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MATEMTICAS TECNOLOGA EN GESTIN PBLICA FINANCIERA

JUAN DOMINGO MENESES

ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIN PBLICA

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ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIN PBLICA

Director HONORIO MIGUEL HENRIQUEZ PINEDO

Subdirector acadmico CARLOS ROBERTO CUBIDES OLARTE

Decano de pregrado JAIME ANTONIO QUICENO GUERRERO

Coordinador Nacional de A.P.T JOS PLCIDO SILVA RUIZ

ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIN PBLICA JUAN DOMINGO MENESES

Bogot D. C., agosto de 2008

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CONTENIDO

Del trabajo del tutor 1 LGEBRA DE PROPOSICIONES 1.1 Proposiciones 1.2 La negacin de proposiciones 1.3 Negacin de proposiciones cuantificadas 1.4 Clases o tipos de proposiciones 1.5 La conjuncin 1.6 La disyuncin 1.7 La disyuncin exclusiva 1.8 El condicional y la implicacin 1.9 Condiciones necesarias y suficientes 1.10 Recproca y contrarecproca de un condicional 1.11 El bicondicional y la doble implicacin 1.12 Tautologas y contradicciones 1.13 Leyes del lgebra proposicional 1.14 Aplicaciones de las leyes del lgebra proposicional 2 LGEBRA DE CONJUNTOS 2.1 Caractersticas de un conjunto 2.2 Determinacin de conjuntos 2.3 Clases de conjuntos 2.4 Relaciones entre elementos y conjuntos 2.5 Operaciones entre conjuntos 2.6 lgebra de conjuntos 2.7 Diagramas de Venn 2.8 Aplicaciones del lgebra de conjuntos 3 LGEBRA DE NMEROS 3.1 Los nmeros reales 3.2 La operacin potenciacin 3.3 Expresiones algebraicas 4 SISTEMAS GEOMTRICOS 4.1 Punto, lnea, plano y espacio 4.2 Medidas angulares 4.3 Permetros y reas de algunas figuras planas

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4.4 Superficies y volmenes de algunos 5 LGEBRA DE FUNCIONES 5.1 Funciones 5.2 Sistemas de coordenadas rectangulares y grficas de funciones 5.3 Funciones lineales 5.4 Funciones cuadrticas 5.5 Funciones exponenciales y logartmicas 6 OPERACIONES SUPERIORES CON FUNCIONES: LMITES Y

DERIVADAS

6.1 El lmite de una funcin

6.2 La derivada

6.3 Derivadas de funciones de forma potencial

6.4 Aplicaciones de la derivada. Anlisis marginal.

6.5 Derivadas de productos y cocientes

6.6 Derivadas de funciones exponenciales y logartmicas

6.7 Tcnicas de optimizacin con el uso de derivadas

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DE LOS NCLEOS TEMTICOS Y PROBLEMTICOS

El plan de estudios del Programa de Tecnologa en Gestin Pblica Financiera, TGPF, modalidad a Distancia, est estructurado en cuatro ncleos temticos y en contenidos complementarios. -Los contenidos nucleares son aquellos mbitos del saber de la Gestin Pblica Financiera en los cuales debe poseer capacidad de problematizacin efectiva.- Es decir, son los contenidos bsicos en los que un Tecnlogo en Gestin Pblica Financiera debe formarse para ser competente y as atender todos los requerimientos personales y profesionales que exige su desempeo. Esto tambin exige la organizacin bsica de la comunidad acadmica de la ESAP, integrada por investigadores, docentes, egresados y estudiantes que se integran en torno a la investigacin, la docencia y la proyeccin social, en un campo del saber de la gestin pblica ambiental.1 1 Tomado de la propuesta de acuerdo Por medio del cual se crean y organizan los Ncleos Acadmicos de la ESAP. Por El Consejo Acadmico Nacional de la ESAP.

Estado Y Poder TECNOLOGA

GESTIN PBLICA

FINANCIERA

Economa Pblica

Formacin Humanstica y cuantitativa

Organizaciones Pblicas y Gestin

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EL TRABAJO DEL TUTOR El tutor tendr libertad de ctedra en cuanto a su posicin terica o ideolgica frente a los contenidos del mdulo, pero el desarrollo de los contenidos de los mdulos son de obligatorio cumplimiento por parte de los tutores. Los Tutores podrn complementar los mdulos con lecturas adicionales, pero lo obligatorio para el estudiante frente a la evaluacin del aprendizaje son los contenidos de los mdulos; es decir, la evaluacin del aprendizaje deber contemplar nicamente los contenidos de los mdulos. As mismo, la evaluacin del Tutor deber disearse para dar cuenta del cubrimiento de los contenidos del mdulo. El Tutor debe disear, planear y programar con suficiente anticipacin las actividades de aprendizaje y los contenidos a desarrollar en cada sesin de tutora (incluyendo la primera), y disear las actividades para todas las sesiones (una sesin es de cuatro horas tutoriales). Tambin debe disear las estrategias de evaluacin del trabajo estudiante que le permita hacer seguimiento del proceso de autoaprendizaje del estudiante. Los mdulos (asignaturas) de TGPF son de dos crditos (16 horas de tutora grupal presencial por crdito para un total de 32 horas), tres crditos (48 horas de tutora grupal presencial) y de 4 crditos (64 horas de tutora grupal presencial, distribuidas as:

MDULO DE MATEMTICAS (2 CRDITOS) No.

Crditos Horas por

crdito Total horas

Tutora Grupal

No. de

sesiones

Horas por

sesin

No. mnimo de encuentros tutoriales*

No. max. sesiones

por encuentro

2 16 32 8 4 2 8 3 16 48 12 4 3 12 4 16 64 16 4 4 16

* El nmero de encuentros se programara de acuerdo con las distancias y costos de transporte de la Sede Territorial al CETAP, por ejemplo para los casos de los CETAP de Leticia, San Andrs, Mit, Puerto Inrida y Puerto Carreo, se podrn programar un mnimo de dos encuentros para un mdulo de 2 Crditos (16 horas por encuentro), tres encuentros para un mdulo de 3 crditos y cuatro encuentros para un mdulo de 4 crditos. Encuentro: nmero de veces que se desplaza un Tutor a un CETAP para desarrollar un mdulo. Sesin: nmero de horas por cada actividad tutorial, por ejemplo: 8-12 a.m., 2-6 p.m., 6-10 p.m.

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MATEMTICAS

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OBJETIVOS GENERALES

Aprehender en los estudiantes la fundamentacin matemtica necesaria para la toma de decisiones, planificacin y solucin de problemas administrativos a travs del planteamiento y construccin de modelos cuantitativos y as formar al estudiante con la capacidad de resolver situaciones problemticas de tipo ecolgico, ambiental, social y cultural.

Ofrecer al estudiante el conocimiento de las herramientas y tcnicas

cuantitativas bajo el contexto matemtico para su aplicacin en situaciones econmico - administrativas que involucren: procesos de maximizacin o minimizacin de una cantidad variable, anlisis grfico, razones de cambio, oferta, demanda y dems conceptos que sean de naturaleza esencialmente cuantitativa.

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UNIDAD I LGEBRA DE

PROPOSICIONES Y DE CONJUNTOS

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LECCION 1. LGEBRA DE PROPOSICIONES

INTRODUCCIN: La Lgica Matemtica: Para llegar a ser precisos y exactos. Para expresar ideas, el hombre a lo largo de la historia se ha valido de signos ya sean orales o escritos, que eran caractersticos de cada civilizacin o cultura, por tanto este lenguaje corriente se prestaba para varias interpretaciones y para conclusiones confusas. Este fue uno de los obstculos con los que se encontr la matemtica, y las ciencias en general, por tanto fue necesario construir un lenguaje que fuera claro, y que permitiera la exactitud en las ideas y conceptos. En el caso de la matemtica sta debe su evolucin al desarrollo de la teora de conjuntos de George Cantor, y podemos afirmar que su desarrollo se basa en dos aspectos fundamentales, un lenguaje conjuntista y una fundamentacin axiomtica. Por ello, es importante comprender que la lgica matemtica nos permite crear un vocabulario preciso para expresarnos en nuestro propio lenguaje; en el lenguaje ordinario suelen presentarse ambigedades, confusiones, crculos viciosos en la explicacin de la interpretacin de las palabras y stas tienen a la vez varios significados. Con la ayuda de la lgica matemtica se pueden construir proposiciones que nos ensearn a razonar de manera precisa y nos permitirn evaluar el concepto de verdad para que un argumento o juicio pueda ser valorado como cierto o falso. OBJETIVOS:

General:

El propsito de esta leccin es definir una proposicin como un objeto matemtico y mostrar los conectores lgicos como operadores que permiten realizar la combinacin de proposiciones. Explicaremos el concepto de tablas de verdad y daremos reglas para conocer la forma en que se deben asignar los valores de verdad a las proposiciones compuestas.

Especficos: 1. Reconocer cuando un enunciado es o no una proposicin. 2. Diferenciar los conceptos de proposicin simple o atmica y compuesta o

molecular. 3. Identificar los conectores lgicos y construir las tablas de verdad de las

proposiciones compuestas.

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LGEBRA DE PROPOSICIONES

Objeto Matemtico

PROPOSICION

Se clasifican

SIMPLES COMPUESTAS

CUANTIFICADAS

Valores de verdad

FALSO VERDADERO

SISTEMA MATEMTICO

Se realizan

Se establecen

Se reglamentan

OPERACIONESPROPIEDADES

RELACIONES

NEGACIN CONGUNCIN DISYUNCIN

CONDICIONAL

TABLAS DE VERDAD

LEYES DEL LGEBRA PROPOSICIONAL

RESULTADOS APLICACIONES

IMPLICACIN DOBLE IMPLICACIN

RECPROCA CONTRARECPROCA

Tales como

Que generan

Conllevan a

Nacen

Crea

Conllevan a

Conllevan a

IDEAS CLAVE: 9 Una proposicin es un enunciado u oracin gramatical que tiene una forma

lgica y expresa un sentido completo. 9 Los conectores lgicos permiten armar proposiciones compuestas y definen las

operaciones de la lgica proposicional. 9 La lgica proposicional tiene como finalidad analizar un razonamiento

utilizando un lenguaje simblico montado en el concepto de variable proposicional, utilizando conectores lgicos y frmulas proposicionales.

9 Las tablas de verdad permiten hallar todos los posibles valores de verdad de una proposicin compuesta.

9 Las tautologas son frmulas proposicionales que son siempre verdaderas para cualquier combinacin de valores de verdad de las proposiciones simples o compuestas que la conformen.

9 Las proposiciones satisfacen leyes e identidades y se habla entonces de lgebra de proposiciones.

MAPA CONCEPTUAL

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SITUACIN PROBLEMTICA El problema del reo: En un determinado pas donde la ejecucin de un condenado a muerte solamente puede hacerse mediante la horca o la silla elctrica, se da la situacin siguiente, que permite a un cierto condenado librarse de ser ejecutado. Llega el momento de la ejecucin y sus verdugos le piden que hable, y le manifiestan: "Si dices una verdad, te mataremos en la horca, y si mientes te mataremos en la silla elctrica". El preso hace entonces una afirmacin que deja a los verdugos tan perplejos que no pueden, sin contradecirse, matar al preso ni en la horca, ni en la silla elctrica. Qu es lo que dijo el reo? La canasta de los huevos: A la seora se le cay al suelo la cesta de los huevos, y alguien quera saber cuntos huevos haba en la cesta. - Cuntos huevos llevaba? - le preguntaron. - No lo s, recuerdo que al contarlos en grupos de 2, 3, 4 y 5, sobraban 1, 2, 3 y 4 respectivamente. El caso del preso: A un desdichado prisionero -custodiado da y noche por dos terribles guardianes-, metido en una celda que tiene dos puertas, es informado por el alcaide de la prisin que una de esas dos puertas le conducir a la libertad y la otra a la muerte. El alcaide le da la oportunidad de averiguarlo haciendo una nica pregunta a cada uno de sus dos terribles guardianes. Y se le advierte tambin que de los dos guardianes hay uno, no sabe cual, que miente siempre, mientras que el otro guardin dice la verdad siempre. El prisionero, con una sola pregunta, a uno cualquiera de sus dos guardianes, podr saber con seguridad cul es la puerta que le llevar a la libertad. Qu pregunta podra hacer para saber con seguridad cual es la puerta que no le llevar a la muerte? Un caso de polticos Cierta convencin reuna a cien polticos. Cada poltico era o bien deshonesto o bien honesto. Se dan los datos: a) Al menos uno de los polticos era honesto. b) Dado cualquier par de polticos, al menos uno de los dos era deshonesto. Puede determinarse partiendo de estos dos datos cuntos polticos eran honestos y cuntos deshonestos?

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Los diferentes tipos de Lgica

Podemos clasificar los tipos de lgica desde dos puntos de vista, la lgica clsica y la moderna. Sin embargo dicha clasificacin slo sirve para efectos histricos, de ah que mejor proponemos dividir, los distintos tipos de lgica, respecto a los objetos que trata. La Lgica Formal es conocida tambin como lgica clsica o aristotlica. Se imputa al filsofo ARISTTELES ser el creador de la misma, aunque ya existan antecedentes en PARMNIDES y ZELEO.. As mismo con el paso del tiempo, con la evolucin de algunas corrientes matemticas, especficamente las aportaciones realizadas por los matemticos EULER y BOOLE al lgebra, se da inicio a la Lgica Moderna, Matemtica, Simblica o Logstica. De esta lgica moderna, se desprende la semitica, lgica dentica, modal, cuantificacional y proposicional. La Semitica es la lgica de los smbolos y se divide en tres partes: sintaxis, semntica y pragmtica. La primera trata de las relaciones de los smbolos entre si, prescindiendo de su contenido. La segunda trata de las relaciones entre el smbolo y lo que significa. La tercera trata de las relaciones entre el smbolo y el sujeto que lo utiliza. La lgica dentica se formaliza a travs de conceptos relacionados con el deber. Este tipo de lgica se utiliza en el Derecho, infirindose del mismo, la denominada lgica de las normas. La lgica modal lo hace en los conceptos de necesidad y posibilidad. La lgica de clases relaciona conceptos con propiedades (sujeto y predicado), estudia adems las implicaciones de unas clases con otras, las cuales suelen ser representadas grficamente mediante crculos (mejor conocidos como diagramas de Venn) empleando la denominada lgebra booleana. La lgica cuantificacional que estudia de manera ms detallada los predicados a travs del uso de cuantificadores que expresan cantidad (todos o algunos ). La lgica proposicional analiza los razonamientos formalmente vlidos partiendo de proposiciones y conectivas proposicionales (operadores lgicos). Esta lgica simblica, de la que nos estamos refiriendo, emplea un lenguaje artificial en la que simboliza las proposiciones generalmente con las letras p, q, r, s, t utilizando de operadores lgicos, tambin llamados conectores, para poder construir frmulas operando sobre las variables proposicionales y las proposiciones complejas. Finalmente existe otro tipo de lgica que es la dialctica, aunque sta no la podemos considerar como integrante de la lgica moderna, toda vez que la misma no tiene un contenido formal, sino ideolgico; ni es pasiva como la lgica formal, sino que es activa,

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al obtener principios racionales a travs de la interpretacin de la historia, utilizando como su estructura en su discurso, la tesis, seguida de la anttesis y su respectiva conclusin denominada sntesis; teniendo sus antecedentes desde los griegos con SCRATES y PLATN quienes la concibieron como una tcnica de discusin y de obtencin de conclusiones, siendo la misma tambin estudiada y empleada por algunos filsofos como KANT, HEGEL, MARX, entre otros ms.

Tomado de la pgina WEB: www.tuobra.unam.mx DESARROLLO DE CONTENIDOS 1.1 Proposiciones: Las Proposiciones desde el Lenguaje Cotidiano Una proposicin es un enunciado con sentido completo al que solamente se le puede asignar un valor de verdad, que puede ser verdadero o falso, pero no los dos a la vez, es decir una proposicin es un enunciado que carece de ambigedad. Falso o Verdadero se denominan valores de verdad y son los que se le asignan a una proposicin. Es decir, cada proposicin tiene un nico valor de verdad, o es falsa o es verdadera. Ejemplos: 1. Hoy es domingo. 2. 2 es par y primo. 3. 2 es irracional. 4. Existe una cantidad infinita de nmeros primos. 5. Garca Mrquez es latinoamericano. Son enunciados que claramente se pueden calificar de verdaderos o falsos segn sea el caso. Por el contrario los enunciados: 1. La filosofa es una ciencia amarilla. 2. Un cuadrado est formado por cuatro lneas y cuatro ngulos. 3. .206 =+x Son enunciados sin sentido completo, a los que no se les puede asignar con certeza un valor de verdad y por tanto no son proposiciones. Como en el lenguaje comn las proposiciones pueden ser cortas o extensas, es conveniente utilizar smbolos para representarlas y as evitar las dificultades que se presentan en su manipulacin. Utilizaremos las letras minsculas, ms comnmente p, q, r y s, pero puede utilizarse cualquier otra letra para representar las proposiciones. Actividad: Diga si los siguientes enunciados son proposiones matemticas:

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1. La ecuacin 123 =x tiene exactamente una solucin. 2. La ecuacin 42 =x tiene exactamente tres soluciones. 3. Las personas menores de 21 aos no pueden consumir alcohol. 4. Todos los hombres son mortales. 5. Para cualquier nmero x , se cumple que .012 >+x 6. Todas las personas aman a los dems. 7. Maana llover todo el da. 8. La poltica es una ciencia. 9. En un crculo, la longitud de la circunferencia es el dimetro. 10. xyyx +=+ 1.2 La Negacin de Proposiciones: Negar una proposicin significa cambiarle su valor de verdad original para darle un sentido contrario, es decir; por la negacin de la proposicin p entendemos una proposicin, escrita a veces no p, que es falsa si p es cierta, y que es verdadera si p es falsa. Cuando una proposicin es falsa la simbolizaremos con la letra F y si es verdadera con la letra V. Para negar una proposicin se usa el smbolo antes de la proposicin. Ejemplo: - Sea p: 19 es mltiplo de 6, es falsa. p: 19 no es mltiplo de 6, es verdadera. - Sea q: 12 es divisor de 24, es verdadera.

q: 12 no es divisor de 24, es falsa. - Sea r: El problema social ya est resuelto. r: es falso que el problema social ya est resuelto. - Sea t: El calentamiento global afecta el equilibrio ecolgico.

t: No es cierto que el calentamiento global afecte el equilibrio ecolgico.

Tabla de verdad para la negacin:

Importante: Una tabla de verdad es un mtodo que nos permite hallar todos los posibles valores de verdad de una combinacin de proposiciones o de una proposicin simple, para ello se colocan todas las posibilidades de certeza o falsedad a manera de tabla. A continuacin vemos la tabla de verdad para la negacin de una proposicin simple:

p p V F F V

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Definicin de importancia: Una variable es un smbolo, generalmente una letra del alfabeto, que se puede remplazar o sustituir por cualquier elemento de un conjunto dado. Un ejemplo es el caso del juego de parqus. Cuando hacemos el lanzamiento de los dos dados, no sabemos exactamente cul nmero va a salir pero s conocemos el conjunto de nmeros que pueden salir, el conjunto de nmeros naturales del 2 hasta el 12. Si estamos jugando parqus y queremos expresarnos en lenguaje matemtico, diremos: sea x el nmero que salga en el siguiente lanzamiento. Una frmula es una expresin que est conformada por un nmero contable de variables conectadas o enlazadas por medio de operaciones y relaciones. Para el caso de la lgica matemtica, las variables representan una proposicin matemtica cualquiera y las operaciones son los conectores lgicos: conjuncin, disyuncin, negacin y condicional. La frmula la llamaremos frmula proposicional y esta se convierte en proposicin cuando se sustituyen las variables por proposiciones especficas. En las frmulas proposicionales, las proposiciones se simbolizan como ),(xp ),(xq )(xr , etc. Cuantificadores Cuando la frase es abierta, es decir, si no podemos determinar en su valor de verdad, se antepone un cuantificador que la convierte en proposicin. Un cuantificador es una constante que indica la cantidad de elementos de una determinada categora que son afectados por la expresin. Hay dos clases de cuantificadores: el universal y el existencial, que corresponden a anteponer a la frase abierta: Para todo (conocido como cuantificador universal), se simboliza por y se lee: para todos, todos o cualquiera. Expresa que la proposicin es verdadera para todos los valores de la variable.

Existe un tal que (conocido como cuantificador existencial). Se simboliza por y se lee: existe, algn o hay. Expresa que la proposicin es verdadera para al menos un valor de la variable Ejemplos: Si denotamos P al conjunto de todos los nmeros primos, la proposicin todos los nmeros primos son impares, se escribe simblicamente:

x P, x es nmero impar, o, )(, xpx Igualmente, la proposicin existe un nmero primo par

x P, x es un nmero par, o, )(, xpx 1.3 Negacin de Proposiciones Cuantificadas:

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Negar que para todo x se cumple p(x) es equivalente a decir que existe un x que no cumple p(x):

))(,())(,( xpxxpx Negar que exista un x que cumple p(x) es equivalente a decir que para todo x no se cumple p(x):

))(,())(,( xpxxpx Ejemplo:

45 =+x No es una proposicin porque no est claro su valor de verdad; sin embargo, existe un x tal que 45 =+x si es una proposicin. Las proposiciones que estn enunciadas con un cuantificador, se niegan utilizando otro cuantificador. As: p: Todos los nmeros racionales son enteros (F) p: Existe al menos un nmero racional que no es entero. (V) q: Algn nmero par es divisible por 3 (V) q: Ningn nmero par es no divisible por 3 (F) Nos damos cuenta que cuando la proposicin se enuncia con el cuantificador universal se niega con el existencial, y cuando se afirma con el existencial se niega con el universal, pero se utiliza ningn en lugar de todos no, ya que sta ltima no tiene un significado preciso. Actividad: 1. Diga cul es la proposicin verdadera: a) nmero real x , .3 xx = b) un nmero real x , tal que .3 xx = 2. Identifique los siguientes enunciados como proposiciones universales,

existenciales o ninguna. a) Existe un ave x , tal que x no puede volar. b) Para todo ro y de Suramrica, y desemboca en el ro Amazonas. c) Bogot es la ciudad capital de Colombia. 3. La siguiente proposicin es verdadera: nmero m y n ,

.2)( 222 nmnmnm ++=+ Compruebe el resultado asumiendo que 12=m y 8=n .

4. Encuentre un caso o ejemplo que muestre que la siguiente proposicin es

falsa: todo nmero real x , .23 xx >

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5. Considere la expresin 22 xx > . Encuentre al menos dos valores para x que hagan que el enunciado sea verdadero y al menos dos valores que hagan que el enunciado sea falso.

6. Identifique una propiedad que sea verdadera para todos los estudiantes de su

clase y escrbala en forma de proposicin universal. 7. Identifique una propiedad que sea verdadera para algunos estudiantes de su

clase y escrbala en forma de proposicin existencial. 8. Considere el siguiente enunciado: Existe un nmero par que es primo. Escriba

el enunciado en cada una de las siguientes formas: a) _______ x tal que _______ b) Algn ______________ es ______________ c) Al menos un __________ es _______________ 9. Considere el siguiente enunciado: Para todo cuadrado Q, q es un rectngulo.

Escriba el enunciado en cada una de las siguientes formas: a) ___________ Q, ____________ b) Todo __________ es __________ c) Cada ___________ es un ________ 10. Encuentre un caso o ejemplo que muestre que el siguiente enunciado es falso:

Para todo nmero real a existe otro nmero real b , tal que .1* =ba Ejercicios para resolver como autoevaluacin: 1. Escriba la negacin de las siguientes proposiciones y establezca su valor de verdad: a) Gan el examen. b) No gan el examen. c) No es cierto que hoy es mircoles. d) Julin est en quinto semestre. e) Cuatro es menor que 6. f) Existe un nmero natural tal que 21 =+x g) Todos los paralelogramos son cuadrilteros. h) Para todo nmero real se cumple que 12)1( 22 ++=+ xxx i) Todos los perros son cachorros. j) Algn perro es cachorro. k) Ningn perro es cachorro. l) Algn libro es bueno. m) Ningn libro es bueno. n) Toda persona puede conducir un carro. o) Toda persona mayor de 18 aos puede legalmente consumir alcohol. p) Un tringulo rectngulo tiene un ngulo recto. 2. Escriba en forma simblica dando el valor de verdad respectivo para: a) Todos los das llueve.

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b) Nunca hace calor. c) Todo nmero natural es positivo. d) Algunos nmeros son negativos. e) Existe un nmero neutro. 1.4 Clases o Tipos de Proposiciones:

En matemticas se consideran dos tipos de proposiciones, las proposiciones simples o atmicas y las proposiciones compuestas o moleculares. A continuacin encontrar una lista de proposiciones, trate de determinar cules son simples, cules son compuestas y asgneles su valor de verdad.

Actividad: 1. El calentamiento global incide en las catstrofes actuales. 2. Colombia es un pas democrtico. 3. Los nios de Colombia reciben buena educacin y excelente alimentacin. 4. Si estudio una carrera entonces puedo tener un buen empleo. 5. Hoy puedo ir a camping o puedo ir a bailar. 6. O estudio para el examen o pierdo el semestre. 7. Los pases de Suramrica son muy desarrollados. 8. Si llueve entonces se congestiona el trnsito de la ciudad.

Es muy probable que haya respondido que las proposiciones 1, 2 y 7 son proposiciones simples, mientras que las proposiciones 3, 4, 5, 6 y 8 son compuestas.

Piensa un minuto: cul es la diferencia entre las unas y las otras? Podemos formar proposiciones compuestas a partir de dos proposiciones simples as: Proposiciones simples:

- Voy a presentar examen de admisin en la Universidad Nacional. - Voy a aplicar para la Universidad de los Andes.

Proposicin Compuesta:

- Voy a presentar examen de admisin en la Universidad Nacional o en la Universidad de los Andes.

Proposiciones simples:

- Voy a estudiar danza moderna. - Quiero pertenecer a un ballet de talla internacional.

Proposicin Compuesta: - Si estudio danza moderna entonces puedo pertenecer a un ballet de talla internacional.

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Proposiciones simples: - Hoy quiero comer en Monserrate. - Hoy quiero asistir a misa.

Proposicin Compuesta:

- Hoy quiero asistir a misa y comer en Monserrate. Son proposiciones simples o atmicas, en el sentido de que son las ms elementales o bsicas. Por tanto, podemos definir proposicin compuesta como aquella que est formada por dos o ms proposiciones simples, ligadas mediante un conector o partcula de enlace. Se utilizan generalmente como trminos de enlace o conectores lgicos las palabras y , o , y si, entonces

Recomendacin: Antes de comenzar a estudiar detalladamente las proposiciones compuestas, recordemos lo siguiente:

1. Para determinar las proposiciones, usualmente se utilizan las letras p, q, r, s, t,

2. Para determinar el valor de verdad de una proposicin se utiliza V o F

segn sean verdaderas o falsas.

3. Para una proposicin simple p, slo hay dos posibilidades: (1) p: V; (2) p: F; es decir 21 posibilidades lgicas.

4. Si la proposicin es compuesta, sta se analiza de acuerdo al nmero de

proposiciones simples que la conforman. Para entenderlo mejor, vamos a estudiar los siguientes ejemplos y al final hacemos una generalizacin:

Si son dos las proposiciones, por ejemplo p y q, las posibilidades

lgicas seran: p q V V V F F V F F

Es decir: 22 = 4 posibilidades lgicas. Si son tres las proposiciones, por ejemplo p, q, y r, las posibilidades

lgicas: p q r V V V V V F V F V

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V F F F V V F V F F F V F F F

Es decir: 23 = 8 posibilidades lgicas.

En forma general, si el nmero de proposiciones simples que

intervienen en una proposicin compuesta es n, entonces el nmero de posibilidades lgicas est dado por 2n.

5. Los smbolos empleados en el lenguaje corriente para relacionar o conectar

proposiciones son:

Lenguaje Gramatical Smbolo Lgico y O V

O exclusiva v Condicional Implicacin

Bicondicional Equivalencia

1.5 La Conjuncin: Sean p y q dos proposiciones. Por su conjuncin entendemos la proposicin p q. La conjuncin p y q es verdadera si y solamente si las proposiciones p y q son simultneamente verdaderas.

Conclusin: La conjuncin es una proposicin compuesta formada por dos proposiciones simples unidas mediante el conector lgico , que solamente es verdadera cuando las dos proposiciones simples que la forman son simultneamente verdaderas. Vamos analizar por medio de ejemplos diferentes casos para construir una tabla de valores para la conjuncin. - Sean p: 10 es mltiplo de 2 y q: 10 es mltiplo de 5, dos proposiciones. La conjuncin p q: 10 es mltiplo de 2 y 10 es mltiplo de 5, es verdadera puesto que simultneamente las dos proposiciones son verdaderas. Si p: V y q: V La conjuncin p q: V - Sean p: 10 no es mltiplo de 2 y q: 10 es mltiplo de 5, dos proposiciones. La conjuncin p q: 10 no es mltiplo de 2 y 10 es mltiplo de 5 es falsa, ya que al considerarlas las dos proposiciones simultneamente, una de ellas no es verdadera. Si p: F y q: V La conjuncin p q: F

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Es decir que independientemente del orden de las proposiciones, si una de las dos no es verdadera, al considerarlas simultneamente la conjuncin es falsa. - Sean p: 10 no es mltiplo de 2 y q: 10 no es mltiplo de 5, dos proposiciones. La conjuncin p q: 10 no es mltiplo de 2 y 10 no es mltiplo de 5 es falsa, ya que ninguna de las dos proposiciones es verdadera. Si p: F y q: F La conjuncin p q: F Por lo tanto la tabla de verdad para la conjuncin es:

p q p q V V V V F F F V F F F F

Ejercicios para resolver como autoevaluacin:

1. Escribir los siguientes enunciados en forma simblica, determinando cules de ellos son proposiciones simples, cules compuestas y cules no son proposiciones. a) Pars est en Inglaterra. b) 2 + 3 = 7 c) Qu calor! d) Voy a cine o voy a caminar e) 2 es un nmero primo y 2 es par f) 2 es primo o es impar g) Si haces las tareas entonces puedes ir a cine h) 15 es mltiplo de 10 o de 5. i) Picasso era espaol y Garca Mrquez es venezolano. j) 7 es divisor de 56.

2. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) p: 3 es divisor de 24. b) q: 3 es un nmero primo. c) r: Las rectas paralelas se intersecan. d) s: 5 es mltiplo de 10. e) t: La suma de los ngulos internos de un tringulo es 1900. f) u: El teorema de Pitgoras se aplica a todo tringulo.

3. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:

a) 3 es divisor de 24 y las rectas paralelas se intersecan. b) 3 es primo y 4 es divisor de 10. c) 7 es divisor de 56 y 10 es mltiplo de 4. d) 5 no es mltiplo de 4 y 3 es primo. e) La suma de los ngulos internos de un tringulo es 1800 y 2 no es

mltiplo de 4.

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4. Hallar el valor de verdad de las conjunciones que se forman con las proposiciones del punto 2 a) p q b) r s c) t u d) p t e) u q

1.6 La Disyuncin: Sean p y q dos proposiciones. Por su disyuncin entendemos la proposicin p V q. La disyuncin p o q es verdadera si por lo menos una de las dos proposiciones p o q es verdadera. Este conector se utiliza cuando se pueden considerar aisladamente las dos proposiciones, lo cual incide en la determinacin del valor de verdad de una disyuncin. Consideremos situaciones con diferentes ejemplos, para construir la tabla de verdad, al igual que lo hicimos con la conjuncin. - Sean p: 3 es un nmero primo y q: 2 es un nmero primo par, dos proposiciones. La disyuncin p V q: 3 es un nmero primo o 2 es un nmero primo par, es verdadera puesto que las dos proposiciones son verdaderas. Si p: V y q: V la disyuncin p V q: V - Sean p: 3 no es un nmero primo y q: 2 es un nmero primo par, dos proposiciones. La disyuncin p V q: 3 no es un nmero primo o 2 es un nmero primo par, es verdadera puesto que una de las dos proposiciones es verdadera. Si p: F y q: V la disyuncin p V q: V

Conclusin: El orden en que se tomen las proposiciones es independiente para establecer el valor de la disyuncin, basta con que una de las dos proporciones sea verdadera para que al considerar el valor de verdad de la disyuncin esta sea verdadera. - Sean p: 3 no es un nmero primo y q: 2 no es un nmero primo par, dos proposiciones. La disyuncin p V q: 3 no es un nmero primo o 2 no es un nmero primo par, es falsa puesto que las dos proposiciones a escoger son falsas. Si p: F y q: F la disyuncin p V q: F Por tanto la tabla de verdad para la disyuncin es:

p q p V q V V V V F V F V V F F F

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Ejercicios para resolver como autoevaluacin: 1. Asignar el valor de verdad a las siguientes proposiciones: a) 3 es primo o 5 es mltiplo de 2. b) El sol es un planeta o la luna un satlite. c) Todo nmero racional es entero o todo entero es real. d) 10 es divisor de 20 o 5 es mltiplo de 10. e) 24 es el cuadrado 12 o 27 es el cubo de 3. 2. Asignar el valor de verdad a las siguientes proposiciones: a) p: 3 es divisor de 15. b) q: 25 es el cuadrado de -5. c) r: Todo primo es par. d) s: 7 es mltiplo de 3. e) t: 4 es divisor 36. f) u: 12 es mltiplo de 6. 3. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones, construidas con las proposiciones del punto anterior: a) p V r. b) t V q. c) r V t d) s V t. e) u V p. f) t V u. 1.7 La Disyuncin Exclusiva: Veamos algunos ejemplos que nos permitan establecer el uso de este conector lgico cuyo smbolo es: v Ejemplo:

- Sea p: Este diciembre ir a Canad q: Este diciembre estudiar en Bogot. p v q: Este diciembre o ir a Canad o estudiar en Bogot.

Podemos concluir que es imposible estar en las dos ciudades a la vez, lo que nos sugiere que la disyuncin exclusiva es verdadera solamente cuando las dos proposiciones tienen valores contrarios; ya que el cumplimiento de una de ellas excluye la veracidad de la otra, por tanto su tabla de verdad ser:

p q p v q V V F V F V F V V F F F

1.8 El Condicional y la Implicacin:

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Con mucha frecuencia nos encontramos con proposiciones de la siguiente forma: 1. Si estudias, entonces irs a la fiesta. 2. Si x + 3 = 5, entonces x = 2. 3. Si ABC es un tringulo entonces, 0180=++ CBA 4. Si ha llovido entonces, las calles estn mojadas. 5. Si el mar es dulce entonces, 3 es un nmero impar.

Cada uno de estos enunciados recibe el nombre de condicional. Definimos como condicional cualquier enunciado de la forma si p entonces q, y se simboliza p q. Toda proposicin condicional, p q consta de dos partes; la primera p: es la condicin o hiptesis y la segunda q: es la conclusin o tesis.

Importante: Cuando la conclusin o tesis es consecuencia lgica de la hiptesis, es decir cuando las proposiciones estn lgicamente relacionadas, como en los cuatro primeros ejemplos, y adems el condicional es verdadero como lo veremos a continuacin, entonces el condicional recibe el nombre de implicacin y lo simbolizamos as: p q. En adelante slo trabajaremos con condicionales que sean implicaciones. Para determinar el valor de verdad de la implicacin, vamos a considerar los siguientes casos:

- Sean p: 2 es un nmero par. V y q: 2 no es divisible por 2. F, dos proposiciones. La implicacin p q: si 2 es un nmero par entonces, no es divisible por 2, es falsa ya que en este caso la proposicin p es condicin suficiente para que se cumpla q, y q es la consecuencia de p, est aseverando una falsedad. Por tanto es falso que de hiptesis verdaderas de obtengan conclusiones falsas. As: si p: V y q: F, la implicacin p q: es F - Las otras posibilidades de valor de verdad para las proposiciones que conforman una implicacin son siempre verdaderas. Una proposicin verdadera es antecedente suficiente para otra proposicin verdadera. Por tanto cuando se tiene la certeza de que las hiptesis son verdaderas, es lgico que las conclusiones que se obtengan sean tambin verdaderas. As: si p: V y q: V, la implicacin p q: es V. - En el caso de que una condicin sea falsa se puede concluir una proposicin verdadera o falsa. Por tanto la implicacin es verdadera. La historia nos ha demostrado que muchos de los grandes descubrimientos se realizaron a partir de hiptesis falsas, y tambin es cierto que si partimos de hiptesis falsas las conclusiones que obtengamos tambin sean falsas. Hiptesis falsa: 5 = 4 Entonces 4 = 5

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Conclusin verdadera: 9 = 9 Hiptesis falsa: 5 = 4 Entonces 2 = 5 Conclusin falsa: 7 = 9

As: si p es F y q es V, o si p es F y q es F, la implicacin p q: es V. Por tanto la tabla de verdad para la implicacin ser:

p q p q V V V V F F F V V F F V

Importante: Un enunciado condicional se puede escribir sin utilizar las palabras si, entonces. Un enunciado de la forma p q es equivalente a p V q; lo comprobaremos con una tabla de verdad.

p q p p q p V qV V F V VV F F F FF V V V VF F V V V

Actividad: Considere las proposiciones p : n es un nmero primo y q : n es un nmero impar. Determine la veracidad o falsedad de los siguientes enunciados: 1. entero positivo n, .qp 2. entero positivo n, .pq La tabla a continuacin muestra la negacin equivalente de las proposiciones compuestas hasta ahora estudiadas, tambin se indica la comprobacin de algunas de ellas por medio de tablas de verdad:

Operacin Cuantificador

Frmula Proposicional Negacin

Negacin Equivalente

Conjuncin p V q (p V q) p q Disyuncin p q (p q) p V q Condicional p q (p q) p q Universal x )(xp ( x )(xp ) x )(xp Existencial x )(xp ( x )(xp ) x )(xp

Tabla de verdad para la equivalencia de la negacin de una conjuncin.

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p q p q (p q) p q p V qV V V F F F FV F F V F V VF V F V V F VF F F V V V V

Tabla de verdad para la equivalencia de la negacin de una disyuncin.

p q p V q (p V q) p q p qV V V F F F FV F V F F V FF V V F V F FF F F V V V V

Tabla de verdad para la equivalencia de la negacin de un condicional.

p q q p q (p q) p qV V F V F FV F V F V VF V F V F FF F V V F F

Precaucin: La negacin de un enunciado condicional no es otro enunciado condicional, es una conjuncin. Actividad: 1. Para qu valores de p y q una conjuncin es siempre verdadera? 2. Para qu valores de p y q una disyuncin es siempre verdadera? 3. Para qu valores de p y q un condicional es siempre verdadero? 4. Responda verdadero o falso: a) En lgica matemtica, la palabra o es siempre utilizada en el sentido excluyente. b) La negacin de una conjuncin es una disyuncin donde cada proposicin simple est negada. c) La negacin de una disyuncin es una conjuncin donde cada proposicin simple no est negada. d) La negacin de un condicional es una conjuncin. e) rectngulo R, R es un cuadrado.

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f) un rectngulo R tal que R es un cuadrado. 5. Escriba la negacin de las siguientes proposiciones:

a) entero n enteros p y q tal que .qpn =

b) Si Juliana est en el equipo de natacin, ella nada todos los das. c) Si llueve hoy, entonces no llover maana. d) Para todo nmero real x se cumple que .0 xx =+ 6. Reescriba el siguiente enunciado en la forma si entonces : Cuando un ciudadano ha sido condenado por un delito no tiene derecho a ocupar cargos pblicos. 1.9 Condiciones Necesarias y Suficientes: La expresin p q se interpreta de las siguientes maneras:

q es necesaria para p. q es consecuencia de p. p es condicin suficiente para q.

Veamos los siguientes ejemplos: - Sean p: Luis es colombiano. q: Luis es suramericano. p q: Si Luis es colombiano entonces es suramericano. Observamos que basta que Luis sea colombiano para que sea suramericano: es decir, p es una condicin suficiente para q. Pero, es indispensable que Luis sea suramericano para que sea colombiano: q es una condicin necesaria para p. - Sean: p: las rectas L1 y L2 son paralelas y diferentes. q: L1 I L2 = . p q: si las rectas L1 y L2 son paralelas entonces L1 I L2 = . Nos damos cuenta que p es una condicin suficiente para q, porque basta que las rectas L1 y L2 son paralelas para que L1 I L2 = . A su vez es indispensable que L1 I L2 = para que L1 y L2 sean paralelas: q es una condicin necesaria para p. Por tanto definimos:

1. p es una condicin suficiente para q, si en presencia de p el acontecimiento q debe ocurrir. Y el enunciado p es condicin suficiente para q se simboliza:

p q

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2. q es una condicin necesaria para p, si la ocurrencia de q es indispensable para que se produzca p. El enunciado q es condicin necesaria para p se simboliza:

p q

Ejercicios para resolver como autoevaluacin: 1. Indicar cules de las siguientes proposiciones son implicaciones y cules solo condicionales. Escribir las hiptesis y las tesis. a) Si un tringulo es equiltero entonces es issceles. b) Si x + 5 = 12 entonces 3 es primo. c) Si 2log10 =x entonces 100=x . d) Si 4 es divisor de 20 entonces todo impar es primo. e) Si 23 =x entonces 8=x . f) Si 4 es mltiplo de 2 entonces es mltiplo de 6. 2. Determinar el valor de verdad de las siguientes implicaciones y condicionales: a) Si 2x es un nmero par entonces x es par. b) Si un tringulo es equiltero entonces es equingulo. c) Si un nmero es mltiplo de 2 entonces es mltiplo de 4. d) Si 4=x entonces 16=x . e) Si 2 es primo entonces 2 es par. f) Si 3log10 =x entonces 000.1=x . 3. Escribir las siguientes proposiciones en el lenguaje condicin suficiente para y luego en el lenguaje condicin necesaria para. Determine el valor de verdad de cada una. a) Si 2=x entonces 42 =x . b) Si x es mltiplo de 9, entonces x es divisible por 3. c) Si Pedro es colombiano entonces naci en Bogot. d) Si 2=x entonces 164 =x . e) Si dos rectas son perpendiculares entonces forman ngulos de 90 grados. f) Si las calles estn mojadas es porque ha llovido. 1.10 Recproca y Contra Recproca de un Condicional: A partir del condicional p q podemos obtener dos condicionales que se utilizan cuando se trabajan con teoremas. Estos dos condicionales son: 1. q p, denominada la recproca de p q. 2. q p, denominada la contra recproca de p q. Vamos a analizar sus valores de verdad y a compararlo con el valor de p q: p q p q p q q p q p V V F F V V V

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V F F V F V F F V V F V F V F F V V V V V

Conclusin: 1. Al comparar los valores de verdad de p q con los de q p encontramos que los valores de verdad de las dos columnas son diferentes en algunos de sus valores, esto nos permite concluir que el valor de verdad de q p no es necesariamente igual al valor de verdad de p q. 2. Al comparar p q con q p los valores de verdad coinciden, lo cual nos permite concluir que la proposicin p q y su contra recproca q p tienen el mismo valor de verdad. Ejemplo:

- Sea p q: Si 8 es par entonces 8 es divisible por 3 el valor de verdad es falso ya que: p: V, q: F y por tanto V F = F.

Observemos ahora el valor de verdad de q p: - q p: Si 8 es divisible por 3 entonces 8 es par: el valor de verdad es

verdadero ya que: q: F, p: V y por tanto F V = V. Por ltimo veamos el valor de verdad de: q p: - q p: Si 8 no es divisible por 3 entonces 8 no es par el valor de verdad es falso puesto que: q: V, p: F y por tanto F V= F. En efecto: p q y q p tienen los mismos valores de verdad.

Actividad: 1. Dado un condicional de la forma p q, se llama conversa al condicional de la forma q p y se llama inversa al condicional de la forma p q. Demuestre con la ayuda de una tabla de verdad que la conversa y la inversa tienen los mismos valores de verdad. 2. Escriba los siguientes enunciados de la forma si entonces : a) Un satlite est en rbita alrededor de la tierra slo si est a menos de 321 Km. de distancia. b) La forma n2 para cualquier entero n , es condicin suficiente para que el nmero sea un entero par. c) Tener una calificacin de al menos 3.0, es condicin suficiente para pasar la materia. 3. Escriba la contra recproca de los siguientes enunciados: a) Si 2x es par, entonces x es par. b) Si yx AA = , entonces .yx = c) Si hoy llueve, entonces no ir al parque.

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4. Complete el siguiente enunciado: si 1624 = , entonces __________. 5. Escriba la conversa, la inversa y la contra recproca del siguiente enunciado: Si la temperatura ambiente es menor a 0 C, el agua se congelar. Ejercicios para resolver como autoevaluacin: Dadas las siguientes proposiciones, escribirlas de la forma si p entonces q, determinar su valor de verdad. Luego escribir su recproca y su contra recproca y determinar el valor de verdad o falsedad de cada una de ellas. 1. Los tubrculos son plantas. 2. Solamente las rectas paralelas no se intersecan. 3. En Colombia todo individuo mayor de 18 aos puede votar. 4. Si 5=x entonces .252 =x 5. Un tringulo issceles tiene dos de sus lados iguales. 1.11 El Bicondicional y la Doble Implicacin: Consideremos los siguientes enunciados: 1. x es un nmero par si y slo si x es mltiplo de 2. 2. Un tringulo es equiltero si y slo si es equingulo 3. Las flores son rojas si y slo si 2x = 25. 4. 2m = 36 si y slo si m = 6 o m = -6. Cada uno de los enunciados anteriores se denomina bicondicional. El Bicondicional o Doble Implicacin: es una proposicin que se obtiene al unir dos proposiciones simples mediante el conectivo si y slo si y se representa as:

p q

Todo bicondicional puede descomponerse en dos condicionales as: En la proposicin: 2m = 36 si y slo si m = 6 o m = -6, la podemos escribir: - Si 2m = 36 entonces m = 6 o m = -6 y si m = 6 o m = -6 entonces 2m = 36 - Simblicamente tenemos: (p q) (q p). - Para expresar esta doble condicin, se usa la expresin: CONDICIN NECESARIA Y SUFICIENTE, y as la proposicin anterior nos queda: - La condicin necesaria y suficiente para que 2m = 36 es que: m = 6 o m = -6. Si observamos con atencin en los ejemplos anteriores 1, 2, y 4 las proposiciones estn lgicamente relacionadas, entonces decimos que el bicondicional es una doble implicacin y se simboliza p q.

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Para determinar el valor de verdad del bicondicional o doble implicacin, vamos a utilizar los resultados del condicional as: Si determinamos el valor de verdad de )()( pqqp , entonces tendremos la tabla de p q. p q p q q p (p q) (q p) p q V V V V V V V F F V F F F V V F F F F F V V V V

Conclusin: El Bicondicional o Doble Implicacin: slo es verdadero cuando las dos proposiciones que lo forman tiene el mismo valor de verdad, es decir, cuando las dos proposiciones que la forman son ambas verdaderas o ambas falsas. En caso contrario el bicondicional es falso. Cuando el bicondicional es verdadero se acostumbra a decir que las proposiciones que intervienen son lgicamente equivalentes. Ejemplo: La proposicin p q y su recproca q p, no son lgicamente equivalentes ya que no tienen el mismo valor de verdad. Pero: p q es lgicamente equivalente con su contra recproca q p. La tabla resumida del bicondicional o doble implicacin es: Actividad: Responda verdadero o falso 1. Un condicional y su conversa son lgicamente equivalentes. 2. La negacin de un enunciado de la forma si , entonces es de la misma forma. 3. qp es falsa solamente cuando tanto p como q son falsas. 4. La negacin de un enunciado existencial es otro enunciado existencial. 5. Un condicional es lgicamente equivalente a su contra recproca. 6. El cuadrado de un nmero impar es otro nmero impar.

p q p q V V V V F F F V F F F V

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Ejercicios para resolver como autoevaluacin: 1. Determinar el valor de verdad para las siguientes proposiciones: a) 22 2)( yxyxyx n ++=+ si y slo si 2=x b) Dos rectas L1 y L2 son perpendiculares si y slo si forman ngulos de 900. c) 333)( baba +=+ si y slo si .3 primoes d) 5log3 =y si y slo si .243=y 2. Comprobar cules de las siguientes proposiciones son lgicamente equivalentes: a) )()( qpyqp b) ( ) ( )qpyqp c) )()( qpyqp d) )()( qpyqp e) )( qyq

Observacin: Es importante tener en cuenta que para trabajar con proposiciones compuestas es necesario hacer uso de los signos de agrupacin, estos hacen las veces de los signos de puntuacin en las oraciones gramaticales. Veamos su utilizacin para determinar el valor de verdad de algunas proposiciones compuestas, as mismo vamos a establecer en proposiciones compuestas cul de los conectores es el principal. Ejemplos: 1. En la proposicin compuesta p (q V r) el conector principal es la conjuncin,

lo que implica que primero se resuelve la operacin indicada por el parntesis y luego con este resultado se resuelve la conjuncin.

2. En la proposicin (p V q), el conector principal es V. 3. En la proposicin compuesta p (q V r), el conector principal es: 4. En la proposicin compuesta (p q) (r p), el conector principal es 5. En la proposicin compuesta ( ) ( )[ ]trqp , el conector principal es Observando con cuidado los ejemplos podemos ver que el signo de agrupacin es clave para identificar cul es el conector dominante en una proposicin compuesta. Ejemplos: Dadas las siguientes proposiciones, escribirlas en forma simblica: 1. 2 es primo y 36 es mltiplo de 9, o 4 es la segunda potencia de 2. p : 2 es primo.

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q : 36 es mltiplo de 9 r : 4 es la segunda potencia de 2 Por tanto toda la proposicin ser: rqp )( 2. Si la raz cbica de - 8 es -2 entonces 4 es par o mltiplo de 2 s : 283 = t : 4 es par u : 4 es mltiplo de 2 Y toda la proposicin: )( uts 3. Determinar el conector dominante en la siguiente proposicin compuesta: ( )[ ]qsrp

En orden se resuelve primero la disyuncin, luego este resultado con la implicacin y finalmente este resultado con el conector dominante que es el bicondicional. Actividad: Repita el procedimiento con las proposiciones: (p q) r (p V q) r p (q r)

4. Determinar el valor de verdad de la siguiente proposicin:

)()( rpqp Como son 3 proposiciones entonces hay 823 = posibilidades lgicas. Construyamos la tabla para determinar el valor de verdad: p q r p qp r rp )()( rpqp V V V F F F F V V V F F F V V F V F V F F F F V V F F F F V V F F V V V V F V V F V F V V V V V F F V V F F V F F F F V F V V F Actividad:

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Una expresin de la forma ni p ni q recibe el nombre de negacin conjunta y se representa por el smbolo , as: .qp 1. Construir una tabla de verdad para .qp 2. Con la ayuda de tablas de verdad, demostrar la equivalencia de las proposiciones planteadas a continuacin. a) .ppp b) ).()( qqppqp c) ).()( qpqpqp 1.12 Tautologas y Contradicciones: Se define como Tautologa una proposicin compuesta cuyos resultados son todos verdaderos sin importar el valor de verdad de las proposiciones simples o compuestas que la conformen. Cuando se encuentran proposiciones compuestas cuyo valor de verdad es falso, sin importar el valor de verdad de sus proposiciones componentes, se denomina Contradiccin. Pero cuando la tabla de verdad muestra valores verdaderos y falsos entonces se dice que es una indeterminacin. Ejemplos:

Determinar si las siguientes proposiciones son tautologas o contradicciones.

1. )()( pqqp

Es Tautologa. 2. [ ] )()()( rprqqp p q r qp rq )()( rqqp rp [ ] )()()( rprqqp V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F V F V V V F F F V F F V F V V V V V V V F V F V F F V V F F V V V V V V F F F V V V V V

p q )( qp )( pq )()( pqqp V V V V V V F V V V F V V V V F F F F V

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Es tautologa. 3. )( pp p p ( pp ) V F F F V F Es Contradiccin. Ejercicios para resolver como autoevaluacin: 1. Comprobar mediante tablas de verdad si las siguientes proposiciones compuestas son tautologas, contradicciones o indeterminaciones: a. )()( pqqp b. )()( qpqp c. rrr )( d. )( rqp e. )()( qpqp 2. En las proposiciones siguientes indicar cul es el conector dominante: a. [ ] srqp )( b. )()( srnm c. [ ])( srqp d. )( mqp

1.13 Leyes del lgebra Proposicional:

Como ya se estableci, aquellas frmulas lgicas que resultan ser siempre verdaderas no importan la combinacin de los valores de sus componentes, son tautologas o leyes lgicas. En el lgebra proposicional existen algunas tautologas especialmente tiles cuya demostracin se reduce a la confeccin de su correspondiente tabla de verdad, a saber:

1. Ley de idempotencia

a) (p p) p b) (p p) p 2. Ley conmutativa

a) (p q) (q p) b) (p q) (q p) 3. Ley Asociativa

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a) (p q) r p (q r) b) (p q) r p (q r) 4. Ley Distributiva

a) [p ( q r )] [(p q ) (p r)] b) [p (q r)] [(p q) (p r)] 5. Ley de De Morgan

a) (p q) p q b) (p q) p q 6. Principio de contradiccin

a) p p F (falacia) 7. Ley del tercero excluido

a) p p V (verdad) 8. Negacin de la negacin o involucin

a) (p) p 9. Leyes de identidad

a) p F p b) p V V c) p V p d) p F F 10. Definicin Alterna del Condicional

a) (p q) (p q) 1.14 Aplicaciones de las Leyes del lgebra Proposicional:

Probar que: [ ]))( qpqp 1. [ ]))()( qpqp Ley de Morgan (5, b).

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2. [ ] [ ])()()( qpqp Definicin alterna del condicional (10). 3. [ ] )()()( qpqp Negacin de negacin (8). Por tanto: [ ]))( qpqp

Probar que la proposicin pqp )( es una tautologa:

1. pqppqp )()( Definicin alterna del condicional. (10)

2. pqpqqp )()()( Por ley de Morgan (5, a).

3. )()()()( qpppqp Propiedad asociativa de la disyuncin.

4. vqvqpp )()()( Ley del tercero excluido y de identidad.

Por lo tanto al ser pqp )( = V queda probado que es tautologa.

Actividad: Siguiendo las Leyes de Morgan, escribir una forma proposicional equivalente a las frmulas dadas: a) (p V q) b) ( p q) c) ( p V q) d) ( p q)

Ejercicios para resolver como autoevaluacin:

Resolver los siguientes ejercicios aplicando las leyes del lgebra proposicional:

1. Probar que son tautologas:

a) [ ] )()( pqpp b) [ ] [ ]rqprqp )()( c) )( qpp d) [ ] qqpp )( 2. Simplificar aplicando las leyes del lgebra proposicional:

a) )( qpp b) [ ])()( srsr c) )( stt 3. Escribir en lenguaje corriente una forma equivalente para los siguientes enunciados, siguiendo las leyes de Morgan.

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a) No es cierto que su novio sea francs y su mejor amiga inglesa. b) No ocurre que estudie qumica pero no biologa. c) No es verdad que los precios suban y las ventas disminuyan. d) No es verdad que no estemos en invierno o haga fro. e) Su novio no es francs o su mejor amiga no es inglesa. f) No estudia qumica o estudia biologa. g) Los precios bajan o las ventas aumentan. h) Estamos en invierno y no hace fro.

RESUMEN Una proposicin es un enunciado o juicio al que se le puede asignar con certeza uno y slo uno de los trminos falso o verdadero. Falso o Verdadero se denominan valores de verdad y son los que se le asignan a una proposicin simple o compuesta. Es decir, cada proposicin tiene un nico valor de verdad, o es falsa o es verdadera. En la lgica elemental, las proposiciones se acostumbran a clasificar de dos maneras: Proposiciones simples o atmicas, en el sentido de que son las ms elementales o bsicas.

Proposiciones compuestas o moleculares, resultan de la combinacin o unin de proposiciones atmicas por medio de conectores lgicos o trminos de enlace.

Se utilizan como trminos de enlace o conectores lgicos las palabras y, o, no y si, entonces, si y slo si. Una proposicin compuesta o molecular tiene un nombre de acuerdo al conector lgico utilizado: conjuncin, disyuncin, condicional o bicondicional. Entonces, el trmino de enlace utilizado define la forma de la proposicin compuesta. Por tanto, la forma de una proposicin compuesta no depende del contenido de la proposicin ni de las proposiciones simples que la conformen. Se utilizan las letras minsculas para representar las proposiciones, ms comnmente p, q, r y s, pero puede utilizarse cualquier otra letra. Para los conectores lgicos se usan smbolos: La conjuncin se representa por , la disyuncin V, la negacin , el condicional por y el bicondicional por .

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Se debe tener especial cuidado en determinar cul conector lgico es el que define la forma de la proposicin, este trmino de enlace se llama dominante. Cambiar la forma de la proposicin cuando se tienen dos o ms trminos de enlace, cambia el sentido de la proposicin compuesta. Cuando la frase es abierta, es decir, si no podemos determinar en su valor de verdad, se antepone un cuantificador que la convierte en proposicin. Un cuantificador es una constante que indica la cantidad de elementos de una determinada categora que son afectados por la expresin. Hay dos clases de cuantificadores: el universal y el existencial, que corresponden a anteponer a la frase abierta: Para todo (Conocido como cuantificador universal), se simboliza por y se lee: para todos, todos o cualquiera. Expresa que la proposicin es verdadera para todos los valores de la variable. Existe un tal que (Conocido como cuantificador existencial). Se simboliza por y se lee: existe, algn, o hay. Expresa que la proposicin es verdadera para al menos un valor de la variable Una tabla de verdad es un mtodo que nos permite hallar todos los posibles valores de verdad de una proposicin compuesta, para ello se colocan todas las posibilidades de certeza o falsedad a manera de tabla. Tabla de verdad para la expresin (p q) V ( p V q).

p q p q p V q (p V q) (p q) (p V q)V V V V F FV F F V F FF V F V F FF F F F V F

Una variable es un smbolo, generalmente una letra del alfabeto, que se puede remplazar o sustituir por cualquier elemento de un conjunto dado. Una frmula es una expresin que est conformada por un nmero contable de variables conectadas o enlazadas por medio de operaciones y relaciones. Para el caso de la lgica matemtica, las variables representan una proposicin matemtica cualquiera y las operaciones son los conectores lgicos: conjuncin, disyuncin, negacin y condicional. La frmula se le llama frmula proposicional y sta se convierte en proposicin cuando se sustituyen las variables por proposiciones especficas. Una proposicin se llama tautologa cuando al sustituir las variables por todas las combinaciones posibles de sus valores de verdad, la frmula se convierte en una proposicin verdadera.

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Similarmente, una frmula proposicional se llama contradiccin cuando al sustituir las variables por todas las combinaciones posibles de sus valores de verdad, la frmula se convierte en una proposicin falsa. En consecuencia, la negacin de una tautologa es una contradiccin y la negacin de una contradiccin es una tautologa. Dos frmulas proposicionales que tengan tablas de verdad idnticas se dice que son lgicamente equivalentes o iguales. Quiere decir, que tienen el mismo significado.

LECCIN 2. LGEBRA DE CONJUNTOS

INTRODUCCIN: Aplicaciones Matemticas a la Gestin. La enseanza de la teora de conjuntos y la lgica matemtica, en un comienzo, se consider til para que el estudiante tuviese un fcil acceso a las matemticas superiores, buscando con ello profundizar en estructuras abstractas y en el rigor lgico. Con este enfoque se descuida la aplicacin que pueden tener estas reas de la matemtica a ciencias como la administracin, la economa y la contabilidad. Por tanto estudiaremos el lgebra de conjuntos desde una perspectiva sistmica, para comprender los conjuntos como un objeto o ente matemtico con estructuras, elementos, relaciones y operaciones; siendo enfticos en la propuesta de situaciones problemticas interesantes. La terminologa de la teora de conjuntos tiene mucha aplicacin en las diferentes ramas de la matemtica, por ello la importancia de aprender lgebra de Conjuntos. OBJETIVOS

General

El propsito de esta unidad consiste en formalizar las definiciones de elemento y de conjunto, identificar sus relaciones y realizar operaciones entre ellos. Especficos: 1. Comprender los conjuntos como objetos matemticos, nombrarlos y establecer relaciones entre ellos.

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LGEBRA DE CONJUNTOS

Objeto Matemtico

EL CONJUNTO

Se clasifican

UNIVERSAL VACO

FINITOS INFINITOS

Formado por

ELEMENTOS

SISTEMA MATEMTICO

Se realizan

Se establecen

Se reglamentan

OPERACIONES PROPIEDADES

RELACIONES

COMPLEMENTOUNIN

INTERSECCIN

DIFERENCIAS

PERTENENCIACONTENENCIA

IGUALDAD

LEYES DEL LGEBRA DE CONJUNTOS

RESULTADOSAPLICACIONES

DIAGRAMAS DE VENN

Tales como

Tales como

Nacen

Se representan con

Conllevan a

2. Identificar las diferentes clases de conjuntos y realizar operaciones entre ellos. 3. Diagramar unin, interseccin, complemento, diferencia y diferencia simtrica entre conjuntos. 4. Determinar el nmero de elementos de un conjunto finito dado y aplicar este concepto en la solucin de problemas.

IDEAS CLAVES: 9 Entre los elementos que conforman un conjunto y el propio conjunto existe una

relacin de pertenencia. Entre conjuntos se da la relacin de contenencia. 9 Existen diferentes clases de conjuntos: universal, vaco, unitario, finito, infinito. 9 Los conjuntos se combinan entre si a travs de operaciones para dar origen a

otros conjuntos. 9 Los conjuntos satisfacen leyes e identidades y se habla entonces de lgebra

de Conjuntos. 9 Los diagramas de Venn permiten representar de manera prctica y til las

relaciones y operaciones entre conjuntos. Adems dejan visualizar una particin del conjunto universal.

9 Los conjuntos, como sistema matemtico, permiten avanzar en el anlisis y solucin de cierto tipo de situaciones problemticas de la administracin.

MAPA CONCEPTUAL

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SITUACIN PROBLEMTICA Una empresa administradora de fondo de pensiones reporta que tiene 3.000 afiliados al fondo de cesantas, 8.000 al fondo de pensiones obligatorias y 2.000 al fondo de pensiones voluntarias. Se quiere conocer entonces la siguiente informacin: Cuntas personas estaran afiliadas simultneamente a los tres fondos? Cuntas personas estn afiliadas nicamente a cesantas y pensiones obligatorias? Cuntas personas estaran afiliadas al fondo de cesantas nicamente? Cuntas personas estaran afiliadas al fondo de pensiones obligatorias nicamente? Es posible responder tales inquietudes y similares a partir de la informacin suministrada? Explique sus razones. DESARROLLO DE CONTENIDOS: La teora de conjuntos es una divisin de las matemticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemtico alemn Georg Cantor en el siglo XIX. Antes de comenzar su estudio iniciaremos estableciendo la idea de conjunto como objeto matemtico. 2.1 Caractersticas de un Conjunto La palabra Conjunto lo podemos interpretar en el lenguaje cotidiano como la agrupacin de varios objetos que se consideran como uno slo. Desde lo matemtico, la idea de conjunto se considera simple, intuitiva o primitiva; quiere decir que no se puede definir, esto es, no se puede expresar a partir de conceptos ms sencillos. Un conjunto lo debemos pensar como una agrupacin de objetos con una caracterstica comn. Los objetos individuales que forman el conjunto son llamados elementos del conjunto. El trmino elemento se considera tambin una idea primitiva.

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Importante: La caracterstica que define los elementos de un conjunto no debe presentar ambigedades, con absoluta certeza se debe responder si un elemento o no pertenece a un conjunto. Cuando esto ocurre decimos que el conjunto est bien definido. Cada elemento de un conjunto se considera nico, no puede darse el caso de dos o ms elementos iguales dentro del mismo conjunto. Notacin Para denominar un conjunto utilizaremos letras maysculas y las minsculas para llamar a sus elementos. Los elementos se escriben separados por comas y encerrados entre dos llaves. Ejemplos: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,, n,} es el conjunto de los nmero naturales D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} es el conjunto de los nmeros dgitos B = {a, e, i, o, u} es el conjunto de las vocales del alfabeto. 2.2 Determinacin de Conjuntos Para definir un conjunto se utilizan comnmente dos mtodos, uno llamado por extensin y el otro por comprensin. Definir un conjunto por extensin significa que se listan en forma explcita los elementos. Ejemplos:

I = {, e} S = {hombre, mujer} A = {a} P = {0, 2, 4, 6, 8} Definir un conjunto por comprensin significa explicar la caracterstica comn de los elementos que debe permitirnos determinar si un elemento pertenece o no a un conjunto. El criterio de pertenencia es una proposicin matemtica. Se escribe D = { x / )(xp } y se lee, D es el conjunto formado por los elementos x que satisfacen la propiedad )(xp . Ejemplos:

M = { x / x es un nmero primo}, )(xp es la proposicin x es un nmero primo

F = { x / x es un nmero natural menor que 9}, )(xp es la proposicin x es un nmero natural menor que 9

R = { y / y es una consonante del alfabeto}, )(yp es la proposicin y es una consonante del alfabeto.

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El conjunto formado por los elementos que hacen que la proposicin que define el criterio de pertenencia sea verdadera se llama conjunto solucin. Para los ejemplos anteriores estos conjuntos son respectivamente:

M = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,} F = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} R = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, , p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}

En muchos casos el conjunto solucin no se puede escribir por extensin, por ejemplo para el conjunto:

H = { x / x es colombiano mayor de edad}, en este caso no es posible listar cmodamente sus elementos.

Ejercicios para resolver como autoevaluacin: 1. Para cada palabra dada a continuacin, escriba el conjunto de las letras que la forman: Barranquilla, Aracataca, Araracuara, murcilago, elefante. 2. Un bono pensional recibi las siguientes ofertas para su venta en 10 comisionistas de bolsa. $120000.000; $115000.000; $100000.000; $105000.000; $110000.000; $100.000.000; $115000.000; $120000.000; $120000.000 y $105000.000. Escribir el conjunto de ofertas recibidas. Cuntos elementos tiene el conjunto? 3. Escribir el conjunto solucin de:

F = { x / 062 =x } G = { x / 012 =x } H = { x / 0)1( 2 =x } K = { x / )81)8( 2 =+x } M = { x / 25)8( 2 =+x } Q = { x / es un nmero real y 012 =+x } T = { x / x es nmero negativo y 1002 =x } P = { x / x = - x }

4. Escribir 5 conjuntos definidos por comprensin. 2.3 Clases de Conjuntos Los conjuntos se clasifican en ocasiones de acuerdo al nmero de elementos que contenga, por ello es importante saber el nmero de elementos que lo integran. El nmero de elementos de un conjunto A lo vamos a simbolizar como )(An y lo llamaremos cardinal del conjunto A.

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Si un conjunto no contiene elementos, su cardinal es cero, se denomina conjunto vaco y se simboliza { } o tambin .

Importante: El conjunto vaco es un conjunto muy tpico en las matemticas. V = { x / x es entero y 72 =x }, es un conjunto vaco y decimos que 0)( =Vn , no tiene elementos. Un conjunto que contiene slo un elemento se llama conjunto unitario. Ejemplo:

A = {0}, B = {a}, C = {1}, {c}, etc. Vemos que 1)()()( === CnBnAn . Si el nmero de elementos de un conjunto es de exactamente n elementos diferentes, siendo n cualquier entero positivo se dice que el conjunto es finito. De otra forma se dice que el conjunto es infinito. Los conjuntos de nmeros Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales, Reales y Complejos, son conjuntos infinitos. El conjunto de rectas que pasa por un punto es un conjunto infinito. El conjunto de puntos contenidos en una lnea recta es tambin un conjunto infinito. Podemos definir conjuntos cuyo nmero de elementos es muy grande, pero que resultan siendo finitos, solo que fsicamente resulta imposible contar el nmero de sus elementos. Ejemplos, el conjunto de insectos de Amrica, el conjunto de estrellas del universo conocido, el conjunto de granos de arena de una playa, etc. En lgebra de Conjuntos se define un conjunto muy especial, denominado Conjunto Universal. Este conjunto puede tener diferentes significados, dependiendo de la situacin de un contexto; puede ser finito o infinito. No es el conjunto de todos los conjuntos, simplemente es un conjunto que permite representar o agrupar todos los elementos que se refieren a una situacin en un contexto dado. En un estudio de poblacin, el conjunto universal puede ser la poblacin mundial, la poblacin de un continente, la poblacin de un pas o la poblacin de una regin. En el conjunto Q = { x / x es un nmero real y 012 >+x }, se considera que el conjunto universal es el conjunto de los nmeros reales. Mientras que en el conjunto V = { x / x es entero y 82 =x }, el conjunto universal es el conjunto de los nmeros enteros. Si H = { x / x es colombiano mayor de edad}, aqu el conjunto universal es la poblacin de Colombia.

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El conjunto universal lo simbolizaremos por la letra U. Existen conjuntos cuyos elementos son otros conjuntos; los conjuntos son objetos matemticos y por ello pueden formar parte de otro conjunto como elemento. Este tipo de conjuntos son llamados familia, clase o coleccin. Ejemplos:

A = { }; B = {{2}, {3}}; C = {{1}, {1,2}, {1,2, 3}}; D = {{5}, {10}, {5,10}}. El cardinal de cada uno de los conjuntos es: n(A) = 1; n(B) = 2; n(C) = 3; n(D) = 3 y n( ) = 0.

Actividad: 1. Cuntos elementos tiene el conjunto M, donde M = { x / x es un

nmero real y x 2 < 0} 2. Cuntos elementos tiene el conjunto N, donde =N = { x / x es un

nmero real y x 2 0} 3. El conjunto de los nmeros fraccionarios entre 0 y 1, es un conjunto

finito o infinito? Cite ejemplos para su respuesta.

Ejercicios para resolver como autoevaluacin: 1. De los conjuntos listados a continuacin, determine si son conjuntos finitos o infinitos. Explique. a) El conjunto de palabras del idioma espaol. b) El conjunto de rboles de la selva amaznica. c) El conjunto de circunferencias que tienen un mismo centro. d) El conjunto de rectas perpendiculares a otra recta dada. e) El conjunto de nmeros primos pares. f) El conjunto de nmeros divisibles por 11. 2. Escriba uno o ms conjuntos universales para los conjuntos dados. a) El conjunto de los nmeros impares. b) El conjunto de animales mamferos. c) El conjunto de los rectngulos. d) El conjunto de los nmeros primos. 3. Para los conjuntos listados a continuacin establezca cuntos elementos tiene cada uno de ellos. F = { x / 062 =x }, n(F) = ? G = { x / 012 =x }, n(G) = ?

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H = { x / 0)1( 2 =x }, n(H) = ? K = { x / )81)8( 2 =+x }, n(K) = ? M = { x / 25)8( 2 =+x }, n(M) = ? Q = { x / x es un nmero real y 012 =+x }, n(Q) = ? T = { x / x es nmero negativo y 1002 =x }, n(T) = ? P = { x / x = - x }, n(P) = ? 2.4 Relaciones Establecer Relaciones o Correspondencias entre los Elementos de los Conjuntos Ahora podemos empezar a jugar con los conjuntos estableciendo relaciones entre los elementos de un mismo conjunto o con los elementos de otro conjunto. Relacin de Pertenencia Como un conjunto est compuesto por objetos llamados elementos, se dice que cualquiera de ellos pertenece al conjunto y estamos estableciendo la relacin de pertenencia entre el conjunto y sus elementos. Si B = {a, e, i, o, u}, entonces a es un elemento de B, e es un elemento de B y as sucesivamente. La relacin de pertenencia se simboliza aB y se lee a pertenece a B. La negacin de: aB, se simboliza a B y se lee a no pertenece a B Relacin de Igualdad Decimos que dos conjuntos D y E son iguales o idnticos si tiene exactamente los mismos elementos; se simboliza D = E. Utilizando el lenguaje de la lgica matemtica la igualdad entre dos conjuntos D y E se escribe: D = E, si y slo si, para todo a, aD entonces aE, y, para todo b, bE entonces bD. En lenguaje simblico: D = E aD aE Si uno de los dos conjuntos contiene al menos un elemento que no pertenezca al otro conjunto se dice los conjuntos son distintos o diferentes; se simboliza D E. Utilizando el lenguaje de la lgica matemtica, para indicar que dos conjuntos D y E son distintos, se escribe: D E, si y slo si, existe al menos un elemento a, aD y aE, o existe al menos un elemento b, bE y bD.

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Si los conjuntos D y E estn definidos por comprensin, D = { x / )(xp } E = { x / )(xq } La igualdad entre los conjuntos D y E implica que las frmulas proposicionales

)(xp y )(xq son lgicamente equivalentes: )(xp )(xq Ejemplos:

Sea D = {a} y E = {a, a}. Los conjuntos D y E son iguales puesto aD y tambin aE. Por esta razn al listar los elementos de un conjunto ninguno se puede repetir, como habamos dicho antes, cada elemento es nico.

Sea F = {2, 3, 5} y G = {5, 2, 3}. Los conjuntos F y G son iguales puesto

que: 2F y 2G, 3F y 3G, 5F y 5G. El orden en que se escriban los elementos de un conjunto no cambia al conjunto como tal.

Sea H = {0, 2, 4, 6, 8, 10,,2n,} y J = { x / x es un nmero divisible por

dos}. Los conjuntos H y J son iguales.

Sea K = {x x / 01272 =++ xx } y L = {-3, -4}. Los conjuntos K y L son iguales, tienen los mismos elementos.

Relacin de Contenencia Dado un conjunto, a partir del mismo, se pueden formar otros conjuntos. Estos conjuntos los llamaremos subconjuntos del conjunto dado. Ejemplo: Sea D = { x / x es nmero natural menor que 100} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,, 98,

99} Sea E = { x / x es nmero natural menor que 100 y x es divisible por diez} E = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90}

Notamos que los elementos del conjunto E, pertenecen al conjunto D, pero existen elementos en D que no pertenecen a E. Decimos entonces que un conjunto E es subconjunto de otro conjunto D, si cada elemento de E pertenece a D. Los simbolizaremos: .DE Y se lee E es subconjunto de D, tambin E est contenido en D, o, D contiene a E. Utilizando el lenguaje de la lgica matemtica la contenencia entre dos conjuntos D y E se define:

DE , si y slo si, para todo a, aE entonces aD.

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En lenguaje simblico: DE aE aD En la relacin DE , existe la posibilidad de que ED . Si se tienen las dos relaciones si DE y ED , es porque D y E tienen los mismos elementos. Es decir:

DE = , si y slo si, DE y ED Ahora, cuando E es un subconjunto de D pero E y D son conjuntos diferentes, no existe la posibilidad de que sean iguales, decimos en este caso que E es un subconjunto propio de D y lo simbolizamos DE . Si los conjuntos D y E estn definidos por comprensin, D = { x / )(xp } E = { x / )(xq } Si adems DE , para las frmulas proposicionales )(xp y )(xq ocurre que:

)(xp )(xq . Ejemplo: Sea R = { x / x es un nmero natural mltiplo de 10} = {10, 20, 30, 40, 50,} Sea T = { x / x es un nmero natural mltiplo de 5} = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35,...} Observamos que TR , esto equivale a decir: Si x es mltiplo de 10, entonces es mltiplo de 5 Cuando dos conjuntos no tienen ningn elemento en comn, decimos que son conjuntos disjuntos. Ejemplos

P = { x / x es nmero par}, I = { y / y es un nmero impar}.

Los conjuntos P e I son conjuntos disjuntos.

R = { x / x es nmero positivo} S = { y / y es un nmero negativo}.

Los conjuntos R y S son conjuntos disjuntos.

Importante: En las matemticas es conveniente en algunas ocasiones introducir algunos conceptos a manera de definicin, es decir, se aceptan porque se consideran necesarios y no conllevan a ninguna contradiccin; solamente se justifica su necesidad. Si el concepto implica contradicciones no se acepta.

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De esta manera, el conjunto vaco, , se considera subconjunto de cualquier conjunto, T ; igual, es subconjunto de si mismo, . Conviene definir tambin, que el conjunto vaco es subconjunto propio de cualquier conjunto pero no de si mismo. Actividad: 1. Arme dos conjuntos C y D de tal manera que se satisfagan las siguientes relaciones: ,DC DC y .DC 2. Determine cul enunciado es verdadero y cul es falso: a) { } { }a d, ,c d, , ca = ; b) { } { }c b, ,b c, b, a, c, , aa = ; c){ } { }xyx ,y x,y, y, , = ; d) { }{ }0 ; e) { } { }{ }00 ; f) { } { }{ }00 ; g) { } { }{ }00 ; h) Todo subconjunto de un conjunto infinito es infinito. i) Todo subconjunto de un conjunto infinito es finito. j) Todo subconjunto de un conjunto finito es infinito. k) Todo subconjunto de un conjunto finito es finito. 3. Cules de los siguientes conjuntos son iguales entre si? a) { }LuisJosPedro , , ; b) { }10 100, ,1 ; c) { }$10 $100, ,1$ , d) { }100 1, ,10 ; e) { }JosPedroLuis , , ; f) { }1552/ =+xx ; g) { }25/ 2 =kk ; h) { }100 ,1000 ,10 ; i){ }0 ; j) { }; k) { } ; L) . Ejercicios para resolver como autoevaluacin: 1. Sean F = {5} y G = {5,7}. Para los siguientes enunciados, determinar si son verdaderos o falsos dando razones del por qu. a) GF b) GF c) GF d) F5 e) F5 f) G5 g) G7 h) F7 i) G7 2. Resolver el ejercicio 1, si F = {5} y G = {{5}, 7} 3. Sean P = {4}, Q = {3, 4}, R = {1, 2, 3}, S = {1, 2}, T = {1, 2, 4}. Para los siguientes enunciados, determinar si son verdaderos o falsos dando razones del por qu a) RS b) TQ c) TP d) RP

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e) RQ = f) SQ 4. Sean X = {a, b}, Y = {{a}, {b}}, Z = {{a}, {a, b}}, W = {{a}, {b}, {a, b}}. Para los siguientes enunciados, determinar si son verdaderos o falsos dando razones del por qu. a) YX = b) YX c) ZX d) ZX e) WX f) ZY g) WY h) WX i) WY 5. Para los conjuntos del ejercicio 4, responda. n(X) = ?, n(Y) = ?, n(Z) = ?, n(W) = ?. 6. El conjunto vaco es un conjunto disjunto consigo mismo? Explique. 7. Construya dos conjuntos D y E de tal forma que se cumpla .ED Subconjuntos de un Conjunto Para la solucin de algunas situaciones problemticas es relevante conocer que dado un conjunto de m elementos, se pueden generar m2 subconjuntos del conjunto dado. El conjunto formado por los m2 subconjuntos, una familia de conjuntos, se denomina conjunto potencia. Ejemplos:

Sea A = {0}. Como A es un conjunto unitario, su nico elemento es el nmero cero, tiene entonces 221 = subconjuntos: { }01 =A y =2A . Recordemos que el conjunto vaco es subconjunto de cualquier conjunto.

Sea B = {2, 3}. Como el conjunto B est formado por dos elementos,

tiene 422 = subconjuntos. ,1 =A },2{2 =A },3{3 =A 3} {2,4 =A El conjunto potencia de un conjunto cualquiera B se simboliza P(B), para el ejemplo anterior, P(B) = { , },2{ },3{ 3} {2, } Ejercicios para resolver como autoevaluacin: 1. Escribir el conjunto potencia para el conjunto C = {x, y, z}

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2. Escribir el conjunto potencia para el conjunto D = {2, 3, 5, 7} 3. Escribir el conjunto potencia para el conjunto E = {1, 2, 3, 5, 8} 4. Escribir el conjunto potencia para el conjunto vaco. 2.5 Operaciones entre Conjuntos Los Conjuntos como un Sistema Matemtico Con las operaciones entre conjuntos aprenderemos a construir conjuntos nuevos a partir de conjuntos previamente conocidos utilizando para ello operaciones y propiedades. Complemento de un Conjunto Sea un conjunto universal U y sea A un subconjunto de U. Definimos el complemento del conjunto A, respecto al universal U, como el conjunto de los elementos del universal que no pertenecen al conjunto A. Se simboliza cA .

}/{ AxUxxAc = Si A es un conjunto definido por comprensin

)(/{ xpxA = }, Entonces p(x)} / { = xAc Ejemplos Sea } / { alfabetoletra del unaesxxU = y sea } / { consonanteunaesxxA = ,

entonces } / { vocalunaesxxAc = Sea U el conjunto de los nmeros naturales, U = {0, 1, 2, 3, 4, 5,, n,} y sea P el conjunto de los nmeros pares, P = {0, 2, 4, 6, 8, 10,, 2n,}. El complemento de P es el conjunto de los nmeros impares, I = {1, 3, 5, 7,, 2n + 1,} La operacin complemento de un conjunto es equivalente a la operacin negacin de una proposicin de la lgica matemtica. Propiedades del Complemento Para cualquier conjunto A y B se cumple que, 1. AA cc =)( , de otro modo, p(x)} / {)( == xAA cc 2. =cU y Uc = 3. cc BA = , si y slo si, BA =

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4. Si BA , entonces cc AB . Esta propiedad es equivalente en lgica matemtica a la contrarrecproca de un condicional: ).( )( )( xpxqq(x)xp Interseccin de Conjuntos La interseccin de dos conjuntos D y E, simbolizada ,EDI es el conjunto de los elementos que pertenecen tanto D como a E; es el conjunto de los elementos comunes a D y E.

E} x D x/{ = xEDI Si los conjuntos D y E estn definidos por comprensin,

D = { x / )(xp } E = { x / )(xq } La interseccin de los conjuntos D y E, en el lenguaje de la lgica matemtica queda:

q(x)} p(x) /{ = xED I

Importante: La operacin interseccin de conjuntos es equivalente a la operacin conjuncin de proposiciones de la lgica matemtica. Dos conjuntos D y E son disjuntos si =EDI . Si EDI , se dice que los conjuntos D y E son intersecantes. Sea P el conjunto de los nmeros pares, P = {0, 2, 4, 6, 8, 10,, 2n,} y sea I el conjunto de los nmeros impares, I = {1, 3, 5, 7,, 2n + 1,}. La interseccin de estos dos conjuntos es el conjunto vaco. Propiedades de la Interseccin Para cualesquiera conjuntos A, B y C se cumple que, 1. =IA 2. =cAAI . Ley del Medio Excluido. 3. AAA =I . Ley de Idempotencia 4. AUA =I 5. ABBA II = . Ley Conmutativa 6. BCACBACBACBA IIIIIIII )()()( === . Ley Asociativa Unin de Conjuntos

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La unin de dos conjuntos D y E, simbolizada ,EDU es el conjunto de los elementos que pertenecen a D o E, o tambin, es el conjunto de los elementos que pertenecen a por lo menos uno de los dos conjuntos D y E.

E} x D x/{ = xEDU La unin de los conjuntos D y E, ,EDU tiene como elementos: Los elementos que pertenecen a D pero que no pertenecen a E, .cED I Los elementos que no pertenecen a D pero que pertenecen a E, .EDc I Los elementos comunes a D y E, .ED I Si los conjuntos D y E estn definidos por comprensin,

D = { x / )(xp } E = { x / )(xq } La unin de los conjuntos D y E, en el lenguaje de la lgica matemtica queda:

q(x)} p(x) /{ = xEDU

Importante: La operacin unin de conjuntos es equivalente a la operacin disyuncin de proposiciones de la lgica matemtica. Sea P el conjunto de los nmeros pares, P = {0, 2, 4, 6, 8, 10,, 2n,} y sea I el conjunto de los nmeros impares, I = {1, 3, 5, 7,, 2n + 1,}. La unin de estos dos conjuntos es el conjunto de los nmeros naturales. Propiedades de la Unin Para cualquier conjunto A, B y C se cumple que: 1. AA =U 2. UAA c =U . Ley del Medio Excluido. 3. AAA =U . Ley de Idempotencia 4. UUA =U 5. ABBA UU = . Ley Conmutativa 6. BCACBACBACBA UUUUUUUU )()()( === . Ley Asociativa. Diferencia de Conjuntos La diferencia de dos conjuntos D y E, simbolizada ,ED es el conjunto de los elementos que pertenecen a D pero no pertenecen a E.

E} x D x/{ = xED La diferencia de los conjuntos D y E, ,ED se puede expresar de otras maneras:

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ccc EDEDED )( UI == Si los conjuntos D y E estn definidos por comprensin,

D = { x / )(xp } E = { x / )(xq } La diferencia de los conjuntos D y E, en el lenguaje de la lgica matemtica queda:

q(x)} p(x) /{ = xED

Importante: La operacin diferencia de conjuntos es equivalente a la operacin negacin de un condicional de proposiciones de la lgica matemtica. Sea U el conjunto de los nmeros naturales, U = {0, 1, 2, 3, 4, 5,, n,} y sea P el conjunto de los nmeros pares, P = {0, 2, 4, 6, 8, 10,, 2n,}. La diferencia entre los conjuntos, U P, es el conjunto de los nmeros impares, I = {1, 3, 5, 7,, 2n + 1,} Diferencia Simtrica de Conjuntos La diferencia simtrica de dos conjuntos D y E, simbolizada ED , es el conjunto de los que pertenecen a la unin entre D y E, pero no pertenecen a su interseccin.

)}() /({ ExDxEDxxED = { )()/( EDxEDxx La diferencia simtrica de los conjuntos D y E, ED se puede expresar de otras maneras:

)()()()( DEEDEDEDED == UIU Si los conjuntos D y E estn definidos por comprensin,

D = { x / )(xp } E = { x / )(xq } La diferencia simtrica de los conjuntos D y E, en el lenguaje de la lgica matemtica queda:

)]}q( )( [)]( )([ / { xxpxqxpxED =

Importante: La operacin diferencia simtrica de conjuntos es equivalente a la operacin disyuncin excluyente de proposiciones de la lgica matemtica.

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Sea P el conjunto de los nmeros pares, P = {0, 2, 4, 6, 8, 10,, 2n,} y sea I el conjunto de los nmeros impares, I = {1, 3, 5, 7,, 2n + 1,}. La diferencia simtrica de estos dos conjuntos es el conjunto de los nmeros naturales. Actividad: Determine los elementos de los conjuntos F y G si: a) { }hgfedcbaU ,,,,,,,= ; { }gecbF c ,,,= ; { }gdaG c ,,= . b) { }40,30,20,10=cF ; { }10,80,70,60,50= GF ; { }80,70= GF Cul es el conjunto Universal? c) Determine el conjunto U y los subconjuntos A, B y C si: = CB , { }5= CA ;

{ }17,7,5,13,3,2= BA ; { }29,23,19,5,13,3,2= CA ; { }31,29,23,31,5,2,11=CB ; { }31,23,11)( = cCBA .

2.6 lgebra de Conjuntos En la tabla siguiente se enumeran las leyes o identidades que son satisfechas por los conjuntos, para las operaciones de complemento, unin e interseccin. LEYES DEL LGEBRA DE CONJUNTOS Leyes Idempotentes

AAA =I AAA =U Leyes Asociativas

)()( CBACBA IIII = )()( CBACBA UUUU = Leyes Conmutativas

ABBA II = ABBA UU = Leyes Distributivas

)()()( CABACBA IUIUI = )()()( CABACBA UIUIU = Leyes de Identidad

=IA AA =U AUA =I UUA =U

Leyes de Complementacin =cAAI UAA c =U

=cU ; Uc = AA cc =)( Leyes de Morgan

ccc BABA UI =)( ccc BABA IU =)(

Para reflexionar: Es el momento de definir lo que es un Sistema Matemtico: Un Sistema Matemtico es un conjunto de propiedades y leyes que permiten realizar operaciones y establecer relaciones con un objeto o ente matemtico.

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As, un sistema matemtico est compuesto por objetos o entes matemticos, relaciones, operaciones, propiedades y leyes. El concepto de conjunto satisface las condiciones que distinguen a un sistema matemtico: Entre el conjunto y sus elementos se establecen relaciones y operaciones reglamentadas por un grupo de propiedades y leyes. Al sistema se le llama lgebra de Conjuntos. Tambin, el concepto de proposicin matemtica satisface las condiciones que distinguen a un sistema matemtico: Entre las proposiciones matemticas se establecen relaciones y