MATEMATICAS II

LIBRO

Contenido BLOQUE 1 ....................................................................................................................................................... 2

TRIANGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS ................................................................... 2

BLOQUE 2 .................................................................................................................................................... 14

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS ...................................................................................................... 14

BLOQUE 3 .................................................................................................................................................... 17

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Y TEOREMA DE PITÁGORAS .................................................. 17

BLOQUE 4 .................................................................................................................................................... 22

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS ................................................................................................. 22

BLOQUE 5 .................................................................................................................................................... 26

CIRCUNFERENCIA ................................................................................................................................... 26

BLOQUE 6 .................................................................................................................................................... 29

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................................... 29

BLOQUE 7 .................................................................................................................................................... 35

LEY DE SENOS Y COSENOS................................................................................................................... 35

BLOQUE 8 .................................................................................................................................................... 39

ESTADÍSTICA ELEMENTAL.................................................................................................................. 39

BLOQUE 9 .................................................................................................................................................... 51

PROBABILIDAD ........................................................................................................................................ 51

BLOQUE 1

TRIANGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS

1.1 La geometría euclidiana

Para comprender la importancia de los conocimientos geométricos como un medio

de medir y comparar longitudes y distancias, es ineludible retroceder más de 4000

años en la historia, pues para llegar hasta lo que hoy se conoce como una

importante rama de las matemáticas, fue necesaria la conjunción de los

conocimientos de antiguas civilizaciones que, de manera intuitiva y visual,

aplicaban para explicar fenómenos naturales relacionados principalmente con la

agricultura, así como en sus construcciones arquitectónicas, tales como las

pirámides de Egipto, que en la actualidad son admiradas por su belleza y exactitud

geométrica. A continuación haremos una breve semblanza del avance de la

geometría en el tiempo.

Nos remontaremos al invento de la rueda por los sumerios (3500 a. C.), quienes

en sus construcciones mostraban figuras geométricas. Más tarde los babilonios

adaptaron la rueda a sus carros con fines bélicos; con su uso descubrieron la

relación entre la circunferencia y su diámetro, estableciendo que la circunferencia

es tres veces mayor que el diámetro. Posteriormente, con los conocimientos

provenientes de las observaciones relacionadas con el tiempo de desplazamiento

en el firmamento, del Sol hacia el oeste, estimado en 360 días, dividieron la

circunferencia en 360 partes iguales, donde cada una representaba la distancia

recorrida por el Sol en un día y así obtuvieron el grado en el sistema sexagesimal;

además, también tenían conocimiento de cómo trazar un hexágono regular inscrito

en la circunferencia.

Los egipcios, debido a las frecuentes inundaciones de sus parcelas, realizaron

constantes divisiones de la tierra. Probablemente este suceso tenga que ver con la

etimología de la palabra «geometría», que significa «medida de la tierra». Estos

conocimientos de geometría fueron aplicados en la construcción de las pirámides,

así como en el cálculo de las áreas del triángulo isósceles y del círculo, con lo que

se determinó un valor aproximado para 𝝅 (3.1604). Los griegos, al reemplazar la

observación y la experimentación por deducciones lógicas, fundaron la geometría

como ciencia. Algunos matemáticos como Tales de Mileto, Pitágoras y Euclides

partieron de los conocimientos geométricos de la cultura egipcia.

Tales de Mileto (624-546 a. C.). A él se debe la primera medida exacta del tiempo

por el movimiento de la sombra que arroja una «vara» vertical sobre un cuadrante,

y la construcción de calendarios astronómicos o náuticos acompañados de

indicadores meteorológicos. Entre sus estudios sobre proporcionalidad de

segmentos determinados en dos rectas por un sistema de paralelas destacan los

teoremas que llevan su nombre, pues dichos estudios representaron el inicio de la

geometría como ciencia.

Pitágoras de Samos (570-496 a. C.). Discípulo de Tales de Mileto y fundador de

la escuela pitagórica, entre cuyos estudios matemáticos se encuentran el de los

números pares e impares, los números primos y los cuadrados esenciales en

la teoría de los números, concluye que todo en la realidad tiene una estructura

matemática. Su principal aportación en el campo de la geometría fue el teorema

de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el

cuadrado de la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo es igual a la suma de

los cuadrados de los otros dos lados, esto es, la relación 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2, así como

su demostración.

Euclides (330-275 a.C., aproximadamente). Con él se organiza gran parte del

conocimiento acerca de la geometría, y se establecen las bases de lo que hoy en

día se conoce como geometría clásica, ocupándose fundamentalmente de

estudiar las propiedades métricas de las figuras (medida de un ángulo, longitud

de un segmento, área de una superficie, volumen de un sólido, etc.), alcanzando su formulación más conclusa en su obra Los elementos, tan exitosa que desde

hace dos mil años se sigue enseñando, y aunque se han hecho nuevas

aportaciones al respecto, desde entonces se le ha llamado Geometría

Euclidiana.

En la actualidad, todos los conceptos usados en las matemáticas son

rigurosamente definidos, excepto los términos: primarios, básicos o

fundamentales, utilizados en nuestro lenguaje cotidiano; por ejemplo, los términos

punto, línea y superficie aplicados a descripciones o cuando hacemos referencia

a objetos de uso común; tal es el caso de la punta de una aguja, el borde de una

mesa, una pantalla de proyección, etcétera.

Aunque puede parecer extraño, estos conceptos no definidos son los que sirven

de base a la geometría, es decir, fundamentan sus principios más elementales, a

los cuales nosotros les damos forma de manera intuitiva.

A continuación sólo mencionaremos las características de estos conceptos y su interpretación gráfica.

Punto Línea Superficie

Carece de dimensiones y sólo tiene posición. Lo representamos por ∙ y se designará colocando una letra mayúscula próxima al símbolo.

Tiene sólo una dimensión: la longitud. Su representación se hace mediante un trazo y su designación es a través de dos letras mayúsculas correspondientes a dos puntos cualesquiera por donde pase.

Posee dos dimensiones: longitud y anchura. Para representarla se trazan líneas que la limitan, y la designaremos con una letra mayúscula dentro de la región limitada.

Punto. Carece de dimensiones y sólo tiene posición. Lo representamos por ∙ y se designará colocando una letra mayúscula próxima al símbolo. Línea. Tiene sólo una dimensión: la longitud. Su representación se hace mediante un trazo y su designación es a través de dos letras mayúsculas correspondientes a dos puntos cualesquiera por donde pase. Superficie. Posee dos dimensiones: longitud y anchura. Para representarla se trazan líneas que la limitan, y la designaremos con una letra mayúscula dentro de la región limitada. Es importante aclarar que las representaciones gráficas que utilicemos nos proporcionarán una idea de los términos y conceptos que se manejan a lo largo del texto con el propósito de comprenderlos y aplicarlos a situaciones reales. Por ejemplo, una superficie puede corresponder a la parte exterior de una esfera o a la parte superior de una mesa. Es necesario insistir en que la idea geométrica de superficie es un concepto abstracto. Sólo nuestra necesidad de utilizar objetos reales hace necesarias asociaciones como las mencionadas.

La superficie plana o plano se caracteriza porque cualquier recta que pase por dos puntos de la superficie estará enteramente contenida en ella. Otra manera de interpretar estos términos es mediante descripciones intuitivas como las que a continuación se expresan:

Punto Línea Superficie

Intersección de dos líneas

Intersección de dos superficies. Se obtiene un punto en movimiento.

Se obtiene por una línea en movimiento

De lo anterior se establece que la línea recta se obtiene cuando el movimiento de un punto se realiza siempre en la misma dirección y sentido, lo que constituye su extensión. Por otra parte, dados dos puntos cualesquiera en el plano, tenemos que la distancia más corta entre ellos es precisamente la longitud de la porción de la línea recta entre los puntos, como se ilustra en la Figura 1 .1.

Figura 1.1

Por estas particularidades, al referirnos a una línea recta que pase por A y B, la

especificaremos como: 𝑨𝑩↔ o 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂 𝑨𝑩.

Ahora que ya se conceptualizaron los términos básicos de la geometría es necesario aclarar que cuando deseemos referirnos a los contornos o límites de algunas figuras por medio de rectas (dado que éstas se pueden prolongar indefinidamente en ambos sentidos), conviene definirlos como una parte de ellas. De aquí la utilidad de conceptualizar el segmento de recta, el punto medio, la semirrecta y, posteriormente, el ángulo.

Término Segmento Punto Medio Semirrecta

Definición

Es una porción de la recta comprendida entre dos de sus puntos. Se representa por las letras mayúsculas que corresponden a sus extremos.

Es el punto que divide a un segmento en dos pares iguales.

Es casa una de las dos partes en que queda dividida una recta por un punto.

Figura

Segmento AB o BA,

indistintamente. AC =CB y cualquier recta que pase por C biseca a AB en dos partes iguales

Las semirrectas OA y OB

se simbolizan por 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑦 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

Tabla 1.1

A B

1.2 Ángulos en el plano La idea de ángulo se puede observar en la mayor parte de nuestro entorno, por ejemplo, en nuestra casa cuando dejamos una puerta «entreabierta» según la cantidad de luz o aire que necesitemos en un determinado espacio; también la podemos observar en la inclinación del techo de una casa, ya sea como «bajante» de agua de lluvia o desde la perspectiva de un «aislante» del calor. Si quisiéramos conocer las magnitudes de estas aberturas e inclinaciones, necesitaríamos forzosamente cuantificarlas. Una manera de cuantificar el tamaño de la «abertura» es a través de la medición del ángulo, el cual podemos definir como sigue: Un ángulo es la abertura entre dos semirrectas que tienen en común su origen. Estas semirectas se llaman lados del ángulo y el punto de unión su vértice

La forma común de representar un ángulo es mediante el símbolo & y una letra mayúscula que corresponde al vértice [Figura 1.2]. Otra forma es por un número o una letra, que puede colocarse entre sus lados y próximo al vértice [Figuras 1.3 a y b].

El tamaño de un ángulo es independiente de la longitud de sus lados, ya que sólo depende de la magnitud del movimiento de rotación de uno de sus lados sobre el vértice; esto es, de su abertura [Figuras 1.4a y b].

Medición de ángulos Para realizar la medición de ángulos utilizaremos un transportador de forma

semicircular o circular, como se ilustra en las Figuras 1 .5 a y b, los cuales presentan en su perímetro 180 y 360 divisiones, respectivamente; cada división

corresponde a la unidad de medición de un grado, que se representa por 1º.

Por convención, para medir un ángulo se hace en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. Con la ayuda del transportador, el cual tiene marcado con exactitud el centro y un diámetro de la región circular, se hacen coincidir el vértice y un lado del ángulo, respectivamente.

Como puede observarse en las Figuras 1.5 a y b, sobre la escala marcada se localiza el otro lado del ángulo y se determina su abertura. De manera análoga, para trazar un ángulo del que se conoce su abertura se traza primero una semirrecta horizontal, luego se coloca el transportador de tal forma que su centro coincida con el origen de la semirrecta y la división 0° sobre la

misma. Localizamos en la escala la abertura y colocamos una marca, la cual, por medio de una regla, se une al origen de la semirrecta. Por ejemplo, la Figura 1.6 te da una idea del trazo de un ángulo de 120º

Para ángulos mayores de 180° se usa el transportador circular; aunque en geometría los grados se utilizan únicamente para medir o trazar ángulos, es conveniente destacar que éstos se subdividen en 60 partes de igual tamaño,

donde a cada una le asignamos como medida un minuto. Así, cada grado tiene sesenta minutos; a su vez, cada minuto se subdivide en sesenta partes iguales, cada una de las cuales se denomina segundo. Por lo tanto, cada minuto tiene sesenta segundos. De esta manera, el contorno completo de la región circular equivale a:

360 grados (360º) =21 600 minutos (21600') = 1 296 000 segundos (1 296 000") Generalmente, cualquier ángulo se representa por: a° b 'c ", de tal manera que el número de minutos y segundos no sobrepase a 60, para tener una lectura única de cada ángulo. Para el estudio de los bloques correspondientes a Geometría, sólo utilizaremos la medición de ángulos en grados, omitiendo minutos y segundos. Clasificación de ángulos por sus medidas De acuerdo con su abertura los ángulos reciben nombres específicos, se ubican en algún rango sin necesidad de realizar su medición o de asignarles una medida específica, lo que permite su localización o identificación en las figuras geométricas. Veamos algunos casos: Imágenes

Ángulo agudo: menor de 90°

Ángulo recto: mide 90°

Ángulo obtuso: mayor de 90°, pero menor que 180°

Ángulo llano: mide 180° Ángulo entrante:

mayor que 180° pero menor que 360°

Ángulo perígono: mide

360°

El ángulo perígono se obtiene al hacer girar la semirrecta hasta colocarla en su posición inicial. Con base en la abertura de los ángulos podemos definir la perpendicularidad de dos rectas, como sigue. Rectas perpendiculares son aquellas que al cortarse forman ángulos

rectos y se representan por el símbolo ⊥ Para mayor comprensión, la Figura 1.7 ilustra dos rectas perpendiculares.

∢ AOD = 90° y 𝐴𝐵↔ es perpendicular a

𝐶𝐷↔ Por lo tanto:

𝐴𝐵↔ ⊥

𝐶𝐷↔

Clasificación de ángulos por su posición Clasificaremos los ángulos en parejas de acuerdo con su posición respecto a otros ángulos, de tal manera que se facilite su medición, ya sea por la propiedad de la suma de ángulos o por la igualdad entre ellos.

Ángulo Consecutivos Ángulo adyacentes Ángulo opuestos por el

vértice Son aquellos que tienen un lado y el vértice en común.

Tienen en común su vértice y un lado que los separa; además, los lados no comunes son colineales, es decir, se encuentran sobre una misma recta

Son aquellos que se forman por dos rectas que se cortan y que no son adyacentes.

Algunas propiedades relacionadas con la magnitud de los ángulos definidos anteriormente son:

Dos ángulos adyacentes son suplementarios, esto es, su suma es de 180°.

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Existen dos parejas de ángulos en donde ambas cumplen la condición de igualdad

Los ángulos consecutivos que se forman a un lado de una recta, de tal manera que ella se el lado inicial del primero y el lado final del último ángulo, suman 180°

La suma de todos los ángulos consecutivos alrededor de un punto es de 360°

Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante Dos rectas en el plano se cortan en un solo punto; o bien, no se cortan. Este segundo caso merece un trato especial dada la importancia que tiene cuando dos paralelas son cortadas por otra recta, ya que se forma una serie de ángulos con características especiales en cuanto a su posición y que son utilizados en el

análisis de figuras.

Son Rectas paralelas aquellas que, estando en un mismo

plano, no se cortan; se representan por el símbolo ∥ A una recta que corta a dos o más paralelas la llamaremos transversal o secante. Sea EF la transversal o secante a AB y CD en la figura 1.9, las rectas al cortarse forman ocho ángulos que se clasifican en parejas, como a continuación se describen

1. Internos. Son aquellos que quedan determinados entre las rectas paralelas;

éstos a su vez se clasifican en:

a) Alternos internos. Son dos ángulos no adyacentes localizados en los lados

opuestos de la transversal. De la Figura 1.9 tenemos que: ∡ 3 y ∡6, ∡4 𝑦 ∡5 son alternos internos.

b) Colaterales internos. Se ubican en el mismo lado de la transversal. De la Figura

1.9 tenemos que: ∡3 y ∡/5, ∡4 y ∡6 son colaterales internos.

II. Externos. Son los que quedan fuera de las rectas paralelas; análogamente se clasifican a su vez en: a) Alternos externos. Son los ángulos no adyacentes ubicados en lados opuestos

de la transversal. De la Figura 1.9 tenemos que: ∡1 y ∡8, ∡2 y ∡7 son alternos externos.

b) Colaterales externos. Se localizan en el mismo lado de la transversal. De la Figura 1.9 tenemos que: ∡1 y ∡7, ∡2 y ∡8 son colaterales externos. III. Correspondientes. Éstos están situados del mismo lado de la transversal y del mismo lado de las rectas paralelas (uno interno y otro externo). De la Figura 1.9 tenemos que: ∡1 y ∡5, ∡2 y ∡6, ∡3 y ∡7, ∡4 y ∡8 son correspondientes.

Estas parejas de ángulos, al igual que los anteriormente analizados, tienen ciertas propiedades respecto con su magnitud, como se ilustra en la Tabla 1.2.

Propiedad Figura

Los ángulos alternos internos son iguales entre sí. Los ángulos alternos externos también lo son

Los ángulos colaterales, tanto internos como externos son suplementarios

Los ángulos correspondientes son iguales

Clasificación de ángulos por la suma de sus medidas Clasificaremos los ángulos en parejas de acuerdo con la propiedad de la suma de ángulos, de tal manera que se facilite su medición.

Ángulos complementarios Ángulos suplementarios

Son dos ángulos cuya suma es igual a 90°.

Se llama así a dos ángulos cuya suma es igual a 180°.

1.4 Triángulos y sus clasificaciones

En geometría, generalmente encontramos figuras limitadas por segmentos de rectas. A estas figuras planas formadas por la unión de tres o más segmentos de recta las llamaremos polígonos; los segmentos constituyen sus lados y los puntos de unión sus vértices. Como se ilustra en la Figura 1.1 1, el polígono ABCDE tiene lados AB, BC, CD, DE y EA; sus vértices son A, B, C, D y E. Además, por cada vértice observamos la presencia de un ángulo interior.

1

Uno de los polígonos de mayor importancia, por la gran variedad de aplicaciones que tiene en geometría y trigonometría, es el triángulo. Un triángulo es un polígono de tres lados. Es decir, por triángulo entenderemos una porción del plano limitada por tres rectas que se cortan dos a dos, esto es, por parejas. El símbolo que utilizaremos

para designarlo es 𝚫, y lo representaremos con las letras mayúsculas de sus vértices en cualquier orden, como se muestra en la Figura 1.12. De acuerdo con esta figura:

Con base en la longitud de sus lados y con la magnitud de sus ángulos internos, los triángulos reciben nombres específicos, como veremos en las Tablas 1.3 y 1.4, respectivamente. Esto permite su identificación en situaciones problemáticas, y mediante la aplicación de sus propiedades es posible dar solución de forma más rápida.

Triangulo Descripción Figura

Equilátero Sus tres lados son iguales

Isósceles Tiene dos

lados iguales

Escaleno No tiene

lados iguales.

Tabla 1.3 Clasificación de los triángulos de acuerdo con la longitud de sus lados

Triangulo Descripción Figura

Acutángulo Sus tres ángulos son agudos.

Rectángulo Tiene un

ángulo recto.

Obtusángulo Tiene un

ángulo obtuso

Tabla 1.4 Clasificación de los triángulos de acuerdo con sus angulos internos

Es importante mencionar que en el triángulo rectángulo los lados del ángulo recto se denominan catetos y el lado opuesto del ángulo recto hipotenusa [Figura 1.13]. Suma de ángulos interiores y exteriores Los ángulos internos de cualquier triángulo tienen una importante propiedad en cuanto a su suma, de tal forma que al conocer dos de ellos, el valor del tercero queda implícitamente determinado. Esta propiedad la enunciaremos como el teorema de la suma de los ángulos internos del triángulo. Los ángulos internos de todo triángulo suman 180°.

∡𝑨 + ∡𝑩+ ∡𝒄 = 𝟏𝟖𝟎º En los triángulos también tenemos ángulos externos; esto es, ángulos formados por un lado y la prolongación de otro, como se ilustra en la Figura 1.14.

Los ángulos externos, al igual que los internos, tienen ciertas propiedades que enunciamos a continuación y cuya demostración dejamos al estudiante con el propósito de que ejercite el razonamiento deductivo. Asimismo, se anexan las figuras que darán una idea de cada propiedad.

Un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los internos, no adyacentes en él.

La suma de los ángulos externos de un triángulos es igual a 360°

En un triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales también son iguales.

En un triángulo equilátero, cada ángulo interno es igual a 60°

Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios

Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto.

Un triángulo no puede tener más de un ángulo obtuso.

BLOQUE 2

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

2.1 Congruencia de triángulos Existen figuras geométricas en las cuales aparecen triángulos con igual forma y tamaño, por lo que las propiedades que son válidas para uno lo son para el otro [Ilustración 2.1]. Dichas características de forma y tamaño dan origen al concepto

de congruencia. En este bloque, abordaremos en particular la congruencia de los triángulos. Los triángulos congruentes son aquellos que tienen la misma forma y tamaño, es decir, sus lados y ángulos correspondientes son iguales. Así, al referirnos a la congruencia de dos triángulos, estaremos hablando de la igualdad de los mismos. La congruencia la representaremos por el símbolo ≡ y se ilustra en las Figuras 2.1 a y b Aunque dos triángulos sean congruentes, no necesariamente estarán en la misma posición.

En general, dos figuras son congruentes si una es exactamente la copia de otra; es decir, se pueden hacer coincidir en todas sus partes por sobreposición directa. Criterios para la congruencia de triángulos En los triángulos no es necesario conocer todos sus elementos para trazarlos, sólo bastan algunos de ellos y la posición que guardan respecto a los otros; por ello daremos sin demostración los siguientes criterios para analizar su congruencia.

Lado-Ángulo-Lado (L-A-L). Si dos lados y el ángulo comprendido entre ellos son iguales a los correspondientes de otro, entonces los dos triángulos son congruentes.

Ángulo-Lado-Ángulo (A-L-A). Si dos ángulos y el lado común a ambos son iguales a los correspondientes de otro, entonces los triángulos son congruentes.

Lado-Lado-Lado (L-L-L). Si tres lados son iguales a los correspondientes de otro, entonces los triángulos son congruentes.

Los triángulos rectángulos merecen una atención especial para analizar su congruencia, ya que por definición tienen un elemento igual: el ángulo recto; por lo que basta que se cumplan únicamente dos condiciones para obtener la igualdad de los mismos. A continuación se presentan los siguientes casos.

Hipotenusa y ángulo agudo iguales Cateto y ángulo agudo iguales

Catetos iguales Hipotenusa y cateto iguales

Con base en el análisis hecho de la congruencia de triángulos respecto a sus elementos homólogos, concluiremos esta sección con algunas propiedades de los triángulos que nos permitirán visualizar la forma que éstos tienen, de acuerdo con la abertura de sus ángulos y la longitud de sus lados. • En triángulos congruentes, a ángulos iguales se oponen lados iguales y viceversa. • En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que la diferencia. • En todo triángulo, al lado mayor se opone el ángulo mayor y viceversa. • En dos triángulos, con dos lados respectivamente iguales y ángulo desigual comprendido entre ellos, a mayor ángulo se opone mayor lado.

BLOQUE 3

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Y TEOREMA DE PITÁGORAS

3.1 Semejanza de triángulos Antes de abordar el tema sobre la semejanza de triángulos, analizaremos los conceptos de razón y proporción, los cuales están directamente ligados a la idea de semejanza. Una razón o relación de dos cantidades es el cociente de dividir el valor de una entre la otra, expresadas en las mismas unidades. Por ejemplo, si un rectángulo tiene 6 m de ancho por 9 m de largo, la razón de la

anchura a la longitud es 6

9 y se lee «6 es a 9». Esto significa que por cada 6 metros

de ancho, el rectángulo tiene 9 metros de largo. Una proporción es la igualdad de dos razones.

Por ejemplo 3

5=9

15 léase "3 es a 5 como 9 es a 15

A continuación se presenta un ejemplo de razón y proporción relacionado con segmentos. La razón de dos segmentos es el cociente de sus medidas con la misma unidad, como se ilustra en la Figura 3.1.

La razón 𝐴𝐵

𝐶𝐷=3𝑢

5𝑢=3

5

Ahora, si dos segmentos AB y CD corresponden a los segmentos EF y GH como se muestra en la Figura 3.2, de tal manera que:

𝐴𝐵

𝐸𝐹=𝐶𝐷

𝐺𝐻

3

6=5

10=1

2

Lo anterior significa que los segmentos son proporcionales, es decir, están en una razón de «1 es a 2». Teorema de Tales Existe un teorema respecto a los segmentos proporcionales; su nombre se debe a su creador: Tales de Mileto, y será de gran utilidad cuando tengamos que trabajar con triángulos semejantes, que definiremos más adelante. Teorema de Tales. Si varias paralelas cortan a dos transversales, determinan en ellas segmentos correspondientes proporcionales.

Este teorema es general pues se verifica para cualquier número de paralelas y para cualquier posición de las transversales, como se ilustra en la Figura 3.4.

Ahora bien, si lo aplicamos a un triángulo tenemos que toda paralela a uno de sus lados divide a los otros dos lados en segmentos proporcionales.

𝐵𝐷

𝐷𝐴=𝐵𝐸

𝐸𝐶

Lo anterior se deduce haciendo una analogía con el Teorema de Tales de Mileto. Utilizando la proporcionalidad de segmentos, definiremos la semejanza de triángulos de la siguiente manera: Los triángulos semejantes son aquellos que tienen sus ángulos correspondientes iguales, y sus lados homólogos son proporcionales.

La semejanza la representaremos por el símbolo ∼ y se ilustra en la Figura 3.6

∡𝐴 = ∡𝐴, ∡𝐵 = ∡𝐵´, ∡𝐶 = ∡𝐶´ 𝑦 𝑎

𝑎´=𝑏

𝑏´=𝑐

𝑐´= 𝒌

El símbolo 𝒌 es la razón de semejanza; es decir, el cociente entre los dos lados

homólogos cualesquiera

Entonces 𝚫𝑨𝑩𝑪 ∼ 𝚫𝑨´𝑩´𝑪´ A continuación enunciamos las propiedades de semejanza de triángulos, los cuales serán de gran utilidad para identificarlos

Propiedad Descripción Simbología

Reflexiva Todo triángulo es semejante a sí mismo ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴𝐵𝐶

Simétrica Si un triángulo es semejante a otro, éste es semejante al primero.

Si ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐸𝐹 entonces ∆𝐷𝐸𝐹~∆𝐴𝐵𝐶

Transitiva

Dos triángulos semejantes a un tercero son semejantes entre sí.

Si ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐺𝐻𝐼 y ∆𝐷𝐸𝐹~∆𝐺𝐻𝐼 entonces ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐸𝐹

El teorema que enunciamos a continuación es un caso particular del Teorema de Tales de Mileto, y es de gran utilidad porque nos permite asegurar la existencia de triángulos semejantes. Toda paralela a un lado de un triángulo forma, con los otros lados, un triángulo semejante al primero.

𝚫𝑫𝑩𝑬 ∼ 𝚫𝑨𝑩𝑪 Para ver que dos triángulos son semejantes no es necesario comprobar todas las condiciones de la Figura 3.7, ya que al conocer algunas de éstas se determinan todas las demás. Criterios para la semejanza de triángulos De manera análoga al concepto de congruencia, existen criterios para determinar la semejanza de triángulos, los cuales analizaremos a continuación.

A continuación enunciamos algunos teoremas relativos a triángulos semejantes.

1. Si dos triángulos tienen sus lados homólogos paralelos entre

sí, entonces son semejantes. 𝚫𝑨𝑩𝑪 ∼ 𝚫𝑨´𝑩´𝑪´ 2. Si dos triángulos tienen sus lados homólogos

perpendiculares entre sí, entonces son semejantes.

𝚫𝑫𝑬𝑭 ∼ 𝚫𝑫´𝑬´𝑭´

Para el caso de dos triángulos rectángulos, tenemos que éstos poseen un ángulo igual, el ángulo recto, por lo que los criterios se enuncian de la siguiente forma: Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen: • Un ángulo agudo igual. • Los catetos proporcionales. • La hipotenusa y un cateto proporcionales Los siguientes dos teoremas nos permitirán aplicar los criterios de semejanza y establecer ciertas condiciones sobre las alturas de los triángulos.

3. En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa lo divide en dos triángulos semejantes al primero y semejantes entre

sí. 𝚫𝑨𝑷𝑩~𝚫𝑨𝑩𝑪, 𝚫𝑪𝑷𝑩 ∼ 𝚫𝑨𝑩𝑪 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝚫𝑨𝑷𝑩 ∼ 𝚫𝑪𝑷𝑩

4. Las alturas correspondientes de dos triángulos semejantes tienen la misma razón de semejanza que los lados homólogos.

𝑩𝑮

𝑬𝑯=𝑨𝑩

𝑫𝑬

El Teorema de Pitágoras merece atención especial debido a su importancia en las matemáticas y a la gran variedad de aplicaciones que tiene en otras áreas como física, arquitectura, ingeniería y navegación, entre otras. Podría abarcar todo un bloque, pero lo abordaremos en esta sección para utilizar en su demostración el concepto de la semejanza de triángulos.

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

Hipótesis Todo Triángulo rectángulo

Tesis El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Demostración

Fig

ura

Demostrar:

𝐴𝐵2 = 𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2

No. Afirmación Razón

Ra

zo

nam

ien

to

1 Trazar la altura del vértice C a la hipotenusa AB

Por construcción

2 ∆𝐴𝐸𝐶~∆𝐶𝐸𝐵~∆𝐴𝐵𝐶 Por el teorema 3 de la página anterior.

3 𝐵𝐶

𝐵𝐸=𝐵𝐴

𝐵𝐶

Porque ∆𝐶𝐸𝐵~∆𝐴𝐵𝐶

4 𝐵𝐶2 = 𝐵𝐴 ∙ 𝐵𝐸 De 3 por despeje de igualdad

5 𝐴𝐶

𝐴𝐸=𝐵𝐴

𝐴𝐶

Porque ∆𝐴𝐸𝐶~∆𝐴𝐵𝐶

6 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐴 ∙ 𝐴𝐸 De 5 por despeje de igualdad

7 𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐵𝐴 ∙ 𝐴𝐸 + 𝐵𝐴 ∙ 𝐵𝐸 De 6 y 4 por suma de ecuaciones.

8 𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐵𝐴(𝐴𝐸 + 𝐵𝐸) De 7 por factorización.

9 𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐵𝐴 ∙ 𝐵𝐴 Por que 𝐵𝐴 = 𝐴𝐸 + 𝐵𝐸

10 𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐵𝐴2 Multiplicación de términos idénticos

Conclusión De 10, el cuadrado de la hipotenusa (BA) es igual a la suma de los cuadrados

de los catetos (AC y BC). Así, 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2

BLOQUE 4

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

4.1 Polígonos Definimos a los polígonos como figuras planas limitadas por la unión de tres o más segmentos de rectas. ¿Recuerdas cuáles son sus elementos? Estas figuras tienen ciertas propiedades de acuerdo con su clasificación y elementos, las cuales estudiaremos en este bloque. En relación con el tamaño y la forma de los polígonos podemos observar lo siguiente:

Polígonos equivalentes: tienen igual área (tamaño).

Polígonos semejantes: tienen la misma forma.

Polígonos congruentes: tienen la misma forma y tamaño. 4.2 Clasificación de polígonos Por la amplitud de sus ángulos, los polígonos pueden ser clasificados como

convexo y cóncavo:

Otra clasificación de los polígonos se tiene por la medida de sus lados y ángulos: Polígono regular y Polígono irregular.

En nuestro entorno es común encontrar predios con características de polígonos irregulares [Ilustración 4.1]. Para determinar su área, es necesario «triangularlos», es decir, descomponerlos en triángulos, ya sea trazando segmentos que unan vértices no consecutivos del polígono o segmentos trazados desde los vértices a un punto interior [Figuras 4. la y b]. Posteriormente se calculan las áreas de estos triángulos y se suman.

En el caso de un polígono regular, su área la obtenemos mediante una fórmula establecida, misma que será proporcionada en el siguiente tema. Son ejemplos de polígonos regulares el triángulo equilátero y el cuadrado. Una clasificación más de los polígonos es por el número de sus lados (o de su

ángulos). Por ejemplo, triángulo (tres lados), pentágono (cinco lados), octágono (ocho lados), decágono (10 lados), dodecágono (12 lados), etc. En general, y cuando el número de lados es trece o mayor, simplemente se les llama polígonos de n-lados. 4.3 Elementos y propiedades de un polígono regular Una propiedad de los polígonos regulares de n-lados es que cada uno de ellos tiene una circunferencia inscrita, es decir, aquella que se dibuja en su interior y que «toca» todos sus lados, y una circunscrita, que es aquella que pasa por todos los vértices del polígono.

En un polígono regular de n-lados se tienen ciertas propiedades respecto a sus elementos y ángulos, las cuales serán de gran utilidad en la resolución de problemas. En un polígono regular de n-lados se tiene que:

a) El número total de diagonales está dado por: ⋕ 𝒅 = 𝒏(𝒏−𝟑)

𝟐

b) La medida del ángulo central es: 𝜶 =𝟑𝟔𝟎º

𝒏

c) La medida del ángulo interno es: 𝜷 =(𝒏−𝟐)𝟏𝟖𝟎º

𝒏

d) La medida del ángulo externo es: 𝜹 =𝟑𝟔𝟎º

𝒏

e) Su área está dada por: 𝐀 =𝐏∙𝐚

𝟐, donde P = perímetro y a = apotema.

De lo anterior se deduce que la suma de las medidas de los ángulos internos de

un polígono regular de n- lados es igual a (n - 2)180º

BLOQUE 5

CIRCUNFERENCIA

5.1 Circunferencia Muchas veces, los conceptos de circunferencia y círculo se utilizan indistintamente, y aunque ya se han manejado en bloques anteriores, ahora distingámoslos conceptualmente. Una circunferencia es una curva plana y cerrada cuyos puntos están a igual distancia de otro punto interior llamado centro. Como puedes observar en la Figura 5. 1, la circunferencia es sólo el contorno de la figura, por lo que círculo se define de la siguiente manera:

Un círculo es el conjunto de los puntos interiores de la circunferencia. Comparando las Figuras 5.1 y 5.2 notarás que la circunferencia únicamente tiene longitud, y el círculo además tiene área. Por lo anterior, el perímetro del círculo (longitud de la circunferencia) se

obtiene mediante la fórmula 𝑷 = 𝟐𝝅𝒓, en «unidades lineales», y

su área, a través de la fórmula 𝑨 = 𝝅𝒓𝟐 , en «unidades cuadradas».

5.2 Elementos y ángulos asociados a la circunferencia Consideremos una circunferencia con centro en el punto O como se ilustra a continuación y definamos los siguientes elementos.

Como vimos en el bloque 4, una circunferencia que pasa por todos los vértices de

un polígono se llama circunscrita, y al polígono se le denomina inscrito; análogamente, si una circunferencia es tangente a todos los lados del polígono recibe el nombre de inscrita y al polígono se le denomina circunscrito

Respecto a los ángulos y arcos asociados a una circunferencia, podemos afirmar que un ángulo central tiene la misma medida en grados que el arco que lo determina o subtiende. A continuación se enuncian algunas propiedades acerca de la medición de ángulos asociados a una circunferencia.

1. Un ángulo central en una circunferencia tiene por medida el arco que lo determina o subtiende

2. Un ángulo inscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad del arco que lo subtiende.

3. Un ángulo semiinscito en una

circunferencia tiene por medida la mitad del arco que subtiende a su correspondiente ángulo central

4. Los ángulos inscritos en una circunferencia subtendidos por el mismo arco son iguales.

5. Todo ángulo inscrito en una

circunferencia subtendido por una semicircunferencia es recto.

6. Los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son suplementarios.

7. Los ángulos opuestos por el vértice,

que determinan dos cuerdas de una circunferencia que se cortan, tienen por medida la semisuma de los arcos limitados por sus lados.

8. El ángulo formado por dos secantes, que se cortan fuera de la circunferencia, tiene por medida la semidiferencia de los arcos que lo subtienden.

5.3 Rectas tangentes a una circunferencia Es importante destacar que las tangentes a una circunferencia tienen la propiedad de ser perpendiculares al radio que pasa por el punto de tangencia. Para una mejor comprensión analicemos las siguientes propiedades

Si se tienen dos rectas tangentes desde un punto P exterior a una circunferencia con puntos de tangencia A y B, entonces los segmentos PA y PB son iguales.

Si se tienen dos circunferencias que se cortan y dos rectas tangentes desde un punto P exterior a ambas circunferencias con puntos de tangencia en C, D, E y F, respectivamente, entonces los segmentos CD y EF son iguales.

BLOQUE 6

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

6.1 Medición de ángulos Medidas angulares y circulares Existe una proporcionalidad entre la longitud del arco de una circunferencia y el ángulo central. Tal proporcionalidad nos permite establecer una manera diferente de medir un ángulo. Basta con establecer el arco sobre la circunferencia y equipararlo con el ángulo central asociado. Esto permite medir los ángulos como una fracción de una circunferencia (medidas angulares).

La proporcionalidad que existe entre la longitud del arco y el ángulo central asociado nos permite establecer una equivalencia para ir de una unidad angular

(grados, minutos y segundos) a otra, la que denominamos unidad circular por su relación con la longitud de la circunferencia (radianes).

Cuando colocas un arco de longitud igual al radio, el ángulo central mide un radian

El ángulo perígono mide 360º = 2𝜋 radianes

El ángulo recto mide la cuarta parte de un perígono: 90º = 𝜋

2 radianes

Ángulos como números reales En las medidas circulares es común expresar los ángulos como una fracción de 𝝅.

Por ejemplo, la mitad de 𝜋, (𝜋

2 rad) expresa un ángulo recto (90°). No siempre se

puede hacer esto. A veces será necesario representar al ángulo como un decimal. Por ejemplo, para el caso del ángulo recto, expresado en radianes, puede escribirse de las dos maneras siguientes, aunque el decimal sólo es una aproximación hasta centésimas del valor real del ángulo.

𝝅

𝟐 rad ≈ 𝟏. 𝟓𝟕 𝐫𝐚𝐝

Aunque las medidas angulares funcionan bien como representaciones, no debes mezclar números decimales con sexagesimales al realizar operaciones o cálculos con ellos. Las medidas angulares basadas en grados, minutos y segundos tienen su origen en los sumerios, hace más de cuatro mil años. Este tipo de notación es sexagesimal (toma como base al 60, por ello un grado equivale a 60 minutos, y un minuto, a 60 segundos). La notación circular (en radianes) de un ángulo en realidad sólo es un número, ya que es la comparación de la longitud de un arco de circunferencia en relación con la longitud total de ésta. Así, cuando el contexto no oscurece el sentido de la información, se prescinde incluso de colocar el término rad al ángulo (𝜃 = 𝜋/4 indica que el ángulo en radianes es la cuarta parte del valor de 𝜋, lo que en

términos más familiares para ti representa un ángulo de 45º) ¿Esto significa que puedes eliminar la unidad de medición? No es realmente así, ya que las medidas circulares (radianes) representan la fracción de la longitud del arco, en relación con la longitud del radio de la circunferencia. Al dividir dos magnitudes del mismo tipo (longitud / longitud en este caso), la cantidad que resulta no tiene dimensiones. Por ello, el ángulo de 45°,

expresado en medidas circulares, puede ser representado sólo como 𝜋/4. Añadir la palabra radián como unidad sólo le da un contexto angular al número.

El radián cobra relevancia en el mundo de la física. Particularmente se emplea como unidad de medida en el movimiento circular. Investiga el uso que se le da a las unidades radián y radián sobre segundo en el movimiento circular uniforme. 6.2 Funciones trigonométricas Funciones trigonométricas directas El paso de la geometría a la trigonometría se da cuando decidimos asociar las razones de las longitudes de un triángulo a sus ángulos agudos interiores. Lo hacemos sin ninguna razón, sólo por la ventaja que esto nos reporta. Se trata de una nueva construcción o herramienta matemática. Primero nos permitimos especificar la diferenciación de los catetos: el opuesto al ángulo y el adyacente que delimita a éste junto con la hipotenusa, el lado mayor del triángulo rectángulo:

Como sabes, un triángulo posee tres lados, por ello en la construcción de los cocientes de éstos existen tres posibles parejas:

Funciones trigonométricas recíprocas Todos los números reales, excepto el cero, tienen recíproco. Esto significa que para cualquiera de ellos existe otro, tal que el producto de los dos es igual a 1 (al número 1 se le llama elemento neutro del producto, y justo recibe este nombre para enfatizar que para cualquier número real que elijas, exceptuando al cero, puedes encontrar siempre otro número, llamado su recíproco, tal que al multiplicar estos dos obtendrás el 1). Por ejemplo:

1

2 es el recíproco de 2, ya que

1

2∙ 2 = 1

¿ Cuál es el recíproco de 3

5? la respuesta es

5

3

En un principio construimos las funciones trigonométricas considerando las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo sólo en un orden, definiendo de esta manera las tres funciones trigonométricas directas: seno, coseno y tangente. Lo que observaste en la actividad anterior es la existencia de otras tres posibles

divisiones entre los lados del triángulo; cocientes que se relacionan con los tres propuestos de inicio, pero en sentido inverso. Esto da lugar a las funciones trigonométricas recíprocas; el título es una forma de indicar que los productos entre ellas, cuando existen, llevan necesariamente al número 1, característica esencial de la multiplicación de dos números recíprocos.

Funciones trigonométricas recíprocas

cot 𝜃 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

Se lee: la cotangente de theta es el cociente del cateto adyacente sobre el opuesto.

Recíproca de la tangente.

csc𝜃 =𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

Se lee: la cosecante de theta es el cociente de la hipotenusa sobre el cateto opuesto.

Recíproca del seno

sec 𝜃 =ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

Se lee: la secante de theta es el cociente del cateto adyacente sobre el cateto adyacente.

Recíproca del coseno.

La ventaja de visualizar a las funciones trigonométricas de esta manera es, en primer lugar, enfatizar su propiedad, lo que nos permite calcular cualquiera de ellas si se conoce la recíproca, invirtiendo solamente nu- merador por denominador y viceversa. Por ello, a pesar de que hemos elevado el número de funciones trigonométricas a seis, cuando deseamos calcular cualquiera de ellas sólo requerimos tres en realidad, ya que con las igualdades anteriores siempre podremos calcular las restantes a través de las identidades recíprocas, es decir, las igualdades que hemos encontrado entre ellas: seno con cosecante, coseno con secante y tangente con cotangente. En síntesis, las funciones trigonométricas directas se relacionan con las recíprocas. La característica principal es que el producto de una directa con su recíproca da como resultado la unidad.

sen . csc 𝜃 = 1

cos . sec 𝜃 =1

tan 𝜃 . cot 𝜃 = 1 Funciones trigonométricas de cociente Existen además otras identidades que resultan de dividir entre sí a las directas para construir relaciones entre ellas. Son particularmente útiles las siguientes:

𝑡𝑎𝑛 𝜃 =𝑠𝑒𝑛 𝜃

cos 𝜃 cot 𝜃 =

cos 𝜃

𝑠𝑒𝑛 𝜃

6.3 Razones trigonométricas para ángulos de 30°, 45º y 60º

BLOQUE 7

LEY DE SENOS Y COSENOS

7.1 Ley de los senos La ley de los senos expresa la variación proporcional entre el seno de un ángulo y el lado opuesto a él Notación convencional para el triángulo general

Las letras que representan sus vértices se emplean también para representar sus ángulos interiores.

La longitud del lado opuesto al ángulo se representa por la misma letra pero en minúscula

𝑳𝒆𝒚 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒏𝒐𝒔 𝒔𝒆𝒏𝑨

𝒂=𝒔𝒆𝒏𝑩

𝒃=𝒔𝒆𝒏𝑪

𝒄

La ley de los senos nos sirve para la resolución de un triángulo cuando se

conocen por lo menos dos de sus ángulos y la longitud de uno de sus lados

ACTIVIDAD: Ley de los senos.

Material: Calculadora.

Identifica:

a) Anota los valores conocidos del triángulo de la derecha.

b) Anota sus incógnitas.

Calcula y reflexiona:

a) Emplea la propiedad de suma de los ángulos interiores de un triángulo para determinar el ángulo faltante.

b) Sustituye en la relación 𝑠𝑒𝑛 𝐴

𝑎=𝑠𝑒𝑛 𝐶

𝑐 los valores conocidos. ¿Cuál es la

incógnita que aparece? Despeja y determina su valor. Anota su resultado.

c) Sustituye en la relación 𝑠𝑒𝑛 𝐵

𝑏=𝑠𝑒𝑛 𝐶

𝑐 los valores conocidos. ¿Cuál es la

incógnita que aparece? Despeja y determina su valor. Anota su resultado.

d) Describe el proceso seguido para la determinación del valor de las incógnitas en la resolución del triángulo.

7.2 Ley de los cosenos

La ley de los cosenos es una propiedad que relaciona los lados de un triángulo con uno de sus ángulos.

𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒃𝒄 𝒄𝒐𝒔𝑨

𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 𝒄𝒐𝒔𝑩

𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃 − 𝟐𝒂𝒃 𝒄𝒐𝒔𝑪

Esta ley te permite determinar:

Un ángulo si conoces los tres lados

El lado opuesto al ángulo, conocido éste y los lados restantes

ACTIVIDAD: Ley de los cosenos.

Material: Calculadora científica

Situación Problema:

Tres amigos que van de campamento ubican sus tiendas de campaña a cierta distancia uno de otro, tal como se ilustra en la figura. La tienda de Armando está en A, la de Beto en B y la de Carlos en C. Armando caminó 36 pasos para ir con Carlos y 40 para llegar a la tienda de Beto. Quedan de reunirse precisamente en el punto medio del camino entre la tienda de Carlos y Beto. Estima cuánto caminará cada uno para llegar a este punto. Reflexiona y contesta:

Pasando la situación a un contexto matemático indica de acuerdo con el diagrama:

a) Los valores conocidos del triángulo general.

b) Las incógnitas.

c) De las incógnitas, ¿cuáles requieres determinar para contestar la pregunta?

d) De las tres expresiones matemáticas que representan a la ley de los cosenos existe una que te permite encontrar la incógnita requerida. Escríbela y procede a determinarla.

e) A partir de lo que has realizado, ¿cómo obtienes la respuesta a las preguntas iniciales? Desarrolla un posible proceso que te lleve a la solución y descríbelo.

7.3 Resolución del triángulo general Las leyes de senos y de cosenos nos ayudan a resolver cualquier triángulo; es decir, determinar los elementos restantes a partir de algunos elementos conocidos. El proceso varía según las condiciones de cada problema:

a) Se conocen los tres lados y se encuentran por determinar los ángulos

interiores (caso LLL).

b) Se conocen dos lados y el ángulo entre ellos (caso LAL).

c) Se conocen dos ángulos y un lado (caso ALA). Más allá de que un triángulo posea un ángulo recto o no las leyes de senos y cosenos son piezas fundamentales para resolver cualquier triángulo. La forma de proceder varía de un caso a otro e incluso no hay un único método. Sobre la elección de éste te recomendamos especial cuidado con el empleo de la ley de senos, pues el valor del seno para un ángulo agudo A, o su obtuso suplementario (180° - A) es exactamente igual. Inicialmente esto podría confundirnos ya que no sabríamos, por este medio, si consideras uno u otro; por esta razón te proponemos para cada caso seguir el siguiente proceso que elimina sutilmente esta posibilidad.

Caso Se

conoce Incógnitas Procedimiento

LLL a, b, c A, B, C Por ley de cosenos hallar el ángulo mayor opuesto al lado

mayor, ya que éste puede ser obtuso (para un triángulo obtusángulo) o agudo(si el triángulo es acutángulo).

Posteriormente emplear la ley de senos para determinar los restantes, que necesariamente son agudos.

LAL b, c, A a, B, C Usar la ley de cosenos para determinar a.

Emplear de nuevo dicha ley para determinar el ángulo mayor (si es obtuso y no se conoce). Utilizar después la ley de senos para encontrar el ángulo restante.

Si el ángulo conocido es obtuso o el triángulo es acutángulo, los dos ángulos desconocidos también se obtienen por la ley de senos.

ALA a, A, B b, c, C Determinar primero el ángulo C a través del teorema de la

suma de ángulos interiores del triángulo.

Emplear después la ley de senos para calcular los lados restantes. Para un triángulo obtusángulo debes recordar

que sen(180° − 𝜃) = 𝑠𝑒𝑛 𝜃

Entre los valores dados y las incógnitas existen combinaciones distintas a las propuestas; no obstante, el procedimiento no se modifica. Recuerda que eres tú quien decide dar símbolo a cada ángulo y lado. Así, puedes hacerlo de manera que se presente en alguno de los casos propuestos, o bien, ajustar estos casos, según las incógnitas de tu problema. Afirmando Conocimientos: Ejemplos: Considerando los datos que se dan en cada caso, resuelve cada triángulo, determinando los valores faltantes.

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴

𝑎 = √122 + 202 − 2(12)(20)𝑐𝑜𝑠 60°

𝑎 = 17.44

𝐶 = 𝑎𝑟𝑐 cos [𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2

2𝑎𝑏] = 83°25′

𝐵 = 180° − 𝐴 − 𝐶 = 180° − 60° − 83°25′

𝐵 = 36°35′

Solución: 𝐶 = 180° − 65° − 20° = 95°

Ahora por la ley de senos:

10

𝑠𝑒𝑛 65°=

𝑏

𝑠𝑒𝑛 20°=

𝑐

𝑠𝑒𝑛 95°

De donde:

𝑏 = 10 𝑠𝑒𝑛 20°

𝑠𝑒𝑛 65°≈ 3.77 𝑦 𝑐 =

10 𝑠𝑒𝑛 95°

𝑠𝑒𝑛 65°≈ 10.99

BLOQUE 8

ESTADÍSTICA ELEMENTAL

8.1 Conceptos básicos

1.- a= 17.44 b=12 c= 20 A=60° B=36°35’ C=83°25’

2.- a= 10 b= c= A=65° B=20° C=

En primer lugar, la estadística se subdivide en dos campos: Descriptiva Se encarga de la recopilación, ordenación y presentación de la información (los

datos). Ejemplo En la elección de gobernantes se levantan encuestas de opinión pública de una muestra de la población Inferencial Establece mecanismos para la interpretación de la información obtenida mediante la estadística descriptiva. Ejemplo De la presentación de la información obtenida se infiere el comportamiento de la votación de la población en general. Ambas ramas de la estadística son importantes; se trata sólo de ver dos aspectos de la organización de la información con un propósito. Población y muestra En estadística la población representa el número total de casos, sean individuos o mediciones. Por ejemplo, en el caso de las votaciones para presidente de la República, la población serán todos aquellos ciudadanos en edad de votar; éstos aparecen registrados en el padrón electoral. En el caso de que la elección sea para gobernador de un estado, entonces la población se restringe sólo a los ciudadanos en edad de votar que estén registrados en esa entidad, específicamente. La población representa al conjunto de interés en la investigación. Por otra parte, no todas las poblaciones poseen un número limitado

de datos; también existen poblaciones infinitas.

Puede decirse lo mismo para el caso de la producción de una fábrica en un día determinado o en un año. Puede tratarse de objetos tan simples como tornillos o sofisticados como aparatos electrónicos, autos, etc. En el momento que defines qué es lo que deseas estudiar, estás definiendo también la población de tu interés La muestra, en cambio, es sólo una parte pequeña de la población, un subconjunto de ella. Es igualmente importante porque en realidad cuando las

poblaciones son muy grandes se obtiene un muestreo de la misma, esto es, se elige una muestra. Si la elección es adecuada, se espera que el comportamiento de la muestra sea semejante al de la población. Cuando esto sucede, se dice que la muestra es representativa de la población a la que pertenece. Existe toda una t é c n i c a para seleccionar muestras representativas. Existe toda una técnica para seleccionar muestras representativas. Existe otro tipo de variables; son aquellas que se relacionan con atributos. Por ejemplo, el color. Una industria pinta sus autos de acuerdo con las preferencias de sus clientes. En este caso se trata de una variable de atributo o categoría. Sin embargo, los casos que manejaremos en este texto serán siempre del tipo numérico, aquellas variables relacionadas con el contar (variables discretas como el número de individuos) o medir (variables continuas como el tiempo, la velocidad y la temperatura, entre otras).

Notación sigma: 𝚺 La notación sigma nos permite representar una suma de términos de forma abreviada. Observa: La suma de los primeros 10 elementos de un conjunto

∑Xi =

10

i=1

X1 + X2 + X3 +⋯+ X10

La notación sigma es especialmente útil para representar todo tipo de suma de términos; éstos pueden tener más de una variable. La notación sigma no hace la suma más sencilla, sólo nos permite representarla de una forma abreviada. 8.2 Representaciones en estadística Las representaciones pueden ser numéricas o gráficas. Las primeras son tablas de números asociados como datos o variables. Las formas gráficas son muy diversas. Las más comunes son poligonales y en forma de barras. Numéricas Las representaciones numéricas están más cerca del primer paso en el proceso estadístico. Nos permiten pre- sentar la información de forma organizada. En el empleo de los estadísticos de tendencia central como la media aritmética, la mediana y la moda, vas a encontrar que la mayoría de las veces son muy cercanos unos de otros. Cuando esto sucede cualquiera de ellos desempeña muy bien la función de representación de la muestra y da una idea del comportamiento

de la población. Sin embargo, ten presente lo siguiente. En mediciones como peso y estatura, la media es generalmente la mejor opción mientras no tengas datos muy extremos, es decir, alejados del común. Por ejemplo, que en tu grupo se encuentre el estudiante más alto de la localidad y lo hayas considerado. En estas situaciones la mediana representará mejor tu muestra en relación con el parámetro poblacional. Si se trata de medidas corporales como la talla, la moda es más representativa. Esto es, la moda representa medidas reales; la media aritmética no. No hay individuos con tallas promedio, entonces el cálculo a través de la moda, en este caso, te asegura una mejor representación de tu muestra respecto a la población. Por ejemplo, los autos japoneses están pensados para gente típicamente de baja estatura porque así son la mayoría de ellos; por el contrario, el auto estadounidense o alemán es diferente por la misma razón. Lo que utilizamos está en relación con nuestra forma física, y en estos casos lo típico o representativo es la moda. ACTIVIDAD: Tabla de Frecuencias y frecuencias relativas.

Material: Calculadora

En la tabla siguiente te presentamos una muestra de tallas de pantalón para uniformes de estudiantes varones de preparatoria tomada por la casa responsable de hacer los uniformes. Realiza: Completa la tabla de acuerdo a la información que se te proporciona.

Talla Frecuencia Frecuencia

relativa

Frecuencia relativa

porcentual x f fr fr(%)

28 3 0.3 30

30 2 20

32 2

34 1

36 1

38 1

N=10

La frecuencia representa el número de apariciones de un dato en la muestra o población.

La frecuencia relativa representa la fracción de la frecuencia en relación con el total (divides la frecuencia entre N).

La frecuencia relativa porcentual es la representación en porcentaje de la frecuencia relativa con base en el total N (multiplicas fr por 100).

Reflexiona y contesta:

a) ¿Qué tan cierto es que 𝑁 = ∑ 𝑓𝑖6𝑖=1 ¿La suma de las frecuencias será

siempre el número de datos? Explica tus razones

b) ¿Cuál es la suma de las frecuencias relativas? ¿Será siempre así? Explica.

c) El fabricante de uniformes entregará 100 pantalones atendiendo a la

proporción que se muestra en la tabla. ¿Cuántos crees que serían de taita 28? ¿Qué información de la tabla te es útil para determinar esto?

Representaciones gráficas De las representaciones numéricas se pasa con facilidad a las gráficas utilizando lo que has aprendido en relación con la construcción de éstas.

Los gráficos son útiles porque la información es muy visual, por ejemplo, una vista rápida al polígono de frecuencias o al histograma nos hace ver que la mayoría de los jóvenes de preparatoria son esbeltos. Si se tratara de los uniformes de trabajadores varones de una fábrica, ¿cómo piensas que sería el gráfico? Agrupamiento de datos El tamaño de la muestra o de la población, según se trabaje con una o con otra, puede ser muy grande. Una ordenación simple como la que has realizado hasta este momento podría ser poco útil. Te ayudaremos a comprender la forma de agrupar los datos para que puedan ser manejados prácticamente como has visto hasta este momento. ACTIVIDAD: Agrupamiento de datos.

Material: Calculadora, hojas preferentemente cuadriculadas o milimétricas y regla.

Esta actividad la podrás realizar con la información que se te proporciona o con algún listado que te dé tu profesor. Un maestro que está investigando el rendimiento personal y el de sus estudiantes analiza las calificaciones finales obtenidas por un grupo de 45 alumnos. Para ello debe organizar la información y buscar una forma eficiente de presentarla.

100 20 28 86 20 33 32 94 20 Elabora una hoja de conteo. La información no está organizada; encuentra el mayor y menor de los valores. La hoja de conteo es un listado en donde aparece el más pequeño de los valores, incrementándose desde ahí un número constante; para nuestro caso, 1.

30 52 79 20 65 84 20 20 46

100 20 45 20 100 88 48 100 36

100 88 100 39 29 59 79 73 54

28 33 20 20 77 100 73 50 100

Establece el rango. Esto es, la diferencia entre el mayor y menor de tus datos. Rango= 100 – 20=80 Determina la anchura de cada clase. Una clase es un intervalo que construyes; indicas el valor menor (límite inferior de la clase) y el valor mayor (límite superior). Por

ejemplo, la clase 20 - 30, de acuerdo con el número de grupos o intervalos que deseas tener (entre 5 y 20).

Anchura de los intervalos Para determinarlos decides antes cuántas clases construirás. Con esta información realizas la división del rango entre el número de clases que hayas considerado apropiado.

Por ejemplo, si deseas 8 intervalos:

Ejemplos de clases de anchura 10: 80

8= 10

20 – 29 19 – 28 30 – 39 29 – 28 • • • • • •

Realiza: Completa la tabla calculando las marcas y la frecuencia de cada clase.

calificaciones X f

20 – 29 24.5

30 – 39

40 – 49

50 – 59

60 – 69

70 – 79

80 – 89

90 – 100

N= 45

X es el valor representativo de la clase, su punto medio. Se calcula determinando la semisuma de los límites de la clase:

𝑋 =𝐿1 + 𝐿22

A X también se le llama marca de clase.

Realiza:

a) Construye en una hoja milimétrica un polígono de frecuencia utilizando los puntos de la forma: (X, f).

b) Construye en una hoja milimétrica un histograma.

c) Construye en hoja milimétrica el polígono de frecuencias relativas y de

frecuencias relativas porcentuales.

REFLEXIONA Y CONTESTA: Qué porcentaje de alumnos obtuvo una calificación aprobatoria? Explica el proceso seguido.

8.3 Medidas de tendencia central La media aritmética, mediana y moda quedan definidas tal como se manejaron. La media, semejante al cálculo de tu promedio escolar: realizas la suma de todas las calificaciones y divides entre el total de ellas. La mediana representa el valor central de tus datos ordenados (la media aritmética de los dos centrales si el número de datos es par), y la moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en tu colección de datos. Cuando se maneja un agrupamiento de éstos mediante una distribución de frecuencia lo anterior se traduce a través de propiedades matemáticas a las siguientes fórmulas:

ACTIVIDAD: Determinación de las medidas de tendencia central para datos agrupados.

Material: Calculadora.

En la tabla aparece el peso de 60 estudiantes de tu grado escolar, de cierta preparatoria. Determina las tres medidas centrales que hemos definido, ya sea que emplees esta información u otra que tenga sentido para ti, como los pesos de los compañeros (o compañeras). Realiza y contesta: a) Determina y anota los valores de la última

columna. Aparece como guía el primer elemento.

b) Calcula la sumatoria de los productos fX y anota la respuesta en el cuadro correspondiente (debajo de la columna).

c) Determina la media aritmética y anótala en el recuadro correspondiente.

Peso (kg)

X f fX

54 – 57 55.5 7 388.5 58 – 61 59.5 9 62 – 65 63.5 13 66 – 69 67.5 16 70 – 73 71.5 8 74 – 77 75.5 7

60 ∑𝑓𝑋

�̅� =∑𝑓𝑋

𝑁=

Realiza y contesta:

a) ¿En cuál de las clases se encuentra el dato número 30?___________

Ésta es la clase mediana (recuerda que estás buscando el dato N/2).

b) Anota la frontera inferior de la clase mediana: _________

c) Calcula y anota la suma de frecuencias de las clases anteriores a la clase mediana: ________________________.

d) Indica y anota la frecuencia de la clase mediana: _________

e) Calcula y anota el valor de la anchura c de la clase mediana: ____________

f) Evalúa el valor de la mediana.

Peso (kg) X f

54 – 57 55.5 7 58 – 61 59.5 9 62 – 65 63.5 13 66 – 69 67.5 16 70 – 73 71.5 8 74 – 77 75.5 7

60

𝐿1 = ∑𝑓𝑎𝑛𝑡= 𝑓𝑚𝑒𝑑 = 𝑐 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 =

Realiza y contesta: a) Puedes emplear la misma tabla para el cálculo de la moda. Las clases modal y

mediana coinciden?____________________________________________________ ____________________________________________________________________

b) ¿Cuál de las clases presenta mayor frecuencia? ___________________________. Ésta es la clase modal.

c) Anota la frontera inferior de la clase modal:__________________________________

d) ∆1 es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal (la mayor frecuencia) y la frecuencia de la clase contigua inferior (que se encuentra antes que ella): ∆1= 16 −13 = 3.

e) ∆2 es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal (la mayor frecuencia) y la frecuencia de la clase contigua posterior (que se encuentra después que ella). Calcula su valor y anótalo.

f) Calcula y anota el valor de la moda.

𝐿1 = ∆1= 3 ∆2= 𝑐 = 𝑀𝑜𝑑𝑎 = Las medidas de tendencia central anteriores (media aritmética, mediana y moda) se evalúan siempre de la misma forma. Particularmente el caso de la media aritmética requiere, como medida de organización, abrir una columna más en la tabla para anotar en ella los productos de las frecuencias y los puntos medios (o marcas de clase); apareciendo su suma en la última celda de la columna. Así, el proceso de cálculo se convierte en una suma seguida de una división.

8.4 Medidas de dispersión El concepto de dispersión se asocia a la medición de las desviaciones de los datos en relación con el valor de tendencia central. Por ejemplo, si la media de calificaciones de un grupo es 70 (evaluando de O - 100), entonces, qué tan alejado de la media se encuentra Juan, cuyo puntaje fue de 65, y Roberto, con 75.En ambos casos, la desviación desde la media es de 5 puntos, pero hay diferencia: el de Juan está por debajo y Roberto por encima. Estos serían casos particulares; un estudio que intenta dar una idea de lo disperso de los datos requiere de un valor, un índice que pueda darnos información al respecto. Rango La medida más simple de dispersión es el rango. Por ejemplo, en el Centro Meteorológico Nacional se indica que la temperatura para la Ciudad de México, un cierto día del año (5 de agosto de 2010, por ejemplo), será de 26 °C, con una mínima de 13 °C y una máxima de 29 °C. La media es un valor representativo de la muestra de temperaturas de ese día. Lo cierto es que esta variable tomará todos los valores, yendo desde el mínimo (como a las 3:00 am), hasta el máximo. El rango será entonces la diferencia entre estos extremos. Desviación estándar y varianza La desviación estándar tiene cierta similitud con un promedio de desviaciones, tomando éstas sin indicar el sentido. Para el caso mencionado anteriormente de Juan y Roberto:

Nombre X 𝑋 − �̅� √(𝑋 − �̅�)2

Eliminando el signo negativo

Juan 65 65 − 70 = −5 √(−5)2 = 5

Roberto 75 75 − 70 = 5 √(5)2 = 5

La construcción de la desviación estándar sigue la idea mostrada en la tabla previa; considera la magnitud de la desviación sin indicar si ésta fue por debajo o por encima de la media aritmética. Esa es la razón de elevar al cuadrado y luego regresar a la magnitud del número mediante la raíz.

La desviación estándar se representa mediante 𝒔 cuando se maneja una población, y por 𝝈 (sigma minúscula) si se trata de una muestra. Esto no modifica en nada su concepción y valor; es sólo la forma de advertir que se está manejando una muestra o una población, según el caso. Las relaciones que se dan a continuación definen el concepto de desviación

estándar, a la vez que nos permiten su cálculo. Sin embargo, en ocasiones éste resulta más fácil desde las fórmulas alternativas. Los resultados son equivalentes, ya que estas últimas se deducen mediante procesos matemáticos que hemos omitido.

La medida de dispersión más empleada, cuando se utiliza la media aritmética, es la desviación estándar. Existen análisis que permiten comprender la ventaja de esto.

Los polígonos de frecuencia que aparecen expresan también el rol que juegan en una distribución sus parámetros: la media aritmética en este caso (dividiendo la región en áreas iguales) y la desviación estándar. Una mayor dispersión de los

datos nos mostraría un gráfico como el verde, lo que significa que s es mayor que

el caso del polígono en azul.

La varianza se define como el cuadrado de la desviación estándar y se representa justo de esa manera.

𝐬𝟐 → 𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚𝐧𝐳𝐚 Este valor puede emplearse también como una medida de dispersión, aunque tiene el inconveniente de que las unidades de las variables que se manejan no pueden hacerse concordar ya que, a fin de cuentas, representan el cuadrado de un número y su unidad de medida. Sin embargo, es útil en temas avanzados de estadística en donde se emplea el análisis de varianza.

BLOQUE 9

PROBABILIDAD

9.1 El Concepto de probabilidad La probabilidad es la ciencia que trata de dar explicación a los eventos aleatorios descubriendo que existen después de todo ciertos principios matemáticos inmersos en ellos que nos permiten comprender el porqué de todos los resultados posibles. La mayor parte de las veces parece existir una predilección por la ocurrencia de alguno de ellos. La teoría de la probabilidad se desarrolla, de inicio, para tratar de dar explicación a los eventos relacionados con los juegos de azar. Siempre que existe un juego de azar habrá también personas que hacen estudios a fin de mejorar las posibilidades de ganar. Lo valioso del estudio y desarrollo de la probabilidad no está sólo relacionada con el juego; existen diversos campos que se sustentan en la probabilidad. Por ejemplo, en las compañías de seguro ciertamente ignoran cuál persona asegurada fallecerá o cuál tendrá o no un accidente. La probabilidad no funciona con las personas en específico, sino con los números grandes. Tal vez no sepan qué es lo que le ocurrirá a cierta persona, pero lo que sí saben con cierto grado de confianza es cuántos de sus asegurados podrían fallecer o tener un accidente. Pueden entonces hacer una estimación de los cálculos sobre las tarifas del seguro considerando lo que pagarán a los asegurados, dejando un cierto margen de ganancia para ellos. Ciertamente, la probabilidad no es infalible, a veces «ocurre lo que no parece que debiera suceder». Sin embargo, no es un gran problema para las aseguradoras, pues lo que pudieran haber perdido en un evento que no resultó como se estimaba, lo ganarán sin duda en otros. Pareciera cosa de suerte, pero no... Y para entender cómo funciona esto, veamos ejemplos sencillos que nos permitan

dilucidar la forma en que la probabilidad trabaja. ACTIVIDAD: Fenómenos aleatorios 1.

Material: Moneda, cuaderno de notas y calculadora. Analiza: Un experimento aleatorio que seguramente tienes muy cercano es el lanzamiento de una moneda. Las posibilidades son de que al caer aparezca «cara» o «cruz», o bien, «águila» o «sol». Las condiciones del terreno pueden hacer que en algún momento la moneda caiga de «canto», y aunque esto sucede algunas veces, su ocurrencia es realmente rara, por ello descartaremos este caso. Apliquemos la probabilidad al juego del lanzamiento de una moneda. Diremos que la probabilidad es 1 ó 100% si la ocurrencia de un resultado en un evento está completamente asegurada. Si son dos posibles resultados con igual oportunidad de ocurrir entonces cada uno tiene una probabilidad de 50% o Y2. Por otra parte, un resultado imposible tiene una probabilidad del 0%. Experimento: Lanzamiento de una moneda Realiza 10 lanzamientos con una moneda y anota cada uno de los resultados obtenidos. Representa con A y con S, según la moneda caiga águila o sol, respectivamente.

Lanzamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Resultado

Contesta:

a) ¿Cuántos resultados A obtuviste? ¿Cuántos S? ¿Qué infieres de esto?

b) Si lanzaras nuevamente 10 veces la moneda, ¿qué esperarías que ocurriera? Realiza la experiencia anotando tus resultados y comprueba o refuta tu respuesta.

Lanzamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Resultado

c) Con base en la información que dispones acerca de la moneda, si jugaras con ella a un lanzamiento, ¿cuál sería tu elección? ¿Qué probabilidad tendrías de ganar? Explica tus razones.

En realidad, si la moneda es simétrica, se esperaría que la mitad de las veces diera resultado A y la otra mitad S. En ocasiones sucede que en unos cuantos lanzamientos los resultados no son lo esperado, y nos podría hacer pensar en una moneda «cargada» con cierta predilección por caer más de un lado que del otro. No se descarta que pudiera ser así, aunque existe otra explicación si el número de lanzamientos es pequeño. Si continuáramos la secuencia al menos unas mil veces se podría comprobar si al terminar sucede lo esperado. ACTIVIDAD: Fenómenos aleatorios 2.

Material: Un dado, cuaderno de notas y calculadora. El lanzamiento de dados es más complejo de interpretar debido a que el número de posibilidades es más grande. Un dado puede caer en distintas posiciones: seis en total. Experimento: Lanzamiento de un dado Realiza 24 lanzamientos del dado y anota tus resultados:

Lanzamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Resultado

Lanzamiento 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Resultado

Lanzamiento 21 22 23 24

Resultado

Contesta:

a) ¿Cuántos 1 obtuviste? ¿Cuál era el resultado esperado?

b) ¿Cuántos pares obtuviste? ¿Cuántos se esperaban?

c) De acuerdo con la tabla de resultados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 1 en un lanzamiento? ¿Cuál es la probabilidad esperada?

d) De acuerdo con lo que observaste en la tabla, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par en un lanzamiento? ¿Cuál es el valor esperado?

e) De acuerdo con tu tabla, ¿cuál es la probabilidad de que obtengas un 1 o un 2? ¿Y de que no obtengas esos números? ¿Cuál es el resultado esperado?

En el caso anterior distinguimos entre dos posibles respuestas: aquellas relacionadas directamente con el dado que empleaste, y lo que los números nos dicen al respecto. Por ejemplo, hay un número 1 en el dado, por lo que en un tiro existe la posibilidad de 1/6 de que salga tal número. Por otra parte, existe la probabilidad de 5/6 de que salga cualquier otro número (2 al 6) en lugar de 1. La comprensión de esto te acerca al concepto de probabilidad, como la fracción de los resultados favorables en relación con el total posible de ellos.

Símbolo Se lee: Ejemplo

Cuando un evento o suceso E tiene m posibilidades de ocurrencia en un número n de posibles, la probabilidad de que ocurra será:

p = P (E) Probabilidad de ocurrencia de E

q=P (no E) Probabilidad de no ocurrencia de

p + q = E La suma de la probabilidad de ocurrencia con la de no ocurrencia es siempre uno

Por ejemplo, en el experimento del lanzamiento de una moneda para el resultado águila, la probabilidad es '/2, ya que los resultados posibles son sólo dos para este caso, uno de los cuales es favorable a la aparición de águila. En este mismo contexto la probabilidad de que no aparezca águila será también de 1/2 y, ciertamente, la suma de estos dos valores será la unidad. Para el experimento del dado, la posibilidad de aparición de cualquiera de los números, por ejemplo el 1, será entonces de 1/6 y la probabilidad de que no aparezca este número será de ellos sea nuevamente 1. La probabilidad puede visualizarse a través de las frecuencias relativas: Probabilidad empírica Es la frecuencia relativa asociada a la ocurrencia de un evento E, en relación con todos los posibles resultados

P(E) =Frecuencia (casos favorables)

Número de casos posibles

La estadística posee una terminología propia; algunos de sus términos ya los hemos empleado. El siguiente esquema te permitirá comprenderlos mejor.

Los espacios muestrales son conjuntos por su propia naturaleza. Los puntos muestrales son sus elementos componentes y están relacionados entre sí porque pertenecen al mismo experimento. 9.2 Conjuntos y espacios muestrales La idea de conjunto comienza a aparecer cada vez más conforme nos adentramos en el estudio de la probabilidad. Es tiempo de que precisemos este concepto y las

operaciones con ellos. Creamos un conjunto cuando tenemos una recopilación de datos u objetos con alguna característica afín en todos ellos, algo que nos hace visualizarlos a todos juntos y separarlos del resto. Por ejemplo, los miembros de tu familia, tus libros, tu

ropa, etcétera. El espacio muestral asociado a un experimento representa todo el conjunto de resultados posibles para éste. Por ejemplo, si lanzas una moneda al aire el espacio muestra sería el conjunto {águila, sol}; para el caso de un dado su espacio muestral es {l, 2,3,4,5, 6}, pues son los resultados posibles. En el esquema previo se representa también su significado. Los conjuntos se representan mediante letras mayúsculas: A, B, S, etc. Para los espacios muestrales es común expresarlos mediante la letra S. El conjunto universal o universo representa a la totalidad de elementos en un

análisis. Por ejemplo, para el directivo de la escuela el conjunto universal en relación con el rendimiento estudiantil es su alumnado. Pero para el secretario de educación estatal, el universo es mucho mayor, ya que incluye a toda la población estudiantil en el estado. Para él, una de las escuelas será sólo una porción de su universo, un conjunto en sí mismo, pero incluido en otro. Emerge entonces la idea

de subconjunto como un conjunto inmerso en otro que lo contiene. Así, expresado en lenguaje de conjuntos, un experimento da lugar a un espacio muestral, y un evento asociado al experimento generará un subconjunto del espacio muestral, pues sólo se consideran los resultados favorables a tal evento. Los conjuntos poseen diversas representaciones y ya hemos empleado algunas de ellas. El siguiente esquema te muestra otras.

Diagramas de árbol Cuando los espacios muestrales involucran números grandes puede resultar problemático establecerlo, es decir, encontrar todos sus elementos o puntos muestrales. Existen formas para realizar esto de manera ordenada, de manera que no hagamos omisión de alguno de ellos. El diagrama de árbol es una forma sistemática de hacerlo. Observa:

Regla aditiva Aunque la determinación del espacio muestral nos permite encontrar las probabilidades de cualquier evento, resulta útil la construcción del concepto de eventos compuestos, sobre todo si nos valemos de las operaciones entre conjuntos. Observa el esquema:

Las operaciones y propiedades de los conjuntos nos permiten avanzar en la construcción de sistemas más eficientes para determinar la probabilidad de eventos compuestos, al margen de que siempre podremos establecerla a través del análisis de los espacios muestrales. La regla aditiva es una generalización de lo que has observado en la actividad:

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)) = 𝑃(𝐴)) + 𝑃(𝐵)) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) La probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B es igual a la suma de las probabilidades individuales de A y

B, menos la probabilidad de la ocurrencia de ambos simultáneamente

Existen eventos que son mutuamente excluyentes; esto significa que la

ocurrencia de uno descarta la del otro. Por ejemplo, en el lanzamiento de dos dados, los eventos: cae un 7 o cae en par, son entre sí excluyentes, uno de ellos por fuerza elimina la posibilidad de ocurrencia del otro. Para los eventos mutuamente excluyentes, P (A n B) = 0 y la regla aditiva se transforma a:

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) (A y B son mutuamente excluyentes)

Regla multiplicativa El principio multiplicativo. Básicamente expresa la idea de que si dos eventos A y B pueden ocurrir separadamente por n y m formas, entonces la ocurrencia simultánea de ambos será el producto de ellos, m • n . Analizaremos esto con más detalle, pero antes veamos el concepto de probabilidad condicional. Probabilidad condicional

Símbolo Se lee Ejemplo

P(B/A) Probabilidad de B, dado que ocurrió A

Si de tres canicas (roja, azul y verde) en una caja tomas primero al azar, su probabilidad es de 1/3. Pero si tomas luego una segunda canica, la probabilidad para esta ya es de 1/2 (mientras no se trate del mismo color) A: sacar la canica roja en la primera extracción P(A)=1/3 B: sacara la canica verde en la primera extracción P(B)=1/3 Sacar una canica verde en la segunda extracción, si en la primera se obtuvo roja P(B/A)=1/2

La probabilidad condicional se define como sigue:

𝑃 (𝐵

𝐴) =

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴) 𝑃(𝐴)𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜

Básicamente, este principio se expresa en términos de las probabilidades de

ocurrencia de los eventos A y B, como sigue: P (A ∩ B) = P (A) P (B/A) Regla multiplicativa El orden de los sucesos puede ser también cambiado para obtener:

P(A∩B) = P(B)P(A/B) La probabilidad de ocurrencia de un evento puede estar condicionada a la ocurrencia de otro. Pero esto no sucede siempre. Por ejemplo, en el experimento de la obtención de las canicas, si después de sacar ésta, la regresamos a la caja de manera que el número en ella se mantenga constante, la probabilidad de obtener en el segundo intento una canica verde, dado que en el primero salió roja, sigue siendo de 1/3. Tales eventos se llaman independientes. Para éstos la probabilidad condicional se convierte simplemente en su probabilidad de ocurrencia. Esto es: P (B/A) = P (B) Eventos independientes Y en esta situación el principio multiplicativo queda simplemente como:

P(A ∩ B)=P(A)P(B) Para finalizar... Ciertamente puedes prescindir del empleo de los principios aditivo y multiplicativo y las propiedades que se generan con ellos calculando las probabilidades directamente del espacio muestral. Sin embargo, descubrirás que conforme se avanza en el análisis de la probabilidad el tamaño de estos espacios podría ser enorme, por lo que en la práctica este simple manejo resultaría poco práctico.