matemáticas financieras

M t áti Fi i Matemáticas Financieras con Calculadora Financiera

Matemáticas Financieras con Calculadora FinancieraOBJETIVOS

Objetivo GeneralConocer los efectos del alor del dinero a tra és del tiempoConocer los efectos del valor del dinero a través del tiempo yaplicar la lógica matemática en la solución de problemasfinancieros que se presentan durante la ejecución de lasprincipales actividades comerciales en las sucursales del

Identificar los elementos del Horizonte del Tiempo

p pbanco

Objetivos EspecíficosIdentificar los elementos del Horizonte del Tiempo.

Aprender a realizar cálculos de interés simple y de interés compuesto.

Conocer y realizar cálculos de Tipos de Tasas de Interés.

Resolver problemas de Valor Presente y Valor Futuro .

Identificar y calcular VP y VF con Anualidades.

Conocer y realizar cálculos de Valor Presente Neto y Tasa Interna de Retorno,identificando diferencias en proyectos de inversión.

Aprender a realizar cálculos con Tablas de Amortización

v

Aprender a realizar cálculos con Tablas de Amortización.

2

v

Mét d d E ñ / A di jMatemáticas Financieras con Calculadora Financiera

Método de Enseñanza / Aprendizaje

Se utilizan las siguientes técnicas:

1. Lectura a profundidad.

2. Trabajo Colaborativo. Se utilizan los siguientes elementos:a. Equipos de 5 personas.b. Líder de equipoc. Identificación del problema a resolverd. Responsabilidad de colaborar todos aportando, aprendiendo y

ñ denseñando.

3. Solución de problemas.

4. Exposición.

3

CONTENIDO

1. Valor del dinero a través del tiempo

CONTENIDO

2. Cálculo de Interés Simple (l)3. Cálculo de Interés Simple: Ejercicios4. Cálculo de Interés Compuesto5. Cálculo de Interés Compuesto vs.

Cálculo de Interés Simple1. Cálculo de Interés Compuesto: Ejercicios1. Cálculo de Interés Compuesto: Ejercicios2. Tasas de Interés3. Valor Futuro y Valor Presente4 Anualidades4. Anualidades5. Valor Presente Neto y TIR6. Tablas de Amortización

4

1 V l d l di 1. Valor del dinero a través

del tiempo

5

1. Valor del dinero a través del tiempo1. Valor del dinero a través del tiempo

El factor tiempo tiene un papel decisivo al momento de calcular elvalor del capital. No es lo mismo disponer de cierta cantidad dedinero hoy que dentro de un año, ya que el dinero se vay q , y qdevaluando como consecuencia de la inflación.

IMPORTANTEPara poder

comparar dos capitales en

R e g l a s b á s i c a s d e l a sMatemáticas Financieras

capitales en distinta fecha,

hay que encontrar el

equivalente de

Ante dos capitales de igualc a n t i d a d e n d i s t i n t o s

A n t e d o s c a p i t a l e s e n e lm i s m o m o m e n t o p e r o d e

equivalente de los mismos en

una misma fecha.

6

c a n t i d a d e n d i s t i n t o smomentos, se preferirá aquélq u e s e a m á s c e r c a n o

m i s m o m o m e n t o p e r o d edistinto importe, se preferiráaquel de importe más elevado

1 Valor del dinero a través del tiempo1. Valor del dinero a través del tiempo

Valor Presente Valor FuturoPeríodos

Horizonte del Tiempo

7


Ejemplo: ¿Qué es preferible, disponer de 2 millones de pesos en 1 año ó de 4 millonesen 5 años? Para contestar la pregunta hay que calcular equivalentes de ambosimportes en un mismo instante.p

Leyes o ReglasLeyes o Reglas Financieras

• El primer importe = 1.5 millones en el momento actual• El segundo importe = 1.4 millones en el momento actual

La mejor opción es la primera

8

j


La lógica financiera que nos permitecalcular el equivalente de un capital en uncalcular el equivalente de un capital en unmomento posterior se llama Ley deCapitalización.

La lógica financiera que nos permitel l l l lcalcular el equivalente de un capital en un

momento anterior se llama Ley deDescuento.

Está lógica financiera nos permite también sumar o restar capitales di ti t t í d d l h i t d l ti

9

en distintos momentos, o períodos del horizonte del tiempo.


Ejemplo: Si vamos a recibir 1 millón de pesos dentro de 6 meses y 2 millonesdentro de 9 meses, no podemos sumarlos directamente, sino que se tienenque hallar sus equivalentes en un mismo instante y entonces sí se podránq q y psumar.

9 meses

106 meses

2. Cálculo de Interés Simple

11


Ejemplo: Calcular los intereses que generan 5 millones de pesos a un interésdel 15% durante un plazo de 1 año:

I = 5,000,000 * 0.15 * 1I = 750,000 pesos

Con la información se puede calcular el importe del capital final:Cf = Co + I

Sustituimos “I” por su equivalenteCf = Co + (Co * i * t)

Sacando el factor común “Co”Cf = Co * ( 1 + (i * t) )( ( ) )

“Cf” es el capital finalCf = Co + ICf = 5,000,000 + 750,000

12

, , ,Cf = 5,750,000


Es importante tener en cuenta que el tipo de interés y el plazo o períododeben de referirse a la misma medida temporal (si el interés es anual, elplazo o período debe de ir en años).

Base temporal Cálculo Tasa del Base temporal Cálculo PeríodoAño 15 / 1 15%Semestre 15 / 2 7.5%

El siguiente ejemplo nos

Cuatrimestre 15 / 3 5%Trimestre 15 / 4 3.75%Mes 15 / 12 1.25%

ayudará a calcular el tipo deinterés equivalente de unaunidad de tiempo distinta, conuna tasa anual del 15%

Día 15 / 365 0.04%

13

una tasa anual del 15%


La fórmula financiera de interés simple permite calcular el interésgenerado durante determinado período del horizonte del tiempo.

Fórmula para calcular los intereses que genera uncapital:

I = Co * i * t“I” son los intereses generados“Co” es el capital inicial (en el momento t=0)“i” es la tasa de interés que se aplica“t” es el tiempo que dura la inversión

14


Tomando en cuenta el ejemplo de 5,000,000 con un interés del15%, quedaría de la siguiente manera:

Base temporal Intereses

Año 5,000,000 * 0,15 * 1 = 750,000

Semestre 5,000,000 * 0.075 * 2 = 750,000

Cuatrimestre 5,000,000 * 0.05 * 3 = 750,000

Trimestre 5,000,000 * 0.0375 * 4 = 750,000

M 5 000 000 * 0 0125 * 12 750 000Mes 5,000,000 * 0.0125 * 12 = 750,000

Día 5,000,000 * 0.0041 * 365 = 750,000

15


Ejemplo: Calcular los intereses que producen 1 millón de pesos al 15%anual durante 3 meses:

La base temporal son meses, se debe de calcular el interés mensualequivalente al 15% anual: 15/12 = 1.25%

I = Co * i + tI = 5,000,000 * 0.0125 * 3 = $187,500

16

3. Cálculo de Interés Simple: Ejercicios

17


Ejercicio 1. Calcular el interés que generan $500,000 durante 4 meses aun interés anual del 10%.

Ejercicio 2. Calcular el capital final que tendríamos si invertimos$1,000,000 durante 6 meses al 12%.

Ejercicio 3. Recibimos $500,000 dentro de 6 meses y $800,000dentro de 9 meses, y ambas cantidades las invertimos a un tipo del15%. Calcular qué importe tendríamos dentro de 1 año.q p

Ejercicio 4. ¿Qué es preferible recibir: $500,000 dentro de 3meses, $400,000 dentro de 6 meses ó $600,000 dentro de 1 año,si estos importes se pueden invertir al 12%?.

Ejercicio 5. Calcular las tasas periódicas: a) 4% semestral:b) 3% cuatrimestral; c) 5% trimestral; d) 1.5% mensual.

18

) ; ) ; )


Soluciones

Ejercicio 1. Calcular el interés que generan $500,000 durante 4 meses aun interés anual del 10%.

Aplicamos la fórmula del interés: I = C * i * t

un interés anual del 10%.

Debido a que el t está expresado en meses, se tiene que calcularel equivalente en base mensual del 15% anual (cuando se da un tipode interés y no se indica el tiempo, se sobre entiende que es anual).de interés y no se indica el tiempo, se sobre entiende que es anual).

i (12) = 10 / 12 = 0.08333 (es el tipo mensual equivalente).También se puede dejar el tipo anual y poner el plazo en base anual(4/12 0 33 ñ ) El lt d d b d l i C b(4/12 = 0.33 años). El resultado debe de ser el mismo. Comprobar.

I = 500,000 * 0.0083 * 4I = $16,666

19


Soluciones

Ejercicio 2. Calcular el capital final que tendríamos si invertimos$1,000,000 durante 6 meses al 12%.

La fórmula del Capital final es Cf = Co + I (capital inicial + intereses)

$ , , %

Se deben de calcular los intereses I = Co * i * t

I = 1,000,000 * 0.12 * 0.5, ,I = $60,000

Y se puede calcular el interés finalCf = 1 000 000 + 60 000Cf = 1,000,000 + 60,000

Cf = $1,060,000

20


Soluciones

Ejercicio 3. Recibimos $500,000 dentro de 6 meses y $800,000dentro de 9 meses, y ambas cantidades las invertimos a un tipo del

Se debe de calcular el capital final de ambos importes dentro de 1 año yl

, y p15%. Calcular qué importe tendríamos dentro de 1 año.

sumarlos.

1er importe: Cf = Co + IIntereses: I = Co * i * t I = 500,000 * 0.15 * 0.5

( se dejó el tipo de interés en base anual)I = $37,500Cf = 500,000 + 37,500 = $537,500

2do importe: Cf = Co + II = 800,000 * 0.15 * 0.25(el plazo es de 3 meses)

I = $30 000

21

I $30,000Cf = 800,000 + 30,000 = $830,000Ct = 537,500 + 830,000 = $1,367,500


Soluciones

Ejercicio 4. ¿Qué es preferible recibir: $500,000 dentro de 3meses, $400,000 dentro de 6 meses ó $600,000 dentro de 1 año,

Entre la 1ª y 2ª opción está claro que es preferible la primera, ya queel importe es más elevado y se recibe antes. Por lo tanto la 2ª quedad t d l h b á l 1ª l 3ª

, $ , $ , ,si estos importes se pueden invertir al 12%?.

descartada y solo habrá que comparar la 1ª con la 3ª.

Como estos importes están situados en momentos distintos, nose pueden comparar directamente. Se calcularán los importesp p pequivalentesdentro de 1 año.

1er importe: Cf = Co + IIntereses: I = Co * i * t I = 500 000 * 0 15 * 0 75 = $56 250Intereses: I Co i t I 500,000 0.15 0.75 $56,250Cf = 500,000 + 56,250 = $556,250

3er importe: Cf = 600,000 (no se calculan intereses, ya que el importetá it d d t d 1 ñ )

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está situado dentro de 1 año).La 3ª opción es la mejor


Soluciones

Ejercicio 5. Calcular las tasas periódicas: a) 4% semestral:b) 3% cuatrimestral; c) 5% trimestral; d) 1.5% mensual.

5. Se calcularán los intereses anuales equivalentes:

b) 3% cuatrimestral; c) 5% trimestral; d) 1.5% mensual.

a) 4% semestral: si i (2) = i / 2 (expresamos por “i (2)” el interéssemestral y por “i” el anual)4% = i / 2

i = 8% (el i anual es el 8%)i 8% (el i anual es el 8%)b) 3% cuatrimestral: si i (3) = i / 3

3% = i / 3i = 9%

) 5% t i t l i i (4) i / 4c) 5% trimestral: si i (4) = i / 45% = i / 5

i = 20%d) 1.5% mensual: si i (12) = i / 12

23

) ( )1.5% = i / 12

i = 18%

4. Cálculo de Interés Compuesto

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La fórmula del interés compuesto permite calcular los intereses para determinado período del horizonte del tiempo, tomando en cuenta los efectos de la capitalización.

La diferencia entre el Simple y el Compuesto radica en que en el Simple sólo genera intereses del capital inicial, mientras que en el Compuesto se considera que los intereses que va generando el capital inicial, se acumulan, resultando en un nuevo importe sobre el cual se calcularán nuevos intereses, y así suscesivamente. .

Fórmula del Interés Compuesto:

IC = Co * ( ((1 + i) ^ t) – 1 ) ( el símbolo “^” significa “elevado a”)“IC” son los intereses que se generanIC son los intereses que se generan“Co” es el capital inicial (en el momento t=0)“i” es la tasa de interés que se aplica. Tasa Períódica“t” es el tiempo que dura la inversión. El período. También se

identifica con “n”

25

identifica con n


Ejemplo: Calcular los intereses que generan 2 millones de pesos a un interésdel 10% durante un plazo de 1 año.

I 2 000 000 * ( ((1 + 0 1) ^ 1) 1 )I = 2,000,000 * ( ((1 + 0.1) ^ 1) – 1 )I = 200,000 * (1.1 – 1 )I = 20,000 pesos

C l i f ió d l l l i t d l it l fi lCon la información se puede calcular el importe del capital final:Cf = Co + I

Sustituimos “I” por su equivalenteCf C + C * ( ((1 + i) ^ t) 1 )Cf = Co + Co * ( ((1 + i) ^ t) – 1 )

Sacando el factor común “Co”Cf C * ( (1 i) ^ t )Cf = Co * ( (1 + i) ^ t )

“Cf” es el capital finalCf = Co + ICf 2 000 000 20 000

26

Cf = 2,000,000 + 20,000Cf = 2,020,000


Es importante tener en cuenta, al igual que vimos al estudiar el Interés Simple,que el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma base temporal.

La fórmula para el cálculo de los tipos de interés equivalentes es la siguiente:

1 + i = ( 1 + im ) ^ m(m se refiere a la base temporal que se utiliza)(m = 1, para años)( p )(m = 2, para semestres)(m = 3, para cuatrimestres)(m = 4, para trimestres)(m = 12, para meses)

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(m = 365, para días)


Ejemplo: Para calcular los equivalentes al 15% anual:

Base temporal Cálculo Tipo equivalente

Semestre 1 + 0.15 = (1 + i2) ^ 2 i2 = 7.24%

Cuatrimestre 1 + 0.15 = (1 + i3) ^ 3 i3 = 4.76%

Trimestre 2 + 0.15 = (1 + i4) ^ 4 i4 = 3.56%

Mes 2 + 0.15 = (1 + i12) ^ 12 i12 = 1.17%

Día 3 + 0.15 = (1 + i365) ^ 365 i365 = 0.038%

28

5. Cálculo de Interés Compuestovs vs.

Cálculo de Interés Simple

29

5. Cálculo de Interés Compuesto vs. Cálculo de Interés Simple

Ambos Cálculos dan resultados diferentes. Se analizará en que medida laaplicación de uno u otro en el cálculo de intereses da resultados mayores ómenores y para ello se distinguirán dos momentos:menores, y para ello se distinguirán dos momentos:

a) Períodos iguales a un año: tanto el Cálculo de

Momentos

a) Períodos iguales a un año: tanto el Cálculo deInterés Simple como el Compuesto, danresultados idénticos.

Momentosb) Períodos superiores a un año: el Cálculo deInterés Compuesto es mayor que el Cálculo deInterés Simple

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Ejemplo de Períodos inferiores a la unidad de referencia (1 año): Calcularlos intereses devengados por un capital de 4 millones de pesos, durante 3meses a un tipo de interés del 12%:meses, a un tipo de interés del 12%:

1) Interés SimpleI = Co * i * tI 4 000 000 * 0 12 * 0 2 ( l i é l á b l)I = 4,000,000 * 0.12 * 0.25 (el interés y plazo están en base anual)I = $120,000

2) Interés CompuestoSe comprueba, que el

interés calculado con la2) Interés CompuestoI = Co * ( ((1+ i) ^ t) – 1 )I = 4,000,000 * ( ((1 + 0.12) ^ 0.25) – 1)I = 4,000,000 * ( 1.029 – 1 )I $116 000

interés calculado con la fórmula de Interés Simple es superior al calculado

con la del Interés I = $116,000 Compuesto.

BUSCAR EL ERROR DEL AUTOR

31


Ejemplo de Períodos iguales a 1 año: Calcular los intereses devengados porun capital de 2 millones de pesos, durante 1 año, a un tipo de interés del 15%:

1) Interés SimpleI = Co * i * tI = 2,000,000 * 0.15 * 1 (el interés y plazo están en base anual)I = $300,000

2) Interés CompuestoI = Co * ( ((1+ i) ^ t) – 1 )

Se comprueba, que los intereses calculados I Co ( ((1+ i) t) 1 )

I = 2,000,000 * ( ((1 + 0.15) ^ 1) – 1)I = 2,000,000 * ( 1.15 – 1 )I = $300,000

con ambas fórmulas son iguales

32


Ejemplo de Períodos superiores a 1 año: Calcular los intereses devengadospor un capital de 5 millones de pesos, durante 2 años, a un tipo de interés del10%:10%:

1) Interés SimpleI = Co * i * tI = 5,000,000 * 0.10 * 2 (el interés y plazo están en base anual)I = $1,000,000

2) Interés CompuestoSe comprueba, que el

interés calculado con la2) Interés CompuestoI = Co * ( ((1+ i) ^ t) – 1 )I = 5,000,000 * ( ((1 + 0.1) ^ 2) – 1)I = 5,000,000 * ( 1.21 – 1 )I $1 050 000

interés calculado con la fórmula de Interés

Compuesto es superior al calculado con la del Interés

I = $1,050,000 Simple.

33

6. Cálculo de Interés Compuesto. Ejercicios

34

6. Cálculo de Interés Compuesto: Ejercicios

Ejercicio 1. Calcular el interés de un capital de 5 millones invertidos durante unaño y medio al 16%, aplicando el Cálculo de Interés Simple y Compuesto

con capitalización mensual..

Ejercicio 2. Encontrar el equivalente del 16% anual en base: a) mensual,b) cuatrimestral, c) semestral. Aplicando el Cálculo de InterésCompuesto. VER MÁS ADELANTE LAS TASAS EQUIVALENTES

Ejercicio 3. Se recibe un capital de un millón de pesos dentro de 6meses y otro capital de 5 millones dentro de 9 meses. Ambos se invierten al12% anual. ¿Qué importe se tendrá dentro de un año, aplicando elCálculo de Interés Compuesto?Cálculo de Interés Compuesto?.

Ejercicio 4. ¿ Qué intereses serían mayores, los de un capital de $600,000Invertidos durante 6 meses al 15% anual, aplicando el Cálculo de InterésSimple ó los de un capital de $500 000 invertidos durante 8 meses al tipo delSimple, ó los de un capital de $500,000 invertidos durante 8 meses al tipo del16% aplicando el Cálculo de Interés Compuesto con capitalización mensual?.

Ejercicio 5. ¿Si un capital de 1 millón de pesos genera unos intereses durante 6 meses de $150 000 qué tipo de interés se estaría aplicando si se

35

meses de $150,000, qué tipo de interés se estaría aplicando si se estuviera aplicando el Cálculo de Interés Simple?, ¿y el Cálculo de Interés Compuesto?.


Soluciones

Ejercicio 1. Calcular el interés de un capital de 5 millones invertidos durante unaño y medio al 16% aplicando el Cálculo de Interés Simple y Compuesto

a) Aplicando la fórmula del Cálculo de Interés Simple: I = Co * i * t

año y medio al 16%, aplicando el Cálculo de Interés Simple y Compuesto.

I = 5,000,000 * 0.16 * 1.5I = $1,200,00

b) Aplicando la fórmula del Cálculo de Interés Compuesto:I = Co * ( ((1+ i) ^ t) – 1 )I 5 000 000 * ( ((1 + 0 16) ^ 1 5) 1)I = 5,000,000 * ( ((1 + 0.16) ^ 1.5) – 1)I = 5,000,000 * ( 1.249 – 1 )I = $1,245,000

36

ENCONTRAR EL ERROR


Soluciones

Ejercicio 2. Encontrar el equivalente del 16% anual en base: a) mensual,b) cuatrimestral c) semestral Aplicando el Cálculo de Interés

a) En base mensual: 1 + i = (1+ i12) ^ 12 ( i es la tasa anual)1 + 0.16 = (1 + i12) ^ 12

b) cuatrimestral, c) semestral. Aplicando el Cálculo de InterésCompuesto

( )(1.16) ^ 1/12 = 1 + i121.0124 = 1+ i12i12 = 0.0124b) En base cuatrimestral: 1 + i = (1+ i3) ^ 3 ( i es la tasa anual)b) En base cuatrimestral: 1 i (1 i3) 3 ( i es la tasa anual)1 + 0.16 = (1 + i3) ^ 3(1.16) ^ 1/3 = 1 + i31.0507 = 1 + i3i3 = 0 0507i3 = 0.0507c) En base semestral: 1 + i = (1+ i2) ^ 2 ( i es la tasa anual)1 + 0.16 = (1 + i2) ^ 2(1.16) ^ 1/2 = 1 + i21 077 1 i2

37

1.077 = 1 + i2i2 = 0.0770REVISAR CON FÓRMULAS DE TASAS EQUIVALENTES.


Soluciones

Ejercicio 3. Se recibe un capital de 1 millón de pesos dentro de 6 mesesy otro capital de 5 millones dentro de 9 meses. Ambos se invierten al 12%

1er importe: Cf = Co + II = Co * ( ((1+ i) ^ t) – 1 )

y otro capital de 5 millones dentro de 9 meses. Ambos se invierten al 12%anual. ¿Qué importe se tendrá dentro de 1 año, aplicando el Cálculo deInterés Compuesto?.

I Co ( ((1+ i) t) 1 )I = 1,000,000 * ( ((1 + 0.12) ^ 0.5) – 1) (interés y plazo en base anual)I = $58,301Cf = 1,000,000 + 58,301 = $1,058,301

2do importe: Cf = Co + II = Co * ( ((1+ i) ^ t) – 1 )I = 500,000 * ( ((1 + 0.12) ^ 0.25) – 1)I $14 360I = $14,360Cf = 500,000 + 14,369 = $514,301

Se suman los dos importes que tendremos dentro de 1 año:Ct 1 058 301 514 369 $1 572 670

38

Ct = 1,058,301 + 514,369 = $1,572,670APLICAR LÓGICA DEL HORIZONTE DEL TIEMPO


Soluciones

Ejercicio 4. ¿Qué intereses serían mayores, los de un capital de $600,000invertidos durante 6 meses al 15% anual aplicando el Cálculo de Interés

a) En el 1er caso, se aplica la fórmula del Cálculo de Interés Simple:

invertidos durante 6 meses al 15% anual, aplicando el Cálculo de InterésSimple, ó los de un capital de $500,000 invertidos durante 8 meses al tipo del16% aplicando elCálculo de Interés Compuesto con capitalización mensual?.

) p pI = Co * i * tI = 600,000 * 0.15 * 1.5 (interés y plazo en base anual)I = $45,000

b) En el 2do caso =, se aplica la fórmula del Cálculo de InterésCompuesto:I = Co * ( ((1+ i) ^ t) – 1 )I = 500,000 * ( ((1 + 0.16) ^ 0.66) – 1)I = 500,000 * ( 1.249 – 1 )I = $51,458

39

ENCONTRAR EL ERROR

Soluciones6. Cálculo de Interés Compuesto: EjerciciosSoluciones

Ejercicio 5. ¿Si un capital de 1 millón de pesos genera unos intereses durante 6 meses de $150,000, qué tipo de interés se estaría aplicando si se estuviera aplicando el Cálculo de I nterés Simple?, ¿y el Cálculo de

a) Aplicando la fórmula del Cálculo de Interés Simple: I = Co * i * ti = 150,000 = 1,000,000 * i * 0.5 (interés y plazo en base anual)

Interés Compuesto?.

i = 150,000 / 500,000i = 0.3

b) Aplicando fórmula del Cálculo de Interés Compuesto:I = Co * ( ((1+ i) ^ t) – 1 )150,000 = 1,000,000 * ( ((1 + i) ^ 0.5) – 1)150,000 = 1,000,000 * ((1 + i) ^ 0.5) – 1,000,0001,150,000 = 1,000,000 * ((1 + i) ^ 0.5)1,150,000 / 1,000,000 = (1 + i) ^ 0.51.15 = (1 + i) ^ 0.5(1.15) ^ 2 = 1 + i1.322 = 1 + i

40

i = 0.322ENCONTRAR EL ERROR APLICANDO LAS FÓRMULAS EN

CALCULADORA FINANCIERA.

EJERCICIOS

EXAMEN. 1. GRAFICAR EL HORIZONTE DEL TIEMPO PARA CADA PROBLEMAREALIZAR LOS CÁLCULOS UTILIZANDO LAS FÓRMULAS PROGRAMADAS EN TU

CALCULADORACALCULADORA.1. Calcular los intereses que genera una inversión de $1 millón de pesos al 4.5%

anual en 28 días.2. Determinar los intereses que produce un pagaré de $10 millones con reinversión

de intereses a las tasa de 5% anual capitalizable cada 30 días durante 1 año.p3. Calcular cuánto acumularé al final de 3 meses si invierto $5 millones de pesos a

la tasa del 3.0 anual capitalizable cada 15 días.4. Cuántos son los intereses que genera la mesa de dinero con una inversión de

$40 millones a la tasa de 5.8% anual capitalizable mensualmente durante 1 año.5 C á t l é l fi l d 6 i i i t $12 ill d l t5. Cuánto acumularé al final de 6 meses si invierto $12 millones de pesos a la tasa

del 5.25% anual capitalizable cada 30 días.6. Cuánto son los intereses que generan $23 millones de pesos en un certificado

de depósito bancario a la tasa del 3.5% anual capitalizable cada 45 días durante6 meses?6 meses?

7. Calcular la cantidad acumulada al final de 1 año, si invertí $1 millón de pesos ala tasa del 5% anual, al período de 1 año.

8. Cuál es la tasa de interés que aplicó el banco al depositarme $35,000 mensualesde una inversión de $12 millones de pesos, capitalizable mensualmente.

41

de u a e s ó de $ o es de pesos, cap ta ab e e sua e te9. A qué tasa se invirtieron $14.5 millones de pesos si generaron $760,000 en un

año capitalizando cada 30 días?

7. Tasas de Interés

42


“Es el precio de losEs el precio de losrecursos financieros”

“Es el rendimiento de losl d lrecursos colocados o el

costo de los recursoscaptados”

Es un porcentaje que se aplica sobre los

capitales.

43


Tasa Nominal

nTasa Periódica

Tasa Efectiva

Tasa RealTasa Real

Tasa Equivalente

44

Tasa Equivalente


TASA NOMINALTASA NOMINALDefinición

“Es aquella tasa que se anuncia, que se publica de los productosque se publica de los productos,

servicios, instrumentos, papeles y valores financieros”

Es la tasa de interés pactada entre los usuarios del dinero. Su

expresión es anual, y siempre indica el período al cual se refiere

45

indica el período al cual se refiere la tasa.


TASA NOMINALTASA NOMINALEJEMPLOS

CETES a 7 días 5.30%CETES a 28 días 5.50%

PARELIVE a 21 días 3.75%MESA DE DINERO a 3 días 3 50%MESA DE DINERO a 3 días 3.50%

TN = Tasa Nominal

46


“E l t l l fl j d“Es el monto al cual un flujo de efectivo ó a una serie de flujos de efectivo crecerán a lo largo de un período determinado de tiempo

TASA PERIÓDICADefiniciónpe odo de e ado de e po

después de que se sujeten a un proceso de composición a una tasa

de interés determinada.”

“Es aquella Tasa Nominal que pertenece a determinado período

del horizonte del tiempodel horizonte del tiempo.

47


“Es el monto al cual un flujo de jefectivo ó a una serie de flujos de efectivo crecerán a lo largo de un período determinado de tiempo después de que se sujeten a un

TASA PERIÓDICAEJEMPLO


de interés determinada.” FÓRMULA:TP = Tasa PeriódicaTP = Tasa PeriódicaNDP = Número de Días del PeríodoTP = ( ( TN / 100 ) / NDP )

EJEMPLO:TN = 5% Anual paga intereses cada 30 días

48

30 díasTP = ( ( 5 / 100 ) / 30 ) = 0.001667%


TASA EFECTIVADefinición

“Es aquella Tasa Periódica que se CAPITALIZA “n” número de períodos en el horizonte del p

tiempo”

49


“Es el monto al cual un flujo de efectivo ó a una serie de flujos de efectivo crecerán a lo largo de un período determinado de tiempo después de que se sujeten a un

TASA EFECTIVAEJEMPLO

FÓRMULA:TEF = Tasa EfectivaNDP = Número de Días del Períododespués de que se sujeten a un

proceso de composición a una tasa de interés determinada.”

NDP = Número de Días del PeríodoHT = Horizonte de TiempoTEF = ( ((( 1 + (((TN / 100) / 360) * NDP)) ^ (HT / NDP)) – 1) * 100 )

EJEMPLO:Calcular la Tasa Efectiva del pagaré con rendimiento liquidable al vencimiento qdel 4.5% anual y los intereses se capitalizan cada 15 díasTN = 4.5% NDP = 15 díasTEF = ( ((( 1 + ((4 5 / 100) / 360 ) * 15)) ^ (360 /

50

TEF = ( ((( 1 + ((4.5 / 100) / 360 ) 15)) (360 / 15)) – 1) * 100 ) = 4.598379



TASA REALDefinición



“Es aquella Tasa Efectiva en determinados períodos del

horizonte del tiempo a la cual se le d t l i fl ió d ldescuenta la inflación de los

mismos períodos”

51


“Es el monto al cual un TASA REAL

FÓRMULA:TREAL = Tasa RealNDP = Número de Días del Período

flujo de efectivo ó a una serie de flujos de efectivo crecerán a lo largo de un período determinado de

TASA REALEJEMPLO

FINF = Factor de la Inflación = ( INF / 100 )FTEF = Factor de la Tasa Efectiva = ( TEF / 100 )TREAL = ( (( 1 + FTEF ) / ( 1 + FINF )) – 1) * 100

EJEMPLO:período determinado de tiempo después de que se sujeten a un proceso de composición a una

t d i t é

EJEMPLO:Calcular la Tasa Real anual del rendimiento del 5% anual capitalizable cada 7 días, con una inflación anual del 4.5%SOLUCIÓN:1 Calcular la Tasa Efectiva anual tomando en cuenta quetasa de interés

determinada.”1.Calcular la Tasa Efectiva anual, tomando en cuenta que la inflación es anual.2.Descontar el efecto de la inflación a la tasa efectivaTREAL = ( ((( 1 + ((( 5 / 100 ) / 360 ) * NDP ))^( HT / NDP )) – 1 ) * 100 )– 1 ) 100 )TEF = 5.124556%FTEF = 5.124556 / 100 = 0.05124556FINF = 4.5 / 100 = 0.045TREAL = ( (( 1 + 0 05124556 ) / ( 1 + 0 045 )) – 1 ) * 100

52

TREAL = ( (( 1 + 0.05124556 ) / ( 1 + 0.045 )) – 1 ) 100TREAL = 0.597661%



TASAS EQUIVALENTESDefinición



“Es aquella tasa que efectivamente es IGUAL pero que nominalmentees IGUAL pero que nominalmente

es DIFERENTE.”

53


“Es el monto al cual un TASAS

FÓRMULA:TASA EQUIVALENTETEQ = Tasa EquivalenteFTPA F t d l T P iódi A t lflujo de efectivo ó a una

serie de flujos de efectivo crecerán a lo largo de un período determinado de

TASAS EQUIVALENTES

EJEMPLO

FTPA = Factor de la Tasa Periódica ActualNDPA = Número de Días del Período ActualNDN = Número de Días del Período NuevoTEQ = ( ((((( 1 + FTPA )^( NDPN / NDPA )) – 1 ) / ( NDPN ) ) * 360 ) * 100período determinado de

tiempo después de que se sujeten a un proceso de composición a una

t d i t é

360 ) * 100

EJEMPLO:Calcular la Tasa Equivalente de CETES del 5% anual a 28 dí í d d it li ió d 7 dítasa de interés

determinada.”días, a un nuevo período de capitalización de 7 días.TNPA = 5%NDPA = 28 díasNDPN = ?FTP ( (( 5 / 100 ) / 360 ) * 28 )FTP = ( (( 5 / 100 ) / 360 ) * 28 )FTP = 0.003889N = 7 / 28 = 0.250000TEQ = ( ((((( 1 + 0.003889 )^( 0.25 )) – 1 ) / (7) ) * 360 ) * 100TEQ 4 992725

54

TEQ = 4.992725

8. Valor Futuro y Valor 8. Valor Futuro y Valor Presente

55

8. Valor Futuro y Valor Presente

“Es el monto al cual un flujo deVALOR FUTUROEs el monto al cual un flujo de efectivo ó a una serie de flujos de efectivo crecerán a lo largo de un período determinado de tiempo

O U U O“Es el monto al cual un flujo de

efectivo ó a una serie de flujos de efectivo crecerán a lo largo de un período determinado de tiempodespués de que se sujeten a un

proceso de composición a una tasa de interés determinada.”

período determinado de tiempo después de que se sujeten a un proceso de composición a una tasa de interés determinada.”

“Es el valor que se tendrá al final del período de tiempo después de

dpasar por un proceso de capitalización a una tasa de interés

determinada.”

56


FV = PV ( 1+i )nVALOR FUTUROFUTURO

Línea de Tiempo Horizonte de Tiempo

1 2 3 4 50 ?

p p

15%

-5,000 +

57

8. Valor Futuro y Valor PresenteProceso del Valor Futuro

Proceso aritmético cuyo propósito es determinar el

Procesode

propósito es determinar el valor final de un flujo de efectivo ó una serie de flujos

de efectivo cuando sede

Composición(Capitalización)

cuando se aplica un

interés compuesto


1 2 3 4 50

10%?

58

-1,000


VALOR PRESENTEVALOR PRESENTE“Es el valor que tendría hoy un flujode efectivo futuro ó una serie deflujos de efectivo sujeto a recibirseen períodos”en períodos .

59


PV = FV(1+i)n


25,500?

1 2 3 4 50

15%

60


“Es el proceso que se siguepara encontrar el ValorPresente de un flujo deProceso de efectivo o una serie de flujosde efectivo”Es lo opuesto al proceso decapitalización

Proceso de Descuento

capitalización.


1,000?

1 2 3 4 50

10%

“Tasa de costo de oportunidad”: es la tasa de rendimiento que se podría ganar b i i lt ti d i i il

61

sobre inversiones alternativas de riesgo similar.


Podemos partir del la fórmula de FV

nFV = PV ( 1+i )n

FV = (1+i)

n

n

Calcularla

Tasa

FVPV

= (1+i)

FV 1/nTasa FVPV

( )1/n

= (1+i)

FVPV

)1/n

- 1 = i(

62


FV = PV(1+i)nn

Calcularel

Tiempolog ( FV )

PV= log n( 1 + i )

FVPV( )log

log ( 1 + i )= n

log ( 1 i )

63


PV Valor presente, Valor inicial

Nomenclatura

i

n

Tasa de interés, i = I = Ki

INT

,

Importe de interésINT Importe de interés

FV Valor futuro ó Importe al final de n períodos

64

n Número de períodos que intervienen en el análisis


Procedimiento para resolver los Ejercicios

11 Solución numérica. (Calculadora ordinaria) = Fórmulas

2 Solución utilizando Calculadora Financiera

65

9. Anualidades

66

9. Anualidades

“Es una serie de pagosi l li diguales realizados aintervalos fijos e iguales detiempo a lo largo de unnúmero específico denúmero específico deperíodos.

IMPORTANTEEl té i lid dEl término anualidad se

usa aunque no siempre en períodos anuales de

tiempo.

67

Ej l d A lid d9. Anualidades

Ejemplos de Anualidades

INTERVALO ó PERÍODO DE PAGO: Tiempo que transcurre entreentre un pago y otro.p g y

PLAZO DE UNA ANUALIDAD: Tiempo que transcurre entre el inicioPLAZO DE UNA ANUALIDAD: Tiempo que transcurre entre el iniciodel primer pago y el final del último pago.

PMT, PAGO, RENTA, ETC: Es el pago periódico que se hace.

68

9. Anualidades

Si l Simples

Ci tTipos de

Anualidades

Ciertas

Vencidas Vencidas

Inmediatas Inmediatas

69

9. Anualidades ANUALIDADES.

SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS

FVA = PMT ( 1+i ) -1inn

SIMPLES, CIERTAS, VENCIDAS E INMEDIATAS.LAS MÁS COMUNES


Valor Futuro

1 2 3 4 5010% ?

1,000 1,000 1,000 1,000 1,000(1+i) 0

1 000 00( )(1+i)

(1+i)(1+i)

(1+i)

1

2

3

4

1,000.001,100.001,210.001,331.00

70

(1+i) 1,464.10TOTAL = 6,105.10ORDINARIAS O DIFERIDAS


SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS

PVA = PMT 1 - ( 1+i )i

n- n

SIMPLES, CIERTAS, VENCIDAS E INMEDIATAS.LAS MÁS COMUNES.


iValor Presente

10%? 1 2 3 4 50

1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

-2909.09826 45

(1+i)(1+i) -1

3826.45751.31683.01

(1+i)

(1+i)(1+i)

-3

-4

-5

71TOTAL=3,790.78

(1+i)620.92

ORDINARIAS O DIFERIDAS

9. Anualidades

Si l Simples

Ci tTipos de

Anualidades

Ciertas

Anticipadas Anticipadas

Inmediatas Inmediatas

72


FVA = PMT ( 1 + i ) -1i

n

n

( 1+i )

SIMPLES, CIERTAS, ANTICIPADAS E INMEDIATAS.VALOR FUTURO


10%?1 2 3 4 50

1,000 1,000 1,000 1,0001,000(1+i) 1

1 100 00( )(1+i)

(1+i)(1+i)

(1+i)

3

4

5

1,100.001,210.001,331.001,464.10

2

73PAGADERAS

(1+i) 1,610.57TOTAL =6,715.61


SIMPLES CIERTAS ANTICIPADAS E INMEDIATASPVA = PMT 1 - ( 1 + i )

in

-n

( 1+i )

SIMPLES, CIERTAS, ANTICIPADAS E INMEDIATAS.VALOR PRESENTE


10%? 1 2 3 40 5

1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

2

1,000.00909.09 (1+i) -1

-2909 09826.43751.31

(1+i)

(1+i)(1+i)

-3

-4

683 01

744,169.83 = TOTAL

( )683.01

PAGADERAS

N l t9. Anualidades

FVA Valor futuro de la anualidad

Nomenclatura

PVA

nValor presente de la anualidad

i Tasa de interési Tasa de interés

A lid dPMT Anualidad

75

n Número de períodos que intervienen en el análisis

10. Valor Presente Neto y TIR10. Valor Presente Neto y TIR

76

10. Valor Presente Neto y TIR

Definición

ExplicaciónUn proyecto de inversión es

l i l fl j d

VPN = Valor Presente Neto

Valor Presente Neto (VPN)Es la sumatoria del Valor Presenteaquel que involucra flujos de

ingresos, flujos de egresos ybusca maximizar las utilidades.Para evaluar proyectos de

Es la sumatoria del Valor Presentede los flujos netos menos lainversión.

inversión existen diversastécnicas. Nosotrosestudiaremos 2 que son:Básicas y Fundamentales.

VPN = - Inversión + [ VPFN (1) + VPFN (2) + VPFN (3) … ]

En el cálculo del Valor Presente esy En el cálculo del Valor Presente, esmuy importante identificar la tasade descuento ó tasa de costode oportunidad

77


Ejemplo: Calcular el Valor Presente del siguiente proyecto de inversión

Inversión $ 1,000,000FN (1) $ 500,000 La tasa de descuento ó de costo deFN (2) $ 570,000 oportunidad es del CETES * 3 = 21%FN (3) $ 600,000FN (4) $ 625 000FN (4) $ 625,000

VPN 1 000 000 [ (( 500 000 / ( 1 21 ) ((570 000) / ( 1 21 ^ 2 )) (( 600 000 )VPN = - 1,000,000 + -[ (( 500,000 / ( 1.21 ) + ((570,000) / ( 1.21 ^ 2 )) +(( 600,000 ) / ( 1.21 ^ 3 )) + (( 625,000 ) / ( 1.21 ^4))

VPN = - 1,000,000 + 413,223.1405 + 389,317.6696 + 338,684.3580 + 291,567.1126 ,000,000 3, 3 05 389,3 6696 338,68 3580 9 ,56 6VPN = $ 432,792.2807

78


Definición

TIR = Tasa Interna de Retorno

Es aquella tasa de interés que al utilizarse como tasa de descuento ótasa de costo de oportunidad, la sumatoria de los flujos netos aValor Presente menos la inversión produce un resultado igual a cero.

VPN = - Inversión + [ VPFN (1) + VPFN (2) + VPFN (3) + VPFN (4) … ]

TIR = - Inversión + [ ( FN (1) / ( 1 + TIR )) + [ ( FN (2) / (( 1 + TIR) ^ 2 ) + [ ( FN(3) / (( 1 + TIR) ^3) + [ ( FN (4) / (( 1 + TIR) ^4) + … ] = 0

79


Ejemplo: Calcular el Valor Presente del siguiente proyecto de inversión

Inversión $ 1,000,000FN (1) $ 500,000 La tasa de descuento ó de costo deFN (2) $ 570,000 oportunidad es del CETES * 3 = 21%FN (3) $ 600,000FN (4) $ 625 000FN (4) $ 625,000

TIR = - 1,000,000 + [ ( 500,000 / (1 + 0.41872907 )) + ( 570,000 / (( 1 +0.41872907 ^ 2 )) + ( 600,00 / (( 1 + 0.41872903) ^ 3 )) + ( 625,000 / (( 1 +0.41872903 ^ 4 )) ] = 0

80

11. Tablas de Amortización

81

11.1. Tablas de Amortización. Créditos con Pagos Decrecientes, Amortizaciones Parciales e iguales de Capital e Intereses

Este tipo de créditos se amortiza con reducciones parciales iguales de capital.

Amortizaciones Parciales e iguales de Capital e Intereses Decrecientes.

Fórmula para calcular las amortizaciones:AMT = Co / nCo: Capital Inicial del Crédito. n: Número de periodos.Co: Capital Inicial del Crédito. n: Número de periodos.

Fórmula para calcular el saldo:S = Co - CA CA = Capital Amortizado = ∑AM

Fórmula para calcular los intereses:I = S * TP I = Intereses S = Saldo

TP = Tasa Periódica

Fórmula para calcular el pago periódico:PMT = AMT + I

82

El pago es decreciente, ya que la amortización es constante pero el importe de los intereses va disminuyendo.

11.1.Tablas de Amortización. Créditos con Pagos Decrecientes, Amortizaciones Parciales e iguales de Capital e InteresesAmortizaciones Parciales e iguales de Capital e Intereses Decrecientes.

CAPITAL $ 650,000.00

NÚMERO DE PERÍODOS 12

TASA NOMINAL ANUAL 17.88%

TABLA DE AMORTIZACIÓN

NO PER PAGO INTERÉS AMORTIZACIÓN SALDO

0 6500000 650000

1 $ 170,386.67 $116,220.00 $ 54,166.67 $595,833.33

2 $ 160,701.67 $106,535.00 $ 54,166.67 $541,666.67

3 $ 151,016.67 $ 96,850.00 $ 54,166.67 $487,500.00

4 $ 141,331.67 $ 87,165.00 $ 54,166.67 $433,333.33

5 $ 131,646.67 $ 77,480.00 $ 54,166.67 $379,166.67

6 $ 121,961.67 $ 67,795.00 $ 54,166.67 $325,000.00

7 $ 112,276.67 $ 58,110.00 $ 54,166.67 $270,833.337 $ 112,276.67 $ 58,110.00 $ 54,166.67 $270,833.33

8 $ 102,591.67 $ 48,425.00 $ 54,166.67 $216,666.67

9 $ 92,906.67 $ 38,740.00 $ 54,166.67 $162,500.00

10 $ 83,221.67 $ 29,055.00 $ 54,166.67 $108,333.33

83

11 $ 73,536.67 $ 19,370.00 $ 54,166.67 $ 54,166.67

12 $ 63,851.67 $ 9,685.00 $ 54,166.67 $ -

PMT = AMT + I I = S*TP AMT = Co / n S = Co - CA

11.2. Tablas de Amortización. Créditos con Pagos Iguales, A ti i C i t I t D i tAmortizaciones Crecientes e Intereses Decrecientes.

PVA = PMT 1 - ( 1+i )i

nValor Presente- n

84

11.2. Tablas de Amortización. Créditos con Pagos Iguales, A ti i C i t I t D i tAmortizaciones Crecientes e Intereses Decrecientes.

CAPITAL $ 650,000.00

NÚMERO DE PERÍODOS 12

TASA NOMINAL ANUAL 17.88%

PAGO ANUAL -$134,967.72

………….…...=PAGO(0.1788,12,650000,0,0)

TABLA DE AMORTIZACIÓN

NO PER PAGO INTERÉS AMORTIZACIÓN SALDONO PER PAGO INTERÉS AMORTIZACIÓN SALDO

0 650000

1 134967.72 $116,220.00 $ 18,747.72 $631,252.28

2 134967.72 $112,867.91 $ 22,099.81 $609,152.47

3 134967.72 $108,916.46 $ 26,051.26 $583,101.21

4 134967.72 $104,258.50 $ 30,709.22 $552,391.99

5 134967.72 $ 98,767.69 $ 36,200.03 $516,191.95

6 134967.72 $ 92,295.12 $ 42,672.60 $473,519.35 $ , $ , $ ,

7 134967.72 $ 84,665.26 $ 50,302.46 $423,216.89

8 134967.72 $ 75,671.18 $ 59,296.54 $363,920.35

9 134967.72 $ 65,068.96 $ 69,898.76 $294,021.59

10 13496 2 $ 2 1 06 $ 82 396 66 $211 624 93

85

10 134967.72 $ 52,571.06 $ 82,396.66 $211,624.93

11 134967.72 $ 37,838.54 $ 97,129.18 $114,495.75

12 134967.72 $ 20,471.84 $ 114,495.88 -$ 0.13

matemáticas financieras

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