matemÁticas financieras. rentas fraccionadas (teorÍa)

TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS

Rentas Fraccionadas (teoría)

www.jagonzalez.blogsgo.com

Departamento Métodos Cuantitativos

Universidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz


VALORACIÓN DE RENTAS FRACCIONADAS CONSTANTES

Una renta fraccionada se caracteriza porque sus términos tienen una periodicidad distinta del año,ya sea superior o inferior al año.

aa aa a……………………….

0 1/k 2/k 3/k (k-1)/k 1 1+1)/k

……………………….

Cuando vamos a calcular el valor actual y el valor final de esta renta la podemos tratar de distintasmaneras, según sea el tipo de interés dado. En este curso solo estudiaremos estas rentas de laforma más sencilla posible que consiste en simplificarlas todas rentas k-esimales.

RENTAS FRACCIONADAS



La liquidación de los intereses tiene la misma periodicidad que la de los términos de la renta, es decir, disponemos del tanto k-esimal, ik .

Su valor actual se calcula de manera similar a la renta anual constante:

Su valor final se calcula de manera similar a la renta anual constante:

k

kn

kink

i

iaaaA

k

)1(1

k

kn

kink

i

iasaS

k

1)1(

RENTAS FRACCIONADAS



Si nos dan un tipo de interés k-esimal para una renta k-esimal…

Si nos dan un tipo de interés anual para una renta k-esimal…

k

kii )1()1(

Si nos dan un tipo de interés k’-esimal para una renta k-esimal…

1)1(

'

' k

k

kk ii

kinkaaA kinksaS

RENTAS FRACCIONADAS

1)1(

1

kk ii

k

k

k

k ii )1()1( '

'


VALORACIÓN DE RENTAS FRACCIONADAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

A. Varían periodo k-esimal a periodo k-esimal en progresión aritmética

nk

ink

k

ink vnkai

paaA

kk

1)1( kivsiendo

nnk

k iAiAS )1()1(

0 1 /k

a+(k-2)pa a+p a+2p

2/k 3/k k-1/k 1 1 /k 2/k 3/k k-1/k 1 /k

a+(nk-2)pa+(nk-3)p

2/k 3/k k-1/k

a+(nk-1)p

n2

RENTAS FRACCIONADAS



B. Son constantes periodo k-esimal y varían de año en año en progresión aritmética

0 1 /k

a a a+pa a a

2/k 3/k k-1/k 1 1 /k 2/k 3/k k-1/k 1 /k

a+(n-1)p

2/k 3/k k-1/k n2

a+p a+p a+p a+p a+(n-1)pa+2p

n-1

a+(n-2)p

Como no sabemos resolver este tipo de rentas, la convertimos en una renta anual, calculando el valor final de cada renta k-esimal

0 1 /k

S1

2/k 3/k k-1/k 1 1 /k 2/k 3/k k-1/k 1 /k 2/k 3/k k-1/k n2 n-1

S2 Sn-1 Sn

Siendo,kiksaS 1

kikspaS )(2

kikspaS )2(3

kikn spnaS ))1((

kiksaS 1

kk ikik spsaS 2

kk ikik spsaS 23

kk ikikn spnsaS )1(

RENTAS FRACCIONADAS




Se parecen en algo las siguientes expresiones?

kiksaS 1

kk ikik spsaS 2

kk ikik spsaS 23

kk ikikn spnsaS )1(

aS 1

paS 2

paS 23

pnaSn )1(

Ambas son rentas variables en progresión aritmética…

La segunda es una RVPA de primer término “a” y factor “p”

La primera es una RVPA de primer término y factorkiksa

kiksp

RENTAS FRACCIONADAS




Por tanto, el valor actual de la segunda será el valor actual de una renta anual variable en progresión aritmética “tipo”

n

inin vnai

paaA

Y el valor actual de la primera sería similar, pero para los valores descritos del primer términoy el factor

kiksa

kiksp

n

in

ik

inik vnai

spasaA k

k

Sacando factor común, quedaría:kiks

kik

n

inin svnai

paaA

RENTAS FRACCIONADAS




Por tanto, este tipo de rentas variables de año en año y constantes para cada periodo k-esimal se resuelven en dos partes

1. COMO SI SE TRATARA DE UNA RENTA ANUAL VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

2. COMO NO ES ANUAL SINO K-ESIMAL, SE CORRIGE

1

kikS

2

n

inin vnai

paaA

RENTAS FRACCIONADAS


VALORACIÓN DE RENTAS FRACCIONADAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

A. Varían periodo k-esimal a periodo k-esimal en progresión aritmética

0 1 /k

aqa aq aq

2/k 3/k k-1/k 1 1 /k 2/k 3/k k-1/k 1 /k

aqaq

2/k 3/k k-1/k

aq

n2

2 3kn-3 kn-2 kn-1

1

1

vq

vqva

nknk

Siempre que 1vq )1( kiq

knva Siempre que 1vq )1( kiq

A

nnk

k iAiAS )1()1(

RENTAS FRACCIONADAS



B. Son constantes periodo k-esimal y varían de año en año en progresión geométrica

0 1 /k

a a aqa a a


Como no sabemos resolver este tipo de rentas, la convertimos en una renta anual, calculando el valor final de cada renta k-esimal

0 1 /k

S1


S2 Sn-1 Sn

Siendo,kiksaS 1

kiksqaS 2

kiksqaS 2

3

kik

n

n sqaS

1

aq aq aq aq aq aq aq2 n-2 n-1

aqn-1

aqn-1

aqn-1

kiksaS 1

qsaSkik 2

2

3 qsaSkik

1

n

ikn qsaSk

RENTAS FRACCIONADAS




Se parecen en algo las siguientes expresiones?

Ambas son rentas variables en progresión geométrica…

La segunda es una RVPG de primer término “a” y factor “q”

La primera es una RVPG de primer término y factor “q”kiksa

kiksaS 1

qsaSkik 2

2

3 qsaSkik

1

n

ikn qsaSk

aS 1

qaS 2

2

3 qaS

1 n

n qaS

RENTAS FRACCIONADAS




Por tanto, el valor actual de la segunda será el valor actual de una renta anual variable en progresión geométrica “tipo”

Y el valor actual de la primera sería similar, pero para los valores descritos del primer términoy el factor “q”

kiksa

1

1

vq

vqva

nn

Siempre que )1( iq

nva Siempre que )1( iq

A

Siempre que )1( iq

Siempre que )1( iq

A A1

1

vq

vqsva

nn

ik k

nvsakik

kik

nn

svq

vqva

1

1

kiksnva

RENTAS FRACCIONADAS




Por tanto, este tipo de rentas variables de año en año y constantes para cada periodo k-esimal se resuelven en dos partes

1. COMO SI SE TRATARA DE UNA RENTA ANUAL VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

2. COMO NO ES ANUAL SINO K-ESIMAL, SE CORRIGE

1

1

vq

vqvaA

nn

1

kikS

2

Siempre que )1( iq

Siempre que )1( iq nvaA

1

kikS

2

RENTAS FRACCIONADAS

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