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EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS BÁSICASEJERCICIOS DE MATEMÁTICAS BÁSICASEJERCICIOS DE MATEMÁTICAS BÁSICASEJERCICIOS DE MATEMÁTICAS BÁSICAS

CONCEPTOS Y OPERACIONESCONCEPTOS Y OPERACIONESCONCEPTOS Y OPERACIONESCONCEPTOS Y OPERACIONES

DANIEL BUITRAGODANIEL BUITRAGODANIEL BUITRAGODANIEL BUITRAGO

JUNJUNJUNJUNIO 2008IO 2008IO 2008IO 2008

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TABLA DE CONTENIDOTABLA DE CONTENIDOTABLA DE CONTENIDOTABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 POTENCIACIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 LEYES DE LOS EXPONENTES. . . . . . . . . . . . . . . . . 6 EJERCICIOS DE LA SECCIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 INVERSO DE UNA POTENCIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 RADICALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 LEYES DE LOS RADICALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 EJERCICIOS DE LA SECCIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 LOGARITMO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 PROPIEDADES DEL LOGARITMO. . . . . . . . . . . . . . . . 22 EJERCICIOS DE LA SECCIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA. . . . . . . . . . . . . . . . . 26 FACTORIZACIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 EJERCICIOS DE LA SECCIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 APÉNDICE 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 APÉNDICE 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

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INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN

Este texto es una pequeña propuesta de ejemplos y ejercicios sobre operaciones y conceptos de Matemáticas Básicas, presentadas con el objeto de reforzar aquellos procedimientos teóricos y operativos que debe manejar el estudiante de primer semestre de Ingenierías. El desarrollo se hace primero con una breve introducción de cada concepto sobre su idea principal y los elementos que lo conforman, seguido de algunos ejemplos, para posteriormente llevarlos a los ejercicios propuestos sobre el tema. El presente trabajo no pretende ser de ninguna manera un texto guía. Para este objeto, pueden consultarse los libros propuestos en la Bibliografía que se encuentra al final.

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POTENCIACIÓNPOTENCIACIÓNPOTENCIACIÓNPOTENCIACIÓN

ExponenteExponenteExponenteExponente: : : : Número de veces que se multiplica un determinado número (llamado base) por sí mismo. GH : GIJKLM

HNOPQRSMSTM Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1:

a) 34 = 3x3x3x3 Donde la base es 3 y el exponente 4. Quiere decir que el número 3 se multiplica 4 veces por sí mismo, como se muestra en el desarrollo. A este producto se le lama potencia.

b) -25 = (-2)x(-2)x(-2)x(-2)x(-2)= -32 Donde la base es -2 y el exponente es 5. Operaciones con potenciasOperaciones con potenciasOperaciones con potenciasOperaciones con potencias De igual forma que con los números enteros, las potencias se pueden sumar, restar, multiplicar o dividir. SumaSumaSumaSuma Ejemplo 2: Ejemplo 2: Ejemplo 2: Ejemplo 2: Suma de potencias Calcule 23 + 33 Para sumar dos potencias basta con sumar cada uno de sus desarrollos: 23 = 2x2x2 = 8 y 33 = 3x3x3 = 27 Sumando resultados: 8 + 27 = 35 Por lo tanto 23 + 33 = 35

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RestaRestaRestaResta Se procede de la misma forma para la resta de potencias. MultiplicaciónMultiplicaciónMultiplicaciónMultiplicación Para multiplicar dos potencias se multiplican cada uno de sus desarrollos Ejemplo 3:Ejemplo 3:Ejemplo 3:Ejemplo 3: Producto de potencias Calcule 43 x 72 Se tiene: 43 = 4x4x4 y 72 = 7x7 Multiplicando resultados: (4x4x4)x(7x7) = (64)x(49) = 3136 Por lo tanto: 43 x 72 = 3136 DivisiónDivisiónDivisiónDivisión Para dividir dos potencias se divide el desarrollo del numerador entre el desarrollo del denominador Ejemplo 4:Ejemplo 4:Ejemplo 4:Ejemplo 4: División de potencias Dividir 83 entre 44 Se tiene: 83 = 8x8x8 y 44 = 4x4x4x4 Se pone el desarrollo del dividendo en el numerador y el desarrollo del divisor en el denominador:

8 Y 8 Y 84 Y 4 Y 4 Y 4 = 512256 = 2 Por lo tanto 83/44 = 2

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LEYES DE LOS EXPONENTESLEYES DE LOS EXPONENTESLEYES DE LOS EXPONENTESLEYES DE LOS EXPONENTES Existen casos particulares importantes de productos de potencias y división de potencias que se pueden generalizar. Algunos de ellos son:

1.1.1.1. Producto de bases igualesProducto de bases igualesProducto de bases igualesProducto de bases iguales Si se tiene el producto de dos potencias, cuyas bases son iguales, el resultado se puede expresar como la base igual elevada a la suma de los exponentes. Es decir:

AAAAnnnn x Ax Ax Ax Ammmm = A= A= A= An + mn + mn + mn + m Donde A representa la base igual y m y n los exponentes.

Ejemplo 5Ejemplo 5Ejemplo 5Ejemplo 5: Producto de bases iguales Aplicar la ley de Producto de bases iguales a la operación 53 x 52 y posteriormente calcular su resultado. 53 x 52 Se puede escribir como: 53 x 52 = (5x5x5)x(5x5) = 5x5x5x5x5 = 55 55 = 3125 O aplicando directamente Producto de bases iguales tenemos: 53 x 52 = 53 + 2 = 55 = 5x5x5x5x5 = 3125

2.2.2.2. Cociente de bases igualesCociente de bases igualesCociente de bases igualesCociente de bases iguales a) Si se tiene la división (cociente) de dos potencias, cuyas bases son iguales, el resultado se puede expresar como la base igual elevada a la resta de los exponentes.

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Es decir: [\[] = [\^]

b) Si se tiene que m = n llegamos a que

G_ = ` Todo número elevado a un exponente 0, da como resultado 1. (El desarrollo se deja como ejercicio)

c) Y por otro lado, si se tiene que m = 0 llegamos a que G̀S = G^S

Es decir, un exponente negativo representa una fracción, donde el denominador es una potencia. (Y viceversa) Ejemplo 6: Ejemplo 6: Ejemplo 6: Ejemplo 6: Cociente de bases iguales Usar la ley de cociente de bases iguales para simplificar las siguientes expresiones:

1. 137/135 2. xy9/3y8 3. 9x6/yx9 Solución:

1. Vemos que en el cociente abcabd la base del numerador y la del denominador son iguales y por lo tanto se puede aplicar directamente la ley de Cociente de bases iguales:

13e13f = 13e^f = 13g = 169

2. En esta expresión es necesario discriminarla en dos fracciones: una que contenga las bases iguales en numerador y denominador y otra que contenga los demás términos (Ver sobre operaciones con fracciones en apéndice 1): ijk3jl = mi3n o pjk

jlq

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Ahora podemos aplicar la ley de Cociente de bases iguales al segundo factor mrs

rtn: = mi3n o (uv^w)

= mi3n o ja = ij3

3. De manera similar, aquí se discrimina el factor que contiene las bases iguales: 9ixjik = y9jz o pix

ikq Ahora podemos aplicar la ley de Cociente de bases iguales al segundo factor m{|

{sn: = y9jz o (ix^k)

= y9jz o i^b Como el exponente resultante es negativo, aplicamos la ley de Cociente de bases iguales parte c):

= y9jz o 1ib = 9jib

3.3.3.3. Potencia elevada a otro exponentePotencia elevada a otro exponentePotencia elevada a otro exponentePotencia elevada a otro exponente En el caso en que se tenga una potencia elevada a otro exponente, se puede expresar como la misma base, elevada al producto de ambos exponentes. (Y viceversa). Es decir:

(GH)S = GHoS

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Ejemplo 7:Ejemplo 7:Ejemplo 7:Ejemplo 7: Aplicar la ley a la expresión (34)3: (34)3 = 34*3 = 312 = 531441

4.4.4.4. Potencia de un productoPotencia de un productoPotencia de un productoPotencia de un producto Si en vez de una potencia nos encontramos con un producto elevado a un exponente dado, el desarrollo correspondiente es asignarle a cada factor el exponente dado:

(G o J)H = GH o JH Ejemplo 8:Ejemplo 8:Ejemplo 8:Ejemplo 8: Aplicar la ley a la expresión (xy)2: (ij)g = ig o jg Nota:Nota:Nota:Nota: Obsérvese que la ley sólo funciona con la potencia de un producto, mas NO con la potencia de la suma, así que (i + j)g ~ ig + jg

5.5.5.5. Potencia de un cocientePotencia de un cocientePotencia de un cocientePotencia de un cociente De la misma manera si tenemos un cociente elevado a un exponente dado, podemos reexpresarlo asignándole el exponente al numerador y al denominador por aparte: (y viceversa)

yGJzH = GHJH

Ejemplo 9Ejemplo 9Ejemplo 9Ejemplo 9:::: Aplicar la ley a la expresión mgfnb: y25zb = 2b

5b = 8125

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Ejercicios de la Sección:Ejercicios de la Sección:Ejercicios de la Sección:Ejercicios de la Sección:

1. Exprese como potencia: a) 7 o 7 o 7 o 7 b) 11 o 13 o 11 o 13 o 11 o 13 o 13 c) axoxox

d) 3i o 3i o 3i o 3i

e) boeoboeoboegogogog f) 17 o 17 o 17 o 19 o 19 + 13 o 15 o 13 o 15 2. Realice las siguientes operaciones: a) (3 + 2)g b) 1g + 2g + 3g + 4g c) 4b � 7g d) 2a + 2g + 2b + 2� e) 5b o 3b o 2b f) e�og�

f�ob� 3. Aplicar donde corresponda las Leyes de los exponentes para resolver o simplificar según sea el caso: a) (� + �)g b) (3j)�

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c) (7ig)b d) 3 o 2 o 5 o 3b o 2b o 5 e) ({r)�

(r{)�

f) mgbnb g) {�oro��o��

ro{o�o{o��o�� + b�o�o�oeeobo��ob

h) mb{�r�g{ ng

i) br�{r�

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Inverso de una potenciaInverso de una potenciaInverso de una potenciaInverso de una potencia Cuando realizamos una suma de números enteros obtenemos un resultado. Si queremos devolvernos a los sumandos que lo ocasionaron, basta con restar uno de ellos del resultado para obtener el otro. Por ejemplo, tenemos que 3 + 2 = 5. Si a partir del 5 queremos obtener uno de los sumandos involucrados, le restamos 2 al 5 y así obtenemos el otro sumando, el 3: 3 = 5 – 2 O de la misma manera restarle al 5 el sumando 3 y obtener el otro sumando, el 2: 2 = 5 – 3 De manera más general podemos decir que si tenemos la suma A + B = C, podemos conocer el valor de A con la resta de C y B: A = C – B O conocer el valor de B con la resta de C y A: B = C – A En el caso de la potenciación, tenemos que �� = �. Si queremos hallar el valor de A en términos de B y C o el valor de B en términos de A y C, esto nos lleva a dos nuevas operaciones llamadas radicación y logaritmo respectivamente. De esta manera, para el valor de A se calcula la operación de radicación con B y C (que veremos en detalle más adelante) y el valor de B se calcula con la operación logaritmo con A y C.

� = ��� Para hallar el valor de A en términos de B y C �� = �

� = ����� Para hallar el valor de B en términos de A y C Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1:::: Dada la potencia 5b = 125, halle el valor de la base en términos del exponente y el resultado y el valor del exponente en términos de la base y el resultado. Solución: La base en términos del exponente y el resultado queda:

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5 = �125� Y el exponente en términos de la base y el resultado queda:

3 = ���f125

RADICALESRADICALESRADICALESRADICALES

Ya se ha visto de dónde procede la operación de radicación. En esta sección se pretende especificar los elementos de esta operación y sus propiedades. Radicando:Radicando:Radicando:Radicando: Resultado de una potencia al que se le va a calcular su base. Índice:Índice:Índice:Índice: Número de veces que se ha multiplicado una base desconocida por sí misma para obtener el radicando. Cuando no se encuentra expresado, se entiende que su valor es 2. Raíz:Raíz:Raíz:Raíz: Resultado de la operación. ��� = � : � �I���������

�NÍ����  = �N��í� Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1:::: Cálculo de raíces

a) �216� : Hemos de encontrar un número que multiplicado 3 veces por sí mismo (el índice), dé como resultado 216 (el radicando). O en palabras de potencias, un número que elevado al exponente 3, dé como resultado 216. En efecto tenemos que: �216� = 6, ya que 63 = 216 cumple con la condición. b) ��32d : Hemos de encontrar un número que elevado al exponente 5, dé como resultado -32. Éste número es -2, porque -25 = -32. Luego ��32d = �2.

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Operaciones con raícesOperaciones con raícesOperaciones con raícesOperaciones con raíces Las operaciones con raíces se manejan de forma semejante a las operaciones con potencias. SumaSumaSumaSuma Para sumar dos raíces se suman cada uno de sus desarrollos. Sólo si el radicando y el índice de dos raíces son iguales, se pueden sumar como objetos. Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2::::

a) Sumar �16� + �8� : �16� + �8� = 4 + 2 = 6

b) Sumar 3�11 + 7�11 : 3�11 + 7�11 = 10�11 ¢ 33,167 RestaRestaRestaResta Se procede de la misma forma que la suma de raíces. MultiplicaciónMultiplicaciónMultiplicaciónMultiplicación Para el producto de dos raíces se multiplican sus resultados. Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3::::

a) Calcular �49 o �8� : �49 o �8� = 7 o 2 = 14 b) Calcular �16 o �16� : �16 o �16� = 4 o �16� ¢ 10,08

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DivisiónDivisiónDivisiónDivisión Similar a la multiplicación, en la división se calcula el cociente de los resultados de las raíces. Ejemplo 4Ejemplo 4Ejemplo 4Ejemplo 4:::: Calcular �ge�

�ge : �27��27 = 3�27

¢ 0,57735 Antes de iniciar con las Leyes de los Radicales es necesario destacar una propiedad importante: Interpretación de un exponente fraccionarioInterpretación de un exponente fraccionarioInterpretación de un exponente fraccionarioInterpretación de un exponente fraccionario En ocasiones se encontrará una expresión de la forma ��£ , es decir una base elevada a un exponente fraccionario, que representa la raíz con índice C de una base de exponente B:

GJ¤ = ¥GJ¤ LEYES DE LOS RADICALESLEYES DE LOS RADICALESLEYES DE LOS RADICALESLEYES DE LOS RADICALES Existen situaciones especiales de la radicación que se pueden reexpresar, con fines de simplificación o sencillamente en busca de una expresión más conveniente para la solución de un problema.

1.1.1.1. Raíz de una potencia cuyo exponente e índice son igualesRaíz de una potencia cuyo exponente e índice son igualesRaíz de una potencia cuyo exponente e índice son igualesRaíz de una potencia cuyo exponente e índice son iguales Si se tiene la raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice de la raíz, se puede eliminar la operación de radicación, dejando como resultado la base.

¥GJJ = GJJ = G` = G Nota:Nota:Nota:Nota: Más adelante se verá que es necesario distinguir este resultado cuando B es par y cuando es impar.

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2.2.2.2. Factores Factores Factores Factores en el radicandoen el radicandoen el radicandoen el radicando a)a)a)a) El producto de los radicandos es igual al producto de las raíces de los factores (y viceversa): �G o JS = �GS o �JS b)b)b)b) Cuando se tiene un producto en el radicando y uno de los factores tiene un exponente igual al índice de la raíz, se puede excluir del radicando su base. Esto se conoce como simplificación de la raíz. Ejemplo 5Ejemplo 5Ejemplo 5Ejemplo 5::::

a) Simplificar �8 : Solución:

�8 = �2 o 2 o 2 = ¥2g o 2 = ¥2g o �2 = 2 o �2

b) Simplificar �54� : Solución:

�54� = �3 o 3 o 3 o 2� = ¥3b o 2� = ¥3b� o �2� = 3 o �2� 3.3.3.3. Cociente de raíces con índices igualesCociente de raíces con índices igualesCociente de raíces con índices igualesCociente de raíces con índices iguales El cociente de raíces de igual índice es igual a la raíz (del mismo índice) del cociente de los radicandos.

�GS�JS = ¦GJS

Ejemplo 6Ejemplo 6Ejemplo 6Ejemplo 6:::: Simplifique �{�

ge� :

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Solución: Aplicando la ley de Cociente con índices iguales tenemos: ¦ib

27� = �ib��27�

= i3

4.4.4.4. Raíz de una raízRaíz de una raízRaíz de una raízRaíz de una raíz Cuando se tiene la raíz de una raíz, se puede expresar como una raíz sobre el mismo radicando y como índice, el producto de los dos índices. � �GSH = �GHoS

Ejercicios de la sección:Ejercicios de la sección:Ejercicios de la sección:Ejercicios de la sección: 1. Exprese como raíces las siguientes potencias a) 3f = 243 b) �8b c) (ij)b d) {�

{§�̈

e) (ib)�̈ 2. Utilice la simplificación de raíces para realizar las siguientes operaciones: a) 7 o (3�45 + 15�80)

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b) (2�3 + 10�27 � 5�48)g c) bg �40� + ab �135� � af �625�

3. Aplicar donde corresponda las leyes de los radicales para resolver o simplificar según sea el caso: a) ¥27jag� b) �{�

gf c) ¥�iafd� d) ((2 o �ic ) o (3 o ¥jc ))e

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LogaritmosLogaritmosLogaritmosLogaritmos

Hemos visto que si tenemos una potencia, por ejemplo AB=C y queremos expresar el exponente B en términos de A y de C usamos la operación Logaritmo. A continuación se presentan las características elementales de esta operación y sus propiedades. Para empezar, mencionemos los componentes de la operación logaritmo: Base:Base:Base:Base: Es la base de la potencia a la que se quiere hallar su exponente. ExponenteExponenteExponenteExponente o resultadoo resultadoo resultadoo resultado:::: Resultado de la operación. log� � = �: log �I

�©ª  � « «¬­©®�¯°¬

� = �N±{²��³�´³

Ejemplo 1:Ejemplo 1:Ejemplo 1:Ejemplo 1: Cálculo de logaritmos.

a) Hallar log2 8: Con este enunciado, piden hallar un exponente al que debo elevar 2 (la base del logaritmo) para que dé como resultado 8. Éste número es 3, ya que 23=8. Por lo tanto, log2 8=3. b) Hallar log10 1000: Se pide hallar un exponente al que debo elevar 10 (la base del logaritmo) para que dé como resultado 1000. El resultado es 3, porque 103=1000. Por lo tanto, log10 1000=3. Operaciones con logaritmosOperaciones con logaritmosOperaciones con logaritmosOperaciones con logaritmos Las operaciones básicas con logaritmos se manejan de forma similar a las ya vistas en potencias y raíces. SumaSumaSumaSuma Para sumar dos logaritmos se suman cada uno de sus desarrollos. Sólo si la base y el número al que se le aplica el logaritmo son iguales, se pueden sumar como objetos (Ver Ejemplo 2, b).).

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Ejemplo 2:Ejemplo 2:Ejemplo 2:Ejemplo 2: a) Sumar log� 64 + logb 9 :

log� 64 + logb 9 = 3 + 2 = 5 b) Sumar 5logg 32 + logg 32 : 5logg 32 + logg 32 = 6 logg 32 = 6(5) = 30

RestaRestaRestaResta Se procede de la misma forma que la suma de logaritmos. MultiplicaciónMultiplicaciónMultiplicaciónMultiplicación Para el producto de dos raíces se multiplican sus resultados. Sólo si la base y el número al que se le aplica el logaritmo son iguales, se pueden multiplicar como objetos (ver Ejemplo 3, b). ). Ejemplo 3:Ejemplo 3:Ejemplo 3:Ejemplo 3:

a) Calcular logb 27 o logaµ 100 : logb 27 o logaµ 100 = 3 o 2 = 6 b) Calcular logf 125 o logf 125 : logf 125 o logf 125 = (logf 125)g = (3)g = 9 DivisiónDivisiónDivisiónDivisión Similar a la multiplicación, en la división se calcula el cociente de los resultados de los logaritmos. Ejemplo 4:Ejemplo 4:Ejemplo 4:Ejemplo 4: Calcular ¶·¸c g�µa¶·¸s xfxa :

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loge 2401logk 6561 = 44 = 1 Bases comunes del logaritmoBases comunes del logaritmoBases comunes del logaritmoBases comunes del logaritmo Se ha podido ver cómo se puede trabajar con el logaritmo en base cualquier número n, mientras n sea mayor que 1. Sin embargo, existen dos bases que son las más utilizadas, que son base 10 y base e. La e representa un número llamado constante de Neper o también número de Euler, y su valor es aproximadamente

¹ ¢ 2,7182818284590 º Al logaritmo con esta base se le llama logaritmo naturallogaritmo naturallogaritmo naturallogaritmo natural y se denota ‘ln’. Es decir,

½¾¿M G = ½] G Nota:Nota:Nota:Nota: Cuando en un logaritmo (no natural) no se especifica su base, es porque está en base 10. Así por ejemplo, log � está en base 10. Cambio de baseCambio de baseCambio de baseCambio de base En muchas ocasiones, vamos a necesitar cambiarle la base a un logaritmo, ya sea para facilitar su cálculo o para aplicar cierta propiedad (como veremos más adelante). Para esto existe el siguiente método. Dado log� � (en base A) y queremos cambiarlo a un logaritmo en base X, entonces

½¾¿G ¤ = ½¾¿À ¤½¾¿À G Ejemplo 5:Ejemplo 5:Ejemplo 5:Ejemplo 5: Cambio de base. Hallar loga� 143. Este resultado no es entero, así que hallarlo por la definición requeriría mucho tiempo. Las calculadoras sólo manejan logaritmo en base 10, así que es necesario cambiar este logaritmo a base 10 para así poder usarla. Aplicando la ecuación anterior tenemos

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loga� 143 = log 143log 14 ¢ 2,1553 º1,1431 º ¢ 1,8805 º

LEYES (O PROPIEDADES) DE LOS LOGARITMOSLEYES (O PROPIEDADES) DE LOS LOGARITMOSLEYES (O PROPIEDADES) DE LOS LOGARITMOSLEYES (O PROPIEDADES) DE LOS LOGARITMOS Estas propiedades serán útiles para muchas situaciones en las que se requiera manejo de expresiones logarítmicas para simplificar o solucionar un problema. 1. Logaritmo de un producto1. Logaritmo de un producto1. Logaritmo de un producto1. Logaritmo de un producto El logaritmo del producto de dos números se puede expresar como la suma de los logaritmos de los factores. (Y viceversa)

½¾¿S(G o J) = ½¾¿S G + ½¾¿S J Ejemplo 6: Ejemplo 6: Ejemplo 6: Ejemplo 6: Exprese como un sólo logaritmo logb 3 + logb 5. Usando Logaritmo de un producto, se puede expresar como

logb 3 + logb 5 = logb(3 o 5) = logb 15 2. Logaritmo de un cociente2. Logaritmo de un cociente2. Logaritmo de un cociente2. Logaritmo de un cociente El logaritmo del cociente de dos números se puede expresar como el logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. (Y viceversa)

½¾¿S GJ = ½¾¿S G � ½¾¿S J Ejemplo 7:Ejemplo 7:Ejemplo 7:Ejemplo 7: Exprese como un sólo logaritmo log� 120 � log� 30. Usando Logaritmo de un cociente, lo podemos expresar como

log� 120 � log� 30 = log� 12030 = log� 4 = 1

3.3.3.3. Logaritmo de una potenciaLogaritmo de una potenciaLogaritmo de una potenciaLogaritmo de una potencia Esta es una de las propiedades más importantes de los logaritmos; El logaritmo de una potencia puede expresarse como el logaritmo de la base de la potencia, multiplicada por su exponente. (Y viceversa)

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½¾¿S GJ = J o ½¾¿S G Ejemplo 8:Ejemplo 8:Ejemplo 8:Ejemplo 8: Hallar logb 81�̈. Aplicando logaritmo de una potencia podemos expresar el enunciado como

logb 81ag = 12 o logb 81 = 12 o 4 = 2

4.4.4.4. Base de un logaritmo elevada al logaritmoBase de un logaritmo elevada al logaritmoBase de un logaritmo elevada al logaritmoBase de un logaritmo elevada al logaritmo Este es un resultado importante que se deduce cuando tenemos la base de un logaritmo elevada al logaritmo de un número. Esto es igual al número al que se le está aplicando el logaritmo.

S½¾¿S G = G Nótese que para que esto sea cierto, la base de la potencia debe ser igual a la base del logaritmo (en este caso es n). Similarmente, existe la propiedad cuando tenemos el logaritmo de una potencia, cuya base es igual a la base del logaritmo. Es decir:

½¾¿S SG = G Ejemplo 9:Ejemplo 9:Ejemplo 9:Ejemplo 9: Si log � = 2 hallar el valor de A. Vemos que la base del logaritmo es 10 porque no está indicada. Conociendo esto, podemos expresar el enunciado como una potencia que tiene base 10. Es decir

10¶·¸ � = 10g Obsérvese que si vamos a expresar al logaritmo como potencia de base 10, debemos hacer lo mismo con el otro lado de la igualdad, es decir con 2. Es por esto que 2 queda expresado como el exponente de una potencia de base 10. Aplicando ahora la propiedad 4 al primer miembro de la igualdad:

� = 10g Luego � = 100.

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Ejercicios de la sección:Ejercicios de la sección:Ejercicios de la sección:Ejercicios de la sección:

1. Exprese como logaritmos las siguientes potencias a) 10� = 10000 b) 49�̈ c) 3^b d) 5{ = 625 e) (ix)�̈ = 343 2. Realice las siguientes operaciones con logaritmos a) logb 243 + logg 128 � logf 625 b) (loge 2401 � loge 49) o log� 1024 c) ylog�̈ alzb d) 3logx 1296 + 5log� 64 � 2 logx 1296 + 9 3. Aplicar donde corresponda las propiedades de los logaritmos para simplificar o resolver según sea el caso a) log� 32 + log� 2 � log� 16 b) logk 6561b + 2logl 4096g � ag loge 49� c) (logg 64)g � 6 logaa 1331b d) ln ¹ + ln ¹b + 3(4 logag 144 � log 1000) e) 10¶·¸ ag + gb logb 729 + 5 f) 2¶·¸� g� + 3¶·¸� gfx + 5¶·¸d gf � log�� mgbn� + 1

4. Con ayuda de la calculadora, halle los siguientes valores a) ln 43 b) log 123 c) 2 log 43 d) logg 23

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e) 2logb 52 + log� 14 f) 3 log�̈ 26

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INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRAINTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRAINTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRAINTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

Hasta el momento hemos trabajado con expresiones numéricas conocidas. Sin embargo, existen métodos para trabajar también con cantidades desconocidas, que es lo que se verá grosso modo en esta sección. IncógnitaIncógnitaIncógnitaIncógnita:::: Es un número o cantidad numérica desconocida que se simboliza por una letra del abecedario; a, b, c... x, y, z. Ecuación: Ecuación: Ecuación: Ecuación: Es una igualdad en la que están presentes una o más incógnitas. Veremos que una incógnita puede representar uno o más números desconocidos. Por ejemplo, en la ecuación 5 + i = 7 podemos observar que la incógnita x está representando sólo a un valor: el 2, ya que éste es el único número que cumple la condición de que al sumarle 5, dé como resultado 7. Por otro lado, la ecuación ig = 4 nos pide buscar un número que al elevarlo al cuadrado dé como resultado 4. Aquí entonces nos encontramos con que ése número puede ser tanto 2 como -2, ya que cualquiera de estos dos números cumple esa condición. Por lo tanto, aquí la incógnita x está representando no uno, sino dos valores. Sin embargo, la expresión i  3 nos está indicando que cualquier número que sea mayor que tres, cumple la condición. Pero estos números son demasiados: 4, 5, 6, 7, ...etc, luego la incógnita x está representando un número indeterminado de números. Representación de cantidadesRepresentación de cantidadesRepresentación de cantidadesRepresentación de cantidades Es importante resaltar que cuando se le asignan dos letras distintas a dos cantidades, se debe asumir que por tanto, las cantidades son diferentes. Así si nos encontramos con cierta cantidad x y cierta cantidad y, debemos asumir que tales cantidades son diferentes en valor porque están representadas por diferentes letras. De la misma manera, si nos encontramos con un x2, nos está representando una cantidad x elevada al cuadrado, y por tanto x2  x (para números enteros). Similarmente con las potencias de mayor orden.

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Expresiones algebraicasExpresiones algebraicasExpresiones algebraicasExpresiones algebraicas Las distintas expresiones algebraicas se separan por medio de los signos + ó - . El número que acompaña a la letra se llama coeficiente. Así por ejemplo 2xy + x2 contiene dos expresiones algebraicas. La primera es 2xy, tiene coeficiente 2. La segunda es x2 y tiene coeficiente 1. Un enunciado con una sola expresión algebraica se le llama monomiomonomiomonomiomonomio. Uno con dos expresiones algebraicas se conoce como binomiobinomiobinomiobinomio, uno con tres, trinomiotrinomiotrinomiotrinomio. En general, un enunciado con una o más de una expresión algebraica (cualquiera que sea su número) se conoce como polinomiopolinomiopolinomiopolinomio.

5ib : 5IÃ�³Ä���³�´³ i bNÅÆÇ Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosOperaciones con polinomios SumaSumaSumaSuma Dos expresiones algebraicas se pueden sumar sólo si se trata de la misma cantidad. En el párrafo sobre Representación de cantidades vimos que dos cantidades se asumen diferentes si se representan por diferentes letras y también una cantidad x es diferente de x2, x3, x4 etc. Por otro lado, si las cantidades representadas son del mismo tipo, se suman sus coeficientes, conservando la variable. Ejemplo 1:Ejemplo 1:Ejemplo 1:Ejemplo 1: Suma de polinomios Sumar a) 2x + x2

b) 3x + 2y c) 10x + 7y - 3x + 2z

Solución: a) 2i + ig no se pueden sumar, ya que x y x2 representan cantidades diferentes. b) 3i + 2j tampoco se pueden sumar, porque cantidades representadas con diferentes letras se asumen diferentes. c) 10i + 7j � 3i + 2È = (10i � 3i) + 7j + 2È = 7i + 7j + 2È Aquí las únicas expresiones que podían sumarse eran 10x y -3x por ser del mismo tipo. Las demás expresiones permanecen igual.

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RestaRestaRestaResta Para la resta de polinomios se procede del mismo modo que en la suma. Sin embargo, hay que precisar la ley distributiva de los signos. Suponiendo que a, b, c y d representan expresiones algebraicas, tenemos que

� � (� + É � Ê) = � � � � É + Ê Ya que el signo – afecta a todas las expresiones contenidas en el paréntesis de acuerdo con la ley de los signos: + - = - y - - = +. Ejemplo 2:Ejemplo 2:Ejemplo 2:Ejemplo 2: Diferencia de polinomios Calcular 10Ëf + 7Ëb + 2ËÌ � (3Ëf + ËÌ � Ëb): Aplicando la ley distributiva de los signos a las expresiones agrupadas en el paréntesis, tenemos:

10Ëf + 7Ëb + 2ËÌ � 3Ëf � ËÌ + Ëb Ahora se efectúan las operaciones correspondientes

(10Ëf � 3Ëf) + (7Ëb + Ëb) + (2ËÌ � ËÌ) = 7Ëf + 8Ëb + ËÌ Multiplicación:Multiplicación:Multiplicación:Multiplicación: Para multiplicar dos polinomios, se multiplica tanto sus coeficientes como sus variables. Recordando que i o i = ig y que i o j = ij. Aquí también ha de tenerse en cuenta la ley de los signos para cuando se multipliquen los coeficientes. Ley distributiva del ProductoLey distributiva del ProductoLey distributiva del ProductoLey distributiva del Producto Recuérdese que de la aritmética elemental tenemos que si m, n y p son números naturales, entonces Ë(Ì + Í) = ËÌ + ËÍ. Relacionando esta idea con expresiones algebraicas, tenemos que si a, b, c y d son expresiones algebraicas, entonces

K(Î + Ï) = KÎ + KÏ K(Î � Ï) = KÎ � KÏ Y de manera más general tenemos el siguiente concepto

(K + Î) o (Ï + Ð) = KÏ + KÐ + ÎÏ + ÎÐ Ejemplo 3: Ejemplo 3: Ejemplo 3: Ejemplo 3: Multiplicación de polinomios.

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Multiplicar las siguientes expresiones: a) (4ig) o (3ib) b) (2ig) o (�5j�) c) 2Ñb(Ñ + Ò � 1) d) (Ë + Ì)g

Solución: a) El producto de los coeficientes da: 4 o 3 = 12 y el producto de las variables da: ig o ib = if (por ley de la potencia). Por lo tanto el resultado es (4ig) o (3ib) = 12if b) El producto de los coeficientes da: 2 o (�5) = �10 y el producto de las variables da: ig o j� = igj�. Luego el resultado es (2ig) o (�5j�) = �10igj� c) Aquí por la ley distributiva de números enteros, nos encontramos con tres productos distintos a saber: 2Ñb o Ñ, 2Ñb o Ò, 2Ñb o (�1) . Podemos calcular cada producto aparte y luego sumar los resultados. De esta manera obtenemos 2Ñb(Ñ + Ò � 1) = 2Ñ� + 2ÑbÒ � 2Ñb d) (Ë + Ì)g = (Ë + Ì) o (Ë + Ì). Aplicando la ley distributiva del producto, tenemos (Ë + Ì) o (Ë + Ì) = ËË + ËÌ + ËÌ + ÌÌ = Ëg + 2ËÌ + Ìg

FactorizaciónFactorizaciónFactorizaciónFactorización La factorización busca expresar un polinomio dado, como un producto. Así como podemos decir que 4+4+4 se puede expresar como (3)(4), también ciertas expresiones algebraicas que cumplen determinadas características pueden expresarse como factores. Las más comunes son:

a) �g + 2�� + �g = (� + �)g (Binomio al cuadrado) b) �g � 2�� + �g = (� � �)g c) �g � �g = (� + �) o (� � �) (Diferencia de cuadrados) d) �b + 3�g� + 3��g + �b = (� + �)b (Binomio al cubo) e) �b � 3�g� + 3��g � �b = (� � �)b f) �b + �b = (� + �) o (�g � �� + �g) (Suma de cubos) g) �b � �b = (� � �) o (�g + �� + �g) (Diferencia de cubos) Donde A y B denotan expresiones algebraicas.

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Ejemplo 4:Ejemplo 4:Ejemplo 4:Ejemplo 4: Factorización de polinomios. Factorizar:

a) ib � 8 b) 4 � 9Ëg c) Òg + 2ÒÓ + Óg d) ig + 2i + 1 Solución:

a) ib � 8 lo podemos ver como ib � 2b y así podemos aplicarle la factorización g), que resulta ib � 2b = (i � 2) o (ig + 2i + 2g). b) 4 � 9Ëg lo podemos ver como 2g � (3Ë)g y así podemos aplicarle la factorización c), que resulta 2g � (3Ë)g = (2 + 3Ë) o (2 � 3Ë). c) Òg + 2ÒÓ + Óg cumple con las características de la factorización a). Aplicándola, resulta Òg + 2ÒÓ + Óg = (Ò + Ó)g. d) ig + 2i + 1. Podemos verlo como ig + 2(1)i + 1g, que cumple con la factorización a). Aplicándola, resulta ig + 2(1)i + 1g = (i + 1)g. Ejercicios de la secciónEjercicios de la secciónEjercicios de la secciónEjercicios de la sección

1. Identifique el número de valores que representan cada una de las siguientes incógnitas. Considere sólo los números enteros (ver Apéndice 2). De ser un número finito, especifique qué valores son. a) jb = 8 b) 2È + 5 = 9 c) i + j = 10 d) Ôg = 16 e) i Õ 5 f) 2 Õ j Ö 10 2. En las siguientes ecuaciones, indique el número de expresiones algebraicas, identifique las diferentes variables y coeficientes presentes. a) 2ij + 3i � 5È + 11 � 13ji = 3j b) 7Ô + 11Ë � 17Ôg + (19 + 3)Ì = 5Ô c) i(14 + j) + Ô � Ôg = 5i d) i + {e = 39

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e) bf jf � 17gjb = 5Èj

3. Realice las siguientes operaciones con polinomios. a) 3igj � i + 17jig + 5j b) 15Èg + 35Ô + 2ijg � 3Ô + (2È)g c) 2i + 15j � 12ij + 31È � i + 41ji � 23jf � 5È + 11i + 3ig +17jf + ig d) Ëg + 2Ì + 10Ò � (14Ì + 2Ò) e) 2Í×g + × � 3Íg � (3× + Í×g � Íg) f) (��) o (��É + Êɹ � �) g) (ig + j � È) o (i � j) o (j + È) h) (Í + ×)b i) Ø(i + j + È)�Ù�̈ j) (i � j)g + 2ij + a{§� + j(j + 1) � jg 4. Factorice las siguientes expresiones. a) Ëb + 3ËÌg � 3ËgÌ � Ìb b) (i + j)b + (i � j)b c) Íg + 2Í× + ×g d) ig � 1

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Apéndice 1Apéndice 1Apéndice 1Apéndice 1

Suma de fraccionesSuma de fraccionesSuma de fraccionesSuma de fracciones Fracción:Fracción:Fracción:Fracción:

GNSÚHMÛKÐRÛJIÐMSRHÜSKÐRÛ

Recordemos que para sumar dos fracciones debemos observar primero sus respectivos denominadores. Si éstos son iguales, los numeradores se pueden sumar directamente sobre el mismo denominador.

GJ + ¤J = G + ¤J Si los denominadores de las fracciones son distintos, hay que hacer un producto entre denominadores y numeradores antes de sumarlos.

GJ + ¤Ý = G o Ý + J o ¤J o Ý EjemploEjemploEjemploEjemplo 1111:::: (Suma de fracciones con denominadores iguales)(Suma de fracciones con denominadores iguales)(Suma de fracciones con denominadores iguales)(Suma de fracciones con denominadores iguales)

a) Sumar ge + afe : Solución: Ambas fracciones comparten el mismo denominador (el 7), así que podemos sumar los numeradores directamente y el denominador permanece igual:

27 + 157 = 2 + 157 = 177

b) Restar �fae � beae : Solución:

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Ambas fracciones comparten el mismo denominador (el 17), así que podemos proceder de la misma manera que la suma. Restamos los numeradores directamente y el denominador permanece igual: 4517 � 3717 = 45 � 3717 = 817

Ejemplo 2: (Suma de fracciones con denominadores distintos)Ejemplo 2: (Suma de fracciones con denominadores distintos)Ejemplo 2: (Suma de fracciones con denominadores distintos)Ejemplo 2: (Suma de fracciones con denominadores distintos) a) Sumar eb + agf Þ Solución: En este caso los denominadores de cada fracción son distintos, así que la fracción del resultado se obtiene de la siguiente manera: El denominador es el producto de los denominadores. El numerador es el numerador de la primera multiplicado por el denominador de la segunda más el numerador de la segunda multiplicada por el denominador de la primera:

73 + 125 = 7 o 5 + 12 o 33 o 5 = 7115

b) Restar aµaa � kf : Solución: Procedemos similarmente al ejemplo anterior al tener denominadores distintos:

1011 � 95 = 10 o 5 � 9 o 1111 o 5 = � 4955

Multiplicación de fraccionesMultiplicación de fraccionesMultiplicación de fraccionesMultiplicación de fracciones Para multiplicar dos fracciones se realiza el producto directamente entre numeradores y denominadores por separado. No es necesario conocer si los denominadores son iguales o no. Siempre se procede de la misma manera.

GJ o ¤Ý = G o ¤J o Ý

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Ejemplo 3:Ejemplo 3:Ejemplo 3:Ejemplo 3: a) Multiplicar xk o ^f� Þ Solución: Al multiplicar directamente numeradores se obtiene el numerador del resultado. Así mismo, al multiplicar directamente denominadores se obtiene el denominador del resultado:

69 o �54 = 6 o (�5)9 o 4 = �3036

División de fraccionesDivisión de fraccionesDivisión de fraccionesDivisión de fracciones Para dividir dos fracciones, multiplicamos el numerador de la fracción dividendo por el denominador de la fracción divisor. Este producto será el numerador del resultado. A continuación multiplicamos el denominador de la fracción dividendo por el numerador de la fracción divisor. Este producto será el denominador del resultado.

GJ ß ¤Ý = G o ÝJ o ¤ Ejemplo 4:Ejemplo 4:Ejemplo 4:Ejemplo 4: a) Dividir bel ß eb : Solución: La fracción dividendo es bel y la fracción divisor es eb . Así que el numerador del resultado será 37 o 3 = 111 y el denominador del resultado será 8 o 7 = 56.

378 ß 73 = 37 o 38 o 7 = 11156

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Apéndice 2Apéndice 2Apéndice 2Apéndice 2

Conjuntos numéricosConjuntos numéricosConjuntos numéricosConjuntos numéricos Los números usados para el proceso de contar objetos, se llaman números naturales: 1, 2, 3, ...etc. Si a éstos le añadimos el 0 y los números negativos obtenemos el conjunto de los números enteros: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Existe un conjunto todavía más amplio que abarca los números naturales, los números enteros y las fracciones, llamado conjunto de números racionales. De esta manera, si por ejemplo deseo conocer las soluciones de la ecuación

i + j = 3 En el conjunto de números naturales, encontramos que pueden ser i = 1, j = 2 ó i = 2, j = 1. Pero si las soluciones están en el conjunto de números enteros, el número de soluciones crece. Ya que no sólo están las anteriores, sino que podemos agregar por ejemplo i = 4, j = �1 ya que 4 + (�1) = 3. De la misma manera, son soluciones i = 5, j = �2 y así sucesivamente.

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BibliografíaBibliografíaBibliografíaBibliografía

- ZILL Dennis. Álgebra y Trigonometría. McGraw Hill, 1992. - FLEMING, Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, 3era edición. - BALDOR, Aurelio. Aritmética Teórico Práctica. Códice. Madrid, 1984.