matemáticas financieras

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAUNAD FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MATEMATICAS FINANCIERAS ARTURO ROSERO GÓMEZ BOGOTA – COLOMBIA 2005

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Page 1: Matemáticas Financieras

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA­UNAD

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

MATEMATICAS FINANCIERAS

ARTURO ROSERO GÓMEZ

BOGOTA – COLOMBIA 2005

Page 2: Matemáticas Financieras

2

COMITÉ DIRECTIVO

Jaime Alberto Leal Afanador Rector

Roberto Salazar Ramos Vicerrector Académico

Sheifar Ballesteros Moreno Vicerrector Administrativo y Financiero

Maribel Córdoba Guerrero Secretaría General

Edgar Guillermo Rodríguez Director de Planeación

La edición de este módulo estuvo a cargo de la Facultad de Ciencias Administrativas de la UNAD.

Decano: Roque Julio Rodríguez Parra

MODULO CURSO COMPONENTE DISCIPLINAR @Copy Rigth Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD

Isbn 2005­10­30

Page 3: Matemáticas Financieras

3

Centro Nacional de Medios CONTENIDO

Pág.

Presentación 6

Introducción 8

UNIDAD DIDACTICA UNO

COSTO DEL DINERO EN EL TIEMPO 10

Explorando conocimientos previos 11

Capítulo Uno. Interés 12

1. Interés 13

1.1 Conceptos 13

1.1.1 Concepto de interés 13

1.1.2 Concepto de interés simple 14

1.1.3 Concepto de interés compuesto 25

1.2 Tasas de interés 34

1.2.1Tasa de interés nominal 34

1.2.2 Tasa de interés efectiva 35

1.2.3 Conversión de tasas 42

Ejercicios para profundización de las temáticas 55

Capitulo Dos. Equivalencias con cuotas fijas 58

2. Equivalencias con cuotas fijas 59

2.1 Cuotas fijas vencidas 59

2.1.1 Equivalencias entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas vencidas

59

2.1.2 Equivalencias entre un valor presente y una serie de cuotas fijas vencidas

60

2.2 Cuotas fijas anticipadas 61

2.2.1 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas anticipadas

61

2.2.2 Equivalencia entre un valor presente y una serie de cuotas fijas anticipadas

61

Page 4: Matemáticas Financieras

4

2.2.3 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas vencidas con interés anticipado

62

Capitulo Tres. Equivalencias con cuotas variables 64

3. Equivalencias con cuotas variables 65 3.1. Gradientes 65 3.1.1 Gradiente Aritmético 65 3.1.2 Gradiente Geométrico 69 3.2. Equivalencia entre un valor presente y un Gradiente 70 3.2.1 Equivalencias entre un valor presente y un Gradiente

Aritmético 70

3.2.2 Gradiente Aritmético Creciente 72 3.2.3 Gradiente Aritmético Decreciente 74 3.2.4 Equivalencia entre un valor presente y un Gradiente

Geométrico 76

3.3 Amortizaciones 78 3.3.1Tablas de amortización 78 3.3.2 Perpetuidades 90 Ejercicios para profundización de las temáticas 92 UNIDAD DIDACTICA DOS EVALUACION DE ALTERNATIVAS DE INVERSION

94

Actividades de exploración de conocimientos previos 95

Capitulo Uno. Clases de evaluaciones y criterios de decisión 96

1. Clases o tipos de evaluaciones 97

1.1 Evaluación de proyectos sociales 97

1.1.1 Características 97

1.1.2 Relación Beneficio/Costo 98

1.1.3 Costo Capitalizado 98

1.2 Criterios para evaluar proyectos de inversión 103

1.2.1Tasa de descuento 103

1.2.2 Costo promedio Ponderado de Capital­WACC 104

1.2.3 Valor Presente Neto –VPN 105

1.2.4 Relación Valor Presente de los de los ingresos/ egresos 106

1.2.5 Tasa interna de Retorno –TIR 106

1.2.6 Costo Anual Uniforme Equivalente ­CAUE 109

Page 5: Matemáticas Financieras

5

2. Análisis de Riesgos en los proyectos de inversión 112

2.1 Sistemas de Análisis 113

2.1.1 Distribución Beta 2 13

2.1.2 Distribución Beta 120

Capítulo Tres. Alternativas Mutuamente Excluyentes y no Excluyentes

126

3.1 Alternativas Mutuamente Excluyentes 127

3.1.1 Comparación de alternativas 127

3.1.2 Tasa Verdadera 129

3.1.3 Tasa Ponderada 133

3.1.4 Sensibilidad de los proyectos a diferentes tasas de descuento 136

3.1.5 Proyectos con vidas diferentes 139

Ejercicios para profundización de las temáticas 141

3.2. Racionamiento de Capital 146

3.2.1 Modelo de Optimización 146

3.2.2 Planteamiento del Modelo 146

Ejercicios para la profundización de las temáticas 154

Apéndice. Sistema de financiación con UVR 155

Bibliografía y Cibergrafìa 165

Page 6: Matemáticas Financieras

6

PRESENTACION

La nueva Universidad Nacional Abierta y a Distancia­ UNAD, recorrió presurosa toda su historia; inició un proceso de reflexión que por principio se convirtió en permanente y con base en las realidades detectadas mediante el proceso de “planificación estratégica, prospectiva y situacional”, estructuró un conjunto de transformaciones que la asoman al siglo XXI como la fuente dinamizadora del desarrollo del país y de la región. Por eso y por sus innovaciones organizacionales la UNAD de hoy es una organización inteligente, es decir, una organización que aprende.

Desde esta perspectiva, la nueva UNAD redefinió su misión y su accionar cada vez es más coherente con ella y mediante su pedagogía propia de la metodología de la educación abierta y a distancia ofrecerá oportunidades tangibles a los colombianos mas vulnerables, para ingresar a la educación superior contribuyendo efectivamente a la educación para todos.

La implementación de las tecnologías de la información y de la comunicación, TIC’s, la ponen más cerca del nuevo paradigma educativo mundial, de conformar redes interactivas con todas las comunidades y organizaciones nacionales e internacionales interesadas en gestar procesos de crecimiento individual y colectivo. Y los cambios e innovaciones que viene adelantando la pondrán a la vanguardia, en el siglo XXI, de la Educación Abierta y a Distancia.

La producción de material didáctico hace parte de los cambios estructurales que se vienen dando; es una de las actividades docentes; aquí es donde se tiene la gran oportunidad de actualizar y contextualizar las temáticas de los cursos académicos; planear, diseñar y actualizar los currículos y operacionalizar el modelo planteado desde el Proyecto Académico Pedagógico­PAP­ por el cual se orienta la institución. En consecuencia ­como lo expone el PAP­ el material didáctico tiene como fin apoyar el trabajo académico del aprendiente, mediante la planificación de los procesos de aprendizaje, acorde con las competencias e intencionalidades formativas propuestas en los cursos académicos que componen los campos de formación de un programa.

El módulo que se presenta hace parte del material didáctico correspondiente al Curso Académico de Matemáticas Financieras en el Ciclo Tecnológico del Programa de Administración de Empresas. Es un rediseño al texto escrito por el Doctor Jorge S. Rosillo C. y editado por la UNAD en 2002. Se tomó esta decisión con base en el levantamiento del estado del arte del material que se venia trabajando hasta enero de 2005, en consecuencia se determinó que el texto del Doctor Rosillo además de presentar las temáticas correlacionadas con el currículo

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del programa académico, está planteado desde lo básico hasta lo más complejo, elemento esencial en el diseño de material didáctico.

El producto resultante de esta mediación, tiene en cuenta los elementos estructurales del material didáctico; por tanto está organizado de tal manera que, conjuntamente con la Guía Didáctica, sirva como soporte pedagógico al curso de Matemáticas Financieras, el cual esta estructurado por el sistema de créditos académicos. Como material didáctico, su intencionalidad es apoyar el trabajo académico de los aprendientes y el trabajo tutorial en función del aprendizaje y el desarrollo cognitivo y metacognitivo de los aprendientes, en correlación con las intencionalidades formativas del curso.

En atención a que el nuevo ordenamiento mundial está provocando nuevas dinámicas en la economía; que la cultura, la comunicación y el mercado están en un proceso de globalización acelerado y que las matemáticas financieras evolucionan constantemente en la medida en que cambian los escenarios sobre los cuales actúan, serán bien venidas las sugerencias y los aportes de estudiantes, tutores y cualesquiera personas que quieran contribuir para el mejoramiento de este material, tanto en lo temático como en lo pedagógico, didáctico y metodológico.

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INTRODUCCIÓN

El administrador de empresa puede desenvolverse profesionalmente en el nivel operativo de la organización aplicando las cuatro funciones principales de la administración: planeación, organización, dirección y control; en el nivel medio como jefe de departamento o en la toma de decisiones a nivel institucional. En los tres niveles se encarga de que los recursos sean productivos y contribuyan al logro de las metas corporativas.

La comprensión, interpretación y aplicación de los conceptos propios de las matemáticas financieras le permiten al aprendiente el desarrollo de habilidades en el manejo de las herramientas financieras que le permitirán en el ejercicio profesional proponer con argumentos sólidos alternativas de solución a las problemáticas se presenten y que tengan que ver con la toma de decisiones sobre evaluación de alternativas de inversión o de uso y aplicación de recursos financieros.

Entre las posibilidades inmediatas de aplicación de las diferentes herramientas financieras apropiadas mediante el estudio juicioso de las temáticas que conforman el presente módulo, se encuentran: el Proyecto de Desarrollo Empresarial (PDE) objeto del trabajo de grado y en la resolución de problemas prácticos que se identifiquen en las actividades de proyección y apoyo a la comunidad en que se desenvuelven los aprendientes. Este es la mayor atractivo del estudio de esta rama del las matemáticas aplicadas.

Además de las competencias básicas, se pretenden desarrollar otras complejas y transversales que permitan al estudiante, identificar, apropiar y transferir los conceptos y las herramientas financieras aplicables en el análisis y evaluación de proyectos de inversión y aplicar ese conocimiento en situaciones de toma de decisiones en su gestión como empresario, como responsable del área financiera de una organización o como miembro activo de su comunidad.

El presente módulo conjuntamente con la guía didáctica (protocolo académico y guía de actividades), conforman el material didáctico que apoyará el trabajo académico del aprendiente en el estudio del curso y con el propósito particular de presentar la información en forma inteligible, está escrito en un lenguaje simple, sin apartarse del léxico técnico pertinente a las cuestiones financieras.

En atención a que el curso, curricularmente responde a dos crédito académicos, coherentemente el módulo se compone de dos unidades didácticas: 1. Costo del dinero en el tiempo; 2. Evaluación de alternativas de inversión. La primera unidad la constituyen tres capítulos, los cuales contienen las temáticas relacionadas con el manejo del dinero, tratado como mercancía y de lo cual se encargan sustancialmente las matemáticas financieras; la segunda unidad integra otros tres capítulos que tratan los temas que permiten la toma de decisiones sobre la

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viabilidad o no de un proyecto y la elección de la alternativa más conveniente y rentable para el uso de los fondos de las organizaciones.

La metodología propuesta para lograr los objetivos esperados se orienta al autoaprendizaje, a través de la lectura con propósito de las temáticas, para lo cual se recomienda desarrollar la estrategia SQA dispuesta al inicio de cada unidad; resolver los ejercicios propuestos para la profundización de las temáticas y la aplicación inmediata en el PDE o en casos prácticos para la solución de problemas en la comunidad.

Como se anotó anteriormente, este material viene acompañado de la guía didáctica, la cual además de la información sobre las características del curso académico contiene la guía de actividades con los elementos metodológicos de evaluación y seguimiento del proceso de aprendizaje del curso.

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UNIDAD UNO

COSTO DEL DINERO EN EL TIEMPO

Justificación

Con el estudio de esta unidad el aprendiente apropiará una serie de conceptos como: interés, interés simple, interés compuesto, tasas de interés; asimismo comprenderá el principio de equivalencia financiera y conocerá la manera de realizar todas las conversiones posibles entre las diferentes tasas de interés.

Objetivo General

A partir de su reconocimiento y aplicación en casos prácticos, deducir las fórmulas de interés simple e interés compuesto y establecer los parámetros para su aplicación en las cuestiones financieras.

Objetivos específicos

• Deducir las fórmulas de interés simple e interés compuesto • Encontrar una tasa de interés efectiva equivalente a una tasa de

Interés nominal dada o viceversa. • Hallar sumas futuras y presentes equivalentes a una serie de pagos • Establecer los parámetros que permitan la liquidación de intereses sobre

saldos mínimos • Encontrar los parámetros que permitan calcular las sumas presentes

equivalentes a una serie de cuotas que crecen o decrecen en forma lineal • Determinar una expresión matemática que el cálculo del valor de la primera

cuota para con base en el sistema de amortización se pueda calcular las restantes

• Elaborar tablas y gráficas de amortización de amortización para sistemas de amortización diferentes

Page 11: Matemáticas Financieras

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El desarrollo de esta actividad permite indagar los conocimientos que se tiene sobre los contenidos a estudiar, de tal forma que facilita la recepción de la nueva información y genera mayor comprensión de las temáticas.

Después de inspeccionar ligeramente la unidad y sin adelantar la lectura contestar las siguientes preguntas y registrarlas en la primera columna del cuadro 1. “SQA”.

¿Qué SE acerca de?

¿Interés; Interés simple; interés compuesto; tasas de interés; tasa de interés nominal; tasa de interés efectiva, crédito con cuotas fijas; crédito con cuotas variables; amortización de créditos?

Una vez realizada la reflexión sobre los vacíos encontrados al tratar de responder los interrogantes anteriores, consignar en la columna dos del cuadro 1 “SQA”, lo que se desea conocer sobre los temas tratados. Así se resuelve la pregunta:

¿Qué Quiero Saber?

Después de abordar la lectura de los contenidos; analizar los ejemplos; resolver las actividades de profundización y de socializar las temáticas con los demás estudiantes del curso, se debe completar el cuadro “SQA” registrando en la tercera columna el conocimiento nuevo, construido mediante el estudio de la unidad. El registro de los logros, responde la pregunta:

¿Qué Aprendí?

Cuadro 1 “SQA”

¿QUÉ SÉ QUÉ QUIERO SABER QUÉ APRENDÍ

Saberes previos: Meas de aprendizaje: Logros: nuevo conocimiento

Qué se sobre…..?

ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN DE CONOCIMIENTOS PREVIOS

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CAPITULO UNO

INTERÉS

Justificación

Una vez el aprendiente haya terminado el estudio de este capítulo estará en capacidad de comprender el concepto del valor del dinero respecto del tiempo y de manejar los diagramas de tiempo para analizar los problemas de índole financiero y realizar los cálculos para las operaciones financieras

Objetivo General

A partir del reconocimiento y profundización de las temáticas el estudiante debe deducir las fórmulas de interés simple e interés compuesto y encontrar una tasa de interés efectiva equivalente a una tasa de Interés nominal dada o viceversa.

Objetivos específicos

• Establecer las diferencias precisas entre las diferentes clases de interés • Interpretar los diagramas económicos • Calcular operaciones financieras con interés simple e interés compuesto • Definir e interpretar el concepto de tasa de interés • Calcular la tasa de interés efectiva a partir de la tasa nominal y viceversa • Calcular el interés real en el año

Page 13: Matemáticas Financieras

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El concepto de acumulación tuvo su origen en la sociedad artesanal, la cual se caracterizó por la división del trabajo; esta sociedad estaba formada por carpinteros, panaderos, alfareros, herreros, albañiles, ganaderos, agricultores, etc. Quienes no solamente producían para su consumo, sino que generaban excedentes, lo que les permitía intercambiar otros productos para satisfacer sus necesidades de alimentación, vivienda, vestuario y educación.

Por ejemplo, el productor de papa sólo satisfacía parte de su necesidad de alimento y para que el producto de su trabajo le sirviera como medio de vida, debía intercambiar sus excedentes por otros productos, debía buscar otro individuo que estuviera interesado en adquirir su producto. Se requería la existencia de una necesidad recíproca para poder realizar el intercambio, sin ella era imposible realizar la transacción; una vez se encontraban los dos individuos se debía fijar cuántas unidades del producto “A” serían necesarias para adquirir el producto “B”, la relación entre la cantidad de un producto que se entrega para obtener una unidad del otro, es el precio de un bien expresado en unidades del otro bien.

1.1 CONCEPTOS

1.1.1 Concepto de Interés

El concepto de interés tiene su origen en las transacciones que realizan dos o más actores por el intercambio de bienes y servicios.

La necesidad de intercambiar de los individuos para satisfacer sus necesidades y las limitantes del intercambio que generaba la “necesidad recíproca”, fue haciendo germinar el establecimiento de un bien que fuera aceptado por todos para negociar. Inicialmente, este bien fue el ganado y servía para expresar el precio de cualquier transacción; poco a poco fueron surgiendo otros productos, el oro y la plata que se usaron como dinero cumpliendo funciones de unidad de valor y medio de cambio desplazando a otros sistemas de cambio por su fácil manejo hasta llegar a nuestro días con el papel moneda de aceptación universal, como instrumento de intercambio.

De la misma forma que en la sociedad artesanal se producían excedentes para poder intercambiar, en la sociedad contemporánea los excedentes de dinero de

1. INTERÉS

En la sociedad primitiva los seres humanos se autoabastecían: generalmente el hombre salía a cazar o pescar para conseguir alimento o vestido y la mujer se dedicaba a cuidar el fuego y a recoger frutos; no se cazaba más de lo que se consumía.

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los individuos que no se consumen se llaman AHORRO, los cuales pueden invertirse o cederse a otros en el instante del tiempo que los soliciten para satisfacer sus necesidades. El costo o el rendimiento de estas transacciones se llama INTERÉS.

Partamos de un ejemplo para fundamentar este concepto: supongamos que tenemos dos personas que tienen el mismo dinero para invertir y ambos son comerciante, el dinero disponible de cada uno de ellos es de $10 millones, pero tienen diferentes negocios; el primero de ellos se llama Linda Plata, es joyera e importa joyas de Panamá y el segundo es don Armando Rico, quien ofrece al mercado perfumes importados de Francia.

Mensualmente estos individuos adquieren $10.000,000 en mercancías, pero los dos obtienen resultados diferentes. Doña Linda obtiene una ganancia de $300.000 en el mes y don Armando $500,000 en el mismo lapso de tiempo. Observemos que teniendo la misma inversión reciben beneficios diferentes, podemos definir entonces el INTERÉS como la utilidad que se tiene sobre una inversión en “X” tiempo, o sea:

Siendo el interés del comerciante en joyas = 300,000 / 10,000,000 = 3% mensual

y el interés del comerciante en perfumes =500,000 / 10,000,000 = 5% mensual.

Dado el caso de que una tercera persona, por ejemplo Justo Sin Plata, necesite $10,000,000 y se los solicite a don Armando, éste se los cedería solamente si le reconoce una tasa de interés igual a la que le rinden sus inversiones, es decir, al 5% mensual; de aquí nace otro concepto conocido con el nombre de TASA DE INTERÉS DE OPORTUNIDAD que quiere decir que cualquier inversionista está dispuesto a ceder su dinero, si se le reconoce una tasa de interés igual o superior a la que rinden sus inversiones.

1.1.2 Concepto de Interés Simple

Siendo el interés la utilidad sobre la inversión, se puede tomar el ejemplo anterior en el cual el comerciante en joyas doña Linda Planta de Rico, gana mensualmente $300,000 con $10,000,000 invertidos; si continuamos su análisis indefinidamente, es decir, mes a mes, el resultado es el siguiente:

Utilidad Interés =

Inversión

Page 15: Matemáticas Financieras

15

MES DINERO INVERTIDO

GANANCIA DINERO ACUMULADO

1 2 3 . . N

$10,000,000 $10,000,000 $10,000,000

$10,000,000

$300,000 $300,000 $300,000

$300,000

$10,300,000 $10,600,000 $10,900,000

Si:

Utilidades = 3% x $10.000,000 = $300,000 en cada período, para este caso cada mes.

Lo anterior se puede presentar simbólicamente de la siguiente forma:

Dinero invertido = P Tasa de Interés = i

MES DINERO INVERTIDO UTILIDADES

1 2 3 . .

n

P P P

P

Pi Pi Pi

Pi

Lo anterior quiere decir que doña Linda Plata de Rico tiene unas utilidades (Pi) por período y si quiere saber cuántas utilidades ha generado su inversión desde el momento en que la realizó, simplemente deberá multiplicar las utilidades de cada período por el número de ellos transcurridos a la fecha, desde el momento en que realizó la inversión.

Utilidad Interés =

Inversión

Utilidad = Inversión x Tasa de interés Utilidad = Pi

Page 16: Matemáticas Financieras

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Generalizando a n los períodos, se tendrían en este punto unas utilidades acumuladas Pin y el total de dinero acumulado sería igual a la inversión inicial más las utilidades acumuladas; a esta suma se le conoce con el nombre de MONTO o VALOR FUTURO y en términos simbólicos se representa de la siguiente forma:

P = Valor de la inversión ó valor actual F = Valor futuro N = Número de períodos % i = Tasa de interés

Nótese que en el ejemplo doña Linda Plata, no reinvirtió las ganancias sino siempre invirtió la misma cantidad ($10 millones); es decir, cuando no hay reinversión de las utilidades se conoce con el nombre de inversiones a INTERÉS SIMPLE.

Ejemplo 1

¿Cuánto dinero acumularía Juan Pérez dentro de 5 años, si invierte hoy

$4.000.000 a una tasa de interés simple del 3% mensual?

El primer paso para resolver el problema planteado es elaborar un diagrama de flujo de la siguiente manera: Considerar los ingresos de dinero con una flecha hacia arriba y los desembolsos con una flecha hacia abajo, en una escala de tiempo que pueden ser años, semestres, meses, días. La escala de tiempo debe estar expresada en el mismo período que está expresada la tasa de interés; en el ejemplo la tasa de interés está expresada en meses, por lo tanto los 5 años se deben convertir a meses, o sea 60 meses.

F = P + Pin

F = inversiones + Utilidades Acumuladas

F = p (1 + in)

Page 17: Matemáticas Financieras

17

F = P (1 + in)

F= 4,000,000(1 + 0.03 (60))

F= 11,200,000

Lo anterior quiere decir que don Juan Pérez se ganó $7,200,000 en los 5 años y adicionalmente tiene el dinero que invirtió o sea $4,000,000.

SUPUESTO: El inversionista no hace ningún retiro de dinero en el lapso de tiempo considerado.

Ejemplo 2

Armando Rico recibió hoy $3,450,000 del Banco de Bogotá por una inversión que realizó hace tres semestres; si la tasa de interés es del 2% mensual, ¿cuánto dinero invirtió don Armando?

Como se explicó anteriormente, el punto de partida es realizar el gráfico o flujo de caja correspondiente; el problema quedaría planteado así:

En razón a que la tasa es mensual se deben expresar los tres semestres en meses, para que los elementos estén en la misma base.

1 = 3% mensual F

60 meses P = 4.000.000

0

P

1=2% mensual F = 3.450.000

18 meses = 3 Semestres

Page 18: Matemáticas Financieras

18

Reemplazando en la ecuación que relaciona estas variables se tiene:

F = P (1 + in)

F = $3.450.000 porque en este valor se consolidan la inversión y las utilidades

I = 2% mensual

N = 3 semestres = 18 meses

Entonces,

3,450,000 = P (1 + 2% (18))

3,450,000 = P (1 + 0.36)

P = 3,450,000 / (1.36)

P = $2,536,764.71

Este es el valor que invirtió don Armando hace 18 meses.

Ejemplo 3

Patricia Fernández recibió un préstamo de $3,000,000, que debe paga en 18 meses; si al final del plazo debe cancelar $3,850,000, calcular tasa de interés simple del préstamo.

P = 3.000.000

18 meses

F = 3,850,000 0

Page 19: Matemáticas Financieras

19

Nótese que se dibujaron los $3,000,000 con una flecha hacia arriba, puesto que se está tomando como referente a Patricia Fernández; al recibir el dinero del préstamo tienen un ingreso y cuando cancela el crédito ella tiene un desembolso, por lo cual se dibuja con una flecha hacia abajo.

Si se toma como referente el prestamista, el gráfico sería el siguiente:

Reemplazando los datos de la ecuación se tiene:

F = P (1 + in)

3,850,000 = 3,000,000 (1 + i% (18))

3,850,000/3,000,000= (1 + i18)

1.2833 – 1 = i18

i = 0.2833/18 i = 0.015740

Expresándolo en términos porcentuales se tiene,

I = 1,5740% mensual simple.

0

P = 3.000.000

F = 3.850.000

18 meses

Page 20: Matemáticas Financieras

20

Ejemplo 4

Armando Mendoza recibió un préstamo de $7,000,000 de Beatriz Pinzón Solano, si canceló $10,500,000 y la tasa de interés fue del 2% mensual simple, calcular, ¿cuál fue el plazo del préstamo?

Gráfico para Armando Mendoza

Gráfico para Beatriz Pinzón Solano

Reemplazando en la ecuación se tiene:

F = P (1 + in)

10,500,000 = 7,000,000 (1 +(2%)n)

10,500,000/7,000,000 = 1 + 2%n; 2% = 0.02

1.5 – 1 = 0.02n

P = 7.000.000 1 = 2% mensual

F = 10.500.000 0

0

P = 7,000,000

i = 2% mensual

F = 10.5000.000

Page 21: Matemáticas Financieras

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0.5 = 0.02n

0.5/0.02 = n

n = 25 meses

Nótese que la tasa de interés se expresó en meses porque está dada en meses.

Ejemplo 5

Sofía Vergara recibió un préstamo del Banco Santander que debe pagar de la siguiente forma: $3,000,000 dentro de 6 meses, $4,000,000 dentro de un año y $5,000,000 en año y medio.

Si la tasa de interés es del 10% semestral simple, determinar, ¿cuánto dinero le prestó el Banco Santander a Sofía? Recordando que los períodos del plazo deben estar en el mismo período que la tasa de interés, se tiene:

6 meses = un semestre

Un año = dos semestres

Año y medio = tres semestres

Gráfico para el Banco Santander

0

P

3.000.000

1

4.000.000 5.000.000

3 Semestre 2

i = 10% semestral

Page 22: Matemáticas Financieras

22

Gráfico para Sofía Vergara

Observando el gráfico y el planteamiento del problema, se tiene una concepción diferente a la tratada en los ejemplos anteriores en los cuales se tenía un solo ingreso y un solo pago o viceversa. Este ejemplo plantea tres desembolsos en el futuro para el caso de Sofía. La solución de este tipo de problema se basa en el mismo concepto, simplemente se analiza cada ingreso o desembolso en el futuro de manera independiente.

Cada pago se hace Sofía, se considera dentro del toral de la cuota una parte correspondiente a intereses y otra un abono al préstamo. Para el Banco Santander, los intereses serían las utilidades y el abono al préstamo una devolución de una parte de la inversión. Este concepto es congruente con la definición de valor futuro, como el consolidado de la inversión más las utilidades explicado al principio de este capítulo; en este caso las utilidades y la inversión se devolverán al Banco en tres pagos y no en uno.

F = P (1 + in)

P = F/(1 + in)

Analizando cada pago independiente se tiene:

Pago 1 = P1 = 3,000,000/(1 + 0.10 (1)) = $2,727,272.73

Pago 2 = P2 = 4,000,000/(1 + 0.10 (2)) = $3,333,333.33

Pago 3 = P3 = 5,000,000/(1 + 0.10 (3)) = $3,846,153.85

i = 10% semestral

0 1 2 3 Semestre

P 3,000,000

4,000,000 5,000,000

Page 23: Matemáticas Financieras

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Por lo tanto el valor del préstamo sería:

P1 = P1 + P2 + P3

P2 = 2,727,272.73 + 3,333,333.33 + 3,846,153.85

P3 = $9,9060759.91

Ejemplo 6

Natalia París desea realizar un viaje por el continente europeo de un año y se propone el siguiente plan de ahorros para realizar su sueño: hoy, ahorra $1,000,000; dentro de tres meses, ahorrará $1,000,000; dentro de un semestre, ahorrará $1,500,000 y dentro de 10 meses, ahorrará $1,700,000.

¿Cuánto dinero tendrá exactamente dentro de un año, si la tasa de interés que le paga el Banco es del 1% mensual simple?

Gráfico para Natalia

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

i = 1% mensual, 1% = 0.01

Se debe recordar que los desembolsos o ingresos deben estar expresados en el mismo período de tiempo que la tasa de interés.

Retomando el ejemplo anterior, cada ahorro o inversión se trata de manera independiente por lo tanto se tiene:

Ahorro o inversión #1 = F1

Ahorro o inversión #2 = F2 Ahorro o inversión #3 = F3

meses

1,700,000 1,500,000

1,000,000 1,000,000

F = ?

Page 24: Matemáticas Financieras

24

Ahorro o inversión #4 = F4

La inversión o ahorro de $1,000,000 que hace en el período #1 dura exactamente en el banco 12 meses, por lo tanto n = 12.

F1 = P1 (1 + in)

F1 = 1,000,000 (1 + 0.01(12)) = $1,120,000

La inversión o ahorro de $1,000,000 que hace en el período #3 dura exactamente en el banco 9 meses (12 meses­3meses), por tanto n = 9.

F2 = P2 (1 + in)

F2 = 1,000,000 (1 + 0.01(9)) = $1,090,000

La inversión o ahorro de $1,500,000 que hace Natalia en el período #6 dura exactamente en el banco 6 meses (12 – 6 meses), por lo tanto n = 6.

F3 = P3 (1 + in)

F3 = 1,500,000 (1 + 0.01(6) = $1,590,000

La inversión o ahorro de $1,700,000 que hace en el período #10 dura exactamente en el banco 2 meses (12 meses – 10 meses), por lo tanto n = 2. F4 = P4 (1 + in)

F4 = 1,700,000 (1 + 0.01(2)) = $1,734,000

Por lo tanto, el dinero que tendría acumulado Natalia París dentro de un año será:

F = F1 + F2 + F3 + F4

F = $5,534,000

Page 25: Matemáticas Financieras

25

1.1.3 Concepto de Interés Compuesto

En el caso de interés simple se consideró que las ganancias eran iguales para todos los períodos, puesto que la inversión permanecía constante. Cuando se trata de interés compuesto, las utilidades no son iguales para todos los períodos puesto que la inversión varía de un período a otro, en razón de que las utilidades obtenidas en un período se reinvierten en el siguiente.

Tomando nuevamente el ejemplo con el que se inicio el capítulo, donde la inversionista Linda Plata tenía $10,000,000 disponibles; si doña Linda invierte estos dineros a una tasa del 3% mensual y reinvierte sus utilidades, se tendría el siguiente resultado:

MES DINERO INVERTIDO

GANANCIA DINERO ACUMULADO

1

2

3

.

.

n

$10,000,000

$10,300,000

$10,609,000

10,000,000 * 0.03 = 300,000

10,300,000 * 0.03 = 309,000

10,609,000 * 0.03 = 318,270

10,000,000+300,0 00

=10,300,000

10,300,000+309,0 00

= 10,609,000

10,609,000+318,2 70

=10,927,270

Lo anterior lo podemos generalizar de la siguiente forma:

P = Inversión

% i = Tasa de Interés

Utilidad = Inversión X i = Pi

F = Valor futuro

Page 26: Matemáticas Financieras

26

MES DINERO

INVERTIDO GANANCIA DINERO ACUMULADO

1 P P (i) P + Pi = P(1 +i)

2 P(1+i)

P(1+i) (i) P (1+i) + P(1+i)i = P(1+i)(1+i) = P(1+i) 2

3 P(1+i) 2 P(1+i) 2 (i) P(1+i) 2 +P(1+i) = P(1+i) 2 (1+i) = P(1+i) 3

4 . . .

.

.

.

. . .

n P(1+i) n

Generalizando, se concluye que cuando se reinvierten las utilidades (interés compuesto) el dinero acumulado a valor de futuro se puede definir como:

Si se aplica la anterior equivalencia al caso de doña Linda, se puede plantear el siguiente ejercicio: Cuánto dinero acumulará (valor futuro) doña Linda dentro de tres meses a una tasa de interés del 3% mensual, si invierte $10,000,000 inicialmente: F = P(1+i) n

F= $10,000,000 (1+0.03) 3

F = $10,927,270

Valor que coincide con los $10,927,270 obtenidos en la primera tabla.

En conclusión, gran diferencia entre el interés compuesto radica en la reinversión de utilidades. Si se comparan los dineros acumulados en el tercer mes para el caso de doña Linda con una inversión de $10,000,000 al 3% mensual, se obtienen los siguientes resultados:

F = P (1+i) n

Page 27: Matemáticas Financieras

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Interés simple: dinero acumulado al tercer mes $10,900,000

Interés compuesto: dinero acumulado al tercer mes $10,927,270

Ejemplo 1

¿Cuánto dinero acumularía Juan Pérez dentro de 5 años, si invierte hoy $4.000.000 a una tasa de interés compuesto del 3% mensual?

El primer paso para resolver el problema planteado es elaborar un diagrama de flujo de la siguiente manera:

Considerar los ingresos de dinero con una flecha hacia arriba y los desembolsos con una flecha hacia abajo en una escala de tiempo que pueden ser años, semestres, meses, días. La escala de tiempo debe estar expresada en el mismo período que está expresada la tasa de interés; en el ejemplo la tasa de interés está expresada en meses, por lo tanto los 5 años se deben convertir a meses, o sea 60 meses.

F = P (1 + i ) n

F = 4,000,000 (1 + 0. 03) 60 = 23,566,412.42 Este mismo ejemplo con tasa de interés simple, obtuvo un valor futuro de $11,200,000.

Ejemplo 2

Armando Rico recibió hoy $3, 450,000 del Banco de Bogotá por una inversión que realizó hace tres semestres: si la tasa de interés es del 2% mensual compuesto, ¿Cuánto dinero invirtió don Armando?

Como se explico anteriormente el punto de partida es realizar el gráfico o flujo de caja correspondiente; el problema quedaría planteado así:

I = 3% mensual F

60 meses

P = 4,000,000

Page 28: Matemáticas Financieras

28

En razón d que la tasa es mensual, se deben expresar los tres semestres en meses, para que los dos elementos estén la misma base:

Reemplazando en la ecuación que relaciona estas variables se tiene:

F = P ( i + i) n

F = $ 3.450,000, porque en este valor se consolidan la inversión y las utilidades i= 2%mensual n= 3 semestres = 18 meses

Entonces,

3,450.000 = P (1 + 0.02) 18

3,450,000 = P (1.42824624758)

P = 3.450.000/1.42824624758

P = $2,415,549.84

Este es el valor que invirtió don Armando hace 18 meses.

Ejemplo 3

Patricia Fernández recibió un préstamo de $3,000,000, que debe pagar en 18 meses; si al final del plazo debe cancelar $3,850,000, calcular la tasa de interés del préstamo.

P = 3,000.000

0

P

I = 2% mensual F = 3,450,000

18 meses = 3 semestres

0

18 meses

Page 29: Matemáticas Financieras

29

Nótese que se dibujaron los $3,000,000 con una flecha hacia arriba, puesto que se está tomando como referente a Patricia Fernández; al recibir el dinero del préstamo tiene un ingreso y cuando ella cancela el crédito tiene un desembolso, por lo cual se dibuja con una flecha hacia abajo.

Si se toma como referente al prestamista el gráfico sería el siguiente:

Reemplazando los datos de la ecuación se tiene

F = P(1 + i ) n

3,850,000 = 3,000,000(1 + i) 1

3,850,000/3,000,000 = (1 + i) 1

18 1.283333 = 18 (1+ i) 18

1.013955 = 1+l

1.013955­1 = i

0.013955 = i

En términos porcentuales,i = 1.3955% mensual

Ejemplo 4

Armando Mendoza recibió un préstamo de $7,000,000 de Beatriz inzón Solano, si canceló $10,500,000 y la tasa de interés fue del 2% mensual compuesto, calcular, ¿cuál fue el plazo del préstamo?

F = 3,850,000

18 mesea P = 3,000,000

0

Page 30: Matemáticas Financieras

30

Gráfico para Armando Mendoza

Gráfico para Beatriz Pinzón Solano

Reemplazando en la ecuación se tiene:

F = P(1 + i ) n 2% = 0.02 10,500,000 = 7,000,000 (1 + 0.02) n

10,500,000/7,000,000 = (1 .02) n

1.5 =1.02 n

Aplicando logaritmos en base 10 se tiene:

log 1.5 =n l og 1.02

0. 17609 125 =n (0.0086001 71 7)

n =0.17609125/0.0086001717

n = 20.47 meses

P = 7,000,000

I = 2% mensual

F = 10,500,000 0

P = 7,000,000

i = 2 % mensual

F = 10,500,000

0

Page 31: Matemáticas Financieras

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Nótese que la respuesta se expresó en meses porque la tasa de interés está dada en meses.

Ejemplo 5

Sofía Vergara recibió un préstamo del Banco Santander que debe pagar de la siguiente forma: $ 3,000,000 dentro de 6 meses, $ 4,000,000 dentro de un año y $ 5,000,000 en año y medio.

Si la tasa de interés es del 10% semestral compuesto, determinar, ¿cuánto dinero le prestó el Banco Santander a Sofía?

Recordando que los períodos del plazo deben estar en el mismo período que la tasa de interés, se tiene:

6 meses = un semestre un año = dos semestres : año y medio = tres semestres

Gráfico para el Banco Santander

Gráfico para Sofía Vergara

0 1 3 2

P

3,000,000 5,000,000

i = 10% semestral

semestres

0 1 3 2

4,000,000 3,000,000

i = 10% semestral

semestres

P 5,000,000

Page 32: Matemáticas Financieras

32

del problema, se tiene una concepción diferente a la tratada en los ejemplos anteriores en los cuales se tenía un solo ingreso y un solo pago o viceversa. Este ejemplo plantea tres desembolsos en el futuro para el caso de Sofía. La solución de este tipo de problema se basa en el mismo concepto, simplemente se analiza cada ingreso o desembolso en el futuro de manera independiente.

Cada pago que hace Sofía se considera dentro del total de la cuota una parte correspondiente a intereses y otra un abono al préstamo. Para el Banco Santander, los intereses serían las utilidades y el abono al préstamo una devolución de una parte de la inversión. Este concepto es congruente con la definición de valor futuro, como el consolidado de la inversión más las utilidades explicado al principio de este capítulo: en este caso las utilidades y la inversión se devolverán al Banco en tres pagos y no en uno.

F = P(1+i) n

P = F / (1+i) n

Analizando cada pago independientemente se tiene:

Pago 1 = P1 = 3,000,0007(1+0.10) 1 = 2,727,272.73

Pago 2 = P2 =4,000,000/(1+0.10) 2 =3,305,785.12

Pago 3 = P3 =5,000,0007(1+0.10) 3 =3,756,574

Por lo tanto, el valor del préstamo sería:

P = P1 +P2 +P3

P = $9,789,631.86

Ejemplo 6

Natalia París desea realizar un viaje por el continente europeo dentro de un año y se propone el siguiente plan de ahorros para realizar su sueño: hoy, ahorra $1,000,000; dentro de tres meses, ahorrará $ 1,000,000; dentro de un semestre, ahorrará $ 1,500,000 y dentro de 10 meses, ahorrará $ 1,700,000.

Page 33: Matemáticas Financieras

33

¿Cuánto dinero tendrá exactamente dentro de un año, si la tasa de interés que le paga el Banco es del 1%mensual compuesto?

Gráfico para Natalia

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Retomando el ejemplo anterior, cada ahorro o inversión se trata de manera independiente, por lo tanto se tiene:

Ahorro o inversión # 1 = F1

Ahorro o inversión # 2 = F2 Ahorro o inversión # 3 = F3

Ahorro o inversión # 4 = F4

La inversión o ahorro de $1,000,000 que se hace en el período # 1 dura exactamente en el

banco 12 meses, por lo tanto n = 12

F1 = P1 (1+ i) n

F1 = 1,000,000(1+0.01) =$1,126,825.03

La inversión o ahorro de $1,000,000 que hace en el período 3 dura exactamente en el

banco 9 meses (12 meses ­ 3 meses) por lo tanto n = 9

F2 = P2 (1+ i) n

1,500,000 1,000,000 meses

1,700,000

F =?

1,000,000

Page 34: Matemáticas Financieras

34

F = 1,000,000(1+0.01 ) 9 =$1,093,685.27

2

La inversión o ahorro de $ 1 ,500,000 que hace Natalia en el período 6 dura exactamente en

el banco 6 meses (12 meses ­ 6 meses) por lo tanto n = 6

F3 = P3 (1+ i) n

F3 = 1,500,000(1 +0.01 ) 6 =$1,592,280.22

La inversión o ahorro de $1,700,000 que hace Natalia en el período 10 dura exactamente

en el banco 2 meses (12 meses ­ 10 meses) por lo tanto n = 2

F4 =P3 (1+ i) n

F4 = 1,700,000(1 +0.01 ) 2 =$1,734,170

Por lo tanto, el dinero que tendrá acumulado Natalia París dentro de un año será:

F = F1 + F2 + F3 + F4

F = $5.546,960.53

1.2 TASAS DE INTERÉS

El concepto de tasa de interés, se aplica a la relación entre el valor a pagar como interés y el capital recibido en préstamo por el cual se debe pagar ese interés en un tiempo determinado. Se expresa en términos de porcentaje y su nomenclatura es: i%.

1.2.1 Tasa de Interés Nominal

Es la tasa de interés que generalmente se aplica a todas las operaciones financieras y que aparece estipulada en los contratos. Cuando opera este tipo de tasa, se entiende que las utilidades por intereses no se reinvirtieron en el periodo.

Page 35: Matemáticas Financieras

35

1.2.2 Tasa de Interés Efectiva

Los usuarios del sistema financiero se enfrentan a un problema en el diario vivir en las transacciones personales o de empresa, pues usualmente en todas las operaciones que se realizan se habla de tasa efectiva como referencia o criterio para tomar decisiones. La mayoría de ejecutivos en finanzas o ejecutivos comerciales de empresas del sistema financiero, productivo o de servicios opinan que la tasa efectiva es equivalente a la tasa real, es decir, según ellos el interés que realmente se cobra al cliente. ¿Será esto cierto?

Con el ejemplo siguiente se deducirá el concepto de tasa de interés efectiva; supóngase; que doña Linda Plata de Rico tiene disponibles $100 millones, los cuales no necesita sino hasta dentro de un año, y desea invertirlos. Con este objetivo, se dirige al Banco de Bogotá y le plantea la situación al señor Armando Bueno, gerente de la sucursal de Suba y antiguo compañero de la universidad. El le ofrece que le pagará por los $100 millones una tasa del 40% anual y que los intereses se liquidarán trimestre vencido, doña Linda, administradora de empresas de gran prestigio profesional en la capital colombiana, hace el siguiente cálculo:

Plazo: Un año Tasa de interés: 40% anual

Liquidación de interés: Trimestre vencido Inversión: $100 millones Número de liquidaciones por año: 4 Tasa trimestral o del período: 40% / 4 = 10%

Page 36: Matemáticas Financieras

36

TRIMESTRE SALDO INICIAL INTERESES i = 10%

SALDO FINAL

1 100.00 $10.00 $ 110.00 2 110 $11.00 $ 121.00 3 121 $12.10 $ 133.10 4 133.10 $13.31 $ 146.41

TOTAL $46.41

La inversionista recuerda que: tasa de interés se define como utilidad sobre la inversión; en este caso las utilidades serían la suma de la columna interés que es de 46.41 en el año, si la inversión fue de $100 millones quiere decir que se obtuvo un interés (%) o rentabilidad de $46.41/100 = 46.41% en un año.

Si el 40% de interés se hubiera liquidado solo al final del año, doña Linda habría obtenido $40 de intereses, es decir, que lo que establece la diferencia es el número de liquidaciones de intereses que hay en el plazo fijado (para este caso son 4 las liquidaciones en el año).

Para deducir el concepto de tasa nominal y efectiva se toman varios casos, los cuales se derivan de considerar como punto de partida los $100 millones y el plazo de un año pero con diferentes formas de liquidar los intereses por ejemplo, bimestralmente, semestralmente, etc.

TASA FORMA DE LIQUIDACIONES

40% Semestre vencido

40% Trimestre vencido

40% Bimestre vencido 40% Mes vencido 40% Día vencido

Para el primer caso 40% anual semestre vencido, lo primero que se tiene que definir es la tasa del período. En este caso es semestral, o sea que la tasa periódica (semestral) sería igual a 0% dividido entre los dos semestres del año, lo que equivale a un 20% semestral; si se considera el plazo de un año se puede hacer el cálculo que se realizó para el 40% anual trimestre vencido, es decir:

Page 37: Matemáticas Financieras

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Plazo: Un año Tasa de interés: 40% anual Liquidación de interés: Semestre vencido Inversión: $100 millones Número de liquidaciones por año:

2 Tasa trimestral o del período: 40% / 2 =20%

SEMESTRE SALDO INICIAL INTERESES SALDO FINAL

1 100 20 120

2 120 24 144

Total 44

Intereses primer trimestre = Saldo inicial x Tasa de interés

Intereses primer trimestre = $100 x 20% = $20

Saldo final primer trimestre = Saldo inicial + Intereses

Saldo final primer trimestre = 100 + 20 = 120 ;

El saldo final del primer semestre pasa a ser el saldo inicial del segundo semestre.

intereses segundo semestre = 120 x 20% = $24 saldo final del segundo semestre =120+ 24 = $144

Lo anterior quiere decir que los $ 100 millones invertidos, por el efecto de la reinversión de utilidades generaron $44 millones de intereses, lo que significa una rentabilidad de ó sea $44 millones de utilidad dividido entre los $100 millones de inversión.

En relación con lo anterior, se puede concluir que la tasa efectiva se obtiene por los efectos de la reinversión de las utilidades ó intereses; cuando esto no se da se obtiene lo que se llama tasa de interés nominal. Se puede deducir que existe un paralelo entre el interés simple y la tasa nominal y el interés compuesto y la tasa efectiva. En las dos primeras, no se tiene en cuenta la reinversión mientras que en las dos últimas sí.

Page 38: Matemáticas Financieras

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Con base en los ejemplos se obtiene una fórmula para calcular la tasa efectiva, la cual se expresa de la siguiente forma:

ie = Tasa de interés efectiva ip = Tasa periódica n = Número de liquidaciones de intereses en el plazo fijado

ie = (1+ i) n ­1

Si se toman los ejemplos analizados anteriormente, se obtiene lo siguiente:

1) Si se tiene una tasa del 40% anual trimestre vencido, ¿cuál es la tasa efectiva anual?

Tasa periódica = ip

ie = (1 + 0.1) ­ 1 = 0.4641 ó 46.41 % efectivo anual

Si se considera el mismo ejemplo, es decir 40% anual trimestre vencido, pero en lugar de calcular la tasa efectiva anual se calcula la tasa efectiva semestral

ip = 0.40 74 = 0.10 ó 10% semestral n = Número de liquidaciones en el período = 2 en un semestre ie = (1 + 0.10) 2 ­ 1 = 0.21 = 21% efectiva semestral

2) Si se tiene una tasa anual del 40% semestre vencido, calcular la tasa efectiva anual

ip = 0.40 / 2 = 0.20 ó 20% semestral n = número de liquidaciones = 2 ie= (1 + 0.20) 2 ­1 = 0.44 ó 44% efectiva anual

Tasa anual ip =———————————————0.40 / 4 = 0.1 = 10% trimestral

# de períodos en el año

Page 39: Matemáticas Financieras

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Con base en la siguiente información calcular la tasa efectiva anual:

TASA ANUAL FORMA DE LIQUIDACIÓN DE INTERESES

NÚMERO DE LIQUIDACIONES

POR AÑO

i PERIÓDICA

40% Semestre vencido 2 20% semestral

40% Trimestre vencido 4 10% trimestral

40% Bimestre vencido 6 6.67% bimestral

40% Mes vencido 12 3.33% mensual

40% Día vencido 360 0.11% diario

Las dos primeras tasas fueron calculadas anteriormente, a continuación se obtienen las restantes:

40% anual bimestre vencido i bimestral = 0.40 / 6 = 6.67% Número de liquidaciones en un año: 6 ie anual = (1+0.0667) 6 ­ 1 = 0.4732

40% anual mes vencido i mensual = 0.407 12 = 0.0333 = 3.33% Número de liquidaciones en un año: 12 ie anual = (1+0.0333) 12 ­1 = 0.4816

40% anual día vencido i diario = 0.40 / 360 = 0.001111 = 0.11 % Número de liquidaciones en un año: 360 ie anual = (1+0.001111) 360 ­ 1 = 0.4914

Page 40: Matemáticas Financieras

40

De acuerdo con los cálculos se obtuvieron las siguientes cifras:

TASA ANUAL FORMA DE LIQUIDACIÓN

DE INTERESES NUMERO DE

LIQUIDACIONES POR AÑO

TASA EFECTIVA

40% Semestre vencido 2 44.00%

40% Trimestre vencido 4 46.41%

40% Bimestre vencido 6 47.32%

40% Mes vencido 12 48.16%

40% Día vencido 360 49.14%

Como se observa en la tabla anterior, a medida que se aumenta el número de liquidaciones se incrementa la tasa efectiva anual; sin embargo tomando otros dos casos, supóngase que el gerente señor Armando Bueno le ofrece a doña Linda que le liquidará intereses 2 veces al día o sea cada 12 horas o tres veces al día o sea cada 8 horas; veamos qué tasa efectiva anual se obtiene:

40% anual liquidando intereses cada 12 horas

ip = 0.40 7720 = 0.0005555 n = 360 x 2 = 720 períodos ie anual = (1+0.0005555) 720 ­ 1 = 0.491659

Ahora analizando el caso del 40% anual liquidando intereses cada 8 horas

ip = 0.40 / 1080 = 0.00037037

n = 360 x 3 = 1,080 periodos

le anual = (1 +0.00037037) 1080 ­ 1 = 0.491714 Como se observa, a medida que se aumenta el número de liquidaciones se incrementa la tasa efectiva anual; sin embargo, este valor tiende a estabilizarse, es decir, su comportamiento es exponencial como se observa en el gráfico siguiente.

Page 41: Matemáticas Financieras

41

Comportamiento tasa efectiva anual para diferentes capitalizaciones de tasas vencidas

0 2 4 6 8 10 12 14

NUMERO DE CAPITALIZACIONES

Con lo anterior se explica lo que en matemáticas se conoce con el nombre de interés

continuo, que se expresa así:

Que para el caso del 40% anual se obtiene:

Cifra que coincide cuando se liquidan 720 y 1080 veces en el año. Si se siguen aumentando el número de liquidaciones, no se va a obtener una cifra mayor. La fórmula anterior se conoce con el nombre de interés continuo ó capitalización continua.

ie = e i ­ 1

i e = e 0.40 ­1 = 2.718281 0.40 ­1

i e = 0.49182

T A S A S

E F E C T I V A S

60.000%

50.000%

40.000%

30.000%

20.000%

10.000%

0.000%

Page 42: Matemáticas Financieras

42

Con base en los cálculos realizados anteriormente, se concluye que la tasa de interés electiva está íntimamente ligada con el interés compuesto, es decir, considera la reinversión de utilidades.

1.2.3 Conversión de tasas

El concepto de tasa efectiva permite convertir las tasas de un período a otro fácilmente; este concepto es de gran utilidad en Matemáticas Financieras, por cuanto permite solucionar situaciones recurrentes, donde los períodos de los flujos de caja (ingresos y desembolsos) no coinciden con los períodos de las tasas de interés.

Ejemplo 1

Con una tasa del 40% anual trimestre vencido, ¿calcular la tasa semestral equivalente?

Este ejercicio se puede resolver de varias formas:

Primera forma

i= 40% anual trimestre vencido

i periódica = i anual / # períodos en el año

i periódica = i trimestral =0.40 / 4 =0.10

Con base en la tasa periódica se puede calcular la tasa efectiva anual

ie = tasa de interés efectiva anual

Donde n es el número de liquidaciones en el año.

La tasa de interés está especificada inicialmente como i = 40% anual trimestre vencido, lo que quiere decir que los intereses se van a liquidar cada trimestre, o sea que al año e liquidan 4 veces, una al final de cada trimestre, por lo tanto:

= (1+0.10) 4 ­! = 0.4641

Con base en el anterior resultado se puede calcular la tasa semestral partiendo de calcular la efectiva anual.

iea = (1+ip) n ­1

0.4641 = (1+i semestral) 2 ­ 1

Page 43: Matemáticas Financieras

43

n = 2, porque los intereses se liquidan 2 veces (1 año = 2 semestres)

1.4641 = (1+i semestral) 2

2 1.4641 = 2 (1+i semestral) 2

1.21 = 1 + i semestral

1.21 ­1 = i semestral

0.21 = 2 1%

Segunda forma

i = 40% anual trimestre vencido i periódica = i trimestral =0.40/4 =0.10

Obsérvese que el período toma como referencia el que está estipulado en la liquidación de intereses, para nuestro ejemplo es trimestre vencido. La forma de liquidación siempre aparece adyacente a la tasa de interés anual.

Con base en la tasa trimestral se puede calcular la trimestral, utilizando la ecuación de tasa efectiva.

iea = (1+ip) n ­1

i semestral = (1+ i trimestral ) 2 ­1

i semestral =(1 + 0.10 ) 2 ­ 1 = 0.21

Es el mismo resultado que se obtuvo en la primera forma.

Ejemplo 2

Con una tasa del 30% anual bimestre vencido, calcular:

a. La tasa semestral equivalente.

Page 44: Matemáticas Financieras

44

b. La tasa mensual equivalente.

a. Tasa Semestral

Primera forma

i = 30% anual bimestre vencido

Bimestre = cada 2 meses

i periódica = i bimestral = 0.30/6 =0.05, dividido entre 6 porque hay 6 bimestres en un año.

iea = (1+ ip) n ­1

i semestral =(1 + 0.10 ) 2 ­ 1 = 0.21

ia = (1 +0.05) 6 ­! = 0.3400

Con base en la tasa efectiva anual se puede calcular la semestral

Iea = (1+ ip) n ­1

0.34 = (1+ i semestral ) 2 ­1

1.34 = (1+ i semestral) 2

2 1.34 = 2 (1+ i semestral) 2

1.157625 =1+ i semestral

Page 45: Matemáticas Financieras

45

1.157625 ­1 = i semestral

0.157625 = i semestral

15.7625% = i semestral

Segunda forma

i = 30% anual bimestre vencido

Bimestre = cada 2 meses

i periódica = i bimestral = 0.30/6 =0.05

iea = (1+ i periódico) n ­1

i semestral =(1 + 0.05 ) 3 ­ 1 = 0.157625 ó 15.7625%

n = 3, porque en un semestre hay 3 bimestres.

b. Tasa mensual

Primera forma

i periódica = i bimestral = 0.30/6 =0.05

ia = (1+0.05) 6 ­! = 0.3400

Combase en la tasa efectiva anual se puede calcular la tasa mensual

ia = 0.34

i = ( 1+ i periódica) n ­1

0.34 = (1 +imes ) 12 ­ 1

n = 12 meses, porque un año tiene 12 meses, y al ser la tasa mensual se liquidarán 12 veces en el año.

1.34 = (1 +imes ) 12

12 1.34 = 12 (1 +imes ) 12

Page 46: Matemáticas Financieras

46

1.02469 = 1 +i mes

1.02469­1=1 +i mes

0.02469 = i mes

2.469% = i mes

Segunda forma

i = 30% anual bimestre vencido

i periódica = i bimestral 0.30 / 6 =0.05

Utilizando la fórmula de tasa efectiva se tiene:

i ea = (1 + i periódica) n ­ 1

0.05 = (1 + i mes) 2 – 1

1.05 = (1+ i mes) 2

12 I .05 = 12 (1 + i mes) 2

1.02469 =1 + i mes

0.2469 = i mes

i mes = 2.469%

Obsérvese que se consideró la tasa del 5% bimestral como efectiva; la razón es muy sencilla, los meses están contenidos dentro del bimestre. Lo mismo sucedería si se tuviera una tasa del 3% mensual y se preguntara la tasa quincenal; como la quincena está contenida dentro del mes, el 3% se tomaría como efectiva.

Ejemplo 3

Justo Pastor Malo recibió un préstamo del Banco Popular de $7,000,000 que debe ¡pagar en una sola cuota dentro de 2 años. Si la tasa de interés es del 24% anual semestre vencido, ¿calcular el valor de la cuota que debe pagar Justo Pastor al Banco Popular?

P = 7,000,000

I = 24 % anual semestre vencido

2 años

0 F = ?

Page 47: Matemáticas Financieras

Obsérvese que la tasa está estipulada en diferente período que el plazo, la primera en semestres y la segunda en años; por lo anterior se debe efectuar la conversión: correspondiente.

Primera forma

Se debe hallar la tasa de interés efectivo anual para que coincida con el período del plazo que está dado en años, por lo tanto:

iea = (1+ i periódico) n ­1

i periódica = i semestral = 0.24 / 2 = 0.12

iea = (1+0.12) 2 ­1=0.2544

F =P(1+ i ) n

F = 7,000,000 (1+0.2544) 2

F = $11,014,635.52

• Segunda forma

i = 24% anual semestre vencido

i periódica = i semestral = 0.24 / 2 = 0.12

Plazo = 2 años = 4 semestres, por lo tanto el gráfico puede expresarse de la siguiente manera:

i = 12% semestral

F =P(1+ i ) n

F = 7,000,000(1+0.2544) 2 = $11,014,635.52

0

1 2 3 4

P = 7,000,000

semestres

F = ?

Page 48: Matemáticas Financieras

• Tasas anticipadas

Para analizar este concepto se considera el siguiente caso hipotético; supóngase que doña Linda Reina desea invertir $100 millones y se dirige al Banco Santander. Su gerente, el doctor Pastor Bueno le ofrece una tasa del 40% anual año anticipado. Veamos cómo sería el comportamiento con un gráfico, doña Linda no necesita el dinero sino hasta dentro de un año.

En el gráfico puede observarse que el inversionista invierte $100 millones y en el mismo momento recibe los intereses correspondientes o sea $40 millones, es decir, que solo invirtió $60 millones, lo cual puede resumirse en el siguiente gráfico:

$100 millones 1 año

$60 millones (Inversión)

En el gráfico anterior se tiene un valor presente que son los $60 millones y un valor futuro dentro de un año por un valor de $100 millones. Si se aplica la primera equivalencia (ver capítulo 1) se puede hallar el interés:

F= P (1 + i) n

F = $100 P = $60 N = 1 año

100= 60(1+i) 1

100/60 = (l+i)

$ 40 millones “hoy” Interés anticipado

$ 100 millones inversión

$ 100 millones devolución de la inversión Un año

Page 49: Matemáticas Financieras

1.6667 = 1+ i

i = 1 .6667 ­ 1 = 0.6667 = 66.67% anual

Lo anterior quiere decir que para doña Linda Reina es equivalente el 40% anual año anticipado ó el 66.67% anual año vencido. Si se hace el análisis utilizando la definición dada en el primer capítulo, en el cual se dice que interés es igual a utilidad sobre inversión se obtiene lo siguiente

i= Utilidad / Inversión = 407(100­40)= 40/60= 0.6667 ó 66.67%

Si se expresa en términos porcentuales se tiene:

i=0.40/(l­0.40)=0.40/0.60=0.6667 ó 66.67% anual

De lo anterior podemos generalizar la siguiente fórmula:

ia i vencido = ­­­­­­­­­­­­­­­­­

(1­ ia) donde:

iv = i vencido ia = interés anticipado

i vencido =0.407(1­0.40) = 0.40/0.6 = 0.6667 = 66.67% anual

Con base en la conversión anterior, se pueden calcular las tasas efectivas cuando son anticipadas.

Consideremos las siguientes posibilidades como una tasa única de 40% anual pero con diferentes modalidades de liquidación de intereses y calculemos las tasas efectivas anuales correspondientes.

TASA ANUAL LIQUIDACIÓN DE INTERESES

40% Semestre anticipado

40% Trimestre anticipado

40% Bimestre anticipado 40% Mes anticipado

40% Día anticipado 40% Cada 12 horas anticipado

Page 50: Matemáticas Financieras

(1) 40% anual semestre anticipado

i periódica = i semestral anticipada = 40%/2 = 20% semestre anticipado i semestre vencida = 0.20 / (1­0.20) = 0.20/0.80 = 0.25

i efectiva anual = (1+0.25) ­1 = 0.5625

(2) 40% anual trimestre anticipado i periódica = i trimestral anticipada = 40% / 4 = 10% trimestre anticipado

i trimestre vencido= 0.10 / (1 ­0.10) = 0.111111

i efectiva anual = (1+0.1111II) 4 ­1 =0.524157

(3) 40% anual bimestre anticipado

i bimestral anticipado = 40% 16 = 6.67%

i bimestral vencida = 0.0667 /(I­0.0667) = 0.07143

i efectiva anual = (1+0.07143) 6 ­1 = 0.51282484

(4) 40% anual mes anticipado

i mes anticipado = 0.40 /12 = 0.03333

i vencida = 0.033333 /(1­0.0333) = 0.03447919

i efectiva anual = (1+0.03447919) 12 ­ 1 = 0.50196949

(5) 40% anual día anticipado

i día anticipado = 0.40/360 = 0.001111

i vencida = 0.001111 / (l­0.001111) = 0.00111235

i efectivo anual = (1+0.00111235) 360 ­1 =0.4921565

(6) 40% anual cada 12 horas anticipado

i cada 12 horas anticipado = 0.40/720 = 0.00055556

i vencida = 0.00055556 / (1­0.00055556) =0.00055586

i efectiva anual = (1+0.00055556) 720 ­1 = 0.49199053

Page 51: Matemáticas Financieras

Los cálculos anteriores se pueden resumir en la siguiente gráfica:

Con base en los cálculos realizados anteriormente, sobre las tasas efectivas considerando diferentes sistemas de liquidación de intereses y las tasas efectivas vencidas y anticipadas, se puede obtener el siguiente resumen

TASAS VENCIDAS TASAS ANTICIPADAS

Tasa nominal # de

liquidaciones por año

T.E.A. Tasa nominal #de

liquidaciones por año

T.E.A.

40% anual A. V. 1 40.00% 40% anual A. A. 1 66.67%

40% anual S.V. 2 44.00% 40% anual S.A. 2 56.25%

40% anual T.V. 4 46.41% 40% anual T.A. 4 52.42%

40% anual B.V. 6 47.32% 40% anual B.A. 6 51.28%

40% anual M.V. 12 48.16% 40% anual M.A. 12 50.20%

40% anual D.V. 360 49.14% 40% anual D.A. 360 49.22%

Page 52: Matemáticas Financieras

Con base en la tabla anterior se puede concluir lo siguiente: en las tasas vencidas a medida que aumenta el número de liquidaciones aumenta la tasa efectiva anual logrando como tasa máxima la capitalización continua (ie=ei ­1). El comportamiento de las tasas anticipadas es inverso; a medida que aumenta el número de liquidaciones disminuye la tasa efectiva anual, es decir, se logra la tasa efectiva máxima en el caso de las anticipadas cuando es una sola liquidación.

En el gráfico siguiente se ve el comportamiento de las dos modalidades, vencida y anticipada.

Tasas efectivas correspondientes a tasas nominales vencidas y anticipadas

• Tasas efectivas con tasa de interés anticipadas

Este tipo de conversión es similar al descrito en los temas anteriores, simplemente incluye un paso adicional que consiste en convertir las tasas periódicas anticipadas en periódicas vencidas; en otras palabras, es hallar la tasa equivalente vencida a la anticipada.

Ejemplo

Con una tasa del 20% anual trimestre anticipado, hallar la tasa mensual.

Primera forma

i = 20% anual trimestre anticipado

Page 53: Matemáticas Financieras

i = i =0.20/4 =0.05 periódica trimestral anticipada

i vencido = i anticipado / (1­ i anticipado)

i trimestre vencido = I trimestre anticipado / (1­ i trimestre anticipado'

i trimestre vencido = (0.05 / ( I ­0.05) = 0.05/0.95

i trimestre vencido = 0.052631578

i ea = (1 + i periódica) n ­ 1

i ea = (1 + 0.052631578) 4 ­1

i = 0.2277 o 22.77%

Con base en la tasa efectiva anual se calcula la tasa mensual

i ea = (1 + i periódica) n ­ 1

i ea = 0.2277 = ( 1+ imes) 12 ­1

1.2277 = (l+imes) 12

12 I.2277 = 12 (l + i mes ) 12

1.017244= 1+ imes

1.017244 – 1 = imes0.017244 = imes

imes = 1.7244%

Segunda forma

i = 20% anual trimestre anticipado

iperiodica = i trimestral anticipada= 0.20 / 4 = 0.05

i vencido = i anticipado / (1­i anticipado)

i trimestre vencido = i trimestre anticipado / (1­i trimestre anticipado)

Page 54: Matemáticas Financieras

i trimestre vencido = 0.05 /(I ­0.05) = 0.05/0.95

i trimestre vencido = 0.052631578

Con base en la tasa trimestral vencida se puede calcular la tasa mensual y en razón a que el mes está contenido dentro del trimestre, la tasa trimestral se puede considerar como efectiva.

i trimestre vencido = 0.052631578

i ea = (1 + i periódica) n ­ 1

0.052631578 = (1+imes) 3 ­ 1

1.052631578= (1+imes) 3

3 1.052631578 = 3 (1+imes) 3

1.017244 = 1+imes

0.017244 = imes =1.7244%

Page 55: Matemáticas Financieras

EJERCICIOS PARA PROFUNDIZACIÓN DE LAS TEMÁTICAS

1. Sandra Muñoz canceló hoy $7,560,000 al Banco de Bogotá por un préstamo que le fue otorgado hace un año. Calcular el dinero prestado a Sandra si:

a. La tasa de interés es del 3% mensual simple b. La tasa de interés es del 3% mensual compuesto c. La tasa de interés es del 4% mensual simple

2. Lady Noriega recibió un préstamo del Banco Santander de $10,000,000; si canceló $13,500,000 en un solo pago, calcular el plazo del préstamo si:

a. La tasa de interés es del 2% mensual simple. b. La tasa de interés es del 2% mensual compuesto c. La tasa de interés es del 1.5% mensual compuesto.

3. Pastor Bueno desea tener $20, 000,000 dentro de 2 años para la cuota inicial de un vehículo Audi, para lo cual se ha propuesto el siguiente plan de ahorros:

Hoy, ahorra $1,000,000 Dentro de 2 bimestres, 3,000,000 Dentro de 8 meses, $5,000,000 ; Dentro de 1 año, $2,000,000 Dentro de año y medio, $7,000,000

El Banco de Bogotá le ha propuesto 3 planes:

Plan A: i = 1% mensual simple Plan B: i = 2% mensual compuesto Plan C: i = 2% bimestral simple (Un bimestre = 2 meses)

Nota: No olvidar que el plazo y la tasa de interés deben estar expresados en el mismo período

a. Determinar el dinero acumulado dentro de 2 años de cada uno de los planes.

b. ¿Cuál es el mejor plan?

4. En los ejemplos 1 a 6 de interés simple y 1 a 6 de interés compuesto que se desarrollaron anteriormente, comparar el ejemplo 1 de interés simple con el ejemplo 1 de interés compuesto y así sucesivamente hasta el 6. Sacar las conclusiones respectivas para cada una de las 6 comparaciones y presentar un informe.

5. Con base en una tasa del 30% anual mes vencido calcular:

a. Tasa trimestral

Page 56: Matemáticas Financieras

b. Tasa semestral c. Tasa efectiva .anual

2. Con base en una tasa del 30% anual mes anticipado, calcular:

a. Tasa trimestral; b. Tasa semestral c. Tasa efectiva anual; d. Tasa trimestral vencida

3. Calcular las tasas efectivas anuales de las siguientes tasas nominales, compararlas y sacar conclusiones:

a. 25% anual semestre vencido b. 25% anual trimestre vencido

c. 25% anual bimestre vencido d. 25% anual mes vencido

e. 25% anual día vencido f. 25% anual año anticipado

g. 25%) anual semestre anticipado h. 25%) anual trimestre anticipado

i. 25% anual bimestre anticipado j. 25% anual mes anticipado

k. 25% anual día anticipado

4. Si se tiene una tasa del 24%> anual trimestre anticipado, calcular:

a. Tasa mensual

b. Tasa semestral

c. Tasa efectiva anual d. Tasa trimestral

5. Cuánto dinero tendrá acumulado dentro de 5 años Juan Pérez si invierte hoy 5 millones en el Banco Santander, que le paga una tasa de interés del 20% anual semestre anticipado.

6. Linda Plata recibió un préstamo de su amigo Armando Rico hace 2 años y medio. Si Linda pagó hoy a Armando $12,133,450 y la tasa pactada fue del 28% anual mes vencido, calcular el valor el préstamo.

7. En el problema anterior ¿Cuál sería el valor del préstamo si la tasa de interés fuera del 32% anual bimestre anticipado?

8. Linda de Bonito planea adquirir un vehículo CITROEN dentro de 2 años y se ha propuesto el siguiente plan de ahorros para este lapso de tiempo:

Hoy, ahorra $1,500,000 Dentro de 2 bimestres, $4,000,000

Page 57: Matemáticas Financieras

Dentro de 2 trimestres, $6,000,000; Dentro de un año, $3,000,000 Dentro de 18 meses, $5,000,000

Si la cuota inicial que se requiere para adquirir ese vehículo dentro de 2 años es de $23,500,000 y la tasa de interés que le pagan por su dinero ahorrado es del 32% anual trimestre vencido, ¿tendrá doña Linda el dinero suficiente para la cuota inicial del vehículo?

Page 58: Matemáticas Financieras

CAPÍTULO DOS

EQUIVALENCIAS CON CUOTAS FIJAS

Justificación

El sistema de cuotas constantes y periódicas, conocido mas generalmente como anualidades, es el más utilizado en el ámbito financiero en el tratamiento de pago de cuotas o en operaciones de ahorro y su aplicación se da en la necesidad de encontrar el valor de sumas futuras o presentes equivalentes a una serie de cuotas fijas iguales vencidas o anticipadas.

Objetivo General

Hallar sumas futuras y presentes equivalentes a una serie de pagos uniformes ya sea en forma vencida o anticipada.

Objetivos específicos

• Establecer el valor futuro de una serie de pagos uniformes en forma vencida • Calcular el valor presente de una serie de pagos uniformes de manera anticipada • Encontrar el calor presente de una serie de cuotas fijas

vencidas liquidadas con intereses anticipados

Page 59: Matemáticas Financieras

2. EQUIVALENCIA CON CUOTAS FIJAS

Una de las formas más utilizadas en nuestro sistema financiero es el pago de prés­ tamos a través de cuotas fijas, en el lenguaje de las Matemáticas Financieras se les llama anualidades o rentas. La relación que existe entre las cuotas fijas y un valor presente o un valor futuro se conoce con el nombre de equivalencias.

2.1. CUOTAS FIJAS VENCIDAS

2.1.1 Equivalencias entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas vencidas

Cuotas fijas = A

Valor futuro = F

N = Número de períodos

i% = Tasa de interés por período

Para poder ver la relación que existe entre una serie de cuotas fijas (iguales) y un : futuro F, considere que el señor Armando Casasbuenas tiene excedentes de liquidez cada período y quiere invertirlos para tener dentro de un lapso de tiempo n el suficiente dinero para adquirir una finca en la sabana de Bogotá. Estos ahorros se harán al final de cada período a una tasa de interés del i%. Gráficamente el comportamiento del problema sería el siguiente:

0 1 2 3 4 12

Con base en el gráfico anterior, se puede considerar cada punto del tiempo en el cual se hace el ahorro como un valor presente en relación con el período n en el cual se retirará el dinero para comprar la finca que en este caso sería el valor futuro. Por ejemplo, el ahorro que se hace en el período n­1 que tiene un valor de SA sí se considera que estará invertido solo un período, su valor futuro correspondiente será igual a A(1+i) (ver fórmulas del capítulo 1).

Si tomamos el ahorro de $A en el período n­2 su valor futuro será A(1+i) 2 , para el período n­3 se obtendría A(1+i) 3 , para el período n­4 se obtendría A(1+i) 4 y así sucesivamente hasta llegar al período 1; donde el valor futuro del ahorro A sería A(1+i)(n­1) y el ahorro que se hace en el período n, como coincide con el retiro del

F n­1

n

n­2

Page 60: Matemáticas Financieras

dinero no genera intereses, por lo cual su valor futuro sería A(1+i) 0 o sea A porque toda cantidad elevada a la cero es igual a uno.

Si se suman todos los valores futuros de cada uno de los ahorros de cada período se obtiene:

F = A + A(1+i) + A(1+i) 2 + A(1+i) 3 + ...... + A(1+i) (n­1) Ecuación # 1

Si se multiplica esta ecuación por (1+ i) y se le llama Ecuación 2, se obtiene lo siguiente: F(1+i) = A(1+i) + A(1+i) 2 + A(1+i) 3 + A(1+i) 4 +......... + A(1+i) n Ecuación # 2

Si restamos la ecuación 2 de la ecuación 1 se obtiene:

F(1+i)­F = A(1+ i) n ­ A , despejando se tiene

F + Fi­F = A(1+ i) n ­ A

F+Fi­F = A(1+ i) n ­ 1

F = A[(1+i) n ­1]

F = A[((1+i) n ­1) / i] Fórmula 1

La anterior ecuación es la equivalencia entre un valor futuro y una cuota fija vencida o anualidad.

2.1.2 Equivalencia entre un valor presente y una serie de cuotas fijas vencidas

La equivalencia entre un valor presente y una cuota fija se deduce de la fórmula número 1 simplemente reemplazando F por P(1+i) n , que es la fórmula base de las Matemáticas Financieras.

P(1+i) n = A[(1+i) n ­1/i]

P = A[ (1+i) n ­1 / (1+i) n ] Fórmula 2

De las fórmulas 1 y 2 se puede calcular el valor de la cuota fija de la siguiente forma:

A = F [ i / (1+i) n ­1] Fórmula 3

A = P [i (1+i) n / (1+i) n ­1 ] Fórmula 4

Page 61: Matemáticas Financieras

2.2 CUOTAS FIJAS ANTICIPADAS

2.2.1 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas anticipadas

Utilizando el procedimiento anterior, se pueden calcular las equivalencias entre cuotas fijas anticipadas y los valores presente y futuro; utilicemos el gráfico que tomamos como referencia para calcular las equivalencias anteriores pero considerando que las cuotas se realizan anticipadamente o sea:

F

0 1 2 3 4 n­3 n­2 n­1 n

El paso inicial es calcular el valor futuro de cada uno de los ahorros A; nótese que en el período n no hay ahorro y sí lo hay en el período cero. Esta es la diferencia que hay con respecto al gráfico de las cuotas vencidas, pues las cuotas fijas se consideran anticipadamente o a principios de cada período, por lo tanto el valor futuro obtenido con base en el diagrama anterior sería:

F = A(1+i) + A(1+i) 2 + A(1+i) 3 + A(1+i) 4 +......... + A(1+i) n

Si a esta ecuación la llamamos la ecuación número 1 y la multiplicamos por (1+i) obtenemos la ecuación número 2.

F (1+i) = A(1+i) 2 + A(1+i) 3 + ...... + A(1+i) (n+1)

Si sacamos la diferencia entre las dos ecuaciones se obtiene:

F (1+i)­F = A(1+i) (n+1) ­­­ A(1+i)

F + Fi­F = A[(1+i) (n+1) ­ (1+i)]

F = A[(1+i) (n+l) ­ (1+i)/ i] Fórmula 5

2.2.2 Eequivalencia entre un valor presente y una serie de cuotas fijas anticipadas

Con base en la equivalencia anterior entre un valor futuro y una cuota fija anticipada se puede obtener la existente entre un valor presente y una cuota fija anticipada, simplemente reemplazando F por P(l+i) n P(l+i) n = A[(1+i) (n+l) ­ (1+i)/ i] P = A[ (1+i) (n+l) ­ (1+i) / i(1+i) n ] Fórmula 6

Page 62: Matemáticas Financieras

De las fórmulas 5 y 6 podemos obtener el valor de la anualidad en función del valor presente o del valor futuro.

A = F[ i / (1+i) (n+1) ­ (1+i) ] Fórmula 7

A= P[ i ( 1+i) n / (1+i) (n+1) ­(1+i) ] Fórmula 8

Las anteriores equivalencias permiten pactar una serie de transacciones en el mundo real.

2.2.3 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas vencidas con intereses anticipados

Este caso se presenta cuando en un crédito se pactan cuotas uniformes vencidas pero le cobran intereses anticipadamente, es decir en el momento de recibir el préstamo el beneficiario no recibe la totalidad sino la diferencia entre el valor del crédito y los intereses correspondientes al primer período.

En este caso como el usuario pago los intereses anticipadamente, en la última cuota no se pagarían intereses, sino la totalidad del valor pagado sería abono a capital.

La equivalencia a usar en este caso sería:

A = P[ i / ((1­(1­ i) n ))] Fórmula 9

A continuación se tratan casos prácticos relacionados con las equivalencias expuestas anteriormente.

Ejemplo 1

Doña Linda Reina recibió un préstamo del Banco de Bogotá por $10 millones para cancelar en 12 cuotas mensuales iguales vencidas con una tasa del 3% mensual. Calcular el valor de las cuotas.

Gráficamente se tendría la siguiente interpretación del problema:

10,000.000

Page 63: Matemáticas Financieras

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

Se debe utilizar la fórmula 4

A = P[ ¡ ( 1+¡) n / (1+i) n ­1]

P = Valor presente, es en este caso, el valor del préstamo o sea $ 10.000.000

i = 3%

n = 12 meses

Tenemos las tres variables, por lo cual podemos calcular la cuota fija A

A = 10.000.000 [ 3%(1+3%) 12 / (1+3%) 12 ­1]

Alternativamente se puede escribir de la siguiente forma reemplazando el 3% por 0.03

A=10.000.000[0.03(1+0.03) 12 /(1+0.03) 12 ­1] A= $1.004.620.85

CAPÍTULO TRES

A= ? I = 3%

Meses

Page 64: Matemáticas Financieras

EQUIVALENCIAS CON CUOTAS VARIABLES

Justificación

Una serie de pagos puede hacerse en forma uniforme en cuanto al tiempo, pero aumentar o disminuir en una cantidad constante denominada gradiente. Esto lo que se conoce como cuota variable, sistema utilizado alternativamente para el manejo de los créditos en el sistema financiero. Con el estudio del capítulo, el aprendiente estará en condiciones de establecer la correspondencia entre unaa serie de pagos variables y un valor presente.

Objetivo General

Determinar la equivalencia entre una cuota variable y un valor presente

Objetivos específicos

• Establecer el valor de cada cuota en un sistema de cuotas con incremento previamente pactados

• En un sistema de cuotas crecientes o decrecientes determinar el valor de la primera cuota.

• Utilizar la hoja electrónica para el cálculo de las cuotas variables

Page 65: Matemáticas Financieras

3. EQUIVALENCIA CON CUOTAS VARIABLES

3.1. GRADIENTES

El sistema financiero colombiano además de las cuotas fijas, utiliza métodos alternos para sus créditos, las cuotas variables es uno de ellos, la filosofía de esta forma de pago es realizar incrementos periódicos en los pagos de los usuarios. Desde este punto de vista se generan dos formas de aplicarlo; la primera de ellas es incrementos en cantidades fijas, este sistema se conoce con el nombre de gradiente aritmético; o incremento en las cuotas mediante un porcentaje fijo, lo que se conoce con el nombre de gradiente geométrico, veamos con unos ejemplos como opera cada uno de ellos.

3.1.1. Gradiente Aritmético

Consideremos el caso de don Pastor Bueno, quién solicitó un crédito de $15 millones al Banco Santander; para pagar en un plazo de 3 años con pagos semestrales e incrementos de $ 100.000 a partir de la segunda cuota, si el interés es del 15% semestral, calcular el valor de las cuotas que debe pagar don Pastor Bueno al Banco.

Gráficamente el problema se expresa así:

$I 5.000.000

0 6 semestres

A+100.000

A+200.000

A+300.000

A+400.000

A+500.000

El problema se puede resolver utilizando la equivalencia, base de las matemáticas financieras explicada en el capítulo 1, o sea, F = P(l + i) N , que para el problema planteado sería de la siguiente manera:

1. Traer a valor presente cada una de las cuotas:

A

Page 66: Matemáticas Financieras

A/(1+0.15)' + (A + $100.000) / (1+0.15) 2 + (A + $200.000) / (1 + 0.15) 3 +

(A + $300.000)/(1+0.15) 4 + (A + $400.000)/(1+0.15) 5 + (A+$500.000)/(1+0.15) 6

2. Por el concepto de equivalencia igualar el valor del préstamo al valor presente de las cuotas, es decir:

$15.000.000. =A/(1+0.15)' + (A + $100.000)7 (1+0.15) 2 + (A + $200.000)/

(1+0.15) 3 +(A + $300.000) /(1+0.15) 4 + (A + $400.000) / (1+0.15) 5 +

(A + $500.000) / (1 + 0.15) 6

3. Hallar el valor de A

4. A = $3.753.834.56

Alternativamente se puede utilizar las fórmulas de gradiente aritmético que se derivan' de la fórmula matriz para resolver el problema planteado; sin embargo el problema se j puede resolver fácilmente, utilizando del menú principal de Excel herramientas de la I siguiente forma:

Hoja de Excel

A B C D E F G 1

2 0 ­150000000 Valor préstamo 3 1 20 ———— > Colocar cualquier valor

4 2 =B3+1 00000 5 3 =B4+1 00000 =VNA (0.15, B3:B8)+B2

4 =B5+100000 7 5 =86+100000 8 6 =B7+100000

El primer paso es colocar sobre la hoja de cálculo los ingresos y desembolso de dinero que tiene la transacción (Flujos de Caja). Si nos colocamos en la posición de la

Page 67: Matemáticas Financieras

entidad financiera, el desembolso lo hace cuando entrega el dinero al cliente, los ingresos cuando recibe los pagos; en el ejemplo se consideró que el préstamo era de Si5.000.000 como es desembolso para el Banco le colocamos signo negativo, los ingresos de dinero que corresponde a los pagos del cliente no los conocemos solo sabemos que se incrementan en $100.000, cada uno de ellos.

Para calcular el valor de los pagos que es nuestro objetivo, se coloca primero que todo en la columna A de las filas 2 a la 8 el encabezado semestre y luego, los períodos de los flujos de caja los cuales son en este caso de cero a seis (O a 6); en la última columna B con el encabezado flujos de caja se coloca en las filas 2 a la 8 los ingresos y egresos de la transacción para la entidad financiera comenzando con el valor del préstamo que colocamos en la celda B2, en las celdas B3 a B8 se colocan los pagos que hace el cliente. Como éstos se desconocen, en la celda B3 se registra cualquier valor, pero con signo contrario al valor del préstamo y se formulan los siguientes; es decir, el pago 2 sería igual al pago 1, incrementado en $100.000 o sea = B3 +100.000 y el pago 3 como =B4 +100.000 y así sucesivamente, hasta llegar al pago 6 que se formularía como =B7 +100.000, como muestra la figura.

Una vez terminado de formular los ingresos y desembolsos de la transacción de la i transacción se coloca en cualquier otra celda para nuestro caso G5 el cálculo del valor presente neto (VNA), de los flujos de caja a la tasa dada (1% semestral), que quedan; de la siguiente forma:

= VNA (0.15, B3:B8) + B2

TASA DE INTERÉS

0.15 Corresponde al 15% de tasa de interés.

B3 :B8 Es el rango de los pagos que hará el cliente, los cuales se traen a valor presente. :

B2 Valor del préstamo

Seguidamente, se busca en el menú principal del Excel herramientas, y allí se selecciona buscar objetivo y aparece el siguiente menú:

En definir la celda se coloca G5, que corresponde al valor presente neto de la transacción.

DEFINIR CELDA:

CON EL VALOR:

PARA CAMBIAR CELDA:

Page 68: Matemáticas Financieras

Con el valor se coloca cero (0), partiendo del concepto de equivalencia de toda la transacción, es decir, que el valor presente de los pagos futuros debe ser igual al valor del préstamo a la tasa de interés dada, al calcular la diferencia este valor debe ser cero. En nuestro ejemplo, los pagos futuros que vamos a calcular traídos a valor presente a la tasa de interés del 1 5% deben ser iguales a los $ 1 5 .000 .000 del préstamo, este concepto debe cumplirse para cualquier transacción, por lo tanto al sacar la diferencia entre el préstamo desembolsado hoy y el valor presente de los pagos futuros ésta debe ser CERO.

Para cambiar la celda: se coloca la celda en la cual se colocó cualquier valor en nuestro caso es la B3 que tiene un valor de 20.

En resumen, buscar objetivo debió quedar definido de la siguiente manera:

Se registra "aceptar" y automáticamente en las celdas que se formularon los pagos debe aparecer el valor de cada uno de ellos y en la celda G5 que es el valor presente neto, debe aparecer cero.

La hoja de Excel debe quedar finalmente con la siguiente presentación:

A B C D E F G 1 Semestre Flujo de Caja

2 0 ­15.000.000.00 3 1 3.753.834.56 4 2 3.853.834.56 5 3 3.953.834.56 0.00 6 4 4.053.834.56 7 5 4.153.834.56 8 6 4.253.834.56 9

DEFINIR CELDA: G5

CON EL VALOR: O

PARA CAMBIAR CELDA: B 3

Page 69: Matemáticas Financieras

3.1.2 Gradiente Geométrico

Otra forma alterna de cuota variable es el gradiente geométrico, es decir cuando una cuota varía respecto a otra no en una cantidad específica, por ejemplo $100.000, sino en un porcentaje ejemplo 10%.

Con base en el ejemplo de doña Linda Plata de Rico que­recibió un préstamo de su amigo don Pastor Bueno, el cual debe pagar en un plazo de una año y medio en 3 cuotas semestrales con un interés del 20% semestral, con incrementos de la cuota en un 10%, gráficamente se expresaría para don Pastor Bueno:

A(1.10) A

Tasa de interés: 20% semestral $ 5,000,000

El ejercicio anterior se puede desarrollar utilizando la primera fórmula de equivalencia vista en el capítulo 1, es decir, P = F/(l + i ) n , de la siguiente forma:

Primero se trae a valor presente los pagos futuros que debe hacer doña Linda a don Pastor.

P= A/ 1 I +0.20) +A(1 .10) / (1 +0.20) 2 +A(1 .21) / (1 + 0.20) 3

Luego, se iguala el valor presente de los pagos futuros al valor del préstamo, es decir:

$5.000.000 = A/ ( 1+0.20) +A(1.10)/ (1+0.20) 2 +A(1.21)/ (1+0.20) 3

Finalmente, se calcula A haciendo el despeje respectivo de la siguiente forma:

$5.000.000= A/1.2 + 1.10 A/1.44 + 1.21 A /1.728

$5.000.000 = 0.83333 A + 0.7638 A + 0.70023 A

$ 5.000.000 = 2.2974537037 A

A = $2.176.322 42

1 2 3 semestres

A(1.10)(1.10) = A (1.21)

Page 70: Matemáticas Financieras

Como se observa cualquier cálculo en matemática financiera se puede hacer utilizando la primera equivalencia utilizada en este libro, y que se definió de la siguiente manera:

F = P( 1 + i)

Y despejando P se tiene:

P = F / (I1+ i ) N

3.2 EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR PRESENTE Y UN GRADIENTE

3.2.1 Equivalencia entre un valor presente y un gradiente aritmético

Se define el gradiente aritmético a las cuotas variables en un plazo dado que aumenta una cantidad g en cada período

n semestres

A+g A+2g

A+3g A+4g

A+(n­1)g

Obsérvese en el gráfico anterior que en cada una de las cuotas permanece A como una constante, simplemente aumenta una cantidad fija g con respecto al período anterior. Nótese que el incremento en el período 3 es 2g en el 4 es 3g y así sucesivamente, por lo cual se puede concluir que en el período n será (n­1)g.

Para deducir la equivalencia que permite a través de una sola fórmula hacer los cálculos que se hicieron antes, lo primero que hay que identificar es que las cuotas variables tienen 2 componentes, uno fijo y otro variable; el fijo como se anotó anteriormente es A y su valor presente se definió de la siguiente forma:

P = A[(1+i) n ­ 1 / i (1+i)n n ]

Page 71: Matemáticas Financieras

La parte variable se presenta a partir del segundo período, cuando comienza el incremento g, en el tercer período es 2g, en el cuarto es 3g y así sucesivamente hasta r. donde el incremento es (n­1)g. Todos estos valores representan el incremento acumulado de la cuota, si se obtuvo el valor presente de la parte fija de la cuota variable, también es posible calcular el valor presente del componente cambiante utilizando para su cálculo la primera equivalencia, como se presenta a continuación:

P1 = g / (1+i) 2

P2 = 2g / (1+i) 3

P3 = 3g / (1+i) 4

P4 = (n—1)g / (1+i) n

P = P, + P2 + P3 + P4

P = g/(1 + i ) 2 + 2g / (1 + i ) 3 + 3g / (1 +i) 4 +.................+(n­1)/(1+i) n

Factorizando se tiene lo siguiente:

P = g[ 1/(1 + i ) 2 + 2/(1 + i ) 3 + 3/(1 +i) 4 +.................+(n­1)/(1 +i)"]

Llamando X a los términos que se encuentran entre paréntesis se tiene:

P = g(X)

X = 1/(1 + i ) 2 + 2/(l + i ) 3 + 3/(l + i ) 4 +....... ..+(n­l)/(l + i ) n Ecuación #1

Multiplicando la ecuación anterior por (1 + i ) se tiene:

X(l + i ) =1/(1 + i )' +2/(1 + i ) 2 +3/(1 + i ) 3 +....... .+(n­1) / (1 + i ) n ­ 1 Ecuación #2

Si se resta la Ecuación #2 ­ Ecuación #1 se tiene lo siguiente:

X­X(1+i) = 1/(1 + i )' +1/ (1 + i ) 2 +1/ (1 + i ) 2 +..... ........ ....­(n­l)/ (I + i ) n

X ­X + Xi =Xi

Xi = 1/(1+ i) 1 + 1/(1 +i) 2 + 1/(i+ 1) 3 +..... ........ ....­(n­l)/ (1 + i ) n

El último término de la ecuación anterior se puede descomponer en: por lo tanto:

­n / (1 + i ) n +(1 + i ) n

Page 72: Matemáticas Financieras

Por lo tanto:

Xi = i/(1 + i) 1 + i ( 1 + i ) 2 + 1/1+ i) 3 ... ..+1/1 + i ) n ­n/(1 + i ) n Ecuación #3 Todos los términos del segundo miembro de la ecuación a excepción del último corresponden a una serie uniforme de 1 :

1 /(1 + i ) 1 + 1/(1 + i ) 2 + 1/(1 + i ) 3 +......+1 /(1 + i ) n serie uniforme de $1

entonces, esta serie es una anualidad cuyo factor sería:

[(1+i) n ­ 1] / [i(1+i) n ]

Por lo tanto la Ecuación #3 quedaría expresada así:

Xi = [(1+i) n ­ 1] / [ i (1+i) n ] ­ n/(1+ i ) Al comienzo de esta deducción se determinó que P = g(X)

Reemplazando el valor de X, se tiene el valor presente del gradiente aritmético, definido de la siguiente forma:

P = (g / i) [ [ (1+i) n ­ 1] / (i (1+i) n ] ­ n / ( 1 + i ) n ] Fórmula # 9

En el gradiente aritmético se presentan dos situaciones, la primera es cuando la cuota variable aumenta período a período en una cantidad fija y la segunda cuando es decreciente, en ambos casos se emplea la misma fórmula, pero el planteamiento del problema se hace en forma diferente, como se explica a continuación:

3.2.2 Gradiente aritmético creciente

Si se recibe un préstamo de una entidad bancaria y éste debe ser cancelado en cuotas variables, las cuales se incrementan en la misma cantidad en cada período hasta terminar el plazo, se tendría un caso de gradiente creciente; su ilustración mediante un ejemplo sería de la siguiente forma:

Linda Plata de Rico recibe un préstamo del Banco Santander por $5.000.000 el cual debe ser cancelado en 3 años en cuotas variables semestrales con una tasa de interés del 5% semestral, e incrementos de $250.000 en cada una de las cuotas; con base en la información anterior determinar el valor de la primera cuota.

El punto de partida de este problema sería la elaboración del gráfico correspondiente:

Page 73: Matemáticas Financieras

0 1 2 3 4 5 6

A A +250.000

A +500.000

A+750.000

A+1.000.000

A+ 1.250.000

Como se había explicado anteriormente las cuotas variables tienen un componente fijo que para el problema se llama "A"; la variable seria el gradiente de $250.000 que es el incremento semestral del pago, por lo que el valor del préstamo sería igual al valor presente de la parte fija más el valor presente del componente variable.

P1 = Valor presente parte fija

P2 = Valor presente parte variable ,

Valor del préstamo = P1+ P2

Tasa de interés = i = 5% semestral; n = 6

P1 = P = A[((1+i) n ­ 1) /(i(1+i) n )] = A[((1+5%) 6 ­ 1) / (5%(1+5%) 6 )]

P1 =A( 5.07569206721)

P2 = (g/i [[(1+i) n – 1]/[i(1+i ) n ]­n/(1+i)"]

P2 = (250.000/5%) [[( 1+5%) 6 ­ 1] /[5%(1+5%) 6 ] ­ 6/ (1 + 5% ) 6 ]

P2 = $ 2.991.998,44

P, + P2 = $5.000.000

A( 5,07569206721) + 2.991.998,44 = 5.000.000

semestres

Page 74: Matemáticas Financieras

Despejando A se tendría:

A( 5,07569206721) = 5.000.000­2.991.998.44

A( 5,07569206721 ) = 2.008.001,56

A= 2.008.001,56/5,07569206721

A =$395.611,38

El resultado anterior quiere decir que el valor de la primera cuota es de $ 395.611,38 el de la segunda es este último valor adicionado en $250.000 que es el gradiente, lo que genera un valor de $ 645.611,38 y así sucesivamente hasta el período sexto que es el plazo convenido; en la siguiente tabla se detalla la amortización del préstamo, con una tasa de interés del 5% semestral

SEMES TRE

SALDO INICIAL

INTERESES CUOTA ABONO A CAPITAL

SALDO FINAL

1 $5,000,000.00 $250,000.00 $395,611.38 $145,611.38 $4,854,388.62

2 $4,854,388.62 $242,719.43 $645,611.38 $402,891.95 $4,451,496.66

3 $4,451,496.66 $222,574.83 $895,611.38 $673,036.55 $3,778,460.11

4 $3,778,460.11 $188,923.01 $1,145,611.38 $956,688.38 $2,821,771.74

5 $2,821,771.74 $141,088.59 $1,395,611.38 $1,254,522.80 $1,567,248.94

6 $1,567,248.94 $78,362.45 $1,645,611.38 $1,567,248.94 $0.00

3.2.3 Gradiente aritmético decreciente

En este caso el valor de la cuota variable disminuye una cantidad igual “g” con respecto al periodo anterior.

Gráficamente se expresaría de la siguiente forma

Page 75: Matemáticas Financieras

0 1 2 3 4 5 n

A­(n­1)g A­4g

A­3g A­2g

A­g A

En este caso se toma la cuota de mayor valor y se considera como constante, y se calcula su valor presente; posteriormente se determina el valor presente del gradiente. Como se tomó la de mayor valor como constante, se calcula la diferencia entre el valor presente de la parte constante y la del gradiente o parte variable. Un ejemplo que ilustra el concepto anterior se detalla a continuación: Juan Pérez recibió un préstamo de $2.000.000 para pagar en 6 bimestres en cuotas variables, con disminuciones de $30.000 en el valor de cada cuota. Si la tasa de interés es del 2% bimestral, calcular el valor de la primera cuota.

El diagrama sería el siguiente:

0 1 2 3 4 5 n

A­150,00 A­120,000

A­90,000 A­60,000

A­30,000 A

Primero, se calcula el valor presente de "A" o sea la parte constante.

P, = A[((1+i) n ­ 1)/(i(1+i)")] = A[((1+0.02) 6 ­ 1)/(0.02(1+0.02) 6 )]

Page 76: Matemáticas Financieras

P1=A( 5.6014308)

Luego, se calcula el valor presente del gradiente

P2 = (g/i)[[(1+i) n ­ 1]/[i(1+i) n ]­n/(1+i) n ]

P2= (30.000/0.02) [[(1+0.02) 6 ­ 1]/[0.02(1+0.02) 6 ]­6/(1+0.02/]

P2 = $ 410,403.90

Finalmente, se calcula el valor de A

P 1­P 2 = 2,000,000

A[5.6014308]­410,403.90 = 2,000,000

A[5.6014308] =2,410,403.90

A = $ 430,319.31 El valor de la segunda cuota sería 430,319.31 ­ 30,000 = 400,319.31 y así sucesivamente hasta el período 6.

3.2.4Equivalencia entre un valor presente y un Gradiente Geométrico

La cuota variable que se incrementa un porcentaje fijo j respecto a la anterior, recibe el nombre de gradiente geométrico y gráficamente se expresaría de la siguiente forma:

n períodos 0 1 2 3 4

k

k(1+j)

k(1+j) 2 k(1+j)3 k(1+j)

k (1+0,04) 4

Page 77: Matemáticas Financieras

La equivalencia de estas cuotas variables que se incrementan un % j en cada período, y un valor presente está dada por:

P = K[(1+i) n ­(1+j) n /(i­j)(1+i) n ] para i diferente de j, y

P= Kn/(1 +i ) pa ra i = j

Los conceptos anteriores se ilustran con un ejemplo: Pedro Rodríguez recibió un préstamo de $5 millones del Banco de Bogotá que debe pagar en 6 cuotas trimestrales con incrementos del 4% trimestral; si la tasa de interés es del 7% trimestral, hallar: a) el valor de la primera cuota y b) el valor de la primera cuota si i=3% y j = 3% trimestral. Gráficamente el problema se plantearía así: n períodos

P = K[(1+i) n – (1+j) n / (i­j)(1+i) n ] 5,000,000 = K[(1+0.07) 6 ­ (1+0.04) 6 /(0.07­0.03)(1+0.07) 6 ]

5,000,000 = K[5.22881704586]

K = $956,239.23

Si i es igual a j; i = 3% trimestral; j = 3% trimestral

P = Kn/(l +i )

k (1+0.04)

k (1+0.04) 2

k (1+0,04) 3

1 2 3 4 5 6 trimestres 0

k (1+0,05) 5

Si i es diferente de j

5,000,000

k

k (1+0,04) 4

Page 78: Matemáticas Financieras

5,000,000 =K6/(1.03)

[1.03(5,000,000)]/6 =

K = $858,333.33

3.3 AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS

La amortización de un préstamo indica período a período qué cantidad de la cuota que se paga corresponde a los intereses del préstamo y qué cantidad es el abono a capital. La suma de estos dos componentes es el valor de la cuota.

3.3.1 Tablas de amortización

El comportamiento de estas variables puede observarse mediante las tablas de amortización, herramienta que adicionalmente permite determinar en un momento dado el saldo del préstamo.

Con base en la información del ejemplo anterior, se elabora la tabla de amortización y se realiza el análisis correspondiente.

La tabla está conformada por los siguientes elementos:

• Período: para el ejercicio, es en meses.

• Saldo inicial: para el período 1 es el valor del préstamo, o sea $10.000.000. Para períodos posteriores, el saldo inicial del período n será el saldo final del período n­1

• Intereses = Saldo inicial x tasa de interés; para el ejemplo los intereses para el ­primer mes serían iguales a $10.000.000 x 3% o sea $300.000

• Valor de la cuota fija A: es el calculado mediante la fórmula, en este caso $1.004.620.85

• Abonos a capital = Cuota fija ­ Intereses; para el primer período (mes) del ejemplo sería:

• Abonos a capital = $1.004.620.85­$300.000 = $704.620.85

• Saldo final = Saldo inicial ­ Abonos a capital. Siguiendo con el ejemplo se tendría para el primer mes

Saldo final =10.000.000­704.620.85 = $9.295.379.15 Resumiendo, los encabezados de la tabla de amortización serían:

Page 79: Matemáticas Financieras

MES SALDO INICIAL INTERESES

CUOTA FIJA

ABONOS A CAPITAL

SALDO FINAL

A continuación puede observarse la tabla de amortización correspondiente al ejemplo

MES SALDO INICIAL INTERESES CUOTA MENSUAL

ABONOS CAPITAL SALDO FINAL

1 $10,000,000.00 $300,000.00 $1,004,620.85 $704,620.85 $9,295,379.15

2 $ 9,295,379.15 $278,861.37 $1,004,620.85 $725,759.48 $8,569,619.66

3 $ 8,569,619.66 $257,088.59 $1,004,620.85 $747,532.26 $7,822,087.40

4 $ 7,822,087.40 $234,662.62 $1,004,620.85 $769,958.23 $7,052,129.17

5 $ 7,052,129.17 $211,563.88 $1,004,620.85 $793,056,98 $6,259,072.19

6 $ 6,259,072.19 $187,772.17 $1,004,620.85 $816,848.69 $5,442,223.50

7 $ 5,442,223.50 $163,266.70 $1,004,620.85 $841,354.15 $4,600,869.35

8 $ 4,600,869.35 $138,026.08 $1,004,620.85 $866,594.77 $3,734,274.57

9 $ 3,734,274.57 $112,028.24 $1,004,620.85 $892,592.62 $2,841,681.96

10 $ 2,841,681.96 $ 85,250.46 $1,004,620.85 $919,370.40 $1,922,311.56

11 $ 1,922,311.56 $ 57,669.35 $1,004,620.85 $946,951.51 $ 975,360.05

1 2 $ 975,360.05 $ 29,260.80 $1,004,620.85 $975,360.05 ($0.00)

TOTALES $2,055,450.26 $12,055,450.26 $10,000,000.0

CUOTAS 12

PRÉSTAMO $1O.OOO.OOO TASA DE INTERÉS 3%

Page 80: Matemáticas Financieras

Para comprobar si una tabla de amortización fue bien elaborada, el saldo final al terminar plazo debe ser CERO.

Alternativamente podemos utilizar las funciones de la hoja electrónica Excel para calcular el valor de la cuota fija. Para ello empleamos las funciones f(x) financieras de Excel siendo el primer plazo hacer clic en f(x), señalar financieras y buscar pago (significa cuota fija, anualidad ó renta), hacer clic y aparece la siguiente información:

Tasa = 3% Nper = 12 VP = $10.000.000 VF = $0

TIPO = O por ser de modalidad vencida; si hubiera sido modalidad anticipada se colocaría UNO (1)

Excel arroja el pago por $1.004.620.85

Ejemplo 2

Considere el ejemplo número 1 pero modifique la forma de pago de vencida a anticipada, es decir, el mismo préstamo de $10.000.000 a un plazo de 12 meses y una tasa de interés del 3%.

Para este cálculo se utilizará la fórmula número 8 y obtenemos el valor de la cuota fija cancelada anticipadamente de la siguiente forma:

A = P[i(1+i) n / ( 1+i) (n+1) ­ (1+i)

A = 10.000.000[0.03(1+0.03) 12 /(1+0.03) 13 ­(1+0.03)

A = $975.360.05

Para la elaboración de la tabla de amortización de este préstamo, al suido inicial del período número 1 ó sea el valor del préstamo se le debe restar el valor de la cuota anticipada, es decir $10.000.000 ­ 975.360.05 = $9.024.639.95

A continuación se observa la correspondiente tabla.

CUOTAS 12 TASA DE INTERÉS 3.00%

PRÉSTAMO $10.000.000.00

Page 81: Matemáticas Financieras

81

MES SALDOINICIAL INTERESES

CUOTA MENSUAL ANTICIPADA

ABONOS CAPITAL SALDOFINAL

1 $9,024,639.95 $270,739.20 $975,360.05 $704,620.85 $8,320,019,09

2 $8,320,019.09 $249,600.57 $975,360.05 $725,759.48 $7,594,259.61

3 $7,594,259.61 $227,827.79 $975,360.05 $747,532.26 $6,846,727.35

4 $6,846,727.35 $205,401.82 $975,360.05 $769,958.23 $6,076,769.11

5 $6,076,769.11 $182,303.07 $975,360.05 $793,056.98 $5,283,712.13

6 $5,283,712.13 $158,511.36 $975,360.05 $816,848.69 $4,466,863.45

7 $4,466,863.45 $134,005.90 $975,360.05 $841,354.15 $3,625,509.30

8 $3,625,509.30 $108,765.28 $975,360.05 $866,594.77 $2,758,914.52

9 $2,758,914.52 $ 82,767.44 $975,360.05 $892,592.62 $1,866,321.90

10 $1,866,321.90 $ 55,989.66 $975,360.05 $919,370.40 $ 946,951.51

11 $ 946,951.51 $ 28,408.55 $975,360.05 $946,951.51 ($0.00)

12 ($0.00) ($0.00) $0.00 $0.00 ($0.00)

Alternativamente se puede utilizar las funciones financieras de Excel para calculare valor de la cuota fija anticipada; para eso entramos por pago y nos aparece el siguiente menú:

TASA = 3%

NPER = 12

VP = $10.000.000

VF = 0

Page 82: Matemáticas Financieras

82

TIPO = 1

Tipo 1 por ser modalidad anticipada y nos arroja el siguiente resultado:

A = $ 975,60.05

Ejemplo 3

El señor Armando Casasbuenas recibió un préstamo de $5.000.000 del Banco Sudameris que debe pagar en 6 cuotas mensuales iguales vencidas. Si la tasa de interés es del 2% para los tres primeros meses y de 3% para los tres siguientes, calcular el valor de la cuota y elaborar la tabla de amortización correspondiente.

Gráficamente el problema se representa de la siguiente forma:

1 2 3 4 5 6 0

2% 3%

El planteamiento matemático se haría de la siguiente forma: como se trata de cuotas las vencidas la fórmula a emplear sería:

P= A[ ( 1+i) n ­1 / i (1+i) n ]

Sin embargo, hay que tener en cuenta que se tienen dos tasas de interés diferentes; para los tres primeros meses es del 2% y para los siguientes del 3%, por lo tanto hay que dividir el problema en dos partes: Primero, se trae a valor presente las tres primeras cuotas con una i = 2%; este valor presente se llamará P1

P1 = A[(1+0.02) 3 ­1/0.02(1+0.02) 3 ]

Luego, se trae a valor presente las tres cuotas siguientes con un i = 3% mensual; este valor presente se llamará P2

P2 = A[1+0.03) 3 ­1/0.03(1+0.03) 3 ] La gráfica resume lo que pasó:

Meses

Page 83: Matemáticas Financieras

83

$ 5.000.000 ♣ 1 2 3 4 5 6

0

2% 3%

Al traer a valor presente con tres períodos las cuotas de los segundos tres meses, se cae en el mes 3 (donde está situado el trébol) y se debe estar en el mes cero; como la tasa de esos primeros períodos es del 2%, el mes 3 es un valor futuro con respecto al cero. Para estar en el período cero simplemente se aplica la fórmula matriz de las Matemáticas Financieras o sea:

Por lo tanto P2 = A [ (1+0.03 ) 3 ­ 1 / 0.03 (1+0.03) 3 ] / [ (1+0.02) 3 ]

Por el concepto de equivalencia la suma de los valores presentes deben ser, igual al valor del préstamo de $5 millones.

$5.000.000 = A[(1+0.02) 3 ­1/0.02(1+0.02) 3 ] + A[(1+ 0.03) 3 ­1 / 0.03(1+0.03) 3 ] / [ (1+0.02) 3 ]

Resolviendo se obtiene el valor de A

$5.000.000 = A[2,88388] + A[2,6654636] $5.000.000 = A[5,54993469] A = $5.000.000 75,5493469 *W A = $901.006,92

Alternativamente, el anterior ejercicio se puede desarrollar utilizando las herramientas de Excel de la siguiente forma:

F P= ­­­­­­­­­­

( 1+i ) n

Page 84: Matemáticas Financieras

Representación de una HOJA DE EXCEL

A B C 1 PRÉSTAMO ­50000000

123 2

PAGO1 Colocar cualquier valor

3 PAGO 2 =$B$2 4 PAGO 3 = $ B $2

5 PAGO 4 = $ B $2

6 PAGOS = $ B $ 2

7 PAGO 6 = $ B $ 2

Todas las cuotas son iguales, deben quedar formulado como aparece aquí, debe aparecer 123 para todas las cuotas, pero formulado.

En la celda C8 o en cualquier otra celda colocar el valor presente:

=VNA(2%,B2:B4) + VNA(3%,B5:B7)/((1+0.02) 3 +B1

Se hace clic en herramientas (menú principal), se señala buscar objetivo y aparece definir celda (donde s e coloca el valor presente en este caso $ C $ 8, con e l v al o r cero (por el concepto de equivalencia), cambiando la celda (donde se escribe cualquier valor) en este caso B2 y se hace clic en aceptar.

El valor que aparece en los pagos es el valor a pagar por el préstamo de $5.000.000, la cuota correspondiente a las condiciones iniciales dadas es de $901.006,92.

La tabla de amortización aparece a continuación, tener en cuenta en la columna de intereses que en los tres primeros meses la tasa es del 2% mensual y en los siguientes . 3% mensual.

CUOTAS 6

PRÉSTAMO $ 5,000,000.oo

3% 3 siguientes

Page 85: Matemáticas Financieras

MES SALDO INICIAL

INTERESES CUOTA MENSUAL

ABONOS CAPITAL

SALDO FINAL

1 $5,000,000.00 $100,000.00 $901,006.92 $801,006.92 $4,198,993.08

2 $4,198,993.08 $ 83,979.86 $901,006.92 $817,027.06 $3,381,966.02

3 $3,381,966.02 $ 67,639.32 $901,006.92 $833,367.60 $2,548,598.41

4 $2,548,598.41 $ 76,457.95 $901,006.92 $824,548.97 $1, 724,049.44

5 $1,724,049.44 $ 51,721.48 5901,006.92 $849,285.44 $ 874,764.00

6 $ 874,764.00 $ 26,242.92 $901,006.92 $874,764.00 $0.0

TOTAL $406,041.54 $5,406,041.54 $5,000,000.00

Ejemplo 4

Utilizando la información del ejemplo 1, calcular cuánto dinero debe al Banco de Bogotá doña Linda Reina después de cancelar la cuota # 7, y cuál es la composición (abonos a capital e intereses) de la cuota # 5.

A través de la tabla de amortización se pueden encontrar las respuestas a estas preguntas.

El saldo después de cancelar la cuota # 7 es de $ 4,600,869.35 y la composición la cuota # 5 es $211,563.88 de intereses y un abono a capital de $793,056.98, para un total de $1,004,620.85 que es el valor de la cuota.

Alternativamente se puede resolver este problema de la siguiente manera: ¿Cuánto debe Linda Reina al Banco de Bogotá, después de cancelar la cuota # 7?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0

A = 1, 004,620.85 Simplemente observando el gráfico se tiene que doña Linda debe 5 cuotas, por lo tanto el valor presente de ellas en el período 7 es el saldo del préstamo.

Meses

Page 86: Matemáticas Financieras

P = A[ (1+i) n ­1 / i (1+i) n ]

P = 1.004.620.85 [(1+0.03) 5 ­1 / 0.03 (1+0.03) 5 ] = $4, 600,869.35

Para determinar el valor de la cuota # 5, se parte del concepto visto en las tablas de amortización en el que los intereses de una cuota son iguales a la tasa de interés multiplicada por el saldo inicial, el cual es igual al saldo final del período anterior. Se deduce que si se pregunta la composición de la cuota # 5, se debe determinar cuánto se debe después de cancelar la # 4 (saldo final del período # 4), que es simplemente el valor presente de las 8 cuotas que quedan pendientes.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

A = 1,004,620.85

P= 1,004,620.85[(1+0.03) 8 ­1/0.03(1+0.03) 8 ] P = $7,052,129.17

Este valor sería el saldo final del período 4 que a su vez es el saldo inicial del período 5, por lo tanto:

Intereses de la cuota # 5 = Saldo inicial * i%

Intereses de la cuota # 5 = 7,052,129.17 * 3%

Intereses de la cuota # 5 = $211,563.88

Abono a capital cuota # 5 = Cuota fija ­ Intereses cuota # 5

Abono a capital cuota # 5 = 1, 004,620.85 ­ 211,563.88

Abono a capital cuota # 5 = 793,056.98

Los valores anteriores coinciden con los obtenidos en la tabla de amortización.

Ejemplo 5 Completar la siguiente tabla de amortización:

Meses

Page 87: Matemáticas Financieras

BIMES TRE

SALDO INICIAL

INTERESES CUOTA MENSUAL

ABONOS CAPITAL

SALDO FINAL

1 $840,477.44

2 $14,708.36

3 4 5 6

La tabla de amortización puede ser completada con los conceptos expuestos en ejemplo 4.

Saldo final del período 1 = Saldo inicial período 2

intereses período 2 = (Saldo inicial período 2) i%

14,708.36 = 840,477.44i%

i= 14,708.36/840,477.44 = 1.75% bimestral.

Con base en el saldo final del bimestre # 1, después de pagar la cuota correspondiente a ese período, queda un saldo de $840,477.44 y 5 cuotas pendientes. Por lo tanto, y de a cuerdo con lo explicado en el ejemplo #4, P = 840,477.44

P = A[ (1+i) n ­1 / i (1+i) n ]

840,477.44= A[(1+0.0175) 5 ­1/0.0175(1+0.0175) 5 ]

840,477.44 = A[4.74785507588]

Despejando A

A = 840,477.44 / 4.74785507588

A = 177,022.56 Con el valor de la cuota se puede hallar el valor del préstamo y de ahí en adelante se continúa armando la tabla, de acuerdo con lo aprendido previamente.

P = A[ (1+i) n ­1 / i (1+i) n ]

P = 177,022.56 [(1+0.0175) 6 ­1/0.0175(1+0.0175) 6 ]

Page 88: Matemáticas Financieras

P = $1,000,000

n = 6, porque es el plazo del préstamo de acuerdo con lo estipulado en la tabla de amortización.

i = 1.75% bimestral

Completando la tabla se tiene:

BIMES TRE

SALDO INICIAL INTERESES CUOTA

MENSUAL ABONOS CAPITAL

SALDO FINAL

1 $1,000,000.00 $ 17,500.00 $ 177,022.56 $159,526.56 $840,477.44

2 $840,477.44 $ 14,708.36 $ 77,022.56 $162,314.20 $678,163.24

3 $678,163.24 $11,867.86 $ 77,022.56 $165,154.70 $513,008.54

4 $513,008.54 $8,977.65 $ 177,022.56 $ 168,044.91 $344,963.64

5 $344,963.64 $ 6,036.86 $ 77,022.56 $ 170,985.69 $173,977.94

6 $173,977.94 $3,044.61 $177,022.56 $173,977.94 $0.00

Ejemplo 6

Justo Sin Plata recibió un préstamo de su primo Armando Rico Plata de $ 10.000.000 que debe pagar en 3 años, cuotas semestrales iguales vencidas con una tasa de interés del 10% semestral, pero los intereses deben ser pagados anticipadamente, calcular el valor de la cuota que debe pagar Justo Sin Plata a su primo Armando y elaborar : tabla de amortización del préstamo.

En este caso, se debe utilizar la equivalencia correspondiente a la fórmula 9 que es la específica para este caso.

A = P [i / ((1­(1­i) n )) ]

A =$10.000.000 [0.10/((1­(1­0.10) 6 ))] = $ 2.134.202,95

Page 89: Matemáticas Financieras

Para la elaboración de la tabla de amortización se debe tener en cuenta lo siguiente:

En la última cuota "A" que se pague en este caso la número 6 no habrá pago de intereses, todo corresponderá a abono a capital, puesto que los intereses han sido calculados anticipadamente.

Simbólicamente los abonos a capital se expresarían de la siguiente forma:

Abono a capital última cuota período n = A

Abono a capital cuota período n­1 = A ­ Ai = A(1­i), que es simplemente la diferencia entre el saldó que es A y los intereses anticipados de ese saldo que serían Ai, de la misma forma se hace para los siguientes períodos.

Abono a capital cuota período n ­2 = A(1­ i) ­ i(A(1­i)) = A(1­i) 2

Y así sucesivamente hasta llegar al período #1 donde:

Abono a capital cuota # 1 = A( 1 – i ) ) n­1

Para el ejemplo que se está analizando, los abonos a capital se calcularían de la siguiente forma:

El abono a capital de la cuota #6 que es la última cuota es igual a A o sea $2.134.202,95 puesto que los intereses fueron pagados anticipadamente en la #5

El abono a capital de la cuota #5 = A(1­i) = 2.134.202,95(1­0.10) = $1.920.782,65

El abono a capital de la cuota #4 = A(1­i) 2 = 2.134.202,95(1­0.10) 2 = $1.728.704.39

El abono a capital de la cuota #3 = A(1­i) 3 = 2.134.202,95(1­0.10) 3 = $1.555.833.95

El abono a capital de la cuota #2 = A(1­i) 4 = 2.134.202,95(1­0.10) 4 = $1.400.250.56

El abono a capital de la cuota #1 = A(1­i) 5 = 2.134.202,95(1­0.10) 5 = $1.260.225.50

Los intereses de cada período serían la diferencia entre la cuota y el abono a capital calculado anteriormente.

Intereses = Cuota ­ Abono a Capital

La tabla de amortización para el caso analizado sería la siguiente:

Préstamo: $10.000.000

Interés:.... 10% semestral

Page 90: Matemáticas Financieras

Plazo:...... 6 semestres

PERIO­ DO

SALDO INICIAL

INTERESES CUOTA ABONO A CAPITAL

SALDOFINAL

0 $ 10,000,000.00 $ 1,000,000.00 $ 10,000,000.00

1 $ 10,000,000.00 $ 873,977.45 $2,134,202.95 $ 1,260,225.50 $ 8,739,774.50

•> $ 8,739,774.50 $ 733,952.39 $2,134,202.95 $ 1,400,250.56 $ 7,339,523.94

3 $ 7,339,523.94 $ 578,369.00 $2,134,202.95 $ 1,555,833.95 $ 5,783,689.99

4 $ 5,783,689:99 $ 405,498.56 $2,134,202.95 $ 1,728,704.39 $ 4,054,985.60

5 $ 4,054,985.60 $ 213,420.29 $2,134,202.95 $ 1,920,782.65 $ 2,134,202.95

6 $ 2,134,202.95 $ 0.00 $2,134,202.95 $2,134,202.95 $ 0.00

Nótese que en el período cero se pagan intereses anticipados de $ 1.000.000

Nota: Es importante distinguir entre el uso de la fórmula #8 que corresponde a la equivalencia entre una serie de cuotas uniformes anticipadas y un valor presente y la fórmula # 9 que es la equivalencia entre una serie de cuotas uniformes vencidas con intereses anticipados y un valor presente. En la primera se paga el valor de una cuota anticipadamente de manera semejante a una cuota inicial, es decir que se disminuye Ia cantidad prestada inicialmente en una cantidad igual a la cuota (ver ejemplo 2), en la fórmula #9 solamente los intereses son anticipados(Ver ejemplo 7).

3.3.2 Perpetuidades

Las perpetuidades se presentan cuando no existe un período final n, porque éste es muy grande.

P = A[ (1+i) n ­1 / i (1+i) n ] Separando los elementos que constituyen el numerador se tiene:

P= A[(1+i) n / i (1­fi)"­1/ i (1+i) n ]

Simplificando se tiene:

P = A[1/i 1­/i(1+ i) n ]

Page 91: Matemáticas Financieras

El último término del factor entre paréntesis es cero, cuando n es muy grande; por lo tanto:

P = A/i

A = Pi

Ejemplo 7

Armando Rico Bueno desea que su esposa e hijos reciban una cantidad mensual uniforme cuando él se muera, para lo cual ha depositado $30 millones en un fondo a una tasa de 1.5% mensual. Determinar el valor de la mesada.

A = Pi

A = 30.000.000(1.5%) = $450.000

Page 92: Matemáticas Financieras

EJERCICIOS PARA PROFUNDIZACIÓN DE LAS TEMÁTICAS

1. Sofía Vergara recibió un préstamo del Banco Santander de $30 millones para cambiar de vehículo; si el plazo es de 5 años y se debe pagar en cuotas bimestrales vencidas, determinar:

a. El valor de las cuotas si la tasa de interés es del 25% anual, trimestre vencido.

b. ¿Cuál es el saldo de la deuda después de cancelar la cuota # 9?

c. ¿Cuál es la composición (capital e intereses) de la cuota # 13?

2. Natalia París recibió un préstamo de $50 millones del Banco Popular para adquirir un nuevo apartamento; si el interés es del 30% anual semestre vencido y el crédito se debe pagar en cuotas iguales mensuales anticipadas durante 7 años, determinar el valor de cada cuota.

3. Beatriz Pinzón recibió un préstamo de $10 millones de su amiga Marcela Valencia para pagar en 3 años, en cuotas iguales semestrales, determinar el valor de la cuota si las tasas de interés para cada uno de los años son los siguientes:

a. Primer año: 8% semestral

b. Segundo año: 10% semestral

c. Tercer año: 22% anual trimestre vencido.

5. Sandra Muñoz recibió un préstamo del Banco Santander que debe pagar en 2 años en cuotas trimestrales iguales vencidas, si la tasa de interés es del 6% trimestral. Calcular el valor de las cuotas y elaborar la tabla de j amortización, sabiendo que los intereses se pagan anticipadamente.

6. Natalia París recibió un préstamo de $12,000,000 de su amiga Sofía Vergara para pagar en 5 años en cuotas semestrales variables; si el valor de la cuota se incrementa en $40,000 por período y la tasa de interés es del 20% anual trimestre vencido, hallar el valor de cada una de las cuotas que debe pagar Natalia a Sofía.

7. Juan Valdés recibió un préstamo de Bancafé por $30 millones que debe pagar en doce cuotas trimestrales variables; si la tasa de interés es del 5% trimestral y los incrementos de las cuotas son del 3%, calcular el valor de la primera cuota.

8. Armando Casas Rojas recibió un préstamo del Citibank por $35 millones que debe pagar en 18 cuotas bimestrales variables; si la tasa de interés es del 2% bimestral y la tasa crece el 2% trimestral, calcular el valor de la primera cuota.

Page 93: Matemáticas Financieras

9. Desarrollar el problema # 1 utilizando la metodología Excel explicada al principio del capítulo.

10. Desarrollar el problema # 2 utilizando la metodología Excel explicada al principio del capítulo.

11. Desarrollar el problema # 3 utilizando la metodología Excel explicada en la sección de 3.1.1 (gradiente aritmético.)

Page 94: Matemáticas Financieras

UNIDAD DIDACTICA DOS

EVALIUACION DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN

Justificación

La toma de decisiones sobre nuevos productos, mercados, inversiones en activos por adquisición o mejora; compra de empresas y otras estrategias que las organizaciones deben afrontar cada día, permite la aplicación de las herramientas de las matemáticas financieras. Las temáticas de esta unidad, no solo permiten aplicar las herramientas apropiadas mediante el estudio de la unidad anterior sino que además proporciona otras técnicas necesarias para la toma de decisiones en la elección de la mejor alternativa de inversión, mediante la comparación de resultados que se esperan obtener.

Objetivo General

Reconocer los criterios, identificar los diferentes métodos y aplicar las herramientas financieras para la evaluación de diferentes alternativas de inversión para establecer las condiciones inequívocas que apoyen la toma de decisiones en la elección de la mejor alternativa en razón de la rentabilidad financiera o de los beneficios para una comunidad específica.

Objetivos específicos

• Establecer las diferencias entre las evaluaciones financiera, económica o social • Analizar la importancia de la tasa de descuento en la evaluación financiera • Definir los criterios de decisión a utilizar cuando se tienen varias alternativas de

inversión • Medir el riesgo de una inversión a través de la teoría de probabilidad • Optimizar la utilización de los recursos financieros de las organizaciones

Page 95: Matemáticas Financieras

El desarrollo de esta actividad permite indagar los conocimientos que se tiene sobre los contenidos a estudiar, de tal forma que facilita la recepción de la nueva información y genera mayor comprensión de las temáticas.

Después de inspeccionar ligeramente la unidad y sin adelantar la lectura contestar las siguientes preguntas y registrarlas en la primera columna del cuadro 1. “SQA”.

¿Qué SE acerca de?

¿Evaluación financiera; tasa de descuento; costo promedio; Valor presente neto; tasa interna de retorno; tasa ponderada; ?

Una vez realizada la reflexión sobre los vacíos encontrados al tratar de responder los interrogantes anteriores, consignar en la columna dos del cuadro 1 “SQA”, lo que se desea conocer sobre los temas tratados. Así se resuelve la pregunta:

¿Qué Quiero Saber?

Después de abordar la lectura de los contenidos; analizar los ejemplos; resolver las actividades de profundización y de socializar las temáticas con los demás estudiantes del curso, se debe completar el cuadro “SQA” registrando en la tercera columna el conocimiento nuevo, construido mediante el estudio de la unidad. El registro de los logros, responde la pregunta:

¿Qué Aprendí?

Cuadro 1 “SQA”

¿QUÉ SÉ QUÉ QUIERO SABER QUÉ APRENDÍ

Saberes previos: Meas de aprendizaje: Logros: nuevo conocimiento

ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN DE CONOCIMIENTOS PREVIOS

Qué se sobre..?

Page 96: Matemáticas Financieras

CAPITULO UNO

CLASES DE EVALUACIONES Y CRITERIOS DE DECISION

Justificación

La evaluación de un proyecto es el procedimiento mediante el cual se comparan los resultados esperados, con los objetivos predeterminados y mediante la utilización de criterios específicos de evaluación. El estudio del capitulo y los interactividades propuestas desarrollarán en el aprendiente las competencias para definir si un proyecto se realiza o no.

Objetivo General

A partir del reconocimiento y profundización de las temáticas y la aplicación de de las herramientas financieras, el estudiante estará en condiciones de establecer las diferencias concretas entre las evaluaciones financiera, económica y social, definir los criterios de decisión a usar e identificar el método mas conveniente a aplicar para la toma de decisiones cuando se tienen varias alternativas de inversión.

Objetivos específicos

• Identificar las características de las evaluaciones social, económica y financiera • Definir la relación beneficio /costo como herramienta financiera • Definir e interpretar los conceptos de las demás herramientas financieras • Calcular el costo promedio ponderado de capital­WACC • Establecer el valor presente ­VP • Calcular la tasa interna de retorno –TIR • Determinar el costo anual uniforme equivalente –CAUE • Aplicar el costo capitalizado a la toma de decisiones

Page 97: Matemáticas Financieras

1. CLASES DE EVLUACIONES Y CRITERIOS DE DECISION

La evaluación de proyectos permite establecer sus bondades y determinar si es o no conveniente su ejecución. Mediante la evaluación es como se comparan los resultados que se desean obtener con los objetivos fijados previamente y a través de criterios de evaluación definidos.

Esencialmente se tienen en cuenta tres tipos básicos de evaluación de proyectos: evaluación económica; evaluación de impacto social; y evaluación financiera.

La evaluación económica tiene como finalidad medir el impacto de un proyectos obre el bienestar de los nacionales y determinar la rentabilidad desde la óptica de la economía. Está basada en los flujos de beneficios y costos que afectan en forma positiva o negativa a los individuos de una localidad, región o del país en cuanto a su bienestar individual.

En cuanto a la evaluación social y financiera, se debe considerar lo siguiente:

1.1 EVALUACIÓN DE PROYECTOS SOCIALES

La evaluación social complementa la evaluación económica adicionando juicios sobre el valor de redistribuciones del ingreso y sobre el valor de metas que son deseables por su impacto en la totalidad de la sociedad.

1.1.1 Características

Atendiendo los objetivos de desarrollo del país, la rentabilidad del proyecto se establece mediante la evaluación social. Para lo cual se tienen las siguientes características.

a. Distribución geográfica de los beneficios

b. Distribución social de los beneficios entre los diversos estados y grupos de la sociedad.

c. Distribución de los beneficios entre consumo e inversión.

d. Creación de empleo

e. Contribución de otros aspectos, como el mejoramiento en las balanzas externas

En general se puede afirmar que la evaluación de un proyecto depende en alto grado del propietario del proyecto. Los proyectos estatales pretenden establecer prioritariamente el impacto positivo que el proyecto tendrá en la comunidad.

La explotación de los proyectos sociales no es atractiva para el sector privado por sus altos costos y su poca relevancia en rentabilidad financiera. Igual otros proyectos

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podrán ser muy atractivos desde el punto de vista financiero, pero no pueden serlo desde el punto de vista social o de la economía nacional. De ahí que para los proyectos de gran envergadura es necesario realizar su evaluación conjugando ambos aspectos: el impacto social y la rentabilidad financiera.

1.1.2 Relación beneficio/costo ­ R B/C­ 1

Si bien este método se utiliza en la evaluación financiera como se verá más adelante, su uso es más generalizado en la evaluación de proyectos de interés social o proyectos públicos cuando los fondos para la financiación provienen de organismos internacionales. Para obtener la relación beneficio/costo se realiza el cociente entre la sumatoria de los valores actualizados de los ingresos y la sumatoria de los valores actualizados de los egresos.

∑ It / (1+i) t R B/C =

∑ Et / (1+i) t

De otro modo, de lo que se trata es de calcular el valor presente de los ingresos y de los egresos del proyecto con base en la tasa de oportunidad y hacer la correspondiente división.

Los valores resultantes de la relación B/C deben ser interpretados como sigue:

R B/C > 1 El proyecto es viable, dado que el VP de los ingresos es mayor que el VP de los egresos

R B/C < 1 El proyecto no es atractivo, dado que el VP de los ingresos es inferior al VP de los egresos

R B/C =1 Teóricamente es indiferente realizar o no el proyecto. En este caso la TIR y la tasa de oportunidad son iguales. El VP de los ingresos es igual al VP de los egresos

1.1.3 Costo Capitalizado

Su fundamento teórico está en las perpetuidades. Se usa para evaluar proyectos de larga vida generalmente mayores a 15 años, como por ejemplo puentes, carreteras, parques, etc. En perpetuidades:

A = Pi, donde,

CONTRERAS B, Marco Elías . Formulación y evaluación de proyectos. UNAD Bogotá 2004

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A = Cuota uniforme

P = Valor presente

I = Tasa de descuento

Despejando P, se obtiene lo que se llama costo capitalizado:

Ejemplo

El alcalde de Pereira está considerando dos alternativas en su ciudad; la primera, es construir un puente nuevo que tendría un costo de $1,500 millones e inversiones adicionales cada 20 años de $60 millones y costos anuales de $30 millones.

La segunda opción, es reparar un puente construido hace 50 años, con un costo operativo de $1,300 millones e inversiones cada 5 años de $25 millones y costos anuales de mantenimiento de $60 millones. Si la tasa dc descuento es del 25% anual, ¿cuál seria la opción menos costosa para la ciudad?

Opción 1: Construir puente nuevo

El diagrama es el siguiente: 0 20 40

P1 = Valor de la inversión inicial = $1 ,500,000,000

A P = ­­­­­­

i

30 millones 30 millones

1.500 millones 30 millones 60 millones

años

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P2 = Valor presente o costo capitalizado de las inversiones cada 20 años de $60 millones.

Los $60 millones que deben invertirse cada 20 años son un valor futuro con respecto al año cero; por lo tanto se podrían obtener cuotas uniformes de la siguiente manera:

A = Cuota uniforme

F Valor futuro

A= F [ i / (1+i) n ­ 1]

A = 60,000,000 [ 0.25 / (1+0.25) 20 ­ 1] A = $ 174,955.32

Este valor se origina para los primeros 20 años; para el año 40 se repite la inversión y por lo tanto se obtendría la misma cuota uniforme de $ 174,995.32; igual situación se presentaría para el año 60; es decir, las inversiones de cada 20 años, al distribuirlas en cuotas uniformes se vuelven una perpetuidad.

Por lo tanto: P3 =Valor presente de los costos anuales de mantenimiento

Estos costos se consideran una perpetuidad porque se repiten cada año, por lo tanto:

30.000.000 P3 = = $120.000.000

0.25 Costo capitalizado opción # 1:

Page 101: Matemáticas Financieras

P1 = 1,500,000,000

P2 = 699,821.28

P3 = 120,000,000

P opcion1 = Costo capitalizado opcional P1= + P2 + P2

P opcion1 = 1,620,699,821

Opción 2: reparar puente

El diagrama sería el siguiente:

0 20 40

P1 = Valor de la inversión inicial = $1,3000 millones

P2= Valor presente o costo capitalizado de las inversiones cada 5 años de $25,000,000.

El procedimiento es idéntico al empleado en la opción # 1, sino que en este caso las inversiones son cada cinco años. A = Cuota uniforme

F = Valor futuro

25 millones

1,300 millones 60 millones 60 millones

años

25 millones

Page 102: Matemáticas Financieras

A= F [ i / (1+i) n ­ 1]

A = 25,000,000 [ 0.25 / (1+0.25) 5 ­ 1] A = 25,000,000 [0.12 184674]

A = $ 3,046,168.49

Este valor se origina para los primeros 5 años, y como la operación se repite en el año 10,15, 20, etc, se obtendrá la misma cifra anualmente, es decir que los 53,046,168.49 se convierten en una perpetuidad, por lo tanto:

P2= 3,046,168.49 = $12,184,674 0.25

P3= Valor presente de los costos anuales de mantenimiento

Estos costos se consideran una perpetuidad porque se repiten cada año; por lo tanto:

P3= 60,000,000 = $240 ,000,000 0.25

P opción 2 = Costo capitalizado opción2 = P1 +P2 + P2

P opción 2= 1,300,000,000 + 12,184,674 + 240,000,000

P opción 2= $1,552,184,674

Por lo tanto el Alcalde de Pereira debe seleccionar la opción # 2, por ser menos costosa (costo capitalizado menor).

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1.2 CRITERIOS PARA EVALUAR PROYECTOS DE INVERSÍÓN

Las matemáticas financieras a través de su concepto de interés, que no es otra cosa que el valor del dinero en el tiempo, proporciona los conceptos para definir los criterios que servirán de base para tomar decisiones sobre nuevos productos, mercados, clientes, etc., los cuales se constituyen en proyectos o estrategias que toda empresa debe realizar para sobrevivir en una economía de mercado.

Adicional a la tasa de descuento, debe tenerse en cuenta en la evaluación de proyectos de inversión el concepto de los "flujos de caja". Su estimación adecuada es fundamental y depende a su vez de investigación objetiva de mercados, estimación idónea de costos, fijación de precios, asignación de maquinaria, selección de recursos técnicos y humanos, entre otros.

Otro aspecto importante es la estimación de la vida útil de la inversión, generalmente depende del proyecto, por ejemplo un proyecto para cultivar rosas tiene una duración de 10 años que es la duración de la mata y un cultivo de clavel de 2 a 3 años, que es el tiempo productivo de la planta.

Los criterios de decisión en evaluación de proyectos tienen como fuente los flujos de caja y la tasa de descuento. A continuación se explicará cada uno de ellos.

1 Tasa de descuento

2 Valor presente neto

3 Tasa interna de retorno

4. Costo anual uniforme equivalente

La confiabilidad de cada uno de estos criterios depende de varios factores los cuales están íntimamente relacionados. Por ejemplo, la certeza de los flujos de caja depende de una acertada estimación de precios, costos, demanda, etc. La estimación correcta de la tasa de descuento puede ser fundamental a la hora de determinar la viabilidad o no de un proyecto de inversión.

1.2.1 Tasa de Descuento

En el capítulo 1 cuando se hizo el paralelo entre 2 inversionistas para deducir a partir de esta situación los conceptos de interés y el de tasa de interés de oportunidad, se está planteando implícitamente el concepto de tasa de descuento. Basta recordar el ejemplo de doña Linda Plata de Rico, cuando se planteó que sólo cedería su dinero si la tasa que le ofrecen por su dinero era como mínimo del 3% mensual.

Page 104: Matemáticas Financieras

La determinación de la tasa de descuento es uno de los elementos fundamentales en la evaluación de proyectos de inversión, pues de ella va a depender la viabilidad del proyecto.

Los investigadores en finanzas han concluido que la tasa de descuento debe ser el resultado de seleccionar entre la tasa de interés de oportunidad y el costo ponderado de capital, escogiendo la mayor de las dos para ser más exigentes con el proyecto.

1.2.2 Costo Promedio Ponderado de Capital –WACC­

Es el costo promedio de los recursos propios y externos después de impuestos que requiere un proyecto.

En lo que hace referencia al costo de los recursos propios, existen modelos como el CAPM (Capital Assets Pricing Model) que permite acercarse al costo de los recursos propios.

Costo promedio ponderado de capital = Ko = WACC

Ko = KdWd + KpWp

Kd = Costo de la deuda después de impuestos

Wd = % de deuda en relación con el total de recursos

Kp = Costo de los recursos propios

Wp = % de los recursos propios en relación con el total de recursos

Por ejemplo, si el proyecto "YY" requiere $500 millones de inversión de los cuales $200

millones son recursos propios, que tienen una tasa de oportunidad para el inversionista del 23% efectivo anual y la diferencia son recursos externos, con un costo del 27% efectivo

anual y una tasa de impuestos del 35%, el costo promedio ponderado de capital será:

Wd = 300/500 = 60%

Wp = 200/500 =40%

Kd =27%(1­T) = 27%(1­ 0.35) = 0.1755

Kd == 17.55% efectivo anual Kp = 23%

Page 105: Matemáticas Financieras

Ko = 60%(17.55%) + 40%(23%)

Ko = Costo de capital =0.1973 ó 19.73% efectivo anual.

La tasa de descuento es el resultado de escoger la mayor de las dos tasas, la de oportunidad del inversionista o costo de recursos propios y el costo promedio ponderado de capital o WACC del proyecto. En el ejemplo anterior es mayor la tasa de oportunidad, por lo tanto la tasa de descuento es el 23% efectivo anual. La razón por la cual se escoge la mayor, es la de ser más "duro" con la evaluación del proyecto y evitar crear falsas expectativas.

1.2.3 Valor presente neto ­VPN

Es el resultado de descontar (traer a valor presente) los flujos de caja proyectados de una inversión a la tasa de interés de oportunidad o costo de capital y sustraerle el valor de la inversión. Si el resultado obtenido genera un remanente positivo, el proyecto es viable en caso contrario no.

Gráficamente se expresaría así:

REMANENTE

COSTO DE CAPITAL O TASA DE OPORTUNIDAD

INVERSION

El diagrama anterior quiere decir que si el proyecto devuelve la inversión genera un interés y adicionalmente genera un remanente, es factible.

Ejemplo

Armando Rico Plata desea incursionar en un proyecto de transporte masivo para una importante ciudad colombiana, el cual requiere $5.000 millones de inversión. Beatriz Pinzón lo ha asesorado en la elaboración del proyecto y ha estimado los siguientes flujos de caja:

Page 106: Matemáticas Financieras

AÑO FLUJO DE CAJA

AÑOO ­5,000

AÑO1 1,450

AÑO 2 1,789

AÑO 3 2,345

AÑO 4 3,617

La tasa de descuento calculada para el inversionista es del 10%

1.2.4 Relación del valor presente de los ingresos y los egresos

Relaciona el valor presente de los ingresos y el valor presente de los egresos; si el resultado de esta relación es mayor que uno, el proyecto es viable en caso contrario, no. En otras palabras si el cociente valor presente ingresos 7 valor presente egresos es >1, la inversión es factible. A este criterio se conoce como Relación beneficio/costo

Para el proyecto que se está analizando se tendría:

Valor presente ingresos = 1,4507(1+0.10) + 1,7897(1+0.10) 2 + 2,345/(l+0.10) 3 + 3,617(1+0.10) 4 = 7,028.99

Valor presente egresos = 5.000, se toma el valor absoluto de la inversión, el cual es e único flujo de egreso o negativo que tiene el proyecto. Si existiera otro flujo negativo, se debe traer a valor presente tal como se hizo con los ingresos, utilizando la tasa del descuento que se utilizó para evaluar.

V P ingresos 7028.99 B/C = ———————— = ————— = 1.41

VP egresos 5000

Como la relación B/C > 1, el proyecto es factible.

1.2.5 Tasa Interna de Retorno ­TIR­

Es la tasa de interés a la cual los flujos de caja descontados y sustraída la inversión, genera un valor presente neto igual a CERO; si esta TIR es mayor que la tasa de oportunidad del inversionista o alternativamente mayor que el costo de capital, el proyecto es viable.

Page 107: Matemáticas Financieras

El procedimiento para el cálculo de la tasa interna de retorno es como sigue:

10.Tomar una tasa cualquiera "i", eventualmente puede ser la del inversionista y traer a valor presente los flujos de caja estimados. Considérese una i = 20% anual.

VPN = ­5,000 + 1,4507(1 + 0.20)+ 1,7897(1 + 0.20) 2 + 2,3457(1 + 0.20) 3 + 3,6177 (1+0.20) 4 =552.06

11.Efectuar el mismo cálculo del numeral anterior con una nueva tasa; como el VPN obtenido con i = 20% es mayor que CERO, se debe estimar con una tasa mayor, por ejemplo i = 25%

VPN = ­5,000 + 1,4507(1 + 0.25)+ 1,7897(1 + 0.25) 2 + 2,3457(1 + 0.25) 3 + 3,6177 (1+0.25) 4 =­12.88

3. Calcular la tasa para la cual el VPN es igual a cero, mediante el método de interpo­ lación, para lo cual se recomienda graficar los resultados de la siguiente forma:

Luego calcular la diferencia entre las tasas de interés (25% ­ 20% = 5%) y entre los valo­ res presentes netos (552.06 ­12.88 = 564.94), tomando los valores negativos en absoluto.

Posteriormente, se toma cualquiera de los dos puntos extremos, por ejemplo tomar el valor presente neto que corresponde a 25% o sea ­$12.88 y obtener la diferencia con el punto focal cero. Con estos datos, se plantea la siguiente regla de tres:

Si para una diferencia en la tasa de interés de 5% corresponde una diferencia de $564.94. ¿Qué variación de i% corresponde a una variación de $12.82?

12.82x5%

564.94

i = 0.11346 %

­12.88

i =25%

0

cero

552.06

i =20%

VPN

i% =

Page 108: Matemáticas Financieras

Como la TIR debe estar entre 20% y 25%, por cuanto fueron las tasas de descuento con las cuales se obtuvo el valor presente positivo y negativo respectivamente, y como se tomó el VPN de ­$12.82 que corresponde a i = 25% entonces:

TIR = 25% ­ 0.11346 = 24.88% anual

Si se hubiera tomado como referencia el otro extremo, o sea i = 2 0% tasa con la cual el VPN es $552.06, el raciocinio habría sido el siguiente:

Si para una diferencia en la tasa de interés de 5% corresponde una diferencia de $564.94. ¿Qué variación de i% corresponde a una variación de $552.06?

552.06 x 5% i = ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

564.94

i % = 4.88%

En tanto se tomó como referencia el 20% y la TIR no puede ser ni menor de 20% ni mayor de 25%, entonces:

TIR = 20% + 4.88% = 24.88% anual Valor que coincide con el anterior cuando se hizo el cálculo con el otro extremo.

En razón a que el resultado de la TIR es mayor que la tasa del inversionista (10%), el proyecto es viable.

Como se observa en el ejemplo anterior, para poder calcular la TIR se requiere haber calculado el VPN con dos tasas diferentes; debe tenerse presente que uno de los resultados del VPN debe ser positivo y el otro negativo para que se pueda utilizar la herramienta de interpolación. En otras palabras, cuando se obtienen dos VPN positivos o dos VPN negativos es imposible calcular la TIR.

§ Cálculo del VPN y la TIR con Excel

Alternativamente se puede utilizar la hoja Excel para calcular el valor presente neto y la tasa interna de retorno.

Tomando como base la información del proyecto de transporte del señor Armando Rico Plata, completar la hoja de la siguiente forma:

Page 109: Matemáticas Financieras

A B C D

1 0 ­5,000 Tasa de

oportunidad

10%

2 1 1,450

3 2 1,789

4 3 2.345

5 4 3.617

6 TIR = TIR (B2:B6)

7 VPN =VNA(D1,B3:B6)+B

2

8

Posteriormente, registrar en la celda “=TIR(B2:B6)”, incluyendo dentro del rango el valor de la inversión, al teclear “enter” se obtiene la TIR de 24.88%.

Para el cálculo del valor presente neto se debe completar la celda con “=VNA(D1,B3:B6)+B2”; donde D1 es la tasa de oportunidad del inversionista, es decir la tasa de descuento. Nótese que no se dio todo el rango en el paréntesis; en caso de señalarse completamente, el cálculo del valor presente correspondería al periodo ­1 y no al período cero.

El valor de la inversión debe ser adicionado al valor presente de los flujos, para obtener el valor presente neto del proyecto. Siguiendo este procedimiento el VPN es igual a $2,028.99.

1.2.6Costo Anual Uniforme Equivalente –CAUE

Este criterio es muy utilizado cuando se tienen proyectos que solo involucran costos; su base conceptual son las anualidades o cuotas fijas y permite comparar proyectos con diferentes vidas útiles. El criterio de decisión es escoger la alternativa o proyecto que genere menor CAUE.

Ejemplo

Almacenes “El Triunfo” está considerando la posibilidad de utilizar montacargas en sus bodegas con el fin de emplearlos en la ubicación de productos en sus estantes; actualmente esta labor se hace manualmente. El gerente general, señor Juan Pérez ha reunido la siguiente información para evaluar las opciones:

Page 110: Matemáticas Financieras

Alternativa A: adquirir 2 montacargas.

Alternativa B: trabajar con una cuadrilla de 8 trabajadores y usar carretillas manuales.

Los costos de cada alternativa son: Alternativa A: el valor de los dos montacargas es de $20 millones y para su manejo se requiere de 2 conductores y 2 ayudantes; los primeros devengarán un salario de $500.000/mes cada uno y los otros $300.000/mes. A dichos salarios se les debe adicionar un 5º% por concepto de prestaciones sociales.

Para el mantenimiento y los seguros de los dos equipos se requieren $2 millones por año. La vida útil de los montacargas es de 5 años.

Alternativa B: el salario de los trabajadores de la cuadrilla es de $3 00.000/mes y un 50% anual por concepto de prestaciones sociales.

La tasa de descuento es 20% anual.

Con base en la información anterior, se calculan los costos de cada una de las alternativas:

Alternativa A:

Costos por año:

• Salarios por año conductores = (500.000 x 12 x 2) (1.50) = $ 18,000,000 • Salarios por año ayudantes (300.000 x 12 x 2) (1 .50) $1 0,800,000 • Mantenimiento por año = $ 2,000,000

Total costos por año: $ 18,000,000 + 10,800,000 ± 2,000,000 = 30,800,000

Costo montacargas

Costo anual uniforme equivalente = P i(1 +i) n

(1+i) n ­ 1

CAUE = 20,000,000 0.20(1+0.20) 5 Montacargas

(1+0.20) 5 ­1

Page 111: Matemáticas Financieras

CAUE = 20,000,000 [0.33437970329] Montacargas

CAUE = 6,687,594.07 Montacargas

Total CAUE = Total costo por año + CAUE Montacargas

Total CAUE = 30,800,000 + 6,687,594.07

Total CAUE = $37,487,594.07

Alternativa B:

Costos por año = (30,000,000 x 12 x 8) (1.50) = 43,200,000

CAUE por año = $ 43 ,200,000

De acuerdo con los resultados previos es más económico adquirir los equipos de carga, por lo tanto se debe escoger la alternativa “A”.

Page 112: Matemáticas Financieras

CAPITULO DOS

ANALISIS DE RIESGOS EN LOS PROYECTOS DE INVERSION

Justificación

En el medio de los negocios toda decisión involucra un riesgo que de no prever su ocurrencia podría generar grave daño a las organizaciones llevándolas, inclusive, a su desaparición. Mediante el estudio del capítulo se apropiará la metodología para el análisis del riesgo en una inversión.

Objetivo General

A partir de la teoría de probabilidad determinar el riesgo de una inversión y utilizar los resultados matemáticos como criterio para la toma de decisiones.

Objetivos específicos

• Identificar los sistemas de análisis de riesgo • Identificar y aplicar la Distribución Beta 2 para medir el riesgo • Identificar y aplicar la Distribución Beta como instrumento para medir el

riesgo.

Page 113: Matemáticas Financieras

2.1 SISTEMAS DE ANALISIS

Toda decisión involucra un riesgo y los seres humanos por naturaleza sienten aversión a él. En los negocios las decisiones se ven sujetas a la incertidumbre y al riesgo, los cuales se toman como dos términos sinónimos pero no lo son: el primero es un total desconocimiento del comportamiento de una variable y en el segundo si se conoce, bien sea a través de información histórica, investigaciones de mercado, opiniones de expertos, etc. El análisis del riesgo se puede hacer mediante dos sistemas: distribución Beta 2 y distribución Beta.

2.1.1 DISTRIBUCION BETA DOS

La primera es una aproximación a la distribución normal, pero achatada a los extremos de la siguiente forma:

X VPN

VPN Promedio

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

1 0 ­1 ­2 ­3 3 2

f(x)

Page 114: Matemáticas Financieras

Se deben considerar tres escenarios para cada uno de los flujos de caja del proyecto:

El optimista, el más probable y el pesimista. Con base en esta información se calcula el promedio y la varianza de cada flujo de caja utilizando las siguientes ecuaciones:

Promedio flujo de caja período i =

Varianza flujo de caja período i =

Una vez obtenidos los flujos de caja promedio y su varianza, se traen a valor presente a la tasa de descuento.

VPN promedio = Promedio Flujo Caja 0+ Promedio Flujo Caja 1/(1+i) + Promedio Flujo

Caja 2/(1+i) 2 +………. + Promedio Flujo Caja n/(1+i) n

VPN varianza = Varianza Flujo Caja O + Varianza Flujo Caja 1/((1+i)) 2 + Varianza Flujo

Caja 2/((1+i) 2 ) 2 +…..+ Varianza Flujo Caja n / ((1+i) n ) 2

Ejemplo

Con base en la información anterior de los proyectos “A” y “B” del señor Armando Rico, y considerando tres escenarios para cada flujo de caja, determinar el riesgo de cada inversión, asumiendo que el escenario más probable fue el empleado en el capítulo anterior de evaluación de alternativas mutuamente excluyentes.

Flujo de caja optimista i

4 Flujo de caja más probable i

Flujo de caja pesimista i + +

6

Flujo de caja optimista i – Flujo de caja pesimista i

6

2

Page 115: Matemáticas Financieras

Proyecto A:

ESCENARIO OPTIMISTA

ESCENARIOMÁS PROBABLE

ESCENARIO PESIMISTA

Flujo caja año 0 ­4,000 ­5,000 ­6,500

Flujo caja año 1 2,200 1,450 1,234

Flujo caja año 2 2,400 1,789 1,456

Flujo caja año 3 2,657 2,345 2,178

Flujo caja año 4 4,300 3,617 2,969

Proyecto B:

ESCENARIO OPTIMISTA

ESCENARIO MÁS PROBABLE

ESCENARIO PESIMISTA

Flujo caja año 0 ­6,500 ­7,000 ­9,000 Flujo caja año 1 2,845 2,345 2,156 Flujo caja año 2 2.845 2,345 2,156 Flujo caja año 3 2,845 2,345 2,156 Flujo caja año 4 5,259 4,682 4,300

Con base en la información anterior, se deben realizar los siguientes cálculos para el proyecto A:

Promedio flujo de caja O = (­4,000 + 4(­5,000)­6,500)/6 = ­5,083.33

Promedio flujo de caja 1 = (2,200 + 4(1,450)+1,234)/6 = 1,539

Promedio flujo de caja 2 = (2,400 + 4(1,789)+1,456)/6 = 1,835.33

Promedio flujo de caja 3 = (2,657 + 4(2,345)+2,178)/6 = 2,369.17

Promedio flujo de caja 4 = (4,300 + 4(3,617)+2,969)/6 = 3,622.83

Page 116: Matemáticas Financieras

Varianza flujo de caja período O

­4000 + 6500 =

6

Varianza flujo de caja período 1

= 2.200 – 1.234

6

Varianza flujo de caja período 2

= 2.400 – 1.456

6

Varianza flujo de caja período 3

= 2.657 – 2.178

6 = 6.373.36

Varianza flujo de caja período 4

= 4.300 – 2.969

6 = 49.210.03

Resumiendo se tiene:

PROMEDIO VARIANZA

Flujo caja año 0 ­5,083.33 173,611.11 Flujo caja año 1 1,539.00 25,921.00 Flujo caja año 2 1,835.33 24,753.78 Flujo caja año 3 2,369.17 6,373.36 Flujo caja año 4 3,622.83 49,210.03

= 173.611.11

= 25.921

Page 117: Matemáticas Financieras

VPN promedio A =­5,08 3.33 + 1,539/(1+O. 10) + 1 ,835.33/(l +0.10) 2 + 2,369.17/(1+0.10) 3 + 3,622.83/(1+O.1O) 4

VPNpromedio A =2,087

= 25.921 = 6.373.36 1 ­ 9.78x10 6 = 0.999

o sea que P(VPN>0) = 0.999 = 99.9%

A continuación se efectúan los mismos cálculos con la información del proyecto B, obteniendo los siguientes resultados:

Promedio flujo de caja O = (­6,500 + 4(­7,000)­9,000)/6 = ­7,250

Promedio flujo de caja 1 = (2,845 + 4(2,345)+2,156)/6 = 2,396.83

Promedio flujo de caja 2 = (2,845 + 4(2,345)+2,156)/6 2,396.83

Promedio flujo de caja 3 = (2,845 + 4(2,345)+2,156)/6 = 2,396.83

Promedio flujo de caja 4 = (5,259 + 4(4,682)+4,300)/6 = 4,7 14.50

Varianza flujo de caja período O =

Varianza flujo de caja período 1 =

Varianza flujo de caja período 2 =

Varianza flujo de caja período 3 =

Varianza flujo de caja período 4 =

= 13.186.69 2.845 – 2.156

6

2

= 173.611.11 ­6.500 + 9.000

6

2

= 13.186.69 2.845 – 2.156

6

2

= 13.186.69 2.845 – 2.156

6

2

= 25.546.69 5.259 – 4.300

6

2

Page 118: Matemáticas Financieras

PROMEDIO VARIANZA

Flujo caja año 0 ­7,250.00 173,611.11 Flujo caja año 1 2,396.83 13,186.69 Flujo caja año 2 2,396.83 13,186.69 Flujo caja año 3 . 2,396.83 13,186.69 Flujo caja año 4 4,714.50 25,546.69

VPN promedio B = ­7,2 50+2,396.837(1+0.10) + 2,396.937(1+0.10)2 + 2,396.83/(1+O.1O)~ + 4,714.5O/(1+O.1O)~

VPN promedio B = 1,930.64

VPNVarianza B = 173,611.11 + 13,186.69/((l+O.1O)) 2 + 13,186.69/((1+O.1O) 2 ) 2 + 13,1 86.69/((1+O. 10)3) 2 + 25,546.69/((1+O. 10) 4 ) 2

VPN varianza B =212,877.16 VPN desviación estándar B = 461.39

Con base en la información anterior ¿Cuál es la probabilidad de que el VPN sea mayor que cero’?

Utilizando la distribución normal y estandarizando en unidades / se tiene:

El resultado anterior se puede buscar en una tabla de distribución normal o en Excel utilizando las funciones estadísticas “f(x)” se selecciona distribución normal estandarizada y se coloca el valor ­4,1844 donde dice Z.

Como resultado se obtiene el área bajo la curva hasta el punto de la referencia

Z= 0 – 1.930.64

461.39

Z= ­ 1.930.64

461.39 = ­4.1844

Page 119: Matemáticas Financieras

que es cero, que para el ejemplo es de 1.4305x10 5 . Como el área total de la curva es 1, la probabilidad de que el VPN sea mayor que cero sería:

1­ l.4305 x 10 5 = 0 .999

O sea que P(VPN>O) 0.999 = 99.9%

Los resultados permiten concluir que los dos proyectos analizados tienen un riesgo mínimo.

Con base en la información obtenida se pueden resolver inquietudes en relación con el riesgo de obtener determinados valores del VPN y no solamente de cero como se explicó anteriormente. Se puede calcular por ejemplo la probabilidad de que el valor presente neto sea mayor a $2,500 millones en cada uno de los proyectos.

Para el proyecto “A” se efectuaría el siguiente raciocinio:

P(VPNA> 2,5 00) =?

En primer lugar se debe encontrar el valor de “ Z” , que consiste en tipificar o estandarizar, es decir, convertir la información en unidades de desviación estándar aplicando la siguiente ecuación:

z = VPN ­ VPN promedio DESVEST VPN

donde, VPN = 2,500, VPNpromedio. =2,O8’7y DES VESTVPN = 488.36

2.500 ­ 2.08 7 Z = = 0.85

488.36

que corresponde al área bajo la curva hasta $2,500 millones de 0.8012 y una probabilidad.

(Probabilidad VPN>2,5 00 ) = 1—0.8012=0.1988

o sea que existe un 19.88% de probabilidad de que el VPN del proyecto “A” sea mayor a $2,500 millones.

Page 120: Matemáticas Financieras

Para el proyecto “B” se tendrían los siguientes resultados:

VPN – VPN promedio z =

DES VEST VPN

donde, VPN = 2,500, VPN promedio = 1,930.64 y DESVEST VPN = 461.39

2.500 ­ 1.930.64 Z= 1.23

461.39 Que corresponde al área bajo la curva hasta $2,500 millones de 0.8915. Lo que implicaría que la probabilidad mayor a $2,500 millones se expresaría de la siguiente forma:

(ProbabilidadVPN>2,500) = 1 — 0.8915 = 0.1085

o sea que existe un 10.85% de probabilidad de que el VPN del proyecto “B” sea mayor a $2,500 millones.

De lo anterior se concluye que la probabilidad de que los proyectos ~‘A” y “B” den un resultado negativo es muy pequeña, es decir son poco riesgosos. No obstante, si el inversionista señor Armando Rico tiene como meta ganar $2,500 millones en valor presente neto, las probabilidades de obtener esta cifra son muy bajas, 19.88% para el proyecto “A” y el 10.85% para el proyecto “B”.

2.1.2 Distribución Beta

Alternativamente la distribución Beta proporciona otro instrumento adicional para medir el riesgo; ésta ofrece varias alternativas de conformación de la población. En el caso de la distribución Beta 2 se habla de una distribución normal achatada hacia los extremos; en este caso la media de la población puede estar posicionada a la derecha o a la izquierda, centrada, plana o puntiaguda, y dependiendo de su conformación se asignan los valores de a y b como puede verse en el gráfico la página siguiente. La combinación de estos dos parámetros da la dirección hacia la derecha o a la izquierda de la curva. Cuando son iguales se presenta simetría y la magnitud de su valor indica silos datos están concentrados; si a y b = 5 la distribución es puntiaguda, o si a y b =1 la distribución es más plana porque existe más dispersión. ( Ver gráfico).

Page 121: Matemáticas Financieras

En esta distribución, “A” es el límite superior del rango o sea el valor presente neto de los flujos de caja optimista, “B” es el límite inferior del rango o sea el valor presente neto de los flujos de caja pesimista y “X” es el punto entre el límite superior (optimista) y el límite inferior (pesimista) en que desea estar el inversionista.

La información requerida para medir el riesgo de los dos proyectos es el siguiente:

Page 122: Matemáticas Financieras

Proyecto A:

ESCENARIO OPTIMISTA

ESCENARIO PESIMISTA

Flujo caja año 0 ­4,000 ­6,500 Flujo caja año 1 2,200 1,234 Flujo caja año 2 2,400 1,456 Flujo caja año 3 2,657 2,178 Flujo caja año 4 4,300 2,969

VPN optimista = ­4,000 +2,200/(1+010) + 2,4007(1+0.10) 2 +2,657/(1+0.10) 3 + 4,300/(1+0.1 0) 4

VPN optimista = 4,916.67

VPN pesimista =­6,500 +1,234/(1+0.10) +1,456/(1+0.10) 2 + 2,178/(l+0lo) 3 + 2,969/(1+0.1 0) 4

VPN pesimista= ­5 10.65

Proyecto B:

ESCENARIO OPTIMISTA ESCENARIO PESIMISTA

Flujo caja año 0 ­6,500 ­9,000 Flujo caja año 1 2,845 2,156 Flujo caja año 2 2,845 2,156 Flujo caja año 3 2,845 2,156 Flujo caja año 4 5,259 4,300

VPN Optimista =­6,500+2,845/(1+0.10)+2,845/(1+0.10) 2 +2,845/(l+0lo) 3 + 5,259 /(1+0.1 0) 4

VPN = 4,167.06 Optimista

Page 123: Matemáticas Financieras

VPN pesimista =­9,000+2,156/(1+0.10)+2,156/(1+0.10) 2 +2,156/(1­t­0.10) 3 + 4.300/(1+0.1 0) 4

VPN pesimista = ­701.39

Para la medición del riesgo & y ß, son definidos por el analista de acuerdo con lo que considere es la tendencia de la concentración o dispersión que exista en la información. Para los proyectos del señor Armando Rico se consideran varias alternativas.

Los límites inferior y superior fueron hallados previamente, cuando se calcularon los valores presentes netos pesimista y optimista de los proyectos “A” y “B” que se pueden resumir en la siguiente forma:

PROYECTO "A" PROYECTO " B"

VPNpesimista . parámetro A ­510.65 ­701.39 VPN optimista parámetro B 4,916.67 4,167.06

X, es el punto entre el límite inferior y el límite superior en que desea estar el inversionista, que en este caso sería cero (O), por cuanto se desea estimar la probabilidad de que el VPN de los dos proyectos sea mayor que cero.

Los resultados obtenidos para cada proyecto, asignando diferentes valores a los parámetros & y ß son los siguientes:

Page 124: Matemáticas Financieras

Proyecto A:

OPCIÓN X & ß A B DISTRIBUCIÓN BETA

PROBABILIDAD (VPN>0)

1 0 5 5 ­510.65 4,916.67 0.067% 99.933%

2 0 3 3 ­510.65 4,916.67 0.720% 99.280%

3 0 2 2 ­510.65 4,916.67 2.489% 97,511%

4 0 1 1 ­510.65 4,916.67 9.409% 90,591%

5 0 1.5 5 ­510.65 4,916.67 20.726% 79,274%

6 0 5 1.5 ­510.65 4,916.67 0.0002% 99,998%

7 0 1.5 3 ­510.65 4,916.67 11.249% 88,571%

8 0 3 1.5 ­510.65 4,916.67 0.176% 99,824%

9 0 1 2 ­510.65 4,916.67 17,932% 82,068%

10 0 2 1 ­510.65 4,916.67 0.885% 99,115%

Provecto B:

OPCIÓN X & ß A B DISTRIBUCIÓN BETA

PROBABILIDAD (VPN>0)

1 0 5 5 ­701.39 4,167.06 0.470% 99.530%

2 0 3 3 ­701.39 4,167.06 2.381% 97.619%

3 0 2 2 ­701.39 4,167.06 5.629% 94.371%

4 0 1 1 ­701.39 4,167.0 6

14.407% 85.593%

5 0 1.5 5 ­701.39 4,167.06 34.725% 65.275%

6 0 5 1.5 ­701.39 4,167.06 0.016% 99,984%

7 0 1.5 3 ­701.39 4,167.06 20.001% 79.999%

8 0 3 1.5 ­701.39 4,167.06 0.618% 99,382%

9 0 1 2 ­701.39 4,167.06 26.738% 73.262%

10 0 2 1 ­701.39 4,167.06 2.076% 97.294%

Page 125: Matemáticas Financieras

La distribución Beta puede hallarse en Excel con funciones estadísticas “f(x)” distribución Beta; se deben completar los parámetros X, &, ß, A y B y el resultado es la probabilidad acumulada hasta el punto “X”; como el objetivo es que sea mayor que cero (0); para este caso entonces, la probabilidad (VPN>O) va a ser 1 menos la probabilidad acumulada hasta “X,’.

Los resultados obtenidos en los cuadros previos con todas las opciones a y b dadas, muestran que los dos proyectos son viables y presentan bajísimo riesgo. La distribución con & = 1.5 y ß = 5 fue la que presentó menor probabilidad para los dos proyectos; este resultado es obvio puesto que presentaría los datos más concentrados a la izquierda que corresponde al escenario pesimista.

Page 126: Matemáticas Financieras

CAPITULO TRES

ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y NO EXCLUYENTES

Justificación

En el medio de los negocios toda decisión involucra un riesgo que de no prever su ocurrencia podría generar grave daño a las organizaciones llevándolas, inclusive, a su desaparición. Mediante el estudio del capítulo se apropiará la metodología para el análisis del riesgo en una inversión.

Objetivo General

Definir los criterios de decisión a utilizar cuando se tienen alternativas mutuamente excluyentes y aplicar el modelo de optimización cuando se tiene varios proyectos que se pueden realizar simultáneamente.

Objetivos específicos

• Establecer y diferenciar las limitaciones de los criterios de decisión • Apropiar los conceptos de TIR Verdadera YTIRponderada

• Conocer y aplicar el modelo de optimización para resolver situaciones de racionamiento de capital para la inversión

Page 127: Matemáticas Financieras

3.1 ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Cuando se trate de escoger una alternativa entre varias opciones, es decir que una excluye a las demás, lo más sensato es evaluar la decisión para cada caso: si se trata de un proyecto de inversión social, se tendrá en cuenta el criterio de beneficio/ costo, costo capitalizado, etc.; en lo que se refiere a proyectos de inversión financiera debe examinarse con base en los criterios financieros vistos también con anterioridad.

3.1.1 Comparación de alternativas

Cuando se trate de escoger entre una alternativa u otra, es decir que una excluye a la otra, los criterios más usados son: el valor presente neto (VPN), tasa interna de retorno (TIR) y la relación beneficio­costo.

Suponga que el señor Armando Rico opcionalmente al proyecto de transporte, tiene la posibilidad de invertir en un proyecto turístico en la población de Tocaima (Cundinamarca); la información de los proyectos es la siguiente:

AÑO PROYECTO “A” TRANSPORTE

PROYECTO “B” TURISTICO

Flujo de caja año 0 5,000 7,000

Flujo de caja año l 1,450 2,345

Flujo de caja año2 1,789 2,345

Flujo de caja año 3 2,345 2,345

Flujo de caja año 4 3,617 4,682

Considerando una tasa de descuento de 10% resultados para cada uno de los proyectos: anual, se obtendrían los siguientes

Proyecto A:

VPN= ­5,000+ 1,4501(1 +0.10)+1,7891(1 +0.10) 2 +2,3451(1 +0.10) 3 + 3,617/ (1 +0.l0) 4 = $2,028.99

Proyecto B:

Page 128: Matemáticas Financieras

VPN= ­7,000 +2,345 / (1 +0.10) +2,345 / ( 1+ 0.10) 2 + 2,345/( 1 +0.1 0) 3 +4,682/ (1+0. l0) 4 = $ 2,029.54

Los proyectos anteriores también se pueden evaluar a través de la tasa interna de retorno mediante tanteo (sistema de interpolación ya explicado) o alternativamente utilizando Excel como se describe a continuación:

A B C D E 1 PROYECTO A PROYECTO B TASA DE

DESCUENTO 10%

2 0 ­500 ­7,000

3 1 1,450 2,345

4 2 1,789 2,345

5 3 2,.345 2,345

6 4 3,617 4,682

7 VPN

8 TIR

Valor presente neto = VNA (tasa de descuento, rango flujo de caja sin incluir el año 0) + flujo caja año cero.

Tasa interna de retorno = TIR (rango de todos los flujos de caja). Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

A B C D E 1 PROYECTO

A PROYECT O B

TASA DE DESCUENTO

10%

2 0 ­5000.00 ­7,000.00

3 1 1,450.00 2,345.00

4 2 1,789.00 2,345.00

5 3 2,.345.00 2,345.00

6 4 3,617.00 4,682.00

7 VPN 2,028.99 2,029.54

8 TIR 24.88% 21.32%

Page 129: Matemáticas Financieras

Obsérvese que si se toma el criterio de valor presente neto es mejor el proyecto B que el A, por cuanto el resultado del primero es de $2,029.54, mientras el del segundo $2,02 8.99. Sin embargo, si tomamos el criterio de la tasa interna de retorno, es mejor el proyecto A, por cuanto la TIR es de 24.880 o mientras el proyecto B es de solo 21.32%.

En forma similar a lo que se explicaba en el ejemplo de doña Linda Plata de Rico en el capítulo de interés compuesto, donde se suponía que ella reinvertía sus beneficios en su negocio y que esa reinversión la realizaba a la misma tasa de interés que los anteriores, igualmente pasa con los proyectos del señor Armando Rico: la evaluación con el criterio de valor presente neto está suponiendo que se reinvierte a la tasa de descuento, que para el ejemplo es del 10% anual, mientras si el criterio utilizado es la tasa interna de retorno, se supone que reinvierte a esta tasa, que para el proyecto “A” es de 24.82% anual y para el proyecto “B” es de 2 1.32% anual.

De acuerdo con los resultados anteriores se presenta una aparente contradicción entre los dos criterios de decisión; esto lleva a un nuevo concepto el de tasa verdadera, que se explica a continuación.

3.1.2 Tasa Verdadera

Descubierto el origen del problema entre los criterios de decisión: valor presente neto y tasa interna de retorno, es simplemente que la inversión del dinero generado por el proyecto no es la misma para los dos sistemas, se dispone del criterio tasa verdadera, la cual se calcula tomando como base los fondos generados por el proyecto a la misma tasa de descuento.

Lo anterior significa que para el caso del señor Rico, el flujo de caja de $ 1,450 del proyecto “A” que se genera al final del año 1, serán reinvertidos en los años 2, 3 y 4 al 10% anual; el flujo de caja del año 2 será reinvertido en los años 2 y 4 y así sucesivamente. En el’ejemplo, la situación sería la siguiente:

Proyecto A:

Reinversión del flujo de caja 1 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4

F1 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 1 Valor flujo de caja # 1: $1,450

F1 = 1,450 (1+0.10) 3 = $1,929.95

Page 130: Matemáticas Financieras

Reinversión del flujo de caja 2 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4

F2 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 2

Valor flujo de caja # 2: $ 1,789

F2 = 1,789(1+0.10) 2 = $2,164.69

Reinversión del flujo de caja 3 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4

F3 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 3

Valor flujo de caja # 1: $2,345

F3 = 2,345 (1+0.10)= $2,579.50

Reinversión del flujo de caja 4 hasta el final de la vida del proyecto o sea período # 4

F4 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 4

Valor flujo de caja # 4: $3,6 17

F4= 3,617(1±0.10) 0 = $3,617

F = Valor de todas las reinversiones de los flujos de caja hasta el año 4

F = F1+ F2 + F3+ F4

F= 1,929.95 + 2,164.69 + 2,579.50 + 3,617

F= $10,291.14 La configuración del proyecto quedaría de la siguiente forma:

Con base en estos dos flujos de caja se calcula la TIR verdadera del proyecto utilizando la primera equivalencia o sea:

5,000

10,291.14 0 4

Page 131: Matemáticas Financieras

F = P(1+i) n

10,291.14 = 5,000 (1+i) 4

10291.14 ­­­­­­­­­­­­­­­ = (1+i) 4

5000

2.058228 = (1+i) 4

0 4 2.O58228 = 4 (1+i) 4

I = 19.77%

Proyecto B:

• Reinversión del flujo de caja 1 hasta el final de la vida del proyecto o sea periodo 4

F1 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 1

Valor flujo de caja # 1: $2,345

F1= 2,345(1+0.10)~= $3,121.20 Reinversión del flujo de caja 2 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4

F2 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 2

Valor flujo de caja # 2: $2,345

F2 = 2,345 (1+0.10)2 = $ 2,837.45

Reinversión del flujo de caja 3 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4

F3 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 3

Valor flujo de caja # 1: $2,345

Page 132: Matemáticas Financieras

F3= 2,345 (1+0.10) = $2,579.50

Reinversión del flujo de caja 4 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4

F4 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 4

Valor flujo de caja # 4: $4,682

F4= 4,682 (1+0.10) 0 = $4,682

F = Valor de todas las reinversiones de los flujos de caja hasta el año 4

F = F1+ F2 + F3 +F4

F = 3,121.20 ± 2,837.45 ± 2,579.50 ± 4,682

F=$13,220.15

La configuración del proyecto quedaría de la siguiente forma:

Con base en estos dos flujos de caja se calcula la TIR verdadera del proyecto utilizando la primera equivalencia o sea:

F = P(1+i) n

13,220.15 = 7,000 (1+i) 4

13,220.15 = (1+i) 4

7,000

7,000

13,220.15 0 4

Page 133: Matemáticas Financieras

1,88859 = (1+i) 4

4 1.88859 4 (1+i) 4

i = 17.229%

Nótese que con la tasa verdadera se obtiene una rentabilidad para el proyecto “A’ de 19.77% y de 17.229% para el proyecto “B”

En el cuadro anexo se resume la información obtenida con los diferentes criterios:

CRITERIO PROYECTO A PROYECTO B

VPN 2,028.99 2,029.54

TIR 24.88% 21.32%

TlR verdadera 19.78% 17.23%

Del cuadro anterior se deduce con el criterio del valor presente neto, el mejor proyecto es el “B”, mientras que con los criterios de tasa interna de retorno y tasa verdadera el mejor proyecto es el “A”.

3.1.3 Tasa Ponderada

La reinversión de los fondos generados por el proyecto a la tasa de descuento, no eliminó en nuestro ejemplo, la discrepancia entre los dos criterios valor presente neto y la tasa de retorno verdadera.

Si se observan cuidadosamente los dos proyectos, existe una diferencia en el valor de la inversión inicial: en el “A” es de $5,000, mientras en el “B” es de $7,000. Lo anterior quiere decir que para poder hacer comparables los criterios se requiere:

1.Que la reinversión se realice a tasa de descuento.

2.Que las dos inversiones sean iguales.

Para obviar el problema anterior surge el concepto de tasa de retorno ponderada,

Page 134: Matemáticas Financieras

que toma como referencia el proyecto que tenga mayor inversión; esta nueva variable se define como dinero disponible.

Para el ejemplo del señor Armando Rico, el proyecto “A” requiere de una inversión de $5,000 millones mientras el “B” de $7,000 millones; si los dos proyectos se están analizando como alternativas de inversión, se parte del supuesto que el señor Rico debe tener $7,000 millones disponibles.

El cálculo de la TIR Ponderada para el proyecto “A” implica cumplir con el supuesto de la reinversión de los fondos generados en el proyecto hasta el final de la vida del mismo, empleando la tasa de descuento. Es decir, se sigue con el mismo procedimiento empleado en el cálculo de la TIRverdadera:

F1 = 1,450(1+0.10) 3 = $1,929.95

F2 = 1,789(1+0.10) 2 = $2,164.69

F3 = 2,345 (1+0.10) 1 = $2,579.50

F4 = 3,617(1+0.10) 0 = $3,617.00

En el proyecto “A” solo se invierten $5,000 millones, pero el dinero disponible del señor Rico es $7,000, por lo tanto los $2,000 millones restantes se deben invertir a la tasa de descuento de la siguiente forma:

F5= 2,000(1+0.10) 4 = $2,928.20

F = F1+ F2+ F3 + F4 + F5

F = 1,929.95 +2,164.69 +2,579.50 +3,617 +2,928.20

2,000

F5 =? 0 4

Page 135: Matemáticas Financieras

F= 13,219.34

Por lo tanto la TIRPonderada del proyecto “A”.

F =P(1+i) n

13,219.34 = 7,000 (1+ i) 4

13,219.34 = (1+ i) 4 7,000

1,88848 = (1+ i) 4

1.88848= (1+ i) 4

1 = 17.227%

TlRponderada e A = 17.227% anual

En razón a que el proyecto “B” no tiene excedentes, el cálculo de su TIRpondera

equivale a la TIRverdadera que de acuerdo con lo explicado previamente equivale a 17.229%

El siguiente cuadro resume la información obtenida con los diferentes criterios:

2,000

13,219.34 0 4

Page 136: Matemáticas Financieras

CRITERIO PROYECTO A PROYECTO B VPN 2,028.99 2,029.54

TIR 24.88% 21.32% TIR verdadera 1 9.78% 17.23%

TIR ponderada 17.227% 17.229%

Obsérvese que con la TIR ponderada la decisión es idéntica a la del valor presente neto; la razón es que ambos criterios consideran dos supuestos básicos: reinversión a la tasa de descuento e igual valor de las inversiones.

Por lo tanto, cuando se evalúen proyectos mutuamente excluyentes se debe utilizar como criterio de decisión el valor presente neto o la TIR ponderada

3.1.4 Sensibilidad de los proyectos a diferentes tasas de descuento

Dependiendo de la tasa de descuento que se utilice, un proyecto puede ser factible o no; de ahí la importancia de los conceptos costo de capital (WACC) y tasa de interés de oportunidad en la determinación de tasa de descuento.

Continuando con el ejemplo del señor Armando Rico, el cuadro anexo detalla el cálculo del VPN para cada uno de los proyectos utilizando diferentes tasas de descuento:

TASA DE DESCUENTO PROYECTO "A" PROYECTO "B" 5% 3,0005.04 3,237.91 7% 2,591.33 2,725.90 9% 2,209.18 2,252.73 10% 2,028.99 2,029.54 12% 1,688.62 1,607.79 14% 1,372.87 1,216.35 16% 1,079.50 852.44 20% 552.06 197.61 25% ­12.88 ­504.81

Page 137: Matemáticas Financieras

Obsérvese que para tasas de descuento inferiores o iguales a 10% anual es mejor el proyecto “B” que el “A”, mientras que para tasas de descuento mayores al 12% es mejor “A” que “B”. Esto quiere decir, que hay un punto de corte donde las dos alternativas son indiferentes o sea es la tasa de descuento a la cual es indiferente invertir en “A” o en “B”.

Gráficamente se expresaría así:

Proyecto A vs. Proyecto B

El punto de indiferencia puede calcularse planteando dos ecuaciones cuyo objetivo es que los dos valores presentes sean iguales, donde la variable a encontrar sería la tasa de descuento i%. Matemáticamente esto se representaría así:

VPNA = ­5,000 + 1,450/(1+i)+ 1,789/(1+i) 2 + 2,345/(1+i) 3 + 3,617/(1+i) 4

VPNB = ­7,000 + 2,345/(1+i)+ 2,345/(1+i) 2 ± 2,345/(1+i) 3 + 4,682/(1+i) 4

En el punto de corte las dos alternativas son iguales, es decir:

VPNAA = VPNBB

Page 138: Matemáticas Financieras

­5,000 + 1,450/(1+i)+ 1,789/(1+) 2 ± 2,345/(1+i) 3 +3,617/(1+) 4 = ­7,000 + 2,345/(1+i) + 2,345/(1+i) 2 + 2,345/(1+i) 3 + 4,682/(1+i) 4

El cálculo anterior se puede hacer por tanteo o alternativamente empleando Excel, siguiendo la siguiente metodología

A B C D 1 Tasa de descuento 10%

2 3 Proyecto A Proyecto B

4 Flujo caja 0 ­5,000.00 ­7,000.00

5 Flujo caja 1 1,450.00 2,345.00 6 Flujo caja 2 1,789.00 2,345.00

7 Flujo caja 3 2,345.00 2,345.00

8 Flujo caja 4 3,617.00 4,682.00 9 VPN 2,028.99 2,029.54 10 Diferencia VPN =C9­D9

Posteriormente se busca la opción “herramientas” en el menú principal de Excel y se selecciona “buscar objetivo”, donde se requiere completar la siguiente información:

DEFINIR CELDA: C10

CON EL VALOR: 0

PARA CAMBIAR LA CELDA: C1

Considerar 6 decimales

VNA($C$1,C5:C8)+C4 VNA($C$1,D5:D8)+C4

Page 139: Matemáticas Financieras

La celda C1O es la diferencia entre los dos valores presentes y debe contener cero (0) porque corresponde al punto de corte donde los VPN de los dos proyectos son iguales; el resultado debe actualizar la celda donde está la tasa de descuento, o sea C1. Es importante tener presente que el valor presente debe estar formulado para que se pueda emplear la herramienta “buscar objetivo”.

Los resultados se detallan en el cuadro anexo, una vez realizado el procedimiento descrito:

1 A B C D 1 Tasa de descuento 10.013052% 2 3 Proyecto A Proyecto B 4 Flujo caja 0 ­5,000.00 ­7,000.00 5 Flujo caja 1 1,450.00 2,345.00 6 Flujo caja 2 1,789.00 2,345.00 7 Flujo caja 3 2,345.00 2,345.00 8 Flujo caja 4 3,617.00 4,682.00 9 VPN 2,026.68 2,026.68 10 Diferencia VPN 0

De acuerdo con la información anterior se deduce que la tasa de descuento que hace los dos proyectos iguales es $ 10.013052%; para esta tasa el VPN de las dos alternativas es de $2,026.68

3.1.5 Proyectos con vidas diferentes

En la evaluación de inversiones se presenta el caso de analizar proyectos con vidas económicas diferentes, al comienzo de este capítulo se tomaron dos ejemplos relacionados con la floricultura: rosas y claveles, las primeras tenían una vida de 10 años, mientras los claveles de 2 años, estos casos requieren un tratamiento especial para que su comparación tenga los mismos parámetros. La propuesta de los investigadores en esta temática, ha sido igualar las vidas

Considerar 6 decimales

Page 140: Matemáticas Financieras

utilizando el mínimo común múltiplo del número de años, como medio que iguala las vidas y suponiendo que la inversión se repite periódicamente en ese lapso de tiempo. En el caso analizado, el mínimo común múltiplo es de 10 años; por lo tanto, la inversión de rosas se realiza una sola vez en ese período y la de claveles 5 veces, una cada 2 años.

Ejemplo

Juan Pérez debe decidir si realizar entre el proyecto “X” o el proyecto “ Y” que tienen los siguientes flujos de caja proyectados:

PROYECTO “ X” PROYECTO “ Y” Flujo de caja año 0 ­100 ­120 Flujo de caja año l 40 90 Flujo de caja año 2 100 180 Flujo de caja año 3 160

La tasa de descuento que utiliza el inversionista para evaluar sus proyectos es del 15% anual.

Solución

El proyecto “X” tiene una vida de 3 años y el proyecto “Y” de 2 años , el mínimo común múltiplo de las vidas sería 6 años, por lo tanto hay que suponer que el proyecto “X” se repite 2 veces en ese lapso de tiempo y el proyecto “Y” 3 veces. Los flujos de caja de los proyectos quedarían de la siguiente forma:

FLUJOS DE CAJA PROYECTO "X" PROYECTO "Y"

Flujo de caja año 0 ­100 ­120 Flujo de caja año 1 40 90 Flujo de caja año 2 100 180­120 = 60 Flujo de caja año 3 160­100 = 60 90 Flujo de caja año 4 40 180­120 = 60 Flujo de caja año 5 100 90 Flujo de caja año 6 160 180

Page 141: Matemáticas Financieras

Nótese que en el proyecto “X” la inversión se repite al final del año 3, por eso el —100 y en el proyecto “Y” la inversión se repite al final de los años 2 y 4, por eso el —120.

El VPN de los 2 proyectos sería:

VPNX = ­ 100 + 40/(1+0.15) + 100/(1+0.15) 2 + 6O/(l+O.15) 3 + 40/(1+0.15) 4 + 100/(1+0.15) 5 + 160/(1+0.15) 6 = $191,61

VPNy = ­120 + 90/(1+0.15) + 60/(1+0.15) 2 + 9O/(l+0.15) 3 + 60/(1+0.l5) 4 + 9O/(1+0.15) 5 + 1801(1+0.15) 6 = $219,68

Por lo tanto, es mejor el proyecto “Y” por tener mayor valor presente neto.

Page 142: Matemáticas Financieras

EJERCICIOS PARA PROFUNDIZACIÓN DE LAS TEMÁTICAS

1. Justo Sin Plata desea evaluar la viabilidad de un proyecto agroindustrial para invertir el dinero que le dejo un tío suyo hace unos meses, su amigo Pastor Bueno experto financiero ha realizado los siguientes cálculos:

MILLONES DE PESOS

AÑO VALOR Flujo de Caja 0 ­2,500 Flujo de Caja 1 0 Flujo de Caja 2 1,250 Flujo de Caja 3 1,250 Flujo de Caja 4 4,500 Flujo de Caja 5 4,500

Si la tasa de descuento para don Justo es 27% anual, determinar la viabilidad del proyecto.

a) Utilizar como criterio de evaluación el valor presente neto

b) Utilizar como criterio de decisión la TIR

e) Utilizar como criterio de decisión la relación beneficio/costo.

2. Antanas Mockus con base en su política de bienestar de la comunidad, ha considerado la posibilidad de dotar a la capital de un nuevo parque al occidente de la ciudad, para lo cual ha planteado al concejo dos opciones:

Opción 1: Construir un nuevo parque con una inversión de $12.000 millones, unos costos anuales de mantenimiento de $400 millones e inversiones cada 20 años de $1.000 millones.

Opción 2: Reparar un parque ya existente con una inversión de $ 11.000 millones, unos costos anuales de mantenimiento de $550 millones e inversiones cada 15 años de $1.200 millones.

Page 143: Matemáticas Financieras

Si la tasa de descuento es del l2oo anual, determinar qué decisión debe tomar el alcalde.

3. Juan Pérez debe decidir si reparar su vehículo actual o comprar uno nuevo de la misma marca pero último modelo; la reparación le costaría $4.000.000 y le duraría 4 años más; el nuevo le costaría $12.000.000 y tendría una vida útil de 7 años, los costos anuales de mantenimiento serían de $1.000.000 para el actual y de $300.000 para el nuevo; si la tasa de descuento para don Juan es del 18% anual, ¿cuál será la mejor opción?

4. Determinar la viabilidad económica del siguiente proyecto:

AÑO FLUJO DE CAJA (MILLONES)

0 ­2,000

1 300 2 600 3 1,200

4 1,500 5 7,000

Si la tasa de descuento es del 20% anual, utilizar:

• VPN • TIR

5. Sofía Vergara tiene los proyectos que se resumen en la tabla anexa. Si la tasa de descuento es del 15% anual, en qué proyecto debe invertir Sofía. Utilizar como criterios de decisión VPN y TIRponderada. Hallar la tasa de descuento para la cual las dos alternativas son indiferentes y hacer el gráfico correspondiente.

Page 144: Matemáticas Financieras

PROYECTO A PROYECTO B

Flujo de caja 0 ­18,000 ­23,000 Flujo de caja 1 4,000 4,000 Flujo de caja 2 4,000 6,000 Flujo de caja 3 4,000 7,000 Flujo de caja 4 8,000 8,000 Flujo de caja 5 8,000 9,000 Flujo de caja 6 8,000 10,000

6. Evaluar los siguientes proyectos mutuamente excluyentes:

PROYECTO "R" PROYECTO" S"

Flujo de caja año 0 ­1345 ­1500 Flujo de caja año 1 0 1000 Flujo de caja año 2 800 1250 Flujo de caja año 3 1600 Flujo de caja año 4 2400

Tasa de descuento = 12% anual

1. Determinar el riesgo del siguiente proyecto:

AÑO FLUJO DE CAJA OPTIMISTA

FLUJO DE CAJA MÁS PROBABLE

FLUJO DE CAJA PESIMISTA

0 ­3,500 ­2,000 ­1,800 1 200 300 500 2 500 600 700 3 800 1,200 1,350 4 1,350 1,500 1,600 5 1,650 1,700 1,900

a) Calcular el riesgo para el proyecto utilizando la distribución Beta y Beta 2, si la tasa de descuento es del 20% anual.

b) Calcular el riesgo para el proyecto utilizando la distribución Beta y Beta 2, si la tasa de descuento es del 12% anual.

Page 145: Matemáticas Financieras

2. Sofía Vergara tiene los siguientes proyectos:

Provecto A:

AÑO FLUJO DE CAJA OPTIMISTA FLUJO DE CAJAMÁS PROBABLE FLUJO DE CAJA PESIMISTA

0 ­20,000 ­18,000 ­17,000 1 3,000 4,000 4,500 2 3,000 4,000 4,500 3 3,000 4,000 4,500 4 7,000 8,000 8,500 5 7.000 8,000 8,500 6 7.000 8,000 8,500

Provecto B:

AÑO FLUJO DE CAJA OPTIMISTA

FLUJO DE CAJA MÁS PROBABLE

FLUJO DE CAJA PESIMISTA

0 ­25.000 ­23,000 ­21,500 1 3.000 4,000 4,500

2 5.500 6,000 6,500 3 6.500 7,000 7,500 4 7,000 8,000 9,000 5 8.250 9,000 10,000 6 9,300 10.000 11,000

Calcular el riesgo para cada uno de los proyectos, utilizando distribución Beta 2 y Beta, si la tasa de descuento es del 15% anual.

Page 146: Matemáticas Financieras

3.2 RACIONAMIENTO DE CAPITAL

Cando se expuso la evaluación de alternativas mutuamente excluyentes, se planteaba que si se hacia un proyecto no se podía realizar el otro; el caso de racionamiento de capital es diferente, se pueden realizar varios proyectos simultáneamente pero su ejecución va a depender de que se tenga el dinero suficiente para invertir, es lo que se conoce con el nombre de cartera o portafolio de proyectos, la pregunta es: ¿Cuáles se deben llevar a cabo, si se tienen restricciones de capital para invertir?

3.2.1 Modelo de optimización

La solución a la pregunta que se plantea: ¿Cuáles proyectos se deben llevar a cabo, si se tienen restricciones de capital para invertir?, es relativamente simple, se trata de ejecutar un modelo de optimización que se puede resolver con la programación lineal, su planteamiento es el siguiente:

Se tiene una función objetivo cuyo fin es maximizar el valor del dinero del inversionista, lo cual se puede hacer a través del valor presente neto, se requieren los flujos de caja proyectados de cada una de las opciones, posteriormente se establecen las restricciones monetarias del inversionista, para los períodos que así se requiera.

3.2.2 Planteamiento del modelo

Se tienen m proyectos con vida den años que serán evaluados a una tasa de descuento del i% y se tienen restricciones económicas en los períodos 0 y 1.

Simbólicamente se expresarían así:

Número de proyectos: desde A hasta M

tasa de descuento =

Disponible en el período O = Disponible O

Disponible en el período 1 = Disponible 1 VPN = Valor presente neto

Page 147: Matemáticas Financieras

Se tomaron dos restricciones monetarias, no solamente considerando la inversión inicial en el periodo cero, sino también en el período uno, puesto que no necesariamente un proyecto genera dinero en el primer período, existen algunas inversiones de tardío rendimiento como es el caso de la palma africana o algunos productos de la floricultura que requieren varios períodos para generar flujos de caja positivos.

VPNA= Valor presente neto del proyecto A . . .

VPNM Valor presente neto del proyecto M

Xi= Variable de decisión, si el resultado es uno se invierte en el proyecto, en caso contrario no

i=A..................... M

FCOA = Flujo de caja del período cero del proyecto “ A” FC1A = Flujo de caja del período uno del proyecto “ A” . . .

FC OB = Flujo de caja del período cero del proyecto “ B”

FC IB = Flujo de caja del período uno del proyecto “ B” . . .

FCNM = Flujo de caja del período N del proyecto “M”

Page 148: Matemáticas Financieras

Modelo de optimización

Función objetivo: Maximizar(VPNAXA+ VPNBXB +..........+ VPNMXM)

Restricciones

sujeto a:

Periodo cero:

FCOAX A + FCOB XB +...............................+ FCOMXM < = Disponible 0

Período uno:

FC 1AX A + FC1BXB +.......................+FC1MXM <= Disponible 1

XA XB...............XM >= 0

XA XB...............XM <= 1

XA XB...............XM >= Enteros

El resultado obtenido por las X que debe ser cero o uno, indica si se debe o no realizar el proyecto, de acuerdo a las restricciones económicas.

Ejemplo

El señor Armando Plata Rico debe conformar su portafolio de proyectos y para ello su asistente doña Linda Reina de Malo ha elaborado las respectivas proyecciones de los flujos de caja de cada una de las inversiones, considerando como tasa de descuento la tasa de oportunidad del señor Plata que es del 20% anual, determinar en qué proyectos debe invertir el señor Plata, si su disponibilidad para invertir en el momento inicial es de $1.200 millones y en el año 1 es de $125 millones.

Page 149: Matemáticas Financieras

Flujos de caja proyectados (millones de pesos)

PROVECTO A PROYECTO B PROYECTO C PROYECTO D

Flujo de caja año 0 ­350 ­400 ­250 ­300

Flujo de caja año 1 70 0 ­100 ­50 Flujo de caja año 2 170 0 400 300

Flujo de caja año 3 270 400 800 900 Flujo de caja año 4 370 1000 1200 1300

El paso inicial sería calcular el valor presente neto de cada proyecto que sería lo que se va a maximizar y se plantearía de la siguiente forma:

Maximizar (VPNAXA + VPNBXB + VPNCXC+ VPNDXD)

VPN A Valor presente neto = ­350+ 70/(1+0.20) + 170/(1+0.20) 2 + 270/(1+0.20) 3 + 370/(1+0.20) 4

VPNB = Valor presente neto =­400 + 0/(1+0.20) + 0/(1+0.20) 2 + 400/(1+ 0.20) 3 1000/(1+ O.20) 4

VPNC =Valor presente neto= ­250 – 100/(1+0.20) + 400/(1+0.20) 2 + 800/(1+ 0.20) 3 +1200/(1+ 0.20) 4

VPND Valor presente neto =­300 ­ 50/(1+0.20) + 300/(1+0.20) 2 + 900/(1+ 0.20) 3 +1300/(1+ 0.20) 4

VPNA = 134.23

VPNB = 261.45

VPNC = 821.76

VPND = 845.36

Page 150: Matemáticas Financieras

Restricciones

En el año 0 solamente se pueden invertir $ 1.200 millones o sea que la restricción No. 1, se plantearía así:

350XA + 400XB +250XC +300XD <=$ 1.200

Nótese que los coeficientes tienen signo positivo a pesar de ser desembolsos, puesto que lo que se trata es de sumarlos para determinar cuánto dinero se requiere para todos los proyectos propuestos, en este caso son $1.300 millones y solamente se dispone de $1.200 millones.

En el año 1 solamente el proyecto “A” genera dinero, los demás generan desembolsos, la restricción se plantearía de la siguiente manera:

­7OXA + 0XB + 100XC + 50XD <=$ 125

El proyecto “A” tiene signo negativo, puesto que es el único que genera dinero al final del año 1 y en caso de ser elegido aliviaría esta restricción.

Y finalmente:

X A X B X C X M >=0

X A X B X C X M <= 1 X A X B X C X M enteros

La respuesta debe ser cero o uno, por eso se le incluye la restricción entero, para que el proyecto se realice a plenitud y no parcialmente.

La solución del problema anterior se puede hacer utilizando la hoja de Excel de la siguiente manera:

Page 151: Matemáticas Financieras

1 A B

Tasa Descuento

C

20%

D E F

2 PROYECTO A PROYECTO B PROYECTO C PROYECTO D

3 Flujo caja 0 ­350 ­400 ­250 ­300

4 Flujo caja 1 70 0 ­100 ­50

5 Flujo caja 2 170 0 400 300

6 Flujo caja 3 270 400 800 900

7 Flujo caja 4 370 1000 1200 1300 8

VPN =VNA(C1,B 4:B7)+B3

=VNA(C1,C4 :C7)+C3

=VNA(C1,D4 :D7)+D3

=VNA(C1,E4 :E7)+E3

9 X 2 2 2 2 TOTAL

10 Función objetivo =B 8*B9 =C8*C9 =D8*D9 =E8*E9

=SUMA (B10:E10)

11

12 Restricción #1 =B3*B9 C3*C9 =D3*D9 =E3*E9 =SUMA (B12:E12)

13 Restricción #2 =B4 * B9

=C4*C9 =D4*D9 =E4*E9 =SUMA (B13:E13)

Con base en la tabla anterior, se busca en el menú principal, herramientas y se ubica resolver, aparece cuadro de parámetros que dice:

Celda objetivo: es la suma de los valores presentes netos de cada proyecto multiplicado por las “x” respectiva en este caso $F$10

Valor celda objetivo: máximo

Cambiando las celdas: son las “X” $B$9:$E$9

Agregar:

Referencia de la celda:

Colocar cualquier valor: Ej: 2,3, 25,16,...etc.

Page 152: Matemáticas Financieras

$B$9: $E$9 < =1 como se había planteado las “X” deben ser menor que 1

Agregar:

Referencia de la celda:

$B$9: $E$9 > = 0 como se había planteado las “X” deben ser mayor que 0

Agregar:

Referencia de la celda:

$B$9: $E$9 int como se había planteado las “X” deben ser enteros

Agregar:

Referencia de la celda:

$F$ 12 <= 1.200 que corresponde a la restricción monetaria de la inversión inicial

Agregar:

Referencia de la celda:

$F$ 13 <= 125 que corresponde a la restricción monetaria del primer año

Posteriormente, se pulsa resolver y el modelo nos muestra el siguiente cuadro:

Page 153: Matemáticas Financieras

A B C D E F 1 Tasa

Descuento 20%

2 PROYECTO A PROVECTO B PROYECTO C PROYECTO D

3 Flujo caja 0 ­350 ­400 ­250 ­300 4 Flujo caja 1 70 0 ­100 ­50 5 Flujo caja 2 170 0 400 300 6 Flujo caja 3 270 400 800 900

7 Flujo caja 4 370 1000 1200 1300 8 VPN 134.23 261.45 821.76 845.36 9 X 1 0 1 1 TOTAL 10 Función

objetivo 134.2 0 821.76 845.36 1801.34

11

12 Restricción #1 350 0 250 300 900 13 Restricción #2 ­70 0 100 50 80

Obsérvese en el cuadro, que la fila 9 que corresponde a las “NP variaron los valores que se habían colocado inicialmente que eran 2 en cada celda, los valores actuales son las respuestas que significan lo siguiente: si el resultado es 1 el proyecto debe hacerse en caso contrario no, o sea que deben realizarse los proyectos A,C,D y no debe llevarse a cabo el proyecto B.

Page 154: Matemáticas Financieras

EJERCICIO PARA LA PROFUNDIZACIÓN DE LAS TEMÁTICAS

Natalia París debe conformar su portafolio de proyectos y para ello su asistente Sandra Muñoz, ha elaborado las respectivas proyecciones de los flujos de caja de cada una de las inversiones, considerando como tasa de descuento la tasa de oportunidad de Natalia que es del 18% anual, determinar en qué proyectos debe invertir la señorita París, si su disponibilidad para invertir en el momento inicial es de $1.500 millones y en el año 1 es de $143 millones.

Flujos de caja proyectado (millones de pesos)

Proyecto A

Proyecto B

Proyecto C

Proyecto D

Proyecto E

Flujo de caja año 0 ­350 ­420 ­250 ­300 ­300 Flujo de caja año 1 70 0 ­100 ­50 ­50 Flujo de caja año 2 170 70 395 300 100 Flujo de caja año 3 270 470 820 900 800 Flujo de caja año 4 370 1000 1200 1300 1975

Page 155: Matemáticas Financieras

APENDICE

SISTEMA DE FINANCIACIÓN CON UNIDAD DE VALOR REAL – UVR­

La UVR (unidad de valor real) es el sistema actual de crédito de vivienda que se usa en Colombia, en reemplazo del UPAC sistema creado en los años setenta, con el objeto de facilitar el desarrollo de la construcción.

Según lo dispone el artículo 2, resolución externa N 0 13 de 2000, de la Junta Directiva del Banco de la República, esta entidad es la encargada del cálculo y divulgación diaria de la UVR de acuerdo con la metodología allí prevista.

El valor de la mencionada unidad puede consultarse en la página web de dicha entidad en la dirección www.banrep.gov.co

Con el objeto que la tasa interés efectiva cobrada durante cada período para los créditos de UVR no sobrepase la tasa de usura, el Decreto 234 de 2000, establece que esta unidad se reajustará con la inflación ocurrida durante el año; esto es tomando los doce meses inmediatamente anteriores a cada período y no con variaciones de cada mes anualizadas. La Superintendencia Bancaria, con base en las certificaciones emitidas por el DANE, es la entidad encargada de informar mensualmente el valor de dicho reajuste. A manera de ilustración, a continuación se analizan a través de ejemplos dos de los sistemas de amortización de préstamos financiados con UVR; debe aclararse antes, que el sistema tiene dos tasas: uno para calcular el valor de las cuotas en UVR y la otra corresponde a la inflación, la cual se usa para proyectar el valor de la UVR.

1. Cuota constante en UVR

Page 156: Matemáticas Financieras

Determinar la tabla de amortización con cuota constante en UVR para un crédito de $ 1,000,000 con un plazo de 60 meses y una tasa efectiva anual sobre UVR = 13%, inflación 10% anual, UVR inicial = 111,3366.

El valor de la cuota constante en UVR se calcula con la siguiente fórmula:

i = 13% efectivo anual

¡mes = 12 1.13­1 = 1.02368%

Valor UVR inicial = 111.3366

Valor crédito en pesos $1 ,000,000

Valor crédito en UVR = 1,000,000/111.3366 = 8,981.77

Cuota constante

A=

A = Cuota constante en UVR = 201.0869

La UVR se puede estimar con el valor de la inflación proyectada, que en el

= A = P (1+i) n i

(1+i) n ­ 1

Cuota constante En UVR = 8.981.77

0.0102368 (1+0.0102368) 60

(1+0.0102368) 60 ­ 1

Page 157: Matemáticas Financieras

ejemplo es 10% anual.

Inflación mensual = 12 1.10­1 = 0.7974%

Si la UVR al momento del préstamo es 11.3366, para el mes siguiente sería:

111.3366 (1+0.7974%) = 112.2244

y para el mes siguiente:

112.2244(l+0.7974%)= 113.1193

y así sucesivamente se puede proyectar hasta el final del plazo.

La tabla de amortización se debe elaborar primero en términos de UVR; con base en esta información y en el valor de la UVR estimada hasta el final del plazo del préstamo, permite obtener el valor en pesos. (Ver tabla en la hoja siguiente).

Page 158: Matemáticas Financieras

UVR UVR UVR UVR UVR

Mes Saldo Inicial

Intere ses

Cuota Constante

Abonos a Capital

Saldo final Cuota $ Saldo $ UVR

1,000,000.00 111.34 1 8,981.77 91.95 201.09 109.14 8,872.63 22,566.86 995,725.75 112.22

2 8,872.63 90.83 201.09 110.26 8,762.37 22,746.82 991,193.36 113.12

3 8,762.37 89.7 201.09 111.39 8,650.98 22,928.20 986,396.68 114.02

4 8,650.98 88.56 201.09 112.53 8,538.46 23,111.03 981,329.42 114.93

5 8,538.46 87.41 201.09' 113.68 8,424.78 23,295.33. 975,985.18 115.85

6 8,424.78 86.24 201.09 114.84 8,309.93 23,481.09 970,357.41 116.77

7 8,309.93 85.07 201.09 116.02 8,193.91 23,668.33 964,439.46 117.7

8 8,193.91 83.88 201.09 117.21 8,076.70 23,857.06 958,224.52 118.64

9 8,076.70 82.68 201.09 118.41 7,958.30 24,047.30 951,705.65 119.59

10 7,958.30 81.47 201.09 119.62 7,838.68 24,239.06 944,875.78 120.54

11 7,838.68 80.24 201.09 120.84 7,717.83 24,432.34 937,727.68 121.5

12 7,717.83 79.01 201.09 122.08 7,595.75 24,627.17 930,254.00 122.47

13 7,595.75 77.76 201.09 123.33 7,472.42 24,823.55 922,447.23 123.45

14 7,472.42 76.49 201.09 124.59 7,347.83 25,021.50 914,299.70 124.43

15 7,347.83 75.22 201.09 125.87 7,221.96 25,221.02 905,803.62 125.42

16 7,221.96 73.93 201.09 127.16 7,094.81 25,422.14 896,950.99 126.42

17 7,094.81 72.63 201.09 128.46 6,966.35 25,624.86 887,733,72 127.43

18 6,966.35 71.31 201.09 129.77 6,836.57 25,829.19 878,143.49 128.45

Page 159: Matemáticas Financieras

UVR UVR UVR UVR UVR

Mes Saldo Inicial

Intere ses

Cuota Constante

Abonos a

Capital

Saldo final Cuota $ Saldo $ UVR

19 6,836.57 69.98 201.09 131.1 6,705.47 26,035.16 868,171.87 129.47

20 6,705.47 68.64 201.09 132.44 6,573.03 26,242.77 857,810.24 130.5

21 6,573.03 67.29 201.09 133.8 6,439.23 26,452.03 847,049.80 131.55

22 6,439.23 65.92 201.09 135.17 6,304.06 26,662.96 835,881.59 132.59

23 6,304.06 64.53 201.09 136.55 6,167.50 26,875.58 824,296.48 133.65

24 6,167.50 63.14 201.09 137.95 6,029.55 27,089.89 812,285.13 134.72

25 6,029.55 61.72 201.09 139.36 5,890.19 27,305.91 799,838.04 135.79

26 5,890.19 60.3 201.09 140.79 5,749.40 27,523.65 786,945.52 136.87

27 5,749.40 58.86 201.09 142.23 5,607.17 27,743.12 773,597.69 137.97

28 5,607.17 57.4 201.09 143.69 5,463.48 27,964.35 759,784.46 139.07

29 5,463.48 55.93 201.09 145.16 5,318.32 28,187.34 745,495.56 140.17

30 5,318.32 54.44 201.09 146.64 5,171.68 28,412.11 730,720.51 141.29

31 5,171.68 52.94 201.09 148.15 5,023.53 28,638:68 715,448.63 142.42

32 5,023.53 51.43 201.09 149.66 4,873.87 28,867.04 699,669.01 143.56

33 4,873.87 49.89 201.09 151.19 4,722.68 29,097.23 683,370.55 144.7

34 4,722.68 48.35 201.09 152.74 4,569.94 29,329.26 666,541.93 145.85

35 4,569.94 46.78 201.09 154.31 4,415.63 29,563.14 649,171.59 147.02

36 4,415.63 45.2 201.09 155.88 4,259.75 29,798.88 631,247.76 148.19

37 4,259.75 43.61 201.09 157.48 4,102.27 30,036.50 612,758.43 149.37

38 4,102.27 41.99 201.09 159.09 3,943.17 30,276.01 593,691.37 150.56

Page 160: Matemáticas Financieras

UVR UVR UVR UVR UVR

Mes Saldo Inicial

Intere ses

Cuota Constante

Abonos a

Capital

Saldo final Cuota $ Saldo $ UVR

39 3.943.17 40.37 201.09 160.72 3,782.45 30,517.44 574,034.11 151.76

40 3,782.45 38.72 201.09 162.37 3,620.09 30,760.79 553,773.90 152.97

41 3,620.09 37.06 201.09 164.03 3,456.06 31,006.08 532,897.80 154.19

42 3,456.06 35.38 201.09 165.71 3,290.35 31,253.32 511,392.57 155.42

43 3,290.35 33.68 201.09 167.4 3,122.95 31,502.54 489,244.73 156.66

44 3,122.95 31.97 201.09 169.12 2,953.83 31,753.75 466,440.55 157.91

45 2,953.83 30.24 201.09 170.85 2,782.98 32,006.96 442,966.01 159.17

46 2,782.98 28.49 201.09 172.6 2,610.38 32,262.19 418,806.83 160.44

47 2,610.38 26.72 201.09 174.36 2,436.02 32,519.45 393,948.45 161.72

48 2,436.02 24.94 201.09 176.15 2,259.87 32,778.76 368,376.04 163.01

49 2,259.87 23.13 201.09 177.95 2,081.91 33,040.15 342,074.45 164.31

50 2,081.91 21.31 201.09 179.77 1,902.14 33,303.61 315,028.28 165.62

51 1,902.14 19.47 201.09 181.62 1,720.52 33,569.18 287,221.79 166.94

52 1,720.52 17.61 201.09 183.47 1,537.05 33,836.87 258,638.96 168.27

53 1,537.05 15.73 201.09 185.35 1,351.70 34,106.69 229,263.46 169.61

54 1,351.70 13.84 201.09 187.25 1,164.45 34,378.66 199,078.63 170.96

55 1,164.45 11.92 201.09 189.17 975.28 34,652.80 168,067.50 172.33

56 975.28 9.98 201.09 191.1 784.18 34,929.12 136,212.77 173.7

57 784.18 8.03 201.09 193.06 591.12 35,207.65 103,496.80 175.09

58 591.12 6.05 201.09 195.04 396.08 35,488.40 69,901.63 176.48

59 396.08 4.05 201.09 197.03 199.05 35,771.39 35,408.92 177.89

60 199.05 2.04 201.09 199.05 0 36,056.64 0 179.31

Page 161: Matemáticas Financieras

2. Abono constante a capital en UVR

Determinar la tabla de amortización para un crédito de $1,000,000 con un plazo de 60 meses, una tasa efectiva anual sobre UVR igual al 13%, inflación = 10% anual,

UVR inicial = 111.3366

Valor crédito pesos = $1,000,000

Valor crédito UVR = 1,000,000/111.3366 = 8,981.7724

Abono constante a capital = 8,981.7724/60 = 149.6962

El detalle de las cuotas se observa en la siguiente tabla:

Page 162: Matemáticas Financieras

UVR UVR UVR UVR UVR

Mes Saldo Inicial

Intere ses

Cuota Constante

Abonos a Capital

Saldo final Cuota $ Saldo $ UVR 1,000,000.00 111.34

1 8,981.77 91.95 241.64 149.7 8,832.08 27,118.04 991,174.57 112.22

2 8,832.08 90.41 240. 1 1 149.7 8,682.38 27,160.94 982,144.81 113.12

3 8,682.38 88.88 238.58 149.7 8,532.68 27,202.80 972,908.00 114.02

4 8,532.68 87.35 237.04 149.7 8,382.99 27,243.59 963,461.44 114.93

5 8,382.99 85.82 235.51 149.7 8,233.29 27,283.31 953,802.36 115.85

6 8,233.29 84.28 233.98 149.7 8,083.60 27,321.93 943,927.96 116.77

7 8,083.60 82.75 232.45 149.7 7,933.90 27,359.43 933,835.44 117.7

8 7,933.90 81.22 230.91 149.7 7,784.20 27,395.79 923,521.94 118.64

9 7,784.20 79.69 229.38 149.7 7,634.51 27,431.00 912,984.57 119.59

10 7,634.51 78.15 227.85 149.7 7,484.81 27,465.02 902,220.43 120.54

11 7,484.81 76.62 226.32 149.7 7,335.11 27,497.84 891,226.57 121.5

12 7,335.11 75.09 224.78 149.7 7,185.42 27,529.43 880,000.00 122.47

13 7,185.42 73.56 223.25 149.7 7,035.72 27,559.78 868,537.72 123.45

14 7,035.72 72.02 221.72 149.7 6,886.03 27,588.87 856,836.68 124.43

15 6,886.03 70.49 220.19 149.7 6,736.33 27,616.66 844,893.79 125.42

16 6,736.33 68.96 218.65 149.7 6,586.63 27,643.15 832,705.96 126.42

17 6,586.63 67.43 217.12 149.7 6,436.94 27,668.30 820,270.03 127.43

18 6,436.94 65.89 215.59 149.7 6,287.24 27,692.10 807,582.81 128.45

19 6,287.24 64.36 214.06 149.7 6,137.54 27,714.51 794.641.10 129.47

Page 163: Matemáticas Financieras

UVR UVR UVR UVR UVR

Mes Saldo Inicial

Intere ses

Cuota Constante

Abonos a Capital

Saldo final Cuota $ Saldo $ UVR 20 6,137.54 62.83 212.53 149.7 5,987.85 27,735.52 781,441.64 130.5

21 5,987.85 61.3 210.99 149.7 5,838.15 27,755.11 767,981.14 131.55

22 5,838.15 59.76 209.46 149.7 5,688.46 27,773.24 754.256.28 132.59

23 5,688.46 58.23 207.93 149.7 5,538.76. 27,789.90 740,263.70 133.65

24 5,538.76 56.7 206.4 149.7 5,389.06 27,805.06 726,000.00 134.72

25 5,389.06 55.17 204.86 149.7 5,239.37 27.818.69 711.461.75 135.79

26 5,239.37 53.63 203.33 149.7 5.089.67 27.830.77 696.645.47 136.87

27 5,089.67 52.1 201.8 149.7 4.939.97 27.841.28 681.547.66 137.97

28 4,939.97 50,57 200.27 149.7 4,790.28 27,850.18 666.164.77 139.07

29 4,790.28 49.04 198.73 149.7 4,640.58 27,857.46 650,493.21 140.17

30 4,640.58 47.5 197.2 149.7 4.490.89 27,863.08 634,529.35 141.29

31 4,490.89 45.97 195.67 149.7 4,341.19 27,867.01 618,269.54 142.42

32 4,341.19 44.44 194.14 149.7 4,191.49 27,869.24 601,710.06 143.56

33 4,191.49 42.91 192.6 149.7 4,041.80 27,869.74 584,847.18 144.7

34 4,041.80 41.38 191.07 149.7 3,892.10 27,868.47 567.677.10 145.85

35 3,892.10 39.84 189.54 149.7 3,742.41 27,865.40 550,195.99 147.02

36 3,742.41 38.31 188.01 149.7 3,592.71 27,860.52 532,400.00 148.19

37 3,592.71 36.78 186.47 149.7 3,443.01 27,853.78 514,285.21 149.37

38 3,443.01 35.25 184.94 149.7 3,293.32 27,845.17 495,847.66 150.56

39 3,293.32 33.71 183.41 149.7 3.143.62 27,834.65 477.083.36 151.76

Page 164: Matemáticas Financieras

UVR UVR UVR UVR UVR

Mes Saldo Inicial

Intere ses

Cuota Constante

Abonos a Capital

Saldo final Cuota $ Saldo $ UVR

40 3,143.62 32.18 181.88 149.7 2,993.92 27,822.19 457,988.28 152.97

41 2,993.92 30.65 180.34 149.7 2,844.23 27,807.76 438,558.32 154.19

42 2,844.23 29.12 178.81 149.7 2,694.53 27,791.33 418,789.37 155.42

43 2,694.53 27.58 177.28 149.7 2,544.84 27,772.87 398,677.26 156.66

44 2,544.84 26.05 175.75 149.7 2,395.14 27,752.35 378,217.75 157.91

45 2,395.14 24.52 174.21 149.7 2,245.44 27,729.74 357,406.61 159.17

46 2,245.44 22.99 172.68 149.7 2,095.75 27,705.00 336,239.51 160.44

47 2,095.75 21.45 171.15 149.7 1,946.05' 27,678.10 314,712.11 161.72

48 1,946:05 19.92 169.62 149.7 1,796.35 27,649.02 292,820.00 163.01

49 1,796.35 18.39 168.09 149.7 1,646.66 27,617.70 270,558.74 164.31

50 1,646.66 16.86 166.55 149.7 1,496.96 27,584.14 247,923.83 165.62

51 1,496.96 15.32 165.02 149.7 1,347.27 27,548.28 224,910.73 166.94

52 1,347.27 13.79 163.49 149.7 1,197.57 27,510.09 201,514.84 168.27

53 1,197.57 12.26 161.96 149.7 1,047.87 27,469.54 177,731.53 169.61

54 1,047.87 10.73 160.42 149.7 898.18 27,426.60 153,556.10 170.96

55 898.18 9.19 158.89 149.7 748.48 27,381.23 128,983.82 172.33

56 748.48 7.66 157.36 149.7 598.78 27,333.39 104,009.88 173.7

57 598.78 6.13 155.83 149.7 449.09 27,283.04 78,629.45 175.09

58 449.09 4.6 154.29 149.7 299.39 27,230.15 52,837.64 176.48

59 299.39 3.06 152.76 149.7 149.7 27,174.69 26,629.49 177.89

60 149.7 1.53 151.23 149.7 0 27,116.61 0 179.31

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