pudo plantear: H = M (Los hombres son mortales) S = H (Sócrates es un hombre) Por lo tanto, S = M (Sócrates es mortal)

Si tomamos en cuenta que en el álgebra las literales se comportan como los números, entonces deberíamos poder conmutar las literales y éstas tener el mismo significado; esto podría ser así:

Posibilidad I Posibilidad II Posibilidad III Posibilidad IV H M

(Los hombres son mortales)

M H (Los mortales son hombres)

H M (Los hombres son

mortales)

M H (Los mortales son hombres)

S H (Sócrates es

hombre)

S H (Sócrates es

hombre)

H S (Los hombres son como Sócrates)

H S (Los hombres

son como Sócrates)

Por lo tanto S M

(Sócrates es mortal) S M

(Sócrates es mortal)

S M (Sócrates es mortal)

S M (Sócrates es mortal)

De esta forma comprobamos que al conmutar las letras resulta lo mismo. Euler dibujó tres conjuntos S, M y H, y señaló sus correspondientes cruces de la siguiente manera: Si todos los Hombres son Mortales, las áreas marcadas con 3 y 5 deben estar vacías, ya que todos los elementos de H deben estar en M. Esto implica

2 Matemáticas para Todos

“Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano.” Isaac Newton

H

MS

1

234

5

67

H

MS

1

234

5

67

que, para que se cumpla con esta premisa, sólo pueden existir las áreas 2 y 4. Para que se cumpla la premisa secundaria de que Sócrates es un Hombre, las áreas 7 y 1 deben estar vacías. Esto implica que, para que Sócrates sea un Hombre sólo puede existir en las regiones 3 y 4. Ahora será necesario analizar la conclusión de que Sócrates es Mortal. Para que esto se cumpla, las áreas 7 y 6 deberán estar vacías y sólo pueden existir en las áreas 1 y 4 pero como ya dijimos que el área 1 está vacía: sólo puede existir el área 4. Esto comprueba que la única área que permite que se cumpla el silogismo de Aristóteles es el área 4 en la que Sócrates es hombre mortal. Varios siglos después, los círculos de Euler fueron ampliamente utilizados para entender las matemáticas por medio de la teoría de los conjuntos y esto se hizo por medio de los muy socorridos diagramas de John Venn (1834-1923). George Boole estableció lo que en la actualidad se conoce como álgebra booleana o álgebra de retículas. Ésta ha servido como base para la construcción de todos los lenguajes de programación de las computadoras. Y no sólo eso, con estos principios se ha diseñado el hardware de todas las computadoras digitales y analógicas. Su constitución es simple y elegante, se fundamenta en los sistema binarios, esto es: sí/no; 0/1; existe/no existe; blanco/negro; positivo/negativo; falso/verdadero. Como introducción a los elementos básicos de esta poderosa herramienta es suficiente decir que cuando en un conjunto existen elementos, éste se representa con el número uno, en caso de que no tenga elementos entonces se representará con el cero. Con esta simple herramienta matemática, se formalizan las operaciones “Y”, “O” y “NO” en un programa de computación o el funcionamiento de una computadora. Con esto se puede calcular la trayectoria de una nave que gire alrededor de Júpiter y además programarla para que en su viaje analice lo que sucede en su luna Europa. Se preguntarán nuestros lectores ¿cómo puede suceder esto? Para ello pongamos un ejemplo simple: Suponga que va a salir de vacaciones durante unos días a una playa y que debe prepararse para el viaje. Si fuéramos ordenados elaboraríamos un plan para viajar. Esto, lo podríamos representar por medio de un sistema como el siguiente.

Observe que se definió a dónde viajaría dependiendo de la disponibilidad económica. También se contrataron los servicios del hotel hasta que alguno estuvo disponible. Cuando todo está listo, entonces viaja y se hospeda. En otras palabras, si usted sabe cuál es su meta, podrá llegar a ella haciendo preguntas que tengan como respuesta sí o no. Esto es, ¿tengo 20,000 pesos? en caso positivo voy a Cancún, en caso negativo voy a Veracruz. Esto podría parecer soso y lento pero a la velocidad de la luz pueden hacerse varios billones de preguntas por segundo y saber si está bien o mal. Si lo duda, éste fue el procedimiento que la computadora IBM llamada Deep Blue uso para ganarle en 1996 una partida de ajedrez al campeón del mundo Garry Gasparov. Los programas de computadora toman decisiones paso a paso y con ello solucionan los diferentes planteamientos que les hacemos. Desgraciadamente, por falta de espacio, no podremos hablar más del álgebra booleana pero en los próximos números sí lo haremos. Sirva mientras tanto este artículo como una breve introducción.

¡ADMÍRESE! INTERÉS POR LOS LIBROS DE DIVULGACIÓN MATEMÁTICA El 2 de noviembre de 2008, se publicó en el diario español El País un artículo de Javier Sampedro titulado “Un saber con cinco mil años de garantía”. En éste, Sampedro comenta el nuevo libro de Ian Stewart titulado Historia de las matemáticas, traducido por Javier García Sanz. Al inicio, el autor señala cómo, no obstante lo rápido que un nuevo modelo de teléfono celular se vuelve obsoleto,

Enero 2009 3

Disponibilidad económica + de 20,000

Sí

No

Cancún

Veracruz Camión

Avión

Hotel

Transporte local

Transporte local

Hotel

DisponibleSí

No

DisponibleSí

No

Otro hotel

Otro hotel

Contratación

Contratación

HospedajeDisponibilidad económica + de 20,000

Sí

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Cancún

Veracruz Camión

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Otro hotel

Otro hotel

Contratación

Contratación

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“Vale más saber alguna cosa de todo, que saber todo de una cosa.” Blaise Pascal

nuestros ingenieros siguen utilizando el teorema de Pitágoras y otras teorías antiguas para construir máquinas, diseñar anteojos o hacer funcionar una laptop. Destaca que las matemáticas clásicas siguen vigentes y que así será por mucho tiempo. Se menciona aquí que en los últimos seis años las ventas de libros de divulgación matemática han crecido en España, tal como lo demuestra la venta de los 12,000 ejemplares de libro El camino a la realidad de Roger Penrose, matemático de Oxford. No se sabe el porqué de este fenómeno, pero se supone que puede deberse al intento de la gente por “aliviar su sofocante ignorancia matemática” o a que los jóvenes conocen cada día más de informática y requieren saber en qué se fundamenta esta ciencia que algunas veces parece mágica. Ian Stewart es profesor de la Universidad de Warwick, ha trabajado en la teoría de las catástrofes de René Tom y ha escrito varios libros de divulgación como: Locos por las matemáticas (2005), Cartas a una joven matemática (2006), Cómo cortar un pastel (2007) y Belleza y realidad (2008). En su nueva obra, Stewart critica severamente la manera convencional de tratar el género de la divulgación matemática que provoca que la gente se aleje de él. Este libro es una buena introducción a las matemáticas, a sus conceptos básicos y prodigiosos fundamentos. De fácil y entretenida lectura recomendada para todo público, esta obra explica cada uno de los mayores descubrimientos matemáticos de la historia y nos ayuda a comprender esta materia que siempre ha tenido fama de complicada pero que ha hecho que nuestro mundo sea como hoy lo conocemos. N. del E: La base de este artículo se obtuvo del diario El País del 2 de noviembre de 2008.

ALGUNOS NÚMEROS PERFECTOS Número perfecto es aquel que la suma de sus divisores exactos suman el número. Por ejemplo, 6 es divisible entre 3, 2 y 1, y al sumarlos tenemos:

3 + 2 + 1 = 6 El 2º número perfecto es el 28, ya que es divisible entre: 14, 7, 4, 2, 1 y la suma de estos es 28. Después del 28 se sabe que 496, 8,128 y 33,550,336 son números perfectos. Según Euclides los números perfectos responden a la siguiente fórmula:

)12(2 1 −− nn

Siempre y cuando 12 −n sea un número primo El último número perfecto conocido fue el 39º y tiene 4,053,496 cifras.

LOS PROBLEMAS DEL CALENDARIO Jueves 1. Cinco enteros se escriben en un círculo de forma que no haya 2 ó 3 números vecinos cuya suma sea múltiplo de tres. ¿Cuántos de esos cinco números son divisibles entre tres? Lunes 12. Divide la figura en tres partes iguales. Viernes 16. Alina está construyendo cuadrados con palitos, agregando cuadraditos a lo que ya tiene construido. ¿Cuántos palitos tiene que agregar al 30º cuadrado para obtenerle 31º cuadrado?

Matemáticas para todos. Año 10, número 86, enero de 2009. Periodicidad: diez números al año. Editor responsable: Alfonso Ramón Bagur. Nº de Certificación de reserva de derechos al uso exclusivo de título: 04-2000-0829110600-106. Certificado de licitud de título: Núm. 11423. Certificado de licitud de contenido: Núm. 8018. Publicación en formato electrónico elaborado y distribuido por: Educación y Desarrollo, A.C. y el Instituto de Ingeniería de la UNAM.

E-mail: fdomexia@prodigy.net.mx. Página web: www.educacion.org.mx

Consejo Editorial: • Sergio Manuel Alcocer Martínez de Castro • Hugo Balbuena Corro • Radmila Bulajich Rechtman • Roger Díaz de Cossío • Guillermo Fernández de la Garza • Carlos Lara Esparza • María Teresa Rojano • Fernando Solana. Tel: 5623-3500 ext. 1208 E-mail: alfonso@aprendizaje.com.mx

4 Matemáticas para Todos

Educación y Desarrollo, AC

“La sabiduría consiste en saber cuál es el siguiente paso; la virtud es llevarlo a cabo”

David Starr Jordan