matemáticas para el análisis económico ii jorge salgado imprimir

8/3/2019 Matemticas para el anlisis econmico II Jorge Salgado imprimir

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Matemticas para el anlisis econmico IIProblems set No. 2

Jorge Salgado

1.- Sea un simplex unitario de dimensiones, que se define como:

Dibuja este conjunto para y . Prueba que este conjunto esconvexo y que tambin es un conjunto compacto.

Grfico No. 1

2

3

2

(

+ 2 + 3 + 2


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El Grfico No. 1 representa al simplex unitario para ilustrado en laparte y para ilustrado en la parte .

Para demostrar que el simplex unitario es convexo, se parte de ladefinicin general de convexidad:

Un conjunto de es convexo si , - para todo enS. Es decirun conjunto es convexo

, ,- + Que para el caso del simplex unitario se planteara como: de es

convexo si , - para todo en . O de forma alternativa esconvexo , ,- +

Una vez est clara la definicin se analiza el caso de :Con 2 2 2 , se tiene que:

+ 2 + 2

Si + para 2 + 2 + 2

+ 2 + + 2 + 2

+ 2 + + 2 + 2 2 + 2 + 2 + + 2

+ 2 + + 2

Por lo tanto, el conjunto de 2 es convexo si , 2 2- , paratodo , 2 2- en S.


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de 2es convexo , 2 2- , ,-

2 + 2 + 2

Ahora se puede demostrar que de 2 es convexo dividiendo alhiperplano en dos conjuntos convexos,

{ } y { } con Para mostrar que es convexo, se toman dos puntos arbitrarios , en con:

+ + De forma similar con .Por lo que si los dos conjunto de 2son convexos tambin es

convexo.

Para demostrar que es un conjunto compacto es til saber que un

conjunto convexo est cerrado bajo combinaciones convexas. Por lo que si en2 es un conjunto convexo, con y sean + 2 + , setiene que:

+ 2 Si 2 es cero(o ), se encuentra a la combinacin convexa:

2 , que da lugar a:

+ 2 2 + 2 2

Asimismo, es importante recordar la definicin de un conjunto acotado:

Sea . es acotado est contenido en un cubo cerrado.


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Adems, un conjunto est acotado si lo est inferior y superiormente:

Sea

.

est acotado inferiormente existe tal que est acotado superiormente existe tal que

,que es el caso del simplex unitario, acotado superiormente por uno e

inferiormente por 0.

Por ltimo, se recuerda que un conjunto es cerrado si su complementario

es abierto. En el caso del simplex unitario para

no es difcil ver que su

complementario es abierto.Sea , siempre se va poder encontrar una bola abierta con centro y

radio , que est contenida en .

Ahora se elabora el ejercicio para

Con 3 2 3 2 3 , se tiene que: + 2 + 3

+ 2 + 3 Si + para

2 3 + 2 + 2 3 + 3 + 2 + + 2 + 2 + 3 + 3 + 2 + + 2 + 2 23 + 3 3

+ 2 + 2 + 3 + + 2 + 3 + 2 +

+ 2 + 3


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Por lo tanto, el conjunto de 3 es convexo si , 2 2- , paratodo , 2 2- en S.

de 3es convexo , 2 3 2 3- , ,- 2 3 + 2 + 2 3 + 3

Ahora se puede demostrar que de 2 es convexo dividiendo alhiperplano en dos conjuntos convexos,

{ } y { } con Para mostrar que es convexo, se toman dos puntos arbitrarios , en con:

+ + De forma similar con .Por lo que si los dos conjunto de 3son convexos tambin es

convexo.

Para demostrar que es un conjunto compacto es til saber que un

conjunto convexo est cerrado bajo combinaciones convexas. Por lo que si de2 es un conjunto convexo, con y sean + 2 + 3 , se tieneque:

+ 2 + 3 Si cualquiera de 2 3, es cero + 2 + 3, se reduce a una

combinacin convexa de dos vectores, y como S en convexo lo contendr:

22 + 3 + 32 + 3 , entonces se puede expresar como una combinacin convexa de dos vectores:

+ 2 + 3 + 2 + 3 22 + 3 +32 + 3

Asimismo, es importante recordar la definicin de un conjunto acotado:

Sea . es acotado est contenido en un cubo cerrado.


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Adems, el conjunto est acotado inferior y superiormente como en el

caso de 2. Es decir acotado superiormente por uno e inferiormente por 0.Por ltimo, se recuerda que un conjunto es cerrado si su complementario

es abierto. En el caso del simplex unitario para se puede demostrar de formasimilar.Sea , siempre se va poder encontrar una bola abierta con centro y

radio , que est contenida en conjunto complementario de S en 3.

2.- Sea un vector dado con la funcin .Demuestre que la derivada de

con respecto al vector

es b.a.

Por definicin sabemos que la gradiente es:

2

Como se tiene:

Entonces tenemos:

2


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3.- Examine la concavidad/convexidad de las siguientes funciones:

a) + Se obtienen las derivadas parciales, con respecto a cada una de las

variables:

, y se construye la matriz Hessiana, de derivadas segundas:

|| [ ]Se encuentra al determinante de la matriz:

2 + 2 2 2,como

2 Este caso corresponde a y22 (2 )2 del teorema 2.3.1. parafunciones 2

b) +

2

Se obtienen las derivadas parciales, con respecto a cada una de las

variables:

+


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, y se construye la matriz Hessiana, de derivadas segundas:

[+ + + + + + ]Se encuentra al determinante de la matriz:

|| + + + + + +

2+ 2 + 2 2 +

2 ,como +

La funcin es estrictamente convexa, este caso corresponde a y

22 (2 )2

del teorema 2.3.1. para funciones

2

c) + + 2Se puede encontrar la solucin de este problema reemplazo, las variables entre

parntesis por , que conserva las propiedades geomtricas que nos interesan de lafuncin original.

2Claramente la funcin es convexa .No obstante, no es estrictamente convexa, porque es constante en cada curva de

nivel de + + . Se puede comprobar tomando dos puntos y2 2 2 2 + + 2 + 2 + 2

2 2 2


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Ahora obtenemos una combinacin lineal de los dos puntos:

33 3 3 + 2 2 2 ,-33 3 3 + 2

3 + 2 2

4.- Prueba que 2 2 2 2 es cuasicncava.La funcin anterior se representa en la siguiente grfica:

Grfico No. 2

Se puede partir determinando si la funcin anterior es cncava ya que por

definicin toda funcin que cumple con concavaidad es cuasicncava(aun que no al

revs).

La funcin anterior tiene una forma + 2

2

2


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2 22

2

2222

Las dos funciones son cncavas, de acuerdo y se tiene que:

22

2

2

+ 22

22

Por lo tanto, 2 2 2 2 es cncava.Ahora se demuestra que la funcin definida en unconjunto convexo S en es cuasicncava si el conjunto:

{ },es convexo para cualquier q.Demostracin:

Sean e dos elementos cualquiera en , es decir .Luego por concavidad de + . Por lo tanto + tambinest en para todo ,-.

5.- Se dice que una funcin es de un solo pico si existe un en talque f es estrictamente creciente para

y estrictamente decreciente para

.a) Muestra que dicha funcin es estrictamente cuasicncava

b) Supn que fes tambin cncava. Puede ser estrictamente cncava.

Las funciones que cumplen con ests caractersticas son utilizadas con

frecuencia en problemas de economa poltica, en aplicaciones de votante

mediano, en distribuciones poblacionales etc..


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Grfico No. 3

a) Muestra que dicha funcin es estrictamente cuasicncavaSea una funcin de un solo pico, con como pico. Se quierecomprobar que dados los puntos , y . Si y se encuentraentre y , siendo diferente a ellos, es decir estrictamente entre ambos,entonces * Para afirmar lo anterior se tienen dos casos de anlisis. El primero

cuando , de donde se obtiene que , como f debe sercreciente entre hasta , > , que cumple con * , la condicin de estricta cuasiconcavidad.El segundo escenario cuando . En este caso se situar ms a laderecha que el caso anterior en la fase decreciente de . De acuerdo a lasconsideraciones iniciales . Como la funcin f est en su fasedecreciente

>

, que cumple con

*

b) Supn quefes tambin cncava. Puede ser estrictamente cncava.Si la funcin es cncava, no puede ser estrictamente cncava. Un ejemplo

ilustrativo es una funcin lineal que tenga su pico en , tambin tendrsu fase decreciente y creciente, y no cumplir con concavidad estricta


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Grfico No. 4

.

6.- Supn que satisface las dos siguientes ecuaciones:

2 2 + 2 + 2 + 2 +

Las condiciones suficientes para que este sistema pueda ser representado por

dos ecuaciones , son que ambas sean en un puntocercano. Muestra que esa representacin es posible cuando y computa y .Inicialmente se obtienen las derivadas parciales:

+

Las condiciones suficientes estn dadas por el determinante de la matriz

Jacobiana, si no es igual a cero podr representarse:


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| | + +

| | 2 + + | | 2 +

Ahora se muestra que esa representacin es posible cuando

+ + +

|| Se ha comprobado que la representacin es factible con .

Finalmente se computa y .

( ) + + ( ) + + +

, con en las parciales anteriores se tiene:


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De forma similar:

( ) + + ( ) + + + , con en y

7.-Demuestra que si un subconjunto de contiene ms de un punto, tieneque ser un intervalo (pista muestra primero que si f es acotado, S tiene que ser

un intervalo con una cota inferior y superior.

Sea

de

un conjunto convexo, acotado superior e inferiormente por:

Como es claro b>a,

Ahora demostramos, que S tiene un intervalo abierto.

Sea de tal forma que . Puesto que b es la cota superior,existir un con . De forma similar con la cota superior, existir un tal que . Entonces . Si adems existe un ,-de tal forma que:

+ Por lo tanto x es una combinacin convexa, puesto que S es convexo x pertenece

a x.

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